高考数学二轮专题复习与测试练习题专题4 第2课时点、直线、平面之间的位置关系文

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高考数学(理)二轮专题复习课时巩固过关练(十三)点、直线、平面之间的位置关系

课时巩固过关练(十三)点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1．设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是()A．若l⊥m，m＝α∩β，则l⊥αB．若l∥m，m＝α∩β，则l∥αC．若α∥β，l与α所成的角和m与β所成的角相等，则l∥mD．若l∥m，α∥β，l⊥α，则m⊥β解析：对于A，l可能在平面α内也可能在平面α外，错误；对于B，l可能在平面α内，错误；对于C，l，m可能平行、相交、异面，错误；对于D，因为l∥m，l⊥α，所以m⊥α，又α∥β，所以m⊥β，正确．答案：D2．(2016·北京海淀期中)设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：l，m，n均为直线，m，n在平面α内，l⊥α⇒l⊥m且l⊥n.反之，由l⊥m且l⊥n不一定能推出l⊥α，当m∥n时，l也可能平行于α.故“l⊥α”是“l ⊥m且l⊥n”的充分不必要条件．故选A.答案：A3．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是()A．①③B．②③C．①④D．②④解析：对于图形①：平面MNP与AB所在的对角面平行，即可得到AB∥平面MNP，对于图形④：AB∥PN，AB⊄平面MNP，即可得到AB∥平面MNP，图形②、③都不可以，故选C.答案：C4．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为()A.12 B ．1C.32 D ．2 解析：设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF .由已知可以得A 1B 1＝2，设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h .又2×2＝h 22＋(2)2，所以h ＝233，DE ＝33.在Rt △DB 1E 中，B 1E ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝66.由面积相等得DB 1·B 1F ＝DF ·B 1E ，即66×x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝22x ，得x ＝12. 答案：A5．如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在( )A ．直线AB 上 B ．直线BC 上C ．直线AC 上D ．△ABC 内部解析：由BC 1⊥AC ，BA ⊥AC ，得AC ⊥平面ABC 1，因此平面ABC ⊥平面ABC 1，因此C 1在底面ABC 上的射影H 在直线AB 上．答案：A二、填空题6．三棱锥S －ABC 中，∠SBA ＝∠SCA ＝90°，△ABC 是斜边AB ＝a 的等腰直角三角形，给出以下结论：①异面直线SB 与AC 所成的角为90°；②直线SB ⊥平面ABC ；③平面SBC⊥平面SAC ；④点C 到平面SAB 的距离是12a .其中正确结论的序号是__________．解析：由题意知AC ⊥平面SBC ，又SB ⊂平面SBC ，故AC ⊥SB ，又SB ⊥AB ，∴SB ⊥平面ABC ，平面SBC ⊥平面SAC ，①②③正确；取AB 的中点E ，连接CE (如图)，可证得CE ⊥平面SAB ，故CE 的长度即为C 到平面SAB 的距离，为①平行于同一平面的两条直线平行；②垂直于同一平面的两条直线平行；那么它和这个平面内的任何直线都平行；一条直线和一个平面垂直，那么它和这个平面内的任何直线都垂直．上的射影，给出下列结论：⊥BC；④AE⊥平面__________．所在的平面，AB是⊙O的直径，∴，∴CB⊥AF.又的中点．求证：B三点共线，∵P，，OP⊄平面D1BQ，∴(2)∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥P A.∵QB⊂平面D1BQ，P A ⊄平面D1BQ，∴P A∥平面D1BQ.又PO∥平面D1BQ，P A∩PO＝P，P A⊂平面P AO，PO⊂平面P AO，∴平面D1BQ∥平面P AO.10．(2015·四川高考)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需要说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并说明你的结论；(3)证明：直线DF⊥平面BEG.解：(1)点F，G，H的位置如图所示．(2)平面BEG ∥平面ACH .证明如下：因为ABCD －EFGH 为正方体，所以BC∥FG ，BC ＝FG .又FG ∥EH ，FG ＝EH ，所以BC ∥EH ，BC ＝EH .于是BCHE 为平行四边形，所以BE ∥CH .又CH ⊂平面ACH ，BE ⊄平面ACH ，所以BE ∥平面ACH .同理BG ∥平面ACH .又BE ∩BG ＝B ，所以平面BEG ∥平面ACH .(3)连接FH ，BD ，因为ABCD －EFGH 为正方体，所以DH ⊥平面EFGH ，因为EG ⊂平面EFGH ，所以DH ⊥EG ，又EG ⊥FH ，DH ∩FH ＝H ，所以EG ⊥平面EFHD .又DF ⊂平面BFHD ，所以DF ⊥EG .同理DF ⊥BG .又EG ∩BG ＝G ，所以DF ⊥平面BEG .11．(2016·浙江瑞安联考)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AD ⊥平面A 1BC ，其垂足D 落在直线A 1B 上．(1)求证：BC ⊥A 1B ；(2)若AD ＝3，AB ＝BC ＝2，P 为AC 的中点，求二面角P －A 1B －C 的平面角的余弦值．解：(1)∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，∴A 1A ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，∴A 1A ⊥BC .∵AD ⊥平面A 1BC ，且BC ⊂平面A 1BC ，∴AD ⊥BC .又AA 1⊂平面A 1AB ，AD ⊂平面A 1AB ，A 1A ∩AD ＝A ，∴BC ⊥平面A 1AB .又A 1B ⊂平面A 1AB ，∴BC ⊥A 1B .(2)由(1)知BC ⊥平面A 1AB ，AB ⊂平面A 1AB ，从而BC ⊥AB ，如图，以B 为原点建立空间直角坐标系B －xyz .∵AD ⊥平面A 1BC ，其垂足D 落在直线A 1B 上，∴AD ⊥A 1B .在Rt △ABD 中，AD ＝3，AB ＝2，sin ∠ABD ＝AD AB ＝32，∠ABD ＝60°.在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ⊥AB .在Rt △ABA 1中，AA 1＝AB ·tan60°＝23，则B (0,0,0)，A (0,2,0)，C (2,0,0)，P (1,1,0)，A 1(0,2，23)，＝(1,1,0)，＝(0,2，23)，＝(2,0,0)．。

高中数学必修二检测题第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1.1平面Word版含答案

第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 平面基础巩固1.用符号表示“点A在直线l上,l在平面α外”,正确的表示是( B )(A)A∈l,l?α(B)A∈l,l?α(C)A?l,l?α(D)A?l,l?α解析:点A在直线l上,应表示为A∈l,而直线l与平面α的关系应用l?α.故选B.2.若点A在直线b上,b在平面β内,则A,b,β之间的关系可以记作( B )(A)A∈b,b∈β(B)A∈b,b?β(C)A?b,b?β(D)A?b,b∈β解析:点与直线是属于关系,直线与平面是包含关系,故选B.3.(2015唐山市高二(上)期中)下列图形中不一定是平面图形的是( D )(A)三角形(B)平行四边形(C)梯形 (D)四边相等的四边形解析:利用公理2可知:三角形、平行四边形、梯形一定是平面图形,而四边相等的四边形不一定是平面图形,故选D.4.(2015蚌埠高二(上)期中)经过空间任意三点作平面( D )(A)只有一个 (B)可作二个(C)可作无数多个(D)只有一个或有无数多个解析:当三点在一条直线上时,过这三点的平面能作无数个;当三点不在同一条直线上时,过这三点的平面有且只有一个,故选D.5.在三棱锥A BCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点,如果EF∩HG=P,则点P( B )(A)一定在直线BD上(B)一定在直线AC上(C)在直线AC或BD上(D)不在直线AC上,也不在直线BD上解析:如图所示,因为EF?平面ABC,HG?平面ACD,EF∩HG=P,所以P∈平面ABC,P∈平面ACD.又因为平面ABC∩平面ACD=AC,所以P∈AC,故选B.6.把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上.(1)A?α,a?α.(2)α∩β=a,P?α且P?β.(3)a?α,a∩α=A .(4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O .解析:考查识图能力及“图形语言与符号语言”相互转化能力,要注意点线面的表示.习惯上常用大写字母表示点,小写字母表示线,希腊字母表示平面.答案:(1)C (2)D (3)A (4)B7.给出以下命题:①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内;②三条两两相交的直线在同一平面内;③有三个不同公共点的两个平面重合;④两两平行的三条直线确定三个平面.其中正确命题的个数是.解析:空间中和一条直线都相交的两条直线不一定在同一平面内,故①错;若三条直线相交于一点时,不一定在同一平面内,如长方体一角的三条线,故②错;若两平面相交时,也可有三个不同的公共点,故③错;若三条直线两两平行且在同一平面内,则只有一个平面,故④错.答案:08.求证:两两相交且不共点的三条直线在同一平面内.已知:如图所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.求证:直线l1,l2,l3在同一平面内.证明:法一因为l1∩l2=A,所以l1和l2确定一个平面α.因为l2∩l3=B,所以B∈l2.又因为l2?α,所以B∈α.同理可证C∈α.又因为B∈l3,C∈l3,所以l3?α.所以直线l1、l2、l3在同一平面内.法二因为l1∩l2=A,所以l1、l2确定一个平面α.因为l2∩l3=B,所以l2、l3确定一个平面β.因为A∈l2,l2?α,所以A∈α.因为A∈l2,l2?β,所以A∈β.同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.所以不共线的三个点A、B、C既在平面α内,又在平面β内. 所以平面α和β重合,即直线l1、l2、l3在同一平面内.能力提升9.空间不共线的四点,可以确定平面的个数是( C )(A)0 (B)1 (C)1或4 (D)无法确定解析:当四点在同一平面内时可确定一个,四点不共面时可确定4个,故选C.10.(2015蚌埠一中高二(上)期中)下列叙述中错误的是( B )(A)若P∈(α∩β)且α∩β=l,则P∈l(B)三点A,B,C确定一个平面(C)若直线a∩b=A,则直线a与b能够确定一个平面(D)若A∈l,B∈l且A∈α,B∈α,则l?α解析:选项A,点P是两平面的公共点,当然在交线上,故正确;选项B,只有不共线的三点才能确定一个平面,故错误;选项C,由公理的推论可知,两相交直线确定一个平面,故正确;选项D,由公理1,直线上有两点在一个平面内,则整条直线都在平面内.故选B.11.(2015德阳市中江县龙台中学高二(上)期中)如图,正方体ABCD A1B1C1D1中,若E、F、G分别为棱BC、C1C、B1C1的中点,O1、O2分别为四边形ADD1A1、A1B1C1D1的中心,则下列各组中的四个点在同一个平面上的是.①A、C、O1、D1;②D、E、G、F;③A、E、F、D1;④G、E、O1、O2.解析:正方体ABCD A1B1C1D1中,若E、F、G分别为棱BC、C1C、B1C1的中点,O1、O2分别为四边形ADD1A1、A1B1C1D1的中心,①所以O1是AD1的中点,所以O1是在平面ACD1;②因为E、G、F在平面BCC1B1内,D不在平面BCC1B1内,所以D、E、G、F 不共面;③由已知可得EF∥AD1,所以A、E、F、D1共面;④连接GO2,交A1D1于H,则H为A1D1的中点,连接HO1,则HO1∥GE,所以G、E、O1、O2四点共面.答案:①③④12.如图所示,平面ABD∩平面CBD=BD,E,F,G,H分别在AB,BC,CD,DA上,求证:EH与FG的交点P与B,D三点共线.证明:因为直线EH∩直线FG=P,所以P∈直线EH,而EH?平面ABD,所以P∈平面ABD.同理P∈平面CBD,即点P是平面ABD与平面CBD的公共点.显然,点B,D是平面ABD和平面CBD的公共点.由公理3知,点B,D,P都在平面ABD和平面CBD的交线上,即点B,D,P共线.探究创新13.在正方体AC1中,E、F分别为D1C1、B1C1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q,如图(1)求证:D、B、E、F四点共面;(2)作出直线A1C与平面BDEF的交点R的位置.(1)证明:由于CC1和BF在同一个平面内且不平行,故必相交.设交点为O,则OC1=C1C.同理直线DE与CC1也相交,设交点为O′,则O′C1=C1C,故O′与O重合.由此可证得DE∩BF=O,故D、B、F、E四点共面(设为α).(2)解:由于AA1∥CC1,所以A1、A、C、C1四点共面(设为β).P∈BD,而BD?α,故P∈α.又P∈AC,而AC?β,所以P∈β,所以P∈(α∩β).同理可证得Q∈(α∩β),从而有α∩β=PQ.又因为A1C?β,所以A1C与平面α的交点就是A1C与PQ的交点.连接A1C,则A1C与PQ的交点R就是所求的交点.。

【高考数学】2018最新版本高三数学二轮专题复习：4.2点、直线与平面的位置关系(专题拔高特训-通用版)

核心整合
知识方法整合 1．点、线、面的位置关系 (1)平面的基本性质名称图形文字语言如果一条直线上的两点在一公理 1 个平面内，那么这条直线在此平面内 A ∈l B ∈l ⇒l⊂α A∈α B∈α 符号语言
名称
图形
文字语言过不在一条直线
符号语言若 A、 B、 C 三点不共线，则 A、B、C 在同一平面 α 内且 α 是唯一的．
[答案] A
[解析]
由空间几何中的公理可知，仅有 A 不是公理，其
余皆为公理．
已知直线 l⊥平面 α，直线 m⊂平面 β，给出下面有四个命题： ①α∥β⇒l⊥m； ③l∥m⇒α⊥β；则其中正确的命题为( A．①② C．①②③
[答案] D
②α⊥β⇒l∥m； ④l⊥m⇒m 与 α 不相交． ) B．①③ D．①③④
a⊂α， b⊂α， a∩b ＝P，a∥β，b∥β ⇒α∥β
定理名称
文字语言如果两个平行
图形语言
符号语言
面面平行平面同时和第的性质定三个平面相理交，那么它们的交线平行
α∥β 且 γ∩α ＝a 且 γ∩β ＝b⇒a∥b
定理名称
文字语言一条直线和一
图形语言
符号语言
线面垂直的判定定理
定理名称
文字语言一条直线与一个平面平行，
图形语言
符号语言
线面平行则过这条直线的性质定的任何一个平理面与此平面的交线与该直线平行
a∥α， a⊂β， α∩β ＝b，⇒a∥b
定理名称
文字语言如果一个平面
图形语言
符号语言
面面平行的判定定理
内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行

【优质文档】必修二第二章点、直线、平面之间的位置关系全章练习题(含答案)

第二章点、直线、平面之间的位置关系
§2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 平面
一、基础过关
1．下列命题： ①书桌面是平面；
②有一个平面的长是 50m，宽是 20m；
③平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．
其中正确命题的个数为
()
A．1 个
B．2 个
C． 3 个
D．0 个
2．下列图形中，不一定是平面图形的是 A ．三角形
B．菱形
()
C ．梯形
D ．四边相等的四边形
3．空间中，可以确定一个平面的条件是
()
A ．两条直线
B ．一点和一条直线
C ．一个三角形
D ．三个点
4．已知平面 α与平面 β、 γ都相交，则这三个平面可能的交线有
()
A ． 1 条或 2 条
B． 2 条或 3 条
即点 S 在交线上，由于 AB>CD ，则分别延长 AC 和 BD 交于点 E，如图所示． ∵E∈ AC， AC? 平面 SAC， ∴E∈ 平面 SAC. 同理，可证 E∈ 平面 SBD. ∴ 点 E 在平面 SBD 和平面 SAC 的交线上，连接 SE，直线 SE 是平面 SBD 和平面 SAC 的交线． 8．证明 ∵ l 1? β， l2? β， l1D ∥ l 2， ∴ l 1、 l 2 交于一点，记交点为 P. ∵ P∈ l 1? α， P∈ l2? γ， ∴P∈ α∩ γ＝ l3， ∴ l 1， l 2， l3 交于一点． 9． C 10.C 11．③ 12．证明因为 AB∥ CD，所以 AB，CD 确定平面 AC，AD∩ α＝ H，因为 H ∈ 平面 AC，H ∈α，由公理 3 可知， H 必在平面 AC 与平面 α的交线上．同理 F、G、E 都在平面 AC 与平面 α 的交线上，因此 E， F ， G， H 必在同一直线上． 13．证明 (1)∵ C1、 O、 M ∈平面 BDC1，又 C1、 O、 M ∈ 平面 A1ACC1，由公理 3 知，点 C1、 O、 M 在平面 BDC 1 与平面 A1ACC1 的交线上， ∴ C1、 O、 M 三点共线． (2) ∵ E， F 分别是 AB， A1A 的中点， ∴ EF∥ A1B.∵ A1B∥CD 1， ∴ EF∥ CD 1. ∴ E、 C、 D1、 F 四点共面．

2021年高考数学二轮复习点、直线、平面之间的位置关系专题训练(含解析)

2021年高考数学二轮复习点、直线、平面之间的位置关系专题训练（含解析）一、选择题1．在下列命题中，不是公理的是( )A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线解析立体几何中的公理有四个，B，C，D都是，第四个为空间平行线的传递性，而A是面面平行的性质定理，由公理推证出来的，故选A.答案A2．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面解析对于A，直线l1与l3可能异面；对于C，当直线l1、l2、l3构成三棱柱三条侧棱所在直线时不共面；对于D，直线l1、l2、l3相交于同一个点时不一定共面，所以选B.答案 B3．设a，b为两条直线，α，β为两个平面，且a⊄α，a⊄β，则下列结论中不成立的是( ) A．若b⊂β，a∥b，则a∥βB．若a⊥β，α⊥β，则a∥αC．若a⊥b，b⊥α，则a∥αD．若α⊥β，a⊥β，b∥a，则b∥α解析对于选项A，若有b⊂β，a∥b，且已知a⊄β，所以根据线面平行的判定定理，可得a∥β.故选项A正确；对于选项B，若a⊥β，α⊥β，则根据空间线、面的位置关系，可知a⊂α或a∥α，而由已知a⊄α，所以a∥α.故选项B正确；对于选项C，若a⊥b，b⊥α，所以a⊂α或a∥α.而由已知a⊄α，所以a∥α.故选项C正确；对于选项D，由a⊥β，b∥a，可得b⊥β.又α⊥β，所以b⊂α或b∥α.故不能得到b∥α.所以选项D错误．答案 D4．(xx·四川绵阳二模)已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是不同的平面，则α⊥β的一个充分条件是( )A．l⊂α，m⊂β，且l⊥mB．l⊂α，m⊂β，n⊂β，且l⊥m，l⊥nC．m⊂α，n⊂β，m∥n，且l⊥mD．l⊂α，l∥m，且m⊥β解析对A，l⊂α，m⊂β，且l⊥m，如图(1)，α，β不垂直；对B，l⊂α，m⊂β，n⊂β，且l⊥m，l⊥n，如图(2)，α，β不垂直；对C，m⊂α，n⊂β，m∥n，且l⊥m，直线l没有确定，则α，β的关系不能确定；对D，l ⊂α，l∥m，且m⊥β，则必有l⊥β，根据面面垂直的判定定理知α⊥β.答案 D5．(xx·山东济南二模)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α⊥β，m∥α，则m⊥β；②若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；③若m⊥β，m∥α，则α⊥β；④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β.其中正确命题的序号是( )A．①④B．②③C．②④D．①③解析当α⊥β，m∥α时，有m⊥β，m∥β，m⊂β等多种可能情况，所以①不正确；当m ⊥α，n⊥β，且m⊥n时，由面面垂直的判定定理知α⊥β，所以②正确；因为m⊥β，m∥α，所以α⊥β，③正确；若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β或α，β相交，④不正确．故选B.答案 B 6.如图所示，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A －BCD ，则在三棱锥A －BCD 中，下列命题正确的是( )A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ADC ⊥平面ABC解析由题意知，在四边形ABCD 中，CD ⊥BD .在三棱锥A －BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，两平面的交线为BD ，所以CD ⊥平面ABD ，因此有AB ⊥CD .又因为AB ⊥AD ，AD ∩DC ＝D ，所以AB ⊥平面ADC ，于是得到平面ADC ⊥平面ABC . 答案 D 二、填空题7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为A 1B 1，BB 1的中点，则异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为________．解析如图所示，取AB 的中点E ，连接B 1E ，则AM ∥B 1E ，取EB 的中点F ，连接FN ，则B 1E ∥FN ，因此AM ∥FN ，则直线FN 与CN 所夹的锐角或直角为异面直线AM 与CN 所成的角．设AB ＝1，连接CF ，在△CFN 中，CN ＝52，FN ＝54，CF ＝174. 由余弦定理得cos ∠CNF ＝CN 2＋FN 2－CF 22CN ·FN ＝25.答案258．(xx·吉林二模)下列命题中正确的是________．(填上你认为正确的所有命题的序号) ①空间中三个平面α，β，γ，若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ；②若a ，b ，c 为三条两两异面的直线，则存在无数条直线与a ，b ，c 都相交； ③球O 与棱长为a 的正四面体各面都相切，则该球的表面积为π6a 2；④三棱锥P －ABC 中，PA ⊥BC ，PB ⊥AC ，则PC ⊥AB .解析 ①中也可以α与γ相交；②作平面与a ，b ，c 都相交；③中可得球的半径为r ＝612a ；④中由PA ⊥BC ，PB ⊥AC 得点P 在底面△ABC 的射影为△ABC 的垂心，故PC ⊥AB .答案 ②③④ 9.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上．点P 到直线CC 1的距离的最小值为________．解析点P 到直线CC 1的距离等于点P 在面ABCD 上的射影到点C 的距离，点P 在面ABCD 内的射影落在线段DE 上，设为P ′，问题等价求为P ′C 的最小值，当P ′C ⊥DE 时，P ′C 的长度最小，此时P ′C ＝2×122＋1＝255 答案255三、解答题10．如图所示，在多面体ABC －A 1B 1C 1中，四边形ABB 1A 1是正方形，AC ＝AB ＝1，A 1C ＝A 1B ，B 1C 1∥BC ，B 1C 1＝12BC .(1)求证：平面A 1AC ⊥平面ABC ； (2)求证：AB 1∥平面A 1C 1C .证明 (1)∵四边形ABB 1A 1为正方形，∴A 1A ＝AB ＝AC ＝1，A 1A ⊥AB .∴A 1B ＝ 2.∵A 1C ＝A 1B ，∴A 1C ＝ 2. ∴∠A 1AC ＝90°，∴A 1A ⊥AC . ∵AB ∩AC ＝A ，∴A 1A ⊥平面ABC . 又∵A 1A ⊂平面A 1AC ， ∴平面A 1AC ⊥平面ABC ，(2)取BC 的中点E ，连接AE ，C 1E ，B 1E . ∵B 1C 1∥BC .B 1C 1＝12BC ，∴B 1C 1∥EC ，B 1C 1＝EC .∴四边形CEB 1C 1为平行四边形．∴B 1E ∥C 1C . ∵C 1C ⊂平面A 1C 1C ，B 1E ⊄平面A 1C 1C ，∴B 1E ∥平面A 1C 1C . ∵B 1C 1∥BC ，B 1C 1＝12BC ，∴B 1C 1∥BE ，B 1C 1＝BE .∴四边形BB 1C 1E 为平行四边形． ∴B 1B ∥C 1E ，且B 1B ＝C 1E . 又∵四边形ABB 1A 1是正方形， ∴A 1A ∥C 1E ，且A 1A ＝C 1E .∴四边形AEC 1A 1为平行四边形，∴AE ∥A 1C 1. ∵A 1C 1⊂平面A 1C 1C ，AE ⊄平面A 1C 1C ， ∴AE ∥平面A 1C 1C .∵AE ∩B 1E ＝E ，∴平面B 1AE ∥平面A 1C 1C . ∵AB 1⊂平面B 1AE ，∴AB 1∥平面A 1C 1C .11．如图所示，在三棱锥S －ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB .过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：(1)平面EFG ∥平面ABC ； (2)BC ⊥SA .解 (1)因为AS ＝AB ，AF ⊥SB ，垂足为F ，所以F 是SB 的中点．又因为E 是SA 的中点，所以EF ∥AB .因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC . 同理EG ∥平面ABC .又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB.因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.B级——能力提高组1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱C1D1，C1C的中点．以下四个结论：①直线AM与直线CC1相交；②直线AM与直线BN平行；③直线AM与直线DD1异面；④直线BN与直线MB1异面．其中正确结论的序号为________(注：把你认为正确的结论序号都填上)．解析由图可知AM与CC1是异面直线；AM与BN也是异面直线；AM与DD1是异面直线；BN与MB1也是异面直线，故①②错误，③④正确．答案③④2．(xx·浙江温州二模)如图，在矩形ABCD中，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，正确的命题是________．①|BM |是定值； ②点M 在圆上运动；③一定存在某个位置，使DE ⊥A 1C ； ④一定存在某个位置，使MB ∥平面A 1DE . 解析取DC 中点N ，连接MN ，NB ， ∵MN ∥A 1D ，NB ∥DE ， ∴面MNB ∥面A 1DE . ∵MB ⊂面MNB ，∴MB ∥面A 1DE ，④正确．∠A 1DE ＝∠MNB ，MN ＝12A 1D ＝定值，NB ＝DE ＝定值，根据余弦定理得到：MB 2＝MN 2＋NB 2－2MN ·NB ·cos∠MNB ，∴MB 是定值．①正确．B 是定点，∴M 在以B 为圆心，MB 为半径的圆上，②正确．∴①②④正确．答案 ①②④3．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为CD 的中点，F 为AE 的中点．现在沿AE 将三角形ADE 向上折起，在折起的图形中解答下列问题：(1)在线段AB 上是否存在一点K ，使BC ∥平面DFK ？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由．(2)若平面ADE ⊥平面ABCE ，求证：平面BDE ⊥平面ADE . 解 (1)线段AB 上存在一点K ，且当AK ＝14AB 时，BC ∥平面DFK ，证明如下：设H为AB的中点，连接EH，则BC∥EH，又因为AK＝14AB，F为AE的中点，所以KF∥EH，所以KF∥BC，因为KF⊂平面DFK，BC⊄平面DFK，所以BC∥平面DFK.(2)因为F为AE的中点，DA＝DE＝1，所以DF⊥AE.因为平面ADE⊥平面ABCE，所以DF⊥平面ABCE，因为BE⊂平面ABCE，所以DF⊥BE.又因为在折起前的图形中E为CD的中点，AB＝2，BC＝1，所以在折起后的图形中：AE＝BE＝2，从而AE2＋BE2＝4＝AB2，所以AE⊥BE，因为AE∩DF＝F，所以BE⊥平面ADE，因为BE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ADE.39703 9B17 鬗s27563 6BAB 殫|37386 920A 鈊4 25331 62F3 拳: 38279 9587 閇31751 7C07 簇27201 6A41 橁26755 6883 梃F。

2022年高考数学二轮考点复习专题四解析几何第2课时圆锥曲线中的定点、定值问题

圆锥曲线中的定值问题【典例 2】(16 分)(2021·新高考Ⅰ卷)在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F1(－ 17 ， 0)，F2( 17 ，0)，点 M 满足|MF1|－|MF2|＝2，记 M 的轨迹为 C. (1)求 C 的方程； (2)设点 T 在直线 x＝21 上，过 T 的两条直线分别交 C 于 A，B 两点和 P，Q 两点，且 |TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线 AB 的斜率与直线 PQ 的斜率之和．
＝（n2＋1k212）－（116＋k21 ），……10 分
设 PQ：y－n＝k2x－12 ，同理|TP|·|TQ|＝（n2＋1k222）－（116＋k22 ），
因为|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，
所以k112＋－k1216
＝k122＋－k2216
，1＋k21
17 －16
＝1＋k22
17 －16
所以 Δ＝(4kt)2－8(2k2＋1)(t2－2)＝8[2(2k2＋1)－t2]＞0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则 x1＋x2＝－2k42＋kt 1
2（t2－2），x1x2＝ 2k2＋1
，
所以 y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2t＝2k22＋t 1 .
因为四边形 OAPB 是平行四边形，所以O→P ＝O→A ＋O→B ＝(x1＋x2，y1＋y2)＝(－2k42k＋t 1 ，2k22＋t 1 )，则 P(－2k42k＋t 1 ，
第2课时圆锥曲线中的定点、定值问题
圆锥曲线中的定点问题【典例 1】(2021·滨州一模)已知点 A(0，－1)，B(0，1)，动点 P 满足|P→B ||A→B |＝P→A ·B→A . 记点 P 的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程； (2)设 D 为直线 y＝－2 上的动点，过 D 作 C 的两条切线，切点分别是 E，F.证明：直线 EF 过定点．

高考数学二轮复习第一部分专题篇专题四立体几何第二讲空间点、线、面位置关系的判断课时作业

2017届高考数学二轮复习第一部分专题篇专题四立体几何第二讲空间点、线、面位置关系的判断课时作业理1．(2016·正定摸底)已知直线a与平面α，β，α∥β，a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中( )A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一一条与a平行的直线解析：设直线a和点B所确定的平面为γ，则α∩γ＝a，记β∩γ＝b，∵α∥β，∴a ∥b，故存在唯一一条直线b与a平行．答案：D2．设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题：①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；②若m∥l，且m∥α，则l∥α；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，则l∥m∥n；④若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且n∥β，则l∥m.其中正确命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：易知①正确；②错误，l与α的具体关系不能确定；③错误，以墙角为例即可说明；④正确，可以以三棱柱为例证明，故选B.答案：B3．如图所示，O为正方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是( )A．A1D B．AA1C．A1D1D．A1C1解析：由题意知，A1C1⊥平面DD1B1B，又OB1⊂面DD1B1B，所以A1C1⊥OB1，故选D.答案：D4．(2016·某某模拟)设m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，给出下列命题：①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若m⊥α，n⊥α，则m∥n.上述命题中，所有真命题的序号是( )A．①④B．②③C．①③D．②④解析：由线面垂直的性质定理知①④正确；平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，故②错；平行于同一平面的两条直线可能平行，也可能相交或异面，故③错．选A. 答案：A5.如图，在三棱锥PABC中，不能证明AP⊥BC的条件是( )A．AP⊥PB，AP⊥PCB．AP⊥PB，BC⊥PBC．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PCD．AP⊥平面PBC解析：A中，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC，故A正确；C中，因为平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC，AP⊂平面APC，所以AP⊥BC，故C正确；D中，由A知D正确；B中条件不能判断出AP⊥BC，故选B.答案：B6．如图，L，M，N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系是( ) A．垂直B．相交不垂直C ．平行D ．重合解析：如图，分别取另三条棱的中点A ，B ，C 将平面LMN 延展为平面正六边形AMBNCL ，因为PQ ∥AL ，PR ∥AM ，且PQ 与PR 相交，AL与AM 相交，所以平面PQR ∥平面AMBNCL ，即平面LMN ∥平面PQR .答案：C7．一个面截空间四边形的四边得到四个交点，如果该空间四边形的两条对角线与这个截面平行，那么此四个交点围成的四边形是________．解析：如图，由题意得AC ∥平面EFGH ，BD ∥平面EFGH .∵AC ⊂平面ABC ，平面ABC ∩平面EFGH ＝EF ，∴AC ∥EF ，同理AC ∥GH ，所以EF ∥GH .同理，EH ∥FG ，所以四边形EFGH 为平行四边形．答案：平行四边形8．(2016·某某模拟)如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，P 为棱DC 的中点，则D 1P 与BC 1所在直线所成角的余弦值等于________．解析：连接AD 1，AP (图略)，则∠AD 1P 就是所求角，设AB ＝2，则AP ＝D 1P ＝5，AD 1＝22，∴cos ∠AD 1P ＝12AD 1D 1P ＝105. 答案：1059.如图，在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，P 是侧面BCC 1B 1内一点，若A 1P ∥平面AEF ，则线段A 1P 长度的取值X 围是________．解析：取B 1C 1中点M ，则A 1M ∥AE ；取BB 1中点N ，则MN ∥EF (图略)，∴平面A 1MN ∥平面AEF .若A 1P ∥平面AEF ，只需P ∈MN ，则P 位于MN 中点时，A 1P 最短；当P 位于M 或N 时，A 1P 最长．不难求得A 1P 的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤324，52. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤324，52 10.(2016·某某模拟)如图，在四面体ABCD 中，平面BAD ⊥平面CAD ，∠BAD ＝90°.M ，N ，Q 分别为棱AD ，BD ，AC 的中点．(1)求证：CD ∥平面MNQ ；(2)求证：平面MNQ ⊥平面CAD .证明：(1)因为M ，Q 分别为棱AD ，AC 的中点，所以MQ ∥CD ，又CD ⊄平面MNQ ，MQ ⊂平面MNQ ，故CD ∥平面MNQ .(2)因为M ，N 分别为棱AD ，BD 的中点，所以MN ∥AB ，又∠BAD ＝90°，故MN ⊥AD .因为平面BAD ⊥平面CAD ，平面BAD ∩平面CAD ＝AD ，且MN ⊂平面ABD ，所以MN ⊥平面CAD ，又MN ⊂平面MNQ ，所以平面MNQ ⊥平面CAD .11．(2016·某某五校联考)如图，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PA ＝PD ，∠BAD ＝60°，E 是AD 的中点，点Q 在侧棱PC 上．(1)求证：AD ⊥平面PBE ；(2)若Q 是PC 的中点，求证：PA ∥平面BDQ ；(3)若V P BCDE ＝2V Q ABCD ，试求CP CQ的值．解析：(1)证明：由E 是AD 的中点，PA ＝PD 可得AD ⊥PE .又底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，所以AB ＝BD ，又因为E 是AD 的中点，所以AD ⊥BE ，又PE ∩BE ＝E ，所以AD ⊥平面PBE .(2)证明：连接AC (图略)，交BD 于点O ，连接OQ .因为O 是AC 的中点， Q 是PC 的中点，所以OQ ∥PA ，又PA ⊄平面BDQ ，OQ ⊂平面BDQ ，(3)设四棱锥P BCDE ，Q ABCD 的高分别为h 1，h 2.所以V P BCDE ＝13S 四边形BCDE h 1， V Q ABCD ＝13S 四边形ABCD h 2.又因为V P BCDE ＝2V Q ABCD ，且S 四边形BCDE ＝34S 四边形ABCD ，所以CP CQ ＝h 1h 2＝83. 12．(2016·某某模拟)一个正方体的平面展开图及该正方体直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC 的中点为M ，GH 的中点为N .(1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)证明：直线MN ∥平面BDH ；(3)过点M ，N ，H 的平面将正方体分割为两部分，求这两部分的体积比．解析：(1)点F ，G ，H 的位置如图所示．(2)证明：连接BD ，设O 为BD 的中点，连接OM ，OH ，AC ，BH ，MN .∵M ，N 分别是BC ，GH 的中点，∴OM ∥CD ，且OM ＝12CD ，NH ∥CD ，且NH ＝12CD ， ∴OM ∥NH ，OM ＝NH ，则四边形MNHO 是平行四边形，∴MN ∥OH ，又∵MN ⊄平面BDH ，OH ⊂平面BDH ，(3)由(2)知，OM∥NH，OM＝NH，连接GM，MH，过点M，N，H的平面就是平面GMH，它将正方体分割为两个同高的棱柱，高都是GH，底面分别是四边形BMGF和三角形MGC，体积比等于底面积之比，即3∶1.。

高考数学(文)新课标大二轮专题复习与测试课件专题4 第2课时点、直线、平面之间的位置关系

D，M为线段BD的
1 ∴AM＝2BD＝ 2，AM⊥BD， ∵AE＝MC＝ 2， 1 ∴AE＝MC＝2BD＝ 2， ∴BC⊥CD，BD⊥CM. ∵AE⊥平面ABD，MC∥AE，∴MC⊥平面ABD， ∴MC⊥AM，∴AM⊥平面CBD.
又MC∥AE，AE＝MC＝， ∴四边形AMCE为平行四边形，∴EC∥AM，
(2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模
型中观察线面位置关系，结合有关定理，肯定或否定某些选项，并作出选择．
1 ． (2013· 河北教学质量监测 ) 已知 α ， β 是两个不同的平
面，给出下列四个条件：①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；②
存在一个平面 γ ， γ⊥α ， γ⊥β ；③存在两条平行直线 a ， b ， a⊂α，b⊂β， a∥β ，b∥α；④存在两条异面直线 a，b ， a⊂α ， b⊂β，a∥β，b∥α.可以推出α∥β的是( A．①③ ) B．②④
此类问题通常是把平面图形折叠成空间几何平面图形的体，并以此为载体考查线线、线面、面面的折叠问题位置关系及有关计算.
明析线、面平行、垂直判定的六种方法 a∥b α∥β ⇒a∥α， b⊂α⇒a∥α， a⊂β a ⊄α
(1)线面平行
α⊥β a⊥β⇒a∥α. a⊄α
∴EF∥平面ABC1D1. (2)由题意易得AB⊥B1C，B1C⊥BC1. 又AB，BC1⊂平面ABC1D1，AB∩BC1＝B， ∴B1C⊥平面ABC1D1.
又BD1⊂平面ABC1D1，∴B1C⊥BD1.
而EF∥BD1，∴EF⊥B1C.
面面平行与垂直
(2013· 合肥市质量检测)如图，在几何体ABCDE 中，AB＝AD＝2，AB⊥AD，AE⊥平面ABD，M为线段BD 的中点，MC∥AE，且AE＝MC＝ 2. (1)求证：平面BCD⊥平面CDE； (2)若N为线段DE的中点，求证：平面AMN∥平面BEC.

新高考二轮数学理科金版学案专题复习同步练习5.2点、直线、平面之间的位置关系(含答案解析)

第一部分知识复习专题专题五立体几何第二讲点、直线、平面之间的地点关系题号123456答案一、选择题1．l1，l2是两条异面直线，直线m1，m2与l1，l2都订交，则m1，m2的地点关系是()A．异面或平行B．订交C．异面D．订交或异面分析：若m1，m2过直线l1或l2上的同一个点，则m1，m2订交；若m1，m2与直线l1，l2有四个不一样交点，则答案：Dm1，m2异面．2．(2013安·徽卷)在以下命题中，不是公义的是()A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上全部的点都在此平面内D．假如两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线答案：A3.(2014辽·宁卷)已知m，n表示两条不一样直线，A．若m∥α，n∥α，则m∥n α表示平面，以下说法正确的选项是()B．若m⊥α，nα，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α分析：若m∥α，n∥α，则m∥n或m，n订交或m，n异面，故A错；若m⊥α，nα，由直线和平面垂直的定义知，m⊥n，故B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或nα，故C错；若m∥α，m⊥n，则n与α地点关系不确立，故D错．答案：B4.(2013新·课标Ⅱ卷)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β直.线l知足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，则()A．α∥β，且l∥αB．α⊥β，且l⊥βC．α与β订交，且交线垂直于lD．α与β订交，且交线平行于l分析：联合给出的已知条件，画出切合条件的图形，而后判断得出．依据所给的已知条件作图，以下图．由图可知α与β订交，且交线平行于l.应选D.答案：D5．如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ACD，PA＝2AB，则以下结论正确的选项是()A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°分析：解法一由三垂线定理，因AD与AB不相互垂直，清除A；作AG⊥PB于G，因平面PAB⊥平面ABCDEF，而AG在平面ABCDEF上的射影在AB上，而AB与BC不相互垂直，故清除B；由BC∥EF，而EF是平面PAE的斜线，故清除 C.应选 D.解法二设底面正六边形边长为a，则AD＝2a，PA＝2AB＝2a，由PA⊥平面ABC可知PA⊥AD，又PA＝AD，因此直线PD与平面ABC所成的角为∠PDA＝45°.应选D.答案：D 6．以下图是某个正方体的侧面睁开图，l1，l2是两条侧面对角线，则在正方体中，l1与l2()A．相互平行B．异面且相互垂直πC．异面且夹角为3D．订交且夹角为π3答案：D二、填空题7．设α和β为不重合的两个平面，给出以下命题：①若α内的两条订交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；③设α和β订交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；④直线l与α垂直的充分必需条件是l与α内的两条直线垂直．上边命题中，真命题的序号是__________．分析：考察立体几何中的直线、平面的垂直与平行判断的有关定理．答案：①②8.如图，边长为a的正三角形ABC中线AF与中位线DE订交于G，已知△A′ED是△AED 绕DE旋转过程中的一个图形，现给出以下命题，此中正确的命题有________(填序号)．①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上②三棱锥A′－FED的体积有最大值③恒有平面A′GF⊥平面BCED④异面直线A′E与BD不行能相互垂直分析：由题意知AF⊥DE，∴A′G⊥DE，FG⊥DE，∴DE⊥平面A′FG，DE平面ABC，∴平面A′FG⊥平面ABC，交线为AF，∴①③均正确．当A′G⊥平面ABC时，A′到平面ABC的距离最大．故三棱锥A′－FED的体积有最大值．故②正确．22当A′F＝2EF时，EF⊥A′E，即BD⊥A′E，故④不正确．答案：①②③三、解答题9．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的地点，使A1F⊥CD，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上能否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明原因．答案：(1)证明：∵D，E分别为AC，AB的中点，∴DE∥BC.又∵DE平面A1CB，∴DE∥平面A1CB.(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，∴DE⊥AC.∴DE⊥A1D，DE⊥CD.∴DE⊥平面A1DC.而A1F平面A1DC，∴DE⊥A1F.又∵A1F⊥CD，∴A1F⊥平面BCDE.∴A1F⊥BE.(3)分析：线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ，原因以下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又∵DE∥BC，∴DE∥PQ.∴平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，∴DE⊥A1C.又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，∴A1C⊥DP.∴A1C⊥平面DEP.进而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.10．(2014·建卷福)在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，以下图．(1)求证：AB⊥CD；(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．剖析：第(1)问依据面面垂直、线面垂直的性质，证明线线垂直；第(2)问利用第(1)问的结论，成立空间直角坐标系，写出点与向量的坐标，再用向量法求线面角的正弦值．(1)证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD.又CD平面BCD，∴AB⊥CD.(2)分析：过点B在平面BCD内作BE⊥BD，如图.由(1)知AB⊥平面BCD，BE平面BCD，BD平面BCD，∴AB⊥BE，AB⊥BD.→→→以B为坐标原点，分别以BE，BD，BA的方向为x轴，y轴，z轴的正方向成立空间直角坐标系．11→依题意，得B(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A(0，0，1)，M0，，，则BC＝22→11→(1，1，0)，BM＝0，，，AD＝(0，1，－1)．22设平面MBC的法向量n＝(x0，y0，z0)，→x0＋y0＝0，n·BC＝0，则即11→n·BM＝0，2y0＋2z0＝0，取z0＝1，得平面MBC的一个法向量n＝(1，－1，1)．→→|n·AD|6设直线AD与平面MBC所成角为θ，则sinθ＝|cos(n，AD)|＝→＝3，|n||AD·|6即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为3.。

2021届高考数学(理)二轮总复习学案：层级二专题四第二讲点、直线、平面之间的位置关系

第二讲点、直线、平面之间的位置关系1．(一题多解)(2019·全国卷Ⅲ)如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则( )A ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线解析：选B 解法一：取CD 的中点O ，连接EO ，ON .由△ECD 是正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，知EO ⊥平面ABCD .∴EO ⊥CD ，EO ⊥ON .又N 为正方形ABCD 的中心，∴ON ⊥CD .以O 为原点，OD→为x 轴正方向，ON →为y 轴正方向，OE →为z 轴正方向，建立空间直角坐标系O －xyz ，如图①所示．不妨设AD ＝2，则E (0,0，3)，N (0,1,0)，D (1,0,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，32，B (－1,2,0)， ∴|EN →|＝ 12＋(－3)2＝2，|BM →|＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋4＋34＝7， ∴EN ≠BM .连接BD ，BE ，∵点N 是正方形ABCD 的中心，∴点N 在BD 上，且BN ＝DN ，∴BM ，EN 是△DBE 的中线，∴BM ，EN 必相交．故选B ．图① 图②解法二：如图②，取CD 的中点F ，DF 的中点G ，连接EF ，FN ，MG ，GB . ∵△ECD 是正三角形，∴EF ⊥CD .∵平面ECD ⊥平面ABCD ，平面ECD ∩平面ABCD ＝CD .∴EF ⊥平面ABCD . ∵FN ⊂平面ABCD ，∴EF ⊥FN .不妨设AB ＝2，则FN ＝1，EF ＝3，∴EN ＝FN 2＋EF 2＝2.∵EM ＝MD ，DG ＝GF ，∴MG ∥EF 且MG ＝12EF ，∴MG ⊥平面ABCD ，∴MG ⊥BG .∵MG ＝12EF ＝32， BG ＝CG 2＋BC 2＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝52， ∴BM ＝MG 2＋BG 2＝7，∴BM ≠EN .连接BD ，BE ，∵点N 是正方形ABCD 的中心，∴点N 在BD 上，且BN ＝DN ，∴BM ，EN 是△DBE 的中线，∴BM ，EN 必相交．故选B ．2．(一题多解)(2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )A ．15B ．56C ．55D ．22解析：选C 解法一：如图(1)，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的一侧补上一个相同的长方体A ′B ′BA －A 1′B 1′B 1A 1.连接B 1B ′，由长方体性质可知，B 1B ′∥AD 1，所以∠DB 1B ′(或其补角)为异面直线AD 1与DB 1所成的角．连接DB ′，由题意，得DB ′＝12＋(1＋1)2＝5，B ′B 1＝12＋(3)2＝2，DB 1＝12＋12＋(3)2＝ 5.图(1) 在△DB ′B 1中，由余弦定理，得DB ′2＝B ′B 21＋DB 21－2B ′B 1·DB 1·cos ∠DB 1B ′，即5＝4＋5－2×25cos ∠DB 1B ′，∴cos ∠DB 1B ′＝55.故选C ．解法二：如图(2)，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．图(2)由题意，得A (1,0,0)，D (0,0,0)，D 1(0,0，3)，B 1(1,1，3)，∴AD 1→＝(－1,0，3)，DB 1→＝(1,1，3)， ∴AD 1→·DB 1→＝－1×1＋0×1＋(3)2＝2，|AD 1→|＝2，|DB 1→|＝5， ∴cos 〈AD 1→，DB 1→〉＝AD 1→·DB 1→|AD 1→|·|DB 1→|＝225＝55.故选C ． 3．(一题多解)(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( )A ．32B ．155C ．105D ．33解析：选C 解法一：如图所示，将直三棱柱ABC －A 1B 1C 1补成直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，连接AD 1，B 1D 1，则AD 1∥BC 1，所以∠B 1AD 1或其补角为异面直线AB 1与BC 1所成的角．因为∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，所以AB 1＝5，AD 1＝ 2.在△B 1D 1C 1中，∠B 1C 1D 1＝60°，B 1C 1＝1，D 1C 1＝2，所以B 1D 1＝12＋22－2×1×2×cos 60°＝3，所以cos ∠B 1AD 1＝5＋2－32×5×2＝105，故选C ．解法二：如图，设M ，N ，P 分别为AB ，BB 1，B 1C 1的中点，连接MN ，NP ，MP ，则MN ∥AB 1，NP ∥BC 1，所以∠PNM 或其补角为异面直线AB 1与BC 1所成的角．易知MN ＝12AB 1＝52，NP ＝12BC 1＝22.取BC 的中点Q ，连接PQ ，MQ ，可知△PQM 为直角三角形，PQ ＝1，MQ ＝12AC .在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ＝4＋1－2×2×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝7，所以AC ＝7，MQ ＝72.在△MQP 中，MP ＝MQ 2＋PQ 2＝112，则在△PMN 中，cos ∠PNM ＝MN 2＋NP 2－MP 22·MN ·NP ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222－⎝ ⎛⎭⎪⎫11222×52×22＝－105，所以异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为105.4．(2016·全国卷Ⅰ)平面α过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为( )A ．32B ．22C ．33D ．13解析：选A 因为过点A 的平面α与平面CB 1D 1平行，平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，所以m ∥B 1D 1∥BD ，又A 1B ∥平面CB 1D 1，所以n ∥A 1B ，则BD 与A 1B所成的角为所求角，由题知，△BDA 1为正三角形，所以m ，n 所成角的正弦值为32.故选A ．5．(2016·全国卷Ⅱ)α，β是两个平面，m、n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)解析：对于命题①，可运用长方体举反例证明其错误：如图，不妨设AA′为直线m，CD为直线n，ABCD所在的平面为α，ABC′D′所在的平面为β，显然这些直线和平面满足题目条件，但α⊥β不成立；命题②正确，证明如下：设过直线n的某平面与平面α相交于直线l，则l∥n，由m⊥α知m⊥l，从而m⊥n，结论正确；由平面与平面平行的定义知命题③正确；由平行的传递性及线面角的定义知命题④正确．答案：②③④6．(2019·全国卷Ⅰ)已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P 到∠ACB两边AC，BC的距离均为3，那么P到平面ABC的距离为________．解析：如图，过点P作PO⊥平面ABC于O，则PO为P到平面ABC的距离．再过O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接PC，PE，PF，则PE⊥AC，PF ⊥BC.又PE＝PF＝3，所以OE＝OF，所以CO为∠ACB的平分线，即∠ACO＝45°.在Rt△PEC中，PC＝2，PE＝3，所以CE＝1，所以OE＝1，所以PO＝PE2－OE2＝(3)2－12＝ 2.答案： 2明考情1．高考对此部分的命题较为稳定，一般为“一小一大”或“一大”，即一道选择或填空题和一道解答题或一道解答题．2．选择题一般在第10～11题的位置，填空题一般在第14题的位置，多考查线面位置关系的判断，难度较小．3．解答题多出现在第18或第19题的第一问的位置，考查空间中平行或垂直关系的证明，难度中等.考点一空间点、线、面位置关系的判断|析典例|【例】(1)(2019·东莞市一模)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A．α⊥β，α∩β＝m，m⊥n⇒n⊥βB．α⊥β，α∩β＝n，m⊂α，m∥β⇒m∥nC．m⊥n，m⊂α，n⊂β⇒α⊥βD．m∥α，n⊂α，⇒m∥n(2)(2019·南京模拟)已知m，n是不重合的直线，α，β是不重合的平面，有下列命题：①若α∩β＝n，m∥α，m∥β，则m∥n；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m∥α，m⊥n，则n⊥α；④若m⊥α，m⊥n，则n∥α.其中所有真命题的序号是________．[解析](1)由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，得：在A中，α⊥β，α∩β＝m，m⊥n，则n与β相交、平行或n⊂β，故A错误；在B中，α⊥β，α∩β＝n，m⊂α，m∥β，则由线面平行的性质定理得m∥n，故B正确；在C中，m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，m∥α，n⊂α，则m与n平行或异面，故D错误．故选B．(2)由m，n是不重合的直线，α，β是不重合的平面，知：在①中，若α∩β＝n，m∥α，m∥β，则由直线与平面平行的性质定理得m∥n，故①正确；在②中，若m⊥α，m⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故②正确；在③中，若m∥α，m⊥n，则n与α相交、平行或n⊂α，故③错误；在④中，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故④错误．其中所有真命题的序号为①②.[答案](1)B(2)①②| 规律方法|判断与空间位置关系有关命题真假的方法(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断．(2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定．(3)借助反证法，当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断．|练题点|1．(2019·安徽宣城第二次调研)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题，其中错误的命题是()A．若m∥α，m∥β，α∩β＝n，则m∥nB．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥nC．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝m，则m⊥αD．若α∥β，m∥α，则m∥β解析：选D若m∥α，m∥β，α∩β＝n，则由线面平行的性质可得m∥n，故A正确；若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则由线面垂直的性质可得m⊥n，故B正确；若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝m，则由面面垂直的性质可得m⊥α，故C正确；若α∥β，m∥α，则m∥β或m⊂β，故D不正确．2．(2019·内蒙古包头一模)已知直线a，b，平面α，且满足a⊥α，b∥α，有下列四个命题：①对任意直线c⊂α，有c⊥a；②存在直线c⊄α，使c⊥b且c⊥a；③对满足a⊂β的任意平面β，有β∥α；④存在平面β⊥α，使b⊥β.其中正确的命题有________．(填序号)解析：因为a⊥α，所以a垂直于α内任一直线，所以①正确；由b∥α得α内存在一直线l与b平行，在α内作直线m⊥l，则m⊥b，m⊥a，再将m平移得到直线c，使c⊄α即可，所以②正确；由面面垂直的判定定理可得③不正确；若b ⊥β，则由b∥α得α内存在一条直线l与b平行，必有l⊥β，即有α⊥β，而满足b ⊥β的平面β有无数个，所以④正确．答案：①②④考点二空间平行、垂直关系的证明|析典例|【例】(2019·济南模拟)如图，四边形ABCD是菱形，四边形MADN是矩形，平面MADN⊥平面ABCD，E，F分别为MA，DC的中点．求证：(1)EF∥平面MNCB；(2)平面MAC⊥平面BND.[思路分析]第(1)问：求什么，如何想要证EF∥平面MNCB，想着证明EF平行于平面MNCB内一条线给什么，如何用已知F是DC的中点，可取NC的中点G，证明MEFG是平行四边形求什么，如何想要证平面MAC⊥平面BND，想着利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直给什么，如何用已知MADN是矩形，可证AC⊥ND，AC⊥BD，问题得证因为F，G分别为DC，NC的中点，所以GF∥ND且GF＝12ND，又ME∥ND且ME＝12ND，所以GF与ME平行且相等，所以四边形MEFG是平行四边形，所以EF∥MG.又MG⊂平面MNCB，EF⊄平面MNCB，注意线面平行的判定条件的完整性所以EF∥平面MNCB.(2)因为四边形MADN是矩形，所以ND⊥AD.因为平面MADN⊥平面ABCD，平面ABCD∩平面MADN＝AD，DN⊂平面MADN，线面垂直的判定条件所以ND⊥平面ABCD，所以ND⊥AC.因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.因为BD∩ND＝D，所以AC⊥平面BND.又AC⊂平面MAC，所以平面MAC⊥平面BND.[题后悟道]平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定定理、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化．|练题点|1．(2019·汕头质量监测)如图，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝AF＝CD＝2，AB＝4.(1)求证：AF∥平面BCE；(2)求证：AC⊥平面BCE；(3)求三棱锥E－BCF的体积．解：(1)证明：因为四边形ABEF为矩形，所以AF∥BE.又BE⊂平面BCE，AF⊄平面BCE，所以AF∥平面BCE.(2)证明：过C作CM⊥AB，垂足为M，因为AD⊥DC，AD＝DC，所以四边形ADCM为正方形．所以AM＝MB＝2.又AD＝2，AB＝4，所以AC＝22，CM＝2，BC＝22，所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE，所以BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC.又BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BE∩BC＝B，所以AC⊥平面BCE.(3)因为AF⊥平面ABCD，所以AF⊥CM.又CM⊥AB，AF⊂平面ABEF，AB⊂平面ABEF，AF∩AB＝A，所以CM⊥平面ABEF.故V E－BCF ＝V C－BEF＝13×12×BE×EF×CM＝16×2×4×2＝83.2．(2019·江门模拟)如图，已知△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DBCE为平行四边形，EC⊥平面ABC，AB＝2AC＝2，tan ∠DAB＝3 2.(1)设F是CD的中点，证明：OF∥平面ADE；(2)求点B到平面ADE的距离．解：(1)证明：连接BE，因为DBCE为平行四边形，F是CD的中点，所以BE∩CD ＝F，且F是BE的中点．在△ABE中，因为O是AB的中点，所以OF∥AE.因为AE⊂平面ADE，OF⊄平面ADE，所以OF∥平面ADE.(2)因为EC⊥平面ABC，四边形DBCE为平行四边形，从而BD⊥平面ABC，所以BD⊥AB.因为tan ∠DAB＝BDAB＝32，所以BD＝3，因为EC⊥平面ABC，AC⊥CE，所以CA，CB，CE两两相交且互相垂直，所以AC⊥平面BDE，BC⊥平面ACE，从而DE⊥平面ACE，在三棱锥B－ADE中，S△BDE ＝32，S△ADE＝3，设点B到平面ADE的距离为h，由V B－ADE ＝V A－BDE得13×S△ADE×h＝13×S△BDE×AC，解得h＝32.考点三平面图形折叠与探索性问题|析典例|【例】如图1，在等腰梯形CDEF中，DE＝CD＝2，EF＝2＋2，将它沿着两条高DA，CB折叠成如图2所示的四棱锥E－ABCD(E，F重合)．(1)求证：BE⊥DE；(2)设点M为线段AB的中点，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE.[解](1)证明：∵AD⊥EF，∴AD⊥AE，AD⊥AB，又∵AB∩AE＝A，∴AD⊥平面ABE，∴AD⊥BE.由图1和题中所给条件知，AE＝BE＝1，AB＝CD＝2，∴AE2＋BE2＝AB2，即AE⊥BE.又∵AE∩AD＝A，∴BE⊥平面ADE，∴BE⊥DE.(2)取EC的中点G，BE的中点P，连接PM，PG，MG，则MP∥AE，GP∥CB∥DA，又MP⊄平面DAE，GP⊄平面DAE，∴MP∥平面DAE，GP∥平面DAE.∵MP∩GP＝P，∴平面MPG∥平面DAE.∵MG⊂平面MPG，∴MG∥平面DAE，即存在点N与G重合满足条件.| 规律方法|1．求解平面图形折叠问题的关键和方法(1)关键：分清翻折前后哪些位置关系和数量关系改变，哪些不变，抓住翻折前后不变的量，充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口．(2)方法：把平面图形翻折后，经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥等几何体，从而把问题转化到我们熟悉的几何体中解决.2.求解探索性问题的类型及策略问题类型求解策略对命题条(1)先猜后证，即先观察，尝试给出条件再证明；件的探索(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性；(3)将几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件对命题结论的探索(1)探索结论是什么，常从条件出发，探索出要求的结论是什么；(2)探索结论是否存在，常先假设结论存在，再在这个假设下进行推理论证，寻找与条件相符或矛盾的结论，相符则存在，矛盾则不存在|练题点|(2019·泰安模拟)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E为AD的中点，F 为B1C1的中点．(1)求证：A1F∥平面ECC1；(2)在CD上是否存在一点G，使BG⊥平面ECC1？若存在，请确定点G的位置，并证明你的结论，若不存在，请说明理由．解：(1)证明：如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，取BC的中点M，连接AM，FM，所以B1F∥BM且B1F＝BM，所以四边形B1FMB是平行四边形，所以FM∥B1B且FM＝B1B.因为B1B∥A1A且B1B＝A1A，所以FM∥A1A且FM＝A1A，所以四边形AA1FM是平行四边形，所以A1F∥AM.因为E为AD的中点，所以AE∥MC且AE＝MC，所以四边形AMCE是平行四边形，所以CE∥AM，所以CE∥A1F.因为A1F⊄平面ECC1，EC⊂平面ECC1，所以A1F∥平面ECC1.(2)在CD上存在一点G，使BG⊥平面ECC1.证明如下：取CD的中点G，连接BG.在正方形ABCD中，DE＝CG，CD＝BC，∠ADC＝∠DCB，所以△CDE≌△BCG，所以∠ECD＝∠GBC.因为∠CGB＋∠GBC＝90°，所以∠CGB＋∠ECD＝90°，所以BG⊥EC.因为CC1⊥平面ABCD，BG⊂平面ABCD，所以CC1⊥BG.又EC∩CC1＝C，所以BG⊥平面ECC1.故当G为CD的中点时，满足BG⊥平面ECC1.。

2020年高考数学二轮复习：09 点、直线、平面之间的位置关系

不与平面㜹㤮平行
D. 直线㐠
【答案】 C
【考点】直线与平面平行的判定
9.如图，已知正方体㐠㜹㤮㐠㜹㤮的棱长为 1， th 分别是棱
，㐠㜹上的动点，若 h
，
则线段 h 的中点的轨迹是（）
A. 一条线段
B. 一段圆弧
C. 一个球面区域
D. 两条平行线段
，㐠
，
由（1）知㐠㤮㐠，㐠㤮的面积为 × ×
，
设点到平面㐠㤮的距离为，则 △㐠㤮
，即
.
【考点】直线与平面垂直的判定，点、线、面间的距离计算
° ,平面㤮
4/9
（1）证明：㐠㤮平面㐠；
（2）若
㤮，求点到平面㐠㤮的距离.
【答案】（1）解：由题意知 ∠㐠㜹㤮 ∠ 㤮㜹 ° ，㐠㜹㤮 ,且㐠㜹㜹㤮㤮㤮，
所以四边形㐠㜹㤮是正方形，连接㜹，所以㐠㤮㜹，
又因为㐠㜹
，㐠㜹
，所以四边形㐠㜹是平行四边形，
的中点，那么异面直线㜹与㐠㜹所成角的正切值为________.
3/9
【答案】【考点】异面直线及其所成的角 15.已知半径为 2 的球的球面上有、㐠、㜹、㤮不同的四点，㐠㜹是边长为 3 的等边三角形，且㤮平面㐠㜹⺂为球心，㤮与在平面㐠㜹的同一侧），则三棱锥㤮㐠㜹的体积为________.
2020 年高考数学二轮复习：09 点、直线、平面之间的位置关系
一、单选题（共 12 题；共 24 分）
1.已知直线平面，直线
，则（）
A.
B.
C. t 异面
D. t 相交而不垂直

2021年高考数学二轮复习点、直线、平面之间的位置关系测试题

2021年高考数学二轮复习点、直线、平面之间的位置关系测试题【解析】构造如图所示的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，取l 1为AD ，l 2为AA 1，l 3为A 1B 1，当取l 4为B 1C 1时，l 1∥l 4，当取l 4为BB 1时，l 1⊥l 4，故排除A 、B 、C ，选D.【答案】 D2．(预测题)设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“α⊥β”是“a ⊥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】利用面面垂直的性质定理及空间直线的位置关系，判定充分必要条件．当α⊥β时，由于α∩β＝m ，b ⊂β，b ⊥m ，由面面垂直的性质定理知，b ⊥α.又∵a ⊂α，∴b ⊥a .∴“α⊥β”是“a ⊥b ”的充分条件．而当a ⊂α且a ∥m 时，∵b ⊥m ，∴b ⊥a .而此时平面α与平面β不一定垂直，∴“α⊥β”不是“a ⊥b ”的必要条件，故选A.【答案】 A3．(xx·江西高考)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD ，正方体的六个面所在的平面与直线CE ，EF 相交的平面个数分别记为m ，n ，那么m ＋n ＝( )A ．8B ．9C ．10D ．11【解析】取CD 的中点H ，连接EH ，HF .在四面体CDEF 中，CD ⊥EH ，CD ⊥FH ，所以CD ⊥平面EFH ，所以AB ⊥平面EFH ，所以正方体的左、右两个侧面与EF 平行，其余4个平面与EF 相交，即n ＝4.又因为CE 与AB 在同一平面内，所以CE 与正方体下底面共面，与上底面平行，与其余四个面相交，即m ＝4，所以m ＋n ＝4＋4＝8.【答案】 A4．(xx·云南第一次检测)在三棱锥SABC 中，△ABC 是边长为6的正三角形，SA ＝SB ＝SC ＝15，平面DEFH 分别与AB 、BC 、SC 、SA 交于D 、E 、F 、H 、D 、E 分别是AB 、BC 的中点，如果直线SB ∥平面DEFH ，那么四边形DEFH 的面积为( )A.452B.4532C ．45D ．45 3 【解析】取AC 的中点G ，连接SG ，BG .易知SG ⊥AC ，BG ⊥AC ，故AC ⊥平面SGB ，所以AC ⊥SB .因为SB ∥平面DEFH ，SB ⊂平面SAB ，平面SAB ∩平面DEFH ＝HD ，则SB ∥HD .同理SB∥FE .又D 、E 分别为AB 、BC 的中点，则H 、F 也为AS 、SC 的中点，从而得HF 綊12AC 綊DE ，所以四边形DEFH 为平行四边形．又AC ⊥SB ，SB ∥HD ，DE ∥AC ，所以DE ⊥HD ，所以四边形DEFH为矩形，其面积S ＝HF ·HD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12SB ＝452.【答案】 A5．(创新题)已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC ＝2，将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中( )A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直【解析】找出图形在翻折过程中变化的量与不变的量．对于选项A ，过点A 作AE ⊥BD ，垂足为E ，过点C 作CF ⊥BD ，垂足为F ，在图(1)中，由边AB ，BC 不相等可知点E ，F 不重合．在图(2)中，连接CE ，若直线AC 与直线BD 垂直，又∵AC ∩AE ＝A ，∴BD ⊥面ACE ，∴BD ⊥CE ，与点E ，F 不重合相矛盾，故A 错误．对于选项B ，若AB ⊥CD ，又∵AB ⊥AD ，AD ∩CD ＝D ，∴AB ⊥面ADC ，∴AB ⊥AC ，由AB ＜BC 可知存在这样的等腰直角三角形，使得直线AB 与直线CD 垂直，故B 正确．对于选项C ，若AD ⊥BC ，又∵DC ⊥BC ，AD ∩DC ＝D ，∴BC ⊥面ADC ，∴BC ⊥AC .已知BC ＝2，AB ＝1，BC ＞AB ，∴不存在这样的直角三角形．∴C 错误．由上可知D 错误，故选B. 【答案】 B 二、填空题6．(xx·浙江金华模拟)在图中，G ，H ，M ，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)【解析】图①中，直线GH ∥MN ；图②中，G ，H ，N 三点共面，但M ∉面GHN ，因此直线GH 与MN 异面；图③中，连线MG ，则GM ∥HN ，因此GH 与MN 共面；图④中，G ，M ，N 共面，但H ∉面GMN ， ∴GH 与MN 异面．∴图②、④中GH 与MN 异面．【答案】 ②④7．(原创题)已知正方形ABCD 的边长是1，对角线AC 与BD 交于O ，将正方形ABCD 沿对角线BD 折成60°的二面角，并给出下面结论：①AC ⊥BD ；②AD ⊥CO ；③△AOC 为正三角形；④cos ∠ADC ＝34，则其中的真命题的序号是________．【解析】由于BD ⊥AO ，BD ⊥CO ，所以BD ⊥平面AOC ，于是AC ⊥BD ，所以①正确；因为折成60°的二面角，所以∠AOC ＝60°，又OA ＝OC ，因此△AOC 为正三角形，故③正确；cos∠ADC ＝1＋1－2222＝34，故④也正确．故选①③④.【答案】 ①③④8．(xx·安徽合肥二模)设m 、n 是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面，给出下列四个命题：① 若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ； ②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ； ③若m ∥α，m ∥β，则α∥β； ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中正确命题的序号是________．【解析】 ①②正确；③中，若m ∥α，m ∥β，则α与β还有可能相交，故③不正确；④中，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β还有可能相交，故④不正确．【答案】 ①② 三、解答题9．四面体ABCD 及其三视图如图所示，平行于棱AD ，BC 的平面分别交四面体的棱AB ，BD ，DC ，CA 于点E ，F ，G ，H .(1)求四面体ABCD 的体积； (2)证明：四边形EFGH 是矩形．(1)【解】由该四面体的三视图可知，BD ⊥DC ，BD ⊥AD ，AD ⊥DC ，BD ＝CD ＝2，AD ＝1，∴AD ⊥平面BDC ，∴四面体体积V ＝13×12×2×2×1＝23.(2)【证明】 ∵BC ∥平面EFGH ，平面EFGH ∩平面BDC ＝FG ，平面EFGH ∩平面ABC ＝EH ，∴BC ∥FG ，BC ∥EH ，∴FG ∥EH . 同理EF ∥AD ，HG ∥AD ，∴EF ∥HG ， ∴四边形EFGH 是平行四边形．又∵AD ⊥平面BDC ，∴AD ⊥BC ，∴EF ⊥FG ， ∴四边形EFGH 是矩形．10．(xx·深圳调研考试)如图(1)，⊙O 的直径AB ＝2，圆上两点C ，D 在直径AB 的两侧，且∠CAB ＝π4，∠DAB ＝π3.沿直径AB 折起，使两个半圆所在的平面互相垂直(如图(2))，F 为BC 的中点，E 为AO 的中点．根据图(2)解答下列各题：(1)求三棱锥CBOD 的体积； (2)求证：CB ⊥DE ；(3)在BD 上是否存在一点G ，使得FG ∥平面ACD ？若存在，试确定点 G 的位置；若不存在，请说明理由．【解】 (1)∵C 为圆周上一点，且AB 为直径，∴∠ACB ＝π2，∵∠CAB ＝π4，∴AC ＝BC .∵O 为AB 的中点，∴CO ⊥AB . ∵AB ＝2，∴CO ＝1.∵两个半圆所在平面ACB 与平面ADB 互相垂直且其交线为AB ， ∴CO ⊥平面ABD ，∴CO ⊥平面BOD . ∴CO 就是点C 到平面BOD 的距离．S △BOD ＝12S △ABD ＝12×12×1×3＝34，∴V CBOD ＝13S △BOD ·CO ＝13×34×1＝312.(2)证明：在△AOD 中，∠OAD ＝π3，OA ＝OD ，∴△AOD 为正三角形．又∵E 为OA 的中点，∴DE ⊥AO ，∵两个半圆所在平面ACB 与平面ADB 互相垂直且其交线为AB ， ∴DE ⊥平面ABC . ∴CB ⊥DE .(3)存在满足题意的点G ，G 为BD 的中点．证明如下：连接OG ，OF ，FG ，易知OG ⊥BD ，∵AB 为⊙O 的直径， ∴AD ⊥BD ，∴OG ∥AD ，∵OG ⊄平面ACD ，AD ⊂平面ACD ， ∴OG ∥平面ACD .在△ABC 中，O ，F 分别为AB ，BC 的中点， ∴OF ∥AC ，∵OF ⊄平面ACD ，AC ⊂平面ACD ， ∴OF ∥平面ACD ，∵OG ∩OF ＝O ， ∴平面OFG ∥平面ACD ，又FG ⊂平面OFG ，∴FG ∥平面ACD .第13讲(理) 空间向量与立体几何27098 69DA 槚27714 6C42 求(37006908E 邎 32009 7D09 紉35666 8B52 譒28075 6DAB 涫 30754 7822 砢20123 4E9B 些40046 9C6E 鱮29946 74FA 瓺29500 733C 猼。

高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系 2.2.4 平面与平面平行的性质练习(含解析)新人教

高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.2.4 平面与平面平行的性质练习（含解析）新人教A版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.2.4 平面与平面平行的性质练习（含解析）新人教A版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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平面与平面平行的性质班级: 姓名:_____________1。

在空间中,下列命题错误的是( ）A.一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个相交B.一个平面与两个平行平面相交，交线平行C.平行于同一平面的两个平面平行D.平行于同一直线的两个平面平行【解析】选D。

与两相交平面交线平行的直线，可平行两平面，即平行于同一直线的两个平面可相交，因此D错误.C为定理，正确;A，B显然成立。

2。

如图所示，在三棱台A1B1C1—ABC中，点D在A1B1上，且AA1∥BD,点M是△A1B1C1内的一个动点,且有平面BDM∥平面A1C，则动点M的轨迹是( )A。

平面 B.直线C.线段，但只含1个端点D。

圆【解析】选C。

因为平面BDM∥平面A1C，平面BDM∩平面A1B1C1=DM，平面A1C∩平面A1B1C1=A1C1，所以DM∥A1C1，过D作DE1∥A1C1交B1C1于点E1，则点M的轨迹是线段DE1(不包括D点)。

3。

α，β，γ为三个不重合的平面,a，b,c为三条不同的直线,则有下列说法，不正确的是( )①⇒a∥b；②⇒a∥b；③⇒α∥β; ④⇒α∥β；⑤⇒α∥a；⑥⇒a∥α；A。

高三数学二轮专题复习课后强化作业 4-2点、直线与平面的位置关系含详解

基本素能训练一、选择题1．（2013·德阳市二诊)设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，若已知m⊥n，m⊥α，则“n⊥β”是“α⊥β"的( ）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案］A错误!⇒α⊥β.错误!⇒/ n⊥β.2．(文）（2012·福建质检)设α、β、γ是三个互不重合的平面，m、n为两条不同的直线．给出下列命题：①若n∥m，m⊂α，则n∥α；②若α∥β,n⊄β,n∥α,则n∥β；③若β⊥α，γ⊥α，则β∥γ；④若n∥m，n⊥α，m⊥β，则α∥β.其中真命题是( )A．①和②B．①和③C．②和④D．③和④［答案] C［解析］若n∥m，m⊂α，则n∥α或n⊂α,即命题①不正确,排除A、B；若α∥β，n⊄β，n∥α，则n∥β，则命题②正确，排除D，故应选C.（理)（2012·河南洛阳统考）已知α、β是两个不同的平面，m、n是两条不重合的直线，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，α∩β＝n，则m∥nB．若m⊥α，m⊥n，则n∥αC．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥nD．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n,则m⊥β［答案］C[解析］对于选项A，m,n有可能平行也有可能异面；对于选项B，n有可能在平面α内，所以n与平面α不一定平行;对于选项D，m与β的位置关系可能是m⊂β，m∥β，也可能m与β相交．由n⊥β，α⊥β得，n∥α或n⊂α，又m⊥α，∴m⊥n，故C正确．3．（2012·浙江理，10）已知矩形ABCD，AB＝1,BC＝错误!。

将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（）A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”,“AB与CD”，“AD 与BC"均不垂直[答案］B[解析］①过A、C作BD的垂线AE、CF,∵AB与BC不相等,∴E与F不重合，在空间图(2）中，若AC⊥BD，∵AC∩AE＝A，∴BD⊥平面ACE，∴BD⊥CE，这样在平面BCD内，过点C有两条直线CE，CF都与BD垂直矛盾，∴A错；②若AB⊥CD，∵AB ⊥AD，∴AB⊥平面ACD，∴AB⊥AC，∵AB〈BC,∴存在这样的三角形ABC，AB⊥AC，AB＝AC，∴B选项正确，∴选项D错；③若AD⊥BC,又CD⊥BC，∴BC⊥平面ACD，∴BC⊥AC，∵BC〉AB，这样的△ABC不存在，∴C错误．4．(文）（2012·大纲全国文，8）已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1，AB＝2,CC1＝22，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为（)A．2 B。

2013年高考数学理科新课标版二轮复习专题突破课时作业4.2点、直线、平面之间的位置关系

课时作业13 点、直线、平面之间的位置关系(时间：45分钟满分：60分)一、选择题1．对于平面α和异面直线m ，n ，下列命题中真命题是( ) A ．存在平面α，使m ⊥α，n ⊥α B ．存在平面α，使m ⊂α，n ⊂α C ．存在平面α，满足m ⊥α，n ∥α D ．存在平面α，满足m ∥α，n ∥α解析：对于A ，若m ⊥α，n ⊥α，则有m ∥n ，这与直线m ，n 是异面直线相矛盾，因此A 不正确；对于B ，若m ⊂α，n ⊂α，则直线m ，n 是共面直线，这与直线m ，n 是异面直线相矛盾，因此B 不正确；对于C ，若存在平面α，使得m ⊥α，n ∥α，则有m ⊥n ，而异面直线m ，n 可能不垂直，因此C 不正确；对于D ，过直线m ，n 外一点，分别作直线m ，n 的平行线m 1，n 1，则由直线m 1，n 1所确定的平面α与直线m ，n 都平行，因此D 正确．综上所述，选D.答案：D2．设m ，n 是平面α内的两条不同直线，l 1，l 2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是( )A ．m ∥β且l 1∥αB ．m ∥l 1且n ∥l 2C ．m ∥β且n ∥βD ．m ∥β且n ∥l 2解析：若m ∥l 1，n ∥l 2，m ，n ⊂α，l 1，l 2⊂β，则可得α∥β.反之则不一定成立．答案：B3．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，下面三个命题： ①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ；③l ∥m ⇒α⊥β. 则真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：直线l ⊥平面α，当α∥β时，l ⊥β，又因为m ⊂平面β，l ⊥m ，①正确；当α⊥β时，l 与m 的位置关系无法判断，②错误；当l ∥m 时，根据l ⊥平面α，得m ⊥平面α，又因为m ⊂平面β，根据面面垂直判定定理，α⊥β，③正确．故真命题有2个．答案：C4．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝AA 1＝1，则AB 与平面A 1BC 1所成角的正弦值为( )图1A.223 B ．2 2 C.24 D.13解析：直线AB 与平面A 1BC 1所成角等于直线A 1B 1与平面A 1BC 1所成角，连接B 1C ，与BC 1相交于点O ，连接A 1O .则容易证明BC 1⊥平面A 1B 1O ，所以平面A 1BC 1⊥平面A 1B 1O ，所以直线A 1B 1与平面A 1BC 1所成角为∠B 1A 1O ，故sin ∠B 1A 1O ＝B 1O A 1O ＝22322＝13.故选D.图2答案：D 5．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AB ，CC 1的中点，在平面ADD 1A 1内且与平面D 1EF 平行的直线( )图3A ．不存在B ．有1条C ．有2条D ．有无数条解析：由题设知平面ADD 1A 1与平面D 1EF 有公共点D 1，由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共线l ，在平面ADD 1A 1内与l 平行的线有无数条，且它们都不在平面D 1EF 内，由线面平行的判定定理知它们都与平面D 1EF 平行，故选D.答案：D6．如图，M 是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，给出下列四个命题：图4①过M 点有且只有一条直线与直线AB ，B 1C 1都相交； ②过M 点有且只有一条直线与直线AB ，B 1C 1都垂直； ③过M 点有且只有一个平面与直线AB ，B 1C 1都相交； ④过M 点有且只有一个平面与直线AB ，B 1C 1都平行．其中真命题是( ) A ．②③④ B ．①③④ C ．①②④ D ．①②③解析：对于①，取CC 1的中点N .连接AM ，BN 并延长分别交底面A 1B 1C 1D 1于P ，Q 两点，则Q ∈B 1C 1，MQ 与AB 交于一点，因此①正确；对于②结合图形知，DD 1符合要求，且只有DD 1，故②正确；同理④正确；过点M 可有无数个平面与直线AB ，B 1C 1都相交，故③不正确，因此选C.答案：C 二、填空题7．如图5，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，MN 在平面图5BCC 1B 1内，MN ⊥BC 于M (M 点异于点B )，则MN 与平面AB 1的位置关系是________．解析：∵MN ⊥BC ，B 1B ⊥BC ， ∴MN ∥BB 1.而BB 1⊂平面AB 1， ∴MN ∥平面AB 1.答案：平行 8．(2012·湖南郡中模拟)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角的大小等于________．图6解析：连接BC 1交B 1C 于O ，连接A 1O ，易证BC 1⊥平面A 1B 1CD ，∴∠OA 1B 即为直线A 1B与平面A 1B 1CD 所成的角．图7∵OB ＝12A 1B ，∴A 1B 与平面A 1B 1CD 所成角为30°.答案：30°9．在三棱锥D —ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则下列命题中正确的有________．图8①平面ABC ⊥平面ABD ；②平面ABD ⊥平面BCD ；③平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ACD ⊥平面BDE ； ④平面ABC ⊥平面ACD ，且平面ACD ⊥平面BDE .解析：因为AB ＝CB ，且E 是AC 的中点，所以BE ⊥AC ，同理有DE ⊥AC ，于是AC ⊥平面BDE .因为AC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BDE ，又由于AC ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BDE ，故只有③正确．答案：③ 三、解答题10．一个多面体的三视图和直观图如下图所示，其中M ，N 分别是AB ，AC 的中点，G 是DF 上的一个动点，且DG ＝λDF (0<λ<1)．图9(1)求证：对任意的λ∈(0,1)，都有GN ⊥AC ；(2)当λ＝12时，求证：AG ∥平面FMC .解：(1)由三视图与直观图，知该几何体是一个三棱柱，且CD ⊥DF ，AD ⊥DF ，AD ⊥CD ，且DF ＝AD ＝DC .连接BD ，如下图所示，则AC ⊥BD ，①图10且N 为AC 与BD 的交点．由题意，知FD ⊥平面ABCD ，又G 是FD 上的一点，所以GD ⊥平面ABCD . 而AC ⊂平面ABCD ，所以GD ⊥AC .② 由①②和BD ∩GD ＝D ，知AC ⊥平面GDN .而GN ⊂平面GDN ，所以AC ⊥GN .故对任意的λ∈(0,1)，都有GN ⊥AC .(2)当λ＝12时，G 是DF 的中点，取DC 的中点S ，连接AS ，GS ，因为M 是AB 的中点，所以AS ∥MC ，GS ∥FC . 又因为AS ∩GS ＝S ，所以平面AGS ∥平面FMC .而AG⊂平面AGS，所以AG∥平面FMC.11．(2012·福建)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M为棱DD1上的一点．图11(1)求三棱锥A－MCC1的体积；(2)当A1M＋MC取得最小值时，求证：B1M⊥平面MAC.解：(1)由长方体ABCD－A1B1C1D1知，AD⊥平面CDD1C1，故点A到平面CDD1C1的距离等于AD＝1.(2)将侧面CDD1C1绕DD1逆时针转90°展开，与侧面ADD1A1共面(如图)，图12当A1，M，C′共线时，A1M＋MC取得最小值．由AD＝CD＝1，AA1＝2，得M为DD1中点．连接C1M，在△C1MC中，MC1＝2，MC＝2，CC1＝2，∴CC21＝MC21＋MC2，得∠CMC1＝90°，即CM⊥MC1.又由长方体ABCD－A1B1C1D1知，B1C1⊥平面CDD1C1，∴B1C1⊥CM.又B1C1∩C1M＝C1，∴CM⊥平面B1C1M，得CM⊥B1M.同理可证，B1M⊥AM.又AM∩MC＝M，∴B1M⊥平面MAC.12．(2012·浙江)如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，AD ⊥AB，AB＝2，AD＝2，BC＝4，AA1＝2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．图13(1)证明：①EF∥A1D1；②BA1⊥平面B1C1EF；(2)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．解：(1)证明：①因为C1B1∥A1D1，C1B1⊄平面ADD1A1，所以C1B1∥平面A1D1DA.又因为平面B1C1EF∩平面A1D1DA＝EF，所以C1B1∥EF，所以A1D1∥EF.②因为BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥B1C1.又因为B1C1⊥B1A1，所以B1C1⊥平面ABB1A1，所以B1C1⊥BA1.在矩形ABB1A1中，F是AA1的中点，tan∠A1B1F＝tan∠AA1B＝2 2，即∠A1B1F＝∠AA1B，故BA1⊥B1F.所以BA1⊥平面B1C1EF.(2)设BA1与B1F交点为H，连接C1H.图14 由(1)知BA1⊥平面B1C1EF，所以∠BC1H是BC1与面B1C1EF所成的角．在矩形AA1B1B中，AB＝2，AA1＝2，得BH＝4 6 .在直角△BHC1中，BC1＝25，BH＝46，得sin∠BC1H＝BHBC1＝30 15.所以BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值是30 15.。

高中数学必修二 8 4 2 空间点、直线、平面之间的位置关系练习(含答案)

8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB 与CD 的位置关系为( )A ．相交B ．平行C ．异面而且垂直D ．异面但不垂直【答案】D【解析】利用展开图可知，线段AB 与CD 是正方体中的相邻两个面的面对角线，仅仅异面，所成的角为600，因此选D2．若直线//a α，直线b α⊂，则直线a 与b 的位置关系是（）A ．相交B ．异面C ．异面或平行D ．平行【答案】C【解析】由题意直线a ∥α，直线b ⊂α，可得直线a ，b 一定没有公共点，故两直线的位置关系可以是异面或平行故选C.3．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是( ) A ．平行B ．相交C ．平行或相交D ．不能确定【答案】C【解析】如下图所示：由图可知，两个平面平行或相交，故选C ．4．已知平面α和直线l ，则α内至少有一条直线与l （）A ．异面B ．相交C ．平行D ．垂直【解析】若直线l ∥α，α内至少有一条直线与l 垂直，当l 与α相交时，α内至少有一条直线与l 垂直．当l ⊂α，α内至少有一条直线与l 垂直．故选D ．5．（多选题）已知A B C ，，表示不同的点，l 表示直线，αβ，表示不同的平面，则下列推理正确的是（） A ．∈A l ，A α∈，B l ∈，B l αα∈⇒⊂B ．A α∈，A β∈，B α∈，B AB βαβ∈⇒= C ．l α，A l A α∈⇒∉D ．A α∈，∈A l ,l l A αα⊄⇒⋂=【答案】ABD【解析】【分析】对于选项A:由公理1知,l α⊂,故选项A 正确;对于选项B ：因为αβ，表示不同的平面，由公理3知,平面αβ，相交,且AB αβ=,故选项B 正确;对于选项C:l α⊄分两种情况:l 与α相交或//l a .当l 与α相交时，若交点为A ，则A α∈，故选项C 错误；对于选项D ：由公理1逆推可得结论成立,故选项D 成立;故选:ABD6．（多选题）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为棱111,C D C C 的中点，则以下四个结论正确的是（）A ．直线AM 与1CC 是相交直线B ．直线AM 与BN 是平行直线C ．直线BN 与1MB 是异面直线D ．直线AM 与1DD 是异面直线【解析】直线AM 与1CC 是异面直线，直线AM 与BN 也是异面直线，故A 、B 错误直线BN 与1MB 是异面直线，直线AM 与1DD 是异面直线，故C 、D 正确.故选CD.二、填空题7．以下四个命题中, 正确命题的个数是_________.①不共面的四点中,其中任意三点不共线;②若点A ,B ,C ,D 共面,点A , B ,C ,E 共面,则点A ,B ,C ,D ,E 共面;③若直线a ,b 共面,直线a ,c 共面,则直线b ,c 共面;④依次首尾相接的四条线段必共面.【答案】1【解析】正确，可以用反证法证明，假设任意三点共线，则四个点必共面，与不共面的四点矛盾；②从条件看出两平面有三个公共点A 、B 、C ，但是若A 、B 、C 共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性，若直线a 、b 共面，直线a 、c 共面，则直线b 、c 可能异面；④不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上，空间四边形的四个定点就不共面．故答案为：1.8．如图，试用适当的符号表示下列点､直线和平面之间的关系:（1）点C 与平面β:__________；（2）点A 与平面α:__________；（3）直线AB 与平面α:__________；（4）直线CD 与平面α:__________；（5）平面α与平面β:__________；【答案】C β∉ A α AB B α⋂= CD α⊂ BD αβ⋂=【解析】（1）点C 不在平面β内，所以C β∉；（2）点A 不在平面α内，所以A α；（3）直线AB 与平面α相交于点B ，所以AB B α⋂=；（4）直线CD 在平面α内，所以CD α⊂；（5）平面α与平面β相交，且交线为BD ，所以BD αβ⋂=.9．如图是表示一个正方体表面的一种平面展开图，图中的四条线段AB 、CD 、EF 和GH 在原正方体中相互异面的有__________对.【答案】3【解析】画出展开图复原的几何体，所以C 与G 重合，F ，B 重合，所以：四条线段AB 、CD 、EF 和GH 在原正方体中相互异面的有：AB 与GH ，AB 与CD ，GH 与EF ，共有3对．故答案为3．10．(1)平面1AB 平面11AC =_______;(2)平面11AC CA ⋂平面AC =________.【答案】11A B AC【解析】由图可知，（1）平面1AB 平面11AC =11A B ，（2）平面11AC CA ⋂平面AC = AC故答案为：（1）11A B ；（2）AC三、解答题11．按下列叙述画出图形(不必写出画法):m αβ=，a α⊂，b β⊂，a m N ⋂=，M m ∈，//b m .【答案】图形见解析【解析】12．如图，若P 是ABC 所在平面外一点，PA PB ≠，PN AB ⊥，N 为垂足.M 为AB 的中点，求证：PN 与MC 为异面直线.【答案】见解析【解析】证明：∵PA PB ≠,PN AB ⊥,N 为垂足,M 是AB 的中点,∴点N 与点M 不重合∵N ∈平面ABC ,P ∉平面ABC ,CM ⊂平面ABC ,N CM ∉∴由异面直线的判定定理可知,直线PN 与MC 为异面直线。

高三数学二轮复习第一部分检测重点保分题题型专题(十四)点、直线、平面之间的位置关系教师用书

题型专题(十四)点、直线、平面之间的位置关系［师说考点］判断空间线面位置关系的常用方法(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理进行判断；（2）借助空间几何模型并结合有关定理进行判断．［典例] (2016·全国甲卷)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②如果m⊥α，n∥α,那么m⊥n.③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β。

④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)[解析］对于命题①,可运用长方体举反例证明其错误：如图,不妨设AA′为直线m，CD为直线n,ABCD所在的平面为α，ABC′D′所在的平面为β，显然这些直线和平面满足题目条件，但α⊥β不成立．命题②正确，证明如下:设过直线n的某平面与平面α相交于直线l，则l∥n，由m⊥α知m⊥l,从而m⊥n，结论正确．由平面与平面平行的定义知命题③正确．由平行的传递性及线面角的定义知命题④正确．[答案］②③④错误!判断与空间位置关系有关的命题真假的2大方法(1）借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断．（2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定．[演练冲关]1．(2016·河南八市质检)设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内,直线b在平面β内，且b⊥m，则“a⊥b”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B 因为α⊥β,b⊥m，所以b⊥α，又直线a在平面α内，所以a⊥b；但直线a，m不一定相交，所以“a⊥b”是“α⊥β”的必要不充分条件，故选B.2．(2016·山东高考)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A 由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交,则a，b有公共点,从而α，β有公共点,可得出α，β相交;反之，若α，β相交,则a,b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交"的充分不必要条件．故选A.［师说考点]1．直线、平面平行的判定及其性质（1）线面平行的判定定理：a⊄α,b⊂α，a∥b⇒a∥α。

高考数学二轮专题复习与测试练习题 专题4 第2课时 点、直线、平面之间的位置关系 文

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