间接证明 课时作业 高中数学选修1-2 苏教版

2.2.2 间接证明
自主广场
我夯基 我达标
1.实数a 、b 、c 不全为0的条件为（ ）
A.a 、b 、c 均不为0
B.a 、b 、c 中至多有一个为0
C.a 、b 、c 中至少有一个为0
D.a 、b 、c 中至少有一个不为0
思路解析:实数a 、b 、c 不全为0的条件是a 、b 、c 至少有一个不为0.
答案:D
2.x 、y←R ，且x 2+y 2=1，则（1-xy ）（1+xy ）有（ ）
A.最小值43
，无最大值. B.最小值1，无最大值.
C.最小值21
，最大值1 D.最大值1，最小值43
思路解析:设x=cos α,y=sin α,
则(1-xy)(1+xy)=(1-sin αcos α)(1+sin αcos α)
=1-sin 2αcos 2α=1-41
sin 22α.
∵sin 22α∈［0,1］,∴(1-xy)(1+xy)∈［43
，1］.
答案:D
3.设a 、b 、c 都是正数，则三个数a+b 1
，b+c 1
，c+a 1
（ ）
A.都大于2
B.至少有一个大于2
C.至少有一个不小于2
D.至少有一个不大于2
思路解析:∵a+b 1+c 1+c+b+a 1
=a+a 1+b+b 1+c+c 1
≥2+2+2=6.
所以a 、b 、c 中至少有一个大于2.
答案:B
4.已知a 、b 、c 都是正数，S=b d c d
a d c c
d b a b
c b a a
+++++++++++，则有（ ）
A.0＜S ＜1
B.1＜S ＜2
C.2＜S ＜3
D.3＜S ＜4
思路解析:S ＞d c b a d
d c b a c
d c b a b
d c b a a
+++++++++++++++=1,且S ＜
d
c d d c c b a b b a a +++++++=2. ∴1＜S ＜2.
答案:B
5.求证：一个三角形中，至少有一个内角不小于60°.
证明：假设△ABC 的三个内角A ，B ，C 都小于60°,即∠A＜60°,∠B＜60°,∠C＜60°. 相加得∠A+∠B+∠C＜180°.
这与三角形内角和定理矛盾，所以∠A,∠B,∠C 都小于60°的假设不能成立,从而一个三角形中，至少有一个内角不小于60°.
6.求证：当x 2+bx+c 2
=0有两个不相等的非零实数根时，bc≠0.
证明：假设bc=0,则有三种情况出现：
（1）若b=0,c=0方程变为x 2=0,x 1=x 2=0是方程x 2+bx+c 2=0的根，这与已知方程有两个不相等的实根相矛盾.
（2）若b=0,c≠0,方程变为x 2+c 2=0,但当c≠0时，x 2+c 2=0;但c ≠0时，x 2+c 2≠0与x 2+c 2=0矛盾,
（3）若b≠0,c=0,方程变为x 2+bx=0,方程的根为x 1=0,x 2=-b.这与已知条件方程有两个非零实根相矛盾.
综上所述，bc≠0.
7.证明：1，3，2不能为同一等差数列的三项.
证明：假设1，3，2是某一等差数列的三项，设这一等差数列的公差为d,则1=3-md ，2=3+nd ，其中m 、n 为某两个正整数，由上面两式消去d,得n+2m=(m+n)3，因为n+2m 为有理数，而（m+n)3为无理数，所以2m+n≠3(m+n)，因此，假设不成立，即1，3，2不能为同一等差数列的三项.
8.平面上有四个点，设有三点共线.
证明：以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形.
证明：假设以每三个点为顶点的四个三角形都是锐角三角形，记这四个点为A 、B 、C 、D.考虑点D 在△ABC 之内或之外有两种情况：
（1）如果点D 在△ABC 之内，（如图（1）），根据假设围绕点D 的三个角都是锐角，其和小于270°，
这与一个周角等于360°矛盾.
（2）如果点D 在△ABC 之外（如图（2）），根据∠A、∠B、∠C、∠D 都大于90°， 这和四边形ABCD 的内角和为360°相矛盾.综上所述，假设不成立，从而题目中的结论成立.
9.已知a≠0,证明关于x 的方程ax=b 有且只有一个根.
证明：由于a≠0，因此方程至少有一个根x=a
b , 如果方程不是一个根，不妨设x 1、x 2是它的两个不同根，即ax 1=b ，①
ax 2=b ，②
①-②得a(x 1-x 2)=0.
因为x 1≠x 2，所以x 1-x 2≠0，所以应有a=0，这与已知相矛盾，故假设不成立.
所以当a≠0时，方程ax=b 有且只有一个根.
10.（精典回放）设y=f(x)是定义在区间［-1，1］上的函数，且满足条件：①f(-1)=f(1)=0;②对任意的μ、v ∈［-1,1］,都有｜f(u)-f(v)｜≤｜μ-v ｜
(1)证明：对任意的x∈［-1,1］,都有x-1≤f(x)≤1-x;
(2)证明：对任意的μ、v∈［-1,1］,都有
｜f(u)-f(v)｜≤1;
(3)在区间［-1，1］上是否存在满足题设条件的奇函数y=f(x),且使得：
｜f(μ)-f(v)｜＜｜μ-v ｜，当μ、v∈［0,
21］. ｜f(μ)-f(v)｜＜｜μ-v ｜,当μ、v∈［2
1,1］. 若存在，请举一例；若不存在，请说明理由.
（1）证明：由题设条件可知，当x∈[-1,1]时，有|f(x)|=|f(x)-f(1)|≤|x -1|=1-x.
即：x-1≤f(x)≤1-x.
（2）证明：对任意的u 、v∈[-1，1].
当|u-v|≤1时，有|f(u)-f(v)|≤|u -v|≤1.
当|u-v|＞1时，有u·v＜0，不妨设u ＜0，则v ＞0,且v-u ＞1,
所以|f(u)-f(v)|≤|f(u)-f(-1)|+|f(v)-f(1)|≤|u+1|+|v -1|=1+u+1-v=2-(v-u)＜1.
综上可知：对任意的u 、v∈[-1,1]，都有|f(u)-f(v)|≤1.
(3)解：满足所述条件的函数不存在，理由如下：假设存在函数f(x)满足条件，则由
|f(u)-f(v)|=|u-v|,u 、v∈[2
1,1],
得|f(
21）-f(1)|=|21-1|=2
1. 又f(1)=0,所以|f(21)|=21 又因为f(x)为奇函数，所以f(0)=0.
由条件|f(u)-f(v)|＜|u-v|,u,v∈[0,
21], 得|f(21)|=|f(21)-f(0)|＜ 2
1. 这与|f(21)|=2
1矛盾，所以假设不成立，即这样的函数不存在. 我综合 我发展
11.在△ABC 中，若∠C 是直角，求证：∠B 一定是锐角.
证明：假设∠B 不是锐角，则∠B 为直角或钝角，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C＞90°+90°+∠A＞180°.这与三角形的内角和为180°相矛盾.
从而∠B 一定为锐角.
12.求证：2、3、5不可能成等差数列.
证明：假设2、3、5成等差数列，则有3-2=5-3，即23=2+5， 两边平方得：12=7+102，∴5=102，
两边再平方得：25=40显然不成立，从而假设不成立. ∴2、3、5不可能成等差数列.
13.如果一条直线和两条平行线中的一条是异面直线，且不与另一条直线相交，那么这条直线与另一条直线也是异面直线.
证明：不妨设直线a,b,l 中，a∥b,l 与a 是异面直线，且l 与b 不相交.
假设l 与b 不是异面直线，则l 与b 共面，即l 与b 可能相交，也可能平行.
若l 与b 相交，这与已知矛盾.
若l 与b 平行，即l∥b,又a∥b,得l∥a,这与l 与a 异面相矛盾.
综上可知，l 与b 是异面直线.
14.已知函数f(x)对其定义域内的任意两个实数a 、b ，当a ＜b 时，都有f(a)＜f(b),证明f(x)=0至多有一个实根.
证明：假设f(x)=0至少有两个不同的实根x 1、x 2，不妨设x 1＜x 2，由方程的定义，f(x 1)=0,f(x 2)=0,则f(x 1)=f(x 2) ①
但已知x 1＜x 2时，有f(x 1)＜f(x 2)，这与式①相矛盾，因此假设不成立，故原命题成立.
15.已知{a n }是由非负整数组成的数列，满足a 1=0,a 2=3,a n+1·a n =(a n-1+2)(a n-2+2),n=3,4,5…,用反证法证明a 3=2.
证明：由题设得a 3a 4=10，且a 3,a 4均为非负整数，
∴a 3的可能值为1，2，5，10.
若a 3=1,则a 4=10,a 5=
2
3与题设矛盾. 若a 3=5,则a 4=2,a 5=2
35，与题设矛盾. 若a 3=10,则a 4=1，a 5=60,a 6=53,与题设矛盾.∴a 3=2. 16.求证：一元二次方程ax 2
+bx+c=0(a≠0)最多有两个不相等的实根. 证明：假设方程有三个不相等的实根x 1,x 2,x 3,则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++)
3(0)2(0)1(0323222121c bx ax c bx ax c bx ax
由①-②得：a(x 1+x 2)+b=0 ④
由①-③得：a(x 1+x 3)+b=0 ⑤
由④-⑤得：a(x 2-x 3)=0
∵a≠0 ∴x 2-x 3=0
即x 2=x 3，这与假设x 1≠x 2≠x 3相矛盾，
∴原方程最多只有两个不相等的实根.。