高中数学 2.3《平面向量的坐标运算》课件 新人教A版必修4

3 2 x 0 即： 4 5 y 0
∴ F3 (5,1)
x 5 ∴ y 1
例4、 已知A(2,3), B (3,5), 求BA 的坐标. 1 解： 2,3 3,5 5, 2. BA 2已知AB (1, 2), A(2,1), 求B的坐标.
( x2 x1 , y2 y1 )
A(x1,y1)
y
B(x2,y2)
O
x
结论1:一个向量的坐标等于表示此向量的有向 线段终点的坐标减去始点的坐标。
从向量运算的角度
解： b (2,1) (3,4) (1,5) a a b (2,1) (3,4) (5, 3)
什么叫平面的一组基底?
不共线的两向量 e1 , e2 叫做这一平面内所 有向量的一组基底.
平面的基底有多少组?
无数组
（一）平面向量坐标的概念 y 在直角坐标系内，我们分别 (1)取基底: 与x轴方向,y轴方向相 同的两个单位向量i、j作为基底. (2) 得到实数对:任作一个向量a， 由平面向量基本定理，有且只 有一对实数x、y，使得a=xi+yj. j 我们把(x,y)叫做向量a的坐标， o i a ( x, y ) ⑴ 记作
练习:在同一直角坐标系内画出下列向量.
(1)a (1, 2)
解：
y
(2)b (1, 2)
B(1, 2)
y
o
. A(1, 2) a x
.
b
o
x
问题: (1)已知 a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 求 a b, a b的坐标. (2)已知a ( x, y )和实数 , 求 a 的坐标.
a的坐标等于AB的终边坐标减去起点坐标。
问 1 :设 a AB, a 的坐标与 A、B 的坐标有何关系? 若 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), 则 AB ( x2 x1, y2 y1 )
问2:什么时候向量的坐标和点的坐标统一起来？ 问3:相等向量的坐标 有什么关系？ 结论1:一个向量的坐标 等于表示此向量的有 向线段终点的坐标减 去始点的坐标。
B 解：当平行四边形为ADCB时， 由 AB DC得D1=(2, 2) A C D1
O
当平行四边形为ACDB时， 得D2=(4, 6) 当平行四边形为DACB时， 得D3=(6, 0)
D3
x
课堂总结:
1.向量的坐标的概念: a xi y j ( x, y)
2.对向量坐标表示的理解: (1)任一平面向量都有唯一的坐标; (2)向量的坐标与其起点、终点坐标的关系；
1
O
-4 -3
-2
-1
1 i -1
j
2
3
4
x
c 2i 3 j ( 2, 3)
c
-2
d
d 2i 3 j (2, 3)
问 :设 a AB, a 的坐标与 A、B 的坐标有何关系? 1
y B(-1,3))
4 3
C(3,4)
2
A(-2,1)
-6 -4 -2
D(x,y)
1
O
-1 -2
2
4
6
x
-3
-4
例5：已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标 分别是（- 2，1）、（- 1，3）、（3，4），求 y 顶点D的坐标. 解：设顶点D的坐标为（x, y) C
AB (1 (2),3 1) (1,2)
3 a 4 b 3(2,1) 4( 3, 4) (6, 3) ( 12,16) ( 6,19)
例2：已知 a (2,1), b ( 3, 4), 求a b, a b, 3a 4b 的坐标.
例3已知三个力 F1 (3, 4), F2 (2, 5), F3 (x, y)的合力 F1 + F2 + F3 = 0 求 F3的坐标。 解：由题设 F1 + F2 + F3 = 0 得：(3, 4)+ (2, 5)+(x, y)=(0, 0)
y
B1 P(x,y) 1
O
B(x2,y2)
a
b
x
A (x1,y1) A 1
j
i 1
向量的坐标与点的坐标关系
4 3
yj
j
-2
2
P（x，y）
1
2
O
-1 -2
i
-3
OP xi y j ( x, y) 一 一 对 应 向量 OP P（x ，y）
（二）平面向量的坐标运算：
(1)a b x1 i y1 j x2 i y2 j x1 x2 i y1 y2 j
同理得 a b ( x1 x2 , y1 y2 ) (2) a xi y j xi y j ( x, y )
解：设B x,y ,
AB 1, 2 x, y 2,1 ,
1 x 2 即 2 y 1
x3 y 1
即B 3,-1 .
例5：已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C 的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4）， 求顶点D的坐标。
xi
4
6
小结:对向量坐标表示的理解:
(1)任一平面向量都有唯一的坐标; (2)向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标； 当向量的起点在原点时，向量终点的坐标即为 向量的坐标. (3)相等的向量有相等的坐标.
若a b a ( x1, y1),b ( x2 , y2 ), ， 则( x1, y1 ) ( x2 , y2 ),即x1 x2 , y1 y2 .
(3)相等的向量有相等的坐标. 3.平面向量的坐标运算: (1)若a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 ), 则 a b ( x1 x2 , y1 y2 ), a b ( x1 x2 , y1 y2 ), a ( x1, y1 ) ( 若A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), AB ( x2 x1, y2 y1 ) 2)
平面向量的坐标运算
y
a
O
x
引入: 1.平面内建立了直角坐标系,点A可以用什么来 表示? 2.平面向量是否也有类似的表示呢?
y
b
a
A(a,b)
O
a
x
3.复习平面向量基本定理: 如果 e1 , e2是同一平面内的两个不共线的向量， 那么对于这一平面内的任一向量 a ，有且只有 一对实数 λ1 , λ2 使得a= λ1 e1+ λ2 e2.
B D x A DC (3 x,4 y) O 有AB DC得：（ ， 3-x, 4 y) 1 2）（
x 2 1 3 x 2 4 y y 2 顶点D的坐标是（， 22 ）
变式： 已知平面上三点的坐标分别为A(2, 1), B(1, 3), C(3, 4)，求点D的坐标使这四点 D2 y 构成平行四边形四个顶点。
结论2：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向 量相应坐标的和与差. 结论3：实数与向量数量积的坐标等于用这个实数 乘原来向量的相应坐标.
( x1 x2 , y1 y2 )





已知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )，求 AB 的坐标.
AB OB OA ( x2, y2 ) ( x1 , y1 )
4.能初步运用向量做向量的坐标表示. 注：每个向量都有唯一的坐标.
a
x
其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标.
例1.用基底 i , j 分别表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标. y B 5 4 b AB 2i 3 j a b 2i 3 j 3 2 (2,3) ( 2, 3) A