西华师范大学数学分析大二期末试题(含答案)

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西华师范大学数学分析(1)试题一

西华师范大学数学分析-1样题(一)一.(8分)用数列极限的N ε−定义证明1n =.二.(8分)设有复合函数[()]f g x ,满足:(1)lim ()x ag x b →=;(2)0()x U a ∀∈,有0()()g x U b ∈(3)lim ()u bf u A→=用εδ−定义证明,lim [()]x af g x A →=.三.(10分)证明数列{}n x :cos1cos 2cos 1223(1)n nx n n =+++⋅⋅⋅+⋯收敛.四.(12分)证明函数1()f x x=在[,1]a (01)a <<一致连续,在(0,1]不一致连续.五.(12分)叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界.六.(10分)证明任一齐次多项式至少存在一个实数零点.七.(12分)确定,a b 使lim )0x ax b →+∞−−=.八.(14分)求函数32()2912f x x x x =−+在15[,42−的最大值与最小值.九.(14分)设函数()f x 在[,]a b 二阶可导,()()0f a f b ′′==.证明存在(,)a b ξ∈,使24()()()()f f b f a b a ζ′′≥−−.一.(10分)设数列{}n a 满足:1a =,1()n a n N +=∈,其中a 是一给定的正常数,证明{}n a 收敛,并求其极限.二.(10分)设0lim ()0x x f x b →=≠,用εδ−定义证明011lim()x x f x b→=.三.(10分)设0n a >,且1lim1nn n a l a →∞+=>,证明lim 0n n a →∞=.四.(10分)证明函数()f x 在开区间(,)a b 一致连续⇔()f x 在(,)a b 连续,且lim ()x a f x +→,lim ()x bf x −→存在有限.五.(12分)叙述确界定理并以此证明闭区间连续函数的零点定理.六.(12分)证明:若函数在连续,且()0f a ≠,而函数2[()]f x 在a 可导,则函数()f x 在a 可导.七.(12分)求函数()1f x x x ααα=−+−在的最大值,其中01α<<.八.(12分)设f 在上是凸函数,且在(,)a b 可微,则对任意1x ,2x (,)a b ∈,12x x <,都有12()()f x f x ′′≤.九.(12分)设(),0()0,0g x x f x x x ⎧ ≠⎪=⎨⎪ =⎩且(0)(0)0g g ′==,(0)3g ′′=,求(0)f ′.一.(各5分,共20分)求下列不定积分与定积分:1.arctan x x dx∫ 2.xe dx−∫3.ln 0∫4.20sin 1cos x xdxxπ+∫二.(10分)设()f x 是上的非负连续函数,()0baf x dx =∫.证明()0f x =([,])x a b ∈.三.(10分)证明20sin 0xdx xπ>∫.四.(15分)证明函数级数0(1)n n x x ∞=−∑在不一致收敛,在[0,]δ(其中)一致收敛.五.(10分)将函数,0(),0x x f x x x ππππ+ ≤≤⎧=⎨− <≤⎩展成傅立叶级数.六.(10分)设2222sin 0(,)0,0xy x y f x y x y ⎧ +≠⎪=⎨⎪ +=⎩证明:(1)(0,0)x f ′,(0,0)y f ′存在;(2)(,)x f x y ′,(,)y f x y ′在(0,0)不连续;(3)(,)f x y 在(0,0)可微.七.(10分)用钢板制造容积为V 的无盖长方形水箱,怎样选择水箱的长、宽、高才最省钢板?八.(15分)设01σ<<,证明111(1)n n n σσ∞=<+∑.一.(各5分,共20分)求下列不定积分与定积分:1.(0)a >2.1172815714x x dxx x++∫3.1arcsin x dx∫4.1000π∫二.(各5分,共10分)求下列数列与函数极限:1.221lim nn k nn k→∞=+∑ 2.20lim1xt xx xe dte →−∫三.(10分)设函数在[,]a b 连续,对任意[,]a b 上的连续函数()g x ,()()0g a g b ==,有()()0baf xg x dx =∫.证明()0f x =([,])x a b ∈.四.(15分)定义[0,1]上的函数列2212,211()22211n n x x n f x n n x x n n x n ⎧ , 0≤≤⎪⎪⎪=− , <≤⎨⎪⎪0 , ≤⎪⎩证明{()}n f x 在[0,1]不一致收敛.五.(10分)求幂级数0(1)n n n x ∞=+∑的和函数.六.(10分)用εδ−定义证明2(,)(2,1)lim (43)19x y x y →+=.七.(12分)求函数22(2)(2)(0)u ax x by y ab =−− ≠的极值.八.(13分)设正项级数1n n a ∞=∑收敛,且1()n n a a n N ++≥ ∈.证明lim 0n n na →∞=.一(10分)证明方程11(, )0F x zy y zx −−++=所确定的隐函数(, )z z x y =满足方程.z zxy z xy x y∂∂+=−∂∂二(10分)设n 个正数12, , , n x x x ⋯之和是a，求函数u =的最大值.三(14分)设无穷积分() af x dx +∞∫收敛，函数()f x 在[, )a +∞单调，证明1()() ().f x o x x=→+∞四(10分)求函数1220() ln() F y x y dx =+∫的导数(0).y >五(14分)计算0sin sin (0, ).pxbx axI e dx p b a x+∞−−=>>∫六(10分)求半径为a 的球面的面积S .七(10分)求六个平面111111122222223333333 ,, = 0 , , a x b y c z h a b c a x b y c z h a b c a x b y c z h a b c ++=±⎧⎪++=±∆≠⎨⎪++=±⎩所围的平行六面体V 的体积I ，其中, , , i i i i a b c h 都是常数，且0 (1, 2, 3).i h i >=八(12分)求22Cxdy ydxx y−+∫�，其中C 是光滑的不通过原点的正向闭曲线.九(10分)求dS z∑∫∫，其中∑是球面2222x y z a ++=被平面 (0)z h h a =<<所截的顶部.数学分析-3样题(二)一(10分)求曲面2233, , x u v y u v z u v =+=+=+在点(0, 2)对应曲面上的点的切平面与法线方程.二(10分)求在两个曲面2221x xy y z −+−=与221x y +=交线上到原点最近的点.三(14分)设函数()f x 在[1, )+∞单调减少，且lim ()0x f x →+∞=，证明无穷积分1() f x dx +∞∫与级数1001()n f n =∑同时收敛或同时发散.四(12分)证明ln (0).ax bx e e bdx a b x a−−+∞−=<<∫五(12分)设函数()f x 在[, ]a A 连续，证明 [, ]x a A ∀∈，有01lim [()()] ()().xa h f t h f t dt f x f a h→+−=−∫六(10分)求椭圆区域221112221221: ()() 1 (0)R a x b y c a x b y c a b a b +++++≤−≠的面积A .七(10分)设222()() VF t f x y z dx dy dz =++∫∫∫，其中2222: (0)V x y z t t ++≤≥，f 是连续函数，求'()F t .八(10分)应用曲线积分求(2sin )(cos )x y dx x y dy ++的原函数.九(12分)计算 Sxyz dx dy ∫∫，其中S 是球面2221x y z ++=在0, 0x y ≥≥部分并取球面外侧.。

【经典期末卷】大学高数(下)期末测试题及答案

第 1 页（共 10 页）班级（学生填写）：姓名：学号：命题：审题：审批： ----------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ------------------------------------------------------- （答题不能超出密封线）LQdx Pdy +⎰=( )dxdy )P dxdy x 二重积分的积分区域D 是221≤+x y π C ．2π+⎰L Pdx Qdy在A．∂∂-=∂∂P Qy x第 2 页（共10 页）第 3 页（共 10 页）班级（学生填写）：姓名：学号： ----------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ------------------------------------------------------- （答题不能超出密封线）()Lx y ds +⎰＝ ()Lx y ds +⎰= Lydx xdy +⎰= 2sin y t =上对应22xy De dxdy --⎰⎰= 2.第 4 页（共 10 页）三. 计算题（一）（每小题6分，共36分）1.计算：22xy De d σ+⎰⎰，其中D 是由圆周224x y +=所围成的闭区域。

2.计算三重积分xdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω为三个坐标面及平面21x y z ++=所围成的闭区域。

3.计算xyzdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面2221x y z ++=，0,0,0x y z ≥≥≥所围成.第 5 页（共 10 页）班级（学生填写）：姓名：学号： ----------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ------------------------------------------------------- （答题不能超出密封线）4.求2d d Dxx y y⎰⎰，其中D 为1xy =，y x =及2x =所围成的区域。

数学分析(2)期末试题参考答案

∑ A′
∑ ℓα (
)
µ(Iα) µ Jβxα,γ
≥
ε0 m
>
ε.
α=1 γ=1
α=1
γ=1
另一方面，对于每个 xα，存在一个 Kk，使得 xα ∈ Kk。因为 P 是利用 K1, . . . , Kκ 的边界构造的网格分划，所以相应的 Iα × Jβxα,γ 一定包含在这个
恰好覆盖
Em，于是
∑A′
α=1
µ(Iα)
≥
ε0。对于每个
Iα (1 于是
≤ α ≤ A′)，取一个
∑ℓα
γ=1
µ(Jβxα ,γ
)
≥
1 m
xα ∈ Iα ∩ Em，设，所以我们有
Jβxα,1 , . . . , Jβxα,ℓα
恰好覆盖
Kxα ，
∑ A′ ∑ ℓα ( µ Iα
) × Jβxα,γ
=
i) 求证：
∫
∫
∫
ωi = ωi + ωi, i = 1, 2.
γ3
γ1
γ2
ii) 求证：
∫
lim
ωi = 0, i = 1, 2.
R→+∞ γ2
iii) 计算广义积分：
C = ∫ +∞ cos (x2) dx, S = ∫ +∞ sin (x2) dx
0
0
() 解答： i) 因为 ωi ∈ Ω1 R2 、dωi = 0 (i = 1, 2)，所以由 Green 公式可知结论
解答：（证法一）因为
K
紧且
Lebesgue ∫
零测，所以
Jordan
零测，于是

2021-2022学年数学分析II期末试题参考答案

课程编号：100171019 北京理工大学2021-2022学年第二学期2021级数学分析（II ）期终考试试题A 卷解答1.(23分)求下列函数的偏导数或全微分 (1)设cos xyz e=，求dz .(2)设(,)z z x y =由方程zx y z e ++=所确定的隐函数，求z x ∂∂和22zx∂∂.(3)设1()()z f xy yg x y x=++，其中f 和g 在R 上有连续的二阶导数，求z x ∂∂，z y ∂∂和2zy x∂∂∂ 解：(1)cos (cos )xy dz e d xy =cos (sin )()xy e xy d xy =−cos sin ()xy xye ydx xdy =−+.(2)方程关于x 求导，y 是常数，z 是x 的函数，1z x x z e z +=，11x zz e =−. 23(1)(1)z zx xx z ze z e z e e =−=−−−. 方法二. zzxx x x xx z e z z e z =+，221(1)z zx xx z ze z e z e e =−=−−−. (3)//211()()()z f xy f xy y yg x y x x x∂=−+⋅++∂ //21()()()yf xy f xy yg x y x x =−+++，//1()()()z f xy x g x y yg x y y x∂=⋅++++∂ //()()()f xy g x y yg x y =++++，2/////()()()zf xy yg x y yg x y y x∂=⋅++++∂∂ /////()()()yf xy g x y yg x y =++++.2.(15分)(1)求二重积分22Dy I dxdy x=⎰⎰，其中D 为由1,2,y y y x x ===所围的区域. (2)求三重积分I x dxdydz Ω=⎰⎰⎰，其中Ω由0,0,0,21x y z x y z ===++=所围成.(3)求第一型曲面积分()MI x y z dS =++⎰⎰，其中M为上半球面：z =222x y R +≤(0)R >. 解：(1)2221221y y Dy y I dxdy dy dx x x==⎰⎰⎰⎰22111()yyy dy x =−⎰2223111()()y y dy y y dy y=−=−⎰⎰ 94=. 方法二. 22212221122212x x Dy y y I dxdy dx dy dx dy x xx ==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(2)设D 为xy −平面上由0,0,21x y x y ==+=所围成区域.I x dxdydz Ω=⎰⎰⎰120x yDdxdy xdz −−=⎰⎰⎰(12)Dx x y dxdy =−−⎰⎰[]11(1)20(1)2x dx x x xy dy −=−−⎰⎰12011(1)448x x dx =−=⎰. 方法二. 对任意的[0,1]x ∈，x D 为yz −平面上由0,0,21y z y z x ==+=−所围成区域.I x dxdydz Ω=⎰⎰⎰1xD dx xdydz =⎰⎰⎰12011(1)448x x dx =−=⎰(3) x z =y z =，()MI x y z dS =++⎰⎰221(x y x y +≤=++⎰⎰221(x y x y +≤=++⎰⎰221x y Rdxdy +≤=⎰⎰3R π=.3.(8分)设(,)z z x y =在2R 有连续偏导数，并且322cos(2)3cos(2)dz axy x y dx x y b x y dy ⎡⎤⎡⎤=+++++⎣⎦⎣⎦其中,a b 是常数，求,a b 的值和(,)z z x y =的表达式. 解：由条件3cos(2)x z axy x y =++，223cos(2)y z x y b x y =++，则232sin(2)xy z axy x y =−+，26sin(2)yx z xy b x y =−+. 因为xy z 和yx z 都连续，所以xy yx z z =, 232sin(2)axy x y −+26sin(2)xy b x y =−+, 取,02x y π==，解得2b =，进而得出2a =.再由32cos(2)x z xy x y =++，23(,)sin(2)()z x y x y x y y ϕ=+++， 22/32cos(2)()y z x y x y y ϕ=+++，于是/()0y ϕ=，()y C ϕ=.故23(,)sin(2)z x y x y x y C =+++.4.(10分)求幂级数211(1)(21)!n n n n x n +∞−=−+∑的收敛域及和函数的表达式.解：记21(1)()(21)!n n n n u x x n −−=+. 对任意的0x ≠，21()0,()2(23)n n u x xn u x n n +=→→+∞+，则211(1)(21)!n n n n x n +∞−=−+∑收敛. 即得211(1)(21)!n n n n x n +∞−=−+∑的收敛域为(,)−∞+∞. 记211(1)()(21)!n n n n S x x n +∞−=−=+∑，定义域为(,)−∞+∞.容易求得(0)0S =. 对任意的0x ≠，利用幂级数的性质，2/11(1)()()2(21)!nn n S x x n +∞=−=+∑/211(1)2(21)!n n n x n +∞=⎛⎫−= ⎪+⎝⎭∑/21111(1)2(21)!n n n x x n +∞+=⎛⎫−= ⎪+⎝⎭∑/11(sin )2x x x⎛⎫=− ⎪⎝⎭ 2cos sin 2x x xx−=.5.(10分)设()f x 是以2π为周期的函数，它在区间(,]ππ−上的表达式为00()20x f x x ππ−<≤⎧=⎨<≤⎩. (1)求()f x 的Fourier 级数；(2)求()f x 的Fourier 级数的和函数在区间[0,2]π上的表达式；(3)求11(1)21n n n −+∞=−−∑.解：(1)先计算()f x 的Fourier 系数， 01()a f x dx πππ−=⎰122dx ππ==⎰，1()cos n a f x nxdx πππ−=⎰12cos 0nxdx ππ==⎰，1,2,n =，1()sin n b f x nxdx πππ−=⎰ ()0122sin 1(1)n nxdx n πππ==−−⎰2421(21)n k n k k π=⎧⎪=⎨=−⎪−⎩，1,2,k =.()f x 的Fourier 级数为()01cos sin 2n n n a a nx b nx +∞=++∑ 14sin(21)121k k xk π+∞=−=+−∑. (2) 12(0,)4sin(21)10(,2)2110,,2k x k x x k x ππππππ+∞=∈⎧−⎪+=∈⎨−⎪=⎩∑. (3)令2x π=，1411sin (21)2212k k k ππ+∞=⎛⎫+−= ⎪−⎝⎭∑，解得11(1)214n n n π−+∞=−=−∑.6.(12分)(1)判别下列广义积分的收敛性，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？(a) 30411dx +∞−⎰ (b) 20sin x dx +∞⎰ (2)设()af x dx +∞⎰收敛，并且lim ()x f x L →+∞=.证明：0L =.解：(1)(a) 0,1x x ==为瑕点，考虑30411dx +∞−⎰1122133330122444411111111dx dx dx dx +∞=+++−−−−⎰⎰⎰⎰.因为330004411lim lim111x x x →+→+==−−，3431141lim 111x x x →→−⋅==−，31342433441lim lim111x x xxx +→+∞→+∞⋅==−−，而其中1351244+=>，所以112213333012244441111,,,1111dx dx dx dx +∞−−−−⎰⎰⎰⎰都收敛，于是30411dx +∞−⎰收敛，又被积函数非负，故是绝对收敛.(b)0x =不是瑕点，20sin x dx +∞⎰与21sin x dx +∞⎰具有相同的收敛性，只讨论21sin x dx +∞⎰即可.令2t x =，则2111sin 2x dx +∞+∞=⎰⎰, 1+∞⎰条件收敛. 那么20sin x dx +∞⎰条件收敛.(2)假设0L ≠，不妨设0L >.由lim ()x f x L →+∞=，根据极限性质，存在0X >，使得当x X >时，()2Lf x >.则A X ∀>，()()()A X AaaXf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰()()2X aLf x dx A X >+−⎰，由此推出lim()A aA f x dx →+∞=+∞⎰，与()af x dx +∞⎰收敛矛盾.假设不成立，即0L =.7.(12分)(1)证明：函数项级数1nx n ne +∞−=∑在[,)(0)δδ+∞>一致收敛，但在(0,)+∞不一致收敛.(2)证明：1()nx n f x ne +∞−==∑在区间(0,)+∞上连续且可导.证：(1)对任意的[,)x δ∈+∞和任意的正整数n ，0nx n ne ne δ−−<<，而1,e n δδ−−=→<→+∞，说明1nn neδ+∞−=∑收敛，根据M 判别法，函数项级数1nx n ne +∞−=∑在[,)(0)δδ+∞>一致收敛.记()nx n u x ne −=，对任意的正整数n ，取1(0,)n x n=∈+∞， 1()0,n n u x ne n −=→+∞，则()nxn u x ne−=在(0,)+∞不一致收敛于0.故函数项级数1nx n ne +∞−=∑在(0,)+∞不一致收敛. (2) (0,)x ∀∈+∞，存在0δ>，使得(,)x δ∈+∞.因为()nxn u x ne−=在(0,)+∞连续(1,2,)n =，利用(1)，函数项级数1nx n ne +∞−=∑在[,)(0)δδ+∞>一致收敛，所以和函数1()nx n f x ne +∞−==∑在[,)δ+∞上连续，于是它在x 连续.由x 的任意性，1()nx n f x ne +∞−==∑在区间(0,)+∞上连续.对任意的0δ>，/22()nx n n u x n e n e δ−−=−≤，[,),1,2,x n δ∀∈+∞=，而1,e n δδ−−=→<→+∞，说明21nn n eδ+∞−=∑收敛，根据M 判别法，函数项级数/1()n n u x +∞=∑在[,)(0)δδ+∞>一致收敛.根据一致收敛的函数项级数的逐项可导性，1()nx n f x ne +∞−==∑在区间[,)(0)δδ+∞>可导. 同理可得，1()nx n f x ne +∞−==∑在区间(0,)+∞上可导.8.(10分)设1α>，10n n a a +<≤，0,1,2,n =.证明：111n n n n n a a a a α+∞−=−−∑收敛. 证：由条件，{}n a 单调递增，则要么{}n a 有上界要么{}n a 趋于+∞. (1)设{}n a 有上界. 则{}n a 收敛，记lim n n A a →+∞=，显然0A >.利用极限性质，存在0N ，当0n N >时， 2n Aa >. 则当01n N >+时，由条件1α>，那么1111120()()()22n n n n n n n n a a a a a a A A a a A ααα+−−−−−−≤<=−. 由于1001(),nk k n k a a a a A a n −=−=−→−→+∞∑，说明11()n n n a a +∞−=−∑收敛. 利用比较判别法，111n n n n n a a a a α+∞−=−−∑收敛.(2) 设{}n a 无上界，即lim n n a →+∞=+∞.利用极限性质，存在0N ，当0n N >时，1n a >. 则当01n N >+时，由条件1α>，那么11111110n n n n n n n n n na a a a a a a a a a α−−−−−−−≤≤=−. 由于 110011111(),nk k k n n a a a a a =−−=−→→+∞∑，说明1111()n n n a a +∞=−−∑收敛. 利用比较判别法，111n n n n n a a a a α+∞−=−−∑收敛.。

西华大学高等数学考核参考答案(A 卷)

2a
2a
(0, 1 ) 是凸区间，[ 1 , + ∞)是凹区间， ( 1 , 1− ln 2a)是拐点。
2a
2a
2a 2
x
∫ 3、解：首先，当 x ≠ 0 时，令 xt = s ，则
g(x) =
1
f (xt)dt =
f (s)ds
0
∫0
x
x
∫ xf (x) − f (s)ds
gʹ(x) =
0
x2
其次，当 x = 0 时，由 f (x) 连续， lim f (x) = 2，知 x→0 x
0
0
6
五、参考答案及评分标准
证：设 F (x) = f (x) − x，则 F (x) 在[0, 1]上连续，在 (0, 1) 内可导，且 Fʹ(x) = f ʹ(x) −1
因为 F(0) = 0, F(1) = f (1) − 1 = 1 > 0, F(1) = f (1) −1 = −1 < 0 2 2 22 1
0
2 π
(sin
x
−
cos
x)dx
4
π
π
=
[sin
x
+
cos
]x 4 0
+ [− cos
x
− sin
]x
2 π
=
2(
2 −1)
4
1 x2
1 x cos x
∫ ∫ 3、原式=
−11+ x2 dx +
dx −1 1+ x2
1
1
∫ = 2 0 (1− 1+ x2 )dx + 0
+∞ exdx

数学分析2期末考试题库完整

数学分析2期末试题库《数学分析II 》考试试题（1）一、叙述题：（每小题6分，共18分）1、牛顿-莱不尼兹公式2、∑∞=1n na收敛的cauchy 收敛原理3、全微分二、计算题：（每小题8分，共32分）1、4202sin limx dt t x x ⎰→2、求由曲线2x y =和2y x =围成的图形的面积和该图形绕x 轴旋转而成的几何体的体积。

3、求∑∞=+1)1(n nn n x 的收敛半径和收敛域，并求和4、已知zy x u = ，求yx u∂∂∂2三、（每小题10分，共30分）1、写出判别正项级数敛散性常用的三种方法并判别级数2、讨论反常积分⎰+∞--01dx e x x p 的敛散性3、讨论函数列),(1)(22+∞-∞∈+=x n x x S n 的一致收敛性四、证明题（每小题10分，共20分）1、设)2,1(11,01 =->>+n n x x x n n n ，证明∑∞=1n n x 发散 2、证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(222222y x y x y x xy y x f 在（0，0）点连续且可偏导，但它在该点不可微。

，一、叙述题：(每小题5分，共10分）1、叙述反常积分a dx x f ba,)(⎰为奇点收敛的cauchy 收敛原理2、二元函数),(y x f 在区域D 上的一致连续二、计算题：（每小题8分，共40分） 1、)212111(lim nn n n +++++∞→ 2、求摆线]2,0[)cos 1()sin (π∈⎩⎨⎧-=-=t t a y t t a x 与x 轴围成的面积3、求⎰∞+∞-++dx x xcpv 211)(4、求幂级数∑∞=-12)1(n nn x 的收敛半径和收敛域 5、),(y x xy f u =，求yx u∂∂∂2三、讨论与验证题：（每小题10分，共30分）1、yx y x y x f +-=2),(，求),(lim lim ),,(lim lim 0000y x f y x f x y y x →→→→；),(lim )0,0(),(y x f y x →是否存在？为什么？2、讨论反常积分⎰∞+0arctan dx x xp的敛散性。

2021-2022学年数学分析第二学期期末考试(含答案)

2021-2022学年第二学期期末《数学分析》一.填空题 ( 每题5分,共30分 )1. 已知势函数 2u x yz =，则其梯度 grad u = ，其梯度的散度 ()div grad u = 。

2. 曲面:ln x z y y ⎛⎫∑=+ ⎪⎝⎭在点0(1,1,1)P 处的单位法向量为 ,在该点处的切平面方程为 .3. 设22()d ,x x u x f x e u -=⎰ 则'()f x = .4. 设Γ是以(0,0),(1,0),(0,1)O A B 为顶点的三角形的边界,则曲线积分()x y ds Γ+⎰ = .5. 设Ω是由锥面z =和上半球面 z = 围成的空间区域，则三重积分222()d f xy z V Ω++⎰⎰⎰ 在球坐标系下的累次积分为.6. 利用Γ函数和B 函数的性质，可知 2560sin cos d x x x π⎰ = .二. 计算题 (10分) 计算二重积分D，其中 D 是由22221x y a b += 所围的平面区域。

设Γ是任意一条包围着原点（不经过原点）的分段光滑、逆时针定向曲线，试计算曲线积分22.2xdy ydxx y Γ-+⎰四. 计算题 (10分)设∑为曲面 )20(222≤≤+=z y x z 的下侧．计算曲面积分33()d d ()d d 2()d d x y y z y z z x x y z x y ∑++-++-⎰⎰．计算曲线积分22I y dx xdy z dz Γ=-++⎰，其中Γ是平面2y z +=与柱面221x y +=的交线，从Oz 轴正向往下看为逆时针方向.六.计算题 (10分)计算双曲面z xy = 被围在圆柱面222x y a +=内部的面积．设()f x 是[,]a b 上的连续函数，利用二重积分性质证明不等式22()d ()()d b b a a f x x b a f x x ⎡⎤≤-⎢⎥⎣⎦⎰⎰八. 证明题 (10分)设(,)f x u 在[,][,]a b αβ⨯上连续，证明对任意 0[,]u αβ∈，总有0lim (,)d (,)d b baau u f x u x f x u x →=⎰⎰设Ω为闭区域，∂Ω是Ω的边界外侧，n是∂Ω的单位外法向量。

《数学分析II》期末试卷+参考答案

《数学分析（II ）》试题2004.6一．计算下列各题：1．求定积分∫+e x x dx 12)ln 2(；2．求定积分； ∫−222),1max(dx x3．求反常积分dx x x ∫∞++021ln ；4．求幂级数()∑∞=−+1221n n n x n n 的收敛域；5．设，求du 。

yz x u =二．设变量代换可把方程⎩⎨⎧+=−=ay x v y x u ,20622222=∂∂−∂∂∂+∂∂y z y x z x z 简化为02=∂∂∂v u z ，求常数。

a三．平面点集(){}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎟⎠⎞⎜⎝⎛L U ,2,11sin ,10,0n n n是否为紧集？请说明理由。

四．函数项级数n nn n x x n +⋅−∑∞=−1)1(11在上是否一致收敛？请说明理由。

]1,0[五．设函数在上连续，且满足)(x f ),(∞+−∞1)1(=f 和)arctan(21)2(20x dt t x tf x =−∫。

求。

∫21)(dx x f六．设函数在上具有连续导数，且满足)(x f ),1[∞+1)1(=f 和22)]([1)(x f x x f +=′，+∞<≤x 1。

证明：存在且小于)(lim x f x +∞→41π+。

七．设如下定义函数：dt t t x f x x t1sin 21)(2∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=，。

1>x 判别级数∑∞=2)(1n n f 的敛散性。

八．设∫=40cos sin πxdx x I n n （L ,2,1,0=n ）。

求级数的和。

∑∞=0n n I《数学分析（II ）》试题（答案）2004.6一．1．421π⋅； 2．320； 3．； 4． 0)2/1,2/1(−； 5．⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=xdz y xdy z dx x yz x dz yz ln ln 。

二．。

3=a 三．是紧集。

四．一致收敛。

五．43。

六．因为，所以单调增加，因此0)(>′x f )(x f 1)1()(=>f x f 。

2020年新编数学分析第二学期期末考试题及答案名师资料

数学分析第二学期考试题分，4一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题分）共32)xf(a,b）]上可积的必要条件是（在[1、函数 b、有原函数 C 、无间断点 DA、连续 B、有界)f(x a,a上可积，则（ b 是奇函数，且在[-2、函数）]aaa???0?f(x2x)dx?)f(x)dxdxf( A、 B、a?0?aaaa???)adx?2ff(x)dx(f(x?f(x)dx?2)、、 DC aa?0? a ）3、下列广义积分中，收敛的积分是（111????11????xdxsindxdxdx C、 B、、A、 D 3xxx0101?????aa lima?0的（收敛是 c 、级数）部分和有界且4nnnn??1n?n?1A 、充分条件 B、必要条件 C、充分必要条件 D 、无关条件5、下列各积分中可以直接运用牛顿-莱布尼兹公式求值的是（ a ）11e??xdxarcsindx、 A、 B1xlnx0e xsin111??dxdx D、 C、x21?0x?16、下面结论错误的是（ b ）f(x)[a,b]f(x)[a,b]上必有界；A、若上可积，则在在b?f(x)dx ),bx()(af存在； B、若在内连续，则a)xf(,ab]]f(x)[[a,b上可积，则C、在上必可积；在若f(x)[a,b]f(x)[a,b]上必可积。

在若D、上单调有界，则在7、下列命题正确的是（ d ）?a(x)ab一致收敛必绝对收敛B、] ，[在n1?n ??(xa)ab]绝对收敛必一致收敛A、[，在n1?n??a(x)ab] 条件收敛必收敛，D、在??(xa)0?x)|lim|a(ab]必绝对收敛，，则在C、若[ nn?n?1n??[ n1?n?1?n1n?2)1(x?、 8的和函数为（ c ）1?2n0?nx xcose)ln(1?x xsin D 、、、 CA、B 28分）：（每小题7分，共二、计算题922??dx1x)dx?4?xf(2(fx) 9、，求。

西华大学期末数学试卷答案

一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列函数中，在定义域内连续的是（）A. f(x) = |x|，x∈RB. f(x) = x^2，x∈RC. f(x) = 1/x，x∈R，x≠0D. f(x) = sin(x)，x∈R答案：A2. 下列极限中，正确的是（）A. lim(x→0) (x^2 - 1)/(x - 1) = 2B. lim(x→0) (sinx/x) = 1C. lim(x→0) (1 - cosx)/x = 0D. lim(x→0) (x^2 - 1)/(x^2 + 1) = 1答案：B3. 函数f(x) = x^3 - 3x + 2在区间[-2, 2]上的最大值是（）A. 2B. 5C. 8D. 9答案：C4. 若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则f(x)在区间[a, b]上的最大值和最小值（）A. 必定存在B. 必定不存在C. 存在且唯一D. 存在但不唯一答案：A5. 已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x + 1，求f'(1)的值（）A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B二、填空题（每题5分，共25分）6. 若lim(x→0) (f(x) - 3x^2) = 0，则f(0) = __________。

答案：07. 函数f(x) = x^2 + 2x + 1的对称轴方程是 __________。

答案：x = -18. 若函数f(x)在区间[0, 2]上单调递增，则函数f(x)在区间[-2, 0]上的单调性是 __________。

答案：单调递减9. 已知函数f(x) = (x - 1)/(x + 2)，则f(x)的奇偶性是 __________。

答案：奇函数10. 若函数f(x)在区间[0, +∞)上单调递增，则函数f(x)在区间(-∞, 0]上的单调性是 __________。

答案：单调递减三、解答题（每题20分，共60分）11. 求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1的导数。

西华大学期末数学试卷

一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列函数中，在其定义域内连续的是：A. $f(x) = \frac{1}{x}$，定义域为{x|x≠0}B. $f(x) = |x|$，定义域为{x|x∈R}C. $f(x) = \sqrt{x}$，定义域为{x|x≥0}D. $f(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$，定义域为{x|x∈R}2. 下列数列中，收敛到0的是：A. $a_n = \frac{1}{n}$B. $a_n = (-1)^n$C. $a_n = n$D. $a_n = \sqrt{n}$3. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$，则$f'(1)$的值为：A. 0B. 1C. 2D. 34. 下列极限中，存在且等于1的是：A. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$B. $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}$C. $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x}$D. $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}$5. 设向量$\mathbf{a} = (1, 2, 3)$，$\mathbf{b} = (3, 2, 1)$，则$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$的值为：A. 14B. 10C. 8D. 6二、填空题（每题5分，共25分）6. 函数$f(x) = e^x - e^{-x}$的导数$f'(x)$为________。

7. 数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = 3n^2 - 2n + 1$，则数列的前n项和$S_n$为________。

8. 矩阵$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$的行列式$\left|\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} \right|$的值为________。

西华师大大一考试题

西华师大大一年级本科数学分析期末考试试题
一、判断题（正确的记（√），错误的记（×））（共18分，每题3分）：
1.设错误！未找到引用源。

在错误！未找到引用源。

上连续，错误！未找
到引用源。

与错误！未找到引用源。

分别是错误！未找到引用源。

的最大值和最小值，则对于任何数错误！未找到引用源。

，均存在错误！未找到引用源。

，使得错误！未找到引用源。

( )
2.设错误！未找到引用源。

在错误！未找到引用源。

内可导，且错误！未
找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

（）
3.设错误！未找到引用源。

的极限存在，错误！未找到引用源。

的极限不
存在，则错误！未找到引用源。

的极限未必不存在. （）
4.如错误！未找到引用源。

是函数错误！未找到引用源。

的一个极值点，
则错误！未找到引用源。

（）
5.存在这样的函数，它在有限区间中有无穷多个极大值点和无穷多个极小
值点。

（）
二、计算下列极限：（18分）
三、计算下列函数的导数：（20分）
16.设错误！未找到引用源。

二阶可导，求错误！未找到引用源。

四、计算不定积分（12分）：
七、（8分）求母线为错误！未找到引用源。

的圆锥之最大体积。