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安徽省皖豫名校联盟2024届高中毕业班第二次联考数学试题含解析

皖豫名校联盟2024届高中毕业班第二次考试数学（答案在最后）考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合(){}2lg 1A y y x ==+，集合2213x B x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，则A B = （）A.{}03x x ≤< B.{}53x x -≤< C.{}53x x -≤≤ D.∅【答案】A 【解析】【分析】由对数函数的单调性解不等式得到{}0A y y =≥，解分式不等式得到B ，求出交集.【详解】由题意得()2lg 1lg10y x =+≥=，故{}0A y y =≥，222235100333x x x x x x x ++-++≤⇒≤⇒≤---，等价于()()53030x x x ⎧+-≤⎨-≠⎩，解得53x -≤<，故{}53B x x =-≤<，所以{}03A B x x ⋂=≤<.故选：A2.若复数z 满足(1+i)2i z =+，则z 的虚部为A.1i 2B.1i2-C.12D.12-【答案】D 【解析】【分析】先由()12i z i +=+得到21iz i+=+，再由复数除法运算，即可得出结果.【详解】因为()12i z i +=+，所以231122i z i i +==-+，故z 的虚部为12-.故选D.【点睛】本题考查了复数的运算、复数的虚部的概念，突显了对数学运算、基本概念的考查.解答本题首先要了解复数的虚部的概念，其次要能熟练进行复数的四则运算.3.已知向量()(),2,,12m ax n x ax ==- ，命题:,0p x m n ∃∈⋅<R．若p 是假命题，则实数a 的取值范围是（）A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D.10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】由题意，根据特征量词命题的否定为真命题可得2,420x ax ax ∀∈-+≥R 是真命题，易知0a =时满足题意，当0a ≠时，有0Δ0a >⎧⎨≤⎩，解之即可求解.【详解】由题可知，命题p 的否定：,0x m n ∀∈⋅≥R，且否定是真命题，即2,420x ax ax ∀∈-+≥R 是真命题．当0a =时，20,x ≥∈R ；当0a ≠时，0a >且21680a a -≤，所以102a <≤．综上，实数a 的取值范围是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选：D4.已知数列{}n a 的前n 项和2n S pn qn r =++（,,p q r 为常数，且*0,p n ≠∈N ），则“{}n a 是等差数列”是“0r =”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列的定义及充分条件与必要条件定义判断即可．【详解】若{}n a 是等差数列，设其公差为()0d d ≠，则()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，所以0r =，若0r =，则()20n S pn qn p =+≠，当1n =时，11a S p q ==+，当2n ≥时，12n n n a S S pn q p -=-=+-，此时1n =也满足，所以2n a pn q p =+-，于是有{}12,n n n a a p a +-=是等差数列，所以“{}n a 是等差数列”是“0r =”的充要条件．故选：A5.已知ABC 是锐角三角形，函数()e e xxf x -=+，则下列结论中一定成立的是（）A.()()sin cos f A f B ->B.()()cos sin f C f B >C.()()cos sin f A f C >-D.()()sin sin f C f B >-【答案】A 【解析】【分析】先判断函数()f x 的奇偶性和单调性，再利用ππππ,0222A B B A <+<<-<<得到0cos sin B A <<，同理得到0cos sin ,0cos sin C B A C <<<<，从而可判断ABC ，利用3A B C π===可判断D.【详解】函数()f x 的定义域为R ，()()()e ee e x xx x f x f x -----=+=+=，所以()f x 是偶函数.当0x >时，()2e 10e e ex xxxf x ---==>'，所以()f x 在()0,∞+上单调递增．因为ABC 是锐角三角形，所以ππππ,0222A B B A <+<<-<<，所以π0sin sin 2B A ⎛⎫<-<⎪⎝⎭，即0cos sin B A <<，所以()()()sin sin cos f A f A f B -=>，故A 正确；同理，0cos sin ,0cos sin C B A C <<<<，即()()cos sin f C f B <，()()()cos sin sin f A f C f C <=-故BC 错误；当3A B C π===时，()()()sin sin sin f C f B f B ==-，故D 错误．故选：A.6.某中学开展结合学科知识的动手能力大赛，参赛学生甲需要加工一个外轮廓为三角形的模具，原材料为如图所示的π,,2ABC BAC D ∠=是边BC 上一点，,3cm,ABD ADB AC CD ∠=∠==，要求分别把,ABD ACD △△的内切圆1O ，2O 裁去，则裁去的圆12,O O 的面积之和为（）A.()239πcm - B.(2633πcm -C.(2163πcm - D.)231πcm 2-【答案】C 【解析】【分析】设π,0,2ABD ADB αα⎛⎫∠=∠=∈ ⎪⎝⎭，根据已知条件在ACD 中利用正弦定理及三角公式求出π3α=，分别在,ABD ACD △△内用等面积法求出内切圆半径即可得解.【详解】在π,,2ABC BAC ∠= ，设π,0,2ABD ADB αα⎛⎫∠=∠=∈ ⎪⎝⎭，则ππ,222ACD CAD αα∠=-∠=-，πADC α∠=-，所以πsin sin 2cos22CAD αα⎛⎫∠=-=- ⎪⎝⎭，在ACD 中，3cm,3cm AC CD ==，由正弦定理得sin sin CD CACAD ADC=∠∠,即sin 3sin 3cos2ADC CAD α∠=∠=，即)2sin 32sin 1αα=-，化简得3sin 2α=或3sin 3α=-，因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π3α=（负值舍去），2π3ADC ∠=，故ABD △为等边三角形，ACD 为等腰三角形，3cm CD AD DB AB ====,在ABD △中，设圆1O 的半径为1r ，根据等面积有111ABDO DB O BA O AD S S S S ∆=++ ，即1111111sin 2222BD BA ABD DB r BA r AD r ⨯⨯∠=⨯+⨯+⨯，化简得11cm 2r =，在ACD 中，设圆2O 的半径为2r ，根据等面积有222ACD O DC O DA O AC S S S S ∆=++ ，即2221111sin 2222CD CA ACD DC r DA r AC r ⨯⨯∠=⨯+⨯+⨯，化简得2633cm 2r -=，所以圆12,O O 的面积之和为(22212ππ1693πcm r r +=-，故选：C.7.有甲、乙等五人到三家企业去应聘，若每人至多被一家企业录用，每家企业至少录用其中一人且甲、乙两人不能被同一家企业录用，则不同的录用情况种数是（）A.60B.114C.278D.336【答案】D 【解析】【分析】分三类，第一类，只有3人被录用，第二类，只有4人被录用，第三类，5人全部录用，根据分类计数原理即可得到答案.【详解】分三类情况，第一类情况，只录用3人，有3353C A 60=种情况；第二类情况，只录用4人，有4232354333C C A C A 162-=种情况；第三类情况，录用5人有两种情况：2,2,1或3,1,1，有()1223233313543323533322C C C A C A C A C A 114A ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭种情况．所以根据分类加法计数原理共有60162114336++=种．故选：D .8.若函数()221e exx f x x ax a +=-+有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（）A.211,0e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B.210,1e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C.310,e e ⎛⎫⎪-⎝⎭D.31,0e e ⎛⎫⎪-⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】构造函数exx t =，利用导数研究其图象性质，再将问题转化为()2e g t t at a =-+的零点的分布情况，从而列式即可得解.【详解】令()0f x =，得221e e0xx x ax a +-+=，即22e 0e ex x x axa -+=，记ex xt =，则2e 0t at a -+=，对e xx t =求导得1e x xt -'=，因为当1x <时，0t '>，当1x >时，0t '<，所以函数ex xt =在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减，且当x →+∞时，0t >且0t →，当0x =时，0=t ，当x →-∞时，t →-∞，则函数e xxt =的大致图象如图，记()2e g t t at a =-+，由于()f x 有三个不同的零点，所以()g t 必有两个不同的零点，记为12,t t ，当1211,0e e t t =<<时，有10e (0)0102e g g a ⎧⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎪⎪≥⎨⎪⎪<<⎪⎩，即211e 0e e e 0102e a a a a ⎧⎛⎫⎛⎫-⨯+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪≥⎨⎪⎪<<⎪⎩，无解；当1210,0e t t =<<时，有()10e 00102e g g a ⎧⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎪⎪=⎨⎪⎪<<⎪⎩，即211e 0e e e 0102e a a a a ⎧⎛⎫⎛⎫-⨯+>⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪=⎨⎪⎪<<⎪⎩，无解；当1210,0e t t <<<时，有()10e 00g g ⎧⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪<⎩，即211e 0e e e 0a a a ⎧⎛⎫⎛⎫-⨯+>⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎝⎭⎪<⎩，解得310e e a <<-；综上，a 的取值范围为31,0e e ⎛⎫⎪-⎝⎭.故选：D.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是熟练掌握二次函数的零点的分布情况，数形结合得到关于a 的不等式组，从而得解.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法错误．．的是（）A.当样本相关系数r 满足1r =时，成对样本数据的两个分量之间满足一种线性关系B.残差等于预测值减去观测值C.决定系数2R 越大，模型拟合效果越差D.在独立性检验中，当2x αχ≥（x α为α的临界值）时，推断零假设0H 不成立【答案】BC 【解析】【分析】根据相关系数1r =±时的含义可判断A ；根据残差的定义可判断B ，根据决定系数2R 的含义判断C ；根据独立性检验的规则判断D.【详解】当样本相关系数1r =±时，成对样本数据的两个分量之间满足一种线性关系，故A 正确；残差等于观测值减去预测值，故B 错误；决定系数2R 越大，模型拟合效果越好，故C 错误；根据独立性检验的规则，当2x αχ≥时，推断零假设0H 不成立，D 正确，故选：BC10.已知函数()cos2sin f x x x =-，则（）A.()f x 是奇函数B.()f x 最小的10个正零点之和为95π3C.2π是()f x 的一个周期D.()f x 在0x =处的切线方程为1y x =-+【答案】BCD 【解析】【分析】根据奇偶性的定义可判断A ；令()0f x =，求出()0f x =对应最小的10个正零点的和可判断B ；利用周期定义可判断C ；求出()f x '，求出()f x 在0x =处的切线方程可判断D ．【详解】对于A ，因为()()cos2sin f x x x f x -=+≠-，所以()f x 不是奇函数，故A 错误；对于B ，令()0f x =，得cos2sin 0x x -=，即22sin sin 10x x +-=，所以1sin 2x =或πsin 1,2π6x x k =-=+或5π2π6x k =+或()3π2π2x k k =+∈Z ，即()236ππk x k =+∈Z ，当0,1,,9k =⋅⋅⋅时，对应最小的10个正零点为π5π3ππ5π3ππ5π3ππ,,,2π,2π,2π,4π,4π,4π,6π6626626626+++++++，它们的和为902ππ95π363=⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑k k ，故B 正确；对于C ，由于()()()()2πcos 4π2sin 2πcos2sin f x x x x x f x +=+-+=-=，故C 正确；对于D ，()01f =，()2sin2cos f x x x --'=，()01f '=-，所以()f x 在0x =处的切线方程为1y x =-+，故D 正确．故选：BCD.11.若正实数,,x y z 满足()1xyz x y z ++=，记()()S x z y z =++，则（）A.S 的最小值是2B.当S 取最小值时，z 的最小值为22C.当S 取最仦值时，z1-D .当S 取最小值时，一定有x y=【答案】AC 【解析】【分析】利用基本不等式判断AD ；将问题转化为z =，利用换元法与函数的单调性即可得解判断BC ；从而得解.【详解】因为()()()2S x z y z xy xz zy z xy x y z z =++=+++=+++，由()1xyz x y z ++=可得()1z x y z xy++=，所以12S xy xy =+≥=，当且仅当1xy =时，等号成立，所以A 正确，D 错误；当S 取最小值时，1xy=，()()()21xyz x y z z x y z z x y z ++=++=++=，所以()210z x y z ++-=，解得z =又0z >，所以z ==又2x y +≥=，当且仅当1x y ==时等号成立，记t x y =+，则2t ≥，所以z =，易得函数z =在[)2,t ∈+∞时单调递减，所以当2t =时，z 取得最大值，则max1,z z ==无最小值，所以B 错误，C 正确．故选：AC.12.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 在棱11A B 上运动，点F 在正方体表面上运动，则（）A.存在点E ，使1AE DB ⊥B.当11A EEB =时，经过点,,A C E 的平面将正方体分成体积比为3:1的大小两部分C.当FA FB =时，点F 的轨迹长度为4D.当2FA FB =时，点F 的轨迹长度为(8π18+【答案】BCD 【解析】【分析】根据线面垂直的判定定理验证即可判断A ；如图，由面面平行的性质判断几何体1ABC EB G -是棱台，结合棱台的体积公式计算即可判断B ；结合图形可知点F 的轨迹是以棱1111,,,AB A B C D CD 的中点为顶点的正方形，即可判断C ；先求出点F 在侧面11ABB A 内的轨迹，并求其长度，再求出点F 在底面ABCD 、侧面11BCC B 内的轨迹的长度，即可判断D.【详解】对于A ，如图，在正方体中，易知11A B DB ⊥，若存在点E ，使1AE DB ⊥，由于AE 与1A B 相交，所以1DB ⊥平面11AA B B ，显然不成立，故A 错误．对于B ，当113A EEB =时，如图，记经过点,,A C E 的平面与11B C 交于点G ，连接,CG EG ，则11312EB GB ==．由于平面//ABCD 平面1111D C B A ，平面ACE 平面ABCD AC =，平面ACE 平面1111A B C D EG =，所以//EG AC ．记1BB CG H= ，则11312HB GB HB BC -==．记11BB AE H = ，则1111312H B EB H B AB -==，所以点H 与1H 重合．又平面//ABC 平面1EB G ，所以几何体1ABC EB G -是棱台，()11111134ABC EB G ABC ABC EB G EB G V BB S S S S -=⋅+⋅+=△△△△，其余部分的体积为13144-=，所以经过点,,A C E 的平面将正方体分成体积比为3:1的大小两部分，故B正确．对于C ，当FA FB =时，点F 的轨迹是以棱1111,,,AB A B C D CD 的中点为顶点的正方形，如图所示，轨迹的长度为4，故C 正确．对于D ，先看点F 在侧面11ABB A 内的轨迹，以AB 的中点O 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图．设(),F x y ，由2FA FB =可得点F 的轨迹方程为225469x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，其是以15,06O ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，23为半径的圆，记该圆与1BB 交于点M ，则1π3BO M ∠=，点F 在侧面11ABB A 内的轨迹为一段圆弧．长度为2π9，同理点F 在底面ABCD 内的轨迹的长度也为2π9．当点F 在侧面11BCC B 内时，其轨迹可视为以1O 为球心，23为半径的球面与侧面11BCC B 的交线，由于1112,33BO O M ==，所以33BM =，点F 在侧面11BCC B 内的轨迹是以B 为圆心，33为半径的圆的14，长为3π6．分析易知，其余面上的点均不满足题意．所以点F 的轨迹长度为(83π18+，故D 正确．故选：BCD【点睛】方法点睛：对于立体几何中的满足一定条件下的点的轨迹问题，往往需要建立平面或空间直角坐标系来进行求解，将几何问题代数化可以大大减少思考难度，提高做题效率.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知直线l 经过()()1,1,0,1,1,2A B ---两点，则点()1,1,2P -到直线l 的距离为______．【答案】6【解析】【分析】根据空间向量求解即可.【详解】由题可知()()2,0,2,2,2,0AB PB ==- ，则()2222222,222AB PB =+==+- ，4PB AB =⋅，故点P 到直线l 的距离为226AB d PB PB AB ⎛⎫ ⎪=-⋅⎪⎝⎭．614.为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了《数学探究与发现》选修课．在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等式（二维）；当向量()()1122,,,a x y b x y == 时，有222a b a b ⋅≤ ，即()()()2222212121122x x y y x y xy +≤++，当且仅当1221x y x y =时等号成立；学生乙从这个结论出发．作一个代数变换，得到了一个新不等式：()()()2222212121122x x y y x y x y -≥--，当且仅当1221x y x y =时等号成立，并取名为“类柯西不等式”．根据前面的结论可知：当x ∈R 时，2212211x x -++的最小值是______．【答案】1-【解析】【分析】根据不等式()()()2222211221212x y x y x x y y --≤-构造不等式左侧()()22221421222122x x x x ⎛⎫⎡⎤-+-+ ⎪⎣⎦++⎝⎭求解即可.【详解】由题意得222212142112122x x x x -=-++++，则()()22221421222122x x x x ⎛⎫⎡⎤-+-+⎪⎣⎦++⎝⎭2222⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎦⎫⎣⎛21⎛≤=，当且仅当=，即0x =时，等号成立，即()()222214212212122x x x x ⎛⎫⎡⎤-+-+≤⎪⎣⎦++⎝⎭，则221412122x x ⎛⎫--≤ ⎪++⎝⎭，所以2222121412112122x x x x -=-≥-++++，最小值为1-，此时0x =．故答案为：1-.15.已知椭圆2221(1)x y a a+=>，ABC 是以点(0,1)B 为直角顶点的等腰直角三角形，直角边,BA BC 与椭圆分别交于另外两点,A C ．若这样的ABC 有且仅有一个，则该椭圆的离心率的取值范围是______．【答案】0,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】先设出直线:1(0)BA y kx k =+>和直线1:1BC y x k=-+，联立椭圆方程，求出,A C x x ，表达出,BA BC ，根据相等关系得到()22110k a k +-+=无实数解或有两个相等的实数解1k =，分两种情况，求出1a <≤，从而求出离心率的取值范围.【详解】不妨设直线:1(0)BA y kx k =+>，则直线1:1BC y x k=-+，联立方程得22211y kx x y a=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2222120a k x a kx ++=，22221A a k x a k∴=-+，用1k -代替k 得2222c a k x a k =+，21A BA k ∴=+=22222222221121,11C a k a k BC a k k a k++=+=++．由BA BC =，得()()221110k k ak ⎡⎤-+-+=⎣⎦，该方程关于k 已有一解1k =，由于符合条件的ABC 有且仅有一个，∴关于k 的方程()22110k a k +-+=无实数解或有两个相等的实数解1k =．当方程无实数解时，()221Δ140a a >⎧⎪⎨=--<⎪⎩，解得13a <<；当方程有两个相等的实数解1k =时，2112a a >⎧⎨-=-⎩，解得3a =13a ∴<≤，则该椭圆的离心率2221610,3c c e a a a ⎛===- ⎝⎭．故答案为：60,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】求椭圆的离心率是(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b a c =-转化为,a c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围).16.从教学楼一楼到二楼共有11级台阶（从下往上依次为第1级，第2级，L ，第11级），学生甲一步能上1级或2级台阶，若甲从一楼上到二楼使用每一种方法都是等概率的，则甲踩过第5级台阶的概率是______．【答案】1318【分析】结合题意求得学生甲上每级台阶的方法数，从而利用古典概型的概率公式即可得解.【详解】记学生甲上到第n 级台阶共有n a 种上法，则121,2a a ==，当3n ≥时，学生甲上到第n 级台阶，可以从第n 1-级或第2n -级上去，所以21n n n a a a --+=，于是345673,5,8,13,21a a a a a =====，8934,55a a ==，101189,144a a ==，其中甲踩过第5级台阶的上台阶方法数，可分两步计算，第一步，从第1级到第5级，共有5a 种方法；第二步，从第6级到第11级，相当于从第1级到第6级的方法数，共有6a 种方法；所以甲踩过第5级台阶的上台阶方法数有56a a ，则甲踩过第5级台阶的概率是56118131314418a a P a ⨯===．故答案为：1318.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是得到递推关系式21n n n a a a --+=，从而得解.四、解答题：共70分：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图，任四棱锥P ABCD -中，,,AD BC AD PA E ⊥∥为棱BC 的中点，122BD CD AD BC ====．（1）求证：AD PB ⊥；（2）若PB PD ==，求PB 与平面PCD 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）3【分析】（1）连接DE ，证明四边形ABED 是正方形，即证明AD AB ⊥，即可证明AD ⊥平面PAB ，根据线面垂直的性质定理，即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，求出平面PCD 的法向量，根据空间角的向量求法，即可得答案.【小问1详解】如图，连接,4,DE BD DC BC E === 为棱BC 的中点，DE BC ∴⊥，222BD DC BC +=，故BD DC ⊥,则122DE BC ==，又AD BE ，AD BE =，则四边形ABED 是平行四边形，又2AD DE ==，DE BC ⊥，则平行四边形ABED 是正方形，AD AB ∴⊥，又,,,AD PA PA AB A PA AB ⊥=⊂ 平面PAB ，AD ∴⊥平面PAB ，又PB ⊂平面,PAB AD PB ∴⊥．【小问2详解】,2PA AD PB PD AD ⊥===，2PA ∴=．由（1）知2AB AD ==,故222PA AB PB +=，PA AB ∴⊥，又,,,PA AD AD AB A AD AB ⊥=⊂ 平面ABCD ，PA ∴⊥平面ABCD ．以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()2,0,0,2,4,0,0,2,0,0,0,2B C D P ，()()()2,0,2,2,4,2,0,2,2PB PC PD ∴=-=-=-．设平面PCD 的法向量为(),,m x y z =，则0m PC m PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2420220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，令1z =，则()1,1,1m =- ．设PB 与平面PCD 所成的角为π0,2θθ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则sin cos ,||3||||m PB m PB m PB θ⋅===，3cos 3θ∴=，即PB 与平面PCD 所成角的余弦值为3cos 3θ=.18.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，tan 2cos cos tan tan BA C A C=+.（1）求角B ；（2）若ABC 为钝角三角形，且2b =，求a c +的取值范围.【答案】（1）π3（2）(【解析】【分析】（1）化切为弦，然后根据两角和的正弦公式化简即可求解；（2）利用正弦定理化边为角，根据辅助角公式化为π4sin 6a c A ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，结合角的范围利用正弦函数的性质即可求解范围.【小问1详解】由tan 2cos cos tan tan B A C A C =+，得sin sin sin 2cos cos cos cos cos A C BA C A CB ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即sin 2sin cos 2cos sin cos B A C A C B +=，所以()sin 2sin 2sin cos BA CB B +==，又sin 0B >，所以1cos 2B =，又()0,πB ∈且π2B ≠，所以π3B =.【小问2详解】由正弦定理，得sin sin sin 3a b c A B C ===，所以sin 3a A =，所以sin 3c C =，因为ABC 是钝角三角形，不妨设A 为钝角，则π2π,23A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()2π1sin sin sin sin sin cos sin 333322a c A C A A A A A ⎛⎫⎡⎤⎛⎫+=+=+-=++ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭31π2cos 4sin cos 4sin 226A A A A A ⎛⎫⎛⎫=+=⋅+⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为π2π,23A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以,πππ25636A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π13sin ,622A ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a c +的取值范围是(.19.某工厂生产一批螺丝钉，长度均为整数，且在24mm 至50mm 之间，技术监督组为了解生产的螺丝钉质量，按照长度分为9组，每组抽取150个对其中的优质螺丝钉个数进行统计，数据如下：长期区间[]24,26[]27,29[]30,32[]33,35[]36,38[]39,41[]42,44[]45,47[]48,50优质个数818184888483837066（1）设每个长度区间的中点值为x ，优质个数为y ，求y 关于x 的回归直线方程．若该厂又生产了一批长度区间为[]54,56的螺丝钉，并从中随机抽取50个，请根据回归直线方程预测这150个中的优质个数．（2）若在某一长度区间内有超过半数的螺丝钉是优质的，则认为从该长度区间内任选一个均为优质的，否则不是．现从[][][][][]24,26,33,35,39,41,45,47,48,50这五个长度区间中各随机抽取一个，再从这5个螺丝钉中任选3个，记随机变量X 为其中的优质个数，求X 的分布列与数学期望．（参考公式和数据：()()()9912111ˆ,,26340,720niii i i ini i ii xxy y ba y bx x y y xx====--==-==-∑∑∑∑ ）【答案】19. 590599x y =-+；7020.分布列见解析；95【解析】【分析】（1）根据线性回归分别求出()()()919215ˆ9iii i i x x y y bx x ==--==--∑∑，ˆ9059a =，从而求解．（2）根据题意可知X 的所有可能取值为1，2，3，然后求出相应的概率列出分布列，求出期望从而求解.【小问1详解】由题意得，91333252831343740434649333,37,9i i x x ==++++++++===∑91818184888483837066720,80ii yy ==++++++++==∑所以91926640,26340iii x y x y=⋅==∑，所以()()991192634026640300iii i i i x x yy x y x y ==--=-⋅=-=-∑∑又()921540i i x x=-=∑所以()()()9192130055905ˆ,8037540999iii ii xxy y ba y bxxx==---===-=-=+⨯=-∑∑ ，故y 关于x 的回归直线方程为590599x y =-+．当55x =时， 70y =，即预测长度区间为[]54,56的150个螺丝钉中的优质个数为70．【小问2详解】根据题意，在[]24,26，[]33,35，[]39,41，[]45,47，[]48,50这五个长度区间中，[][][]24,26,33,35,39,41这三个长度区间中超过半数是优质的，在[]45,47，[]48,50这两个长度区间中优质的不足一半，故随机抽取得到的5个螺丝钉中有3个是优质的．所以X 的所有可能取值为1，2，3，则()()()1221332323333555C C C C C 3311,2,3C 10C 5C 10P X P X P X =========，故随机变量X 的分布列为X123P31035110()3319123105105E X =⨯+⨯+⨯=．故期望为95.20.已知数列{}n a 满足()2*1n n n a a a n +=+∈N，且113a=，数列{}n b 满足()2*12n n n b b b n ++=∈N ，且20231111i i b a =⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦∑（[]x 表示不超过x 的最达整数），232b =．（1）求1b ；（2）令)*nc n =∈N ，记数列{}n c 的前n 项和为nT ，求证：()*12nTn >-∈N ．【答案】（1）2（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先推导可得11111n n n a a a +=-+，再累加可得1202413b a =-，再判断当4n ≥时，1n a >即可得；（2）推导可得{}n b 是以12b =为首项，16q =为公比的等比数列，代入通项公式可得n c =，再根据n c >.【小问1详解】()21111,0,03n n n n n n a a a a a a a +=+=+=>∴> ，()1111111n n n n n a a a a a +∴==-++，11111n n n a a a +∴=-+，20231120242024111131i i a a a a =∴=-=-+∑．又{}210,n n n n a a a a +-=>∴是递增数列，123414526916,,,139816561a a a a ====> ，∴当4n ≥时，1n a >．20232024112024111,3(2,3),21i i a b a a =⎡⎤∴>-∈∴==⎢⎥+⎣⎦∑．【小问2详解】()2*1212,2,32n n n b b b n b b ++=∈==N ，0n b ∴>，则有()*121n n n n b b n b b +++=∈N ，{}n b ∴是以12b =为首项，2116b q b ==为公比的等比数列，())143**2162,n n n n b n c n --∴=⋅=∈∴=∈N N．12n c ==，1212n n T c c c ∴=++⋅⋅⋅+>--+⋅⋅⋅+-)141141112222=-=->-，∴原不等式得证．21.已知双曲线221222:1(0,0),,x y C a b F F a b-=>>分别是C 的左、右焦点．若C 的离心率2e =，且点()4,6在C 上．（1）求C 的方程．（2）若过点2F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于,A B 两点（不同于双曲线的顶点），问：2211AF BF -是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）221412x y -=（2）是定值，13【解析】【分析】（1）首先根据离心率，和双曲线方程，列式即可求解,,a b c ；（2）首先设直线l 的方程4x my =+与双曲线方程联立，并用坐标表示2AF 和2BF ，并利用韦达定理表示22211AF BF -，即可化简求解.【小问1详解】设双曲线C 的半焦距为(0)c c >．由题意可得，222222,16361,,c e a a b c a b ⎧==⎪⎪⎪-=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得2,4a b c ===，所以C 的方程为221412x y -=．【小问2详解】2211AF BF -为定值，理由如下：由（1）知()24,0F ，设直线()()1122:4,,,,l x my A x y B x y =+，联立方程得2214124x y x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消去x ，整理可得()223124360m y my -++=，()22122122310Δ1441024313631m m m y y m y y m ⎧-≠⎪=+>⎪⎪∴⎨+=-⎪-⎪⎪=-⎩()()22222211141AF x y m y =-+=+，21AF ∴=，同理22BF =．直线l 过点2F 且与C 的左、右两支分别交于,A B 两点，,A B ∴两点在x 轴同侧，120y y ∴>，此时2310m ->，即213m >．22222222211112AF BF AF BF AF BF ∴-=+-⋅()()()222221212112111my m y m y y =+-+++()()()222221212112111m y m y m y y =+-+++()()212122222212121241112111y y y y m y y y y m y y +-⎛⎫=⋅+-=⋅ ⎪++⎝⎭22111199m m +=⋅=+，221113AF BF ∴-=，为定值．【点睛】关键点点睛：本题考查直线与双曲线联立，解决定值的问题，本题的关键是利用坐标表示2AF 和2BF ，并求解22211AF BF -.22.已知函数()22e 2xf x x ax =-+-．（1）若()()0,,0x f x ∞∀∈+>恒成立，求实数a 的范围；（2）证明：对任意正整数n ，都有不等式()12121(1)e 2e e e e e 2(e 1)2(e 1)k e n n n k k n n ++=+--->++--∑成立．【答案】（1）[)2,-+∞（2）证明见解析【解析】【分析】（1）分2a ≥-与2a <-两种情况求解()min f x 即可得a 的范围；（2）由（1）可得21e 12x x x ->+，结合1ln x x >+，可得()1ln e 12x x x x +->+，则()e e 1e e 12k k k k +->+，后由错位相减法可得()*1e (1)nk n k T k n ==+∈∑N ，即可证明结论.【小问1详解】由题可知()2e 2xf x x a ='-+，记()2e 2xg x x a =-+，则()2e 2xg x ='-，当()0,x ∈+∞时，()()0,g x g x >'∴在()0,∞+上单调递增，即()f x '在()0,∞+上单调递增，∴当()0,x ∈+∞时，()()02f x f a ''>=+．（ⅰ）当2a ≥-时，()()()020,f x f a f x >=+≥∴''在()0,∞+上单调递增，则()()00,2f x f a >=∴≥-成立；（ⅱ）当2a <-时，()020f a '=+<，()2e 2e 2e x x x f x x a x a =-+=-++'，记()()e 2,0,x h x x x =-∈+∞，则()e 2xh x '=-，令()0h x '=，得ln2x =，当ln2x >时，()0h x '>，当0ln2x <<时，()0h x '<，()h x ∴在()0,ln2上单调递减，在()ln2,+∞上单调递增，()min ()ln222ln20h x h ∴==->，则()0h x >．令()ln ln20x a =->>，则()()()()ln ln e 2ln 0a f a a --'-=->，∴存在()()00,ln x a ∈-，使得()0002e 20x f x x a =-+='，则002e 2x a x =-+，∴当()00,x x ∈时，()0f x '<，当()0,x x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x \在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，()()0022min 00000()2e 221e 2x x f x f x x ax x x ∴==-+-=-+-．记()()221e 2x x x x ϕ=-+-，则当()0,x ∈+∞时，()()21e 0x x x ϕ=-<'，()x ϕ∴在()0,∞+上单调递减，()()00x ϕϕ∴<=，则有()00f x <，与()0f x >恒成立矛盾，所以2a <-不成立．综上，实数a 的取值范围是[)2,-+∞．【小问2详解】由（Ⅰ）知，当2a =-时，()()20,,2e 220x x f x x x ∀∈+∞=--->，21e 12x x x ∴->+．记()1ln m x x x =--，则当()1,x ∈+∞时，()1110x m x x x='-=->，()m x ∴在()1,+∞上单调递增，则有()()10m x m >=，∴当()1,x ∈+∞时，1ln x x >+，∴当()1,x ∈+∞时，()21ln 1e 1122x x x x x +->+>+．令()*e k x k =∈N ，则()e e 1e e 12k k k k +->+．记()*1e (1)nk n k T k n ==+∈∑N ，则()()2323412e 3e 4e 1e ,e 2e 3e 4e 1e n n n n T n T n +=+++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅++，()()()()()211231e 1e e 11e e e e 2e 1e 2e 1e n n n n n T n n -++-∴-=+-++⋅⋅⋅+-=+---，()12121e 2e e e e 1(e 1)n n n n T +++--∴=+--，()121e 211(1)e 2e e e e e 22(e 1)2(e 1)n n n k k n k n T n n ++=+--∴->+=+--∑，∴对任意正整数n ，都有不等式()121e 21(1)e 2e e e ee 2(e 1)2(e 1)k n n n k k n n ++=+--->++--∑成立．。

安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题(含解析)

安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则A ．B ．C ．D ．2．已知直线与直线，则“”是“”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列四个数中最大的是A ．B ．C ．D．4．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：与时间（单位：h ）之间的关系式为，其中为初始污染物含量，均为正的常数，已知过滤前后废气的体积相等，且在前4h 过滤掉了的污染物．如果废气中污染物的含量不超过时达到排放标准，那么该工厂产生的废气要达到排放标准，至少需要过滤的时间为A ．4hB ．6hC ．8hD ．12h5．函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是A ．B ．1{244x A xy B x ⎧⎫===<<⎨⎬⎩⎭∣A B ⋂=(1,2)-[1,2)-(2,1)--(2,1]--21:10l a x y ++=2:370l x ay -+=3a =12l l ⊥lg 20lg(lg 20)2(lg 20)1lg 20P mg /L)t 0e(0)tP P t λ-=…0P 0,P λ80%00.04P ()f x ()f x 1()cos f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭1()sin f x x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．D ．6．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．7．已知函数，则满足的的取值范围是A ．B ．C ．D ．8．定义为不超过的最大整数，区间（或）的长度记为．若关于的不等式的解集对应区间的长度为2，则实数的取值范围为A ．B ．C ．D ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知，若，则下列命题正确的是A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则10．已知，且，则A ．B ．CD．11．已知函数与的导函数分别为与，且的定义域均为为奇函数，则A ．B ．为偶函数C ．D ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若“”是假命题，则实数的最小值为______．1()ln ||f x x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭1()cos f x x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭22,1()1ln(2),1x ax a x f x x x ⎧-+<-=⎨-+-⎩…R a (,0]-∞[0,)+∞[2,)-+∞[2,0]-33()e e x x f x x --=-+(22)(1)6f m f m -++>m (3,)+∞3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭7,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭[]x x []a b ，(,),[,),(,]a b a b a b b a -x []2[]6k x x >-k 40,5⎛⎤ ⎥⎝⎦14,25⎛⎫⎪⎝⎭1,12⎛⎤⎥⎝⎦4,15⎛⎤⎥⎝⎦,(0,1)(1,)m n ∈⋃+∞211log 2,log 212m n a a==-2a =2mn =2a >2mn >1mn =1a =1mn >1a >0,0ab >>24a b +=1ab (12)2a b + (2)412b a a+…()f x ()g x ()f x '()g x '(),(),(),()f x g x f x g x '',()(6)3()(2),(4)g x f x f x g x g x ''--==-+R (2)(6)0g g +=(4)f x '+()(8)f x f x =+20241()0k g k ==∑π2π,,sin 43x x m ⎡⎤∀∈>⎢⎥⎣⎦m13．若函数在时取得极小值，则的极大值为______．14．已知函数，若存在两条不同的直线与曲线和均相切，则实数的取值范围为______.四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）（Ⅰ）已知函数满足，求在区间上的值域；（Ⅱ）若函数的最小值为，且，求的最小值.16．（15分）设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为曲线的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数的图象都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数13的图象的对称中心为．（Ⅰ）求实数m ，n 的值；（Ⅱ）求的零点个数.17．（15分）已知函数.（Ⅰ）若，证明：；（Ⅱ）若且存在，使得成立，求的取值范围．18．（17分）已知函数．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，求的极值；（Ⅲ）若恒成立，求的取值范围．19．（17分）已知函数．2e ()1xf x x bx =++2x =()f x ()()3ln f xg x x ==+()y f x =()y g x =m 2()f x ax bx =+()(1)2f x f x x -+=()f x (0,1)2(1)1x y x x =>-M 0m M <<11M m m +-()f x '()f x ()f x ''()f x '()0f x ''=0x ()()0,x f x ()y f x =32()9f x mx nx x =+--(1,2)--()f x 2()ln 1()a f x a x a x=+-∈R 1a =()0f x …0a >0(0,e]x ∈()01f x <-a ()(1)ln ,f x a x x x a =++∈R 2a =-()y f x =(e,(e))f 1a =()f x 2()e x a f x x -+…a e ()ln ,x m f x m x m x x=--∈R（Ⅰ）讨论的单调性．（Ⅱ）当时．（ⅰ）证明：当时，；（ⅱ）若方程有两个不同的实数根，证明：．附：当时，．()f x 1m =2x …()f x x >()f x a =12,x x 122x x +>0x →2e 11,e 7.4,ln 20.7x x-→≈≈数学•答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．答案B 命题意图本题考查集合的交运算.解析由已知，得，由，得，所以，所以．2．答案A 命题意图本题考查充分必要条件的判断．解析若，则，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件．3．答案C 命题意图本题考查对数函数的性质．解析由的单调性可知，即．故最大的是．4．答案C 命题意图本题考查函数的实际应用．解析依题意得，当时，，当时，，则，可得，即，所以，当时，解得，故至少需要过滤8h才能达到排放标准．5．答案D 命题意图本题考查函数图象的识别．解析对于A ，当时，，排除A ；对于B ，因为，所以函数为偶函数，与函数图象不符，排除B ；对于C ，当时，由0，得，排除C ，故选D ．6．答案B 命题意图本题考查函数的单调性．{1}A x x =-∣ (1)244x <<22x -<<{22}B x x =-<<∣{1A B x ⋂=-∣…2}x <12l l ⊥230a a -=0a =3a =3a =12l l ⊥lg y x =lg10lg 20lg100<<1lg 202,<<21lg(lg 20)lg 21,1,(lg 20)lg 20∴<<<- 2lg 20(lg 201)lg 200,(lg 20)lg 20=->∴>2(lg 20)0t =0P P =4t =00(180%)0.2P P P =-=400e0.2P P λ-=4e0.2λ-=1ln 54λ=ln540e t P P -=ln5400e 0.04t P P P -=…8t …(0,1)x ∈()0f x <11()sin()sin f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=---=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 1()sin f x x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0x >1ln ||x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭1x =解析易知在上单调递减，要使在上单调递减，则需满足解得，即的取值范围是．7．答案D 命题意图本题考查利用函数性质解不等式．解析令为奇函数，且易知在上单调递增．原不等式可转化为，即，解得．8．答案B 命题意图本题考查新定义及不等式与函数综合问题．解析设，作出的图象，因为不等式的解集对应区间的长度为2，所以解集只可能为或．当解集为时，如图（1），数形结合易知即无解．当解集为时，如图，数形结合易知即解得所以．综上，实数的取值范围为．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．答案ABC 命题意图本题考查指、对数的运算性质和函数的性质．1ln(2)y x =-+[1,)-+∞()f x R 1,2131,aa ⎧-⎪⎨⎪+⎩……0a …a [0,)+∞()(3)3e e,()()0,()xxg x f x x g x g x g x -=+-=-++-=∴ ()g x R (22)(25)3,(1)(2)3,f m g m f m g m -=-++=-+∴ (25)(2)0g m g m -+->(25)(2),252g m g m m m ->-∴->-73m >(),()|26|f x kx g x x ==-(),()f x g x []|2[]6|k x x >-[2,4)[3,5)[2,4)(2)(2),(4)(4),f g f g >⎧⎨⎩…2|226|,4|246|,k k >⨯-⎧⎨⨯-⎩…[3,5)(2)(2)(2),(4)(4),(5)(5),f g f g f g ⎧⎪>⎨⎪⎩……2226,4246, 5256,k k k ⎧⨯-⎪>⨯-⎨⎪⨯-⎩……1,1,24,5k k k ⎧⎪⎪⎪>⎨⎪⎪⎪⎩……1425k <…k 14,25⎛⎤ ⎥⎝⎦解析由题意知，所以，所以．对于A ，若，则，故A 正确；对于B ，若，则，所以，故B 正确；对于C ，若，则，解得，故C 正确；对于D ，若，则，不能得到，故D 错误．10．答案BC命题意图本题考查基本不等式的应用．解析对于A ，因为，所以，所以，故A 错误；对于，当且仅当时等号成立，故B 正确；对于C ，因为C 正确；对于D ，因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，故D 错误．11．答案ACD命题意图本题考查抽象函数及函数的性质．解析对于A ，因为为奇函数，所以，令，得，故A 正确；对于B ，由，得，又，所以，即，所以，又的定义域为，故为奇函数，故B 错误；对于C ，由，可得为常数）.，又，所以，所以，所以，所以是周期为8的函数，同理也是周期为8的函数，故C 正确；222log 12,log m a n a =-=22log ()21mn a a =-+2212a a mn -+=2a =122mn ==2a >2221(1)1a a a -+=->122mn >=1mn =2210a a -+=1a =1mn >2221(1)0a a a -+=->1a >0,0a b >>42a b =+…2ab …12112141B,(2)442444b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝…22b a ==224448a b =++=++=24a b +=42b a =-22(42)164481616b a a a a a a a-+=+=+--…a =4b =-(4)g x +(4)(4)g x g x -+=-+2x =(2)(6)0g g +=()(6)3g x f x --=()(6)0g x f x ''+-=()(2)f x g x ''=-(2)()(6)f x g x f x '''+==--(2)(6)f x f x ''+=--(4)(4)f x f x ''+=--(4)f x '+R (4)f x '+()(2),(4)(4)f x g x g x g x ''=--+=-+()(2)(f x g x b b =-+(6)(4)f x g x b -=-+=(4)g x b -++()(6)3g x f x --=()(6)()(4)3g x f x g x g x b --=++-=()(4)g x g x ++=3,(4)(8)3b g x g x b ++++=+()(8)g x g x =+()g x ()f x对于D ，，令，得，则，再令，得，又是周期为8的函数，所以，因为，所以，又，所以，故D 正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．答案命题意图本题考查全称量词命题．解析因为“”是假命题，所以“”是真命题，所以，故实数．13．答案命题意图本题考查利用导数研究函数的极值．解析由题意可得，，解得，所以，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以的极大值为．14．答案命题意图本题考查导数的几何意义、公切线及函数与方程．解析设曲线上的切点坐标为，由已知得为，即上的切点坐标为，由已知得，则公切线的方程为，即，消去，得．若存在两条不同(4)(4)g x g x -+=-+0x =(4)(4)g g =-(4)0g =4x =(0)(8)g g =-()g x (0)(8)0g g ==(4)(4)g x g x -+=-+(1)(7)0,(3)g g g +=+(5)0g =(2)(6)0g g +=20241()253[(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)k g k g g g g g g g ==+++++++∑(8)]25300g =⨯=π2π,,sin 43x x m ⎡⎤∀∈>⎢⎥⎣⎦π2π,,sin 43x x m ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦…m …m e()22e (1)(1)(),(2)01x x x b f x f xbx ''-+-==++1b =-()22e (1)(2)()1x x x f x xx '--=-+()f x (,1)-∞(1,2)(2,)+∞()f x (1)e f =(0,()y f x =(11,,0x x …()f x '=y -=)1x x -y x =+()y g x =()222,3ln ,0x x x +>()g x '=1x()()22213ln y x x x x -+=-2212ln y x x x =++2212ln x x ==+1x 2222ln 4x m x +=的直线与曲线均相切，则关于的方程有两个不同的实数根．设，则，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，由可得，当且时，，当时，且，则的大致图像如图所示，所以，解得．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．命题意图本题考查二次函数的性质、基本不等式．解析（I ）由题意得，即，………………（1分）所以且，解得．所以，…………………………………………………………………………………（3分）则在上单调递增，在上单调递减，又，所以在区间上的值域为．…………………………………………………………（6分）（II ），(),()y f x y g x ==2x 24m =222ln x x +2ln (),0x h x x x +=>21ln ()x h x x '--=()0h x '>10e x <<()0h x '<1ex >()h x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭max 1()e e h x h ⎛⎫== ⎪⎝⎭()0h x =21ex =0x →0x >()h x →-∞x →+∞()0h x >()0h x →()h x 20e 4m <<0m <<22(1)(1)2ax bx a x b x x +-+-+=22ax a b x ---=22a -=0a b +=1,1a b =-=2()f x x x =-+()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭11(0)(1)0,24f f f ⎛⎫===⎪⎝⎭()f x (0,1)10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦22111111x y x f x x x ===-⎛⎫- ⎪⎝⎭当时，，由（I ）知，所以，即．……………………………………（9分）所以，……（12分）当且仅当时等号成立．所以的最小值为1.…………………………………………………………………………（13分）16．命题意图本题考查利用导数研究函数的性质．解析（I ）因为，所以，所以，………………………………………………………………（3分）又因为的图象的对称中心为，所以…………………………………………………………………（5分）即解得…………………………………………………………………………（7分）（II ）由（I ）知，，所以，…………………………………………………………（9分）令，得或，……………………………………………………………………（10分）当变化时，的变化情况如下表：-31+0-0+↗14↘-18↗所以的极大值为，极小值为，…………………………………………（13分）1x >101x<<110,4f x ⎛⎫⎛⎤∈⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦1[4,)1f x ∈+∞⎛⎫ ⎪⎝⎭4M =11111141(4)2(22)1444444m m m m m m m m m m -⎛⎫⎛⎫+=-++=++⨯+= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭…2m =11M m m+-32()913f x mx nx x =+--2()329f x mx nx '=+-()622(3)f x mx n mx n ''=+=+()f x (1,2)--(1)2(3)0,(1)9132,f m n f m n ''⎧-=-+=⎨-=-++-=-⎩30,2,m n m n -+=⎧⎨-+=⎩1,3.m n =⎧⎨=⎩32()3913f x x x x =+--2()3693(3)(1)f x x x x x '=+-=+-()0f x '=3x =-1x =x (),()f x f x 'x (,3)-∞-(3,1)-(1,)+∞()f x '()f x ()f x (3)14f -=(1)18f =-又，所以有3个零点．………………………………………………………………………………（15分）17．命题意图本题考查利用导数研究函数性质．解析（I ）若，则，所以．…………（2分）由得，由得，所以在上单调递减，在上单调递增，……………………………………………（4分）所以有极小值，也是最小值，且，所以．……………………………………………………………………………………………（6分）（II ）由题意得，…………………………………………………（7分）因为，所以令，得，令，得，故在上单调递减，在上单调递增．………………………………………………（9分）若，则在上的最小值为．………………………………（10分）要使条件成立，只需，解得．…………………………………（12分）若，则在上的最小值为，………………………………………（13分）令，无解．……………………………………………………………………………（14分）故的取值范围为．……………………………………………………………………………（15分）18．命题意图本题考查导数的几何意义及利用导数求函数极值、解决不等式恒成立问题．解析（I ）当时，，故曲线在点处的切线方程为．…………………………………………（4分）（II ）当时，，则，………………………………（6分）令，得，令，得，(10)6230,(3)140f f -=-<=>()f x 1a =1()ln 1f x x x =+-22111(),0x f x x x x x '-=-=>()0f x '<01x <<()0f x '>1x >()f x (0,1)(1,)+∞()f x min ()(1)0f x f ==()0f x …222()(),0a a a x a f x x x x x '-=-=>0a >()0f x '>x a >()0f x '<0x a <<()f x (0,)a (,)a +∞0e a <<()f x (0,e]()ln 1f a a a a =+-()ln 11f a a a a =+-<-10ea <<e a …()f x (0,e]2(e)1ea f a =+-211ea a +-<-a 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭2a =-()ln ,()ln ,(e)1,(e)0f x x x x f x x f f ''=-===()y f x =(e,(e))f e y x =-1a =()2ln (0)f x x x x x =+>()3ln f x x '=+()0f x '<30e x -<<()0f x '>3e x ->所以在上单调递减，在上单调递增，………………………………………（8分）所以，无极大值．………………………………………………………（9分）（III ）令，由得，…………………………………………………………（10分）令，则在上单调递减，又，故．……………………………………………………………………………………………………（11分）下面证明当时，．易知．……………………………………………（12分）设，则，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，则，即．……（14分）设，则，当时，，当时，，故，则，即．……………………………………………（15分）故，则．故所求的取值范围是．………………………………………………………………………（17分）19．命题意图本题考查利用导数讨论函数的单调性、证明不等式．解析（I ）由已知，得．………………………（1分）当时，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增；………………………………………………（2分）当时，令，得，令，得或，所以在上单调递减，在和上单调递增；……………………………（3分）当时，在上恒成立，所以在上单调递增；…………………（4分）()f x ()30,e -()3e ,-+∞()33()e e f x f --==-极小值2()e (1)ln x a g x a x x x x -=-+-+(1)0g …11e(1)1e 0a a a a ---++=-…1()e a q a a -=-()q a R (1)110q =-=1a …1a …()0g x …212e (1)ln e 2ln x a x a x x x x x x x x ---+-+--+…()e 1x p x x =--()e 1x p x '=-(,0)x ∈-∞()0p x '<(0,)x ∈+∞()0p x '>()p x (,0)-∞(0,)+∞()(0)0p x p =…e 1x x +…()ln 1(0)t x x x x =-+>11()1x t x x x '-=-=(0,1)x ∈()0t x '>(1,)x ∈+∞()0t x '<max ()(1)0t x t ==ln 10x x -+…ln 1x x -…121e 2ln e 2(ln )20x x x x x x x x x x x x x ----+=-+--+=…()0g x …a (,1]-∞()222(1)e e e (),0x x x x m x m m f x x x x x x '---=-+=>1m …()0f x '<01x <<()0f x '>1x >()f x (0,1)(1,)+∞1e m <<()0f x '<ln 1m x <<()0f x '>1x >0ln x m <<()f x (ln ,1)m (0,ln )m (1,)+∞e m =()0f x '…(0,)+∞()f x (0,)+∞当时，令，得，令，得或，所以在上单调递减，在和上单调递增．……………………………（5分）（II ）（i ）由题可知，即证当时，．令，则．………………………………（7分）令，则．令，则，易知在上单调递增．………（8分）所以，则在上单调递增，所以，则在上单调递增，……………………………………（9分）所以，则在上单调递增，所以，原不等式得证．…………………………………………………………………………………………（10分）（ii ）当时，，由（I ）知在上单调递减，在上单调递增，所以，当且时，，由（i ）可知当时，，由方程有两个不同的实数根，得．………………………………………（12分）不妨设，则，要证，即证，又在上单调递增，所以只需证，即证．………………………………………………………………………………（13分）设，则．…………………………………………（14分）e m >()0f x '<1ln x m <<()0f x '>ln x m >01x <<()f x (1,ln )m (0,1)(ln ,)m +∞2x …e 1ln 0x x x x x--->e 1()ln ,2x s x x x x x x =---…()22e (1)1()x x x x s x x '--+-=()2()e (1)1,2x t x x x x x =--+-…()e 21x t x x x '=--()e 21,2x n x x x x =--…()(1)e 2x n x x '=+-()n x '[2,)+∞2()(2)3e 20n x n ''=->…()n x [2,)+∞2()(2)2e 50n x n =->…()t x [2,)+∞2()(2)e 50t x t =->…()0,()s x s x '>[2,)+∞2e 57.4()(2)ln 20.7 2.50.50222s x s =--≈--=>…1m =e 1()ln x f x x x x =--()f x (0,1)(1,)+∞min ()(1)e 1f x f ==-0x >0x →()f x →+∞x →+∞()f x →+∞()f x a =12,x x e 1a >-12x x <121(0,1),(1,),2(1,2)x x x ∈∈+∞-∈122x x +>212x x >-()f x (1,)+∞()()212f x f x >-()()112f x f x >-()()(2)g x f x f x =--222e 1e 1()()(2)(1)(2)x x g x f x f x x x x -'''⎡⎤--=+-=--⎢⎥-⎣⎦设，则，设，则，当时，单调递减，当时，单调递增，又因为，所以存在，使得，………………………………………………………………（15分）当时，，即，当时，，即，所以在上单调递减，在上单调递增．…………………………………………（16分）又因为，所以当时，，当时，，所以当时，单调递减，因为，所以，所以，故原命题得证．…………………………………………………………（17分）2e 1()x h x x -=3(2)e 2()x x h x x '-+=()(2)e 2x u x x =-+()(1)e xu x x '=-01x <<()0,()u x u x '<1x >()0,()u x u x '>(0)0,(1)2e 0,(2)2u u u ==-<=0(1,2)x ∈()00u x =00x x <<()0u x <()0h x '<0x x >()0u x >()0h x '>()h x ()00,x ()0,x +∞2e 1(1)e 1,(2)e 14h h -=-=<-01x <<()e 1h x >-12x <<()e 1h x <-01x <<()(1)[()(2)]0,()g x x h x h x g x '=---<1(0,1)x ∈()1(1)(1)(1)0g x g f f >=-=()()112f x f x >-。

2020届天一大联考皖豫联盟高中毕业班第二次考试数学(理)

2．若复数为纯虚数，则（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】结合复数的四则运算及纯虚数的概念，可求出答案.
【详解】
.
复数为纯虚数,得解得 .
故选：D.
【点睛】
本题考查复数的运算、纯虚数的概念，考查运算求解能力以及函数与方程思想，属于基础题..
3．2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立周年，某校聚集名学生站成一个方阵.方阵中间部分学生身穿红色衣服，组成“ ”的字样，其余学生身穿白色衣服.若任选名学生，选到身穿红色衣服的学生的概率为，则任选名学生，名学生身穿红色衣服，另名学生身穿白色衣服的概率为（）
【详解】
（1）如图，取的中点为，连接 .
因为是等边三角形，所以 .
由题意知，从而 .
因为平面平面，平面平面，，
所以平面 .
又平面，所以 .
（2）如图，连接 .
因为，所以 .
又平面平面，平面平面，，
所以平面 .所以，，两两垂直.
分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系 .
故选：A.
【点睛】
本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力与推理论证能力，属于中档题.
10．已知在体积为的正方体中，，分别是，的中点.若平面平面，则在正方形中的线段长度为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】延长，，交于点，连接，，可知在正方形中的线段为线段，由和全等，及，可得，从而可求得进而可求得 .
因为，所以 .
因为，所以 .
在中，由余弦定理得，即 .

2020届天一大联考皖豫联盟体高中毕业班第一次考试理科数学(word无答案)

2020届天一大联考皖豫联盟体高中毕业班第一次考试理科数学一、单选题(★★) 1 . 已知集合，，则( )A．B．C．D．(★) 2 . 已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．(★) 3 . “ ”是“函数在区间上单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★★) 4 . 中秋节，小张买了一盒月饼，里面一共有10个月饼，其中豆沙馅、莲蓉馅、蛋黄馅，水果馅和五仁馅各2个，小张从中任取2个月饼，这2个月饼的馅不同的概率为( )A．B．C．D．(★★) 5 . 设，，，则（）A．B．C．D．(★★) 6 . 已知函数为奇函数，则不等式的解集为( ) A．B．C．D．(★★) 7 . 若满足约束条件，则的最小值为( )A．B．C．1D．2(★★) 8 . 已知平面向量满足，，，则的取值范围是( )A．B．C．D．(★★) 9 . 函数图象大致为（）A．B．C．D．(★★) 10 . 已知函数，若函数在区间上有且只有两个零点，则的取值范围为（）A．B．C．D．(★★) 11 . 记等比数列的前项和为，已知，，设是正整数，若存在正整数，使得成等差数列，则的最小值为( )A．2B．3C．4D．8(★★) 12 . 设都是不为1的正数，函数的图象关于对称则的零点个数为( )A．0B．1C．2D．3二、填空题(★) 13 . 设函数则_______.(★★) 14 . 已知函数的图象上有一点，则曲线在点处的切线方程为______.(★★) 15 . 已知三棱锥的外接球半径为2，底面是直角三角形，且斜边的长为，则三棱锥的体积的最大值为_____.(★★) 16 . 已知函数的图象在区间上与轴恰好有1个公共点，则实数的取值范围为_______.三、解答题(★★) 17 . 设为实数，，，不等式恒成立.（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）若为真命题，求实数的取值范围.(★★) 18 . 已知函数，其导函数是偶函数，且.（1）求函数的解析式；（2）若函数的图象与轴有三个不同的交点，求实数的取值范围.(★★) 19 . 如图，在平面直角坐标系中，已知定点及动点，以为斜边作一等腰直角三角形（原点与点分别在直线的两侧）.（1）当时，求；（2）求四边形面积的最大值.(★★) 20 . 已知等差数列满足，，数列的前项和为满足.（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）若，恒成立，求实数的取值范围.(★★★★) 21 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，的面积为1，且椭圆的离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）点在椭圆上且位于第二象限，过点作直线，过点作直线，若直线的交点恰好也在椭圆上，求点的坐标.(★★★★) 22 . 已知函数，其中.（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）已知，，设函数的最大值为，求证：.。

2020届天一大联考皖豫联盟高中毕业班第二次考试数学(理)试题(解析版)

2020届天一大联考皖豫联盟高中毕业班第二次考试数学（理）试题故选：B. 【点睛】本题考查集合的运算、不等式的解法考查运算求解能力以及化归与转化思想，属于基础题.2.若复数z i^菁（m R ）为纯虚数，则m （）A . 2 B. 1C. 1D. 2【答案】D【解析】结合复数的四则运算及纯虚数的概念，可求出答案【详解】1 mi (1 mi)(2 i) 2 i2mi m 2 m 2m 1 z2 i(2i)(2 i)5 55复数z 为纯虚数, 2 得m 0解得 m 2.2m 1 0故选：D. 【点睛】本题考查复数的运算、纯虚数的概念，考查运算求解能力以及函数与方程思想，属于基、单选题 1 •已知集合 y | y 5，则 $ A I B (A .B .5, 3C.5, 3D.5,3【答案】【解析】先求出集合 A ，然后求出 e R A , 再与集合 B 取交集即可•【详解】依题意, xx 3，则3，所以e ?A5,础题..3. 2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立 70周年，某校聚集400名学生站成一个方阵•方阵中间部分学生身穿红色衣服，组成“70”的字样，其余学生身穿白色衣服.若任选1名学生，选到身穿红色衣服的学生的概率为1，则任选2名学生，1名学 4 生身穿红色衣服，另1名学生身穿白色衣服的概率为（) 100 3 50A .B.C.1334 133D.—16【答案】C【解析】分别求出身穿红色衣服和白色衣服的人数，然后求出选出 1名学生身穿红色衣形的概率公式可求出答案【详解】1400名学生中，身穿红色衣服的有 400 — 100人，身穿白色衣服的有 300人，故任4选2名学生，1名学生身穿红色衣服，另 1名学生身穿白色衣服的概率故选：C.【点睛】本题考查排列组合，考查古典概型的概率，考查推理能力，属于基础题 4 •记递增等比数列 a n 的公比为q ,前n 项和为S n .若S 2 8 , S 4 80,则（）A . a 1 4B . a 2【答案】B2【解析】结合a 3 a 4 S 4 ，及q【详解】依题意，得 a 1 a 2 8, a 3 a ° S 4者q 3.又因为数列 a n 是递增数列,故选：B. 【点睛】服，另1名学生身穿白色衣服的选法，及400名学生选出2名学生的选法，结合古典概50 133C. q= 2D. q4a 3a 4 ，可求出公比，进而求出印.a 1 a 22a 3 a 4 小S 272, 所以q 9 , 解得q 3或a 1 a 2所以 q 3，所以a 1 2.本题考查等比数列的通项公式、前n 项和公式，考查运算求解能力以及化归与转化思想, 属于基础题.9x 的值为3，输出的x 的值为，则判断框中8【答案】C【解析】运行该程序，可知i 3，不满足判断框，i 4，满足判断框，从而可选出答案• 【详解】9由于输入的x 的值为3，输出的x 的值为一，可知：8运行该程序，第一次,x 1(3 2 1) 2 , i 1，不满足判断框; 第二次，x1(21)3 . ,i 2，不满足判断框；2 2第三次，x1 3 15 .,i3，不满足判断框；2 245 •运行如图所示的程序框图；若输入的C. i 3D. i 21 第四次，x -5 1 9. ,i94，满足判断框，输出 x 的值为Y ,2 488故判断框可以填 i 3.故选：C.【点睛】本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归与转化思想，属于基础题6 •地震震级是衡量地震本身大小的尺度，由地震所释放出来的能量大小来决定，释放出的能量愈大，则震级愈大•震级的大小可通过地震仪测出 •中国使用的震级标准，是国际上通用的里氏分级表，地震释放的能量E 与地震里氏震级 M 之间的关系为的能量分别为E 1 ,E2.记，E 2则 (）A .30,31B. 31,32C. 32,33D.33,34【答案】B【解析】分别求出 E 1和E 2，可得到 E LE 2109 107.5101.5，然后比较101.5,31,32的大小关系即可选出答案【详解】大小关系，可比较103与322的大小关系，易知103 同理可得，101.5 31，所以（31,32）.故选：B. 【点睛】本题考查数学文化，考查指数的运算性质，考查运算能力、推理论证能力以及化归与转化思想，属于基础题.7 .已知三棱锥A BCD 满足AB CD 则三棱锥 A BCD 外接球的表面积为（A . 116n B. 128n 2.13 , AC BD 10, AD BC 4, 5 , )C. 132 nD. 156n【答案】AE 1048—3M,10 .已知A 地区最近两次地震的震级M i , M 2的值分别为6, 5，释放依题意，E i104.8 109, E 2 104.8 107.5,故■El109 107.51 5 d c10 .,要比较10与32的1000，而 322 1024，故 101.5 32 .【解析】可将三棱锥置于一个长、宽、高分别为x , y , z 的长方体中，可得x 2 y 2 52y 2 z 2 100，从而可求出x 2 y 2 z 2及外接球半径，进而可求出该三棱锥外接球 z 2 x 2 80的表面积 . 【详解】三棱锥A BCD 的对棱相等，可将此三棱锥置于一个长、宽、高分别为x ，y ，z 的长方体中，则22x y 52 y 2 z 2 100 ，三式相加可得， x 2 y 2 z 2116 ，z 2 x 2 80设三棱锥 A BCD 外接球的半径为 R ,则2R 2 x 2 y 2 z 2 116，即4R 2 116.则所求外接球的表面积 S 4 T R 2 116 n故选： A. 【点睛】本题考查三棱锥的外接球，考查球的表面积计算，考查空间想象能力，属于中档题【详解】依题意， y tan x 是曲线 y 3e x 2过原点的切线 . 设切点坐标为 x 0,3e x0 2 ，而 y 3e x 2 ，所以 tan 3ex0 2. 把切点坐标 x 0,3e x） 2代入y tan x ,得3e Xo 2 x 0 3e Xo 2，解得x 1，即3tan 3e .故选： D. 点睛】本题考查导数的运算、导数的几何意义，考查运算求解能力以及化归与转化思想, 属于中档题 .第 5 页共 24 页8．将曲线 y 3e x 2绕原点顺时针旋转角 A ． 2e 2 B ． 2e 3【答案】 D【解析】易知直线 y tan x 是曲线 yx 0,3e x0 2 ，结合导数的几何意义，可求出后第一次与 x 轴相切，则 tan （）23C ． 3e 2D ． 3e 33e x 2过原点的切线，设切点坐标为x 0 ，从而可求出 tan .2 29.记双曲线C:a2右1（a 0,b 0）的左、右焦点分别为F1, F2，点M在双曲线的渐近线上，且在第二象限, OM OF2（O为坐标原点），线段MF?的中点P满足PF i PF? 2a，则双曲线C的离心率为（A. 1 5B. 1 3【答案】A【解析】先求出M的坐标，进而可得到P的坐标，由P满足PF i PF22a，可知点P在双曲线C的右支上，将坐标代入方程，计算可求得离心率【详解】双曲线C的渐近线为y设M的坐标为m,由|OM | PF i OF2 c,可得2c2 mac2，即a,b，则PF2 2a，则点2c1 5，即ea因为e 1，所以只有e故选：A.【点睛】本题考查双曲线的离心率, 能力，属于中档题10.已知在体积为点.若平面BEF I【答案】D P在双曲线C的右支上，所以(C a)24a24b2整理得25，解得e . 5 1 ,5符合题意.考查双曲线的方程与性质, 考查学生的计算能力与推理论证27的正方体ABCD A3C1D1 中, E , F分别是AD1 , C1D1的中平面BCC1B1 l，则I在正方形BCC1B1中的线段长度为（【解析】延长EF , B i C i ，交于点G ,连接BG , BG I CC i H ，可知I 在正方形BCC i B i 中的线段为线段BH ，由VD i EF 和VGGF 全等，及GH //BB i ，可得 C 1H C 1G 1 ‘ 、口，从而可求得C i H 进而可求得BH .BB i B ]G 3【详解】如图，延长EF ，B i C i ，交于点G ，连接BG ，其中BG I CC i H ，则|在正方形BCGB i 中的线段即为线段 BH .依题意，得 AB 327，则AB 3.又易知VD i EF 和VGGF 全等，所以1C i H C i G iC i GD iE -A i D i ，又 C i H / /BB i ，则話冷-，GH i .2 BB i BiG 3所以 CH 2，BH, 32一22 J3.本题考查空间线面的位置关系，考查空间想象能力以及数形结合思想，属于基础题 ii .已知函数 f(x) Asin( x ) A 0,0,P 3,1 , M , N 是与P 相邻的两个最低点，且 tan MPN调递减区间为()故选：D. 【点睛】n 的图象的一个最高点为22021，则函数 f (x)的单A. 3 10k,8 10k (k Z)B. 8 10k,13 10k (k Z)C. 3 5k,8 5k (k Z)D. 8 5k,13 5k (k Z)2 n n 10 5，【答案】A 【解析】由函数f(x)图象的一个最高点为P 3,1 ,可知A 1 ,n2k nk Z)，由tan MPN药，结合二咅角公式，可求得tan 」更，进而由图象可知M N T 4tan 竺2，从而可求得，即可求得f(x)的表达式及单调递减区间【详解】依题意，得tan— MPN 2tan MPN -------------- 2——2 MPN 1 tan220，解得tan21MPN2MPN tan — 2 2 MPN5，因为—T 所以只有tanMPN 25符合题意,2函数f(x)图象的一个最高点为P 3,1 ，得AMNtan 』PN 102 ，又 f(3) 1，得 n52k * Z)，解得n102k «k Z).因为I12，所以n10，则 f(x)nsin — x57t10 n2k n x5n 10 3 n—2k n k Z)，解得 310k8 10k(k Z).故选: A.【点睛】第8页共24页本题考查三角函数的图象与性质，考查正切的二倍角公式的应用，考查推理论证能力以及数形结合思想，属于中档题 •2 212 .已知椭圆C 二 y 2 1(a b 0)与x 轴交于P , Q 两点, a 2 b 2【答案】&、6,可得2ab 8. 6，进而可求得a,b 的值. 【详解】由 cos RPQ ，可得 tan RPQ10又 PRQ 135，所以联立2a b 82 6 ,解得b 2 , a 2 6.故椭圆C 的方程为X 工1.a 2 6b 224 4故选：A.与y 轴交于M ，两点，点R 在椭圆C 上，PRQ135cosRPQ □10且四边形 MPNQ面积为8,6，则椭圆C 的方程为(2A. I24B. 2y ~8C.x 216 2y- 1 62xD.18 3y 2 16【解析】由角的关系可求得 tan RPQ 和 tan RQP 的值，然后设 R(s,t) (s 0,t 0),可得|PQ| 2atan RPQttan RQPtan RPQ ,联立可求得s,t,a 的 a s关系，将点R 的坐标代入椭圆方程，可求得a,b 的关系, 结合四边形 MPNQ 的面积为tan RQP tan PRQ RPQtan RPQ不妨设 R(s,t) (s 0,t0)，则 | PQ| 2atan RPQ ，即 s 3t a 3a s2a 5又四边形 tan PRQ tan PRQtan RPQtan RPQttan RQP5t ，即t 仝,5a 2代入椭圆方程可得一社 525a 2 4a 2 25b 21，即 a 2 6b 2. MPNQ 的面积为& 6，即2ab 8-.6 ,【点睛】本题考查三角恒等变换、椭圆的方程和性质，考查运算求解能力以及化归与转化思想,属于中档题.二、填空题13 .对一批产品的内径进行测量，所得数据统计如下图所示，估计这批产品内径的中位数为____________ .频率【答案】26【解析】由小矩形的面积之和等于1可求出a的值，计算前3个小矩形的面积可知中位数在第四组中，列式子计算即可.【详解】由题意，得(0.0125 2 0.025 0.0375 0.05 a) 5 1，解得a 0.0625.前3个小矩形的面积S (0.0125 0.025 0.05) 5 0.4375，故所求中位数为故答案为：26. 【点睛】本题考查中位数的求法，考查频率分布直方图，考查运算求解能力，属于基础题 .14 •已知VABC 中，D 是线段BC 上靠近B 的三等分点，E 是线段AC 的中点.若uur uuu uunBE mAD nAE ，则m n -----------------------------------------------------------.【答案】-2uuur uuu uuu【解析】结合平面向量的线性运算，用 AD,AE 表示BE ，进而可求出m,n 的值，即可求出答案• 【详解】如图，uur uur uur 3 uuiu uuu 3 uuu uuu uuu3 uuuuuiu uur uur 3 uuu BE BC CE 2 DC AE 3(AC 2 AD)AE 严AD) AE 2AE 2 AD33 7，所m n 2 , 所以 m n -2222250.5 0.4375 0.062526.故答案为： 7. 2【点睛】本题考查平面向量的基本定理，考查平面向量的线性运算，考查推理论证能力，属于基础题.115 .记数列 a n 的前n 项和为S n ，已知a 13k 的最大值为 _____________ .【答案】19【解析】利用a n 1 S n 1 S n ，将等式转化为只含an 1——.若41S kS n1 1k39 ,S n ,S n 1的关系式，进而可得到【详解】故答案为：19. 【点睛】S n 与a n 关系问题的求解思路:根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化 ① 利用a n S n S n-1门2，转化为只含&$.一1的关系式，再求解； ② 利用S n 1 a n n 2，转化为只含a n , a n 1的关系式，再求解•2x 3 门 ------ ,x 0216.已知函数 f(x) x 1，函数 g x f x 2m 1 f x 2m ,x 2 4x 3,x 0若函数g x 有7个零点，则实数 m 的取值范围为 _______________ .3【答案】，1 U 02【解析】作出函数f x 的图象，令g(x) 0，解得f(x) 1或f(x) 2m ，结合图象易知f(x) 1有4个解，从而只需f(x) 2m 有三个解，结合图象讨论 2m 的取值范围即可. 【详解】式 41S k1 ST39 1,即数列1ST是等差数列，从而可求出 S n 的表达式, 解不等可求出答案•依题意，得a n1Sn 1S i 1Sn 1S n 1 S n 1 S nS ；12S n 1所以S n 1S n2S n 11，则SnS n 1 S n即二述±_S n 1 S n 11S n 11S n 11S n 111所以S n 111 ST!1.故数列1是首项为S n 1a 1|，公差为1的等差数列，贝y -一-S n 1所以S n 2n 1 2n 1故 41S k39可化为41生」2k 1 39，解得k 20 ,因为k N *，所以k 的最大值为19.3 上单调递减，在 ,0上2y f (x)和y 1的图象有4个交点，即f(x) 1有4个实数根，所以只需f(x) 2m有3个实数根即可•观察可知，当2 2m 3或2m 0时，符合题意,3 解得一 m 1或m 0.本题考查函数的图象性质，考查函数的零点，考查推理论证能力以及数形结合思想，属于中档题.三、解答题417 •如图所示，在平面四边形 ABCD 中，tan BCD .3当x 0时,f (x) x 4x 3，在0,2上单调递减,(2,+?)上单调递增，且f(0) 3. 作出函数f x 的图象如下图所示:令 g(x) 2f (x)(2m 1)f (x)2m 0,解得 f(x) 1 或 f (x) 2m ，而3时，图象始终在 2的下方;2故答案为：3, 1 U 02 -^|，f(x)在(2)若 CBD 45 , BC 2，求 VBCD 的面积.【答案】（1） AC 5（ 2） 8【解析】（1）由tan BCD ，可求出cos BCD ，结合 ACB Z ACD ，可求得cos ACB ，在VABC 中，由余弦定理可求出 AC 的长;（2）先求得sin BCD,cos BCD ，则sin CDB sin BCD 45 ，然后利用正弦定BC理sin CDBCD sin CBD可求出CD ，进而可求出VBCD 的面积•【详解】(1) tan BCD-,则BCD 是钝角， cos BCD 0 ,可求得cos BCD335因为 ACBZ ACD ，所以 cos BCD3 2cos 2 ACB 1.5因为 cos ACB 0，所以 cos ACB —.5在VABC 中，由余弦定理得AB 2BC 2 AC 2 2BC AC cosACB ，即AC 22- AC 3 0. 5解得AC '、5，或AC3,5 5（舍去）•所以 AC 5 .（2）由（1）可知，sin BCD 1 cos 2 BCD -.5在VBCD 中，因为 CBD45 ,所以sin CDB sin 180BCD 45sin BCD 45J 2(sin BCD cos BCD)吧CDsin CDB sin CBDBC sin CBD . _ 所以CD 10.sin CDB1 4故VBCD的面积S 丄2 10 = 8.2 5【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式的应用，考查运算求解能力、推理论证能力，属于基础题•18 •如图，三棱锥P ABC中，VABC是等边三角形，M是线段AC的中点，N是线段CB上靠近C的四等分点，平面PBC 平面ABC .A(1)求证：MN PB;(2)若PB PC BC 4，求二面角A PC B的余弦值•【答案】(1)证明见解析；(2) ―55【解析】(1)取BC的中点为O,连接AO ,由VABC是等边三角形，可得AO BC ,MN //AO，结合平面PBC 平面ABC，易证MN 平面PBC，从而可证明结论；(2)连接PO,易知OA, OB , OP两两垂直，以OA, OB , OP所在直线为x轴, y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz，然后分别求出平面BPC、APC【详解】(1)如图，取BC的中点为O，连接AO .因为VABC是等边三角形，所以AO BC .由题意知MN //AO，从而MN BC .因为平面PBC 平面ABC，平面PBC I平面ABC BC , MN BC , 所以MN 平面PBC.又PB 平面PBC，所以MN PB.的法向量，设二面角A PC B为，贝U cosir rm n，可求出答案BC由正弦定理得(2)如图，连接P0.因为PB PC ，所以PO BC .又平面PBC 平面ABC ，平面PBC I 平面ABC BC , PO BC , 所以P0 平面ABC .所以0A , OB , 0P 两两垂直.分别以0A , OB , 0P 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz .因为PB PC BC 4，VABC 为等边三角形,所以 PO A0 2、3，所以 A 2 3,0,0 ，C 0, 2,0，P 0,0, 2. 3， uir uuu 从而 PA 2 3,0, 2.3，PC 0, 2, 2 3 . 设平面APC 的法向量n x,y,z19 •由于工作需要，某公司准备一次性购买两台具有智能打印、扫描、复印等多种功能XPA 0 /曰 2.3x 2 一 3z 0 由 v uuv ，得 _n PC 0 2y 2 3z 0 x zr l 即 .可取 n 1,、3,1y 、3zir取平面BPC 的一个法向量m 1,0,0设二面角A PC B 为，则cos1 1 .'3 0 1 0.12 212 -,12 02 02m n本题考查空间线面的位置关系、向量法求二面角，考查空间想象能力、推理论证能力，属于基础题.的智能激光型打印机•针对购买后未来五年内的售后，厂家提供如下两种方案:收取费用3000元;收取费用1000元以这200台打印机使用五年的维修次数的频率代替 1台打印机使用五年的维修次数的概率，记X 表示这两台智能打印机五年内共需维修的次数（1）求X 的分布列及数学期望；（2）以两种方案产生的维修费用的期望值为决策依据，写出你的选择，并说明理由【答案】（1）详见解析（2）应使用方案一，详见解析【解析】（1）X 的所有可能取值为 2，3，4，5，6，7，8，分别求出对应概率, 列出分布列并求出数学期望即可;（2）分别求出两种方案产生的修理费用的分布列，进而可求出对应的期望值，比较. 者大小可得出答案• 【详解】20 11次的概率为，维修2次的概率为200 10该公司搜集并整理了 200台这款打印机使用五年的维修次数，所得数据如下表所示:1 111 1 1P(X 2)— —，P(X 3) 2 — —10 10 10010 4 201 11 2 1 2 57P(X 4)24 410 5 16 25 4001 21 1 1 P(X 5)224 510 4 4，2 21 1 4 1 57c 2 1 1P(X 6)2P(X 7) 2 -5 54 4 25 8 2005 4 5X 的所有可能取值为 2，3，4，5，6，7，8，方案一：一次性缴纳 10000元，在未来五年内，可免费上门维修5次，超过5次后每次方案二：一次性缴纳14000元，在未来五年内，可免费上门维修7次，超过7次后每次（1 ）依题意，1台打印机使用五年维修 50200 1，维修3次的概率为-80-4200-，维修4次的概率为—— 5 200P(X 8)2 43 204 575 1006 1147 808 255.6.400id o d斥 71 1故 EY10000莎13000-16000519000亦1261752215 1故 E Y 214000 1500014062.5 E 丫 .216 16 1故应使用方案一. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望在实际生活中的应用，考查学生的计算能力，属于基础题. 20 •已知抛物线：:y 2 4x , A , B , C , D 四点都在抛物线上.16'故 E(X)(1)若线段AC的斜率为2，求线段AC中点的纵坐标；1 1 所以kPQ2m t 2m2 2m ；2 m ；2m 2，则直线PQ : y2m 11x m 1 m 2c 22m )因为AC1BD ，所以一m 2，即 m 1m 21.所以直线 PQ : ym 1 m2 (x 4)，故直线PQ 过点R ，即 Q ，R 三点共线.（2）记R 4,0 ,若直线AC , BD 均过定点2,0，且AC BD , P , Q 分别为AC ,BD 的中点，证明：P , Q , R 三点共线.【答案】（1） 1; （2）证明见解析【解析】（1）设Ax ,,%, C X 2,y 2，分别代入抛物线方程并作差，结合线段 AC 的斜率为2，可求出y y 的值;（2）设出直线 AC ，BD 的方程，分别与抛物线方程联立，结合韦达定理，可得到PQ 方程的表达式，结合AC BD ，证明R 在直线PQ上即可. 【详解】则线段AC 中点的纵坐标为1.同理可得，Q 2 2m ；,2m 2 .Q 坐标的表达式，进而求得直线 (1)设 A x ,, y , ，C X 2,y 2 ，A ，C 在抛物线上，得 2 y1 2 y24x 1 4x 2，两式相减可得 y 1 y 2 y 1 y 24 x 1 x 2 .由题意知,X 1X 2，所以% y 2X 1 x 2(2)因为ACBD ，故直线 AC ，BD 的斜率存在且不为零•设直线AC : xgy2，直线 BD : x m 2y2.易知m 1m 2 0， m 1 m 2.由y 2 4Xx gy 2，得 y 2 4m 』8 0，则 y 1设 P x p ,y p .则 y P* y ?22m i ， X p 222g ，即 P 22m ! ,2 m !.x【点睛】本题考查抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力、推理论证能力以及函数与方程思想，属于中档题•f (x)21.已知函数 f(x) (x 1)lnx mx , g (x) —.xe(1)若 m2，求证：当 x 1 时，f(x) 2 ；(2) 若函数g(x)在1,e 上单调递减，求实数 m 的取值范围.1 【答案】(1)证明见解析；(2), — 1 U 2,e【解析】(1) m 2时，求导并判断函数 f(x)的单调性，可得f(x)在(0,)上单调递增，即当x 1时，f x f 12 ；f (x)(2)构造函数h(x)，求导并判断单调性可得x0 和 h(x) min 0 h(x) max 三种情【详解】h (x)在1,e 上单调递增，可求出 h(X )min 与 h(x )max ，然后分 h(X )min 0、h(X )max 况讨论，使得g(x)在1,e 上单调递减所满足的条件, 可求出实数m 的取值范围.(1)依题意f(x) (x1)ln x 2x ，定义域为 0,,f (x) In x令 m(x) In Inx11.x1 2 x 1x 1，则 m (x) x1 x 1~~2 2x x所以当0x 1 时，m (x)0 ,1 时，m (x)0 .所以m(x)在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增•所以 m(x) m(1)0，即 f (x)所以函数f(x)在(0,)上单调递增.x所以 h(x)min h(1) m , h(x)max h(e)所以当x 1时，f x 2.(2)设 h(x)x(x 1)ln x mx 1 - Inx m ，贝U h (x) -_—1 xx易知当x 1,e 时，x1 Inx ,即 h (x) 0，故h(x)在1,e 上单调递增.4【点睛】本题考查导数的计算，考查利用导数研究函数的性质，考查构造函数的数学思想，考查学生的推理论证能力，属于难题亠x 2A /3COS22 .在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为(为参数).y 2si n以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为、2，且I 与C 交于A ，B 两点，已知点 M 的极坐标为 2,3①若h(1)m 0，则在1,e 上，翌0，所以g(x)11 ln x m x xe所以g (x)221 x x l nx mx x 1^~xx e令 u(x)1 x x2 l n x mx 2 x 1.在1,e 上, 要使g(x)单调递减，则 0.因为 u(x) (1 2x)ln x1(2 m 1)xx0，所以u(x)在 1,e 上单调递减. 所以 u (x)max u(1)2 0，所以m2.②若 h(e)则在1,e 上,h(x)所以In xg(x)由①可知 g(x)u(x) 2 x x e所以当1,e 时,u(x)x x 2 l n x mx 2x 2 ln x1 x x2 (1 ln x) 0从而g 0，所以g x 在1,e 上单调递减.③若hh e ，则存在x °(1,e)，使得 h从而x 0 0.而 g(1) 综上所述, h(1)0，g(e)h(e) ee0,从而g x 在区间 1,e 上不单调递减.实数 m 的取值范围为11 U 2, esin（1）求曲线C 的普通方程和直线I 的直角坐标方程，并求 MA| |MB 的值；（2）若矩形DEFG 内接于曲线C 且四边与坐标轴平行，求其周长的最大值.2 2【答案】（1）曲线C 的普通方程为 — y 1 ；直线的直角坐标方程为 x y 2；124MA MB 4（ 2）16【解析】（1 ）结合参数方程、极坐标方程及普通方程间的关系，转化即可求出曲线 C 的普通方程和直线I 的直角坐标方程；求出直线I 的参数方程的标准形式，并代入曲线C 的普通方程中，得到关于 t 的一元二次方程，结合|MA |MB |址2可求出答案；（2）设【详解】由椭圆的对称性可知，矩形的周长为【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程及普通方程间的转化，考查直线的参数方程的应用，考查三角恒大变换，考查运算求解能力，属于基础题点D 在第一象限，且 D 2.3 cos ,2sin0-，可知矩形的周长为 24 2,3 cos 2sin，利用三角函数的性质求最大值即可（1）依题意，得点M的直角坐标为2,0，曲线C 的普通方程为2 X 12 2y- 1. 4由直线I ： 2in2cos2、、2，得其直角坐标方程为所以直线I 的参数方程为2（t 为参数），代入—12可得t 2 2t 4 0，所以MA MBt 1t24.（2）不妨设点D 在第一象限，且 D 2 . 3cos ,2sin°，n .4 2 3 cos 2sin 16 sincos_216sinn0,，所以当 2n—时，矩形DEFG6的周长取最大值, 最大值为 16.23.已知a 0, b 0.(1)若c 0，证明a 4b c22 ab 、、ac 2 .. bc ;2 21 6ab 3a 3b 〜(2)右a b，证明：2a 2 22b.a2 2ab b2【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】(1)由基本不等式可得：a 4b 4、、ab , a c22 . ac , 4b c2 4. bc ,三个式子相加可得到结论；1 1(2)经过变形，不等式左边2a 23，故证明2(a b) 2 3即可,(a b) (a b)然后利用三个正数的基本不等式可证明结论【详解】(1)依题意，a 4b <ab，当且仅当a 4b时等号成立•a c22 ac，当且仅当a c2时等号成立.4b c24 \ bc，当且仅当4b c2时等号成立•1 6ab1 6ab【点睛】三式相加可得，2a 8b 2c 2 4\ bc ，即 a 4b c 22、、ab 、、ac bc ，当且仅当 a 4bc 2时等号成立•(2)因为a b ，所以a b0.而2a1 6ab 3a2 3b 2 a 2 2ab b 22a1 3(a b)2(ab)2 2a(a3.要证2a(a 2b ，即证 2(ab)(a b)2即证(ab) (a b)(a b)2而(a b) (a b)(a b)233 (a b) (a b)(a b)2当且仅当1 (a b)2a b ，即 a b 1时等号成立,所以2a2 23a 3b2 2 a 2ab b2b .本题考查证明不等式的方法、基本不等式的应用，考查推理论证能力以及化归与转化思想，属于中档题。

天一大联考“皖豫联盟体”2022届高三下学期第三次考试理科数学试卷含答案

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天一大联考皖豫联盟2024届数学高一下期末预测试题含解析

天一大联考皖豫联盟2024届数学高一下期末预测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．若关于x 的一元二次不等式的解集为R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．B ．C ．D ．2．设函数2()2cos 32f x x x a =++（a 为常实数）在区间[0,]2π上的最小值为4-，则a 的值等于（）A ．4B ．-6C ．-3D ．-43．设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ，则()A B C =A ．{2}B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{|15}x x ∈-≤≤R4．已知三棱锥D ABC -中，1,2,3,2AB BC AD BD AC =====BC AD ⊥，则三棱锥的外接球的表面积为（）A ．6πB ．4πC 6πD ．86π5．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，则ABC 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形6．如果数列{}n a 的前n 项和为332n n S a =-，那么数列{}n a 的通项公式是（） A ．()221n a n n =++ B ．32nn a =⨯C ．31n a n =⨯D ．23nn a =⨯7．将两个长、宽、高分别为5，4，3的长方体垒在一起，使其中两个面完全重合，组成一个大长方体，则大长方体的外接球表面积的最大值为（） A ．150πB ．125πC ．98πD ．77π8．已知等差数列{}n a 的首项11a =,公差2d =,则5a =( ) A ．5B ．7C ．9D ．119．已知数列{}n a 的前n 项和1159131721(1)(43)n n S n -=-+-+-++--，则51S 的值为（） A ．-199B ．199C ．-101D ．10110．已知等差数列{}n a 中，若412203a a d +==，，则5a =（） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

数学-皖豫联盟高三一联多维细目表+命题报告

“天一大联考·皖豫名校联盟”2024届高中毕业班第一次考试数学·命题报告一、试题命制依据1．严格遵循高中数学课程标准和教材。

2．贴近新高考全国卷的试题模式和命题风格。

3．根据高中高考总复习进度，重点考查，力求知识全覆盖。

4．结合学生实际情况，调控试题难度，整体难度为中等。

5．检查学生知识掌握的情况，为后续学习和复习备考提供有效的数据参考，更好地制定教学计划。

二、知识点及题型分布1．本次考试考查内容为高考的全部内容，并对集合与逻辑、函数与导数两部分进行重点考查。

2．题型分布：单项选择题（8）＋多项选择题（4）＋填空题（4）＋解答题（6）。

3．权重比例：主题知识单元分值比重函数集合与逻辑、不等式、函数、导数、三角函数、数列8657%几何与代数平面向量、复数、立体几何、解析几何69 36%概率与统计计数原理、概率、统计10 7%三、试题简评1．考查全面，注重基础性。

全面考查了集合、复数、平面向量、立体几何、统计与概率、函数与导数以及数列等知识点，实现了基础知识全覆盖，同时突出主干知识的考查，贴近日常教学实际。

2．真实情境，彰显应用性。

第3题以生活中细菌的培养为背景，考查指数和对数的运算；第9题以昼夜温差的大小与人体的健康状况为实际生活背景，考查正态分布、成对数据分析、概率、随机变量及其分布列的期望的综合应用，考查考生在实际情境中应用数学解决实际问题的能力。

3．设置梯度，体现综合性。

单选前3 题，多选第1 题，填空前2 题均以设置单一知识点进行考查，体现出了试卷的基础性，考查了基础知识的综合应用能力，第6题将圆的切线方程与基本不等式进行结合，第11 题将新定义函数性质、函数与方程来结合来综合考查，第12 题为立体几何线面位置关系、求角、动态问题的综合考查，4. 逐层设置，展示阶段性。

根据高三学习的进程，解答题重点体现本章知识内的综合，难度层层提高。

17 题为解三角形的综合。

第18 、22题考查利用导数研究函数的单调性、最值、证明不等式等知识。

2022-2023学年皖豫名校联盟高三(上)期末数学试卷(理科)(含答案解析)

2022-2023学年皖豫名校联盟高三（上）期末数学试卷（理科）1. 已知集合A ={x ∈Z|−6x ∈N}，B ={x|x =2t +3,t ∈A}，则A ∩B =( ) A. {−1,1,−3}B. {−1,−3}C. {−1,−3,−6}D. {−1,1,−3,−6}2. 已知i 为虚数单位，z =a +bi(a,b ∈R)，若(z −+1−a)[z +(1−b)i]=−2ai ，则复数z在复平面上对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 等额分付资本回收是指起初投资P ，在利率i ，回收周期数n 为定值的情况下，每期期末取出的资金A 为多少时，才能在第n 期期末把全部本利取出，即全部本利回收，其计算公式为：A =P⋅i(1+i)n(1+i)n −1.某农业种植公司投资33万元购买一大型农机设备，期望投资收益年利率为10%，若每年年底回笼资金8.25万元，则该公司将至少在年内能全部收回本利和．(lg11≈1.04,lg5≈0.70,lg3≈0.48)( )A. 4B. 5C. 6D. 74. 在(1−2x )(1+1x )5的展开式中，1x 3的系数为( ) A. −30B. −20C. −10D. 305. 执行如图所示的程序框图，则输出的T 为( )A. −64B. −32C. 16D. 1286. 已知圆C ：x 2+y 2+2x −3=0与过原点O 的直线l ：y =kx(k ≠0)相交于A ，B 两点，点P(m,0)为x 轴上一点，记直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，若k 1+k 2=0，则实数m 的值为( )A. −3B. −2C. 2D. 37. 如图，在平行四边形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点G 为CE 与BF 的交点，则AG⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15AC⃗⃗⃗⃗⃗ B. 15AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +25AC⃗⃗⃗⃗⃗ C. 15AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +415AC⃗⃗⃗⃗⃗ D. 310AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +25AC⃗⃗⃗⃗⃗ 8. 已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω∈N ∗,0<φ<π2)的部分图象如图所示，且函数f(x)在x =7π12处取得最小值，则函数f(x2)在[0,π]上的单调递减区间为( )A. [0,π6] B. [π6,5π6] C. [0,π12] D. [π6,π]9. 在四棱锥S −ABCD 中，SC ⊥平面ABCD ，AB//CD ，AB ⊥AD ，AD =CD =1，SD =AB =2，点E 为SB 的中点，则异面直线SD 与CE 所成角的余弦值为( )A. √510 B. √55 C. 2√55 D.3√51010. 如图，已知长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的体积为16，AB =2AA 1=2BC ，AD 1与A 1D 相交于点E ，则三棱锥E −ACD 的外接球的表面积为( )A. 12πB. 16πC. 20πD. 36π11. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为第一象限内双曲线上的点，点Q 为点P 关于原点O 的对称点．若|OP|=|OF 2|，2|QF 1|≤|PF 1|≤3|QF 1|，则双曲线C 的离心率的取值范围为( )A. (1,√102]B. [√102,√5]C. (1,√5]D. [2,√5]12. 已知f(x)，g(x)是定义在R 上的函数，且均不恒为零．g(x)为偶函数，f(10)=−3.若对任意的x ∈R ，都有f(x +4)+f(x)=√2f(x +2)，设ℎ(x)=(x −2)⋅g(x)，若函数ℎ(x +2)的图象关于y 轴对称，则下列说法正确的是( )A. 函数f(x)的一个周期为8B. 函数g(x)的图象关于直线x =6对称C. 函数g(x)的一个周期为4D. f(98)+g(98)=313. 小明的外婆来到蔬菜超市，准备从黄瓜、南瓜、丝瓜、苦瓜、白瓜这5种新鲜瓜类蔬菜中任意购买3种，则小明的外婆购买的瓜类蔬菜中含苦瓜的概率为______.14. 已知点P(x 0,y 0)关于x 轴的对称点在曲线C ：y =2√2x 上，且过点P 的直线y =x −2与曲线C 相交于点Q ，则|PQ|=______.15. 已知数列{a n }的通项公式为a n =(−45)n ⋅n+12，设数列{a n }的最大项和最小项分别为M ，N ，则M +N =______.16. 已知直线y =kx +b 为曲线f(x)=lnx 的一条切线，则k ⋅b 的取值范围为______. 17. 已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，且S nSn+1=a n+1−1a n+1+1. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n =a n3a n −1，且数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <94.18. 在斜三角形ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足asinA +4bsinCcos 2A =bsinB +csinC. (1)求角A 的大小；(2)当a =3时，求b +c 的取值范围．19. 随着电池充电技术的逐渐成熟，以锂电池为动力的新一代无绳类电动工具以其轻巧便携、工作效率高、环保、可适应多种应用场景下的工作等优势，被广泛使用．在消费者便携无绳化需求与技术发展的双重驱动下，锂电类无绳电动工具及配套充电器市场有望持续扩大．某公司为适应市场并增强市场竞争力，逐年增加研发人员，使得整体研发创新能力持续提升，现对2017∼2021年的研发人数作了相关统计，如图：2017∼2021年公司的研发人数情况(年份代码1∼5分别对应2017∼2021年)(1)根据条形统计图中数据，计算该公司研发人数y 与年份代码x 的相关系数r ，并由此判断其相关性的强弱；(2)试求出y 关于x 的线性回归方程，并预测2023年该公司的研发人数．(结果取整数)参考数据：∑(5i=1y i −y −)2=55960，√1399≈37.4.参考公式：相关系数r =∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)√∑(n i=1x i −x −)2⋅√∑(n i=1y i−y −)2.线性回归方程的斜率b ̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2，截距a ̂=y −−b ̂x −.附：|r| [0,0.25] [0.30,0.75) [0.75,1] 相关性弱一般强20. 如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，侧面ABB 1A 1为正方形，点D ，E ，F ，G 分别为棱AB ，AC ，B 1C 1，A 1B 1的中点． (1)求证：GE//平面BCC 1B 1；(2)若二面角B 1−A 1D −C 的余弦值为√2121，且AB =2，求多面体ABCA 1FC 1的体积．21. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，钝角三角形AF 1F 2的面积为√3，斜率为k 的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点．当直线l 经过F 1，A 两点时，点F 2到直线l 的距离为√3. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设O 为坐标原点，当直线l 的纵截距不为零时，试问是否存在实数k ，使得|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值？若存在，求出此时△OPQ 面积的最大值；若不存在，请说明理由．22. 已知函数f(x)=lnx+a−a(a∈R).x(1)若函数f(x)的极小值为0，求实数a的值；(2)设g(x)=xf(x)，若函数g(x)在区间[1,e]上有且只有一个零点，求实数a的范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A ={x ∈Z|−6x ∈N}={−1,−2,−3,−6}， B ={x|x =2t +3,t ∈A}={−9,−3,−1,1}，则A ∩B ={−1,−3}. 故选：B.根据已知条件，求出集合A ，B ，再结合交集的定义，即可求解．本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：∵z =a +bi ， ∴z −=a −bi ，∵(z −+1−a)[z +(1−b)i]=(a −bi +1−a)[a +bi +i −bi]=(1−bi)(a +i)=a +b +(1−ab)i =−2ai ， ∴{a +b =01−ab =−2a，解得{a =−1b =1，∴z =−1+i ，∴复数z 在复平面上对应的点(−1,1)位于第二象限．故选：B.根据已知条件，结合共轭复数的定义，复数的四则运算，复数相等的条件，求出z ，再结合复数的几何意义，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，以及复数的性质，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：由题意，知A =8.25万元，P =33万元，i =10%，由公式可得8.25=33×0.1×(1+0.1)n(1+0.1)n−1，整理得(1110)n =53，等式两边取对数，得n =lg5−lg3lg11−lg10=lg5−lg3lg11−1≈0.70−0.481.04−1=5.5，故选：C.根据题意，将对应的数据代入计算公式，化简整理后两边同时取对数，计算即可求解．本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．4.【答案】C【解析】解：在(1−2x )(1+1x )5的展开式中，1x3的系数为C 53−2C 52=10−2×10=−10.故选：C.由题意利用二项展开式的通项公式，求得(1−2x)(1+1x)5的展开式中1x3的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：由程序框图可知，初始值T =1，n =1，i =1，第一次循环：T =−2，n =2，i =1；第二次循环：T =−4，n =3，i =1；第三次循环：T =8，n =4，i =1；第四次循环：T =16，n =5，i =2；第五次循环：T =−32，n =6，i =2；第六次循环：T =−64，n =7，i =2；第七次循环：T =128，此时n =7，i =2满足循环条件，所以输出T =128. 故选：D.根据程序框图，一步一步执行程序，即可得到答案．本题考查了循环程序框图的计算，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{y =kx x 2+y 2+2x −3=0，得(1+k 2)x 2+2x −3=0， ∴x 1+x 2=−21+k2，x 1x 2=−31+k2，∵k 1+k 2=y 1x 1−m +y2x 2−m =y 1(x 2−m)+y 2(x 1−m)(x 1−m)(x 2−m)=kx 1(x 2−m)+kx 2(x 1−m)(x 1−m)(x 2−m)=2kx 1x 2−km(x 1+x 2)(x 1−m)(x 2−m)，又k 1+k 2=0，∴2kx 1x 2−km(x 1+x 2)=0，∴2k ×(−31+k2)−km ×(−21+k2)=0，∴−6k +2km =0，解得m =3. 故选：D.设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线与圆的方程得x 1+x 2=−21+k2，x 1x 2=−31+k2，由k 1+k 2=0，可得−6k +2km =0，求解即可．本题考查直线与圆的位置关系，考查方程思想，属中档题．7.【答案】A【解析】解：由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，知E ，F 分别为AB ，AD 的中点．如图，设AC 与BF 的交点为P ，易得△APF ∽△CPB ，所以AP CP =AF CB =AF AD =12，所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 因为点E 是AB 的中点，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ .由P ，G ，B 三点共线知，存在m ∈R ，满足AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−m)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =13m AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−m)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ . 由C ，G ，E 三点共线知，存在n ∈R ，满足AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =n AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−n)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12n AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−n)AC⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以13m AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−m)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12n AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−n)AC⃗⃗⃗⃗⃗ . 又因为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 为不共线的非零向量，所以{1−m =12n 13m =1−n ，解得{m =35n =45，所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15AC ⃗⃗⃗⃗⃗.故选：A.根据题意可得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由P ，G ，B 三点共线知，存在m ∈R ，满足AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−m)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =13m AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−m)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ .由C ，G ，E 三点共线知，存在n ∈R ，满足AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =n AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−n)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12n AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−n)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .得13m AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−m)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12n AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−n)AC⃗⃗⃗⃗⃗ 即可解决．本题考查平面向量基本定理的运用，考查运算求解能力，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：由题意知，最小正周期T =43[7π12−(−π6)]=π，所以ω=2πT =2ππ=2，又f(−π6)=0，所以2sin(−2⋅π6+φ)=0，即−π3+φ=kπ，k ∈Z ，因为0<φ<π2，所以φ=π3，所以f(x)=2sin(2x +π3)，所以f(x2)=2sin(2⋅x2+π3)=2sin(x +π3)，令x +π3∈[2kπ+π2,2kπ+3π2]，k ∈Z ，则x ∈[2kπ+π6,2kπ+7π6]，k ∈Z ，因为x ∈[0,π]，所以取k =0，此时函数f(x 2)在[0,π]上的单调递减区间为[π6,π]. 故选：D.由题意知，最小正周期T =π，由ω=2πT ，可得ω的值，再利用f(−π6)=0，求出φ的值，从而知f(x)的解析式，然后根据正弦函数的单调性，得解．本题考查三角函数的图象与性质，熟练掌握正弦函数的图象与性质，理解y =Asin(ωx +φ)中A ，ω，φ的几何意义是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：如图，取SA 中点F ，连接DF ，EF ，∵E 是SB 中点，则EF =12AB ，EF//AB ，又CD =12AB ，CD//AB ，∴CD =EF ，CD//EF ，∴四边形CDFE 是平行四边形，∴CE =DF ，CE//DF ， ∴异面直线SD 与CE 所成角为∠SDF(或其补角)，∵SC ⊥平面ABCD ，∴SC ⊥AD ，又AB ⊥AD ，∴DC ⊥AD ， ∵DC ∩SC =C ，∴AD ⊥平面SDC ，∴AD ⊥SD ， ∴SA =√AD 2+SD 2=√5，在Rt △SDA 中，F 为SA 中点，∴DF =SF ， ∴∠SDF =∠DSA ，且两角均为锐角， ∴cos∠SDF =cos∠DSA =SDSA=2√55，故选：C.利用平行关系，将异面直线所成角转化为相交直线所成角，利用几何图形能求出异面直线SD 与CE 所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的定义及其余弦值的求法、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．10.【答案】C【解析】解：设AB=2AA1=2BC=2x，则由长方体的体积公式，得2x3=16，解得x=2，所以AB=2AA1=2BC=4，由题可知，四边形ADD1A1为正方形，所以AE⊥DE，所以△EAD外接圆的圆心为AD的中点，记为点M，如图：又△ACD是直角三角形，同理△ACD外接圆的圆心为AC的中点，即为点N，过点M，N分别作平面ADE与平面ACD的垂线，两条垂线的交点为AC的中点N，所以三棱锥E−ACD的外接球的球心是AC的中点N，又AC=2√5，AC=√5，所以外接球半径为R=12所以外接球的表面积为4πR2=20π，故选：C.根据已知线面关系，判断三棱锥E−ACD的外接球球心的位置并求得半径，从而得外接球的表面积即可．本题考查外接球表面积的计算，考查运算求解能力，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：如图所示，∵点Q为点P关于原点O的对称点，∴|PQ|=2|OP|，|PF2|=|QF1|，|F1F2|，∵|OP|=|OF2|，∴|PQ|=|F1F2|，∴|OP|=12∴∠F1PF2=90∘，设|PF2|=n，|PF1|=m，∴m2+n2=4c2①，∵点P为第一象限内双曲线上的点，∴m−n=2a②，由①②可得2mn=4b2，∴(m+n)2=4c2+4b2，∴m+n=2√c2+b2③，由②③可得m=a+√c2+b2，n=√c2+b2−a，由2|QF1|≤|PF1|≤3|QF1|，∴2(√c2+b2−a)≤a+√c2+b2≤3(√c2+b2−a)，由2(√c2+b2−a)≤a+√c2+b2，可得√c2+b2≤3a，∴2c2≤10a2，∴e2≤5，∴e≤√5，由a+√c2+b2≤3(√c2+b2−a)，可得√c2+b2≥2a，∴2c2≥5a2，∴e2≥52，∴e≥√102，∴√102≤e≤√5.故选：B.由已知可得∠F1PF2=90∘，设|PF2|=n，|PF1|=m，可得m2+n2=4c2，又m−n=2a，进而可得m=a+√c2+b2，n=√c2+b2−a，由已知可得2(√c2+b2−a)≤a+√c2+b2≤3(√c2+b2−a)，可求双曲线C的离心率的取值范围．本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线的离心率的求法，考查转化思想，属中档题．12.【答案】D【解析】解：因为对任意的x∈R，都有f(x+4)+f(x)=√2f(x+2)，所以f(x+4)=√2f(x+2)−f(x)，所以f(x+6)=√2f(x+4)−f(x+2)=√2[√2f(x+2)−f(x)]−f(x+2)=f(x+2)−√2f(x)，所以f(x+8)=f(x+4)−√2f(x+2)−√2f(x+2)=−f(x)，所以f(x+16)=−f(x+8)=f(x)，即函数的一个周期为16，A错误；因为ℎ(x)=(x−2)g(x)，所以ℎ(x+2)=xg(x+2)，因为ℎ(x+2)的图象关于y轴对称知ℎ(x+2)为偶函数，所以ℎ(−x+2)=ℎ(x+2)，即−xg(−x+2)=xg(x+2)，所以−g(−x+2)=g(x+2)，所以−g(−x)=g(x+4)，所以g(x+4)=−g(−x)=−g(x)，则g(x+8)=−g(x+4)=g(x)，即g(x)的一个周期为8，C错误；因为g(x)为偶函数且周期为8，所以g(x)的图象关于x =8对称，若g(x)的图象关于x =6对称，则g(x)=g(12−x)=g(4−x)=g(x +4)=−g(x)，所以g(x)=0，与已知矛盾，故B 错误；因为f(10)=−2，−f(x +8)=f(x)，所以f(2)=−f(10)=3，由g(x +4)=−g(−x)，令x =−2得g(2)=0，所以f(98)+g(98)=f(2)+g(2)=3，D 正确．故选：D.根据代入法，结合函数的周期性、偶函数的性质进行求解即可．本题主要考查了函数值的求解，利用代入法求出函数的周期是解题的关键．13.【答案】35【解析】解：根据题意，从黄瓜、南瓜、丝瓜、苦瓜、白瓜这5种新鲜瓜类蔬菜中任意购买3种，共有C 53=10种情况，而小明的外婆购买的瓜类蔬菜中含苦瓜则有C 42=6种情况，则小明的外婆购买的瓜类蔬菜中含苦瓜的概率为610=35，故答案为：35.根据古典概型定义可解．本题考查古典概型的定义，属于基础题．14.【答案】16【解析】解：因为曲线C 的方程为y =2√2x ，即y 2=8x(y ≥0)，所以由题意及抛物线的对称性，知点P 在抛物线y 2=8x(y ∈R)上，且在x 轴的下方，因为直线y =x −2过此抛物线的焦点F(2,0).设Q(x 1,y 1)，联立{y =x −2y 2=8x ，得x 2−12x +4=0，则x 0+x 1=12，所以由抛物线的焦点弦长公式得|PQ|=x 0+x 1+p =16，故答案为：16.根据抛物线的对称性知点P 在抛物线y 2=8x(y ∈R)上，因为直线y =x −2过此抛物线的焦点F(2,0)，根据焦点弦问题解决即可．本题考查抛物线的对称性的应用，与抛物线焦点弦有关的几何性质，属于中档题．15.【答案】0【解析】解：当n =2k −1(k ∈N ∗)时，a n <0，由a 2k−1a 2k+1=(−45)2k−1⋅k(−45)2k+1⋅k+1=25k 16(k+1)>1，得k >169，则当k ≥2且k ∈N ∗时，a 2k−1<a 2k+1， ∵a 1a 3=−452×(−64125)=2532<1，∴a 1<a 3<a 5<a 7<⋅⋅⋅，∴N =a 3=−128125；当n =2k(k ∈N ∗)时，a n >0，由a 2k−1a 2k+1=(−45)2k ⋅2k+12(−45)2k+2⋅2k+32=25(2k+1)16(2k+3)>1，得k >2318，则当k ≥2且k ∈N ∗时，a 2k >a 2k+2，又a2a 4=1625×32256625×52=1516<1，∴a 2<a 4>a 6>a 8⋅⋅⋅，∴M =a 4=128125，∴M +N =128125−128125=0. 故答案为：0.当n =2k −1(k ∈N ∗)时，a n <0，由a 2k−1a 2k+1>1，可知当k ≥2且k ∈N ∗时，a 2k−1<a 2k+1，结合a 1a 3<1，可知N =a 3；当n =2k(k ∈N ∗)时，a n >0，由a2k−1a 2k+1>1，可知当k ≥2且k ∈N ∗时，a 2k >a 2k+2，结合a2a 4<1，可知M =a 4，再求出M +N.本题考查数列的函数特性，考查运算求解能力，是中档题．16.【答案】(−∞,1e 2]【解析】解：设切点坐标为(t,lnt)，由f(x)=lnx ，得f′(x)=1x，则f′(t)=1t，则过切点的切线方程为y −lnt =1t(x −t)，即y =1tx +lnt −1， ∴k =1t ，b =lnt −1，则kb =lnt−1t ，令g(t)=lnt−1t，则g′(t)=1−lnt+1t 2=2−lntt 2，则当t ∈(0,e 2)时，g′(t)>0，g(t)单调递增，当t ∈(e 2,+∞)时，g′(t)<0，g(t)单调递减，∴g(t)max =g(e 2)=1e2.∴k ⋅b 的取值范围为(−∞,1e 2]. 故答案为：(−∞,1e 2].设切点坐标，由直线y =kx +b 是曲线y =lnx 的一条切线，把k 与b 用含有t 的代数式表示，求得kb =lnt−1t，令g(t)=lnt−1t ，再由导数求其最大值得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求最值，是中档题．17.【答案】解：(1)由a 1=1，a n >0，且S nSn+1=a n+1−1a n+1+1，可得a n+1=S n+1+S n S n+1−S n=S n+1+S na n+1，即a n+12=S n+1+S n ，则a 22=S 2+S 1=2a 1+a 2，解得a 2=2，当n ≥2时，由a n+12=S n+1+S n ，可得a n 2=S n +S n−1，上面两式相减可得a n+12−a n 2=(S n+1−S n )+(S n −S n−1)=a n+1+a n ，即为(a n+1−a n )(a n+1+a n )=a n+1+a n ，因为a n >0，所以a n+1−a n =1，且a 2−a 1=1，所以{a n }是首项和公差均为1的等差数列，即有a n =1+n −1=n ； (2)证明：b n =a n 3a n −1=n ⋅(13)n−1，T n =1⋅(13)0+2⋅(13)1+3⋅(13)2+...+(n −1)⋅(13)n−2+n ⋅(13)n−1，13T n=1⋅(13)1+2⋅(13)2+3⋅(13)3+...+(n −1)⋅(13)n−1+n ⋅(13)n ，上面两式相减可得23T n =1+(13)1+(13)2+...+(13)n−2+(13)n−1−n ⋅(13)n =1−13n1−13−n ⋅(13)n ，化简可得T n =94−2n+34⋅13n−1. 因为2n+34⋅13n−1>0，所以T n <94.【解析】(1)由数列的递推式和等差数列的定义、通项公式可得所求； (2)求得b n =a n3a n −1=n ⋅(13)n−1，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得T n ，再由不等式的性质可得证明．本题考查数列的递推式和等差数列的定义、通项公式，以及数列的错位相减法求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)∵asinA +4bsinCcos 2A =bsinB +csinC ，∴由正弦定理可得，a 2+4bc ⋅cos 2A =b 2+c 2， ∴cos 2A =b 2+c 2−a 24bc=12cosA ，∵三角形ABC 为斜三角形， ∴∠A 不为直角，即cosA ≠0，∴cosA =12，即A =π3； (2)当a =3时，则bsinB =csinC =asinA =2√3，即b =2√3sinB ，c =2√3sinC ，∴b +c =2√3sinB +2√3sinC =2√3sinB +2√3sin(2π3−B)=3√3sinB +3cosB =6sin(B +π6)，∵A =π3，∴B ∈(0,π2)∪(π2,2π3)，∴3<6sin(B +π6)≤6且6sin(B +π6)≠3√3， ∴b +c 的取值范围为(3,3√3)∪(3√3,6].【解析】(1)根据已知条件，结合正弦定理，余弦定理，即可求解；(2)根据已知条件，结合正弦定理，以及三角函数的恒等变换公式，即可求解．本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)由条形统计图，得x −=15×(1+2+3+4+5)=3，y −=15×(204+220+298+396+482)=320，∑(5i=1x i −x −)2=10，∑(5i=1x i −x −)(y i −y −)=732，相关系数r =n i=1i −i −√∑(i=1x i −x −)⋅√∑(i=1y i−y −)=√10×√55960=2√1399≈0.98>0.75，故y 与x 具有很强的线性相关关系，且为正相关；(2)b ̂=∑(5i=1x i −x −)(y i −y −)∑(5i=1x i −x −)2=73210=73.2，a ̂=y −−b ̂x −=320−73.2×3=100.4，故y ̂=73.2x +100.4，2023年对应的年份代码为x =7，当x =7时，y ̂=73.2×7+100.4=612.8，故预测2023年该公司的研发人数约为613人．【解析】(1)首先求x −，y −，根据参考公式求值，代入相关系数公式，即可求解；(2)根据参考公式求b ̂和a ̂，即可求得回归直线方程，并代入x =7，求预报值．本题主要考查线性回归方程的求解，考查转化能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)证明：因为在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，侧面ABB 1A 1为正方形，所以可以B 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设BC =a ，AB =b ，则A(b,0,0),B(0,0,0),E(b2,0,a 2),G(b 2,b,0)，所以EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,b,−a 2),BA ⃗⃗⃗⃗⃗=(b,0,0)，又AB ⊥BC ，AB ⊥BB 1，且BC ∩BB 1=B ，BB 1⊂平面BCC 1B 1，BC ⊂平面BCC 1B 1，所以AB ⊥平面BCC 1B 1，即BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面BCC 1B 1的一个法向量，又EG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,b,−a 2)⋅(b,0,0)=0，则EG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即EG ⊥BA ，又EG ⊄平面BCC 1B 1，则GE//平面BCC 1B 1；(2)由(1)可知，C(0,0,a)，D(1,0,0)，A 1(2,2,0)，则CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−a),DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,0)，易知平面ABB 1A 1的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(0,0,1)，设平面CA 1D 的一个法向量为n ⃗ =(x,y,z)，则{CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =x −az =0DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n⃗ =x +2y =0，则可取n ⃗ =(2,−1,2a )，又二面角B 1−A 1D −C 的余弦值为√2121，则|cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||m⃗⃗⃗ ||n ⃗ |=2a√4+1+4a2=√2121，解得a =4(负值舍去)，则BC =4，易知BB 1为三棱锥B −A 1B 1F 的高，则V B−A 1B 1F =13×12×2×2×2=43，又V ABC−A 1B 1C 1=S △ABC ⋅BB 1=12×2×4×2=8，所以多面体ABCA 1FC 1的体积为V 多面体ABCA 1FC 1=V ABC−A 1B 1C 1−V B−A 1B 1F =8−43=203. 【解析】(1)建立空间直角坐标系，通过向量法证明EG⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可证得GE//平面BCC 1B 1； (2)由向量法得二面角B 1−A 1D −C 的余弦值的方程，即可求得BC ，最后根据V 多面体ABCA 1FC 1=V ABC−A 1B 1C 1−V B−A 1B 1F 得解．本题考查空间向量在立体几何中的运用，考查线面平行以及二面角，多面体的体积等知识点，考查运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)设F 1(−c,0)，F 2(c,0)，则|AF 1|=√b 2+c 2=a ，当直线l 经过点F 1，A 时，由S △AF 1F 2=√3，且点F 2到直线l 的距离为√3，可得{ 12a ⋅√3=√312×2c ×b =√3a 2=b 2+c 2，解得{a =2b =1c =√3，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1；(2)由题意设直线l 的方程为y =kx +m(m ≠0)，联立{y =kx +m x 24+y 2=1，消去y 并整理可得，(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2−4=0，当Δ=64k 2m 2−16(4k 2+1)(m 2−1)>0，即4k 2−m 2+1>0时满足题意，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−8km 4k 2+1,x 1x 2=4m 2−44k 2+1，|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )2+2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=2+34(x 12+x 22)=2+24k 2m 2−6m 2+24k 2+6(4k 2+1)2=2+6m 2(4k 2−1)+6(4k 2+1)(4k 2+1)2，若|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值，则上式与m 2无关，故4k 2−1=0，解得k =±12，此时|PQ|=√k 2+1⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√k 2+1×√4k 2+1−m 21+4k2=√5×√2−m 2，又点O 到直线l 的距离为√1+k =√5，所以S △OPQ =12d|PQ|=|m|⋅√2−m 2≤m 2+2−m 22=1，当且仅当|m|=√2−m 2，即m =±1时等号成立，经检验，此时Δ>0，所以△OPQ 面积的最大值1.【解析】(1)根据S △AF 1F 2=√3，且点F 2到直线l 的距离为√3，列方程即可得解；(2)联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，表示出|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据定值的条件求出k ，从而求出S △OPQ =|m|√2−m 2≤m 2+2−m 22=1.本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)f′(x)=1x −ax 2=x−ax 2，(x >0)，设极小值点为x 0>0，则{lnx 0+a x 0−a =01x−ax 02=0，由第二个方程得x 0=a ，代入第一个方程得：lna −a +1=0，令ℎ(a)=lna −a +1(a >0)，显然ℎ(1)=0，ℎ′(a)=1−aa ，0<a <1时，ℎ′(a)>0，ℎ(a)单调递增，a >1时，ℎ′(a)<0，ℎ(a)单调递减，故ℎ(a)有唯一的零点a=1，又当a=1时，可得x0=1，f′(x)=x−1x2，0<x<1时，f′(x)<0，x>1时，f′(x)>0，故x0=1是f(x)的极小值点，故a=1符合题意；(2)由题意知g(x)=xf(x)=xlnx−ax+a=0，x∈[1,e]有唯一解，即lnx+ax−a=0在[1,e]上有唯一解，令φ(x)=lnx+ax −a，显然φ(1)=0，φ′(x)=x−ax2，当a≤1时，显然φ′(x)≥0在[1,e]上恒成立，故φ(x)递增，此时g(x)在[1,e]上只有一个零点1；同理当a≥e时，φ′(x)≤0在[1,e]上恒成立，故φ(x)递减，此时g(x)在[1,e]上只有一个零点1；当1<a<e时，可知φ(x)在[1,a]上递减，在[a,e]上递增，要使原函数只有一个零点，只需φ(e)=lne+ae −a<0，解得a>ee−1，故此时ee−1<a<e即为所求，综上所述，a的取值范围是(−∞,1]∪(ee−1,+∞).【解析】(1)令f′(x)=0，根据极小值点处函数值为0，导数值为0，可求出a和极小值点，再加以验证即可；(2)研究g(x)在[1,e]上的单调性，极值以及端点处的函数值符号，即可求出结论．本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，以及在此基础上研究函数零点个数及所在区间的问题，属于较难的题目．。

安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题

2020届天一大联考皖豫联盟体高中毕业班第一次考试理科数学(带答案解析)

2020届天一大联考皖豫联盟体高中毕业班第一次考试理科数学1．已知集合(){}2||lg 4A x y x ==-，{|B x y ==，则A B =( )A ．{}|12x x <<B ．{}|12x x ≤<C ．{}|13x xD ．{}|23x x -<2．已知复数(1)()z i a i =+-在复平面内对应的点位于第四象限，则实数a 的取值范围是（） A ．(1,)+∞B ．(,1)-∞-C ．(,1)-∞D ．(1,1)-3．“2m ≤-”是“函数2()43f x x mx =--在区间[2,)-+∞上单调递增”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．中秋节，小张买了一盒月饼，里面一共有10个月饼，其中豆沙馅、莲蓉馅、蛋黄馅，水果馅和五仁馅各2个，小张从中任取2个月饼，这2个月饼的馅不同的概率为( ) A ．910B ．89C ．45D ．125．设22019a -=，2018log 2020b =，2019log 2020c =，则（） A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c b a <<6．已知函数1()tan ln (1)1axf x x a x+=+≠--为奇函数，则不等式()0f x >的解集为( ) A ．(1,0)-B ．(1,1)-C ．(0,1)D ．(0,1)(1,)⋃+∞ 7．若,x y 满足约束条件360601x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则122yx⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的最小值为( )A ．116B ．18C ．1D ．28．已知平面向量,,a b c 满足||||2a b ==，a b ⊥，()()a c b c -⊥-，则(a b c ⋅+)的取值范围是( ) A ．[0,2]B．[0,C ．[0,4]D ．[0,8]9．函数2ln x y x=图象大致为（）A ．B ．C ．D ．10．已知函数1()sin (0)62f x x πωω⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，若函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有两个零点，则ω的取值范围为（）A ．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,23⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．142,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．142,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭11．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，42323S S S +=，设,m n 是正整数，若存在正整数(1)ij i j <<，使得,,i j ma mn na 成等差数列，则mn 的最小值为( ) A ．2B ．3C ．4D ．812．设,a b 都是不为1的正数，函数11()2x x f x a b --=+-的图象关于1x =对称则()f x 的零点个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．313．设函数2,0,()1lg ,0,x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩则110f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_______. 14．已知函数()ln 1f x x x =++的图象上有一点(,2)P m ，则曲线()y f x =在点P 处的切线方程为______.15．已知三棱锥D ABC -的外接球半径为2，底面ABC 是直角三角形，且斜边AB 的长为D ABC -的体积的最大值为_____.16．已知函数321()13f x x ax =-+的图象在区间(0,2)上与x 轴恰好有1个公共点，则实数a 的取值范围为_______.17．设a 为实数，1212:2220a a a p ++--+<，:(0,)q x ∀∈+∞，不等式210x ax -+≥恒成立.（1）若P 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若()p q -∧为真命题，求实数a 的取值范围. 18．已知函数321()33f x x mx nx =+++，其导函数()f x '是偶函数，且(3)0f =. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()2y f x λ=-的图象与x 轴有三个不同的交点，求实数λ的取值范围. 19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知定点(1,0)Q 及动点(2cos ,2sin )(0)P θθθπ<<，以PQ 为斜边作一等腰直角三角形PRQ （原点O 与点R 分别在直线PQ 的两侧）.（1）当3πθ=时，求2||OR ；（2）求四边形OPRQ 面积的最大值.20．已知等差数列{}n a 满足54a =，69218a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S 满足21n n S b =-.（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若*n N ∀∈，1122(2)2n n a b a b a b n t +++-+恒成立，求实数t 的取值范围.21．已知椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上顶点为A ，12AF F △的面积为1，且椭圆C 的离心率为2. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）点M 在椭圆上且位于第二象限，过点1F 作直线11l MF ⊥，过点2F 作直线22l MF ⊥，若直线12,l l 的交点N 恰好也在椭圆C 上，求点M 的坐标. 22．已知函数()2ln 1f x x ax =+-，其中a ∈R . （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）已知(0,1)a ∈，[1,e]x ∈，设函数2()1()2f x ax g x x ++=的最大值为M ，求证：1M <.参考答案1．B 【解析】【分析】根据对数函数和二次函数的性质，求得集合,A B ，再结合集合交集的运算，即可求解．【详解】由题意，集合(){}2|lg 4(2,2),{|[1,3]A x y x B x y ==-=-===，所以{|12}AB x x =≤<.故选：B ．【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中根据函数的定义域的定义，正确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了推理与计算能力． 2．D 【解析】【分析】化简复数(1)()1(1)z i a i a a i =+-=++-，根据复数z 在复平面内对应的点位于第四象限，列出不等式，即可求解．【详解】由题意，复数(1)()1(1)z i a i a a i =+-=++-，因为复数z 在复平面内对应的点位于第四象限，可得10a +>且10a -<，解得11a -<<. 即实数a 的取值范围是(1,1)-．故选：D ．【点睛】本题主要考查了复数的基本运算和复数的几何意义，其中熟记复数的运算法则，结合复数的几何意义，列出不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 3．A 【解析】【分析】根据二次函数的性质，求得函数的单调性，再结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解．【详解】由题意，函数2()43f x x mx =--的对称轴为2x m =，若2m ≤-，则24m ≤-，函数()f x 在[2,)-+∞上递增，充分性成立；若()f x 在区间[2,)-+∞上递增，则22m ≤-，即1m ≤-，不能推出2m ≤-，所以必要性不成立，故选：A ．【点睛】本题主要考查了二次函数的单调性和充分条件，必要条件的判定，其中解答中熟练应用二次函数的性质，结合充分、必要条件的判定方法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 4．B 【解析】【分析】根据题，求得基本事件的总数，再由馅相同的情况只有5种，得出不同的情况的种数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解．【详解】由题意，从10个月饼中任取2个，共有21045C =种情况，其中馅相同的情况只有5种，可得不同的情况有40种，所以所求概率为408459=. 故选：B ．【点睛】本题主要考查了古典概型的概率计算问题，其中解答中认真审题，熟练应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所有事件的个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力． 5．A【解析】【分析】现根据指数函数和对数函数的的性质，可得01a <<，1b >，1c >，再结合对数函数的单调性，即可求解．【详解】根据指数函数和对数函数的的性质，可得01a <<，1b >，1c >，又因为2001log 2018b =，20201log 2019c =，因为20200log 2018<<2020log 20191<，所以2020202011log 2018log 2019>，即a c b <<. 故选：A ．【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的性质及其应用，其中解答中熟练应用指数函数与对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力． 6．C 【解析】【分析】根据函数()f x 为奇函数，整理得2221ln 01a xx -=-，求得1a =，得到1()tan ln 1x f x x x +=+-，再结合函数的定义域和单调性，即可求解．【详解】因为函数1()tan ln(1)1axf x x a x+=+≠--为奇函数，可得()()f x f x -=-，即1tan ln1axx x --++1tan ln 1ax x x+=---，整理得2221ln 01a x x-=-，可得1a =，所以1()tan ln 1x f x x x +=+-，从而()f x 的定义域为(1,1)-，又因为()tan ln(1)ln(1)f x x x x =++--在(1,1)-上为增函数，且(0)0f =，所以不等式()0f x >的解集为(0,1). 故选：C ．【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的概念及应用，求得函数的解析式，再结合函数的单调性求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 7．A 【解析】【分析】画出约束条件所表示的可行域，结合指数幂的运算和图象确定出目标函数的最优解，代入即可求解．【详解】由题意，画出约束条件360601x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所表示的可行域，如图所示，其中可得(3,1)A -，(5,1)B ，(3,3)C ，因为1222yxx y -⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，令z x y =-，当直线y x z =-经过A 时，z 取得最小值，所以z 的最小值为min 314z =--=-，则1222yx x y -⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭的最小值为41216-=. 故选：A ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．8．D 【解析】【分析】以点O 为原点，OA ，OB 分别为x 轴，y 轴的正方向建立直角坐标系，根据AC BC ⊥，得到点C 在圆22(1)(1)2x y -+-=，再结合直线与圆的位置关系，即可求解．【详解】设,,OA a OB b OC c ===，以点O 为原点，OA ，OB 分别为x 轴，y 轴的正方向建立直角坐标系，则(2,0),(0,2)A B ，依题意，得AC BC ⊥，所以点C 在以AB 为直径的圆上运动，设点(,)C x y ，则22(1)(1)2x y -+-=，()22a b c x y +⋅=+，由圆心到直线22x y t +=的距离d =≤[0,8]t ∈.故选：D ．【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，以及直线与圆的位置关系的综合应用，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力． 9．C 【解析】【分析】由函数()f x 为奇函数，排除A ，B ，再利用导数求得函数的单调性，排除D ，即可求解．【详解】由题意，函数2ln x y x=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，且22ln()ln ()()x x f x f x x x--==-=--，所以函数()f x 为奇函数，排除A ，B ；当0x >时，函数2ln xy x =，则22(1ln )x y x -'=，当0e x <<时，0y '>，函数单调递增，当x e >时，0y '<，函数单调递减，排除D ．故选：C . 【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的判定方法，以及函数的导数与单调性的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 10．C 【解析】【分析】设6x πμω=-，化简函数为1()sin 2f x μ=-，得到函数()f x 在,6πμ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭上前三个零点，列出不等式组，即可求解．【详解】由题意，因为02x π<<，可得6626x ππωππω-<-<-，设6x πμω=-，则函数11()sin sin 622f x x πωμ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭ 则函数1()sin 2f x μ=-在,6πμ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭上，前三个零点分别是513,,666πππ，所以526613266ωπππωπππ⎧->⎪⎪⎨⎪-⎪⎩，解得1423ω<. 故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质，结合零点的概念得出相应的不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 11．D 【解析】【分析】由42323S S S +=，求得公比2q ，得到12n na ，再由,,i j ma mn na 成等差数列，结合基本不等式，即可求解．【详解】由题意，因为42323S S S +=，可得()43322S S S S -=-，可得342a a =，即432a a ，所以等比数列{}n a 的公比2q，所以12n na .又由,,i j ma mn na 成等差数列，得1122224i j i j mn ma na m n m n --=+=+≥+≥，令0)t t =>，则24t t ≥，所以4t ≥，4≥，得8mn ≥，当且仅当4,2m n ==时等号成立. 所以mn 的最小值为8. 故选：D ．【点睛】本题主要考查了等差数列与等比数列，以及基本不等式的综合应用，其中解答中熟记等差数列、等比数列的通项公式和性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理运算能力． 12．B 【解析】【分析】由函数()f x 的图象关于1x =对称，得到()2x xg x a b =+-为偶函数，求得1ab =，又根据()0g x ≥，得到函数()g x 有且只有一个零点，从而得到函数()f x 只有一个零点．【详解】依题意，函数11()2x x f x ab --=+-的图象关于1x =对称，可得()2xxg x a b =+-为偶函数，所以()()g x g x =-，即x x x x a b a b --+=+，所以11x x xxx x x x a b a b a b a b++=+=⋅，所以1x x a b ⋅=，即()1xa b ⋅=，因对任意x 恒成立，所以1ab =，所以1b a =，可得1()x x xb a a-==，所以()220x x g x a a -=+-≥=，当且仅当0x =时等号成立，所以()g x 有且只有一个零点，又因为函数()f x 的零点个数等价于函数()g x 的零点个数，所以函数()f x 有且只有一个零点．故选：B ．【点睛】本题主要考查了函数的对对称性的应用，以及函数的零点的个数的判定，其中解答中熟练应用函数的对称性，以及函数的基本性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 13．98 【解析】【分析】根据分段函数的解析式，结合分段条件，代入即可求解．【详解】依题意，函数2,0()1lg ,0x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，可得得1110100f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以111lg 10021009810100100f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：98．【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中准确把握分段函数的分段条件，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力． 14．2y x = 【解析】【分析】利用导数求得()f x 为增函数，根据(1)2f =，求得1m =，进而求得(1)2f '=，得出即在点P 处的切线的斜率，再利用直线的点斜式方程，即可求解．【详解】由题意，点(,2)P m 在曲线()y f x =上，可得()ln 12f m m m =++=，又由函数()ln 1,0f x x x x =++>，则1()10f x x'=+>，所以函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，且(1)2f =，所以1m =，因为1()1f x x'=+，所以(1)2f '=，即在点P 处的切线的斜率为2，所以曲线()y f x =在点(1,2)P 的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =. 故答案为：2y x =．【点睛】本题主要考查了利用导数求解曲线在某点处的切线方程，其中解答中熟记导数的几何意义，以及导数的运算公式，结合直线的点斜式方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 15．3 【解析】【分析】设三棱锥D ABC -的外接球球心为O ，AB 的中点为M ，得出三棱锥D ABC -的体积最大时，ABC 是等腰直角三角形，顶点D 在MO 的延长线上，结合体积公式，即可求解．【详解】设三棱锥D ABC -的外接球球心为O ，AB 的中点为M ，由ABC ∆是直角三角形，且斜边AB 的长为ABC ∆外接圆的半径为r =所以1OM ===，当三棱锥D ABC -的体积最大时，顶点D 在底面ABC 上的射影恰好为点M ，此时13DM R =+=，又22122AC BC AC BC +=≥⋅，∴6AC BC ⋅≤，当且仅当AC BC =时，等号成立，此时ABC ∆是等腰直角三角形，且1632ABC S ∆=⨯=，所以三棱锥D ABC -的最大体积为13333D ABC V -=⨯⨯=. 故答案为：3. 【点睛】本题主要考查了组合体的性质的应用，以及三棱锥的体积的计算，其中解答中得到三棱锥D ABC -的体积最大时，几何体的结构特征是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及计算能力．16．11,212⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭⎪⎪⎩⎭【解析】【分析】求得2()2(2)f x x ax x x a '=-=-，令()0f x '=，得0x =或2x a =，当0a ≤时，根据函数的单调性和(0)10=>f ，不符合题意，得到0a >，进而得出()f x 在(0,2)a 上单调递减，在(2,)a +∞上单调递增，结合题意，利用函数的性质，分类讨论，即可求解．【详解】由题意，函数321()13f x x ax =-+，则2()2(2)f x x ax x x a '=-=-，令()0f x '=，得0x =或2x a =，当0a ≤时，()f x 在(0,2)上单调递增，因为(0)10=>f ，不符合题意，故0a >，当(0,2)x a ∈时，()0f x '<；当(2,)x a ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(0,2)a 上单调递减，在(2,)a +∞上单调递增，因为函数()f x 的图象在区间(0,2)上与x 轴恰好有1个公共点， ①当(2)0f <时，即1(2)84103f a =⨯-+<，解得1112a >；②当022a <<且(2)0f a =时，可得338(2)4103f a a a =-+=，解得a =，综上可得，实数a 的取值范围是a =或1112a >.故答案为：11,212⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭⎪⎪⎩⎭.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的零点问题，其中解答中熟练利用导数求得函数的单调性，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力．17．（1）1,12⎛⎫⎪⎝⎭；（2）1,[1,2]2⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）由命题P 为真命题，得到关于实数a 不等式，结合指数的运算性质，即可求解；（2）由命题q 为真命题，结合基本不等式求最值，得到2a ≤，再由()p q ⌝∧为真命题，得出p 为假命题且q 为真命题，列出不等式组，即可求解．【详解】（1）由命题P为真命题，即()(12122222220a aa a a ++--+=-<，22a <<，可得112a <<，即实数a 的取值范围是1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）若命题q 为真命题，由(0,)x ∀∈+∞，不等式210x ax -+≥恒成立，即21x ax +在(0,)x ∈+∞上恒成立，即1a x x≤+对(0,)x ∈+∞恒成立，当(0,)x ∈+∞时，12x x +≥=，当且仅当1x x =，即1x =时等号成立，所以q 为真命题时，可得2a ≤，又因为()p q ⌝∧为真命题，则p 为假命题且q 为真命题，所以1122a a a ⎧≤≥⎪⎨⎪≤⎩或，解得12a 或12a . 所以实数a 的取值范围是1,[1,2]2⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题主要考查了以命题的真假为载体求解参数的取值范围，其中解答中熟记复合命题的真假判定，以及一元二次不等式和不等式的恒成立问题的解法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 18．（1）31()433f x x x =-+；（2）725,66⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由()f x '是偶函数，根据()()f x f x ''-=，求得所以0m =，再由(3)0f =，解得4n =-，即可得到函数的解析式；（2）由（1），求得2()4f x x =-'，进而求得函数的单调性与极值，再根据曲线()y f x =与直线2y λ=有三个不同的交点，得出725233λ-<<，即可求解．【详解】（1）由题意，函数321()33f x x mx nx =+++，则2()2f x x mx n '=++，因为()f x '是偶函数，则()()f x f x ''-=，可得2222x mx n x mx n -+=++，所以0m =，又因为(3)0f =，所以127093303n ⨯+⨯++=，解得4n =-，所以函数的解析式为31()433f x x x =-+. （2）由（1）可得函数31()433f x x x =-+，则2()4f x x =-'，令2()40f x x '=-=，解得2x =±.当2x <-或2x >时，()0f x '>，所以()f x 在(,2)-∞-，(2,)+∞上分别单调递增，当22x -<<时，()0f x '<，所以()f x 在(2,2)-上单调递减，所以()f x 的极大值为25(2)3f -=，()f x 的极小值为7(2)3f =- 又由曲线()y f x =与直线2y λ=有三个不同的交点，所以725233λ-<<，即72566λ-<<，故实数λ的取值范围是725,66⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查了函数性质的综合应用，以及利用导数求解函数的零点问题，其中解答中熟练应用导数求得函数的单调性与极值是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力．19．（1）52；（254【解析】【分析】（1）当3πθ=时，得到点P 的坐标为，在ORQ ∆中，由余弦定理，即可求得2||OR 的值．（2）根据三角形的面积公式，求得四边形OPRQ 的面积为544S πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，结合三角函数的性质，即可求解．【详解】（1）在直角坐标系xOy 中，已知定点(1,0)Q 及动点(2cos ,2sin )P θθ，当3πθ=时，点P 的坐标为，所以2OQP π∠=，且||PQ =所以34OQR π∠=，||||cos 4RQ PQ π==，在ORQ ∆中，由余弦定理，可得2223||||||2||||cos4OR OQ RQ OQ RQ π=+-⋅351212222⎛⎫=+-⨯⨯-=+ ⎪ ⎪⎝⎭所以2||OR 52=（2）由题意可得，||2OP =，POQ θ∠=. 四边形OPRQ 的面积211||||sin ||24S OP OQ PQ θ=⋅+ ()221sin 12212cos 4θθ=++-⨯⨯55sin cos 444πθθθ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为(0,)θπ∈，当34πθ=时，四边形OPRQ 面积S 54. 【点睛】本题主要考查了余弦定理和三角形的面积公式，以及三角函数的性质的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力． 20．（Ⅰ）1n a n =-，12n n b -=；（Ⅱ）[2,8].【解析】【分析】（Ⅰ）根据题设条件，列出方程组求得1,a d 的值，即可得到得出数列{}n a 的通项公式，再利用数列的递推关系，得到数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列，即可求出数列的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得1(1)2n n n a b n -=-⨯，利用乘公比错位相减法，即可求解．【详解】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为54a =，69218a a +=，可得114431818a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得101a d =⎧⎨=⎩，所以1(1)1n a a n d n =+-=-，对于数列{}n b ，当1n =时，11121b S b ==-，解得11b =. 当2n ≥时，1121n n S b --=-，21n n S b =-，两式相减，得122n n n b b b -=-，即12n n b b -=，所以{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以12n nb -=.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得1(1)2n n n a b n -=-⨯.令1122n n n T a b a b a b =+++，当1n =时，10T =.当2n ≥时，12211222(2)2(1)2n n n T n n --=⨯+⨯++-⨯+-⨯，则23121222(2)2(1)2n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+-⨯.两式相减，得2312222(1)2n n n T n --=++++--⨯22(1)2(2)2212n n n n n -=--⨯=--⨯--，得(2)22n n T n =-⋅+，而1n =时也符合该式，所以(2)22nn T n =-⋅+，故题中不等式可化为(2)2(2)nn n t -⨯≥-.（*），当1n =时，不等式（*）可化为2t -≥-，解得2t ≥；当2n =时，不等式（*）可化为00≥，此时t ∈R ；当3n ≥时，不等式（*）可化为2n t ≤，因为数列{}2n是递增数列，所以8t ≤，综上，实数t 的取值范围是[2,8]. 【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.21．（1）2212x y +=；（2）33⎛- ⎝⎭【解析】【分析】（1）根据题设条件，列出,,a b c 的方程组，结合222a c b -=，求得,,a b c 的值，即可得到椭圆的标准方程；（2）设()00,M x y ，分01x =-和01x ≠-两种情况讨论，当01x ≠-时，联立12,l l 的方程组，取得20001,x N x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，再结合椭圆的对称性，列出方程组，即可求解【详解】（1）由椭圆C 的上顶点为A ，12AF F ∆的面积为1，且椭圆C的离心率为2，可得22221212c a c b bc a b c ⎧=⎪⎪⎪⋅⋅==⎨⎪-=⎪⎪⎩，解得1,1a b c ===，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=.（2）由（1）知，椭圆的方程2212x y +=，可得1(1,0)F -，2(1,0)F ，设()00,M x y ，则00x <，00y >.当01x =-时，2l 与1l 相交于点2F 不符合题意；当01x ≠-时，直线1MF 的斜率为001y x +，直线2MF 的斜率为001y x -，因为11l MF ⊥，22l MF ⊥，所以直线1l 的斜率为001x y +-，直线2l 的斜率为001x y --，所以直线1l 的方程为001(1)x y x y +=-+，直线2l 的方程为001(1)x y x y -=--，联立1l 和2l 的方程，解得0x x =-，2001x y y -=，所以20001,x N x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，因为点,M N 在椭圆C 上，由椭圆的对称性，可知20001x y y -=±，所以22001x y -=或22001x y +=，由方程组22002200112x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得0033x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，而方程组22002200112x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩无解（舍去），所以点M的坐标为⎛ ⎝⎭. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与椭圆的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力． 22．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】【分析】（Ⅰ）求得函数的导数2()f x a x'=+，分0a ≥和0a <两种情况讨论，即可求得函数的单调区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知()f x 在[1,]e 上单调递增，结合零点的存在定理，得到存在唯一0(1,)x e ∈，使得()00f x =，进而得出()g x 的单调性和最值0021ln ,(1,)x M x e x -=∈，再结合函数答案第17页，总17页 21ln (),(1,)x x x e x ϕ-=∈的单调性，即可求解．【详解】（Ⅰ）由题意，函数()2ln 1,0f x x ax x =+->，则2(),0f x a x x '=+>， ①当0a ≥时，()0f x '>，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；②当0a <时，当20,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当2x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，+时，()0f x '<，所以函数()f x 在20,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．（Ⅱ）依题意得22()1ln ()2f x ax x ax g x x x +++==，则332ln 1()()x ax f x g x x x +-'=-=-，因为当01a <<时，由（Ⅰ）可知()f x 在[1,]e 上单调递增，又因为(1)10,()10f a f e ae =-<=+>，所以存在唯一0(1,)x e ∈，使得()0002ln 10f x x ax =+-=.当01x x ≤≤时，()0f x <，()0g x '>，()g x 在[]01,x 上单调递增；当0x x e ≤≤时，()0f x >，()0g x '<，()g x 在[]0,x e 上单调递减；因此()g x 在0x x =处取得最大值，且最大值为()000002200ln 1ln ,(1,)x ax x M g x x e x x +-===∈，设21ln ()((1,))x x x e x ϕ-=∈，则3332ln 32ln 31()0x e x x x x ϕ--'=<=-<，所以()x ϕ在(1,)e 上递减，所以21ln1()(1)11x ϕϕ-<==，即1M <．【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。

2023天一大联考皖豫名校联盟高中毕业班第一次考试【全科】数学试题

皖豫名校联盟2023届高中毕业班第一次考试数学考生注意:1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上,并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{0},{2}U xx A x y x =>==-∣∣, 则U A = A. {02}x x <∣ B. {2}xx ∣ C. {02}x x <<∣ D. {2}x x <∣ 2. 命题2:[0,1],20p m m m ∀∈-, 则p ⌝为A. [0,1]m ∃∈, 使得220m m -B. 2[0,1],20m m m ∀∈->C. [0,1]m ∃∈, 使得220m m ->D. [0,1]m ∃∈, 使得220m m -3. 已知函数()f x 的导函数为(),(2)2f x f ''-=-, 则0(24)(2)lim x f x f x∆→--∆--=∆ A. -8 B. -2 C. 2 D. 84. 函数2ln ||()e xx x f x =的部分图象大致为5. 已知定义域为(0,)+∞的函数()f x 的导函数为()f x ', 且函数()3()log 1()g x x f x '=-⋅的部分图象如图所示, 则下列说法中正确的是A. ()f x 有极小值(6)f ,极大值(1)fB. ()f x 有极小值(6)f , 极大值(10)fC. ()f x 有极小值(1)f ,极大值(3)f 和(10)fD. ()f x 有极小值(1)f , 极大值(10)f6. 经过政府加大投入,一座老城被改建为一座朝气蓬勃的新城市. 2021 年该市人口约为 20 万人, 2022 年该市人口约为 30 万人, 假设今后该市人口每年以从 2021 年到 2022 年人口数的增长率进行增长. 若从 2021 年开始()*n n ∈N 年后该市人口首次超过 200 万人, 则n =参考数据: lg 20.30,lg30.48≈≈A. 5B. 6C. 7D. 87. 已知12ln 2,e ,e 12a b c =-==-, 则 A. c a b >> B. c b a >> C. a c b >> D. a b c >>8. 已知函数()(ln 1)()f x a x x a =--∈R 在区间(e,)+∞内有最值, 则实数a 的取值范围是A. (,)e +∞B. e ,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C. (,]e -∞D. (,)e -∞- 9. 若函数()21()2e x f x x ax +=--有两个极值点且这两个极值点互为相反数, 则()f x 的极小值为 A. 36e - B. 32e - C. 4e - D. 2e- 10. 已知,m n ∈R , 则“8m n +>”是“33(4)(4)8m n m n -+-++>”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件11. 已知函数|ln |,02,()|ln(4)|,24,x x f x x x <⎧=⎨-<<⎩若直线y m =与()f x 的图象有四个交点, 且从左到右四个交点的横坐标依次为1234,,,x x x x , 则()1234124x x x x x x +++=A. 12B. 16C. 18D. 3212. 已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R , 且()f x 为偶函数, 26f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,3()cos ()sin 0f x x f x x '+>, 则不等式31cos 024f x x π⎛⎫+-> ⎪⎝⎭的解集为 A. ,3π⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B. 2,3π⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ C. 2,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ D. ,3π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭二、填空题: 本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13. 设集合{2sin ,}A x x θθ=∈=∈ZR ∣, 则集合A 的真子集个数为_____. 14. 请写出一个同时满足下列条件①②③的函数()f x =_____.①(0)0f =;②对任意12,x x ∈R , 当12x x <时,()()12f x f x <;③()1f x <.15. 已知函数(),()f x g x 是定义在R 上的偶函数,(3)2g =,若对任意x ∈R , 都有 (6)()(3)f x f x f +=+, 对任意,m n ∈R 且4m n +=,都有()()g m g n =,则(99)(99)f g += _____.16. 已知函数()422x x f x a a =-+-的最小值为4,则实数a =_____.三、解答题: 共 70 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.17. (10 分) 已知集合{}22,{||21}M x y x x N x x a ==+-=-∣∣.(I) 若[1,2]M N ⋂=, 求M N ⋃;(II) 若x M ∈是x N ∈的必要不充分条件, 求实数a 的取值范围.18. (12 分) 已知函数()31()()31x x x a x f x a +⋅+-=∈+R 为奇函数. (I) 证明 : ()f x 在R 上为增函数;(II) 解关于x 的不等式()24(1211)0f x x f x ++-<.19. (12 分)已知函数222()log log (4),()log ()f x x x g x x a =--=+.(I) 求()f x 的定义域, 并证明()f x 的图象关于点(2,0)对称;(II) 若关于x 的方程()()f x g x =有两个不同的实数解, 求实数a 的取值范围.20. (12 分)已知函数()()e ()x f x x a a =-∈R 的图象在点(1,(1))f 处的切线与直线e 10x y -+=垂直. (I) 求实数a 的值;(II) 若不等式1()3e 12e x x f x m ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭对任意x ∈R 恒成立, 求实数m 的取值范围. 21. (12 分)已知函数()(1)ln 2()a f x a x x a x=-++-∈R . (I) 试讨论()f x 的单调区间;(II) 若2a , 讨论()f x 在区间(20,e ⎤⎦上的零点个数.22. (12 分)已知函数()e 36x f x x =--.(I) 若函数()()g x xf x =, 求()g x 的极值; (II) 证明: 不等式()2sin 50f x x ++恒成立.。