您的位置：360文档中心› 山东省济宁市邹城一中2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题(解析版)

山东省济宁市邹城一中2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题(解析版)

合集下载

山东省济宁市邹城一中2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题

山东省济宁市邹城一中2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题

【全国百强校】山东省济宁市邹城一中2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若复数()2z i i =+，则其虚部为（ ） A ．-1B ．2C ．-2D ．2i2．设函数()()2017ln f x x x =+（e 为自然对数的底数）.若()0'2018f x =，则0x =（ ） A ．eB ．2eC ．ln 2D ．13．由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是（ ） A ．正方形的对角线相等 B ．平行四边形的对角线相等 C ．正方形是平行四边形D ．以上均不正确4．函数()f x 的定义域为(),a b ，其导函数()f x '在(),a b 的图象如图所示，则函数()f x 在(),a b 内的极小值点个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．15．利用数学归纳法证明不等式()()1111++++,2,232nf n n n N +<≥∈的过程中，由n k =变成1n k =+时，左边增加了（ ） A ．1项 B ．k 项C ．12k -项D ．2k 项6．①已知332p q +=，求证2p q +≤，用反证法证明时，可假设2p q +>；②设a为实数，2()f x x ax a =++，求证(1)f 与(2)f 中至少有一个不小于12，由反证法证明时可假设1(1)2f ≥，且1(2)2f ≥，以下说法正确的是（ ） A ．①与②的假设都错误B ．①与②的假设都正确C ．①的假设正确，②的假设错误D ．①的假设错误，②的假设正确7．下列类比推理中,得到的结论正确的是（ ）A ．把长方体与长方形类比，则有长方体的对角线平方等于长、宽、高的平方和B ．把()log ax y +与()a b c +类比，则有()log log log a a a x y x y +=+C ．向量,a b 的数量积运算与实数,a b 的运算性质ab a b =类比，则有a b a b⋅=D ．把()na b +与()nab 类比，则有()nn n a b a b +=+8．函数()()21x f x x e =-的(e 为自然对数的底数)递增区间为（ ）A ．(,)-∞+∞B ．1(,)2+∞C ．1(,)2-∞-D ．1(,)2-+∞9．如下图所示，阴影部分的面积为（ ）A ．76B ．1C ．23D ．1210．函数()321343f x x x x =+--在[]0,2上的最小值是（ ）A ．173-B ．103-C ．4-D ．1-11．2021年4月我市事业编招考笔试成绩公布后，甲、乙、丙、丁四位同学同时报考了教育类的高中数学职位，他们的成绩有如下关系：甲、乙的成绩之和与丙、丁成绩之和相同，乙、丁成绩之和大于甲、丙成绩之和，甲的成绩大于乙、丙成绩之和.那么四人的成绩最高的是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁12．已知()f x 是定义在R 上的函数，其导函数()'f x 满足()()'f x f x <（x ∈R ，e 为自然对数的底数），则（ ）A ．()()220f e f >，()()201820180f e f >B ．()()220f e f <，()()201820180f e f >C ．()()220f e f <，()()201820180f e f <D ．()()220f e f >，()()201820180f e f <二、填空题13．设复数z 满足()1234i z i +=-（i 为虚数单位），则z 的值为__________． 14．已知力()1xF x e =+（e 为自然对数的底数）且和x 轴正方向相同.若力()F x 作用在质点P 上，并从点10x =处运动到21x =处，则()F x 对质点P 所做的功是__________． 15．设函数()()21ln 22f x x b x =-+在[)1,-+∞上是增函数，则实数b 的取值范围是__________．16．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦B·曼德尔布罗特(BenoitB ．Mandelbrot)在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统众多领域的难题提供了全新的思路．如图是按照分形的规律生长成的一个树形图，则第10行的空心圆的个数是__________．三、解答题17．已知复数()()()121z m m m i =-++- (m R ∈，i 为虚数单位) (1)若z 是纯虚数，求实数m 的值； (2)若2m =，设1z ia bi z +=+- (,ab ∈R )，试求+a b . 18．已知a ，b 为正实数．(1)求证：22a b b a＋≥a ＋b ；(2)利用(1)的结论求函数y ＝22(1)1x x x x－＋－(0<x <1)的最小值． 19．已知一企业生产某产品的年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元，设该企业年内共生产此种产品x 千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为f （x ）万元，且f （x ）＝22110.8,010301081000,103x x x xx ⎧-<≤⎪⎪⎨⎪->⎪⎩（1）写出年利润W （万元）关于年产品x （千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大？（注：年利润＝年销售收入－年总成本）20．已知数列{}n a 满足：132a =，()()121141431n n n n a a n n a n n +-=++--+. （Ⅰ）试求数列2a ，3a ，4a 的值；（Ⅱ）请猜想{}n a 的通项公式n a ，并运用数学归纳法证明之. 21．已知：0b a e <<<，其中e 是自然对数的底数，,a b ∈R . （1）试猜想b a 与a b 的大小关系； （2）请对你得出的结论写出证明过程. 22．已知函数()ln a f x x x=+，()xg x e bx -=+，,a b R ∈，e 为自然对数的底数. （Ⅰ）若函数()y g x =在R 上存在零点，求实数b 的取值范围； （Ⅱ）若函数()y f x =在1x e=处的切线方程为e 20x y b +-+=.求证：对任意的()0,x ∈+∞，总有()()f x g x >.参考答案1．B 【解析】分析：利用复数的运算法则进行求解． 详解：因为()22=212z i i i i i =++=-+，所以复数的虚部为2.点睛：本题考查复数的运算法则等知识，意在考查学生的基本计算能力． 2．D 【解析】分析：利用函数的求导法则求导，再代值求导． 详解：因为()()2017ln f x x x =+，所以数()2018ln f x x '=+， 若()0'2018f x =，所以0x =1点睛：本题考查导数的运算法则等知识，意在考查学生的基本计算能力． 3．A 【分析】三段论是由两个含有一个共同项的性质判断作前提得出一个新的性质判断为结论的演绎推理．在三段论中，含有大项的前提叫大前提，如本例中的“平行四边形的对角线相等”；含有小项的前提叫小前提，如本例中的“正方形是平行四边形”．另外一个是结论． 【详解】演绎推理三段论可得“三段论”推理出一个结论，则这个结论是：”正方形的对角线相等“， 故选A ． 【点睛】三段论推理是演绎推理中的一种简单判断推理．它包含两个性质判断构成的前提，和一个性质判断构成的结论．一个正确的三段论有仅有三个词项，其中联系大小前提的词项叫中项；出现在大前提中，又在结论中做谓项的词项叫大项；出现在小前提中，又在结论中做主项的词项叫小项． 4．D【分析】根据图象判断导函数的正负情况，可以得到函数的单调性，然后得到答案. 【详解】从()f x '的图象可知()f x 在(,)a b 内从左到右的单调性依次为增→减→增→减， 根据极值点的定义可知在(,)a b 内只有一个极小值点，极小值点为2x ． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查函数的极值点和导数正负的关系．属基础题． 5．D 【分析】分别写出n k =、1n k =+时，不等式左边的式子，从而可得结果. 【详解】当n k =时，不等式左边为1111232k ++++，当1n k =+时，不等式左边为1111111232212k k k +++++++++，则增加了112(21)1222k k k k k ++-++=-=项，故选D. 【点睛】项数的变化规律，是利用数学归纳法解答问题的基础，也是易错点，要使问题顺利得到解决，关键是注意两点：一是首尾两项的变化规律；二是相邻两项之间的变化规律. 6．C 【解析】 【分析】反证法应用时，要对结论进行否定；或命题的否定为且命题，分别判断即可. 【详解】解：①已知：p 3+q 3=2，求证：p+q≤2．用反证法证明时，假设应为p+q >2，所以①正确； ②设a 为实数，f （x ）=x 2+ax+a ，求证：|f （1）|与|f （2）|中至少有一个不大于12． 用反证法证明时假设应为|f （1）|>12且|f （2）|>12，所以②错误。

山东省济宁市2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题(解析版)

山东省济宁市2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题(解析版)

2017~2018学年度下学期质量检测高二数学(理科)试题2018.07第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数在平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】分析：先化简复数z,再判断其在平面内对应的点在第几象限.详解：由题得，所以复数z在平面内对应的点为，所以在平面内对应的点在第二象限.故答案为：B.点睛：（1）本题主要考查复数的计算和复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数对应的点是（a,b）,点（a,b）所在的象限就是复数对应的点所在的象限.复数和点（a,b）是一一对应的关系.2. 已知随机变量服从正态分布，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先根据正态分布得再求最后求得=0.34.详解：由正态分布曲线得所以所以=0.5-0.16=0.34.故答案为：C.点睛：（1）本题主要考查正态分布曲线的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合思想和方法.（2）解答本题的关键是数形结合，要结合正态分布曲线的图像和性质解答，不要死记硬背.3. 用反证法证明命题“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设时（）A. 方程没有实根B. 方程至多有一实根C. 方程至多有两实根D. 方程恰好有两实根【答案】A【解析】分析：反证法证明命题时，假设结论不成立。

至少有一个的对立情况为没有。

故假设为方程没有实根。

详解：结论“方程至少有一个实根”的假设是“方程没有实根。

”点睛：反证法证明命题时，应假设结论不成立，即结论的否定成立。

常见否定词语的否定形式如下：4. “因为偶函数的图象关于轴对称，而函数是偶函数，所以的图象关于轴对称”.在上述演绎推理中，所以结论错误的原因是（ ） A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 大前提与推理形式都错误 【答案】B【解析】分析：因为函数不是偶函数，是一个非奇非偶函数，所以小前提错误.详解：因为,所以，所以函数f(x)不是偶函数，所以小前提错误.故答案为：B.点睛：本题主要考查演绎推理中的三段论和函数奇偶性的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平. 5. 若随机变量的分布列为（ ）且，则随机变量的方差等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：先根据已知求出a,b 的值，再利用方差公式求随机变量的方差.详解：由题得所以故答案为:D.点睛：（1）本题主要考查分布列的性质和方差的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)对于离散型随机变量，如果它所有可能取的值是，，…，，…，且取这些值的概率分别是，，…，，那么＝＋＋…＋,称为随机变量的均方差，简称为方差，式中的是随机变量的期望．6. 盒中有只螺丝钉，其中有只是不合格的，现从盒中随机地取出只，那么恰有只不合格的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：利用古典概型求恰有只不合格的概率.详解：由古典概型公式得故答案为：A.点睛：（1）本题主要考查古典概型，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)古典概型的解题步骤:①求出试验的总的基本事件数；②求出事件A所包含的基本事件数；③代公式=.7. 函数的图象在点处的切线方程是，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先求出和，再求即得.详解：由题得因为函数的图象在点处的切线方程是，所以所以故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查求导和导数的几何意义，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是8. 在极坐标中，点到圆的圆心的的距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先把点的坐标和圆的方程都化成直角坐标方程，再求点到圆心的距离得解.详解：由题得点的坐标为，因为，所以，所以圆心的坐标为（2,0），所以点到圆心的距离为，故答案为：C.点睛：（1）本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，考查两点间的距离的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平. （2）极坐标化直角坐标的公式为9. 设，下列不等式中正确的是（）①②③④A. ①和②B. ①和③C. ①和④D. ②和④【答案】C【解析】分析：利用绝对值三角不等式等逐一判断.详解：因为ab>0,所以a,b同号.对于①，由绝对值三角不等式得，所以①是正确的；对于②，当a,b同号时，，所以②是错误的；对于③，假设a=3,b=2,所以③是错误的；对于④，由绝对值三角不等式得，所以④是正确的.故答案为：C.点睛：（1）本题主要考查绝对值不等式，意在考查学生对该知道掌握水平和分析推理能力.(2)对于类似这样的题目，方法要灵活，有的可以举反例，有的可以直接证明判断.10. 已知圆柱的轴截面的周长为，则圆柱体积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析: 设圆柱的底面半径为r，高为h，则4r+2h=12，即2r+h=6，利用基本不等式，可求圆柱体积的最大值．详解:设圆柱的底面半径为r，高为h，则4r+2h=12，即2r+h=6，∴2r+h=r+r+h≥3，∴r2h≤∴V=πr2h≤64π，∴圆柱体积的最大值为64π，点睛: (1)本题主要考查圆柱的体积和基本不等式,意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，三者缺一不可.11. 甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据题意，记甲击中目标为事件A，乙击中目标为事件B，目标被击中为事件C，由相互独立事件的概率公式，计算可得目标被击中的概率，进而由条件概率的公式，计算可得答案．详解：根据题意，记甲击中目标为事件A，乙击中目标为事件B，目标被击中为事件C，则P（C）=1﹣P（）P（）=1﹣（1﹣0.8）（1﹣0.5）=0.9；则目标是被甲击中的概率为P=.故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查独立事件的概率和条件概率，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)条件概率的公式:，=.条件概率一般有“在已发生的条件下”这样的关键词，表明这个条件已经发生，发生了才能称为条件概率.但是有时也没有，要靠自己利用条件概率的定义识别.12. 已知椭圆（为参数）与轴正半轴，轴正半轴的交点分别为，动点是椭圆上任一点，则面积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据椭圆的方程算出A（4，0）、B（0，3），从而得到|AB|=5且直线AB：3x+4y﹣12=0．设点P（4cosθ，3sinθ），由点到直线的距离公式算出P到直线AB距离为d=|sin﹣1|，结合三角函数的图象与性质算出d max=（），由此结合三角形面积公式，即可得到△PAB面积的最大值．详解：由题得椭圆C方程为：，∴椭圆与x正半轴交于点A（4，0），与y正半轴的交于点B（0，3），∵P是椭圆上任一个动点，设点P（4cosθ，3sinθ）（θ∈[0，2π]）∴点P到直线AB：3x+4y﹣12=0的距离为d==|sin﹣1|，由此可得：当θ=时，d max=（）∴△PAB面积的最大值为S=|AB|×d max=6（）.点睛：(1)本题主要考查椭圆的参数方程和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力计算能力.(2)对于|sin﹣1|，不是sin=1时，整个函数取最大值，而应该是sin=-1，要看后面的“-1”.13. 函数的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：直接利用柯西不等式求函数的最大值.详解：由柯西不等式得，所以（当且仅当即x=时取最大值）故答案为：B.点睛：（1）本题主要考查柯西不等式求最值，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 二元柯西不等式的代数形式：设均为实数，则，其中等号当且仅当时成立.14. 已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由f（x）的导函数形式可以看出e x﹣kx=0在（0，+∞）无变号零点，令g（x）=e x﹣kx，g′（x）=e x﹣k，需要对k进行分类讨论来确定导函数为0时的根．详解：∵函数的定义域是（0，+∞），∴f′（x）=．x=1是函数f（x）的唯一一个极值点∴x=1是导函数f′（x）=0的唯一根．∴e x﹣kx=0在（0，+∞）无变号零点，令g（x）=e x﹣kxg′（x）=e x﹣k①k≤0时，g′（x）＞0恒成立．g（x）在（0，+∞）时单调递增的g（x）的最小值为g（0）=1，g（x）=0无解②k＞0时，g′（x）=0有解为：x=lnk0＜x＜lnk时，g′（x）＜0，g（x）单调递减lnk＜x时，g′（x）＞0，g（x）单调递增∴g（x）的最小值为g（lnk）=k﹣klnk∴k﹣klnk＞0∴k＜e，由y=e x和y=ex图象，它们切于（1，e），综上所述，k≤e．故答案为：A．点睛：（1）本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查利用导数研究函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是分析转化e x﹣kx=0在（0，+∞）无变号零点.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）15. 若复数满足，其中为虚数单位，则__________．【答案】【解析】分析：先设,再代入，利用复数相等的概念得到z,再求.详解：设，代入得所以，故答案为：.点睛：（1）本题主要考查复数的计算和复数的模，考查复数相等的概念，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.(2)求复数z可以利用直接法和待定系数法，本题利用的是待定系数法.16. 由曲线与所围成的封闭图形的面积为__________．【答案】【解析】分析：由题得曲线与所围成的封闭图形的面积为，再计算得解.详解：因为，所以.联立所以曲线与所围成的封闭图形的面积为，所以.故答案为：点睛：（1）本题主要考查定积分求面积和微积分基本原理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力计算能力.(2)）图中阴影部分的面积S=17. 从位女生，位男生中选了人参加数学、物理、化学竞赛，每个学科各人，且至多有位女生参赛，则不同的参赛方案共有__________种.(用数字填写答案)．【答案】【解析】分析：分只有一个女生和没有女生两种情况讨论求不同的参赛方案总数.详解：当只有一个女生时，先选一个女生有种选法，再从4个男生里面选2个男生有种方法，再把选出的3个人进行排列有种方法，所以有种方法.当没有女生时，直接从4个男生里选3个排列有种方法.所以共有种方法，故答案为：96.点睛:(1)本题主要考查排列组合的综合，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力分类讨论思想方法.(2)排列组合常用方法：一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.18. 已知定义在上的函数满足（其中为的导函数）且，则不等式的解集是__________．【答案】【解析】分析：根据题意，令g（x）=，对其求导可得g′（x），分析可得g′（x）＜0，即函数g（x）为减函数；结合f（1）=e可得g（1）=，则不等式f（x）＞e x⇔＞1⇔g（x）＞1⇔g（x）＞g（1），借助函数的单调性分析可得答案．详解：根据题意，令g（x）=，则其导数g′（x）=，又由f′（x）＜f（x），则有g′（x）＜0，即函数g（x）为减函数；且g（1）=；则不等式f（x）＞e x⇔＞1⇔g（x）＞1⇔g（x）＞g（1），又由函数g（x）为减函数，则有x＜1；则不等式f（x）＞e x的解集为（-∞,1）；故答案为：．点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调性和解不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化能力.(2)解答本题的关键是构造函数g（x）=求其单调性,再利用单调性解不等式g（x）＞g（1）.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19. 已知的展开式中所有项的系数和为.（1）求的展开式中二项式系数最大的项；（2）求的展开式中的常数项.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）先根据展开式中所有项的系数和为得到n=6,再求展开式中二项式系数最大的项.(2)先求出的展开式中的一次项和常数项，再求的展开式中的常数项.详解：（1）由题意，令得，即，所以展开式中二项式系数最大的项是第项，即.（2）展开式的第项为.,由，得；由，得.所以的展开式中的常数项为.点睛：（1）本题主要考查二项式定理，考查二项式展开式的系数和二项式系数，考查展开式中的特定项，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)本题的难点在第2问，展开式的常数项有两种生成方式，一是由（x+2）的一次项“x”和的“”项相乘得到，二是由（x+2）的常数项“2”和的常数项相乘得到，再把两个相加即得.20. 某种农作物可以生长在滩涂和盐碱地，它的灌溉是将海水稀释后进行灌溉.某实验基地为了研究海水浓度对亩产量(吨)的影响,通过在试验田的种植实验,测得了该农作物的亩产量与海水浓度的数据如下表：海水浓度亩产量残差绘制散点图发现,可以用线性回归模型拟合亩产量(吨)与海水浓度之间的相关关系，用最小二乘法计算得与之间的线性回归方程为.（1）求的值；（2）统计学中常用相关指数来刻画回归效果，越大，回归效果越好，如假设，就说明预报变量的差异有是解释变量引起的.请计算相关指数(精确到),并指出亩产量的变化多大程度上是由浇灌海水浓度引起的？（附：残差，相关指数，其中）【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）先求出，再代入方程即得的值；再求，最后利用残差定义求m,n.(2)直接利用相关指数公式求相关指数，并指出亩产量的变化多大程度上是由浇灌海水浓度引起的.详解：（1）因为,,所以，即,所以线性回归方程为,所以,.（2）,所以相关指数,故亩产量的变化有是由海水浓度引起的.点睛：（1）本题主要考查回归方程的性质和残差，考查相关指数，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.(2) 称为样本点的中心，回归直线过样本点的中心.21. 观察下列等式：；；；；……（1）照此规律，归纳猜想第个等式；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】分析：（1）第个等式为.(2)利用个数学归纳法证明猜想. 详解：（1）第个等式为；（2）用数学归纳法证明如下：①当时，左边，右边,所以当时，原等式成立.②假设当时原等式成立，即,则当时，,所以当时，原等式也成立.由①②知，（1）中的猜想对任何都成立.点睛：（1）本题主要考查归纳猜想和数学归纳法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是证明n=k+1时，=.22. 2018年6月14日，第二十一届世界杯尼球赛在俄罗斯拉开了帷幕，某大学在二年级作了问卷调查,从该校二年级学生中抽取了人进行调查,其中女生中对足球运动有兴趣的占，而男生有人表示对足球运动没有兴趣. （1）完成列联表,并回答能否有的把握认为“对足球是否有兴趣与性别有关”？（2）若将频率视为概率,现再从该校二年级全体学生中,采用随机抽样的方法每饮抽取名学生,抽取次，记被抽取的名学生中对足球有兴趣的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列和数学期望.附:【答案】（1）有；（2）.【解析】分析：（1）根据已知数据完成2×2列联表，计算，判断有的把握认为“对足球有兴趣与性别有关”.（2）先求得从大二学生中抽取一名学生对足球有兴趣的概率是，再利用二项分布求的分布列和数学期望.详解：（1）根据已知数据得到如下列联表：根据列联表中的数据，得到,所以有的把握认为“对足球有兴趣与性别有关”.（2）由列联表中数据可知，对足球有兴趣的学生频率是，将频率视为概率，即从大二学生中抽取一名学生对足球有兴趣的概率是，有题意知,,,,从而的分布列为.点睛：(1)本题主要考查独立性检验，考查随机变量的分布列和期望，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)若～则23. 已知函数，其中为自然对数的底数.（1）若，求的最小值；（2）若，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】分析：（1）先利用导数求函数的单调区间，再求的最小值.(2)先求的最小值为,再证明＞0.详解：（1）若，,所以,设，则所以在上为增函数，又，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以的最小值为.（2）由题意知当时，显然成立.当时，由（1）知在上为增函数，因为,所以存在唯一的使得，即,所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以的最小值为,,,当且仅当，即时取等号.代入得，矛盾，所以等号不能成立.所以，所以.点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调区间和最值，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化能力.(2)解答本题有两个难点，其一是求得的最小值为,其二是证明＞0，用到了基本不等式，同时要注意取等的问题. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.24. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，已知点，直线（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线的交点为，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：(1)直接代极坐标公式得到曲线的直角坐标方程.(2) 把直线的参数方程代入，得,再利用直线参数方程t的几何意义解答.详解：（1）对于曲线，两边同乘以可得，即,所以它的直角坐标方程为.（2）把直线的参数方程代入，得,所以,因为点在直线上，所以,因为,所以,所以.点睛：（1）本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本运算能力.(2) 过定点、倾斜角为的直线的参数方程（为参数）.当动点在定点上方时,. 当动点在定点下方时,.25. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若关于的不等式有实数解，求的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】分析：（1）利用零点分类讨论法解不等式.(2)先求的最小值为,再解不等式得的取值范围.详解：（1）由题意的：,两边平方得：,即，解得或，所以原不等式的解集为.（2）,所以的最小值为,所以，即或,亦即或.点睛：（1）本题主要考查绝对值不等式的解法和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分类讨论思想方法.(2)解答本题的关键是求的最小值，这里利用了三角绝对值不等式求最值.。

2017-2018学年(新课标)最新山东省济宁市高二下期末数学试卷(理科)(有答案)-精品试题

2017-2018学年(新课标)最新山东省济宁市高二下期末数学试卷(理科)(有答案)-精品试题

2017-2018学年山东省济宁市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合題目要求的.1．复数z=（i为虚数单位）的共轭复数为（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i2．以下三个命题：（1）在回归分析中，可用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好；（2）随机变量X～N（μ，σ2），当μ一定时，σ越小，其密度函数图象越“矮胖”；（3）在回归分析中，比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的，模型的拟合效果越好．其中其命題的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．33．某射击选手每次射击击中目标的概率是0.8，如果他连续射击4次，则这名射手恰有3次击中目标的概率是（）A．C0.83×0.2 B．C0.83C．0.83×0.2 D．C0.8×0.24．如果随机变量ξ～N（﹣1，σ2），且P（﹣2≤ξ≤﹣1）=0.3，则P（ξ≥0）=（）A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.15．用反证法证明命题：“若整数系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠o）有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，应假设（）A．a，b，c中至多一个是偶数 B．a，b，c中至少一个是奇数C．a，b，c中全是奇数D．a，b，c中恰有一个偶数6．某校开设8门选修课程供学生选修，其中A，B，C三门选修课由于上课时间相同，至多选一门．学校规定，每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是（）A．30 B．40 C．90 D．2407．已知随机变量ξ，η满足2ξ+η=9且ξ～B（5，0.4），则E（η），D（η）分别是（）A．2，1.2 B．2，2.4 C．5，2.4 D．5，4.88．2016年6月9日是“端午节”，小明的妈妈为小明煮了6个粽子，其中腊肉馅2个，豆沙馅4个，小明随机取出两个，事件A=“取到的两个为同一种馅”，事件B=“取到的两个都是豆沙馅”，则P（B|A）=（）A．B．C．D．9．由曲线y=x，y=x3围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．10．设f（x）是定义在R上的减函数，其导函数为f′（x），且满足+x＜2016．下面不等式正确的是（）A．f（x）＞0 B．f（x）＜0 C．2f D．2f二、填空题：本大题共5小题，毎小题5分，共25分.11．如图所示，在复平面内，复数z1和z2对应的点分别是A和B，则复数z1•z2对应的点在第_______象限．12．函数f（x）=x3﹣3x的单调减区间为_______．13．对具有线性相关关系的两个变量x，y，观测得到一组数据如表：若y与x的线性回归方程为的值为=﹣2x+，则的值为_______．14．用1，2，3，4，5，6这六个数字组成没有重复数字的六位数，其中1，3，5三个数字互不相邻的六位数有_______个．15．对于问题：“已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），解关于x的不等式ax2﹣bx+c ＞0”，给出如下一种解法：解：由ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），得a（﹣x）2+b（﹣x）+c＞0的解集为（﹣2，1），即关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为（﹣2，1）．参考上述解法，若关于x的不等式+＜0的解集为（﹣1，﹣）∪（，1），则关于x的不等式+＜0的解集为_______．三、解答题：本大题共6小題，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．巳知a=sinxdx，若二项式（ax﹣）n的展开式中各项系数之和为256．（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中的常数项．17．到“北上广”创业是很多大学生的梦想，从某大学随机抽查了100人进行了问卷调查，得到了如下2×2列联表：己知在这100人中随机抽取1人，抽到想到“北上广”创业的概率是．（1）请将上面的2×2列联表补充完整；（2）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为大学生想到“北上广”创业与性别有关？并说明你的理由；（3）经进一步调查发现，在想到“北上广”创业的20名女大学生中，有5人想到“广州”创业．若从想到“北上广”创业的20名女大学生中任选3人，求在选出的3人中少有2人想到“广州”创业的概率．下面的临界值表仅供参考：（參考公式K2=，其中n=a+b+c+d）18．已知函数f（x）=e2x﹣（x﹣1）2，（e≈2.71828）（1 ）求曲线y=f（x）在点（l，f（1））处的切线方程；（2）设方程f（x）=m﹣1+4x﹣x2在[﹣1，2]上恰有两个不同的实根，求变数m的取值范围．19．高二学生即将升入高三，高三学生参加高校自主招生考试是升入理想大学的一条途径．甲、乙、丙三位同学一起参某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过程相互独立，根据甲中、乙、丙三位同学的平时成绩分析，甲，乙，两三位同学能通过笔试的概率分别是，，；能通过面试的概率分别是，，．（1）求甲、乙、丙三位同学恰有两位通过笔试的概率；（2）设甲、乙、丙三位同学各自经过两次考试后，能被该高校录取的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望E（X）．20．某同学在研究三角形的性质时，发现了有些三角形的三边长有以下规律：①3（3×4+4×5+5×3）≤（3+4+5）2＜4（3×4+4×5+5×3）；②3（6×8+8×9+9×6）≤（6+8+9）2＜4（6×8+8×9+9×6）；③3（3×4+4×6+6×3）≤（3+4+6）2＜4（3×4+4×6+6×3）．分析以上各式的共同特征，试猜想出关于任一三角形三边长a，b，c的一般性的不等式结论，并加以证明．21．已知函数f（x）=ln（x+a）（a∈R），g（x）=．（1）当a=1时，证明：f（x）＞g（x）对于任意的x∈（0，+∞）都成立；（2）求F（x）=f（x）﹣g（x）的极值点；（3）设c1=1，c n+1=ln（c n+1），用数学归纳法证明：c n＞．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合題目要求的.1．复数z=（i为虚数单位）的共轭复数为（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，则复数z的共轭复数可求．【解答】解：由复数z==，则复数z的共轭复数为：1+i．故选：D．2．以下三个命题：（1）在回归分析中，可用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好；（2）随机变量X～N（μ，σ2），当μ一定时，σ越小，其密度函数图象越“矮胖”；（3）在回归分析中，比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的，模型的拟合效果越好．其中其命題的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】对用来衡量模拟效果好坏的几个量，即相关指数、残差平方和、相关系数及残差图中带状区域的宽窄进行分析，残差平方和越小越好，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，R2越大，模型的拟合效果越好，模型的拟合效果越好，即可判断（1），（3）；利用正态曲线的性质，可判断（2）的正确性．【解答】解：用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好，故（1）正确；正态分布N（μ，σ2）曲线中，μ一定时，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”，表示取值越集中，故（2）不正确；可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故（3）正确．故选：C．3．某射击选手每次射击击中目标的概率是0.8，如果他连续射击4次，则这名射手恰有3次击中目标的概率是（）A．C0.83×0.2 B．C0.83C．0.83×0.2 D．C0.8×0.2【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】由已知条件利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式求解．【解答】解：∵某射击选手每次射击击中目标的概率是0.8，他连续射击4次，∴这名射手恰有3次击中目标的概率是：p=．故选：A．4．如果随机变量ξ～N（﹣1，σ2），且P（﹣2≤ξ≤﹣1）=0.3，则P（ξ≥0）=（）A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】利用ξ～N（﹣1，σ2），可得图象关于x=﹣1对称，结合P（﹣2≤ξ≤﹣1）=0.3，即可求得结论．【解答】解：∵ξ～N（﹣1，σ2），∴图象关于x=﹣1对称∵P（﹣2≤ξ≤﹣1）=0.3，∴P（﹣1≤ξ≤0）=0.3，∴P（ξ≥0）=0.5﹣0.3=0.2．故选：C．5．用反证法证明命题：“若整数系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠o）有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，应假设（）A．a，b，c中至多一个是偶数 B．a，b，c中至少一个是奇数C．a，b，c中全是奇数D．a，b，c中恰有一个偶数【考点】反证法与放缩法．【分析】用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，求得命题：“a，b，c中至少有一个是偶数”的否定，即可得到结论．【解答】解：由于用反证法证明数学命题时，应先把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面．而命题：“a，b，c中至少有一个是偶数”的否定为：“a，b，c中全是奇数”，故选C．6．某校开设8门选修课程供学生选修，其中A，B，C三门选修课由于上课时间相同，至多选一门．学校规定，每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是（）A．30 B．40 C．90 D．240【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】A，B，C三门由于上课时间相同至多选一门，A，B，C三门课都不选，A，B，C中选一门，剩余5门课中选两门，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：∵A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门第一类A，B，C三门课都不选，有C53=10种方案；第二类A，B，C中选一门，剩余5门课中选两门，有C31C52=30种方案．∴根据分类计数原理知共有10+30=40种方案．故选：B7．已知随机变量ξ，η满足2ξ+η=9且ξ～B（5，0.4），则E（η），D（η）分别是（）A．2，1.2 B．2，2.4 C．5，2.4 D．5，4.8【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】根据变量ξ～B（5，0.4）可以根据公式做出这组变量的均值与方差，随机变量2ξ+η=9，知道变量η也符合二项分布，故可得结论．【解答】解：∵ξ～B（5，0.4），∴Eξ=5×0.4=2，Dξ=5×0.4×0.6=1.2，∵2ξ+η=9，∴η=9﹣2ξ∴Eη=E（9﹣2ξ）=9﹣4=5，Dη=D（9﹣2ξ）=4.8，故选：D．8．2016年6月9日是“端午节”，小明的妈妈为小明煮了6个粽子，其中腊肉馅2个，豆沙馅4个，小明随机取出两个，事件A=“取到的两个为同一种馅”，事件B=“取到的两个都是豆沙馅”，则P（B|A）=（）A．B．C．D．【考点】条件概率与独立事件．【分析】由题意，P（A）==，P（AB）==，由公式，即可得出结论．【解答】解：由题意，P（A）==，P（AB）==，∴P（B|A）==，故选：B．9．由曲线y=x，y=x3围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】由题意，画出图形，利用定积分表示封闭图形的面积，然后计算．【解答】解：由曲线y=x，y=x3围成的封闭图形如图，所以由曲线y=x，y=x3围成的封闭图形的面积为2=；故选：C．10．设f（x）是定义在R上的减函数，其导函数为f′（x），且满足+x＜2016．下面不等式正确的是（）A．f（x）＞0 B．f（x）＜0 C．2f D．2f【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数g（x）=（x﹣2016）f（x），求出g（x）的单调性，从而求出答案．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的减函数，其导函数为f′（x），∴f′（x）＜0在R恒成立，∵+x＜2016，∴f（x）+（x﹣2016）f′（x）＞0，令g（x）=（x﹣2016）f（x），则g′（x）=f（x）+（x﹣2016）f′（x）＞0，∴g（x）在R递增，∴g，即2f，故选：C．二、填空题：本大题共5小题，毎小题5分，共25分.11．如图所示，在复平面内，复数z1和z2对应的点分别是A和B，则复数z1•z2对应的点在第四象限．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由图可知：z1=﹣2﹣i，z2=i，则z1•z2=1﹣2i，求出在复平面内，复数z1•z2对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：由图可知：z1=﹣2﹣i，z2=i，则z1•z2=i（﹣2﹣i）=1﹣2i，在复平面内，复数z1•z2对应的点的坐标为：（1，﹣2），位于第四象限．故答案为：四．12．函数f（x）=x3﹣3x的单调减区间为（﹣1，1）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求函数的导函数，令导函数小于零，解此不等式即可求得函数y=x3﹣3x的单调递减区间．【解答】解：令y′=3x2﹣3＜0解得﹣1＜x＜1，∴函数y=x3﹣3x的单调递减区间是（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．13．对具有线性相关关系的两个变量x，y，观测得到一组数据如表：若y与x的线性回归方程为的值为=﹣2x+，则的值为 1.5 ．【考点】线性回归方程．【分析】求出样本中心坐标，代入回归方程求出．【解答】解：==﹣1，==3.5，由回归直线方程过样本中心点（，）即（﹣1，3.5），则=+2=3.5﹣2=1.5，故答案为：1.5．14．用1，2，3，4，5，6这六个数字组成没有重复数字的六位数，其中1，3，5三个数字互不相邻的六位数有144 个．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】将1，3，5三个数字插入到2，4，6三个数字排列后所形成的4个空中的3个，问题得以解决．【解答】解：将1，3，5三个数字插入到2，4，6三个数字排列后所形成的4个空中的3个，故有A33A43=144个，故答案为：144．15．对于问题：“已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），解关于x的不等式ax2﹣bx+c ＞0”，给出如下一种解法：解：由ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），得a（﹣x）2+b（﹣x）+c＞0的解集为（﹣2，1），即关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为（﹣2，1）．参考上述解法，若关于x的不等式+＜0的解集为（﹣1，﹣）∪（，1），则关于x的不等式+＜0的解集为（﹣3，﹣1）∪（1，2）．【考点】进行简单的合情推理；其他不等式的解法．【分析】关于x的不等式+＜0可看成前者不等式中的x用代入可得不等式+＜0的解集．【解答】解：若关于x的不等式+＜0的解集为（﹣1，﹣）∪（，1），则关于x的不等式+＜0可看成前者不等式中的x用代入可得，则∈（﹣1，﹣）∪（，1），则x∈（﹣3，﹣1）∪（1，2），故答案为：（﹣3，﹣1）∪（1，2）．三、解答题：本大题共6小題，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．巳知a=sinxdx，若二项式（ax﹣）n的展开式中各项系数之和为256．（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中的常数项．【考点】二项式系数的性质；定积分．【分析】（Ⅰ）根据定积分的计算求出a的值，根据二项式系数之和为256求得n=8，则展开式中二项式系数最大的项为第5项，根据通项公式即可求出．（Ⅱ）在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得展开式中的常数项．【解答】解：（Ⅰ）a=sinxdx=﹣cosx|=﹣（﹣1﹣1）=3，∵二项式（3x﹣）n的展开式中各项系数之和为256，∴2n=256，∴n=8，∴展开式的通项公式为T r+1=（﹣1）r C8r38﹣r•．∴它的二项式系数最大的项为第五项，即T5=（﹣1）4C8438﹣4•=5670；（Ⅱ）令8﹣=0，解得r=6，∴展开式中的常数项（﹣1）6C8638﹣6=252．17．到“北上广”创业是很多大学生的梦想，从某大学随机抽查了100人进行了问卷调查，得到了如下2×2列联表：己知在这100人中随机抽取1人，抽到想到“北上广”创业的概率是．（1）请将上面的2×2列联表补充完整；（2）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为大学生想到“北上广”创业与性别有关？并说明你的理由；（3）经进一步调查发现，在想到“北上广”创业的20名女大学生中，有5人想到“广州”创业．若从想到“北上广”创业的20名女大学生中任选3人，求在选出的3人中少有2人想到“广州”创业的概率．下面的临界值表仅供参考：（參考公式K2=，其中n=a+b+c+d）【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）根据在这100人中随机抽取1人，想到“北上广”创业共60人，不想到“北上广”创业共40人，从而可得列联表；（2）利用列联表，计算K2，与临界值比较，可得结论；（3）利用古典概型的概率公式，可得结论．【解答】解：（1）∵在这100人中随机抽取1人，抽到想到“北上广”创业的概率是．∴想到“北上广”创业共60人，不想到“北上广”创业共40人，列联表补充如下：（2）K2=≈16.7＞10.828，∴能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为大学生想到“北上广”创业与性别有关；（3）在选出的3人中少有2人想到“广州”创业的概率=．18．已知函数f（x）=e2x﹣（x﹣1）2，（e≈2.71828）（1 ）求曲线y=f（x）在点（l，f（1））处的切线方程；（2）设方程f（x）=m﹣1+4x﹣x2在[﹣1，2]上恰有两个不同的实根，求变数m的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），从而求出切线方程即可；（2）问题转化为2x+m=e2x 在[﹣1，2]上恰有两个不同的交点，得到关于m的不等式组，解出即可．【解答】解：（1）∵f（x）=e2x﹣（x﹣1）2，∴f′（x）=2（e2x﹣x+1），∴f（1）=e2，f′（1）=2e2，∴切线方程是y﹣e2=2e2（x﹣1），即2e2x﹣y﹣e2=0；（2）方程f（x）=m﹣1+4x﹣x2在[﹣1，2]上恰有两个不同的实根，即2x+m=e2x在[﹣1，2]上恰有两个不同的交点，x=﹣1时，e2x=，x=1时，e2x=e2，结合题意，解得：1＜m≤2+，即m的范围是（1，2+]．19．高二学生即将升入高三，高三学生参加高校自主招生考试是升入理想大学的一条途径．甲、乙、丙三位同学一起参某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过程相互独立，根据甲中、乙、丙三位同学的平时成绩分析，甲，乙，两三位同学能通过笔试的概率分别是，，；能通过面试的概率分别是，，．（1）求甲、乙、丙三位同学恰有两位通过笔试的概率；（2）设甲、乙、丙三位同学各自经过两次考试后，能被该高校录取的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望E（X）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）分别记“甲、乙、丙三位同学通过笔试”为事件A，B，C，事件E表示“甲、乙、丙三位同学恰有两位通过笔试”，利用对立事件概率计算公式、互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式能求出甲、乙、丙三位同学恰有两位通过笔试的概率．（2）“甲乙丙三位同学各自经过两次考试后能被录取”分别记为事件D，E，F，由题意X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望E（X）．【解答】解：（1）分别记“甲、乙、丙三位同学通过笔试”为事件A，B，C，事件E表示“甲、乙、丙三位同学恰有两位通过笔试”，则甲、乙、丙三位同学恰有两位通过笔试的概率：P（E）=P（AB）+P（A C）+P（BC）=++=．（2）“甲乙丙三位同学各自经过两次考试后能被录取”分别记为事件D，E，F，则P（D）==，P（E）==，P（F）==，由题意X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）=P（）==，P（X=1）=P（++）=++=，P（X=2）=P（+D+）==，P（X=3）=P（DEF）==，∴随机变量X的分布列为：数学期望E（X）==．20．某同学在研究三角形的性质时，发现了有些三角形的三边长有以下规律：①3（3×4+4×5+5×3）≤（3+4+5）2＜4（3×4+4×5+5×3）；②3（6×8+8×9+9×6）≤（6+8+9）2＜4（6×8+8×9+9×6）；③3（3×4+4×6+6×3）≤（3+4+6）2＜4（3×4+4×6+6×3）．分析以上各式的共同特征，试猜想出关于任一三角形三边长a，b，c的一般性的不等式结论，并加以证明．【考点】归纳推理．【分析】根据三个不等式猜测三角形三边长a，b，c的一般性的不等式结论：3（ab+ac+bc）≤（a+b+c）2＜4（ab+ac+bc）；然后利用比较法证明即可．【解答】解：由已知规律：①3（3×4+4×5+5×3）≤（3+4+5）2＜4（3×4+4×5+5×3）；②3（6×8+8×9+9×6）≤（6+8+9）2＜4（6×8+8×9+9×6）；③3（3×4+4×6+6×3）≤（3+4+6）2＜4（3×4+4×6+6×3）．根据以上各式的共同特征，猜想出关于任一三角形三边长a，b，c的一般性的不等式结论：3（ab+ac+bc）≤（a+b+c）2＜4（ab+ac+bc）；证明：（a+b+c）2﹣（ab+ac+bc）=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc﹣ab﹣ac﹣bc=a2+b2+c2+ab+ac+bc，因为a＞0，b＞0，c＞0，所以a2+b2+c2+ab+ac+bc＞0，所以3（ab+ac+bc）≤（a+b+c）2；（a+b+c）2﹣4（ab+ac+bc）=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc﹣4ab﹣4ac﹣4bc=a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac ﹣2bc=（a﹣b﹣c）2≥0．21．已知函数f（x）=ln（x+a）（a∈R），g（x）=．（1）当a=1时，证明：f（x）＞g（x）对于任意的x∈（0，+∞）都成立；（2）求F（x）=f（x）﹣g（x）的极值点；（3）设c1=1，c n+1=ln（c n+1），用数学归纳法证明：c n＞．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值；数学归纳法．【分析】（1）令h（x）=f（x）﹣g（x），求出函数的导数，得到函数的单调性，从而证出结论即可；（2）求出F（x）的导数，通过讨论a的范围，确定函的单调区间，从而求出函数的极值点即可；（3）结合（1）求出ln（1+x）＞，根据数学归纳法证明即可．【解答】证明：（1）a=1时，f（x）=ln（x+1），令h（x）=f（x）﹣g（x）=ln（x+1）﹣，（x＞0），h′（x）=﹣=≥0，∴h（x）在（0，+∞）递增，∴h（x）＞h（0）=0，∴当a=1时，f（x）＞g（x）对于任意的x∈（0，+∞）都成立；解：（2）F（x）=f（x）﹣g（x）=ln（x+a）﹣，（x＞﹣a，x≠﹣2），F′（x）=﹣=，①当a≤1时，F′（x）≥0恒成立，F（x）递增，无极值点，②当1＜a＜2时，令F′（x）＞0，解得：x＞2或x＜﹣2，令F′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜2，∴F（x）在（﹣a，﹣2）递增，在（﹣2，2）递减，在（2，+∞）递增，∴x=﹣2是极大值点，x=2是极小值点；③当a=2时，F′（x）=，F（x）在（﹣2，2）递减，在（2，+∞）递增，x=2是极小值点，④当a＞2时，令F′（x）＞0，解得：x＞2或x＜﹣2，令F′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜2，∴F（x）在（﹣a，﹣2）递增，在（﹣2，2）递减，在（2，+∞）递增，x=﹣2是极大值点，x=2是极小值点；证明：（3）由（1）得：a=1时，ln（1+x）＞，令x=，则ln（1+）＞=，设c1=1，c n+1=ln（c n+1），故n=1时，c1=1＞成立，假设n=k时，c k＞成立，只需证明n=k+1时，c k+1＞成立即可，∵c k+1=ln（c k+1）＞ln（1+），而ln（1+）＞，故c k+1＞成立，故原结论成立．。

山东省济宁市邹城一中2017-2018学年高三数学模拟试卷(理科)(8月份) Word版含解析

山东省济宁市邹城一中2017-2018学年高三数学模拟试卷(理科)(8月份) Word版含解析

2017-2018学年山东省济宁市邹城一中高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合A={1，2，3，4，5}，集合B={x|x（4﹣x）＜0}，则图中阴影部分表示（）A．{1，2，3，4}B．{1，2，3}C．{4，5}D．{1，4}2．设i为虚数单位且z的共轭复数是，若z+=4，z=8，则z的虚部为（）A．±2B．±2iC．2D．﹣23．已知ξ服从正态分布N（1，σ2），a∈R，则“P（ξ＞a）=0.5”是“关于x的二项式的展开式的常数项为3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分又不必要条件D．充要条件4．已知函数y=f（x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．﹣1B．1C．﹣5D．55．若正数a，b满足+=1，则+的最小值为（）A．3B．4C．5D．66．执行如图所示的程序框图，如果输入的x∈[﹣1，3]，则输出的y属于（）A．[0，2]B．[1，2]C．[0，1]D．[﹣1，5]7．若实数x，y满足，则z=的最小值为（）A．﹣2B．﹣3C．﹣4D．﹣58．将4本完全相同的小说，1本诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本书，则不同分法有（）A．24种B．28种C．32种D．16种9．如图，将绘有函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，＜φ＜π）部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，若AB之间的空间距离为，则f（﹣1）=（）A．﹣2B．2C．D．10．如图，F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．4B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上．.11．（x2+）6的展开式中x3的系数是．（用数字作答）12．已知某几何体的三视图如图，正（主）视图中的弧线是半圆，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是（单位：cm2）．13．在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，点D为AC中点，点E满足，则=．14．已知P、A、B、C是球O球面上的四点，△ABC是正三角形，三棱锥P﹣ABC的体积为，且∠APO=∠BPO=∠CPO=30°，则球O的表面积为．15．已知函数f（x）=，存在x1＜x2＜x3，f（x1）=f（x2）=f （x3），则的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．已知函数f（x）=2cosx（sinx﹣cosx）+m（m∈R），将y=f（x）的图象向左平移个单位后得到y=g（x）的图象，且y=g（x）在区间[0，]内的最大值为．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若g（B）=l，且a+c=2，求△ABC的周长l的取值范围．17．如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC=30°，BM⊥AC交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC=4，EA=3，FC=1．（1）证明：EM⊥BF；（2）求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．18．某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如右图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2，4]的有8人．（1）图中a的值为；（2）用各组时间的组中值代替各组平均值，估算乙班学生每天学习的平均时长；（3）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19．已知正项数列{a n}，若前n项和S n满足8S n=a n2+4a n+3，且a2是a1和a7的等比中项（1）求数列{a n}的通项公式；（2）符号[x]表示不超过实数x的最大整数，记b n=[log2（）]，求b1+b2+b3+…．20．已知椭圆C1：的离心率为，焦距为，抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点F是椭圆C1的顶点．（Ⅰ）求C1与C2的标准方程；（Ⅱ）C1上不同于F的两点P，Q满足，且直线PQ与C2相切，求△FPQ的面积．21．已知函数（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）记两个极值点分别为x1，x2，且x1＜x2．已知λ＞0，若不等式恒成立，求λ的范围．2016年山东省济宁市邹城一中高考数学模拟试卷（理科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合A={1，2，3，4，5}，集合B={x|x（4﹣x）＜0}，则图中阴影部分表示（）A．{1，2，3，4}B．{1，2，3}C．{4，5}D．{1，4}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】化简B={x|x（4﹣x）＜0}={x＜0或x＞4}，而图中阴影部分表示的集合是A∩∁R B，从而解得．【解答】解：由图中阴影部分表示的集合是A∩∁R B∵B={x|x（4﹣x）＜0}={x＜0或x＞4}，∴∁R B={x|0≤x≤4}，∵集合A={1，2，3，4，5}，∴A∩∁R B={1，2，3，4}故选：A2．设i为虚数单位且z的共轭复数是，若z+=4，z=8，则z的虚部为（）A．±2B．±2iC．2D．﹣2【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】设z=a+bi，a、b∈R；利用z的共轭复数是=a﹣bi，列出方程组求出a、b的值即可．【解答】解：设z=a+bi，a、b∈R；∴z的共轭复数是=a﹣bi，又z+=2a=4，∴a=2；z=a2+b2=4+b2=8，∴b=±2；∴z的虚部为±2．故选：A．3．已知ξ服从正态分布N（1，σ2），a∈R，则“P（ξ＞a）=0.5”是“关于x的二项式的展开式的常数项为3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分又不必要条件D．充要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合正态分布已经二项式定理的内容进行判断即可．【解答】解：若P（ξ＞a）=0.5，则a=1，若关于x的二项式的展开式的常数项为3，则通项公式T k+1==•a3﹣k•x3﹣3k，由3﹣3k=0，得k=1，即常数项为=3a2=3，解得a=1或a=﹣1，即“P（ξ＞a）=0.5”是“关于x的二项式的展开式的常数项为3”的充分不必要条件，故选：A4．已知函数y=f（x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．﹣1B．1C．﹣5D．5【考点】函数奇偶性的性质；抽象函数及其应用．【分析】根据函数y=f（x）+x是偶函数，可知f（﹣2）+（﹣2）=f（2）+2，而f（2）=1，从而可求出f（﹣2）的值．【解答】解：令y=g（x）=f（x）+x，∵f（2）=1，∴g（2）=f（2）+2=1+2=3，∵函数g（x）=f（x）+x是偶函数，∴g（﹣2）=3=f（﹣2）+（﹣2），解得f（﹣2）=5．故选D．5．若正数a，b满足+=1，则+的最小值为（）A．3B．4C．5D．6【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】首先判断＞0，＞0；再由基本不等式确定最小值即可．【解答】解：∵a＞0，b＞0，+=1；∴a＞1，b＞1，a+b=ab；∴＞0，＞0，∴+≥2=2=4；（当且仅当=，即a=，b=3时，等号成立）．故选：B．6．执行如图所示的程序框图，如果输入的x∈[﹣1，3]，则输出的y属于（）A．[0，2]B．[1，2]C．[0，1]D．[﹣1，5]【考点】程序框图．【分析】根据程序框图，分析程序的功能，结合输出自变量的范围条件，利用函数的性质即可得到结论．【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出y=的值．若﹣1≤x＜0，则不满足条件输出y=2﹣x﹣1∈（0，1]，若0≤x≤3，则满足条件，此时y=log2（x+1）∈[0，2]，输出y∈[0，2]，故选：A．7．若实数x，y满足，则z=的最小值为（）A．﹣2B．﹣3C．﹣4D．﹣5【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域．，利用分式函数的意义以及直线的斜率进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：z===1+，设k=，则k的几何意义为区域内的点到定点D（2，﹣2）的斜率，由图象知AD的斜率最小，由得，即A（1，2），此时AD的斜率k=，则z=1+k=1﹣4=﹣3，即z=的最小值为﹣3，故选：B8．将4本完全相同的小说，1本诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本书，则不同分法有（）A．24种B．28种C．32种D．16种【考点】计数原理的应用．【分析】分二类，有一个人分到一本小说和一本诗集，有一个人分到两本小说，根据分类计数原理可得【解答】解：第一类，每位同学各分1本小说，再把1本诗集全部分给4名同学任意一个，共有4种方法，第二类，这本诗集单独分给其中一位同学，4相同的小说，分给另外3个同学，共有C41C31=12种，根据分类计数原理，共有4+12=16种，故选：D．9．如图，将绘有函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，＜φ＜π）部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，若AB之间的空间距离为，则f（﹣1）=（）A．﹣2B．2C．D．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】根据图象过点（0，1），结合φ的范围求得φ的值，再根据A、B两点之间的距离为=，求得T的值，可得ω的值，从而求得函数的解析式，从而求得f（﹣1）的值．【解答】解：由函数的图象可得2sinφ=1，可得sinφ=，再根据＜φ＜π，可得φ=．再根据A、B两点之间的距离为=，求得T=6，再根据T==6，求得ω=．∴f（x）=2sin（x+），f（﹣1）=2sin（﹣+）=2，故选：B．10．如图，F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．4B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线的定义，可得F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，BF2﹣BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，再在△F1BF2中应用余弦定理得，a，c的关系，由离心率公式，计算即可得到所求．【解答】解：因为△ABF2为等边三角形，不妨设AB=BF2=AF2=m，A为双曲线上一点，F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，B为双曲线上一点，则BF2﹣BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，由，则，在△F1BF2中应用余弦定理得：4c2=4a2+16a2﹣2•2a•4a•cos120°，得c2=7a2，则．故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上．.11．（x2+）6的展开式中x3的系数是20．（用数字作答）【考点】二项式系数的性质．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于3，求得r的值，即可求得展开式中x3的系数．【解答】解：由于（x2+）6的展开式的通项公式为T r+1=•x12﹣3r，令12﹣3r=3，解得r=3，故展开式中x3的系数是=20，故答案为：20．12．已知某几何体的三视图如图，正（主）视图中的弧线是半圆，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是3π+4（单位：cm2）．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体是半个圆柱，由三视图求出几何元素的长度，由圆柱的表面积公式求出几何体的表面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是半个圆柱，且正视图是底面，∴底面圆的半径是1cm，母线长是2cm，∴几何体的表面积S=π×12+π×1×2+2×2=3π+4（cm2），故答案为：3π+4．13．在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，点D为AC中点，点E满足，则=﹣2．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知画出图形，结合向量的加法与减法法则把用表示，展开后代值得答案．【解答】解：如图，∵，∴=，又D为AC中点，∴，则===．故答案为：﹣2．14．已知P、A、B、C是球O球面上的四点，△ABC是正三角形，三棱锥P﹣ABC的体积为，且∠APO=∠BPO=∠CPO=30°，则球O的表面积为16π．【考点】球的体积和表面积．【分析】设△ABC的中心为S，球O的半径为R，△ABC的边长为2a，由已知条件推导出a=R，再由三棱锥P﹣ABC的体积为，求出R=2，由此能求出球O的表面积．【解答】解：如图，P，A，B，C是球O球面上四点，△ABC是正三角形，设△ABC的中心为S，球O的半径为R，△ABC的边长为2a，∵∠APO=∠BPO=∠CPO=30°，OB=OP=R，∴OS=，BS=，∴=，解得a=R，2a=R，∵三棱锥P﹣ABC的体积为，∴=，解得R=2，∴球O的表面积S=4πR2=16π．故答案为：16π．15．已知函数f（x）=，存在x1＜x2＜x3，f（x1）=f（x2）=f（x3），则的最大值为．【考点】分段函数的应用．【分析】先确定1＜x2＜e3，再令y=，求出函数的最大值，即可得出结论．【解答】解：由题意，0＜lnx2＜3，∴1＜x2＜e3，又=，故令y=，则y′=，∴x∈（1，e），y′＞0，x∈（e，e3），y′＜0，∴函数在（1，e）上单调递增，在（e，e3）上单调递减，∴x=e时，函数取得最大值，∴的最大值为．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．已知函数f（x）=2cosx（sinx﹣cosx）+m（m∈R），将y=f（x）的图象向左平移个单位后得到y=g（x）的图象，且y=g（x）在区间[0，]内的最大值为．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若g（B）=l，且a+c=2，求△ABC的周长l的取值范围．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用；余弦定理．【分析】（Ⅰ）利用三角函数的倍角公式进行化简，结合三角函数的单调性进行求解即可求实数m的值；（Ⅱ）根据余弦定理结合基本不等式的关系进行求解．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=2cosx（sinx﹣cosx）+m=sin2x﹣cos2x﹣1+m=sin（2x﹣）﹣1+m，∴g（x）=sin[2（x+）﹣]﹣1+m=sin（2x+）﹣1+m，∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴当2x+=时，即x=时，函数g（x）取得最大值+m﹣1=，则m=1．（Ⅱ）∵g（x）=sin（2x+），且g（B）=sin（B+）=l，即sin（B+）=，∵0＜B＜，∴＜B+＜，∴当B+=，即B=，∵a+c=2，∴由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac≥（a+c）2﹣，当且仅当a=c=1时等号成立，又b＜a+c=2，∴1≤b＜2，∴△ABC的周长l=a+b+c∈[3，4），故△ABC的周长l的取值范围是[3，4）．17．如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC=30°，BM⊥AC交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC=4，EA=3，FC=1．（1）证明：EM⊥BF；（2）求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法．【分析】（1）根据线面垂直得到线与线垂直，根据直径所对的圆周角是直角，得到两个三角形是等腰直角三角形，有线面垂直得到结果．（2）做出辅助线，延长EF交AC于G，连BG，过C作CH⊥BG，连接FH．，做出∠FHC 为平面BEF与平面ABC所成的二面角的平面角，求出平面角．【解答】解：（1）证明：∵EA⊥平面ABC，BM⊂平面ABC，∴EA⊥BM．又∵BM⊥AC，EA∩AC=A，∴BM⊥平面ACFE，而EM⊂平面ACFE，∴BM⊥EM．∵AC是圆O的直径，∴∠ABC=90°．又∵∠BAC=30°，AC=4，∴，AM=3，CM=1．∵EA⊥平面ABC，FC∥EA，∴FC⊥平面ABC．∴△EAM与△FCM都是等腰直角三角形．∴∠EMA=∠FMC=45°．∴∠EMF=90°，即EM⊥MF（也可由勾股定理证得）．∵MF∩BM=M，∴EM⊥平面MBF．而BF⊂平面MBF，∴EM⊥BF．（2）延长EF交AC于G，连BG，过C作CH⊥BG，连接FH．由（1）知FC⊥平面ABC，BG⊂平面ABC，∴FC⊥BG．而FC∩CH=C，∴BG⊥平面FCH．∵FH⊂平面FCH，∴FH⊥BG，∴∠FHC为平面BEF与平面ABC所成的二面角的平面角．在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AC=4，∴，由，得GC=2．∵，又∵△GCH∽△GBM，∴，则．∴△FCH是等腰直角三角形，∠FHC=45°，∴平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为．18．某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如右图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2，4]的有8人．（1）图中a的值为0.0375；（2）用各组时间的组中值代替各组平均值，估算乙班学生每天学习的平均时长；（3）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由频率分布直方图的性质得能求出a．（2）由频率分布直方图能估算乙班学生每天学习的平均时长．（3）由甲班学习时间在区间[2，4]的有8人，甲、乙两班学生人数相同，求出甲、乙两班学生人数都为40人，从而得在两班中学习埋单大于10小时的同学共有7人，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．【解答】解：（1）由频率分布直方图的性质得：（a+0.0875+0.1+0.125+0.15）×2=1，解得a=0.0375．（2）由频率分布直方图估算乙班学生每天学习的平均时长为：=3×0.05+5×0.15+7×0.35+9×0.35+11×0.1=7.6．（3）∵甲班学习时间在区间[2，4]的有8人，∴甲班的学生人数为=40，∵甲、乙两班学生人数相同，∴甲、乙两班学生人数都为40人，∴甲班学习时间在区间（10，12]的有40×0.0375×2=3人，乙班学习时间在区间（10，12]的有40×0.05×2=4人，∴在两班中学习埋单大于10小时的同学共有7人，∴ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，Eξ==．19．已知正项数列{a n}，若前n项和S n满足8S n=a n2+4a n+3，且a2是a1和a7的等比中项（1）求数列{a n}的通项公式；（2）符号[x]表示不超过实数x的最大整数，记b n=[log2（）]，求b1+b2+b3+…．【考点】数列的求和；数列递推式．=4，（n≥2，【分析】（1）由8S n=a n+4a n+3，得，从而得到a n﹣a n﹣1n∈N），由此利用a2是a1和a3的等比中项，能求出数列{a n}的通项公式．（2）由b n =[log 2（）]=[log 2n ]，令S=b 1+b 2+b 3+…，得到S=1×2+2×22+3×23+…+（n﹣1）×2n ﹣1+n ，由此利用错位相减法能求出b 1+b 2+b 3+…．【解答】解：（1）∵正项数列{a n }，前n 项和S n 满足8S n =a n +4a n +3，①∴，（n ≥2，n ∈N ），②由①﹣②，得8a n =（a n ﹣a n ﹣1）（a n +a n ﹣1）+4a n ﹣4a n ﹣1， 整理，得（a n ﹣a n ﹣1﹣4）•2a n =0，（n ≥2，n ∈N ）， ∵{a n }是正数数列，∴a n +a n ﹣1＞0，∴a n ﹣a n ﹣1=4，（n ≥2，n ∈N ）， ∴{a n }是公差为4的等差数列，由8a 1=，得a 1=3或a 1=1，当a 1=3时，a 2=7，a 7=27，不满足a 2是a 1和a 3的等比中项， 当a 1=1时，a 2=5，a 7=25，满足a 2是a 1和a 3的等比中项， ∴a n =1+（n ﹣1）×4=4n ﹣3． （2）∵a n =4n ﹣3，∴b n =[log 2（）]=[log 2n ]，由符号[]表示不超过实数x 的最大整数，知当2m ≤n ≤2m+1时，[loh 2n ]=m ，∴令S=b 1+b 2+b 3+…=[log 21]+[log 22]+[log 23]+…+[]=0+1+1+2+…+3+…+4+…+n ﹣1+…+n∴S=1×2+2×22+3×23+…+（n ﹣1）×2n ﹣1+n ，③2S=1×22+2×22+3×23+…+（n ﹣1）×2n +2n ，④③﹣④，得﹣S=2+22+23+24+…+2n ﹣1﹣（n ﹣1）•2n ﹣1 =﹣（n ﹣1）•2n ﹣n=（2﹣n ）•2n ﹣n ﹣2， ∴S=（n ﹣2）•2n +n+2．20．已知椭圆C 1：的离心率为，焦距为，抛物线C 2：x 2=2py（p ＞0）的焦点F 是椭圆C 1的顶点． （Ⅰ）求C 1与C 2的标准方程；（Ⅱ）C 1上不同于F 的两点P ，Q 满足，且直线PQ 与C 2相切，求△FPQ 的面积．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I ）设椭圆C 1的焦距为2c ，依题意有，，由此能求出椭圆C 1的标准方程；又抛物线C 2：x 2=2py （p ＞0）开口向上，故F 是椭圆C 1的上顶点，由此能求出抛物线C 2的标准方程．（II）设直线PQ的方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，联立，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出△FPQ的面积．【解答】解：（I）设椭圆C1的焦距为2c，依题意有，，解得，b=2，故椭圆C1的标准方程为．…又抛物线C2：x2=2py（p＞0）开口向上，故F是椭圆C1的上顶点，∴F（0，2），∴p=4，故抛物线C2的标准方程为x2=8y．…（II）由题意得直线PQ的斜率存在．设直线PQ的方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，∴，…即（*）联立，消去y整理得，（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣12=0（**）．依题意，x1，x2是方程（**）的两根，△=144k2﹣12m2+48＞0，∴，，…将x1+x2和x1•x2代入（*）得m2﹣m﹣2=0，解得m=﹣1，（m=2不合题意，应舍去）．…联立，消去y整理得，x2﹣8kx+8=0，令△'=64k2﹣32=0，解得．…经检验，，m=﹣1符合要求．此时，，∴．…21．已知函数（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）记两个极值点分别为x1，x2，且x1＜x2．已知λ＞0，若不等式恒成立，求λ的范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）由导数与极值的关系知可转化为方程f′（x）=lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；再转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，或转化为函数与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点；或转化为g（x）=lnx﹣ax有两个不同零点，从而讨论求解；（Ⅱ）可化为1+λ＜lnx1+λlnx2，结合方程的根知1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），从而可得；而，从而化简可得，从而可得恒成立；再令，t∈（0，1），从而可得不等式在t∈（0，1）上恒成立，再令，从而利用导数化恒成立问题为最值问题即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），方程f′（x）=0在（0，+∞）有两个不同根；即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；（解法一）转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，如右图．可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k．令切点A（x0，lnx0），故，又，故，解得，x0=e，故，故．（解法二）转化为函数与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点．又，即0＜x＜e时，g′（x）＞0，x＞e时，g′（x）＜0，故g（x）在（0，e）上单调增，在（e，+∞）上单调减．=g（e）=；故g（x）极大又g（x）有且只有一个零点是1，且在x→0时，g（x）→﹣∞，在在x→+∞时，g（x）→0，故g（x）的草图如右图，可见，要想函数与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，只须．（解法三）令g（x）=lnx﹣ax，从而转化为函数g（x）有两个不同零点，而（x＞0），若a≤0，可见g′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以g（x）在（0，+∞）单调增，此时g（x）不可能有两个不同零点．若a＞0，在时，g′（x）＞0，在时，g′（x）＜0，所以g（x）在上单调增，在上单调减，从而=，又因为在x→0时，g（x）→﹣∞，在在x→+∞时，g（x）→﹣∞，＞0，即，所以．于是只须：g（x）极大综上所述，．（Ⅱ）因为等价于1+λ＜lnx1+λlnx2．由（Ⅰ）可知x1，x2分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2所以原式等价于1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），因为λ＞0，0＜x1＜x2，所以原式等价于．又由lnx1=ax1，lnx2=ax2作差得，，即．所以原式等价于，因为0＜x1＜x2，原式恒成立，即恒成立．令，t∈（0，1），则不等式在t∈（0，1）上恒成立．令，又=，当λ2≥1时，可见t∈（0，1）时，h′（t）＞0，所以h（t）在t∈（0，1）上单调增，又h（1）=0，h（t）＜0在t∈（0，1）恒成立，符合题意．当λ2＜1时，可见t∈（0，λ2）时，h′（t）＞0，t∈（λ2，1）时h′（t）＜0，所以h（t）在t∈（0，λ2）时单调增，在t∈（λ2，1）时单调减，又h（1）=0，所以h（t）在t∈（0，1）上不能恒小于0，不符合题意，舍去．综上所述，若不等式恒成立，只须λ2≥1，又λ＞0，所以λ≥1．2016年7月19日。

2017-2018学年山东省济宁市第一中学高二下学期期中考试数学理试题(Word版)

2017-2018学年山东省济宁市第一中学高二下学期期中考试数学理试题(Word版)

济宁市第一中学2017-2018学年度第二学期高二年级期中模块检测理科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.23i i -=+（ ）A ．1122i - B ．1122i + C ．1122i -+ D ．1122i --2.用数学归纳法证明111111234212n n -+-++--111122n n n=+++++（*n N ∈）时，从n k =向1n k =+过渡时，等式左边应增添的项是（ ） A ．121k + B ．112224k k -++ C ．122k -+ D ．112122k k -++ 3.在复平面内，若复数1z 和2z 对应的点分别是(21)A --，和(32)B ，，则12z z ⋅=（ ）A ．47i --B ．87i --C ．47i -D ．87i - 4.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过动点(12)P ，，法向量为(23)n =-，的直线的点法式方程为2(1)3(2)0x y --+-=，化简得2340x y -+=，类比上述方法，在空间直角坐标系中，经过点(121)P -，，，且法向量为(231)n =-，，的平面的点法式方程应为（ ）A ．2350x y z -++=B ．2330x y z --+= C.2370x y z ++-= D ．2390x y z +--= 5.若函数1()ln f x x x=-，则不等式(1)(21)f x f x ->-的解集为（ ）A ．23⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭， B ．203⎛⎫ ⎪⎝⎭， C.1223⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．213⎛⎫⎪⎝⎭，6.抛物线24y x =在点(323)，处切线的倾斜角是（ ）A ．30︒B ．45︒ C.60︒ D ．150︒ 7.直线3y x =与曲线3y x =围成的封闭图形的面积是（ ） A ．3 B ．92C.6 D ．98.函数cos 3()0sin 23x f x x x x x ππ⎛3⎫⎡⎤=∈-≠ ⎪⎢⎥-⎣⎦⎝⎭，，且的图象大致是（ ） A ． B ． C.D ．9.若函数323()62f x x x x a =--++的图象不经过第三象限，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(10)-∞-，B ．(10]-∞-， C.(10)+∞， D ．[10)+∞，10.“24”是个很神奇的数，对其进行如下计算：222420+=，22204+=，2416=，221637+=，，如此反复运算，则第2018次运算的结果是（ ）A ．4B ．16 C.20 D ．3711.若正数m ，n 满足22m n +=，则142m n mn++的最小值为（ ）A ．12B ．16 C.18 D ．24 12.已知函数()ln x f x e x -=+的零点为0x ，1230x x x >>>，且123()()()0f x f x f x ⋅⋅<，那么下列关系一定不成立的是（ ）A ．01x x >B ．03x x > C.02x x < D ．03x x <第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.若复数223(1)z a a a i =--++为纯虚数，则实数a = ． 14.济宁市2018年中考有10所高中招生，如果甲、乙、丙3名同学恰好被其中的2所学校录取，那么不同录取结果的种数为 ． 15.若方程ln 1mx x =恰有一个实数解，则实数m 的取值集合为 ．16.若函数ln()x y e x a =-+的值域为R ，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数2()()f x x x c =-在1x =处取得极小值，求()f x 的极大值. 18. 已知0a b >>，求证： （1）1111a ba b>++++；（2）1a b+与1b a+至少有一个大于2.19. 已知函数()xx f x e =.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）设0a >，求函数()x 在区间[2]a a ，上的最大值.20. 某人用一箱饲养中华鲟，研究表明：一个饲养周期，该箱中华鲟的产量m （单位：百千克）与购买饲料费用x （05x <≤）（单位：百元）满足：21xm x =+.另外，饲养过程中还需投入其它费用3x .若中华鲟的市场价格为32元/千克，全部售完后，获得利润y 元. （1）求y 关于x 的函数关系式；（2）当x 为何值时，利润最大，最大利润是多少元？ 21. 已知函数()ln 1a f x x x=+-.（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程；（2）若0x ∀>，()1f x a ≥-，求a 的取值范围. 22.设函数2()x f x e ax =-有两个零点1x ，2x ，且12x x <. （1）求a 的求值范围； （2）求证：121x x +>.济宁市第一中学2017-2018学年度第二学期高二年级期中模块检测理科数学答案一、选择题1-5:ADABC 6-10:ABCDA 11、12：CD 二、填空题13.3 14.270 15.{}|0m m m e >=-或 16.(1]-∞-， 三、解答题17.解：因为2322()()2f x x x c x cx c x =-=-+，所以22()34f x x cx c '=-+3()3c x c x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由()0f x '=，解得x c =或3c x =.依题意，1是()f x '的较大零点，所以1c =，所以当13x =时，()f x 取得极大值21114133327f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.18.证明：（1）因为0a b >>，所以1a b ++和1a b ++都是正数，所以要证1111a ba b>++++，只需证11a b a b ++>++.只需证22(1)(1)a b a b ++>++，只需证(1)(1)a b a b +>+，只需证(1)(1)a b a b +>+，只需证a b >. 因为a b >成立，所以1111a ba b>++++.（2）证法一：假设12a b+≤且12b a+≤，则114a b ba+++≤又因为0a b >>，所以111111224a b a b a b baa b a b⎛⎫⎛⎫+++=+++>⋅+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，这与114a b b a+++≤矛盾. 所以1a b+与1b a+至少有一个大于2. 证法二：因为0a b >>，所以11ab<，所以11122a a a baa+>+≥⋅=， 所以12a b+>而1b a+与2的大小关系不确定，所以1a b+与1b a+至少有一个大于2.19.解：（1）1()x x f x e-'=，由()0f x '<，解得1x >；由()0f x '>，解得1x <.所以函数()f x 的单调递减区间为(1)+∞，，单调递增区间为(1)-∞，. （2）由（1）可知：①当102a <≤时，21a ≤，()f x 在[2]a a ，上是增函数，所以此时max 22()(2)a af x f a e==； ②当112a <<时，12a a <<，()f x 在1x =处取得极大值，也是它的最大值，所以此时max 1()(1)f x f e==；③当1a ≥时，()f x 在[2]a a ，上是减函数，所以此时max ()()aaf x f a e ==.综上，函数()f x 在区间[2]a a ，上的最大值；当102a <≤时，为22aa e；当112a <<时，为1e ；当1a ≥时，为aae .20.解：（1）依题意，可得2640010032340011x x y x x x x x ⎡⎤=⨯--=-⎢⎥++⎣⎦，05x <≤. （2）26400400(1)y x '=-+22400(215)(1)x x x -+-=+，由0y '=，解得5x =-（舍）或3x =. 当03x <<时，0y '>，所以利润函数在(03)，上是增函数；当35x <≤时，0y '<，所以利润函数在(35]，上是减函数.所以当3x =时，y 取得极大值，也是最大值，最大值为640034003360031⨯-⨯=+ 所以当3x =时，利润最大，最大利润是3600元. 21.解：（1）当1a =-时，1()ln 1f x x x=-+-，所以211()f x x x'=+，所以切线的斜率(1)2k f '==.又因为(1)2f =-，所以切线方程为22(1)y x +=-，整理得240x y --=.（2）因为函数()f x 的定义域是(0)+∞，，()1f x a ≥-即为ln 11a x a x+-≥-，可化为2ln 1x x x a x -≥+.设2ln ()1x x x g x x -=+，依题意，max ()a g x ≥.21ln ()(1)x xg x x --'=+，令()1ln h x x x =--，易知它在(0)+∞，上是减函数，又因为(1)0h =，所以当01x <<时，()0h x >，()0g x >，所以()g x 在(01)，上是增函数；当1x >时，()0h x <，()0g x '<，所以()g x 在(1)+∞，上是减函数. 所以()g x 在1x =处取得极大值，也是最大值，所以max ()(1)1g x g ==，所以1a ≥.所以a 的取值范围是[1)+∞，. 22.（1）解法一：2()2x f x e a '=-.①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()-∞+∞，上是增函数，不可能有两个零点. ②当0a >时，由()f x '0=，解得1ln 22a x =，所以若1ln 22a x <，则()0f x '<，所以()f x 在1ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，上是减函数；若1ln 22ax >，则()0f x '>，所以()f x 在1ln 22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上是增函数.所以当1ln 22a x =时，()f x 取得极小值，也是它的最小值.min 1()ln 22a f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ln 222a a a =-.因为lim ()x f x →-∞=+∞，lim ()x f x →+∞=+∞，所以若使()f x 有两个零点，只需ln 0222a a a-<，解得2a e >. 综上，实数a 的取值范围是(2)e +∞，.解法二：题意⇔方程2x e ax =有两个不等实根，易知其中0x ≠，所以题意⇔方程2xe a x=有两个不等实根⇔函数y a =与2xe y x=的图象有两个不同的公共点.设2()xe g x x=，则22(21)()x x e g x x-'=，所以当0x <或102x <<时，()0g x '<，所以()g x 在(0)-∞，和102⎛⎫ ⎪⎝⎭，上是减函数；当12x >，()0g x '>，所以()g x 在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上是增函数，所以当12x =时，()g x 取得极小值122g e ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 又因为lim ()0x g x →-∞=，0lim ()x g x -→=-∞，0lim ()x g x +→=+∞，lim ()x g x →+∞=+∞，在同一坐标系中分别画出函数y a =与2x e y x=的图象，如图所示，观察图形可知当2a e >时，二者有两个不同的公共点.所以实数a 的取值范围是(2)e +∞，.（2）证明：由（1）可知，1x ，2x 是方程2x e ax =（0x >）的两个不等实根，也是方程2ln ln x a x =+的两个不等实根，也是函数()2ln ln h x x x a =--的两个零点，且12102x x <<<.因为121()2x h x x x -'=-=，所以当102x <<时，()0h x '<，所以()h x 在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，上是减函数；当12x >时，()0h x '>，所以()h x 在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上是增函数.设()()(1)x h x h x ϕ=--，则()()(1)x h x h x ϕ'''=+-21121x x x x--=+-2(21)(1)x x x --=-，所以当102x <<时， ()0x ϕ'<，所以()x ϕ在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，上是减函数，所以11()2x ϕϕ⎛⎫> ⎪⎝⎭0=，即11()(1)0h x h x -->，即11()(1)h x h x >-，即21()(1)h x h x >-.又因为21112x x ⎛⎫-∈+∞ ⎪⎝⎭，，，所以211x x >-，所以121x x +>.。

2016-2017年山东省济宁一中高二(下)期中数学试卷(理科)和答案

2016-2017年山东省济宁一中高二(下)期中数学试卷(理科)和答案

2016-2017学年山东省济宁一中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）下列推理是类比推理的是（）A．由数列1，2，3，…，猜测出该数列的通项为a n＝nB．平面内不共线的三点确定一个圆，由此猜想空间不共面的三点确定一个球C．垂直于同一平面的两条直线平行，又直线a⊥面α，直线b⊥面α，推出a ∥bD．由a＞b，b＞c，推出a＞c3．（5分）已知a为函数f（x）＝x3﹣12x的极小值点，则a＝（）A．﹣4B．﹣2C．4D．24．（5分）定积分dx的值为（）A．9πB．3πC．D．5．（5分）用反证法证明命题“若a2+b2＝0（a，b∈R），则a，b全为0”，其反设正确的是（）A．a，b至少有一个为0B．a，b至少有一个不为0C．a，b全部为0D．a，b中只有一个为06．（5分）将4名学生分别安排甲、乙、丙三个地方参加实践活动，每个地方至少安排一名学生，则不同的安排方案共有（）A．12B．18C．24D．367．（5分）在（x2）5的二项展开式中，第二项的系数为（）A．10B．﹣10C．5D．﹣58．（5分）如图，平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′，其中AB＝4，AD＝3，AA′＝3，∠BAD＝90°，∠BAA′＝60°，∠DAA′＝60°，则AC′的长为（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数在[﹣1，2]上不单调，则实数a的取值范围是（）A．[﹣3，1）B．（﹣3，0）C．（﹣3，1）D．（﹣3，1]10．（5分）如果（3x﹣）n的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（）A．7B．﹣7C．21D．﹣21 11．（5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB＝4，AA1＝6．若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，且，则异面直线A1E与AF所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知a为常数，函数f（x）＝x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）某单位邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有种．14．（5分）函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对∀x∈R，f'（x）＞2，则f （log2x）＜2log2x+4的解集为．15．（5分）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是．16．（5分）对于函数f（x）＝xlnx有如下结论：①该函数为偶函数；②若f′（x0）＝2，则x0＝e；③其单调递增区间是[，+∞）；④值域是[，+∞）；⑤该函数的图象与直线y＝﹣有且只有一个公共点．（本题中e是自然对数的底数）其中正确的是（请把正确结论的序号填在横线上）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知复数z＝1+bi（b为正实数），且（z﹣2）2为纯虚数．（Ⅰ）求复数z；（Ⅱ）若，求复数ω的模|ω|．18．（12分）4个男生，3个女生站成一排．（必须写出算式再算出结果才得分）（Ⅰ）3个女生必须排在一起，有多少种不同的排法？（Ⅱ）任何两个女生彼此不相邻，有多少种不同的排法？（Ⅲ）甲乙二人之间恰好有三个人，有多少种不同的排法？19．（12分）f（x）＝x2﹣2x+alnx．（Ⅰ）若a＝2，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性．20．（12分）观察下列等式：1＝1 第一个式子2+3+4＝9 第二个式子3+4+5+6+7＝25 第三个式子4+5+6+7+8+9+10＝49 第四个式子照此规律下去：（Ⅰ）写出第五个等式；（Ⅱ）你能做出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明猜想．21．（12分）在三棱锥P﹣ABC中，△P AC和△PBC是边长为的等边三角形，AB＝2，O是AB中点，E是BC中点．（Ⅰ）求证：平面P AB⊥平面ABC；（Ⅱ）求直线PB与平面P AC所成角的正弦值的大小；（Ⅲ）在棱PB上是否存在一点F，使得B﹣OF﹣E的余弦值为？若存在，指出点F在PB上的位置；若不存在，说明理由．22．（12分）已知函数f（x）＝xlnx+2，g（x）＝x2﹣mx．（Ⅰ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（Ⅱ）若存在使得mf'（x）+g（x）≥2x+m成立，求实数m的取值范围．2016-2017学年山东省济宁一中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵＝＝﹣i∴复数在复平面对应的点的坐标是（，﹣）∴它对应的点在第四象限，故选：D．2．（5分）下列推理是类比推理的是（）A．由数列1，2，3，…，猜测出该数列的通项为a n＝nB．平面内不共线的三点确定一个圆，由此猜想空间不共面的三点确定一个球C．垂直于同一平面的两条直线平行，又直线a⊥面α，直线b⊥面α，推出a ∥bD．由a＞b，b＞c，推出a＞c【解答】解：由题意，由数列1，2，3，…，猜测出该数列的通项为a n＝n，是归纳推理；平面内不共线的三点确定一个圆，由此猜想空间不共面的三点确定一个球，是类比推理；C，D是演绎推理．故选：B．3．（5分）已知a为函数f（x）＝x3﹣12x的极小值点，则a＝（）A．﹣4B．﹣2C．4D．2【解答】解：f′（x）＝3x2﹣12；∴x＜﹣2时，f′（x）＞0，﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，x＞2时，f′（x）＞0；∴x＝2是f（x）的极小值点；又a为f（x）的极小值点；∴a＝2．故选：D．4．（5分）定积分dx的值为（）A．9πB．3πC．D．【解答】解：由定积分的几何意义知是由曲线，直线x＝0，x＝3围成的封闭图形的面积，故＝，故选：C．5．（5分）用反证法证明命题“若a2+b2＝0（a，b∈R），则a，b全为0”，其反设正确的是（）A．a，b至少有一个为0B．a，b至少有一个不为0C．a，b全部为0D．a，b中只有一个为0【解答】解：由于“a、b全为0（a、b∈R）”的否定为：“a、b至少有一个不为0”，故选：B．6．（5分）将4名学生分别安排甲、乙、丙三个地方参加实践活动，每个地方至少安排一名学生，则不同的安排方案共有（）A．12B．18C．24D．36【解答】解：先从4名学生种选择两名组成一个复合元素，然后再将3个元素（包含复合元素）安排到甲、乙，丙三地，不同的安排方案共有C42A33＝36种．故选：D．7．（5分）在（x2）5的二项展开式中，第二项的系数为（）A．10B．﹣10C．5D．﹣5【解答】解：（x2）5的二项展开式的通项公式为T r+1＝•x10﹣2r•（﹣1）r•x﹣r ＝•x10﹣3r，令r＝1，可得第二项的系数为＝﹣5，故选：D．8．（5分）如图，平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′，其中AB＝4，AD＝3，AA′＝3，∠BAD＝90°，∠BAA′＝60°，∠DAA′＝60°，则AC′的长为（）A．B．C．D．【解答】解：＝16，＝9，＝9，＝4×3×cos90°＝0，＝4×3×cos60°＝6，＝3×3×cos60°＝．∵＝++，∴＝+++2+2+2＝16+9+9+2×0+2×6+2×＝55，∴＝，故选：A．9．（5分）已知函数在[﹣1，2]上不单调，则实数a的取值范围是（）A．[﹣3，1）B．（﹣3，0）C．（﹣3，1）D．（﹣3，1]【解答】解：对函数求导可得，f′（x）＝x2﹣2x+a函数在[﹣1，2]上不单调，∴或，即或解得：﹣3＜a＜1，故选：C．10．（5分）如果（3x﹣）n的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（）A．7B．﹣7C．21D．﹣21【解答】解：令x＝1得展开式的各项系数之和2n，∴2n＝128，解得n＝7．∴展开式的通项为，令，解得r＝6．所以展开式中的系数是3C76＝21．故选：C．11．（5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB＝4，AA1＝6．若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，且，则异面直线A1E与AF所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：以AB中点为原点建立如图所示空间直角坐标系，∵AB＝4，AA1＝6，且，∴A（0，﹣2，0），A1（0，﹣2，6），E（0，2，3），F（﹣2，0，4），∴，．则cos＜＞＝＝．∴异面直线A1E与AF所成角的余弦值为．故选：D．12．（5分）已知a为常数，函数f（x）＝x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）（）A．B．C．D．【解答】解：∵f′（x）＝lnx+1﹣2ax，（x＞0）令f′（x）＝0，由题意可得lnx＝2ax﹣1有两个解x1，x2⇔函数g（x）＝lnx+1﹣2ax有且只有两个零点⇔g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．．①当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，因此g（x）＝f′（x）至多有一个零点，不符合题意，应舍去．②当a＞0时，令g′（x）＝0，解得x＝，∵x，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．∴x＝是函数g（x）的极大值点，则＞0，即＞0，∴ln（2a）＜0，∴0＜2a＜1，即．故当0＜a＜时，g（x）＝0有两个根x1，x2，且x1＜＜x2，又g（1）＝1﹣2a＞0，∴x1＜1＜＜x2，从而可知函数f（x）在区间（0，x1）上递减，在区间（x1，x2）上递增，在区间（x2，+∞）上递减．∴f（x1）＜f（1）＝﹣a＜0，f（x2）＞f（1）＝﹣a＞﹣．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）某单位邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有140种．【解答】解：∵10位教师中的6人参加一个研讨会，其中甲、乙两位教师不能同时参加，需要分类来解，∴当甲和乙有一个参加，则只要从8人中选5个，共有2C85＝112种结果，当甲和乙都不参加，要从8人中选6人，共有C86＝28种结果，根据分类计数原理知共有112+28＝140，故答案为：14014．（5分）函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对∀x∈R，f'（x）＞2，则f （log2x）＜2log2x+4的解集为（0，）．【解答】解：设g（x）＝f（x）﹣2x，则g′（x）＝f′（x）﹣2，∵对∀x∈R，f'（x）＞2，∴g′（x）＞0．∴g（x）在定义域内单调递增，∴f（log2x）＜2log2x+4⇔f（log2x）﹣2log2x＜4，∵g（﹣1）＝f（﹣1）﹣2×（﹣1）＝4，即g（log2x）＜g（﹣1），∴log2x＜﹣1，得0＜x＜，则f（log2x）＜2log2x+4的解集为（0，）．故答案为：（0，）．15．（5分）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是1和3．【解答】解：根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；∴根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；∴甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；∴甲的卡片上的数字是1和3．故答案为：1和3．16．（5分）对于函数f（x）＝xlnx有如下结论：①该函数为偶函数；②若f′（x0）＝2，则x0＝e；③其单调递增区间是[，+∞）；④值域是[，+∞）；⑤该函数的图象与直线y＝﹣有且只有一个公共点．（本题中e是自然对数的底数）其中正确的是②③⑤（请把正确结论的序号填在横线上）【解答】解：f（x）＝xlnx的定义域是（0，+∞），故不是偶函数，故①错误；f′（x）＝lnx+1，令f′（x0）＝2，即lnx0+1＝2，解得：x0＝e，故②正确；令f'（x）＞0，即lnx+1＞0，解得：x＞，∴f（x）的单调递增区间是[，+∞），故③正确；由f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，得：f（x）的最小值是f（）＝﹣，故f（x）的值域是[﹣，+∞），故④错误；故该函数的图象与直线y＝﹣有且只有一个公共点，⑤正确；故答案为：②③⑤．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知复数z＝1+bi（b为正实数），且（z﹣2）2为纯虚数．（Ⅰ）求复数z；（Ⅱ）若，求复数ω的模|ω|．【解答】解：（Ⅰ）（z﹣2）2＝（﹣1+bi）2＝1﹣b2﹣2bi，∵1﹣b2﹣2bi为纯虚数，∴1﹣b2＝0，且﹣2b≠0，解得b＝1或b＝﹣1（舍），∴z＝1+i；（Ⅱ），∴．18．（12分）4个男生，3个女生站成一排．（必须写出算式再算出结果才得分）（Ⅰ）3个女生必须排在一起，有多少种不同的排法？（Ⅱ）任何两个女生彼此不相邻，有多少种不同的排法？（Ⅲ）甲乙二人之间恰好有三个人，有多少种不同的排法？【解答】解：（Ⅰ）先排3个女生作为一个元素与其余的4个元素做全排列有种．（Ⅱ）男生排好后，5个空再插女生有种．（Ⅲ）甲、乙先排好后，再从其余的5人中选出3人排在甲、乙之间，把排好的5个元素与最好的2个元素全排列，分步有种．19．（12分）f（x）＝x2﹣2x+alnx．（Ⅰ）若a＝2，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性．【解答】解：（Ⅰ）当a＝2时，f（x）＝x2﹣2x+2lnx，∴，∴f'（1）＝2，f（1）＝﹣1，∴切线方程为y+1＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣3＝0．（Ⅱ）（x＞0），令h（x）＝2x2﹣2x+a，△＝4﹣8a，当△≤0，即时，f'（x）≥0，此时f （x）在定义域内单调递增；．当时，0＜x＜x1或x＞x2时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；x1＜x＜x2时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当a≤0时，0＜x＜x2时，f（x）单调递减，x＞x2时，f（x）单调递增．综上所述：时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；时，f（x）在，上单调递增，在上单调递增；a≤0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增．20．（12分）观察下列等式：1＝1 第一个式子2+3+4＝9 第二个式子3+4+5+6+7＝25 第三个式子4+5+6+7+8+9+10＝49 第四个式子照此规律下去：（Ⅰ）写出第五个等式；（Ⅱ）你能做出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明猜想．【解答】解：（Ⅰ）第5个等式5+6+7+…+13＝92；（Ⅱ）猜测第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+…（3n﹣2）＝（2n﹣1）2，）再用数学归纳法加以证明如下：（1）当n＝1时显然成立；）（2）假设n＝k（k≥1，k∈N+）时也成立，即有k+（k+1）+（k+2）+…（3k﹣2）＝（2k﹣1）2，那么当n＝k+1时左边＝（k+1）+（k+2）+…（3k﹣2）+（3k﹣1）+（3k）+（3k+1），＝（k+1）+（k+2）+…（3k﹣2）+（2k﹣1）+（3k）+（3k+1），＝（2k﹣1）2+（2k﹣1）+3k+3k+1，＝4k2﹣4k+1+8k，＝[2（k+1）﹣1]2，而右边＝[2（k+1）﹣1]2这就是说n＝k+1时等式也成立．根据（1）（2）知，等式对任何n∈N+都成立．21．（12分）在三棱锥P﹣ABC中，△P AC和△PBC是边长为的等边三角形，AB＝2，O是AB中点，E是BC中点．（Ⅰ）求证：平面P AB⊥平面ABC；（Ⅱ）求直线PB与平面P AC所成角的正弦值的大小；（Ⅲ）在棱PB上是否存在一点F，使得B﹣OF﹣E的余弦值为？若存在，指出点F在PB上的位置；若不存在，说明理由．【解答】证明：（Ⅰ）连接OC，PO，△ABC中，O为AB中点，解得OC⊥AB且OC＝1．同理可得：PO⊥AB，且PO＝1，又∵，∴∠POC＝90°，∴PO⊥OC，又∵AB∩OC＝C，∴PO⊥平面ABC，又∵PO⊂平面P AB，∴平面P AB⊥平面ABC．解：（Ⅱ）以O为原点，以方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，得B（1，0，0），P（0，0，1），A（﹣1，0，0），C（0，1，0），＝（1，0，﹣1），＝（﹣1，0，﹣1），＝（1，1，0），设平面P AC的一个法向量为，则，取z＝1，得＝（﹣1，1，1），设直线PB与面P AC所成的角为θ，则sinθ＝|cos＜＞|＝＝＝．∴直线PB与平面P AC所成角的正弦值为．（Ⅲ）设在棱PB上存在点F，设＝＝λ（﹣1，0，﹣1），由题意得＝（），＝（1﹣λ，0，λ），设平面EOF的一个法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得，∵OC⊥平面BOF，∴设面BOF的一个法向量为＝（0，1，0）．设面BOF与面EOF所成二面角为θ，∵B﹣OF﹣E的余弦值为，∴cosθ＝＝＝，解得：或λ＝﹣1（舍），∴．所以存在点F且当F在棱PB上靠近点B的三等分点处，满足题意．22．（12分）已知函数f（x）＝xlnx+2，g（x）＝x2﹣mx．（Ⅰ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（Ⅱ）若存在使得mf'（x）+g（x）≥2x+m成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）＝lnx+1，令f'（x）＞0，解得；令f'（x）＜0，解得，∴f（x）在递减，在递增，若，则f（x）在[t，t+2]递增，∴f（x）min＝f（t）＝tlnt+2；若，则f（x）在递减，在递增，∴．（Ⅱ）若存在使得mf'（x）+g（x）≥2x+m成立，即存在使得成立，令，，则，易得2lnx+x+2＞0，令k'（x）＞0，解得x＞1；令k'（x）＜0，解得x＜1，故k（x）在递减，在（1，e]递增，故k（x）的最大值是或k（e），而，故．。

山东省济宁市第一中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题

山东省济宁市第一中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题

【全国百强校】山东省济宁市第一中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．23i i -=+（ ） A ．1122i - B ．1122i + C ．1122-+i D ．1122i -- 2．用数学归纳法证明111111111234212122n n n n n -+-++-=+++-++()*n N ∈，则从k 到1k +时,左边所要添加的项是（ ）． A ．121k + B ．112224k k -++ C ．121k -+ D ．112122k k -++ 3．在复平面内，若复数1z 和2z 对应的点分别是(2,1)A --和(3,2)B ，则12z z ⋅=（ ） A ．47i -- B ．87i -- C ．47i - D ．87i - 4．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过动点(12)P ，，法向量为(23)n =-，的直线的点法式方程为2(1)3(2)0x y --+-=，化简得2340x y -+=，类比上述方法，在空间直角坐标系中，经过点(121)P -，，，且法向量为(231)n =-，，的平面的点法式方程应为（ ） A ．2350x y z -++=B ．2330x y z --+=C ．2370x y z ++-=D ．2390x y z +--= 5．若函数1()ln f x x x =-，则不等式(1)(21)f x f x ->-的解集为（ ） A ．23⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭， B ．203⎛⎫ ⎪⎝⎭， C ．1223⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．213⎛⎫ ⎪⎝⎭，6．抛物线24y x =在点(3，处切线的倾斜角是（ ）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．150︒ 7．直线3y x =与曲线3y x =围成的封闭图形的面积是（ ）A ．3B ．92C ．6D ．98．函数cos 3()0sin 23x f x x x x x ππ⎛3⎫⎡⎤=∈-≠ ⎪⎢⎥-⎣⎦⎝⎭，，且的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．9．若函数323()62f x x x x a =--++的图象不经过第三象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(10)-∞-， B ．(10]-∞-， C ．(10)+∞， D ．[10)+∞，10．“24”是个很神奇的数，对其进行如下计算：222420+=，22204+=，2416=，221637+=，，如此反复运算，则第2018次运算的结果是（ ）A ．4B ．16C ．20D ．37 11．若正数m ，n 满足22m n +=，则142m n mn ++的最小值为（ ） A ．12 B ．16 C ．18 D ．2412．已知函数()ln x f x e x -=+的零点为0x ，1230x x x >>>，且123()()()0f x f x f x ⋅⋅<，那么下列关系一定不成立的是（ ）A ．01x x >B ．03x x >C ．02x x <D ．03x x <二、填空题13．若复数223(1)z a a a i =--++为纯虚数，则实数a =__________．14．济宁市2021年中考有10所高中招生，如果甲、乙、丙3名同学恰好被其中的2所学校录取，那么不同录取结果的种数为__________．15．若方程ln 1mx x =恰有一个实数解，则实数m 的取值集合为__________．16．若函数ln()x y e x a =-+的值域为R ，则实数a 的取值范围是__________．三、解答题17．已知函数2()()f x x x c =-在1x =处取得极小值，求()f x 的极大值.18．已知0a b >>，求证：（1>（2）1a b +与1b a+至少有一个大于2. 19．已知函数()x x f x e =. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）设0a >，求函数()x 在区间[2]a a ，上的最大值.20．某人用一网箱饲养中华鲟，研究表明：一个饲养周期，该网箱中华鲟的产量m （单位：百千克）与购买饲料费用x （05x <≤）（单位：百元）满足：21x m x =+.另外，饲养过程中还需投入其它费用3x .若中华鲟的市场价格为32元/千克，全部售完后，获得利润y 元.（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）当x 为何值时，利润最大，最大利润是多少元？21．已知函数()ln 1a f x x x=+-. （1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程；（2）若0x ∀>，()1f x a ≥-，求a 的取值范围.22．设函数2()x f x e ax =-有两个零点1x ，2x ，且12x x <.（1）求a 的求值范围；（2）求证：121x x +>.参考答案1．A【解析】分析：利用复数的运算法则即可得出． 详解：复数22-i)(3)55113101022i i i i i ---===-+（，故选A. 点睛：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2．D【解析】分析：根据式子的结构特征，求出当n=k 时，等式的左边，再求出n=k+1 时，等式的左边，比较可得所求．详解：当n=k 时，等式的左边为111111...234212k k -+-++--，当n=k+1 时，等式的左边为11111111...234212212(1)k k k k -+-++-+--++，故从“n=k 到n=k+1”，左边所要添加的项是112122k k -++，故选D. 点睛：本题考查用数学归纳法证明等式，注意式子的结构特征，以及从n=k 到n=k+1项的变化．3．A【解析】分析：根据复数的坐标表示可得：122,32z i z i =--=+然后计算12z z ⋅即可.详解：由题可得122,32z i z i =--=+，故12z z ⋅=2643247i i i i ----=--，故选A. 点睛：考查复数的坐标表示和乘法运算，属于基础题.4．B【解析】分析：根据所给定义类比写表达式即可.详解：由题可得经过点()121P -，，，且法向量为()231n ，，=-的平面的点法式方程应为：2(1)3(2)(1)2330x y z x y z --+-++=-++-=，化简得2330x y z --+=，故选B. 点睛：考查推理证明的类比法，根据定义可直接得出答案，属于基础题.5．C【解析】分析：先分析函数的单调性和定义域，再根据单调性解不等式即可得出结论.详解：由函数()1ln f x x x =-，因为lnx 是在定义域内单调递增，1x-在(0,)+∞也为增函数故函数()1ln f x x x =-在(0,)+∞为增函数，所以只需：1210x x ->->得12<23x <,故选C.点睛：考查函数的单调性，对题意的正确理解，转化为比较问题括号变量的大小关系是解题关键，属于一般题.6．A【解析】分析：先根据点(3在第一象限得到表达式y =即可得出结论.详解：由题可得y ='y=3⇒倾斜角是30︒，故选A. 点睛：考查切线方程的斜率求法，对借助导数求切线方程的熟练是解题关键，属于基础题. 7．B【解析】分析：先根据题意画出草图，再结合定积分求解即可.详解：如图所示：有定积分的几何意义和图形对称性可得阴影区域面积为：32403192(242x x x x -=-==，故选B. 点睛：考查定积分的应用，能画出草图写出计算表达式是关键，属于基础题.8．C【解析】分析：可先根据奇偶性排除选项，在结合特殊值即可得出结论.详解：首先函数的定义域关于原点对称，然后由cos ()()sin x f x f x x x -==--+得出函数为奇函数，故排除A,B ，再令x=π得1()0f ππ=-<，故排除D ，选C.点睛： 考查函数的图像识别，通常根据奇偶性和特殊值，单调性来逐一排除得出答案. 9．D【解析】分析：先根据导函数求出原函数的单调区间，再结合极值点的取值限制函数图像的走势，从而得出结论详解：由题得：2'()336,f x x x =--+令'()021,'()012f x x f x x x >⇒-<<⇒<-或，故得函数在(2,1)-单调递增，在(,2),(1,)-∞-+∞单调递减，故要想使函数图像不经过第三象限，故只需(2)010f a -≥⇒≥故选D.点睛：考查导函数的应用，借助导函数求出单调区间，再结合条件找出(2)0f -≥是解题关键.10．A【解析】分析：由题可得要计算第2018次故需先找出运算周期，然后根据周期即可计算出结论. 详解：进行如下计算：222420+=，22204+=，2416=，221637+=，222222222223758,5+8=898+9145,14542,4220+==++=+=，，故周期为8，故第2018次计算结果为第2次计算结果为4，故选A.点睛：本题考查合情推理，考查学生的阅读能力，解题的关键是得出操作结果，以8为周期，循环出现．11．C分析：可先将问题变形为：142142216m n m n m n mn mn n m +++++==+，再结合‘1’的用法的基本不等式即可解决. 详解：由题可得：142142216m n m n m n mn mn n m+++++==+，216216112321()2()(2)(164)3618222m n m n n m n m n m +⋅=+⋅+⋅=+++≥⨯= 点睛：考查基本不等式的运用，对原式得正确变形和结合‘1’的用法解题是本题关键，属于中档题.12．D【分析】可先分析函数()ln x f x ex -=+的单调性，然后结合草图即可得出结论.【详解】 由题可得：定义域为：(0,)+∞，11'(),x x x e x f x e x xe-=-+=令(),'()1,x x g x e x g x e =-=-当x>0时e 1x ->0恒成立，故f （x ）在(0,)+∞单调递增，又函数()ln x f x e x -=+的零点为0x ，故0x 为唯一零点，再由1230x x x >>>，且()()()1230f x f x f x ⋅⋅<，可得两种情况：0123()0,()0,()0,()0,f x f x f x f x =<>>1023x x x x <<<，故A 、B 正确，或 0123()0,()0,()0,()0,f x f x f x f x =<<<1230x x x x <<<故C 正确，故选D.【点睛】考查导函数的单调性求法，考查学生对函数的分析能力和数形结合能力，能正确分析原函数的单调性是解题关键，属于中档题.13．3【解析】分析：根据纯虚数的条件可得出等式2230{10a a a --=+≠，解出即可. 详解：由题可得2230{10a a a --=+≠3a ⇒=，故答案为3. 点睛：考查复数的分类，属于基础题.【解析】分析：解决这个问题得分两步完成，第一步把三个学生分成两组，第二步从10所学校中取两个学校，把学生分到两个学校中，再用乘法原理求解详解：由题意知本题是一个分步计数问题，解决这个问题得分两步完成，第一步把三个学生分成两组，第二步从10所学校中取两个学校，把学生分到两个学校中，共有C 31C 22A 102=270． 故答案为：270．点睛：本题考查分步计数问题，本题解题的关键是把完成题目分成两步，看清每一步所包含的结果数，本题是一个基础题．15．{}|0m m m e >=-或【解析】 分析：先分离参数1ln x x m=，然后结合xlnx 的单调性和草图即可得出结论. 详解：令()ln '()ln 1f x x x f x x =⇒=+令11'()ln 10,'()ln 10,f x x x f x x x e e =+>⇒>=+<<，有定义域可得f （x ）在1(0,)e递减，1(,)e +∞递增，如图：，故1ln x x m =只有一解得：1110()f m m e >=或得0m m e >=-或，故答案为{}0m m m e =-或点睛：考查导函数的应用，考查方程根的个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键．16．(1]-∞-， 【解析】分析：由题可得只需x e x a -+能取遍所有正数，即最小值小于等于0．利用导数求出函数的单调区间，可得函数的最小值，再解不等式，解得a 的范围．详解： 欲使函数的值域为R ，只需x e x a -+能取遍所有正数，即最小值小于等于0．令()x f x e x a =-+，'()100,'()100x x f x e x f x e x =->⇒>=-<⇒<所以f （x ）在(0,)+∞递增，在(,0)-∞递减，故min ()0=1+f x f a =（）0≤1a ⇒≤-故答案为(]1，-∞-.点睛：本题主要考查复合函数的单调性和值域，体现了转化的数学思想，属于中档题． 17．见解析.【解析】分析：由题可得1是极值点故1是导函数的解.而()2234f x x cx c =-+' ()33c x c x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由()0f x '=，解得x c =或3c x =.从而可求得c ，即可得出f （x ）的极大值. 详解：因为()()23222f x x x c x cx c x =-=-+，所以()2234f x x cx c =-+'()33c x c x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由()0f x '=，解得x c =或3c x =.依题意，1是()f x '的较大零点，所以1c =，所以当13x =时，()f x 取得极大值21114133327f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 点睛：考查导函数得极值点和极值的判断，对题意的正确理解和计算正确是解题关键，属于基础题.18．(1)见解析;(2)见解析.【解析】分析：（1）分析法证明，>，>.继续往下推理即可（2）反证法：假设12a b +≤且12b a +≤，则114a b b a +++≤，借助基本不等式找出矛盾即可.详解：证明：（1）因为0a b >>+>>只需证22>>()()11a b a b +>+，只需证a b >.因为a b >>.（2）证法一：假设12a b +≤且12b a +≤，则114a b b a+++≤又因为0a b >>，所以11114a b a b b a a b ⎛⎫⎛⎫+++=+++>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，这与114a b b a+++≤矛盾.所以1a b +与1b a+至少有一个大于2.证法二：因为0a b >>，所以11a b<，所以112a a b a +>+≥=， 所以12a b+> 而1b a +与2的大小关系不确定，所以1a b +与1b a+至少有一个大于2. 点睛：考查推理证明的中的直接证明、间接证明以及基本不等式的应用，属于一般题. 19．(1)()f x 的单调递减区间为(1)+∞，，单调递增区间为(1)-∞，.(2)见解析. 【解析】分析：（1）求单调区间根据导函数大于零和小于零的解集即为单调增减区间；（2）求函数的最大值，先讨论函数的单调性，然后根据单调性确定最值点即可，注意分类讨论. 详解： （1）()1x xf x e='-，由()0f x '<，解得1x >；由()0f x '>，解得1x <. 所以函数()f x 的单调递减区间为()1+∞，，单调递增区间为()1，-∞. （2）由（1）可知： ①当102a <≤时，21a ≤，()f x 在[]2a a ，上是增函数，所以此时()()2max 22a a f x f a e==； ②当112a <<时，12a a <<，()f x 在1x =处取得极大值，也是它的最大值，所以此时()()max 11f x f e==；③当1a ≥时，()f x 在[]2a a ，上是减函数，所以此时()()max a af x f a e==.综上，函数()f x 在区间[]2a a ，上的最大值； 当102a <≤时，为22a a e ；当112a <<时，为1e ；当1a ≥时，为a ae. 点睛：考查导数在函数中的单调性和最值应用，属于导函数中比较常规的题型问题，注意分类讨论的完整性为关键.20．(1)见解析;(2)当3x =时，利润最大，最大利润是3600元. 【解析】分析：（1）根据利润=收入-成本的计算公式即可得出表达式；（2）借助导数分析函数单调性然后确定最值点即可.（1）依题意，可得2640010032340011x xy x x x x x ⎡⎤=⨯--=-⎢⎥++⎣⎦，05x <≤. （2）()264004001y x -+'=()()224002151x x x -+-=+，由0y '=，解得5x =-（舍）或3x =.当03x <<时，0y '>，所以利润函数在()03，上是增函数；当35x <≤时，0y '<，所以利润函数在(]35，上是减函数. 所以当3x =时，y 取得极大值，也是最大值，最大值为640034003360031⨯-⨯=+所以当3x =时，利润最大，最大利润是3600元.点睛：考查函数的实际应用，导函数求最值的应用，对表达式的正确书写是本题关键，属于基础题.21．(1)240x y --=;(2)[1)+∞，. 【解析】分析：（1）求切线方程，先求导，然后代入切点横坐标得到斜率()12k f ='=即可得出切线方程；（2）分析题意可先分离参数得到2ln 1x x x a x -≥+，然后分析函数2ln 1x x xx -+的单调性只需求出其最大值即可得a 的取值范围. （1）当1a =-时，()1ln 1f x x x =-+-，所以()211f x x x'=+，所以切线的斜率()12k f ='=.又因为()12f =-，所以切线方程为()221y x +=-，整理得240x y --=.（2）因为函数()f x 的定义域是()0+∞，，()1f x a ≥-即为ln 11ax a x+-≥-，可化为2ln 1x x x a x -≥+.设()2ln 1x x xg x x -=+，依题意，()max a g x ≥.()()21ln 1x xg x x --+'=，令()1ln h x x x =--，易知它在()0+∞，上是减函数，又因为()10h =，所以当01x <<时，()0h x >，()0g x >，所以()g x 在()01，上是增函数；当1x >时，()0h x <，()0g x '<，所以()g x 在()1+∞，上是减函数.所以()g x 在1x =处取得极大值，也是最大值，所以()()max 11g x g ==，所以1a ≥.所以a 的取值范围是[)1+∞，. 点睛：考查导数的几何意义，切线方程的求法、分离参数求导函数最值解决恒成立问题，属于常规题.22．(1)(2)e +∞，;(2)见解析. 【解析】分析：（1）要保证函数()2xf x eax =-有两个不同的零点1x ，2x ，可分析函数的单调性然后根据题意找出两个不同两点所对应的条件即可，对单调性的讨论，注意a 的影响；（2）由（1）可知，1x ，2x 是方程2x e ax =（0x >）的两个不等实根，也是方程2ln ln x a x =+的两个不等实根，也是函数()2ln ln h x x x a =--的两个零点，且12102x x <<<，故再构造函数()()()1x h x h x ϕ=--，只需分析出()x ϕ单调性即可得证. （1）解法一：()22xf x ea '=-.①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()-∞+∞，上是增函数，不可能有两个零点. ②当0a >时，由()f x ' 0=，解得1ln 22ax =，所以 若1ln 22a x <，则()0f x '<，所以()f x 在1ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，上是减函数；若1ln 22a x >，则()0f x '>，所以()f x 在1ln 22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上是增函数.所以当1ln 22a x =时，()f x 取得极小值，也是它的最小值.()min 1ln 22a f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ln 222a a a =-.因为()lim x f x →-∞=+∞，()lim x f x →+∞=+∞，所以若使()f x 有两个零点，只需ln 0222a a a-<，解得2a e >.综上，实数a 的取值范围是()2e +∞，. 解法二：题意⇔方程2xe ax =有两个不等实根，易知其中0x ≠，所以题意⇔方程2xe a x=有两个不等实根⇔函数y a =与2x ey x=的图象有两个不同的公共点.设()2x e g x x =，则()()2221xx eg x x -'=，所以当0x <或102x <<时，()0g x '<，所以()g x 在()0-∞，和102，⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数；当12x >，()0g x '>，所以()g x 在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上是增函数，所以当12x =时，()g x 取得极小值122g e ⎛⎫= ⎪⎝⎭.又因为()lim 0x g x →-∞=，()0lim x g x -→=-∞，()0lim x g x +→=+∞，()lim x g x →+∞=+∞，在同一坐标系中分别画出函数y a =与2xey x=的图象，如图所示，观察图形可知当2a e >时，二者有两个不同的公共点.所以实数a 的取值范围是()2e +∞，. （2）证明：由（1）可知，1x ，2x 是方程2x e ax =（0x >）的两个不等实根，也是方程2ln ln x a x =+的两个不等实根，也是函数()2ln ln h x x x a =--的两个零点，且12102x x <<<. 因为()1212x h x x x ='-=-，所以当102x <<时，()0h x '<，所以()h x 在102，⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数；当12x >时，()0h x '>，所以()h x 在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上是增函数.设()()()1x h x h x ϕ=--，则()()()1x h x h x ϕ'''=+- 21121x xx x --=+- ()()2211x x x --=-，所以当102x <<时， ()0x ϕ'<，所以()x ϕ在102，⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，所以()112x ϕϕ⎛⎫> ⎪⎝⎭0=，即()()1110h x h x -->，即()()111h x h x >-，即()()211h x h x >-.又因为21112x x ⎛⎫-∈+∞ ⎪⎝⎭，，，所以211x x >-，所以121x x +>. 点睛：考查导函数的应用，对于零点问题可理解为方程的根的个数或者图像与x 轴交点的个数，通常零点问题多进行数形结合思维，对于不等式证明问题，首先要将问题分析清楚，通过对函数的构造和单调性分析进行结合即可得出，属于难题.。

(解析版)山东省济宁市第一中学2017-2018学年高二下学

(解析版)山东省济宁市第一中学2017-2018学年高二下学

济宁市第一中学2017-2018学年度第二学期高二年级期中模块检测文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数满足，则对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】分析：先计算，故对应的点为，它在第三象限.详解：由题设有，该复数对应的点为，为第三象限内的点，故选C. 点睛：本题考察复数的几何意义，属于基础题.2. 观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量，之间关系最强的（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：观察频率等高条形图中的值，越大说明相关程度越高.详解：四个图中，的值最大的是C，故选C.点睛：本题考察从频率等高条形图看两类变量的相关性，可从的值判断，越大说明两类变量相关度越高.3. 在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线变为曲线，则曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：因为在曲线上，代入后就可以得到的关系式，它就是曲线的方程.详解：由题设有，故，化简得到，故选B.点睛：对于变换前的曲线、变换以及变换后曲线，如果我们知道其中两个，就可以求出剩余的一个，其中新旧对应点的坐标关系是核心.4. 点的直线坐标为，则它的极坐标可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用来求极径与极角.详解：，，因为点在第二象限，故取，故选C.点睛：本题考察直角坐标与极坐标的互化，关系式是关键，此类问题属于基础题.5. 执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】执行程序框图，输入时，；时，；时，；时，，的值呈周期性出现，周期为，，所以时，，退出循环，输出，故选C.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6. 直线（为参数）上对应的，两点间的距离是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：找出参数取值时对应的点的坐标，利用两点之间的距离求解即可.详解：当时，对应的点的坐标为，当时，对应的点的坐标为，故，故选D.点睛：同一直线的参数方程有很多形式，特别地，如果直线的参数方程是（为直线的倾斜角），那么的几何意义就是两点之间的距离.7. 在极坐标系中，圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A. （）B. （）C. （）D. （）【答案】D【解析】分析：表示的圆过极点且圆心在极轴上，故可以得到两条切线的极坐标方程.详解：表示的圆的圆心为，与极轴的两个交点分别为，故而垂直于极轴的两条切线方程为和，故选D.点睛：一般地，表示过极点且圆心在极轴上的圆；表示过极点且圆心在直线的圆.8. 用反证法证明命题时，对结论：“自然数，，中恰有一个偶数”正确的反设为（）A. 假设，，都是奇数B. 假设，，都是偶数C. 假设，，中至少有两个偶数D. 假设，，中至少有两个偶数或都是奇数【答案】D【解析】结论：“自然数中恰有一个偶数”的反面为恰有两个偶数或恰有三个偶数或恰没有偶数,因此选D.9. 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第个图案中的白色地面砖有（）A. 块B. 块C. 块D. 块【答案】C【解析】分析：仔细分析每个图形我们会发现相邻两幅图案的白色地面砖的差是一个常数，故而可用等差数列的通项来求第1000个图案中的白色地面砖的块数.详解：设为第个图案的白色地面砖的块数，则，故，故选C.点睛：此题为合情推理，属于基础题.10. 定义，，，的运算分别对应右图中的（1），（2），（3），（4），则图中，，对应的运算是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】分析：不同的运算形式与其对应的图形之间都有共同之处，比如都有运算，而图形都有正方形，故运算对应作正方形，对应作横线，对应作竖线，其余类似处理.详解：都有运算，而图形都有正方形，故运算对应作正方形，对应作横线，对应作竖线；都有运算，而图形都有圆，故运算对应作圆.所以对应的运算是，对应的运算是，故选A.点睛：本题考察类比推理，此类问题往往是两类对象在某些方面有相似的特点，所以它们也应该有相似的性质，注意类比推理得到的结果不一定正确.11. 若为虚数单位，复数满足，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：表示的几何意义是复数对应的点与点连线段的长度，从这个角度可以得到复数模的最大值.详解：表示的几何意义是复数对应的点到原点的距离为1，表示的几何意义是复数对应的点与点连线段的长度，故最大值为，故选B.点睛：一般地，的几何意义是复数对应的点与复数对应的点之间的距离，而则可以化成从而得到其几何意义.学%科%网...学%科%网...学%科%网...学%科%网...学%科%网...学%科%网...学%科%网...12. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），若以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为：（其中为常数）.若曲线与曲线有两个公共点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先把曲线转化为直角方程，在把曲线的极坐标方程转化为直角方程，在直角坐标系中联立方程组，利用该方程组有解求出参数的取值范围.详解：对于曲线，有，其中，.对于曲线，则有，也就是.因为两条曲线有两个不同的交点，故方程组有两个不同解，得有两个不同的解，从而，故，选C.点睛：一般地，当曲线以参数方程或极坐标方程给出时，我们可以把它们转为直角方程，在直角坐标系中讨论曲线与曲线的位置关系.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 如图1，在中，，，是垂足，则，该结论称为射影定理.如图2，在三棱锥中，平面，平面，为垂足，且在内，类比射影定理，可以得到结论：__________．【答案】【解析】分析：把三角形中的的长度、的长度类比为三棱锥侧面的面积、底面的面积，而的射影的长度类比为三棱锥底面的面积，及其内部为侧面在底面上的射影，故可以类比得到相应的面积关系．详解：把平面中的线段的长度类比为三棱锥的面的面积，故可类比得到：．下面证明该结论成立：在平面内过作交于，连接．因为平面，平面，平面，所以，，，故平面，因为平面，故平面平面，因为平面，故．又，，在直角三角形中，有，故，填．所以类比结论成立．点睛：类比推理得到的结论不一定正确，我们往往需要对类比推理得到的结论证明．14. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了次试验.根据收集到的数据（如表），由最小二乘法求得回归方.零件数个加工时间（现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为__________．【答案】68【解析】试题分析：设表中有一个模糊不清数据为，由表中数据得：，由最小二乘法求得回归方程将，代入回归方程，得。

山东省邹城市2018_2019学年高二数学下学期期中试卷(含解析)

山东省邹城市2018_2019学年高二数学下学期期中试卷(含解析)

2018～2019学年度第二学期期中考试高二数学试题一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合，，则集合是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】解方程得到集合；根据，即可求出集合.【详解】解方程得或，因为，所以或，因此，或，故，，所以.故选B【点睛】本题主要考查元素与集合的关系，熟记概念即可，属于基础题型.2.命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. .【答案】C【解析】【分析】根据含有一个量词的命题的否定，可直接写出结果.【详解】命题“，”的否定是“，”.故选C【点睛】本题主要考查命题否定，只需改写量词与结论即可，属于基础题型.3.已知随机变量满足，则的值等于（）A. 20B. 18C. 8D. 6【答案】B【解析】【分析】根据随机变量方差的性质即可得出结果.【详解】因为随机变量满足，所以.故选B【点睛】本题主要考查方差的性质，熟记结论即可，属于基础题型.4.某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图，关于相关系数的比较，其中正确的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据散点图的特征，数据大致呈增长趋势的是正相关，数据呈递减趋势的是负相关；数据越集中在一条线附近，说明相关性越强，进而可得出结果.【详解】根据散点图的特征，数据大致呈增长趋势的是正相关，数据呈递减趋势的是负相关；数据越集中在一条线附近，说明相关性越强，由题中数据可知：(1)(3)为正相关，(2)(4)为负相关；故；；又(1)与(2)中散点图更接近于一条直线，故，，因此，.故选C【点睛】本题主要考查相关系数，根据散点图的特征进行判断即可，属于基础题型.5.若函数在处的导数存在，则“函数在点处取得极值”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据极值的定义可知，前者是后者的充分条件；再根据，若左右两侧同号时，则不能推出在处取得极值，进而可得出结果.【详解】根据函数极值的定义可知：当函数在处取得极值时，一定成立，即“函数在点处取得极值”是“”的充分条件；当时，若左右两侧同号时，则不能推出在处取得极值，如：，其导函数为，当时，，但是单调函数，无极值点；所以“函数在点处取得极值”是“”的不必要条件.综上，“函数在点处取得极值”是“”的充分不必要条件.故选A【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件，熟记概念即可，属于常考题型.6.甲、乙两学生独立地解答同一道数学问题，甲生解答正确的概率是0.9，乙生解答正确的概率是0.8，那么至少有一学生解答正确的概率是（）A. 0.26B. 0.28C. 0.72D. 0.98【答案】D 【解析】 【分析】先记“甲解答数学问题正确”事件，“乙解答数学问题正确”为事件，根据题意即可求出结果.【详解】记“甲解答数学问题正确”为事件，“乙解答数学问题正确”为事件， 由题意可得，，则至少有一学生解答正确的概率是.故选D【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率，熟记概率计算公式即可，属于基础题型.7.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 （ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导，将函数在上单调递增，转化为在上恒成立的问题，分类讨论即可求出结果. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 当时，显然恒成立，故满足题意；当时，在上恒成立，可化为在上恒成立，所以. 综上，实数的取值范围是【点睛】本题主要考查导数的应用，根据函数在区间上的单调性求参数问题，通常只需用分离参数的方法处理，属于常考题型.8.我市某学校开设6门课程供学生选修，其中，两门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定：每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是（）A. 16B. 20C. 48D. 120 【答案】A【解析】【分析】分“每位同学都不选，”和“每位同学只选，中一门”两种情况讨论，即可求出结果. 【详解】分两种情况讨论如下：若“每位同学都不选，”，则有种选修方案；若“每位同学只选，中一门”，则有种选修方案；故每位同学不同的选修方案种数是.故选A【点睛】本题主要考查组合问题，熟记概念，掌握分类讨论的思想即可，属于常考题型.9.已知随机变量的概率分布为，其中是常数，则的值等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据条件，由概率之和为1，先求出；再由，即可求出结果.【详解】因为随机变量的概率分布为，所以，即，所以，故.故选D【点睛】本题主要考查概率的性质，熟记概率和为1即可，属于基础题型.10.由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的三位数，其中偶数的个数为（）A. 20B. 30C. 60D. 120 【答案】C【解析】【分析】由题意先确定个位数字，再从剩下的五个数字中选出2个进行排列，即可得出结果.【详解】由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的三位偶数，可得末尾只能是2、4、6中的一个，再从剩下的五个数字选出两个排在百位和十位即可，因此，偶数的个数为.故选C【点睛】本题主要考查排列组合问题，根据特殊问题优先考虑原则即可求解，属于基础题型.11.抛掷甲、乙两颗骰子，若事件:“甲骰子的点数大于3”；事件:“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则的值等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出发生的概率，再求出事件与事件都发生的概率，根据条件概率的概率计算公式即可求出结果.【详解】由题意可得：事件:“甲骰子的点数大于3”包含点数为4,5，6三种情况，所以为，又事件:“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，所以，事件与事件都发生所包含的情况有，共3个基本事件；而抛掷甲、乙两颗骰子，共有36种情况，所以事件与事件都发生的概率为，故.故选B【点睛】本题主要考查条件概率，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型.12.设是奇函数的导函数，且，当时，有，则使得成立的的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先构造函数，对求导，根据题中条件判断其单调性，以及奇偶性，将不等式转化为，结合的简图，即可求出结果.【详解】令，则，因为当时，有，所以，即函数在上单调递增；又是上的奇函数，所以，所以，故函数为奇函数，又，所以，，由可得，，即要使成立，只需成立；作出函数的简图如下：由图像可得，当时，，即.故选C【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要结合函数的单调性、奇偶性求解，属于常考题型.二、填空题。

邹城市一中2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题

邹城市一中2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题

邹城市一中2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题一、选择题1． 已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β．直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则（ ）A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l2． 实数a=0.2，b=log0.2，c=的大小关系正确的是（ ）A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a3． 函数y=2sin 2x+sin2x 的最小正周期（ ）A ．B ．C ．πD ．2π4． 若双曲线C ：x 2﹣=1（b ＞0）的顶点到渐近线的距离为，则双曲线的离心率e=（）A ．2B ．C ．3D ．5． 在等差数列中，已知，则（ ）A ．12B ．24C ．36D ．486． 命题“存在实数x ，使x ＞1”的否定是（ ）A ．对任意实数x ，都有x ＞1B ．不存在实数x ，使x ≤1C ．对任意实数x ，都有x ≤1D ．存在实数x ，使x ≤17． 对一切实数x ，不等式x 2+a|x|+1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．（﹣∞，﹣2）B ．D ．上是减函数，那么b+c （）A ．有最大值B ．有最大值﹣C ．有最小值D ．有最小值﹣8． 设有直线m 、n 和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（ ）A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥βC ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βD ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α9． 在中，角、、所对应的边分别为、、，若角、、依次成等差数列，且，,则等于（ ）A ．B ．C ．D ．210．已知、、的球面上，且，，球心到平面的距离为A B C AC BC ⊥30ABC ∠=oO ABC 1，点是线段的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（ ）M BC M O A B ．C D ．34π3π11．已知=（2，﹣3，1），=（4，2，x ），且⊥，则实数x 的值是（）A ．﹣2B ．2C ．﹣D ．班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________ADC B12．过抛物线C ：x 2=2y 的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，若抛物线C 在点B 处的切线斜率为1，则线段|AF|=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．以点（1，3）和（5，﹣1）为端点的线段的中垂线的方程是 ．14．已知（1+x+x 2）（x ）n （n ∈N +）的展开式中没有常数项，且2≤n ≤8，则n= ．15．一组数据2，x ，4，6，10的平均值是5，则此组数据的标准差是 ．16．过原点的直线l 与函数y=的图象交于B ，C 两点，A 为抛物线x 2=﹣8y 的焦点，则|+|= ．17．长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 ．18．设i 是虚数单位，是复数z 的共轭复数，若复数z=3﹣i ，则z •= ．三、解答题19．（本题满分12分）为了了解某地区心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机地对入院的50人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：22⨯患心肺疾病患心肺疾病合计男20525女101525合计302050（1）用分层抽样的方法在患心肺疾病的人群中抽6人，其中男性抽多少人？（2）在上述抽取的6人中选2人，求恰有一名女性的概率.（3）为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量，判断心肺疾病与性别是否有关？2K 下面的临界值表供参考：)(2k K P ≥15.010.005.0025.0010.0005.0001.0k 2.0722.7063.841 5.024 6.6357.879828.10（参考公式：，其中）))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=d c b a n +++=20．已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，f（1）=1，且若∀a、b∈[﹣1，1]，a+b≠0，恒有＞0，（1）证明：函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数；（2）解不等式；（3）若对∀x∈[﹣1，1]及∀a∈[﹣1，1]，不等式f（x）≤m2﹣2am+1恒成立，求实数m的取值范围．21．2015年9月3日，抗战胜利70周年纪念活动在北京隆重举行，受到全国人民的瞩目．纪念活动包括举行纪念大会、阅兵式、招待会和文艺晚会等，据统计，抗战老兵由于身体原因，参加纪念大会、阅兵式、招待会这三个环节（可参加多个，也可都不参加）的情况及其概率如表所示：参加纪念活动的环节数0123概率（Ⅰ）若从抗战老兵中随机抽取2人进行座谈，求这2人参加纪念活动的环节数不同的概率；（Ⅱ）某医疗部门决定从这些抗战老兵中（其中参加纪念活动的环节数为3的抗战老兵数大于等于3）随机抽取3名进行体检，设随机抽取的这3名抗战老兵中参加三个环节的有ξ名，求ξ的分布列和数学期望．22．化简：（1）．（2）+．23．如图，已知几何体的底面ABCD 为正方形，AC∩BD=N，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2EC，EC∥PD．（Ⅰ）求异面直线BD与AE所成角：（Ⅱ）求证：BE∥平面PAD；（Ⅲ）判断平面PAD与平面PAE是否垂直？若垂直，请加以证明；若不垂直，请说明理由．　24．已知函数f（x）=2cos2ωx+2sinωxcosωx﹣1，且f（x）的周期为2．（Ⅰ）当时，求f（x）的最值；（Ⅱ）若，求的值．邹城市一中2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题（参考答案）一、选择题1．【答案】D【解析】解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β．由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，与m，n异面矛盾．故α与β相交，且交线平行于l．故选D．【点评】本题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．2．【答案】C【解析】解：根据指数函数和对数函数的性质，知log0.2＜0，0＜0.2＜1，，即0＜a＜1，b＜0，c＞1，∴b＜a＜c．故选：C．【点评】本题主要考查函数数值的大小比较，利用指数函数，对数函数和幂函数的性质是解决本题的关键．　3．【答案】C【解析】解：函数y=2sin2x+sin2x=2×+sin2x=sin（2x﹣）+1，则函数的最小正周期为=π，故选：C．【点评】本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin（ωx+φ）的周期性，利用了函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，属于基础题．4．【答案】B【解析】解：双曲线C：x2﹣=1（b＞0）的顶点为（±1，0），渐近线方程为y=±bx，由题意可得=，解得b=1，c==，即有离心率e==．故选：B．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．5．【答案】B【解析】，所以，故选B答案：B6．【答案】C【解析】解：∵命题“存在实数x，使x＞1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”故选C7．【答案】B【解析】解：由f（x）在上是减函数，知f′（x）=3x2+2bx+c≤0，x∈，则⇒15+2b+2c≤0⇒b+c≤﹣．故选B．8．【答案】D【解析】解：A不对，由面面平行的判定定理知，m与n可能相交，也可能是异面直线；B不对，由面面平行的判定定理知少相交条件；C不对，由面面垂直的性质定理知，m必须垂直交线；故选：D．9．【答案】C【解析】因为角、、依次成等差数列，所以由余弦定理知，即，解得所以，故选C答案：C10．【答案】B【解析】∵，∴，AC BC ⊥90ACB ∠=o∴圆心在平面的射影为D 的中点，O AB∴，∴．112AB ==2AB =∴，cos30BC AC ==o当线段为截面圆的直径时，面积最小，BC∴截面面积的最小值为．234ππ⨯=11．【答案】A【解析】解：∵ =（2，﹣3，1），=（4，2，x ），且⊥，∴=0，∴8﹣6+x=0；∴x=﹣2；故选A ．【点评】本题考查向量的数量积判断向量的共线与垂直，解题的关键是将垂直关系转化为两向量的内积为0，建立关于x 的方程求出x 的值．　12．【答案】A【解析】解：∵x 2=2y ，∴y ′=x ，∴抛物线C 在点B 处的切线斜率为1，∴B （1，），∵x 2=2y 的焦点F （0，），准线方程为y=﹣，∴直线l 的方程为y=，∴|AF|=1．故选：A ．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查导数知识，正确运用抛物线的定义是关键．　二、填空题13．【答案】　x ﹣y ﹣2=0　．【解析】解：直线AB 的斜率 k AB =﹣1，所以线段AB 的中垂线得斜率k=1，又线段AB 的中点为（3，1），所以线段AB 的中垂线得方程为y ﹣1=x ﹣3即x ﹣y ﹣2=0，故答案为x ﹣y ﹣2=0．【点评】本题考查利用点斜式求直线的方程的方法，此外，本题还可以利用线段的中垂线的性质（中垂线上的点到线段的2个端点距离相等）来求中垂线的方程．14．【答案】　5　．【解析】二项式定理．【专题】计算题．【分析】要想使已知展开式中没有常数项，需（x）n（n∈N+）的展开式中无常数项、x﹣1项、x﹣2项，利用（x）n（n∈N+）的通项公式讨论即可．【解答】解：设（x）n（n∈N+）的展开式的通项为T r+1，则T r+1=x n﹣r x﹣3r=x n﹣4r，2≤n≤8，当n=2时，若r=0，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠2；当n=3时，若r=1，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠3；当n=4时，若r=1，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠4；当n=5时，r=0、1、2、3、4、5时，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中均没有常数项，故n=5适合题意；当n=6时，若r=1，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠6；当n=7时，若r=2，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠7；当n=8时，若r=2，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠2；综上所述，n=5时，满足题意．故答案为：5．【点评】本题考查二项式定理，考查二项展开式的通项公式，突出考查分类讨论思想的应用，属于难题．15．【答案】　2　．【解析】解：∵一组数据2，x，4，6，10的平均值是5，∴2+x+4+6+10=5×5，解得x=3，∴此组数据的方差[（2﹣5）2+（3﹣5）2+（4﹣5）2+（6﹣5）2+（10﹣5）2]=8，∴此组数据的标准差S==2．故答案为：2．【点评】本题考查一组数据的标准差的求法，解题时要认真审题，注意数据的平均数和方差公式的求法．16．【答案】　4　．【解析】解：由题意可得点B和点C关于原点对称，∴|+|=2||，再根据A为抛物线x2=﹣8y的焦点，可得A（0，﹣2），∴2||=4，故答案为：4．【点评】本题主要考查抛物线的方程、简单性质，属于基础题，利用|+|=2||是解题的关键．　17．【答案】　50π　【解析】解：长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为：，所以球的半径为：；则这个球的表面积是：=50π．故答案为：50π．18．【答案】　10　．【解析】解：由z=3﹣i，得z•=．故答案为：10．【点评】本题考查公式，考查了复数模的求法，是基础题．三、解答题19．【答案】【解析】【命题意图】本题综合考查统计中的相关分析、概率中的古典概型，突出了统计和概率知识的交汇，对归纳、分析推理的能力有一定要求，属于中等难度.20．【答案】【解析】解：（1）证明：任取x1、x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）∵＞0，即＞0，∵x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0．则f（x）是[﹣1，1]上的增函数；（2）由于f（x）是[﹣1，1]上的增函数，不等式即为﹣1≤x+＜≤1，解得﹣≤x＜﹣1，即解集为[﹣，﹣1）；（3）要使f（x）≤m2﹣2am+1对所有的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，只须f（x）max≤m2﹣2am+1，即1≤m2﹣2am+1对任意的a∈[﹣1，1]恒成立，亦即m2﹣2am≥0对任意的a∈[﹣1，1]恒成立．令g（a）=﹣2ma+m2，只须，解得m≤﹣2或m≥2或m=0，即为所求．21．【答案】【解析】解：（Ⅰ）设“这2名抗战老兵参加纪念活动的环节数不同”为事件M，则“这2名抗战老兵参加纪念活动的环节数相同”为事件，根据题意可知P（）==，由对立事件的概率计算公式可得，故这2名抗战老兵参加纪念活动的环节数不同的概率为．（Ⅱ）根据题意可知随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=4）=（）3=，则随机变量ξ的分布列为：ξ0123P则数学期望．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．22．【答案】【解析】解　（1）原式=======﹣1．（2）∵tan（﹣α）=﹣tanα，sin（﹣α）=cosα，cos（α﹣π）=cos（π﹣α）=﹣sinα，tan（π+α）=tanα，∴原式=+=+==﹣=﹣1．【点评】本题考查二倍角公式的应用，诱导公式的应用，三角函数化简求值，考查计算能力．23．【答案】【解析】解：（Ⅰ）PD⊥平面ABCD，EC∥PD，∴EC⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，∴EC⊥BD，∵底面ABCD为正方形，AC∩BD=N，∴AC⊥BD，又∵AC∩EC=C，AC，EC⊂平面AEC，∴BD⊥平面AEC，∴BD⊥AE，∴异面直线BD与AE所成角的为90°．（Ⅱ）∵底面ABCD为正方形，∴BC∥AD，∵BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴BC∥平面PAD，∵EC∥PD，EC⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，∴EC∥平面PAD，∵EC∩BC=C，EC⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，∴∴平面BCE∥平面PAD，∵BE⊂平面BCE，∴BE∥平面PAD．（Ⅲ）假设平面PAD与平面PAE垂直，作PA中点F，连结DF，∵PD⊥平面ABCD，AD CD⊂平面ABCD，∴PD⊥CD，PD⊥AD，∵PD=AD，F是PA的中点，∴DF⊥PA，∴∠PDF=45°，∵平面PAD⊥平面PAE，平面PAD∩平面PAE=PA，DF⊂平面PAD，∴DF⊥平面PAE，∴DF⊥PE，∵PD⊥CD，且正方形ABCD中，AD⊥CD，PD∩AD=D，∴CD⊥平面PAD．又DF⊂平面PAD，∴DF⊥CD，∵PD=2EC，EC∥PD，∴PE与CD相交，∴DF⊥平面PDCE，∴DF⊥PD，这与∠PDF=45°矛盾，∴假设不成立即平面PAD与平面PAE不垂直．【点评】本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的运用．考查了学生推理能力和空间思维能力．　24．【答案】【解析】（本题满分为13分）解：（Ⅰ）∵=，…∵T=2，∴，…∴，…∵，∴，∴，…∴，…当时，f（x）有最小值，当时，f（x）有最大值2．…（Ⅱ）由，所以，所以，…而，…所以，…即．…。

(解析版)山东省济宁市第一中学2017-2018学年高二下学

(解析版)山东省济宁市第一中学2017-2018学年高二下学

济宁市第一中学2017-2018学年度第二学期高二年级期中模块检测理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：利用复数的运算法则即可得出．详解：复数，故选A.点睛：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2. 用数学归纳法证明（）时，从向过渡时，等式左边应增添的项是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据式子的结构特征，求出当n=k时，等式的左边，再求出n=k+1 时，等式的左边，比较可得所求．详解：当n=k时，等式的左边为，当n=k+1 时，等式的左边为，故从“n=k到n=k+1”，左边所要添加的项是，故选D.点睛：本题考查用数学归纳法证明等式，注意式子的结构特征，以及从n=k到n=k+1项的变化．3. 在复平面内，若复数和对应的点分别是和，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据复数的坐标表示可得：然后计算即可.详解：由题可得，故=，故选A.点睛：考查复数的坐标表示和乘法运算，属于基础题.4. 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过动点，法向量为的直线的点法式方程为，化简得，类比上述方法，在空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面的点法式方程应为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：根据所给定义类比写表达式即可.详解：由题可得经过点，且法向量为的平面的点法式方程应为：，化简得，故选B.点睛：考查推理证明的类比法，根据定义可直接得出答案，属于基础题.5. 若函数，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先分析函数的单调性和定义域，再根据单调性解不等式即可得出结论.详解：由函数，因为lnx是在定义域内单调递增，在也为增函数故函数在为增函数，所以只需：得,故选C.点睛：考查函数的单调性，对题意的正确理解，转化为比较问题括号变量的大小关系是解题关键，属于一般题.6. 抛物线在点处切线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先根据点在第一象限得到表达式，然后求导根据切线方程的求法即可得出结论.详解：由题可得，，故切线的斜率为倾斜角是，故选A.点睛：考查切线方程的斜率求法，对借助导数求切线方程的熟练是解题关键，属于基础题.7. 直线与曲线围成的封闭图形的面积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先根据题意画出草图，再结合定积分求解即可.点睛：考查定积分的应用，能画出草图写出计算表达式是关键，属于基础题.8. 函数的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：可先根据奇偶性排除选项，在结合特殊值即可得出结论.详解：首先函数的定义域关于原点对称，然后由得出函数为奇函数，故排除A,B，再令x=π得，故排除D，选C.点睛：考查函数的图像识别，通常根据奇偶性和特殊值，单调性来逐一排除得出答案.9. 若函数的图象不经过第三象限，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先根据导函数求出原函数的单调区间，再结合极值点的取值限制函数图像的走势，从而得出结论详解：由题得：令，故得函数在单调递增，在单调递减，故要想使函数图像不经过第三象限，故只需故选D.点睛：考查导函数的应用，借助导函数求出单调区间，再结合条件找出是解题关键.10. “”是个很神奇的数，对其进行如下计算：，，，，，如此反复运算，则第次运算的结果是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题可得要计算第次故需先找出运算周期，然后根据周期即可计算出结论.详解：进行如下计算：，，，，，故周期为8，故第次计算结果为第2次计算结果为4，故选A.点睛：本题考查合情推理，考查学生的阅读能力，解题的关键是得出操作结果，以8为周期，循环出现．11. 若正数，满足，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：可先将问题变形为：，再结合‘1’的用法的基本不等式即可解决.详解：由题可得：，点睛：考查基本不等式的运用，对原式得正确变形和结合‘1’的用法解题是本题关键，属于中档题.12. 已知函数的零点为，，且，那么下列关系一定不成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：可先分析函数的单调性，然后结合草图即可得出结论.详解：由题可得：定义域为：，令当x>0时>0恒成立，故f（x）在单调递增，又函数的零点为，故为唯一零点，再由，且，可得两种情况：，故A、B正确，或故C正确，故选D.点睛：考查导函数得单调性求法，考查学生对函数的分析能力和数形结合能力，能正确分析原函数的单调性是解题关键，属于中档题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若复数为纯虚数，则实数__________．【答案】3【解析】分析：根据纯虚数的条件可得出等式，解出即可.详解：由题可得，故答案为3.点睛：考查复数的分类，属于基础题.14. 济宁市2018年中考有所高中招生，如果甲、乙、丙名同学恰好被其中的所学校录取，那么不同录取结果的种数为__________．【答案】270【解析】分析：解决这个问题得分两步完成，第一步把三个学生分成两组，第二步从10所学校中取两个学校，把学生分到两个学校中，再用乘法原理求解详解：由题意知本题是一个分步计数问题，解决这个问题得分两步完成，第一步把三个学生分成两组，第二步从10所学校中取两个学校，把学生分到两个学校中，共有C31C22A102=270．故答案为：270．点睛：本题考查分步计数问题，本题解题的关键是把完成题目分成两步，看清每一步所包含的结果数，本题是一个基础题．15. 若方程恰有一个实数解，则实数的取值集合为__________．【答案】【解析】分析：先分离参数，然后结合xlnx的单调性和草图即可得出结论.详解：令令，有定义域可得f（x）在递减，递增，如图：，故只有一解得：得，故答案为点睛：考查导函数的应用，考查方程根的个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键．16. 若函数的值域为，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：由题可得只需能取遍所有正数，即最小值小于等于0．利用导数求出函数的单调区间，可得函数的最小值，再解不等式，解得a的范围．点睛：本题主要考查复合函数的单调性和值域，体现了转化的数学思想，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数在处取得极小值，求的极大值.【答案】见解析.【解析】分析：由题可得1是极值点故1是导函数的解.而，由，解得或.从而可求得c，即可得出f（x）的极大值.详解：因为，所以，由，解得或.依题意，1是的较大零点，所以，所以当时，取得极大值.点睛：考查导函数得极值点和极值的判断，对题意的正确理解和计算正确是解题关键，属于基础题.18. 已知，求证：（1）；（2）与至少有一个大于.【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】分析：（1）分析法证明，要证，只需证.继续往下推理即可（2）反证法：假设且，则，借助基本不等式找出矛盾即可.详解：证明：（1）因为，所以和都是正数，所以要证，只需证.只需证，只需证，只需证，只需证.因为成立，所以.（2）证法一：假设且，则又因为，所以，这与矛盾.所以与至少有一个大于.证法二：因为，所以，所以，所以而与的大小关系不确定，所以与至少有一个大于.点睛：考查推理证明的中的直接证明、间接证明以及基本不等式的应用，属于一般题. 19. 已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）设，求函数在区间上的最大值.【答案】(1)的单调递减区间为，单调递增区间为.(2)见解析.【解析】分析：（1）求单调区间根据导函数大于零和小于零的解集即为单调增减区间；（2）求函数的最大值，先讨论函数的单调性，然后根据单调性确定最值点即可，注意分类讨论. 详解：（1），由，解得；由，解得.所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）由（1）可知：①当时，，在上是增函数，所以此时；②当时，，在处取得极大值，也是它的最大值，所以此时；③当时，在上是减函数，所以此时.综上，函数在区间上的最大值；当时，为；当时，为；当时，为.点睛：考查导数在函数中的单调性和最值应用，属于导函数中比较常规的题型问题，注意分类讨论的完整性为关键.20. 某人用一网箱饲养中华鲟，研究表明：一个饲养周期，该网箱中华鲟的产量（单位：百千克）与购买饲料费用（）（单位：百元）满足：.另外，饲养过程中还需投入其它费用.若中华鲟的市场价格为元/千克，全部售完后，获得利润元.（1）求关于的函数关系式；（2）当为何值时，利润最大，最大利润是多少元？【答案】(1)见解析;(2)当时，利润最大，最大利润是元.【解析】分析：（1）根据利润=收入-成本的计算公式即可得出表达式；（2）借助导数分析函数单调性然后确定最值点即可.（1）依题意，可得，.（2），由，解得（舍）或.当时，，所以利润函数在上是增函数；当时，，所以利润函数在上是减函数.所以当时，取得极大值，也是最大值，最大值为所以当时，利润最大，最大利润是元.点睛：考查函数的实际应用，导函数求最值的应用，对表达式的正确书写是本题关键，属于基础题.21. 已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，，求的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】分析：（1）求切线方程，先求导，然后代入切点横坐标得到斜率即可得出切线方程；（2）分析题意可先分离参数得到，然后分析函数的单调性只需求出其最大值即可得a的取值范围.（1）当时，，所以，所以切线的斜率.又因为，所以切线方程为，整理得.（2）因为函数的定义域是，即为，可化为.设，依题意，.，令，易知它在上是减函数，又因为，所以当时，，，所以在上是增函数；当时，，，所以在上是减函数.所以在处取得极大值，也是最大值，所以，所以.所以的取值范围是.点睛：考查导数的几何意义，切线方程的求法、分离参数求导函数最值解决恒成立问题，属于常规题.22. 设函数有两个零点，，且.（1）求的求值范围；（2）求证：.【答案】(1);(2)见解析.【解析】分析：（1）要保证函数有两个不同的零点，，可分析函数的单调性然后根据题意找出两个不同两点所对应的条件即可，对单调性的讨论，注意a的影响；（2）由（1）可知，，是方程（）的两个不等实根，也是方程的两个不等实根，也是函数的两个零点，且，故再构造函数，只需分析出单调性即可得证.（1）解法一：.①当时，，在上是增函数，不可能有两个零点.②当时，由，解得，所以若，则，所以在上是减函数；若，则，所以在上是增函数.所以当时，取得极小值，也是它的最小值..因为，，所以若使有两个零点，只需，解得. 综上，实数的取值范围是.解法二：题意方程有两个不等实根，易知其中，所以题意方程有两个不等实根函数与的图象有两个不同的公共点.设，则，所以当或时，，所以在和上是减函数；当，，所以在上是增函数，所以当时，取得极小值.又因为，，，，在同一坐标系中分别画出函数与的图象，如图所示，观察图形可知当时，二者有两个不同的公共点.所以实数的取值范围是.（2）证明：由（1）可知，，是方程（）的两个不等实根，也是方程的两个不等实根，也是函数的两个零点，且.因为，所以当时，，所以在上是减函数；当时，，所以在上是增函数.设，则，所以当时，，所以在上是减函数，所以，即，即，即.又因为，所以，所以.点睛：考查导函数的应用，对于零点问题可理解为方程的根的个数或者图像与x轴交点的个数，通常零点问题多进行数形结合思维，对于不等式证明问题，首先要将问题分析清楚，通过对函数的构造和单调性分析进行结合即可得出，属于难题.。

山东省济宁市第一中学2017-2018学年高二下学期期中考

山东省济宁市第一中学2017-2018学年高二下学期期中考

济宁市第一中学2017-2018学年度第二学期高二年级期中模块检测文科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足23iz i =-，则z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2.观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量x ，y 之间关系最强的（ ）A ．B ．C ．D ．3.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换42x xy y '=⎧⎨'=⎩后，曲线C 变为曲线221x y -=，则曲线C的方程为（ ）A ．224161x y -=B ．221641x y -=C ．22111164x y -= D ．22111416x y -=4.点P 的直线坐标为()1，则它的极坐标可以是（ ） A ．26π⎛⎫ ⎪⎝⎭， B ．26π⎛⎫- ⎪⎝⎭， C.526π⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．26π5⎛⎫-⎪⎝⎭， 5.执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的a 的值为（ ） A ．32 B ．23 C.13D ．2-6.直线231x t y t=+⎧⎨=-+⎩，（t 为参数）上对应的0t =，2t =两点间的距离是（ ）A ．1B 10 D ．7.在极坐标系中，圆6cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ） A ．0θ=（ρ∈R ）cos 6ρθ= B ．0θ=（ρ∈R ）cos 3ρθ= C.2πθ=（ρ∈R ）cos 3ρθ= D ．2πθ=（ρ∈R ）cos 6ρθ=8.用反证法证明命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为（ ） A ．假设a ，b ，c 都是奇数 B ．假设a ，b ，c 都是偶数C.假设a ，b ，c 中至少有两个偶数 D ．假设a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数 9.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第1000个图案中的白色地面砖有（ ）A ．3888块B ．4000块 C.4002块 D ．4004块10.定义*A B ，*B C ，*C D ，*D A 的运算分别对应右图中的（1），（2），（3），（4），则图中，a ，b 对应的运算是（ ）A ．*B D ，*AC B ．*BD ，*A D C.*B C ，*A D D ．*C D ，*A D 11.若i 为虚数单位，复数z 满足1z =，则2z i -+的最大值为（ ）A ．6B 11 D 212.在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为sin cos sin 2x y θθθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），若以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线N 的极坐标方程为：sin()4πρθ+=t 为常数）.若曲线N 与曲线M 有两个公共点，则t 的取值范围是（ ）A ．54t ≥-B ．514t -≤ C.514t -<≤D ．11t ≤<第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如图1，在ABC △中，AB AC ⊥，AD BC ⊥，D 是垂足，则2AB BD BC =⋅，该结论称为射影定理.如图2，在三棱锥A BCD -中，AD ⊥平面ABC ，AO ⊥平面BCD ，O 为垂足，且O 在BCD △内，类比射影定理，可以得到结论： ．14.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验.根据收集到的数据（如表），由最小二乘法求得回归方0.6754.9y x =+.现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为 ． 15.在下列命题中，①z ∈R 的一个充要条件是z 与它的共轭复数相等：②利用独立性检验来考查两个分类变量X ，Y 是否有关系，当随机变量2K 的观测值k 值越大，“X 与Y 有关系”成立的可能性越大；③在回归分析模型中，若相关指数越大，则残差平方和越小，模型的拟合效果越好； ④若a ，b 是两个相等的实数，则()()a b a b i -++是纯虚数；⑤某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人，这个推理过程是演绎推理. 其中真命题的序号为 ．16.曲线C 的参数方程为4cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），M 是曲线C 上的动点，若曲线T 极坐标方程2sin cos 20ρθρθ+=，则点M 到T 的距离的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知z C ∈，且满足2()52z z z i i ++=+. （1）求 z ；（2）若m R ∈，w zi m =+，求证：1w ≥. 18. 试比较下列各式的大小（不写过程）（1）1（22n ≥且*n N ∈）的大小关系，并用分析法加以证明.19. 传承传统文化再掀热潮，央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏.将中学组和大学组的参赛选手按成绩分为优秀、良好、一般三个等级，随机从中抽取了100名选手进行调查，下面是根据调查结果绘制的选手等级人数的条形图.（1）若将一般等级和良好等级合称为合格等级，根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并据此资料你是否有95%的把握认为选手成绩“优秀”与文化程度有关？注：2()()()()()n adbc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.（2）若参赛选手共6万人，用频率估计概率，试估计其中优秀等级的选手人数； 20. 在极坐标系中，曲线:2cos C a ρθ=（0a >），3:c o s ()32l πρθ-=，C 与l 有且仅有一个公共点. （1）求a ；（2）O 为极点，A ，B 为C 上的两点，且3AOB π∠=，求OA OB +的最大值.21. 某种新产品投放市场一段时间后，经过调研获得了时间x （天数）与销售单价y （元）的一组数据，且做了一定的数据处理（如表），并作出了散点图（如图）表中1i iw x =，101110i i w w ==∑.（1）根据散点图判断，y a bx =+与dy c x=+哪一个更适宜作价格y 关于时间x 的回归方程类型？（不必说明理由）（2）根据判断结果和表中数据，建立y 关于x 的回归方程； （3）若该产品的日销售量()g x （件）与时间x 的函数关系为20()25g x x=-+（*x N ∈），求该产品投放市场第几天的销售额最高？最高为多少元？（结果保留整数） 附：对于一组数据11()u v ，，22()u v ，，33()u v ，，，()n n u v ，，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()()()nii i nii vv u u uu β==--=-∑∑，v u αβ=-.22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程是1x y ⎧=⎪⎨⎪⎩t 为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22223cos 4sin 12ρθρθ+=，且直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点.（1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； （2）把直线l 与x 轴的交点记为A ，AP AQ ⋅的值.济宁市第一中学2017-2018学年度第二学期高二年级期中模块检测文科数学答案一、选择题1-5:CCBCC 6-10:DDDCA 11、12：BC 二、填空题13.2()ABC OBC BCD S S S =⋅△△△ 14.68 15.①②③16.22+三、解答题17.解：（1）设z a bi =+（a b R ∈，），则222z a b =+，()2z z i ai +=由22252a b ai i ++=+得22522a b a ⎧+=⎨=⎩解得12a b =⎧⎨=⎩或12a b =⎧⎨=-⎩∴12z i =+或12z i =- （2）当12z i =+时，w zi m =+(12)i i m =++2i m =-++1=当12z i =-时，w zi m =+(12)i i m =-+21i m =++ ∴1w ≥18.解：（1）1（22n ≥且n N ∈）2n ≥且n N ∈）0，0>，即证：22<整理得24n n +n平方并整理得：10-<，显然成立，故猜想正确. 19.解：（1）由条形图可知22⨯列联表如下：2100(45151030)100 3.030 3.8417525455533K ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯∴没有95%的把握认为优秀与文化程度有关.（2）由条形图知，所抽取的100人中，优秀等级有75人，故优秀率为7531004=. ∴所有参赛选手中优秀等级人数约为36 4.54⨯=万人. 20.解：（1）曲线C ：2cos a ρθ=（0a >），变形22cos a ρρθ=，化为222x y ax +=，即222()x a y a -+= ∴曲线C 是以(0)a ，为圆心，以a 为半径的圆；由3:cos()32l πρθ-=，展开为13cos sin 22ρθθ=，∴l 的直角坐标方程为30x +-=. 由直线l 与圆C 相切可得32a a -=，解得1a =.（2）不妨设A 的极角为θ，B 的极角为3πθ+，则2cos 2cos()3OA OB πθθ+=++3cos )6πθθθ==+，()26ππθ∈-，当6πθ=-时，OA OB +取得最大值.21.解：（1）由散点图可以判断dy c x=+适合作作价格y 关于时间x 的回归方程类型； （2）令1w x =，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于42.50500.85d ==，∴91.5500.8350c =-⨯=，∴y 关于w 的线性方程为5050y w =+， ∴y 关于x 的线性方程为5050y x=+ （3）设日销售额为()h x ，则()h x 505020(50)()(50)(25)g x x x x=+⋅=+⋅-+ 2211511811000()1000[()]44864x x x =---=---， ∴8x =时，()1266h x ≈（元）即该产品投放市场第8天的销售额最高，最高约为1266元.22.解：（1）消去方程1x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩中的参数可得10x y --=.将cos x ρθ=,sin y ρθ=代入22223cos 4sin 12ρθρθ+=， 可得223412x y +=.故直线l 的普通方程为10x y --=，曲线C 的直角坐标方程为223412x y +=. （2）解法1：在10x y --=中，令0y =，得1x =，则(10)A ，. 由22341210x y x y ⎧+=⎨--=⎩消去y 得27880x x --=设11()P x y ，，22()Q x y ，，其中12x x <，则有1287x x +=，1287x x =-.故1111)AP x -=-，)2211AQ x =--， 所以122(1)(1)AP AQ x x ⋅=---()121218217x x x x =--++=⎡⎤⎣⎦. 解法2：把()()1122x t y t ⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入223412x y +=，整理得21490t +-=，则12914t t =-， 所以()()1212182247AP AQ t t t t ⋅=-⋅=-=。

山东省济宁市邹城一中2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题(解析版)

山东省济宁市邹城一中2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题(解析版)

2017~2018学年度第二学期期中考试高二数学试题(理)第I卷(选择题60分)一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若复数，则其虚部为（）A. -1B. 2C. -2D.【答案】B【解析】分析：利用复数的运算法则进行求解．详解：因为，所以复数的虚部为2.点睛：本题考查复数的运算法则等知识，意在考查学生的基本计算能力．2. 设函数 (为自然对数的底数).若，则（）A. B. C. D. 1【答案】D【解析】分析：利用函数的求导法则求导，再代值求导．详解：因为，所以数，若，所以 1点睛：本题考查导数的运算法则等知识，意在考查学生的基本计算能力．3. 已知①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形.由①、②、③组合成“三段论”.根据“三段论”推理出一个结论,则这个结论是（）A. 正方形是平行四边形B. 平行四边形的对角线相等C. 正方形的对角线相等D. 以上均不正确【答案】C【解析】分析：理解三段论的大前提、小前提、结论，结合题意即可得到相应的结论．详解：大前提：②平行四边形的对角线相等；小前提：①正方形的对角线相等；结论：③正方形是平行四边形．点睛：本题考查三段论的有关知识，解决本题的关键是区分大前提、小前提、结论．4. 函数的定义域为开区间，其导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【解析】分析：先由导函数的图像分析、判断得出原函数的单调性，在由此得到函数在区间内极小值点的个数．详解：由导函数的图像可知：原函数先增再减再增再减，所以由此可知函数在区间内有1个极小值点.5. 利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变到时，左边增加了（）A. 1项B. 项C. 项D. 项【答案】C【解析】分析：先表示出、，通过对比观察由变到时，项数增加了多少项.详解：因为，所以当，当，所以由变到时增加的项数为.点睛：本题考查数学归纳法的操作步骤，解决本题的关键是首先观察出分母连续的整数，当，，由此可得变化过程中左边增加了多少项，意在考查学生的基本分析、计算能力．6. 给出下列两个论断：①已知：，求证：；用反证法证明时，可假设.②设为实数，，求证：与中至少有一个不小于；用反证法证明时可假设且. 以下说法正确的是（）A. ①与②的假设都错误B. ①与②的假设都正确C. ①的假设正确，②的假设错误D. ①的假设错误，②的假设正确【答案】C【解析】①用反证法证明时，假设命题为假，应为全面否定，所以的假命题应为，故①的假设正确；②与中至少有一个不小于的否定为与中都小于，故②的假设错误；故选C.7. 下列类比推理中,得到的结论正确的是（）A. 把长方体与长方形类比，则有长方体的对角线平方等于长、宽、高的平方和B. 把与类比，则有C. 向量的数量积运算与实数的运算性质类比，则有D. 把与类比，则有【答案】A【解析】分析：利用对数运算法则可判断；利用平面向量数量积公式可判断；利用乘方运算法则可判断；利用长方体的性质可判断.详解：根据对数运算法则，可得不正确；利用向量的数量积运算，可得不正确；利用乘方运算法则，可得不正确；把长方体与长方形类比，根据长方体的性质则有长方体的对角线平方等长、宽、高的平方和，可知正确，故选D. 点睛：本题主要考查类比推理，对数运算法则、平面向量数量积公式、乘方运算以及长方体的性质，意在考查学生综合利用所学知识解决问题的能力.8. 函数的(为自然对数的底数)递增区间为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：求出，令求得的范围，即可到得函数增区间.详解：因为，所以=，令,可得,所以函数的递增区间为，故选D.点睛：本题主要考查导数运算法则以及利用导数研究函数的单调性，属于简单题.利用导数研究函数的单调性时，一定要注意考虑函数的定义域，这是易错点.9. 如下图所示，阴影部分的面积为（）A. B. 1 C. D.【答案】B【解析】分析：先求区间上对应的阴影部分的面积，再求区间上对应的阴影部分的面积，最后求和即可．详解：=.点睛：本题考查定积分的应用，意在考查学生的计算能力．10. 函数在上的最小值是（）A. B. C. -4 D. -1【答案】A【解析】分析：对进行求导，利用导数研究函数的单调性，结合单调性可得函数的极值，比较区间端点函数值与极值的大小，从而可得结果.详解：，，令，解得或，当时，为减函数；当时，为增函数，在上取极小值，也是最小值，，故选A.点睛：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间上的最大值与最小值是通过比较函数在内所有极值与端点函数得到的，这是容易出错的地方.11. 2018年4月我市事业编招考笔试成绩公布后，甲、乙、丙、丁四位同学同时报考了教育类的高中数学职位，他们的成绩有如下关系：甲、乙的成绩之和与丙、丁成绩之和相同，乙、丁成绩之和大于甲、丙成绩之和，甲的成绩大于乙、丙成绩之和.那么四人的成绩最高的是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】D【解析】分析：由甲+乙=丙+丁，乙+丁甲+丙，甲乙+丙,可得相应结论．详解：因为甲、乙的成绩和与丙、丁成绩之和相同，乙、丁成绩之和大于甲、丙成绩之和，所以甲+乙=丙+丁，乙+丁甲+丙，即丁甲，又因为甲的成绩大于乙、丙成绩之和，所以甲乙+丙，所以丁甲乙+丙，所以丁的成绩最高.点睛：本题考查推理的应用，意在考查学生的分析、推理能力．这类题的特点是：通过几组命题来创设问题情景，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.对于逻辑推理问题，应耐心读题，找准突破点，对于复杂的逻辑关系，可以采用解不等式的方式，以便于我们理清多个量中的逻辑关系.12. 已知是定义在上的函数，其导函数满足 (，为自然对数的底数)，则（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】分析：由条件得到函数的单调性，进而判断出结论．详解：，则；因为,所以；所以函数在上是减函数；所以，即，.点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生的分析、综合应用能力．解决本题的关键是由条件得到原函数的模型，这也是解决问题的难点，这也是解决一类问题的常见技巧，许多问题运用这种技巧可以使得问题简洁明了.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题（本题共4小题,每小题5分,共20分）13. 设复数满足 (为虚数单位)，则的值为__________．【答案】【解析】分析：由条件得到复数的代数形式，即可求得复数模长.详解：因为，所以==，所以点睛：本题考查复数的四则运算，意在考查学生的计算能力．14. 已知力 (为自然对数的底数)且和轴正方向相同.若力作用在质点上，并从点处运动到处，则对质点所做的功是__________．【答案】【解析】分析：对函数在区间上求定积分，即可求出对质点所做的功.详解：由题意可得：对质点所做的功为.点睛：本题考查定积分的应用，属于基础题．【答案】【解析】分析：函数的导函数在上大于等于0恒成立，即恒成立，由此可得实数的取值范围.详解：因为，所以恒成立；即恒成立；所以，所以.点睛：本题考查导数的综合应用，属于中档题．处理这类问题一般步骤是：1、先求导数，根据条件确定导函数的正负；2、分离参量构造函数，求构造新函数的最大，最小值；3、根据条件得出参量的取值范围.16. 分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·曼德尔布罗特( Benoit B. Mandelbrot)在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统众多领域的难题提供了全新的思路.下图是按照分形的规律生长成的一个树形图，则第10行的空心圆的个数是__________．【答案】21【解析】第7行为:8实心圆5空心圆第8行为:13实心圆8空心圆第9行为:21实心圆13空心圆第10行为:34实心圆21空心圆三、解答题： (本大题共6个小题,共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤).17. 已知复数 (，为虚数单位)(Ⅰ)若是纯虚数，求实数的值；(Ⅱ)若，设 ()，试求.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】分析：（Ⅰ）先把复数整理成的形式，由虚部等于0得到实数的值；（Ⅱ）把复数整理成的形式，根据复数相等的条件得到的值进而求出。

山东省邹城市2018_2019学年高二数学下学期期中试题(含解析)

山东省邹城市2018_2019学年高二数学下学期期中试题(含解析)

先将函数
有两个不同的零点，转化为
有两不等实根，令
，
则直线 与曲线
有两不同交点，用导数方法判断函数 的单调性，作出函数
的大致图像，结合图像即可得出结果.
【详解】因为函数
有两个不同的零点，
所以
有两不等实根，令
，
则直线 与曲线
有两不同交点，
又
，
令
得，
所以，当 时，
当 时，
，
， 单调递减； 单调递增；
所以
，
此时
.
不妨设 的展开式为
.
令 ，得
.
令
，得
，
两式相加得
，即
.
故 展开式中 的偶次幂项的系数之和为 29.
【点睛】本题主要考查二项式定理，熟记二项展开式的通项公式即可，属于常考题型.
20.第 18 届国际篮联篮球世界杯将于 2019 年 8 月 31 日至 9 月 15 日在中国北京、广州等八 座城市举行.届时，甲、乙、丙、丁四名篮球世界杯志愿者将随机分到 、 、 三个不同的 岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.
3.已知随机变量 满足
，则
的值等于（ ）
1
精品文档，欢迎下载！
A. 20
B. 18
C. 8
【答案】B
【解析】
【分析】
根据随机变量方差的性质即可得出结果.
【详解】因为随机变量 满足
，所以
.
故选 B
【点睛】本题主要考查方差的性质，熟记结论即可，属于基础题型.
D. 6
4.某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图，关于相关系数的比较， 其中正确的是（ ）
，
所以

山东省邹城市2018-2019学年高二下学期期中考试数学试卷(带解析)

山东省邹城市2018-2019学年高二下学期期中考试数学试卷(带解析)

17. 已知集合
，
，
.
（ 1）求
，
：
（ 2）若
是 的必要条件，求实数 的取值范围 .
【答案】 (1)
；
(2)
【解析】
【分析】
(1)先化简集合 ，再由交集、并集、补集的概念即可求出结果；
(2)先由题意得到
，进而可得出结果 .
【详解】解： （ 1）因为
，
所以
，
，
.
（ 2）由已知，得
，
因为
是
的必要条件，所以
）
A. 0.26
B. 0.28
C. 0.72
D. 0.98
【答案】 D
【解析】
【分析】
先记“甲解答数学问题正确”
事件 ，“乙解答数学问题正确”为事件
，根据题意即可求出结果 .
【详解】记“甲解答数学问题正确”为事件
，“乙解答数学问题正确”为事件
，
由题意可得
，
，
则至少有一学生解答正确的概率是
.
故选 D
，
，
.
所以
，
.
故所求线性回归方程为
.
（ 2）由（ 1）知，当
时，
，
所以可预测该市车流量为 10 万辆时
的浓度约为 77 微克 / 立方米 .
【点睛】本题主要考查线性回归方程，熟记最小二乘法求
与 即可，属于常考题型 .
19. 已知 （ 1）求 的系数取最小值时 的值；
的展开式中 的系数为 11.
（ 2）当 的系数取得最小值时，求
，
又因为
，所以
，解得
.
故所求实数 的取值范围为
.

邹城市第一中学2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题

邹城市第一中学2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题

邹城市第一中学2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题一、选择题1． 四棱锥的底面为正方形，底面，，若该四棱锥的所有顶点都在P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD 2AB =体积为同一球面上，则（ ）24316πPA =A ．3 B ． C ．D ．7292【命题意图】本题考查空间直线与平面间的垂直和平行关系、球的体积，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、方程思想、运算求解能力．2． f （）=，则f （2）=（ ）A ．3B ．1C ．2D ．3． 如图所示的程序框图输出的结果是S=14，则判断框内应填的条件是（）A ．i ≥7？B ．i ＞15？C ．i ≥15？D ．i ＞31？4． 已知函数满足，且，分别是上的偶函数和奇函数，()xF x e =()()()F x g x h x =+()g x ()h x R 若使得不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）(0,2]x ∀∈(2)()0g x ah x -≥A ． B ．C ． D．(,-∞(,-∞(0,)+∞5． 已知正项等差数列中，，若成等比数列，则（ ）{}n a 12315a a a ++=1232,5,13a a a +++10a = A ．B ．C ．D ．192021226． 集合A={x|﹣1≤x ≤2}，B={x|x ＜1}，则A ∩B=（）A ．{x|x ＜1}B ．{x|﹣1≤x ≤2}C ．{x|﹣1≤x ≤1}D ．{x|﹣1≤x ＜1}7． 四面体中,截面 是正方形， 则在下列结论中，下列说法错误的是（）ABCD PQMN A ． B ．AC BD ⊥AC BD= C.D ．异面直线与所成的角为AC PQMN P PM BD 45o8． 已知f （x ）=x 3﹣6x 2+9x ﹣abc ，a ＜b ＜c ，且f （a ）=f （b ）=f （c ）=0．现给出如下结论：班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________①f （0）f （1）＞0；②f （0）f （1）＜0；③f （0）f （3）＞0；④f （0）f （3）＜0．其中正确结论的序号是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④9． 设a ，b 为实数，若复数，则a ﹣b=（）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．210．（2016广东适应）已知双曲线的顶点为椭圆长轴的端点，且双曲线的离心率与椭圆的离心率1222=+y x 的乘积等于，则双曲线的方程是（ ）1A ．B ． C ．D ．122=-y x 122=-x y 222=-y x 222=-x y 11．直线： （为参数）与圆：（为参数）的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交且过圆心D ．相交但不过圆心12．已知，，其中是虚数单位，则的虚部为（ ）i z 311-=i z +=32i 21z z A ．B ．C ．D ．1-54i -i 54【命题意图】本题考查复数及共轭复数的概念，复数除法的运算法则，主要突出对知识的基础性考查，属于容易题.二、填空题13．设函数f （x ）=，则f （f （﹣2））的值为 ．14．圆上的点（2，1）关于直线x+y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x ﹣y+1=0相交所得的弦长为，则圆的方程为 ．15．设函数，若用表示不超过实数m 的最大整数，则函数的值域为 ．16．【泰州中学2018届高三10月月考】设二次函数（为常数）的导函数为()2f x ax bx c =++,,a b c ，对任意，不等式恒成立，则的最大值为__________．()f x 'x R ∈()()f x f x ≥'222b a c+17．设A={x|x ≤1或x ≥3}，B={x|a ≤x ≤a+1}，A ∩B=B ，则a 的取值范围是 ．18．台风“海马”以25km/h 的速度向正北方向移动，观测站位于海上的A 点，早上9点观测，台风中心位于其东南方向的B 点；早上10点观测，台风中心位于其南偏东75°方向上的C 点，这时观测站与台风中心的距离AC 等于 km ．三、解答题19．如图所示，已知在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD=5，AB=7，BD=8，∠BCD=135°．（1）求∠BDA 的大小（2）求BC 的长．20．【启东中学2018届高三上学期第一次月考（10月）】设,函数.1a >()()21xf x x ea =+-（1）证明在上仅有一个零点；(（2）若曲线在点处的切线与轴平行,且在点处的切线与直线平行,（O 是坐标原点）,证明:1m ≤-21．甲、乙两位同学参加数学竞赛培训，在培训期间他们参加5次预赛，成绩如下：甲：78 76 74 90 82乙：90 70 75 85 80（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；（Ⅱ）现要从中选派一人参加数学竞赛，你认为选派哪位学生参加合适？说明理由．22．在极坐标系下，已知圆O ：ρ=cos θ+sin θ和直线l ：．（1）求圆O 和直线l 的直角坐标方程；（2）当θ∈（0，π）时，求直线l 与圆O 公共点的极坐标． 23．（本小题满分12分）如图，四棱锥中，底面是边长为的菱形，且，侧面为等边三角形，P ABCD -ABCD 260oABC ∠=PDC 且与底面垂直，为的中点．ABCD M PB （Ⅰ）求证：；PA ⊥DM （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．PC DCM24．【泰州中学2018届高三10月月考】已知函数.()(),,xf x eg x x m m R ==-∈（1）若曲线与直线相切，求实数的值；()y f x =()y g x =m （2）记，求在上的最大值；()()()h x f x g x =⋅()h x []0,1（3）当时，试比较与的大小.0m =()2f x e-()g x邹城市第一中学2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题（参考答案）一、选择题1． 【答案】B【解析】连结交于点，取的中点，连结，则，所以底面，则,AC BD E PC O OE OE PA P OE ⊥ABCD O到四棱锥的所有顶点的距离相等，即球心，均为，所以由球的体积O 12PC ==可得，解得，故选B ．34243316ππ=72PA =2． 【答案】A 【解析】解：∵f （）=，∴f （2）=f （）==3．故选：A ．　3． 【答案】C【解析】解：模拟执行程序框图，可得S=2，i=0不满足条件，S=5，i=1不满足条件，S=8，i=3不满足条件，S=11，i=7不满足条件，S=14，i=15由题意，此时退出循环，输出S 的值即为14，结合选项可知判断框内应填的条件是：i ≥15？故选：C ．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的S ，i 的值是解题的关键，属于基本知识的考查．　4． 【答案】B 【解析】试题分析：因为函数满足,且分别是上的偶函数和奇函数,()xF x e =()()()F x g x h x =+()(),g x h x R使得不等式()()()()()()(],,,,0,222x x x xxxe e e e e g x h x eg x h x g x h x x ---+-∴=+=-∴==∀∈Q 恒成立, 即恒成立, ()()20g x ah x -≥22022xxx xe ee e a --+--≥g()2222x x x xx xx xe e e ea e ee e -----++∴≤=--, 设，则函数在上单调递增,, 此时不等()2x x x xe e e e--=-++x x t e e -=-x x t e e -=-(]0,2220t e e -∴<≤-式,当且仅当,即时, 取等号,,故选B.2t t +≥2t t=t =a ∴≤考点：1、函数奇偶性的性质；2、不等式恒成立问题及函数的最值.【方法点晴】本题主要考查函数奇偶性的性质、不等式恒成立问题及函数的最值，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立（min ()a f x ≤即可）或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；②数形结合；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数 .本题是利用方法①求得的最大值的.5． 【答案】C【解析】设等差数列的公差为，且．d 0d >∵，∴．12315a a a ++=25a =∵成等比数列，1232,5,13a a a +++∴，2213(5)(2)(13)a a a +=++∴，2222(5)(2)(13)a a d a d +=-+++∴，解得．210(7)(18)d d =-+2d =∴．102858221a a d =+=+⨯=6． 【答案】D【解析】解：A ∩B={x|﹣1≤x ≤2}∩{x|x ＜1}={x|﹣1≤x ≤2，且x ＜1}={x|﹣1≤x ＜1}．故选D ．【点评】本题考查了交集，关键是理解交集的定义及会使用数轴求其公共部分．　7． 【答案】B 【解析】试题分析：因为截面是正方形，所以，则平面平面，PQMN //,//PQ MN QM PN //PQ ,//ACD QM BDA 所以,由可得，所以A 正确；由于可得截面//,//PQ AC QM BD PQ QM ⊥AC BD ⊥//PQ AC //AC ，所以C 正确；因为，所以，由，所以是异面直线与PQMN PN PQ ⊥AC BD ⊥//BD PN MPN ∠PM BD所成的角，且为，所以D 正确；由上面可知，所以，而045//,//BD PN PQ AC ,PN AN MN DN BD AD AC AD==，所以，所以B 是错误的，故选B. 1,AN DN PN MN ≠=BD AC ≠考点：空间直线与平面的位置关系的判定与证明.【方法点晴】本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系的判定与证明，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定定理和性质定理、正方形的性质、异面直线所成的角等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，此类问题的解答中熟记点、线、面的位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键.8． 【答案】C【解析】解：求导函数可得f ′（x ）=3x 2﹣12x+9=3（x ﹣1）（x ﹣3），∵a ＜b ＜c ，且f （a ）=f （b ）=f （c ）=0．∴a ＜1＜b ＜3＜c ，设f （x ）=（x ﹣a ）（x ﹣b ）（x ﹣c ）=x 3﹣（a+b+c ）x 2+（ab+ac+bc ）x ﹣abc ，∵f （x ）=x 3﹣6x 2+9x ﹣abc ，∴a+b+c=6，ab+ac+bc=9，∴b+c=6﹣a ，∴bc=9﹣a （6﹣a ）＜，∴a 2﹣4a ＜0，∴0＜a ＜4，∴0＜a ＜1＜b ＜3＜c ，∴f （0）＜0，f （1）＞0，f （3）＜0，∴f （0）f （1）＜0，f （0）f （3）＞0．故选：C ．　9． 【答案】C 【解析】解：，因此．a ﹣b=1．故选：C ．　10．【答案】D【解析】∵椭圆的端点为，∴，(0,依题意双曲线的实半轴，∴，，故选D ．a =2c =b =11．【答案】D【解析】【知识点】直线与圆的位置关系参数和普通方程互化【试题解析】将参数方程化普通方程为：直线：圆：圆心（2,1），半径2．圆心到直线的距离为：，所以直线与圆相交。

相关主题
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2017~2018学年度第二学期期中考试高二数学试题(理)第I卷(选择题60分)一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若复数，则其虚部为（）A. -1B. 2C. -2D.【答案】B【解析】分析：利用复数的运算法则进行求解．详解：因为，所以复数的虚部为2.点睛：本题考查复数的运算法则等知识，意在考查学生的基本计算能力．2. 设函数 (为自然对数的底数).若，则（）A. B. C. D. 1【答案】D【解析】分析：利用函数的求导法则求导，再代值求导．详解：因为，所以数，若，所以 1点睛：本题考查导数的运算法则等知识，意在考查学生的基本计算能力．3. 已知①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形.由①、②、③组合成“三段论”.根据“三段论”推理出一个结论,则这个结论是（）A. 正方形是平行四边形B. 平行四边形的对角线相等C. 正方形的对角线相等D. 以上均不正确【答案】C【解析】分析：理解三段论的大前提、小前提、结论，结合题意即可得到相应的结论．详解：大前提：②平行四边形的对角线相等；小前提：①正方形的对角线相等；结论：③正方形是平行四边形．点睛：本题考查三段论的有关知识，解决本题的关键是区分大前提、小前提、结论．4. 函数的定义域为开区间，其导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【解析】分析：先由导函数的图像分析、判断得出原函数的单调性，在由此得到函数在区间内极小值点的个数．详解：由导函数的图像可知：原函数先增再减再增再减，所以由此可知函数在区间内有1个极小值点.5. 利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变到时，左边增加了（）A. 1项B. 项C. 项D. 项【答案】C【解析】分析：先表示出、，通过对比观察由变到时，项数增加了多少项.详解：因为，所以当，当，所以由变到时增加的项数为.点睛：本题考查数学归纳法的操作步骤，解决本题的关键是首先观察出分母连续的整数，当，，由此可得变化过程中左边增加了多少项，意在考查学生的基本分析、计算能力．6. 给出下列两个论断：①已知：，求证：；用反证法证明时，可假设.②设为实数，，求证：与中至少有一个不小于；用反证法证明时可假设且.以下说法正确的是（）A. ①与②的假设都错误B. ①与②的假设都正确C. ①的假设正确，②的假设错误D. ①的假设错误，②的假设正确【答案】C【解析】①用反证法证明时，假设命题为假，应为全面否定，所以的假命题应为，故①的假设正确；②与中至少有一个不小于的否定为与中都小于，故②的假设错误；故选C.7. 下列类比推理中,得到的结论正确的是（）A. 把长方体与长方形类比，则有长方体的对角线平方等于长、宽、高的平方和B. 把与类比，则有C. 向量的数量积运算与实数的运算性质类比，则有D. 把与类比，则有【答案】A【解析】分析：利用对数运算法则可判断；利用平面向量数量积公式可判断；利用乘方运算法则可判断；利用长方体的性质可判断.详解：根据对数运算法则，可得不正确；利用向量的数量积运算，可得不正确；利用乘方运算法则，可得不正确；把长方体与长方形类比，根据长方体的性质则有长方体的对角线平方等长、宽、高的平方和，可知正确，故选D.点睛：本题主要考查类比推理，对数运算法则、平面向量数量积公式、乘方运算以及长方体的性质，意在考查学生综合利用所学知识解决问题的能力.8. 函数的(为自然对数的底数)递增区间为（ ）A. B.C.D.【答案】D【解析】分析：求出，令求得的范围，即可到得函数增区间.详解：因为， 所以=，令,可得,所以函数的递增区间为，故选D.点睛：本题主要考查导数运算法则以及利用导数研究函数的单调性，属于简单题.利用导数研究函数的单调性时，一定要注意考虑函数的定义域，这是易错点. 9. 如下图所示，阴影部分的面积为（ ）A. B. 1 C. D. 【答案】B【解析】分析：先求区间上对应的阴影部分的面积，再求区间上对应的阴影部分的面积，最后求和即可． 详解：=.点睛：本题考查定积分的应用，意在考查学生的计算能力．10. 函数在上的最小值是（）A. B. C. -4 D. -1【答案】A【解析】分析：对进行求导，利用导数研究函数的单调性，结合单调性可得函数的极值，比较区间端点函数值与极值的大小，从而可得结果.详解：，，令，解得或，当时，为减函数；当时，为增函数，在上取极小值，也是最小值，，故选A.点睛：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间上的最大值与最小值是通过比较函数在内所有极值与端点函数得到的，这是容易出错的地方.11. 2018年4月我市事业编招考笔试成绩公布后，甲、乙、丙、丁四位同学同时报考了教育类的高中数学职位，他们的成绩有如下关系：甲、乙的成绩之和与丙、丁成绩之和相同，乙、丁成绩之和大于甲、丙成绩之和，甲的成绩大于乙、丙成绩之和.那么四人的成绩最高的是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】D【解析】分析：由甲+乙=丙+丁，乙+丁甲+丙，甲乙+丙,可得相应结论．详解：因为甲、乙的成绩和与丙、丁成绩之和相同，乙、丁成绩之和大于甲、丙成绩之和，所以甲+乙=丙+丁，乙+丁甲+丙，即丁甲，又因为甲的成绩大于乙、丙成绩之和，所以甲乙+丙，所以丁甲乙+丙，所以丁的成绩最高.点睛：本题考查推理的应用，意在考查学生的分析、推理能力．这类题的特点是：通过几组命题来创设问题情景，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.对于逻辑推理问题，应耐心读题，找准突破点，对于复杂的逻辑关系，可以采用解不等式的方式，以便于我们理清多个量中的逻辑关系.12. 已知是定义在上的函数，其导函数满足 (，为自然对数的底数)，则（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】分析：由条件得到函数的单调性，进而判断出结论．详解：，则；因为,所以；所以函数在上是减函数；所以，即，.点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生的分析、综合应用能力．解决本题的关键是由条件得到原函数的模型，这也是解决问题的难点，这也是解决一类问题的常见技巧，许多问题运用这种技巧可以使得问题简洁明了.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题（本题共4小题,每小题5分,共20分）13. 设复数满足 (为虚数单位)，则的值为__________．【答案】【解析】分析：由条件得到复数的代数形式，即可求得复数模长.详解：因为，所以==，所以点睛：本题考查复数的四则运算，意在考查学生的计算能力．14. 已知力 (为自然对数的底数)且和轴正方向相同.若力作用在质点上，并从点处运动到处，则对质点所做的功是__________．【答案】【解析】分析：对函数在区间上求定积分，即可求出对质点所做的功.详解：由题意可得：对质点所做的功为.点睛：本题考查定积分的应用，属于基础题．【答案】【解析】分析：函数的导函数在上大于等于0恒成立，即恒成立，由此可得实数的取值范围.详解：因为，所以恒成立；即恒成立；所以，所以.点睛：本题考查导数的综合应用，属于中档题．处理这类问题一般步骤是：1、先求导数，根据条件确定导函数的正负；2、分离参量构造函数，求构造新函数的最大，最小值；3、根据条件得出参量的取值范围.16. 分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·曼德尔布罗特( Benoit B. Mandelbrot)在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统众多领域的难题提供了全新的思路.下图是按照分形的规律生长成的一个树形图，则第10行的空心圆的个数是__________．【答案】21【解析】第7行为:8实心圆5空心圆第8行为:13实心圆8空心圆第9行为:21实心圆13空心圆第10行为:34实心圆21空心圆三、解答题： (本大题共6个小题,共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤).17. 已知复数 (，为虚数单位)(Ⅰ)若是纯虚数，求实数的值；(Ⅱ)若，设 ()，试求.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】分析：（Ⅰ）先把复数整理成的形式，由虚部等于0得到实数的值；（Ⅱ）把复数整理成的形式，根据复数相等的条件得到的值进而求出。

详解：（Ⅰ）若是纯虚数，则，解得.（Ⅱ）若，则.∴，∴，，∴.点睛：本题考查纯虚数和复数相等的概念，以及复数的四则运算。

对于复数要掌握常规运算技巧和常规思路，其次要熟记复数的实部、虚部、模、几何意义、共轭复数等知识点．18. 已知，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）利用(Ⅰ)的结论，试求函数的最小值.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)1.【解析】分析：（Ⅰ）根据要证的不等式，构造形式，利用基本不等式即可证明；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以，即可求得函数的最小值. 详解：（Ⅰ）证明：【法一】∵，，∴，当且仅当时等号成立．∴（当且仅当时等号成立）.【法二】∵，，∴要证，只需证，只需证，只需证，即证，即证，显然，对于总成立.∴成立.（Ⅱ）解：由于，可将看作（Ⅰ）中的，看作（Ⅰ）中的.依据（Ⅰ）的结论，则有，当且仅当，即时，等号成立.所以，所求函数的最小值为．点睛：利用基本不等式证明不等式、求最值时应注意基本步骤和应用的条件：一正、二定、三相等．这类问题一般有一定的技巧性，需要构造出符合要求的基本形式，这是解决这类问题的关键，但也是问题的难点。

19. 我市大学生创业孵化基地某公司生产一种“儒风邹城”特色的旅游商品.该公司年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元；设该公司年内共生产该旅游商品千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元,，且满足函数关系：.(Ⅰ)写出年利润 (万元)关于该旅游商品 (千件)的函数解析式；(Ⅱ)年产量为多少千件时，该公司在该旅游商品的生产中所获年利润最大?【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)9.【解析】分析：（Ⅰ）根据题意计算生产该旅游商品千件需要的成本，然后用销售收入减去成本即可得到年利润；（Ⅱ）求出每段函数的最大值，再比较两者的大小关系，较大的即为年最大利润。

详解：（Ⅰ）依题意，知当时，，当时，∴.（Ⅱ）①当时，由（Ⅰ）得令，得.∴当时，；当时，，∴当时，有②当时，当且仅当，即时，.综合①、②知，当时，取得最大值.即当年产量为千件时，该公司在该旅游商品生产中获得的年利润最大点睛：本题考查函数在实际中的应用，着重考查分析问题、解决问题的能力。

对于函数的应用问题需要注意的是：1、题干较长，理解题意、把实际问题转化成数学问题有一定难度；2、有时候不注意函数的定义域、以及自变量取值是否为整数。

20. 已知数列满足：，（Ⅰ）试求数列的值；（Ⅱ）请猜想的通项公式，并运用数学归纳法证明之【答案】(Ⅰ) ，，；(Ⅱ)证明见解析.【解析】分析：（Ⅰ）结合条件令即可求出，，的值；（Ⅱ）通过（Ⅰ）归纳出数列的通项公式，先验证当时成立，再假设当时成立，最后证明当时成立。

相关文档
最新文档