高三数学12周A

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2024届天津市南开中学高三上学期12月月考数学试题及答案

2024南开中学高三数学第二次月考一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合{}ln A x y x ==，{}21B y y x ==+，则()R A B ⋂=ð（）A. ()0,1 B. (]0,1 C. [)0,1 D. []0,12. 设数列{}n a 的公比为q ，则“10a >且01q <<”是“{}n a 是递减数列”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 函数()2cos e ex x x x f x -+=-的大致图像为（）A. B.C. D.4. 设5log 2a =，ln 2b =，0.20.5c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（）A. a c b <<B. a b c <<C. b<c<aD. c a b <<5. 设n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，5a ，33a ，4a 成等差数列，则84S S 的值为（）A. 116 B. 117 C. 16D. 176. 已知35a b =且211a b +=，则a 的值为（）A. 3log 15 B. 5log 15 C. 3log 45 D. 5log 457. 我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何?”这里的“羡除”，是指由三个等腰梯形和两个全等的三角形围成的五面体．在图1所示羡除中，////AB CD EF ，10AB =，8CD =，6EF =，等腰梯形ABCD 和等腰梯形ABFE 的高分别为7和3，且这两个等腰梯形所在的平面互相垂直．按如图2的分割方式进行体积计算，得该“羡除”的体积为（）A. 84B. 66C. 126D. 1058. 记()n a τ表示区间[],n n a 上的偶数的个数．在等比数列{}n a n -中，14a =，211a =，则()4a τ=（）A. 39B. 40C. 41D. 429. 将函数πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点向右平移π4个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则（）A. ()g x 为奇函数 B. ()3πcos 24g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C. ()g x 最小正周期为2πD. ()g x 的单调递增区间为5πππ,π88k k ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，Zk ∈二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10. 设i 是虚数单位，()12a i i bi +=+（,a b ∈R ），则b a -=_____．11. 在5223x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数是______．12. 已知直线():20l y kx k =->与圆221x y +=相切，且被圆()()2240x y a a ++=>截得的弦长为k =______；=a ______．13. 锐角α，β满足2π23αβ+=，tan tan 22αβ=-α和β中的较小角等于______．14. D 为ABC 的边AB 一点，满足2AD DB = ．记CA a = ，CB b = ，用a ，b 表示CD = ______；若的的1CD = ，且ABC 的面积为98，则ACB ∠的最小值为______．15. 若二次函数()()2121f x ax b x a =+---在区间[]2,3上存在零点，则22a b +的最小值为______．三．解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16. 在ABC 中，,,A B C 对应的边为,,a b c .已知1cos 2a C cb +=.（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若4,6b c ==，求cos B 和()cos 2A B +的值.17. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，12AB BC BB ===，D 为棱AB 中点．M 为线段1BC 的中点．（1）求证：1//BC 平面1ACD ；（2）求平面1ACD 与平面1C DC 的夹角的余弦值；（3）求点M 到平面1ACD 的距离．18. 椭圆22221x y a b+=的左、右顶点分别为A ，B ，上顶点为()0,2C ，左、右焦点分别为1F ，2F ，且1AF ，12F F ，1F B 成等比数列．（1）求椭圆的方程；（2）过1F 的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，直线CM ，CN 分别与x 轴交于P ，Q 两点．若CMN CPQ S S =△△，求直线l 的斜率．19. 已知数列{}n a 是首项为1的等差数列，数列{}n b 是公比不为1的等比数列，满足122a a b +=，233a a b +=，454a a b +=．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；的（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n S ；（3）若数列{}n d 满足11d =，1n n n d d b ++=，记12nk n i k d T b ==∑．是否存在整数m ，使得对任意*n ∈N 都有212n n nd mT b ≤-<成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．20. 已知函数()2e xf x a x =-，0a >且1a ≠．（1）当e a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若1a >，且()f x 存在三个零点1x ，2x ，3x ．（i ）求实数a 的取值范围；（ii ）设123x x x <<，求证：1233x x x ++>．的2024南开中学高三数学第二次月考一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】C【9题答案】【答案】B二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．【10题答案】【答案】3．【11题答案】【答案】720【12题答案】【答案】①. ②. 4【13题答案】【答案】π6##30︒【14题答案】【答案】 ① 1233a b + ②. π2【15题答案】【答案】125三．解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．【16题答案】【答案】（Ⅰ）π3A =（Ⅱ）1114-【17题答案】【答案】（1）证明见解析；（2；（3.【18题答案】【答案】（1）22154x y += （2）12-或0【19题答案】【答案】（1）21n a n =-，2n n b =（2）()12326n n S n +=-⋅+（3）存在5m =，理由见解析【20题答案】【答案】（1）e e 0x y -+=（2）（i）1a <<，（ii ）证明见解析.。

2024-2025学年上海曹杨二中高三上学期数学周测及答案(2024.09)

曹杨二中2024学年第一学期高三年级数学月考2024.09一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1.已知集合()()3,2A ,B ,=−∞=+∞,则A B ⋂= . 2.已知复数z 满足15i z =−(i 为虚数单位),则z = . 3.已知向量()()102,210a ,,b ,,==,则a ,b <>= .4.523x ⎫⎪⎭的二项展开式中的常数项为 .（结果用数值表示）5.设()y f x =是以1为周期的周期函数.若当01x <≤时,()2f x log x =,则32f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.6.设m 为正实数.若直线0x y m −+=被圆()()22113x y −+−=所截得的弦长为m ，则m = .7.从一副去掉大小王的52张扑克牌中无放回地任意抽取两次。

在第一次抽到A 的条件下，第二次也抽到A 的概率为 .（结果用最简分数表示）8.设数列{}n a 前n 项和为n S 。

若()21n n S a n ,n N +=≥∈,则5S = . 9.已知,x y 为正实数,且1x y +=,则当21x y+取最小值时,x = . 10.设(),1a R f x lnx ax ∈=−+.若函数()y f x =的图像都在x 轴下方（不含x 轴），则a 的取值范围是 .11.已知{}n a 是严格增数列,且点()()1n n P n,a n ,n N ≥∈均在双曲线2231x y −=上。

设M R ∈，若对任意正整数n ，都有1n n P P M +>，则M 的最大值为 .12.设(){}2,235a R f x min x ,x ax a ∈=−−+−，其中{}min u,v 表示,u v 中的较小值.若函数()y f x =至少有3个零点,则a 的取值范围是 .二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13.已知a R ∈，则"1a >"是"11a<"的（）. A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件14.为研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压（单位：kPa ）的分组区间为[)[)[)[)1213,1314,1415,1516,,,,，[]1617,.将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，，第五组，下图是根据试验数据制成的频率分布直方图。

2021届高三数学一轮复习第十二单元训练卷概率与统计(理科) A卷(详解)

① ；
② ；
③事件与事件相互独立；
④ 是两两互斥的事件；
⑤ 的值不能确定，因为它与中哪一个发生有关．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）甲、乙两人进行围棋比赛，比赛要求双方下满五盘棋，开始时甲每盘棋赢的概率为，由于心态不稳，甲一旦输一盘棋，他随后每盘棋赢的概率就变为．假设比赛没有和棋，且已知前两盘棋都是甲赢．
A． B． C． D．
6．某外卖企业两位员工今年月某天日派送外卖量的数据（单位：件），如茎叶图所示针对这天的数据，下面说法错误的是（）
A．阿朱的日派送量的众数为 B．阿紫的日派送量的中位数为
C．阿朱的日派送量的中位数为 D．阿朱的日派送外卖量更稳定
7．已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则（）
根据以上数据，绘制如图所示的散点图．
观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用对数函数模型和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合．
（1）根据散点图判断，与（，均为大于零的常数）哪一个适宜作为非原料总成本关于生产该产品的数量的回归方程类型；（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果及表中的数据，建立关于的回归方程；
【解析】（1）法1：记抽取红球的事件为，抽取白球的事件为，
且每次取到红球的概率均为，每次取到白球的概率均为．
则至少抽到个红球的概率表示为：
．
（2）由题意，随机变量可能的取值为，
，，
，，
所以随机变量的分布表为：
从中任取把能将该锁打开包含的基本事件个数，
∴从中任取把能将该锁打开的概率，故选A．

高三数学文科一轮复习教学进度表

高三数学文科一轮复习教课进度表：周次内容补课第一周选修 4-4 第二讲：参数方程补课第二周第二讲：参数方程会合的观点与运算补课第三周命题、量词、条件单元整合函数的观点与定义域第 1 周函数的分析式函数的值域函数的奇偶性和周期性第 2 周函数的单一性和最值函数的图像第 3 周二次函数指数式、指数函数对数式、对数函数幂函数第 4 周函数与方程导数的观点与运算函数的单一性与极值第 5 周函数的最值函数的应用第 6 周数列的观点、等差数列等比数列第 7 周一般数列的通项与乞降数列的综合运用随意角的三角函数第 8 周----同角三角函数关系式与引诱公式三角公式的应用第 9 周三角函数的图像与性质解三角形平面向量的观点机运算第 10周平面向量基本定理与坐标运算平面向量数目积与综合应用一元二次不等式第 11周至简单的线性规划问题第12周基本不等式不等式的综合应用第 13周至直线方程与地点关系圆的方程14 周直线与圆的地点关系课时备注6系列专题6（新讲课）22一轮复习开始2222第一次月考33211222212第二次月考23223123第三次月考22222222第四次月考2222第 15周至第 16周第 17周至第 18周第 19---20周第 21周第22周寒假补课寒假补课第 1 周椭圆2双曲线2抛物线2求轨迹方程2直线与圆锥曲线的地点关系3分析几何综合问题2空间几何体的三视图、表面积、体积2平面的性质与直线的地点关系2空间平面与平面2空间向量及运算2空间角与距离3空间几何与体空间向量综合应用2随机事件、古典概型、几何概型3互斥事件、独立事件2抽样方法与整体预计3回归剖析与独立性查验2合情推理与演绎推理2直接证明、间接证明、数学概括法2用样本预计整体2算法与程序框图2基本算法语句3算法事例2数系的扩大与复数的引入2选修 4-13选修 4-43第五次月考第六次月考第七次月考放学期课。

高三数学试卷期末复习资料

一、复习目标1. 巩固和深化对高中数学知识的理解和掌握，提高解题能力。

2. 培养良好的数学思维和逻辑推理能力。

3. 提高应试技巧，增强考试信心。

二、复习内容1. 集合与函数概念（1）集合的基本概念、运算及性质；（2）函数的概念、分类、性质及图像；（3）函数的单调性、奇偶性、周期性。

2. 导数与微分（1）导数的概念、计算方法及性质；（2）导数的应用：求函数的极值、最值、单调性、凹凸性等；（3）微分及其应用。

3. 解析几何（1）直线、圆、圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的基本性质及方程；（2）直线与圆、圆锥曲线的位置关系；（3）解析几何的应用。

4. 立体几何（1）空间几何图形的基本概念、性质及计算；（2）空间几何体的表面积、体积及投影；（3）空间几何问题的解决方法。

5. 数列（1）数列的概念、分类、性质；（2）数列的通项公式、求和公式及求和技巧；（3）数列的应用。

6. 概率与统计（1）概率的基本概念、性质及计算；（2）古典概型、几何概型及伯努利概型；（3）统计量的计算、分布及推断。

7. 不等式（1）不等式的基本性质及解法；（2）不等式的应用：不等式组、不等式与不等式组的应用；（3）不等式证明。

三、复习方法1. 系统复习：按照复习内容，逐个知识点进行复习，确保全面掌握。

2. 重点突破：针对高考高频考点，进行重点复习和训练。

3. 方法总结：总结各类题型的解题方法和技巧，提高解题效率。

4. 模拟训练：通过做历年高考真题和模拟题，熟悉考试题型和难度，提高应试能力。

5. 定期检测：每周进行一次模拟考试，检验复习效果，调整复习策略。

四、复习时间安排1. 前期（第1-4周）：系统复习基础知识，重点突破重点题型。

2. 中期（第5-8周）：加强解题训练，提高解题速度和准确率。

3. 后期（第9-12周）：模拟考试，查漏补缺，调整心态。

五、注意事项1. 保持良好的作息习惯，保证充足的睡眠和休息时间。

2. 合理安排学习时间，避免拖延和过度劳累。

高三数学三角函数试题答案及解析

高三数学三角函数试题答案及解析1.若点在函数的图象上，则的值为 .【答案】.【解析】由题意知，解得，所以.【考点】1.幂函数；2.三角函数求值2.设，将函数在区间内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先根据三角函数的恒等变换化简，得，再根据三角函数的性质找到极值点，利用等差数列的性质写出数列的通项公式；（2）先根据（1）中的结果写出的通项公式，然后写出的解析式，在构造出，利用错位相减法求，计算量比较大，要细心.试题解析：（1），其极值点为， 2分它在内的全部极值点构成以为首项，为公差的等差数列， 4分所以； 6分（2）， 8分所以，，相减，得，所以. 12分【考点】1、三角函数的恒等变换及化简；2、三角函数的性质的应用；3、等差数列的通项公式；4、错位相减法求数列的前项和；5、等比数列的前项和.3.若函数的一个对称中心是，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由于正切函数的对称中心坐标为，且函数的一个对称中心是，所以，因此有，因为，所以当时，取最小值，故选B.【考点】三角函数的对称性4.在锐角中，，，则的值等于；的取值范围为 .【答案】；【解析】，所以，由正弦定理得，即，所以，为锐角三角形，则，且，即，则有，且有，所以，故有，，所以，即，故的取值范围为.【考点】1.正弦定理；2.三角函数的取值范围5.已知是第二象限角,，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】已知是第二象限角,，所以，故选B.【考点】同角三角函数基本关系式.6.在中，角的对边分别为向量，,且．（１）求的值；（２）若,,求角的大小及向量在方向上的投影．【答案】（1）；（2），向量在方向上的投影．【解析】（1）由向量数量积坐标形式列式，可求得的值，再利用平方关系可求得的值；（2）先利用正弦定理可求得的值，再利用大边对大角可求得角的大小．由投影的定义可求得向量在方向上的投影．试题解析：(１)由,得, 1分, 2分.. ３分．４分(２)由正弦定理，有, ５分．６分，, ７分． 8分由余弦定理，有， 9分或（舍去）． 10分故向量在方向上的投影为 11分． 12分【考点】1、向量数量积、投影；2、三角恒等变换；3、解三角形．7.在中产生区间上均匀随机数的函数为“( )”,在用计算机模拟估计函数的图像、直线和轴在区间上部分围成的图形面积时，随机点与该区域内的点的坐标变换公式为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】由于，，而，，所以坐标变换公式为，. 故选D.【考点】均匀随机数的意义与简单应用.8.已知函数，则下列结论正确的是（）A．函数的图象关于直线对称B．函数的最大值为C．函数在区间上是增函数D．函数的最小正周期为【答案】C【解析】令得错误；函数的最大值为，故错误；函数的最小正周期为，故错误；当时，，故函数在区间上是增函数，所以选．【考点】考查三角函数的图像及其性质．9.函数，，在上的部分图象如图所示，则的值为．【答案】【解析】根据题意，由于函数，，在上的部分图象可知周期为12，由此可知，A=5，将（5,0）代入可知，5sin(+)=0，可知=，故可知==，故答案为【考点】三角函数的解析式点评：主要是考查了三角函数的解析式的求解和运用，属于基础题。

高三数学周测试卷

1. 下列各数中，无理数是（）A. √2B. 3/5C. -πD. 0.333...2. 已知函数f(x) = x² - 2x + 1，那么f(2)的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 33. 若a、b、c是等差数列，且a+b+c=12，那么3a+5b+c的值为（）A. 15B. 18C. 21D. 244. 已知直线l：2x-3y+1=0，点P(1,2)，那么点P到直线l的距离是（）A. √5B. 1C. 2D. √25. 若复数z满足|z+1|=2，那么复数z的取值范围是（）A. z∈(-3,-1]∪[-1,1]B. z∈(-3,-1)∪(-1,1)C. z∈(-3,-1)∪[1,3]D. z∈(-3,-1]∪[1,3]6. 下列函数中，单调递减的是（）A. y = x²B. y = 2xC. y = √xD. y = 3x - 17. 已知等比数列{an}的公比为q，且a1=2，a3=32，那么q的值为（）A. 2B. 4C. 8D. 168. 若log₂x + log₄x = 3，那么x的值为（）A. 8B. 16C. 32D. 649. 已知三角形的三边长分别为3、4、5，那么这个三角形的面积是（）A. 6B. 8C. 10D. 1210. 若函数f(x) = ax² + bx + c在x=1时取得最小值，那么a、b、c之间的关系是（）A. a > 0，b² - 4ac < 0B. a > 0，b² - 4ac = 0C. a < 0，b² - 4ac >0 D. a < 0，b² - 4ac = 011. 已知数列{an}的通项公式为an = 2n - 1，那么数列的第10项是______。

12. 已知函数f(x) = (x-1)/(x+1)，那么f(-1)的值为______。

数学-2024届高三12月大联考(新课标卷)(全解全析及评分标准)

2024届高三12月大联考（新课标卷）数学·全解全析及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1．B 【解析】因为{|21}M x x ，{|2N x x 或1}x ，所以M N (2,1] ，故选B ． 2．A 【解析】根据全称命题的否定为特称命题，知命题“0,ln(21)0x x ”的否定是“0,ln(21)0x x ”.故选A ．3．C 【解析】由(1,3) a ，(1,2) b ，得(1,32), a b (2,5) a b .因为向量 a b 与 a b 垂直，所以()()0 a b a b ，即2(1)5(32)0 ，所以2215100 ，解得1217．故选C ．4．D 【解析】将函数2πcos(2)3y x的图象向左平移π6个单位长度后，所得图象对应的函数表达式为π2πππππcos[2(cos(2)cos[(2)]sin(2633626y x x x x ，故选D ．5．A 【解析】5(21)x 展开式的通项为515=C (2)(1)rr r r T x ，0,1,2,3,4,5r ，所以25(1)(21)x x 的展开式中3x 项为2414232355C (2)(1)1C (2)(1)90x x x x ，所以25(1)(21)x x 的展开式中3x 项的系数为90．故选A.6．C 【解析】由(1)f x 是奇函数，得(1)(1)f x f x ，即(2)()f x f x ，则函数()y f x 的图象关于点(1,0)中心对称，直线1y x 也关于点(1,0)中心对称．又曲线()y f x 与直线1y x 有且仅有3个交点，则这3个交点中有2个点关于点(1,0)对称，另一个点为(1,0)，所以这3个交点的横坐标之和为3，故选C ．7．B 【解析】由题意，知基座的体积为22113030343413073π17[((]π130********V.设塔身底面正八边形的边长为a，则1)a，所以底面面积2211)242S2252)500 ，所以塔身的体积为2136500V S ，所以辽阳白塔模型基座和塔身的体积之和12V V V 13073650019573 ，故选B ．8．D 【解析】方法一：因为sin y x 在π(02,上单调递增，所以3π2sin sin 2323a b ．设()1ln g x x x ，则11()1x g x x x，当[1)x ,时，1()0x g x x，所以3()(1)11ln102g g ，所以331ln 22 ，即13ln 22 ，所以213ln 322b c ．综上，得a b c ，故选D ．方法二：因为sin y x 在π(0)2,上单调递增，所以3π2sin sin 2323a b ．又213ln 322b c.综上，得a b c ，故选D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高中高三数学上学期周测试卷文(1.28,含解析)-人教版高三全册数学试题

2014-2015学年某某省某某高中高三（上）周测数学试卷（文科）（1.28）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知命题P：∀x＞0，x3＞0，那么¬P是（）A．∃x≤0，x3≤0 B．∀x＞0，x3≤0 C．∃x＞0，x3≤0 D．∀x＜0，x3≤0 2．已知集合M={x|x﹣2＜0}，N={x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值X围是（）A．[2，+∞）B．D．（﹣∞，0]3．设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则m的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．34．已知点P（a，b）是抛物线x2=20y上一点，焦点为F，|PF|=25，则|ab|=（）A．100 B．200 C．360 D．4005．（5分）为了检查某超市货架上的饮料是否含有塑化剂，要从编号依次为1到50的塑料瓶装饮料中抽取5瓶进行检验，用每部分选取的间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5瓶饮料的编号可能是（）A．5，10，15，20，25 B．2，4，6，8，10C．1，2，3，4，5 D．7，17，27，37，476．（5分）（2015某某一模）一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（）A．B．C．D．7．如图所示的程序框图中，若f（x）=x2﹣x+1，g（x）=x+4，且h（x）≥m恒成立，则m 的最大值是（）A．0 B．1 C．3 D．48．已知点P（x，y）的坐标满足条件，则x2+y2的最大值为（）A．17 B．18 C．20 D．219．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣3）=f（5）=1，f'（x）为f（x）的导函数，且导函数y=f′（x）的图象如图所示．则不等式f（x）＜1的解集是（）A．（﹣3，0）B．（﹣3，5）C．（0，5）D．（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）10．已知函数f（x）=Asin（πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则的值为（）A．﹣1 B．C．D．211．（5分）（2015某某二模）设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x3+sinx+1的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f（﹣2015）+f（﹣2014）+f（﹣2013）+…+f（2014）+f（2015）=（）A．0 B．2014 C．4028 D．403112．在Rt△ABC中，CA=CB=3，M，N是斜边AB上的两个动点，且，则的取值X围为（）A．[3，6] B．[4，6] C．D．[2，4]二、填空题：每小题5分，共20分．13．（5分）已知数列{a n}是等比数列，若a4=，a6=6，则a10=．14．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是．15．（5分）（2015某某二模）已知体积为的正三棱锥V﹣ABC的外接球的球心为O，满足，则该三棱锥外接球的体积为．16．（5分）（2015某某模拟）给定方程：（）x+sinx﹣1=0，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解；④若x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．则正确命题是．三、解答题：本大题共6道题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2015某某一模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足，2bsinA=a，BC边上中线AM的长为．（Ⅰ）求角A和角B的大小；（Ⅱ）求△ABC的面积．18．（12分）（2014秋禅城区校级期中）年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某小区的老龄人有350人，他们的健康状况如下表：健康指数 2 1 0 ﹣160岁至79岁的人数120 133 32 1580岁及以上的人数9 18 14 9其中健康指数的含义是：2代表“健康”，1代表“基本健康”，0代表“不健康，但生活能够自理”，﹣1代表“生活不能自理”．（Ⅰ）随机访问该小区一位80岁以下的老龄人，该老龄人生活能够自理的概率是多少？（Ⅱ）按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位．求被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率．19．（12分）（2016凉山州模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD||BC，PD⊥底面ABCD，∠ADC=90°，AD=2BC，Q为AD的中点，M为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：PA∥平面BMQ；（Ⅱ）已知PD=DC=AD=2，求点P到平面BMQ的距离．20．（12分）（2015某某一模）已知动点P到定点F（1，0）和直线l：x=2的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：y=mx+n与曲线E交于C，D两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合）（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）当直线l与圆x2+y2=1相切时，四边形ACBD的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由．21．（12分）（2014秋涪城区校级月考）已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（e为自然对数的底数），a＞0．（Ⅰ）若函数f（x）恰有一个零点，证明：a a=e a﹣1；（Ⅱ）若f（x）≥0对任意x∈R恒成立，某某数a的取值集合．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做．则按所做的第一题记分．答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）（2016某某一模）如图所示，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；（Ⅱ）若AC=BD，AB=5，求弦DE的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015某某一模）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t 为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．（Ⅰ）求圆心的极坐标；（Ⅱ）求△PAB面积的最大值．【选修4-5：不等式选讲】24．（2015某某一模）已知函数f（x）=m﹣|x﹣1|﹣2|x+1|．（Ⅰ）当m=5时，求不等式f（x）＞2的解集；（Ⅱ）若二次函数y=x2+2x+3与函数y=f（x）的图象恒有公共点，某某数m的取值X围．2014-2015学年某某省某某高中高三（上）周测数学试卷（文科）（1.28）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知命题P：∀x＞0，x3＞0，那么¬P是（）A．∃x≤0，x3≤0 B．∀x＞0，x3≤0 C．∃x＞0，x3≤0 D．∀x＜0，x3≤0 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题P：∀x＞0，x3＞0，那么¬P是∃x＞0，x3≤0．故选：C．【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．2．已知集合M={x|x﹣2＜0}，N={x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值X围是（）A．[2，+∞）B．D．（﹣∞，0]【分析】解出集合M，根据子集的概念即可求得实数a的取值X围．【解答】解：M={x|x＜2}；∵M⊆N；∴a≥2；∴a的取值X围是[2，+∞）．故选A．【点评】考查子集的概念，描述法表示集合，可借助数轴求解．3．设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则m的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部等于0求得m的值．【解答】解：∵为纯虚数，∴m+3=0，即m=﹣3．故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．4．已知点P（a，b）是抛物线x2=20y上一点，焦点为F，|PF|=25，则|ab|=（）A．100 B．200 C．360 D．400【分析】根据抛物线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离，从而求出b，进而求ab 的值．【解答】解：根据抛物线是定义，准线方程为：y=﹣5，|PF|=b+5=25，∴b=20，又点P（a，b）是抛物线x2=20y上一点，∴a2=20×20，∴a=±20，∴|ab|=400，故选D．【点评】本题主要考查抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等．5．（5分）为了检查某超市货架上的饮料是否含有塑化剂，要从编号依次为1到50的塑料瓶装饮料中抽取5瓶进行检验，用每部分选取的间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5瓶饮料的编号可能是（）A．5，10，15，20，25 B．2，4，6，8，10C．1，2，3，4，5 D．7，17，27，37，47【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔进行判断即可．【解答】解：要从编号依次为1到50的塑料瓶装饮料中抽取5瓶进行检验，则样本间隔为50÷5=10，则只有7，17，27，37，47满足条件．，故选：D．【点评】本题主要考查系统抽样的应用，根据条件求出样本间隔是解决本题的关键．比较基础．6．（5分）（2015某某一模）一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（）A．B．C．D．【分析】由三视图的作法规则，长对正，宽相等，对四个选项进行比对，找出错误选项．【解答】解：本题中给出了正视图与左视图，故可以根据正视图与俯视图长对正，左视图与俯视图宽相等来找出正确选项A中的视图满足三视图的作法规则；B中的视图满足三视图的作法规则；C中的视图不满足三视图的作法规则中的宽相等，故其为错误选项；D中的视图满足三视图的作法规则；故选C【点评】本题考查三视图的作法，解题的关键是掌握住三视图的作法规则即长对正，宽相等，高平齐，利用这些规则即可选出正确选项．7．如图所示的程序框图中，若f（x）=x2﹣x+1，g（x）=x+4，且h（x）≥m恒成立，则m 的最大值是（）A．0 B．1 C．3 D．4【分析】由已知中的程序框图可得该程序的功能是计算并输出分段函数：h（x）=的值，数形结合求出h（x）的最小值，可得答案．【解答】解：由已知中的程序框图可得该程序的功能是：计算并输出分段函数：h（x）=的值，在同一坐标系，画出f（x）=x2﹣x+1，g（x）=x+4的图象如下图所示：由图可知：当x=﹣1时，h（x）取最小值3，又∵h（x）≥m恒成立，∴m的最大值是3，故选：C【点评】本题考查的知识点是程序框图，分段函数的应用，函数恒成立，难度中档．8．已知点P（x，y）的坐标满足条件，则x2+y2的最大值为（）A．17 B．18 C．20 D．21【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：设z=x2+y2，则z的几何意义为区域内的点到原点的距离的平方，作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知，则OC的距离最大，由，解得，即C（3，3），则z=x2+y2=9+9=18，故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合数形结合是解决本题的关键．9．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣3）=f（5）=1，f'（x）为f（x）的导函数，且导函数y=f′（x）的图象如图所示．则不等式f（x）＜1的解集是（）A．（﹣3，0）B．（﹣3，5）C．（0，5）D．（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）【分析】由图象可以判断出f（x）的单调性情况，由f（﹣3）与f（5）的取值，即可得出答案．【解答】解：由f′（x）的图象可得，f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，又由题意可得，f（﹣3）=f（5）=1，∴f（x）＜1的解集是（﹣3，5），故选：B．【点评】本题考查导函数图象与函数单调性的关系，考查学生灵活转化题目条件的能力，属于中档题．10．已知函数f（x）=Asin（πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则的值为（）A．﹣1 B．C．D．2【分析】根据三角函数的图象和性质，求出函数的周期，利用向量的基本运算和向量的数量积定义即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）=sin（2πx+φ）的周期T==2，则BC==1，则C点是一个对称中心，则根据向量的平行四边形法则可知： =2， =∴=2=2||2=2×12=2．故选：D．【点评】本题主要考查向量的数量积运算，利用三角函数的图象和性质是解决本题的关键．11．（5分）（2015某某二模）设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x3+sinx+1的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f（﹣2015）+f（﹣2014）+f（﹣2013）+…+f（2014）+f（2015）=（）A．0 B．2014 C．4028 D．4031【分析】函数f（x）=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，1），即x1+x2=0时，总有f （x1）+f（x2）=2，再利用倒序相加，即可得到结论【解答】解：∵f（x）=x3+sinx+1，∴f′（x）=3x2﹣cosx，f''（x）=6x+sinx又∵f''（0）=0而f（x）+f（﹣x）=x3+sinx+1+﹣x3﹣sinx+1=2，函数f（x）=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，1），即x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=2，∴f（﹣2015）+f（﹣2014）+f（﹣2013）+…+f（2014）+f（2015）=2×2015+f（0）=4030+1=4031．故选：D．【点评】本题考查函数的对称性，确定函数的对称中心，利用倒序相加x1+x2=0时，总有f （x1）+f（x2）=2，是解题的关键．12．在Rt△ABC中，CA=CB=3，M，N是斜边AB上的两个动点，且，则的取值X围为（）A．[3，6] B．[4，6] C．D．[2，4]【分析】通过建立直角坐标系求出AB所在直线的方程，设出M，N的坐标，将=2（b ﹣1）2+4，0≤b≤2，求出X围即可．【解答】解：以C为坐标原点，CA为x轴建立平面坐标系，则A（3，0），B（0，3），∴AB所在直线的方程为： =1，则y=3﹣x，设N（a，3﹣a），M（b，3﹣b），且0≤a≤3，0≤b≤3不妨设a＞b，∵MN=，∴（a﹣b）2+（b﹣a）2=2，∴a﹣b=1，∴a=b+1，∴0≤b≤2，∴=（a，3﹣a）（b，3﹣b）=2ab﹣3（a+b）+9，=2（b2﹣2b+3）=2（b﹣1）2+4，0≤b≤2，∴当b=0或b=2时有最大值6；当b=1时有最小值4．∴的取值X围为[4，6]故选B．【点评】熟练掌握通过建立直角坐标系、数量积的坐标运算是解题的关键．二、填空题：每小题5分，共20分．13．（5分）已知数列{a n}是等比数列，若a4=，a6=6，则a10= 96 ．【分析】由已知求出等比数列的公比的平方，再代入等比数列的通项公式求得a10．【解答】解：在等比数列{a n}中，∵a4=，a6=6，∴，∴．故答案为：96．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题．14．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是50 ．【分析】由已知中的频率分布直方图，我们可以求出成绩低于60分的频率，结合已知中的低于60分的人数是15人，结合频数=频率×总体容量，即可得到总体容量．【解答】解：∵成绩低于60分有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20则成绩低于60分的频率P=（0.005+0.010）×20=0.3，又∵低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是=50．故答案为：50【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，结合已知中的频率分布直方图，结合频率=矩形的高×组距，求出满足条件的事件发生的频率是解答本题的关键．15．（5分）（2015某某二模）已知体积为的正三棱锥V﹣ABC的外接球的球心为O，满足，则该三棱锥外接球的体积为．【分析】由题意球的三角形ABC的位置，以及形状，利用球的体积，求出球的半径，求出棱锥的底面边长，利用棱锥的体积求出该三棱锥外接球的体积即可．【解答】解：正三棱锥D﹣ABC的外接球的球心O满足，说明三角形ABC在球O的大圆上，并且为正三角形，设球的半径为：R，棱锥的底面正三角形ABC的高为：底面三角形ABC的边长为： R正三棱锥的体积为：××（R）2×R=解得R3=4，则该三棱锥外接球的体积为=．故答案为：．【点评】本题考查球的内接体问题，球的体积，棱锥的体积，考查空间想象能力，转化思想，计算能力，是中档题．16．（5分）（2015某某模拟）给定方程：（）x+sinx﹣1=0，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解；④若x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．则正确命题是②③④．【分析】根据正弦函数的符号和指数函数的性质，可得该方程存在小于0的实数解，故①不正确；根据指数函数的图象与正弦函数的有界性，可得方程有无数个正数解，故②正确；根据y=（）x﹣1的单调性与正弦函数的有界性，分析可得当x≤﹣1时方程没有实数解，当﹣1＜x＜0时方程有唯一实数解，由此可得③④都正确．【解答】解：对于①，若α是方程（）x+sinx﹣1=0的一个解，则满足（）α=1﹣sinα，当α为第三、四象限角时（）α＞1，此时α＜0，因此该方程存在小于0的实数解，得①不正确；对于②，原方程等价于（）x﹣1=﹣sinx，当x≥0时，﹣1＜（）x﹣1≤0，而函数y=﹣sinx的最小值为﹣1且用无穷多个x满足﹣sinx=﹣1，因此函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象在[0，+∞）上有无穷多个交点因此方程（）x+sinx﹣1=0有无数个实数解，故②正确；对于③，当x＜0时，由于x≤﹣1时（）x﹣1≥1，函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象不可能有交点当﹣1＜x＜0时，存在唯一的x满足（）x=1﹣sinx，因此该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解，得③正确；对于④，由上面的分析知，当x≤﹣1时（）x﹣1≥1，而﹣sinx≤1且x=﹣1不是方程的解∴函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象在（﹣∞，﹣1]上不可能有交点因此只要x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．故答案为：②③④【点评】本题给出含有指数式和三角函数式的方程，讨论方程解的情况．着重考查了指数函数的单调性、三角函数的周期性和有界性、函数的值域求法等知识，属于中档题．三、解答题：本大题共6道题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2015某某一模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足，2bsinA=a，BC边上中线AM的长为．（Ⅰ）求角A和角B的大小；（Ⅱ）求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosA，将已知等式变形后代入求出cosA的值，确定出角A的度数，将2bsinA=a利用正弦定理化简求出sinB的值，即可确定出角B的大小；（Ⅱ）由A=B，利用等角对等边得到AC=BC，设AC=BC=x，利用余弦定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出AC与BC的长，再由sinC的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．【解答】解：（Ⅰ）由a2﹣b2﹣c2+bc=0得：a2﹣b2﹣c2=﹣bc，即b2+c2﹣a2=bc，∴由余弦定理得：cosA==，∵A为三角形内角，∴A=，由2bsinA=a，利用正弦定理化简得：2sinBsinA=sinA，即sinB=，则B=；（Ⅱ）由A=B，得到AC=BC=x，可得C=，由余弦定理得AM2=x2+﹣2x（﹣）=14，解得：x=2，则S△ABC=ACBCsinC=×2×2×=2．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．（12分）（2014秋禅城区校级期中）年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某小区的老龄人有350人，他们的健康状况如下表：健康指数 2 1 0 ﹣160岁至79岁的人数120 133 32 1580岁及以上的人数9 18 14 9其中健康指数的含义是：2代表“健康”，1代表“基本健康”，0代表“不健康，但生活能够自理”，﹣1代表“生活不能自理”．（Ⅰ）随机访问该小区一位80岁以下的老龄人，该老龄人生活能够自理的概率是多少？（Ⅱ）按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位．求被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率．【分析】（Ⅰ）求出该小区80岁以下的老龄人数，即可求解老龄人生活能够自理的概率．（Ⅱ）按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位．写出5人中抽取3人的基本事件总数，被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的个数，即可求解健康指数不大于0的概率．【解答】解：（Ⅰ）解：该社区80岁以下的老龄人共有120+133+32+15=300人，…（1分）其中生活能够自理的人有120+133+32=285人，…（2分）记“随机访问该小区一位80岁以下的老龄人，该老人生活能够自理”为事件A，则P（A）==．…（4分）（Ⅱ）根据表中数据可知，社区健康指数大于0的老龄人共有280人，不大于0的老龄人共有70人，…（5分）所以，按照分层抽样，被抽取的5位老龄人中，有位为健康指数大于0的，依次记为：a，b，c，d，有一位健康指数不大于0的，记为e．…（7分）从这5人中抽取3人的基本事件有：（a，b，c）（a，b，d）（a，b，e）（a，c，d）（a，c，e）（a，d，e）（b，c，d）（b，c，e）（b，d，e）（c，d，e）共10种，…（9分）其中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的事件有：（a，b，e）（a，c，e）（a，d，e）（b，c，e）（b，d，e）（c，d，e）共6种，…（10分）记“被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0”为事件B，则P（B）=…（12分）【点评】本题考查分层抽样，古典概型概率公式的应用，基本知识的考查．19．（12分）（2016凉山州模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD||BC，PD⊥底面ABCD，∠ADC=90°，AD=2BC，Q为AD的中点，M为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：PA∥平面BMQ；（Ⅱ）已知PD=DC=AD=2，求点P到平面BMQ的距离．【分析】（1）连结AC交BQ于N，连结MN，只要证明MN∥PA，利用线面平行的判定定理可证；（2）由（1）可知，PA∥平面BMQ，所以点P到平面BMQ的距离等于点A到平面BMQ的距离．【解答】解：（1）连结AC交BQ于N，连结MN，因为∠ADC=90°，Q为AD的中点，所以N 为AC的中点．…（2分）当M为PC的中点，即PM=MC时，MN为△PAC的中位线，故MN∥PA，又MN⊂平面BMQ，所以PA∥平面BMQ．…（5分）（2）由（1）可知，PA∥平面BMQ，所以点P到平面BMQ的距离等于点A到平面BMQ的距离，所以V P﹣BMQ=V A﹣BMQ=V M﹣ABQ，取CD的中点K，连结MK，所以MK∥PD，，…（7分）又PD⊥底面ABCD，所以MK⊥底面ABCD．又，PD=CD=2，所以AQ=1，BQ=2，，…（10分）所以V P﹣BMQ=V A﹣BMQ=V M﹣ABQ=.，…（11分）则点P到平面BMQ的距离d=…（12分）【点评】本题考查了线面平行的判定定理的运用以及利用三棱锥的体积求点到直线的距离．20．（12分）（2015某某一模）已知动点P到定点F（1，0）和直线l：x=2的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：y=mx+n与曲线E交于C，D两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合）（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）当直线l与圆x2+y2=1相切时，四边形ACBD的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由．【分析】（1）设点P（x，y），由题意可得，，化简即可得出；（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），由已知可得：，当m=0时，不合题意．当m≠0时，由直线l与圆x2+y2=1相切，可得m2+1=n2，直线与椭圆方程联立可得．利用根与系数的关系可得，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）设点P（x，y），由题意可得，，整理可得：．∴曲线E的方程是．（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），由已知可得：，当m=0时，不合题意．当m≠0时，由直线l与圆x2+y2=1相切，可得：，即m2+1=n2，联立消去y得．，，所以，，==．当且仅当，即时等号成立，此时．经检验可知，直线和直线符合题意．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、四边形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）（2014秋涪城区校级月考）已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（e为自然对数的底数），a＞0．（Ⅰ）若函数f（x）恰有一个零点，证明：a a=e a﹣1；（Ⅱ）若f（x）≥0对任意x∈R恒成立，某某数a的取值集合．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过导数为0，判断函数的单调性，利用函数的最小值证明a a=e a﹣1；（Ⅱ）利用（Ⅰ）函数的最小值，结合f（x）≥0对任意x∈R恒成立，构造函数，求出新函数的最小值利用恒成立，某某数a的取值集合．【解答】（Ⅰ）证明：由f（x）=e x﹣ax﹣1，得f'（x）=e x﹣a．…（1分）由f'（x）＞0，即e x﹣a＞0，解得x＞lna，同理由f'（x）＜0解得x＜lna，∴f（x）在（﹣∞，lna）上是减函数，在（lna，+∞）上是增函数，于是f（x）在x=lna取得最小值．又∵函数f（x）恰有一个零点，则f（x）min=f（lna）=0，…（4分）即e lna﹣alna﹣1=0．…（5分）化简得：a﹣alna﹣1=0，即alna=a﹣1，于是lna a=a﹣1，∴a a=e a﹣1．…（6分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，f（x）在x=lna取得最小值f（lna），由题意得f（lna）≥0，即a﹣alna﹣1≥0，…（8分）令h（a）=a﹣alna﹣1，则h'（a）=﹣lna，由h'（a）＞0可得0＜a＜1，由h'（a）＜0可得a＞1．∴h（a）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，即h（a）max=h（1）=0，∴当0＜a＜1或a＞1时，h（a）＜0，∴要使得f（x）≥0对任意x∈R恒成立，a=1．∴a的取值集合为{1}…（13分）【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查逻辑推理能力，构造新函数是解题本题的关键．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做．则按所做的第一题记分．答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）（2016某某一模）如图所示，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；（Ⅱ）若AC=BD，AB=5，求弦DE的长．【分析】（Ⅰ）由已知PG=PD，得到∠PDG=∠PGD，由切割弦定理得到∠PDA=∠DBA，进一步得到∠EGA=∠DBA，从而∠PFA=∠BDA．最后可得∠BDA=90°，说明AB为圆的直径；（Ⅱ）连接BC，DC．由AB是直径得到∠BDA=∠ACB=90°，然后由Rt△BDA≌Rt△ACB，得到∠DAB=∠CBA．再由∠DCB=∠DAB可推得DC∥AB．进一步得到ED为直径，则ED长可求．【解答】（Ⅰ）证明：∵PG=PD，∴∠PDG=∠PGD，由于PD为切线，故∠PDA=∠DBA，又∵∠EGA=∠PGD，∴∠EGA=∠DBA，∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD，从而∠PFA=∠BDA．又AF⊥EP，∴∠PFA=90°，则∠BDA=90°，故AB为圆的直径．（Ⅱ）解：连接BC，DC．由于AB是直径，故∠BDA=∠ACB=90°．在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA，AC=BD，从而得Rt△BDA≌Rt△ACB，于是∠DAB=∠CBA．又∵∠DCB=∠DAB，∴∠DCB=∠CBA，故DC∥AB．∵AB⊥EP，∴DC⊥EP，∠DCE为直角，∴ED为直径，又由（1）知AB为圆的直径，∴DE=AB=5．【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，考查了圆的切割线定理的应用，是中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015某某一模）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t 为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．（Ⅰ）求圆心的极坐标；（Ⅱ）求△PAB面积的最大值．【分析】（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入即可得出．（II）把直线的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d，再利用弦长公式可得|AB|=2，利用三角形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入可得：圆C的普通方程为x2+y2﹣2x+2y=0，即（x﹣1）2+（y+1）2=2．∴圆心坐标为（1，﹣1），∴圆心极坐标为；（Ⅱ）由直线l的参数方程（t为参数），把t=x代入y=﹣1+2t可得直线l的普通方程：，∴圆心到直线l的距离，∴|AB|=2==，点P直线AB距离的最大值为，．【点评】本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】24．（2015某某一模）已知函数f（x）=m﹣|x﹣1|﹣2|x+1|．（Ⅰ）当m=5时，求不等式f（x）＞2的解集；（Ⅱ）若二次函数y=x2+2x+3与函数y=f（x）的图象恒有公共点，某某数m的取值X围．【分析】（Ⅰ）当m=5时，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由二次函数y=x2+2x+3=（x+1）2+2在x=﹣1取得最小值2，f（x）在x=﹣1处取得最大值m﹣2，故有m﹣2≥2，由此求得m的X围．【解答】解：（Ⅰ）当m=5时，，由f（x）＞2可得①，或②，或③．解①求得﹣＜x＜﹣1，解②求得﹣1≤x＜0，解③求得x∈∅，易得不等式即4﹣3x＞2 解集为．（2）由二次函数y=x2+2x+3=（x+1）2+2，该函数在x=﹣1取得最小值2，因为在x=﹣1处取得最大值m﹣2，所以要使二次函数y=x2+2x+3与函数y=f（x）的图象恒有公共点，只需m﹣2≥2，求得m≥4．．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解；还考查了函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．。

高考数学专题12 任意角和弧度制及任意角的三角函数热点题型和提分秘籍理-人教版高三全册数学试题

专题12 任意角和弧度制及任意角的三角函数1．了解任意角的概念2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化 3．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义热点题型一象限角与终边相同的角例1、 (1)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________。

(2)如果α是第三象限的角，试确定－α，2α的终边所在位置。

【答案】（1）⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π（2）见解析解析：(1)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0，2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π。

(2)由α是第三象限的角得π＋2k π＜α＜3π2＋2k π(k ∈Z )，所以－3π2－2k π＜－α＜－π－2k π(k ∈Z )，即π2＋2k π＜－α＜π＋2k π (k ∈Z )，所以角－α的终边在第二象限。

由π＋2k π＜α＜3π2＋2k π(k ∈Z )，得2π＋4k π＜2α＜3π＋4k π(k ∈Z )。

所以角2α的终边在第一、二象限及y 轴的非负半轴。

【提分秘籍】1．终边在某直线上角的求法步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线。

(2)按逆时针方向写出[0，2π)内的角。

(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合。

(4)求并集化简集合。

2．确定kα，αk(k ∈N *)的终边位置的方法先用终边相同角的形式表示出角α的X 围，再写出kα或αk的X 围，然后根据k 的可能取值讨论确定kα或αk的终边所在位置。

【举一反三】设角α是第二象限的角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则角α2属于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限热点题型二扇形的弧长及面积公式例2、 (1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角。

河北省衡水中学2023届高三上学期一轮复习周测数学(理)试题

2017—2018学年高三一轮复习周测卷（一）理数第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地）1、下列说法正确地是A ．0与地意义相同B ．高一（1）班个子比较高地同学可以形成一个集合C ．集合是有限集D ．方程地解集只有一个元素2、已知集合,则A ． B ． C ． D ．3、设命题,则为A ．B ．C ．D ．4、已知集合,则集合A ． B ． C ． D ．5、设,则""是""地A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、设,若是地充分不必要条件,则实数地取值范围是A ． B ． C ． D ．7、已知命题有解,命题,则下列选项中是假命题地为A ．B ．C ．D ．8、已知集合,则集合不可能是A ． B ． C ． D ．{}0{}(,)|32,x y x y x N +=∈2210x x ++=2{|60,},{|4,}A x x x x R B x x Z =+-≤∈=≤∈A B =(0,2)[0,2]{}0,2{}0,1,22:"1,1"p x x ∀<<p ⌝21,1x x ∀≥<201,1x x ∃<≥21,1x x ∀<≥201,1x x ∃≥≥2{|0},{|lg(21)}A x x x B x y x =-≥==-A B = 1[0,)2[0,1]1(,1]21(,)2+∞,a b R ∈22log log a b >21a b ->221:0,:(21)(1)01x p q x a x a a x -≤-+++<-p q a 1(0,)21[0,)21(0,]21[,1)22:,10p m R x mx ∀∈--=2000:,210q x N x x ∃∈--≤p q ∧()p q ∧⌝p q ∨()p q ∨⌝{|A x y A B φ=== B 1{|42}x x x +<{(,)|1}x y y x =-φ22{|log (21)}y y x x =-++9、设,若是地充分不必要条件,则实数地取值范围是A ．B ．C ．D ．10、已知命题,命题,若命题且是真命题,则实数地取值范围是A ．B ．C ．D ．11、对于任意两个正整数,定义某种运算"",法则如下:当都是正奇数时,；当不全为正奇数时,,则在此定义下,集合地真子集地个数是A ．B ．C ．D ．12、用表示非空集合中地元素个数,定义 ,若,且,设实数地所有可能地取值集合是,则A ．4B ．3C ．2D ．1第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把解析填在答题卷地横线上..13、已知含有三个实数地集合既可表示成,又可表示成,则等于14、已知集合,若是地充分不必要条件,则实数地取值范围是15、已知集合,若,则实数地所有可能取值地集合为16、下列说法错误地是 (填序号)①命题",有"地否定是",有"；②若一个命题地逆命题,则它地否命题也一定为真命题；③已知,若为真命题,则实数地取值范围是1,:()[(1)]0p q x a x a ≤---≤p q a 3[1,]23(1,)23(,1)[,)2-∞+∞ 3(,1)(,)2-∞+∞ 2:[1,2],0p x x a ∀∈-≥2:,220q x R x ax a ∃∈++-=p q a {}(,2]1-∞ (,2][1,2]-∞ [1,)+∞[2,1]-,m n *,m n m n m n *=+,m n m n mn *={(,)|16,,}M a b a b a N b N ++=*=∈∈721-1121-1321-1421-()C A A ()(),()()()(),()()C A C B C A C B A B C B C A C A C B -≥⎧*=⎨-<⎩22{1,2},{|()(2)0}A B X x ax x ax ==+++=1A B *=a {,,1}b a a 2{,,0}a a b +20172017a b +2{|230},{|1}A x R x x B x R x m =∈--<=∈-<<x A ∈x B ∈m {1,1},{|20}A B x ax =-=+=B A ⊆a 1212,,x x M x x ∃∈≠1221[()()]()0f x f x x x -->1212,,x x M x x ∃∉≠1221[()()]()0f x f x x x --≤21:230,:13p x x q x+->>-()q p ⌝∧x (,3)-∞- (1,2)[3,)+∞④""是""成立地充分条件三、解答题:本大题共6小题,满分70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、（本小题满分10分）已知集合 .（1）分别求；（2）已知集合,若,求实数地取值范围.18、（本小题满分12分）（1）已知,关于地方程有实数,关于地函数在区间上是增函数,若"或"是真命题,"且"是假命题,求实数地取值范围；（2）已知,若是地必要不充分条件,求实数地取值范围.19、（本小题满分12分）集合（1）若集合只有一个元素,求实数地值；（2）若是地真子集,求实数地取值范围.20、（本小题满分12分）已知函数地值域是集合A,关于地不等式地解集为B,集合,集合.（1）若,求实数地取值范围；（2）若,求实数地取值范围.21、（本小题满分12分）已知函数,集合.（1）若,求实数地值；3x ≠3x ≠2{|3327},{|log 1}xA xB x x =≤≤=>,()R A BC B A {|1}C x x a =<<C A ⊆a :p x 240x ax -+=:q x 224y x ax =++[3,)+∞p q p q a 22:(43)1,:(21)(1)0p x q x a x a a -≤-+++≤p ⌝q ⌝a 219{|()(3)0},{|ln(0}24A x x xB x x ax a =--==+++=B a B A a ()41log ,[,4]16f x x x =∈x 31()2()2x a x a R +>∈5{|0}1x C x x -=≥+{|121}(0)D x m x m m =+≤≤->A B B = a D C ⊆m ()f x =A 22{|290}B x x mx m =-+-≤[2,3]A B = m（2）若,使,求实数地取值范围.22、（本小题满分12分）已知是定义域为R 地奇函数,且当时,,设"".（1）若为真,求实数地取值范围；（2）设集合与集合地交集为,若为假,为真,求实数地取值范围.12,()R x a x C B ∀∈∃∈21x x =m ()f x 12x x <1212()[()()]0x x f x f x -->:p 2(3)(128)0f m f m ++-<p m :q {|(1)(4)0}A x x x =+-≤{|}B x x m =<{}|1x x ≤-p q ∧p q ∨m。

安徽省阜阳市2022-2023学年高三上学期教学质量统测数学试卷答案

阜阳市2022-2023学年度高三教学质量统测数学参考答案一、选择题，本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号123456789101112答案ADCBBCDABDADBDACD2.【解析】因为复数1+i 是关于x 的方程x 2+px +q =0的一个根,所以1+i 2+p 1+i +q =0,解得p =-2,q =2,所以p +qi =22另解：利用韦达定理可得，1+i +1-i =2=-p ,1+i 1-i =2=q解得p =-2,q =2,所以p +qi =223.【解析】C 46(x )4(-2)2=60x 2，所以x 2的系数为60，故选C 项.4.【解析】该圆柱的内切球和外接球的截面图如下图所示，内切球与外接球的体积之比为43πOA 343πOB 3=OA OB3=24.5.【解析】由f (x +1)+f (x )=f (1)，f (x +2)+f (x +1)=f (1)，可得f (x +2)=f (x )，所以f (x )的周期为2.令x =0，代入f (x )+f (-x )=f (0)，可得f (0)=0，所以f (x )+f (-x )=0，故函数f (x )为奇函数，所以f log 2118 =f -log 218 =-f log 218 =-f log 218-4 =-f log 298因为0<298log <22log =12，所以f log 298 =2log 298=98，所以f log 2118 =-98.6.【解析】f x =cosh2xsinh x =e 2x +e 2x e x -e-x x >0 ,令t =e x -e -x >0，则e 2x +e -2x =t 2+2则cosh2xsinh x=t +2t ≥22，当且仅当t =2时，等号成立，故选C .7.【解析】构造函数f (x )=sin x +tan x -2x ,0<x <π2,f 'x =x cos +12xcos -2≥2x cos -2≥0,所以f x 在0,π2 上单调递增，所以f (0.1)>f (0)=0，则b >a .当x ∈0,1 时，由e x ≥x +1可得，e -0.2>1-0.2，所以1-e -0.2<0.2，故c <a ，故选D .8.【解析】由Y 41 =425，λ=ln Y 41 41=ln42541≈0.15，代入到R 的计算公式可以得到R ≈1+0.15×10+0.6×1-0.6 ×0.15×10 2=3.04.A 型传染病变异株的基本传染数R 0=R =3,感染人数由1个初始感染者增加到9000人大约需要n 轮传染，则每轮新增感染人数为R 0n,经过n 轮传染，总共感染人数为：1+R 0+R 02+...+R 0n =1-R 0n +11-R 0，因为R 0=3，由题意可得1-3n +11-3≥9000，解得n ≥9，又因为平均感染周期为7天，所以感染人数由1个初始感染者增加到9000人大约需要9×7=63天，故选A 项.9.【解析】易知A 项错误，B 项正确，这10年的人口出生率的80%分位数为13.70，故C 项错误，D 项显然正确.故选BD.10.【解析】由题意可得，g x =sin 2ωx +π3 -π3 =sin 2ωx +2π3ω-π30<ω<1 ，因为π6,0 是函数y =g x 的图象一个对称中心，则π3ω+2π3ω-π3=k π,k ∈Z ，即ω=k +13,k ∈Z ,因为0<ω<1，所以ω=13，故A 项正确；g x =sin 23x -π9，T =2π23=3π，故B 项错误；当x =π4时，g π4 =sin π18≠±1，故C 项错误；当-π2≤x ≤3π4,-4π9≤23x -π9≤7π18，故D 项正确．故选AD .11.【解析】由题意可得，当AB 与x 轴垂直时，线段AB 的最小值为2b 2a，故A 项错误；结合双曲线的定义与圆的切线的性质△F 1AB 的内切圆与直线AB 的切点Q 与F 2重合，故B 项正确；结合双曲线的定义与圆的切线的性质可知F 1Q =2a ，F 1到渐近线的距离为b ,所以b =2a ，易得离心率为5,故C 项错误；F 1关于P 点的对称点在另一条渐近线上时，则渐近线与x 轴的夹角为π3，则其渐近线方程为3x ±y =0,故D 项正确；故选BD 项.12.【解析】对于A ，易证D 1B ⊥平面AB 1C ，所以当λ=12时，D 1M ⊥平面AB 1C ，即平面AD 1M ⊥平面AB 1C ，故A 项正确；对于B ，由平面A 1DC 1⎳平面AB 1C ，又因为E ∈平面A 1DC 1，所以M 与A 1重合，N 与C 1重合，此时λ=0,u =1不符合题意，故B 项错误；对于C ，当λ=u =12时，MN ⊥B 1C 1,MN ⊥A 1C ，此时MN 最小，最小值为2，故C 项正确；对于D ，当λ=12,u =23时，取靠近D 1点的三等分点G ，连接GE 并延长交AD 于点H ，易得点H 是靠近A 点的三等分点，取靠近B 点的三等分点P ，易知四边形GHPN 为截面多边形，不难求得面积为4103，故D 项正确；故选ACD 项.二、填空题.本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.0,116【解析】因为x 2=14y ，故抛物线y =4x 2的焦点坐标为0,116.16．4952【解析】由题意可得a n -a n -1=n -1，所以a 2-a 1=1,a 3-a 2=2,⋯,a n -a n -1=n -1，即a n -a 1=1+2+⋯+n -1=n (n -1)2，故a n =2+n (n -1)2，所以a 100=2+50×99=4952.15.2+1【解析】c +a +b =a +b --c ,如图所示，向量-c 的终点在以A 点为圆心1为半径的圆上，所以|-c |的最大值为2+1，即c 的最大值为2+1.16. 0<a <1e【解析】函数f (x )=e x +a x log a e -2x (a >0,且a ≠1)在0，+∞ 有一个极值点，OAab-ca +ba +b --c则f (x)=e x+a x-2在0，+∞有一个变号零点，（1）当a>1时,f x 在0,+∞上单调递增，所以f x >f 0 =0,不符合题意，舍去.（2）当0<a<1时，由f x =e x+a x ln a=0,解得x0=log ea(ln1a),①当log ea ln1a≤0，即1e≤a<1时，f'(x)在0，+∞上单调递增，所以f x >f 0 =0,舍去；②当log ea ln1a>0时，即0<a<1e时，f x 在0，x0单调递减，在x0，+∞单调递增，因为f'0 =0，所以f x0<0，又因为f (1)=a+e-2>0,所以f (x)=e x+a x-2在x0，1内存在唯一一个零点,即在0，+∞有一个零点；综上可得，实数a的取值范围为0<a<1 e.三、解答题.本题共7小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.(1)A=π3；(2)332.解.(1)选①：由正弦定理可得，sin B=b2R=b,sin C=c2R=c.............1分所以b2+c2=a2+bc即b2+c2-a2=bc.............2分由余弦定理，可得cos A=b2+c2-a22bc=bc2bc=12.............3分因为0<A<π，所以A=π3；.............4分选②：因为S=12bc sin A,b2+c2-a2=2bc Acos.............1分所以2bc sin A=23bc cos A.............2分即sin A=3cos A，tan A=3.............3分因为0<A<π，所以A=π3；.............4分选③：由正弦定理可得，2sin B cos A=sin A cos C+sin C cos A.............1分2sin B cos A=sin B.............2分解得cos A=12.............3分因为0<A<π，所以A=π3；.............4分(2)由正弦定理可知，a=2R sin A=32.............5分由余弦定理可得，b2+c2-34=bc.............6分即(b+c)2-34=3bc因为bc≤b+c22.............7分所以(b+c)2-34≤3b+c22解得b+c≤3，当且仅当b=c=32时等号成立.............9分故△ABC周长的最大值为332..............10分18. 解(1)取BC的中点O,连接OP,OE,设BD=2a(a>0)，在Rt△BCD中，因为∠CBD=90°，∠BCD=30°所以BC=23a，又PO 为Rt △PBC 斜边BC 上的中线，所以OP =3a ，.............1分又E 为CD 的中点，所以OE =a ，因为OE //BD ，所以OE ⊥BC ，.............2分由PE =BD ,则PE =2a因为OP 2+OE 2=(3a )2+(a )2=4a 2=PE 2所以OP ⊥OE..............3分又OP ⊥BC ,BC ∩OE =O 所以OP ⊥平面BCD .............4分又OP ⊂平面PBC所以，平面PBC ⊥平面BCD ；.............5分(2)由(1)可知OP ⊥OE ，OP ⊥BC ,OE ⊥BC ，分别以OE ,OC ,OP 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系则B (0,-3a ,0),C (0,3a ,0),P (0,0,3a ),D (2a ,-3a ,0).............6分BP =(0,3a ,3a ),DP=(-2a ,3a ,3a ),CD =(2a ,-23a ,0).............7分设平面PCD 的法向量为m=(x ,y ,z )则m ⋅DP =0m ⋅CD =0 ，即-2ax +3ay +3az =02ax -23ay =0解得x =3y z =y，不妨取m =(3,1,1).............9分所以m ⋅BP=23a又m=5,BP =6a ，则cos <m ,BP >=m ⋅BP m BP=105.............11分所以，直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为105. .............12分19.【答案】(1)设A 1=“上学时选择A 路线”，B 1=“上学时选择B 路线”，A 2=“放学时选择A 路线”，则Ω=A 1∪B 1，且A 1与B 1互斥.根据题意得P (A 1)=P (B 1)=0.5.............2分P (A 2|A 1)=0.6,P (A 2|B 1)=0.8.............3分由全概率公式，得P (A 2)=P (A 1)P (A 2|A 1)+P (B 1)P (A 2|B 1)=0.5×0.6+0.5×0.8=0.7所以小明放学时选择A 路线的概率为0.7；.............7分(2)P (B 1|A 2)=P (A 2B 1)P (A 2)=P (B 1)P (A 2|B 1)P (A 2)=0.5×0.80.7=47所以已知小明放学时选择A 路线，上学选择B 路线的概率为47．............12分20.解：(1)当n =1时，有2a 1=a 1+1，得a 1=1，.............1分由2S n =a n +1，有4S n =a n +1 2，①4S n -1=a n -1+1 2n ≥2 ，②.......2分由①-②得，4S n -S n -1 =a n +1 2-a n -1+1 24a n =a n +1 2-a n -1+1 2，化简a n +a n -1 ⋅a n -a n -1-2 =0.........3分因为a n >0，所以a n -a n -1=2n ≥2 .........4分所以a n 是以1为首项，2为公差的等差数列即a n =1+n -1 ⋅2=2n -1；..........5分(2)S n =a 1+a n2⋅n =n 2.........6分所以4S n a n a n +1=4n 22n -1 2n +1=1+14n 2-1 =1+1212n -1-12n +1 ，..........7分所以T n =n +121-13+13-15+⋯+12n -1-12n +1 =2n n +1 2n +1.........8分带入T n ≤λ∙n +1 2n a n +1S n ，可得λ≥n 32n -1，．..........9分令b n =n 32n -1，由b n +1b n =12n +1n 3≥1，即1+1n ≥213=1.26，则n ≤3..........10分所以b 1=b 2<b 3<b 4，b 4>b 5>b 6>⋯⋯故当n =4时，b n 的最大值为b 4=8所以λ≥8.............12分21.解(1)由题意可得，c a =324a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2,.............1分解得a 2=8，b 2=2，............2分所以，C 的方程为x 28+y 22=1............3分(2)①设B x 0，y 0 ,因为OP =λOA +μOB=2λ+μx 0，λ+μy 0 所以P 的坐标为2λ+μx 0，λ+μy 0 ，...........4分又因为点P 在椭圆C 上所以2λ+μx 028+λ+μy 022=1，化简可得λ2+μ2x 208+y 202+λμx 02+λμy 0=1,...........5分因为x 28+y 202=1且λ2+μ2=1，所以λμx 02+λμy 0=0,...........6分因为B ,P 为C 上不与A 重合的两点，所以，λμ≠0，y 0=-12x 0即直线OB 的斜率k =y 0x 0=-12..........7分②设l 的方程为y =-x2+m m ≠0 ,M x 1,y 1 ,N x 2,y 2由y =-x 2+mx 28+y 22=1 ，消去y可得x 2-2mx +2m 2-4=0，由∆=4m 2-42m 2-4 >0，可得-2<m <2,且m ≠0,x 1+x 2=2m ,x 1x 2=2m 2-4..............8分|MN |=1+14|x 1-x 2|=52x 1+x 2 2-4x 1x 2=54-m 2A 到直线l 的距离d =|m -2|1+14=22-m 5所以∆AMN 面积为S =12|MN |∙d =4-m 2 2-m 2=2+m 2-m 3............10分令f m =2+m 2-m 3，(-2<m <2,m ≠0)f m =-42-m 2m +1 ,令f m =0，解得m =-1因为f m 在-2，-1 上单调递增，在-1,0 ，0，2 上单调递减，所以，f m 的最大值为f -1 =27，故∆AMN 面积的最大值为3 3............12分22.解(1)当a =1时，f (x )=x ln x -x ，f (x )=ln x .............1分当0<x <1时，f (x )<0；当x >1时，f (x )>0；.............2分所以，f (x )在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增； .............3分(2)f (x )=ax a -1ln x +x a -1-1，f (1)=0.............4分令g (x )=f (x )=ax a -1ln x +x a -1-1，g (x )=a (a -1)x a -2ln x +(2a -1)x a -2g (1)=2a -1①当2a -1>0，即a >12时，因为g (1)>0，所以存在δ>1，使得当x ∈(1,δ)时，g '(x )>0，所以g (x )在(1,δ)上单调递增，即f (x )在(1,δ)上单调递增，因为f (1)=0,所以f (x )在(1,δ)上单调递增，则f (x )>f (1)=-1与f (x )≤-1矛盾，故舍去.............5分②当2a -1≤0，即a ≤12时，此时f (x )=x a ln x -x ≤x ln x -x下面证明x ln x -x ≤-1恒成立即可，即证ln x -x +1x≤0.............6分令F (x )=2ln x -x +1x ，F (x )=2x -1-1x2=-1-1x 2≤0.............7分所以F (x )在(1,+∞)上单调递减，所以F (x )≤F (1)=0所以2ln x -x +1x ≤0，即ln x -x +1x≤0综上可得，a 的取值范围为-∞,12. .............8分(3)由(2)知当a =12时，当x ≥1时，x ln x -x ≤-1即2ln x -x +1x ≤0，令x =n +1n ，则2ln n +1n -n +1n +nn +1<0.............9分化简可得，2ln n +1n <1n +1n +1所以2ln2+ln 32+ln 43+⋯+ln n +1n <1+12 +12+13 +13+14 +⋯+1n +1n +1即2ln(n+1)<1+212+13+14+⋯+1n+1n+1=21+12+13+⋯+1n-n n+1所以ln(n+1)<1+12+13+⋯+1n-n2(n+1)............12分。

黑龙江省哈尔滨三十二中2024学年高三下学期第十二周周测(1)数学试题

黑龙江省哈尔滨三十二中2024学年高三下学期第十二周周测（1）数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在边长为23的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，沿对角线BD 折成二面角A BD C --为120︒的四面体ABCD （如图），则此四面体的外接球表面积为（）A ．28πB ．7πC ．14πD ．21π2．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：()()2262x m y m -+--=与圆2C ：()()22121x y ++-=交于A ，B 两点，若OA OB =，则实数m 的值为（） A ．1B ．2C ．-1D ．-23．已知直线1l ：x my =（0m ≠）与抛物线C ：24y x =交于O （坐标原点），A 两点，直线2l ：x my m =+与抛物线C 交于B ，D 两点.若||3||BD OA =，则实数m 的值为（） A ．14B ．15C ．13D ．184．若实数,x y 满足不等式组121210x y x y x y +≥-⎧⎪-≤-⎨⎪--≤⎩，则234x y -+的最大值为（）A ．1-B ．2-C ．3D ．25．已知曲线11(0x y aa -=+>且1)a ≠过定点(),kb ，若m n b +=且0,0m n >>，则41m n+的最小值为（）. A ．92B ．9C ．5D ．526．设抛物线24y x =上一点P 到y 轴的距离为1d ，到直线:34120l x y ++=的距离为2d ，则12d d +的最小值为（）A ．2B ．153C ．163D ．37．已知α，β表示两个不同的平面，l 为α内的一条直线，则“α∥β是“l ∥β”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知函数()(),12,1x e x f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，若方程()10f x mx --=恰有两个不同实根，则正数m 的取值范围为（）A ．()1,11,12e e -⎛⎫-⎪⎝⎭B ．(]1,11,12e e -⎛⎫-⎪⎝⎭C ．()1,11,13e e -⎛⎫-⎪⎝⎭D ．(]1,11,13e e -⎛⎫-⎪⎝⎭9．如果直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交，则点(),M a b 与圆C 的位置关系是（） A ．点M 在圆C 上 B ．点M 在圆C 外 C ．点M 在圆C 内D ．上述三种情况都有可能10．已知函数()cos ||sin f x x x =+，则下列结论中正确的是 ①函数()f x 的最小正周期为π； ②函数()f x 的图象是轴对称图形；③函数()f x ； ④函数()f x 的最小值为1-． A ．①③ B ．②④ C ．②③D ．②③④11．已知函数21()(1)()2x f x ax x e a R =--∈若对区间[]01，内的任意实数123x x x 、、，都有123()()()f x f x f x +≥，则实数a 的取值范围是( ）A ．[]12， B ．[]e,4C ．[]14， D ．[)[]12,4e ⋃， 12．已知函数()5sin 12f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，要得到函数()cos g x x =的图象，只需将()y f x =的图象( ) A ．向左平移12π个单位长度B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移512π个单位长度 D ．向右平移512π个单位长度二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高三数学周周清12

高三数学周周清12一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．设x 是实数，则“x ＞0”是“|x |＞0”的（）Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2、已知集合M={1,6x x m m Z =+∈},N={1,23n x x n Z =+∈}，P={1,26p x x p Z =+∈}，则M 、N 、P 满足的关系（）A 、M N P ==B 、 M N P ⊆=C 、 M N P ⊆⊆D 、 N P M ⊆⊆3．函数f （x ）=1x x-的图像关于（） A 、y 轴对称 B 、直线y=-x C 、坐标原点 D 、直线y=x4．若011<<b a ，则下列不等式 ①ab b a <+；②|;|||b a >③b a <；④2>+ba ab 中，正确的不等式有（） A ．０个B ．１个C ．2个D ．３个 5．给出平面区域如图所示，若使目标函数z=ax+y （a>0）取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为( )A 、14B 、35C 、4D 、536、函数21sin (10)()(0)x x x f x e x π-⎧-<<⎪=⎨≥⎪⎩，若f （1）+f （a ）=2，则a 的所有可能值为（） A 、1 B 、1、-2 C、-2 D 、1、27、若命题P ：(),x A B ∈⋃⌝则P 是（）A 、()x AB ∉⋂ B 、x A x B ∉∉或C 、 x A x B ∉∉且D 、x A B ∈⋂8．实数x 满足,sin 1log 3θ+=x 则91-+-x x 的值为（） A ．8 B ．-8 C ．8或-8 D ．与θ无关9．若函数)(x f 是奇函数，且在（+∞,0），内是增函数，0)3(=-f ，则不等式0)(<⋅x f x 的解集为（）A ．}303|{><<-x x x 或B ．}303|{<<-<x x x 或C ．}33|{>-<x x x 或D ．}3003|{<<<<-x x x 或10、若44sin cos 1,αα+=sin cos αα+=（）A 、0B 、1C 、-1D 、1±11．不等式,011<-+-+-ac c b b a λ对满足c b a >>恒成立，则λ的取值范围是（） A ．(]0,∞- B ． ()1,∞- C ．(]4,∞- D ．()+∞,412、设函数y=f （x ），x D ∈，对于任意的1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，使12()()2f x f x c +=，则称函数f （x ）在D 上的均值为c ，已知f （x ）=lgx ，[10,100]x ∈，则函数f （x ）在[10,100]x ∈的均值为（）A 、34B 、32C 、110D 、10 二、填空题（每题4分）13．若函数()1222-=--a ax x x f 的定义域为R ，则实数a 的取值范围。

四川省成都市第七中学2022-2023学年高三上学期12月阶段性测试数学(文)试题(含答案解析)

四川省成都市第七中学2022-2023学年高三上学期12月阶段性测试数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}13A x N x =∈≤≤，{}2650B x x x =-+<，则A B = （）A ．∅B ．{}1,2,3C ．(]1,3D ．{}2,32．在复平面内，复数212i(1i)z +=+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设函数()()2log 4,22,2x x x f x x ⎧-+<=⎨>⎩，则()()24log 5f f -+=（）A ．5B ．6C ．7D ．84．若实数x ､y 满足210104210x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩，则z =x +3y 的最小值为（）A ．-9B ．1C ．32D ．25．已知6log 2a =，sin1b =，12c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b<<B ．b a c <<C ．c b a<<D ．a b c<<6．某正方体被截去部分后得到的空间几何体的三视图如图所示，则该空间几何体的体积为（）A ．132B ．223C ．152D ．2337．将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A ．0.3B ．0.5C ．0.6D ．0.88．函数()()cos f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，02πϕ<<）的部分图象如图所示，则（）A ．3πϕ=，73πω=B ．()2y f x =+是奇函数C ．直线4x =-是()f x 的对称轴D ．函数()f x 在[]3,4上单调递减9．在ABC 中，()()221tan 7π2:sin πcos cos 21tan 2Bp B C A B B -⎛⎫-⋅=-+⋅+ ⎪⎝⎭+，:q ABC 为直角三角形，则“p ”是“q ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知m 是区间[]0,4内任取的一个数，那么函数3221()233f x x x m x =-++在x ∈R 上是增函数的概率是（）A ．14B ．13C ．12D ．2311．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>与抛物线28y x =有共同的焦点2F ，双曲线左焦点为1F ，点P 是双曲线右支一点，过1F 向12F PF ∠的角平分线做垂线，垂足为,1N ON =，则双曲线的离心率是（）A ．2BC ．43D112．已知函数()(),f x g x 的定义域均为()R,f x 为偶函数，且()()21f x g x +-=，()()43g x f x --=，下列说法正确的有（）A ．函数()g x 的图象关于1x =对称B ．函数()f x 的图象关于()1,2--对称C ．函数()f x 是以4为周期的周期函数D ．函数()g x 是以6为周期的周期函数二、填空题13．已知()()()1,2,,3,2a b a b a λ==-⊥，则b = __________.14．已知抛物线22y x =的焦点为F ，准线为l ，点A 在抛物线上，点B 在l 上，若ABF △为等边三角形，则ABF △的面积为__________.15．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC 的面积为__________.16．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,P 是空间中任意一点.①若点P 是正方体表面上的点，则满足12AP =的动点轨迹长是π；②若点P 是线段1AD 上的点，则异面直线BP 和1B C 所成角的取值范围是,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；③若点P 是侧面11BCC B 上的点，P 到直线BC 的距离与到点1C 的距离之和为2，则P 的轨迹是椭圆；④过点P 的平面α与正方体每条棱所成的角都相等，则平面α截正方体所得截面的最大面积是⑤设1BD 交平面11AC D 于点H ，则123BH HD =.以上说法正确的是__________.（填序号）三、解答题17．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，前n 项和为n S ，现给出下列三个条件：①1S ，2S ，4S 成等比数列；②416S =；③()8841S a =+．请你从这三个条件中任选两个解答下列问题．(1)求n a 的通项公式；(2)若()142n n n b b a n --=，且13b =，设数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ，求证1132n T ≤≤．18．某省举办线上万人健步走活动，希望带动更多的人参与到全民健身中来，以更加强健的体魄､更加优异的成绩，向中国共产党百年华诞献礼.为了解群众参与健步走活动的情况，随机从参与活动的某支队伍中抽取了60人，将他们的年龄分成7段：[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图.（1）以各组的区间中点值代表各组取值的平均水平，求这60人年龄的平均数；（2）一支200人的队伍，男士占其中的38，40岁以下的男士和女士分别为30和70人，请补充完整22⨯列联表，并通过计算判断是否有95%的把握认为40岁以下的群众是否参与健步走活动与性别有关.40岁以下40岁以上合计男士30女士70合计200附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()20P K k ≥L 0.050.0250.0100.0050.0010k L3.8415.0246.6357.87910.82819．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，1===AD DC CB ，120BCD ∠=︒，四边形BFED 为矩形，平面BFED ⊥平面ABCD ，1BF =.（1）求证：BD ⊥平面AED ，AD ⊥平面BDEF ；（2）点P 在线段EF 上运动，求三棱锥C PBD -的体积.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为2，左、右焦点分别为12,F F ，A 为椭圆C 上一点，且2AF x ⊥轴，1OM AF ⊥，M 为垂足，O 为坐标原点，且225OM AF =．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的右焦点2F 的直线l （斜率不为0）与椭圆交于,P Q 两点，G 为x 轴正半轴上一点，且22PGF QGF ∠=∠，求点G 的坐标．21．已知函数()()()e 21,R ,sin xf x ax a bg x x x =--∈=-.(1)当[)0,x ∈+∞对，求函数()g x 的最小值；(2)若()0f x ≥对x ∈R 恒成立，求实数a 取值集合；(3)求证：对*N n ∀∈，都有11111231sin sin sin sin 1111e 1n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<⎪ ⎪⎪⎪++++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22．已知在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos 1cos 2θρθ=-．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)已知过点3,12M ⎛⎫⎪⎝⎭，倾斜角为α的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，若M 为线段AB的三等分点，求tan α的值．23．已知函数()21f x x x =-++．(1)求不等式()2f x x >+的解集；(2)若关于x 的不等式()1f x a x x >-+恒成立，求a 的取值范围．参考答案：1．D【分析】本题考查集合的交集，易错点在于集合A 元素是自然数，集合B 的元素是实数．【详解】∵{}{}131,2,3A x N x =∈≤≤=，{}{}265015B x x x x x =-+<=<<，∴{}2,3A B ⋂=．故选：D ．2．A【分析】化简复数，求出z 的共轭复数，即可得到答案.【详解】()()212i i 12i 12i 2i 11i (1i)2i 2i i22z +++-+====-+-则z 的共轭复数为11i2+故选：A.3．D【分析】根据给定的分段函数，判断自变量取值区间，再代入计算作答.【详解】因23252<<，则22log 53<<，而()()2log 4,22,2x x x f x x ⎧-+<=⎨>⎩，所以()()2log 5224log 5log (44)2358f f -+=++=+=.故选：D 4．B【分析】做出可行域，由目标函数的几何意义求得最小值.【详解】有不等式组做出可行域，如图所示：由目标函数z =x +3y 的几何意义知，其在10（，）处取得最小值，此z =1+0=1.故选：B.5．A【分析】借助中间值12比较大小即可.【详解】661log 2log 2a =<，1sin1sin 62b π=>=，所以bc a >>.故选：A.6．C【分析】根据几何体的三视图，可知该几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱锥，根据三棱锥的体积公式即可求解．【详解】解：根据几何体的三视图，该空间几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱锥，由图示可知，该空间几何体体积为3221111152111232322V ⎛⎫=-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，故选：C.7．C【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100，共10种排法，其中2个0不相邻的排列方法为：01011,01101,01110,10101,10110,11010，共6种方法，故2个0不相邻的概率为6=0.610，故选：C.8．C【分析】根据已知函数图象求得()f x 的解析式，再根据三角函数的奇偶性、对称性、以及单调性，对每个选项进行逐一判断，即可选择.【详解】根据()f x 的函数图象可知，()()cos f x A x ωϕ=+的最大值为2，又0A >，故2A =；又()01f =，即2cos 1ϕ=，则1cos 2ϕ=，又0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故3πϕ=；又102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即1cos 023πω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得1,232k k Z ππωπ+=+∈，故可得2,3k k Z πωπ=+∈；又142T >，则ωπ<，又0ω>，故当0k =时，3πω=；故()2cos 33f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对A ：由上述求解可知，3πϕ=，3πω=，故A 错误；对B ：()22cos 2cos 33f x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又2cos 2cos 33x x ππ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故()2f x +是偶函数，故B 错误；对C ：当4x =-时，()()2cos 2f x π=-=-，即当4x =-时，()f x 取得最小值，故4x =-是()f x 的对称轴，故C 正确；对D ：当[]3,4x ∈时，45,3333x ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，而2cos y x =-在45,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦不单调，故D 错误.故选：C.9．D【分析】利用三角恒等变换公式，把p 中等式化为sin2sin 2B C =，从而()()cos sin 0B C B C +-=，得π2B C +=或0B C -=，然后结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【详解】由()()221tan 7π2sin πcos cos 21tan2BB C A B B -⎛⎫-⋅=-+⋅+ ⎪⎝⎭+，得()222221π2s o in cos co c s π22sin os si c s 12n B B B C C B B -⎛⎫⋅=--⋅- ⎪⎝⎭+，即()2222π22s i in cos cos π22cos sin cos s 2n BBB C C BB -⎛⎫⋅=--⋅- ⎪⎝⎭+，即sin2sin 2B C =，即()()()()sin sin B C B C B C B C ++-=+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()()()sin cos cos sin B C B C B C B C +-++-()()()()sin cos cos sin B C B C B C B C =+--+-整理得()()cos sin 0B C B C +-=，则()cos 0B C +=或()sin 0B C -=，因为0πB <<，0πC <<，0πB C <+<，ππB C -<-<，则π2B C +=或0B C -=，即π2A =或B C =，所以由p 不能推出q ；当ABC 为直角三角形时，A 不一定为π2，,B C 也不一定相等，所以由q 不能推出p ，故“p ”是“q ”的既不充分也不必要条件．故选：D ．10．C【分析】首先得到220()4f x x x m '=-≥+恒成立，则解出m 的范围，再根据其在[0,4]内取数，利用几何概型公式得到答案.【详解】22()4f x x x m '=-+ ，3221()233f x x x m x =-++在x ∈R 上是增函数22()40f x x x m '∴=-+≥恒成立21640m ∴∆=-≤解得2m ≥或2m ≤-又m 是区间[0,4]内任取的一个数24m ∴≤≤由几何概型概率公式得函数3221()233f x x x m x =-++在x ∈R 上是增函数的概率42142P -==故选：C ．11．A【分析】由抛物线的方程得焦点2(2,0)F ，延长1F N 交2PF 的延长线于点M ，由角平分线的性质得1PF PM =且1F N NM =，由中位线的性质得22F M =，根据双曲线的定义求得1a =，由双曲线的离心率公式即可得到答案.【详解】由抛物线28y x =的焦点2(2,0)F ，故2c =，延长1F N 交2PF 的延长线于点MPN 是12F PF ∠的角平分线，1F N PN ⊥于点N ，1PF PM ∴=且1F N NM=点O 是12F F 的中点，//ON PM∴212ON F M = 1ON =22F M ∴=由双曲线的定义得122PF PF a -=,故12222PF PF a F M -===1a ∴=故双曲线的离心率为221c e a ===故选：A.12．C【分析】根据题中所给条件可判断()g x 关于2x =和4x =对称，进而得()g x 的周期性，结合()g x 的周期性和()f x 的奇偶性即可判断()f x 的周期性，结合选项即可逐一求解.【详解】由()()21f x g x +-=得()()21f x g x -++=，又()f x 为偶函数，所以()()=f x f x -，进而可得()()22g x g x -=+；因此可得()g x 的图象关于2x =对称,又()()43g x f x --=可得()()843g x f x ---=，结合()f x 为偶函数，所以()()8g x g x =-，故()g x 的图象关于4x =对称，因此()()()44g x g x g x =-=+，所以()g x 是以4为周期的周期，故D 错误，由于()()()()()()223231322f x g x g x f x f x f x -=+-=--=--⇒=---，所以()()22f x f x -+-=-且()()()()224224f x f x f x f x =---=-----=-⎡⎤⎣⎦，因此()f x 的图象关于()1,1--对称，函数()f x 是以4为周期的周期函数，故C 正确，B 错误，根据()f x 是以4为周期的周期函数，由()()21f x g x +-=，()()43g x f x --=得()()24g x g x +-=，所以数()g x 的图象关于()1,2对称，故A 错误，故选：C 13．5【分析】根据()()()1,2,,3,2a b a b a λ==-⊥求出λ的值，然后再求b 【详解】()()()221,2,32,1a b λλ-=-=- 又()2a b a -⊥，220,4λλ∴-+=∴=()4,3,5b b ∴===故答案为：514【分析】先根据ABF △为等边三角形得到AF AB =，再设(A a ，表示出B 点坐标，再根据BF AB =,列出关于a 的方程，解出a ，解出三角形边长，利用面积公式即可得到答案.【详解】 ABF △为等边三角形AF AB∴=由题意得1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭设(A a ，则12B ⎛- ⎝12BF AB a ∴==+解得32a =2AB ∴=∴ABF △是边长为2的等边三角形，122sin 602ABF S ︒∴=⨯⨯⨯=15．【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．【详解】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =解得c c ==-所以2a c ==11sin22ABC S ac B ∆==⨯=【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．16．④【分析】满足12AP =的动点P 的轨迹是以A 为圆心，以12为半径的3个14圆弧,求出动点轨迹长即可判断①，证明1B C ⊥面11ABC D ，可得1B C BP ⊥，判断②，若P 到直线BC 的距离与到点1C 的距离之和为2，则点P 在线段1CC 上可判断③作出平面α截正方体的正六边形求出其面积可判断④，利用111111D A DC D D A C V V --=，求出1D H ，再利用11BH BD D H =-在求出BH .【详解】对于①，满足12AP =的动点P 的轨迹是以A 为圆心，以12为半径的3个14圆弧，因此动点轨迹为11332424ππ⨯⨯⨯=.故①正确；对于②，连接1BC ，则11B C BC ⊥,AB ⊥Q 面11BCC B ,1B C ⊂面11BCC B 1AB B C∴⊥1AB BC B =Q I ，1,AB BC ⊂面11ABC D 1B C ∴⊥面11ABC D 点P 是线段1AD 上的点，BP ∴⊂面11ABC D 可得1B C BP⊥故直线BP 和1B C 所成角恒为2π.故②不正确对于③，过点P 作PM BC ⊥于点M ，则P 到直线BC 的距离与到点1C 的距离之和为，当点P 在线段1CC 上时，112PM PC PC PC +>+=此时不满足P 到直线BC 的距离与到点1C 的距离之和为2，所以P 的轨迹为线段1CC ，故③不正确.对于④，过点P 的平面α与正方体每条棱所成的角都相等，只需过同一顶点的三条棱所成的角相等即可.111A P A R AQ ==,则平面PQR 与正方体过点1A 的三条棱所成的角相等，若点,,,,,E F G H M N 分别为相应棱的中点，则平面//EFGHMN 面PQR ，且六边形EFGHMN 为正六边形，边长，故六边形的面积为264⨯=,故④正确.对于⑤1111111111111222323D A DC D D A C A DC V V SD H H --==⨯⨯⨯==13D H ∴=1BD =1133BH BD D H ∴=-=12BH HD ∴=故⑤错误故答案为：④.17．(1)21n a n =-(2)证明见详解【分析】（1）选择①②，①③或②③，利用等比中项的性质，等差数列的通项公式和前n 项和公式将已知条件转化为关于1a 和d 的关系式，求出1a 和d 的值即可得到n a 的通项公式；（2）由（1）知184n n b b n --=-，利用累加法求出n b 的通项，再由裂项求和即可证明12n T <，再根据1n T T ≥即可证明1132n T ≤≤．【详解】（1）解：由条件①得，因为1S ，2S ，4S 成等比数列，则2214S S S =，即()()2111246a d a a d +=+，又0d ≠，则12d a =，由条件②得414616S a d =+=，即1238a d +=，由条件③得()8841S a =+，可得()11828471a d a d +=++，即11a =．若选①②，则有112238d a a d =⎧⎨+=⎩，可得112a d =⎧⎨=⎩，则()1121n a a n d n =+-=-；若选①③，则122d a ==，则()1121n a a n d n =+-=-；若选②③，则123238a d d +=+=，可得2d =，所以()1121n a a n d n =+-=-．（2）证明：由()14842n n n b b a n n --==-，且13b =，所以当2n时，则有()()()()()()21213218412131220843412n n n n n b b b b b b b b n n --+-=+-+-++-=++++-=+=- ，又13b =也满足241n b n =-，故对任意的*n ∈N ，有241n b n =-，则()()11111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以21111112111121233521121n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭⎣⎦L ，由于21n n T n =+单调递增，所以113n T T ≥=，综上：1132n T ≤<．18．（1）37；（2）列联表答案见解析，有95%的把握认为40岁以下的群众是否参与健步走活动与性别有关.【分析】（1）根据频率分布直方图及平均数的定义直接计算即可；（2）列出22⨯列联表，计算2K 与临界值比较即可得出结论.【详解】（1）这60人年龄的平均数为150.15250.2350.3450.15550.1650.05750.0537⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）由题意队伍中男士共75人，女士125人，则22⨯列联表如下：40岁以下40岁以上合计男士304575女士7055125合计10010010020022200(30557045) 4.810010075125K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯=4.8 3.8> 所以，有95%的把握认为40岁以下的群众是否参与健步走活动与性别有关.19．（1）证明见解析；（2）12.【分析】（1）根据已知条件转化垂直关系，利用线面垂直的判断定理，即可证明；（2）根据C PBD P BCD V V --=计算棱锥的体积即可.【详解】（1）证明，在梯形ABCD 中，//AB CD ，1===AD DC CB ，120BCD ∠=︒，30CDB CBD ∴∠=∠=︒，120ADC DCB ∠=∠=︒，90ADB ∴∠=︒，AD BD ∴⊥.又四边形BDEF 是矩形，DE DB∴⊥又AD DE D ⋂=Q ，BD ∴⊥平面ADE平面BFED ⊥平面ABCD ，平面BFED ⋂平面ABCD BD =，DE ⊂平面BFED ，，又ED BD ⊥ ，ED ∴⊥平面ABCD ，ED AD ∴⊥ED BD D = ，AD ∴⊥平面BDEF .（2）//,EF DB EF ⊄ 平面ABCD ,DB ⊂平面ABCD ，//EF ∴平面ABCD ，∴P 到平面ABCD 的距离等于1BF =,41sin 111222BCD BC S B C D C D ∠=⨯⨯⋅⨯=⋅=△113412C PBD P BCD V V --∴==⨯⨯=.20．(1)22143x y +=(2)()4,0G 【分析】（1）利用△1F MO ∽△12F F A 构造齐次方程，求出离心率，再利用焦距即可求出椭圆方程；（2）将直线方程与椭圆方程联立利用韦达定理求出12y y +和12y y ，利用几何关系可知0GP GQ k k +=，即可得1201221my y x y y =++，将韦达定理代入化简即可求得点G 的坐标.【详解】（1）∵椭圆的焦距为2，∴22c =，即1c =，2AF x ⊥ 轴，∴22b AF a =，则22212222b a b AF a AF a a a-=-=-=,由212AF F F ⊥，1OM AF ⊥，则△1F MO ∽△12F F A ，∴121OM OF AF AF =，即22225ac a b =-，整理得22522ac a c =+，即22520e e -+=，解得12e =或2e =（舍去）∴2a =，∴2223b a c =-=，则椭圆C 的标准方程为22143x y +=，（2）设直线l 的方程为1x my =+，且()()()11220,,,0P x y Q x y G x ，，，将直线方程与椭圆方程221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩联立得()2234690m y my ++-=，()()()22236493414410m m m ∆=-⨯-⨯+=+>，则122634m y y m -+=+，122934y y m -=+，∵22PGF QGF ∠=∠，∴0GP GQ k k +=，∴()()()()1202101210201020GP GQ y x x y x x y y k k x x x x x x x x -+-+=+=----0=,∴121021200y x y x y x y x -+-=，∴()()122112210121211y my y my y x y x x y y y y ++++==++121221my y y y =++229218341146634m m m m m m -⨯-+=+=+=--+，即()4,0G .21．(1)0(2)12⎧⎫⎨⎬⎩⎭(3)证明见解析【分析】（1）求导，得到函数单调性，从而求出最小值；（2）先根据()00f =，()00f '=得到12a =，再证明出充分性成立，而12a >与12a <均不合要求，从而得到答案；（3）由第一问结论得到11sin 11n n k k n n ++⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，只需证明111112311111e 1n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由（2）可知，()e 10xf x x =--≥，得到()11e 1,2,3,,1en kn k k n n ++⎛⎫<=⋯ ⎪+⎝⎭，结合等比数列求和公式证明出1111111231e 1111e 1e 1n n n n n n n n n n ++++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【详解】（1）()()1cos 0,g x x g x =≥'-在[)0,x ∈+∞上单调递增，所以()min ()00g x g ==.（2）()e 2xf x a '=-，由于()00f =，故()010e 21202f a a a '=-=-=⇒=，下证当12a =时，()e 10xf x x =--≥恒成立，此时令()e 10xf x '=->，解得：0x >，令()e 10xf x '=-<，解得：0x <，故()e 1xf x x =--在0x >上单调递增，在0x <上单调递减，故()e 1xf x x =--在0x =处取得极小值，也是最小值，且()()0min 0=e 010f f x =--=，故()0f x ≥对x ∈R 恒成立；当12a >时，()1e 21e x x f x ax x =-<---，则()0010e 0f -<-=，显然不合要求，舍去当12a <时，令()e 20xf x a '=->，解得：ln 2x a >，令()e 20xf x a '=-<，解得：ln 2x a <，其中ln 20a <，则()e 21xf x ax =--在ln 2x a <上单调递减，在ln 2x a >上单调递增，又()00f =，故当()ln 2,0x a ∈时，()0f x <，不合题意，舍去；综上：实数a 取值集合为12⎧⎫⎨⎬⎩⎭.（3）由（1）可知，11sin 11n n k k n n ++⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，*N ,N k n *∈∈，所以1111123sin sin sin sin 1111n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11111231111n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故只需证明：111112311111e 1n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 即可由（2）可知，()e 10x f x x =--≥，则1e x x +≤，()11(1)e n x n x ++∴+≤，令()11,2,3,,1k x k n n +==+ ，则()11e 1,2,3,,1e n k n k k n n ++⎛⎫<=⋯ ⎪+⎝⎭，()11112311231e e e e 1111e n n n n n n n n n n n +++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++<++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()11111e 1e 1e e 1e e 1ee e 1e 1e 1n n n n n +++---=⋅==<----，11111231sin sin sin sin 1111e 1n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .【点睛】数学问题的转化要注意等价性，也就是充分性与必要性兼备，有时在探求参数的取值范围时，为了寻找解题突破口，从满足题意得自变量范围内选择一个数，代入求得参数的取值范围，从而得到使得问题成立的一个必要条件，这个范围可能恰好就是所求范围，也可能比所求的范围大，需要验证其充分性，这就是所谓的必要性探路和充分性证明，对于特殊值的选取策略一般是某个常数，实际上时切线的横坐标，端点值或极值点等.22．(1)22y x=(2)tan 2α=或2tan 3α=【分析】（1）利用二倍角公式化简已知式，两边同乘以ρ，结合极坐标与直角坐标的互化公式即可；（2）写出直线的参数方程，代入曲线C 的方程，得到关于参数t 的一元二次方程，由已知结合韦达定理以及参数t 的几何意义，可得关于tan α的方程，求解得答案.【详解】（1）由4cos 1cos 2θρθ=-，得2sin 2cos ρθθ=，所以22sin 2cos ρθρθ=所以曲线C 的直角坐标方程为22y x =．（2）设直线l 的参数方程为3,21x tcos y tsin αα⎧=+⎪⎨⎪=+⎩（t 为参数，t ∈R ），代入22y x =，得()()22sin 2cos sin 20t t ααα---=，0∆>恒成立，所以()22cos sin sin A B t t ααα-+=，22sin A B t t α-=．由M 为线段AB 的三等分点，且0A B t t <，故2A B t t =-．将2A B t t =-代入前式，得()24cos sin sin A t ααα-=，()22cos sin sin B t ααα--=，所以()2428cos sin 2sin sin αααα---=，224(cos sin )sin ααα-=，则23tan 8tan 40αα-+=解得：tan 2α=或2tan 3α=．23．(1){}13x x x 或(2)(),3-∞【分析】(1)首先分类讨论去绝对值，再求解不等式；（2）首先讨论0x =时，a 的范围，当0x ≠时，不等式化简为2212a x x-++>，利用含绝对值三角不等式求最值，即可求得a 的取值范围.【详解】（1）()21,1,3,12,21,2,x x f x x x x -+<-⎧⎪=-≤<⎨⎪-≥⎩不等式()2f x x >+等价于1,212x x x <-⎧⎨-+>+⎩或12,32x x -≤<⎧⎨>+⎩或2,212,x x x ≥⎧⎨->+⎩解得1x <或3x >．故原不等式的解集为{}13x x x 或．（2）当0x =时，不等式()1f x a x x >-+恒成立，即a R ∈．当0x ≠时，()1f x a x x >-+可化为2212a x x -++>，因为222212123x x x x -++≥-++=，当且仅当22120x x ⎛⎫⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭时等号成立所以3a <，即a 的取值范围为(),3-∞．。

山西省忻州市2024届高三联考A卷数学试题

山西省忻州市2024届高三联考A 卷数学试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知||3a =，||2b =，若()a ab ⊥-，则向量a b +在向量b 方向的投影为（） A ．12B ．72C ．12-D ．72-2．2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为茎，个位数字为叶）.若甲队得分的中位数是86，乙队得分的平均数是88，则x y +=（）A ．170B ．10C ．172D ．123．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（）A ．甲的数据分析素养优于乙B ．乙的数据分析素养优于数学建模素养C ．甲的六大素养整体水平优于乙D ．甲的六大素养中数学运算最强4．执行如图所示的程序框图，若输出的值为8，则框图中①处可以填（）．A ．7?S ≥B ．21?S ≥C ．28?S ≥D ．36?S ≥5．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（） A ．若//m α,//m β,则//αβ B ．若m α⊥，m n ⊥,则n α⊥ C ．若m α⊥,//m n ,则n α⊥ D ．若αβ⊥,m α⊥,则//m β6．已知复数11iz i+=-，则z 的虚部是（） A ．iB ．i -C ．1-D ．17．已知复数12iz i-=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（） A ．31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．31,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．31,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭8．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“- ”当作数字“1”，把阴爻“--”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤000震 001 1坎 010 2 兑0113依此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“ ”表示的十进制数是（） A ．18B ．17C ．16D ．159．设12,F F 分别是双线2221(0)x y a a-=>的左、右焦点，O 为坐标原点，以12F F 为直径的圆与该双曲线的两条渐近线分别交于,A B 两点（,A B 位于y 轴右侧），且四边形2OAF B 为菱形，则该双曲线的渐近线方程为（） A ．0x y ±=B 30x y ±=C ．30x y ±=D ．30x y ±=10．命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得()0sin sin x x x +=-恒成立；q ：0a ∀>，()ln a xf x a x+=-为奇函数，则下列命题是真命题的是（） A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∨⌝C ．()p q ∧⌝D ．()p q ⌝∧11．下列说法正确的是（）A ．命题“00x ∃≤，002sin x x ≤”的否定形式是“0x ∀>，2sin x x >”B ．若平面α，β，γ，满足αγ⊥，βγ⊥则//αβC ．随机变量ξ服从正态分布()21,N σ（0σ>），若(01)0.4P ξ<<=，则(0)0.8P ξ>= D ．设x 是实数，“0x <”是“11x<”的充分不必要条件 12．函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象的交点横坐标的和为（） A ．53π B ．2πC ．76π D ．π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高三数学下学期课时计划安排方案

高三数学下学期课时计划安排方案下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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天津市滨海新区塘沽第一中学2023届高三下学期十二校联考(二)数学模拟试题

天津市滨海新区塘沽第一中学2023届高三下学期十二校联考
（二）数学模拟试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
A．B．
C．D．
②若关于x 的方程()f x t =恰有1个解，则1t >；
③函数()f x 的图象与直线0x y c ++=（c ∈R ）有且仅有一个交点； ④若()()()123f x f x f x ==，且123x x x <<，则()()1231x x x -+无最值. A ．①②
B ．①③④
C ．②③
D ．①③
二、填空题
三、双空题
13．从某地高中男生中随机抽取100名同学，将他们的体重（单位：kg ）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知体重的平均值为____kg ；若要从体重在[ 60 , 70），[70 ，80) , [80 , 90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，再从这12人选两人当正负队长，则这两人体重不在同一组内的概率为________．
四、填空题
14．平面四边形ABCD 中，//AB CD ，4AB =，1DC =，2AD =，60DAB ∠=︒，点E
在直线BD 上，点F 在直线AC 上，且BE BD λ=u u u r u u u r ，CF
CA μ=u u u
r u u u r ()0,0λμ>>，4AE DF ⋅=u u u r u u u r
，
则λμ+的最小值为______.
五、双空题
2。

2022-2023学年湖南省高三上学期10月联考数学试题 PDF版

湖南省2022-2023学年高三上学期10月联考高三数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡.上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时.将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有--项是符合题目要求的.1.已知集合{A x y ==，{}23B x x =<，则A ∩B=A.(-∞，1]B.[0 1] D.[12.已知复数(12)(1)2i z i +-=-+，则|z|=B.2 D.33.已知命题p ：∃x ∈(0，+∞)，343xx +=.下列说法正确的是 A.p 为真命题，p ⌝：∃x ∈(0，+∞)，343xx +≠ B.p 为假命题，p ⌝：x ∀∈(0，+)，343xx +≠ C.p 为真命题，p ⌝：x ∀∈(0，+∞)，343xx +≠ D.p 为假命题，p ⌝：x ∀∉(0.+∞)，343xx +≠ 4.已知1sin 5θ=，则sin 22πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ A.35 B.35- C.2325 D.2325- 5.已知向量a r =(1，2)，b r =(m ，2-m)，若a r ⊥b r，则b =rC. D.6.根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度≤0.1mg/m 3为安全范围.已知某新建文化娱乐场所竣工时室内甲醛浓度为6.05mg/m 3，使用了甲醛喷剂并处于良好的通风环境下时，室内甲醛浓度y(t)(单位：mg/m 3)与竣工后保持良好通风的时间t(t ∈N)(单位：周)近似满足函数关系式0.05ty e λ-=+()R λ∈，则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为(ln2≈0.7，ln3≈1.1，ln5≈1.6)A.5周B.6周C.7周D.8周7.已知定义在R 上的奇函数()f x 在(一∞，0)上单调递减，定义在R 上的偶函数()g x 在(-∞，0]上单调递增.且f (1)=g(1)=0，则满足()()0f x g x ＞的x 的取值范围是A.(-∞，-1)∪(-1，0)B.(0，1)∪(1，+∞)C.(-1，0)∪(1，+∞)D.(-∞，-1)∪(1，1) 8.已知{}n a 为递增数列，前n 项和222nn S n λ=++，则实数λ的取值范围是A.(-∞，2]B.(-∞，2)C.(-∞，4]D.(-∞，4)二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.10ab b a +--=的一个充分不必要条件可以是 A.a =-1 B.a =b C.b=1 D.a b=1 10，将数列{}n a 中的所有项排成如下数阵：234567891...a a a a a a a a a已知从第二行开始每一行比上一行多两项，第一列数a 1，a 2，a 3，...成等差数列，且a 2=4，a 10=10.从第二行起，12为公比的等比数列，则 A.a 1=1 B.2021a 位于第84列 C.221n n a a +< D.2021841332a = 11.设函数()()2cos 03f x x πωω⎛⎫=-⎪⎝⎭＞，则下列结论正确的是 A.若22min11()()2,f x f x x x π-=-=，则1ω=B.存在ω∈(0，1)，使得()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到的图象关于原点对称 C.若()f x 在[0，π]上有且仅有4个零点，则ω的取值范围为1925,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.ω∀∈(0，1)，()f x 在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 12.已知定义在R 上的函数()f x 满足：f (2)=2，()(2)2f x f x +-=，(5)2()f x f x =.当1202x x ≤<≤时，12()()f x f x ≤.则A.f (1)=1B.925816f ⎛⎫=⎪⎝⎭C.473252f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ D.11100016f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.若s sin 2cos 0αα+=，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________. 14.已知函数()ln 1f x x x mx =++的零点恰好是()f x 的极值点，则m=_________.15.数学中处处存在着美，机械学家菜洛发现的菜洛三角形就给人以对称的美感.如图，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画四弧得到的.已知AB=2，点P 为»AB 上一点，则()PA PB PC⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值为___________.16.在四边形ABCD 中，AB=BC=CD=2，AD=3，则四边形ABCD 面积的最大值为___________. 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤. 17.(10分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(2)2b bc CB CA -⋅=u u u r u u u r .(1)求A ；(2)若c<b ，，求sinC. 18.(12分)冬奥会全称是冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届.2022年冬季奥运会由中国北京承办，本届赛事共设7个大项，15个分项，109个小项，共计产生109枚金牌.某校组织了一次有关冬奥会的知识竞赛.知识竞赛试卷中有一类双项选择题，每题有4个备选项，其中有且仅有2项是正确的.得分规则如下：所选选项中，只要有错误选项，得0分；弃答得1分；仅选1项且正确，得2分；选2项且正确得6分.(1)同学甲在一道双项选择题中随机选择两个选项，求甲该题获得0分的概率.(2)学生乙对其中一道双项选择题只能确定1个选项是错误的，现有2个策略：①从剩下3个选项中任选1个作答；②从剩下3个选项中任选2个作答.为使得分的期望最大，该学生应该选择哪一个策略? 19.(12分)已知数列{}n a 满足a|=1，az=9，as=45，{an+1-3an}为等比数列.(1)证明：3n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求出{}n a 的通项公式. (2)求{}n a 的前n 项和为S n . 20.(12分)如图，点E 在△ABC 内，DE 是三棱锥D-ABC 的高，且DE=2.△ABC 是边长为6的正三角形，DB=DC=5，F 为BC 的中点.(1)证明：点E 在AF 上.(2)点G 是棱AC 上一点(不含端点)，求平面DEG 与平面BCD 夹角余弦值的最大值.21.(12分)已知双曲线C ：22221x y a b-=(a >0，b>0)的右焦点F(4，0)到渐近线的距离为(1)求双曲线C 的方程.(2)过点F 的直线与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，在x 轴上是否存在点P ，使得点F 到直线PA ，PB 的距离相等?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由. 22.(12分)已知函数2()3xf x aex =-.(1)当a =1时，求曲线()y f x =在点(0，f (0))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)若()x f x a e-＞在(0，+∞)上恒成立，求整数a 的最小值.高三数学试卷参考答案1.C2.A3.C4.D5.D6.A7.B8.D9.AC 10.ACD 11.BCD 12.ACD 14.-115.10-17.解：(1)因为(2)2b b c CB CA -⋅=u u u r u u u r ，所以(2)cos 2b bc ab C -=，即2b=c+2a cosC ，...............1分由正弦定理可得2sinB=sinC+2sinAcosC ，..................................2分且2sinB=2sin(A+C)=2sinAcosC+2cosAsinC ，...........3分所以sinC=2cosAsinC ，且sinC ≠0.........4分则cosA=12，A ∈(0，π)，所以A=3π.(2)因为b c +=，由正弦定理得分又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC ，A=3π，所以2cosC+12sinC+sinC=2......................7分整理可得32sinC+2cosC=2，即32sinC+26π)=2，所以sin(C+6π)=2，.............................................8分所以64C ππ+=或364C ππ+=，即12C π=或712C π=....................9分因为c<b ，所以12C π=，则sin sin 464C ππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭.........10分 18.解：(1)同学甲随机选择两个选项共有246C =种情况，.........2分所以甲获得0分的概率为15166-=..............................................4分 (2)设策略①的得分为X ，X 的可能取值为0，2，......................5分P(X=0)=13113C =，P(X=2)=121323C C =...............................................6分则X 的分布列为...............................................................................................7分E(X)=12402333⨯+⨯=...............................................................8分设策略②的得分为Y ，Y 的可能取值为0，6，..................................................................9分P(Y=6)=222313C C =，P(Y=0)=1-P(Y=6)=23，........................................................................10分则Y 的分布列为.........................................11分E(Y)=2106233⨯+⨯= 显然E(Y)>E(X)，所以应选策略②.........................................12分 19.(1)证明：{}13n n a a +-的公比1322333a a q a a -==-..........................1分所以11363n n n a a -+-=⨯，即112333n n n n a a ++-=，................................3分所以3n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以23为公差的等差数列，..........................................4分则12(1)333n n a n =+-，即1(21)3n na n -=-.....................................6分(2)解：0111333...(23)3(21)3n n n S n n -=⨯+⨯++-⨯+-⨯，①............................7分 ①×3，得12131333...(23)3(21)3nn n S n n +=⨯+⨯++-⨯+-⨯，②........................8分②-①，得01212132323 (23)(21)3n n n S n -=-⨯-⨯-⨯--⨯+-⨯10232313(21)313nn n ⨯-⨯=-⨯-+-⨯-，......................................................................10分所以(1)31nn S n =-⨯+.........................................................................................................12分 20.(1)证明：连接EF ，DF.因为DE 是三棱锥D-ABC 的高，即DE ⊥平面ABC ，所以DE ⊥_BC................1分因为DB=DC ，所以DF ⊥BC ，.................................................................................2分又DF ∩DE=D ，所以BC ⊥平面DEF ，所以BC ⊥EF..............................................3分又BC ⊥AF ，所以点E 在AF 上.................................................................................5分(2)解：以E 为坐标原点，EF u u u r ，ED u u u r的方向分别为x ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则0，0)，-3，0)，3，0)，D(0，0，2)，BD u u u r3，2)，BA u u u r3，0)，BC u u u r =(0，6，0)..............................7分设平面BCD 的法向量m u r=(x 2，y 2，z 2)，则00BD m BC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u ru u u r u r，即222232060z y ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩取2x =，则m u r0，3).................8分()AC =u u u r，设AG AC λ=u u u r u u u r ，则λ∈(0，1).()(),0EG EA AC λλλ=+=+=u u u r u u u r u u u r.....................9分设平面DEG 的法向量333(,,)u x y z =r，则00ED u EG u ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r ru u u r r，即3332030z x y λ=⎧⎪⎨-+=⎪⎩取3x =13,0u λ⎫=-⎪⎭r .................10分1cos ,2u m u m u m ⋅===≤⋅r u rr u r r u r ，当且仅当13λ=时，等号成立. 故平面DEG 与平面BCD 夹角余弦值的最大值为12.............................................12分21.解：(1)由题可知2216a b +=，..................................1分又0bx ay +=是双曲线C 的一条渐近线，....................2分=b =.......................3分所以2a ==，..................................................4分所以双曲线C 的标准方程为221412x y -=.......................5分(2)假设存在P(n ，0)，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，设直线AB ：x =my+4(m ≠0)，则2241412x my x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得22(31)24360m y my -++=，则112222222310(24)436(31)024313631m m m m y y m y y m ⎧-≠⎪∆=-⨯-⎪⎪⎨+=--⎪⎪=⎪-⎩＞.................................7分因为使得点F 到直线PA ，PB 的距离相等，所以PF 是∠APB 的角平分线，则0PA PB k k +=，..................................................................9分即21210y yx n x n+=--，2121(4)(4)0y my n y my n +-++-=， 22112(4)()0my y n y y +-+=，2236(4)24203131n mm m m -⨯⋅-=--，即3(4)0m m n --=，因为m ≠0，所以n=1，.................................11分故存在P(1，0).......................................................................................12分 22.解：(1)因为2()3xf x ex =-，所以2()3x f x e '=-，则(0)1k f '==-...................1分因为f (0)=1，所以切点坐标为(0，1)，....................................2分所以函数()f x 在点(0，f (0))处的切线方程为1y x -=-，即1y x =-+，.....................3分所以切线与坐标轴的交点坐标分别为(0，1)，(1，0)，........................................................4分所以所求三角形的面积为111122⨯⨯=....................................................................................5分 (2)方法一.由可得()x f x a e -＞可得23x xxa e e+＞在(0，+∞)上恒成立...............................6分令23()x xxg x e e =+，则()()()()()22222233312()x x x x x x x x x x x e e e e x e e xe x g x e e e e +-++--'==++......................7分令()12xxh x e xe x =+--，则()221210xxxxxh x e e xe xe e '=---=---<，因此h(x )在(0，+∞)上为减函数..................................................9分而h(0)=2>0，h(1)=-e<0，可知在区间(0，1)上必存在0x ，使得h(x )满足h(0x )=0，且g(x )在(0，0x )上单调递增，在(0x ，+∞)上单调递减.............................10分由于000023()()x x x g x g x e e ≤=+，而00021x x e x e =+，故000000233()()(21)x x x x x g x g x e e e e ≤==++，由0x ∈(0，1)，可知00(21)xxe e +∈(3，222e e +)，023(),122g x e ⎛⎫∈⎪+⎝⎭，所以a ≥1，因此整数a 的最小值为1....................................................................................12分方法二由()x f x a e -＞可得()230x xa e e x +-＞，当x =1时，3ae a e --＞，则32a e＞，即a ≥1...........7分. 当a =1时，令2()3xx g x ee x =+-，x ∈(0，+∞)，则2()3(23)(1)0x x x x g x e e e e '=+-=+-＞，.....9分则g(x )在(0，+∞)上单调递增，所以g(x )>g(0)=2，所以230xx ee x +-＞成立.......................11分因此整数a 的最小值为1...............................................................................................................12分。

上海市南洋模范中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷(含解析)

南洋模范中学高三开学考数学试卷2024.09一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1.已知a ，b 均为实数，，则__________.2.的展开式中，常数项为__________.3.已知平面向量，的夹角为，且，，则__________.4.不等式的解集为__________.5.设，，若，则实数a 的取值集合为__________.6.圆的半径的最大值为__________.7.已知__________.8.已知点P 为双曲线（，）右支上的一点，点、分别为双曲线的左、右焦点，若M 为的内心，且，则双曲线的离心率为__________.9.在一座尖塔的正南方向地面某点A ，测得塔顶的仰角为，又在此尖塔北偏东地面某点B ，测得塔顶的仰角为，且A ，B 两点距离为7，在线段AB 上的点C 处测得塔顶的仰角为最大，则C 点到塔底O 的距离为__________.10.已知函数是定义在R 上的奇函数，且任意，都有，当时，，则函数在区间内所有零点之和为__________.11.已知函数，若存在实数，满足，且，则的取值范围为__________.12.定义：对于函数和数列，若，则称数列具有“函数性质”.已知二次函数图象的最低点为，且，若数列具有“函数性质”，且首项为1的数列满足，记的前n 项和为，则数列的最小值为__________.(2i)(1i)i(i)a b ++=+ab =321x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭a b π32a = 1b = 2a b += 2146xx x ≥-+{}2540A x x x =-+=∣{10}B xax =-=∣A B A = 2222210x y ax ay a a +++++-=πsin sin 3αα⎛⎫++= ⎪⎝⎭πsin 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭22221x y a b -=0a >0b >1F 2F 12PF F △121212PMF PMF MF F S S S =+△△△30︒30︒45︒()y f x =x ∈R ()(2)f x f x =-10x -≤<2()log ()f x x =-()()2g x f x =+(1,8)-3,01()ln ,1x x f x x x ≤≤⎧=⎨>⎩1x 2x 120x x ≤<()()12f x f x =216x x -()y f x ={}n x ()()()10n n n n x x f x f x +-'+={}n x ()f x ()y f x =(0,4)-(1)()21f x f x x +=++{}n x ()f x {}n a ()()ln 2ln 2n n n a x x =+--{}n a n S 52n n S ⎧⎫⎛⎫⋅-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭二、单选题（本大题共4题，满分20分）13.某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，抽得10个班的比赛得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的分位数为（）A.93B.93.5C.94D.94.514.已知两条不同的直线m ，n ，两个不同的平面，，则（）A.若，，，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，，则15.已知函数.若存在，，使得，则的最大值为（）A.B. C.D.16.在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点P 与直线l 上任意一点Q ，称的最小值为点P 与直线l 间的“切比雪夫距离”，记作，给定下列四个命题：①已知点，直线，则；②定点、，动点满足则点P 的轨迹与直线（k 为常数）有且仅有2个公共点；下列说法正确的是（）A.命题①成立，命题②不成立B.命题①不成立，命题②成立C.命题①②都成立D.命题①②都不成立三、解答题（本大题共5题，满分76分）17.如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D 是AB 的中点.（1）求证：平面；75%αβ//αβm α⊂n β⊂//m n m α⊂n β⊂m n ⊥a β⊥m α⊥n m ⊥//n αn αβ= m α⊂//m β//m n ()2cos 2f x x x =+1t 2[π,2π]t ∈-()()124f t f t =12t t -π2π3π22π{}1212(,)max ,d A B x x y y =--()11,A x y ()22,B x y (,)d P Q (,)d P l (3,1)P :210l x y --=4(,)3d P l =1(,0)F c -2(,0)F c (,)P x y ()()12,,2(220)d P F d P F a c a -=>>y k =111ABC A B C -1//BC 1A DC（2）求异面直线与所成角的正弦值.18.已知函数是定义在R 上的奇函数（，）.（1）求的解析式；（2）求当时，函数的值域.19.某大学数理教学部为提高学生的身体素质，并加强同学间的交流，特组织以“让心灵沐浴阳光，让快乐充满胸膛”为主题的趣味运动比赛，其中A 、B 两名学生进入趣味运动比赛的关键阶段，该比赛采取累计得分制，规则如下：每场比赛不存在平局，获胜者得1分，失败者不得分，其中累计得分领先对方2分即可赢得最终胜利，但本次比赛最多进行6场.假设每场比赛中A 同学获胜的概率均为，且各场比赛的结果相互独立.（1）求趣味比赛进行到第2场时比赛就结束的概率；（2）此次趣味比赛中记比赛停止时已比赛的场数为X ，求X 的分布列及数学期望.20.已知椭圆，点、分别为椭圆的左、右焦点.（1）若椭圆上点P 满足，求的值；（2）点A 为椭圆的右顶点，定点在x 轴上，若点S 为椭圆上一动点，当取得最小值时点S 恰与点A 重合，求实数t 的取值范围；（3）已知m 为常数，过点且法向量为的直线l 交椭圆于M 、N 两点，若椭圆C 上存在点R 满足（、），求的最大值.21.我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为.对幂指函数求导时，可以将函数“指数化”再求导，例如：对于幂指函数，有.（1）已知，求曲线在处的切线方程；（2）若且，研究函数的单调性；（3）已知m ，n ，s ，t 均大于0，且，讨论和的大小关系.1A D 1BC 13()3x x a f x b+-=+0a >0b >()f x [0,1]x ∈()()()3191x x g x f x =⋅++-2322:12x C y +=1F 2F 212PF F F ⊥1PF (,0)T t ST 2F (1,)m -OR OM ON λμ=+λμ∈R λμ()[()](()0)v x y u x u x =>xy x =()()ln e xx xy x ⎡⎤'='='⎢⎥⎣⎦()ln ln e e (ln 1)x x x x x ='=+1()(0)x xf x xx +=>()y f x =1x =0a >1a ≠11()(0)4xxa g x x ⎛⎫+=>⎪⎝⎭m n ≠3ts s m n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3st t m n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭答案一、填空题1.【答案】21【解析】根据可得到，故，，求得，，所以.2.【答案】3【解析】由展开式中的通项公式为：，令，则，故展开式中的常数项为：.3.【答案】【解析】由题意，可得，所以.4.【答案】【解析】因为，所以恒成立，所以，所以，，所以.5.【答案】【解析】由可得，由于，故，，，因此，，，，，，故实数a 的取值集合为.6.【解析】由可得，当表示圆，即解得a 的取值范围是，半径为(2i)(1i)i(i)a b ++=+22i i 1i a a b ++-=-+21a -=-21a b +=3a =7b =21ab =321x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()32631331C C kkkk kk T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭630k -=2k =321x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2033C 3T x ==222π244444cos 123a b a b a b a b +=++⋅=++⋅=2a b += []2,32246(2)20x x x -+=-+>2460x x -+>2214646x x x x x x ≥⇔≥-+-+2560x x -+≤(2)(3)0x x --≤23x ≤≤10,1,4⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}2540A x x x =-+=∣{1,4}A =A B A = {1}B ={4}∅{1}B =101a a ∴-=⇒={4}B =14104a a ∴-=⇒=B =∅0a ∴=10,1,4⎧⎫⎨⎬⎩⎭2222210x y ax ay a a +++++-=2223()124a x y a a a ⎛⎫+++=--+ ⎪⎝⎭23104a a --+>22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，是开口向下对称轴为的抛物线，在严格递增，在严格递减，所以7.【答案】【解析】，，故，.8.【答案】2【解析】设内切圆半径为R ，由题意知，所以，即，由点P 为双曲线右支上的一点，则，故双曲线的离心率.9.【解析】设塔高为OP ，如下图所示，由题意知：，，，平面AOB ，，若在C 处的仰角最大，即最大，则取得最大值，，当OC 取得最小值时，最大，=2324433y a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭23a =-22,3⎛⎫--⎪⎝⎭22,33⎛⎫- ⎪⎝⎭23a =-78-π1sin sin sin sin 32ααααα⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭ 1cos 2αα+=11cos 24αα+=π1sin 64α⎛⎫+= ⎪⎝⎭2πππππ17sin 2sin 2cos 212sin 16323688αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+=--+=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦121212PMF PMF MF F S S S =+△△△121211112222PF R PF R F F R ⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅12PF PF c -=122PF PF a c -==2ce a==()909030150AOB ∠=︒+︒-︒=︒30PAO ∠=︒45POB ∠=︒PO ⊥7AB =PCO ∠tan PCO ∠tan OPPCO OC∠=∴tan PCO ∠设，则，，，解得：，，，，当时，OC 最小，即若在C 处的仰角最大，则C 点到塔底O.10.【答案】【解析】奇函数，对于都有，，则，即，则函数是周期为4的周期函数.且关于直线对称，作出函数与的图象知共有5个交点，其横坐标从小到大依次为，，，，，所以，，，，则，故在内所有的零点之.OP h =tan OP OA PAO ==∠tan OPOB h PBO==∠2222222cos 4749AB OA OB OA OB AOB h h ⎛∴=+-⋅∠=-⨯== ⎝h =OA ∴=OB =111sin 222AOB S OA OB AOB ∴=⋅∠=⨯=△OC AB ⊥min()1722AOB S OC AB ∴===△794()y f x =x ∀∈R ()(2)f x f x =-()(2)(2)f x f x f x ∴=-=--(2)()f x f x +=-(4)()f x f x +=()f x 12()x k k Z =+∈()y f x =2y =-1x 2x 3x 4x 5x ()21log 2x -=-114x =-2332x x +=4572x x +=123451792044x x x x x ++++=-+=(1,8)-79411.【答案】【解析】结合解析式可知当时，；当时，.因为，所以.令，得，则，故.令，则，令得；令得，所以函数在上严格递减，在上严格递增，所以，当时，，因为，所以.所以的取值范围为.12.【答案】【解析】由二次函数最低点为可知：，又，所以，则.由题意得，又由，得，因为，所以，即，又，，所以，则，即，322ln 2,e 6⎡⎤--⎣⎦01x ≤≤()[0,3]f x ∈1x >()(0,)f x ∈+∞()()12f x f x =123ln x x =ln 3x =3e x =321e x <≤212262ln x x x x -=-()3()2ln 1e g t t t t =-<≤22()1t g t t t-'=-=()0g t '<12x <<()0g t '>32e x <≤()2ln g t t t =-(1,2)(32,e ⎤⎦min ()(2)22ln 2g t g ==-1t →()1g t →()33e e 61g =->3max ()e 6g t =-216x x -322ln 2,e 6⎡⎤--⎣⎦5112-(0,4)-2()4(0)f x ax a =->22(1)()(1)44(21)21f x f x a x ax a x x +-=+--+=+=+1a =2()4f x x =-()()2ln 2ln 2ln2n n n n n x a x x x +=+--=-()()()10n n n n x x f x f x +-'+=()21240n n n n x x x x +-+-=20n x ->0n x ≠2214422n n n n n n x x x x x x +-+=-=()21222n n n x x x +++=()21222n n nx x x +--=()()21212222n n n n x x x x ++++=--1122ln 2ln 22n n n n x x x x ++++=--12n n a a +=故是以1为首项，2为公比的等比数列，所以，.令，则，故当时，，当时，，故.二、单选题13.【答案】A【解析】将比赛得分从小到大重新排列：85，87，89，90，91，91，92，93，94，96，因为，所以这组数据的分位数是第8个数93，故选：A.14.【答案】D【解析】对于A ，若，，，则m ，n 可能平行，也可能异面，A 错误；对于B ，若，，，则可能有，也可能有，也可能平面，相交，B 错误；对于C ，若，，则有可能是，也可能，C 错误，对于D ，根据线面平行的性质定理可知若，，，则，正确，故选：D.15.【答案】D 【解析】由，因，必有，或者，，由，，分别得到，.于是，，或者，，得的最大值为，故选：D.16.【答案】D【解析】对于①，设点Q 是直线上一点，且，可得，由，解得，即有，当时，取得最小值；由，解得或，即有，的范围是，无最值，{}n a 12n n a -=21n n S =-()552122n n n n n c S ⎛⎫⎛⎫=⋅-=-⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111(8)22n n n c c n -+-=-⋅-8n ≤1n n c c +<9n ≥1n n c c +>()9min 5112n c c ==-75%107.5⨯=75%//αβm α⊂n β⊂a α⊂b β⊂a b ⊥a β⊥//a βαβm α⊥n m ⊥//n αn α⊂n αβ= m α⊂//m β//m n π()2cos 22sin 26f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭()()124f t f t =()12f t =()22f t =()12f t =-()22f t =-ππ22π62x k +=+ππ22π62x k +=-ππ6x k =+ππ3x k =-1t 25ππ7π,,666t ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭1t 2π2π5π,,333t ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭12t t -2π21y x =-(,21)Q x x -(,)max{|3|,|22|}d P Q x x =--|3||22|x x -≥-513x -≤≤(,)|3|d P Q x =-53x =43|3||22|x x -<-53x >1x <-(,)|22|d P Q x =-(,)d P Q 44(3,),,33⎛⎫⎛⎫+∞+∞=+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上可得，P ，Q两点的“切比雪夫距离”的最小值为.故①正确；对于②，定点、，动点，满足，可得P 不y 轴上，P 在线段间成立，可得，解得，由对称性可得也成立，即有两点P 满足条件；若P 在第一象限内，满足，即为，为射线，由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线，则点P 的轨迹与直线（k 为常数）有且仅有2个公共点.故②正确；综上可得，故选：C.三、解答题17.【答案】（1）见解析；（2【解析】（1）连接交于O ，在直三棱柱中，所有棱长均为4，因此四边形是正方形，所以O 是的中点，而D 是AB 的中点，因此有，而平面，平面，所以平面；（2）由（1）可知：，因此异面直线与所成角为（或其补角），因为是正方形，所以在直三棱柱中，所有棱长均为4，431(,0)F c -2(,0)F c (,)P x y ()()12,,2(220)d P F d P F a c a -=>>12F F ()2x c c x a +--=x a =x a =-()()12,,2d P F d P F a -=2x c y a +-=y k =1AC 1AC 111ABC A B C -11AAC C 1AC 1//OD BC OD ⊂1A DC 1BC ⊂/1A DC 1//BC 1A DC 1//OD BC 1A D 1BC 1A DO ∠11AAC C 1112A O A C ===111ABC A B C -因此四边形是正方形，因此有，在直三棱柱中，侧棱垂直于底面，因此也就垂直底面中任何直线，因此有，由余弦定理可知：，因此.18.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由函数是R 上的奇函数，则有，解得，即，，，即，，解得，经验证得，时，是奇函数，所以.（2）由（1）知，，当时，，因此当时，，当时，，所以所求值域为.19.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题可知，A 同学连胜2场或连败2场，则其概率.（2）由题可知，X 的取值可能是2，4，6，由（1）知，，当时，前2场打平，后两场A 连胜或连败，11BB C C 112OD BC ===111ABC A B C -1A D ===1cos A DO ∠==1sin A DO ∠===()313()13x xf x -=+1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦13()3x x a f x b+-=+3(0)01a fb -==+3a =133()3x x f x b +-=+x ∀∈R 111333333()()3313x x x xx x f x f x b b b-+++-----===-=-+⋅++x ∀∈R 313xxb b ⋅+=+1b =3a =1b =()f x ()313()13x xf x -=+()()22131()()319133913332324x x x x x x x g x f x +⎛⎫=⋅++-=-+-=-⨯+=-- ⎪⎝⎭[0,1]x ∈133x≤≤332x =min 1()4g x =-1x =max ()2g x =1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦59266812211533339P =⨯+⨯=5(2)9P X ==4X =则，，所以分布列为：，所以数学期望.20.【答案】（1（2）（3）【解析】（1）因为，所以设点，则，所以，即，所以；（2）设，则，，则，所以，，要时取最小值，则必有，所以；（3）设过点且法向量为的直线l的方程为，，，22112221212120(4)C C33333381P X⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭16(6)1(2)(4)81P X P XP X==-=-==2465201698181⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭52016266[]2469818181E X=⨯+⨯+⨯=t≥224m+212PF F F⊥(1,)P t2112t+=||t=2PF=122PF a PF=-==(,)S m n2212mn+=m⎡∈⎣22222222||()212122m mST m t n m tm t tm t=-+=-++-=-++2221||(2)12ST m t t=--+m⎡∈⎣m=2||ST2t≥t≥2F(1,)m-10x my--=()11,M x y()22,N x y联立，消去x 得，则，，则，，又，又点R 在椭圆C 上，则，所以，即，所以，所以，所以，即的最大值为.21.【答案】（1）略；（2）在上单调递增；（3）略.【解析】（1）略（2）依题意，，，221012x my x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩()222210m y my ++-=12222m y y m -+=+12212y y m -=+()2121222242222m x x m y y m m -+=++=+=++()222212121222222211222m m m x x m y y m y y m m m ---+=+++=++=+++()1212,OR OM ON x x y y λμλμλμ=+=++ ()()22121212x x y y λμλμ+++=()22222222112211222222x x x x y y y y λλμμλλμμ+++++=()()()2222221112122222222x y x x y y x y λλμμ+++++=22222222222222m m m λλμμ⎛⎫-+-+++= ⎪++⎝⎭2222222212222222m m m m m λλμμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫=-+≥-=⋅ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭224m λμ+≤λμ224m +(0,)+∞()1ln 1ln 41()e 4x a x x x a g x +-⎛⎫+== ⎪⎝⎭0x >求导得，，设，，求导得，由，得，由，得，则函数在上严格递减，在上严格递增，因此，从而，所以在上严格递增.（3）略()()ln 1ln 42ln ln 1ln 41()e x x x a x x a a x a a g x x +--+++'=⋅()()()()()ln 1ln 42ln 1ln 11ln 4e 1x a x x x x x x x a a a a a x a +--++++=⋅+0x v a =>()ln (1)ln(1)(1)ln 4h v v v v v v =-++++4()ln ln(1)ln 4ln1v h v v v v '=-++=+()0h v '>13v >()0h v '<103v <<()h v 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭111444()ln ln ln 4ln 30333333h v h ⎛⎫≥=-+=> ⎪⎝⎭()0g x '>()g x (0,)+∞。

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高三第十二周A
1．复数z 满足20132014(1)z i i +=（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．{|24}A x Z x =∈-<<，2
{|
1}1
B x x =≥-，则()R A
C B 的元素个数为（） A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
3．根据表，得到y 关于x 的线性回归方程0.75+20.25y x ∧
=，表中t 的值为（）A ．88 B ．89 C ．90 D ．93
4．{}n a 中，1211,4a a ==，若1
{}n
a 为等差数列，则数列{}n a 的第10项为（） A ．122 B ．125 C ．128
D ．131
5．已知函数2()cos(
)sin (
)22f x x x π
π
=+++，x R ∈，则()f x 的最大值为（）
A ．34
B ．5
4
C ．1
D ．6．
n
展开式所有项的二项式系数之和为64，展开式中含2x 项系数是（）
A ．192
B ．182
C ．-192
D ．-182
7．三视图如图所示，正（主）视图中半圆的半径为1，则该几何体的表面积为（） A ．462π+B ．522π+ C ．462π- D ．522π-
8．框图，输出的结果是
5
6
，则框内填入条件是（）A ．5n ≤ B ．5n < C ．5n > D ．5n ≥
9．直三棱柱111ABC A BC -中，AB=1，BC=2，AC M
为线段1BB 上的一动点，当1AM MC +最小
时，点C 到平面1AMC 的距离为（）A ．6
B ．3
C ．10．在平面坐标系xOy 中，抛物线2
2y px
=的焦点F 与椭圆22
162
x y +=的左焦点重合，
点A 在抛物线上，且||4AF =，若P 是抛物线准线上一动点，则||||PO PA +的最小值为（）
A ．6
B ．2+．．4+二、填空题
11．设12,e e 为单位向量且夹角为0
60，若向量12e ke +与
122e e -垂直，则k 的值为 .
12．如图所示，AB 是圆O 的直径，过圆上异于A 、B 的一点E
作切线CD ，交AB 的延长线于点C ，过A 作AD CD ⊥交圆于F ，若CB=2，CE=4，则AD 的长为 .
13．已知曲线11:12x t C y t =+⎧⎨
=-⎩与曲线2sin :3cos x a C y θ
θ
=⎧⎨=⎩（0a >）
有一个公共点在x 轴上，则a = .
14．若实数,x y 满足22
1,,420,
x y x x y x ⎧
≤⎪
≤⎨⎪+-+≥⎩此区域的面积是．
15．222410x y x y ++-+=关于220ax by -+=对称，则14a
b
+的范围是 .
16．设甲、乙两套试验方案在一次试验中成功的概率均为p ，且这两套试验方案中至少有一套试验成功的概率为0.51，假设这两套试验方案在试验过程中，相互之间没有影响．设试验成功的方案的个数ξ. (Ⅰ)求p 的值； (Ⅱ)求ξ的数学期望E ξ与方差D ξ．
17．在ABC ∆
中，向量cos()1)(cos()1)2
m A n A m n p p =--=-^，，，． (Ⅰ)求角A 的大小； (Ⅱ)
若2cos a B ==，，求b 的长．
18．在直三棱柱111ABC-A B C 中，AB=1，AC=2，D ，E 分别是1AC 和1BB 的中点．(Ⅰ)证明：DE ∥平面ABC ；(Ⅱ)求直线DE 与平面11BB C C 所成的角．
19．已知函数2()ln f x x ax x =-+-（a ∈R ）．（1）当3a =时，求函数()f x 在
1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（2）当函数()f x 在1,22⎛⎫
⎪⎝⎭
单调时，求a 的取值范围；
20．设数列{}n a 是首项为()a a 11>0，公差为2的等差数列，其前n 项和为n S ，且
成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）记2
n
n n a b =的前n 项和为n T ，求n T .
21．已知椭圆C 的中心在原点、焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点的最大值为3，最小值为1．(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)若直线l ：(0)y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M ，N(M ，N 不是左、右顶点)，且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．
12周A 参考答案
1．B 2．C 3．B 4．C 5．B 6．C 7．A 8．A 9．D 10．C 11．0
12．245 13．32
14．22
π
-
15．(][),19,-∞+∞
16．(Ⅰ)0.3P= (Ⅱ) 0.6E ξ=，D x =0.42
17．(Ⅰ)
3π (Ⅱ
18．(Ⅰ) 见解析 (Ⅱ) 30° 19．2, 2-ln2 ,
(
9,4⎡
⎫
-∞+∞⎪⎢⎣⎭,
a >20．（1）21n a n =-（2）2332n n
n T +=- 21．(Ⅰ) 22143x y += (Ⅱ) 207⎛⎫
⎪⎝⎭
，．。