湖南省怀化市2019届高三统一模拟考试 理科数学(二) Word版

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2019年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题
理科数学(二)
本试卷共4页,23题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项:
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效。

5.考试结束一定时间后，通过扫描二维码查看考题视频讲解。

第I 卷
一、选择题:本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知i 为虚数单位，,a b R ∈，复数
12i i a bi i
+-=+-，则a bi -= A. 1255i - B. 1255i + C. 2155i - D. 2155i + 2.已知集合{}{}2(22)
223,log 0x x A x x B x --=-≤≤=>，则A B =
A. {}2,1--
B. [2,1)--
C. (1,3]
D. {}0,2,3
3. 某地的中小学办学条件在政府的教育督导下，迅速得到改
变.教育督导一年后.分别随机抽查了初中(用A 表示)与
小学(用B 表示)各10所学校.得到相关指标的综合评价得
分(百分制)的茎叶图如图所示.则从茎叶图可得出正确的信
息为(80分及以上为优秀)
①初中得分与小学得分的优秀率相同
②初中得分与小学得分的中位数相同
③初中得分的方差比小学得分的方差大
④初中得分与小学得分的平均分相同
A.①②
B.①③
C.②④
D.③④
4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且371122,143a a S +==，若195n S >，则n 的最小值为
A. 13
B. 14
C. 15
D.16
5.函数()ln (cos 1)sin f x x x x =++的部分图象大致是
6.已知抛物线C ：212
x y =的焦点为F ，点P 为抛物线C 上任意一点，过P 点作抛物线的切线交y 轴于点Q ，.若2OQ PF =(O 为坐标原点)，则点P 的横坐标为
A. 24
B. 24- C'. 24± D. 14
± 7.某组合体的三视图如图所示.则该组合体的体积为
A. 4
B. 8
C. 43
D. 83
8.如图所示，在边长为2的菱形ABCD 中，120BAD ︒
∠=，点E ，F 分别为对角线BD 上两个三等分点，则AE CF ⋅=
A. 43-
B. 43
C. 283-
D. 283
10.已知点G 在△ABC 内，且满足2340GA GB GC ++=，现在△ABC 内随机取一点，此点取自∆GAB 、∆GAC 、∆GBC 的概率分别记为P 1、P 2、P 3，则
A.P 1=P 2=P 3
B. P 3>P 2>P 1
C. P 1> P 2 >P 3
D. P 2>P 1>P 3 11.已知双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，O 为坐标原点，F:为C 的右焦点，过点F 作倾斜角为135︒的直线与C 在第一象限的渐近线及y 轴的交点分别为M ，N 。

若3105F N O M =
，则双曲线C 的离心率为 A. 5 B. 52 C. 3或5 D. 5或52
12.已知函数4()4,()x x e ax f x g x a x e
=-=-，若方程()()f x g x =在区间(0,)+∞上恰有两个不相等的实根，则实数a 的取值范围为
A. [0,)e
B. {}(0,]4e
C. (,)e +∞
D. {}(,)4e -∞
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22～23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题:本题共4小题.每小题5分。

13. 已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，2a 与16a 的等比中项为32，则2162a a +的最小值为______
14.若x 、y 满足约束条件21021010x y x y x y --≤⎧⎪++≥⎨⎪+-≤⎩
，则2z x y =+的最大值为_______
15.甲、乙、丙、丁四人进行一项益智游戏，方法如下:
第一步:先由四人看着平面直角坐标系中方格内的16个棋子(如图所示)，甲从中记下某个棋子的坐标;第二步:甲分别告诉其他三人:告诉乙棋子的横坐标.告诉丙棋子的纵坐标，告诉丁棋子的横坐标与纵坐标相等;第三步:由乙、丙、丁依次回答.对话如下:“乙先说我无法确定.丙接着说我也无法确定.最后丁说我知道”.则甲记下的棋子的坐标为_____。

16将函数2()4cos ()24f x x π
=--的图象向右平移(0)2πθθ<<
个单位，得到函数()g x 的图象，若对满足12()()4f x g x -=的x 1，x 2有12min 4x x π
-=，则θ=_____.
三、解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分)
如图所示.∆ABC 中，BC=6,60ABC ︒∠=，在△ABC 内存在一点P ，满足PA 23=，∆PAB 外接
圆的半径为2.
(1)求PBC ∠、APB ∠；
(2)求PC 的长及△APC 的面积.
18.(本小题满分12分)
如图，在四棱锥P-ABCD 中，PC ⊥底面A BCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB //CD ，AB=2AD=2CD=4，PC=4.
(1)证明：当点E 在PB 上运动时，始终有平面EAC ⊥平面PBC
(2)求锐二而角A- PB-C的余弦值.
19.(本小题满分12分)
每年春晚都是万众瞩目的时刻，这些节目体现的文化内涵、历史背景等反映了社会的进步.国家的富强，人民生活水平的提高等.某学校高三年级主任开学初为了解学生在看春晚后对节目体现的文化内涵、历史背景等是否会在今年的高考题中体现进行过思考，特地随机抽取100名高三学生(其中文科学生50，理科学生50名)，进行了调查.统计数据如表所示(不完整):
(1)补充完整所给表格，并根据表格数据计算是否有95%的把握认为看春晚后会思考节目
体现的文化内涵、历史背景等与文理科学生有关;
(2)①现从上表的”思考过”的文理科学生中按分层抽样选出7人.再从这7人中随机抽取
4人，记这4人中“文科学生”的人数为ξ。

试求ξ的分布列与数学期望;
②现设计一份试卷(题目知识点来自春晚相关知识整合与变化)，假设“思考过”的学生及格率为
3 4，“没有思考过”的学生的及格率为
1
4。

现从“思考过”与“没有思考过”的学生中分别随机抽
取一名学生进行测试，求两人至少有一个及格的概
率.
20.（本题满分12分） 已知椭圆22
:132
x y C +=的左焦点F ，作斜率为(0)k k ≠的直线l ，交椭圆C 于A 、B 两点。

(1)若原点O 到直线l 的距离为33
，求直线l 的方程; (2)设点M(1,0)，直线AM 与椭圆C 交于另一点P ，直线BM 与椭圆C 交于另一点D.设PD 的斜率为1k ，则
1k k 是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由。

21.(本小题满分12分) 已知函数2()()a f x x ax a R x
=+-∈。

(1)当a =1且1x >-时，求函数()f x 的单调区间;
(2)当21
e a e ≥+时，若函数2()()ln g x
f x x x =--的两个极值点分别为1x 、2x ，证明12240()()1
g x g x e <-<+。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为32212
x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (t 为参数)，以坐标原点O 为极
点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=
(1)求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的极坐标方程;
‘(2)若射线(0)3π
θρ=>与曲线C 交于点A(不同于原点)，与直线l 交于点B.直线l 与极轴所在
直线交于点D.求ABD S ∆的值.
23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数()212,f x x x m m N =+--∈，且()3f x <恒成立.
(1)求m 的值;
(2)当11[,0),[,0)22a b ∈-∈-时，()()2f a f b +=-，证明：
1140a b
++≤。