西华师范大学数学分析大二期末试题(含答案)
数学分析II期末考试题
=
x2
∫ 3、 I n =
+∞ e−x x n dx (n 是非负整数）
0
4、设 u = f (x 2 + y 2 + z 2 , xyz), f 具有二阶连续偏导数，求 ∂ 2u ∂z∂x
5、求 f (x) = e x 的幂级数展开式
三、讨论与验证题：（每小题 10 分，共 20 分）
1、讨论二元函数连续、偏可导、可微之间的关系。对肯定的结论任选一进行证明；对否定 的结论，给出反例
∑ 2、讨论级数 ∞ cos nx (0 < x < π ) 的绝对和条件收敛性。 np n=1
四、证明题：（每小题 10 分，共 30 分）
∫x
tf (t)dt
1、 f（x）在[0，+∞）上连续且恒有 f（x）>0，证明 g(x) = 0
在[0，+∞）上单调增
∫x f (t)dt
0
加
∞
∑ { } 2、 设正项级数 xn 收敛， n=1
四、证明题（每小题 10 分，共 30 分）
x
x
x
∫ ∫ ∫ xf (x) f (t)dt − f (x) tf (t)dt f (x) (xf (t) − tf (t))dt
1、 证明： g ' (x) =
0
0
=
0
2016-2017数学分析(二)期末考试卷复习题(1)
数学分析（二）复习题
一、 填空题
1、反常积分()1b p a
dx x a -⎰ 在p 时收敛，p 时发散。 2、函数项级数
1()n
n u x ∞
=∑在数集E 上一致收敛的判别定理有 。
3、1n n u
∞=∑的部分和数列{}n s 的敛散性的关系是 。
4、1()12f x x
=+关于1x +的幂级数展开式是 。 5、若0()(1)n n n s x
x ∞==-∑，则()s x '= 。
二、选择题
1、下列级数中收敛的是（ ）
A 、11(1)n n e
∞=-∑ B 、11sin n n ∞=∑ C
、1
1)n ∞=∑ D
、1(1n ∞=-∑ 2、111(
)23
n n n n x ∞=+∑的收敛半径是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、6
3、下列极限中不存在的一个是（ ）
A 、001limlim sin x y x y →→
B 、001limlim sin y x x y
→→ C 、001limlim sin x y xy x
→→ D 、001limlim()sin x y x y y →→+ 4、已知00(0)x x >是0n n
n a x ∞=∑的一个收敛点，则0(1)n n n a x ∞=-∑的一个收敛集是（ ）
A 、()00,x x -
B 、()001,1x x --+
C 、()001,1x x -+
D 、{}0
5、已知
1
n n u ∞=∑收敛，1n n v ∞=∑发散，则（ ） A 、 1n n n u v
∞=∑收敛 B 、1n n n u v ∞=∑发散 C 、1()n n n u v ∞=+∑收敛 D 、1()n n n u v ∞
数学分析报告2期末考精彩试题库
数学分析2期末试题库 《数学分析II 》考试试题（1）
一、叙述题：（每小题6分，共18分）
1、 牛顿-莱不尼兹公式
2、
∑∞
=1
n n
a
收敛的cauchy 收敛原理
3、 全微分 二、计算题：（每小题8分，共32分）
1、4
20
2
sin lim
x dt t x x ⎰
→
2、求由曲线2
x y =和2
y x =围成的图形的面积和该图形绕x 轴旋转而成的几何体的体积。
3、求∑∞
=+1
)1(n n
n n x 的收敛半径和收敛域，并求和
4、已知z
y x u = ，求y
x u
∂∂∂2
三、（每小题10分，共30分）
1、写出判别正项级数敛散性常用的三种方法并判别级数
2、讨论反常积分
⎰
+∞
--0
1dx e x x p 的敛散性
3、讨论函数列),(1)(2
2+∞-∞∈+
=
x n x x S n 的一致收敛性
四、证明题（每小题10分，共20分）
1、设)2,1(1
1,01 =->>+n n x x x n n n ，证明∑∞
=1
n n x 发散 2、证明函数⎪⎩
⎪
⎨⎧
=+≠++=0
00),(22222
2y x y x y x xy y x f 在（0，0）点连续且可偏导，
但它在该点不可微。，
一、叙述题：(每小题5分，共10分）
1、 叙述反常积分
a dx x f b
a
,)(⎰
为奇点收敛的cauchy 收敛原理
2、 二元函数),(y x f 在区域D 上的一致连续 二、计算题：（每小题8分，共40分） 1、)21
2111(
lim n
n n n +++++∞
→ 2、求摆线]2,0[)cos 1()
sin (π∈⎩
数学分析试题及答案解析
WORD 格式整理
2014 ---2015 学年度第二学期 《数学分析 2》A 试卷
学院 班级
学号（后两位）
姓名
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
总分
核分人
得分
一. 判断题（每小题 3 分，共 21 分）( 正确者后面括号内打对勾，否则打叉 )
1.
若 f x 在 a,b 连续，则 f x 在 a,b 上的不定积分 f x dx 可表为
x a
f t dt C （ ）.
2. 若 f x ,g x 为连续函数，则 f x g x dx f x dx g x dx （ ）.
3. 若
f x dx 绝对收敛，
g x dx 条件收敛，则 [ f x g x ]dx 必
a
a
a
然条件收敛（
）.
4. 若
f x dx 收敛，则必有级数
f n 收敛（ ） 1
n 1
5. 若 f n 与 g n 均在区间 I 上内闭一致收敛，则 f n
g n 也在区间 I
上内闭一致收敛（
）.
6. 若数项级数
a 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散 n n 1
于正无穷大（ ）.
7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数， 并且逐项求导后得到
的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（
）.
专业资料值得拥有
WORD 格式整理二. 单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）
8.若 f x 在 a,b 上可积，则下限函数a
x
f x dx 在 a,b 上（）
A.不连续
B. 连续
C. 可微
D. 不能确定
9.若g x 在 a,b 上可积，而f x 在 a,b 上仅有有限个点处与g x 不相等，则（）
A. f x 在 a,b 上一定不可积；
B. f x 在 a,b 上一定可积, 但是b
数学分析试题与答案
2014 ---2015学年度第二学期
《数学分析2》A 试卷
一. 判断题（每小题3分，共21分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉) 1.若()x f 在[]b a ,连续，则()x f 在[]b a ,上的不定积分()⎰dx x f 可表为()C
dt t f x
a +⎰（ ）.
2.若()()x g x f ,为连续函数，则()()()[]()[]⎰⎰⎰⋅=dx x g dx x f dx x g x f （ ）.
3. 若()⎰+∞
a
dx x f 绝对收敛，()⎰+∞
a
dx x g 条件收敛，则()()⎰+∞-a
dx x g x f ][必然条件收
敛（ ）. 4. 若()⎰
+∞1dx x f 收敛，则必有级数()∑∞
=1
n n f 收敛（ ）
5. 若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛，则{}n n g f +也在区间I 上内闭一致收敛（ ）.
6. 若数项级数∑∞
=1n n a 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散于正无穷大
（ ）.
7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ）. 二. 单项选择题（每小题3分，共15分）
1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()⎰a
x dx x f 在[]b a ,上（ ）
A.不连续
B. 连续
C.可微
D.不能确定
2. 若()x g 在[]b a ,上可积，而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相等，则（ ） A. ()x f 在[]b a ,上一定不可积；
数学分析期末试题A答案doc
数学分析期末试题A答案doc
2024年数学分析期末试题A及答案
一、选择题
1、以下哪个函数在 x = 0 处连续？ A. $f(x) = x^2$ B. $f(x) = \frac{1}{x}$ C. $f(x) = sin x$ D. $f(x) = e^x$ 答案：D
解析：在 x = 0 处，只有选项 D 中的函数 e^x 是连续的。因此，答案为 D。
2、设 $f(x) = x^2$，则 $f(3x - 2) =$ __________。 A. $x^2$ B. $(3x - 2)^2$ C. $(3x - 2)^3$ D. $(3x - 2)^2 + 1$ 答案：B
解析：将 $x$ 替换为 $3x - 2$，得 $f(3x - 2) = (3x - 2)^2$。因此，答案为 B。
3、下列等式中，错误的是： A. $\int_{0}^{1}x^2dx =
\frac{1}{3}x^3|{0}^{1}$ B. $\int{0}^{\pi}\sin xdx = \cos
x|{0}^{\pi}$ C. $\int{0}^{2\pi}\sin xdx = 0$ D.
$\int_{0}^{1}(2x + 1)dx = (x^2 + x)|_{0}^{1}$ 答案：A
解析：等式两边取极限，只有 A 选项等式两边不相等，因此 A 选项是错误的。
4、下列哪个导数是常数函数？ A. $y = x^3$ B. $y = \sin x$ C. $y = e^x$ D. $y = log_a(x)$ 答案：C
数学分析期末试卷及答案
数学分析期末试卷及答案
答案：3、B 4、D （P51 ）
答案：5、D 书本P29页例题1（P30）
二、判断题 答案：1、 2、 3、 4、 5、
Βιβλιοθήκη Baidu 三、填空题
四、计算题
五、判断下列广义积分或无穷级数的收敛性
六、解答题
七、证明题
携手共进，齐创精品工程
Thank You
世界触手可及
数学分析(2)期末试题参考答案
解答：（证法一）因为
K
紧且
Lebesgue ∫
零测，所以
Jordan
零测，于是
χK (x,
y)
在
I
×J
上
Riemann ∫
可积，且有
I×J χK (x, y)dxdy = 0。根据 Fubini 定理，
积分
F (x)
= ∫
J χK (x, y)dy
几乎处处存在。在 ∫
F (x)
不存在的地方随意规定一
lim
R→+∞
I (R)
=
lim
R→+∞
∫R
0
ey2
dy
eR2
=
lim
R→+∞
2
eR2 R eR2
= 0.
∫
∫
iii) 由 i)、ii) 可知 lim
R→+∞
γ3
ωi
=
lim
R→+∞
γ1 ωi (i = 1, 2)，其中
lim
∫
ω1
∫ =
+∞
( cos
( 2
t2
)
+
sin
( 2
t2))
dt,
R→+∞ ∫γ3 lim
0，则有
(∫ R−ε ∫ R )
数学分析(2)期末试题集(证明题部分)
由定积分的性质,可知 ,且
,
于是
.
再由连续函数的介值定理可知, ,使得
,
即有
.
只需再证 ,使 即可.为此将上述等式移项改写成为
,
注意到 为 上的连续函数,由第2题的结论知, ,使得
,又 ,因而 .所以结论成立.
4.证明:若 在 上连续,且 , ,则 , .
证(反证法)若存在 使得 .因为 在点 连续,由连续函数的局部保号性,得,存在 且 ,对任意的 ,有 .
证(1) ,
故 是偶函数;
(2)
其中 在 与 之间.
考虑上式右端两个因子之积:当 时, ,即有 ;当 时, ,同样有 ;当 时, ,也就是说,在 上有 ,所以, 单调不减.
20.设 在 上连续,在 内可导,且 ,记 ,
(1)求 ;
(2)求证: ,使得 ;
(3)求证: ,使得 .
(1)解 ;
(2)证:因为 ,又 在 上连续,在 内可导,由罗尔中值定理, ,使得 ,即 ;
(3)证:由 ,又 在 上连续,在 内可导,由罗尔中值定理, ,使得 ,即 .
21.设 在 上连续, ,证明: .
证由积分中值定理得到
,
由 在 上连续, ,则有 ,所以,
.
22.设 在 上连续,且 ,证明: .
证应用分部积分法,注意到 ,并由积分中值定理得到
《数学分析II》期末试卷+参考答案
《数学分析（II ）》试题
2004.6
一．计算下列各题：
1．求定积分∫
+e x x dx 12)ln 2(；
2．求定积分； ∫−222),1max(dx x
3．求反常积分dx x x ∫
∞++021ln ；
4．求幂级数()
∑∞=−+1221n n n x n n 的收敛域；
5．设，求du 。
yz x u =
二．设变量代换可把方程⎩
⎨⎧+=−=ay x v y x u ,20622222=∂∂−∂∂∂+∂∂y z y x z x z 简化为02=∂∂∂v u z ，求常数。
a
三．平面点集(){}⎭
⎬⎫⎩⎨⎧=⎟⎠⎞⎜⎝⎛L U ,2,11sin ,10,0n n n
是否为紧集？请说明理由。
四．函数项级数n n
n n x x n +⋅−∑∞
=−1)1(11在上是否一致收敛？请说明理由。 ]1,0[
五．设函数在上连续，且满足)(x f ),(∞+−∞1)1(=f 和
)arctan(2
1)2(20x dt t x tf x =−∫
。 求。 ∫21)(dx x f
六．设函数在上具有连续导数，且满足)(x f ),1[∞+1)1(=f 和
22)]
([1)(x f x x f +=′，+∞<≤x 1。 证明：存在且小于)(lim x f x +∞→41π+。
七．设如下定义函数：
dt t t x f x x t
1sin 21)(2
∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=，。 1>x 判别级数∑∞=2)
(1n n f 的敛散性。
八．设∫=4
0cos sin πxdx x I n n （L ,2,1,0=n ）。求级数的和。 ∑∞
《数学分析(二)》题库及答案
《数学分析（二）》题库及答案
一、填空1、⎰=+1
1
- 2
51dx x
x ____________。
2、
⎰
∞
+-= 0
2
dx xe x ____________。
3、
=++++⋅+⋅ )
1(1
321211n n ___________。 4、
⎰
∞
+∞
=+ - 2
______1x
dx
。 5、
_______)
15)(45(11161611=++-++⋅+⋅ n n 。 6、幂级数∑∞
=--1
1
)
1(n n
n n
x 的收敛域为______ 。
二、单项选择题
1、设)(x f 是),(b a 上的连续函数，则在),(b a 上)(x f 必有___________。 A ．导函数 B ．原函数 C ．最大值 D ．最小值
2、设)(x f 在),(+∞-∞上有连续的的导数)(x f '，则___________。 A ．⎰
+=
'c x f dx x f )2(2
1
)2( B ．⎰+='c x f dx x f )2()2( C ．
⎰+='c x f dx x f )()2( D ． ⎰=')2(2))2((x f dx x f
3、设)(x f 是),(+∞-∞上非零的连续奇函数，则⎰
=
x
dt t f x F 0
)()(是___________。
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．非奇非偶函数
D ．可能是奇，也可能是偶函数 4、设函数)(x f 在],[b a 上可积，则)(x f 在],[b a 上______ 。
A ．存在原函数
B ．有界
C ．连续
D ．可导 5、若0lim =∞
→n n a ，则数项级数
(完整版)数学分析试题及答案解析,推荐文档
∑
⎰ ⎰ ⎰ 2014 ---2015 学年度第二学期
《数学分析 2》A 试卷
一. 判断题（每小题 3 分，共 21 分）(正确者后面括号内打对勾，否则打
叉)
1.
若 f (x )在[a ,b ]连续，则 f (x )在[a ,b ]上的不定积分⎰ f (x )dx 可表为
x f
(t )dt + C （ ）.
a
2.
若 f (x ), g (x )为连续函数，则⎰ f (x )g (x )dx = [⎰f (x )dx ]⋅ [
⎰g (x )dx （
）.
+∞
+∞
3.
若 f (x )dx 绝对收敛， ⎰ g (x )dx 条件收敛，则
a
a
+∞[ f
(x )- g (x )]dx 必然条件收敛（
）.
a
+∞ 4. 若
f (x )dx 收敛，则必有级数∑ f (n )收敛（ ）
1
n =1
5. 若{f n }与{g n }均在区间 I 上内闭一致收敛，则{f n + g n }也在区间 I
上内闭一致收敛（ ）.
∞
6. 若数项级数 a n 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散
n =1
于正无穷大（ ）.
7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ）. 二. 单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）
1. 若 f
(x )在[a ,b ]上可积，则下限函数
a
f (x )dx 在[a ,b ]上（
）
x
A. 不连续
B. 连续
C.可微
D.不能确定
⎰ ⎰
∞
⎰ ⎰ ⎰ ⎰ ∑ 2. 若 g (x )在[a ,b ]上可积，而 f (x )在[a ,b ]上仅有有限个点处与 g (x )不相等，则（ ）
数学分析(2)试题及答案
（十六）数学分析2考试题
一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2
分，共20分）
1、 函数)(x f 在[a,b ]上可积的必要条件是（ ） A 连续 B 有界 C 无间断点 D 有原函数
2、函数)(x f 是奇函数，且在[-a,a ]上可积，则（ ） A ⎰⎰=-a a
a dx x f dx x f 0
)(2)( B 0)(=⎰-a
a dx x f
C
⎰⎰
-=-a
a
a
dx x f dx x f 0
)(2)( D )(2)(a f dx x f a
a
=⎰-
3、 下列广义积分中，收敛的积分是（ ） A
⎰
1
1dx x
B ⎰
∞
+1
1dx x
C ⎰+∞
sin xdx D ⎰
-1
13
1
dx x 4、级数
∑∞
=1
n n
a
收敛是
∑∞=1
n n
a
部分和有界且0lim =∞
→n n a 的（ ）
A 充分条件
B 必要条件
C 充分必要条件
D 无关条件 5、下列说法正确的是（ ） A ∑∞
=1n n
a
和
∑∞
=1
n n
b
收敛，
∑∞
=1
n n
n b
a 也收敛 B
∑∞
=1
n n
a
和
∑∞
=1
n n
b
发散，
∑∞
=+1
)(n n n
b a
发散
C
∑∞=1
n n
a
收敛和∑∞
=1
n n
b
发散，
∑∞
=+1
)(n n n
b a
发散 D ∑∞=1
n n a 收敛和∑∞
=1
n n b 发散，
∑∞
=1
n n
n b
a 发散
6、
)(1x a
n n
∑∞
=在[a ，b ]收敛于a （x ），且a n （x ）可导，则（ ）
A )()('1'x a x a
n n
=∑∞
= B a （x ）可导
C
⎰∑⎰
=∞
=b
a
n b
数学分析2期末考试题库完整
数学分析2期末试题库 《数学分析II 》考试试题（1）
一、叙述题：（每小题6分，共18分）
1、 牛顿-莱不尼兹公式
2、
∑∞
=1
n n
a
收敛的cauchy 收敛原理
3、 全微分 二、计算题：（每小题8分，共32分）
1、4
20
2
sin lim
x dt t x x ⎰
→
2、求由曲线2
x y =和2
y x =围成的图形的面积和该图形绕x 轴旋转而成的几何体的体积。
3、求∑∞
=+1)
1(n n
n n x 的收敛半径和收敛域，并求和
4、已知z
y x u = ，求y
x u
∂∂∂2
三、（每小题10分，共30分）
1、写出判别正项级数敛散性常用的三种方法并判别级数
2、讨论反常积分
⎰
+∞
--0
1dx e x x p 的敛散性
3、讨论函数列),(1)(2
2+∞-∞∈+
=
x n x x S n 的一致收敛性
四、证明题（每小题10分，共20分）
1、设)2,1(1
1,01 =->>+n n x x x n n n ，证明∑∞
=1
n n x 发散 2、证明函数⎪⎩
⎪
⎨⎧
=+≠++=0
00),(22222
2y x y x y x xy y x f 在（0，0）点连续且可偏导，
但它在该点不可微。，
一、叙述题：(每小题5分，共10分）
1、 叙述反常积分
a dx x f b
a
,)(⎰
为奇点收敛的cauchy 收敛原理
2、 二元函数),(y x f 在区域D 上的一致连续 二、计算题：（每小题8分，共40分） 1、)21
2111(
lim n
n n n +++++∞
→ 2、求摆线]2,0[)cos 1()
sin (π∈⎩
⎨⎧-=-=t t a y t t a x 与x 轴围成的面积
数学分析期末考试题1、2(第二份有答案)
第三学期数学分析考试题
一、 判断题（每小题2分，共20分）
1.开域是非空连通开集，闭域是非空连通闭集． （ ）
2.当二元函数的重极限与两个累次极限都存在时，三者必相等． （ ）
3.连续函数的全增量等于偏增量之和． （ ）
4.xy y x f =
),(在原点不可微． （ ）
5.若),(),(y x f y x f yx xy 与都存在，则),(),(y x f y x f yx xy =． （ ）
6.
dy y x xy
y )
1(sin 2
1
+⎰
+∞
在)1,0(内不一致收敛． （ ） 7.平面图形都是可求面积的． （ ） 8.学过的各种积分都可以以一种统一的形式来定义. （ ）
9.第二型曲面积分也有与之相对应的“积分中值定理”． （ ） 10.二重积分定义中分割T 的细度T 不能用}{max 1i n
i σ∆≤≤来代替． （ ）
二、 填空题（每小题3分，共15分）
1.设)sin(y x e z xy
+=，则其全微分=dz ． 2.设3
2
),,(yz xy z y x f +=，则f 在点)1,1,2(0-P 处的梯度=)(0P grad ． 3.设L 为沿抛物线2
2x y =,从)0,0(O 到)2,1(B 的一段，则
⎰=+L
ydx xdy ．
4.边长为a 密度为b 的立方体关于其任一棱的转动惯量等于 ．
5.曲面2732
2
2
=-+z y x 在点（3,1,1）处的法线方程为 ． 三、计算题（每小题5分，共20分） 1．求极限
xy y x y x )(lim
22)0,0(),(+→．
2． 设),(y x z z =是由方程z
数学分析试题及答案解析
2014 ---2015学年度第二学期
《数学分析2》A 试卷
学院 班级 学号(后两位) 姓名
一. 判断题(每小题3分,共21分)(正确者后面括号内打对勾,否则打叉) 1、若()x f 在[]b a ,连续,则()x f 在[]b a ,上的不定积分()⎰dx x f 可表为
()C dt t f x
a
+⎰( )、
2、若()()x g x f ,为连续函数,则()()()[]()[]⎰⎰⎰⋅=dx x g dx x f dx x g x f ( )、
3、 若()⎰
+∞a
dx x f 绝对收敛,()⎰
+∞
a
dx x g 条件收敛,则()()⎰+∞-a
dx x g x f ][必
然条件收敛( )、 4、 若()⎰
+∞
1
dx x f 收敛,则必有级数()∑∞
=1
n n f 收敛( )
5、 若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛,则{}n n g f +也在区间I 上内闭一致收敛( )、
6、 若数项级数∑∞
=1n n a 条件收敛,则一定可以经过适当的重排使其发散于
正无穷大( )、
7、 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数,并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同( )、
二. 单项选择题(每小题3分,共15分)
1、若()x f 在[]b a ,上可积,则下限函数()⎰a
x dx x f 在[]b a ,上( )
A 、不连续
B 、 连续
C 、可微
D 、不能确定
2、 若()x g 在[]b a ,上可积,而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相等,则( )
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
西华师范大学数学分析（2）期末试题
课程名称数学分析（Ⅱ）适
用
时
间
试卷类别
1
适用专业、年级、班
应用、信息专业
一、单项选择题（每小题3分，3×6＝18分）1、下列级数中条件收敛的是（
）．
A ．
1
(1)
n
n ∞
=−∑B ．n
n ∞
=C ．2
1(1)n
n n
∞
=−∑D ．1
1
(1)
n
n n ∞
=+∑2、若f 是(,)−∞+∞内以2π为周期的按段光滑的函数,则f 的傅里叶（Fourier ）级数在
它的间断点x 处（）．
A ．收敛于()f x
B ．收敛于
1
((0)(0))2
f x f x −++C ．发散
D ．可能收敛也可能发散3、函数)(x f 在],[b a 上可积的必要条件是（
）．A ．有界
B ．连续
C ．单调
D ．存在原函数
4、设()f x 的一个原函数为ln x ，则()f x ′=（）
A ．
1
x
B ．ln x x
C ．2
1x −
D ．x
e
5、已知反常积分
20 (0)1dx
k kx +∞
>+∫收敛于1，则k =（）
A ．2π
B ．22π
C ．
2
D ．
2
4
π6、231ln (ln )(ln )(1)(ln )n n
x x x x −−+−+−+⋯⋯收敛，则（）
A ．x e
>C ．x 为任意实数
D ．1
e x e
−<<二、填空题（每小题3分，3×6＝18分）1、已知幂级数1n
n n a x
∞
=∑在2x =处条件收敛，则它的收敛半径为
．2、若数项级数1
n n u ∞=∑的第n 个部分和21
n n
S n =
+，则其通项n u =，和S =
．
3、曲线1
y x
=
与直线1x =，2x =及x 轴所围成的曲边梯形面积为．4、已知由定积分的换元积分法可得，1
0()()b
x
x
a
e
f e dx f x dx =∫∫，则a =
，b =
．5、数集(1)
1, 2 , 3, 1n
n n n ⎧⎫
−=⎨⎬+⎩
⎭
⋯的聚点为．
6、函数2
()x f x e =的麦克劳林（Maclaurin ）展开式为
．
65
三、计算题（每小题6分，6×5＝30分）1、
(1)dx
x x +∫．
2、2ln x x dx ∫
．
3
、 0
(0)dx a >∫．
4、 2 0
cos lim
sin x
x t dt x
→∫．
5
、
dx ∫
．
四、解答题（第1小题6分，第2、3小题各8分，共22分）
1、讨论函数项级数
2
1
sin n nx
n ∞
=∑在区间(,)−∞+∞上的一致收敛性．2、求幂级数1
n
n x n ∞
=∑的收敛域以及收敛区间内的和函数．
3、设()f x x =,将f 在(,)ππ−上展为傅里叶（Fourier ）级数．
五、证明题（每小题6分，6×2＝12分）1、已知级数
1
n
n a
∞
=∑与
1
n
n c
∞
=∑都收敛，且
, 1, 2, 3 n n n a b c n ≤≤=⋯
，证明：级数1n
n b
∞
=∑也收敛．
2、证明：
22 0
0sin cos n
n x dx x dx ππ
=∫
∫
．
66
试题参考答案与评分标准
课程名称数学分析(Ⅱ)
适
用
时
间
试卷类别
1
适用专业、年级、班
应用、信息专业
一、单项选择题（每小题3分，3×6＝18分）
⒈B
⒉B
⒊A
⒋C
⒌D
⒍D
二、填空题（每小题3分，3×6＝18分）
⒈
2
⒉2
, =2
(1)
n u S n n =
+⒊ln 2
⒋1, a b e ==⒌
1
±⒍
201, (,)!
n
n x x n ∞
=∈−∞+∞∑三、计算题（每小题6分，6×5＝30分）
1.解
111
(1)1x x x x
=−
++∵1
(1)dx
x x ∴+∫（3分）
11(1dx
x x
=−+∫ ln ln 1.
x x C =−++（3分）
2.解由分部积分公式得
2
31
ln ln 3x xdx xdx =
∫∫3311
ln ln 33x x x d x =−∫（3分）
33111ln 33x x x dx x =−⋅∫3211
ln 33x x x dx =−∫3311
ln 39x x x C =−+（3分）
3.解令sin , [0, ]
2
x a t t π
=∈由定积分的换元积分公式，得
0∫
2
220
cos a
tdt
π=∫
（3分）
67