2015年高考模拟试题三模试题_河南省重点高中联考2015年高三年级第三次质量检测数学理科试题二

河南省重点高中联考
2015年高三年级第三次质量检测试题
数学试题
注意事项：
1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。

题号 一 二 三 总分 分数
第I 卷
1
、
已
知
=+-=+ni m i n m ni i
m
是虚数单位，则是实数，，，其中11（ ） (A)1+2i (B) 1-2i (C)2+i (D)2- i 2、下列命题中，真命题是（ ）
（A ）m R ∃∈，使函数2()()f x x mx x R =+∈是偶函数 （B ）m R ∃∈，使函数2()()f x x mx x R =+∈是奇函数 （C ）m R ∀∈，函数2()()f x x mx x R =+∈都是偶函数
（D ）m R ∀∈，函数2
()()f x x mx x R =+∈都是奇函数 3、已知随机变量x ，y 的值如下表所示：如果y 与x 线性相关且回归 直线方程为y ＝bx ＋
7
2
，则实数b ＝（ ） A ．－12 B ．12 C ．－110 D ．110
4、执行右边的程序框图，若t ∈[－1，2]，则s ∈（ ）
A ．[－1，1)
B ．[0，2]
C ．[0，1)
D ．[－l ，2]
5、为了得到函数sin 3cos3y x x =+的图象，可以将函数2sin3y x =的图象（ ）
阅卷人 得分
x
2 3 4 y
5
4
6
A.向右平移
4π个单位 B.向左平移4π
个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12
π
个单位
6、正项等比数列{n a }的公比q ≠1，且2a ，
321a ，1a 成等差数列，则5
44
3a a a a ++的值为（ ）
A. 215-
B.21
5+
C.
215+或215- D.2
5
1- 7、下列命题正确的个数是（ ）
①命题“02
0031,x x R x >+∈∃”的否定是“x x R x 31,2≤+∈∀”；
②“函数ax ax x f 2
2
sin cos )(-=的最小正周期为π”是“1=a ”的必要不充分条件； ③ax x x ≥+22在]2,1[∈x 上恒成立max min 2)()2(ax x x ≥+⇔在]2,1[∈x 上恒成立； ④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“0<⋅b a ”.
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 8、一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）
A ．π+
33
B ．2π+3
C ．π+3
D ．2π+
33
9、已知x ＞0，y ＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y 的最小值是（ ） A ． 3
B ． 4
C ．
D ．
10、已知M 是ABC ∆内一点,且23,30,AB AC BAC ⋅=∠=若MBC ∆、MAB ∆、
MAC ∆的面积分别为1
2、x y 、, 则14x y
+的最小值是（ ）
A ．9 B. 16 C. 18 D. 20
11、已知双曲线2221x a b
2
y －＝（a ＞0，b ＞0），过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于
M ，N 两点，O 为坐标原点．若OM ⊥ON ，则双曲线的离心率为（ ） A ．
133－＋ B ．132＋ C ．152－＋ D ．152＋
12、设函数f （x ）＝[
],0,(
0.x x x f x x ⎧⎨
⎩－≥＋1),＜其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[－1,1]＝－2， [π]
＝3．若直线y ＝kx ＋k （k ＞0）与函数f （x ）的图象恰好有3个不同的交点，则实
数k 的取值范围是（ ） A ．（0,
14） B ．[14，13） C ．（13，1） D ．[1
4
，1） 第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题一第21题为必考题，每个试题考生都必须作
答。

第
22题一第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题包括4小题，每小题5分． 13、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,n a S n n -=2，则
=n a .
14、已知函数f （x ）＝2
2x －x (2)f '，则函数f （x ）的图象在点（2，f （2））处的切线方
程是_________．
15、将长、宽分别为4和3的长方形ABCD 沿对角线AC 折起，得到四面体A ﹣BCD ，则四面体A ﹣BCD 的外接球的体积为 . 16、给出下列命题：
①若a ＞b ，则
1a ＜1
b
成立的充要条件是ab ＞0； ②若不等式2
x ＋ax －4＜0对任意x ∈（－1，1）恒成立，则a 的取值范围为（－3，3）； ③数列{n a }满足：a 1＝2068，且1n a ＋＋n a ＋2
n ＝0（n ∈N ﹡），则11a ＝2013；
④设0＜x ＜1，则2a x
＋21b x －的最小值为2()a b ＋
其中所有真命题的序号是______________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）
等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，123a =
，且221
12
S a +=. ⑴ 求数列{}n a 的通项公式；
⑵ 记2
3log 4n n a b =，求数列2
1
{}n n b b +⋅的前n 项和n T .
阅卷人 得分
阅卷人 得分
18．（本小题满分12分）
电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名。

右图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图。

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性。

（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料判断你是否有95％以上的把握认为“体育迷”与性别有关?
非体育迷体育迷合计
男
女
合计
（2）将日均收看该体育项目不低于50
分钟的观众称为“超级体育迷”，
已知“超级体育迷”中有2名女
性，若从“超级体育迷”中任意
选取2人，求至少有1名女性观
众的概率。

19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，已知BD ＝2AD ＝2PD ＝8，AB ＝2DC ＝45．
（1）设M 是PC 上一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （2）若M 是PC 的中点，求棱锥P －DMB 的体积． 20．（本小题满分12分） 20、定圆M ：()
2
23
16x y ++=，动圆N 过点F
(
)
3,0且与圆M 相
切，记圆心N 的轨迹为E. （I ）求轨迹E 的方程；
（II ）设点A ，Ｂ，Ｃ在E 上运动，A 与B 关于原点对称，且AC CB =，当ABC 的面积最小时，求直线AB 的方程．
阅卷人 得分
阅卷人 得分
………
试
…………
题
……………
卷
………………
不
…………………
装
………………
订
…………
21．（本小题满分12分） 设函数f （x ）＝
12
a －2
x ＋ax －lnx （a ∈R ）． （1）当a ＝1时，求函数f （x ）的极值； （2）当a ≥2时，讨论函数f （x ）的单调性；
（3）若对任意a ∈（2，3）及任意1x ，2x ∈[1，2]，恒有ma ＋ln2＞｜f （1x ）－f （2x ）｜
成立，求实数m 的取值范围．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，并用2日铅笔将答题卡上所选题目对应的题号方框
涂黑-按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首
题进行评 分。

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，点A 是以线段BC 为直径的圆O 上一点，AD BC 于点D,过点B
作圆O 的切线，
与CA 的延长线交于点E ，点G 是AD 的中点，连接CG 并延长与BE 相交于点F,延长AF 与CB 的延长线相交于点P . （Ⅰ）求证：BF=EF; （Ⅱ）求证：PA 是圆O 的切线.
阅卷人 得分
阅卷人 得分
（23）(本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy 中，l 是过定点P （4,2）且倾斜角为α的直线；在极
坐标系（以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，取相同长度单位）中，曲线C 的极坐标方程为
4cos ρθ=.
（Ⅰ）写出直线l 的参数方程，并将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）若曲线C 与直线l 相交于不同两点M 、N,求PM PN +的取值范围. 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数6)(++-=x m x x f )(R m ∈
（Ⅰ）当5=m 时，求不等式12)(≤x f 的解集；
（Ⅱ）若不等式7)(≥x f 对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围．
阅卷人
得分
阅卷人 得分
………
试
…………
题
……………
卷
………………
不
…………………
装………………
订…………
数学（文科）参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1-12 C A B C C A B A B C D B
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13、21n - 14、480x y --= 15
、1256
π
16、①③④ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、解：(1)设等比数列的公比为q ，由题意123a =，22112S a +=，所以221213323
q q ++⋅=， 即13q =
，因此1
11212()333
n n n n a a q --=⋅=⋅=.
(6分)
(2) 2233log log 324
n n
n a b n -===-， 所以
21111111
()22(2)4(2)82
n n b b n n n n n n +==⋅=-⋅⋅+++，
1111111111111()(1)
813241128212n T n n n n n n =-+-++-+-=+---++++1311()8212
n n =--++. (12分)
18、解：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，……1分 从而完成22⨯列联表如下：
…………………2分
将22⨯列联表中的数据代入公式计算，得
()2
10030104515100 3.0307525455533
k ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯ …………………5分
因为3.030 3.841<，所以我们没有95%的把握认为“体育迷”与性别有关。

…………6分
（2）由频率分布直方图知“超级体育迷”为5人， 从而一切可能结果所组成的基本事件空间为
()()()()()()()()()(){}
12132311122122313212,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a a a b a b a b a b a b a b b b Ω=
其中i a 表示男性，1,2,3i =，j b 表示女性1,2j =。

Ω由这10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的。

用A 表示“任取2人中，至少有1人是女性”这一事件，则
()()()()()()(){}11122122313212,,,,,,,,,,,,,A a b a b a b a b a b a b b b = …………10分
非体育迷 体育迷 合计
男 30 15 45
女 45 10 55
合计 75 25 100
………
试
…………
题
……………
卷
………………
不
…………………
装
………………
订
…………
事件A 由7个基本事件组成，因而()7
10
P A =。

…………12分
19、（I ）证明：在ABD ∆中，由于4,8,45AD BD AB ===，
所以222
AD BD AB +=。

故AD BD ⊥。

又平面PD ⊥平面,ABCD BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面PAD ,
又BD ⊂平面MBD ，故平面MBD ⊥平面PAD …………………………6分 (II)解：过M 作MN DC ⊥于,N
M 是PC 的中点,2MN ∴=
16
3
P DMB P DBC M DBC V V V ---∴=-= …………………………12分
20、解：（Ⅰ）因为点(3,0)F 在圆22:(3)16M x y ++=内，所以圆N 内切于圆M ，因为||NM +||4||NF FM =>，所以点N 的轨迹E 为椭圆，且24,3a c ==,所以1b =，
所以轨迹E 的方程为2
214
x y +=.…………………………………………………………（4分） （Ⅱ）（i ）当AB 为长轴（或短轴）时，依题意知，点C 就是椭圆的上下顶点（或左右顶点）， 此时1
||2
ABC S OC ∆=⨯⨯||2AB =.…………………………………………………………（5分）
（ii ）当直线AB 的斜率存在且不为0时，设其斜率为k ，直线AB 的方程为y kx =，
联立方程2
21,4,
x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩
得222
22
44,,1414A A k x y k k ==++ 所以2
||OA =2A x
222
4(1)14A
k y k ++=+.…………………………………………………………（7
分）
由||||AC CB =知，ABC △为等腰三角形，O 为AB 的中点，OC AB ⊥，所以直线OC 的
方程为1y x k =-，由2
21,41,
x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
解得2224,4C k x k =+2
C y =24,4k +222
4(1)||4k OC k +=+， …………………………………………………………………………………………………（9
分）
2||||ABC OAC S S OA OC ∆∆==⨯=
22222224(1)4(1)4(1)
144(14)(4)
k k k k k k k +++⨯=++++， 由于2222
2
(14)(4)5(1)(14)(4)22
k k k k k ++++++=…，所以85ABC S ∆…，………（11分）
当且仅当22
144k k +=+，即1k =±时等号成立，此时ABC △面积的最小值是
8
5
，因为825
>，所以ABC △面积的最小值为8
5，此时直线AB 的方程为y x =或y x =-.
…………………………………………（12分） 21、、解：（Ⅰ）函数的定义域为(0,)+∞ 当1a =时，11
()ln ,'()1.x f x x x f x x x
-=-=-
= 令'()0, 1.f x x ==得 当01x <<时，'()0f x <；当1x >时，'()0f x >
()(0,1)f x ∴在单调递减，在(1,)+∞单调递增
()(1)1f x f ∴==极小值，无极大值 ……………………4分
（Ⅱ）21(1)1[(1)1](1)
'()(1)a x ax a x x f x a x a x x x
-+--+-=-+-==
1
(1)()(1)1a x x a x
----=
…………………5分 2a ≥，1
011
a ∴<
≤- ①当
111a =-即2a =时，2
(1)'()0,()(0,)x f x f x x
-=-≤+∞在上是减函数 ②当
111a <-，即2a >时，令'()0f x <，得1
011
x x a <<>-或, 令'()0f x >，得1
11
x a <<- 综上，当2a =时，()(0,)f x +∞在单调递减
当2a >时，1
()(0,
)(1,)1
f x a +∞-在和单调递减，在1(,1)1a -上单调递增……8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当(2,3)a ∈时，()[1,2]f x 在上单调递减 当1x =时，()f x 有最大值，当2x =时，()f x 有最小值
………
试
…………
题……………
卷
………………
不
…………………
装
………………
订
…………
123|()()|(1)(2)ln 222a f x f x f f ∴-≤-=
-+ 3ln 2ln 222
a ma ∴+>-+ …………………10分 而0a >经整理得13113230,22422m a a a
>-<<-<-<由得 0m ∴≥ …………………12分
（22）证明：（Ⅰ） 因为BC 是圆O 的直径，BE 是圆O 的切线，所以EB BC ⊥，又因为AD BC ⊥，所以AD BE ∥，可知B F C D G C ∽△△， FEC GAC ∽
△△，所以BF CF EF CF DG CG AG CG ==，，所以BF EF DG AG
=，因为G 是AD 的中点，所以DG AG =，所以F 是BE 的中点，BF EF =. …………………………………………………………………
（5分）
（Ⅱ）如图，连接AO AB ，，因为BC 是圆O 的直径，所以90BAC ∠=°．
在Rt BAE △中，由（Ⅰ）知F 是斜边BE 的中点，
所以AF FB EF ==，所以FBA FAB ∠=∠.
又因为OA OB =，所以ABO BAO ∠=∠．
因为BE 是圆O 的切线，所以90EBO ∠=°.
因为90EBO FBA ABO FAB BAO FAO ∠=∠+∠=∠+∠=∠=°，
所以PA 是圆O 的切线.……………………………………………………………………（10分）
（23）解：（Ⅰ）直线l 的参数方程为4cos ,(2sin x t t y t αα=+⎧⎨=+⎩
为参数).………………………（2分）
因为4cos ρθ=，所以24cos ρρθ=，所以曲线C 的直角坐标方程为224x y x +=.
…………………………………………………………………………………………………（4分）
（Ⅱ）将4cos ,2sin x t y t αα
=+⎧⎨=+⎩代入22:4C x y x +=中，得24(sin cos )40t t αα+++=，则 有21212
16(sin cos )160,4(sin cos ),4,t t t t ∆αααα⎧=+->⎪+=-+⎨⎪=⎩………………………………………………………（6分）
所以sin cos 0αα>.又[0,π)α∈，所以π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 1212||||||||()t t t PN t PM +=-++==π4(sin cos )42sin 4ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，………（8分） 由ππ3π,444α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭得2πsin 124α⎛⎫<+ ⎪⎝⎭…，所以||||(4,42]PM PN +∈.………（10分） （24）解：（Ⅰ）当5m =时，()12f x ≤即5612x x -++≤， 当6x <-时，得213x -≤，即132x -≥，所以1362x -<-≤； 当65x -≤≤时，得1112≤成立，所以65x -≤≤；当5x >时，得211x ≤，即112x ≤，所以1152x <≤.故不等式()12f x ≤的解集为1311|22x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤≤.（Ⅱ）()()()666f x x m x x m x m =-++--+=+≥，由题意得67m +≥，则67m +≥或67m +-≤，解得1m ≥或13m -≤,故m 的取值范(][),131,-∞-+∞ ………
试…………
题……………
卷……
…………不…………………
装……………
…订…………。