周期信号的频谱分析—傅里叶级数
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周期信号的分解-傅里叶级数
傅里叶级数的定义基于三角函数的正 交性，即不同频率的正弦波在时间上 相互独立，且在频率域上相互正交。
傅里叶级数的性质
唯一性
01
对于给定的周期信号，其傅里叶级数展开是唯一的，即不存在
不同的
傅里叶级数展开后的项数越多，其与原信号的误差越小，即收
敛于原信号。
能量守恒
END
THANKS
感谢观看
KEEP VIEW
WENKU DESIGN
WENKU DESIGN
WENKU
REPORTING
https://
图像特征提取
利用傅里叶级数分析图像的频率特性，可以提取图像的特征点、线条 等结构信息，用于图像识别和目标检测。
PART 05
傅里叶级数的限制和挑战
频域混叠问题
当信号的频率成分接近时，傅里 叶级数可能无法准确分辨这些频
率成分，导致频域混叠现象。
频域混叠可能导致信号失真，影 响信号处理和通信系统的性能。
傅里叶变换、小波变换等。这些方法在处理非周期信号、时频分析等方面具有 更好的性能，为信号处理领域的发展做出了重要贡献。
PART 06
傅里叶级数的发展前景
快速傅里叶变换（FFT）算法的发展
快速傅里叶变换（FFT）算法的出现，极大地提 高了傅里叶分析的效率，使其在信号处理、图 像处理、频谱分析等领域得到广泛应用。
滤波器设计
利用傅里叶级数可以设计各种类型的滤波器，用于提取或 抑制特定频率范围的信号。这在噪声消除、图像处理等领 域有重要应用。
数字信号处理
在数字信号处理中，傅里叶级数的离散形式（离散傅里叶 变换）用于分析数字信号的频域特性，实现信号的频域分 析和滤波等操作。
PART 02
傅里叶级数的性质
唯一性
01
对于给定的周期信号，其傅里叶级数展开是唯一的，即不存在
不同的
傅里叶级数展开后的项数越多，其与原信号的误差越小，即收
敛于原信号。
能量守恒
END
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图像特征提取
利用傅里叶级数分析图像的频率特性，可以提取图像的特征点、线条 等结构信息，用于图像识别和目标检测。
PART 05
傅里叶级数的限制和挑战
频域混叠问题
当信号的频率成分接近时，傅里 叶级数可能无法准确分辨这些频
率成分，导致频域混叠现象。
频域混叠可能导致信号失真，影 响信号处理和通信系统的性能。
傅里叶变换、小波变换等。这些方法在处理非周期信号、时频分析等方面具有 更好的性能，为信号处理领域的发展做出了重要贡献。
PART 06
傅里叶级数的发展前景
快速傅里叶变换（FFT）算法的发展
快速傅里叶变换（FFT）算法的出现，极大地提 高了傅里叶分析的效率，使其在信号处理、图 像处理、频谱分析等领域得到广泛应用。
滤波器设计
利用傅里叶级数可以设计各种类型的滤波器，用于提取或 抑制特定频率范围的信号。这在噪声消除、图像处理等领 域有重要应用。
数字信号处理
在数字信号处理中，傅里叶级数的离散形式（离散傅里叶 变换）用于分析数字信号的频域特性，实现信号的频域分 析和滤波等操作。
PART 02
傅里叶级数及频谱
三角形式的傅里叶级数 周期信号可表示为
x(t ) = x(t + mT )(m = 0,±1,±2,L)
任何周期函数在满足狄义赫利的条件下，可以展成正交函 任何周期函数在满足狄义赫利的条件下， 数线性组合的无穷级数。 数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函数集或指数 函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级数” 函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级数”。
∫
T0 2 T − 0 2
x (t )d t
2 an = T0
bn 2 = T0
∫
∫
T0 2 T − 0 2
x ( t ) c o s n ω 0 td t
x (t ) s in nω 0td t
T0 2 T − 0 2
T0 T0 ~ 以上各式中的积分限一般取： 以上各式中的积分限一般取： 0 ~ T0 或 − 2 2 三角形式的傅里叶级数也可表示成： 三角形式的傅里叶级数也可表示成：
( n = 2 , 4 ,6 L ) ( n = 1,3,5 L )
可见，在奇谐函数的傅里叶级数中，只会含有基波和奇次 谐波的正弦、余弦分量，而不会包含直流和偶次谐波分量。
（4）偶谐函数 ）
T1 f (t ± ) = f (t ) 2 f (t )
L
T1 T1 − − 2 4 T1 4 T1 2
L
0t
这就是傅立叶级数的指数形式
0
1 ∞ x (t ) = ∑ An e jϕ n e jn ω 0 t = 2 n = −∞
n = −∞
∑ X (nω
∞
)e
jn ω 0 t
1 X (nω 0 ) = An e jϕn 2
2 an = T0 ∫ 可求得如下
(完整版)周期信号傅里叶级数
C e dt T0 n0
j(nk )0t
n =
由{en (t)}的正交性得：
T0
0
e
dt j(nk )0t
T0
[n k]
T0 n=k 0 n不等于k
Ck
1 T
T
2 T
fT (t)e jk 0t dt
2
2. 指数形式傅立叶级数
连续时间周期信号可以用指数形式傅立叶级数表示为
f (t)
bn
2 T
T
2 T
2
f (t)sin n0tdt
(n = 1,2 )
纯余弦形式傅立叶级数
其中
f（t）
a0 2
n1
An
co（ s n0t
）
n
An an2 bn2
n
arctg
bn an
a0 2
称为信号的直流分量，
An cos(n0+ n)称为信号的n次谐波分量。
例题1 试计算图示周期矩形脉冲信号的傅立叶级数展 开式。
Cn e jn0t
jn 2 t
Cn e T
n =
n =
物理含义：周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和。
其中
Cn
1 T
T
2 T
fT (t)e jn0t dt
（傅立叶系数）
2
n 1 两项的基波频率为f0，两项合起来称为信号的基波分量
n 2 的基波频率为2f0，两项合起来称为信号的2次谐波分量
若 f (t)为实函数，则有 Cn Cn
利用这个性质可以将指数Fourier级数表示写为
1
f (t) C0
Cne jn0t
信号与系统第三章-周期信号的傅里叶级数表示
一. 连续时间傅里叶级数
成谐波关系的复指数信号集:
k(t) { ejk 0 t}k 0 , 1 , 2 ,
其中1. 每个信号都是以 2 为周期的.
2.公共周期为
2 0
k 0
，且该集合中所有的信号都
是彼此独立的。
若将信号集 k (中t ) 所有的信号线性组合起来
有 x(t) akejk0t, k0,1 , 2
——傅里叶级数的三角函数表示式
若令 ak Bk jCk 则
x (t) a 0 1(B k jC k)e jk 0 t (B k jC k)e jk 0 t
k
k 1
a 0 (B k jC k)e jk 0 t (B k jC k)e jk 0 t k 1
ak* ak
k1
a k * a k A k e jk A k e j k
即： Ak Ak
k k
结论： 若 x ( t ) 是实信号,则有：
a k 的模关于k 偶对称，幅角关于 k 奇对称。
x(t)a 0[A kejk0 tejkA kejk0 tejk] k 1
a02 Akcos(k0tk) k1
B kjC kB kjC k
因此 Bk Bk
Ck Ck
结论： 若 x ( t ) 是实信号,则有：
a k 的实部关于 k 偶对称，虚部关于 k 奇对称。
将关系 Bk Bk , Ck Ck 代入，可得到
x (t) a 0 (B k jC k)e jk 0 t (B k jC k)e jk 0 t k 1 a 0 (B kjC k)ejk 0 t (B kjC k)ejk 0 t k 1 a02 B kcosk0tC ksink0t k1
信号与系统第2章
第二章 傅立叶变换
(5) 微分特性 如果 那么
（6）积分特性 如果 那么
如果F(0)=0
第二章 傅立叶变换
(7)卷积定理 1．时域卷积定理 如果 那么 (8)频域卷积定理 如果
那么
第二章 傅立叶变换
11周期信号的傅里叶变换
周期信号的频谱------用傅里叶级数表示。 非周期信号的频谱——用傅里叶变换表示。 周期信号的频谱可以用傅里叶变换表示吗？ （1）正弦、余弦信号的傅里叶变换 直流信号的博立叶变换为
n1 ) 2 n1 2
2 E sin( An T
2 E sin( An T
2
)
2
这里
2 1 T
Hale Waihona Puke n1第二章 2 E sin( An T
傅立叶变换
2
)
2
若: 2 An 0 （1） 2 （2） 2
该式表明：周期信号f(t)的傅里叶变换F(ω )是由一些冲击函数组成的， 并位于基波ω 1的整数倍处，冲击强度为f(t)的指数傅里叶级数的系数Cn 的2π 倍。
第二章 傅立叶变换
例4. 求周期单位冲激序列的傅里叶级数与傅里叶变换。
傅里叶级数为
第二章 傅立叶变换
例5. 求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数和傅里叶变换 矩形脉冲信号f(t)的 傅里叶系数为：
第二章 傅立叶变换
例1已知矩形脉冲f1(t)如图(a)所示，其相位谱如图(b)所示， 将f1(t)右移τ /2得到如图（c）所示f2(t),试画出其相位谱。
由题意可知
根据时移特性，可得f2(t)的频谱函数 为
第二章 傅立叶变换
f2(t)幅度谱没有变化，其相位谱比图(b)滞后τ ω /2、如图（d）所示。要
周期信号的频谱分析——傅里叶级数
1 2
an
jbn
F ( n 1 ) T 1 0 T f( t) c o s n 1 td t jT 1 0 T f( t) s in n 1 td t
1 2
an
jbn
F(n1)F , (n1)是复 数 F n1F (n1)ejn
X
17
第
幅频特性和相频特性 页
幅频特性
F(n1)1 2
c0 1
0 0
c n c 1 2 .24
c0 1
c2 1
0 1 2 1
n
0 . 25
1
0
2 1
0 . 15
c1 52.236 1 0.15
c2 1
2 0.25
X
20
化为指数形式
第
页
f(t)1 1 ej1t ej1t 2j
2ej1t ej1t 1e2j1t4 e2jn1t4
0.15
2 1 1 0
0.25
1 2 1
0.25
0.15
X
22
三角形式与指数形式的频谱图对比
第
页
三角函数形式的频谱图
c n c 指数形式的频谱图
n
0 . 25
1
0
2 1
0 . 15
cn ~ n ~
关系曲线称为幅度频谱图 关系曲线称为相位频谱图
可画出频谱图
周期信号频谱具有离散性，谐波性，收敛性
X
14
第
二．指数函数形式的傅里叶级数 页
1．复指数正交函数集 ejn 1 t n0, 1 , 2
2．级数形式 f(t) F(n1)ejn1t
4
n
3．系数
第三章周期信号的傅里叶级数表
7
补充例题：
例:对单位冲激响应 h(t) 的 (LtT) I系统，其特征函数，
相应的特征值是什么?
解：Q h(t) (t) 的 LTI 系统是恒等系统，所以任何函 数都是它的特征函数，其特征值为 1。
例:如果一个LTI系统的单位冲激响应为， h(t) (t T)
找出一个信号，该信号不具有 的est形式，但却是
P179作业：9月13日
56
§3.5连续时间傅里叶级数的性质
Properties of Continuous-Time Fourier Series 这些性质的学习，有助于对概念的理解与信号 的展开.
10
② x2 t 不是一个特征函数形式，根据欧拉公式，将
其分解为特征函数的线性组合：
x2 t
cos4t
3
cos7t
3
1 2
e
j 4t
1 2
e
j 4t
1 2
e
j7t
1 2
e
j7t
以上4个特征函数的输出用① 步的方法求出，分别为：
1 e j4t 1 H j4 e j4t 1 e e j12 j4t , 1 e j4t 1 H j4 e j4t 1 e j12e j4t
ak
2T1 T0
Sa k
2
T0
T1
1 8
Sa k
8
k k 8 为第一个零点，对应 8
k0 80 ,0 2 Tak
1 4
Sa k
4
ak
1 8
Sa k
8
3）谱线随参数变化的结论：
ak
2T1 T0
Sak0T1
2T1 T0
Sa k
2
补充例题：
例:对单位冲激响应 h(t) 的 (LtT) I系统，其特征函数，
相应的特征值是什么?
解：Q h(t) (t) 的 LTI 系统是恒等系统，所以任何函 数都是它的特征函数，其特征值为 1。
例:如果一个LTI系统的单位冲激响应为， h(t) (t T)
找出一个信号，该信号不具有 的est形式，但却是
P179作业：9月13日
56
§3.5连续时间傅里叶级数的性质
Properties of Continuous-Time Fourier Series 这些性质的学习，有助于对概念的理解与信号 的展开.
10
② x2 t 不是一个特征函数形式，根据欧拉公式，将
其分解为特征函数的线性组合：
x2 t
cos4t
3
cos7t
3
1 2
e
j 4t
1 2
e
j 4t
1 2
e
j7t
1 2
e
j7t
以上4个特征函数的输出用① 步的方法求出，分别为：
1 e j4t 1 H j4 e j4t 1 e e j12 j4t , 1 e j4t 1 H j4 e j4t 1 e j12e j4t
ak
2T1 T0
Sa k
2
T0
T1
1 8
Sa k
8
k k 8 为第一个零点，对应 8
k0 80 ,0 2 Tak
1 4
Sa k
4
ak
1 8
Sa k
8
3）谱线随参数变化的结论：
ak
2T1 T0
Sak0T1
2T1 T0
Sa k
2
信号分析3.01 周期信号的频谱分析——傅里叶级数
时域信号分解 频域信号分解
X
三角傅立叶级数 指数傅立叶级数
频域分析概念
第 第 8 8 页 页
提出以正弦信号或虚指数函数为基本信号进行信号 分解,从而引出信号的频域分析. 其思想:任意复杂的激励信号可分解为一系列不同幅 值、不同频率的正弦信号或虚指数信号的线性组合. 引出傅立叶变换概念 对周期信号
三维空间矢量 类 比
正交矢量集
C
2
A C1 A1 C2 A2 C3 A3
分解 正交函数集
A3
A2
A
C C
3 1
A1
2.信号空间
f (t )
c
j 1 j
j
(t )
n维空间
X
3.正交函数集
n个函数i(t) （i=1，…，n），若在区间( t1，t2)上满足:
1 t 0 T 积分限为-T/2 直流分量 a0 f (t ) d t 到T/2行吗? t0 T 2 t 0 T 余弦分量的幅度 an t f (t ) cosn 1t d t T 0 2 t 0 T 正弦分量的幅度 bn f (t ) sinn1t d t T t0
bn An sin n
bn n arctan a n
f (t ) a0 [ An cos n cos( n1t ) An sin n sin( n1t )]
余弦形式
, bn , An , n随变量nw1变化，是nw1n的函数 信号的频域分析 n an
f (t )
画波形
A
O
T t
A
f (t ) A(sin t 1 sin 3t 1 sin 5t ) 3 5
第四章(1)周期信号的傅里叶级数和频谱
1 j n jnt f ( t ) An e e 2 n
1 j n j n 令复数量 2 An e Fn e Fn
，称其为复
Fn
傅里叶系数，简称傅里叶系数。其模为
，
相角为 n ， 则得傅里叶级数的指数形式为 ：
f (t )
n
F e
n
jnt
复傅里叶系数
n 2 , 4 , 6 , 8 ,...... n 1 , 3 , 5 , 7 ,.....
, 0 bn 4 n ,
4
1 1 1 f t [sin t sin3t sin5t .... sinnt ...] 3 5 n
2
0
T 2
2 an 0 T
n 0,1 , 2 , 3,.......
2 bn T 2 T
0
T 2 T 2
f ( t ) si nnt dt
2 T2 (1) si nnt dt T
0
T 2 0
si nnt dt
T 2
2 1 2 1 cosnt cosnt T T n T n 0
a0 an cos(nt ) bn sin(nt ) 2 n1 n 1 2 其中 an , bn 称为傅里叶系数， 。 T
那么,傅里叶系数如何求得呢?
T 2 T 2
a0 1 2 T
f ( t )dt
T 2 2 an T f ( t ) cos(nt )dt T 2 T b 2 2 f ( t ) sin( t )dt n n T T 2
A0 1 1 j n jnt j n jnt Ane e Ane e 2 2 n 1 2 n 1
周期信号的分解-傅里叶级数
傅里叶级数
傅里叶级数是一种将周期信号分 解为不同频率的正弦和余弦函数 的数学方法。
三角函数系
傅里叶级数使用正弦和余弦函数 作为基底，将周期信号表示为这 些函数的线性组合。
频谱分析
通过傅里叶级数，可以分析周期 信号的频谱，了解信号中各个频 率分量的强度和分布。
周期信号的频谱分析
频谱图
频谱图是用来表示周期信 号中各个频率分量强度的 图形，横轴表示频率，纵 轴表示幅度。
傅里叶级数的发展经历了多个阶段， 包括早期的数学证明和后来的完善， 最终成为数学和工程领域中分析周期 信号的重要工具。
傅里叶级数的应用领域
1 2 3
通信领域
傅里叶级数用于信号处理和调制解调，例如在频 分复用（FDM）和调频（FM）中分析信号的频 谱特性。
振动分析
傅里叶级数用于分析机械振动，通过将振动信号 分解为不同频率的分量，可以研究振动的模式和 频率成分。
图像处理
傅里叶变换在图像处理中广泛应用，通过将图像 信号表示为傅里叶级数，可以实现图像的滤波、 去噪、压缩等处理。
02 傅里叶级数的数学基础
三角函数和正弦函数三角Fra bibliotek数包括正弦函数、余弦函数、正切函数 等，它们在周期信号的分解中起着关 键作用。
正弦函数
正弦函数是周期函数，其基本周期为 $2pi$，在信号处理中常用于描述周 期信号。
周期信号的频谱分析
频谱分析
通过将周期信号分解为不同频率的正弦波分量，可以分析信号中各频率分量的 幅度和相位。
频谱密度函数
描述了信号中各频率分量的分布情况，其图形称为频谱图或频谱密度图。
傅里叶级数的收敛性
傅里叶级数
是一个无穷级数，可以用来表示任何周期信号。
信号与系统第3章 傅里叶变换
P
f
2 (t) 1 T1
t0 T1 t0
f
2 (t)d t
a0 2
1 2
n1
(an
2
bn 2 )
2
Fn _____ 帕塞瓦尔定理
n
结论：周期信号的平均功率等于傅里叶级数展开 式中基波分量及各谐波分量有效值的平方 和，即时域和频域的能量守恒。
五. 周期信f号(t)的频c0 谱 （c三n c角os函(n数1t形 式n )） n1
(1) 偶函数 f (t) f (t)
4
an T1
T1
2 0
f (t) cos(n1t)dt
Fn
Fn
an 2
bn 0
傅里叶级数中不会含有正弦项， 只可能含有直流项和余弦项。
(2) 奇函数 f (t) f (t)
a0 0 , an 0
bn
4 T1
T1
2 0
f (t) sin(n1t)d t
e j n1t
T1 n 2
画频谱图：
c0
a0
E
T1
an
2E
T1
Sa
n1
2
, n
1,2,
cn an
1）令 m
2
得
2
m
即在
2
m，m为整数处有零点。
2）
2
2
T1
T1
零点间谱线个数
3) c n值为正，相位为0，值为负，相位为π
4)谱线间隔为 1 带宽
2
T1
，第一个过零点带宽定义为信号的
1 3
s in31t
1 4
sin41t
E
1 n1
信号与系统分析宗伟 3
2
1
fT t
n jn1t F n e 1
由傅里叶级数的指数形式出发： 其傅氏变换(用定义)
FT F fT t
F F n 1 e j n1t F n 1 F e j n1t
3.2 非周期信号的频谱分析 ─ 傅里叶变换
1.从傅立叶级数到傅立叶变换
当周期信号的周期T1无限大时,就演变成了 非周期信号的单脉冲信号 频率也变成连续变量
频谱演变的定性观察
-T/2
T/2
-T/2
T/2
傅立叶 变换
傅立叶的逆变换
傅立叶 逆变换
物理意义：非周期信号可以分解为无数个频率为， 复振幅为[F()/2]d 的复指数信号ej t的线性组合。
傅立叶变换一般为复数
FT一般为复函数
若f(t)为实数，则幅频为偶函数,相频为奇函数
傅立叶变换存在的充分条件
用广义函数的概念，允许奇异函数也 能满足上述条件，因而象阶跃、冲激 一类函数也存在傅立叶变换
傅立叶正变换：
傅立叶反变换： 符号表示：
试求图示非周期矩形脉冲信号的频谱函数
[解] 非周期矩形脉冲信号f(t)的时域表示式为
A
/ 2
/2
t
6. 卷积定理
(1)时域卷积定理
若 f1 (t ) F1 ( j ) , f 2 (t ) F2 ( j )
则 f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( j ) F2 ( j )
证明：F[ f1 (t ) f 2 (t )] [
n 1
3．确定信号的基频和周期
当不考虑信号的直流分量时, 的3个分量的角频率分别时 1/2,2/3,和7/6,相邻两个频率之比为3/4,4/7,和3/7,显然 三者之间呈现谐波关系,他们之中的最大公约数时1/6,因 此1/6是基频 ,也就时说该信号具有3次,4次和7次谐波, 进一步可求得周期
实验5 周期信号的傅里叶级数及频谱分析
N = length(n_max) ;
for k=1:N
n = 1:2:n_max(k) ;
b = 4./(pi*n) ;
x = b*sin(omega*n'*t) ;
figure
plot(t,y) ;
hold on
plot(t,x) ;
hold off ;
xlabel('t') ;
ylabel(' 部分和的波形') ;
f (t) A0 An cos(nw0t n ) n1
A0 a0
An an2 bn2
n
arctg
bn an
(n 1, 2, )
a0 A0
bann
Acosn Asinn
(n 1, 2, )
从物理概念上来说，A0是信号f (t)的直流分量, A1 cos(w0t 1)
f (t)e jnw0t , n 0, 1, 2,
2
例1：周期方波信号如图6-1所示，是求出 该信号的傅里叶级数，利用MATLAB编程 实现其各次谐波的叠加，并验证其收敛性
ex6_1.m
理论分析，周期方波信号的傅里叶级数展 开式子为：
4A
1
1
1
f (t) (sin w0t 3 sin 3w0t 5 sin 5w0t 7 sin 7w0t )
Fne jnw0t与Fne jnw0t成对出现
傅里叶系数的幅度 Fn 或随An角频率 的n变w0化关系绘制 成的图形称为信号的幅度谱，而相位 随角n或频n率 变化关系nw绘0 制成图形，称为信号的相位谱。幅度谱 和相位谱统称为信号的频谱，信号频谱是信号的另 一种形式的表示，它提供了从另一个角度来观察和 分析信号的途径。利用MATLAB命令可以对周期 信号的频谱及其特点进行观察验证分析
周期信号的傅里叶级数表示
弦波叠加起来，合成复杂的周期信号。
信号分析
02
对于给定的周期信号，可以利用傅里叶级数进行频谱分析，得
到信号中各个频率分量的幅度和相位信息。
频谱特性
03
通过傅里叶级数展开，可以清晰地展示信号在频域上的特性，
如主频、谐波分量等。
信号调制与解调
01 02
调制
在通信系统中，常常需要将低频信号调制到高频载波上进行传输。利用 傅里叶级数，可以将低频信号表示为一系列正弦波的叠加，进而实现调 制过程。
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PART 01
傅里叶级数基本概念
周期信号与非周期信号
周期信号
具有固定时间周期的信号，即信 号在某个时间周期内重复出现。
非周期信号
不具有固定时间周期的信号，即 信号不会重复出现。
傅里叶级数定义及公式
傅里叶级数定义
将周期信号表示为一系列正弦波和余弦波的叠加，这些正弦波和余弦波具有不 同的频率和幅度。
数值计算与仿真实验
数值计算方法简介
01
离散傅里叶变换 （DFT）
将连续时间信号在时域上进行离 散化，并通过傅里叶变换得到频 域上的离散表示。
02
快速傅里叶变换 （FFT）
利用DFT中冗余计算的特点，采 用分治策略减少计算量，提高计 算效率。
03
迭代法
通过逐步逼近的方式求解傅里叶 系数，如雅可比迭代和高斯-赛 德尔迭代等。
周期信号的傅里叶级数分析
实验三周期信号的傅里叶级数分析一、实验目的熟悉连续时间周期信号的傅里叶级数分解原理及方法，掌握周期信号的傅里叶频谱的概念及计算方法，熟悉相应MATLAB 函数的调用格式和作用，掌握利用MATLAB 计算傅里叶级数系数及绘制频谱图的方法。
二、实验原理（一）周期信号的傅里叶级数分析原理按傅里叶分析的原理，任何周期信号都可以用一组三角函数)}cos(),{sin(t n t n ΩΩ的组合表示。
1、三角函数形式的傅里叶级数∑∞=Ω+Ω+=+Ω+Ω+Ω+Ω+=1022110)]sin()cos([2...)2sin()2cos()sin()cos(2)(n n n t n b t n a a t b t a t b t a a t f （1） 式中，n n b a a ,,0称为傅里叶系数。
()dt t f T a TT ⎰-=22012()...3,2,1)cos(222=Ω=⎰-n dt t n t f T a TT n ，(),...3,2,1,)sin(222=Ω=⎰-n dt t n t f T b TT n即可以用一组正弦波和余弦波合成任意的周期信号。
式（1）的三角函数形式傅里叶级数可以写成余弦函数的形式：∑∞=+Ω+=10)cos(2)(n n n t n A A t f ϕ其中：00a A =，22n n n b a A +=,nn n a b arctan -=ϕ 2、指数函数形式的傅里叶分析其中系数3、周期信号的频谱（1）三角函数形式频谱w A n ~关系曲线称为幅度频谱图关系曲线称为相位频谱图（2）指数函数形式频谱 w F n ~关系曲线称为幅度频谱图关系曲线称为相位频谱图（二）周期信号的傅里叶级数的MATLAB 实现例1：试用MATLAB 求如图1所示的周期方波信号的傅里叶级数分解。
解：周期方波信号是一个偶函数，又是一个奇谐函数，因此其傅里叶级数只含有奇次谐波的余弦项，即周期方波信号可以分解为： ()...5,3,1)cos(5.04)cos(244-22=Ω=Ω=⎰⎰-n dt t n T dt t n t f T a TT T T n ， 求傅里叶系数的程序如下：syms t n T;∑∞-∞==n t jn n F t f Ωe )(⎰-=22-Ωd e )(1T T t jn n t t f T F w n ~ϕw n ~ϕy=0.5*cos(n*2*pi/T*t);an=(4/T)*int(y,-T/4,T/4);运行结果为：an=2*sin(1/2*pi*n)/pi/n则此周期方波信号可以分解为：）（,...5,3,1)2sin(2,0===n n n a b n n ππ 将其展开为三角函数形式的傅里叶级数：,...)3,2,1()cos(2sin 2)(...])5cos(51)3cos(31)[cos(2(12==-+-=∑∞-=j nwt n n t f wt wt wt t f j n πππ） 例2：根据例1的结果，试用正弦信号的叠加近似合成一频率为50Hz ，幅值为3的方波。
周期信号的频谱分析——傅里叶级数
（ n 的整 线数 性倍 组） 合。 1:基 波 角 频 率 的 cn ~ 关系曲线称为幅度频谱图；幅度谱
周期信号可分 ，解 基为 波 ） 直 （ 和 流 各次谐波 1
n ~ 关系曲线称为相位频谱图。相位谱
可画出频谱图。 周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性 。 cn φn c1 c2 π c3 c0 0 ω1 3ω1 nω1 ω 0 ω1 3ω1 nω1 ω
1 1
1
1
1 1 T T F ( n ) f ( t ) cos n t d t j f ( t ) sin n t d t 1 1 1 0 0 T T 1 1
1 1
1 an jbn 2
n
j F n F ( n ) e F ( n ), F ( n ) 是 复 数 1 1 1 1
§3.2
周期信号傅里叶 级数分析
主要内容
•三角函数形式的傅氏级数 • 指数函数形式的傅氏级数
•两种傅氏级数的关系
• 频谱图
•函数的对称性与傅里叶级数的关系
•周期信号的功率 •傅里叶有限级数与最小方均误差
一．三角函数形式的傅里叶级数
1.三角函数集
由积分可知 是一个完备的正交函数集 cos n t , sin n t 1 1 t在一个周期内，n=0,1,...
0 1 0
1
2t T f( t ) cos n t d t 余弦分量的幅度 a n 1 t T 1
0 1 0
1 t T a f( t)d t 0 t T 1
2t T 正弦分量的幅度 b f( t ) sin n t d t n 1 t T 1
周期信号可分 ，解 基为 波 ） 直 （ 和 流 各次谐波 1
n ~ 关系曲线称为相位频谱图。相位谱
可画出频谱图。 周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性 。 cn φn c1 c2 π c3 c0 0 ω1 3ω1 nω1 ω 0 ω1 3ω1 nω1 ω
1 1
1
1
1 1 T T F ( n ) f ( t ) cos n t d t j f ( t ) sin n t d t 1 1 1 0 0 T T 1 1
1 1
1 an jbn 2
n
j F n F ( n ) e F ( n ), F ( n ) 是 复 数 1 1 1 1
§3.2
周期信号傅里叶 级数分析
主要内容
•三角函数形式的傅氏级数 • 指数函数形式的傅氏级数
•两种傅氏级数的关系
• 频谱图
•函数的对称性与傅里叶级数的关系
•周期信号的功率 •傅里叶有限级数与最小方均误差
一．三角函数形式的傅里叶级数
1.三角函数集
由积分可知 是一个完备的正交函数集 cos n t , sin n t 1 1 t在一个周期内，n=0,1,...
0 1 0
1
2t T f( t ) cos n t d t 余弦分量的幅度 a n 1 t T 1
0 1 0
1 t T a f( t)d t 0 t T 1
2t T 正弦分量的幅度 b f( t ) sin n t d t n 1 t T 1
周期信号的频谱分析——傅里叶级数
可画出频谱图 周期信号频谱具有离散性，谐波性，收敛性
X
二．指数函数形式的傅里叶级数
j nt 1．复指数正交函数集 e 0 ,1 , 2 n
1
第 14 页
2．级数形式 3．系数
j n t 1 f() t F ( n ) e 1 n
4
利用复变函数的正交特性
0 . 15 2 1 0 . 25
1
0 . 25
2 1 1
0
1
1
0
0 . 15
2 1
X
四．总结
（1）周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式
（2）两种频谱图的关系 （3）周期信号的频谱是离散谱，三个性质 （4）引入负频率
第 23 页
X
(1)周期信号f(t)的傅里叶级数有 两种形式
1 j 4 F2 1 e 2 1 j4 F 2 1 e 2
X
谱线
F (0) 1 0F
第 21 页
0 0
F ( ) 1 . 1 2 1 F 1
F F ( ) 1 . 1 2 1 1
0 .1 5 1
1 0.15
2 0.25
1
1
2
1
0
1
2 1
0 . 15
X
化为指数形式
1 j j t 1 f( t) 1 e 1t e 2 j
第 20 页
j t jn t 2 2 1 1 2 j 1 j t 4 4 1 e 1t e e e 2 整理 2 1 j j j t 1 j t 1 j 2 t 1 j 2 t 1 1 4 1 4 1 f ( t ) 1 1 e 1 e e e ee j j 2 2 2 2
周期信号的傅里叶级数(1)
sin 3t
1
3
sin
3
xˆ3
a3e j30t
a e j30t 3
2
3
cos3t
k k
5 : a5e j50t
1
5
5 : a5e j50t
cos5t j 1 5
1 cos5t j 5
sin
1
5
5t
sin 5t
xˆ5
a5e j50t
a5e j50t
2
5
cos5t
k k
2 : a2e j20t 0 2 : a2e j20t
为：
3
x(t) ak e jk 2t
k 3
其中， a0 1, a1 a1 1 4, a2 a2 1 2, a3 a3 1 3 求其三角函数傅里叶级数
注：大多数情况下，复指数和三角函数傅里叶 级数间的互换可以通过欧拉公式来完成
cos x e jx e jx , sin x e jx e jx
6
3、系统的特征函数(Eigenfunction)
若系统对一个输入信号的输出响应仅是一个幅度因子 常数（可能是复数）乘以该输入信号，则称该信号为 系统的特征函数，而该幅度因子常数称为系统的特征 值(eigenvalue )。
est 是连续LTI系统的特征函数
zn 是离散LTI系统的特征函数
对一个特定 sk 或 zk , H (sk )或 H就(zk是) 对应的特征值。
T
本证明供学有余力同学参考
x(t)
ak e jk0t x(t)e jn0t
a e e jk0t jn0t k
k
k
两边都从0 ~ T对t求积分：
T x(t)e jn0tdt T
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bncnsinn
n arctanabnn
正弦形式 f(t)d0 dnsin n 1tn
d0 a0
n1
dn an2 bn2
n
arctan
an bn
andnsinn bndncosn
X
77
幅度频率特性和相位频率特性
第第 页页
周 期 信 号 可， 分基 解 波 为 1）（ 直 和流 各 次 谐 （n1:基 波 角 频 率的 线 整性 数组 倍合 ）。
P1 T f2(t)dt 1
T0
T
Fn1 2
0Tn F(n1)ejn12dt
Fn2 F0 a0
n
n
总平均功率=各次谐波的平均功率之和
X
2288
七．傅里叶有限级数与最小方均误差
第第
页页
fta 0 a nco n 1 s t b nsin n 1 t n 1
取前 (2N1)项来逼 f(t)近
1 2
an
jbn
anFnFn
F ( n 1 ) T 1 0 T f( t) cn o 1 td s t j T 1 0 T f( t) sn i1 n td t
1 2
an
jbn
bnj(FnFn)
F(n1),F(n1)是复数 F n 1F (n 1)ejn
X
1111
第第
幅频特性和相频特性 页页 幅频特性 F(n1)1 2 an 2bn 21 2cn
周期信号平均功率=直流、基波及各次谐波分量 有效值的平方和；
也就是说，时域和频域的能量是守恒的。 Fn 2 ~绘成的线状图形，表示 各次谐波的平均功率随 频率分布的情况，称为功率谱系数。
X
2277
第第
证明
页页
n 1 s t b nsin n 1 t
正弦分量的幅度 bnT 2tt00Tf(t)sin1tdt
X
55
例3-2-1
第第 页页
求周期锯齿波的三角函数形式的傅里叶级数展开式。
A f(t) t
T1 tT1
f t
1
a0
T1
T2T121TT1A1 t
2
dt 0
2
T1 2
A/2 T1 2
O
t
2
anT1 bnT21
T 2T 121T A 1tcons1t
N
S Na 0 a nco n s 1 tb nsin n 1 t
误差函数
n 1
方均误差
N tf(t) S N
EN
N2(t)T 11
t0T1 t0
N2(t)dt
E N N 2 (t)f2t a 0 2 1 2 n N 1a n 2 b n 2
X
2299
第第
狄利克雷（Dirichlet）条件 页页
平均功率
n 1
P T 10 T f2 ( t) d t T 10 T a 0 n 1a n cn o 1 ts b n sn in 1 t 2 d t
a02
1 2n1
an2
bn2
a0 21 2n 1cn 2a0 2n 1 12cn2
对于指数形式的傅里叶级数
若波形沿时间轴平移半个周
期并相对于该轴上下反转， 此时波形并不发生变化：
f (t)
f(t)ft T 2
T
OT T
t
2
f(t)的傅氏级数偶次谐波为零，即
a0 0 n 2 ,4 ,6 时a n b n 0
n 1 ,3 ,5 时a n T 40 T 2f(t)co n1 s td t
bnT 4 0T 2 f(t)sinn1tdt
0.15 π 2 1
0.25 π 1
21 1 O 1 21
1 O
2 1
0.25 π
0.15 π
X
1166
第第
三角形式与指数形式的频谱图对比 页页
三角函数形式的频谱图
c n c 1 2 .24
c0 1
c2 1
O 1 2 1
指数形式的频谱图
Fn1
0.5 1.12 1 1.12 0.5 21 1 O 1 21
T1
2 T1
2
A ts
T1
inn
1t
dt0
1
2π T1
dt A(1)n1
nπ
n1,2,3
周期锯齿波的傅里叶级数展开式为
ft0π Asi n 1t2 A πsi2n 1t
直流
基波
谐波
X
66
其他形式
第第 页页
余弦形式 f(t)c0 cnco n s1tn
2
n1
c0 a0
ancncosn
cn an2 bn2
11133
例3-2-2
第第
页页
已 请画f出(t知 )其 幅1 度s谱i 和1 n t相2 位c谱 o 。1 t sc o 2 s 1 tπ 4 ，
化为余弦f(t形) 式1 5co 1 ts 0 (.1π ) 5 c o 2 1 st π 4
三角函数形式的傅里叶级数的谱系数
三角函数形式的频谱图
第第
页页
1.三角函数集
cn o 1 ts ,sn i1 n t 是一个完备的正交函数集集
由积分可知
t在一个周期内，n=0,1,...
T
2Tcosn1tsinm1t0 2
T 2T 2cons1tcom s1t T 2 0,,
mn mn
T
2Ts 2
in1ts
im n1t T 2,
0,
mn mn
X
1199
第第
(2)两种频谱图的关系 页页
● 三角函数c形 n~式 ，： n~ 单边频谱
指数函数F 形 n ~式 ， ： n ~ 双边频谱
关系 F (n 1 )1 2 c n n 0
F 0 c 0 a 0
● 指 数 形 式 的 幅 度 偶频 函谱 数为
F(n1) F(n1) ● 相位频谱为奇函数
f (t)
1
anT 2T 2T 2 f(t)cons1tdt0T
O 1
T
t
bnT 20Tf(t)sin n1tdtT 40T2f(t)s in1tdt0
F nF (n 1)1 2anjbn1 2jbn
傅 里 叶 级 数 中 量无 ， F(n余 1)为 弦虚 分函 数 。
X
2244
第第
3．奇谐函数 页页
（44））引引入入负负频频率率
X
1188
第第
(1)周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式 页页
三角形式 指数形式
f(t)a 0 a nco n 1 s t b nsin n 1 t n 1 = c 0 c n c n 1 t o n ) s n 1
f(t) F(n1) ejn1t n
相频特性 n arctanabnn
an bn
F(n1)
n1
关于 的偶函数（n实取际正值） 关于 的奇函数（n实取际正值） 关于 的偶函数 关于的奇函数
X
频谱图
幅度频谱 cn ~
或 Fn ~ 曲线
cn c1
c0
c3
O 1 3 1
n
相位频谱
n ~曲线
O 1 3 1
第第 页页
离散谱，谱线
X
1122
bn 0
T O
anT 40T 2f(t)cons1tdt0
FnF (n1)1 2anjbn1 2an n 0
T
t
傅里叶级数中不 项含 ，正 只弦 含直流项 项和 。
F(n1)为实函数。
X
2233
第第
2．奇函数 页页
波形相对于纵对 坐称 标的 f是 (t： )反 f(t)
1
a0
T
T
2 T
2
f(t)dt =0
•周期信号可 , 分 区解 间为 上的ej指 n1t 数
的线性组合。
•如给 F (n 1)出 ，ft则 惟一 (4)、 (确 5)式 定 是 ， 一
变换对。
X
1100
三．两种系数之间的关系及频谱图 第第 页页
F(n1)T 10Tf(t)ejn1tdt利用欧拉公式
T 10 T f(t)cn o1 ts d t jT 10 T f(t)sin n 1 td t
§3.2 周期信号傅里叶 级数分析
北京邮电大学电子工程学院 2008.10
22
主要内容
第第
页页
•三角函数形式的傅氏级数 • 指数函数形式的傅氏级数 •两种傅氏级数的关系 • 频谱图 •函数的对称性与傅里叶级数的关系 •周期信号的功率 •傅里叶有限级数与最小方均误差
X
33
一．三角函数形式的傅里叶级数
条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的 数目应是有限个。 条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有 限个。 条件3:在一周期内，信号绝对可积。
返回
X
3300
第第
证明
页页
对于三角函数形式的傅里叶级数
f(t)a 0 a nco n 1 s t b nsin n 1 t
整理 2
2
f( t) 1 1 2 1 j e j 1 t 1 2 1 j e j 1 t 1 2 e j π 4 e j 2 1 t 1 2 e j π 4 e j 2 1 t 2 F(n1)ejn1t
n2
指数形式的傅里叶级数的系数
F(0) 1 F1121j1.1e2j0.1π 5
4
bnT1
T1 2
0
f(t)sinn1tdt
X
2266
第第
n arctanabnn
正弦形式 f(t)d0 dnsin n 1tn
d0 a0
n1
dn an2 bn2
n
arctan
an bn
andnsinn bndncosn
X
77
幅度频率特性和相位频率特性
第第 页页
周 期 信 号 可， 分基 解 波 为 1）（ 直 和流 各 次 谐 （n1:基 波 角 频 率的 线 整性 数组 倍合 ）。
P1 T f2(t)dt 1
T0
T
Fn1 2
0Tn F(n1)ejn12dt
Fn2 F0 a0
n
n
总平均功率=各次谐波的平均功率之和
X
2288
七．傅里叶有限级数与最小方均误差
第第
页页
fta 0 a nco n 1 s t b nsin n 1 t n 1
取前 (2N1)项来逼 f(t)近
1 2
an
jbn
anFnFn
F ( n 1 ) T 1 0 T f( t) cn o 1 td s t j T 1 0 T f( t) sn i1 n td t
1 2
an
jbn
bnj(FnFn)
F(n1),F(n1)是复数 F n 1F (n 1)ejn
X
1111
第第
幅频特性和相频特性 页页 幅频特性 F(n1)1 2 an 2bn 21 2cn
周期信号平均功率=直流、基波及各次谐波分量 有效值的平方和；
也就是说，时域和频域的能量是守恒的。 Fn 2 ~绘成的线状图形，表示 各次谐波的平均功率随 频率分布的情况，称为功率谱系数。
X
2277
第第
证明
页页
n 1 s t b nsin n 1 t
正弦分量的幅度 bnT 2tt00Tf(t)sin1tdt
X
55
例3-2-1
第第 页页
求周期锯齿波的三角函数形式的傅里叶级数展开式。
A f(t) t
T1 tT1
f t
1
a0
T1
T2T121TT1A1 t
2
dt 0
2
T1 2
A/2 T1 2
O
t
2
anT1 bnT21
T 2T 121T A 1tcons1t
N
S Na 0 a nco n s 1 tb nsin n 1 t
误差函数
n 1
方均误差
N tf(t) S N
EN
N2(t)T 11
t0T1 t0
N2(t)dt
E N N 2 (t)f2t a 0 2 1 2 n N 1a n 2 b n 2
X
2299
第第
狄利克雷（Dirichlet）条件 页页
平均功率
n 1
P T 10 T f2 ( t) d t T 10 T a 0 n 1a n cn o 1 ts b n sn in 1 t 2 d t
a02
1 2n1
an2
bn2
a0 21 2n 1cn 2a0 2n 1 12cn2
对于指数形式的傅里叶级数
若波形沿时间轴平移半个周
期并相对于该轴上下反转， 此时波形并不发生变化：
f (t)
f(t)ft T 2
T
OT T
t
2
f(t)的傅氏级数偶次谐波为零，即
a0 0 n 2 ,4 ,6 时a n b n 0
n 1 ,3 ,5 时a n T 40 T 2f(t)co n1 s td t
bnT 4 0T 2 f(t)sinn1tdt
0.15 π 2 1
0.25 π 1
21 1 O 1 21
1 O
2 1
0.25 π
0.15 π
X
1166
第第
三角形式与指数形式的频谱图对比 页页
三角函数形式的频谱图
c n c 1 2 .24
c0 1
c2 1
O 1 2 1
指数形式的频谱图
Fn1
0.5 1.12 1 1.12 0.5 21 1 O 1 21
T1
2 T1
2
A ts
T1
inn
1t
dt0
1
2π T1
dt A(1)n1
nπ
n1,2,3
周期锯齿波的傅里叶级数展开式为
ft0π Asi n 1t2 A πsi2n 1t
直流
基波
谐波
X
66
其他形式
第第 页页
余弦形式 f(t)c0 cnco n s1tn
2
n1
c0 a0
ancncosn
cn an2 bn2
11133
例3-2-2
第第
页页
已 请画f出(t知 )其 幅1 度s谱i 和1 n t相2 位c谱 o 。1 t sc o 2 s 1 tπ 4 ，
化为余弦f(t形) 式1 5co 1 ts 0 (.1π ) 5 c o 2 1 st π 4
三角函数形式的傅里叶级数的谱系数
三角函数形式的频谱图
第第
页页
1.三角函数集
cn o 1 ts ,sn i1 n t 是一个完备的正交函数集集
由积分可知
t在一个周期内，n=0,1,...
T
2Tcosn1tsinm1t0 2
T 2T 2cons1tcom s1t T 2 0,,
mn mn
T
2Ts 2
in1ts
im n1t T 2,
0,
mn mn
X
1199
第第
(2)两种频谱图的关系 页页
● 三角函数c形 n~式 ，： n~ 单边频谱
指数函数F 形 n ~式 ， ： n ~ 双边频谱
关系 F (n 1 )1 2 c n n 0
F 0 c 0 a 0
● 指 数 形 式 的 幅 度 偶频 函谱 数为
F(n1) F(n1) ● 相位频谱为奇函数
f (t)
1
anT 2T 2T 2 f(t)cons1tdt0T
O 1
T
t
bnT 20Tf(t)sin n1tdtT 40T2f(t)s in1tdt0
F nF (n 1)1 2anjbn1 2jbn
傅 里 叶 级 数 中 量无 ， F(n余 1)为 弦虚 分函 数 。
X
2244
第第
3．奇谐函数 页页
（44））引引入入负负频频率率
X
1188
第第
(1)周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式 页页
三角形式 指数形式
f(t)a 0 a nco n 1 s t b nsin n 1 t n 1 = c 0 c n c n 1 t o n ) s n 1
f(t) F(n1) ejn1t n
相频特性 n arctanabnn
an bn
F(n1)
n1
关于 的偶函数（n实取际正值） 关于 的奇函数（n实取际正值） 关于 的偶函数 关于的奇函数
X
频谱图
幅度频谱 cn ~
或 Fn ~ 曲线
cn c1
c0
c3
O 1 3 1
n
相位频谱
n ~曲线
O 1 3 1
第第 页页
离散谱，谱线
X
1122
bn 0
T O
anT 40T 2f(t)cons1tdt0
FnF (n1)1 2anjbn1 2an n 0
T
t
傅里叶级数中不 项含 ，正 只弦 含直流项 项和 。
F(n1)为实函数。
X
2233
第第
2．奇函数 页页
波形相对于纵对 坐称 标的 f是 (t： )反 f(t)
1
a0
T
T
2 T
2
f(t)dt =0
•周期信号可 , 分 区解 间为 上的ej指 n1t 数
的线性组合。
•如给 F (n 1)出 ，ft则 惟一 (4)、 (确 5)式 定 是 ， 一
变换对。
X
1100
三．两种系数之间的关系及频谱图 第第 页页
F(n1)T 10Tf(t)ejn1tdt利用欧拉公式
T 10 T f(t)cn o1 ts d t jT 10 T f(t)sin n 1 td t
§3.2 周期信号傅里叶 级数分析
北京邮电大学电子工程学院 2008.10
22
主要内容
第第
页页
•三角函数形式的傅氏级数 • 指数函数形式的傅氏级数 •两种傅氏级数的关系 • 频谱图 •函数的对称性与傅里叶级数的关系 •周期信号的功率 •傅里叶有限级数与最小方均误差
X
33
一．三角函数形式的傅里叶级数
条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的 数目应是有限个。 条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有 限个。 条件3:在一周期内，信号绝对可积。
返回
X
3300
第第
证明
页页
对于三角函数形式的傅里叶级数
f(t)a 0 a nco n 1 s t b nsin n 1 t
整理 2
2
f( t) 1 1 2 1 j e j 1 t 1 2 1 j e j 1 t 1 2 e j π 4 e j 2 1 t 1 2 e j π 4 e j 2 1 t 2 F(n1)ejn1t
n2
指数形式的傅里叶级数的系数
F(0) 1 F1121j1.1e2j0.1π 5
4
bnT1
T1 2
0
f(t)sinn1tdt
X
2266
第第