双曲线定义课件
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双曲线的简单性质课件
双曲线的简单性质课件
目
CONTENCT
录
• 双曲线的定义与几何性质 • 双曲线的焦点与准线 • 双曲线的离心率 • 双曲线的渐近线 • 双曲线的对称性
01
双曲线的定义与几何性质
双曲线的定义
总结词
双曲线是由平面内两个定点F1和F2的距离之差的绝对值等于常数 （小于F1和F2之间的距离）的点的轨迹。
详细描述
双曲线是由平面内两个定点F1和F2所确定的轨迹。对于任意一点 P在双曲线上，它到定点F1和F2的距离之差的绝对值等于常数2a （其中a是半轴长，即a<c，c为F1和F2之间的距离）。
双曲线的标准方程
总结词
双曲线的标准方程是 (x/a)^2 (y/b)^2 = 1，其中a和b分别是双曲 线的实半轴和虚半轴长度。
05
双曲线的对称性
双曲线的对称轴
总结词
双曲线的对称轴是垂直平分双曲线两 焦点的直线。
详细描述
双曲线的对称轴是垂直平分双曲线两 焦点的直线，也称为主轴。它与双曲 线的渐近线垂直，并且将双曲线划分 为两个对称的部分。
双曲线的对称中心
总结词
双曲线的对称中心是双曲线与对称轴的交点。
详细描述
双曲线的对称中心是双曲线与对称轴的交点，也称为顶点。它位于双曲线的渐近线上， 并且是双曲线与x轴的交点。
详细描述
双曲线的标准方程是 (x/a)^2 (y/b)^2 = 1，其中a和b分别是双曲线 的实半轴和虚半轴长度。当a=b时， 双曲线为等轴双曲线；当a≠b时，双 曲线为非等轴双曲线。
目
CONTENCT
录
• 双曲线的定义与几何性质 • 双曲线的焦点与准线 • 双曲线的离心率 • 双曲线的渐近线 • 双曲线的对称性
01
双曲线的定义与几何性质
双曲线的定义
总结词
双曲线是由平面内两个定点F1和F2的距离之差的绝对值等于常数 （小于F1和F2之间的距离）的点的轨迹。
详细描述
双曲线是由平面内两个定点F1和F2所确定的轨迹。对于任意一点 P在双曲线上，它到定点F1和F2的距离之差的绝对值等于常数2a （其中a是半轴长，即a<c，c为F1和F2之间的距离）。
双曲线的标准方程
总结词
双曲线的标准方程是 (x/a)^2 (y/b)^2 = 1，其中a和b分别是双曲 线的实半轴和虚半轴长度。
05
双曲线的对称性
双曲线的对称轴
总结词
双曲线的对称轴是垂直平分双曲线两 焦点的直线。
详细描述
双曲线的对称轴是垂直平分双曲线两 焦点的直线，也称为主轴。它与双曲 线的渐近线垂直，并且将双曲线划分 为两个对称的部分。
双曲线的对称中心
总结词
双曲线的对称中心是双曲线与对称轴的交点。
详细描述
双曲线的对称中心是双曲线与对称轴的交点，也称为顶点。它位于双曲线的渐近线上， 并且是双曲线与x轴的交点。
详细描述
双曲线的标准方程是 (x/a)^2 (y/b)^2 = 1，其中a和b分别是双曲线 的实半轴和虚半轴长度。当a=b时， 双曲线为等轴双曲线；当a≠b时，双 曲线为非等轴双曲线。
双曲线的定义及标准方程1ppt课件
故顶点A的轨迹是以B, C为焦点的双
曲线的左支 又因c 5, a 3,则wk.baidu.com 4
定义法
则顶点A的轨迹方程为
x2 y2 1(x 3) 9 16
例： 一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声
的时间比在B处晚2s.已知A、B两地相距
800m，并且此时声速为340m/s,求炮炸点的
轨迹方程?
y
分析：由声速及A、B两处
听到爆炸声的时间差，可知A、
B两处与爆炸点的距离的差，因
此爆炸点应位于以A、B为焦点 A
O
的双曲线上 因为爆炸点离A处比B处更远，
所以爆炸点应在靠近B处的一支上．
P Bx
解：以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴建
立直角坐标系，如图
设爆炸点P的坐标为P(x,y),则 定义法
|PA|-|PB|=340×2=680
y
标准方程：
FF21•
y2 a2
x2 b2
1
(a>0,b>0)
O
x
•M
•
F1
F2
焦点： F1(0, —c)， F2(0,c)
思考：a, b, c有何关系？
c2=a2+b2 c最大，a与b的大小无规定
定义 MF1 MF2 2a，0 2a F1F2
图象
方程 焦点
双曲线ppt课件
题型四 直线与双曲线的位置关系
【例4】(12分)已知双曲线C: x2 y2 1(0 1) 1
的右焦点为B，过点B作直线交双曲线C的右支
于M、N两点，试确定 的范围,使 OM· ON =0,
其中点O为坐标原点. 思维启迪 直线方程与双曲线方程联立，寻找 交点坐标的关系.
解 设M（x1，y1），N（x2，y2），由已知易求 B（1，0）， ①当MN垂直于x轴时，MN的方程为x=1， 设M（1，y0），N（1，-y0） （y0＞0）， 由 OM· ON =0，得y0=1， ∴M（1，1），N（1，-1）. 又M（1，1），N（1，-1）在双曲线上，
离心率e=
5 3
,渐近线方程为y=±
4 3
x.
（2）||PF1|-|PF2||=6，
cos∠F1PF2= PF1 2 PF2 2 F1 F2 2 2 PF1 PF2
( PF1 PF2 )2 2 PF1 PF2 F1F2 2 2 PF1 PF2
36 64 100 0. 64
∴∠F1PF2=90°.
思维启迪
设椭圆方程为
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0),
双曲线方程为
x2 m2
y2 n2
1(m
0, n
0)
分别求a，b，m，n的值
利用椭圆与双曲线定义及余弦定理求得cos∠F1PF2
双曲线定义PPT课件
第13页/共20页
求标准方程的关键是什么？
1、中心、焦点位置定性； 2、a、b 定量。
位置、大小定标准方程
X型:
Y型:
x2 y2 a2 b2 1
பைடு நூலகம்
y2 a2
x2 b2
1
第14页/共20页
练习
1．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
（1） a 4 b 3
（2）焦点(0，－6),(0，6),经过点（2，－5）．
第11页/共20页
• 例 曲1线、，如求果m方的程范m围x-21+2-ym2 = 1 表示双 • 解（m-1)(2-m)<0，∴m>2或m<1
变1、焦点在x轴的双曲线时，求焦点坐 标 变2、焦点在x轴的椭圆时，求焦点坐标
第12页/共20页
例2.已知双曲线的焦点为F1(-5,0),
F2(5,0)双曲线上一点到焦点的距 离差的绝对值等于6，求双曲线的 标准方程。
第17页/共20页
例题：
根据下列条件，求双曲线的标准方程：
1、过点 P ( 3 , 15 )、Q ( 16 , 5 ) 且焦点在坐
标
4
3
轴上；
6
2、 c =
，经x2过 点y2
(－5
1
,
2
)，焦点在
x
轴上；
3、与双曲线 16 4
求标准方程的关键是什么？
1、中心、焦点位置定性； 2、a、b 定量。
位置、大小定标准方程
X型:
Y型:
x2 y2 a2 b2 1
பைடு நூலகம்
y2 a2
x2 b2
1
第14页/共20页
练习
1．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
（1） a 4 b 3
（2）焦点(0，－6),(0，6),经过点（2，－5）．
第11页/共20页
• 例 曲1线、，如求果m方的程范m围x-21+2-ym2 = 1 表示双 • 解（m-1)(2-m)<0，∴m>2或m<1
变1、焦点在x轴的双曲线时，求焦点坐 标 变2、焦点在x轴的椭圆时，求焦点坐标
第12页/共20页
例2.已知双曲线的焦点为F1(-5,0),
F2(5,0)双曲线上一点到焦点的距 离差的绝对值等于6，求双曲线的 标准方程。
第17页/共20页
例题：
根据下列条件，求双曲线的标准方程：
1、过点 P ( 3 , 15 )、Q ( 16 , 5 ) 且焦点在坐
标
4
3
轴上；
6
2、 c =
，经x2过 点y2
(－5
1
,
2
)，焦点在
x
轴上；
3、与双曲线 16 4
双曲线及其标准方程 课件
A．双曲线
B．双曲线的一支
C．两条射线 答案：C
D．一条射线
2．双曲线x32－y22＝1 的焦点坐标是(
)
A．(± 5，0) B．(0，± 5)
C．(±1,0)
D．(0，±1)
答案：A
3．以 F1(－4,0)、F2(4,0)为焦点，且经过点 M(3， 15)的双曲线的标准方程为________．
4．点(0,3)是双曲线ky2－8kx2＝8的一个焦点，则k 的值为________．
解析：双曲线 ky2－8kx2＝8 化为标准方程 为y82－x12＝1，
kk ∵焦点在 y 轴上，∴k>0，且8k＋1k＝9. ∴k＝1.
答案：1
5．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)a＝4，且经过点 A(1，4 310)； (2)焦点在 y 轴上，且过点(－4 2，3 3)，(4,3 2)．
＝
1
有公共焦点，且过点
(3 2，2)的双曲线方程．
[分析] 可先设出双曲线的标准方程，再构造关于 a，b的方程组，求得a，b，从而求得双曲线的标准方 程．注意对平方关系c2＝a2＋b2的运用．
[解] (1)由已知可设所求双曲线方程为ya22－bx22 ＝1(a>0，b>0)，则23aa5222－－1b9862＝1b2＝1，1，
类型三 双曲线中的焦点三角形 [例 3] 若 F1，F2 是双曲线x92－1y62 ＝1 的两个 焦点，P 是双曲线上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试 求△F1PF2 的面积．
双曲线的定义及标准方程课件
|F1F2| -----焦距=2c
||MF1| - |MF2|| = 2a
.
F1
M
o
.
F2
1、|MF1 | － |MF2 | =2a
M
(2a< |F1F2| )
2、|MF2 | － | MF1| =2a
F1
F2
(2a< |F1F2| )
3、若常数2a = | F1F2 |
F1
F2
4、若常数2a＞| F1F2 |
解：8〈10，由定义，所求的轨迹是焦点在x 轴双曲线，设它的标准方程为：
x2 y2 a2 b2 1 (a 0, b 0)
源自文库
C=5,a=4所,以所b求2=方c2-程a2=为5：2-42=3x22 42
y2 32
1
双曲线及标准方程
例1：已知两定点F1(-5,0),F2(5,0)求到这两点的距 离之差的绝对值为8的点的轨迹方程。
(5)
x2 m2
y2 m2 1
1(m
0)
y2 x2 a 2 b2 1(a 0, b 0)
椭圆与双曲线比较
椭圆
双曲线
定义： a,b,c关系
|MF1|+|MF2|=2a
a2=b2+c2 a>c>0 a>b>0
||MF1|-|MF2||=2a
双曲线及其标准方程完整版课件
5
4
联立两方程,解得 x=3c,y=3c,
即 P 点坐标为
5
3
4
, 3 .
2
∵在△EFP 中,|EF|=2c,EF 上的高为点
4 2
P 的纵坐标,∴S△EFP= c =12,
3
∴c=3,即 P 点坐标为(5,4).
由两点间的距离公式
2
|PE|= (5 + 3) +
2
42 =4
5,|PF|= (5-3) + 42 =2 5,
Biblioteka Baidu
解:以E,F所在直线为x轴,EF的垂直平分线为y轴建立直角
坐标系,如图.
2
设以 E,F 为焦点且过点 P 的双曲线方程为
2
−
2
2
=1,
焦点为 E(-c,0),F(c,0).
1
由 tan∠PEF= ,tan∠EFP=-2,
2
设∠PFx=α,则 tan α=tan(π-∠EFP)=2,
1
得直线 PE 和直线 PF 的方程分别为 y= (x+c)和 y=2(x-c).
15
16
(2)过点 P 3, 4 ,Q - 3 ,5 且焦点在坐标轴上.
解:(1)因为焦点在 x 轴上,
2
2
可设双曲线方程为 2 − 2 =1(a>0,b>0),
4
联立两方程,解得 x=3c,y=3c,
即 P 点坐标为
5
3
4
, 3 .
2
∵在△EFP 中,|EF|=2c,EF 上的高为点
4 2
P 的纵坐标,∴S△EFP= c =12,
3
∴c=3,即 P 点坐标为(5,4).
由两点间的距离公式
2
|PE|= (5 + 3) +
2
42 =4
5,|PF|= (5-3) + 42 =2 5,
Biblioteka Baidu
解:以E,F所在直线为x轴,EF的垂直平分线为y轴建立直角
坐标系,如图.
2
设以 E,F 为焦点且过点 P 的双曲线方程为
2
−
2
2
=1,
焦点为 E(-c,0),F(c,0).
1
由 tan∠PEF= ,tan∠EFP=-2,
2
设∠PFx=α,则 tan α=tan(π-∠EFP)=2,
1
得直线 PE 和直线 PF 的方程分别为 y= (x+c)和 y=2(x-c).
15
16
(2)过点 P 3, 4 ,Q - 3 ,5 且焦点在坐标轴上.
解:(1)因为焦点在 x 轴上,
2
2
可设双曲线方程为 2 − 2 =1(a>0,b>0),
双曲线及其标准方程ppt课件
两边同除以 a2 (c2
a2 ) ，得 x2
a2
y2
c2 a2
1.
由双曲线的定义知， 2c 2a ，即 c a ，所以 c2 a2 0 .
类比椭圆标准方程的建立过程，令b2 c2 a2 ，其中b 0 ，代入上式，得
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b 0) .②
从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标(x, y) 都是方程②的解；以方程
O
x
F1
方程 焦点 a,b,c之间的关系
x2 a2
y2 b2
1
(a 0,b 0)
y2 x2 a2 b2 1 (a 0,b 0)
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0，-c)，F2(0，c)
c2=a2+b2 a，b大小不定
椭圆与双曲线的比较
曲线
椭圆
定义
标准方程 根据标准方程确定
a,b的方法
x2 b2
1a
0, b
0，
焦点位置不确定时，亦可设为 Ax2 +By2 1 AB 0 .
寻关系
根据已知条件列出关于a，b（A，B）的方程组
得方程
解方程组，将a，b（A，B）代入所设方程即为所求
课堂巩固
A 1.“ k 4 ”是“方程 x2 y2 1 表示的曲线是双曲线”的( ) k2 4k
双曲线及其标准方程课件
双曲线的性质在标准方程中的应用
确定焦点位置
通过双曲线的标准方程，可以确 定焦点在x轴还是y轴上，从而确
定双曲线的位置。
判断开口方向
双曲线的标准方程中的系数可以 判断双曲线的开口方向，系数为 正时，开口向右或向上，系数为
负时，开口向左或向下。
计算离心率
通过双曲线的标准方程，可以计 算离心率，离心率是描述双曲线
双曲线及其标准方程ppt课 件
目录
• 双曲线的定义与性质 • 双曲线的标准方程推导 • 双曲线的应用 • 双曲线的图像绘制 • 双曲线的性质与方程的关联
01
双曲线的定义与性质
双曲线的几何定义
平面内，与两个定点$F_1$、 $F_2$的距离之差的绝对值等 于常数（小于$F_1F_2$）的点 的轨迹称为双曲线。
焦点在y轴上时，标准方程为$frac{y^2}{a^2} - frac{x^2}{b^2} = 1$，其中$a > 0, b > 0, c = sqrt{a^2 + b^2}$，$c$为焦距。
双曲线的性质
对称性
双曲线关于x轴、y轴和 原点都是对称的。
顶点
双曲线与坐标轴的交点 为顶点，共有四个顶点
。来自百度文库
利用余弦定理，得到 $cosangle F_1PF_2 = frac{|PF_1|^2 + |PF_2|^2 |F_1F_2|^2}{2|PF_1||PF_ 2|}$。
双曲线的简单性质课件ppt课件
对称性
01
02
03
对称性
双曲线关于其对称轴对称， 即关于x轴和y轴都对称。
总结词
双曲线关于其对称轴对称， 即关于x轴和y轴都对称。
详细描述
双曲线上的任意一点关于 x轴和y轴的对称点都在双 曲线上。
顶点
顶点
双曲线与对称轴的交点称 为顶点。
总结词
双曲线与对称轴的交点称 为顶点。
详细描述
顶点是双曲线与对称轴的 交点，也是双曲线离准线 最远的点。
02 双曲线的几何性质
范围
01 02
范围
双曲线的两个分支分别位于两条直线的两侧，这两条直线是焦点的连线， 称为准线。双曲线上的点离准线的距离的最小值是0，最大值是双曲线 的实轴长。
总结词
双曲线的两个分支分别位于两条直线的两侧，这两条直线是焦点的连线， 称为准线。
03
详细描述
双曲线上的点离准线的距离的最小值是0，最大值是双曲线的实轴长。
将两个距离之差表示为常数$2a$， 得到方程$sqrt{(x+a)^2+y^2}sqrt{(x-a)^2+y^2}=2a$。
设双曲线的焦点在x轴上，且双曲 线与x轴的两个交点分别为$(a,0)$和$(a,0)$，其中$a>0$。
对上述方程两边平方，并进行化 简，可以得到双曲线的标准方程 $frac{x^2}{a^2}frac{y^2}{b^2}=1$。
双曲线及其标准方程 课件(人教版)
所以 a＝ 5，所以 b2＝c2－a2＝9－5＝4. 所以双曲线的方程为y52－x42＝1.
(2)设所求双曲线的方程为 Ax2＋By2＝1. 将 点 M(1 ， 1) ， N( － 2 ， 5) 代 入 上 述 方 程 ， 得
A＋B＝1，
A＝87，
4A＋25B＝1，解得B＝－17.
故所求双曲线的标准方程为x72－y72＝1. 8
＝0， 2|PF1|·|PF2| 所以∠F1PF2＝90°， 所以 S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|＝12×32＝16.
归纳升华 双曲线上的点 P 与其两个焦点 F1，F2 连接而成的三 角形 PF1F2 称为焦点三角形．令|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠ F1PF2＝θ，因|F1F2|＝2c，所以有 (1)定义：|r1－r2|＝2a. (2)余弦公式：4c2＝r21＋r22－2r1r2cos θ.
所以 2c＝10，2a＝6.
因为 P 是双曲线左支上的点， 所以|PF2|－|PF1|＝6， 两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36， 所以|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝ 100. 在△F1PF2 中，由余弦定理，
|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2 得 cos∠F1PF2＝ 2|PF1|·|PF2| ＝ 100－100
高考理科数学《双曲线》课件
的轨迹叫做双曲线．定点 F 叫做双曲线的一个焦点，定直线 l 叫做双 曲线的一条准线，常数 e 叫做双曲线的________．
(3)实轴和虚轴相等的双曲线叫做____________．“离心率 e＝
2”是“双曲线为等轴双曲线”的______条件，且等轴双曲线两条渐
近线互相______．一般可设其方程为 x2－y2＝λ(λ≠0)．
范围为[π4，π3]，即它与实轴夹角的取值范围是[π4，π3]．故填[π4，π3]．
(2)(2016·洛阳二模)设双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的
两条渐近线与直线 x＝ac2分别交于 A，B 两点，F 为该双曲线
e>1，则 1<e<2，故选 B．
点 拨： 求双曲线离心率或其范围的常用方法：①求 a 及 b 或 c
的值，由 e＝ac22＝a2＋a2b2＝1＋ba22求 e．②列出含有 a，b，c
的齐次式(或不等式)，借助于 b2＝c2－a2 消去 b，然后转化
成关于 e 的方程(或不等式)求解．
(1)若双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的一条 渐 近 线 经 过 点 (3 ， － 4) ， 则 此 双 曲 线 的 离 心 率 为 ()
心率的值是__________．
解：因为双曲线的焦点 F(c，0)到渐近线 y＝±bax 即 bx ±ay＝0 的距离为 |bac2±＋0b|2＝bcc＝b，所以 b＝ 23c，
(3)实轴和虚轴相等的双曲线叫做____________．“离心率 e＝
2”是“双曲线为等轴双曲线”的______条件，且等轴双曲线两条渐
近线互相______．一般可设其方程为 x2－y2＝λ(λ≠0)．
范围为[π4，π3]，即它与实轴夹角的取值范围是[π4，π3]．故填[π4，π3]．
(2)(2016·洛阳二模)设双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的
两条渐近线与直线 x＝ac2分别交于 A，B 两点，F 为该双曲线
e>1，则 1<e<2，故选 B．
点 拨： 求双曲线离心率或其范围的常用方法：①求 a 及 b 或 c
的值，由 e＝ac22＝a2＋a2b2＝1＋ba22求 e．②列出含有 a，b，c
的齐次式(或不等式)，借助于 b2＝c2－a2 消去 b，然后转化
成关于 e 的方程(或不等式)求解．
(1)若双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的一条 渐 近 线 经 过 点 (3 ， － 4) ， 则 此 双 曲 线 的 离 心 率 为 ()
心率的值是__________．
解：因为双曲线的焦点 F(c，0)到渐近线 y＝±bax 即 bx ±ay＝0 的距离为 |bac2±＋0b|2＝bcc＝b，所以 b＝ 23c，
双曲线及其标准方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
【变式训练1】 (1)已知双曲线过M(1,1),N(-2,5)两点,求双曲线的标准方
程;
2
(2)求与双曲线 4
−
2
=1
2
有相同的焦点,且过点 P(2,1)的双曲线的方程.
解:(1)设双曲线的方程为Ax2+By2=1(AB<0).
∵双曲线过点M(1,1),N(-2,5),
=
+ = 1,
2
− 2 =1.
由题意易求得 c=2 5.
又双曲线过点(3
(3 2)2
2,2),∴ 2
−
4
=1.
2
∵a2+b2=(2 5)2,∴a2=12,b2=8.
2
故所求双曲线的方程为
12
−
2
=1.
8
2
(方法二)设双曲线方程为
16-
将(3 2,2)代入得
−
2
=1(-4<k<16),
4+
2
3.
π
3
= 100,
探究三
与双曲线有关的轨迹方程
【例3】 如图,B地在A地的正东方向4 km处,C地在B地的北偏东30°方向2
km处,河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A地的距离比到B地的距离远2
km.现要在河岸PQ上选一处M建码头,向B,C两地转运货物.经测算,修建公
高考数学一轮总复习第九章平面解析几何第六节双曲线课件
2
P( , ).
y=x
的距离|PF2|=2,即
||
2 +2
=b=2.
2
又1 = 2 = 4 ,将 b=2 代入上式,整理得 a2-2 2a+2=0,解得 a= 2.
+
2
故所求双曲线的方程为 2
2
− 4 =1.
故选 D.
(2)因为双曲线的渐近线方程为 y=± 2x,所以可设所求双曲线的方程为
16
9
因为该双曲线的焦点坐标分别为(5,0),(-5,0),所以 16λ+9λ=25,解得 λ=1,即双
2
2
曲线的标准方程为16 − 9 =1.
名师点析求双曲线方程的两种方法
2
2
对点训练 2(1)已知双曲线3- − =1(0<m<3)的左、右焦点分别为 F1,F2,点
1
P 在双曲线的右支上,点 O 为坐标原点,∠PF1F2=30°,|OP|=2|F1F2|,则实数 m
的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做 双曲线的焦点 ,两焦点间的距离
叫做 双曲线的焦距
.
数学表达式:P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|}
微思考平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹
高中数学解析几何ppt课件《双曲线》
C.x22－1y42 ＝1
D.x22－1y42 ＝1 或 x＝0
解析：选D.当⊙M与⊙C1，⊙C2同时内切、外切时，M点在y 轴上，∴x＝0.当⊙M与⊙C1内切、与⊙C2外切时有|MC2|－|MC1| ＝2 2＜8，M为双曲线2a＝2 2，a＝ 2.
当⊙M与⊙C1外切，与⊙C2内切时有|MC1|－|MC2|＝2 2 ＜ 8,2a＝2 2，即M轨迹为双曲线．b2＝c2－a2＝16－2＝14，故轨迹 方程为x22－1y42 ＝1或x＝0，故选D.
图形 一般方程
mx2＋ny2＝1(mn＜0)
几 范围 何 焦点 性 顶点 质 对称性
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
关于x轴、y轴对称，关于原点对称
实、虚 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；
思考 1：当|MF1|－|MF2|＝2a 时，轨迹是什么曲线？ 提示 1：当|MF1|－|MF2|＝2a 时，轨迹为焦点 F2 所对应的双曲 线的一支． 思考 2：当|MF1|－|MF2|＝－2a 时，轨迹是什么曲线？ 提示 2：当|MF1|－|MF2|＝－2a 时，轨迹为焦点 F1 所对应的双 曲线的一支．
2．(知识点2)双曲线x32－y22＝1的焦距为( C )
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下 页
∵ 2a = 6, 2c =10
∴ a = 3, c = 5
小 结
∴ b2 = 52-32 =16
结 束
x2 y2 所以所求双曲线的标准方程为： 1
9 16
x2
例2:双曲线的标准方程为：
y2
1
动
9 16
画
音 乐
焦点为F1 , F2。 如果双曲线上有一点
Ｐ， 满足|ＰF1|=10, 则|ＰF2|=_4_或___1_6_
下
页 叫做双曲线的标准方程
小
结 它所表示的双曲线的焦点在 x 轴上，
结
束 焦点是F1(-c,0),F2(c,0)，这里 c2=a2+b2
? 想一想
动 画
音 焦点在y轴上的双曲线
乐
的标准方程是：
首 页
y2 x2
上
1
页 下
a2 b2
页
小 结
（a>0 b>0）
结 束
y
动 x2 y2
画 a2 b2 1
F(0,±5)
16 9
9 16
例1, 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，
动 画
双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值
音 乐
等于6，求双曲线的标准方程.
解：因为双曲线的焦点在 x 轴上， 所以设它的标准方程为：
首
页
x2 y2
上 页
a2 b2 1 (a 0, b 0)
M
音
乐
F1 o F2 x
F ( ±c, 0)
y2 a2
x2 b2
1
F(0, ± c)
首
页 问题：如何判断焦点在哪个轴上？
上
页
练习：写出以下双曲线的焦点坐标
下
页 小
x2 y2 1, 1
2,
x2 y2 1
F(±5,0)
结
16 9
9 16
结 束
3, y2 x2 1
4,
y2 x2 1
首
页 上
解：∵
|
|PF1|
-
|PF2|
|
=
6
P
页
下 页
∴ | 10 - |PF2| | = 6
小
结
结 束
∴ |PF2| =4或16
动
如果方程
x2
y2
1
画
2m m1
音 乐
表示双曲线，求m的范围
解:（2+m)(m+1)>0，∴m<-2或m>-1
首 页
变式1：上述方程表示椭圆时，求m的范围
上
页 变式2: 上述方程表示焦点在y轴的双曲线时，
F1 o F2 x
上 页
下
页
方程
小
结
x2 y2 a2 b2 1
y2 x2 a2 b2 1
结 束
焦点
a.b.c 的关系
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 a2 b2
动 画
音
乐
谢
首
页
上 页
下 页
小 结
结 束
谢
页Leabharlann Baidu
下
的点M的轨迹 叫做双曲线。
页
小 结
其中两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点
结 束
|F1F2|=2c 叫做焦距
注意：在双曲线定义中必须有条件 2c >2a
.
动 画
音
1、平面内与两定点F1，F2的距离的差等于常 数（小于 ︱F1F2 ︱ ）的点的轨迹是什么？
乐
双曲线的一支
首 页
2、若常数2a= ︱ F1F2 ︱轨迹是什么？
1. 什么叫做椭圆？
动 画
平面内与两定点F1、F2 (|F1F2|=2c)的距离的 和
音 乐
等于常数2a ( 2a>|F1F2|=2c>0)的点的轨迹
Y Mx, y
首 页
O
上
F1 c, 0
F2 c, 0 X
页 引入问题：
下
页
平面内与 两定点F1、F2 的距离的 差
小
结 等于常数 的点的轨迹是什么呢,方程又是什么呢？
结 束
动 画
音 乐
首 页
上 页
下 页
小 结
结 束
M点运动时，M点满足什么条件？
动 画
①如图(A)，当 |MF1|>|MF2| 时
音 乐
|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B)，当 |MF1|<|MF2| 时
首
|MF2|-|MF1|=2a
页 由①②可得：
上 页
| |MF1|-|MF2| | = 2a
动 画
音 乐
首 页
y
上
M
页
下
页
F1
o
F2
x
小
结
结 束
南康中学 周海钰
1. 什么叫做椭圆？
动 画
平面内与两定点F1、F2 (|F1F2|=2c)的距离的 和
音 乐
等于常数2a ( 2a>|F1F2|=2c>0)的点的轨迹
首
Y Mx, y
页
上 页
O
下 页
F1 c, 0
F2 c, 0 X
下 页
求m的范围。
小
结 变式3 : 上述方程表示焦点在x轴的椭圆时，
结 束
求m的范围。
动
画
音 乐
• 证明椭圆
x2 y2 25 + 9 = 1
与双曲线x2-15y2=15的焦点相同
首 页
上 页
下 页
小 结
结 束
定义
动 画
音 乐
| |MF1|-|MF2| | =2a（2a<|F1F2|）
y
M
图象
首 页
小 结
结 束
即
(x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 = +_ 2a
化简可得：
y
动
画 (c2-a2) x2-a2y2=a2(c2-a2)
音
乐 ∵c＞a，∴c2 ＞a2
令 (c2-a2)=b2 (b>0)
M
F1 o F2 x
首 页
上 页
得：
x2 y2 a2 b2 1
(a 0, b 0)
上 页
两条射线
下
页 3、若常数2a＞ ︱ F1F2 ︱轨迹是什么？
小
结
结
没有轨迹
束
动 1、建系设点。
画
音 设M（x , y）,双曲线的焦距
乐
为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0)
首 常数=2a
页
F1
y
M
o F2 x
上 页
2,双曲线就是集合：
下
页 P= {M ||MF1 | - | MF2|| = 2a }
小 结
结 束
定义
动 画
|MF1|+|MF2|=2a（2a>|F1F2|）
音 乐
图象
首 页
上 页
··· y M
F1 oF2 x
y
·F2
M
· o
x
·F1
下 页
方程
小 结
x2 y2 a2 b2 1
y2 x2 a2 b2 1
结 束
焦点
a.b.c 的关系
F ( ±c,0)
F(0, ± c)
a2=b2+c2
下 （差的绝对值）
页
小 上面 两条合起来叫做双曲线
结
结 束
分析：2a与|F1F2| 的大小关系
2a< |F1F2|
动
双曲线的定义
画
音 乐
平面内与 两定点 F1、F2
y
M
的距离的_差__的__绝__对__值__
首
F1 o F2 x
页 上
为_常__数__2_a____(小__于__|_F_1_F_2_|)_