2013届高三人教B版理科数学一轮复习课时作业(27)数列的概念与简单表示法

合集下载

高中数学《数列的概念与简单表示法》(答案)

§2.1 数列的概念与简单表示法题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( × ) (2)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( × )(3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( √ ) (4)1,1,1,1，…，不能构成一个数列．( × )(5)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( × )(6)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( √ ) 题组二教材改编2．[P33A 组T4]在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋(－1)na n －1(n ≥2)，则a 5等于( )A.32B.53C.85D.23 答案 D解析 a 2＝1＋(－1)2a 1＝2，a 3＝1＋(－1)3a 2＝12，a 4＝1＋(－1)4a 3＝3，a 5＝1＋(－1)5a 4＝23.3．[P33A 组T5]根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________.答案 5n －4 题组三易错自纠4．已知a n ＝n 2＋λn ，且对于任意的n ∈N *，数列{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是________．答案 (－3，＋∞)解析因为{a n }是递增数列，所以对任意的n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)>n 2＋λn ，整理，得2n ＋1＋λ>0，即λ>－(2n ＋1)．(*)因为n ≥1，所以－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3. 5．数列{a n }中，a n ＝－n 2＋11n (n ∈N *)，则此数列最大项的值是________．答案 30解析 a n ＝－n 2＋11n ＝－⎝⎛⎭⎫n －1122＋1214， ∵n ∈N *，∴当n ＝5或n ＝6时，a n 取最大值30. 6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2，n ∈N *解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2，n ∈N *.题型一由数列的前几项求数列的通项公式1．数列0，23，45，67，…的一个通项公式为( )A ．a n ＝n －1n ＋2(n ∈N *)B ．a n ＝n －12n ＋1(n ∈N *)C ．a n ＝2(n －1)2n －1(n ∈N *)D ．a n ＝2n2n ＋1(n ∈N *)答案 C解析注意到分子0,2,4,6都是偶数，对照选项排除即可．2．数列－11×2，12×3，－13×4，14×5，…的一个通项公式a n ＝________.答案 (－1)n 1n (n ＋1)解析这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n1n (n ＋1).思维升华由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k 或(－1)k ＋1，k ∈N *处理． (3)如果是选择题，可采用代入验证的方法．题型二由a n 与S n 的关系求通项公式典例 (1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1(n ∈N *)，则其通项公式为________________．答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2，n ∈N *解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1] ＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2，n ∈N *.(2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13(n ∈N *)，则{a n }的通项公式a n ＝________.答案 (－2)n －1解析由S n ＝23a n ＋13，得当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13，两式相减，整理得a n ＝－2a n －1，又当n ＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，∴a 1＝1，∴{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，故a n ＝(－2)n －1.思维升华已知S n ，求a n 的步骤 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1. (2)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.(3)对n ＝1时的情况进行检验，若适合n ≥2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式．跟踪训练 (1)(2017·河南八校一联)在数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S n ＝2a n ＋1，则数列的通项公式a n ＝________. 答案－2n －1解析由题意得S n ＋1＝2a n ＋1＋1，S n ＝2a n ＋1，两式相减得S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n ，即a n ＋1＝2a n ，又S 1＝2a 1＋1＝a 1，因此a 1＝－1，所以数列{a n }是以a 1＝－1为首项、2为公比的等比数列，所以a n ＝－2n －1. (2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋1，则数列的通项公式a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋1－3n －1－1＝2·3n －1. 显然当n ＝1时，不满足上式．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.题型三由数列的递推关系求通项公式典例根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式．(1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ； (2)a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ； (3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2. 解 (1)∵a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ， ∴a n －a n －1＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n －1＝ln n n －1(n ≥2)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝ln n n －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 32＋ln 2＋2＝2＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n n －1·n －1n －2·…·32·2＝2＋ln n (n ≥2)．又a 1＝2适合上式，故a n ＝2＋ln n (n ∈N *)． (2)∵a n ＋1＝2n a n ，∴a n a n －1＝2n －1 (n ≥2)，∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝(1)22n n -.又a 1＝1适合上式，故a n ＝(1)22n n -(n ∈N *)．(3)∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，又a 1＝1，∴a 1＋1＝2，故数列{a n ＋1}是首项为2，公比为3的等比数列， ∴a n ＋1＝2·3n －1，故a n ＝2·3n －1－1(n ∈N *)．引申探究在本例(2)中，若a n ＝n －1n ·a n －1(n ≥2，且n ∈N *)，其他条件不变，则a n ＝________.答案 1n解析 ∵a n ＝n －1n a n －1 (n ≥2)，∴a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1.以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .当n ＝1时也满足此等式，∴a n ＝1n.思维升华已知数列的递推关系求通项公式的典型方法 (1)当出现a n ＝a n －1＋m 时，构造等差数列． (2)当出现a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列． (3)当出现a n ＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解．(4)当出现a na n －1＝f (n )时，用累乘法求解．跟踪训练 (1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝4，a n ＋2＋2a n ＝3a n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝______________. 答案 3×2n －1－2解析由a n ＋2＋2a n －3a n ＋1＝0，得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )，∴数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1－a n ＝3×2n －1， ∴当n ≥2时，a n －a n －1＝3×2n －2，…，a 3－a 2＝3×2，a 2－a 1＝3，将以上各式累加，得a n －a 1＝3×2n －2＋…＋3×2＋3＝3(2n －1－1)， ∴a n ＝3×2n －1－2(当n ＝1时，也满足)．(2)在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，则通项公式a n ＝________.答案 4－1n解析原递推公式可化为a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1，则a 2＝a 1＋11－12，a 3＝a 2＋12－13，a 4＝a 3＋13－14，…，a n －1＝a n －2＋1n －2－1n －1，a n ＝a n －1＋1n －1－1n ，逐项相加得a n ＝a 1＋1－1n ，故a n ＝4－1n.题型四数列的性质命题点1 数列的单调性典例已知a n ＝n －1n ＋1，那么数列{a n }是( )A ．递减数列B ．递增数列C ．常数列D ．摆动数列答案 B解析 a n ＝1－2n ＋1，将a n 看作关于n 的函数，n ∈N *，易知{a n }是递增数列．命题点2 数列的周期性典例数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝_______________________________________.答案 12解析 ∵a n ＋1＝11－a n ，∴a n ＋1＝11－a n＝11－11－a n －1＝1－a n －11－a n －1－1＝1－a n －1－a n －1＝1－1a n －1＝1－111－a n －2＝1－(1－a n －2)＝a n －2，n ≥3， ∴周期T ＝(n ＋1)－(n －2)＝3. ∴a 8＝a 3×2＋2＝a 2＝2. 而a 2＝11－a 1，∴a 1＝12.命题点3 数列的最值典例数列{a n }的通项a n ＝nn 2＋90，则数列{a n }中的最大项是( )A ．310B ．19 C.119 D.1060答案 C解析令f (x )＝x ＋90x (x >0)，运用基本不等式得f (x )≥290，当且仅当x ＝310时等号成立．因为a n ＝1n ＋90n ，所以1n ＋90n ≤1290，由于n ∈N *，不难发现当n ＝9或n ＝10时，a n ＝119最大．思维升华 (1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列． ②用作商比较法，根据a n ＋1a n (a n ＞0或a n ＜0)与1的大小关系进行判断．③结合相应函数的图象直观判断． (2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． (3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解．跟踪训练 (1)数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，0≤a n ≤12，2a n－1，12＜a n＜1， a 1＝35，则数列的第 2 018项为________．答案 15解析由已知可得，a 2＝2×35－1＝15，a 3＝2×15＝25，a 4＝2×25＝45，a 5＝2×45－1＝35，∴{a n }为周期数列且T ＝4， ∴a 2 018＝a 504×4＋2＝a 2＝15.(2)(2017·安徽名校联考)已知数列{a n }的首项为2，且数列{a n }满足a n ＋1＝a n －1a n ＋1，数列{a n }的前n 项的和为S n ，则S 2 016等于( ) A ．504 B ．588 C ．－588 D ．－504 答案 C解析 ∵a 1＝2，a n ＋1＝a n －1a n ＋1，∴a 2＝13，a 3＝－12，a 4＝－3，a 5＝2，…，∴数列{a n }的周期为4，且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝－76，∵2 016÷4＝504，∴S 2 016＝504×⎝⎛⎭⎫－76＝－588，故选C.解决数列问题的函数思想典例 (1)数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫1011n，则此数列的最大项是第________项． (2)若a n ＝n 2＋kn ＋4且对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n 成立，则实数k 的取值范围是__________．思想方法指导 (1)可以将数列看成定义域为正整数集上的函数；(2)数列的最值可以根据单调性进行分析．解析 (1)∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n ＝⎝⎛⎭⎫1011n ×9－n11，当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n ，∴该数列中有最大项，且最大项为第9,10项． (2)由a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列，又∵通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4， ∴(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋4>n 2＋kn ＋4，即k >－1－2n ，又n ∈N *，∴k >－3. 答案 (1)9或10 (2)(－3，＋∞)1．(2017·湖南长沙一模)已知数列的前4项为2,0,2,0，则依此归纳该数列的通项不可能是( ) A ．a n ＝(－1)n －1＋1 B ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，0，n 为偶数C ．a n ＝2sin n π2D ．a n ＝cos(n －1)π＋1 答案 C解析对n ＝1,2,3,4进行验证，知a n ＝2sinn π2不合题意，故选C. 2．(2018·葫芦岛质检)数列23，－45，67，－89，…的第10项是( )A ．－1617B ．－1819C ．－2021D ．－2223答案 C解析所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子．很容易归纳出数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n ＋1·2n 2n ＋1，故a 10＝－2021.3．(2017·黄冈质检)已知在正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2,2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ≥2)，则a 6等于( )A ．16B ．4C ．2 2D ．45 答案 B解析由题意得a 2n ＋1－a 2n ＝a 2n －a 2n －1＝…＝a 22－a 21＝3，故{a 2n }是以3为公差的等差数列，即a 2n ＝3n －2.所以a 26＝3×6－2＝16.又a n >0，所以a 6＝4.故选B.4．若数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝3，a n ＝a n －1a n －2(n ≥3且n ∈N *)，则a 2 018等于( )A ．3B ．2 C.12 D.23答案 A解析由已知a 3＝a 2a 1＝32，a 4＝a 3a 2＝12，a 5＝a 4a 3＝13，a 6＝a 5a 4＝23，a 7＝a 6a 5＝2，a 8＝a 7a 6＝3，∴数列{a n }具有周期性，且T ＝6， ∴a 2 018＝a 336×6＋2＝a 2＝3.5．(2018·长春调研)设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是( ) A.163 B.133 C ．4 D ．0 答案 D解析 ∵a n ＝－3⎝⎛⎭⎫n －522＋34，由二次函数性质，得当n ＝2或3时，a n 最大，最大为0. 6．(2017·江西六校联考)已知数列{a n }满足a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧(5－a )n －11，n ≤5，a n －4，n >5，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,5) B.⎝⎛⎭⎫73，5 C.⎣⎡⎭⎫73，5 D ．(2,5) 答案 D解析 ∵a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧(5－a )n －11，n ≤5，a n －4，n >5，且{a n }是递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧5－a >0，a >1，5(5－a )－11<a 2，解得2<a <5，故选D.7．若数列{a n }满足关系a n ＋1＝1＋1a n ，a 8＝3421，则a 5＝________.答案 85解析借助递推关系，由a 8递推依次得到a 7＝2113，a 6＝138，a 5＝85.8．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2解析当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1，因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.9．(2018·大庆模拟)已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋2)·⎝⎛⎭⎫67n，则数列{a n }的项取最大值时，n ＝________. 答案 4或5解析假设第n 项为最大项，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，即⎩⎨⎧(n ＋2)·⎝⎛⎭⎫67n≥(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫67n －1，(n ＋2)·⎝⎛⎭⎫67n≥(n ＋3)·⎝⎛⎭⎫67n ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤5，n ≥4，即4≤n ≤5，又n ∈N *，所以n ＝4或n ＝5，故数列{a n }中a 4与a 5均为最大项，且a 4＝a 5＝6574.10．(2017·太原模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n ＋1＝na n a n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝__________. 答案2n 2－n ＋2解析由a n －a n ＋1＝na n a n ＋1，得1a n ＋1－1a n＝n ，则由累加法得1a n －1a 1＝1＋2＋…＋(n －1)＝n 2－n 2，又因为a 1＝1，所以1a n ＝n 2－n2＋1＝n 2－n ＋22，所以a n ＝2n 2－n ＋2(n ∈N *)．11．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)可得 a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1， S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2，同理，a 3＝3，a 4＝4. (2)S n ＝a n 2＋12a 2n ，①当n ≥2时，S n －1＝a n －12＋12a 2n －1，②①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0. 由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1，又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }为首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n .12．已知数列{a n }的各项均为正数，记数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a 2n }的前n 项和为T n ，且3T n ＝S 2n ＋2S n ，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)由3T 1＝S 21＋2S 1，得3a 21＝a 21＋2a 1，即a 21－a 1＝0.因为a 1>0，所以a 1＝1. (2)因为3T n ＝S 2n ＋2S n ，① 所以3T n ＋1＝S 2n ＋1＋2S n ＋1，②②－①，得3a 2n ＋1＝S 2n ＋1－S 2n ＋2a n ＋1.因为a n ＋1>0，所以3a n ＋1＝S n ＋1＋S n ＋2，③ 所以3a n ＋2＝S n ＋2＋S n ＋1＋2，④④－③，得3a n ＋2－3a n ＋1＝a n ＋2＋a n ＋1，即a n ＋2＝2a n ＋1，所以当n ≥2时，a n ＋1a n ＝2.又由3T 2＝S 22＋2S 2，得3(1＋a 22)＝(1＋a 2)2＋2(1＋a 2)，即a 22－2a 2＝0.因为a 2>0，所以a 2＝2，所以a 2a 1＝2，所以对n ∈N *，都有a n ＋1a n＝2成立，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N *.13．(2017·江西师大附中、鹰潭一中联考)定义：在数列{a n }中，若满足a n ＋2a n ＋1－a n ＋1a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，称{a n }为“等差比数列”．已知在“等差比数列”{a n }中，a 1＝a 2＝1，a 3＝3，则a 2 015a 2 013等于( ) A ．4×2 0152－1 B ．4×2 0142－1 C ．4×2 0132－1 D ．4×2 0132 答案 C解析由题知⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 是首项为1，公差为2的等差数列，则a n ＋1a n ＝2n －1，所以a n ＝a n a n －1×a n －1a n －2×…×a 2a 1×a 1＝(2n －3)×(2n －5)× (1)所以a 2 015a 2 013＝(2×2 015－3)(2×2 015－5)×…×1(2×2 013－3)(2×2 013－5)×…×1＝4 027×4 025＝(4 026＋1)(4 026－1)＝4 0262－1＝4×2 0132－1.14．若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n (n ＋4)⎝⎛⎭⎫23n 中的最大项是第k 项，则k ＝________.答案 4解析设数列为{a n }，则a n ＋1－a n ＝(n ＋1)(n ＋5)·⎝⎛⎭⎫23n ＋1－n (n ＋4)·⎝⎛⎭⎫23n ＝⎝⎛⎭⎫23n ⎣⎡⎦⎤23(n 2＋6n ＋5)－n 2－4n ＝2n3n ＋1(10－n 2)．所以当n ≤3时，a n ＋1>a n ；当n ≥4时，a n ＋1<a n .因此，a 1<a 2<a 3<a 4，a 4>a 5>a 6>…，故a 4最大，所以k ＝4.15．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，若a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2，则a n 等于( ) A.15n 2－25n ＋65 B ．n 3－5n 2＋9n －4 C ．n 2－2n ＋2 D ．2n 2－5n ＋4 答案 C解析由题意得(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝2，因此数列{a n ＋1－a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，a n ＋1－a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋3＋…＋(2n －3)＝1＋(1＋2n －3)(n －1)2＝(n －1)2＋1＝n 2－2n ＋2，又a 1＝1＝12－2×1＋2，因此a n ＝n 2－2n ＋2(n ∈N *)，故选C.16．(2017·太原五中模拟)设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，则它的通项公式a n ＝________. 答案 1n(n ∈N *)解析因为数列{a n }是首项为1的正项数列，所以a n ·a n ＋1≠0，所以(n ＋1)a n ＋1a n －na na n ＋1＋1＝0.令a n ＋1a n＝t (t >0)，则(n ＋1)t 2＋t －n ＝0，分解因式，得[(n ＋1)t －n ](t ＋1)＝0，所以t ＝n n ＋1或t ＝－1(舍去)，即a n ＋1a n ＝nn ＋1.方法一 (累乘法)因为a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4·…·a n a n －1＝12·23·34·45·…·n －1n ，所以a n ＝1n (n ∈N *)．方法二 (迭代法) 因为a n ＋1＝nn ＋1a n，所以a n ＝n －1n a n －1＝n －1n .n －2n －1.a n －2＝n －1n .n －2n －1.n －3n －2.a n －3＝...＝n －1n .n －2n －1.n －3n －2.. (1)2a 1，所以a n ＝1n (n ∈N *)．方法三 (特殊数列法)因为a n ＋1a n ＝n n ＋1，所以(n ＋1)a n ＋1na n＝1.所以数列{na n }是以a 1为首项，1为公比的等比数列．所以na n ＝1×1n －1＝1. 所以a n ＝1n(n ∈N *)．。

高三数学课标一轮复习考点规范练： 27数列的概念与简单表示法

考点规范练27数列的概念与简单表示法基础巩固组1.数列1,-3,5,-7,9,…的一个通项公式为()A.a n=2n-1B.a n=(-1)n(2n-1)C.a n=(-1)n+1(2n-1)D.a n=(-1)n(2n+1)2.数列{a n}中,a1=1,对所有n∈N*都有a1a2…a n=n2,则a3+a5等于()A. B. C. D.3.(2017浙江温州测试)设S n为数列{a n}的前n项和,且S n=(a n-1)(n∈N*),则a n=()A.3(3n-2n)B.3n+2C.3nD.3·2n-14.(2017广西南宁测试)已知数列{a n}满足:,且a2=2,则a4等于()A.-B.23C.12D.115.数列{a n}满足a n+1+a n=2n-3,若a1=2,则a8-a4=()A.7B.6C.5D.46.已知数列{a n}中,首项a1=1,a n=a n-1·3n-1(n≥2,n∈N*),则数列{b n}的通项公式为.7.数列{a n}满足:a1+3a2+5a3+…+(2n-1)·a n=(n-1)·3n+1+3(n∈N*),则数列{a n}的通项公式a n=.8.若数列{a n}满足a1=2,a n+1=(n∈N*),则该数列的前2 018项的乘积a1·a2·a3·…·a2-=.018能力提升组9.(2017浙江嘉兴模拟)已知数列{a n}中的任意一项都为正实数,且对任意m,n∈N*,有a m·a n=a m+n,如果a10=32,则a1的值为()A.-2B.2C.D.-10.已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对任意的正数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y).若数列{a n}的前n项和为S n,且满足f(S n+2)-f(a n)=f(3)(n∈N*),则a n等于()-A.2n-1B.nC.2n-1D.11.已知数列{a n}满足:a1=1,a n+1=(n∈N*).若b n+1=(n-λ)·,b1=-λ,且数列{b n}是单调递增数列,则实数λ的取值范围为()A.λ>2B.λ>3C.λ<2D.λ<312.(2017辽宁沈阳期末)若数列{a n}满足=0,则称{a n}为“梦想数列”,已知正项数列为“梦想数列”,且b1+b2+b3=2,则b6+b7+b8=()A.4B.16C.32D.6413.已知数列{a n}满足a1=,a n+1-1=-a n(n∈N*),则m=+…+的整数部分是()A.1B.2C.3D.414.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,如图,他们研究过图中的1,5,12,22,…,由于这些数能够表示成五角形,将其称为五角形数.若按此规律继续下去,第n个五角形数a n=.15.(2017浙江温州瑞安模拟)已知数列{a n}中,a n=1+(n∈N*,a∈R且a≠0).-(1)若a=-7,求数列{a n}中的最大项和最小项的值;(2)若对任意的n∈N*,都有a n≤a6成立,求a的取值范围.16.在数列{a n}中,a1=1,2a n a n+1+a n+1-a n=0(n∈N*).(1)求证:数列为等差数列,并求{a n}的通项公式;(2)若ta n+1(a n-1)+1≥0对任意n≥2的整数恒成立,求实数t的取值范围.答案：1.C由数列{a n}中1,-3,5,-7,9,…可以看出:符号正负相间,通项的绝对值为1,3,5,7,9…为等差数列{b n},其通项公式b n=2n-1.∴数列1,-3,5,-7,9,…的一个通项公式为a n=(-1)n+1(2n-1).故选C.2.A∵当n≥2时,a1a2a3…a n=n2,当n≥3时,a1a2a3…a n-1=(n-1)2,两式相除,得a n=-,∴a3=,a5=a3+a5=故选A.3.C当n≥2时,a n=S n-S n-1=(a n-1)-(a n-1-1),整理,得a n=3a n-1.由a1=(a1-1),得a1=3,-=3,∴数列{a n}是以3为首项,3为公比的等比数列,∴a n=3n,故选C.4.D由已知得=2,则{a n+1}是公比为2的等比数列,所以a4+1=(a2+1)·22=12,则a4=11.故选D.5.D依题意得(a n+2+a n+1)-(a n+1+a n)=[2(n+1)-3]-(2n-3),即a n+2-a n=2,所以a8-a4=(a8-a6)+(a6-a4)=2+2=4.6.a n=-∵a n=---…a1=3n-1·3n-2·…·3·1=-a1也满足上式,∴a n=-7.3n a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·a n-1+(2n-1)·a n=(n-1)+3,把n替换成n-1得,a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·a n-1=(n-2)·3n+3,两项相减得a n=3n.8.-6经计算,得a1=2,a2=-3,a3=-,a4=,a5=2,…则{a n}是以4为周期的一个周期数列.∴a1a2a3a4=1.∴a1·a2·…·a2 013·a2 014·a2 018=2×(-3)=-6.9.C令m=1,则=a1,所以数列{a n}是以a1为首项,公比为a1的等比数列,从而a n=,因为a10=512,所以a1=10.D由题意知f(S n+2)=f(a n)+f(3)=f(3a n)(n∈N*),∴S n+2=3a n,S n-1+2=3a n-1(n≥2),两式相减得,2a n=3a n-1(n≥2).又n=1时,S1+2=3a1=a1+2,∴a1=1.∴数列{a n}是首项为1,公比为的等比数列.∴a n=-11.C由已知可得+1,+1=2又+1=2≠0,则+1=2n,b n+1=2n(n-λ),b n=2n-1(n-1-λ)(n≥2).b1=-λ也适合上式,故b n=2n-1(n-1-λ)(n∈N*).由b n+1>b n,得2n(n-λ)>2n-1(n-1-λ),即λ<n+1恒成立.而n+1的最小值为2,故λ的取值范围为λ<2.12.D因为正项数列为“梦想数列”,所以=0,即b n+1=2b n,所以{b n}是以2为公比的等比数列,所以b6+b7+b8=(b1+b2+b3)×25=2×25=64,故选D.13.B∵a1=,a n+1-1=-a n(n∈N*),∴a n+1-a n=(a n-1)2>0,∴a n+1>a n,∴数列{a n}是单调递增数列,由a n+1-1=-a n=a n(a n-1), ---,--,∴m=+…+------+…+-----=3--,由a1=>1,则a n+1-a n=(a n-1)2>0,∴a2=1+,a3=1+,a4=1+>2,…,a2 018>2,∴0<-<1,∴2<m<3,∴整数部分是2,故选B.14n2-n观察图象,发现a1=1,a2=a1+4,a3=a2+7,a4=a3+10,猜测当n≥2时,a n=a n-1+3n-2,∴a n-a n-1=3n-2.∴a n=(a n-a n-1)+(a n-1-a n-2)+…+(a2-a1)+a1=(3n-2)+[3(n-1)-2]+…+(3×2-2)+1=n2-n.15.解(1)∵a n=1+-(n∈N*,a∈R,且a≠0),∵a=-7,∴a n=1+-(n∈N*).结合函数f(x)=1+-的单调性,可知1>a1>a2>a3>a4, a5>a6>a7>…>a n>1(n∈N*).∴数列{a n}中的最大项为a5=2,最小项为a4=0.(2)a n=1+-=1+--,已知对任意的n∈N*,都有a n≤a6成立, 结合函数f(x)=1+--的单调性,可知5<-<6,即-10<a<-8.即a的取值范围是(-10,-8).16.解(1)由题意得2a n a n+1+a n+1-a n=0,两边同除a n a n+1得,=2,∵a1=1,∴数列是以1为首项、2为公差的等差数列,则=1+2(n-1)=2n-1,∴a n=-(2)由(1)得,ta n+1(a n-1)+1≥0可化为t--+1≥0,由n≥2化简得t--,设b n=--,则b n+1-b n=-------->0,∴当n≥2时,数列{b n}是递增数列,则--, ∴实数t的取值范围是-。

高考数学---数列的概念与简单表示法课后作业练习(含答案解析)

高考数学---数列的概念与简单表示法课后作业练习（含答案解析）建议用时：45分钟一、选择题1．数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式a n等于()A.（－1）n＋12B．cosnπ2C．cos n＋12πD．cosn＋22πD[令n＝1，2，3，…，逐一验证四个选项，易得D正确．]2．若S n为数列{a n}的前n项和，且S n＝nn＋1，则1a5等于()A.56 B.65C.130D．30D[当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝nn＋1－n－1n＝1n（n＋1），所以1a5＝5×6＝30.]3．记S n为数列{a n}的前n项和．“任意正整数n，均有a n>0”是“{S n}是递增数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[∵“a n>0”⇒“数列{S n}是递增数列”，∴“a n>0”是“数列{S n}是递增数列”的充分条件．如数列{a n}为－1，1，3，5，7，9，…，显然数列{S n}是递增数列，但是a n 不一定大于零，还有可能小于零，∴“数列{S n}是递增数列”不能推出“a n>0”，∴“a n>0”是“数列{S n}是递增数列”的不必要条件．∴“a n>0”是“数列{S n}是递增数列”的充分不必要条件．] 4．(2019·武汉5月模拟)数列{a n}中，a n＋1＝2a n＋1，a1＝1，则a6＝() A．32 B．62C．63 D．64C[数列{a n}中，a n＋1＝2a n＋1，故a n＋1＋1＝2(a n＋1)，因为a1＝1，故a1＋1＝2≠0，故a n＋1≠0，所以a n＋1＋1a n＋1＝2，所以{a n＋1}为等比数列，首项为2，公比为2.所以a n＋1＝2n即a n＝2n－1，故a6＝63，故选C.]5．若数列{a n}的前n项和S n＝n2－10n(n∈N*)，则数列{na n}中数值最小的项是()A．第2项B．第3项C．第4项D．第5项B[∵S n＝n2－10n，∴当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n－11；当n＝1时，a1＝S1＝－9也适合上式．∴a n＝2n－11(n∈N＋)．记f(n)＝na n＝n(2n－11)＝2n2－11n，此函数图像的对称轴为直线n＝114，但n∈N＋，∴当n＝3时，f(n)取最小值．∴数列{na n}中数值最小的项是第3项．]二、填空题6．已知数列5，11，17，23，29，…，则55是它的第________项．21[数列5，11，17，23，29，…中的各项可变形为5，5＋6，5＋2×6，5＋3×6，5＋4×6，…，所以通项公式为a n＝5＋6（n－1）＝6n－1，令6n－1＝55，得n＝21.]7．若数列{a n}满足a1＝1，a2＝3，a n＋1＝(2n－λ)a n(n＝1，2，…)，则a3等于________．15[令n＝1，则3＝2－λ，即λ＝－1，由a n＋1＝(2n＋1)a n，得a3＝5a2＝5×3＝15.]8．在一个数列中，如果∀n∈N*，都有a n a n＋1a n＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{a n}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________．28[∵a1a2a3＝8，且a1＝1，a2＝2.∴a3＝4，同理可求a4＝1，a5＝2.a6＝4，∴{a n}是以3为周期的数列，∴a1＋a2＋a3＋…＋a12＝(1＋2＋4)×4＝28.]三、解答题9．(2019·洛阳模拟)已知数列{a n}满足a1＝50，a n＋1＝a n＋2n(n∈N*)，(1)求{a n}的通项公式；(2)已知数列{b n}的前n项和为a n，若b m＝50，求正整数m的值．[解](1)当n≥2时，a n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝2(n－1)＋2(n－2)＋…＋2×2＋2×1＋50＝2×（n－1）n2＋50＝n 2－n ＋50.又a 1＝50＝12－1＋50，∴{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n ＋50，n ∈N *. (2)b 1＝a 1＝50，当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝n 2－n ＋50－[(n －1)2－(n －1)＋50]＝2n －2，即b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧50，n ＝12n －2，n ≥2.当m ≥2时，令b m ＝50，得2m －2＝50，解得m ＝26. 又b 1＝50，∴正整数m 的值为1或26.10．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a (a ≠3)，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *，设b n ＝S n －3n ，(1)求数列{b n }的通项公式；(2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围． [解] (1)依题意，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ，即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n )，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝S 1－3＝a －3，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝(a －3)2n －1，n ∈N *. (2)由(1)知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1，n ∈N *，于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n－1＋(a －3)2n －2，a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2 ＝2n －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a －3，当n ≥2时，a n ＋1≥a n ⇒12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a －3≥0⇒a ≥－9，又a 2＝a 1＋3＞a 1(a ≠3)．综上，a 的取值范围是[－9，3)∪(3，＋∞)．1．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *)，若b n ＋1＝(n －λ)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1，b 1＝－λ，且数列{b n }是递增数列，则实数λ的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(－∞，3)C [由a n ＋1＝a n a n ＋2，知1a n ＋1＝2a n ＋1，即1a n ＋1＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是首项为1a 1＋1＝2，公比为2的等比数列，所以1a n ＋1＝2n ，所以b n ＋1＝(n －λ)·2n ，因为数列{b n }是递增数列，所以b n ＋1－b n ＝(n －λ)2n －(n －1－λ)2n －1＝(n ＋1－λ)2n－1＞0对一切正整数n 恒成立，所以λ＜n ＋1，因为n ∈N *，所以λ＜2，故选C.]2．(2019·临沂三模)意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即F (1)＝F (2)＝1，F (n )＝F (n －1)＋F (n －2)(n ≥3，n ∈N *)，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{a n }，则数列{a n }的前2 019项的和为( )A ．672B ．673C ．1 346D ．2 019C [由数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…各项除以2的余数，可得{a n }为1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0，…，所以{a n }是周期为3的周期数列，一个周期中三项和为1＋1＋0＝2，因为2 019＝673×3，所以数列{a n }的前2 019项的和为673×2＝1 346，故选C.]3．(2019·晋城三模)记数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝3a n ＋2n －3，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________．a n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n[当n ＝1时，S 1＝a 1＝3a 1－1，解得a 1＝12；当n ≥2时，S n ＝3a n ＋2n －3，S n －1＝3a n －1＋2n －5，两式相减可得，a n ＝3a n －3a n －1＋2，故a n ＝32a n －1－1，设a n ＋λ＝32(a n －1＋λ)，故λ＝－2，即a n －2＝32(a n －1－2)，故a n －2a n －1－2＝32.故数列{a n －2}是以－32为首项，32为公比的等比数列，故a n －2＝－32·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1，故a n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n .] 4．已知数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项和为S n ，且满足2S n ＝(n ＋1)a n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝3n －λa 2n ，若数列{b n }为递增数列，求λ的取值范围． [解] (1)∵2S n ＝(n ＋1)a n ， ∴2S n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1，∴2a n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1－(n ＋1)a n ，即na n ＋1＝(n ＋1)a n ，∴a n ＋1n ＋1＝a nn ，∴a n n ＝a n －1n －1＝…＝a 11＝1，∴a n ＝n (n ∈N ＋)． (2)由(1)知b n ＝3n －λn 2.b n ＋1－b n ＝3n ＋1－λ(n ＋1)2－(3n －λn 2) ＝2·3n －λ(2n ＋1)． ∵数列{b n }为递增数列， ∴2·3n －λ(2n ＋1)>0，即λ<2·3n2n ＋1.令c n ＝2·3n2n ＋1，即c n ＋1c n ＝2·3n ＋12n ＋3·2n ＋12·3n ＝6n ＋32n ＋3>1. ∴{c n }为递增数列， ∴λ<c 1＝2，即λ的取值范围为(－∞，2)．1．(2019·烟台、菏泽高考适应性练习一)已知数列：1k ，2k －1，…，k 1(k ∈N *)，按照k 从小到大的顺序排列在一起，构成一个新的数列{a n }：1，12，21，13，22，31，…，则89首次出现时为数列{a n }的( )A ．第44项B ．第76项C ．第128项D ．第144项C [观察分子分母的和出现的规律：2，3，4，5，…，把数列重新分组：⎝ ⎛⎭⎪⎫11，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，21，⎝ ⎛⎭⎪⎫13，22，31，…，⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，2k －1，…，k 1，可看出89第一次出现在第16组，因为1＋2＋3＋…＋15＝120，所以前15组一共有120项；第16组的项为⎝ ⎛⎭⎪⎫116，215，…，710，89…，所以89是这一组中的第8项，故89第一次出现在数列的第128项，故选C.]2．已知二次函数f (x )＝x 2－ax ＋a (a ＞0，x ∈R )有且只有一个零点，数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝1－4a n(n ∈N *)，定义所有满足c m ·c m ＋1＜0的正整数m 的个数，称为这个数列{c n }的变号数，求数列{c n }的变号数．[解] (1)依题意，Δ＝a 2－4a ＝0，所以a ＝0或a ＝4. 又由a ＞0得a ＝4，所以f (x )＝x 2－4x ＋4. 所以S n ＝n 2－4n ＋4.当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－4＋4＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －5. 所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －5，n ≥2.(2)由题意得c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，n ＝1，1－42n －5，n ≥2. 由c n ＝1－42n －5可知，当n ≥5时，恒有c n ＞0.又c 1＝－3，c 2＝5，c 3＝－3，c 4＝－13，c 5＝15，c 6＝37，即c 1·c 2＜0，c 2·c 3＜0，c 4·c 5＜0，所以数列{c n}的变号数为3.。

数列的概念及简单表示法(高三一轮复习)

所以数列
S 2
n
是首项为S
2 1
＝a
2 1
＝1，公差为1的等差数列，所以S
2 n
＝n，所以Sn＝
n
(n∈N*)．
数学 N 必备知识自主学习关键能力互动探究
— 20 —
命题点2 由数列的递推公式求通项公式
考向1 累加法
例2
设数列
a
n
满足a1＝1，且an＋1－an＝1(n∈N*)，则数列
1 3
an＋1，所以a2＝3S1＝3×
16 3
＝16.当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1
＝13an＋1－13an，即an＋1＝4an.
所以从第二项起，数列an为首项为16，公比为4的等比数列，所以an＝ 4n(n≥2)．
经检验，an＝4n对n＝1不成立，
所以an＝136，n＝1， 4n，n≥2.
数学 N 必备知识自主学习关键能力互动探究
，所以a2＝
4 2－a1
＝
4 2－4
＝－2，a3＝
4 2－a2
＝
4 2＋2
＝1，a4＝
4 2－a3
＝
4 2－1
＝4，…，所以数列
a
n
是以3为周期的周期数列，又2
022＝
673×3＋3，所以a2 022＝a673×3＋3＝1.
数学 N 必备知识自主学习关键能力互动探究
— 12 —
4．(易错题)若数列
— 7—
4.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是 8 列表法、图象法和 9 解析法．
数学 N 必备知识自主学习关键能力互动探究
— 8—
常用结论► (1)数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，还与这些“数”的排列顺序有关． (2)项与项数的概念：数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号． (3)若数列{an}的前n项和为Sn，则数列{an}的通项公式为an＝SS1n，－nS＝n－11，，n≥2.

一轮复习-数列的概念与简单表示法

（1）
（2）
（3）
（4）
例2 写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1）1，3，5，7；
解：此数列的前四项1，3，5，7都是序号的2倍减去1，所以通项公式是：
an 2n 1
例1、写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1）1,3,5,7; （2）4，9， 16，25；
这说明：数列的项是序号的函数，序号从1 开始依次增加时，对应的函数值按次序排出就是数列，这就是数列的实质。
所以：数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集{1，2，3，4，…,n}）为定义域的函数 an=f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值。反过来，对于函数y=f(x),如果f(i) (i=1,2,3,…)有意义，那可得到一个数列 f(1),f(2),f(3),…f(n),… 即数列是一种特殊的函数。
数列的一般形式可以写成： a1, a2, a3,an ,,
其中an是数列的第n项，上面的数列又可简记为 an
根据数列的前若干项写出的通项公式的形式唯一吗？请举例说明。
注意：①一些数列的通项公式不是唯一的
②不是每一个数列都能写出它的通项公式 ③ {an }表示以an为通项的数列，即{an }表示
无穷数列：项数无限的数列. 例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列
2）根据数列项的大小分：
递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。常数数列：各项相等的数列。摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，
有些项小于它的前一项的数列
(3)1， 1 ，1 ， 1 ； 23 4

【精选】最新高考数学一轮复习第五章数列第一节数列的概念与简单表示法课时作业

教学资料参考范本【精选】最新高考数学一轮复习第五章数列第一节数列的概念与简单表示法课时作业撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________课时作业A组——基础对点练1．设数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，则a4的值为( )A．4 B．6C．8 D．10解析：a4＝S4－S3＝20－12＝8.答案：C2．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝( )A．2n－1 B．n－1C.n－1 D．12n－1解析：由已知Sn＝2an＋1得Sn＝2(Sn＋1－Sn)，即2Sn＋1＝3Sn，＝，而S1＝a1＝1，所以Sn＝n－1，故选B.答案：B3．已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－4，n∈N*，则an＝( )A．2n＋1 B．2nC．2n－1 D．2n－2解析：∵an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1－4－(2an－4)，∴an＋1＝2an，∵a1＝2a1－4，∴a1＝4，∴数列{an}是以4为首项，2为公比的等比数列，∴an＝4·2n－1＝2n＋1，故选A.答案：A4．在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则的值是( )A. B．158C. D．38解析：由已知得a2＝1＋(－1)2＝2，∴2a3＝2＋(－1)3，a3＝，∴a4＝＋(－1)4，a4＝3，∴3a5＝3＋(－1)5，∴a5＝，∴＝×＝.答案：C5．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝，若a4＝32，则a1＝__________.解析：∵Sn＝，a4＝32，∴－＝32，∴a1＝.答案：126．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n，则a3＋a4＝________.解析：当n≥2时，an＝2n－2n－1＝2n－1，所以a3＋a4＝22＋23＝12.答案：127．已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通项公式．解析：(1)由S2＝a2得3(a1＋a2)＝4a2，解得a2＝3a1＝3.由S3＝a3得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，解得a3＝(a1＋a2)＝6.。

2013届高三数学一轮复习课时作业(27)数列的概念与简单表示法江苏专版

课时作业(二十七) [第27讲数列的概念与简单表示法][时间：45分钟分值：100分]基础热身1．86是数列{3n ＋2}中的第________项．2．已知数列前四项分别是12，－14，18，－116，它的一个通项公式为________．3．下面六个结论中：①数列若用图象法表示，从图象看都是一群孤立的点； ②数列的项数是无限的； ③数列的通项公式是惟一的； ④数列不一定有通项公式；⑤数列1,2,3，…，不一定是递增的；⑥把数列看做函数，其定义域是N *或它的有限子集{}1，2，3，…，k . 其中正确的是________(填序号)．4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2n－1，则a 8＝________. 能力提升5．已知数列{a n }的前4项为1,3,7,15，写出数列{a n }的一个通项公式a n ＝________.6．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 2(3＋n 2)－2，那么log 23是这个数列的第________项．7．若数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝log 4(2n －1)，则a 6等于________． 8．n 个连续自然数按规律排成下表：011…根据规律，从2 011到2 013的箭头方向依次为________． ①↓→ ②→↑ ③↑→ ④→↓9．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n ＝________.10．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－16n ，第k 项满足6<a k <9，则k ＝________.11．[2012·无锡初期模拟] 数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝7，当n ≥1时，a n ＋2等于a n ·a n＋1的个位数字，则a 2 012＝________.12．若数列{a n }的通项公式a n ＝7⎝ ⎛⎭⎪⎫342n －2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1(n ∈N *)，则数列{a n }的最大项为第________项，最小项为第________项．13．(8分)写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)1,3,5,7；(2)22－12，32－13，42－14，52－15；(3)－11×2，12×3，－13×4，14×5.14．(8分)有一数列{a n }，a 1＝a (a ≠0)，且满足递推关系a n ＋1＝2a n1＋a n.(1)写出这个数列的前4项；(2)若数列{b n }满足b n ＝1a n，求数列{b n }的通项公式．15．(12分)(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n－3，求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ≥1)，求数列{a n }的通项公式．16．(12分)已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9n 2－9n ＋29n 2－1(n ∈N *)． (1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内．课时作业(二十七)【基础热身】1．28 [解析] ∵86＝3n ＋2，解得n ＝28，∴86是数列{}3n ＋2中的第28项．2．a n ＝－1n ＋12n(n ∈N *) [解析] 由分母变化规律得分母为2n，又偶数项均为负数，故a n ＝－1n ＋12n(n ∈N *)． 3．①④⑤⑥ [解析] 根据数列的有关概念可知②③不正确，其余均正确．4．128 [解析] a 8＝S 8－S 7＝28－27＝128. 【能力提升】5．2n－1 [解析] 每一项比前一项增加的速度较大，可以考虑是指数函数关系，联想到2n ，可以得出通项公式为a n ＝2n－1.6．3 [解析] 由log 2(3＋n 2)－2＝log 23，得n 2＝9，又n ∈N *，故n ＝3.7．log 4119 [解析] a 6＝S 6－S 5＝log 411－log 49＝log 4119.8．④ [解析] 观察4的倍数0,4,8，…的位置．由于2 012是4的倍数，故指向2 012的箭头是→，从2 012指出的箭头是↓.故选④.9．2＋ln n [解析] a 2＝a 1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11，a 3＝a 2＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12，…，a n ＝a n －1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n －1⇒a n ＝a 1＋ln ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21·⎝ ⎛⎭⎪⎫32·⎝ ⎛⎭⎪⎫43·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫n n －1＝2＋ln n .10．12 [解析] 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －17，当n ＝1时，a 1＝－15，满足上式，所以通项公式是a n ＝2n －17，因为6<a k <9，所以6<2k －17<9，即11.5<k <13，又因为k ∈N *，所以k ＝12.11．7 [解析] 由条件知，a 1＝3，a 2＝7，a 3＝1，a 4＝7，a 5＝7，a 6＝9，a 7＝3，a 8＝7，…，可见{a n }是周期为6的周期数列，故a 2 012＝a 2＝7.12．1 6 [解析] 换元后利用二次函数在给定区间上的最值得出求解的方法，进而求出数列的最大项和最小项．令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1，则t ∈(0,1]，a n ＝7t 2－3t ＝7⎝ ⎛⎭⎪⎫t －3142－928，当n ＝1时，t ＝1离t 0＝314最远，故a 1最大；当n ＝6时，t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫345离t 0＝314最近，故a 6最小．13．[解答] (1)通过观察可知这个数列的前4项都是序号的2倍减去1，所以它的一个通项公式是：a n ＝2n －1()n ∈N *.(2)通过观察可知这个数列的前4项的分母都是序号加上1，分子都是分母的平方减去1，所以它的一个通项公式是： a n ＝n n ＋2n ＋1(n ∈N *)．(3)通过观察可知这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是： a n ＝(－1)n 1n n ＋1(n ∈N *)．14．[解答] (1)∵a 1＝a ，a n ＋1＝2a n 1＋a n ，∴a 2＝2a 1＋a ；a 3＝2a 21＋a 2＝4a 1＋a 1＋2a 1＋a＝4a1＋3a；a 4＝2a 31＋a 3＝8a 1＋3a 1＋4a 1＋3a＝8a 1＋7a. (2)因为b n ＋1＝1a n ＋1＝1＋a n 2a n ＝12a n ＋12＝12b n ＋12，所以设(b n ＋1＋λ)＝12(b n ＋λ)，所以λ＝－1，故数列{b n －1}是以b 1－1＝1a －1为首项，12为公比的等比数列，故b n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，所以b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋1.15．[解答] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1.故数列{}a n 的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1n ＝1，2n －1n ≥2.(2)方法1：由a n ＋1＝2S n ＋1可得a n ＝2S n －1＋1()n ≥2，两式相减得a n ＋1－a n ＝2a n ，a n ＋1＝3a n ()n ≥2，又a 2＝2S 1＋1＝3, ∴a 2＝3a 1，故{}a n 是首项为1，公比为3的等比数列， ∴a n ＝3n －1. 方法2：由于a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝2S n ＋1，故S n ＋1－S n ＝2S n ＋1，S n ＋1＝3S n ＋1，把这个关系化为S n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫S n ＋12，即得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12为首项是S 1＋12＝32，公比是3的等比数列，故S n ＋12＝32×3n －1＝12·3n ，故S n ＝12·3n －12.所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －1，由n＝1时a 1＝1也适合这个公式，故所求的数列{}a n 的通项公式是a n ＝3n －1.[点评] 在数列中根据数列前n项和的定义得到的关系式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2 占有重要位置，很多数列试题就是以此为出发点设计的．在使用这个关系式时，一定要注意分n＝1，n ≥2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起．在根据数列的通项a n 与前n 项和的关系求解数列的通项公式时，要考虑两个方面，一方面是根据S n ＋1－S n ＝a n ＋1把数列中的和转化为数列的通项之间的关系；另一方面是根据a n ＋1＝S n ＋1－S n 把数列中的通项转化为和的关系，先求S n 再求a n .16．[解答] (1)a n ＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝3n －13n －23n －13n ＋1＝3n －23n ＋1. 令n ＝10，得第10项a 10＝2831.(2)令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300.此方程无自然数解，所以98101不是该数列中的项．(3)证明：∵a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1，又n ∈N *，∴0＜33n ＋1＜1，∴0＜a n ＜1.即数列中的各项都在区间(0,1)内．。

高考数学大一轮复习配套课时训练：第五篇数列第1节数列的概念与简单表示法(含答案)

第五篇数列(必修5)第1节数列的概念与简单表示法课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.设数列{a n}的前n项和S n=n2,则a8的值为( A )(A)15 (B)16 (C)49 (D)64解析:由a8=S8-S7=64-49=15,故选A.2.(2013华师大附中高三模拟)数列{a n}中,a1=1,a n=+1,则a4等于( A )(A)(B)(C)1 (D)解析:由a1=1,a n=+1得,a2=+1=2,a3=+1=+1=,a4=+1=+1=.故选A.3.下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是( C )(A)1,,,,…(B)-1,-2,-3,-4,…(C)-1,-,-,-,…(D)1,,,…,解析:根据定义,属于无穷数列的是选项A、B、C(用省略号),属于递增数列的是选项C、D,故满足要求的是选项C.故选C.4.下列关于星星的图案中,星星的个数依次构成一个数列,该数列的一个通项公式是( C )(A)a n=n2-n+1 (B)a n=(C)a n=(D)a n=解析:从题图中可观察星星的构成规律,n=1时,有1个;n=2时,有3个;n=3时,有6个;n=4时,有10个;…∴a n=1+2+3+4+…+n=,故选C.5.下面五个结论:①数列若用图象表示,从图象上看都是一群孤立的点;②数列的项数是无限的;③数列的通项公式是唯一的;④数列不一定有通项公式;⑤将数列看做函数,其定义域是N*(或它的有限子集{1,2,…,n}).其中正确的是( B )(A)①②④⑤ (B)①④⑤(C)①③④(D)②⑤解析:②中数列的项数也可以是有限的,③中数列的通项公式不唯一,故选B.6.(2013东莞模拟)数列{a n}满足:a1+3a2+5a3+…+(2n-1)·a n=(n-1)·3n+1+3,则数列{a n}的通项公式a n=( C ) (A)3n-1(B)(2n-1)·3n(C)3n(D)(2n-1)·3n-1解析:当n≥2时,有a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·a n-1=(n-2)·3n+3,两式相减得(2n-1)a n=(n-1)3n+1-(n-2)3n,即(2n-1)a n=(2n-1)·3n,故a n=3n.又a1=3满足a n=3n,故选C.7.(2013太原一模)已知函数f(x)=若数列{a n}满足a n=f(n)(n∈N*),且{a n}是递增数列,则实数a的取值范围是( C ) (A)[,3) (B)(,3)(C)(2,3) (D)(1,3)解析:由题意,a n=f(n)=要使{a n}是递增数列,必有解得,2<a<3.故选C.二、填空题8.数列-,,-,,…的一个通项公式为.解析:观察各项知,其通项公式可以为a n=.答案:a n=9.(2013广西一模)数列{a n}中,已知a1=1,a2=2,a n+1=a n+a n+2(n∈N*),则a7= .解析:由a n+1=a n+a n+2,得a n+2=a n+1-a n.所以a3=a2-a1=1,a4=a3-a2=-1,a5=a4-a3=-1-1=-2.a6=a5-a4=-2-(-1)=-1,a7=a6 -a5=-1-(-2)=1.答案:110.(2013清远调研)已知数列{a n}的前n项和S n=n2+2n-1,则a1+a25= .解析:∵S n=n2+2n-1,∴a1=S1=2.当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2+2n-1-[(n-1)2+2(n-1)-1]=2n+1.∴a n=∴a1+a25=2+51=53.答案:5311.(2013东莞市高三模拟)已知数列{a n}的前n项和S n=n2-3n,若它的第k项满足2<a k<5,则k= .解析:a1=S1=1-3=-2,当n≥2时a n=S n-S n-1=n2-3n-(n-1)2+3(n-1),∴a n=2n-4,由2<a k<5得2<2k-4<5,则3<k<,所以k=4.答案:4三、解答题12.数列{a n}的通项公式是a n=n2-7n+6.(1)这个数列的第4项是多少?(2)150是不是这个数列的项?若是这个数列的项,它是第几项?(3)该数列从第几项开始各项都是正数?解:(1)当n=4时,a4=42-4×7+6=-6.(2)是.令a n=150,即n2-7n+6=150,解得n=16或n=-9(舍去),即150是这个数列的第16项.(3)令a n=n2-7n+6>0,解得n>6或n<1(舍).故数列从第7项起各项都是正数.13.(2013潮州期末质检)数列{a n}的前n项和S n=,若a1=,a2=.(1)求数列{a n}的前n项和S n;(2)求数列{a n}的通项公式;(3)设b n=,求数列{b n}的前n项和T n.解:(1)由S1=a1=,得=;由S2=a1+a2=,得=.∴解得故S n=.(2)当n≥2时,a n=S n-S n-1=-==由于a1=也适合a n=.∴a n=.(3)b n===-.∴数列{b n}的前n项和T n=b1+b2+…+b n-1+b n=1-+-+…+-+-=1-=.B组14.对于数列{a n},a1=4,a n+1=f(a n),依照下表则a2015=( D )(A)2 (B)3 (C)4 (D)5解析:由题意a2=f(a1)=f(4)=1,a3=f(a2)=f(1)=5,a4=f(a3)=f(5)=2,a5=f(a4)=f(2)= 4,a6=f(a5)=f(4)=1.则数列{a n}的项周期性出现,其周期为4,a2015=a4×503+3=a3=5.故选D.15.已知数列{a n}的通项a n=n2(7-n)(n∈N*),则a n的最大值是.解析:设f(x)=x2(7-x)=-x3+7x2,当x>0时,由f′(x)=-3x2+14x=0得,x=.当0<x<时,f′(x)>0,则f(x)在上单调递增,当x>时,f′(x)<0,f(x)在上单调递减,所以当x>0时,f(x)max=f.又n∈N*,4<<5,a4=48,a5=50,所以a n的最大值为50.答案:5016.已知数列{a n}的通项公式为a n=n2-n-30.(1)求数列的前三项,60是此数列的第几项?(2)n为何值时,a n=0,a n>0,a n<0?(3)该数列前n项和S n是否存在最值?说明理由. 解:(1)由a n=n2-n-30,得a1=12-1-30=-30,a2=22-2-30=-28,a3=32-3-30=-24.设a n=60,则60=n2-n-30.解之得n=10或n=-9(舍去).∴60是此数列的第10项.(2)令a n=n2-n-30=0,解得n=6或n=-5(舍去).∴a6=0.令n2-n-30>0,解得n>6或n<-5(舍去).∴当n>6(n∈N*)时,a n>0.令n2-n-30<0,解得0<n<6.∴当0<n<6(n∈N*)时,a n<0.(3)S n存在最小值,不存在最大值.由a n=n2-n-30=-30,(n∈N*)知{a n}是递增数列,且a1<a2<…<a5<a6=0<a7<a8<a9<…,故S n存在最小值S5=S6,不存在最大值.。

高考数学一轮总复习课件：数列的概念及简单表示

1)(an－
2)．设bn＝an－
2，则bn＋1＝(
2
－1)·bn，即
bn＋1 bn
＝
2－1，
b1＝a1－ 2＝2－ 2，因此数列{bn}是以 2－1为公比，以2－ 2为
首项的等比数列．
所以bn＝(2－ 2)×( 2－1)n－1＝ 2×( 2－1)n，所以an＝ 2( 2 －1)n＋ 2.
(4)已知数列{an}满足a1＝ 2
【解析】
(累加法)原递推式可化为an＋1＝an＋
1 n
－
1 n＋1
，则a2
＝a1＋11－12，a3＝a2＋12－13，a4＝a3＋13－14，…，an＝an－1＋n－1 1－1n.
逐项相加，得an＝a1＋1－1n.又a1＝3，故an＝4－1n.
(2)设数列{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)·an＋12－nan2＋ 1
2 n
(3)an＝2n＋1－3
(4)an＝32n－1
状元笔记
已知数列的递推关系求通项公式的常用方法 (1)当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解． (2)当出现aan－n 1＝f(n)时，用累乘法求解． (3)当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列．
思考题2 (1)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋ n（n1＋1），则通项公式an＝_4_－__1n____．
，
5 5
，
7 10
， 197
，…，对于分子3，5，
7，9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋ 1，对于分母2，5，10，17，…联想到数列1，4，9，16，…，
即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，故可得它的一个通项公式为an＝2nn2＋＋11.

一轮复习课时训练§5.1：数列的概念与简单表示法

第五章§1：数列的概念与简单表示法(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100，训练时间45钟一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列对数列的理解有四种：①数列可以看成一个定义在N *(或它的有限子集{1,2，…，n})上的函数； ②数列的项数是有限的；③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点； ④数列的通项公式是唯一的．其中说法正确的序号是A ．①②③B ．②③④C ．①③D ．①②③④ 2．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝5，a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，则a 2 018等于A ．5B ．－5C ．1D ．－1 3．数列2，－1，12，－14，x ，y ，…中的x ，y 值是A.18，116B ．－18，116C ．－18，－116D ．18，－1164．数列{a n }满足a n a n ＋1＝2，且a 2＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 31为A ．45B ．46C ．47D ．485．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝anbn ＋c，其中a ，b ，c 均为正数，那么a n 与a n ＋1的大小是 A ．a n >a n ＋1B ．a n <a n ＋1C ．a n ＝a n ＋1D ．与n 的取值有关二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．已知数列{a n }的通项公式a n ＝nn 2＋9，则数列{a n }的最大项是______． 7．设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝______. 8．已知{a n }的前n 项和为S n ，满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则a n ＝______.三、解答题：本大题共2小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）设数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，S n＝na n－2n(n－1)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{1a n a n＋1}的前n项和为T n，求T n<625时n的最大值．10．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{a n}满足f(log2a n)＝－2n.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求证：数列{a n}是递减数列．参考答案及其解析一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.1．解析：数列的项数可以是无限的，通项公式的表示不唯一，故②④错误．答案：C2．解析：由已知a 1＝1，a 2＝5，a 3＝4，a 4＝－1，a 5＝－5，a 6＝－4，a 7＝1，a 8＝5…∴数列{a n }是周期为6的周期数列， ∴a 2 018＝a 336×6＋2＝a 2＝5. 答案：A3．解析：偶数项为负，奇数项为正，x 是奇数项，y 是偶数项，因此选D 项．答案：D4．解析：由已知得a 1＝2，a 2＝1，a 3＝2，a 4＝1…，∴数列{a n }为周期数列．周期T ＝2，∴S 31＝15(a 1＋a 2)＋a 31＝15×3＋2＝47. 答案：C 5．解析：a n ＋1－a n ＝a (n ＋1)b (n ＋1)＋c －anbn ＋c ＝a (n ＋1)(bn ＋c )－an[b (n ＋1)＋c](bn ＋b ＋c )(bn ＋c )＝ac(bn ＋b ＋c )(bn ＋c )>0，∴a n ＋1>a n .答案：B二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．解析：∵a n ＝n n 2＋9，∴a n ＝1n ＋9n，∵n ＋9n ≥2n·9n ＝6，当且仅当n ＝9n，即n ＝3时取“＝”号，∴n ＝3时，a n 的最大项是a 3＝39＋9＝16.答案：167．解析：由a n ＋1＝a n ＋n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝n ＋1，∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，…，a n －a n －1＝n ， ∴累加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ，∴a n ＝n (n ＋1)2＋1.答案：n (n ＋1)2＋18．解析：由已知S n ＋1＝2n ＋1，∴S n ＝2n ＋1－1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－1－2n ＋1＝2n .当n ＝1时，a 1＝S 1＝3.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3，n ＝12n ，n ≥2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝12n，n ≥2三、解答题：本大题共2小题，共36分．9.（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）解：(1)由S n ＝na n －2n(n －1)得a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(n ＋1)a n ＋1－na n －4n 即a n ＋1－a n ＝4 ∴数列{a n }是以1为首项，4为公差的等差数列， ∴数列{a n }是通项公式为a n ＝4n －3. (2)∵a n ＝4n －3， ∴1a n a n ＋1＝1(4n －3)·(4n ＋1)＝14(14n －3－14n ＋1) T n ＝1a 1a 2＋…＋1a n a n ＋1＝11×5＋15×9＋19×13＋…＋1(4n －3)×(4n ＋1)＝14(1－15＋15－19＋19－113＋…＋14n －3－14n ＋1) ＝14(1－14n ＋1)．从而14(1－14n ＋1)<625，解得n<6，n 的最大值为5.10.（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）解：(1)∵f(x)＝2x －2－x ，∴f(log 2a n )＝2log 2a n －2－log 2a n ＝－2n ，即a n －1a n＝－2n.∴a 2n ＋2n·a n －1＝0.∴a n ＝－2n±4n 2＋42，又a n >0，∴a n ＝n 2＋1－n.(2)证明：∵a n>0，且a n＝n2＋1－n，∴a n＋1a n＝(n＋1)2＋1－(n＋1)n2＋1－n＝n2＋1＋n(n＋1)2＋1＋(n＋1)<1.∴a n＋1<a n.即{a n}为递减数列．。

数列的概念及简单表示法(一轮复习)

题型分类·深度剖析
题型一
由数列的前几项求数列的通项
【例 1】写出下面各数列的一个
通项公式：
(1)3,5,7,9，…； (2)12，34，78，1156，3312，…； (3)－1，32，－13，34，－15，36，…； (4)3,33,333,3 333，….
思维启迪
解析
探究提高
偶数项为 2＋1，所以 an＝ (－1)n·2＋n－1n.也可写为 an＝
§5.1 数列的概念及简单表示法
基础知识·自主学习
知识梳理
1．数列的定义
1．对数列概念的理解
按一定次序排列的一列数叫作数列， (1) 数列是按一定 “ 次
序”排列的一列数，一
数列中的每一个数叫作这个数列的项 . 个数列不仅与构成它的
2．数列的分类
“数”有关，而且还与
分类原则按项数分类
(4)3,33,333,3 333，….
题型分类·深度剖析
题型一
由数列的前几项求数列的通项
【例 1】写出下面各数列的一个
通项公式：
(1)3,5,7,9，…； (2)12，34，78，1156，3312，…； (3)－1，32，－13，34，－15，36，…； (4)3,33,333,3 333，….
通项公式：
(1)3,5,7,9，…； (2)12，34，78，1156，3312，…； (3)－1，32，－13，34，－15，36，…； (4)3,33,333,3 333，….
思维启迪
解析
探究提高
(1)据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征： ①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征； ③拆项后的特征； ④各项符号特征等，并对此进行归纳、联想．

高三第一轮复习数列的概念与简单表示法课件

1 ∴ Sn = . 2n
∴当 n ≥ 2, n ∈ N* 时, an = −2 Sn Sn −1 1 1 1 = −2 ⋅ ⋅ =− , 2n 2(n − 1) 2n(n − 1) 1 (n = 1) 2 ∴ an = . 1 − (n ≥ 2, n ∈ N* ) 2n(n − 1)
⋯⋯ a3 = 3, a2 a2 = 2, a1 a1 = 1.
累乘可个 ,
an = n × (n − 1) × (n − 2) × ⋯ × 3 × 2 × 1 = n！ . . 故 an = n！
1 (3) ∵ an+1 = an + ln(1 + ), n 1 n +1 . ∴ an+1 − an = ln(1 + ) = ln n n n ∴ an − an−1 = ln , n −1 n −1 an−1 − an−2 = ln , n−2 ⋯⋯ 2 a2 − a1 = ln , 1 ∴ an − a1 = ln n n −1 2 + ln + ⋯ + ln = ln n. n −1 1 n−2 又 a1 = 2,∴ an = ln n + 2.
此题也可用排除法求解，只需验证当n=1时，A 3 3 1 选项为，B选项为，C选项为，均不为1，故 2 4 3 排除A 排除A、B、C，从而选D. 从而选D
在数列{ 3.在数列{an}中,a1=1,a2=5,an+2=an+1-an (n∈N*), 则a100等于 A.1 解析 B.B.-1 方法一 C.5 （ B ） D.D.-5 由a1=1,a2=5,an+2=an+1-an
题型二
由数列的递推公式求通项a 由数列的递推公式求通项an

§2.1.1数列的概念与简单表示法(一)

2013-8-14 重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@ 10
§2.1.1数列的概念与简单表示法(一)
辨析数列的概念: (1) “1, 2, 3, 4, 5”与“5, 4, 3, 2, 1”是同一个数列吗？与“1, 3, 2, 4, 5”呢？
——数列的有序性 (2) 数列中的数可以重复吗？ (3) 数列与集合有什么区别？集合讲究：无序性、互异性、确定性，数列讲究：有序性、可重复性、确定性.
重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@
15
§2.1.1数列的概念与简单表示法(一)
如何用数学式子表示递增数列、递减数列和常数列？
递增数列： an > an - 1(n = 2, 3, 4, L ) 递减数列： an < an - 1(n = 2, 3, 4, L ) 常数列： an = c (n = 1, 2, 3, L )
22 1 32 1 42 1 52 1 （2） , , , ; 2 3 4 5 解：此数列的前四项的分母都是序号加1，分子都是分母的平方减去1，所以通项公式是：
an
n 1
1 nn 2 n 1 n 1
2
重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@ 20
每个格子里的麦粒数都是前一个格子里麦粒数的 2倍且共有 64 格子
2 1
0
2 2 18,446,744,073,709,551,615
2
1
2
3
2 63 ?
2013-8-14
重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@
3
§2.1.1数列的概念与简单表示法(一)
一斤小麦约1万粒。
项
2
1

2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)第1课时数列的基本概念

探究 2 an 与 Sn 的关系式 an＝Sn－Sn－1 的条件是 n≥2，求 an 时切勿漏掉 n＝1 即 a1＝S1 的情况．一般地，当 a1＝S1 适合 an＝Sn－Sn－1 时，an＝Sn－Sn－1；当 a1＝S1
不适合 an＝Sn－Sn－1 时，an＝SS1n－Sn－1
n＝1 n≥2
可得分子的通项公式为 bn ＝ 2n ＋ 1 ，对于分母 2,5,10,17，…联想到数列 1,4,9,16，…
第六章第1课时
高考调研
高三数学（新课标版·理）
即数列{n2}，可得分母的通项公式为 cn＝n2＋1， ∴可得它的一个通项公式为 an＝2nn2＋＋11.
【答案】
第六章第1课时
高考调研
高三数学（新课标版·理）
第六章第1课时
高考调研
高三数学（新课标版·理）
题型一归纳通项公式
例 1 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：
(1)－1,7，－13,19，… (2)0.8,0.88,0.888，… (3)1,0，13，0，15，0，17，0，… (4)32，1，170，197，…
第六章第1课时
高考调研
高三数学（新课标版·理）
题型三递推数列的通项
例 3 (1)(2008·四川)设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n ＋1，则通项 an＝________.
(2)a1＝1，aan＋n1＝n＋1，则通项 an＝________. (3)a1＝1，an＋1＝3an＋2，则通项 an＝________. (4)an>0，an＋2 2＝ 2Sn，则通项 an＝________.
第六章第1课时
高考调研

2013届高三人教A版理科数学一轮复习课时作业(27)数列的概念与简单表示法)

课时作业(二十七)　[第27讲　数列的概念与简单表示法][时间：45分钟　分值：100分]1．[2011·阜阳质检] 数列{a n}：1，－，，－，…的一个通项公式是( )A．a n＝(－1)n＋1(n∈N＋)B．a n＝(－1)n－1(n∈N＋)C．a n＝(－1)n＋1(n∈N＋)D．a n＝(－1)n－1(n∈N＋)2．[2010·安徽卷] 设数列{a n}的前n项和S n＝n2，则a8的值为( ) A．15 B．16 C．49 D．643．在数列{a n}中，a1＝1，a n a n－1＝a n－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则的值是( )A. B. C. D.4．[2011·沈阳模拟] 已知数列{a n}中，a1＝，a n＋1＝1－(n∈N*)，则a16＝________.5．[2011·福州质检] 把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角形(如图K27－1)．则第7个三角形数是( )图K27－1A．27 B．28C．29 D．306．[2011·太原模拟] 已知S n是非零数列{a n}的前n项和，且S n＝2a n －1，则S2 011等于( )A．1－22 010 B．22 011－1C．22 010－1 D．1－22 0117．已知数列{a n}，a1＝2，a n＋1＝a n＋2n(n∈N*)，则a100的值是( )A．9 900 B．9 902C．9 904 D．11 0008．已知数列{a n}中，a1＝1，＝＋3(n∈N*)，则a10＝( )A．28 B．33C. D.9．[2011·黄冈中学模拟] 已知数列{a n}的通项a n＝(a，b，c∈(0，＋∞))，则a n与a n＋1的大小关系是( )A．a n>a n＋1 B．a n<a n＋1C．a n＝a n＋1 D．不能确定10．[2011·朝阳二模] 已知数列{a n}满足a1＝2，且a n＋1a n＋a n＋1－2a n＝0(n∈N*)，则a2＝________；并归纳出数列{a n}的通项公式a n＝________.11．[2011·淮南一模] 已知数列{a n}的前n项和S n＝n2＋2n－1，则a1＋a3＋a5＋…＋a25＝________.12．若数列{a n}的前n项和S n＝n2－10n(n＝1,2,3，…)，则数列{a n}的通项公式为________________________________________________________________________数列{na n}中数值最小的项是第________项．13．[2011·永州四中模拟] 一同学在电脑中打出如下若干个圆(图中●表示实心圆，○表示空心圆)：●○●●○●●●○●●●●○●●●●●○●●●●●●○若将此若干个圆依次复制得到一系列圆，那么在前2 013个圆中，空心圆的个数为________．14．(10分)在2011年10月1日的国庆阅兵式上，有n(n≥2)行、n＋1列的步兵方阵．(1)写出一个数列，用它表示当n分别为2,3,4,5,6，…时方阵中的步兵人数；(2)说出(1)题中数列的第5、6项，并用a5，a6表示；(3)把(1)中的数列记为{a n}，求该数列的通项公式a n＝f(n)；(4)已知a n＝9 900，问a n是第几项？此时步兵方阵有多少行、多少列？(5)画出a n＝f(n)的图象，并利用图象说明方阵中步兵人数有可能是56,28吗？15．(13分)[2011·蚌埠调研] 已知数列{a n}满足前n项和S n＝n2＋1，数列{b n}满足b n＝，且前n项和为T n，设c n＝T2n＋1－T n.(1)求数列{b n}的通项公式；(2)判断数列{c n}的单调性；(3)当n≥2时，T2n＋1－T n<－log a(a－1)恒成立，求a的取值范围．16．(1)(6分)[2011·浙江卷] 若数列中的最大项是第k项，则k＝________.(2)(6分)[2010·湖南卷] 若数列{a n}满足：对任意的n∈N*，只有有限个正整数m使得a m＜n成立，记这样的m的个数为(a n)*，则得到一个新数列{(a n)*}．例如，若数列{a n}是1,2,3，…，n，…，则数列{(a n)*}是0,1,2，…，n－1，….已知对任意的n∈N*，a n＝n2，则(a5)*＝________，((a n)*)*＝________.课时作业(二十七)【基础热身】1．D　[解析] 观察数列{a n}各项，可写成：，－，，－，故选D.2．A　[解析] 当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，则a8＝2×8－1＝15，故选A.3．C　[解析] 由已知得a2＝1＋(－1)2＝2，由a3·a2＝a2＋(－1)3，得a3＝，又由a4＝＋(－1)4，得a4＝3，由3a5＝3＋(－1)5，得a5＝，则＝＝，故选C.4.　[解析] 由题可知a2＝1－＝－1，a3＝1－＝2，a4＝1－＝，a5＝1－＝－1，…，则此数列为周期数列，周期为3，故a16＝a1＝.【能力提升】5．B　[解析] 根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，故选B.6．B　[解析] 当n＝1时，S1＝2a1－1，得S1＝a1＝1；当n≥2时，a n＝S n－S n－1，代入S n＝2a n－1，得S n＝2S n－1＋1，即S n＋1＝2(S n－1＋1)，∴S n＋1＝(S1＋1)·2n－1＝2n，∴S2 011＝22 011－1，故选B.7．B　[解析] a100＝(a100－a99)＋(a99－a98)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2(99＋98＋…＋2＋1)＋2＝2·＋2＝9 902，故选B.8．D　[解析] 对递推式叠加得－＝27，故a10＝.9．B　[解析] 把数列{a n}的通项化为a n＝＝，∵c>0，∴y＝是单调递减函数，又∵a>0，b>0，∴a n＝为递增数列，因此a n<a n＋1，故选B.10. [解析] 当n＝1时，由递推公式，有a2a1＋a2－2a1＝0，得a2＝＝；同理a3＝＝，a4＝＝，由此可归纳得出数列{a n}的通项公式为a n＝.11．350　[解析] 当n＝1时，a1＝S1＝12＋2－1＝2，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(n2＋2n－1)－[(n－1)2＋2(n－1)－1]＝2n＋1，又a1＝2不适合上式，则数列{a n}的通项公式为a n＝所以a1＋a3＋a5＋…＋a25＝(a1＋1)＋a3＋a5＋…＋a25－1＝×13－1＝350.12．a n＝2n－11　3　[解析] n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2－10n－[(n －1)2－10(n－1)]＝2n－11；n＝1时，a1＝S1＝－9符合上式．∴数列{a n}的通项公式为a n＝2n－11.∴na n＝2n2－11n，∴数列{na n}中数值最小的项是第3项．13．448　[解析] 复制一次得圆总数为27个，其中空心圆的个数为6个，要得到2013个圆，需先复制74次，再复制前15个圆即可，所以空心圆的个数为74×6＋4＝448.14．[解答] (1)该数列为6,12,20,30,42，…；(2)a5＝42，a6＝56；(3)a n＝(n＋1)(n＋2)(n∈N*)；(4)由9900＝(n＋1)(n＋2)，解得n＝98，a n是第98项，此时步兵方阵有99行，100列；(5)f(n)＝n2＋3n＋2，如图，图象是分布在函数f(x)＝x2＋3x＋2上的孤立的点，由图可知，人数可能是56，不可能是28.15．[解答] (1)当n＝1时，a1＝2，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n－1(n≥2)．∴数列{b n}的通项公式为b n＝(2)∵c n＝T2n＋1－T n，∴c n＝b n＋1＋b n＋2＋…＋b2n＋1＝＋＋…＋，∴c n＋1－c n＝＋－<0，∴数列{c n}是递减数列．(3)由(2)知，当n≥2时c2＝＋＋为最大，∴＋＋<－log a(a－1)恒成立，∴1<a<.【难点突破】16．(1)4　(2)2　n2　[解析] (1)设最大项为第k项，则有∴⇒⇒k＝4.(2)本题以数列为背景，通过新定义考查学生自学能力、创新能力、探究能力，属于难题．因为a m<5，而a n＝n2，所以m＝1,2，所以(a5)*＝2.因为(a1)*＝0，(a2)*＝1，(a3)*＝1，(a4)*＝1，(a5)*＝2，(a6)*＝2，(a7)*＝2，(a8)*＝2，(a9)*＝2，(a10)*＝3，(a11)*＝3，(a12)*＝3，(a13)*＝3，(a14)*＝3，(a15)*＝3，(a16)*＝3，所以((a1)*)*＝1，((a2)*)*＝4，((a3)*)*＝9，((a4)*)*＝16，猜想((a n)*)*＝n2.。

高考数学一轮复习课时作业(二十七)第27讲数列的概念

课时作业(二十七)第27讲数列的概念与简单表示法时间/ 45分钟分值/ 100分基础热身1.已知数列{a n}的通项公式为a n=,则0.96是该数列的()A. 第20项B. 第22项C. 第24项D. 第26项2.已知n∈N*,给出下列各式:①a n=②a n=;③a n=;④a n=.其中能作为数列0,1,0,1,0,1,…的通项公式的是()A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①③④3.已知数列{a n}满足a1=1,a n+1a n=2n(n∈N*),则a10=()A. 64B. 32C. 16D. 84.[2017·佛山二模]若数列{a n}的前n项和S n=n2-n,则数列{a n}的通项公式为a n= .5.已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2a n-n,则{a n}的通项公式为a n= .能力提升6.数列{a n}满足a1=2,a n+1=,则a2018=()A. B. -C. 2D. -37.[2017·黄冈质检]已知数列{x n}满足x n+2=|x n+1-x n|(n∈N*),若x1=1,x2=a(a≤1,a≠0),且x n+3=x n对于任意正整数均成立,则数列{x n}的前2017项和S2017=()A. 672B. 673C. 1344D. 13458.[2017·江西九江三模]意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时,发现有这样的一列数:1,1,2,3,5,8,….该数列的特点是:前两个数均为 1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{a n}称为斐波那契数列,则(a1a3+a2a4+a3a5+a4a6+a5a7+a6a8)-(+++++)=()A. 0B. -1C. 1D. 29.[2017·北京东城区二模]已知甲、乙两个容器,甲容器容量为x,装满纯酒精,乙容器容量为z,装有体积为y的水(x<z,y<z,单位:L).现将甲容器中的液体倒入乙容器中,直至甲容器中的液体倒完或乙容器盛满,搅拌使乙容器中的两种液体充分混合,再将乙容器中的液体倒入甲容器中直至倒满,搅拌使甲容器中的液体充分混合,如此称为一次操作,假设操作过程中溶液体积变化忽略不计.设经过n(n∈N*)次操作之后,乙容器中含有酒精a n(单位:L),则下列关于数列{a n}的说法正确的是()A. 当x=y=a时,数列{a n}有最大值B. 设b n=a n+1-a n(n∈N*),则数列{b n}为递减数列C. 对任意的n∈N*,都有a n≤D. 对任意的n∈N*,都有a n≤10.已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=n-5a n+23,则数列{a n}的通项公式为a n=()A. 3×-1B. 3×-1C. 3×+1D. 3×+111.已知数列{a n}的通项公式为a n=-n2-λn,n∈N*,且数列{a n}是递减数列,则实数λ的取值范围是.12.[2017·大同三模]已知数列{a n}满足a1=1,a n-a n+1=na n a n+1(n∈N*),则a n= .13.(15分)已知数列{a n}的通项公式为a n=n2+kn+4.(1)若k=-5,则数列{a n}中有多少项是负数?n为何值时,a n取得最小值?并求出最小值.(2)若对任意的n∈N*,都有a n+1>a n,求实数k的取值范围.14.(15分)[2017·湖北襄阳四中五模]已知数列{a n}的前n项和为S n,对任意的p,q∈N*,都有S p+S q=-p2-q2.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)令c n=,求数列{c n}的前n项和T n.难点突破15.(5分)[2017·安徽江淮十校联考]定义F(x,y)=y x(x>0,y>0),已知数列{a n}满足a n=(n∈N*),若对任意正整数n,都有a n≥a k(k∈N*)成立,则a k的值为()A. B. 2C. D.16.(5分)已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=m,且S n+S n+1=3n2+2n,若对∀n∈N*,a n<a n+1恒成立,则m的取值范围是.课时作业(二十七)1. C[解析] 依题意得=0.96,解得n=24,故选C.2. A[解析] 令n=1,2,3,4,…,分别代入①②③④的式子中检验,可知①②③满足题意,故选A.3. B[解析] 因为a n+1a n=2n,所以a n+2a n+1=2n+1,两式相除得=2.又a1a2=2,a1=1,所以a2=2, 所以···=24,即a10=25=32.4.n-1[解析] 当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2-n-(n-1)2+(n-1)=n-1,当n=1时,a1=S1=,也满足上式,所以a n=n-1.5. 2n-1[解析] 因为S n=2a n-n,所以当n=1时,a1=2a1-1,即a1=1,当n≥2时,a n=S n-S n-1=2a n-n-[2a n-1-(n-1)]=2a n-2a n-1-1,即a n-2a n-1-1=0,所以a n=2a n-1+1,所以a n+1=2(a n-1+1),即数列{a n+1}是公比为2的等比数列,首项为a1+1=2,所以a n+1=2×2n-1=2n,所以a n=2n-1.6.D[解析] 由a1=2,a n+1=,得a2=-3,a3=-,a4=,a5=2,…,于是可知数列{a n}具有周期性,且周期为4,故a2018=a2=-3.7. D[解析] 因为x n+2=|x n+1-x n|(n∈N*),x1=1,x2=a(a≤1,a≠0),所以x3=1-a,所以x1+x2+x3=1+a+1-a=2.因为x n+3=x n对于任意正整数均成立,所以数列{x n}的周期为3,所以S2017=672×2+1=1345,故选D.8. A[解析] 由题得a1a3-=1×2-12=1,a2a4-=1×3-22=-1,a3a5-=2×5-32=1,…,∴(a1a3+a2a4+a3a5+a4a6+a5a7+a6a-(+++++)=0.故选A.8)9.D[解析] 对于A,若x+y>z,则每次倾倒后甲容器内的液体都有剩余,所以a n<,故A错误; 对于B,若x+y=z,则每次操作后乙容器内的液体所含的酒精都为,故B错误;对于C,若x=1,y=1,z=3,则a1=,=,所以a1>,故C错误;对于D,当n→+∞时,甲、乙两容器内酒精的浓度趋于相等,当x+y≤z时,a n=,当x+y>z时,a n<,故D正确.10.C[解析] 当n=1时,a1=1-5a1+23,得a1=4;当n≥2时,a n=S n-S n-1=n-5a n+23-(n-1-5a n-1+23),得a n=a n-1+,即a n-1=(a n-1-1).所以数列{a n-1}是以3为首项,为公比的等比数列,则a n-1=3×,得a n=3×+1,故选C.11. (-3,+∞)[解析] 因为数列{a n}是递减数列,所以对任意的n∈N*,都有a n+1<a n,即-(n+1)2-λ(n+1)<-n2-λn,整理得2n+1+λ>0,即λ>-(2n+1)(*).因为n≥1,所以-(2n+1)≤-3,要使不等式(*)恒成立,只需λ>-3.12.[解析] 因为a n-a n+1=na n a n+1,所以=-=n,则=++…++++=(n-1)+(n-2)+…+3+2+1+=+1=⇒a n=.13.解:(1)由n2-5n+4<0,解得1<n<4.因为n∈N*,所以n=2,3,所以数列{a n}中有两项是负数,即为a2,a3.因为a n=n2-5n+4=-,所以当n=2或3时,a n取得最小值,最小值为-2.(2)由a n+1>a n知该数列是一个递增数列,又因为数列的通项公式为a n=n2+kn+4,且n∈N*,所以-<,即k>-3,所以实数k的取值范围为(-3,+∞).14.解:(1)∵p,q∈N*,∴令p=q=n,则S n=-n2.当n=1时,S1=a1=-1;当n≥2时,a n=S n-S n-1=-n2-[-(n-1)2]=-2n+1.当n=1时,上式也成立,∴a n=-2n+1.(2)由(1)知a n=-2n+1,∴a n+1=-2n-1,∴c n====,∴T n=c1+c2+c3+…+c n=×==.15. D[解析] 依题意得a n=,由指数函数y=2x的图像与二次函数y=x2的图像(图略)对比得a n=先减后增,所以a n=有最小值.易得a1=2>a2=1>a3=<a4=1,所以(a n)min=a k=a3=,故选D.16.[解析] ∵S n+S n+1=3n2+2n,∴当n=1时,2a1+a2=5,解得a2=5-2m;当n≥2时,S n-1+S n=3(n-1)2+2(n-1),∴a n+1+a n=6n-1,∴a n+a n-1=6n-7,∴a n+1-a n-1=6,∴数列{a n}的偶数项成等差数列,奇数项从第三项起成等差数列.易知a2k=5-2m+6(k-1)=6k-1-2m,k∈N*,a3=6+2m,a2k+1=6+2m+6(k-1)=6k+2m,k∈N*.∵对∀n∈N*,a n<a n+1恒成立,∴当n=1时,a1<a2,即m<5-2m,解得m<;当n=2k+1时,a2k+1<a2k+2,即6k+2m<6k+5-2m,解得m<; 当n=2k时,a2k<a2k+1,即6k-1-2m<6k+2m,解得m>-.综上可得,m的取值范围是-<m<.。

高考数学一轮复习专题28 数列的概念与简单表示法教学案文-人教版高三全册数学教学案

专题28 数列的概念与简单表示法1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2.了解数列是自变量为正整数的一类函数． 1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 2．数列的分类3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 4．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．5．已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 （n ＝1），S n －S n －1 （n ≥2）.高频考点一由数列的前几项求数列的通项公式例1、根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)－1，7，－13，19，…； (2)23，415，635，863，1099，…； (3)12，2，92，8，252，…； (4)5，55，555，5 555，….(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察.即12，42，92，162，252，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为a n ＝n 22. (4)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列9，99，999，…的通项为10n－1，故所求的数列的一个通项公式为a n ＝59(10n－1).【方法规律】根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征： (1)分式中分子、分母的各自特征； (2)相邻项的联系特征； (3)拆项后的各部分特征；(4)符号特征.应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想. 【变式探究】 (1)数列0，23，45，67，…的一个通项公式为( )A.a n ＝n －1n ＋2(n ∈N ＋) B.a n ＝n －12n ＋1(n ∈N ＋)C.a n ＝2（n －1）2n －1(n ∈N ＋)D.a n ＝2n2n ＋1(n ∈N ＋)(2)数列－11×2，12×3，－13×4，14×5，…的一个通项公式a n ＝________.解析 (1)注意到分子0，2，4，6都是偶数，对照选项排除即可.(2)这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n1n （n ＋1）.答案 (1)C (2)(－1)n1n （n ＋1）高频考点二由数列的前n 项和求数列的通项公式例2、设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2，n ∈N *. (1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式．所以a n ＝2a n －1＋2(n ≥2)，所以a n ＋2＝2(a n －1＋2)，因为a 1＋2＝3≠0，所以数列{a n ＋2}是以3为首项，公比为2的等比数列．所以a n ＋2＝3×2n －1，所以a n ＝3×2n －1－2，当n ＝1时也成立，所以a n ＝3×2n －1－2.【方法规律】数列的通项a n 与前n项和S n 的关系是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示．【变式探究】(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n ＋1n ＋2，则a 4等于( ) A.130 B.132 C.134D.120(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为________________．答案 (1)A (2)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2解析 (1)a 4＝S 4－S 3 ＝56－45＝130. (2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.高频考点三、由数列的递推关系求通项公式例3、在数列{a n }中，(1)若a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项公式a n ＝________. (2)在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＝n －1na n －1(n ≥2)，则通项公式a n ＝________. (3)a n ＋1＝2a n ＋3，则通项公式a n ＝________.解析 (1)由题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋(2＋3＋…＋n )＝2＋（n －1）（2＋n ）2＝n （n ＋1）2＋1.又a 1＝2＝1×（1＋1）2＋1，符合上式，因此a n ＝n （n ＋1）2＋1.(2)法一因为a n ＝n －1na n －1(n ≥2)， ∴b n ＝4·2n －1＝2n ＋1，∴a n ＝2n ＋1－3.答案 (1)n （n ＋1）2＋1 (2)1n(3)2n ＋1－3【方法规律】(1)形如a n ＋1＝a n ＋f (n )的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项.(2)形如a n ＋1＝a n ·f (n )的递推关系式可化为a n ＋1a n＝f (n )的形式，可用累乘法，也可用a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1代入求出通项. (3)形如a n ＋1＝pa n ＋q 的递推关系式可以化为(a n ＋1＋x )＝p (a n ＋x )的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x 是关键.【变式探究】 (1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝4，a n ＋2＋2a n ＝3a n ＋1(n ∈N ＋)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.(2)在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1），则通项公式a n ＝________.(2)原递推公式可化为a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1，则a 2＝a 1＋11－12，a 3＝a 2＋12－13，a 4＝a 3＋13－14，…，a n －1＝a n －2＋1n －2－1n －1， a n ＝a n －1＋1n －1－1n，逐项相加得，a n ＝a 1＋1－1n ，故a n ＝4－1n.答案 (1)3×2n －1－2 (2)4－1n高频考点四数列的性质例4、已知a n ＝n －1n ＋1，那么数列{a n }是( ) A ．递减数列 B ．递增数列 C ．常数列D ．摆动数列答案 B 解析 a n ＝1－2n ＋1，将a n 看作关于n 的函数，n ∈N *，易知{a n }是递增数列．【变式探究】数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝______________________.答案 12解析 ∵a n ＋1＝11－a n，【感悟提升】(1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列或是常数列． ②用作商比较法，根据a n ＋1a n(a n ＞0或a n ＜0)与1的大小关系进行判断． ③结合相应函数的图象直观判断． (2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． (3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解．【举一反三】(1)数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n，0≤a n≤12，2a n－1，12＜a n＜1，a 1＝35，则数列的第2015项为________．(2)设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是( ) A.163 B.133C ．4D ．0答案 (1)25(2)D解析 (1)由已知可得，a 2＝2×35－1＝15，a 3＝2×15＝25， a 4＝2×25＝45， a 5＝2×45－1＝35，∴{a n }为周期数列且T ＝4，∴a 2015＝a 3＝25.(2)∵a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34，由二次函数性质，得当n ＝2或3时，a n 最大，最大值为0.1．（2014·江西卷）已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.(1)令c n ＝a nb n，求数列{c n }的通项公式； (2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .＝－2－(2n －2)×3n，所以S n ＝(n －1)3n＋1.2．（2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数． (1)证明：a n ＋2－a n ＝λ.(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．【解析】(1)证明：由题设，a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1，两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 因为a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得 a 2＝λ－1，由(1)知，a 3＝λ＋1.若{a n }为等差数列，则2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4，故a n ＋2－a n ＝4. 由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3；{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列．3．（2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32.【解析】(1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋12.又a 1＋12＝32，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列，所以a n ＋12＝3n2，因此数列{a n }的通项公式为a n ＝3n－12.4．（2014·重庆卷）设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋2＋b (n ∈N *)． (1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式．(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a 2n <c <a 2n ＋1对所有n ∈N *成立？证明你的结论．【解析】(1)方法一：a 2＝2，a 3＝2＋1. 再由题设条件知 (a n ＋1－1)2＝(a n －1)2＋1.从而{(a n －1)2}是首项为0，公差为1的等差数列，故(a n －1)2＝n －1，即a n ＝n －1＋1(n ∈N *)．方法二：a 2＝2，a 3＝2＋1.可写为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1，a 3＝3－1＋1.因此猜想a n ＝n －1＋1. 下面用数学归纳法证明上式．当n ＝1时，结论显然成立．假设n ＝k 时结论成立，即a k ＝k －1＋1，则a k ＋1＝（a k －1）2＋1＋1＝（k －1）＋1＋1＝（k ＋1）－1＋1，易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而c ＝f (c )>f (a 2k ＋1)>f (1)＝a 2，即1>c >a 2k ＋2>a 2.再由f (x )在(－∞，1]上为减函数，得c ＝f (c )<f (a 2k ＋2)<f (a 2)＝a 3<1，故c <a 2k ＋3<1，因此a 2(k ＋1)<c <a 2(k ＋1)＋1<1，这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．综上，存在 c ＝14使a 2n <C <a 2a ＋1对所有n ∈N *成立．方法二：设f (x )＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )．先证：0≤a n ≤1(n ∈N *)． ① 当n ＝1时，结论明显成立．假设n ＝k 时结论成立，即0≤a k ≤1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而 0＝f (1)≤f (a k )≤f (0)＝2－1<1.即0≤a k ＋1≤1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．故①成立．再证：a 2n <a 2n ＋1(n ∈N *)． ②当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (a 2)＝f (0)＝2－1，所以a 2<a 3，即n ＝1时②成立．假设n ＝k 时，结论成立，即a 2k <a 2k ＋1. 由①及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得综上，由②③④知存在c ＝14使a 2n <c <a 2n ＋1对一切n ∈N *成立．5．（2013·安徽卷）如图1－3所示，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n ，…分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等，设OA n ＝a n ，若a 1＝1，a 2＝2，则数列{a n }的通项公式是________．图1－3【答案】a n ＝3n －2【解析】令S△OA 1B 1＝m(m>0)，因为所有A n B n 相互平行且a 1＝1，a 2＝2，所以S 梯形A 1B 1B 2A 2＝3m ，当n≥2时，a n a n －1＝OA nOA n －1＝m ＋（n －1）×3mm ＋（n －2）×3m ＝3n －23n －5，故a 2n ＝3n －23n －5a 2n －1， a 2n －1＝3n －53n －8a 2n －2，a 2n －2＝3n －83n －11a 2n －3，…… a 22＝41a 21以上各式累乘可得a 2n ＝(3n －2)a 21，因为a 1＝1，所以a n ＝3n －2.6．（2013·辽宁卷）下面是关于公差d>0的等差数列{}a n 的四个命题： p 1：数列{}a n 是递增数列； p 2：数列{}na n 是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{}a n ＋3nd 是递增数列．其中的真命题为( )A ．p 1，p 2B ．p 3，p 4C ．p 2，p 3D ．p 1，p 4 【答案】D【解析】因为数列{a n }中d>0，所以{a n }是递增数列，则p 1为真命题．而数列{a n ＋3nd}也是递增数列，所以p 4为真命题，故选D.7．（2013·全国卷）等差数列{a n }前n 项和为S n .已知S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，求{a n }的通项公式．1.数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式是a n 等于( ) A.（－1）n＋12B.cos n π2 C.cosn ＋12πD.cosn ＋22π解析令n ＝1，2，3，…，逐一验证四个选项，易得D 正确. 答案 D2.数列23，－45，67，－89，…的第10项是( )A.－1617B.－1819C.－2021D.－2223答案 C3.在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，则其通项公式a n ＝( ) A.2n－1B.2n －1＋1C.2n －1D.2(n －1)解析法一由a n ＋1＝2a n ＋1，可求a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，…，验证可知a n ＝2n－1. 法二由题意知a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1＝2n ，∴a n ＝2n －1.答案 A4.数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，a n 等于( ) A.2n －1 B.n 2C.（n ＋1）2n2D.n 2（n －1）2解析设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T n ＝n 2，当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝n 2（n －1）2.答案 D5.数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝2n －3，若a 1＝2，则a 8－a 4＝( ) A.7 B.6C.5D.4解析依题意得(a n ＋2＋a n ＋1)－(a n ＋1＋a n )＝[2(n ＋1)－3]－(2n －3)，即a n ＋2－a n ＝2，所以a 8－a 4＝(a 8－a 6)＋(a 6－a 4)＝2＋2＝4.答案 D6.若数列{a n }满足关系a n ＋1＝1＋1a n ，a 8＝3421，则a 5＝________.解析借助递推关系，则a 8递推依次得到a 7＝2113，a 6＝138，a 5＝85.答案 857.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N ＋)，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥28.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ≠0(n ∈N ＋)，又a n a n ＋1＝S n ，则a 3－a 1＝________. 解析因为a n a n ＋1＝S n ，所以令n ＝1得a 1a 2＝S 1＝a 1，即a 2＝1，令n ＝2，得a 2a 3＝S 2＝a 1＋a 2，即a 3＝1＋a 1，所以a 3－a 1＝1. 答案 19.数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6. (1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？解 (1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6.(2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150，解得n ＝16或n ＝－9(舍去)，即150是这个数列的第16项.(3)令a n ＝n 2－7n ＋6＞0，解得n ＞6或n ＜1(舍). ∴从第7项起各项都是正数.10.已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式.解 (1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3.由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.……a n －1＝n n －2a n －2， a n ＝n ＋1n －1a n －1. 将以上n 个等式两端分别相乘，整理得a n ＝n （n ＋1）2.显然，当n ＝1时也满足上式. 综上可知，{a n }的通项公式a n ＝n （n ＋1）2. 11.已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2（n －1）(n ∈N ＋，a ∈R 且a ≠0). (1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n ∈N ＋，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围. 解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋2（n －1）(n ∈N ＋，a ∈R ，且a ≠0)，又a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9(n ∈N ＋). 结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1>a 1>a 2>a 3>a 4，a 5>a 6>a 7>…＞a n >1(n ∈N ＋).∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋2（n －1）＝1＋12n －2－a 2，已知对任意的n ∈N ＋，都有a n ≤a 6成立，结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，可知5<2－a 2<6，即－10<a <－8. 即a 的取值范围是(－10，－8).。

高考数学方案第28讲数列的概念与简单表示法课时作业新人教B版

C. 令=(_1尸" n2+2n(nEN.)D.y 2n+l2.设数列UJ 的前”项和ST,则念的值为（）A. 15B. 16C. 49D. 643.已知数列｛衣｝中，比=£ …=1一±，则弘严（）2 anA ・2B ・3 C. —1 D.-24. ［2012 •信阳模拟］已知数列｛打中，越=2, s=d+2”（”g,则如的值是（）A. 9 900B. 9 902C. 9 904D. 11 000能力提升5. ［2011 •四川卷］数列UJ 的前力项和为弘若^ = 1, 则矗=A. 3X41 B ・ 3X4；+1C. 41 D ・ 4‘+l6. ［2012 •牡丹江一中期中］已知，是非零数列｛禺｝的前力项和，且3=2禺一 1,则A. l-2：0ilB. 2:013-1C. 2C ou -l D ・ 1 一2：咗课时作业（二十八）［第28讲数列的概念与简单表示法］（时间：45分钟分值：100分）基础热身5791.［教材改编试题］数列UJ ： b 亏 -~f …的一个通项公式是（）%=(_1 尸n2+n(nGN.)B ・x 2n~ln2+3n7.在数列faj 中，ai=l, a® ,=a…+ （―1）”（力22,刀GN）,则勺值是（）3 3c・2 D.-8.［2012 •天津调研］已知数列｛a.J的通项公式是％=( —1)5+1),贝I］已+爱+头+ …+ a：o=( )A.-55B. -5C. 5D. 559.［2012 •浙江需校联考］数列｛韵前”项和为S,则“Q0”是“数列｛$｝为递增数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.在数列&｝中，爰=4,其前n项和，满足$=/+心(久WR).贝IJ实数久的值等于 _______ •11.在数列GU中，若6 = 3,且对任意的正整数p, q都有马，=%+头，贝9炭=12.［2012 •惠州调研］已知数列｛%｝中，比=1,以后各项由公式-^-=—(n^2)an —1 n给出，则a：。