2015届高考数学总复习第五章第五节数列的求和课时精练试题文(含解析)

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2015高考数学(理)一轮复习配套课件5-4数列求和

a1＝1，解得 d＝2.
所以数列{an}的通项公式为 an＝2n－1.
(2)由 an＝2n－1 得 bn＝2n－1＋2 所以数列{bn}的前 n 项和
2n－1
1 n ＝2n－1＋ · 4. 2
Sn＝ [1＋3＋5＋…＋(2n－1)] ＋(21＋ 23 ＋25＋…＋22n －1)＝n2 21－22n 2 22n 1－2 ＋＝n ＋ . 3 1－22
.
2．分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． [填一填] ＝
1 n ＋1－2n
2
1 1 1 1 (1) 数列 1 ， 3 ， 5 ， 7 ， … 的前 n 项和 Sn 2 4 8 16 .
1 n 1 1 1 2 －2n (2)数列 1，，2，，4，，…的前 2n 项和 S2n＝ . 2 4 8
(2)由
1 1 1 bn＝2 an＋2a ＝2n＋1＋2n＋1＝2n＋ n＋2 2 n
知，
1 1 n ] [1 － nn＋1 2 2 2 Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝2n＋2· 2 ＋＝ n ＋3n＋1 1 1－2
1 －2n.
分组转化求和通法若一个数列能分解转化为几个能求和的新数列的和或差，可借助求和公式求得原数列的和．求解时应通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化．
n
2n 1－n－2 1 1 3 n 2n (2) ＋＋＋…＋ n等于 . 2 2 8 2
＋
02突破3个热点考向
考向一例1
分组转化法求和
[2013· 安徽高考]设数列{an}满足 a1＝2， a2＋a4＝8，且

2015届高考数学总复习第五章第一节数列的概念与简单表示法课时精练试题文(含解析)

1.设数列2，5，22，11，…，则25是这个数列的( ) A ．第六项 B ．第七项 C ．第八项 D ．第九项答案：B2．(2012·衡水中学调研)观察下列数：1,3,2,6,5,15,14，x ，y ，z ，…则x ，y ，z 的值依次为( )A ．13,39,123B ．42,41,123C ．24,23,123D ．28,27,123解析：观察各项可以发现：x 为前一项的3倍即42，y 为前一项减1即41，z 为前一项的3倍即123.故选B.答案：B3．若数列{a n }满足关系：a n ＋1＝1＋1a n ，a 8＝3421，则a 5＝( )A.32B.53C.85D.138解析：由递推关系，由a 8逆推依次得到a 7＝2113，a 6＝138，a 5＝85，故选C.答案：C4．(2012·石家庄二模)设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是( ) A.163 B.133C ．4D ．0 解析：因为a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34，且n ∈Z ，所以当n ＝2或n ＝3时，a n 取最大值，即最大值为a 2＝a 3＝0.故选D.答案：D5．(2013·惠州一模)在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…中，第25项为( ) A ．2 B ．6 C ．7 D ．8解析：数字共有n 个，当数字n ＝6时，有1＋2＋3＋4＋5＋6＝21项，所以第25项是7，故选C.答案：C6．(2013·济宁质检)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ＋S n ＋1＝a n ＋1(n ∈N *)，则此数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列解析：∵S n ＋S n ＋1＝a n ＋1，∴当n ≥2时，S n －1＋S n ＝a n . 两式相减得a n ＋a n ＋1＝a n ＋1－a n ，∴a n ＝0(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＋(a 1＋a 2)＝a 2，∴a 1＝0，∴a n ＝0 (n ∈N *)，故选C. 答案： C7．(2013·赤峰模拟)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫78n，则当a n 取得最大值时，n 等于( )A ．5B ．6C ．5或6D ．7解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫78nn ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫78n －1，n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫78n n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ＋1.∴⎩⎪⎨⎪⎧n ≤6，n ≥5.∴n ＝5或6.答案：C8．(2013·海口质检)如图是同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第23个图案中需用黑色瓷砖________块．解析：用a n 表示第n 个图的黑色瓷砖块数，则a 1＝12，a 2＝16，a 3＝20，…，由此可得{a n }是以12为首项，以4为公差的等差数列．∴a 23＝a 1＋(23－1)×4＝12＋22×4＝100. 答案：1009．(2013·吉林省实验中学二模)已知数列{a n }中a n ＝n 2－kn (n ∈N *)，且单调递增，则k 的取值范围是 ____________.解析：因为{a n }是单调递增数列，所以对n ∈N *，不等式a n ＜a n ＋1恒成立，即n 2－kn ＜(n ＋1)2－k (n ＋1)恒成立，化简得k ＜2n ＋1恒成立，所以k ＜3.答案：(－∞，3)10. (2013·唐山模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2n ＋1，则数列的通项a n ＝________.解析：∵a n ＋1－a n ＝2n ＋1.∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝(2n －1)＋(2n －3)＋…＋5＋3＋1＝n 2(n ≥2)．当n ＝1时，也适用a n ＝n 2(n ∈N *)．答案：n 2(n ∈N *)11．(2013·安徽合肥二模)数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋b n，若对任意的n ∈N *都有a n ≥a 5，则实数b 的取值范围是__________．解析：由题意可得b ＞0，因为对所有n ∈N *，不等式a n ≥a 5恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 4≥a 5，a 6≥a 5，即⎩⎪⎨⎪⎧4＋b 4≥5＋b5，6＋b 6≥5＋b 5，解得20≤b ≤30，经验证，数列在(1,4)上递减，在(5，＋∞)上递增，或在(1,5)上递减，在(6，＋∞)上递增，符合题意．所以b ∈[20,30]．答案：[20,30]12．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，求{a n }的通项公式．解析：由题意，得S n ＝2n ＋1－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1－1)－(2n －1)＝2n，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，不适合上式．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.13．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．解析：(1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3；由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1.当n >1时有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1.于是a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…，a n －1＝n n －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1.将以上n 个等式两端分别相乘，整理得a n ＝n n ＋2.综上，{a n }的通项公式a n ＝n n ＋2(n ∈N *)．14．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1n －1a n －1(n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若a n ＝2013，求n .解析：(1)∵a 1＝1，且a n ＝a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1n －1a n －1(n >1)．∴a 2＝a 1＝1，a n ＋1＝a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1n －1a n －1＋1na n (n ≥1)．∴a n ＋1－a n ＝1na n (n ≥2)．∴a n ＋1＝n ＋1n a n ， ∴a n ＋1n ＋1＝a n n (n ≥2)． ∴a n n ＝a n －1n －1＝…＝a 22＝12， ∴a n ＝n2(n ≥2)．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，n2，n ≥2.(2)∵a n ＝n2＝2 013，∴n ＝4 026.。

2015届高考数学总复习配套课件：5-5 数列的综合应用

太阳
r1＋rn 1＋rn－1a.
书业有
限
公
司
菜单隐藏
第八页，编辑于星期五：十点十四分。
高考总复习 A 数学（文）
抓主干考点解密
研考向要点探究
3．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时
悟典题
能力提升
将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌
金太
数，注意数列中相关限制条件的转化．
阳
书
业
有
限
公
司
菜单隐藏
第十七页，编辑于星期五：十点十四分。
高考总复习 A 数学（文）
抓主干考点解密
变式训练
研考向
2．(2013年高考全国新课标卷Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知
要点
探究 S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为________．
探究
1．对等差、等比数列的概念、性质要有深刻的理解，有些数列题
悟典题
能力
提升目条件已指明是等差(或等比)数列，但有的数列并没有指明，可以通过
提素能高效
分析，转化为等差数列或等比数列，然后应用等差、等比数列的相关知
训练
识解决问题．山
2．分期付款模型
东金
设贷款总额为a，年利率为r，等额还款数为b，分n期还完，则b＝
悟典题
能力提升
＝38n.
提素能高效
第二种付酬方式每天金额组成的数列{bn}是首项为4，公差为4的等
训练
差数列，
山
则Bn＝4n＋nn2－1×4＝2n2＋2n.
东金太
第三种付酬方式每天金额组成的数列{cn}是首项为0.4，公比为2的

2015高考数学一轮课件：第5章第5节数列的综合问题

证明：(1)令 g(x)＝f(x)＋1＝ln x－x＋1，g′(x)＝1x－1＝1－x x，当 0<x<1 时，g′(x)>0，当 x>1 时 g′(x)<0，故 g(x)在 x＝1 处取得极大值，也是最大值，所以 g(x)≤g(1)＝0，故 f(x)≤－1. (2)因为 an＋1＝2－1an，∴an＋1－1＝2－1an－1＝a2n－－a1n，∴an＋11－1＝an－1 1－1，
[例] (2013·江西高考)正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足：
S2n－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0. (1)求数列{an}的通项公式 an； (2)令 bn＝ n＋n＋212a2n，数列{bn}的前 n 项和为 Tn. 证明：对于任意的 n∈N*，都有 Tn<654.
解：(1)由 S2n－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0.
由于{an}是正项数列，所以 Sn>0，Sn＝n2＋n.于是 a1＝S1＝2，
n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n.
综上，数列{an}的通项公式为 an＝2n.
(2)证明：由于
an＝2n，故
bn＝
n＋1 ＝ n＋1 n＋2 2a2n 4n2 n＋2
＝1 2 16
1－ n2
1 n＋2
2
.
Tn＝1161－312＋212－412＋312－512＋…＋
1 n－1
－
2
1 n＋1
＋1－ 2 n2
1 n＋2
2
＝1
1＋212－
1 n＋1
－
2
1 n＋2
2<1
1＋212 ＝ 5 .

2015届高考数学总复习第五章第二节等差数列及其前n项和课时精练试题文(含解析)

1．(2012·福建卷)等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：由等差中项的性质知a 3＝a 1＋a 52＝5，又∵a 4＝7，∴d ＝a 4－a 3＝2.故选B.答案：B2．(2012·九江模拟)记等差数列的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d ＝( )A ．2B ．3C ．6D ．7解析：S 4－S 2－S 2＝4d ＝12⇒d ＝3.故选B. 答案：B3．(2013·深圳一模)等差数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2则a 4的值为A ．18 B ．15 C ．12 D ．20解析：由题意可得 a 1＝3，a 2＝8，a 3＝13，故此等差数列的公差为5，故a 4＝a 3＋d ＝18，故选A.答案：A4．(2013·揭阳一模)已知等差数列{a n }满足，a 1＞0，5a 8＝8a 13，则前n 项和S n 取最大值时，n 的值为( )A ．20B ．21C ．22D ．23解析：设数列的公差为d ，由5a 8＝8a 13得5(a 1＋7d )＝8(a 1＋12d )，解得d ＝－361a 1，由a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a 1＋(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－361a 1≥0，可得n ≤643＝2113，所以数列{a n }前21项都是正数，以后各项都是负数，故S n 取最大值时，n 的值为21，故选B. 答案：B5．(2013·韶关三模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 5＝55，则过点P (n ，a n )和Q (n ＋2，a n ＋2)(n ∈N *)的直线的斜率是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝10，a 1＋4d2＝55，解得a 1＝3，d ＝4.∴直线的斜率为a n ＋2－a nn ＋2－n＝4，故答案选A.答案：A6．(2012·青岛期末)等差数列{a n }中，已知a 1＝－6，a n ＝0，公差d ∈N *，则n (n ≥3)的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．8解析：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝0，∴d ＝6n －1.又d ∈N *，∴ n (n ≥3)的最大值为7.故选A.答案：A7．(2013·揭阳二模)在等差数列{a n }中，首项a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为( )A ．37B ．36C ．20D ．19解析：因为{a n }为等差数列，首项a 1＝0，a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，所以0＋(m －1)d ＝9a 5＝36d ，又公差d ≠0，所以m ＝37，故选A.答案：A8．(2013·辽宁卷)下列是关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个命题：①数列{a n }是递增数列；②数列{na n }是递增数列；③数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；④数列{a n＋3nd }是递增数列．其中的真命题为( )A ．①②B ．③④C ．②③D ．①④解析：a n ＝a 1＋(n －1)d ，d ＞0， ∴a n －a n －1＝d ＞0，命题①正确．na n ＝na 1＋n (n －1)d ，∴na n －(n －1)a n －1＝a 1＋2(n －1)d 与0的大小和a 1的取值情况有关．故数列{na n }不一定递增，命题②不正确．对于③：a n n ＝a 1n ＋n －1n d ，∴a n n －a n －1n －1＝－a 1＋dn n －，当d －a 1＞0，即d ＞a 1时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 递增，但d ＞a 1不一定成立，则③不正确．对于④：设b n ＝a n ＋3nd ，则b n ＋1－b n ＝a n ＋1－a n ＋3d ＝4d ＞0.∴数列{a n ＋3nd }是递增数列，④正确．综上，正确的命题为①④. 答案：D9．(2013·广东卷)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________.解析：依题意2a 1＋9d ＝10，所以3a 5＋a 7＝3(a 1＋4d )＋a 1＋6d ＝4a 1＋18d ＝20或3a 5＋a 7＝2(a 3＋a 8)＝20.答案：20 10．(2013·北京海淀区上学期期末) 数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 2＋a 6＝a 8，则S 5a 5＝____________.解析：在等差数列中，由a 2＋a 6＝a 8得2a 1＋6d ＝a 1＋7d ，即a 1＝d ≠0，所以S 5a 5＝5a 1＋5×42da 1＋4d＝5a 1＋10d a 1＋4d ＝155＝3. 答案：311．(2013·洛阳统考)在等差数列{a n }中，其前n 项和为S n ，且S 2 011＝2 011，a 1 007＝－3，则S 2 012＝________.解析：∵S 2 011＝2 011，∴a 1＋a 2 0112＝2 011.得a 1＋a 2 011＝2.又∵a 1＋a 2 011＝2a 1 006，∴a 1 006＝1. 又∵a 1 007＝－3，∴S 2 012＝a 1＋a 2 012×2 0122＝a 1 006＋a 1 007×2 0122＝1－3×2 0122＝－2 012.答案：－2 01212．将正奇数排列如下表，其中第i 行第j 个数表示a ij (i ∈N *，j ∈N *)，例如a 32＝9，若a ij ＝2 009，则i ＋j ＝________________.1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 …解析：由2n －1＝2 009，求得n ＝1 005，由此可知将正奇数按从小到大的顺序排列，2 009位于第1 005个，而数表自上而下，每行所放的奇数个数，恰好与行数相等，设2 009位于第i 行，则1＋2＋3＋…＋i ≥1 005，且1＋2＋3＋…＋(i －1)≤1 005，于是得i ＋i2≥1 005且i i －2≤1 005⇒i (1＋i )≥2 010，i (i －1)≤2 010，并注意到i ∈N *，所以i＝45，而j ＝1 005－＋2＝1 005－22×45＝1 005－990＝15，故i ＋j ＝45＋15＝60.答案：6013．(2013·北京西城区二模)已知等比数列{a n }的各项均为正数，a 2＝8，a 3＋a 4＝48. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 4a n .证明：{b n }为等差数列，并求{b n }的前n 项和S n .(1)解析：设等比数列{a n }的公比为q ，依题意q ＞0.因为a 2＝8，a 3＋a 4＝48，所以a 1q ＝8，a 1q 2＋a 1q 3＝48.两式相除得q 2＋q －6＝0，解得q ＝2(舍去q ＝－3)．所以a 1＝a 2q＝4.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1＝2n ＋1(n ∈N *)． (2)证明：由(1)得b n ＝log 4a n ＝n ＋12，因为b n ＋1－b n ＝n ＋22－n ＋12＝12，所以数列{b n }是首项为1，公差为d ＝12的等差数列．所以S n ＝nb 1＋n n －2d ＝n 2＋3n 4(n ∈N *)．14．(2013·梅州二模)f (x )对任意x ∈R 都有f (x )＋f (1－x )＝12.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12和f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n (n ∈N )的值；(2)数列{a n }满足：a n ＝f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f (1)，数列{a n}是等差数列吗？请给予证明；(3)令b n ＝44a n －1，T n ＝b 21＋b 22＋b 23＋…＋b 2n ，S n ＝32－16n.试比较T n 与S n 的大小．解析：(1)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14.令x ＝1n ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＝12，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＝12. (2)a n ＝f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f (1)，又a n ＝f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋…f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f (0)，两式相加2a n ＝[f (0)＋f (1)]＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋…＋[f (1)＋f (0)]＝n ＋12，所以a n ＝n ＋14，n ∈N *.又a n ＋1－a n ＝n ＋1＋14－n ＋14＝14.故数列{a n }是等差数列．(3)b n ＝44a n －1＝4n，T n ＝b 21＋b 22＋…＋b 2n ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＋132＋…＋1n 2≤16⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋11×2＋12×3＋…＋1n n －＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1n ＝32－16n＝S n .所以T n ≤S n .。

2015届高考数学总复习第五章第六节数列的综合问题课时精练试题文(含解析)

1．一凸n 边形，各内角的度数成等差数列，公差是10°，最小内角100°，则边数n 为( )A ．8B ．9C ．8或9D ．7答案：A 2．已知数列{}a n 中，a 1＝1，a 2＝2＋3，a 3＝4＋5＋6，a 4＝7＋8＋9＋10，…，则a 10＝( ) A ．610 B ．510 C ．505 D ．750答案：C3．(2013²平顶山模拟)已知等差数列{a n }的公差和首项都不等于0，且a 2，a 4，a 8成等比数列，则a 1＋a 5＋a 9a 2＋a 3＝( )A ．2B ．3C ．5D ．6解析：∵a 2，a 4，a 8成等比数列，∴a 24＝a 2a 8，即(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋7d )，∴a 1＝d ，∴a 1＋a 5＋a 9a 2＋a 3＝3a 1＋12d2a 1＋3d＝3.故选B.答案：B 4．(2013²北京人大附中模拟)设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n .则“|q |＝1”是“S 4＝2S 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为等比数列{a n }的前n 项和为S n ，因为S 4＝2S 2，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2(a 1＋a 2)，所以a 3＋a 4＝a 1＋a 2，即q 2(a 1＋a 2)＝a 1＋a 2，因为a 1＋a 2≠0，所以q 2＝1⇔|q |＝1，所以“|q |＝1”是“S 4＝2S 2”的充要条件，故选C. 答案：C5．(2012²内江、广安二模)已知数列{a n }为等差数列，S n 是数列{a n }的前n 项和，a 1＋a 6＋a 11＝4π，则sin(S 11)的值为( )A ．－32B ．±32 C.12 D.32解析：因为等差数列中，a 1＋a 6＋a 11＝4π，所以a 6＝4π3，所以S 11＝a 1＋a 112＝11³2a 62＝44π3，所以sin(S 11)＝sin 44π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫14π＋2π3＝sin 2π3＝32.故选D. 答案：D6．设函数f (x )＝x m＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1fn (n ∈N *)的前n 项和是( )A.nn ＋1 B.n ＋2n ＋1 C.n n －1 D.n ＋1n解析：∵f ′(x )＝mx m －1＋a ， ∴m ＝2，a ＝1.∴f (x )＝x 2＋x ，f (n )＝n 2＋n .∴1f n ＝1n 2＋n ＝1n n ＋＝1n －1n ＋1. ∴S n ＝1f ＋1f ＋1f ＋…＋1f n －＋1f n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 故选A. 答案：A7．(2013²山东潍坊二模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2,4，a 3成等比数列，则S 5＝________.解析：依题意2a 3＝42＝16，所以a 3＝8，所以S 5＝a 1＋a 52＝5a 3＝40.答案：40 8．(2013²辽宁六校联考)某人用10万元买了一辆小汽车用来跑出租，已知这辆汽车从启用的第一年起连续使用，第n 年的保养维修费为2 000(n －1)元，使用它直到“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这辆汽车的年平均耗资最少)为止，则最佳报废时间为________年．解析：由题意知汽车在这n 年的平均耗资为f (n )＝10＋0.2[1＋2＋…＋n －n＝10＋0.2³n n －2n＝n10＋10n－0.1，由基本不等式可得f (n )＝n 10＋10n －0.1≥2n 10³10n－0.1＝1.9，当且仅当n 10＝10n，即n ＝10时取得最小值．答案：10 9．(2013²广东执信中学期中)已知等差数列{a n }的公差大于0，且a 3，a 5是方程x 2－14x＋45＝0的两根，数列{b n }的前n 项的和为S n ，且S n ＝1－12b n .(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)记c n ＝a n ²b n ，求证：c n ＋1≤c n .(1)解析：因为a 3，a 5是方程x 2－14x ＋45＝0的两根，且数列{a n }的公差d >0，∴a 3＝5，a 5＝9，公差d ＝a 5－a 35－3＝2.∴a n ＝a 5＋(n －5)d ＝2n －1(n ∈N *)．又当n ＝1时，有b 1＝S 1＝1－12b 1，∴b 1＝23.当n ≥2时，有b n ＝S n －S n －1＝12(b n －1－b n )，∴b n b n －1＝13(n ≥2)， ∴数列{b n }是等比数列，b 1＝23，q ＝13.∴b n ＝b 1q n －1＝23n (n ∈N *)．(2)证明：由(1)知c n ＝a n b n ＝n －3n ，c n ＋1＝n ＋3n ＋1， ∴c n ＋1－c n ＝n ＋3n ＋1－n －3n ＝－n3n ＋1≤0. ∴c n ＋1≤c n .10．(2013²天津卷)已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *), 且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2) 证明S n ＋1S n ≤136(n ∈N *)．(1)解析：设等比数列{a n }的公比为q ，因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列，所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4，可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12，又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32³⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1²32n (n ∈N *)．(2)证明：S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n，S n＋1S n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋12nn ＋，n 为奇数，2＋12nn －，n 为偶数，当n 为奇数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝136.当n 为偶数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝2512.。

【与名师对话】2015高考数学一轮复习 5.4 数列求和课时作业理(含解析)新人教A版必修5

【与名师对话】2015高考数学一轮复习 5.4 数列求和课时作业理（含解析）新人教A 版必修5一、选择题1．等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＝4，a 2＋a 3＋a 4＝－2，则a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝( )A.2116 B.1916 C.98 D.78解析：由于q ＝a 2＋a 3＋a 4a 1＋a 2＋a 3＝－24＝－12，所以a 3＋a 4＋a 5＝(a 2＋a 3＋a 4)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1，a 6＋a 7＋a 8＝(a 3＋a 4＋a 5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－123＝－18，于是a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝78.答案：D2．(2012·大纲全国卷)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为( )A.100101 B.99101 C.99100 D.101100解析：由S 5＝5a 3及S 5＝15得a 3＝3， ∴d ＝a 5－a 35－3＝1，a 1＝1，∴a n ＝n ，1a n a n ＋1＝1n n ＋1 ＝1n －1n ＋1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和T 100＝1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101，故选A.答案：A3．数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数n 为( )A ．11B ．99C ．120D ．121 解析：∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1.令n ＋1－1＝10，得n ＝120.答案：C4．数列1，11＋2，11＋2＋3，…，11＋2＋3＋…＋n的前n 项和S n 等于( )A.3n －1n ＋1 B.2n n ＋1 C.3n n ＋1 D.4nn ＋3解析：a n ＝2n n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以S n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＋1n －1n ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2nn ＋1. 答案：B5．(2013·云南昆明高三调研)公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且－3a 1，－a 2，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4＝( )A ．－20B ．0C ．7D ．40解析：记等比数列{a n }的公比为q ，其中q ≠1，依题意有－2a 2＝－3a 1＋a 3，－2a 1q ＝－3a 1＋a 1q 2≠0，即q 2＋2q －3＝0，(q ＋3)(q －1)＝0，又q ≠1，因此有q ＝－3，S 4＝1×[1－－3 4]1＋3＝－20，选A.答案：A6．(2013·山东青岛期中)已知函数f (n )＝n 2cos(n π)，且a n ＝f (n )，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝( )A ．0B ．100C ．5 050D ．10 200解析：因为f (n )＝n 2cos(n π)，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝－12＋22－32＋42－…－992＋1002＝(22－12)＋(42－32)＋…(1002－992)＝3＋7＋…＋199＝50 3＋1992＝5 050，选C.答案：C 二、填空题7．已知数列{a n }对于任意p ，q ∈N *有a p a q ＝a p ＋q ，若a 1＝12，则S 9＝________.解析：由题意得a n ＋1＝a n a 1，a n ＋1a n ＝a 1＝12，a n ＝a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，因此S 9＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫129＝511512.答案：5115128．数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ＝1,2,3，…)，则log 4S 10＝________.解析：∵a n ＋1＝3S n ，∴S n ＋1－S n ＝3S n ，∴S n ＋1＝4S n ，∴{S n }是以S 1为首项，公比为4的等比数列，∴S 10＝410－1＝49，∴log 4S 10＝log 449＝9.答案：99．已知数列{a n }(n ∈N *)中，a 1＝1，a n ＋1＝a n2a n ＋1，则a n ＝________ 解析：由a n ＋1＝a n 2a n ＋1得1a n ＋1＝2＋1a n∴数列{a n }的倒数成公差为2的等差数列，由此可求1a n ＝2n －1，∴a n ＝12n －1.答案：12n －1三、解答题10．(2013·青岛统一质检)已知n ∈N *，数列{d n }满足d n ＝3＋－1n2，数列{a n }满足a n ＝d 1＋d 2＋d 3＋…＋d 2n ；又知数列{b n }中，b 1＝2，且对任意正整数m ，n ，b m n ＝b nm .(1)求数列{a n }和数列{b n }的通项公式；(2)将数列{b n }中的第a 1项，第a 2项，第a 3项，……，第a n 项，……，删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c n }，求数列{c n }的前2 013项和．解：(1)∵d n ＝3＋－1 n2，∴a n ＝d 1＋d 2＋d 3＋…＋d 2n ＝3×2n2＝3n又由题知：令m ＝1，则b 2＝b 21＝22，b 3＝b 31＝23，…，b n ＝b n 1＝2n若b n ＝2n，则b mn ＝2nm，b nm ＝2mn，所以b mn ＝b nm 恒成立若b n ≠2n，当m ＝1，b mn ＝b nm 不成立，所以b n ＝2n.(2)由题知将数列{b n }中的第3项、第6项、第9项 (3)项删去后构成的新数列{c n }中的奇数项与偶数项仍成等比数列，首项分别是b 1＝2，b 2＝4公比均是8，T 2 013＝(c 1＋c 3＋c 5＋…＋c 2 013)＋(c 2＋c 4＋c 6＋…＋c 2 012)＝2× 1－81 0071－8＋4× 1－81 0061－8＝20×81 006－6711．(2013·山东烟台诊断)已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 2·a 4＝65，a 1＋a 5＝18.(1)若1<i <21，a 1，a i ，a 21是某等比数列的连续三项，求i 的值；(2)设b n ＝n2n ＋1 S n，是否存在一个最小的常数m 使得b 1＋b 2＋…＋b n <m 对于任意的正整数n 均成立，若存在，求出常数m ；若不存在，请说明理由．解：(1){a n }为等差数列，∵a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝18，又a 2·a 4＝65，∴a 2，a 4是方程x 2－18x ＋65＝0的两个根，又公差d >0，∴a 2<a 4，∴a 2＝5，a 4＝13. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝5，a 1＋3d ＝13，∴a 1＝1，d ＝4.∴a n ＝4n －3.由1<i <21，a 1，a i ，a 21是某等比数列的连续三项，∴a 1·a 21＝a 2i ，即1·81＝(4i －3)2，解得i ＝3.(2)由(1)知，S n ＝n ·1＋n n －12·4＝2n 2－n ，所以b n ＝1 2n －1 2n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝n2n ＋1 因为n 2n ＋1＝12－12 2n ＋1 <12，所以存在m ＝12使b 1＋b 2＋…＋b n <m 对于任意的正整数n 均成立．12．(2013·山西第三次四校联考)已知各项均为正数的数列{a n }前n 项和为S n ，首项为a 1，且12，a n ，S n 成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12b n ，设C n ＝b n a n ，求数列{C n }的前n 项和T n .解：(1)由题意知2a n ＝S n ＋12，a n >0当n ＝1时，2a 1＝a 1＋12，∴a 1＝12当n ≥2时，S n ＝2a n －12，S n －1＝2a n －1－12两式相减得a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1 整理得：a na n －1＝2 ∴数列{a n }是以12为首项，2为公比的等比数列．a n ＝a 1·2n －1＝12×2n －1＝2n －2(2)a 2n ＝2－b n ＝22n －4∴b n ＝4－2n ，C n ＝b n a n ＝4－2n 2＝16－8n 2 T n ＝82＋022＋－823＋…＋24－8n 2n －1＋16－8n2n① 12T n ＝822＋023＋…＋24－8n 2n ＋16－8n2n ＋1② ①－②得12T n ＝4－8⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋123＋…＋12n －16－8n 2n ＋1＝4－8·122⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12－16－8n2n ＋1＝4－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1－16－8n 2n ＋1＝4n 2n .∴T n ＝8n2n .[热点预测]13．(2013·保定第一次模拟)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω2x ，12，b ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω2x ，－12(ω>0，x ≥0)，函数f (x )＝a ·b 的第n (n ∈N *)个零点记作x n (从左向右依次计数)，则所有x n 组成数列{x n }．(1)若ω＝12，求x 2；(2)若函数f (x )的最小正周期为π，求数列{x n }的前100项和S 100. 解：f (x )＝a ·b ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω2x －14＝12sin(ωx )－14(1)当ω＝12时，f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －14令f (x )＝0，得x ＝4k π＋π3或x ＝4k π＋5π3(k ∈Z ，x ≥0)取k ＝0，得x 2＝5π3.(2)因为f (x )最小正周期为π，则ω＝2，故f (x )＝12sin(2x )－14令f (x )＝0得x ＝k π＋π12或x ＝k π＋5π12(k ∈Z ，x ≥0)所以S 100＝∑k ＝049⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋5π12＝∑k ＝049⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2 ＝2π(0＋1＋2＋…＋49)＋50×π2＝50×49π＋25π＝2 475π.。

高考数学一轮复习第五章数列 5.4 数列求和练习(含解析)

数列求和时间:50分钟总分：70分班级：姓名：一、选择题（共6小题，每题5分，共30分）1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝－20，则－6a 4＋3a 5＝( ) A.－20 B.4 C.12 D.20【答案】C【解析】因为S 5＝－20，所以S 5＝5a 3＝－20，∴a 3＝－4，∴－6a 4＋3a 5＝－6(a 1＋3d )＋3(a 1＋4d )＝－3(a 1＋2d )＝－3a 3＝12.2.(2012·大纲全国)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为( )A.100101 B.99101 C.99100 D.101100【答案】A【解析】由S 5＝5a 3及S 5＝15得a 3＝3，∴d ＝a 5－a 35－3＝1，a 1＝1，∴a n ＝n ，1a n a n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和T 100＝1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101，故选A.3.数列{a n }满足：a 1 ＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有：a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 008＝( )A.2 0072 008B.2 0071 004 C.2 0082 009 D.4 0162 009【答案】D【解析】法一因为a n ＋m ＝a n ＋a m ＋mn ，则可得a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，则可猜得数列的通项a n ＝n （n ＋1）2，∴1a n＝2n （n ＋1）＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 008＝ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋12 008－12 009＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12 009＝4 0162 009.故选D. 法二令m ＝1，得a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ＝1＋a n ＋n ，∴a n ＋1－a n ＝n ＋1，用叠加法：a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋2＋…＋n ＝n （n ＋1）2，所以1a n＝2n （n ＋1）＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1.于是1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 008＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12 008－12 009＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－12 009＝4 0162 009，故选D. 4.设a 1，a 2，…，a 50是以－1，0，1这三个整数中取值的数列，若a 1＋a 2＋…＋a 50＝9且(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝107，则a 1，a 2，…，a 50当中取零的项共有( ) A.11个 B.12个 C.15个 D.25个【答案】A【解析】 (a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝a 21＋a 22＋…＋a 250＋2(a 1＋a 2＋…＋a 50)＋50＝107，∴a 21＋a 22＋…＋a 250＝39，∴a 1，a 2，…，a 50中取零的项应为50－39＝11(个)，故选A.5.中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n(n ∈N ＋)，则S 100＝( ) A.1 300 B. 2 600 C.0 D.2 602【答案】B【解析】原问题可转化为当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝0；当n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝2.进而转化为当n 为奇数时，为常数列{1}；当n 为偶数时，为首项为2，公差为2的等差数列.所以S 100＝S 奇＋S 偶＝50×1＋(50×2＋50×492×2)＝2 600.6.已知定义在R 上的函数f (x )、g (x )满足f （x ）g （x ）＝a x ，且f ′(x )g (x )<f (x )g ′(x )，f （1）g （1）＋f （－1）g （－1）＝52，若有穷数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （n ）g （n ）(n ∈N *)的前n 项和等于3132，则n ＝( ) A.5 B.6 C.7 D.8【答案】A 【解析】令h (x )＝f （x ）g （x ）＝a x ，∵h ′(x )＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2<0， ∴h (x )在R 上为减函数，∴0<a <1.由题知，a 1＋a －1＝52，解得a ＝12或a ＝2(舍去)，∴f （n ）g （n ）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，∴有穷数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （n ）g （n ）的前n 项和S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝3132，∴n ＝5.二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）7.已知实数a 1，a 2，a 3，a 4构成公差不为零的等差数列，且a 1，a 3，a 4构成等比数列，则此等比数列的公比等于________. 【答案】 12【解析】设公差为d ，公比为q .则a 23＝a 1·a 4，即(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋3d )，解得a 1＝－4d ，所以q ＝a 3a 1＝a 1＋2d a 1＝12.8.(2013·辽宁14)已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和.若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________. 【答案】63【解析】因为x 2－5x ＋4＝0的两根为1和4，又数列{a n }是递增数列，所以a 1＝1，a 3＝4，所以q ＝2.所以S 6＝1·（1－26）1－2＝63.9.已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使得S n >0的n 的最大值为________. 【答案】19 【解析】由a 11a 10<－1得a 11＋a 10a 10<0，由它们的前几项和S n 有最大值，可得公差d <0， ∴a 10>0，a 10＋a 11<0，a 11<0，∴a 1＋a 19＝2a 10>0，a 1＋a 20＝a 10＋a 11<0，使得S n >0的n 的最大值为19， 10.已知向量a ＝(2，－n )，b ＝(S n ，n ＋1)，n ∈N *，其中S n 是数列{a n }的前n 项和，若a⊥b ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n a n ＋1a n ＋4的最大项的值为________. 【答案】19【解析】依题意得a·b ＝0，即2S n ＝n (n ＋1)，S n ＝n （n ＋1）2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n （n ＋1）2－n （n －1）2＝n ；又a 1＝1，因此a n ＝n ，a n a n ＋1a n ＋4＝n （n ＋1）（n ＋4）＝n n 2＋5n ＋4＝1n ＋4n＋5≤19，当且仅当n ＝4n，n ∈N *，即n ＝2时取等号，因此数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n a n ＋1a n ＋4的最大项的值是19.三、解答题（共2小题，每题10分，共20分）11.(2015·天津18)已知数列{a n }满足a n ＋2＝qa n (q 为实数，且q ≠1)，n ∈N *，a 1＝1，a 2＝2，且a 2＋a 3，a 3＋a 4，a 4＋a 5成等差数列. (1)求q 的值和{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a 2n a 2n －1，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和.【答案】见解析【解析】 (1)由已知，有(a 3＋a 4)－(a 2＋a 3)＝(a 4＋a 5)－(a 3＋a 4)，即a 4－a 2＝a 5－a 3，所以a 2(q －1)＝a 3(q －1)，又因为q ≠1，故a 3＝a 2＝2，由a 3＝a 1q ，得q ＝2.当n ＝2k －1(k ∈N *)时，a n ＝a 2k －1＝2k －1＝2n －12；当n ＝2k (k ∈N *)时，a n ＝a 2k＝2k＝2n2.所以，{a n}的通项公式为a n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －12，n 为奇数，2n 2，n 为偶数.(2)由(1)得b n ＝log 2a 2n a 2n －1＝n 2n －1，n ∈N *.设{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1×120＋2×121＋3×122＋…＋(n －1)×12n －2＋n ×12n －1，12S n ＝1×121＋2×122＋3×123＋…＋(n －1)×12n －1＋n ×12n . 上述两式相减得：12S n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝1－12n1－12－n 2n ＝2－22n －n2n ，整理得，S n ＝4－n ＋22n －1，n ∈N *.所以，数列{b n }的前n 项和为4－n ＋22n －1，n ∈N *.12.设函数f (x )＝23＋1x (x >0)，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1，n ∈N *，且n ≥2.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)对n ∈N *，设S n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4＋…＋1a n a n ＋1，若S n ≥3t 恒成立，求实数t 的取值范围.【答案】见解析【解析】 (1)由a n ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫1a n －1得a n －a n －1＝23，n ∈N *，n ≥2，所以{a n }是等差数列，又因为a 1＝1，所以a n ＝1＋(n －1)×23＝2n ＋13.(2)由a n ＝2n ＋13得a n ＋1＝2n ＋33.所以1a n a n ＋1＝9（2n ＋1）（2n ＋3）＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.∴S n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4＋…＋1a n a n ＋1＝92⎣⎢⎡13－15＋15－17＋17－19＋…⎦⎥⎤＋12n ＋1－12n ＋3＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3＝3n 2n ＋3. 由S n ≥3t 得t ≤n 2n ＋3，又⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2n ＋3递增，所以n ＝1时，n 2n ＋3有最小值为15，所以t ≤15.即t的取值范围为1,5⎛⎤-∞⎥⎝⎦.。

2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套第五章数列第5节数列的综合应用

2009~2013年高考真题备选题库第5章数列第5节数列的综合应用考点数列与其他知识的交汇1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝c n ＋a n 2，c n ＋1＝b n ＋a n2，则( )A ．{S n }为递减数列B ．{S n }为递增数列C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列解析：本题考查三角形面积公式和归纳推理等知识，意在考查考生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力，对考生的归纳推理能力、逻辑思维能力要求较高．已知b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a 2＝a 1，故b 2＝c 1＋a 12＝34c 1＋14b 1＜b 1，c 2＝b 1＋a 12＝34b 1＋14c 1＞c 1，b 2＋c 2＝a 1＋b 1＋c 12＝2a 1，b 2－c 2＝c 1－b 12＜0，即b 2＜c 2，b 2c 2＝⎝⎛⎭⎫34c 1＋14b 1·⎝⎛⎭⎫34b 1＋14c 1＝316(b 1＋c 1)2＋14b 1c 1＞b 1c 1.又a 3＝a 2＝a 1，所以b 3＝c 2＋a 22＝34c 2＋14b 2＜b 2，c 3＝b 2＋a 22＝34b 2＋14c 2＞c 2，b 3＋c 3＝c 2＋a 22＋b 2＋a 22＝2a 2＝2a 1，b 3－c 3＝34c 2＋14b 2－⎝⎛⎭⎫34b 2＋14c 2＝c 2－b 22＞0，即b 3＞c 3，b 3c 3＝⎝⎛⎭⎫34c 2＋14b 2⎝⎛⎭⎫34b 2＋14c 2＝316(b 2＋c 2)2＋14b 2c 2＞b 2c 2＞b 1c 1.又△A n B n C n 的面积为S n ＝ p (p －a n )(p －b n )(p －c n )＝p (p －a n )[p 2－(b n ＋c n )p ＋b n c n ]，其中p ＝12(a n ＋b n ＋c n )，p (p －a n )和p 2－(b n ＋c n )p 都为定值，b nc n 逐渐递增，所以数列{S n }为递增数列，选择B.答案：B2.（2013安徽，14分）如图，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n ，…，分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等．设OA n ＝a n .若a 1＝1，a 2＝2，则数列{a n }的通项公式是________．解析：本题考查由数列递推求通项、三角形相似以及平行线分线段成比例等知识．令S △OA 1B 1＝m (m >0)，因为所有A n B n 平行且a 1＝1，a 2＝2，所以S 梯形A n B n B n ＋1A n ＋1＝S 梯形A 1B 1B 2A 2＝3m ，当n ≥2时，a n a n －1＝OA nOA n －1＝m ＋(n －1)×3mm ＋(n －2)×3m＝3n －23n －5，故a 2n ＝3n －23n －5a 2n －1，a 2n －1＝3n －53n －8a 2n －2， a 2n －2＝3n －83n －11a 2n －3， … a 22＝41a 21，以上各式累乘可得：a 2n ＝(3n －2)a 21，因为a 1＝1，所以a n ＝3n －2. 答案：a n ＝3n －23．（2013北京，14分）设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *.(1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.解：本题考查数列的通项与前n 项和的关系、等差数列的通项公式、裂项求和、放缩法等基础知识和基本方法，考查化归与转化思想、分类与整合思想，考查考生的运算求解能力、逻辑推理能力以及分析问题、解决问题能力．(1)依题意，2S 1＝a 2－13－1－23，又S 1＝a 1＝1，所以a 2＝4.(2)当n ≥2时，2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，两式相减得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －13(3n 2－3n ＋1)－(2n －1)－23，整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1－n (n ＋1)，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，又a 22－a 11＝1，故数列{a nn }是首项为1，公差为1的等差数列，所以a nn ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝n 2.(3)证明：当n ＝1时，1a 1＝1<74；当n ＝2时，1a 1＋1a 2＝1＋14＝54<74；当n ≥3时，1a n ＝1n 2<1(n －1)n ＝1n －1－1n，此时1a1＋1a2＋…＋1a n＝1＋122＋132＋142＋…＋1n2<1＋14＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n－1－1n＝1＋14＋12－1n＝74－1n<74.综上，对一切正整数n，有1a1＋1a2＋…＋1a n<74.4．（2013北京，13分）已知{a n}是由非负整数组成的无穷数列．该数列前n项的最大值记为A n，第n项之后各项a n＋1，a n＋2, …的最小值记为B n，d n＝A n－B n.(1)若{a n}为2,1,4,3,2,1,4,3，…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，a n＋4＝a n)，写出d1，d2，d3，d4的值；(2)设d是非负整数．证明：d n＝－d(n＝1,2,3，…)的充分必要条件为{a n}是公差为d的等差数列；(3)证明：若a1＝2，d n＝1(n＝1,2,3，…)，则{a n}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.解：本题主要考查无穷数列的有关知识，考查了考生对新定义类数列的理解与运用，对考生的逻辑思维能力要求较高．(1)d1＝d2＝1，d3＝d4＝3.(2)证明：(充分性)因为{a n}是公差为d的等差数列，且d≥0，所以a1≤a2≤…≤a n≤…，因此A n＝a n，B n＝a n＋1，d n＝a n－a a＋1＝－d(n＝1,2,3…)．(必要性)因为d n＝－d≤0(n＝1,2,3，…)，所以A n＝B n＋d n≤B n，又a n≤A n，a n＋1≥B n，所以a n≤a n＋1，于是，A n＝a n，B n＝a n＋1，因此a n＋1－a n＝B n－A n＝－d n＝d，即{a n}是公差为d的等差数列．(3)证明：因为a1＝2，d1＝1，所以A1＝a1＝2，B1＝A1－d1＝1.故对任意n≥1，a n≥B1＝1.假设{a n}(n≥2)中存在大于2的项．设m为满足a m＞2的最小正整数，则m≥2，并且对任意1≤k＜m，a k≤2.又a1＝2，所以A m－1＝2，且A m＝a m＞2.于是，B m＝A m－d m＞2－1＝1，B m－1＝min{a m，B m}≥2.故d m－1＝A m－1－B m－1≤2－2＝0，与d m－1＝1矛盾．所以对于任意n≥1，有a n≤2，即非负整数列{a n}的各项只能为1或2.因为对任意n≥1，a n≤2＝a1，所以A n ＝2.故B n ＝A n －d n ＝2－1＝1.因此对于任意正整数n ，存在m 满足m ＞n ，且a m ＝1，即数列{a n }有无穷多项为1. 5．（2012福建，4分）数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π2＋1，前n 项和为S n ，则S 2 012＝________.解析：∵a n ＝n cos n π2＋1，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝6，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝6，…，a 4k ＋1＋a 4k ＋2＋a 4k＋3＋a 4k ＋4＝6，k ∈N ，故S 2 012＝503×6＝3 018. 答案：3 0186．（2011福建，13分）已知等比数列{a n }的公比q ＝3，前3项和S 3＝133.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A ＞0,0＜φ＜π)在x ＝π6处取得最大值，且最大值为a 3，求函数f (x )的解析式．解：(1)由q ＝3，S 3＝133，得a 1(1－33)1－3＝133，解得a 1＝13.所以a n ＝13×3n －1＝3n －2.(2)由(1)可知a n ＝3n －2，所以a 3＝3.因为函数f (x )的最大值为3，所以A ＝3；因为当x ＝π6时f (x )取得最大值，所以sin(2×π6＋φ)＝1.又0＜φ＜π，故φ＝π6.所以函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin(2x ＋π6)．。

新课标高考数列《数列求和》大题专题含答案

2015高考数学专题复习：数列 2015。

4。

6数列求和1.公式求和1.)12)(1(613212222++=++++n n n n 2.233332)1(321⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++++n n n 3.数列{}n a 中，31,21==q a （Ⅰ）求n n S a ,(Ⅱ)n n a a a a b 3332313log log log log +++=,求n b4。

已知数列{}n a 的前n 项和n S 和通项n a 满足(1)1n n qS a q =--（q 是常数且0,1,q q >≠) （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a （Ⅱ)当13q =时，试证明2121<+++n a a a ()()()()()nn n n n n n n nn S q a n n n b a n n S S ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-==+-=⎪⎭⎫⎝⎛⋅=-=-=-312121,4.2log 21,3123.92.1313122.错位相减法求和1.()n n n a 312⋅+=，求n S 2。

n n na 32= ，求n S 3。

()22213-⋅-=n n n a ,求n S4. 已知数列{}n a 的前n 项和21n n S a n =+-，数列{}n b 满足n n n n na a n b -+=⋅++11)1(3,且11=b ．（Ⅰ）求n a ,n b（Ⅱ)设n T 为数列{}n b 的前n 项和,求n T ．5。

设等比数列{}n a 的前项和为n S ，已知221+=+n n S a （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式（Ⅱ）在n a 和1+n a 之间插入n 个数，使这2+n 个数组成公差为n d 的等差数列，求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n d 1前n 项和n T6。

已知数列满足:,其中为数列的前项和。

（Ⅰ)试求的通项公式（Ⅱ）若数列满足：,求的前n 项和公式7。

正项等比数列的前项和为,,且的等差中项为.(Ⅰ)求数列的通项公式（Ⅱ)设，求的前n 项和公式()()()()()()()()12111111292169827.221,216.3116581615,31411,325.334,124.3243233.2331232.31++----+⋅+-==+⋅-=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫⎝⎛⋅+=⋅=-=-=+⋅-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⋅=n n n n n n nn n n n n n n n n n n n nn n n n T a n T a n T n d a n b n a n S n S n S ，3。

2015届高考数学(文)第一轮复习达标课时跟踪检测：5-5 数列的综合应用含答案

[A 组基础演练·能力提升]一、选择题1．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n的两个零点，则b 8＋a 9＝( )A ．24B ．32C ．48D ．64解析：依题意有，a n ＋a n ＋1＝b n ，a n ·a n ＋1＝2n，又a 1＝1，故a 2＝2，a 3＝2，a 4＝22，a 5＝22，a 6＝23，a 7＝23，a 8＝24，a 9＝24，故b 8＋a 9＝(a 8＋a 9)＋a 9＝a 8＋2a 9＝3×24＝48.答案：C2．已知数列{a n }为等差数列，数列{b n }是各项为正数的等比数列，其公比q ≠1，若a 4＝b 4，a 12＝b 12，则( )A ．a 8＝b 8B ．a 8>b 8C ．a 8<b 8D ．a 8>b 8或a 8<b 8解析：∵{b n }为等比数列，其公比q ≠1，∴b 4≠b 12， ∴a 4≠a 12，∴a 8＝a 4＋a 122> a 4a 12＝ b 4b 12＝b 8.答案：B3．已知正项等差数列{a n }满足：a n ＋1＋a n －1＝a 2n (n ≥2)，等比数列{b n }满足：b n ＋1b n －1＝2b n (n ≥2)，则log 2(a 2＋b 2)＝( )A ．－1或2B ．0或2C ．2D ．1解析：由题意可知， a n ＋1＋a n －1＝2a n ＝a 2n ，解得a n ＝2(n ≥2)(由于数列{a n }每项都是正数)，又b n ＋1b n －1＝b 2n ＝2b n (n ≥2)，所以b n ＝2(n ≥2)，log 2(a 2＋b 2)＝log 24＝2.答案：C4．(2013年高考辽宁卷)下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个命题：P 1：数列{a n }是递增数列； P 2：数列{na n }是递增数列； P 3：数列{a nn }是递增数列；P 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中的真命题为( ) A ．p 1，p 2 B ．p 3，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 1，p 4解析：设a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d ，它是递增数列，所以p 1为真命题；若a n ＝3n －12，则满足已知，但na n ＝3n 2－12n 并非递增数列，所以p 2为假命题；若a n ＝n ＋1，则满足已知，但a n n＝1＋1n是递减数列，所以p 3为假命题；设a n ＋3nd ＝4dn ＋a 1－d ，它是递增数列，所以p 4为真命题．答案：D5．(2014年保定调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a cos C ，b cosB ，c cos A 成等差数列，若b ＝3，则a ＋c 的最大值为( )A.32 B ．3 C ．2 3D ．9解析：∵a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列， ∴2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，∴cos B ＝12，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－3ac ≥(a ＋c )2－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝a ＋c 24，即3≥a ＋c24，当且仅当a ＝c 时，等号成立，∴a ＋c ≤2 3. 答案：C6．若关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0与x 2－x ＋b ＝0(a ≠b )的四个根组成首项为14的等差数列，则a ＋b 的值是( )A.38B.1124C.1324D.3172解析：设两个方程的根分别为x 1、x 4和x 2、x 3.因为x 1＋x 4＝x 2＋x 3＝1，所以x 1＝14，x 4＝34，从而x 2＝512，x 3＝712.则a ＝x 1x 4＝316，b ＝x 2x 3＝35144，或a ＝35144，b ＝316，∴a ＋b ＝316＋35144＝3172.答案：D 二、填空题7．(2013年高考重庆卷)已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n 为其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8＝________.解析：因为{a n }为等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列，所以a 1(a 1＋4d )＝(a 1＋d )2，解得d ＝2a 1＝2，所以S 8＝64.答案：648．《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一月(按30天计)，共织390尺布”，则每天比前一天多织________尺布．(不作近似计算)解析：由题意知，a 1＝5，n ＝30，S n ＝390＝30×5＋30×292d ⇒d ＝1629.答案：16299．(2014年合肥模拟)已知数列{a n }满足a n a n ＋1a n ＋2a n ＋3＝24，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 013＝________.解析：由a n a n ＋1a n ＋2a n ＋3＝24可知，a n ＋1a n ＋2a n ＋3·a n ＋4＝24，得a n ＋4＝a n ，所以数列{a n }是周期为4的数列，再令n ＝1，求得a 4＝4，每四个一组可得(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋…＋(a 2 009＋a 2 010＋a 2 011＋a 2 012)＋a 2 013＝10×503＋1＝5 031.答案：5 031 三、解答题10．(2014年大同模拟)已知公比为q 的等比数列{a n }的前6项和S 6＝21，且4a 1，32a 2，a 2成等差数列．(1)求a n ；(2)设{b n }是首项为2，公差为－a 1的等差数列，其前n 项和为T n ，求不等式T n －b n >0的解集．解析：(1)∵4a 1，32a 2，a 2成等差数列，∴4a 1＋a 2＝3a 2，即4a 1＝2a 2，∴q ＝2. 则S 6＝a 1－261－2＝21，解得a 1＝13，∴a n ＝2n －13.(2)由(1)得－a 1＝－13，∴b n ＝2＋(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝7－n 3，T n ＝2n ＋n2(n －1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝13n －n 26，∴T n －b n >0，即－n －n －6>0，解得1<n <14(n ∈N *)，故不等式T n －b n >0的解集为{n ∈N *|1<n <14}．11．已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n ·2n ＋1>50成立的正整数n 的最小值．解析：(1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，依题意，有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，代入a 2＋a 3＋a 4＝28，得a 3＝8，∴a 2＋a 4＝20，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20a 1q 2＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12a 1＝32.又数列{a n }单调递增，∴q ＝2，a 1＝2，∴a n ＝2n.(2)由题意知b n ＝2n ·log 122n ＝－n ·2n ，∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n，①∴－2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n＋n ×2n ＋1，②∴①－②得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝－2n1－2－n ·2n ＋1＝2n ＋1－n ·2n ＋1－2，∵S n ＋n ·2n ＋1>50，∴2n ＋1－2>50，∴2n ＋1>52，又当n ≤4时，2n ＋1≤25＝32<52，当n ≥5时，2n ＋1≥26＝64>52.故使S n ＋n ·2n ＋1>50成立的正整数n 的最小值为5.12．(能力提升)(2013年高考广东卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，2S nn＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *. (1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；解析：(1)依题意，2S 1＝a 2－13－1－23，又S 1＝a 1＝1，所以a 2＝4.(2)当n ≥2时，2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，两式相减得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －13(3n 2－3n ＋1)－(2n －1)－23，整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1－n (n ＋1)，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，又a 22－a 11＝1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为1，公差为1的等差数列，所以a nn＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝n 2.。

2015届高考数学总复习(基础过关+能力训练)：数列数列的综合应用(含答案)

第五章数列第6课时数列的综合应用1. 在等差数列{a n }中、满足3a 4＝7a 7、且a 1>0、S n 是数列{a n }前n 项的和、若S n 取得最大值、则n ＝________．答案：9解析：设公差d 、由题设3(a 1＋3d)＝7(a 1＋6d)、所以d ＝－433a 1<0.解不等式a n >0、即a 1＋(n －1)⎝⎛⎭⎫－433a 1>0、所以n<374、则n ≤9、当n ≤9时、a n >0、同理可得n ≥10、a n <0. 故当n ＝9时、S n 取得最大值．2. 已知数列{a n }满足a 1＝43、2－a n ＋1＝12a n ＋6(n ∈N *)、则i ＝1n 1a i ＝________．答案：2·3n －n －24解析：条件化为1a n ＋1＝3a n ＋12、即1a n ＋1＋14＝3⎝⎛⎭⎫1a n ＋14、所以1a n ＝3n －1－14、故∑i ＝1n 1a i ＝1－3n 1－3－n 4＝2×3n －2－n 4. 3. 已知等比数列{a n }中、各项都是正数、且a 1、12a 3、2a 2成等差数列、则a 9＋a 10a 7＋a 8＝________．答案：3＋2 2解析：∵ a 1、12a 3、2a 2成等差数列、∴ 2×12a 3＝a 1＋2a 2、即a 3＝a 1＋2a 2、设等比数列{a n }的公比为q 且q ＞0、则a 3＝a 1q 2、a 2＝a 1q 、∴ a 1q 2＝a 1＋2a 1q 、∴ q 2＝1＋2q 、解得q＝1＋2或1－2(舍)、a 9＋a 10a 7＋a 8＝a 9（1＋q ）a 7（1＋q ）＝q 2＝(2＋1)2＝3＋2 2. 4. (2013·郑州模拟)已知各项均不为0的等差数列{a n }、满足2a 3－a 27＋2a 11＝0、数列{b n }是等比数列、且b 7＝a 7、则b 6b 8＝________．答案：16解析：因为{a n }为等差数列、所以a 3＋a 11＝2a 7、所以已知等式可化为4a 7－a 27＝0、解得a 7＝4或a 7＝0(舍去)．又{b n }为等比数列、所以b 6b 8＝b 27＝a 27＝16.5. 已知{a n }是递增数列、且对任意n ∈N *都有a n ＝n 2＋λn 恒成立、则实数λ的取值范围是________．答案：(－3、＋∞)解析：∵ {a n }是递增数列、∴ a n ＋1>a n 、即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)>n 2＋λn 、∴ λ>－2n －1对于n ∈N *恒成立．而－2n －1在n ＝1时取得最大值－3、∴ λ>－3.6. 在各项均为正数的数列{a n }中、S n 为前n 项和、na 2n ＋1＝(n ＋1)a 2n ＋a n a n ＋1且a 3＝π、则tanS 4＝________．答案： 3解析：由na 2n ＋1＝(n ＋1)a 2n ＋a n a n ＋1、可得(a n ＋a n ＋1)(na n ＋1－na n －a n )＝0.∵ 数列{a n }各项都为正数、∴ a n ＋a n ＋1＞0、∴ na n ＋1－na n －a n ＝0.∴ a n a n ＋1＝n n ＋1.∴ a 3a 4＝34、a 4a 5＝45、…、a n －1a n ＝n －1n .各式相乘、得a 3a n ＝3n .∵ a 3＝π、∴ a n ＝n π3.∴ S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝π3＋2π3＋3π3＋4π3＝10π3. ∴ tanS 4＝tan 10π3＝tan π3＝3.7. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx 的图象过点(－4n 、0)、且f ′(0)＝2n 、(n ∈N *)．(1) 求f(x)的解析式；(2) 若数列{a n }满足1a n ＋1＝f′⎝⎛⎭⎫1a n 、且a 1＝4、求数列{a n }的通项公式．解：(1) 由f′(x)＝2ax ＋b 、∴ ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2n ，16n 2a －4nb ＝0.解得a ＝12、b ＝2n 、即f(x)＝12x 2＋2nx(n ∈N *)． (2) 由1a n ＋1＝1a n ＋2n 、∴ 1a n ＋1－1a n＝2n. 由累加得1a n －14＝n 2－n 、∴ a n ＝4（2n －1）2(n ∈N *)． 8. (2013·重庆)已知{a n }为等差数列、且a 1＋a 3＝8、a 2＋a 4＝12.(1) 求{a n }的通项公式；(2) 记{a n }的前n 项和为S n 、若a 1、a k 、S k ＋2成等比数列、求正整数k 的值．解：(1) 设数列{a n }的公差为d 、由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋2d ＝8，2a 1＋4d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n.(2) 由(1)可得S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n （2＋2n ）2＝n(n ＋1)．因为a 1、a k 、S k ＋2成等比数列、所以a 2k ＝a 1S k ＋2.从而(2k)2＝2(k ＋2)(k ＋3)、即k 2－5k －6＝0、解得k ＝6或k ＝－1(舍去)、因此k ＝6.9. 在公差为d 的等差数列{a n }中、已知a 1＝10、且a 1、2a 2＋2、5a 3成等比数列．(1) 求d 、a n ；(2) 若d<0、求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.解：(1) 由已知得到：(2a 2＋2)2＝5a 1a 3 4(a 1＋d ＋1)2＝50(a 1＋2d) (11＋d)2＝25(5＋d) 121＋22d ＋d 2＝125＋25d d 2－3d －4＝0 ⎩⎪⎨⎪⎧d ＝4，a n ＝4n ＋6或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－1，a n ＝11－n. (2) 由(1)知、当d<0时、a n ＝11－n 、① 当1≤n ≤11时、a n ≥0、∴ |a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝n （10＋11－n ）2＝n （21－n ）2； ② 当n ≥12时、a n ≤0、∴ |a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11－(a 12＋a 13＋…＋a n )＝2(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11)－(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n )＝2×11（21－11）2－n （21－n ）2＝n 2－21n ＋2202、所以、|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝⎩⎨⎧n （21－n ）2，（1≤n ≤11），n 2－21n ＋2202，（n ≥12）. 10. (2013·湖北)已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10、a 1a 2a 3＝125.(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 是否存在正整数m 、使得1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≥1？若存在、求m 的最小值；若不存在、说明理由．解：(1) 由已知条件得：a 2＝5.又a 2|q －1|＝10、∴ q ＝－1或3、所以数列{a n }的通项a n ＝5×(－1)n －2或a n ＝5×3n －2.(2) 若q ＝－1、1a 1＋1a 2＋…＋1a m ＝－15或0、不存在这样的正整数m ；若q ＝3、1a 1＋1a 2＋…＋1a m ＝910⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13m <910、不存在这样的正整数m. 11. (2013·陕西)设{a n }是公比为q 的等比数列.(1) 推导{a n }的前n 项和公式；(2) 设q ≠1, 证明：数列{a n ＋1}不是等比数列.(1) 解：分两种情况讨论．① 当q ＝1时、数列{a n }是首项为a 1的常数数列、所以S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1. ② 当q ≠1时、S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n qS n ＝qa 1＋qa 2＋…＋qa n －1＋qa n . 上面两式错位相减、得(1－q)S n ＝a 1＋(a 2－qa 1)＋(a 3－qa 2)＋…＋(a n －qa n －1)－qa n ＝a 1－qa n .故S n ＝a 1－qa n 1－q＝a 1（1－q n ）1－q. 综上、S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1（q ＝1），a 1（1－q n ）1－q（q ≠1）. (2) 证明：使用反证法．设{a n }是公比q ≠1的等比数列、假设数列{a n ＋1}是等比数列．则 ① 当 n ∈N *、使得a n ＋1＝0成立、则{a n ＋1}不是等比数列．② 当 n ∈N *、使得a n ＋1≠0成立、则a n ＋1＋1a n ＋1＝a 1q n ＋1a 1q n －1＋1＝q ＋1－q a 1q n －1＋1恒为常数、所以q ＝1.这与题目条件q ≠1矛盾．综上两种情况、假设数列{a n ＋1}是等比数列均不成立、所以当q ≠1时、数列{a n ＋1}不是等比数列．。

2015届高考数学总复习(基础过关+能力训练)：数列数列的求和(含答案)

第五章数列第4课时数列的求和1. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n＝________．答案：6解析：由a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，得d ＝2，∴ S n ＝n 2－12n ＝(n －6)2－36，∴ n ＝6时，S n 最小．2. 若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝________．答案：13解析：由S 5＝25且a 2＝3，得a 1＝1，d ＝2，故a 7＝a 1＋6d ＝13.3. 设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝ ________．答案：n （n ＋1）2＋1 解析：∵a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，∴a n ＝a n －1＋(n －1)＋1，a n －1＝a n －2＋(n －2)＋1，a n －2＝a n －3＋(n －3)＋1，…，a 3＝a 2＋2＋1，a 2＝a 1＋1＋1，a 1＝2＝1＋1，将以上各式相加得a n＝[(n －1)＋(n －2)＋(n －3)＋…＋2＋1]＋n ＋1＝（n －1）[（n －1）＋1]2＋n ＋1＝（n －1）n 2＋n ＋1＝n （n ＋1）2＋1. 4. 已知在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，当整数n>1时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)都成立，则S 5＝________．答案：21解析：S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)可得(S n ＋1－S n )－(S n －S n －1)＝2S 1＝2，即a n ＋1－a n ＝2(n ≥2)，即数列{a n }从第二项起构成等差数列，则S 5＝1＋2＋4＋6＋8＝21.5. 已知数列a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n －1，n 为奇数，n ，n 为偶数，则S 100＝________．答案：5000解析：由题意得S 100＝a 1＋a 2＋…＋a 99＋a 100＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99)＋(a 2＋a 4＋…＋a 100)＝(0＋2＋4＋…＋98)＋(2＋4＋6＋…＋100)＝5000.6. 在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n ＝________．答案：2n解析：因数列{a n }为等比数列，则a n ＝2q n －1，因数列{a n ＋1}也是等比数列，则3，2q ＋1，2q 2＋1成等比数列，(2q ＋1)2＝3×(2q 2＋1)，即q 2－2q ＋1＝0q ＝1，即a n ＝2，所以S n ＝2n.7. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *都有S n ＝23a n －13.若1<S k <9(k ∈N *)，则k ＝________．答案：4解析：S n ＝23(S n －S n －1)－13(n ≥2)， ∴ S n ＋13＝－2⎝⎛⎭⎫S n －1＋13，∴ S n ＝⎝⎛⎭⎫－23·(－2)n －1－13. ∵ 1＜S k ＜9，k ∈N *，∴ k ＝4.8. 各项都为正数的数列{a n }，其前n 项的和为S n ，且S n ＝(S n －1＋a 1)2(n ≥2)，若b n ＝a n ＋1a n ＋a n a n ＋1，且数列{b n }的前n 项的和为T n ，则T n ＝________．答案：4n 2＋6n 2n ＋1解析：因S n －S n －1＝S 1，叠加可得S n ＝n S 1，即S n ＝n 2a 1，所以a n ＝S n －S n －1＝(2n －1)a 1，b n ＝2n ＋12n －1＋2n －12n ＋1＝2＋22n －1－22n ＋1，T n ＝⎝⎛⎭⎫2＋21－23＋⎝⎛⎭⎫2＋23－25＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22n －1－22n ＋1＝2n ＋2－22n ＋1＝4n 2＋6n 2n ＋1. 9. 已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0.(1) 求{a n }的通项公式；(2) 若等比数列{b n }满足b 1＝－8，b 2＝a 1＋a 2＋a 3，求{b n }的前n 项和公式．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d.因为a 3＝－6，a 6＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝－6，a 1＋5d ＝0，解得a 1＝－10，d ＝2，所以a n ＝－10＋(n －1)·2＝2n －12.(2) 设等比数列{b n }的公比为q ，因为b 2＝a 1＋a 2＋a 3＝－24，b 1＝－8，所以－8q ＝－24，即q ＝3，所以{b n }的前n 项和公式为S n ＝b 1（1－q n ）1－q＝4(1－3n )． 10. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点P n (n ，S n )(n ∈N )在函数f(x)＝－x 2＋7x 的图象上．(1) 求数列{a n }的通项公式及S n 的最大值； (2) 令b n ＝2a n ，其中n ∈N ，求{nb n }的前n 项和．解：(1) 因为点P n (n ，S n )(n ∈N )均在函数y ＝f(x)的图象上，所以有S n ＝－n 2＋7n ，当n ＝1时，a 1＝S 1＝6，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n ＋8，∴ a n ＝－2n ＋8(n ∈N )．令a n ＝－2n ＋8≥0得n ≤4，∴ 当n ＝3或n ＝4时，S n 取得最大值12，综上，a n ＝－2n ＋8(n ∈N )，当n ＝3或n ＝4时，S n 取得最大值12.(2) 由题意得b 1＝26＝8，b n ＝2－2n ＋8＝2－n ＋4，所以b n ＋1b n ＝12，即数列{b n }是首项为8、公比为12的等比数列，即b n ＝8⎝⎛⎭⎫12n －1＝24－n ，故{nb n }的前n 项和T n ＝1×23＋2×22＋…＋n ×2－n ＋4 ①，12T n ＝1×22＋2×2＋…＋(n －1)×2－n ＋4＋n ×2－n ＋3 ②，所以①－②得12T n ＝23＋22＋…＋2－n ＋4－n ×2－n ＋3，∴T n ＝16·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12－n·24－n ＝32－(2＋n)24－n . 11. 已知x ，f （x ）2，3(x ≥0)成等差数列，又在数列{a n }(a n >0)中a 1＝3，此数列的。

2015届高考理科数学一轮第五章数列复习题(带答案)

2015届高考理科数学一轮第五章数列复习题（带答案）第1课时数列的概念与简单的表示方法1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2．了解数列是自变量为正整数的一类函数．对应学生用书P80]【梳理自测】一、数列的有关概念1．数列－3，7，－11，15，…的通项公式可能是()A．an＝4n－7B．an＝(－1)n(4n＋1)C．an＝(－1)n(4n－1)D．an＝(－1)n＋1(4n－1)2．已知数列{an}的通项公式为an＝nn＋1，则这个数列是()A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列3．在数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1，则a5的值为()A．30B．31C．32D．33答案：1.C2.A3.B◆以上题目主要考查了以下内容：(1)数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)．(2)数列的分类分类原则类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列an＋1＞an其中n∈N*递减数列an＋1＜an常数列an＋1＝an摆动数列从第2项起有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项.(3)数列的表示法①列举法：a1，a2，a3，…，an，…；②图象法：数列可用一群孤立的点表示；③解析法(公式法)：通项公式或递推公式．(4)数列的通项公式如果数列{an}的第n项与项数n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．二、Sn与an的关系1．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为()A．15B．16C．49D．642．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n＝1，2，3，…)，则通项公式an＝________．答案：1.A2.2n－11◆以上题目主要考查了以下内容：若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.【指点迷津】1．一种特殊性数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．数列的图象是一群孤立的点．2．与集合的两个区别(1)若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列，这有别于集合中元素的无序性．(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现．对应学生用书P81]考向一由数列的前几项归纳数列的通项公式根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)－1，7，－13，19，…；(2)0.8，0.88，0.888，…；(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…；(4)32，1，710，917，…；(5)0，1，0，1，….【审题视点】观察数列中每项的共同特征及随项数变化规律，写通项公式．【典例精讲】(1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．(2)将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，∴an＝891－110n.(3)各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出第2，3，4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32，原数列可化为－21－321，22－322，23－323，24－324，…，∴an＝(－1)n•2n－32n.(4)将数列统一为32，55，710，917，…，对于分子3，5，7，9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2，5，10，17，…，联想到数列1，4，9，16，…，即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，因此可得它的一个通项公式为an＝2n＋1n2＋1.(5)an＝0（n为奇数）1（n为偶数）或an＝1＋（－1）n2或an＝1＋cosnπ2.【类题通法】1.据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项符号特征．2．观察、分析要有目的，观察出项与项数之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决．3．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式所得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．1．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)2，0，2，0，…；(2)12，34，78，1516，…；(3)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…；(4)7，77，777，7777，….解析：(1)an＝2（n为奇数），0（n为偶数）.(2)an＝2n－12n.(3)an＝(－1)n1n（n＋1）.(4)an＝79×(10n－1)．考向二由Sn求an(2014•湖南省高三检测)已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且对任意的正数x，y都有f(x•y)＝f(x)＋f(y)，若数列{an}的前n项和为Sn，且满足f(Sn＋2)－f(an)＝f(3)(n∈N*)，则an为()A．2n－1B．nC．2n－1D．(32)n－1【审题视点】利用函数单调性把f(Sn＋2)－f(an)＝f(3)转化为Sn与an的关系，利用Sn－Sn－1＝an，求an.【典例精讲】由题意知f(Sn＋2)＝f(an)＋f(3)(n∈N*)，∴Sn＋2＝3an，Sn－1＋2＝3an－1(n≥2)，两式相减得，2an＝3an－1(n≥2)，又n＝1时，S1＋2＝3a1＝a1＋2，∴a1＝1，∴数列{an}是首项为1，公比为32的等比数列，∴an＝(32)n－1.【答案】D【类题通法】已知Sn求an时应注意的问题(1)应重视分类讨论思想的应用，分n＝1和n≥2两种情况讨论；特别注意an＝Sn－Sn－1中需n≥2.(2)由Sn－Sn－1＝an推得an，当n＝1时，a1也适合“an式”，则需统一“合写”．(3)由Sn－Sn－1＝an，推得an，当n＝1时，a1不适合“an式”，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即an＝S1（n＝1），Sn－Sn－1（n≥2）.。

2015届高考数学总复习(基础过关+能力训练)：数列数列的简单应用(含答案)

第五章数列第5课时数列的简单应用1. 已知等差数列{a n }的公差为2，且a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝________．答案：－6解析：a 23＝a 1a 4，即(a 1＋4)2＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝－8，所以a 2＝－6.2. 已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝________．答案：31解析：设{a n }的公比为q ，则由等比数列的性质知，a 2·a 3＝a 1·a 4＝2a 1，即a 4＝2.由a 4与2a 7的等差中项为54，得a 4＋2a 7＝2×54，∴a 7＝12⎝⎛⎭⎫2×54－a 4＝14.∴q 3＝a 7a 4＝18，即q ＝12.a 4＝a 1q 3＝a 1×18＝2，∴a 1＝16，S 5＝16⎝⎛⎭⎫1－1251－12＝31.3. 已知{a n }是公比为q 的等比数列，若a 4，a 5＋a 7，a 6成等差数列，则q ＝________．答案：12解析：a 4，a 5＋a 7，a 6成等差数列，∴ 2(a 5＋a 7)＝a 4＋a 6，∴ 2(a 4q ＋a 6q)＝a 4＋a 6，∴ q ＝12.4. 已知等差数列{a n }的公差d ≠0，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是________．答案：3解析：a 25＝a 1a 17，即(a 1＋4d)2＝a 1(a 1＋16d)，即a 1d －2d 2＝0.又d ≠0，∴a 1＝2d.公比q ＝a 5a 1＝6d2d＝3.5. 已知数列{a n }是各项都是正数的等比数列，若a 2，12a 3，2a 1成等差数列，则a 3＋a 4a 4＋a 5＝________．答案：12解析：2×12a 3＝2a 1＋a 2，即a 1q 2＝2a 1＋a 1q ，q 2－q －2＝0，解得q ＝－1或2.∵ a n >0，q>0，∴ q ＝2.a 3＋a 4a 4＋a 5＝a 3＋a 4（a 3＋a 4）q ＝1q ＝12.6. 若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的积，则称该数列为“m 积数列”．若正项等比数列{a n }是一个“2 012积数列”，且a 1>1，则其前n 项的积最大时，n ＝________．答案：1 005或1 006解析：根据条件可知a 1a 2a 3…a 2012＝a 2012，故a 1a 2a 3…a 2011＝1，即a 20111006＝1，故a 1006＝1，而a 1>1，故{a n }的公比0<q<1，则0<a 1007<1，a 1005>1，故数列{a n }的前n 项的积最大时，n ＝1005或1006.7. 如图，将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表．已知表中的第一列a 1，a 2，a 5，…构成一个公比为2的等比数列，从第2行起，每一行都是一个公差为d 的等差数列．若a 4＝5，a 86＝518，则d ＝________.1a 2 a 3 a 4a 5 a 6 a 7 a 8 a 9…答案：1.5解析：第2行成公差为d 的等差数列，可得：a 2＝a 4－2d ＝5－2d ，第n 行的数的个数为2n －1，从第1行到第n 行的所有数的个数总和为n （1＋2n －1）2＝n 2，86＝92＋5，第10行的前几个数为：a 82，a 83，a 84，a 85，a 86，…，所以a 86是第10行第5个数，所以a 82＝a 86－4d ＝518－4d.第一列a 1，a 2，a 5，a 10，a 17，a 26，a 37，a 50，a 65，a 82，…构成一个公比为2的等比数列，故有a 82＝a 2·28518－4d ＝(5－2d)·28，解得d ＝1.5.8. 各项均为正偶数的数列a 1，a 2，a 3，a 4中，前三项依次成公差为d(d>0)的等差数列，后三项依次成公比为q 的等比数列，若a 4－a 1＝88，则q 的所有可能的值构成的集合为________．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫53，87解析：设这四个数为a 1，a 1＋d ，a 1＋2d ，a 1＋88，其中a 1，d 均为正偶数，则(a 1＋2d)2＝(a 1＋d)(a 1＋88)，整理得a 1＝4d （22－d ）3d －88>0(注意体会这里用“a 1>0”而不用“a 1≥2”的好处，实际是一种估算能力)，所以(d －22)(3d －88)<0，即22<d<883，所以d 的所有可能值为24，26，28.当d ＝24时，a 1＝12，q ＝53；当d ＝26时，a 1＝2085(舍去)；当d ＝28时，a 1＝168，q ＝87，所以q 的所有可能值构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫53，87. 9. 已知等差数列{a n }中，首项a 1＝1，公差d 为整数，且满足a 1＋3<a 3，a 2＋5>a 4；数列{b n }满足b n ＝1a n ·a n ＋1，其前n 项和为S n .(1) 求数列{a n }的通项公式a n ；(2) 若S 2为S 1、S m (m ∈N *)的等比中项，求正整数m 的值．解：(1) 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3＜a 1＋2d ，a 1＋d ＋5>a 1＋3d ，解得32<d<52.又d ∈Z ，∴ d ＝2.∴ a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1.(2) ∵ b n ＝1a n ·a n ＋1＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， ∴ S n ＝12[⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1]＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1.∵ S 1＝13，S 2＝25，S m ＝m2m ＋1，S 2为S 1、S m (m ∈N )的等比中项，∴ S 22＝S m S 1，即⎝⎛⎭⎫252＝13·m 2m ＋1，解得m ＝12.10. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 5＋a 13＝34，S 3＝9. (1) 求数列{a n }的通项公式及前n 项和公式；(2) 设数列{b n }的通项公式为b n ＝a na n ＋t，问：是否存在正整数t ，使得b 1，b 2，b m (m ≥3，m ∈N *)成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由．解：(1) 设等差数列{a n }的公差为d.由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 5＋a 13＝34，3a 2＝9，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋8d ＝17，a 1＋d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.故a n ＝2n －1，S n ＝n 2.(2) 由(1)知b n ＝2n －12n －1＋t .要使b 1，b 2，b m 成等差数列，必须2b 2＝b 1＋b m ，即2×33＋t＝11＋t ＋2m －12m －1＋t ，整理得m ＝3＋4t －1.因为m ，t 为正整数，所以t 只能取2，3，5.当t ＝2时，m ＝7；当t ＝3时，m ＝5；当t ＝5时，m ＝4.故存在正整数t ，使得b 1，b 2，b m 成等差数列．11. 设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，满足a 22＋a 23＝a 24＋a 25，S 7＝7. (1) 求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2) 试求所有的正整数m ，使得a m a m ＋1a m ＋2为数列{a n }中的项．解：(1) 设公差为d ，则由a 22－a 25＝a 24－a 23，得－3d(a 4＋a 3)＝d(a 4＋a 3)．因为d ≠0，所以a 4＋a 3＝0，即2a 1＋5d ＝0.又S 7＝7，得7a 1＋7×62d ＝7，解得a 1＝－5，d ＝2，所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －7，前n 项和S n ＝n 2－6n.(2) (解法1)a m a m ＋1a m ＋2＝（2m －7）（2m －5）2m －3，设2m －3＝t ，则a m a m ＋1a m ＋2＝（t －4）（t －2）t ＝t ＋8t －6，所以t 为8的约数．因为t 是奇数，所以t 可取的值为±1，当t ＝1，m ＝2时，t ＋8t－6＝3，2×5－7＝3，是数列{a n }中的项；当t ＝－1，m ＝1时，t ＋8t－6＝－15，数列{a n }中的最小项是－5，不符合．所以满足条件的正整数m ＝2.(解法2)因为a m a m ＋1a m ＋2＝（a m ＋2－4）（a m ＋2－2）a m ＋2＝a m ＋2－6＋8a m ＋2为数列{a n }中的项，故8a m ＋2为整数．又由(1)知a m ＋2为奇数，所以a m ＋2＝2m －3＝±1，即m ＝1，2.经检验，符合题意的正整数m 为2。

2015届高考数学基础知识总复习精讲课件：第5章第5节数列的求和

对称，则f(－5)＋f(－4)
解析：∵f(x)关于
对称，则有f(x)＋f(1－x)＝2，
∴S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6) S＝f(6)＋f(5)＋…＋f(1)＋…＋f(－4)＋f(－5)
∴2S＝2×12，∴S＝12.
答案：12
第二十二页，编辑于星期五：十点七分。
第二十三页，编辑于星期五：十点七分。
第十三页，编辑于星期五：十点七分。
高考总复习•数学（理科）
裂项相消法求和
【例3】 (2013·江西卷)正项数列{an}的前n项和Sn满足：S－ (n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.
(1)求数列{an}的通项公式an； (2)令bn＝n＋n＋212a2n，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn<654.
变式探究
1．求和：Sn＝
第六页，编辑于星期五：十点七分。
高考总复习•数学（理科）
错位相减法求和
【例2】 (2013·增城调研)在等比数列{an}中，已知 a3＝23，S3＝92. (1)求{an}的通项公式； (2)求和Sn＝a1＋2a2＋…＋nan.
第七页，编辑于星期五：十点七分。
高考总复习•数学（理科）解析：(1)由条件得：a1q2＝32，a1＋a1q＋a1q2＝29， ∴1＋q2 q＝2，解得q＝1或q＝－21，当q＝1时，a1＝23，an＝32，当q＝－12时，a1＝6，an＝6×－21n－1，所以数列的通项公式为an＝23(n∈N*)或an＝6×－12n－1(n∈N*)．
第九页，编辑于星期五：十点七分。
高考总复习•数学（理科）
∴23Sn＝6 1－1＋－1212n－n－12n ，

高考数学一轮复习第五章数列 5.4 数列求和学案(含解

数列求和【考纲传真】1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式．2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法．3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题. 【知识扫描】知识点数列求和的常见方法1．公式法；直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和 (1)等差数列的前n 项和公式：S n ＝n a 1＋a n 2＝na 1＋n n －12d .(2)等比数列的前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q＝a 11－q n1－q ，q ≠1.2．倒序相加法；如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的．3．错位相减法；如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法．4．裂项相消法；(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．(2)裂项时常用的三种变形： ①1n n ＋1＝1n －1n ＋1；②12n －12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1；③1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .5．分组求和法；一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．6．并项求和法；一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)nf (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.1．必会结论；常用求和公式前n 个正整数之和 1＋2＋…＋n ＝n n ＋12前n 个正奇数之和 1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2前n 个正整数的平方和 12＋22＋…＋n 2＝n n ＋12n ＋16前n 个正整数的立方和13＋23＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n ＋1222.(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论．(2)在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如a n，an ＋1的式子应进行合并．(3)在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项．【学情自测】1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋11－q.( ) (2)当n ≥2时，1n 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1.( )(3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n之和时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( )(4)如果数列{a n }是周期为k (k 为大于1的正整数)的周期数列，那么S km ＝mS k .( ) 2．数列{a n }中，a n ＝1nn ＋1，若{a n }的前n 项和为2 0152 016，则项数为( ) A ．2 014 B ．2 015 C ．2 016D ．2 0173．设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A.n 2＋7n4B.n 2＋5n3C.2n 2＋3n4D ．n 2＋n4．若S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，则S 2 016＝________.5．(2014·安徽高考)数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)设b n ＝3n·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .参考答案1.【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√2.【解析】 a n ＝1n n ＋1＝1n －1n ＋1，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n n ＋1. 令nn ＋1＝2 0152 016，得n ＝2 015. 【答案】 B3.【解析】设等差数列公差为d ，则a 1＝2.a 3＝2＋2d ，a 6＝2＋5d . 又∵a 1，a 3，a 6成等比数列，∴a 23＝a 1·a 6. 即(2＋2d )2＝2(2＋5d )，整理得2d 2－d ＝0. ∵d ≠0，∴d ＝12.∴S n ＝na 1＋nn －12d ＝n 24＋74n .【答案】 A4.【解析】 S 2 016＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋2 015－2 016＝(－1)×1 008＝－1 008. 【答案】－1 0085.【解】 (1)证明：由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a nn＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝1为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)得a n n＝1＋(n －1)·1＝n ，所以a n ＝n 2. 从而b n ＝n ·3n.S n ＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n ·3n ，①3S n ＝1×32＋2×33＋…＋(n －1)·3n ＋n ·3n ＋1，②①－②得，－2S n ＝31＋32＋…＋3n －n ·3n ＋1＝3·1－3n1－3－n ·3n ＋1＝1－2n ·3n ＋1－32，所以S n ＝2n －1·3n ＋1＋34.。

2015届高考数学总复习配套题型精练：常考题型强化练——数列(共27张PPT)

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an＋1，
变形为an＋1－2＝
1 2
(an－2)，则数列{an－2}是以a1－2为首
项，12为公比的等比数列.又a1＝2－a1，即a1＝1.
则 an－2＝(－1)12n－1，所以 an＝2－12n－1.
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A组专项基础训练
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8.已知等比数列an中，各项都是正数，且 a1，12a3,2a2 成等差数列，则aa97＋＋aa180的值为_3_＋__2__2__.
可求得x1＝2，x2＝3，y1＝2，y2＝4，
∴P1(2,2)，P2(3,4).
∴ SOP1P2 ＝1.
第十八页，编辑于星期五：十点十七分。
B组专项能力提升
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1＋2a 3.已知数列{an}满足：a1＝1，an＝12＋2a
n，
2
n1 ，
2
n为偶数， n为奇数，
n＝2,3,4，…，设 bn＝ a2n1 ＋1，n＝1,2,3，…，则数列{bn}的通项
第十七页，编辑于星期五：十点十七分。
B组专项能力提升
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2.在直角坐标系中，O 是坐标原点，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是第一象限
的两个点，若 1，x1，x2,4 依次成等差数列，而 1，y1，y2,8 依次成等
比数列，则△OP1P2 的面积是
(A )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析由等差、等比数列的性质，
为调和数列，已知数列
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