§1.3-4误差的基本概念
误差理论与数据处理课第六版后答案5
例3-2 已知 x x 2.0 0.1，y y 3.0 0.2 ，相关系数 xy 0 试求 x3 y 的值及其标准差。
解： 0 x3 y 2.03 3.0 13.86
a12
2 x
a22
2 y
a1
f x
3x2
y
20.78
a2
f y
x3
1 2y
2.31
20.782 0.12 2.312 0.22 2.13
三、微小误差取舍原则
Di ai i
y D12 D22 Dn2
D1 D2 Dn y
n
i
y
n
1 ai
i
y
n
1 ai
1
10
y
Dk
1
3
y
四、 最佳测量方案的确定
1. 选择最佳函数误差公式 2.使误差传递函数 f / x或i 为0 最小
10
例3-1 求长方体体积V，直接测量各边长 a 161.6 , b 44.5 , c 11.2 已知测量的系统误差为 a 1.2, b 0.8 c 0.5 测量的极限误差 为 a 0.8, b 0.5， c 0.5 求立方体体积及其极限误差。
2）判断
2
若nx 、ny≤10,则由秩和检验表2-10查得T- 、T+
T 14 T 30 T T
故怀疑存在系统误差
8
第三章 误差的合成与分配
一、函数系统误差计算
1. 一般函数形式 y f ( x1 , x2 ,, xn )
y
f x1
x1
f x2
x2
f xn
xn
二、函数随机误差计算
令
f xi
g
误差与偏差的概念
误差与偏差的概念
误差指的是测量结果与真实值之间的差距。
例如，如果我们测量一条铁杆的长度，测量结果可能会与真实长度有一定的差距，这个差距就是误差。
误差可以分为随机误差和系统误差。
随机误差是由于测量仪器或者操作者的不确定性导致的误差，通常是随机分布的。
系统误差则是由于测量仪器或者操作者的常态性偏差导致的误差，通常是固定不变的。
偏差则指的是测量结果的平均值与真实值之间的差距。
例如，我们进行了多次测量，计算出平均值，如果平均值与真实值之间有一定的差距，这个差距就是偏差。
偏差可以分为正偏差和负偏差。
正偏差表示测量结果偏大，负偏差表示测量结果偏小。
在数据分析和研究中，正确理解和处理误差和偏差非常重要。
如果我们误将随机误差当成系统误差，可能会导致错误的结论。
同样，如果我们忽略了偏差，也可能会得出错误的结论。
因此，我们需要采取合适的方法来减少误差和偏差的影响，以获得准确的结果。
- 1 -。
误差的基本概念.
实验一误差的基本概念一、实验目的通过实验了解误差的定义及表示法、熟悉误差的来源、误差分类以及有效数字与数据运算。
二、实验原理1、误差的基本概念所谓误差就是测量值与真实值之间的差，可以用下式表示误差=测得值-真值（一）绝对误差某量值的测得值和真值之差为绝对误差，通常简称为误差。
绝对误差=测得值-真值（二）相对误差绝对误差与被测量的真值之比称为相对误差，因测得值与真值接近，故也可以近似用绝对误差与测得值之比值作为相对误差。
相对误差=绝对误差/真值≈绝对误差/测得值（三）引用误差所谓引用误差指的是一种简化和使用方便的仪器仪表表示值的相对误差，它以仪器仪表某一刻度点的示值误差为分子，以测量范围上限值或全量程为分母，所得的比值称为引用误差。
引用误差=示值误差/测量范围上限2、精度反映测量结果与真值接近程度的量，称为精度，它与误差大小相对应，因此可以用误差大小来表示精度的高低，误差小则精度高，误差大则精度低。
精度可分ⅰ准确度它反映测量结果中系统误差的影响程度ⅱ精密度它反映测量结果中随机误差的影响程度ⅲ精确度它反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度，其定量特征可以用测量的不确定度来表示。
3、有效数字与数据运算含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个单位，那么从这个近似数左方起的第一个非零的数字，称为第一位有效数字。
从第一位有效数字起到最末一位数字止的所有数字，不论是零或非零的数字，都叫有效数字。
数字舍入规则如下：①若舍入部分的数值，大于保留部分的末位的半个单位，则末位加1。
②若舍去部分的数值，小于保留部分的末位的半个单位，则末位不变。
③若舍去部分的数值，等于保留部分的末位的半个单位，则末位凑成偶数。
即当末位为偶数时则末位不变，当末位为奇数时则末位加1。
三、实验内容1、用自己熟悉的语言编程实现对绝对误差和相对误差的求解。
2、按照数字舍入规则，用自己熟悉的语言编程实现对下面数据保留四位有效数字进行凑整。
第一章误差分析的基本概念
第一章 误差分析的基本概念§1 误差的来源1． 误差概念 ：精确值与近似值之差称为误差，也叫绝对误差。
2． 产生误差的主要原因① 模型误差：在解决实际问题时，在一定条件下抓住主要因素将现实系统理想化的数学描述称为实际问题的数学模型，这种数学描述常常是近似的，数学模型与实际系统之间存在误差，这种误差称为模型误差。
② 观测误差：数学模型中往往含有一些由观测得到的物理量（如温度、电阻、长度）或由物理量估算出的模型参数，这些观测物理量或模型参数常常与实际数据存在误差。
这种由观察产生的误差称为观测误差。
③ 截断误差：数值计算中用有限运算近似代替无穷过程产生的误差。
例如计算一个无穷次可微函数的函数值时，理论上只要能算出这个函数的泰勒级数值即可，但是实际工程上仅用泰勒级数中前面有限项来近似计算函数值，而舍去高阶无穷小量。
这个被舍的高阶无穷小量正是截断误差。
④ 舍入误差：计算中按四舍五入进行舍入而引起的误差或因计算机字长有限，数据在内存中存放时进行了舍入而引起的误差。
3.举例说明例1 设一根铝棒在温度t 时的实际长度为L t ,在 t=0℃时的实际长度为L 0,用t l 来表示铝棒在温度为t 时的长度计算值，并建立一个数学模型：)t (L l t α+=10,其中α是由实验观察得到的常数 =α（0.0000238±0.0000001）1/℃，称t t l L -为模型误差，0.0000001/℃是α的观测误差。
这个问题中模型误差产生的原因是：实际上t L 与t 2有微弱关系，也就是说模型未能完全反映物理过程。
例2 已知xe 在 x=0 处展开的泰勒级数为：∑∞==n nx!n x e 为了计算近似值,可取前面有限项计算.如取前面五项计算,计算过程中与计算结果都取五位小数得e ≈1+1+1/2+1/6+1/24≈2.7083，e 取五位小数时的准确值为e ~=2.71828，于是截断误差为: 0099507083271828215...!=-≈∑∞=n n这表明：只要在计算中采用了有限步运算近似代替无限步运算的方法，截断误差就一定存在。
第一章数值分析(误差分析)
* e x x * e r * * x x x x* er 则称η 为 x* 的相对误差限。 x
如果
这时 x=10,
x*=10±1;
2019/3/13
第一章 绪论与误差分析
2
本章内容安排
1. 目的意义：了解计算数学的背景知识；掌握误 差的基本知识 2.重 点：误差来源、误差表示、误差传播 及算法设计原则 3.难 点：有效数字 4.内容分配： 第 1 次：§1 计算数学研究的对象和内容 第
§2 误差的来源和分类 2 次：§3 误差的表示 §4 误差的传播 §5 算法设计的若干原则
由于计算机的字长有限，参加运算的数据以及计算结 果在计算机上存放时，计算机会按舍入原则舍去每个数据 字长之外的数字，从而产生误差，这种误差称为舍入误差 或计算误差。 例如，在十进制十位的限制下，会出现 (1.000002)2-1.000004=0
这个结果是不准确的，准确的结果应是 (1.000002)2-1.000004 =1.000004000004-1.000004=4×10-12 这里所产生的误差就是计算舍入误差。 在数值分析中，一般总假定数学模型是准确的，因而 不考虑模型误差和观测误差，主要研究截断误差和舍入误 差对计算结果的影响。
则有误差限 |x-x*|≤1= εx ,
虽然εy是εx 的3倍，但在1000内差3显然比10内差1更精确 些。这说明一个近似值的精确程度除了与绝对误差有关 外，还与精确值的大小有关，所以这时可以用相对误差 来比较这两个近似数的准确度。
2019/3/13 19
第一章 绪论与误差分析
e x x 定义1 .2 记 er x x 则称其为近似值 x *的相对误差。 由于 x 未知， 实际使用时总是将 x * 的相对误差取为
误差的基本概念
误差的基本概念误差的基本概念误差是指实际值与理论值或标准值之间的差异，它是一种客观存在的量，是科学研究、工程设计和生产制造等领域中不可避免的问题。
在现代科学技术和经济管理中，误差的控制和评定是非常重要的。
一、误差的分类1. 绝对误差：指实际值与理论值或标准值之间的代数差。
2. 相对误差：指绝对误差与理论值或标准值之比。
3. 系统误差：指在同样条件下进行多次测量时，由于仪器、环境等因素引起测量结果偏离真实值而形成的常规性偏离。
系统误差也被称为仪器误差或固有偏离。
4. 随机误差：指在同样条件下进行多次测量时，由于各种因素引起测量结果随机地偏离真实值而形成的非常规性偏离。
随机误差也被称为非系统性偏离。
二、误差的来源1. 人为因素：如操作不当、读数不准确、观察角度不同等。
2. 仪器因素：如仪器的精度、灵敏度、分辨率等。
3. 环境因素：如温度、湿度、气压等。
4. 样品因素：如样品的形状、大小、密度等。
三、误差的控制误差的控制是科学研究和生产制造中必须重视的问题。
以下是误差控制的几个方面：1. 提高人员技能水平，加强对测量方法和仪器使用规范的培训。
2. 选用精度较高、稳定性好的仪器，并按照使用说明进行正确操作和维护。
3. 控制环境条件，确保测量环境稳定，避免外界干扰。
4. 对样品进行预处理，使其符合测量要求。
5. 采用多次测量并取平均值来减小随机误差，同时对系统误差进行校正。
四、误差评定误差评定是指对实验或生产过程中产生的误差进行判断和分析。
以下是误差评定的几个方面：1. 计算绝对误差和相对误差，并与规定标准比较，判断是否满足要求。
2. 根据测量数据的分布情况，判断随机误差的大小和分布规律。
3. 对系统误差进行校正，并对校正后的数据进行评定。
4. 通过误差分析，找出产生误差的原因并采取相应措施，以减小误差。
五、总结误差是科学研究和生产制造中不可避免的问题，它会对实验结果和产品质量产生影响。
因此，我们需要了解误差的基本概念、分类和来源，并采取相应措施进行控制和评定。
误差的基本概念
§1-3 精度
反映测量结果与真实值接近程度的量，称为精度，又称 精确度。 “精度”包括精密度和准确度两层含义。 （1）精密度 测量中所测得数值重现性的程度，称为精密度。 它反映偶然误差的影响程度，精密度高就表示偶然误差小。 （2）准确度 测量值与真值的偏移程度，称为准确度。它反映 系统误差的影响精度，准确度高就表示系统误差小。 （3）精确度： 它反映测量中所有系统误差和偶然误差综合的影 响程度。
绝对误差（Absolute Error）
绝对误差
＝
测得值
－
真值
绝对误差 测得值
L＝L－L0
被测量的真值，常用 约定真值代替 特点： 1) 绝对误差是一个具有确定的大小、符号及单位的量。 2) 给出了被测量的量纲，其单位与测得值相同。
误差的定义及表示法
修正值(Correction) : 为了消除固定的系统误差用代 数法而加到测量结果上的值。
在进行重要的测量时，测量结果和测量误差可比上述原则 再多取一位数字作为参考。
二、数字舍入规则
计算和测量过程中，对很多位的近似数进行取舍时，应按照 下述原则进行凑整： 1. 若舍去部分的数值，大于保留部分末位的半个单位，则末 位数加1。 2. 若舍去部分的数值，小于保留部分末位的半个单位，则末 位数不变。 3. 若舍去部分的数值，等于保留部分末位的半个单位，则末 位凑成偶数，即当末位为偶数时则末位不变，当末位是奇 数时则末位加1。
33
1.1.2 数据测量的分类
（1）按计量的性质分 检定:由法定计量部门（或其他法定授权组织），为确定和 证实计量器是否完全满足检定规程的要求而进行的全部工作。 检测（又称为测试或实验）：对给定的产品、材料、设备、 生物体、物理现象、工艺过程，按照一定的程序确定一种或多种 特性或性能的技术操作。 校准：在规定条件下，为确定测量仪器或测量系统所指示 的量值与对应的由标准所复现的量值之间的关系的一组操作。
误差和实验数据的处理
经过计算发现两组数据的平均偏差都为0.24%，但显然第二组数据比较分散，并且有过大和过小的值，因此用平均偏差已不能反映出这两组数据的精密度的差异。
样本标准偏差
贰
总体标准偏差
壹
有限次测量 对平均值的离散
肆
体标准偏差与样本标准偏差
中位数xM：数据由小到大排列后中间的那个数（n为奇数）或中间相邻两个数据的平均值（n为偶数）。
样本大小（容量）：样本中所含测量值的数目。幻灯片 7
样本平均值与总体平均值： 在无系统误差存在的前提下，μ= xT
例如：分析濠河水总硬度，依照取样规则，从濠河中取来供分析用2000mL样品水，这2000mL样品水是供分析用的总体，如果从样品水中取出20个试样进行平行分析，得到20个分析结果，则这组分析结果就是濠河样品水的一个随机样本，样本容量为20。
设x1、xn为异常值，则统计量Q为：
x1 , x2 , …… , xn-1, xn
式中分子为异常值与其相邻的一个数值的差值，分母为整组数据的极差。Q值越大，说明xn离群越远。Q称为“舍弃商”。当Q计算>Q表时，异常值应舍去，否则应予保留。
例6：书p97：例4-11
Q检验法
1
格鲁布斯(Grubbs)法
选择合适的分析方法
4.4 提高分析结果准确度的方法
减小测量的相对误差
分析天平每次称量误差为±0.0001克。一份样品需称量两次，最大绝对误差为±0.0002克，若要求相对误差<0.1%。计算试样的最小质量。
滴定管每次读数误差为±0.01mL。一次滴定中，需读数两次，最大绝对误差为±0.02mL，若要求相对误差<0.1%。计算消耗溶液的最小体积。
第一节 误差的基本概念
即 m- n = - 2, m=1, n = 3, 所以 x = 3.14 作为 近似值 时, 就有3 位有效数字。
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四 误差限与有效数字的关系
定理1 设近似值 x 0.a1a2 an 10m
* f ( x1 *, x2 *, , xn *) f , x i x i 则上式简记为 * n n f f e ( y*) e ( xi *) e ( xi *) i 1 x i i 1 x i
x 0. a1a2 an 10m
1 若其误差限 x x 10m n ,则称 x 具有 n 位有效 2 数字, 这里 m 是整数, a1, a2 ,, an 为 0~9 中的一个数 字, 且a1 0.
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例
= 3.1415926535 , 取 x = 3.14时，
这就是说, 乘积的相对误差是各乘数的相对误差之和, 相对误差限是各乘数的相对误差限之和。
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同样, 若 u = x/y, 则 lnu = lnx – lny, 因此 dlnu = dlnx – dlny 即 er (u* ) = er (x* ) - er (y* ) r (u* ) = r (x* ) + r (y* ) 即商的相对误差是被除数与除数的相对误差之差, 但 相对误差限是各乘数的相对误差限之和. 由此可得: 任意多次连乘、连除所得结果的相对误差限等于各 乘数和除数的相对误差限之和。
此定理说明，相对误差是由有效数字决定的。
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m 定理2 设近似值 x 0.a1a2 an 10 的相对误差
误差理论基本知识--
誤差分類及其特性、算術平均值、衡 量精度的標準、誤差傳播定律、誤差 理論應用。
§5-1 測量誤差概述
1. 基本概念 誤差的定義：被觀測量的觀測值與其真值之 差。 真值：被觀測量的真實大小，屬理論值。 三大客觀條件：儀器條件、觀測條件、外界 條件。 誤差產生原因：實踐表明，由於三大客觀條 件的存在，對同一量進行觀測多次時，測量 結果總是存在著差異。
C
?
A
B
§5-5 誤差傳播定律的應用
解題：
① 列函數式： C=180°-A-B
② 求增量（此步可省略）：
③ 應用誤差傳播定律
mC2 mA2 mB2
A
C
? B
mB2 mC2 mA2 (5)2 (3)2 16
mB 4
即，B角需以不低於±4″的精度觀測，
才能使C角具有±5″的精度。
§5-5 誤差傳播定律的應用
次數的增多而趨於相等。
§5-1 測量誤差概述
⑶ 隨機誤差的特性 ① 有界性
在一定的觀測條件下，隨機誤 差的絕對值不會超過一定限度。 ② 範圍性
在一定的觀測條件下，絕對值 較小的隨機誤差出現的概率比絕對 值較大的誤差出現的概率大。
§5-1 測量誤差概述
③ 對稱性 在一定的觀測條件下，絕對值相等的
正、負誤差出現的概率相等。
解： 因為 m1=m2=±10″ 且角度無論大小均為兩方向讀數之差，
故只要中誤差相等，說明精度相同。
§5-3 衡量精度的標準
2. 相對誤差
結論：
經緯儀測角時，不能用相對誤差的概 念衡量精度，相對誤差用於衡量與長度、 面積、體積等有關的量。
§5-3 衡量精度的標準
3. 極限誤差與容許（允許）誤差 根據隨機誤差的有界性可知，在一定
2.1 有关误差的一些基本概念
第二章误差与分析数据处理2.1 有关误差的一些基本概念一、误差的表征—准确度与精确度1．准确度：测定结果与被测组分的真实值之间的接近程度，这两个值之间的差值越小，则测定结果的准确度越高。
2．精密度：几次平行测定结果相互接近的程度。
（平行测定：完全相同条件下的测定）3．准确度与精密度的关系（举例说明）（★）：（1）精密度是保证准确度的先决条件，精密度是前提。
（2）高的精密度不一定能保证高的准确度。
二、误差的表示—误差与偏差1．误差（error）：（1）含义：表示测定结果与真实值之间的差异。
用来衡量准确度的高低。
（2）计算公式：①绝对误差（absolute error）：E a= x（平均值）-T（真值）②相对误差（relative error）：E r=（E a/T）×100%③误差与错误的关系（★）：误差与错误不同，错误是应该而且可以避免的，而误差是不可能绝对避免的。
从实验的原理，实验所用的仪器及仪器的调整，到每次测量，都不可避免地存在误差，并贯穿于整个实验始终。
2．偏差（deviation）：表示测量值与平均值之间的差异，用来衡量精密度的高低。
在实际测量过程中，往往无法知道真实值，而是用测量的平均值代替真实值，所以通常所说的误差其实是偏差，用误差只是习惯叫法。
三、误差的分类—系统误差和随机误差1．系统误差（systematic error）：（1）含义：又称可测误差（determinate error），是由某种固定的原因造成的，具有单向性、重现性，系统误差决定分析结果的准确度。
（2）分类（通过列举实例说明误差的各种类型）：①方法误差：分析方法本身所造成的误差，方法的选择或方法的校正可克服此类误差。
（如酸碱滴定法时指示剂的选择）②仪器误差：由仪器本身不准确所造成的误差。
通过仪器校准可克服此类误差。
（如天平的砝码长期使用后质量的变化）③试剂误差：由试剂不纯引起的误差。
通过空白校正和使用高纯度的水可克服试剂误差。
第1章 算术运算中的误差分析初步
几点要求
例:计算 y = ln x。若 x 20，则取 x 的几位有效数字可保证 y 的相对误差 < 0.1% ?
解：设截取 n 位有效数字后得 x* x，则 xy( x ) | er ( x ) | | er ( y ) | | er ( x ) | y( x ) lnx 估计 x 和 y 的相对误差上限满足近似关系 r ( x) ln x r ( y)
结论:误差不可避免
误差定义
绝对误差：e=x*-x, x* 是准确数,x是近似数 绝对误差限：|e|=|x*-x|
常表示为 x=x* 或 x*-xx*+
相对误差：er =(x*-x)/x* , x* 是准确数, x是近似数 相对误差限r：|e/x*|=|x*-x|/|x*| r
1 10n1 ln x 0.1% 2a1
不知道怎么办啊？
n4
x 可能是20.#，也可能 是19.#，取最坏情况， 即a1 = 1。
例：计算 ln 20 8 ，取 4 位有效，即 ln(20.89), 则相对误差
9
| er ( y) |
e( y) f ( x)
x 较大时，计算
x 1
x 1
x
x
1 x 1
x
三、防止大数吃小数.
当两个绝对值相差很大的数进行加法或减法运算时, 绝对值小的数有可能被绝对值大的数“吃掉”从而引起计 算结果很不可靠. 例 在一台虚构的4位十进制计算机上计算S=A+b，其中 A=10000，b=1 计算结果为10000 与 实 际 结果 不 同 , 因为 计 算 机计 算 时 做加 减 法 要 “ 对 阶”,“对阶”的结果使大数吃掉了小数.产生了误差.为 了避免由于上述原因引起的计算结果严重失真,可以根据 一些具体情况,存在需要把某些算式改写成另一种等价的 形式.
第一章 试验数据的误差分析
2
1.1.2 平均值 （1）算术平均值（arithmetic mean） 算术平均值是最常用的一种平均值。
1 n x xi n i1
x x 在同样的试验条件下，如果多次试验值服从正态 分布，则算术平均值是这组等精度试验值中的最佳 值或最可信赖值。
Monday, February 11, 2019
11
1.2.3 算术平均误差
• 设试验值xi与算术平均值之间的偏差（discrepancy） 为di，则算术平均误差（average discrepancy）定义 式为： n n
1 1 xi x d i n i1 n i1
0.22 0.22 0.141 5 1
21
标准误差s
Monday, February 11, 2019
• 无系统误差
精密度 ：A＞B＞C 正确度： A＝B＝C 准确度： A＞B＞C
Monday, February 11, 2019
22
• 有系统误差
精密度 ：A’＞B’＞C’ 正确度： A’＝B’＝C’ 准确度： A’＞B’＞C’
解：w1=1/0.12= 100，w2=1/0.022=2500
8.5 100 8. 53 2500 pH 100 2500 8.53
Monday, February 11, 2019
6
（3）几何平均值（geometric mean） 若一组测定值，取对数后遵从正态分布，则称其遵 循对数正态分布。 此时，则宜使用几何平均值。 求 1, 10, 100的几何均值=？
Monday, February 11, 2019
23
正确度与精密度的关系
实验数据的误差分析
化工中常用的平均值有4种：
化工原理实验课件系列
算术平均值 xm
设x1,x2,x3,…xn 为各次测量值,n为测量次数，则算术平均 值为：
xm
x1
x2 ... n
xn
1 n
n i 1
xi
算术平均值是最常用的一种平均值，因为测定值的误差分 布一般服从正态分布，可以证明算术平均值即为一组等精 度测量的最佳值或最可信赖值。
但在实验中，由于测量仪表和人的观察等方面的原因， 实验数据总存在一些误差，所以在整理数据时，首先应对 实验数据的可靠性进行客观的评定。 误差分析的目的就是评定实验数据的精确性或误差，通 过误差分析，可以认清误差的来源及其影响，并设法排除 数据中所包含的无效成分，还可进一步改进实验方案。在 实验中注意哪些是影响实验精确度的主要方面，细心操作， 从而提高实验的精确性。
计算每升滤液通过所需要的时间为：
t 27.5635s 1.35L 27.6s 1.35L 20.4s L
可见用一个0.1秒分度的机械秒表精度就足够了。
化工原理实验课件系列
化工原理实验课件系列
对数计算
对数的有效数位数与其真数相同。 例如 lg2.34=3.69×10-1 lg8.0=9.0×10-1
在四个数以上的平均值计算中，平均值的有效数字可较各 数据中最小有效位数多一位。 所有取自手册上的数据，其有效数按计算需要选取，但原 始数据如有限制，则应服从原始数据。 一般在工程计算中取三位有效数已足够准确，在科学研究 中根据需要和仪器的可能，可以取到四位有效数字。
实验数据的误差分析
§1 实验数据的误差分析 误差的基本概念 实验数据的精准度 实验数据的真值与平均值 误差的表示法
误差简介
∆y = = δ y
∂ ln f ∑ ( ∂x ∆x j ) j =1 j
m
例3：用0.5级100A量程的电流表测得电流为60A, 用0.1级50V量程电压表测得电压30V ，求功率的误差。
∆I = 0.5% ×100 = 0.5 ± ±
∆U =0.1% × 50 =0.05 ± ± ∂P ∂P ∆P= ∆U + ∆I ∂U ∂I = ±0.05) + 30(±0.5) = ±18 60(
40.92；40.82；40.78；40.76；40.82；40.78；42.78； 40.84；40.85；40.86；40.78；40.81
1 11 U = 取样平均值 = 11 ∑ U i 40.82 V i =1
测量值的标准误差 = S (U ) 极限误差 没有坏值
(U i − U ) 2 ∑ i =1 = 0.05 11 − 1
.34 12 + 357 2 2. = 14.70 14.6972
（2） 乘除法——位数取齐
4.368 × 5.92 = 3.1 8.4
The end
2、误差的表示方法：
绝对误差: 测量值与被测量的真值之差，称为绝对误差。
∆x = x − x0
在实际测量中，常定义绝对误差的负值为修正值C，即
C = −∆x = x0 − x
测量值加上修正值就可获得相对真值
相对误差：绝对误差与真值的百分比，称为相对误差，即
∆x = ×100% δ0 x0
因，以减小误差；正确处理测量和实验数据，合理计算所 得结果，以便得到更接近真值的数据；正确组织实验过程， 合理设计或选用仪器，采用适当的测量方法，在最经济的 条件下得到理想的结果。
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设 y f ( x ), 则 y f ( x ) ，由Taylor
* *
展开公式
e( y*) y y* f ( x ) f ( x*) f ( x*)(x x*)
（1.1） e ( y*) f ( x*)e ( x*)
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2 2
第一章 绪论
由于精确值一般是未知的,因而e*不能求出来, 但可以根据测量误差或计算情况设法估计出它的取
值范围，即误差绝对值的一个上界或称误差限。 定义1.2 设存在一个正数 ，使
e xx
则称
为近似值的绝对误差限，简称误差限或精度。
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1515
第一章 绪论
e
*
r
1 mn 10 x x* 2 1 ( n 1 ) 10 * m 1 x x1 10 2 x1
*
er
1 10( n1 ) 2 x1
1414
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第一章 绪论
有效数字与相对误差 定理1.1 若近似数x*=0.x1x2…xn10m具有n位
有效数字，则其相对误差
er
*
1 10( n1) 2 x1
证: ∵ x* = 0.x1x2…xn10m ∴ x* ≥x110 m-1 又 ∵ x*具有n位有效数字,则x- x*≤1/210 m - n
* *
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1212
第一章 绪论
例6. 当取3.141作为的近似值时
-3.141=0.3141592…101 -0.3141101
≤0.0000592 101
<0.0005 10=1/2 10-2
x x* x x* x* x* 1 1 10( n1) ( x1 1) 10m1 10m n 2( x1 1) 2
由有效数字定义可知,x*具有n位有效数字。证毕
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2323
第一章 绪论
分别取 f ( x1 , x2 ) x1 x2
* * * * ( x1 x2 ) ( x1 ) ( x2 )
x1 x1 x2 , ,可得 x2
* * * * * * ( x1 x 2 ) x1 ( x2 ) x2 ( x1 )
叫有效数字。
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1010
第一章 绪论
例5： 3.141592653 ..... 取的近似值分别为:
3.14，3.141，3.142，3.14159，3.141592时，
求其有效数字位数。
解：e =3.141592653…－3.14=0.001592653…<0.005。 所以有效位数从3.14的4开始向前数到它前面的 第一个非零数字3为止，共3位有效数字。 e =3.141592653…－3.141=0.000592653…<0.005。 所以有效位数从3.141的1的前一位4开始向前数到 它前面的第一个非零数字3为止，共3位有效数字。
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1717
第一章 绪论
定理1.2 若近似数x*=0.x1x2…xn10m相对误差
er
*
1 10( n1) 2( x1 1)
则该近似数具有n位有效数字 证:∵ x*=0.x1x2…xn10m ∴ x* ≤ (x1+1) 10m-1
m-n=1-n=-2
所以n=3具有3位有效数字
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1313
第一章 绪论
①
②
③ ④
关于有效数字说明 用四舍五入取准确值的前n位x*作为近似值,则 x*必有n位有效数字。如3.142作为的近似值 有4位有效数字，而3.141为3位有效数字。 有效数字相同的两个近似数，绝对误差不一定 相同。例如，设x1*=12345,设x2*=12.345,两者 均有5位有效数字但绝对误差限不一样 x- x1* =x- 12345 ≤ 0.5= 1/2 100 x- x2* =x- 12.345≤0.0005=1/210-3 把任何数乘以10p(p=0,1,…)不影响有效位数。 准确值具有无穷多位有效数字
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1111
第一章 绪论
定义1.5
' *
设近似数x 有规格化形式 x 10 0.a1a 2 a 3 ...a n ...
m
*
其中m 和a i ( i 1,2,...,n,...)是整数且 a1 0,0 a i 9。如果x *的绝对误差满足 1 | e( x ) || x x | 10m n 2 * 则称x 为x的具有n位有效数的近似数。
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5 5
第一章 绪论
误差限不是唯一的，但越小越好。 通常我们在取误差限的时候，为了讨论的方便， 在尽可能小的范围内取做某一位上的半个单位。
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* *
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*
* * e ( x ) 称为相对误差，r 简记为er
7 7
第一章 绪论
相对误差越小,精度就越高,实际计算时,x通常是 不知道的,因此可用下列公式计算相对误差
e xx e * * x x
* r *
3 3
第一章 绪论
实际应用中经常使用 这个量来衡量误差限, 这 就是说, 如果近似数 x 的误差限为 , 则表明准确 值x必落在 x , x 上, 常采用下面的写法
x x x
x x
来表示近似值的精度或准确值x所在的范围。
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第三节 误差的基本概念
1
第一章 绪论
Hale Waihona Puke 1.3.1 误差和误差限定义1.1 称
设x为准确数，x *为x的一个近似数, e( x * ) x * x
为近似数x *的绝对误差,简称误差。 ( 也记为e * )
误差为正时近似数为强近似数，为负时为弱近似数
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* * * * x1 ( x2 ) x2 ( x1 )
x ( ) x
* 1 * 2
x
* 2
2
( x 0)
* 2
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2424
第一章 绪论
例10： 测得某桌面的长a的近似值a*=120cm,宽b的 近似值b*=60cm。若已知|e(a*)|≤0.2cm, |e(b*)|≤0.1cm。 试求近似面积s*=a*b* 的绝对误差限与相对误差限。 解: 面积s=ab,在公式中,将 y f ( x1 , x 2 ) 换为 s=ab, 则
1919
第一章 绪论
初值误差传播：假设每一步都是准确计算，
即不考虑截断误差和由运算进一步引入的舍
入误差，仅介绍初始数据的误差传播规律。 –研究方法： • 泰勒（Taylor）方法
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2020
第一章 绪论
1. 一元函数情形
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2222
第一章 绪论
2. 多元函数情形 设 y f ( x1 , x2 , , xn ) 则，y* f ( x1*, x2*, , x n*)
由多元函数的Taylor展开公式类似可得
1 e 0.1 0 0 1000
* r
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9 9
第一章 绪论
1.3.3 有效数字 定义1.5 如果一个数 x 的近似值 x 的误差限
不超过某一位的半个单位，则从 x的这一位开始， 直到它前面的第一个非零数字为止的所有数字，
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1616
第一章 绪论
一般应用中可以取r*=1/（2x1）10-(n-1),n越大 ,r*越小, ∴有效数字越多，相对误差就越小 例7：取3.14作为的四舍五入的近似值时，求其 相对误差 解：3.14=0.314 101 x1=3 m=1 ∵ 四舍五入的近似值,其各位都是有效数字 ∴ n=3 r*=1/2x1 10-(n-1)=1/2 3 10-2=17%