安徽省2018届高三上第一次月考数学试卷(理)含答案
邱县第三中学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
邱县第三中学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 某个几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图中的圆弧是半径为2的半圆，则该几何体的表面积为 （ ）A ．π1492+B ．π1482+C ．π2492+D ．π2482+【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的面积度量.重点考查空间想象能力及对基本面积公式的运用，难度中等.2． 已知f （x ）=x 3﹣6x 2+9x ﹣abc ，a ＜b ＜c ，且f （a ）=f （b ）=f （c ）=0．现给出如下结论： ①f （0）f （1）＞0； ②f （0）f （1）＜0； ③f （0）f （3）＞0； ④f （0）f （3）＜0．其中正确结论的序号是（ ） A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④3． 设直线x=t 与函数f （x ）=x 2，g （x ）=lnx 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN|达到最小时t 的值为（ ） A ．1 B． C．D．4． 设F 1，F 2为椭圆=1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y轴上，则的值为（ ） A．B．C．D．5． 执行如图所示的程序框图，输出的z 值为（ ）班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________A ．3B ．4C ．5D ．66． 下列函数中，a ∀∈R ，都有得()()1f a f a +-=成立的是（ ）A ．())f x x =B ．2()cos ()4f x x π=-C ．2()1x f x x =+D ．11()212xf x =+-7． 设向量，满足：||=3，||=4， =0．以，，﹣的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68． 设m ，n 表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（ ） A ．m ⊥α，m ⊥β，则α∥β B ．m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α C ．m ⊥α，n ⊥α，则m ∥nD ．m ∥α，α∩β=n ，则m ∥n9． 集合{}|42,M x x k k Z ==+∈，{}|2,N x x k k Z ==∈，{}|42,P x x k k Z ==-∈，则M ，N ，P 的关系（ ）A ．M P N =⊆B ．N P M =⊆C ．M N P =⊆D ．M P N == 10．已知点P 是抛物线y 2=2x 上的一个动点，则点P 到点M （0，2）的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）A ．3B ．C ．D ．11．设复数1i z =-（i 是虚数单位），则复数22z z+=（ ） A.1i - B.1i + C. 2i + D. 2i -【命题意图】本题考查复数的有关概念，复数的四则运算等基础知识，意在考查学生的基本运算能力． 12．如图所示程序框图中，输出S=（ ）A ．45B ．﹣55C ．﹣66D ．66二、填空题13．若命题“∃x ∈R ，x 2﹣2x+m ≤0”是假命题，则m 的取值范围是 ．14．在ABC ∆中，已知sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则此三角形的最大内角的度数等 于__________.15．设m 是实数，若x ∈R 时，不等式|x ﹣m|﹣|x ﹣1|≤1恒成立，则m 的取值范围是 ．16．在△ABC 中，若a=9，b=10，c=12，则△ABC 的形状是 ．17．台风“海马”以25km/h 的速度向正北方向移动，观测站位于海上的A 点，早上9点观测，台风中心位于其东南方向的B 点；早上10点观测，台风中心位于其南偏东75°方向上的C 点，这时观测站与台风中心的距离AC 等于 km ．18．函数()y f x =的定义域是[]0,2，则函数()1y f x =+的定义域是__________.111]三、解答题19．在直接坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为（为参数）。
2018届高三五月联考数学试卷理科(附答案)
安徽省宿州市2018届高三五月联考数学试卷(理)一选择题：1.已知集合{})90sin(,0cos 0-= A ，{}02=+=x x x B ，则B A ⋂为（ ） {}1,0.-A {}1,1.-B {}1.-C {}0.D 2.i 为虚数单位，则复数=+-)1()1(2i i （ ）i A 22.+- i B 22.-- i C 22.+ i D 22.-3.设γβα、、为三个不同的平面，给出下列条件：①b a 、为异面直线，βαβα//,//,,a b b a ≠≠⊂⊂ ②α内有三个不共线的点到β的距离相等 ③γβγα⊥⊥, ④γβγα//,//，则其中能使βα//成立的条件为：（ ）A ①④B ②③C ①③D ②④4.如图是2018年北京奥运会上男子跳台跳水比赛中， 12位评委为某个运动员打出的分数的茎叶统计图， 去掉一个最高分和一个最低分之后，所剰数据的 平均数和标准差分别为（ ）16,84.A 4,84.B 16,85.C 4,85.D5．已知变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥,0,2,1y x y x 则2x+y 的最大值是( )A ．3B ．4C ．5D ．66.已知21nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x 系数为( )5.A 10.B 20.C 40.D7.设134:≤-x p ；0)1()12(:2≤+++-a a x a x q .若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件， 则实数a 的取值范围是（ ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0.A ⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0.B (]⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⋃∞-,210,.C ()⎪⎭⎫⎝⎛+∞⋃∞-,210,.D8.△ABC 中，AB=AC ，BC=2,则=⋅（ ）2.-A 2.B 1.-C .D 不确定9.当20π<<x 时，函数xxx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为（ ）2.A 32.B 34.C 4.D10.若正四面体SABC 的面ABC 内有一动点P 到平面SAB 、平面SBC 、平面SCA 的距离依次成等差数列，则点P 的轨迹是（ ）.A 一条线段 .B 一个点 .C 一段圆弧 .D 抛物线的一段11.已知点P 是抛物线x y 42=上一点，设点P 到此抛物线准线的距离为1d ，到直线0102=++y x 的距离为2d ，则21d d +的最小值为（ ）5.A 4.B 5511.C 511.D12.在数列{}n a 中，对任意*∈N n ，都有k a a a a nn n n =--+++112（k 为常数），则称{}n a 为“等差比数列”，下面对“等差比数列”的判断：①k 不可能为零；②等差数列一定是等差比数列；③等比数列一定是等差比数列；④通项公式为)1,0,0(≠≠+⋅=b a c b a a n n 的数列一定是等差比数列，其中正确的判断为（ ） .A ① ② .B ② ③ .C ③ ④ .D ① ④二填空题：13.()202x x e dx -=⎰ .14. 执行右边的程序框图，若4p =，则输出的S =15.设M 、N 分别是曲线0sin 2=+θρ和224sin(=+πθρ上的动点，则M 、N 的最小距离是______16.设定义域为R 的函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=)1(2)1(44)(x x x x f ，若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有三个不同的实数解321,,x x x ，则=++232221x x x ____三解答题：17.在锐角ABC ∆中，C B A ,,的对边分别为c b a ,,且A c B b C a cos ,cos ,cos 成等差数列， （1）求B 的值（2）求)cos(sin 22C A A -+的范围18. （12分）一个多面体的直观图如图所示（其中N M ,分别为BC AF ,的中点） （1）求证：//MN 平面CDEF （2）求多面体CDEF A -的体积19.已知某种从太空飞船中带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为31，某植物研究所分2个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每次实验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次实验是失败的。
安义县实验中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题
安义县实验中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 设集合A={﹣1，0，1}，B={x ∈R|x ＞0}，则A ∩B=（ ）A ．{﹣1，0}B ．{﹣1}C ．{0，1}D ．{1}2． 已知是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大,A B O 60AOB ∠=︒C O ABC -值为，则球的体积为（）O A ． B ． C ． D ．81π128π144π288π【命题意图】本题考查棱锥、球的体积、球的性质，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、方程思想、运算求解能力．3． 方程x 2+2ax+y 2=0（a ≠0）表示的圆（ ）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线y=x 轴对称D ．关于直线y=﹣x 轴对称4． 直线l ⊂平面α，直线m ⊄平面α，命题p ：“若直线m ⊥α，则m ⊥l ”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35． 如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．6． 若a ＜b ＜0，则下列不等式不成立是（ ）A ．＞B ．＞C ．|a|＞|b|D ．a 2＞b 27． 双曲线E 与椭圆C ：＋＝1有相同焦点，且以E 的一个焦点为圆心与双曲线的渐近线相切的圆的面积x 29y 23为π，则E 的方程为（ ）A.－＝1 B.－＝1x 23y 23x 24y 22C.－y 2＝1D.－＝1x 25x 22y 248． 已知圆方程为，过点与圆相切的直线方程为（ ）C 222x y +=(1,1)P -C A ． B ．C ．D ．20x y -+=10x y +-=10x y -+=20x y ++=9． 一个四边形的斜二侧直观图是一个底角为45°，腰和上底的长均为1的等腰梯形，那么原四边形的面积是（ ）A ．2+B ．1+C ．D ．10．已知角的终边经过点，则的值为（ ）α(sin15,cos15)-2cosαA ．B ．C.D ．012+1234二、填空题11．设x ，y 满足约束条件，则目标函数z=2x ﹣3y 的最小值是 ．12．已知（1+x+x 2）（x）n （n ∈N +）的展开式中没有常数项，且2≤n ≤8，则n= ．13．函数f （x ）=2a x+1﹣3（a ＞0，且a ≠1）的图象经过的定点坐标是 ．14．已知是数列的前项和，若不等式对一切恒成立，则的取值范围是n S 1{}2n n -n 1|12n n n S λ-+<+｜n N *∈λ___________．【命题意图】本题考查数列求和与不等式恒成立问题，意在考查等价转化能力、逻辑推理能力、运算求解能力．15．在（x 2﹣）9的二项展开式中，常数项的值为 ．16．若直线：与直线：垂直，则.012=--ay x 2l 02=+y x =a 三、解答题17．某重点大学自主招生考试过程依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核。
届高三数学（理）第一次月考模拟试卷及答案
届高三数学（理）第一次月考模拟试卷及答案2018届高三数学(理)第一次月考模拟试卷及答案高考数学知识覆盖面广，我们可以通过多做数学模拟试卷来扩展知识面!以下是店铺为你整理的2018届高三数学(理)第一次月考模拟试卷，希望能帮到你。
2018届高三数学(理)第一次月考模拟试卷题目一、选择题(本题共12道小题，每小题5分，共60分)1.已知全集U=R，A={x|x2﹣2x<0}，B={x|x≥1}，则A∪(∁UB)=( )A.(0，+∞)B.(﹣∞，1)C.(﹣∞，2)D.(0，1)2.已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，则A∩B=()A.{1}B.{4}C.{1，3}D.{1，4}3.在△ABC中，“ >0”是“△ABC为锐角三角形”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.下列说法错误的是( )A.命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题是：“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”B.“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件C.若p且q为假命题，则p、q均为假命题D.命题p：“∃x∈R使得x2+x+1<0”，则¬p：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”5.已知0A.a2>2a>log2aB.2a>a2>log2aC.log2a>a2>2aD.2a>log2a>a26.函数y=loga(x+2)﹣1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m>0，n>0，则 + 的最小值为( )A.3+2B.3+2C.7D.117.已知f(x)是定义在R上的偶函数，在[0，+∞)上是增函数，若a=f(sin )，b=f(cos )，c=f(tan )，则( )A.a>b>cB.c>a>bC.b>a>cD.c>b>a8.若函数y=f(x)对x∈R满足f(x+2)=f(x)，且x∈[-1 ，1]时，f(x)=1﹣x2，g(x)= ，则函数h(x)=f(x)﹣g(x)在区间x∈[-5 ，11]内零点的个数为( ) A.8 B.10 C.12 D.149设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f(x)•f(y)=f(x+y)，若a1= ，an=f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n 项和Sn的取值范围是( )A.[ ，2)B.[ ，2]C.[ ，1)D.[ ，1]10.如图所示，点P从点A处出发，按逆时针方向沿边长为a的正三角形ABC运动一周，O为ABC的中心，设点P走过的路程为x，△OAP的面积为f(x)(当A、O、P三点共线时，记面积为0)，则函数f(x)的图象大致为( )A . B.C. D.11.设函数f(x)=(x﹣a)|x﹣a|+b，a，b∈R，则下列叙述中，正确的序号是( )①对任意实数a，b，函数y=f(x)在R上是单调函数;②对任意实数a，b，函数y=f(x)在R上都不是单调函数;③对任意实数a，b，函数y=f(x)的图象都是中心对称图象;④存在实数a，b，使得函数y=f(x)的图象不是中心对称图象.A.①③B.②③C.①④D.③④12.已知函数，如在区间(1，+∞)上存在n(n≥2)个不同的数x1，x2，x3，…，xn，使得比值= =…= 成立，则n的取值集合是( )A.{2，3，4，5}B.{2，3}C.{2，3，5}D.{2，3，4}第II卷(非选择题)二、填空题(本题共4道小题，每小题5分，共20分)13.命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1<0”的否定是 .14.定义在R上的奇函数f(x)以2为周期，则f(1)= .15.设有两个命题，p：x的不等式ax>1(a>0，且a≠1)的解集是{x|x<0};q：函数y=lg(ax2﹣x+a)的定义域为R.如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是 .16.在下列命题中①函数f(x)= 在定义域内为单调递减函数;②已知定义在R上周期为4的函数f(x)满足f(2﹣x)=f(2+x)，则f(x)一定为偶函数;③若f(x)为奇函数，则 f(x)dx=2 f(x)dx(a>0);④已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，则a+b+c=0是f(x)有极值的充分不必要条件;⑤已知函数f(x)=x﹣sinx，若a+b>0，则f(a)+f(b)>0.其中正确命题的序号为 (写出所有正确命题的序号).三、解答题(本题共7道小题,第1题12分,第2题12分,第3题12分,第4题12分,第5题12分,第6题10分,第7题10分,共70分)17.已知集合A={x|x2﹣4x﹣5≤0}，函数y=ln(x2﹣4)的定义域为B.(Ⅰ)求A∩B;(Ⅱ)若C={x|x≤a﹣1}，且A∪(∁RB)⊆C，求实数a的取值范围.18.已知关于x的不等式ax2﹣3x+2≤0的解集为{x|1≤x≤b}.(1)求实数a，b的值;(2)解关于x的不等式： >0(c为常数).19.已知函数f(x)= 是定义在(﹣1，1)上的奇函数，且f( )= .(1)确定函数f(x)的解析式;(2)证明f(x)在(﹣1，1)上是增函数;(3)解不等式f(t﹣1)+f(t)<0.20.已知关于x的不等式x2﹣(a2+3a+2)x+3a(a2+2)<0(a∈R).(Ⅰ)解该不等式;(Ⅱ)定义区间(m，n)的长度为d=n﹣m，若a∈R，求该不等式解集表示的区间长度的最大值.21.设关于x的方程2x2﹣ax﹣2=0的两根分别为α、β(α<β)，函数(1)证明f(x)在区间(α，β)上是增函数;(2)当a为何值时，f(x)在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小.选做第22或23题，若两题均选做，只计第22题的分。
西安中学202届高三数学上学期第一次月考试题理含解析
A。 0B。 4
C. －4D。 －2
【答案】C
【解析】
分析】
分离参数,求齐次式 的最大值。
【详解】由 得 ，而 ( 时取等号)，
所以 ,因此要使 恒成立，应有 ，即实数 的最小值等于 .
故选： C。
【点睛】多参数不等式，先确定主元，次元唯一转化为函数问题，次元不唯一可以用基本不等式，也可以降元(分式的分子分母为齐次式是降元的主要特征)。
A。 98项B。 97项C。 96项D。 95项
【答案】B
【解析】
【分析】
由于能被3除余1且被7除余1的数就只能是被21除余1的数，故 ，然后由 可求出 的取值范围,从而可得结果
【详解】能被3除余1且被7除余1的数就只能是被21除余1的数,故 ,
由 得 ，又 ，故此数列共有97项.
故选:B
【点睛】此题考查数列模型在实际问题中的应用，考查等差数列的通项公式的运用,考查计算能力,属于基础题
（1）求 ､ 的通项公式;
(2）数列 中， ,且 ,求 的通项公式.
【答案】（1） , ；(2） 。
【解析】
【分析】
（1）由已知条件结合等差数列和等比数列的通项公式列出方程组
求出公差和公比，从而可求出 ､ 的通项公式；
(2）先求出 ，而 ，所以 ，然后利用累加法可求出 的通项公式
【详解】(1)设 的公差为 ， 的公比为 ，则依题意有
【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程及其应用,旨在考查运算求解能力．
二､填空题：（本大题共4小题,每小题5分)
13. 已知圆锥侧面展开图的圆心角为90°，则该圆锥的底面半径与母线长的比为________。
象山县高中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题
象山县高中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知f （x ）在R 上是奇函数，且f （x+4）=f （x ），当x ∈（0，2）时，f （x ）=2x 2，则f （7）=（ ） A ．﹣2 B ．2 C ．﹣98 D ．982． 设{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．63． 已知曲线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线与曲线C 交于,P Q 两点，且20FP FQ +=，则OP Q ∆的面积等于（ ）A ．B ．C ．2 D ．44． 已知数列｛n a ｝满足nn n a 2728-+=（*∈N n ）.若数列｛n a ｝的最大项和最小项分别为M 和m ，则=+m M （ ）A ．211B ．227C ． 32259D ．324355． 如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．15B ．C ．15D ．15【命题意图】本题考查三视图和几何体体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力．6． “3<-b a ”是“圆056222=++-+a y x y x 关于直线b x y 2+=成轴对称图形”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查圆的一般方程、圆的几何性质、常用逻辑等知识，有一定的综合性，突出化归能力的考查，属于中等难度．7． 一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是边AB 上的动点，记四面体FMC E -的体积为1V ，多面体BCE ADF -的体积为2V ，则=21V V （ ）1111] A ．41 B ．31 C ．21D ．不是定值，随点M 的变化而变化8． 若变量x ，y满足：，且满足（t+1）x+（t+2）y+t=0，则参数t 的取值范围为（ ）A ．﹣2＜t＜﹣ B ．﹣2＜t ≤﹣ C ．﹣2≤t ≤﹣ D ．﹣2≤t＜﹣9． 已知的终边过点()2,3，则7tan 4πθ⎛⎫+⎪⎝⎭等于（ ） A ．15- B ．15C ．-5D ．510．已知高为5的四棱锥的俯视图是如图所示的矩形，则该四棱锥的体积为（ ）A ．24B ．80C ．64D ．240 11．下列给出的几个关系中：①{}{},a b ∅⊆；②(){}{},,a b a b =；③{}{},,a b b a ⊆；④{}0∅⊆,正确的有（ ）个A.个B.个C.个D.个12．若()()()()2,106,10x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎡⎤⎪⎣⎦⎩,则()5f 的值为（ ）A ．10B ．11 C.12 D ．13二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．若非零向量，满足|+|=|﹣|，则与所成角的大小为 ．14．在（1+2x ）10的展开式中，x 2项的系数为 （结果用数值表示）． 15．已知集合{}|03,A x x x R =<∈≤，{}|12,B x x x R =-∈≤≤，则A ∪B ＝ ▲ ．16．设变量y x ,满足约束条件22022010x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则22(1)3(1)z a x a y =+-+的最小值是20-，则实数a =______．【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力．三、解答题（本大共6小题，共70分。
2025届永州市祁阳县高三数学上学期8月第一次月考试卷
2025届永州市祁阳县高三数学上学期8月第一次月考试卷考试时间：120分钟总分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1.已知集合{|41}M x x =-<≤，{|13}N x x =-<<，则M N ⋃=（）A.{}43x x -<< B.{}11x x -<≤C.{}0,1,2 D.{}14x x -<<2.已知i 1iz=-，则z =（）．A.1i- B.i - C.1i-- D.13.已知等比数列{}n a 中，1241,9a a a ==，则7a =（）A.3B.3或-3C.27D.27或-274.已知向量(1,2),(1,1),(4,5)a b c ==-= ．若a 与b c λ+平行，则实数λ的值为（）A.114 B.114-C.1D.1-5.某圆环的内外半径分别为2和4，将其绕对称轴旋转一周后得到的几何体体积为（）A.32π3B.124π3C.224π3D.256π36.已知π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，3π1tan 43α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin α=（）A.5 B.5C.3D.37.已知函数()1ln f x a x x=+，在点()()1,1f 处的切线方程为0x y -=，则a =（）A.1eB.eC.D.28.已知12,F F 分别是双曲线22:1412x y E -=的左、右焦点，M 是E 的左支上一点，过2F 作12F MF ∠角平分线的垂线，垂足为,N O 为坐标原点，则||ON =（）A .4B.2C.3D.1二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．两个选项的，部分选对的每一个得3分．三个选项的，部分选对的每一个得2分，有选错的得0分．）9.下列说法中，正确的是（）A.数据40,27,32,30,38,54,31,50的第50百分位数为32B.已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N δ，()40.84P ξ<=；则()240.34P ξ<<=C.已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程ˆˆˆy a bx=+，若1ˆ2,,3b x y ===，则ˆ1a =D.若样本数据1210,,,x x x ⋯的方差为2，则数据121021,21,,21x x x --- 的方差为410.若,a b 为正实数，且a b >，则下列不等式成立的是（）A.11a b> B.ln ln a b >C.ln ln a a b b> D.e e -<-a ba b 11.平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐标系xOy 中，()2,0M -，()2,0N ，动点P 满足5PM PN ⋅=，其轨迹为一条连续的封闭曲线C.则下列结论正确的是（）A.曲线C 与y 轴的交点为()0,1-，()0,1B.曲线C 关于x 轴对称C.PMN 面积的最大值为2D.OP 的取值范围是[]1,3三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．12.二项式521x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数为______.13.函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()11f x f x +=-，若[]0,1x ∈，()2xf x =，则()2023f =_______．14.现有10张卡片，每张卡片上写有1，2，3，4，5中两个不同的数，且任意两张卡片上的数不完全相同．将这10张卡片放入标号为1，2，3，4，5的五个盒子中，规定写有i ，j 的卡片只能放在i 号或j 号盒子中．一种放法称为“好的”，如果1号盒子中的卡片数多于其他每个盒子中的卡片数．则“好的”放法共有________种．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且4cos cos cos a B b C c B -=.（1）求cos B 的值；（2）若ABC V 的面积为,2b =，求ABC V 的周长.16.已知直线l 过椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b +=>>的右焦点(1,0)F ，且交C 于41,,33A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭两点．（1）求C 的离心率；（2）设点(3,1)P ，求ABP 的面积．17.如图所示，圆台12O O 的轴截面11A ACC 为等腰梯形，111224,AC AA AC B ===为底面圆周上异于,A C 的点，且,AB BC P =是线段BC 的中点.（1）求证：1C P //平面1A AB.（2）求平面1A AB 与平面1C CB 夹角的余弦值.18.已知函数()e 1,xf x ax a =--∈R .（1）讨论的单调性；（2）已知函数()()()1ln 1g x x x a =---，若()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围.19.设n 次多项式()121210()0n n n n n n P t a t a ta t a t a a --=+++++≠ ，若其满足(cos )cos n P x nx =，则称这些多项式()n P t 为切比雪夫多项式.例如：由cos cos θθ=可得切比雪夫多项式1()P x x =，由2cos 22cos 1θθ=-可得切比雪夫多项式22()21P x x =-.（1）若切比雪夫多项式323()P x ax bx cx d =+++，求实数a ，b ，c ，d 的值；（2）对于正整数3n 时，是否有()()()122n n n P x x P x P x --=⋅-成立？（3）已知函数3()861f x x x =--在区间()1,1-上有3个不同的零点，分别记为123,,x x x ，证明：1230x x x ++=.。
2024-2025学年高三上学期第一次联考(9月月考) 数学试题[含答案]
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2024~2025学年高三第一次联考（月考）试卷数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：集合､常用逻辑用语､不等式､函数､导数及其应用.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则集合的真子集的个数为（）{}4,3,2,0,2,3,4A =---{}2290B x x =-≤A B ⋂A.7B.8C.31D.322.已知，，则“，”是“”的（ ）0x >0y >4x ≥6y ≥24xy ≥A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆､绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水､雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为()mg /L N t （为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消0e kt N N -=0N 00N >20%除至最初的还需要（ ）64%A.3.8小时 B.4小时C.4.4小时D.5小时4.若函数的值域为，则的取值范围是（）()()2ln 22f x x mx m =-++R m A.B.()1,2-[]1,2-C.D.()(),12,-∞-⋃+∞(][),12,-∞-⋃+∞5.已知点在幂函数的图象上，设，(),27m ()()2n f x m x =-(4log a f =，，则，，的大小关系为（ ）()ln 3b f =123c f -⎛⎫= ⎪⎝⎭a b c A.B.c a b <<b a c<<C. D.a c b <<a b c<<6.已知函数若关于的不等式的解集为，则的()()2e ,0,44,0,x ax xf x x a x a x ⎧->⎪=⎨-+-+≤⎪⎩x ()0f x ≥[)4,-+∞a 取值范围为（ ）A.B. C. D.(2,e ⎤-∞⎦(],e -∞20,e ⎡⎤⎣⎦[]0,e 7.已知函数，的零点分别为，，则（ ）()41log 4xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()141log 4xg x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a b A. B.01ab <<1ab =C.D.12ab <<2ab ≥8.已知，，，且，则的最小值为（ ）0a >0b >0c >30a b c +-≥6b a a b c ++A. B. C. D.29495989二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（ ）A.函数是相同的函数()f x =()g x =B.函数6()f x =C.若函数在定义域上为奇函数，则()313xx k f x k -=+⋅1k =D.已知函数的定义域为，则函数的定义域为()21f x +[]1,1-()f x []1,3-10.若，且，则下列说法正确的是（）0a b <<0a b +>A. B.1a b >-110a b+>C. D.22a b <()()110a b --<11.已知函数，则下列说法正确的是（ ）()()3233f x x x a x b=-+--A.若在上单调递增，则的取值范围是()f x ()0,+∞a (),0-∞B.点为曲线的对称中心()()1,1f ()y f x =C.若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是()2,m ()()3y f x a x b =+-+m ()5,4--D.若存在极值点，且，其中，则()f x 0x ()()01f x f x =01x x ≠1023x x +=三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.__________.22lg 2lg3381527log 5log 210--+⋅+=13.已知函数称为高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则不等式[]y x =x []3.43=[]1.62-=-的解集为__________；当时，的最大值为__________.[][]06x x <-0x >[][]29x x +14.设函数，若，则的最小值为__________.()()()ln ln f x x a x b =++()0f x ≥ab 四､解答题：本题共5小题､共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知全集，集合，.U =R {}231030A x x x =-+≤{}220B x xa =+<（1）若，求和；8a =-A B ⋂A B ⋃（2）若，求的取值范围.()UA B B ⋂= a 16.（本小题满分15分）已知关于的不等式的解集为.x 2280ax x --<{}2x x b-<<（1）求，的值；a b （2）若，，且，求的最小值.0x >2y >-42a bx y +=+2x y +17.（本小题满分15分）已知函数.()()()211e 2x f x x ax a =--∈R （1）讨论的单调性；()f x （2）若对任意的恒成立，求的取值范围.()e x f x x ≥-[)0,x ∈+∞a 18.（本小题满分17分）已知函数是定义在上的奇函数.()22x xf x a -=⋅-R（1）求的值，并证明：在上单调递增；a ()f x R （2）求不等式的解集；()()23540f x x f x -+->（3）若在区间上的最小值为，求的值.()()442x x g x mf x -=+-[)1,-+∞2-m 19.（本小题满分17分）已知函数.()()214ln 32f x x a x x a =---∈R （1）若，求的图像在处的切线方程；1a =()f x 1x =（2）若恰有两个极值点，.()f x 1x ()212x x x <（i ）求的取值范围；a （ii ）证明：.()()124ln f x f x a+<-数学一参考答案､提示及评分细则1.A 由题意知，又，所以{}2290B x x ⎡=-=⎢⎣∣ {}4,3,2,0,2,3,4A =---，所以的元素个数为3，真子集的个数为.故选.{}2,0,2A B ⋂=-A B ⋂3217-=A 2.A 若，则，所以“”是“”的充分条件；若，满足4,6x y 24xy 4,6x y 24xy 1,25x y ==，但是，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是24xy 4x <4,6x y 24xy 4,6x y “”的充分不必要条件.故选A.24xy 3.B 由题意可得，解得，令，可得4004e 5N N -=44e 5k -=20004e 0.645t N N N -⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得，所以污染物消除至最初的还需要4小时.故选B.()248e e ek kk---==8t =64%4.D 依题意，函数的值域为，所以，解得()()2ln 22f x x mx m =-++R ()2Δ(2)420m m =--+ 或，即的取值范围是.故选D.2m 1m - m ][(),12,∞∞--⋃+5.C 因为是軍函数，所以，解得，又点在函数的图()()2nf x m x =-21m -=3m =()3,27()n f x x =象上，所以，解得，所以，易得函数在上单调递增，又273n=3n =()3f x x =()f x (),∞∞-+，所以.故选C.1241ln3lne 133log 2log 2->==>=>=>a c b <<6.D 由题意知，当时，；当时，；当时，(),4x ∞∈--()0f x <[]4,0x ∈-()0f x ()0,x ∞∈+.当时，，结合图象知；当时，，当()0f x 0x ()()()4f x x x a =-+-0a 0x >()e 0x f x ax =- 时，显然成立；当时，，令，所以，令，解0a =0a >1e x x a (),0e x x g x x =>()1e xxg x -='()0g x '>得，令0，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以01x <<()g x '<1x >()g x ()0,1()1,∞+，所以，解得综上，的取值范围为.故选D.()max 1()1e g x g ==11e a0e a < a []0,e 7.A 依题意得，即两式相减得4141log ,41log ,4a b a b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩441log ,41log ,4a ba b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-= ⎪⎪⎝⎭⎩.在同一直角坐标系中作出的图()44411log log log 44a ba b ab ⎛⎫⎛⎫+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4141log ,log ,4xy x y x y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭象，如图所示：由图象可知，所以，即，所以.故选A.a b >1144ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()4log 0ab <01ab <<8.C 因为，所以，所以30a b c +- 30a b c +> 11911121519966399939911b a b a b b b b a b c a b a b a a a a ⎛⎫++=+=++--=-= ⎪+++⎝⎭++ ，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选C.1911991b b a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭+29b a =6b aa b c ++599.AD 由解得，所以，由，解得10,10x x +⎧⎨-⎩ 11x - ()f x =[]1,1-210x -，所以的定义域为，又，故函数11x - ()g x =[]1,1-()()f x g x ===与是相同的函数，故A 正确；，()f x ()g x ()6f x ==当且仅当方程无解，等号不成立，故B 错误；函数=2169x +=在定义域上为奇函数，则，即，即()313x x k f x k -=+⋅()()f x f x -=-331313x xx x k k k k ----=-+⋅+⋅，即，整理得，即，()()33313313x x xxxxk k k k ----=-+⋅+⋅313313x x x x k kk k ⋅--=++⋅22919x x k k ⋅-=-()()21910x k -+=所以，解得.当时，，该函数定义域为，满足，210k -=1k =±1k =()1313xx f x -=+R ()()f x f x -=-符合题意；当时，，由可得，此时函数定义域为1k =-()13311331x x xxf x --+==--310x -≠0x ≠，满足，符合题意.综上，，故C 错误；由，得{}0x x ≠∣()()f x f x -=-1k =±[]1,1x ∈-，所以的定义域为，故D 正确.故选AD.[]211,3x +∈-()f x []1,3-10.AC 因为，且，所以，所以，即，故A 正确；0a b <<0a b +>0b a >->01a b <-<10ab -<<因为，所以，故В错误；因为，所以，0,0b a a b >->+>110a ba b ab ++=<0a b <<,a a b b =-=由可得，所以，故C 正确；因为当，此时，故0a b +>b a >22a b <11,32a b =-=()()110a b -->D 错误.故选AC.11.BCD 若在上单调递增，则在上佰成立，所以()f x ()0,∞+()23630f x x x a '=-+- ()0,x ∞∈+，解得，即的取值范围是，故A 错误；因为()min ()13630f x f a '==--'+ 0a a (],0∞-，所以，又()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+()11f a b =--+，所以点()()()332(21)21(1)1222f x f x x a x b x ax b a b -+=-----++---+=--+为曲线的对称中心，故B 正确；由题意知，所以()()1,1f ()y f x =()()3233y f x a x b xx =+-+=-，设切点为，所以切线的斜率，所以切线的方程为236y x x =-'()32000,3x x x -20036k x x =-，所以，整理得()()()3220000336y x x x x x x --=--()()()322000003362m xx x x x --=--.记，所以3200029120x x x m -++=()322912h x x x x m =-++()26h x x '=-，令，解得或，当时，取得极大值，当时，1812x +()0h x '=1x =2x =1x =()h x ()15h m =+2x =取得极小值，因为过点可作出曲线的三条切线，所以()h x ()24h m=+()2,m ()()3y f x a x b =+-+解得，即的取值范围是，故C 正确；由题意知()()150,240,h m h m ⎧=+>⎪⎨=+<⎪⎩54m -<<-m ()5,4--，当在上单调递增，不符合题意；当，()223633(1)f x x x a x a =-+-=--'()0,a f x (),∞∞-+0a >令，解得，令，解得在()0f x '>1x <-1x >+()0f x '<11x -<<+()f x 上单调递增，在上单调递堿，在上单调递增，因为,1∞⎛- ⎝1⎛+ ⎝1∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭存在极值点，所以.由，得，令，所以，()f x 0x 0a >()00f x '=()2031x a-=102x x t+=102x t x =-又，所以，又，()()01f x f x =()()002f x f t x =-()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+所以，又，所以()()()330000112121x ax b t x a t x b ---+=-----+()2031x a-=，化简得()()()()()()()322320000000013112121312x x x b x x b t x x t x b----=----=------，又，所以，故D 正确.故选BCD.()()20330t x t --=010,30x x x t ≠-≠103,23t x x =+=12. 由题意知10932232862log 184163381255127log 5log 210log 5log 121027---⎛⎫+⋅+=+⋅-+ ⎪⎝⎭62511411410log 5log 2109339339=-⋅+=-+=13.（2分）（3分） 因为，所以，解得，又函数[)1,616[][]06x x <-[][]()60x x -<[]06x <<称为高斯函数，表示不超过的最大整数，所以，即不等式的解集为.当[]y x =x 16x < [][]06x x <-[)1,6时，，此时；当时，，此时01x <<[]0x =[]2[]9x x =+1x []1x ，当且仅当3时等号成立.综上可得，当时，的[][][]2119[]96x x x x ==++[]x =0x >[]2[]9x x +最大值为.1614. 由题意可知：的定义域为，令，解得令，解21e -()f x (),b ∞-+ln 0x a +=ln ;x a =-()ln 0x b +=得.若，当时，可知，此时，不合题1x b =-ln a b -- (),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <意；若，当时，可知，此时，不合ln 1b a b -<-<-()ln ,1x a b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <题意；若，当时，可知，此时；当ln 1a b -=-(),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+<()0f x >时，可知，此时，可知若，符合题意；若[)1,x b ∞∈-+()ln 0,ln 0x a x b ++ ()0f x ln 1a b -=-，当时，可知，此时，不合题意.综上所ln 1a b ->-()1,ln x b a ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+>()0f x <述：，即.所以，令，所以ln 1a b -=-ln 1b a =+()ln 1ab a a =+()()ln 1h x x x =+，令，然得，令，解得，所以在()ln 11ln 2h x x x '=++=+()0h x '<210e x <<()0h x '>21e x >()h x 上单调递堿，在上单调递增，所以，所以的最小值为.210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭21,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭min 2211()e e h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ab 21e -15.解：（1）由题意知，{}2131030,33A x x x ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦∣ 若，则，8a =-{}()22802,2B x x =-<=-∣所以.(]1,2,2,33A B A B ⎡⎫⋂=⋃=-⎪⎢⎣⎭（2）因为，所以，()UA B B ⋂= ()UB A ⊆ 当时，此时，符合题意；B =∅0a 当时，此时，所以，B ≠∅0a <{}220Bx x a ⎛=+<= ⎝∣又，U A ()1,3,3∞∞⎛⎫=-⋃+ ⎪⎝⎭13解得.209a -< 综上，的取值范围是.a 2,9∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭16.解：（1）因为关于的不等式的解集为，x 2280ax x --<{2}xx b -<<∣所以和是关于的方程的两个实数根，且，所以2-b x 2280ax x --=0a >22,82,b a b a⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得.1,4a b ==（2）由（1）知，所以1442x y +=+()()()221141422242241844242y xx y x y x y x y y x ⎡⎤+⎛⎫⎡⎤+=++-=+++-=+++-⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎣⎦，179444⎡⎢+-=⎢⎣ 当且仅当，即时等号成立，所以.()2242y x y x +=+x y ==2x y +74-17.解：（1）由题意知，()()e e x x f x x ax x a=-=-'若，令.解得，令，解得，所以在上单调递琙，在0a ()0f x '<0x <()0f x '>0x >()f x (),0∞-上单调递增.()0,∞+若，当，即时，，所以在上单调递增；0a >ln 0a =1a =()0f x ' ()f x (),∞∞-+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a >1a >()0f x '>0x <ln x a >()0f x '<0ln x a <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a <01a <<()0f x '>ln x a <0x >()0f x '<ln 0a x <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.()f x (),ln a ∞-()ln ,0a ()0,∞+综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在0a ()f x (),0∞-()0,∞+01a <<()f x 上单调递增，在上单调递减，在上单调递增当时，在上(,ln )a ∞-()ln ,0a ()0,∞+1a =()f x (),∞∞-+单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.1a >()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+（2）若对任意的恒成立，即对任意的恒成立，()e xf x x - [)0,x ∞∈+21e 02xx ax x -- [)0,x ∞∈+即对任意的恒成立.1e 102x ax -- [)0,x ∞∈+令，所以，所以在上单调递增，当()1e 12x g x ax =--()1e 2x g x a=-'()g x '[)0,∞+，即时，，所以在上单调递增，所以()10102g a =-' 2a ()()00g x g '' ()g x [)0,∞+，符合题意；()()00g x g = 当，即时，令，解得，令，解得，所()10102g a =-<'2a >()0g x '>ln 2a x >()0g x '<0ln 2a x < 以在上单调递减，()g x 0,ln 2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭所以当时，，不符合题意.0,ln 2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()00g x g <=综上，的取值范围是.a (],2∞-18.（1）证明：因为是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()010f a =-=解得，所以，1a =()22x xf x -=-此时，满足题意，所以.()()22x x f x f x --=-=-1a =任取，所以12x x <，()()()()211122121211122222122222222122x x x x x x x x x x x x f x f x x x --⎛⎫--=---=--=-+ ⎪++⎝⎭又，所以，即，又，12x x <1222x x <12220x x -<121102x x ++>所以，即，所以在上单调递增.()()120f x f x -<()()12f x f x <()f x R （2）解：因为，所以，()()23540f x x f x -+->()()2354f x x f x ->--又是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()()2354f x x f x ->-+又在上单调递增，所以，()f x R 2354x x x ->-+解得或，即不等式的解集为.2x >23x <-()()23540f x x f x -+->()2,2,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭（3）解：由题意知，令，()()()44244222xxxxxxg x mf x m ---=+-=+--322,,2x x t t ∞-⎡⎫=-∈-+⎪⎢⎣⎭所以，所以.()2222442x xxxt --=-=+-()2322,,2y g x t mt t ∞⎡⎫==-+∈-+⎪⎢⎣⎭当时，在上单调递增，所以32m -222y t mt =-+3,2∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭，解得，符合题意；2min317()323224g x m m ⎛⎫=-++=+=- ⎪⎝⎭2512m =-当时，在上单调递减，在上单调递增，32m >-222y t mt =-+3,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭(),m ∞+所以，解得或（舍）.222min ()2222g x m m m =-+=-=-2m =2m =-综上，的值为或2.m 2512-19.（1）解：若，则，所以，1a =()214ln 32f x x x x =---()14f x x x =--'所以，又，()14112f =--='()1114322f =--=所以的图象在处的切线方程为，即.()f x 1x =()1212y x -=-4230x y --=（2）（i ）解：由题意知，()22444a x a x x x af x x x x x '---+=--==-又函数恰有两个极值点，所以在上有两个不等实根，()f x ()1212,x x x x <240x x a -+=()0,∞+令，所以()24h x x x a =-+()()00,240,h a h a ⎧=>⎪⎨=-<⎪⎩解得，即的取值范围是.04a <<a ()0,4（ii ）证明：由（i ）知，，且，12124,x x x x a +==04a <<所以()()2212111222114ln 34ln 322f x f x x a x x x a x x ⎛⎫⎛⎫+=---+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2212121214ln ln 62x x a x x x x =+-+-+-，()()()21212121214ln 262x x a x x x x x x ⎡⎤=+--+--⎣⎦()116ln 1626ln 22a a a a a a =----=-+要证，即证，只需证.()()124ln f x f x a+<-ln 24ln a a a a -+<-()1ln 20a a a -+-<令，所以，()()()1ln 2,0,4m a a a a a =-+-∈()11ln 1ln a m a a a a a -=-++=-'令，所以，所以即在上单调递减，()()h a m a ='()2110h a a a =--<'()h a ()m a '()0,4又，所以，使得，即，()()1110,2ln202m m '-'=>=<()01,2a ∃∈()00m a '=001ln a a =所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在()00,a a ∈()0m a '>()0,4a a ∈()0m a '<()m a ()00,a 上单调递减，所以.()0,4a ()()()max 00000000011()1ln 2123m a m a a a a a a a a a ==-+-=-+-=+-令，所以，所以在上单调递增，所以()()13,1,2u x x x x =+-∈()2110u x x =->'()u x ()1,2，所以，即，得证.()000111323022u a a a =+-<+-=-<()0m a <()()124ln f x f x a +<-。
湖南省2025届高三上学期第一次月考数学试题含答案
2025届高三月考试卷（一）数学（答案在最后）命题人：高三数学备课组审题人：高三数学备课组时量：120分钟满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1.已知{}()260,{lg 10}A x x xB x x =+-≤=-<∣∣，则A B = （）A.{}32xx -≤≤∣ B.{32}xx -≤<∣C.{12}xx <≤∣ D.{12}xx <<∣【答案】D 【解析】【分析】通过解一元二次不等式和对数函数的定义域，求出集合,A B ，再求交集．【详解】集合{}()32,{lg 10}{12}A x x B x x x x =-≤≤=-<=<<∣∣∣，则{12}A B xx ⋂=<<∣，故选：D ．2.若复数z 满足()1i 3i z +=-+（i 是虚数单位），则z 等于（）A.2B.54C.D.2【答案】C 【解析】【分析】由复数的除法运算计算可得12i z =-+，再由模长公式即可得出结果.【详解】依题意()1i 3i z +=-+可得()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z -+--+-+====-+++-，所以z ==.故选：C3.已知平面向量()()5,0,2,1a b ==- ，则向量a b + 在向量b 上的投影向量为（）A.()6,3- B.()4,2- C.()2,1- D.()5,0【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.【详解】()()7,1,15,a b a b b b +=-+⋅=== 所以向量a b +在向量b 上的投影向量为()()236,3||a b b b b b +⋅==- .故选：A4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（）A.21 B.19C.12D.42【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列的性质，即可求解公差和首项，进而由求和公式求解.【详解】{}n a 是等差数列，396214a a a ∴+==，即67a =，所以67769,a a a a ==故公差76162,53d a a a a d =-=∴=-=-，()767732212S ⨯∴=⨯-+⨯=，故选：A5.某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（）附：若()2,X N μσ~，记()()p k P k X k μσμσ=-≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A.136人B.272人C.328人D.820人【答案】B 【解析】【分析】首先求出平均数，即可得到学生的数学成绩2~(73.5,22)X N ，再根据所给条件求出(5790)P X ≤≤，即可求出(90)P X ≥，即可估计人数．【详解】由题得0.4915073.5,22μσ=⨯==，()()(),0.750.547p k P k X k p μσμσ=-≤≤+≈ ，()5790P X ∴≤≤()0.750.547p =≈，()()900.510.5470.2265P X ≥=⨯-=，∴该校及格人数为0.22651200272⨯≈（人），故选：B ．6.已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ⎛⎫∈-=⋅= ⎪⎝⎭，则αβ+=（）A.π6 B.π4C.π3D.2π3【答案】D 【解析】【分析】利用两角差的余弦定理和同角三角函数的基本关系建立等式求解，再由两角和的余弦公式求解即可．【详解】由已知可得5cos cos sin sin 6sin sin 4cos cos αβαβαβαβ⎧⋅+⋅=⎪⎪⎨⋅⎪=⋅⎪⎩，解得1cos cos 62sin sin 3αβαβ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，，()1cos cos cos sin sin 2αβαβαβ∴+=⋅-⋅=-，π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,παβ∴+∈，2π,3αβ∴+=，故选：D ．7.已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（）A.1,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B.1,5⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C.(D.(【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线以及圆的方程可求得弦长AB =，再根据不等式123AB F F >整理可得2259c a <，即可求得双曲线的离心率的取值范围.【详解】设以()2,0F c 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线0bx ay -=交于,A B 两点，则2F 到渐近线0bx ay -=的距离d b ==，所以AB =，因为123AB F F >，所以32c ⨯>，可得2222299a b c a b ->=+，即22224555a b c a >=-，可得2259c a <，所以2295c a <，所以5e <，又1e >，所以双曲线的离心率的取值范围是1,5⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.故选：B8.已知函数()220log 0x a x f x x x ⎧⋅≤=⎨>⎩，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（）A.()0,1 B.()(),00,1-∞⋃ C.[)1,+∞ D.()()0,11,+∞ 【答案】C 【解析】【分析】利用换元法设()u f x =，则方程等价为()0f u =，根据指数函数和对数函数图象和性质求出1u =，利用数形结合进行求解即可．【详解】令()u f x =，则()0f u =．①当0a =时，若()0,0u f u ≤=；若0u >，由()2log 0f u u ==，得1u =．所以由()()0ff x =可得()0f x ≤或()1f x =．如图所示，满足()0f x ≤的x 有无数个，方程()1f x =只有一个解，不满足题意；②当0a ≠时，若0≤u ，则()20uf u a =⋅≠；若0u >，由()2log 0f u u ==，得1u =．所以由()()0ff x =可得()1f x =，当0x >时，由()2log 1f x x ==，可得2x =，因为关于x 的方程()()0ff x =有且仅有两个实数根，则方程()1f x =在(,0∞-]上有且仅有一个实数根，若0a >且()(]0,20,xx f x a a ≤=⋅∈，故1a ≥；若0a <且()0,20xx f x a ≤=⋅<，不满足题意．综上所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞，故选：C ．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.如图，在正方体111ABCD A B C D -中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（）A.E F M P ，，，四点共面B.平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C.//EF 平面PMND.平面MEF⊥平面PMN【答案】BD 【解析】【分析】可得过,,E F M 三点的平面为一个正六边形，判断A ；分别连接,E F 和1,B C ，截面1C BEF 是等腰梯形，判断B ；分别取11,BB CC 的中点,G Q ，易证EF 显然不平行平面QGMN ，可判断C ；EM ⊥平面PMN ，可判断D.【详解】对于A ：如图经过,,E F M 三点的平面为一个正六边形EFMHQK ，点P 在平面外，,,,E F M P ∴四点不共面，∴选项A 错误；对于B ：分别连接,E F 和1,B C ，则平面PEF 即平面1C BEF ，截面1C BEF 是等腰梯形，∴选项B 正确；对于C ：分别取11,BB CC 的中点,G Q ，则平面PMN 即为平面QGMN ，由正六边形EFMHQK ，可知HQ EF ，所以MQ 不平行于EF ，又,EF MQ ⊂平面EFMHQK ，所以EF MQ W = ，所以EF I 平面QGMN W =，所以EF 不平行于平面PMN ，故选项C 错误；对于D ：因为,AEM BMG 是等腰三角形，45AME BMG ∴∠=∠=︒，90EMG ∴∠=︒，EMMG ∴⊥，,M N 是,AB CD 的中点，易证MN AD ∥，由正方体可得AD ⊥平面11ABB A ，MN ∴⊥平面11ABB A ，又ME ⊂平面11ABB A ，EM MN ∴⊥，,MG MN ⊂ 平面PMN ，EM ∴⊥平面GMN ，EM ⊂ 平面MEF ，∴平面MEF ⊥平面,PMN 故选项D 正确．故选：BD ．10.已知函数()5π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的一个对称中心为3π,08⎛⎫ ⎪⎝⎭B.()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象C.()f x 在区间5π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D.若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【答案】BD 【解析】【分析】代入即可验证A ，根据平移可得函数图象，即可由正弦型函数的奇偶性求解B ，利用整体法即可判断C ，由5πcos 242x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭求解所以根，即可求解D.【详解】对于A ，由35π3π2π0848f ⎛⎫⎛⎫=+⨯=≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B ，()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得：3π3π5ππ228842y f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，为奇函数，故B 正确；对于C ，当5π7π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则5π5π2,3π42x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由余弦函数单调性知，()f x 在区间5π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 错误；对于D ，由()1f x =，得5πcos 242x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得ππ4x k =+或ππ,2k k +∈Z ，()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，其横坐标从小到大依次为：ππ5π3π9π5π,,,,,424242，而第7个交点的横坐标为13π4，5π13π24m ∴<≤，故D 正确.故选：BD11.已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++-=，则（）A.()f x 的图象关于点()2,1对称B.()f x 是以8为周期的周期函数C.()20240g =D.20241(42)2025k f k =-=∑【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数奇偶性以及所满足的表达式构造方程组可得()()222f x f x ++-=，即可判断A 正确；利用对称中心表达式进行化简计算可得B 正确，可判断()g x 也是以8为周期的周期函数，即C 正确；根据周期性以及()()42f x f x ++=计算可得20241(42)2024k f k =-=∑，可得D 错误.【详解】由题意()()()(),f x f x g x g x -=-=-，且()()()00,21g f x g x =++-=，即()()21f x g x +-=①，用x -替换()()21f x g x ++-=中的x ，得()()21f x g x -+=②，由①+②得()()222f x f x ++-=，所以()f x 的图象关于点2,1对称，且()21f =，故A 正确；由()()222f x f x ++-=，可得()()()()()42,422f x f x f x f x f x ++-=+=--=-，所以()()()()82422f x f x f x f x ⎡⎤+=-+=--=⎣⎦，所以()f x 是以8为周期的周期函数，故B 正确；由①知()()21g x f x =+-，则()()()()882121g x f x f x g x +=++-=+-=，故()()8g x g x +=，因此()g x 也是以8为周期的周期函数，所以()()202400g g ==，C 正确；又因为()()42f x f x ++-=，所以()()42f x f x ++=，令2x =，则有()()262f f +=，令10x =，则有()()10142,f f +=…，令8090x =，则有()()809080942f f +=，所以1012(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2222024f f f f f f ++++++=+++=个所以20241(42)(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2024k f k f f f f f f =-=++++++=∑ ，故D 错误.故选：ABC【点睛】方法点睛：求解函数奇偶性、对称性、周期性等函数性质综合问题时，经常利用其中两个性质推得第三个性质特征，再进行相关计算.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.6(31)x y +-的展开式中2x y 的系数为______．【答案】180-【解析】【分析】根据题意，由条件可得展开式中2x y 的系数为213643C C (1)⋅-，化简即可得到结果．【详解】在6(31)x y +-的展开式中，由()2213264C C 3(1)180x y x y ⋅⋅-=-，得2x y 的系数为180-.故答案为：180-．13.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x '->，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.【答案】()()1,01,-⋃+∞【解析】【分析】根据函数奇偶性并求导可得()()f x f x ''-=，因此可得()()2f x f x '>，可构造函数()()2xf x h x =e并求得其单调性即可得()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，即可得出结论.【详解】因为()f x 为奇函数，定义域为R ，所以()()f x f x -=-，两边同时求导可得()()f x f x ''--=-，即()()f x f x ''-=且()00f =，又因为当0x >时，()()2f x f x '->，所以()()2f x f x '>.构造函数()()2xf x h x =e，则()()()22xf x f x h x '-'=e，所以当0x >时，()()0,h x h x '>在()0,∞+上单调递增，又因为()10f =，所以()()10,h h x =在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，又因为2e 0x >，所以()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，因为()f x 为奇函数，所以()f x 在(),1∞--上小于零，在()1,0-上大于零，综上所述，()0f x >的解集为()()1,01,-⋃+∞.故答案为：()()1,01,-⋃+∞14.已知点C 为扇形AOB 的弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λμλμ=+∈，则λμ+的取值范围是__________.【答案】231,3⎡⎢⎣⎦【解析】【分析】建系设点的坐标，再结合向量关系表示λμ+，最后应用三角恒等变换及三角函数值域求范围即可.【详解】方法一：设圆O 的半径为1，由已知可设OB 为x 轴的正半轴，O 为坐标原点，过O 点作x 轴垂线为y 轴建立直角坐标系，其中()()13,,1,0,cos ,sin 22A B C θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，其中π,0,3BOC θθ⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦，由(),R OC OA OB λμλμ=+∈，即()()13cos ,sin ,1,022θθλμ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，整理得1cos ,sin 22λμθλθ+==，解得cosλμθ==-，则323ππcos cos sin ,0,3333λμθθθθθ⎛⎫⎡⎤+=-=+=+∈ ⎪⎢⎝⎭⎣⎦，ππ2ππ,,sin 33332θθ⎤⎡⎤⎛⎫+∈+∈⎥⎪⎢⎣⎦⎝⎭⎣⎦所以231,3λμ⎡+∈⎢⎣⎦.方法二：设k λμ+=，如图，当C 位于点A 或点B 时，,,A B C 三点共线，所以1k λμ=+=；当点C 运动到AB 的中点时，123332k λμ=+==，所以231,3λμ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦故答案为：231,3⎡⎢⎣⎦四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=．（1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB 于点,313,13D AD DB ==CD 的长．【答案】（1）2π3C =（2）3CD =【解析】【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦定理整理得到()2cos 1sin 0C B +=，再利用三角形的内角及正弦函数的性质即可求解；（2）利用正弦定理得出3b a =，再由余弦定理求出4a =，12b =，再根据三角形的面积建立等式求解．【小问1详解】由22cos a b c B +=，根据正弦定理可得2sin sin 2sin cos A B C B +=，则()2sin sin 2sin cos B C B C B ++=，所以2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B ++=，整理得()2cos 1sin 0C B +=，因为,B C 均为三角形内角，所以(),0,π,sin 0B C B ∈≠，因此1cos 2C =-，所以2π3C =．因为CD 是角C的平分线，AD DB ==所以在ACD 和BCD △中，由正弦定理可得，,ππsin sin sin sin 33AD CD BD CDA B ==，因此sin 3sin B ADA BD==，即sin 3sin B A =，所以3b a =，又由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，即222293a a a =++，解得4a =，所以12b =．又ABC ACD BCD S S S =+△△△，即111sin sin sin 222ab ACB b CD ACD a CD BCD ∠∠∠=⋅⋅+⋅⋅，即4816CD =，所以3CD =．16.已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点．（1）求a 的值；（2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x -≥，求k 的取值范围．【答案】（1）1a =（2）(]()10,-∞-+∞ ,【解析】【分析】（1）直接根据极值点求出a 的值；（2）先由（1）求出()f x 的最小值，由题意可得是求()g x 的最小值，小于等于()f x 的最小值，对()g x 求导，判断由最小值时的k 的范围，再求出最小值与()f x 最小值的关系式，进而求出k 的范围．【小问1详解】()()111ln ln 1a a f x ax x x x a x xα--=='+⋅+，由1111ln 10e e e a f a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭'⎭⎝，得1a =，当1a =时，()ln 1f x x ='+，函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，所以1ex =为函数()ln af x x x =的极小值点，所以1a =．由（1）知min 11()e e f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．函数()g x 的导函数()()1exg x k x -=-'①若0k >，对()1210,,x x k ∞∀∈+∃=-，使得()()12111e 1e k g x g f x k ⎛⎫=-=-<-<-≤ ⎪⎝⎭，即()()120f x g x -≥，符合题意．②若()0,0k g x ==，取11ex =，对2x ∀∈R ，有()()120f x g x -<，不符合题意．③若0k <，当1x <时，()()0,g x g x '<在(),1∞-上单调递减；当1x >时，()()0,g x g x '>在1,+∞上单调递增，所以()min ()1ek g x g ==，若对()120,,x x ∞∀∈+∃∈R ，使得()()120f x g x -≥，只需min min ()()g x f x ≤，即1e ek ≤-，解得1k ≤-．综上所述，k 的取值范围为(](),10,∞∞--⋃+．17.已知四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD ∥,,,2,2BC AB BC PA PB AB BC AD E ⊥====为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD 所成角的余弦值为14．【答案】（1）证明见解析（2）F 位于棱PC 靠近P 的三等分点【解析】【分析】（1）连接,,PE EC EC 交BD 于点G ，利用面面垂直的性质定理和三角形全等，即可得证；（2）取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立，利用线面角公式代入即可求解．【小问1详解】如图，连接,,PE EC EC 交BD 于点G ．因为E 为AB 的中点，PA PB =，所以PE AB ⊥．因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面,ABCD AB PE =⊂平面PAB ，所以PE ⊥平面ABCD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以PE BD ⊥．因为ABD BCE ≅ ，所以CEB BDA ∠∠=，所以90CEB ABD ∠∠+= ，所以BD EC ⊥，因为,,PE EC E PE EC ⋂=⊂平面PEC ，所以BD ⊥平面PEC ．因为EF ⊂平面PEC ，所以BD EF ⊥．【小问2详解】如图，取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设2AB =，则2,1,BC AD PA PB ====则()()()()0,0,1,1,2,0,1,1,0,0,0,0P C D E -，设(),,,(01)F x y z PF PC λλ=<<，所以()(),,11,2,1x y z λ-=-，所以,2,1x y z λλλ===-，即(),2,1F λλλ-．则()()()2,1,0,1,2,1,,2,1DC PC EF λλλ==-=-，设平面PCD 的法向量为(),,m a b c =，则00DC m PC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，即2020a b a b c +=⎧⎨+-=⎩，，取()1,2,3m =--，设EF 与平面PCD 所成的角为θ，由cos 14θ=，得sin 14θ=．所以314sin cos ,14m EF m EF m EF θ⋅====，整理得2620λλ-=，因为01λ<<，所以13λ=，即13PF PC = ，故当F 位于棱PC 靠近P 的三等分点时，EF 与平面PCD 所成角的余弦值为7014．18.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r -+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.【答案】（1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的短轴可得抛物线方程2y x =，进而根据两点斜率公式，结合三角形的三边关系，即可由二次函数的性质求解，（2）根据两点坐标可得直线,MN DM 的直线方程，由直线与圆相切可得,a b 是方程()()()2222124240rx r x r -+-+-=的两个解，即可利用韦达定理代入化简求解定点.【小问1详解】由题意得椭圆的方程：221116y x +=，所以短半轴14b =所以112242p b ==⨯=，所以抛物线1C 的方程是2y x =.设点()2,P t t ，则111712222PQ PE -≥-=-=≥，所以当232ι=时，线段PQ 长度取最小值12-.【小问2详解】()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的点，21t ∴=，且()0,1,1t D >∴.设()()22,,,M a a N b b ，则：直线()222:b a MN y a x a b a --=--，即()21y a x a a b -=-+，即()0x a b y ab -++=.直线()21:111a DM y x a --=--，即()10x a y a -++=.由直线DMr =，即()()()2222124240r a r a r -+-+-=.同理，由直线DN 与圆相切得()()()2222124240r b r b r -+-+-=.所以,a b 是方程()()()2222124240r x r x r -+-+-=的两个解，22224224,11r r a b ab r r --∴+==--.代入方程()0x a b y ab -++=得()()222440x y r x y +++---=，220,440,x y x y ++=⎧∴⎨++=⎩解得0,1.x y =⎧⎨=-⎩∴直线MN 恒过定点()0,1-.【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.技巧：若直线方程为()00y y k x x -=-,则直线过定点()00,x y ;若直线方程为y kx b =+(b 为定值),则直线过定点()0,.b 19.龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况．日期t 12345678910销售量千张1.91.982.22.362.432.592.682.762.70.4经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t =======∑∑∑.（1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ；（3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()N n P n *∈.①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε-<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．参考公式：()()()1122211ˆˆ,n niii ii i nni i i i x x y y x y nx yay bx x xx nx====---==---∑∑∑∑.【答案】（1）673220710001200y t =+（2）433774nn P ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭（3）①最大值为1316，最小值为14；②证明见解析【解析】【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出 ,ab 的值，进而得到y 关于t 的回归方程；（2）由题意可知1213,(3)44n n n P P P n --=+≥，其中12113,416P P ==，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解；（3）①分n 为偶数和n 为奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解；②利用数列收敛的定义，准确推理、运算，即可得证．【小问1详解】解：剔除第10天的数据，可得 2.2100.42.49y ⨯-==新，12345678959t ++++++++==新，则9922111119.73100.4114,73,38510285i i i i t y t ==⎛⎫⎛⎫=-⨯==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑新新，所以912922119114,7395 2.4673ˆ2859560009i i i i t y t y b t t ==⎛⎫- ⎪-⨯⨯⎝⎭===-⨯⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑新新新新新，可得6732207ˆ 2.4560001200a=-⨯=，所以6732207ˆ60001200y t =+.【小问2详解】解：由题意知1213,(3)44n n n P P P n --=+≥，其中12111313,444416P P ==⨯+=，所以11233,(3)44n n n n P P P P n ---+=+≥，又由2131331141644P P +=+⨯=，所以134n n P P -⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为1的常数列，所以131,(2)4n n P P n -+=≥所以1434(2)747n n P P n --=--≥，又因为1414974728P -=-=-，所以数列47n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为928-，公比为34-的等比数列，故1493(7284n n P --=--，所以1934433(()2847774n n n P -=--+=+-.【小问3详解】解：①当n 为偶数时，19344334()(28477747n n n P -=--+=+⋅>单调递减，最大值为21316P =；当n 为奇数时，19344334()(28477747n n n P -=--+=-⋅<单调递增，最小值为114P =，综上可得，数列{}n P 的最大值为1316，最小值为14.②证明：对任意0ε>总存在正整数0347[log ()]13N ε=+，其中[]x 表示取整函数，当347[log ()]13n ε>+时，347log ()34333333()()()7747474n n n P εε-=⋅-=⋅<⋅=，所以数列{}n P 收敛.【点睛】知识方法点拨：与新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.方法点拨：与数列有关的问题的求解策略：3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识.。
建昌县第二高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案(1)
建昌县第二高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 函数f （x ）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x 关于y 轴对称，则f （x ）=（ ） A ．e x+1 B ．e x ﹣1 C ．e ﹣x+1 D ．e ﹣x ﹣12． 点A 是椭圆上一点，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，I 是△AF 1F 2的内心．若，则该椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．3． 实数a=0.2，b=log 0.2，c=的大小关系正确的是（ ）A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a4． 如果对定义在R 上的函数)(x f ，对任意n m ≠，均有0)()()()(>--+m nf n mf n nf m mf 成立，则称 函数)(x f 为“H 函数”.给出下列函数： ①()ln25x f x =-；②34)(3++-=x x x f ；③)cos (sin 222)(x x x x f --=；④⎩⎨⎧=≠=0,00|,|ln )(x x x x f ．其中函数是“H 函数”的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ． 4【命题意图】本题考查学生的知识迁移能力，对函数的单调性定义能从不同角度来刻画，对于较复杂函数也要有利用导数研究函数单调性的能力，由于是给定信息题，因此本题灵活性强，难度大． 5． 已知PD ⊥矩形ABCD 所在的平面，图中相互垂直的平面有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对 6． 已知双曲线的方程为﹣=1，则双曲线的离心率为（ ） A ．B ．C ．或 D ．或7． 已知f （x ）是定义在R 上周期为2的奇函数，当x ∈（0，1）时，f （x ）=3x ﹣1，则f （log 35）=（ ） A ．B ．﹣C ．4D ．8． 记集合T={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，M=，将M 中的元素按从大到小排列，则第2013个数是（ ）班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________A．B．C．D．9．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣2）=f（x+2），当0＜x＜2时，f（x）=1﹣log2（x+1），则当0＜x＜4时，不等式（x﹣2）f（x）＞0的解集是（）A．（0，1）∪（2，3）B．（0，1）∪（3，4）C．（1，2）∪（3，4）D．（1，2）∪（2，3）10．函数是（）A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为π的奇函数C．最小正周期为2π的偶函数D．最小正周期为π的偶函数11．已知双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F，直线x=与其渐近线交于A，B两点，且△ABF为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知点P（1，﹣），则它的极坐标是（）A．B．C．D．二、填空题13．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为．14．若数列{a n}满足：存在正整数T，对于任意的正整数n，都有a n+T=a n成立，则称数列{a n}为周期为T的周期数列．已知数列{a n}满足：a1＞=m （m＞a ），a n+1=，现给出以下三个命题：①若m=，则a5=2；②若a3=3，则m可以取3个不同的值；③若m=，则数列{a n}是周期为5的周期数列．其中正确命题的序号是．15．不等式的解集为R，则实数m的范围是．16．抛物线y2=8x上到顶点和准线距离相等的点的坐标为．17．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60 角；④DM与BN是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是 （写出所有你认为正确的命题）．18．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】已知函数()()ln R xf x x a a x =+-∈，若曲线122e e 1x x y +=+（e 为自然对数的底数）上存在点()00,x y 使得()()00f f y y =，则实数a 的取值范围为__________.三、解答题19．已知F 1，F 2分别是椭圆=1（9＞m ＞0）的左右焦点，P 是该椭圆上一定点，若点P 在第一象限，且|PF 1|=4，PF 1⊥PF 2． （Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）求点P 的坐标．20．未来制造业对零件的精度要求越来越高.3D 打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件．该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有广阔的发展空间．某制造企业向A 高校3D 打印实验团队租用一台3D 打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10件零件，度量其内径的茎叶图如如图所示（单位：μm ）． （Ⅰ） 计算平均值μ与标准差σ；（Ⅱ） 假设这台3D 打印设备打印出品的零件内径Z 服从正态分布N （μ，σ2），该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，度量其内径分别为（单位：μm ）：86、95、103、109、118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？参考数据：P （μ﹣2σ＜Z ＜μ+2σ）=0.9544，P （μ﹣3σ＜Z ＜μ+3σ）=0.9974，0.95443=0.87，0.99744=0.99，0.04562=0.002．21．某重点大学自主招生考试过程依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核。
高三数学第一次月考试卷分析
农垦北安分局一中高三数学第一次月考试卷分析高三数学组一、试题评价1、关于试卷命题科学性的分析：本试题就所考查的目标来说比较合理、明确，考查内容比较难，基本符合高中数学教学大纲和高考新大纲的具体要求。
题目文字表述规范、简洁，原理设计较为合理，容量适中。
整个试题对于高中数学主要知识的覆盖比较广泛、全面，应用题及其他题型在有关材料的选取和组合上比较严谨、巧妙，较好的贯彻和体现了数学简洁、严谨、全面、细致的学科特点。
试题的设计具有一定的梯度和区分度，真正起到了检测、区分学生对有关数学知识掌握程度和数学思维能力水平的作用。
2、关于命题知识和考点的分析：本试题的立意主要在于测学生对于中学数学基本知识掌握的熟练程度和运用的灵活程度，考查的重点紧紧围绕高考的目标与要求，不仅考查学生的数学基础知识和基本技能，而且注意考查学生对于重要数学思想、方法和技巧的掌握程度，注重对学生逻辑思维能力、归纳分析能力、空间想象能力和运用知识解决实际问题能力的考查。
具体分布如下：式进行设计，整个卷面分为客观题和主观题两部分。
其中客观题分为选择题12道，每题5分，填空题4道，每题5分，共计80分。
主观题6道，第一道题10分，其余每题各12分，共计75分。
卷面总分150分。
本试题总体卷面设计规范、标准、科学、合理，题型设置严格按照高考真题式样，其中三种题型中基础题、中档题和难题所占的比例也较为适宜，但整个题的计算程度较高。
试卷板面设计合理、纸张和印刷质量较差。
二、存在的主要问题与建议（一）通过对本试题的教学导向性的认真分析，我们就会发现，本试题设计具有以下几个方面的特点对教学产生了积极的引导作用：1、注重考查对知识概念的本质理解及运用；2、注重对于计算基本功和带有字母式子的化简变形能力的考查；3、注重对公式结构特点和本质特征的理解与套用；4、注重各个知识点之间的巧妙结合与综合运用；5、注重对有关重要数学思想、方法及技巧的考查（如整体计算思想、分类讨论思想、化归与转化思想、函数与方程思想、换元思想、数形结合思想）；（二）通过对学生答卷情况的认真分析，我们不难发现，目前学生在数学学习方面仍旧存在以下几个方面的问题：1、学生的学习态度、习惯和责任感均有一定的问题；2、对于典型题型和基本题型的基本思路和解法掌握不熟练；3、书面表达和做题基本功不过硬，书写格式不规范，逻辑混乱；4、计算基本功和变形能力欠佳；5、观察分析问题的能力不够，思维推理的能力和层次太简单；6、克服困难、摆脱困境、积极寻找思路的信心、勇气不足。
2025届江门市高三数学上学期第二次月考试卷及答案解析
2024--2025学年新会华侨中学高三第一学期第二次月考数学试题本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集{1,2,3,4,5}U =，集合M 满足{}2,4U M =ð，则（ ）A. 1M ÍB. 4MÍ C. 5MÎ D. 3MÏ【答案】C 【解析】【分析】由补集运算得出集合M ，再由元素与集合的关系判断．【详解】因为全集{}{}1,2,3,4,5,2,4U U M ==ð，所以{1,3,5}M =，根据元素与集合的关系可知，ABD 错误，C 正确．故选：C ．2 已知()()10()sin π0x x f x x x -ì-<ï=í³ïî，则()()3f f -=（ ）A. B. 0 C.12D.【答案】D 【解析】【分析】先求()133f -=，再求()()1π3sin 33f f f æö-==ç÷èø，即可求解.【详解】根据已知()()11333f --=--=，所以()()1π3sin 33ff f æö-===ç÷èø故选：D .3. 若“x a >”是“1x >”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为（ ）A. (),1-¥ B. (],1-¥ C. ()1,+¥ D. [)1,+¥【答案】A 【解析】【分析】由题意可得{}1x x >⫋{}x x a >，再根据集合的包含关系求参即可..【详解】因为“x a >”是“1x >”的必要不充分条件，所有{}1x x >⫋{}x x a >，所以1a <，即实数a 的取值范围为(),1-¥．故选：A ．4. 已知πcos 4a æö+=ç÷èøsin 2a =（ ）A. 56- B. 23-C.23D.56【答案】C 【解析】【分析】代入二倍角公式，以及诱导公式，即可求解.【详解】由条件可知，22ππ2cos 22cos 121243a a æöæö+=+-=´-=-ç÷ç÷èøèø，而π2sin 2cos 223a a æö=-+=ç÷èø.故选：C5. 若1nx æöç÷èø的二项展开式中，当且仅当第5项是二项式系数最大的项，则其展开式中51x 的系数为（ ）A. 8 B. 28 C. 70 D. 252【答案】D 【解析】【分析】先确定n 值，再由二项展开式的通项求解5x -项的系数即可.【详解】因为二项展开式中当且仅当第5项是二项式系数最大的项，即二项式系数01C ,C ,,C nn n n L 中第5个即4C n 最大，所以由二项式系数的性质可知，展开式中共9项，8n =，又811213nx x x -æöæö-=-ç÷ç÷èøèø，则81123x x -æö-ç÷èø二项展开式的通项公式()81831822188C 3C (1)3rrr r r r rr T x x x ----+æö=-=-ç÷èø，0,1,2,,r n =L .令835,62r r -=-=，所以51x 的系数为62288C 39C 252×==．故选：D ．6. 心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建筑立面造型，呈现出优雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，营造出一个精神和自然聚合的空间.图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x 轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ）A. yB. y =C. y =D. y =【答案】C 【解析】【分析】根据奇偶性和最值排除错误答案即可.【详解】A 选项：1|1x y ==>，故A 错误；B 选项：记()f x =()()f x f x -=-=-，故()f x 为奇函数，不符合题意，故B 错误；C 选项：记()h x =()()h x h x -=，故y =当0x ³时，y ==，此函数在()0,1上单调递增，在()1,2上单调递减，且()()()00,11,20h h h ===，故C 正确；D 选项：记()g x =()()g x g x -=¹-，故()g x 既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意，故D 错误.故选：C.7. 已知函数221(2)()15(2)24x ax x x f x x ì+->ï=íæö-£ïç÷èøî是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A. (,1]-¥-B. 1,2æù-¥-çúèûC. (,0]-¥D. (,1]-¥【答案】A 【解析】【分析】首先由题意有(2)1f =-，若()f x 是R 上的减函数，故只需当2x >时，()221f x ax x =+-单调递减，从而列出不等式组，解不等式组即可.【详解】当2x £时，15()24xf x æö=-ç÷èø单调递减，a ÎR ，且()f x 最小值(2)1f =-，当2x >时，当0a =时，()21f x x =-单调递增，不符题意，又注意到()f x 是R 上的减函数，故只能抛物线()221f x ax x =+-的开口向下即0a <，其对称轴为1x a=-，则由题意有201222211a a a <ìïï-£íï´+´-£-ïî，解得1a £-．故选：A.8. 已知函数()f x 的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当121x x <<时，()()()21210f x f x x x -->éùëû恒成立，设1ln 2a f æö=ç÷èø，()2log 3b f =，32c f æö=ç÷èø，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. c a b >> B. c b a>> C. a c b>> D. b a c>>【答案】C 【解析】为【分析】先结合条件判断函数()f x 的对称性质和单调性，再分别界定三个自变量的值或者范围，利用函数对称性和单调性即得.【详解】依题可知函数()f x 的图象关于直线1x =对称，且在区间(,1)-¥上单调递增,则在区间(1,)+¥上单调递减.因2ln 213=<<，则131ln 22<<，23log 322<<，故213()()(log 3)2ln 2f f f >>，即a c b >>.故选：C.【点睛】关键点点睛：解题的关键在于，得知了函数在(1,+)¥上的单调性之后，如何判断三个自变量的大小范围，考虑到三个都是大于1的，且有一个是32，故对于2log 3和1ln 2，就必然先考虑它们与32的大小，而这需要利用对数函数的单调性得到.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩X 服从正态分布(100,100)N ，其中90分为及格线，120分为优秀线，下列说法正确的是（ ）附:随机变量x 服从正态分布2~(,)N m s ，则()0.6826P m s x m s -<<+=，(22)0.9544P m s x m s -<<+=，(33)0.9974P m s x m s -<<+=.A. 该市学生数学成绩的标准差为100B. 该市学生数学成绩的期望为100C. 该市学生数学成绩的及格率超过0.8D. 该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等【答案】BC 【解析】【分析】根据正态分布网线的对称性，正态分布的概念判断．【详解】X 服从正态分布(100,100)N ，则标准差为10，期望为100，A 错，B 正确，100,10m s ==，11(90)()(1())(10.6826)0.158722P X P X P X m s m s m s £=£-=--<<+=´-=，(90)1(90)10.15870.84130.8P X P X ³=-<=-=>，C 正确；及格线m s -，而优秀线是2m s +，1(120)(2)(10.9544)0.02282P X P X m s ³=>+=´-=，这优秀率，优秀率与及格率相差很大，人数相差也很大，D 错．故选：BC ．10. 下列命题正确的是（ ）A. 命题“1x ">，20x x ->”的否定是“01x $£，2000x x -£”；B. 如果A 是B 的必要不充分条件，B 是C 的充分必要条件，D 是C 的充分不必要条件，那么A 是D 的必要不充分条件C. 函数()21f x ax x =++的图象恒在()2g x x ax =+的图象上方，则a 的范围是()1,5D. 已知111222,,,,,a b c a b c 均不为零，不等式不等式21110a x b x c ++>和22220a x b x c ++>的解集分别为M 和N ，则“111222a b c a b c ==”是“M N =”成立的既不充分也不必要条件【答案】BD 【解析】【分析】借助全称命题的否定的定义可得A ；借助充分条件与必要条件的关系推导可得 B ；借助作差法结合二次函数的性质计算可得C ；结合充分条件与必要条件的定义，举出相应反例可得D.【详解】对A ：命题“1x ">，20x x ->”的否定是“01x $>，2000x x -£”，故A 错误；对B ：由A 是B 的必要不充分条件，B 是C 的充分必要条件，可得A 是C 的必要不充分条件，由D 是C 的充分不必要条件，则A 是D 的必要不充分条件，故B 正确；对C ：由题意可得()()2201f g x x x x a a x x ---++>=恒成立，即()()20111a x a x -++>-恒成立，则当1a =时，有10>恒成立，符合要求，当1a >时，()()()()2141150a a a a D =---=--<，解得()1,5a Î，当1a <时，()()20111a x a x -++>-不恒成立，故舍去，综上所述，a 的范围是[)1,5，故C 错误；对D ：若“1112220a b c a b c ==<”，则“M N =”不成立，是若“M N ==Æ”，则“111222a b c a b c ==”不恒成立，故“111222a b c a b c ==”是“M N =”成立的既不充分也不必要条件，故D 正确.故选：BD .11. 已知函数()sin cos f x a x x =+的图象关于π3x =对称，下列结论中正确的是（ ）A. π6f x æö-ç÷èø是奇函数B. π4f æö=ç÷èøC. 若()f x 在[,]m m -上单调递增，则π03m <£D. ()f x 的图象与直线π23y x =+有三个交点【答案】AC 【解析】【分析】先函数对称性求解a ，得到()f x 的解析式.A 项，化简π2sin 6f x x æö-=ç÷èø可知为奇函数；B 项，代入解析式求值即可；C 项，利用整体角求()f x 的单调递增区间，由2ππ33m m -£-<£可得m 范围；D 项，利用导数可知直线恰为曲线在π,06æö-ç÷èø处的切线，进而可得公共点个数.【详解】因为()f x 的图象关于直线π3x =对称，所以2π(0)3f f æö=ç÷èø112-=，解得a =所以π()cos 2sin 6f x x x x æö=+=+ç÷èø，验证：当π3x =时，π23f æö=ç÷èø，()f x 取最大值，故()f x 的图象关于直线π3x =对称，满足题意；A 项，π2sin 6f x x æö-=ç÷èø，x ∈R ，由2sin()2sin x x -=-，则π6f x æö-ç÷èø是奇函数，故A 正确；B 项，由)πππcos 1444f æö=+=+=ç÷èøB 错误；C 项，π()2sin 6f x x æö=+ç÷èø，由πππ2π2π,262k x k k -+£+£+ÎZ ，解得2ππ2π2π,33k x k k -+££+ÎZ ，当0k =时，32π3π-££x ，由()f x 在[,]m m -上单调递增，则2ππ33m m -£-<£，解得π03m <£，故C 正确；D 项，π()2sin 6f x x æö=+ç÷èø的图象与直线π23y x =+均过点π,06æö-ç÷èø，由π()2cos 6f x x æö=+ç÷èø¢，则π2cos 026f æö-==ç÷èø¢，故直线π26y x æö=+ç÷èø即π23y x =+与曲线π()2sin 6f x x æö=+ç÷èø相切，如图可知()f x 的图象与直线π23y x =+有且仅有一个公共点，故D 错误.故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知x ，y 之间的一组数据：若y ˆˆy a =+，则此曲线必过点_____________.x 14916y12.98 5.017.01【答案】(6.25,4)【解析】【分析】设t =ˆˆˆybt a =+，根据回归方程性质可得回归直线所过定点.【详解】由已知ˆˆya =，设t =ˆˆˆybt a =+，由回归直线性质可得(),t y 在直线ˆˆˆybt a =+上，又1234 2.54t +++==，1 2.98 5.017.0144y +++==，所以点()2.5,4在直线ˆˆˆybt a =+上，故点(6.25,4)在曲线ˆˆy a =上.故答案为：(6.25,4).13. 诗词是中国的传统文化遗产之一，是中华文化的重要组成部分．某校为了弘扬我国优秀的诗词文化，举办了校园诗词大赛，大赛以抢答形式进行．若某题被甲、乙两队回答正确的概率分别为11,43，且甲、乙两队抢到该题的可能性相等，则该题被答对的概率为___________．【答案】724【解析】【分析】分甲抢到题且答对和乙抢到题且答对两种情况计算即可．【详解】解：由题意，甲、乙两队抢到该题的概率均为12，该题被答对的概率为11117242324´+´=．故答案：724．14. 函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足()(2)f x f x =-，若(1)3f =，则(1)(2)(50)f f f +++=L __________．【答案】3【解析】【分析】首先由函数的奇偶性和对称性，分析函数的周期性，再求值.【详解】()(2)f x f x =-Q ，(2)()f x f x \+=-，又()f x 奇函数，(2)()(),(4)(2)()f x f x f x f x f x f x \+=-=-+=-+=()f x \是周期为4的周期函数，为为()f x Q 是定义在R 上的奇函数，(0)0,(4)(0)0f f f \=\==，(2)(0)0,(3)(1)(1)3f f f f f ===-=-=-(1)(2)(3)(4)0f f f f \+++=，()()()()()12...50012123f f f f f \+++=´++=.故答案为：3．【点睛】本题考查利用函数的奇偶性、对称性和周期性求解函数值的问题，属于中档题型，本题关键是能够通过对称性与周期性的关系确定函数的周期，进而确定函数值的变化特点．四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知函数2111222f x x x æö-=--ç÷èø.（1）求函数()f x 的解析式；（2）对任意的实数1,22x éùÎêúëû，都有()113222f x x ax ³+-恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1) ()()2471f x x x x R =++Î;(2) (],7a Î-¥.【解析】【详解】试题分析：()1用换元法令112t x =-来求函数()f x 的解析式（2）由（1）得()f x 的解析式代入，分离含参量123a x x æö£++ç÷èø，求出实数a 的取值范围解析：（1）令11222t x x t =-Þ=+∴()()()21222222f t t t =+-+- 2471t t =++即：∴()()2471f x x x x R =++Î.（2）由()11312222f x x ax ³+-Þ ()21347122x x x ax ++³+-即：2232ax x x £++又因为：1,22x éùÎêúëû，∴123a x x æö£++ç÷èø令()123g x x x æö=++ç÷èø，则：()min a g x £又()g x 在1,12x éùÎêúëû为减函数，在[]1,2x Î为增函数.∴()()min 17g x g ==∴7a £，即：(],7a Î-¥.点睛：在解答含有参量的恒成立问题时，可以运用分离含参量的方法，求解不等式，注意分类讨论其符号，最后求解结果．16. 记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知)()()sin sin sin a A b c B C -=+-．（1）求角C ；（2）若ABC V 外接圆的半径为2，求ABC V 面积的最大值．【答案】（1）π6C =（2）2+【解析】【分析】（1）运用正弦定理实现边角转化，结合余弦定理进行求解即可；（2）根据正弦定理，结合外接圆的半径可以求出2c =，根据三角形面积公式、利用重要不等式进行求解即可.【小问1详解】由已知及正弦定理可得)()()a a b c b c -=+-，整理得222a b c +-=，222cos 2a b c C ab +-\==，()π0,π,6C C Î\=Q ．【小问2详解】ABC QV 外接圆的半径为2，4sin cC\=，得222,4c a b =\+=，又(222,42a b ab ab +³\£，当且仅当a b ==时，等号成立，(111sin 422222ABC S ab C \=£´+´=+V ，V面积的最大值为2+．即ABC17. 为响应国家使用新能源的号召，促进“碳达峰碳中和”的目标实现，某汽车生产企业在积极上市四款新能源汽车后，对它们进行了市场调研.该企业研发部门从购买这四款车的车主中随机抽取了50人，让车主对所购汽车的性能进行评分，每款车的性能都有1分、2分、3分、4分、5分五个等级，各评分及相应人数的统计结果如下表.汽车款式合计汽车性能基础版豪华版一般优秀合计性能评分12345汽车款式基础版122310基础版基础版244531豪华版113541豪华版豪华版200353（1）求所抽车主对这四款车性能评分的平均数和第90百分位数；（2）当评分不小于4时，认为该款车性能优秀，否则认为性能一般.根据上述样本数据，完成上面列联a=的独立性检验，能否认为汽车的性能与款式有关？表，并依据0.05（3）为提高这四款新车的性能，现从样本评分不大于2的基础版车主中，随机抽取3人征求意见，记X 为其中基础版1车主的人数，求X的分布列及数学期望.附：()()()()()22n ad bca b c d a c b dc-=++++.a0.100.050.010.005xa2.7063.841 6.6357.879【答案】（1）3，4.5（2）列联表见解析，依据0.05a=的独立性检验，能认为汽车的性能与款式有关；（3）分布列见解析，1【解析】【分析】（1）根据平均数公式求平均数，根据百分位数定义求第90百分位数；（2）由条件数据填写列联表，提出零假设，计算2c，比较2c与临界值的大小，确定结论；（3）由条件可得X服从超几何分布，确定其取值，求取各值的概率，可得分布列，再由期望公式求期望.【小问1详解】由题意得这四款车性能评分的平均数为1 (172931641355)350´+´+´+´+´´=；509045´%=，所以第90百分位数为50数从小到大排列的45和第46个数的平均数，由已知50数从小到大排列后的第45个数为4，第46个数为5，故第90百分位数为454.5 2+=；【小问2详解】由题意得汽车款式汽车性能基础版豪华版合计一般201232优秀51318合计252550零假设为0H ：汽车性能与款式无关，根据列联表中的数据，经计算得到220.0550(2013125)505.556 3.841321825259x c ´´-´==»>=´´´.根据小概率值0.05a =的独立性检验，推断0H 不成立，即认为汽车性能与款式有关，此推断犯错误的概率不超过0.05；【小问3详解】由题意可得X 服从超几何分布，且12N =，4M =，3n =，由题意知，X 的所有可能取值为0,1,2,3，则38312C 14(0)C 55P X ===，1482123C C (1)C 2855P X ===，824312112C C (2)C 55P X ===，34312C 1(3)C 55P X === 所以X 的分布列为X123P1455285512551551428121()0123155555555E X =´+´+´+´=.18. 已知锐角ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos a c c B -=．（1）证明：2B C =；（2）若2a =，求cos 1C b c+的取值范围．【答案】（1）证明见解析 （2）33,42æöç÷èø【解析】【分析】（1）由正弦定理、两角和差的正弦公式化简得sin()sin B C C -=，进一步即可证明；（2）由题意首先求得cos C 的取值范围，进一步将目标式子cos 1C b c+转换为只含有cos C 的式子即可求解．【小问1详解】因为2cos a c c B -=，由正弦定理得sin sin 2sin cos A C C B -=，所以sin cos sin cos sin 2sin cos B C C B C C B +-=，所以()sin cos sin cos sin sin sin B C C B C B C C -=Û-=，而0π,0C πB <<<<，则B C C -=或πB C C -+=，即2B C =或B π=（舍去），故2B C =．【小问2详解】因为ABC V 是锐角三角形，所以π02π022π0π32C C C ì<<ïïï<<íïï<-<ïî，解得ππ64C <<，所以cos Ccos C <<，由正弦定理可得：sin sin b B c C =，则sin sin 22cos sin sin B C b c c C c C C=×=×=×，所以cos 12C b c =，所以cos 132C b c c+=，因为2cos a c c B -=，所以22cos 2c c C -=，所以22cos 21c C =+，所以()()234cos 132cos 21cos 13342442cos 21C C C b c c C -++====+，因为cos CÎ，所以24cos 1C -Î()1,2，所以()234cos 1cos 14C C b c -+=的取值范围是33,42æöç÷èø．19. 已知()x x a b f x a b+=-（0a >且1a ¹）是R 上的奇函数，且()325f =.设()()()2f x F x f x =.（1）求a ，b 的值，并求()F x 的值域；（2）把区间()0,2等分成2n 份，记等分点的横坐标依次为i x ，1,2,3,,21i n =-L ，设()142321x g x -=-+，记()()()()()()*12321g g g g n H n x x x x n -=++++ÎN L ，是否存在正整数n ，使不等式()()F x H n ≥有解?若存在，求出所有n 的值，若不存在，说明理由.【答案】（1）答案见解析（2）存在，n =1，2或3【解析】【分析】（1）由()f x 是R 上的奇函数，且()325f =求出,a b 可得()f x 及()F x ，利用分离常量求出()F x 的值域；（2）()()113g x f x =-+得出()g x 的图象关于11,3æöç÷èø对称，所以()()223i i g x g x +-=，利用对称性求出()H n 可得答案.【小问1详解】因为()x x a bf x a b+=-（0a >且1a ¹）是R 上的奇函数，且()325f =，所以()()002200325a bf a b a b f a b ì+==ïï-í+ï==ï-î，解得21a b =ìí=-î，则()2121x x f x -=+，因为定义域为R ，()()21212121x x x x f x f x -----==-=-++，所以()f x 是R 上的奇函数，故2,1a b ==-，()()()2222221212221212121x x x x x x x f x F x f x -++×+==´=+-+()22212221012122x x xx x x ++×==+¹++，因为20x >，所以()221121222x xF x =+£+=+，当且仅当122xx=，即x =0时等号成立，所以()2F x <又x R Î时，()211122xxF x =+>+，所以()12F x <<，即()F x 的值域为()1,2；【小问2详解】把区间()0,2等分成2n 份，则等分点的横坐标为i ix n=，1,2,3,,21i n =-L ，()()1142211113212133x x g x f x --=-=-+=-+++，()f x 为奇函数，所以()g x 的图象关于11,3æöç÷èø对称，所以()()223i i g x g x +-=，1,2,3,,21i n =-L ，所以()122221g g g g n n H n n n n n --æöæöæöæö=++++ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøL 12122211n n n n n g g g g g g g n n n n n n n éùéùéù---+æöæöæöæöæöæöæö=+++++++ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷êúêúêúèøèøèøèøèøèøèøëûëûëûL 122212133333n n --=++++=L 1442443项所以()2123n H n -=<，即72n <.故存在正整数1,2n =或3，使不等式()()f x H n ³有解.【点睛】关键点点睛：第二问的解题的关键点是判断出()()113g x f x =-+，()g x 的图象关于11,3æöç÷èø对称，所以()()223i i g x g x +-=.。
高三数学上学期第一次月考试卷(含解析)-人教版高三全册数学试题
2015-2016学年某某省某某市姜堰市区罗塘高级中学高三（上）第一次月考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．已知A={1，3，4}，B={3，4，5}，则A∩B=．2．命题”∀x＞0，x3﹣1＞0”的否定是．3．命题：“若a＞0，则a2＞0”的否命题是．4．函数y=的定义域为．5．函数f（x）=log5（2x+1）的单调增区间是．6．函数y=（x≥e）的值域是．7．设f（x）=4x3+mx2+（m﹣3）x+n（m，n∈R）是R上的单调增函数，则m的值为．8．若命题“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1≤0”为假命题，则实数a的X围．9．若曲线C1：y=ax3﹣6x2+12x与曲线C2：y=e x在x=1处的两条切线互相垂直，则实数a的值为．10．已知函数f（x）=x|x﹣2|，则不等式的解集为．11．下列四个命题：（1）“∃x∈R，x2﹣x+1≤0”的否定；（2）“若x2+x﹣6≥0，则x＞2”的否命题；（3）在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的充分不必要条件；（4）“k=2”是“函数f（x）=2x﹣（k2﹣3）•2﹣x为奇函数”的充要条件．其中真命题的序号是（真命题的序号都填上）12．若函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=xlnx，则不等式f（x）＜﹣e的解集为．13．已知函数f（x）=若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则a的取值X围是．14．已知函数f（x）=3x+a与函数g（x）=3x+2a在区间（b，c）上都有零点，则的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．已知集合A={x||x﹣4|≤2，x∈R}，B={x|＞0，x∈R}，全集U=R．（1）求A∩（∁U B）；（2）若集合C={x|x＜a，x∈R}，A∩C=∅，某某数a的取值X围．16．设命题P：“任意x∈R，x2﹣2x＞a”，命题Q“存在x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”；如果“P 或Q”为真，“P且Q”为假，求a的取值X围．17．p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足（1）若a=1，且p∧q为真，某某数x的取值X围；（2）¬p是¬q的充分不必要条件，某某数a的取值X围．18．如图，有一个长方形地块ABCD，边AB为2km，AD为4km．，地块的一角是湿地（图中阴影部分），其边缘线AC是以直线AD为对称轴，以A为顶点的抛物线的一部分．现要铺设一条过边缘线AC上一点P的直线型隔离带EF，E，F分别在边AB，BC上（隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计）．设点P到边AD的距离为t（单位：km），△BEF的面积为S （单位：km2）．（1）求S关于t的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）是否存在点P，使隔离出的△BEF面积S超过3km2？并说明理由．19．设函数f（x）=lnx+，m∈R（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的最小值；（2）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；（3）（理科）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值X围．20．已知函数f（x）=1+lnx﹣，其中k为常数．（1）若k=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．（2）若k=5，求证：f（x）有且仅有两个零点；（3）若k为整数，且当x＞2时，f（x）＞0恒成立，求k的最大值．2015-2016学年某某省某某市姜堰市区罗塘高级中学高三（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．已知A={1，3，4}，B={3，4，5}，则A∩B={3，4} ．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={1，3，4}，B={3，4，5}，∴A∩B={3，4}．故答案为：{3，4}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．命题”∀x＞0，x3﹣1＞0”的否定是∃x＞0，x3﹣1≤0．【考点】命题的否定．【专题】计算题；规律型；简易逻辑．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题”∀x＞0，x3﹣1＞0”的否定是：∃x＞0，x3﹣1≤0．故答案为：∃x＞0，x3﹣1≤0．【点评】本题考查命题的否定全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．3．命题：“若a＞0，则a2＞0”的否命题是若a≤0，则a2≤0．【考点】四种命题．【专题】阅读型．【分析】写出命题的条件与结论，再根据否命题的定义求解．【解答】解：命题的条件是：a＞0，结论是：a2＞0．∴否命题是：若a≤0，则a2≤0．故答案是若a≤0，则a2≤0．【点评】本题考查否命题的定义．4．函数y=的定义域为[2，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由根式内部的代数式大于等于0，然后求解指数不等式．【解答】解：由2x﹣4≥0，得2x≥4，则x≥2．∴函数y=的定义域为[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了指数不等式的解法，是基础题．5．函数f（x）=log5（2x+1）的单调增区间是（﹣，+∞）．【考点】对数函数的单调性与特殊点．【专题】函数的性质及应用．【分析】要求函数的单调区间，我们要先求出函数的定义域，然后根据复合函数“同增异减”的原则，即可求出函数的单调区间．【解答】解：要使函数的解析有有意义则2x+1＞0故函数的定义域为（﹣，+∞）由于内函数u=2x+1为增函数，外函数y=log5u也为增函数故函数f（x）=log5（2x+1）在区间（﹣，+∞）单调递增故函数f（x）=log5（2x+1）的单调增区间是（﹣，+∞）故答案为：（﹣，+∞）【点评】本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点，其中本题易忽略定义域，造成答案为R的错解．6．函数y=（x≥e）的值域是（0，1]．【考点】函数的值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数y=lnx的单调性，判定y=在x≥e时的单调性，从而求出函数y的值域．【解答】解：∵对数函数y=lnx在定义域上是增函数，∴y=在（1，+∞）上是减函数，且x≥e时，l nx≥1，∴0＜≤1；∴函数y的值域是（0，1]．故答案为：（0，1]．【点评】本题考查了求函数的值域问题，解题时应根据基本初等函数的单调性，判定所求函数的单调性，从而求出值域来，是基础题．7．设f（x）=4x3+mx2+（m﹣3）x+n（m，n∈R）是R上的单调增函数，则m的值为 6 ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】函数的性质及应用．【分析】由函数为单调增函数可得f′（x）≥0，故只需△≤0即可．【解答】解：根据题意，得f′（x）=12x2+2mx+m﹣3，∵f（x）是R上的单调增函数，∴f′（x）≥0，∴△=（2m）2﹣4×12×（m﹣3）≤0即4（m﹣6）2≤0，所以m=6，故答案为：6．【点评】本题考查函数的单调性，利用二次函数根的判别式小于等于0是解决本题的关键，属中档题．8．若命题“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1≤0”为假命题，则实数a的X围（﹣1，3）．【考点】特称命题．【专题】计算题；转化思想．【分析】不等式对应的是二次函数，其开口向上，若“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1≤0”，则相应二次方程有实根．求出a的X围，然后求解命题“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1≤0”为假命题，实数a的X围．【解答】解：∵“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1≤0∴x2+（a﹣1）x+1=0有两个实根∴△=（a﹣1）2﹣4≥0∴a≤﹣1，a≥3，所以命题“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1≤0”为假命题，则实数a的X围（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）．【点评】本题主要考查一元二次不等式，二次函数，二次方程间的相互转化及相互应用，这是在函数中考查频率较高的题目，灵活多变，难度可大可小，是研究函数的重要方面．9．若曲线C1：y=ax3﹣6x2+12x与曲线C2：y=e x在x=1处的两条切线互相垂直，则实数a的值为﹣．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的概念及应用；直线与圆．【分析】分别求出两个函数的导函数，求得两函数在x=1处的导数值，由题意知两导数值的乘积等于﹣1，由此求得a的值．【解答】解：由y=ax3﹣6x2+12x，得y′=3ax2﹣12x+12，∴y′|x=1=3a，由y=e x，得y′=e x，∴y′|x=1=e．∵曲线C1：y=ax3﹣6x2+12x与曲线C2：y=e x在x=1处的切线互相垂直，∴3a•e=﹣1，解得：a=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，函数在某点处的导数，就是曲线在该点处的切线的斜率，同时考查两直线垂直的条件，属于中档题．10．已知函数f（x）=x|x﹣2|，则不等式的解集为[﹣1，+∞）．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】化简函数f（x），根据函数f（x）的单调性，解不等式即可．【解答】解：当x≤2时，f（x）=x|x﹣2|=﹣x（x﹣2）=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1≤1，当x＞2时，f（x）=x|x﹣2|=x（x﹣2）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，此时函数单调递增．由f（x）=（x﹣1）2﹣1=1，解得x=1+．由图象可以要使不等式成立，则，即x≥﹣1，∴不等式的解集为[﹣1，+∞）．故答案为：[﹣1，+∞）．【点评】本题主要考查不等式的解法，利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键，使用数形结合是解决本题的基本思想．11．下列四个命题：（1）“∃x∈R，x2﹣x+1≤0”的否定；（2）“若x2+x﹣6≥0，则x＞2”的否命题；（3）在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的充分不必要条件；（4）“k=2”是“函数f（x）=2x﹣（k2﹣3）•2﹣x为奇函数”的充要条件．其中真命题的序号是（1），（2）（真命题的序号都填上）【考点】命题的真假判断与应用．【专题】转化思想；数学模型法；简易逻辑．【分析】（1）原命题的否定为“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”，由于△=﹣3＜0，即可判断出正误；（2）由于原命题的逆命题为：“若x＞2，则x2+x﹣6≥0”，是真命题，进而判断出原命题的否命题具有相同的真假性；（3）在△ABC中，“sinA＞”⇒“150°＞A＞30°”，即可判断出正误；（4）“函数f（x）=2x﹣（k2﹣3）•2﹣x为奇函数”则f（﹣x）+f（x）=0，化为（k2﹣4）（22x+1）=0，此式对于任意实数x成立，可得k=±2，即可判断出真假．【解答】解：（1）“∃x∈R，x2﹣x+1≤0”的否定为“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”，由于△=﹣3＜0，因此正确；（2）“若x2+x﹣6≥0，则x＞2”的逆命题为：“若x＞2，则x2+x﹣6≥0”，是真命题，因此原命题的否命题也是真命题，正确；（3）在△A BC中，“sinA＞”⇒“150°＞A＞30°”，因此“A＞30°”是“sinA＞”的既不充分也不必要条件，不正确；（4）“函数f（x）=2x﹣（k2﹣3）•2﹣x为奇函数”则f（﹣x）+f（x）=2﹣x﹣（k2﹣3）•2x+2x ﹣（k2﹣3）•2﹣x=0，化为（k2﹣4）（22x+1）=0，此式对于任意实数x成立，∴k=±2，因此“k=2”是“函数f（x）=2x﹣（k2﹣3）•2﹣x为奇函数”的充分不必要条件，不正确．其中真命题的序号是（1），（2）故答案为：（1），（2）．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、函数的奇偶性、三角函数的单调性、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．若函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=xlnx，则不等式f（x）＜﹣e的解集为（﹣∞，﹣e）．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由奇函数的性质f（﹣x）=﹣f（x），求出函数f（x）的解析式，对x＞0时的解析式求出f′（x），并判断出函数的单调性和极值，再由奇函数的图象特征画出函数f（x）的图象，根据图象和特殊的函数值求出不等式的解集．【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，∵当x＞0时，f（x）=xlnx，∴f（﹣x）=﹣xln（﹣x），∵函数f（x）是奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=xln（﹣x），则，当x＞0时，f′（x）=lnx+=lnx+1，令f′（x）=0得，x=，当0＜x＜时，f′（x）＜0；当x＞时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）上递增，当x=时取到极小值，f（）=ln=﹣＞﹣e，再由函数f（x）是奇函数，画出函数f（x）的图象如图：∵当x＞0时，当x=时取到极小值，f（）=ln=﹣＞﹣e，∴不等式f（x）＜﹣e在（0，+∞）上无解，在（﹣∞，0）上有解，∵f（﹣e）=（﹣e）ln[﹣（﹣e）]=﹣e，∴不等式f（x）＜﹣e解集是：（﹣∞，﹣e），故答案为：（﹣∞，﹣e）．【点评】本题考查函数的奇偶性的综合运用，以及导数与函数的单调性的关系，考查数形结合思想．13．已知函数f（x）=若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则a的取值X围是{a|a＜0或a＞1} ．【考点】函数的零点．【专题】计算题；创新题型；函数的性质及应用．【分析】由g（x）=f（x）﹣b有两个零点可得f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b 的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a的X围【解答】解：∵g（x）=f（x）﹣b有两个零点，∴f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，由x3=x2可得，x=0或x=1①当a＞1时，函数f（x）的图象如图所示，此时存在b，满足题意，故a＞1满足题意②当a=1时，由于函数f（x）在定义域R上单调递增，故不符合题意③当0＜a＜1时，函数f（x）单调递增，故不符合题意④a=0时，f（x）单调递增，故不符合题意⑤当a＜0时，函数y=f（x）的图象如图所示，此时存在b使得，y=f（x）与y=b有两个交点综上可得，a＜0或a＞1故答案为：{a|a＜0或a＞1}【点评】本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想．14．已知函数f（x）=3x+a与函数g（x）=3x+2a在区间（b，c）上都有零点，则的最小值为﹣1 ．【考点】函数零点的判定定理；基本不等式．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】根据函数f（x）=3x+a，与函数g（x）=3x+2a在区间（b，c）上都有零点，可得a+2b＜0，a+2c＞0恒成立，进而根据==，结合基本不等式可得的最小值．【解答】解：∵函数f（x）=3x+a，与函数g（x）=3x+2a在区间（b，c）上都有零点，且f （x）与g（x）均为增函数∴f（b）=3b+a＜0，即b＜﹣，g（b）=3b+2a＜0，即b＜﹣，f（c）=3c+a＞0，即c＞﹣，g（c）=3c+2a＞0，即c＞﹣，∵当a＞0时，a+2b＜0，a+2c＞0，当a＜0时，a+2b＜0，a+2c＞0，当a=0时，a+2b＜0，a+2c＞0，即a+2b＜0，a+2c＞0恒成立，即﹣a﹣2b＞0，a+2c＞0恒成立，∴=====≥=﹣1，∴的最小值为﹣1，故答案为：﹣1【点评】本题考查的知识点是函数零点的判定定理，基本不等式，其中对式子==的分解变形是解答的关键．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．已知集合A={x||x﹣4|≤2，x∈R}，B={x|＞0，x∈R}，全集U=R．（1）求A∩（∁U B）；（2）若集合C={x|x＜a，x∈R}，A∩C=∅，某某数a的取值X围．【考点】交、并、补集的混合运算；交集及其运算．【专题】集合思想；定义法；集合．【分析】（1）根据集合的基本运算进行求解即可．（2）根据集合的关系建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：（1）∵A={x|2≤x≤6，x∈R}，B={x|﹣1＜x＜5，x∈R}，∴C U B={x|x≤﹣1或x≥5}，…，∴A∩（C U B）={x|5≤x≤6}．…（2）∵A={x|2≤x≤6，x∈R}，C={x|x＜a，x∈R}，A∩C≠∅，∴a的取值X围是a≤2．…【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．16．设命题P：“任意x∈R，x2﹣2x＞a”，命题Q“存在x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”；如果“P 或Q”为真，“P且Q”为假，求a的取值X围．【考点】复合命题的真假．【专题】函数的性质及应用．【分析】由命题 P成立，求得a＜﹣1，由命题Q成立，求得a≤﹣2，或a≥1．由题意可得p真Q假，或者 p假Q真，故有，或．解这两个不等式组，求得a的取值X围．【解答】解：由命题 P：“任意x∈R，x2﹣2x＞a”，可得x2﹣2x﹣a＞0恒成立，故有△=4+4a ＜0，a＜﹣1．由命题Q：“存在x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”，可得△′=4a2﹣4（2﹣a）=4a2+4a﹣8≥0，解得a≤﹣2，或a≥1．再由“P或Q”为真，“P且Q”为假，可得 p真Q假，或者 p假Q真．故有，或．求得﹣2＜a＜﹣1，或a≥1，即 a＞﹣2．故a的取值X围为（﹣2，+∞）．【点评】本题主要考查命题真假的判断，二次不函数的性质，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．17．p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足（1）若a=1，且p∧q为真，某某数x的取值X围；（2）¬p是¬q的充分不必要条件，某某数a的取值X围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】（1）若a=1，分别求出p，q成立的等价条件，利用且p∧q为真，某某数x的取值X围；（2）利用￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，某某数a的取值X 围．【解答】解：（1）由x2﹣4ax+3a2＜0，得（x﹣3a）（x﹣a）＜0．又a＞0，所以a＜x＜3a．当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值X围是1＜x＜3．由得得2＜x≤3，即q为真时实数x的取值X围是2＜x≤3．若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值X围是2＜x＜3．（2）￢p是￢q的充分不必要条件，即￢p⇒￢q，且￢q推不出￢p．即q是p的充分不必要条件，则，解得1＜a≤2，所以实数a的取值X围是1＜a≤2．【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用逆否命题的等价性将￢p是￢q的充分不必要条件，转化为q是p的充分不必要条件是解决本题的关键，18．如图，有一个长方形地块ABCD，边AB为2km，AD为4km．，地块的一角是湿地（图中阴影部分），其边缘线AC是以直线AD为对称轴，以A为顶点的抛物线的一部分．现要铺设一条过边缘线AC上一点P的直线型隔离带EF，E，F分别在边AB，BC上（隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计）．设点P到边AD的距离为t（单位：km），△BEF的面积为S （单位：km2）．（1）求S关于t的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）是否存在点P，使隔离出的△BEF面积S超过3km2？并说明理由．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数解析式的求解及常用方法．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）如图，以A为坐标原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则C 点坐标为（2，4）．设边缘线AC所在抛物线的方程为y=ax2，把（2，4）代入，可得抛物线的方程为y=x2．由于y'=2x，可得过P（t，t2）的切线EF方程为y=2tx﹣t2．可得E，F点的坐标，，即可得出定义域．（2），利用导数在定义域内研究其单调性极值与最值即可得出．【解答】解：（1）如图，以A为坐标原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则C点坐标为（2，4）．设边缘线AC所在抛物线的方程为y=ax2，把（2，4）代入，得4=a×22，解得a=1，∴抛物线的方程为y=x2．∵y'=2x，∴过P（t，t2）的切线EF方程为y=2tx﹣t2．令y=0，得；令x=2，得F（2，4t﹣t2），∴，∴，定义域为（0，2]．（2），由S'（t）＞0，得，∴S（t）在上是增函数，在上是减函数，∴S在（0，2]上有最大值．又∵，∴不存在点P，使隔离出的△BEF面积S超过3km2．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值切线的方程、抛物线方程，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．设函数f（x）=lnx+，m∈R（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的最小值；（2）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；（3）（理科）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值X围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的极值．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）当m=e时，，x＞0，由此利用导数性质能求出f（x）的极小值．（2）由g（x）===0，得m=，令h（x）=x﹣，x＞0，m∈R，则h（1）=，h′（x）=1﹣x2=（1+x）（1﹣x），由此利用导数性质能求出函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数．（3）（理）当b＞a＞0时，f′（x）＜1在（0，+∞）上恒成立，由此能求出m的取值X 围．【解答】解：（1）当m=e时，，x＞0，解f′（x）＞0，得x＞e，∴f（x）单调递增；同理，当0＜x＜e时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∴f（x）只有极小值f（e），且f（e）=lne+=2，∴f（x）的极小值为2．（2）∵g（x）===0，∴m=，令h（x）=x﹣，x＞0，m∈R，则h（1）=，h′（x）=1﹣x2=（1+x）（1﹣x），令h′（x）＞0，解得0＜x＜1，∴h（x）在区间（0，1）上单调递增，值域为（0，）；同理，令h′（x）＜0，解得x＞1，∴g（x）要区是（1，+∞）上单调递减，值域为（﹣∞，）．∴当m≤0，或m=时，g（x）只有一个零点；当0＜m＜时，g（x）有2个零点；当m＞时，g（x）没有零点．（3）（理）对任意b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；设h（x）=f（x）﹣x=lnx+﹣x（x＞0），则h（b）＜h（a）．∴h（x）在（0，+∞）上单调递减；∵h′（x）=﹣﹣1≤0在（0，+∞）上恒成立，∴m≥﹣x2+x=﹣+（x＞0），∴m≥；对于m=，h′（x）=0仅在x=时成立；∴m的取值X围是[，+∞）．【点评】本题考查函数的极小值的求法，考查函数的零点的个数的讨论，考查实数值的求法，解题时要注意构造法、分类讨论思想和导数性质的合理运用．20．已知函数f（x）=1+lnx﹣，其中k为常数．（1）若k=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．（2）若k=5，求证：f（x）有且仅有两个零点；（3）若k为整数，且当x＞2时，f（x）＞0恒成立，求k的最大值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】（1）求出f（x）的解析式，求出导数和切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程即可得到切线方程；（2）求出k=5时f（x）的解析式和导数，求得单调区间和极小值，再由函数的零点存在定理可得（1，10）之间有一个零点，在（10，e4）之间有一个零点，即可得证；（3）方法一、运用参数分离，运用导数，判断单调性，求出右边函数的最小值即可；方法二、通过对k讨论，运用导数求出单调区间，求出f（x）的最小值，即可得到k的最大值为4．【解答】解：（1）当k=0时，f（x）=1+lnx．因为f′（x）=，从而f′（1）=1．又f （1）=1，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程y﹣1=x﹣1，即x﹣y=0．（2）证明：当k=5时，f（x）=lnx+﹣4．因为f′（x）=，从而当x∈（0，10），f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（10，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．所以当x=10时，f（x）有极小值．因f（10）=ln10﹣3＜0，f（1）=6＞0，所以f（x）在（1，10）之间有一个零点．因为f（e4）=4+﹣4＞0，所以f（x）在（10，e4）之间有一个零点．从而f（x）有两个不同的零点．（3）方法一：由题意知，1+lnx﹣＞0对x∈（2，+∞）恒成立，即k＜对x∈（2，+∞）恒成立．令h（x）=，则h′（x）=．设v（x）=x﹣2lnx﹣4，则v′（x）=．当x∈（2，+∞）时，v′（x）＞0，所以v（x）在（2，+∞）为增函数．因为v（8）=8﹣2ln8﹣4=4﹣2ln8＜0，v（9）=5﹣2ln9＞0，所以存在x0∈（8，9），v（x0）=0，即x0﹣2lnx0﹣4=0．当x∈（2，x0）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．所以当x=x0时，h（x）的最小值h（x0）=．因为lnx0=，所以h（x0）=∈（4，4.5）．故所求的整数k的最大值为4．方法二：由题意知，1+lnx﹣＞0对x∈（2，+∞）恒成立．f（x）=1+lnx﹣，f′（x）=．①当2k≤2，即k≤1时，f′（x）＞0对x∈（2，+∞）恒成立，所以f（x）在（2，+∞）上单调递增．而f（2）=1+ln2＞0成立，所以满足要求．②当2k＞2，即k＞1时，当x∈（2，2k）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（2k，+∞），f′（x）＞0，f（x）单调递增．所以当x=2k时，f（x）有最小值f（2k）=2+ln2k﹣k．从而f（x）＞0在x∈（2，+∞）恒成立，等价于2+ln2k﹣k＞0．令g（k）=2+ln2k﹣k，则g′（k）=＜0，从而g（k）在（1，+∞）为减函数．因为g（4）=ln8﹣2＞0，g（5）=ln10﹣3＜0，所以使2+ln2k﹣k＞0成立的最大正整数k=4．综合①②，知所求的整数k的最大值为4．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间及极值、最值，主要考查导数的几何意义和函数的单调性的运用，不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，运用分类讨论的思想方法和函数方程的转化思想是解题的关键．。
平定县实验中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
平定县实验中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 已知函数f （x ）=a x +b （a ＞0且a ≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b=（ ）A ．﹣B ．﹣C ．﹣D ．﹣或﹣2． 抛物线y=x 2的焦点坐标为（）A ．（0，）B ．（，0）C ．（0，4）D ．（0，2）3． 函数f （x ）=3x +x ﹣3的零点所在的区间是（ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2.3）D ．（3，4）4． 设m 是实数，若函数f （x ）=|x ﹣m|﹣|x ﹣1|是定义在R 上的奇函数，但不是偶函数，则下列关于函数f （x ）的性质叙述正确的是（）A ．只有减区间没有增区间B ．是f （x ）的增区间C ．m=±1D ．最小值为﹣35． 命题“∃x 0∈R ，x 02+2x 0+2≤0”的否定是（ ）A ．∀x ∈R ，x 2+2x+2＞0B ．∀x ∈R ，x 2+2x+2≥0C ．∃x 0∈R ，x 02+2x 0+2＜0D ．∃x ∈R ，x 02+2x 0+2＞06． 下列关系正确的是（ ）A ．1∉{0，1}B ．1∈{0，1}C ．1⊆{0，1}D ．{1}∈{0，1}7． 设a ＞0，b ＞0，若是5a 与5b 的等比中项，则+的最小值为（）A ．8B ．4C ．1D ．8． 函数f （x ）=sin ωx （ω＞0）在恰有11个零点，则ω的取值范围（ ）A ．C ．D ．时，函数f （x ）的最大值与最小值的和为（ ）A ．a+3B ．6C ．2D ．3﹣a 9． （﹣6≤a ≤3）的最大值为（）A ．9B ．C ．3D ．10．某班级有6名同学去报名参加校学生会的4项社团活动，若甲、乙两位同学不参加同一社团，每个社团都有人参加，每人只参加一个社团，则不同的报名方案数为（）A ．4320B ．2400C ．2160D ．132011．对任意的实数k ，直线y=kx+1与圆x 2+y 2=2的位置关系一定是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________12．已知向量=（1，n ），=（﹣1，n ﹣2），若与共线．则n 等于（ ）A ．1B ．C ．2D ．4二、填空题13．一个圆柱和一个圆锥的母线相等，底面半径也相等，则侧面积之比是 ．14．曲线y=x 2和直线x=0，x=1，y= 所围成的图形的面积为 ．15．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是 .（注：结果请用数字作答）【命题意图】本题考查计数原理、排列与组合的应用，同时也渗透了分类讨论的思想，本题综合性强，难度较大.16．已知是等差数列，为其公差,是其前项和，若只有是中的最小项,则可得出的结论中所有正确的序号是___________①②③④⑤17．若复数是纯虚数，则的值为 .34sin (cos 55z αα=-+-tan α【命题意图】本题考查复数的相关概念，同角三角函数间的关系，意在考查基本运算能力．18．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f （x ）=，若函数y=f （f ()210{ 21(0)xxx e x x x +≥++<（x ）﹣a ）﹣1有三个零点，则a 的取值范围是_____．三、解答题19．已知函数f （x ）=|x ﹣1|+|x ﹣a|．（I ）若a=﹣1，解不等式f （x ）≥3；（II ）如果∀x ∈R ，f （x ）≥2，求a 的取值范围．20．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点，求证：（1）直线EF ∥平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面PAD ．21．24．（本小题满分10分）选修45：不等式选讲．已知函数f （x ）＝|x ＋1|＋2|x －a 2|（a ∈R ）．（1）若函数f （x ）的最小值为3，求a 的值；（2）在（1）的条件下，若直线y ＝m 与函数y ＝f （x ）的图象围成一个三角形，求m 的范围，并求围成的三角形面积的最大值．22．本小题满分10分选修：几何证明选讲41-如图，是⊙的内接三角形，是⊙的切线，切点为，交于点，交⊙于点，ABC ∆O PA O A PB AC E O D ，，，．PE PA =︒=∠45ABC 1=PD 8=DB Ⅰ求的面积；ABP ∆Ⅱ求弦的长．AC 23．已知向量=（x ， y ），=（1，0），且（+）•（﹣）=0．（1）求点Q（x，y）的轨迹C的方程；（2）设曲线C与直线y=kx+m相交于不同的两点M、N，又点A（0，﹣1），当|AM|=|AN|时，求实数m的取值范围．24．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点A（1，﹣2）．（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其准线方程；（Ⅱ）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由．平定县实验中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题1．【答案】B【解析】解：当a＞1时，f（x）单调递增，有f（﹣1）=+b=﹣1，f（0）=1+b=0，无解；当0＜a＜1时，f（x）单调递减，有f（﹣1）==0，f（0）=1+b=﹣1，解得a=，b=﹣2；所以a+b==﹣；故选：B2．【答案】D【解析】解：把抛物线y=x2方程化为标准形式为x2=8y，∴焦点坐标为（0，2）．故选：D．【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，把抛物线的方程化为标准形式是关键．3．【答案】A【解析】解：∵f（0）=﹣2＜0，f（1）=1＞0，∴由零点存在性定理可知函数f（x）=3x+x﹣3的零点所在的区间是（0，1）．故选A【点评】本题主要考查了函数的零点的判定定理，这种问题只要代入所给的区间的端点的值进行检验即可，属于基础题．4．【答案】B【解析】解：若f（x）=|x﹣m|﹣|x﹣1|是定义在R上的奇函数，则f（0）=|m|﹣1=0，则m=1或m=﹣1，当m=1时，f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣1|=0，此时为偶函数，不满足条件，当m=﹣1时，f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|，此时为奇函数，满足条件，作出函数f（x）的图象如图：则函数在上为增函数，最小值为﹣2，故正确的是B，故选：B【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用，根据条件求出m的值是解决本题的关键．注意使用数形结合进行求解．5．【答案】A【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0∈R，x02+2x0+2≤0”的否定是：∀x∈R，x2+2x+2＞0．故选：A．【点评】本题考查命题的否定全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．6．【答案】B【解析】解：由于1∈{0，1}，{1}⊆{0，1}，故选：B【点评】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，其中正确理解集合元素与集合关系的实质，即元素满足集合中元素的性质，是解答本题的关键．7．【答案】B【解析】解：∵是5a与5b的等比中项，∴5a•5b=（）2=5，即5a+b=5，则a+b=1，则+=（+）（a+b）=1+1++≥2+2=2+2=4，当且仅当=，即a=b=时，取等号，即+的最小值为4，故选：B【点评】本题主要考查等比数列性质的应用，以及利用基本不等式求最值问题，注意1的代换．8．【答案】A【解析】A．C．D．恰有11个零点，可得5π≤ω•＜6π，求得10≤ω＜12，故选：A．9．【答案】B【解析】解：令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣+，而且﹣6≤a≤3，由此可得函数f （a）的最大值为，故（﹣6≤a≤3）的最大值为=，故选B．【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．10．【答案】D【解析】解：依题意，6名同学可分两组：第一组（1，1，1，3），利用间接法，有•=388，第二组（1，1，2，2），利用间接法，有（﹣）•=932根据分类计数原理，可得388+932=1320种，故选D．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查分类讨论思想与转化思想，考查理解与运算能力，属于中档题．11．【答案】C【解析】解：对任意的实数k，直线y=kx+1恒过点（0，1），且斜率存在∵（0，1）在圆x2+y2=2内∴对任意的实数k，直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是相交但直线不过圆心故选C．12．【答案】A【解析】解：∵向量=（1，n），=（﹣1，n﹣2），且与共线．∴1×（n﹣2）=﹣1×n，解之得n=1故选：A二、填空题13．【答案】 2：1 ．【解析】解：设圆锥、圆柱的母线为l，底面半径为r，所以圆锥的侧面积为：=πrl圆柱的侧面积为：2πrl所以圆柱和圆锥的侧面积的比为：2：1故答案为：2：1 14．【答案】 ．【解析】解：∵曲线y=x 2和直线：x=1的交点为（1，1），和直线y=的一个交点为（，）∴曲线y=x 2和直线x=0，x=1，y= 所围成的图形的面积为S=（）dx+dx=（x ﹣x 3）+（x 3﹣x ）=．故答案为：． 15．【答案】48【解析】16．【答案】①②③④【解析】因为只有是中的最小项，所以，，所以，故①②③正确;，故④正确;，无法判断符号，故⑤错误，故正确答案①②③④答案：①②③④17．【答案】34-【解析】由题意知，且，所以，则.3sin 05α-=4cos 05α-≠4cos 5α=-3tan 4α=-18．【答案】11[133ee ⎧⎫+⋃+⎨⎬⎩⎭，）【解析】当x ＜0时，由f （x ）﹣1=0得x 2+2x+1=1，得x=﹣2或x=0，当x ≥0时，由f （x ）﹣1=0得，得x=0，110x xe+-=由，y=f （f （x ）﹣a ）﹣1=0得f （x ）﹣a=0或f （x ）﹣a=﹣2，即f （x ）=a ，f （x ）=a ﹣2，作出函数f （x ）的图象如图：y=≥1（x ≥0），1x xe +y ′=，当x ∈（0，1）时，y ′＞0，函数是增函数，x ∈（1，+∞）时，y ′＜0，函数是减函数，1xx e-x=1时，函数取得最大值：，11e+当1＜a ﹣2时，即a ∈（3，3+）时，y=f （f （x ）﹣a ）﹣1有4个零点，11e <+1e 当a ﹣2=1+时，即a=3+时则y=f （f （x ）﹣a ）﹣1有三个零点，1e 1e 当a ＞3+时，y=f （f （x ）﹣a ）﹣1有1个零点1e 当a=1+时，则y=f （f （x ）﹣a ）﹣1有三个零点，1e 当时，即a ∈（1+，3）时，y=f （f （x ）﹣a ）﹣1有三个零点．11{ 21a e a >+-≤1e综上a ∈，函数有3个零点．11[133ee ⎧⎫+⋃+⎨⎬⎩⎭，）故答案为：．11[133ee ⎧⎫+⋃+⎨⎬⎩⎭，）点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．三、解答题19．【答案】【解析】解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=|x+1|+|x﹣1|，由f（x）≥3即|x+1|+|x﹣1|≥3当x≤﹣1时，不等式可化为﹣x﹣1+1﹣x≥3，解得x≤﹣；当﹣1＜x＜1时，不等式化为x+1+1﹣x≥3，不可能成立，即x∈∅；当x≥1时，不等式化为x+1+x﹣1≥3，解得x≥．综上所述，f（x）≥3的解集为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）；（Ⅱ）由于|x﹣1|+|x﹣a|≥|（x﹣1）﹣（x﹣a）|=|a﹣1|，则f（x）的最小值为|a﹣1|．要使∀x∈R，f（x）≥2成立，则|a﹣1|≥2，解得a≥3或a≤﹣1，即a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值，运用分类讨论和绝对值不等式的性质，是解题的关键．20．【答案】【解析】证明：（1）在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD．又因为EF不在平面PCD中，PD⊂平面PCD所以直线EF∥平面PCD．（2）连接BD．因为AB=AD，∠BAD=60°．所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD．因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以BF⊥平面PAD．又因为BF⊂平面EBF，所以平面BEF⊥平面PAD．【点评】本题是中档题，考查直线与平面平行，平面与平面的垂直的证明方法，考查空间想象能力，逻辑推理能力，常考题型．21．【答案】【解析】解：（1）f （x ）＝|x ＋1|＋2|x －a 2|＝{－3x ＋2a 2－1，x ≤－1，－x ＋2a 2＋1，－1＜x ＜a 2，3x －2a 2＋1，x ≥a 2，)当x ≤－1时，f （x ）≥f （－1）＝2a 2＋2，－1＜x ＜a 2，f （a 2）＜f （x ）＜f （－1），即a 2＋1＜f （x ）＜2a 2＋2，当x ≥a 2，f （x ）≥f （a 2）＝a 2＋1，所以当x ＝a 2时，f （x ）min ＝a 2＋1，由题意得a 2＋1＝3，∴a ＝±.2（2）当a ＝±时，由（1）知f （x ）＝2{－3x ＋3，x ≤－1，－x ＋5，－1＜x ＜2，3x －3，x ≥2，)由y ＝f （x ）与y ＝m 的图象知，当它们围成三角形时，m 的范围为（3，6]，当m ＝6时，围成的三角形面积最大，此时面积为×|3－（－1）|×|6－3|＝6.1222．【答案】【解析】Ⅰ是⊙的切线，切点为 ∴Q PA O A PAE ∠=45ABC ∠=︒又∵ ∴，PE PA =PEA ∠=45︒APE ∠=90︒由于，，所以由切割线定理可知，既1=PD 8=DB 92=⋅=PB PD PA 3==PA EP 故的面积为． ABP ∆12PA BP ⋅=272Ⅱ在中，由勾股定理得Rt APE ∆APE AE =由于，，所以由相交弦定理得2=-=PD EP ED 6=-=DE DBEB 所以，故． EC EA EBED ⋅=⋅12=222312==EC =AC 23．【答案】【解析】解：（1）由题意向量=（x ，y ），=（1，0），且（+）•（﹣）=0，∴，化简得，∴Q点的轨迹C的方程为．…（2）由得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0，由于直线与椭圆有两个不同的交点，∴△＞0，即m2＜3k2+1．①…（i）当k≠0时，设弦MN的中点为P（x P，y P），x M、x N分别为点M、N的横坐标，则，从而，，…又|AM|=|AN|，∴AP⊥MN．则，即2m=3k2+1，②将②代入①得2m＞m2，解得0＜m＜2，由②得，解得，故所求的m的取值范围是（，2）．…（ii）当k=0时，|AM|=|AN|，∴AP⊥MN，m2＜3k2+1，解得﹣1＜m＜1．…综上，当k≠0时，m的取值范围是（，2），当k=0时，m的取值范围是（﹣1，1）．…【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查小时分析解决问题的能力，属于中档题． 24．【答案】【解析】解：（I）将（1，﹣2）代入抛物线方程y2=2px，得4=2p，p=2∴抛物线C的方程为：y2=4x，其准线方程为x=﹣1（II）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=﹣2x+t，由得y2+2y﹣2t=0，∵直线l与抛物线有公共点，∴△=4+8t≥0，解得t≥﹣又∵直线OA与L的距离d==，求得t=±1∵t≥﹣∴t=1∴符合题意的直线l存在，方程为2x+y﹣1=0【点评】本题小题主要考查了直线，抛物线等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查函数与方程思想，数形结合的思想，化归与转化思想，分类讨论与整合思想．。
余干县第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
余干县第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是，，，已知85b c =，2C B =，则cos C =（ ）A ．725B ．725-C. 725±D ．24252． 双曲线：的渐近线方程和离心率分别是（ ）A ．B ．C ．D ．3． 已知f （x ）在R 上是奇函数，且f （x+4）=f （x ），当x ∈（0，2）时，f （x ）=2x 2，则f （7）=（ ）A ．﹣2B ．2C ．﹣98D ．984． 如图是某几何体的三视图，正视图是等腰梯形，俯视图中的曲线是两个同心的半圆组成的半圆环，侧视图是直角梯形．则该几何体表面积等于（）A ．12+B ．12+23πC ．12+24πD ．12+π5． 设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3=a 4﹣2，3S 2=a 3﹣2，则公比q=（ ）A ．3B ．4C ．5D ．66． 圆锥的高扩大到原来的 倍，底面半径缩短到原来的，则圆锥的体积（ ）12A.缩小到原来的一半B.扩大到原来的倍C.不变D.缩小到原来的167． 直线l 将圆x 2+y 2﹣2x+4y=0平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程是（ ）A ．x ﹣y+1=0，2x ﹣y=0B ．x ﹣y ﹣1=0，x ﹣2y=0C ．x+y+1=0，2x+y=0D ．x ﹣y+1=0，x+2y=08． 圆心在直线2x ＋y ＝0上，且经过点（－1，－1）与（2，2）的圆，与x 轴交于M ，N 两点，则|MN |＝（）A ．4B ．425C ．2D ．2259． 已知直线y=ax+1经过抛物线y 2=4x 的焦点，则该直线的倾斜角为（）班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________A ．0B ．C ．D ．10．抛物线y=﹣x 2上的点到直线4x+3y ﹣8=0距离的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．311．设f （x ）在定义域内可导，y=f （x ）的图象如图所示，则导函数y=f ′（x ）的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．12．设m ，n 表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（ ）A ．m ⊥α，m ⊥β，则α∥βB ．m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥αC ．m ⊥α，n ⊥α，则m ∥nD ．m ∥α，α∩β=n ，则m ∥n二、填空题13．若与共线，则y= ．14．设抛物线的焦点为，两点在抛物线上，且，，三点共线，过的中点作24y x =F ,A B A B F AB M y 轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点，若，则点的横坐标为 .P 32PF =M 15．已知函数，，则 ，的值域21,0()1,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩()21xg x =-((2))f g =[()]f g x 为．【命题意图】本题考查分段函数的函数值与值域等基础知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力.16．设i 是虚数单位，是复数z 的共轭复数，若复数z=3﹣i ，则z •= ．17．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】函数的单调递增区间为__________．()2ln f x x x =-18．曲线y ＝x 2＋3x 在点（－1，－2）处的切线与曲线y ＝ax ＋ln x 相切，则a ＝________．三、解答题19．已知函数．（Ⅰ）若函数f （x ）在区间[1，+∞）内单调递增，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）求函数f （x ）在区间[1，e]上的最小值． 20．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为方程为x C r （），直线的参数方程为（为参数）．],0[πθ∈l 2t cos 2sin x y t aaì=+ïí=+ïît （I ）点在曲线上，且曲线在点处的切线与直线垂直，求点的直角坐标和曲线CD C C D +2=0x y +D 的参数方程；（II ）设直线与曲线有两个不同的交点，求直线的斜率的取值范围．l C l 21．已知函数f （x ）=alnx+，曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y=2．（I ）求a 、b 的值；（Ⅱ）当x ＞1时，不等式f （x ）＞恒成立，求实数k 的取值范围．22．已知p ：“直线x+y ﹣m=0与圆（x ﹣1）2+y 2=1相交”；q ：“方程x 2﹣x+m ﹣4=0的两根异号”．若p ∨q 为真，￢p 为真，求实数m 的取值范围． 23．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、E分别是AB、BB1的中点，AB=2，（1）证明：BC1∥平面A1CD；（2）求异面直线BC1和A1D所成角的大小；（3）求三棱锥A1﹣DEC的体积．24．已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值．余干县第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题1． 【答案】A 【解析】考点：正弦定理及二倍角公式.【思路点晴】本题中用到了正弦定理实现三角形中边与角的互化，同角三角函数间的基本关系及二倍角公式，如θθθθθ2222sin cos 2cos ,1cos sin -==+,这要求学生对基本公式要熟练掌握解三角形时常借助于正弦定理R CcB b A 2sin sin sin a ===，余弦定理A bc c b a cos 2222-+=， 实现边与角的互相转化.2． 【答案】D 【解析】解：双曲线：的a=1，b=2，c==∴双曲线的渐近线方程为y=±x=±2x ；离心率e==故选 D 3． 【答案】A【解析】解：因为f （x+4）=f （x ），故函数的周期是4所以f （7）=f （3）=f （﹣1），又f （x ）在R 上是奇函数，所以f （﹣1）=﹣f （1）=﹣2×12=﹣2，故选A ．【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性． 4． 【答案】C【解析】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是一半圆台中间被挖掉一半圆柱，其表面积为S=[×（2+8）×4﹣2×4]+[×π•（42﹣12）+×（4π×﹣π×）+×8π]=12+24π．故选：C ．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，也考查了空间想象能力与计算能力的应用问题，是基础题目． 5． 【答案】B【解析】解：∵S n 为等比数列{a n }的前n 项和，3S 3=a 4﹣2，3S 2=a 3﹣2，两式相减得3a 3=a 4﹣a 3，a 4=4a 3，∴公比q=4．故选：B ． 6． 【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，设原圆锥的高为，底面半径为，则圆锥的体积为，将圆锥的高扩大到原来2113V r h π=的倍，底面半径缩短到原来的，则体积为，所以，故选A.12222111(2)326V r h r h ππ=⨯=122V V =考点：圆锥的体积公式.17． 【答案】C【解析】解：圆x 2+y 2﹣2x+4y=0化为：圆（x ﹣1）2+（y+2）2=5，圆的圆心坐标（1，﹣2），半径为，直线l将圆x 2+y 2﹣2x+4y=0平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 经过圆心与坐标原点．或者直线经过圆心，直线的斜率为﹣1，∴直线l 的方程是：y+2=﹣（x ﹣1），2x+y=0，即x+y+1=0，2x+y=0．故选：C ．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线的截距式方程的求法，考查计算能力，是基础题．8． 【答案】【解析】选D.设圆的方程为（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2（r ＞0）．由题意得，{2a ＋b ＝0（－1－a ）2＋（－1－b ）2＝r 2（2－a ）2＋（2－b ）2＝r 2)解之得a ＝－1，b ＝2，r ＝3，∴圆的方程为（x ＋1）2＋（y －2）2＝9，令y ＝0得，x ＝－1±，5∴|MN |＝|（－1＋）－（－1－）|＝2，选D.5559． 【答案】D【解析】解：抛物线y 2=4x 的焦点（1，0），直线y=ax+1经过抛物线y 2=4x 的焦点，可得0=a+1，解得a=﹣1，直线的斜率为﹣1，该直线的倾斜角为：．故选：D．【点评】本题考查直线的倾斜角以及直线的斜率的关系，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．10．【答案】A【解析】解：由，得3x2﹣4x+8=0．△=（﹣4）2﹣4×3×8=﹣80＜0．所以直线4x+3y﹣8=0与抛物线y=﹣x2无交点．设与直线4x+3y﹣8=0平行的直线为4x+3y+m=0联立，得3x2﹣4x﹣m=0．由△=（﹣4）2﹣4×3（﹣m）=16+12m=0，得m=﹣．所以与直线4x+3y﹣8=0平行且与抛物线y=﹣x2相切的直线方程为4x+3y﹣=0．所以抛物线y=﹣x2上的一点到直线4x+3y﹣8=0的距离的最小值是=．故选：A．【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，训练了两条平行线间的距离公式，是中档题．11．【答案】D【解析】解：根据函数与导数的关系：可知，当f′（x）≥0时，函数f（x）单调递增；当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减结合函数y=f（x）的图象可知，当x＜0时，函数f（x）单调递减，则f′（x）＜0，排除选项A，C当x＞0时，函数f（x）先单调递增，则f′（x）≥0，排除选项B故选D【点评】本题主要考查了利用函数与函数的导数的关系判断函数的图象，属于基础试题12．【答案】D【解析】解：A选项中命题是真命题，m⊥α，m⊥β，可以推出α∥β；B选项中命题是真命题，m∥n，m⊥α可得出n⊥α；C选项中命题是真命题，m⊥α，n⊥α，利用线面垂直的性质得到n∥m；D选项中命题是假命题，因为无法用线面平行的性质定理判断两直线平行．故选D．【点评】本题考查了空间线面平行和线面垂直的性质定理和判定定理的运用，关键是熟练有关的定理． 二、填空题13．【答案】 ﹣6 ．【解析】解：若与共线，则2y ﹣3×（﹣4）=0解得y=﹣6故答案为：﹣6【点评】本题考查的知识点是平面向量共线（平行）的坐标表示，其中根据“两个向量若平行，交叉相乘差为零”的原则，构造关于y 的方程，是解答本题的关键． 14．【答案】2【解析】由题意，得，，准线为，设、，直线的方程为2p =(1,0)F 1x =-11(,)A x y 22(,)B x y AB ，代入抛物线方程消去，得，所以，．又(1)y k x =-y 2222(24)0k x k x k -++=212224k x x k++=121x x =设，则，所以，所以．00(,)P x y 01212112()[(1)(1)]22y y y k x k x k =+=-+-=021x k =212(,P k k 因为，解得，所以点的横坐标为2．0213||112PF x k =+=+=22k =M 15．【答案】，.2[1,)-+∞【解析】16．【答案】 10 ．【解析】解：由z=3﹣i ，得z •=．故答案为：10．【点评】本题考查公式，考查了复数模的求法，是基础题．17．【答案】⎛ ⎝【解析】18．【答案】【解析】由y ＝x 2＋3x 得y ′＝2x ＋3，∴当x ＝－1时，y ′＝1，则曲线y ＝x 2＋3x 在点（－1，－2）处的切线方程为y ＋2＝x ＋1，即y ＝x －1，设直线y ＝x －1与曲线y ＝ax ＋ln x 相切于点（x 0，y 0），由y ＝ax ＋ln x 得y ′＝a ＋（x ＞0），1x∴，解之得x 0＝1，y 0＝0，a ＝0.{a ＋1x 0＝1y 0＝x 0－1y 0＝ax 0＋ln x 0)∴a ＝0.答案：0三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）由已知得：f ′（x ）=．要使函数f （x ）在区间[1，+∞）内单调递增，只需≥0在[1，+∞）上恒成立．结合a ＞0可知，只需a ，x ∈[1，+∞）即可．易知，此时=1，所以只需a ≥1即可．（2）结合（1），令f ′（x ）==0得．当a ≥1时，由（1）知，函数f （x ）在[1，e]上递增，所以f （x ）min =f （1）=0；当时，，此时在[1，）上f ′（x ）＜0，在上f ′（x ）＞0，所以此时f （x ）在上递减，在上递增，所以f （x ）min =f （）=1﹣lna ﹣；当时，，故此时f ′（x ）＜0在[1，e]上恒成立，所以f （x ）在[1，e]上递减，所以f （x ）min =f （e ）=．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性的基本思路，以及已知函数单调性求参数范围时转化为导函数在指定区间上大于零或小于零恒成立的问题的思想方法．20．【答案】【解析】【命题意图】本题考查圆的参数方程和极坐标方程、直线参数方程、直线和圆位置关系等基础知识，意在考查数形结合思想、转化思想和基本运算能力．（Ⅱ）设直线：与半圆相切时l 2)2(+-=x k y )0(222≥=+y y x 21|22|2=+-kk ，，（舍去）0142=+-∴k k 32-=∴k 32+=k设点，，)0,2(-BABk =-故直线. l 22-21．【答案】【解析】解：（I ）∵函数f （x ）=alnx+的导数为f ′（x ）=﹣，且直线y=2的斜率为0，又过点（1，2），∴f （1）=2b=2，f ′（1）=a ﹣b=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得a=b=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（II ）当x ＞1时，不等式f （x ）＞，即为（x ﹣1）lnx+＞（x ﹣k ）lnx ，即（k ﹣1）lnx+＞0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令g （x ）=（k ﹣1）lnx+，g ′（x ）=+1+=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令m （x ）=x 2+（k ﹣1）x+1，①当≤1即k ≥﹣1时，m （x ）在（1，+∞）单调递增且m （1）≥0，所以当x ＞1时，g ′（x ）＞0，g （x ）在（1，+∞）单调递增，则g （x ）＞g （1）=0即f （x ）＞恒成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当＞1即k ＜﹣1时，m （x ）在上（1，）上单调递减，且m （1）＜0，故当x ∈（1，）时，m （x ）＜0即g ′（x ）＜0，所以函数g（x）在（1，）单调递减，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当x∈（1，）时，g（x）＜0与题设矛盾，综上可得k的取值范围为[﹣1，+∞）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣22．【答案】【解析】解：若命题p是真命题：“直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+y2=1相交”，则＜1，解得1﹣；若命题q是真命题：“方程x2﹣x+m﹣4=0的两根异号”，则m﹣4＜0，解得m＜4．若p∨q为真，￢p为真，则p为假命题，q为真命题．∴．∴实数m的取值范围是或．【点评】本题考查了复合命题真假的判定方法、直线与圆的位置关系、一元二次的实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．【答案】【解析】（1）证明：连接AC1与A1C相交于点F，连接DF，由矩形ACC1A1可得点F是AC1的中点，又D是AB的中点，∴DF∥BC1，∵BC1⊄平面A1CD，DF⊂平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD；…（2）解：由（1）可得∠A1DF或其补角为异面直线BC1和A1D所成角．DF=BC1==1，A1D==，A1F=A1C=1．在△A1DF中，由余弦定理可得：cos∠A1DF==，∵∠A1DF∈（0，π），∴∠A1DF=，∴异面直线BC1和A1D所成角的大小；…（3）解：∵AC=BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB，∵平面ABB1A1∩平面ABC=AB，∴CD⊥平面ABB1A1，CD==1．∴=﹣S△BDE﹣﹣=∴三棱锥C﹣A1DE的体积V=…【点评】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线BC1和A1D所成角，是中档题，解题时要注意空间中线线、线面、面面间的位置关系及性质的合理运用．24．【答案】【解析】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），．（1）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，，因而f（1）=1，f′（1）=﹣1，所以曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0（2）由，x＞0知：①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）为（0，+∞）上的增函数，函数f（x）无极值；②当a＞0时，由f′（x）=0，解得x=a．又当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0．从而函数f（x）在x=a处取得极小值，且极小值为f（a）=a﹣alna，无极大值．综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；当a＞0时，函数f（x）在x=a处取得极小值a﹣alna，无极大值．。
安徽省六校2025届高三上学期第一次阶段联合教学质量测评数学试卷
安徽省六校2025届高三上学期第一次阶段联合教学质量测评数学试卷一、单选题1．已知集合{}(){}2210,log 1A x x B x x x =-≤≤=-≤，则A B =I （ ）A ．{}10x x -≤≤B ．{}10x x -<≤C ．{}10x x -≤<D ．{}10x x -<<2．复数3(7i)i z =+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知向量a r ，b r 满足2a b ==r r ，且a b +=r r a r 在b r上的投影向量是（ ）A ．14B ．14b rC ．12 D ．12a r4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为7115,4,8117n S SS a =-=-，则当n S 取得最大值时，n 的值为（ ） A ．5B ．6C ．5或6D ．6或75．有4名志愿者参加社区服务，服务星期六、星期日两天．若每天从4人中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的概率为（ ） A ．34B ．23C ．13D ．146．已知角α和角β以x 轴的非负半轴为始边，若角α和角β的终边关于直线y x =对称，则下列等式恒成立的是（ ） A ．sin sin 0αβ-= B ．cos cos 0αβ-= C ．sin cos 0αβ-=D ．sin cos 0αβ+=7．已知点()2,3A -，()3,2B --，若过点()1,1的直线与线段AB 相交，则该直线斜率的取值范围是（ ）A ．[)3,4,4⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦UB ．(]3,4,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣--⋃⎭∞C ．3,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．34,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦8．已知函数()3e ln xf x x x x a x =---，若对任意的0x >，()1f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]3,3-B ．[]22-,C ．[]4,4-D ．[]1,1-二、多选题9．已知π02αβ<<<，且3cos 3,3sin 2αβαβ==，则（ ）A ．()cos αβ+=B ．()sin αβ+=C ．()2tan 223αβ+=D ．ππ,42β∈⎛⎫⎪⎝⎭10．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，BC =CD PC PD ===M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（ ）A ．BM ⊥平面PCDB ．//PA 平面MBDC ．四棱锥M ABCD -外接球的表面积为18π D ．四棱锥M ABCD -的体积为1211．某学习小组用函数图象：1:4C y =2:4C y =23:2C x py =部分图象围成了一个封闭的“心形线”，过3C 焦点F 的直线l 交3C （包含边界点）于A ，B 两点，P 是1C 或2C 上的动点，下列说法正确的是（ ）A ．抛物线3C 的方程为23:4C x y =B ．||||PB FB +的最小值为4C ．PAB S V 的最大值为33542h ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．若P 在1C 上，则PA PB ⋅u u u r u u u r的最小值为4-三、填空题12．五个好朋友一起自驾外出游玩，他们都选择了同一款旅行包（外观无明显区别），下车时，他们从后备箱中各随机地取一个旅行包，则甲、乙、丙三人都拿错旅行包的概率为.13．已知数列{}n a 的通项公式是21n a n =-，记m b 为{}n a 在区间)(),2N,0m m m m ⎡∈>⎣内项的个数，则使得不等式12062m m b b +->成立的m 的最小值为.14．已知函数()2221,0log ,0x x x f x x x ⎧--+<⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的解1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，41223416x x x x x ⋅++⋅的取值范围是..四、解答题15．已知数列 a n 满足，()*3211,23n a a a a n n n n++++=+∈N L . (1)求数列 a n 的通项公式； (2)设11n n n n n a a b a a ++-=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：*31,82n n S ∀∈≤<N .16．在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos cos a B b A abc +=，2A B C +=． (1)求ABC V 的面积； (2)求AB 边上的高的最大值.17．如图，在正四棱锥P ABCD -M 为侧棱PD 上的点，N 是PC 中点.(1)若M 是PD 中点，求直线BN 与平面MAC 所成角的正弦值； (2)是否存在点M ，使得//BN 平面MAC ？若存在，求出PMPD的值；若不存在，说明理由. 18．已知椭圆22122:1x y C b a +=与双曲线()222122:10,x y C a b C a b -=>>的焦点与2C 的焦点间的距离为1b =. (1)求1C 与2C 的方程；(2)过坐标轴上的点P 可以作两条1C 与2C 的公切线. （i ）求点P 的坐标.（ii ）当点P 在y 轴上时，是否存在过点P 的直线l ，使l 与12,C C 均有两个交点？若存在，请求出l 的方程；若不存在，请说明理由. 19．已知函数()()ln f x x x a =+. (1)当0a =时，求()f x 的极值； (2)若()f x 存在两个极值点()1212,x x x x <. （i ）求a 的取值范围； （ii ）证明：()1240e f x -<<.。
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2018届高三数学上学期第一次月考试题 理（考试时间：120分钟 满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{}2|20A x x x =-<，{}2B x x =<则( )A.A B =∅B.A B A =C.A B A =D.A B R =2已知复数4m xi =-，32n i =+，若复数nR m∈，则实数x 的值为（ ） A.6-B.6C. 83-D. 833.如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（ ） A.22π+ B.23π+C.43π+D.42π+4.已知等边ABC ∆与等边DEF ∆同时内接于圆O 中，且//BC EF ，若往圆O 内投掷一点，则该点落在图中阴影部分内的概率为（ ）A ．3πB ．πC ．2πD ．4π5.已知等比数列{}n a ，且684a a +=，则()84682a aa a ++的值为（ ）A.2B.4C.8D.166.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的 1.5S =（单位：升），则输入k 的值为（ ）A ．4.5B ．6C ．7.5D ．97．已知角α终边与单位圆x 2+y 2=1的交点为1(,)2p y ，则sin(2)2a π+=（ ）A ．12-B ．12 C．2- D ．1 8、设x ，y 满足约束条件230,2210,0,+-≤⎧⎪--≤⎨⎪-≥⎩x y x y x a 若-+x y x y 的最大值为2，则a 的值为（ ）A ．12 B ．14 C ．38 D ．599，2OB = ，OC mOA nOB =+ ，若OA 与OB的夹角为60°，且OC AB ⊥ ，则实数mn的值为（ ）A. 16B. 14C. 6D. 410．函数2()()ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是( ）A ．a ＞0，b ＞0，c ＜0B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0D ．a ＜0，b ＜0，c ＜011.四面体A BCD -中，10AB CD ==，AC BD ==AD BC ==A BCD -外接球的表面积为（ ）A.50πB.100πC.200πD.300π12．已知定义域为R 的函数g （x ），当x ∈（﹣1，1]时，211, 1<0()132, 0<1x g x x x x x ⎧--≤⎪=+⎨⎪-+≤⎩，且g （x +2）=g （x ）对∀x ∈R 恒成立，若函数f （x ）=g （x ）﹣m （x +1）在区间[﹣1，5]内有6个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（，） B ．（﹣∞，]∪（，+∞） C ．[，） D ．[，]第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13、已知函数2()2sin()12f x x x x π=-+的两个零点分别为m 、n （m ＜n ），则=14.已知数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，且0,0n n a b >>，记数列{}n n a b ⋅的前n项和为n S ，若()()111,131n n a b S n n N *===-⋅+∈，则数列25n n a b ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的最大项为第_______项.15.若()()5321a y x y x +--+的展开式中各项系数的和为32，则展开式中只含字母x 且x的次数为1的项的系数为________16.已知双曲线2222:1x y C a b-=的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐进线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若2MF FN，则双曲线的离心率为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2A+sin 2C=sin 2B ﹣sinAsinC ． （1）求B 的大小；（2）设∠BAC 的平分线AD 交BC 于D ，AD =2，BD =1，求sin ∠BAC 的值．18、（本小题满分12分）2016年底，某城市地铁交通建设项目已经基本完成，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地铁站点随机抽取若干市民对该项目进行评分(满分100分)，绘制如下频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级： （Ⅰ）若市民的满意度评分相互独立，以满意度样本估计全市市民满意度．现从全市市民中随机抽取4人，求至少有2人非常满意的概率；（Ⅱ）在等级为不满意市民中，老年人占13.现从该等级市民中按年龄分层抽取15人了解不满意的原因，并从中选取3人担任整改督导员，记X 为老年督导员的人数，求X 的分布列及数学期望E (X )；CBD19（本小题满分12分）如图，已知四棱锥S ﹣ABCD 中，SA ⊥平面ABCD ， ∠ABC=∠BCD=90°，且SA=AB=BC=2CD=2，E 是边SB 的中点．（1）求证：CE ∥平面SAD ；（2）求二面角D ﹣EC ﹣B 的余弦值大小．20.（本小题满分12分）已知A 是抛物线24y x =上的一点，以点A 和点(2,0)B 为直径的圆C 交直线1x =于M ，N 两点，直线l 与AB 平行，且直线l 交抛物线于P ，Q 两点． （Ⅰ）求线段MN 的长；（Ⅱ）若3OP OQ ⋅=-，且直线PQ 与圆C 相交所得弦长与||MN 相等，求直线l 的方程．21．（本小题满分12分）函数f （x ）=lnx++ax （a ∈R ），g （x ）=e x+．（1）讨论f （x ）的极值点的个数；（2）若对于∀x ＞0，总有f （x ）≤g （x ）．（i ）求实数a 的取值范围；（ii ）求证：对于∀x ＞0，不等式e x+x 2﹣（e +1）x +＞2成立．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分（本小题满分10分）．22.以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t θθ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，（t 为参数，0θπ<<），曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos 0ραα-=.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，当θ变化时，求AB 的最小值. 23.已知函数()52f x x x =---.（1）若x R ∃∈，使得()f x m ≤成立，求m 的范围； （2）求不等式2815()0x x f x -++<的解集高三数学（理科）参考答案选择题一、1-5 BCACD 6-10 BACAC 11-12CC 二、填空题132π三、解答题17.解：（本小题满分12分）（1）在△ABC 中，∵sin 2A+sin 2C=sin 2B ﹣sinAsinC ， ∴a 2+c 2=b 2﹣ac ，… ∴cosB==﹣=﹣，…∵B ∈（0，π），… ∴B=．…（2）在△ABD中，由正弦定理：，∴sin ∠BAD===，…∴cos ∠BAC=cos2∠BAD=1﹣2sin 2∠BAD=1﹣2×=，…∴sin∠BAC===．…18. 解：(1)由频率分布直方图可知则10×(0.035＋a＋0.020＋0.014＋0.004＋0.002)＝1，所以a＝0.025，所以市民非常满意的概率为0.025×10＝14.又市民的满意度评分相互独立，故所求事件的概率P＝1－189256＝67256.6分(2)按年龄分层抽样抽取15人进行座谈，则老年市民抽15×13＝5人，从15人中选取3名整改督导员的所有可能情况为C315，由题知X的可能取值为0,1,2,3，P(X＝0)＝C310C315＝2491，P(X ＝1)＝C15C210C315＝4591，P(X＝2)＝C25C110C315＝2091，P(X＝3)＝C35C315＝291，X分布列为所以E(X)＝0×91＋1×91＋2×91＋3×91＝1.8分 12分19【解答】证明：（1）取SA中点F，连结EF，FD，∵E是边SB的中点，∴EF∥AB，且EF=AB，又∵∠ABC=∠BCD=90°，∴AB∥CD，又∵AB=2CD，且EF=CD，∴四边形EFDC是平行四边形，∴FD∥EC，又FD⊂平面SAD，CE⊄平面SAD，∴CE∥面SAD．解：（2）在底面内过点A作直线AM∥BC，则AB⊥AM，又SA⊥平面ABCD，以AB，AM，AS所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（1，2，0），D（1，2，0），E（1，0，1），则=（0，2，0），=（﹣1，0，1），=（﹣1，0，）， =（﹣1，﹣2，1），设面BCE的一个法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），同理求得面DEC的一个法向量为=（0，1，2），cos＜＞==，由图可知二面角D﹣EC﹣B是钝二面角，∴二面角D﹣EC﹣B的余弦值为﹣．..20.解：（20.解：（Ⅰ）设2(,)4yA y，圆C方程为2(2)()()04yx x y y y--+-=，令1x =，得2200104y y y y -+-=，∴0M N y y y +=，2014M N y y y =-，||||2M N MN y y =-==．（Ⅱ）设直线l 的方程为x my n =+，11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则 由2,4,x my n y x =+⎧⎨=⎩消去x ，得2440y my n --=，124y y m +=，124y y n =-，∵3OP OQ ⋅=- ，∴12123x x y y +=-，则21212()316y y y y +=-， ∴2430n n -+=，解得1n =或3n =， 当1n =或3n =时，当(2,0)B 到直线l的距离d =∵圆心C 到直线l 的距离等于直线1x =的距离，∴208y =又20024y m y -=，消去m 得4200646416y y +⋅=，求得208y =， 此时，200240y m y -==，直线l 的方程为3x =， 综上，直线l 的方程为1x =或3x =．21.解：（1）由题意得f'（x ）=x++a=，当a 2﹣4≤0，即﹣2≤a ≤2时，f'（x ）≥0恒成立，无极值点； 当a 2﹣4＞0，即a ＜﹣2或a ＞2时，①a ＜﹣2时，设方程x 2+ax+1=0两个不同实根为x 1，x 2，不妨设x 1＜x 1，x 2， 则x 1+x 2=﹣a ＞0，x 1x 2=1＞0，故0＜x 1＜x 2， ∴x 1，x 2是函数的两个极值点．②a ＞2时，设方程x 2+ax+1=0两个不同实根为x 1，x 2， 则x 1+x 2=﹣a ＜0，x 1x 2=1＞0，故x 1＜0，x 2＜0， 故函数没有极值点．综上，当a ＜﹣2时，函数有两个极值点； 当a ≥﹣2时，函数没有极值点．（2）（i ）f （x ）≤g （x ）等价于e x﹣lnx+x 2≥ax ，由x ＞0，即a ≤对于∀x ＞0恒成立，设φ（x ）=（x ＞0），φ′（x ）=，∵x ＞0，∴x ∈（0，1）时，φ'（x ）＜0，φ（x ）单调递减， x ∈（1，+∞）时，φ'（x ）＞0，φ（x ）单调递增， ∴φ（x ）≥φ（1）=e+1， ∴a ≤e+1．（ii ）（ ii ）由（ i ）知，当a=e+1时有f （x ）≤g （x ），即：e x +x 2≥lnx+x 2+（e+1）x ，等价于e x+x 2﹣（e+1）x ≥lnx…①当且仅当x=1时取等号，以下证明：lnx+≥2，设θ（x ）=lnx+，则θ′（x ）=﹣=，∴当x ∈（0，e ）时θ'（x ）＜0，θ（x ）单调递减， x ∈（e ，+∞）时θ'（x ）＞0，θ（x ）单调递增， ∴θ（x ）≥θ（e ）=2，∴lnx+≥2，②当且仅当x=e 时取等号；由于①②等号不同时成立，故有e x+x 2﹣（e+1）x+＞2．22.解：（I ）由2sin 2cos 0ραα-=，得22sin 2cos .ραρα= ……4分∴曲线C 的直角坐标方程为x y 22= ……5分（II ）将直线l 的参数方程代入x y 22=，得22sin 2cos 10.t t θθ--=……6分 设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，则1222cos sin t t θθ+=，1221sin t t θ⋅=-，……7分12AB t t =-==22.sin θ=……9分 当2πθ=时，AB 的最小值为2. ……10分23.解：（I ）3,2,()|5||2|72,25,3, 5.x f x x x x x x ≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪-≥⎩……3分 当25x <<时，3723x -<-<， 所以3() 3.f x -≤≤……4分 ∴ 3.m ≥-……5分 （II ）即()2815f x x x -≥-+由（I ）可知，当2x ≤时，2()815f x x x -≥-+的解集为空集；……6分 当25x <<时，2()815f x x x -≥-+的解集为{|55}x x ≤<； ……8分 当5x ≥时，2()815f x x x -≥-+的解集为{|56}x x ≤≤.……9分综上，不等式的解集为{|56}x x ≤≤.……10分。