第85课时复数的代数形式及其运算
复数与复变函数的基本运算与性质
复数与复变函数的基本运算与性质复数是数学中的一种重要概念，可以用来描述平面上的点或向量。
复变函数则是一种将复数作为自变量和函数值的函数。
复数与复变函数都有其特定的基本运算与性质，本文将详细介绍。
一、复数的基本运算与性质1. 复数的表示复数可表示为 a + bi 的形式，其中 a 和 b 是实数，i 是虚数单位。
实部 a 表示复数在实轴上的投影，虚部 b 表示复数在虚轴上的投影。
2. 复数的加法和减法复数的加法和减法遵循实数的运算法则，即分别对实部和虚部进行相应的运算。
3. 复数的乘法复数的乘法按照分配律进行，即将每个部分相乘后再进行合并。
4. 复数的除法复数的除法可以通过乘以倒数的方式进行，即将除数的倒数乘以被除数。
5. 共轭复数共轭复数是指保持实部不变而虚部取负的两个复数。
共轭复数的乘积为实数，而共轭复数的和差仍为复数。
6. 模和辐角复数的模表示它与原点的距离，辐角表示其与实轴正向的夹角。
二、复变函数的基本运算与性质1. 复变函数的定义复变函数将复数作为自变量和函数值，可以表示为 f(z) = u(x, y) +iv(x, y)，其中 u 和 v 分别是 x 和 y 的实函数，i 是虚数单位。
2. 复变函数的连续性复变函数 f(z) 连续的充要条件是 u 和 v 在 z 的实部和虚部上都连续。
3. 复变函数的导数对于复变函数 f(z)，如果其在某一点 z 处存在导数，那么导数表示为 f'(z) = u_x(x, y) + iv_x(x, y)，其中 u_x 和 v_x 分别是 u 和 v 对 x 的偏导数。
4. 柯西—黎曼方程柯西—黎曼方程是复变函数的一个重要性质，即 u_x = v_y 和 u_y = -v_x。
柯西—黎曼方程保证了复变函数可导的充分必要条件。
5. 复变函数的积分复变函数的积分可以用路径积分的方法进行，路径积分表示了函数在不同路径下的变化。
路径积分不依赖于具体的路径选择，而只取决于路径的起点和终点。
(完整版)复数的代数形式及其运算
复数的代数形式及其运算第85课时课题：复数的代数形式及其运算一．教学目标：掌握复数的基本题型，主要是讨论复数的概念,复数相等,复数的几何表示,计算复数模，共轭复数，解复数方程等。
二．教学重点：复数的几何表示，计算复数模，共轭复数,解复数方程等。
三．教学过程:（一）主要知识：1．共轭复数规律，；2．复数的代数运算规律(1）i=1，i=i,i=1，i=i;(3)i・i・i・i=1，i＋i＋i＋i=0；；3．辐角的运算规律(1)Arg（z・z）＝Argz＋Argz（3）Arg=nAr gz(n∈N）.。
.，n1.或z∈R。
要条件是|z|＝|a|.（6）z・z≠0,则4．根的规律：复系数一元n次方程有且只有n个根，实系数一元n次方程的虚根成对共轭出现。
5．求最值时，除了代数、三角的常规方法外，还需注意几何法及不等式||z｜|z｜｜≤｜z±z｜≤｜z｜+|z|的运用.即｜z±z｜≤｜z|+|z|等号成立的条件是：z，z所对应的向量共线且同向。
|z±z|≥|z|｜z|等号成立的条件是：z,z所对立的向量共线且异向。
（二）范例分析Ⅰ.2004年高考数学题选1.(2004高考数学试题(浙江卷,6)）已知复数z1=3+4i, z2=t+i，且是实数，则实数t=（）A．B．C．?D．？2。
(2004年北京春季卷,2)当时，复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限 C．第三象限D．第四象限3.(2004年北京卷，2）满足条件的复数在复平面上对应点的轨迹是（ C ) A．一条直线B．两条直线C．圆D．椭圆Ⅱ.主要的思想方法和典型例题分析：1．化归思想复数的代数、几何、向量及三角表示，把复数与实数、三角、平面几何和解析几何有机地联系在一起，这就保证了可将复数问题化归为实数、三角、几何问题。
反之亦然。
这种化归的思想方法应贯穿复数的始终。
【分析】这是解答题，由于出现了复数和，宜统一形式,正面求解。
复数代数形式的乘法运算 课件
复数乘法
设 z1=a+bi, z2=c+di是任意两个复数
z1z2=(a+bi)(c+di) =ac+bci+adi+bdi2
类似多项 式相乘
=(ac-bd)+(ad+bc)i
注:把i2换成-1
两个复数的积仍是一个确定的复数
我们比较容易证明这些性质：
1.交换律：z1·z2=z2·z1 2.结合律: (z1·z2) ·z3=z1·(z2·z3) 3.分配律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
(2)z1•z2是一个怎样的数?
y
b
Z1
(b Z2
(2)是一实数
z1•z2=(a+bi)(a-bi)=a2+b2
复数的除法法则
除法是乘法的逆运算
a bi c di (c+di≠0)
a bi
c di
a c
bic dic
di di
分子分母都乘以 分母的共轭复数
(实数化)
分析: 代入化简后，通过复数相等，把复数问题转 化为实数问题来解
例2 计算(1-2i)(3+4i)(-2+i) 解 (1-2i)(3+4i)(-2+i) = (11-2i)(-2+i) = -20+15i
练习 计算 (1) (7-6i)(-3i);
-21i-18 (2) (3+4i)(-2-3i);
6-17i (3) (1+2i)(3-4i)(-2-i)
-20-15i
例3 计算
(1) (3+4i)(3-4i);
(2) (1+i)2
复数的代数形式与运算
(B) -1
(D) 以上都不对
4.设z1、z2为复数，则下列结论中正确的是( D ) (A)若z21+z22＞0，则z21＞-z22 (B)|z1-z2|=√(z1+z2) 2-4z1z2 (C)z21+z22=0z1=z2=0 (D)z1-z1是纯虚数或零
5. i0+i1+i2+i3+…+i 2004的值为( B ) (A) 1 (B)
4.设z1=√3+i，z2=1-i，试求满足zn1=zm2的最小正整 数m,n的值.
1 3 1 3 【解题回顾】1， - i， - i是1在集合C中 2 2 2 2 的三个立方根，它们有比较丰富的性质，若记 1 3 1 3 ω- i 则ω - i ，并有 2 2 2 2 ω 3 1，ω 3 1
1. 在假设z=x+yi进行代换时，要注意说明x,y∈R， 因为，即使x,y∈C，z=x+yi还是有意义的，它仍旧 表示一个复数，这一点要引起注意. 2. 课前热身4中，式子|z1-z2|=√(z1+z2)2-4z1z2是一种很 容易出现的典型错误，事实上，复数的模与实数的 绝对值无论是在形式上还是在实质上既有共性、又 有区别，只有深刻理解其含义，明确其意义，才能 避免类似的错误.
ω 2 ω ，ω 2 ω ω 2 ω 1 0，ω 2 ω 1 0
5. 是否存在复数z，使其满足z· z+2iz=3+ai(a∈R)如
果存在，求出z的值；如果不存在，说明理由
【解题回顾】将复数问题向实数问题转化，是一种 重要的思想方法，而转化的基本依据就是复数的相 等
z1±z2=(a±c)+(b±d)I
复数运算知识点总结
复数运算知识点总结复数的基本运算包括加法、减法、乘法和除法。
下面对每种运算进行详细介绍。
一、加法：复数的加法即是实数部分相加，虚数部分相加。
例如，(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i。
二、减法：复数的减法即是实数部分相减，虚数部分相减。
例如，(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i。
三、乘法：复数的乘法可以采用分配律展开。
例如，(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi² = (ac - bd) + (ad + bc)i。
虚数单位i的平方为-1，所以i²=-1。
四、除法：复数的除法需要用到共轭复数。
共轭复数是指虚数部分的符号取反。
例如，对于复数a+bi，它的共轭复数是a-bi。
复数的除法可以通过乘以分子的共轭复数来得到。
例如，对于复数(a+bi)/(c+di)，乘以(c-di)/(c-di)可以得到分子的虚数部分消去，然后再进行实数部分的除法。
在实际运用时，复数的运算可以通过将复数进行分解成实数部分和虚数部分，然后进行实数的运算和虚数的运算，最后将结果合并成新的复数。
比如，对于复数(a+bi)和复数(c+di)的乘法运算，可以先计算实数部分的乘法和虚数部分的乘法，然后再合并成新的复数。
另外，复数的绝对值也是一个重要的概念。
复数的绝对值表示复数到原点的距离，可以用勾股定理来计算。
对于复数a+bi，他的绝对值表示为|a+bi| = √(a² + b²)。
在实际应用中，复数广泛用于信号处理、控制系统、电路分析等领域。
在工程和科学的计算中，复数都有着重要的作用。
因此，熟练掌握复数的运算规则，对于学习和工作都有着重要意义。
总的来说，复数是数学中一个重要的概念，它包括实数和虚数部分，可以表示为a+bi的形式。
复数的运算包括加法、减法、乘法和除法，对于每种运算都有着明确的规则。
掌握复数的运算规则对于学习和工作都具有重要意义。
必修二—复数的代数形式与运算
复数的代数形式与运算复数虽然在高考试题中的考察极为简单，但在强基或者联赛一试中考察的力度和难度都远高于高考.究其原因，复数已是现代数学研究主要的工具之一，不论是在工程中的应用还是在基础研究中的应用中，例如傅里叶变换，著名的黎曼猜想等均与复数有关.同时，复数还和其他板块如三角，向量等有着重要的联系.综上所述，复数是中学数学中重要的内容之一，肯定也是强基或联赛的考察热点.本节开始，我们将系统地介绍强基或联赛难度的复数及其应用，从而更好地让大家认识复数，用好复数！首先来讲复数的的概念与重要性质，这一讲主要包括复数的代数形式及运算，共轭复数及性质.一．主要知识1.复数的代数形式.复数：bi a z +=（R b a ∈,），其中a 为实部，b 为虚部.记作：a z =)Re(表示bi a z +=的实部，b z =)Im(表示bi a z +=的虚部.2.复数相等的条件.代数形式下，两个非零复数相等，当且仅当实部相等且虚部相等.三角形式下，两个非零复数相等，当且仅当它们的模与幅角主值分别相等.3.共轭复数.bi a z +=（R b a ∈,）它的共轭复数为bi a z -=，显然z z =.下面梳理共轭复数的重要性质.（1）z z z ⋅=2||（2）2121z z z z ±=±（3）2121z z z z ⋅=（4）2121)(z zz z =（5）)Im(2),Re(2z i z z z z z =-=+（6）)Im(||),Re(||z z z z ≥≥（7）z 为实数的充要条件为z z =，z 为虚数的充要条件为)0(,≠-=z z z .3.代数形式下复数的运算：关于代数形式下复数的运算是高考必考内容，相对简单，大家练得都比较熟练，我们在此处就不再赘述.4.几个重要的性质：（1）2212212121||||z z z z z z z --+=+（2）)1)(1(123++-=-z z z z ；)1)(1(123+-+=+z z z z .（3）虚数单位的周期性.二．典例分析1.代数形式下复数的基本运算例1.已知复数z 满足ii z -=-112，则复数z 在复平面内的点到原点的距离为_______.解析：由121z i i-=-，得1115221(1)(1)22i z i i i i i i +=+=+=+--+，故该复数在复平面内的点的坐标为15,22⎛⎫ ⎪⎝⎭2=．例2.已知复数z 满足i z z +=+2||2，求||z 解析：设bi a z +=，R b a ∈,，所以，i b a b a )1(2222-+-=+，解得：1=b ，0=a 或者34-=a .例3.若复数z 满足1||=z ，则|))((|i z i z -+的最大值为_________解析：设,,z a bi a b R =+∈，则()()()22()()111z i z i a b i a b i a b +-=+-+-=+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，故()()z i z i +-=，其中[]1,1b ∈-.当1b =-时，max ()()2z i z i +-=.例4.设复数R i z i z ∈⋅+=+=ααα,cos 1,2sin 21.则||||132121iz z iz z f -+-=的最小值为___.解析：令12z iz t -===，则t ⎡∈⎣，且此时有()222212sin cos 310sin212z iz t ααα+=-+=-=-.故2212121312z iz t f z iz t-++==≥-.当1t =，即()4k k Z παπ=-∈时，f 的最小值为2.例5.复数13=z ，则=+++202223z z z ________.解析：由13=z 得0)1)(1(2=++-z z z ，所以1=z ，或者012=++z z .因此可得：25202223=+++z z z 或19202223=+++z z z .2.共轭复数及其应用例6.证明：虚数成对定理，即设虚数z 是实系数方程00111=++++--a x a xa x a n n nn 的根，则z 也是这个实系数方程的根.证明：因为z 是方程的根，所以00111=++++--a z a za z a n n nn ，两边同时取共轭得：00111=++++--a z a za z a n n n n ，即00111=++++--a z a za z a n n nn .因此z 也是这个实系数方程的根.由第一部分可知，共轭运算和四则运算是可以交换顺序的，那么利用共轭运算便可不必设出复数的具体形式，这样可避免有时因为代入具体形式而导致的复杂运算.这样的想法可使用于条件中包含模长或共轭复数的情况.例7.已知13z =，25z =，127z z -=，求12z z .解析：由127z z -=1212()()49z z z z ⇒--=22112212()49z z z z z z ⇒-++=122115z z z z ⇒+=-下面将等式两边同乘12z z ，有2221112215z z z z z z ⋅+=-⋅，由于22222225z z z z ==，故21122225915z z z z ⋅+=-⋅2112225()1590z z z z ⇒⋅+⋅+=解得123331010z i z =-±.注：当使用共轭复数计算有关问题时，类似与圆锥曲线中整体代入的思想来进行计算，此时不必考虑具体表示形式，减少运算，下面再看一例.例8.已知复数21,z z 满足i z z z z -=-==223,3||,2||2121，求21z z 的值.解析：由于3||,2||21==z z ，故可得：9,42211==z z z z ，于是我们将i z z -=-22321可进一步表示为：i z z z z i z z z z z z -=-⇒-=⋅-⋅2)32(61221311*********.那么，i i i z z i z z i z z 52451826123261232612121221+-=---=--=--=.注：此题若用具体形式计算，可能过程会很麻烦！例9.复数z 满足1||<z 且25|1|=+z z ，则=||z （）A.54 B.43 C.32 D.21解析：42511(=++z z z z ，所以425111=+++z z z ，整理可得0417)(42=+-z z z z ，解得41=z z 或者4=z z .由于1||<z ，进一步可得：21||=z .例10.（2015高联一试）已知复数数列}{n z 满足)(1,111++∈++==N n ni z z z n n ，则2015z 的值为__________.解析：本题需要找寻递推关系，依题可得：i z i n ni z i n z i n z z n n n n n ++=+-++++=+-+=+++=+++2)1(11)1(1)1(1112，故可得：i z z n n +=-+22.那么i z z i z z i z z +=-⋅⋅⋅+=-+=-2,,2,2132011201320132015，由累加法可得：i z 100720152015+=.3.综合应用这一部分难度较大，综合各种性质和方法，读者应细心体会.例11.（2018浙江预赛）已知虚数z 满足013=+z ，则=-+-2018201811()1(z z z _______.解析：由三次方程因式分解可知：()()3221011010z z z z z z +=⇒+-+=⇒-+=，整理可得：()()()67232201820182018220181345231111111z z z z z z z z z z z+++⎛⎫⎛⎫+====- ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭.例12.（2020浙江预赛）已知复数z 满足1||=z ，当|13|234++++z z z z 取最小值时，求复数z 的值.解析：依题可得：31113|13|222234234++++=++++=++++z z zz z z z z z z z z z ，利用完全平方公式得：43|1Re 2Re 4||1()(|3112222≥++≥++++=++++z z z z z z z z z z 等号成立时，i z 41541±-=.例13．复数z 满足1z =，且使得关于x 的方程20x z x z +⋅+=有实根，则这样的复数z 的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个解析：设i,,z a b a b R =+∈，因为1z =，所以221a b +=，所以将i,,z a b a b R =+∈代入方程20x z x z +⋅+=整理()()2i 0x ax a b bx +++-=，因为关于x 的方程20x z x z +⋅+=有实根，所以200x ax a b bx ⎧++=⎨-=⎩，所以当0b =时，解得1a =±，此时关于x 的方程为210x x ++=或210x x --=，易知方程210x x ++=无实数根，故舍去，所以1z =-；当0b ≠时，解得1x =，12a =-，所以2b =±，所以122z =-±，此时方程有实数根1x =，满足条件.综上，1i 22z =-±或1z =-.故这样的复数z 的个数为3个.。
复数的性质与运算的学习与应用
航空航天工程中的应用
飞机设计：利用复 数计算飞机机翼的
空气动力学特性
导航系统：利用复 数进行信号处理和 数据处理，实现精
确导航
卫星轨道：通过复 数计算卫星轨道的 稳定性与变化规律
火箭发射：利用复 数分析火箭推进系 统的燃烧效率和稳
定性
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土木工程和机械工程中的应用
土木工程中，复数可用 于分析结构振动、稳定 性等问题，以及优化设
复数还可以用于计算药物分子的吸 收和分布，从而为药物设计和开发 提供依据。
在生物医学成像技术中，复数可以 用来描述信号的相位信息和振幅信 息，从而提高成像的分辨率和准确 性。
在社会学和心理学中的应用
复数在社会学中可用于描述和分析复杂的社会现象和关系，例如人口统计学、社会网络分析等。 在心理学中，复数可以用来研究人类认知和行为，例如通过复数分析人类情绪、记忆和思维模式等。 复数在经济学中可用于描述和分析金融市场和经济发展，例如股票价格、经济增长趋势等。 在物理学中，复数可以用来描述波动和振动现象，例如声波、电磁波等。
计。
机械工程中，复数可以 用于控制系统的分析和 设计，例如电气系统和
液压系统。
复数在信号处理和通信 工程中也有广泛应用， 例如频谱分析和调制解
调。
在电力工程中，复数 用于计算交流电的各 种参数和性能指标。
计算机科学和软件工程中的应用
复数在信号处理中的应用，如 滤波、频谱分析等
复数在电气工程中的应用，如 电路分析、控制系统等
共轭复数和复数的模
共轭复数的定义：一个复数和它的共轭复数有一个实部和一个虚部，虚部符号相反。 共轭复数的性质：两个共轭复数的和是实数，它们的乘积是正数。 复数的模的定义：一个复数到原点的距离，表示为|z|。 复数的模的性质：任何复数的模都大于等于0，等于0的只有0本身。
复数的基本运算与性质
复数的基本运算与性质1. 复数的定义复数是由实部和虚部组成的数，可以用以下形式表示：z=a+bi其中，a是实部，b是虚部，i是虚数单位，满足i2=−1。
2. 复数的四则运算2.1 加法设有两个复数：z1=a1+b1iz2=a2+b2i则它们的和为：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i2.2 减法设有两个复数：z1=a1+b1iz2=a2+b2i则它们的差为：z1−z2=(a1−a2)+(b1−b2)i2.3 乘法设有两个复数：z1=a1+b1iz2=a2+b2i则它们的乘积为：$$z_1 \\cdot z_2 = (a_1a_2 - b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1)i$$2.4 除法设有两个复数：z1=a1+b1iz2=a2+b2i当z2eq0时，它们的除法为：$$\\frac{{z_1}}{{z_2}} = \\frac{{(a_1a_2 + b_1b_2)}}{{(a_2^2 + b_2^2)}} +\\frac{{(a_2b_1 - a_1b_2)}}{{(a_2^2 + b_2^2)}}i$$3. 复数的性质复数具有以下性质：3.1 封闭性复数的加法和乘法运算是封闭的，即两个复数相加或相乘的结果仍为复数。
3.2 结合律复数的加法和乘法满足结合律，即对于任意三个复数z1,z2,z3，满足：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)$$(z_1 \\cdot z_2) \\cdot z_3 = z_1 \\cdot (z_2 \\cdot z_3)$$3.3 交换律复数的加法和乘法满足交换律，即对于任意两个复数z1,z2，满足：z1+z2=z2+z1$$z_1 \\cdot z_2 = z_2 \\cdot z_1$$3.4 分配律复数的加法和乘法满足分配律，即对于任意三个复数z1,z2,z3，满足：$$z_1 \\cdot (z_2 + z_3) = z_1 \\cdot z_2 + z_1 \\cdot z_3$$3.5 共轭复数设有复数z=a+bi，其中a和b分别是它的实部和虚部。
复数的代数运算公式
复数的代数运算公式一、复数的定义复数是由实数和虚数构成的数，可以表示为 a+bi 的形式，其中 a 和 b 分别为实部和虚部，i 是虚数单位，满足 i^2 = -1。
二、复数的加法对于两个复数 a+bi 和 c+di，它们的加法运算可以用以下公式表示：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i三、复数的减法对于两个复数 a+bi 和 c+di，它们的减法运算可以用以下公式表示：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i四、复数的乘法对于两个复数 a+bi 和 c+di，它们的乘法运算可以用以下公式表示：(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i五、复数的除法对于两个复数 a+bi 和 c+di，它们的除法运算可以用以下公式表示：(a+bi) / (c+di) = [(ac+bd)/(c^2+d^2)] + [(bc-ad)/(c^2+d^2)]i六、复数的共轭对于一个复数 a+bi，它的共轭可以用以下公式表示：(a+bi)的共轭 = (a-bi)七、复数的模对于一个复数 a+bi，它的模可以用以下公式表示：|a+bi| = √(a^2+b^2)八、复数的幂运算对于一个复数 a+bi 和一个整数 n，它们的幂运算可以用以下公式表示：(a+bi)^n = (a^2+b^2)^(n/2) * cos(nθ) + (a^2+b^2)^(n/2) * sin(nθ)i九、复数的指数函数对于一个复数 a+bi，它的指数函数可以用以下公式表示：e^(a+bi) = e^a * cos(b) + e^a * sin(b)i十、复数的对数函数对于一个复数 a+bi，它的对数函数可以用以下公式表示：ln(a+bi) = ln|a+bi| + i * arg(a+bi)复数的代数运算公式包括加法、减法、乘法、除法、共轭、模、幂运算、指数函数和对数函数等。
复数基础知识及其运算规律
复数基础知识及其运算规律一、复数的概念1.复数的定义：复数是由实数和虚数构成的数，一般形式为a+bi，其中a和b分别为实数，i为虚数单位，满足i^2=-1。
2.复数的分类：a)纯虚数：实部为0的复数，如i、-i等；b)实数：虚部为0的复数，如2、-3等；c)混合数：实部和虚部都不为0的复数，如1+2i、-3-4i等。
二、复数的表示方法1.代数表示法：用a+bi的形式表示复数；2.极坐标表示法：用r(cosθ+isinθ)的形式表示复数，其中r为模长，θ为辐角。
三、复数的运算规律1.加减法：a)(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i；b)(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i。
c)(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i；d)特殊情形：两个纯虚数相乘，结果为实数；e)单位根的乘法：i^k，其中k为整数。
f)(a+bi)/(c+di) = [(ac+bd)/(c2+d2)] + [(bc-ad)/(c2+d2)]i。
g)(a+bi)^2 = (a2-b2) + 2abi；h)(a+bi)3、(a+bi)4等，可以利用乘方公式进行展开。
2.共轭复数：a)若复数为a+bi，则它的共轭复数为a-bi；b)共轭复数具有以下性质：两数相加为实数，两数相乘为实数。
四、复数的性质1.模长：表示复数在复平面上的长度，公式为|a+bi| = √(a2+b2)；2.辐角：表示复数在复平面上与实轴的夹角，公式为θ = arctan(b/a)，其中a≠0；3.复数的平方等于1的解：i、-1、1+i、1-i等；4.复数的平方等于-1的解：i、-i等；5.复数的平方等于k（k为非零实数）的解：±√k、±i√k等。
五、复数在实际应用中的例子1.信号处理：在通信系统中，信号往往可以表示为复数形式，如调制解调器中的正弦波信号；2.物理学：在电磁学、量子力学等领域，复数用于描述物理量，如电流、电压、波函数等；3.工程学：在电子工程、控制理论等领域，复数用于分析电路、系统稳定性等。
复数代数形式的四则运算-知识讲解
复数代数形式的四则运算【要点梳理】要点一、复数的加减运算1.复数的加法、减法运算法则： 设1z a bi =+，2z c di =+（,,,a b c d R ∈），我们规定：12()()()()z z a bi c di a c b d i +=+++=+++21()()z z c a d b i -=-+-要点诠释：（1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样。
很明显，两个复数的和（差）仍然是一个复数，复数的加（减）法可以推广到多个复数相加（减）的情形．（2）复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，不必死记公式。
2.复数的加法运算律:交换律：z 1+z 2=z 2+z 1结合律:：(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)要点二、复数的加减运算的几何意义1. 复数的表示形式：代数形式：z a bi =+（,a b R ∈）几何表示：①坐标表示：在复平面内以点(,)Z a b 表示复数z a bi =+（,a b R ∈）； ②向量表示：以原点O 为起点，点(,)Z a b 为终点的向量OZ 表示复数z a bi =+.要点诠释：复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ 2．复数加、减法的几何意义：如果复数1z 、2z 分别对应于向量1OP 、2OP ，那么以1OP 、2OP 为两边作平行四边形12OPSP ，对角线OS 表示的向量OS 就是12z z +的和所对应的向量.对角线21P P 表示的向量21P P 就是两个复数的差12z z -所对应的向量.设复数z 1=a +bi ，z 2=c +di ，在复平面上所对应的向量为1OZ 、2OZ ，即1OZ 、2OZ 的坐标形式为1OZ =(a ，b )，2OZ =(c ，d )以1OZ 、2OZ 为邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2，则对角线OZ 对应的向量是OZ ，由于OZ =1OZ +2OZ =(a ，b )+(c ，d )=(a +c ，b +d )，所以1OZ 和2OZ 的和就是与复数(a +c )+(b +d )i对应的向量类似复数加法的几何意义，由于z 1－z 2=(a －c )+(b －d )i ，而向量12Z Z = 1OZ -2OZ =(a ，b )-(c ，d )=(a -c ，b -d )，所以1OZ 和2OZ 的差就是与复数(a －c )+(b －d )i 对应的向量要点诠释：要会运用复数运算的几何意义去解题，它包含两个方面：（1）利用几何意义可以把几何图形的变 换转化成复数运算去处理（2）反过来，对于一些复数运算式也可以给以几何解释，使复数做为工具运用于几何之中。
复数的基本概念与运算规则
复数的基本概念与运算规则复数是数学中的一种数形式，可以表示为实部与虚部的和。
在复数中，虚部用i来表示，i为虚数单位，满足i² = -1。
复数的基本概念与运算规则是我们学习复数的基础，以下将对其进行详细介绍。
一、复数的基本概念复数由实部和虚部组成，一般表示为a + bi，其中a为实部，bi为虚部。
实部和虚部都可以是实数。
当虚部为0时，复数退化为实数。
反之，当实部为0时，复数退化为纯虚数。
二、复数的表示形式1. 笛卡尔形式：复数a + bi可以表示为有序对(a, b)，其中a表示实部，b表示虚部。
2. 楔形式：复数a + bi可以表示为模长和辐角的形式。
其中模长是复数到原点的距离，辐角是复数与实轴的夹角。
三、复数的运算规则1. 加法运算：对于两个复数(a + bi)和(c + di)，其和为(a + c) + (b +d)i。
即实部相加，虚部相加。
2. 减法运算：对于两个复数(a + bi)和(c + di)，其差为(a - c) + (b - d)i。
即实部相减，虚部相减。
3. 乘法运算：对于两个复数(a + bi)和(c + di)，其积为(ac - bd) + (ad+ bc)i。
即实部的乘积减去虚部的乘积，然后再加上实部和虚部的乘积。
4. 除法运算：对于两个复数(a + bi)和(c + di)，其商为[(ac + bd)/(c² + d²)] + [(bc - ad)/(c² +d²)]i。
即实部的乘积加上虚部的乘积除以除数的模长的平方，然后再加上虚部的乘积减去实部的乘积除以除数的模长的平方。
4. 共轭运算：对于复数a + bi，其共轭为a - bi。
即实部不变，虚部取相反数。
五、复数的基本性质1. 加法满足交换律和结合律：对于任意复数a, b和c，有a + b = b + a和(a + b) + c = a + (b + c)。
2. 乘法满足交换律和结合律：对于任意复数a, b和c，有ab = ba和(ab)c = a(bc)。
复数的代数运算ppt课件
形成结论
复数的减法法则：
1、(a＋bi)-(c＋di)＝(a-c)+(b-d)i
2、两个复数的差仍是一个复数. 两个复数的差的实部等于这两个复
数的实部之差，两个复数的差的虚部等 于这两个复数的虚部之差.
例1 设复数z1=-3+2i，z2=5-3i,计算:
（1）z1+z2;
(2)z1-z2
解（1）z1+z2=(-3+2i)+(5-3i) =(-3+5)+(2-3)i =2-i
(2)z1-z2=(-3+2i)-(5-3i) =(-3-5)+[2-(-3)]i =-8+5i
例2设复数 Z 2 3i
计算Z Z和Z Z . 解： Z 2 - 3i
Z 2 3i 所以Z Z （2 - 3i）（2 3i)
2、.Z a bi, Z a bi
Z Z 2a; Z Z 2bi
3、 （1）Z1 Z 2 Z1 Z 2 (2)Z1 Z 2 Z1 Z 2
正本作业：课本68页习题1 （1）（2） 补充：Z 5 - 3i计算Z Z和Z Z
课外作业：课本66页 练习题1（1）（2）预习65-66页内容
练习1、设复数Z1=-1-3i,Z2=2+i,计算：
（1）Z1+Z2;
(2)Z1-Z2
(1)1-2i
(2)-3-4i
练习2、设复数Z 5 4i,
计算Z Z和Z Z
Z Z 10
Z Z 8i
课堂小结
1.复数的加、减运算法则表明，若干个复 数的代数和仍是一个复数，复数的和差运算 可转化为复数的实部、虚部的和差运算.
（2 2）（- 3 3）i 4
教学知识点复数的运算与应用
教学知识点复数的运算与应用一、复数的基本概念复数是数学中的一个重要概念，代表着包含实数和虚数的数集。
复数一般表示为a+bi的形式，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位，满足i^2=-1。
二、复数的加法和减法复数的加法和减法运算与实数的运算类似，分别对实部和虚部进行相加或相减即可。
例如，对于复数a+bi和c+di的加法运算，实部相加，虚部相加，即可得到结果(a+c)+(b+d)i。
同样地，对于复数的减法运算，实部相减，虚部相减，即可得到结果(a-c)+(b-d)i。
三、复数的乘法复数的乘法运算也比较简单，通过展开乘法并整理项，即可得到结果。
具体步骤如下：1. 展开乘法：(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi^2。
2. 整理项：利用i^2=-1进行化简，得到(ac-bd) + (ad+bc)i。
四、复数的除法复数的除法运算需要借助共轭复数的概念。
共轭复数是将复数的虚部变号而得到的新复数。
对于复数a+bi除以复数c+di，我们可以进行如下计算：1. 计算分子乘以分母的共轭复数：(a+bi)(c-di)。
2. 计算分母乘以分母的共轭复数：(c+di)(c-di)。
3. 将以上两个结果分别展开，并进行整理，得到结果。
五、复数的应用复数在科学和工程领域中有着广泛的应用。
以下列举几个常见的应用场景：1. 电路分析：复数可以用来表示电流和电压之间的相位差和幅度关系，方便计算电路中的电阻、电感和电容的响应。
2. 信号处理：复数可以表示正弦波信号，方便进行频谱分析。
3. 控制系统：复数可以用于描述系统的稳定性和响应特性，利用复数可进行系统的频域分析与设计。
4. 声学波动：复数可以用来描述声波的传播和衰减规律，分析声学系统的特性和性能。
六、总结复数的运算和应用是数学中重要的内容，掌握复数的相加、相减、相乘和相除运算，以及了解其在科学和工程中的应用，对于提升数学水平和拓宽学科视野具有重要意义。
复数的运算与应用
复数的运算与应用复数是数学中的一种特殊类型，它由实数和虚数部分组成。
在实际应用中，复数常常用于描述和解决与电路、信号处理、量子力学等相关的问题。
本文将介绍复数的基本概念、运算规则以及在实际应用中的一些例子。
一、复数的基本概念复数是由实数和虚数构成的，通常用a+bi的形式表示，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位，满足i²=-1。
实部和虚部可以为正数、负数或零。
二、复数的运算规则1. 复数的加法和减法复数a+bi和c+di的加法结果为(a+c)+(b+d)i，减法结果为(a-c)+(b-d)i。
即实部相加（或相减），虚部相加（或相减）。
2. 复数的乘法复数a+bi和c+di的乘法结果为(ac-bd)+(ad+bc)i。
实部相乘后减去虚部相乘后的结果，再将实部和虚部相加。
3. 复数的除法将复数a+bi乘以c-di的共轭复数，然后分别除以(c-di)和(c+di)的模的平方，即可得到两个结果。
其中第一个结果为商的实部，第二个结果为商的虚部。
三、复数的应用举例1. 电路分析复数在电路分析中起到重要作用。
例如，对于交流电路中的电流和电压，可以利用复数来表示其幅值和相位。
通过对复数的运算，可以方便地计算电路中电流和电压的大小和相位差。
2. 信号处理在数字信号处理中，复数用于描述信号的频域特性。
通过对复数进行傅里叶变换或快速傅里叶变换，可以将时域信号转换为频域信号，从而对信号进行分析和处理。
3. 量子力学在量子力学中，波函数通常用复数形式表示。
复数的模的平方表示粒子在某一状态下的概率密度，相位表示相应的相位信息。
四、结论复数的运算和应用在现实世界中发挥着重要作用。
通过对复数的加法、减法、乘法和除法的运算，可以方便地解决一些与电路、信号处理、量子力学等相关的问题。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的方法和技巧，利用复数的运算特性来解决问题。
总之，复数的运算与应用是数学中的一项重要内容，它在电路、信号处理、量子力学等领域都有广泛的应用。
复数代数形式的加、减运算及其几何意义 课件
2．复数加、减法的几何意义
(1)复数加法的几何意义． 若复数 z1，z2 对应的向量O→Z1，O→Z2不共线，则复数 z1＋z2 是以O→Z1，O→Z2为邻边的平行四边形的对角线O→Z所 对应的复数． (2)复数减法的几何意义． 复数 z1－z2 是连接向量O→Z1，O→Z2的终点，并指向O→Z1 的终点的向量所对应的复数．
归纳升华 1．复数运算可类比实数运算，若有括号，则括号优 先；若无括号，则可从左到右依次进行． 2．算式中出现字母时，首先确定其是否为实数，然 后将实部与实部，虚部与虚部分别相加减．
[变式训练] 计算：(1)(－2＋3i)＋(5－i)＝________． (2)(－1＋ 2i)＋(1－ 2i)＝________． (3)a，b∈R，(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝_____________. 解析：(1)(－2＋3i)＋(5－i)＝(－2＋5)＋(3－1)i＝3＋2i.
答案：C
归纳升华 若用 d 表示平面内点 Z1 和 Z2 之间的距离，则 d＝|Z→1Z2 |＝|z1－z2|，其中 z1，z2 是复平面内的两点 Z1，Z2 对应的 复数，这就是复平面内两点间的距离公式．
[变式训练] △ABC 的三个顶点所对应的复数分别 为 z1，z2，z3，复数 z 满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则 z 对 应的点是△ABC 的( )
A．一条直线
B．两条直线
复数的代数形式的运算优秀课件
D
练 习
（1）已知 z
1
3 2i , z 2 1 4i
求 z1 z 2 , z1 z 2 , z1 z 2 ,
z1
z2
（2）已知 z 1 i , z 2 i 1 2 求
z1 z2
, z1
4
, ( z1 z 2 )
2
（3） (1 i ) 2i ;
1 2
1)
2
3 4
3
注：一般地，欲求一个复数，通常先设出复数的代数 形式 a＋bi（a，b∈R） ，而后利用已知条件列出关于 a，b 的方程组，求解出 a，b，也即求得了这个复数，在这里， 方程的思想方法得到了充分运用. 另外,本题还可用几何知识来分析.
实数集R中正整数指数的运算律, 在复数集C中仍然成立.即对 z1,z2,z3∈C及m,n∈N*有:
mzn=zm+n, z
m)n=zmn, (z
(z1z2)n=z1nz2n.
5.设 z 为复数,且 | z | | z 1 | 1， 求 | z 1 | 的值.
解：设 z a bi ( a， b R ) z 1 ( a 1) bi， 且 | z | | z 1 | 1
z
2
是纯虚数，则有（）
例 2. z 1 x 2 i , z 2 3 yi ( x , y R ) 且 z1
z
2
5 6i, 求 z 1
z
2
变 式 ： 已 知 x R , y为 纯 虚 数 ， 且 ( 2 x 1) i y (3 y ) i 则 x ___, y ___
(2)
下列命题中的真命题为： ( A ) 若 Z 1 Z 2 0, 则 Z 1与 Z 2 互 为 共 轭 复 数 。 ( B ) 若 Z 1 Z 2 0, 则 Z 1与 Z 2 互 为 共 轭 复 数 。 ( C ) 若 Z 1 Z 2 0, 则 Z 1与 Z 2 互 为 共 轭 复 数 。 ( D ) 若 Z 1 Z 2 0, 则 Z 1与 Z 2 互 为 共 轭 复 数 。
复数与复数运算的详细解读
复数与复数运算的详细解读复数是数学中的一个重要概念，它包含了实数和虚数两部分。
复数的表示形式为a+bi，其中a和b分别表示实部和虚部，i是虚数单位。
复数运算是对复数进行加减乘除等数学运算的过程。
本文将详细解读复数及其运算规则。
一、复数的定义与表示复数是由实数和虚数构成的数，它的表示形式为a+bi。
其中，a是实部，b是虚部，i是虚数单位，满足i²=-1。
实部和虚部都是实数。
二、复数的加法与减法复数的加法是将实部和虚部分别相加。
例如，(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
减法的运算规则与加法类似。
三、复数的乘法复数的乘法是按照分配律进行计算。
例如，(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
其中，ac-bd是新的实部，ad+bc是新的虚部。
四、复数的除法复数的除法需要进行有理化处理，即将除数的虚部乘以-1，然后按照乘法的规则进行计算。
例如，(a+bi)/(c+di)=((ac+bd)/(c²+d²))+((bc-ad)/(c²+d²))i。
五、复数的共轭复数的共轭是将虚部的符号取反，即a+bi的共轭是a-bi。
共轭复数的实部相等，虚部的符号相反。
六、复数的模与幅角复数的模表示复数到原点的距离，可以用勾股定理计算。
模的计算公式为|a+bi|=√(a²+b²)。
复数的幅角表示复数与正实轴之间的夹角，可以用反三角函数计算。
幅角的计算公式为θ=arctan(b/a)。
七、复数的指数形式复数可以用指数形式表示，即a+bi=r*e^(iθ)，其中r为模，θ为幅角，e为自然对数的底。
指数形式可以方便地进行复数的乘除运算。
八、复数运算的性质复数运算满足交换律、结合律和分配律。
即对于任意的复数a、b和c，有：- 加法满足交换律和结合律：a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)；- 乘法满足交换律和结合律：ab=ba，(ab)c=a(bc)；- 加法对乘法满足分配律：a(b+c)=ab+ac。
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第85课时 课题：复数的代数形式及其运算1第85课时课题：复数的代数形式及其运算一．教学目标：掌握复数的基本题型，主要是讨论复数的概念，复数相等，复数的几何表示，计算复数模，共轭复数，解复数方程等。
二．教学重点：复数的几何表示，计算复数模，共轭复数，解复数方程等。
三．教学过程： （一）主要知识：1．共轭复数规律，；2．复数的代数运算规律 （1）i4n=1，i41n +=i ，i42n +=-1，i43n +=-i ；（3）i n·i1n +·i2n +·i3n +=-1，i n ＋i1n +＋i2n +＋i3n +=0；；3．辐角的运算规律（1）Arg （z 1·z 2）＝Argz 1＋Argz 2（3）Arg nz =nArgz （n ∈N ）…，n -1。
或z ∈R 。
第85课时 课题：复数的代数形式及其运算2要条件是|z|＝|a|。
（6）z 1·z 2≠0，则4．根的规律：复系数一元n 次方程有且只有n 个根，实系数一元n 次方程的虚根成对共轭出现。
5．求最值时，除了代数、三角的常规方法外，还需注意几何法及不等式||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|的运用。
即|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|等号成立的条件是：z 1，z 2所对应的向量共线且同向。
|z 1±z 2|≥|z 1|-|z 2|等号成立的条件是：z 1，z 2所对立的向量共线且异向。
（二）范例分析Ⅰ.2004年高考数学题选1.（2004高考数学试题（浙江卷，6））已知复数z 1=3+4i , z 2=t +i , 且12z z 是实数，则实数t =( )A ．43 B ．34 C ．-34D ．-432.(2004年北京春季卷，2)当132<<m 时，复数i m m z )1()23(-+-=在复平面上对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.(2004年北京卷，2）满足条件||||z i =+34的复数z 在复平面上对应点的轨迹是 ( C )A ．一条直线B ．两条直线C ．圆D ．椭圆Ⅱ.主要的思想方法和典型例题分析：1．化归思想复数的代数、几何、向量及三角表示，把复数与实数、三角、平面几何和解析几何有机地联系在一起，这就保证了可将复数问题化归为实数、三角、几何问题。
反之亦然。
这种化归的思想方法应贯穿复数的始终。
第85课时 课题：复数的代数形式及其运算3【分析】这是解答题，由于出现了复数z 和z ，宜统一形式，正面求解。
解法一、设z ＝x ＋yi （x ，y ∈R ），原方程即为223313x y y xi i +--=+ 用复数相等的定义得：∴1z =-1，2z =-1+3i.两边取模，得：代入①式得原方程的解是1z =-1，2z =-1+3i.【例2】（1993·全国·理）设复数z=cos θ＋isin θ（0＜【解】∵z ＝cos θ+isin θ4z =cos4θ＋isin4θ第85课时 课题：复数的代数形式及其运算4cos(2)sin(2)22tan 2cos 2sin 2i i ππθθθθθ-+-=+tan 2cos(4)sin(4)22i ππθθθ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦即tan 2ωθ==，又∵0＜θ＜π，当tan 2θ=12πθ=或712πθ=【说明】此题转化为三角问题来研究，自然、方便。
【例3】设a ，b ，x ，y ∈R+，且222x y r +=（r ＞0）， 求证：分析令1z =ax+byi ，2z ==bx+ayi （a ，b ，x ，y ∈R+），则问题化归为证明： |1z |+|2z |≥r （a+b ）。
证明设1z =ax+byi ，2z =bx ＋ayi （a ，b ，x ，y ∈R+），则=|（a+b ）x+（a ＋b ）yi|=|（a ＋b ）（x+yi ）|＝（a ＋b ）·r 。
第85课时 课题：复数的代数形式及其运算5解如图所示，设点Q ，P ，A 所对应的复数为：即（x 0-3a+y 0i ）·（-i ）＝（x -3a+yi ） 由复数相等的定义得而点（x 0，y 0）在双曲线上，可知点P 的轨迹方程为【说明】将复数问题化归为实数、三角、几何问题顺理成章，而将实数、三角、几何问题化归为复数问题，就要有较强的联想能力和跳跃性思维能力，善于根据题设构造恰到好处的复数，可使问题迎刃而解。
2．分类讨论思想分类讨论是一种重要的解题策略和方法。
在复数中它能使复杂的问题简单化，从而化整为零，各个击破。
高考复数考题中经常用到这种分类讨论思想方法。
【例5】（1990·全国·理）设a≥0，在复数集C中解方程z2＋2|z|=a。
分析一般的思路是设z=x＋yi（x，y∈R），或z=r（cosθ＋isinθ），若由z2＋2|z|=a转化为z2=a-2|z|，则z2∈R。
从而z为实数或为纯虚数，这样再分别求解就方便了。
总之，是一个需要讨论的问题。
【解】解法一∵z2=a-2|z|∈R，∴z为实数或纯虚数。
∴问题可分为两种情况：（1）若z∈R，则原方程即为|z|2+2|z|-a=0，（2）若z为纯虚数，设z=yi（y∈R且y≠0），则原方程即为|y|2-2|y|＋a=0当a=0时，|y|=2即z=±2i。
当0＜a≤1时，当a＞1时，方程无实数解，即此时原方程无纯虚数解。
综上所述，原方程：2i当a=0时，解为z＝0或z=±3．数形结合思想第85课时课题：复数的代数形式及其运算 6第85课时 课题：复数的代数形式及其运算7数与形是数学主要研究内容，两者之间有着紧密的联系和互相渗透、互相转化的广阔前景，复平面的有关试题正是它的具体表现。
运用数形结合思想与方法解题是高考考查的热点之一，应引起注意。
【例6】已知|z|=1，且z 5+z ＝1，求z 。
【解】由z 5+z=1联想复数加法的几何性质，不难发现z ，z 5，1所对应的三点A ，B ，C 及原点O 构成平行四边形的四个顶点，如图所示，【说明】这样巧妙地运用联想思维，以数构形，以形思数，提炼和强化数形结合的思想方法，有利于培养学生思维的深刻性。
【例7】复平面内点A 对应复数z ，点B 对应复数为35z _ ，O 为原点，△AOB 是面积为65的直角三角形，arg z ∈(0，π2 )，求复数z 的值．【分析】哪一个角为直角，不清楚，需要讨论．【解】因|OA |=|z |＞35|z _|=|OB |，故∠A 不可能是直角，因而可能∠AOB =90º或∠ABO =90º．若∠AOB =90º，示意图如图1所示．因z 与z _所对应的点关于实轴对称，故arg z =45º, S △AOB =12|OA |·|OB |=12|z |·35|z _|=310|z |2=65．于是，|z |=2，从而，z =2(cos45º+i sin45º)=2+2i ．若∠ABO =90º，示意图如图2所示．因z 与z _所对应的点关于实轴对称，且第85课时 课题：复数的代数形式及其运算8∠AOB ＜90º，故arg z =θ＜45º．令z =r (cos θ+i sin θ)，则cos2θ=|OB ||OA |=35，sin2θ=45，S △AOB =12|OA |·|OB |·sin2θ=12r ·35r ·45=625r 2=65． 于是，r = 5 ． 又cos θ=1+cos2θ2 =255，sin θ=1-cos 2θ=55 ， 故z = 5 (255 +55i )=2+i ． 综上所述，z =2+2i 或z =2+i ．【说明】①解题关键点：正确地对直角的情况进行分类讨论，正确地理解复数的几何意义，作出满足条件的示意图．②解题规律：复数的几何意义来源于复数z=a+bi(a 、b ∈R)与复平面上的点(a ，b)之间的一一对应，它沟通了复数与解析几何之间的联系，是数形结合思想的典型表示．③解题技巧：复数z 与它的共轭复数z _在复平面内对应的向量关于实轴对称．④这样巧妙地以形译数，数形结合，不需要计算就解决了问题，充分显示了数形结合的思想方法在解题中的作用。
4．集合对应思想【例8】如图所示，在复平面内有三点P 1，P2，P 3对应的复数应的复数为a ，2a ，3a ，且它们有相同的辐角主值θ（如图所示），即A ，P 1，P 2，P 3共线。
第85课时 课题：复数的代数形式及其运算9从而2sin θ＝2因此有a=±2i 。
5．整体处理思想解复数问题中，学生往往不加分析地用复数的代数形式或三角形式解题。
这样常常给解题带来繁琐的运算，导致解题思路受阻。
因此在复数学习中，有必要提炼和强化整体处理的思想方法，居高临下地把握问题的全局，完善认识结构，获得解题的捷径，从而提高解题的灵活性及变通性。
【例9】已知z=2-i ，求z 6-3z 5＋z 4+5z 3＋2的值。
【分析】如果直接代入，显然比较困难，将z 用三角式表示也有一定的难度。
从整体角度思考，可将条件转化为（z -2）2=（-i ）2=-1，即z 2-4z+4=-1，即z 2-4z+5=0，再将结论转化为z 6-3z 5＋z 4+5z 3＋2=（z 2-4z ＋5）（z 4＋z 3）+2，然后代入就不困难了。
【解】∵z=2-i ，∴（z -2）2=（-i ）2=-1 即z 2-4z+5=0∴z 6-3z 5＋z 4+5z 3＋2=（z 2-4z+5）（z 4＋z 3）+2=2。
【例10】已知()3412x ⎫=⎪⎭，求x 。
【解】解由条件得第85课时 课题：复数的代数形式及其运算10【说明】把题中一些组合式子视作一个“整体”，并把这个“整体”直接代入另一个式子，可避免由局部运算带来的麻烦。
【例11】复平面上动点z 1的轨迹方程为：|z 1-z 0|＝|z 1|，z 0≠0，另一动点z 满足z 1·z=-1，求点z 的轨迹。
解由|z 1-z 0|＝|z 1|，知点z 1的轨迹为连结原点O 和定点z 0的线段的垂直平分线。
将此式整体代入点z1的方程，得的圆（除去原点）。
【例12】设z ∈c ，a ≥0，解方程z|z|＋az ＋i=0。
边取模，得第85课时 课题：复数的代数形式及其运算11【说明】解复数方程，可通过整体取模，化为实数方程求解。