2015届高考数学总复习基础知识名师讲义第二章第七节指数函数与对数函数文

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2015高考数学一轮复习第2讲指数函数和对数函数

科目数学年级高三班型一对一教师课时2/15 课题指数函数和对数函数学习目标1.掌握指数函数和对数函数的基本性质；2.会利用指数（对数）函数的基本性质解答相关问题。

考点热点1.概念：（1）指数和对数函数定义：①形如的函数叫做指数函数，形如的函数叫做对数函数；y=a x a＞1 0＜a＜1图像定义域值域性质过定点当x＞0时，当x＜0时，当x＞0时，当x＜0时，在R上是在R上是y=log axa＞1 0＜a＜1图像性质定义域：值域：过定点当x＞0时，当x＜0时，当x＞0时，当x＜0时，增减性②反函数指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数，他们的图像关于直线对称。

对数的性质与运算法则：(1)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①NMMNaaaloglog)(log+=；②NMNMaaalogloglog-=③)(loglog RnMnMana∈=；④MmnMana mloglog=(2)对数的性质：Na Na=log(a>0且a≠1)．(3)对数的重要公式①换底公式：abbcca logloglog=(a，b均大于零且不等于1)；②abba log1log=；推广ddcbacbaloglogloglog=⋅⋅上课内容例题精讲：考点一：指数函数图像和性质的应用1.函数f(x)＝a x－b的图像如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a>1，b<0 B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<02.函数y＝e x＋e－xe x－e－x的图像大致为()3.偶函数)(xf满足),1()1(+=-xfxf且在]1,0[∈x时，xxf=)(，则关于x 的方程xxf)101()(=在]4,0[∈x上的解的个数是（）4.3.2.1.DCBA考点二：对数函数性质和图像的应用4.已知x，y为正实数，则（）yxxyyxyxyxyxyxyx DCBA lglg)lg(lglglglglglg)lg(lglglglg222.222.222.222.⋅=+=⋅=+=⋅++5.=+25.0log10log255（）4.2.1.0.DCBA6.函数y＝ln(1－x)的图象大致为(）7.函数f(x)＝22log x的图象的大致形状是(）课堂笔记：考点三：指数函数和对数函数的综合应用8.（1）设⎪⎩⎪⎨⎧≥+=4,)21(4,)2()(x x x f x f x ＜，求)3log 1(2+f 的值；（2）已知]1)1()1ln[()(22+---=x m x m x g 的定义域为R ，求实数m 的取值范围。

2015届高考数学总复习基础知识名师讲义第二章第九节函数的图象及其变换文

第九节函数的图象及其变换1．掌握图象变换的规律，如平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换等．2．会运用函数图象理解和研究函数的性质．基础自测1．(2013·福建卷)函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是()解析：函数的解析式满足f(x)＝f(－x)，即函数为偶函数，排除C；又f(0)＝0，即函数图象过(0,0)点，排除B，D.故选A.答案：A2．(2012·大连模拟)已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)，若f(x)的图象如右图所示，则函数g(x)＝a x＋b 的图象是()解析：由图知，b＜－1,0＜a＜1，∴g(x)是减函数，排除C，D.又g(0)＝b＋1＜0.故选A.答案：A3．(2012·中山桂山中学月考)设函数y＝f(x)是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0,1]上的图象为如下图所示的线段，则在区间[1,2]上，f(x)＝________.解析：依题意，函数在区间[1,2]上的图象与线段AB关于直线x＝1对称，∴点A(0,2)关于直线x＝1的对称点A′(2,2)在所求函数的图象上，易求得f(x)＝x.答案：x4．(2013·湖北宜昌质检)函数y＝f(x)在x∈[－2,2]的图象如图所示，则f(x)＋f(－x)等于________．解析：由函数图象知f(x)为奇函数，则f(x)＋f(－x)＝0.答案：0知识梳理函数图象的作图方法有两种：描点法和利用基本函数图象变换作图．一、描点法作图用描点法作函数图象的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即______________(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．二、图象变换法作图1．要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的图象及性质．2．识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等． 3．四种图象变换：________________________. (1)平移变换．①水平平移：函数y ＝f (x ＋h )的图象可以把函数y ＝f (x )的图象沿x 轴方向向左(h >0)或向右(h <0)平移|h |个单位长度得到，即y ＝f (x )――→h >0，左移h <0，右移y ＝f (x ＋h )； ②竖直平移：函数y ＝f (x )＋k 的图象可以把函数y ＝f (x )的图象沿y 轴方向向上(k >0)或向下(k <0)平移|k |个单位长度得到，即y ＝f (x )―――→k >0，上移k <0，下移y ＝f (x )＋k . (2)对称变换．①函数y ＝－f (x )的图象可以将函数y ＝f (x )的图象关于x 轴对称得到； ②函数y ＝f (－x )的图象可以将函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称得到； ③函数y ＝－f (－x )的图象可以将函数y ＝f (x )的图象关于原点对称得到； ④函数y ＝f －1(x )的图象可以将函数y ＝f (x )的图象关于直线y ＝x 对称得到；⑤函数y ＝f (2a －x )的图象可以将函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称得到，即 y ＝f (x )关于x 轴,y ＝－f (x )， y ＝f (x )关于y 轴,y ＝f (－x )， y ＝f (x )关于原点,y ＝－f (－x )， y ＝f (x )关于直线y ＝x,y ＝f －1(x )，y ＝f (x )关于直线x ＝a,y ＝f (2a －x )． (3)翻折变换．①函数y ＝|f (x )|的图象可以将函数y ＝f (x )的图象(如图①)的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留y ＝f (x )的x 轴上方部分即可得到(如图②)； ②函数y ＝f (|x |)的图象可以将函数y ＝f (x )的图象(如图①)右边沿y 轴翻折到y 轴左边，替代原y 轴左边部分并保留y ＝f (x )在y 轴右边部分即可得到(如图③)．即y ＝f (x )――――――――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|. y ＝f (x )――――――――――――――――――――→去掉y 轴左边图象保留y 轴右边图象，并作关于y 轴对称图象y ＝f (|x |)． (4)伸缩变换．①函数y ＝f (ax )(a >0)的图象可以将函数y ＝f (x )的图象中的每一点纵坐标不变，横坐标缩短(a >1)或伸长(0<a <1)为原来的1a 倍得到；②函数y ＝af (x )(a >0)的图象可以将函数y ＝f (x )的图象中的每一点横坐标不变，纵坐标伸长(a >1)或缩短(0<a <1)为原来的a 倍得到，即y ＝f (x ) y ＝f (ax )，y ＝f (x )――→a >1，纵向伸长为原来的a 倍0<a <1，纵向缩短为原来的a 倍y ＝af (x )．1．(2013·四川卷)函数y ＝x 2 3x －1的图象大致是( )a ＞1,横向缩短为原来的 a1 倍0＜a ＜1，横向伸长为原来的倍一、(3)单调性、奇偶性、周期性、最值二、3.平移变换、对称变换、翻折变换和伸缩变换解析：对于函数y ＝x 23x －1定义域为{x ∈R ，且x ≠0}，去掉A ，当x <0时，3x －1<0，x 2>0，∴y <0，去掉C 、D ，选B.答案：B2．(2012·湖北卷)已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x )的图象如下图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )解析：y ＝f (x )→y ＝f (－x )→y ＝f [－(x －2)]→y ＝－f (2－x )，即将y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，再向右平移2个单位长度，然后关于x 轴对称，即为B 图象．答案：B1．(2013·广东茂名一模)函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫x －1x 的图象是( )解析：因为x －1x＞0，解得x ＞1或－1＜x ＜0，所以函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫x －1x 的定义域为：(－1,0)∪(1，＋∞)，所以选项A 、C 不正确．当x ∈(－1,0)时，g (x )＝x －1x是增函数，因为y ＝ln x 是增函数，所以函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫x －1x 是增函数．故选B. 答案：B2.已知函数y ＝1x，将其图象向左平移a (a ＞0)个单位，再向下平移b (b ＞0)个单位后图象过坐标原点，则ab 的值为________．解析：图象平移后的函数解析式为y ＝1x ＋a－b ，由题意知1a －b ＝0，∴ab ＝1.答案：1。

2015高考数学一轮总复习课件：2.4 指数与指数函数

第二十七页，编辑于星期五：十二点三十一分。
迁移发散3：
ax（x＞1），（1）（2013·临沂模拟）若 f（x）＝4－2ax＋2（x≤1）是 R 上
的单调递增函数，则实数 a 的取值范围为 4≤a＜8 ；（2）函数 f（x）＝13－x2－4x＋3的单调递减区间为（－∞，－，2）
值域为（3－7,＋∞。）
第七页，编辑于星期五：十二点三十一分。
自主测评
1. 判断下列命题是否正确.
n
n
（1）（ a）n＝ an.（）
3 （2）－8 没有意义.（）（3）函数 y＝a－x 是 R 上的减函数.（）（4）函数 y＝ax 过定点（0，0）.（）（5）函数 y＝2x－1 是指数函数.（）
n
n
解析：（1）错误.（ a）n＝a；当 n 为奇数时， an＝a；当 n
第二十八页，编辑于星期五：十二点三十一分。
第二十三页，编辑于星期五：十二点三十一分。
题型3 ·指数型函数的性质
ax－1 例 3：已知 f（x）＝ax＋1（a＞0 且 a≠1）. （1）求 f（x）的定义域、值域；（2）讨论 f（x）的单调性；（3）讨论 f（x）的奇偶性. 思路点拨：
利用指数函数的性质可以比较指数幂大小、解指数不等式，也可以求与指数函数有关的函数的定义域和值域，还可以判断指数函数与其他函数复合以后的函数的单调性.
（1）由已知可得，
y＝13|x＋1|＝313x＋ x1＋，1x＜，－ x≥1－. 1，
其图像由两部分组成：
一部分是 y＝13x（x≥0）向左平移一个单位 y＝13x＋1（x≥－1）；另一部分是 y＝3x（x＜0）向左平移一个单位 y＝3x＋1（x＜－1）.（4 分）

2015高考数学一轮总复习课件：2.6对数函数

4．四种方法
对数值的大小比较方法：(1)化同底后利用函数的单调性；(2)作差或作商法；
(3)利用中间量(0 或 1)；(4)化同真数后利用图象比较．
第十一页，编辑于星期五：十二点三十一分。
C 聚焦考向透析
考向一对数的运算
例题精编
计算下列各式． (1)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2； (2)(log32＋log92)·(log43＋log83)．
(4)对数的重要公式 logaN
①换底公式：logbN＝logab (a，b 均大于零且不等于 1)； 1
②logab＝logba，推广 logab·logbc·logcd＝logad.
(5)对数的运算法则如果 a＞0 且 a≠1，M＞0，N＞0，那么
第六页，编辑于星期五：十二点三十一分。
C 基础知识梳理
C 基础知识梳理
指点迷津
1．一种思想
对数源于指数，指数式和对数式可以互化，对数的性质和运算法则都可以通过对数式与指数式的
互化进行证明．
2．两个防范
解决与对数有关的问题时，(1)优先考虑定义域；(2)注意底数的取值范围．
3．三个关键点
1 画对数函数 y＝logax 的图象应抓住三个关键点：(a，1)，(1，0)，a，－1.
1 10 (2)由已知 x＝log43，则 4x＋4－x＝4log43＋4－log43＝3＋3＝ 3 .
第十六页，编辑于星期五：十二点三十一分。
C 聚焦考向透析
考向二对数函数图象及应用
例题精编
(2014·江西省七校联考)已知定义在 R 上的函数 y＝f(x)满足 f(x＋2)＝ f(x)，当－1＜x≤1 时，f(x)＝x3，若函数 g(x)＝f(x)－loga|x|至少有 5 个零点，则 a 的取值范围是( ) A．(1，5) B．(0，15)∪[5，＋∞)

2015届高考数学总复习基础知识名师讲义第二章第三节函数的奇偶性与周期性理

第三节函数的奇偶性与周期性错误!知识梳理一、函数的奇偶性1．函数奇偶性的定义及简单性质.2.若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)，反之，也成立．3．若奇函数f (x )的定义域包含0，则f (0)＝0.4．判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式．在定义域关于原点对称的情况下， (1)若f (x )－f (－x )＝0或f x f －x＝1[f (－x )≠0]，则f (x )为偶函数； (2)若f (x )＋f (－x )＝0或f x f －x＝－1[f (－x )≠0]，则f (x )为奇函数． 5．设f (x )，g (x )的定义域分别是D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×奇＝偶，奇×偶＝奇．二、函数的周期性1．周期函数定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任一x ，使得f (x ＋T )＝f (x )恒成立，则f (x )叫做________，T 叫做这个函数的________．2．周期函数的性质：1. 结合具体函数，了解函数奇偶性的含义2. 了解函数的周期性3. 会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性(1)若T 是函数f (x )的一个周期，则kT (k ∈Z ，k ≠0)也是它的一个周期；(2)f (x ＋T )＝ f (x )常写作f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋T 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －T 2； (3)若f (x )的周期中，存在一个最小正数t 满足f (x ＋t )＝f (x )，则称t 为f (x )的最小正周期；(4)若周期函数f (x )的周期为T ，则f (ωx )(ω≠0)也是周期函数，且周期为T|ω|.基础自测1．(2013·北京西城区期末)下列函数中，既是偶函数又在 (0，＋∞)上单调递增的函数是( )A ．y ＝－1xB ．y ＝e |x |C ．y ＝－x 2＋3D ．y ＝cos x解析：y ＝－1x是奇函数，A 错误；y ＝e |x |是偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，B 正确；y ＝－x 2＋3是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，C 错误；y ＝cos x 是偶函数且在(0，＋∞)上有时递增，有时递减，D 错误．故选B.答案：B2．函数f (x )＝1x＋x 的图象关于( ) A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称解析：可判断f (x )＝1x＋x 为奇函数，所以图象关于原点对称．故选C. 答案：C3．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝2x －3，则f (－2)＝( )A ．1B ．－1C ．－114 D.114答案：B4．若偶函数f (x )是以4为周期的函数，f (x )在区间[－6，－4]上是减函数，则f (x )在[0,2]上的单调性是________．解析：∵T ＝4，且在[－6，－4]上单调递减，∴函数在[－2,0]上也单调递减．又f (x )为偶函数，故f (x )的图象关于y 轴对称，由对称性知f (x )在[0,2]上单调递增．答案：单调递增1．设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数B ．f (x )－|g (x )|是奇函数C ． |f (x )|＋g (x )是偶函数D ．|f (x )|－ g (x )是奇函数解析：因为 g (x )是R 上的奇函数，所以|g (x )|是R 上的偶函数，从而f (x )＋|g (x )|是偶函数．故选A.答案：A2．(2013·山东卷)已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x，则f (－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．2解析：因为f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)＝－(1＋1)＝－2.故选A.答案：A3．(2013·江苏卷)已知f (x )是定义在R 上的奇函数．当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )＞x 的解集用区间表示为________．解析：因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以易知x ≤0时，f (x )＝－x 2－4x 解不等式得到f (x )＞x 的解集用区间表示为(－5,0)∪(5，＋∞)．答案： (－5,0)∪(5，＋∞)1．(2013·南京模拟)已知函数f (x )是奇函数，当x ＞0时，f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)，且f (log 124)＝－3，则a 的值为( )A. 3 B ．3 C ．9 D.32解析：∵f (log 124)＝f (log 214)＝f (－2)＝－f (2)＝－a 2＝－3，∴a 2＝3，解得a ＝±3，又a ＞0，∴a ＝ 3.答案：A2．(2013·温州高三第一次质检)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝e x ＋a ，若f (x )在R 上是单调函数，则实数a 的最小值是________．解析：依题意得f (0)＝0.当x ＞0时，f (x )＞e 0＋a ＝a ＋1.若函数f (x ) 在R 上是单调函数，则有a ＋1≥0，a ≥－1，因此实数a 的最小值是－1.答案：－1。

2015年高考数学一轮总复习精品课件：第二章+函数 2.5 指数与指数函数(共27张PPT)

a3 -2b3 a6
考点一
考点二
考点三
误区警示
×
2 1
(a·a3 )2
1
1 1
(a2 ·a3 )5
第十四页，编辑于星期五：十一点十一分。
15
探究突破
考点二
指数函数的图象与性质的应用
【例 2】 k 为何值时,方程|3x-1|=k 无解?有一解?有两解?
解:函数 y=|3x-1|的图象是由函数 y=3x 的图象向下平移一个单位长度后,
考点一
考点二
考点三
误区警示
第十八页，编辑于星期五：十一点十一分。
19
探究突破
(3)由(2)知 f(x)在 R 上是增函数,
所以 f(x)在区间[-1,1]上为增函数.
所以 f(-1)≤f(x)≤f(1).
所以
a
a
1-2
-1
f(x)min=f(-1)= 2 (a -a)= 2 ·
=-1.
a
-1
1
在(0,+∞)上单调递增.
2x-1
1
2
同样可以得出 y=- −
考点一
考点二
1
在(-∞,0)上单调递增.
2x-1
考点三
误区警示
第二十一页，编辑于星期五：十一点十一分。
22
探究突破
误区警示
忽视指数题目中偶次根式这一隐含条件而致误
【典例】化简(1-a)
1
4
(a-1)
4
3 的结果是(
4
A. a-1
B.- a-1
即
1
1-2x
1
a- -x +a- x =0,∴2a+ x=0,∴a=- .

2015届高考数学总复习基础知识名师讲义第二章第六节对数与对数函数理

第六节对数与对数函数知识梳理一、对数1．对数的定义：如果a b＝N (a >0且a ≠1)，那么幂指数b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b .其中a 叫做底数，N 叫做真数．2．指数式与对数式的互化： a b＝N ⇔log a N ＝b . 3．对数的运算法则．如果a >0，a ≠1，M >0，N >0，有 (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(2)log a M N ＝log a M －log a N ；(3)log a M n＝n log a M .4．对数换底公式及对数恒等式．(以下各式中a >0，a ≠1，b >0，b ≠1，c >0，c ≠1，M >0，N >0)(1)对数恒等式：①a log aN ＝N ；②log a a n＝n .(2)换底公式：log a N ＝log b Nlog b a.(3)由换底公式可推出如下结论：①log a b ＝1log b a； ②log a M ＝log an M n；③log a b ·log b a ＝1； ④log a b ·log b c ·log c a ＝1； ⑤log am b n＝n mlog a b .5．常用对数与自然对数：以10为底的对数，叫做常用对数，log 10x 记作lg x ；以无理数e 为底的对数叫做自然对数，log e x 记作ln x ，其中e ＝2.718….二、对数函数的定义、图象与性质1．定义：形如y ＝log a x (a >0且a ≠1)的函数叫做对数函数．其中x 是自变量，其定义1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．2．理解对数函数的概念，并理解对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点．3．知道对数函数是重要的函数模型．4．了解指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a >0且a ≠1)．域是(0，＋∞)，值域是(－∞，＋∞)．基础自测1．已知函数f (x )＝lg|x |，x ∈R 且x ≠0，则f (x )是( ) A ．奇函数且在(0，＋∞)上单调递增 B ．偶函数且在(0，＋∞)上单调递增 C ．奇函数且在(0，＋∞)上单调递减 D ．偶函数且在(0，＋∞)上单调递减解析：∵x ∈R 且x ≠0，f (－x )＝lg|－x |＝lg|x |＝f (x )，∴函数为偶函数．当x >0时，f (x )＝lg x 为增函数．故选B.答案：B2．(2013·汕尾二模)函数y ＝x ＋1（x －1）的定义域为( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)∪(2，＋∞)C ．[0,1)D ．(0，＋∞)解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x －1＞0，lg (x －1)≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＞1，x ≠2.∴1＜x ＜2或x ＞2，∴所以原函数的定义域为： (1,2)∪(2，＋∞)．故选B.答案：B3．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝log 2x ，则满足不等式f (x )>0的x 的取值范围是____________．答案：(－1,0)∪(1，＋∞)4．若x log 32＝1，则4x＋4－x＝________.解析：由x log 32＝1，得x ＝log 23，∴4x ＋4－x ＝4log 23＋4－log 23＝9＋19＝829.答案：8291．(2012·大纲全国卷)已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e －12，则( ) A ．x <y <z B ．z <x <y C ．z <y <x D ．y <z <x解析：x ＝ln π>1，y ＝log 52＝1log 25<12，z ＝e －12＝1e ，12<1e＜1，∴y <z <x .故选D. 答案：D2．(2013·上海卷)方程33x －1＋13＝3x －1的实数解________．解析：原方程整理后变为32x －2·3x －8＝0⇒3x ＝4⇒x ＝log 34. 答案：log 341．(2013·佛山一模)已知函数y ＝f (x )是奇函数，当x ＞0时，f (x )＝log 2x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14的值等于________．解析：∵y ＝f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∵当x ＞0时，f (x )＝log 2x ，∴f ⎝⎛⎭⎫14＝log 214＝－2，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14 ＝f (－2)＝－f (2)＝－1. 答案：－12．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a ＞1)，若函数y ＝g (x )图象上任意一点P 关于原点对称点Q 的轨迹恰好是函数f (x )的图象．(1)写出函数g (x )的解析式；(2)当x ∈[0,1)时，总有f (x )＋g (x )≥m 成立，求m 的取值范围．解析：(1)设P (x ，y )为g (x )图象上任意一点，则Q (－x ，－y )是点P 关于原点的对称点． ∵点Q (－x ，－y )在f (x )的图象上，∴－y ＝log a (－x ＋1)，即y ＝g (x )＝－log a (1－x )(a ＞1)．(2)f (x )＋g (x )≥m ，即log a x ＋11－x≥m .设F (x )＝log a x ＋11－x，x ∈[0,1)，由题意知，只要F (x )min ≥m 即可．∵F (x )在[0,1)上是增函数，∴F (x )min ＝F (0)＝0. ∴m ≤0，即m 的取值范围是(－∞，0]．答案：见解析。

2015届高考数学总复习基础知识名师讲义第二章第五节指数与指数函数理

第五节指数与指数函数错误!知识梳理一、指数 1．根式．(1)定义：如果x n＝a 那么 x 叫做a 的n 次方根(其中n >1，且n ∈N *)，式子na 叫做根式，这里的n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(2)性质．①当n 为奇数时，na n＝a ；当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.②负数没有偶次方根． ③零的任何次方根都是零． 2．幂的有关概念． (1)正整数指数幂：(2)零指数幂： a 0＝1(a ≠0)．(3)负整数指数幂：a －p ＝1ap (a ≠0，p ∈N *)．(4)正分数指数幂：a mn ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)． (5)负分数指数幂：a －mn ＝1a mn＝1na m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．(6)零的正分数指数幂为零，零的负分数指数幂没有意义． 3．有理数指数幂的性质．(1)a r a s ＝a s ＋r(a ＞0，r ， s ∈Q )．(2)(a r )s ＝a sr(a ＞0，r ，s ∈Q )．(3)(ab )r ＝a r b r(a ＞0，b ＞0， r ∈Q )．二、指数函数的定义形如 y ＝a x(a >0且a ≠1)的函数叫做指数函数，其中x 是自变量，定义域是(－∞，＋∞)，值域是(0，＋∞)．三、指数函数的图象和性质1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.理解指数函数的概念，并理解指数函数的单调性与函数图象通过的特殊点.3.了解指数函数模型的实际背景，知道指数函数是重要的函数模型.基础自测1．化简 (a，b为正数)的结果是( )A.baB．aC.abD．B解析：原式＝a13b83a3a23b43＝a53b43a23b43＝a，故选B.答案：B2．函数f(x)＝(a2－1)x在R上是减函数，则a的取值范围是( )A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．(－2,2)C．(－∞，2)D．(－2，－1)∪(1，2)解析：0<a2－1<1,1<a2<2，解得－2＜a＜－1或1＜a＜ 2.故选D.答案：D3．函数y＝4x＋2x＋1－3的值域是________．解析：定义域为R，因为y＝4x＋2x＋1－3＝(2x)2＋2·2x＋1－4＝(2x＋1)2－4，因为2x＞0，所以(2x ＋1)2－4＞1－4＝－3.所以y ＝4x ＋2x ＋1－3的值域为{y |y ＞－3}．答案：{y |y ＞－3}4．若x >0，则(2x 14＋332)(2x 14－332)－4x －12(x －x 12)＝______.解析：(2x 14＋332)(2x 14－332)－4x －12(x －x 12)＝4x 12－33－4x 12＋4＝－23. 答案：－231．(2013·北京卷)函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x关于y 轴对称，则f (x )＝( )A ．e x ＋1B ．e x －1C ．e －x ＋1D ．e－x －1解析：与y ＝e x 图象关于y 轴对称的函数为y ＝e －x .依题意，f (x )图象向右平移一个单位，得y ＝e －x 的图象．∴f (x )的图象由y ＝e －x 的图象向左平移一个单位得到．∴f (x )＝e －(x ＋1)＝e －x －1.故选D. 答案：D2．已知函数f (x )＝(x －k )e x. (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值．解析：(1)f ′(x )＝(x －k ＋1)e x .令f ′()x ＝0，得x ＝k －1. f (x )的单调递减区间是(－∞(2)当k －1≤0，即k ≤1时，函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ；当0<k －1<1，即1<k <2时，由(1)知f (x )在[0，k －1]上单调递减，在(k －1,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1；当k －1≥1，即k ≥2时，函数f (x )在[0,1]上单调递减，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧－k ，k ≤1，－e k －1，1＜k ＜2，(1－k )e ，k ≥2.答案：见解析1．已知a ＝52，函数f (x )＝a x，若实数m ，n 满足f (m )＞f (－n )，则m ，n 满足的关系为( )A ．m ＋n <0B ．m ＋n >0C ．m >nD ．m <n解析：f (x )＝⎝⎛⎭⎫52x是R 上的增函数，实数m ，n 满足f (m )＞f (－n )，故m ＞－n ，即m ＋n ＞0.故选B.答案：B2．若函数f (x )＝e －(x －μ)2的最大值是m ，且f (x )是偶函数，则m ＋μ＝______.解析：∵函数f (x )＝e －(x －μ)2的最大值是1，∴m ＝1.又∵f (x )是偶函数，∴μ＝0.∴m ＋μ＝1.答案：1。

2015届高考数学基础知识总复习精讲课件：第2章第7节指数函数与对数函数

第十五页，编辑于星期五：十点五分。
高考总复习•数学（理科）
设log2(k＋2)为整数m，即log2(k＋2)＝m(m∈Z)． ∴k＋2＝2m，即k＝2m－2，又∵k∈(1,62)，即1＜2m－2＜62， ∴3＜2m＜64， ∴m＝2,3,4,5，代入k＝2m得到k＝2,6,14,30. ∴区间(1,62)内所有“企盼数”之和为2＋6＋14＋30＝52. 点评：解决与对数函数有关的新定义问题，要抓住两点：(1)理
B．(0,1)
C．(－∞，0)
D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
第十三页，编辑于星期五：十点五分。
高考总复习•数学（理科）
解析：(1)记u＝(3－a)x－a，当1<a<3时，y＝logau在(0，＋∞) 上为增函数，u＝(3－a)x－a在其定义域内为增函数．∴此时f(x)在其定义域内为增函数，符合要求．当a>3时，y＝logau在其定义域内为增函数，而u＝(3－a)x－a在其定义域内为减函数．
第二页，编辑于星期五：十点五分。
高考总复习•数学（理科）解析：(1)由已知，y＝g(x)与y＝ax互为反函数，所以g(x)＝logax(a>0，且a≠1)，所以f(x)＝loga(x－1)． (2)因为f(x)＝loga(x－1)在[3，＋∞)上总有f(x)>1，即loga(x－1)>1在[3，＋∞)上恒成立．所以当a>1时，a<x－1在[3，＋∞)上恒成立，所以1<a<2；又若0<a<1，则loga(x－1)>1在[3，＋∞)上不可能恒成立．
综上所述，答案选D.
答案：D
第十九页，编辑于星期五：十点五分。
第二十页，编辑于星期五：十点五分。

2015年高考数学总复习配套教案：2.7指数函数、对数函数及幂函数(1)

第二章函数与导数第7课时指数函数、对数函数及幂函数(1) (对应学生用书(文)、(理)20～21页)考情分析考点新知① 幂的运算是解决与指数函数有关问题的基础，要引起重视.② 对数式和指数式的相互转化，应用对数运算性质及换底公式灵活地求值、化简是研究指、对数函数的前题，高考的涉及面比较广．① 理解指数和指数函数的概念，会进行根式与分数指数幂的互化，掌握有理指数幂的性质和运算法则，并能运用它们进行化简和求值.② 理解对数的概念，熟练地进行指数式和对数式的互化，掌握对数的性质和对数运算法则，并能运用它们进行化简和求值.,1. (必修1P 63习题2改编)用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0)： (1)3a 2＝________；(2)a a a ＝________；(3) ⎝⎛⎭⎫3a 2·ab 3＝________．答案：(1) a 23 (2) a 78 (3) a 76b 322. (必修1P 80习题6改编)计算：(lg5)2＋lg2×lg50＝________．答案：1解析：原式＝(lg5)2＋lg2×(1＋lg5)＝lg5(lg2＋lg5)＋lg2＝1.3. (必修1P 80习题12改编)已知lg6＝a ，lg12＝b ，则用a 、b 表示lg24＝________．答案：2b －a解析：lg24＝lg 1446＝2lg12－lg6＝2b －a.4. (必修1P 63习题6改编)若a ＋a －1＝3，则a 32－a －32＝______．答案：±4解析：a 32－a －32＝(a 12－a －12)(a ＋a －1＋1)．∵ (a 12－a －12)2＝a ＋a －1－2＝1，∴ (a 12－a －12)＝±1，∴ 原式＝(±1)×(3＋1)＝±4.5. 已知实数a 、b 满足等式⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b，下列五个关系式：① 0＜b ＜a ；② a ＜b ＜0；③ 0＜a ＜b ；④ b ＜a ＜0；⑤ a ＝b. 其中所有不可能成立的关系式为________．(填序号) 答案：③④解析：条件中的等式2a =3b a lg2=b lg3．若a ≠0，则lg 2lg3b a =∈（0，1）．（1）当a ＞0时，有a ＞b ＞0，即关系式①成立，而③不可能成立；（2）当a ＜0时，则b ＜0，b ＞a ，即关系式②成立，而④不可能成立；若a =0，则b =0，故关系式⑤可能成立．1. 根式(1) 根式的概念根式的概念符号表示备注如果a ＝x n ，那么x 叫做a 的n 次实数方根n>1且n ∈N *当n 为奇数时，正数的n 次实数方根是一个正数，负数的n 次实数方根是一个负数 na0的n 次实数方根是0当n 为偶数时，正数的n 次实数方根有两个，它们互为相反数±n a负数没有偶次方根① na n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a （n 为奇数），|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ≥0），－a （a<0）（n 为偶数）； ② (n a)n ＝a(注意a 必须使na 有意义)． 2. 有理指数幂① 正数的正分数指数幂是a m n＝na m (a>0，m 、n ∈N *，n>1)； ② 正数的负分数指数幂是a －m n＝1a m n ＝1n a m(a>0，m 、n ∈N *，n>1)；③ 0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂无意义． (2) 有理指数幂的运算性质① a s a t ＝a s ＋t (a>0，t 、s ∈Q )； ② (a s )t ＝a st (a>0，t 、s ∈Q )；③ (ab)t ＝a t b t (a>0，b ＞0，t ∈Q )． 3. 对数的概念 (1) 对数的定义如果a b ＝N ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2) 几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a>0且a ≠1)log a N 常用对数底数为10 lgN 自然对数底数为elnN4. 对数的性质与运算法则 (1) 对数的性质① alog a N ＝N ；② log a a N ＝N(a>0且a ≠1)． (2) 对数的重要公式① 换底公式：log b N ＝log a N log a b (a 、b 均大于零且不等于1)；② log a b ＝1log b a .(3) 对数的运算法则如果a>0且a ≠1，M>0，N>0，那么 ① log a (MN)＝log a M ＋log a N ； ② log a MN ＝log a M －log a N ；③ log a M n ＝nlog a M(n ∈R )； ④ log am M n ＝nm log a M.[备课札记]例1 化简下列各式(其中各字母均为正数)： (1) 1.5－13×⎝⎛⎭⎫－760＋80.25×42＋(32×3)6－⎝⎛⎭⎫2323； (2) （a 23·b －1）－12·a －12·b 136a ·b 5；(3)a 43－8a 13b4b 23＋23ab ＋a 23÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23b a ×3a. 解：(1) 原式＝⎝⎛⎭⎫2313＋234×214＋22×33－⎝⎛⎭⎫2313＝2＋108＝110. (2) 原式＝a －13·b 12·a －12·b 13a 16·b 56 ＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a.(3) 原式＝a 13（a －8b ）（2b 13）2＋2b 13a 13＋（a 13）2×a13a 13－2b 13×a 13＝a 13（a －8b ）a －8b ×a 13×a 13＝a. 备选变式（教师专享）化简下列各式：(1) 12523＋⎝⎛⎭⎫12－2＋34313－⎝⎛⎭⎫127－13； (2) 56a 13·b －2·(－3a －12b －1)÷(4a 23·b －3)12.解：(1)33；(2)－5ab4ab 2.题型2 对数的运算例2 求下列各式的值． (1) log 535＋2log 122－log 5150－log 514； (2) log 2125×log 318×log 519. 解：(1) 原式＝log 535×5014＋2log 12212＝log 553－1＝2.(2) 原式＝lg 125lg2×lg 18lg3×lg 19lg5＝－2lg5lg2×－3lg2lg3×－2lg3lg5＝－12.变式训练(1) 计算：lg 12－lg 58＋lg12.5－log 89·log 278；(2) 已知log 189＝a ，18b ＝5，用a 、b 表示log 3645.解：(1) 原式＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1258×12.5－lg9lg8·lg8lg27＝1－2lg33lg3＝13.(2) 由题意，得b ＝log 185，故log 3645＝log 1845log 1836＝log 189＋log 185log 18324－log 189＝a ＋b2－a.题型3 指数与对数的混合运算例3 已知实数x 、y 、z 满足3x ＝4y ＝6z ＞1. (1) 求证：2x ＋1y ＝2z；(2) 试比较3x 、4y 、6z 的大小．(1) 证明：令k ＝3x ＝4y ＝6z ＞1，则x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k ，于是1x ＝log k 3，1y ＝log k 4，1z ＝log k 6，从而2x ＋1y ＝2log k 3＋log k 4＝log k 32＋log k 4＝log k 36＝2log k 6，等式成立．(2) 解：由于k ＞1，故x 、y 、z ＞0. 3x 4y ＝3log 3k 4log 4k ＝3lgklg34lgk lg4＝3lg44lg3＝lg43lg34＝lg64lg81＜1； 4y 6z ＝2log 4k 3log 6k ＝2lgklg43lgk lg6＝2lg63lg4＝lg62lg43＝lg36lg64＜1，故3x ＜4y ＜6z.备选变式（教师专享）若xlog 34＝1，求23x －2－3x2x ＋2－x 的值．解：由xlog 34＝1，知4x ＝3， ∴23x －2－3x 2x ＋2－x＝()2x－2－x()22x ＋2－2x ＋12x ＋2－x＝（22x －1）（22x ＋2－2x ＋1）22x ＋1＝（3－1）⎝⎛⎭⎫3＋13＋13＋1＝136.1. (2013·四川)计算：lg 5＋lg 20＝________．答案：1解析：lg 5＋lg 20＝lg(5×20)＝lg10＝1.2. (2013·长春调研)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x，x ≥4，f （x ＋1），则f(2＋log 23)＝________．答案：124解析：由3<2＋log 23<4，得3＋log 23>4，所以f(2＋log 23)＝f(3＋log 23)＝⎝⎛⎭⎫123＋log 23＝⎝⎛⎭⎫12log 224＝124. 3. (2013·新课标)已知a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则a 、b 、c 的大小关系为________．答案：a>b>c解析：a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝1＋log 52，c ＝1＋log 72，由于log 32>log 52>log 72，所以a>b>c.4. (2013·温州二模)已知2a ＝3b ＝6c ，若a ＋b c ∈(k ，k ＋1)，则整数k 的值是________．答案：4解析：设2a ＝3b ＝6c ＝t ，则a ＝log 2t ，b ＝log 3t ，c ＝log 6t ，所以a ＋b c ＝log 2t log 6t ＋log 3t log 6t ＝log t 6log t 2＋log t 6log t 3＝log 26＋log 36＝2＋log 23＋log 32.因为2<log 23＋log 32<3，所以4<a ＋b c <5，即整数k 的值是4.1. 设a ＝lge ，b ＝(lge)2，c ＝lg e ，则a 、b 、c 的大小关系是________．答案：a ＞c ＞b解析：本题考查对数函数的增减性，由1>lge>0，知a>b.又c ＝lge ，作商比较知c>b ，故a>c>b.2. 已知三数x ＋log 272，x ＋log 92，x ＋log 32成等比数列，则公比为________．答案：3解析：∵ 三数x ＋log 272，x ＋log 92，x ＋log 32成等比数列，∴ (x ＋log 92)2＝(x ＋log 272)(x ＋log 32)，即⎝⎛⎭⎫x ＋12log 322＝⎝⎛⎭⎫x ＋13log 32(x ＋log 32)，解得x ＝－14log 32，∴ 公比q ＝x ＋log 32x ＋12log 32＝3.3. 设a ＞1，若对任意的x ∈[a ，2a]，都有y ∈[a ，a 2]满足方程log a x ＋log a y ＝3，则a 的取值范围是________．答案：a ≥2解析：∵ a ＞1，x ∈[a ，2a]， ∴ log a x ∈[1，1＋log a 2]．又由y ∈[a ，a 2]，得 log a y ∈[1，2]， ∵ log a y ＝3－log a x ， ∴ 3－log a x ∈[1，2]， ∴ log a x ∈[1，2]，∴ 1＋log a 2≤2，log a 2≤1，即a ≥2.4. 已知m 、n 为正整数，a ＞0且a ≠1，且log a m ＋log a ⎝⎛⎭⎫1＋1m ＋log a ⎝⎛⎭⎫1＋1m ＋1＋…＋log a ⎝⎛⎭⎫1＋1m ＋n －1＝log a m ＋log a n ，求m 、n 的值．解：左边＝log a m ＋log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋1m ＋log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋2m ＋1＋…＋log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n m ＋n －1＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫m·m ＋1m ·m ＋2m ＋1·…·m ＋n m ＋n －1 ＝log a (m ＋n)，∴ 已知等式可化为log a (m ＋n)＝log a m ＋log a n ＝log a mn. 比较真数得m ＋n ＝mn ，即(m －1)(n －1)＝1.∵ m 、n 为正整数，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝1，n －1＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝2.1. 根式与分数指数幂的实质是相同的，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而可以简化计算过程．2. 对数运算法则是在化同底的情况下进行的，在对含有字母的对数式化简时必须保证恒等变形．3. 在解决指数、对数问题时，指数式与对数式的互化起着重要作用．请使用课时训练（B）第7课时（见活页）.[备课札记]。

高考数学总复习第二章第七节指数函数与对数函数课件文

(2)由lg a＋lg b＝0⇒ab＝1⇒b＝，所1 以g(x)＝－a－x，故f(x)与g(x)
的图象关于原点对称．
a
答案：(1)C (2)原点
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考点
指数函数与对数函数的图象(tú xiànɡ)所经过的定
(kǎo 点
diǎn)【二例2】不论a(a>0且a≠1)取何实数(shìshù)，函数y＝ax－3＋4
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2．已知函数(hánshù)f(x)＝logax＋x－b(a＞0，且a≠1)．当2＜a＜3＜b＜ 4时，函数(hánshù)f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝2______.
第二十二页，共24页。
高考(ɡāo
1．kǎ(以2o0)把预12函·测大数连(h市án双1sh基ù)测y＝试)为了x的得图到象函数(hánshù)y＝ 133
(kǎo x致d＋i是ǎ1n的12)【图一例象1关】于(直(1)线(2y)0＝11x·四对川称卷的)图函象数大y＝
(2)已知x1是方程(fāngchéng)x＋lg x
＝3的根，x2是方程(fāngchéng)x＋10x＝
3的根，则x1＋x2的值是______．
思路点拨：利用同底数的指数、对
数函数的图象关于直线y＝x对称的关系
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考点
对数函数与其他知识(zhī shi)的综合
(kǎo
diǎn)三【例3】已知函数(hánshù)f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．
(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间．
(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
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2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第二章 第七节指数函数与对数函数 文

2015高考数学一轮复习第2讲 指数函数和对数函数

2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第二章 第九节函数的图象及其变换 文