高考数学高中数学知识点第47讲两条

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高考数学知识点总结(全而精-一轮复习必备)

高中数学第一章-集合考试内容：集合、子集、补集、交集、并集．逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件．考试要求：（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．（2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义．§01. 集合与简易逻辑知识要点一、知识结构:本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：二、知识回顾：（一）集合1.基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.2.集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为；②空集是任何集合的子集，记为；③空集是任何非空集合的真子集；如果，同时，那么A = B.如果.[注]：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×）②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=，则C s A= {0}）A A ⊆A ⊆φB A ⊆A B ⊆C A C B B A ⊆⊆⊆，那么，+N③空集的补集是全集.④若集合A=集合B，则C B A=，C A B =C S（C A B）=D（注：C A B =）.3. ①{（x，y）|xy =0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集.②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R二、四象限的点集.③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R} 一、三象限的点集.[注]：①对方程组解的集合应是点集.例：解的集合{(2，1)}.②点集与数集的交集是. （例：A ={(x，y)| y =x+1} B={y|y =x2+1} 则A∩B =）4. ①n个元素的子集有2n个. ②n个元素的真子集有2n－1个. ③n个元素的非空真子集有2n－2个.5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题逆命题.②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题逆否命题.例：①若应是真命题.，则a+b = 5，成立，所以此命题为真.②.1或y = 2.,故是的既不是充分，又不是必要条件.⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围.3.例：若.4.集合运算：交、并、补.5.主要性质和运算律（1）包含关系：（2）等价关系：（3）集合的运算律：交换律：结合律:分配律:.∅∅∅}⎩⎨⎧=-=+1323yxyxφ∅⇔⇔325≠≠≠+baba或，则且1≠x3≠y1≠∴yx且3≠+yx21≠≠yx且255xxx或，⇒{|,}{|}{,}A B x x A x BA B x x A x BA x U x A⇔∈∈⇔∈∈⇔∈∉U交：且并：或补：且C,,,,,;,;,.UA A A A U A UA B B C A C A B A A B B A B A A B B⊆Φ⊆⊆⊆⊆⊆⇒⊆⊆⊆⊇⊇CUA B A B A A B B A B U⊆⇔=⇔=⇔=C.;ABBAABBA==)()();()(CBACBACBACBA==)()()();()()(CABACBACABACBA==0-1律：等幂律：求补律：A∩C U A=φA∪C U A=U C U U=φ C Uφ=U反演律：C U(A∩B)= (C U A)∪(C U B) C U(A∪B)= (C U A)∩(C U B)6.有限集的元素个数定义：有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为card( A)规定 card(φ) =0.基本公式：(3) card( U A)= card(U)- card(A)(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1.整式不等式的解法根轴法（零点分段法）①将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)…(x-x m)>0(<0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统一方便)②求根，并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.（自右向左正负相间）则不等式的解可以根据各区间的符号确定.特例①一元一次不等式ax>b解的讨论；②一元二次不等式ax2+box>0(a>0)解的讨论.>∆0=∆0<∆二次函数cbxaxy++=2（0>a）的图象,,,A A A U A A U A UΦ=ΦΦ===.,AAAAAA==(1)()()()()(2)()()()()()()()()card A B card A card B card A Bcard A B C card A card B card Ccard A B card B C card C Acard A B C=+-=++---+x)0)((002211><>++++--aaxaxaxa nnnn原命题若p 则q否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p 逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互一元二次方程()的根002>=++a c bx ax 有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根ab x x 221-== 无实根的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R 的解集)0(02><++a c bx ax {}21x x x x << ∅∅2.分式不等式的解法（1）标准化：移项通分化为>0(或<0)； ≥0(或≤0)的形式，（2）转化为整式不等式（组）3.含绝对值不等式的解法（1）公式法：,与型的不等式的解法.（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.4.一元二次方程根的分布一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)（1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.（2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之.（三）简易逻辑1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。

2024年高考数学二轮复习第47讲极值点偏移

第47讲极值点偏移极值点偏移的相关推导所谓极值点偏移问题，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图象没有对称性.若函数()f x 在0=x x 处取得极值，且函数=()y f x 与直线=y b 交于1(,)A x b ，2(,)B x b 两点，则AB 的中点为12(,)2x x M b +，而往往1202x xx +≠，如下图所示.极值点偏移问题的一般题设形式：1.若函数()f x 存在两个零点12x x ，且12x x ≠，求证：120+2x x x >(0x 为函数()f x 的极值点)；2.若函数()f x 中存在12x x ，且12x x ≠满足12()=()f x f x ，求证：120+2x x x >(0x 为函数()f x 的极值点)；3.若函数()f x 存在两个零点12x x ，且12x x ≠，令1202x x x +＝，求证：0()0f x '>. 4.若函数()f x 中存在12x x ，且12x x ≠满足12()=()f x f x ，令1202x x x +＝，求证：0()0f x '>.[抽化模型]答题模板：若已知函数()f x 满足12()=()f x f x ，0x 为函数()f x 的极值点，求证：120+2x x x <.1.讨论函数()f x 单调性并求出()f x 的极值点0x ；假设此处：()f x 在0(,)x +∞上单调递增，在0()x −∞，上单调递减. 2.构造0()()(2)F x f x f x x =−−；注：此处根据题意需要还可以进行中值构造，构造成00()(+)()F x f x x f x x =−−的形式.3.通过求导0()F x '讨论()F x 的单调性，判断出()F x 在某段区间上的正负，并得出()f x 与0(2)f x x −的大小关系；假设此处：()F x 在0(,)x +∞上单调递增，那么我们便可得出0000()()()(2)0F x F x f x f x x >=−−=，从而得到当0x x >时，0()(2)f x f x x >−.4.不妨设102x x x <<，通过()f x 单调性，12()=()f x f x ，()f x 与0(2)f x x −的大小关系得出结论；接上述情况，由于0x x >时，()f x ＞0(2)f x x −且102x x x <<，12()=()f x f x ，故12()=()f x f x ＞02(2)f x x −，又因为10x x <，0202x x x −<且()f x 在0()x −∞，上单调递减，从而得到1022x x x <−，从而120+2x x x <得证.5.若要证明：12()02x x f +'<，还需进一步讨论122x x +与0x 的大小，得出122x x +所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续说明：因为120+2x x x <，故122x x +＜0x ，由于()f x 在0()x −∞，上单调递减，故12()02x x f +'<. 对数平均不等式的介绍与证明两个正数a 和b 的对数平均定义:()().ln ln ()a ba b L a b a b a a b −⎧≠⎪=−⎨⎪=⎩，对数平均不等式为2()a bL a b +≤≤，. 取等条件:当且仅当a b =时，等号成立.只证:当a b ≠2 ()a b L a b +<<，，不失一般性，可设a b >.证明: (1) 先证) (L a b <，①①式ln ln lna ab b ⇔−<⇔<12ln x x x⇔<−(其中1x =>). 构造函数:1()2ln (f x x x x x ⎛⎫=−−> ⎪⎝⎭1)，则22211()11f x x x x ⎛⎫'=−−=−− ⎪⎝⎭.当1x >时，()0f x '<， ∴函数()f x 在(1 ) +∞，上单调递减. 故()(1)0f x f <=，不等式①成立.(2) 再证:()2a bL a b +<，. ② ②式2()ln ln ln a b a a b a b b −⇔−>⇔>+212(1)ln (1)|1a x b x a x b ⎛⎫− ⎪−⎝⎭⇔>+⎛⎫ ⎪⎝⎭(其中1x ⎫=>⎪⎪⎭. 构造函数2(1)()ln ((1)x g x x x x −=−>+1)，则22214(1)()(1)(1)x g x x x x x −'=−=++. 当1x >时， ()0 g x '>∴，函数()g x 在(1 ) +∞，上单调递增，故()(1)0g x g >=，从而不等式②成立.综合① ②知，对 a b +∀∈R ，2()a bL a b +≤≤，成立，当且仅当a b =时，等号成立.无参极值点偏移的方法总结关于极值点偏移常考的题型如下:题型一:若函数()f x 存在两个零点1x ，2x 且12x x ≠，求证:1200 2x x x x +>，为函数()f x 的极值点.题型二:若函数()f x 中存在12 x x ，且1x ≠2x 满足()()12f x f x =，求证:1200 2x x x x +>，为函数 ()f x 的极值点.对于极值点偏移来说，所有方法的核心都是为了把双元问题转化为一元问题，那么在转换过程中常用如下方法:证法一:单调性放缩转化法，一般有两种构造函数的方式构造方式一: 非对称构造(1) 构造函数()0()()2h x f x f x x =−−. (2) 判断函数()h x 的单调性.(3) 证明()0h x >[或()0]h x <即()f x >()02f x x −[或()0()2f x f x x ⎤<−⎦. (4) 结合函数()f x 的单调性，通过整体代换即可证1202x x x +<，或1202x x x +>.构造方式二: 对称构造(1) 求出函数()f x 的极值点0x ，及单调区间.(2) 作差比较:构造一元差函数()F x =()()00f x x f x x +−−.(3) 确定函数()F x 的单调性.(4) 结合(0)0F =，判断()F x 的符号，从而确定()()00 f x x f x x +−，的大小关系，结合函数()f x 的单调性，通过整体代换即可证1202x x x +<，或1202x x x +>.证法二: 引参消元法，一般有两种引参方式引参方式一: 差式引参一般步骤如下:第一步:根据1x 和2x 的关系式，一般为()()12f x f x =，通过变形，构造出12x x −. 第二步:通过整体代换，令12x x t −=，引入参数t ，如果可以直接构造一元函数就直接计算，如果不行再进入第三步.第三步:用参数t 表示出变量12()()x f t x g t =⎧⎨=⎩，进而构造一元函数.第四步:按照一元函数处理方式处理.引参方式二: 齐次引参消元一般步骤如下:第一步:先根据已知条件确定出变量1x ，2x 满足的等式，并变形出12x x ，然后令12x t x =.第二步:用参数t 表示出变量12()()x f t x g t =⎧⎨=⎩，进而构造一元函数，将关于12 x x ，待求的问题转化为关于t 的函数问题.第三步:构造关于t 的一元函数()g t 求解.证法三:齐次分式整体代换消元法一般步骤如下:第一步:先根据已知条件确定出变量1x ，2x 满足的条件.第二步:通过将所有涉及12 x x ，的式子转化为关于12x x 的式子，将问题转化为关于自变量12xx （21x x 亦可）的函数问题. 第三步:整体代换12x t x =，构造关于t 的一元函数()g t 求解.证法四:对数平均不等式法一般步骤如下:第一步:通过等式两边同取自然对数或相减等配凑出“12ln ln x x −”及“12x x −”.第二步:通过等式两边同除以“1ln x −2ln x ”构建对数平均数1212ln ln x x x x −−.第三步:利用对数平均不等式将1212ln ln x x x x −−转化为122x x +后再证明12x x +<02x ，或1202x x x +>.【例1】已知函数()e ()x f x x x −=∈R ，如果12x x ≠，且()()12f x f x =，证明:1x +22x >.【解析】证明法一：对称构造法()(1)e x f x x −'=−易得()f x 在( 1 )−∞，上单调递增，在(1 ) +∞，上单调递减. x →−∞时，()(0)0 f x f →−∞=，.x →+∞时，()0f x →.函数()f x 在1x =时取得极大值:1(1)ef =.由()()1212 f x f x x x =≠，不妨设1x <2x .则必有121x x <<. 构造函数()(1)(1)F x f x f x =+−−，] (01 x ∈，. 则()(1)(1)F x f x f x '='+−'−=()21e10exx x+−>.()F x ∴在] (01 x ∈，上单调递增，()F x >(0)0F =，即(1)(1)f x f x +>−对] (01 x ∈，恒成立.由1201x x <<<，则11(01] x −∈，. ()()()11112f x f x ∴+−=−>()()()()11211f x f x f x −−==，即()()122f x f x −>.又122(1) x x −∈+∞，，，且()f x 在(1 ) +∞，上单调递减， 122x x ∴−<，即122x x +>.法二:非对称构造法欲证122x x +>，即证212x x >−.由“法一”可知1201x x <<<，故12x −，2) (1 x ∈+∞，. 又()f x 在(1 ) +∞，上单调递减，故只需证明 ()()212f x f x <−.又()()1212 f x f x x x =≠，，∴证明()()112f x f x <−即可.构造函数()()(2)H x f x f x =−−，) (01 x ∈，. 等价于证明( ) (0 )01H x x <∈，，恒成立. 1()()(2)xx H x f x f x e −'='−'−=⋅()221e 0x −−>.()H x ∴在) (01 x ∈，上单调递增.()(1)0H x H ∴<=，即以证明()0H x <，对) (01 x ∈，恒成立.故原不等式122x x +>成立. 法三: 差式引参换元法由()()12f x f x =，得1212e e x x x x −−=，化简得 2121e x x x x −=. ① 不妨设21x x >，由“法一”知，101x <<2x <.令21t x x =−，则210 t x t x >=+，，代入①式，得11e t t x x +=，反【解析】出1e 1t t x =−. 则12122e 1ttx x x t t +=+=+−，故要证1x +22x >，即证22e 1t t t +>−. 又e 10t −>，等价于证明2(2)t t +−⋅()10t e −> ②构造函数()) ()2(2e 1( t G t t t t =+−−>，0)，则0 ()(1)e 1()e t t G t t G t t '''=−+=>，，故()G t '在) (0 t ∈+∞，上单调递增，()(0)0G t G '>'=. 从而()G t 也在) (0 t ∈+∞，上单调递增，()(0)0G t G >=，即②式成立，故原不等式 122x x +>成立. 法四: 齐次分式整体消元法由“法三”中①式，两边同时取自然对数，可得112122lnln ln x x x x x x −==−. 即1212ln ln 1x x x x −=−，从而(121x x x +=+)12121212122ln ln ln x x x x x x x x x x x −+⋅=⋅=−−1211221ln 1x x x x x x +⋅−令12(1)x t t x =>，欲证122x x +>，等价于证明1ln 21t t t +⋅>−. ③ 构造(1)ln 2()1ln 11t t M t t t t +⎛⎫==+ ⎪−−⎝⎭，(1)t >，则2212ln ()(1)t t tM t t t −−'=−. 又令2()12ln (1)t t t t t ϕ=−−>，则()22(ln 1)2(1ln )t t t t t ϕ'=−+=−−.由于1ln t t −>对) (1t ∀∈+∞，恒成立，故) ()( 0t t ϕϕ'>，在) (1 t ∈+∞，上单调递增. ()(1)0t ϕϕ∴>=，从而()0M t '>，故()M t 在(1 )t ∈+∞，上单调递增. 由洛必达法则知，1lim ()x M t →=()()()()1111ln 1ln 1limlim lim(ln 211x x x t t t tt t t t t →→→'+++⎫==+=⎪−'⎭−,(下一章会讲)可得()2M t >,即证③式成立,即原不等式122x x +>成立.法五:对数平均不等式法由“法三”中①式,两边同时取自然对数,可得112122ln ln ln xx x x x x −==−.即12121ln ln x x x x −=−..把12121ln ln x x x x −=−代入不等式即可得1212121ln ln 2x x x xx x −+=<−.,即可得122x x +>.【例2】已知函数()2x f x x e =−.,上存在两个不相等的数12,x x .,满足()()12f x f x =.,求证:122ln2x x +<.【解析】证明()2x f x e '=−,令()0f x '=得ln2x =.当ln 2x <时,()()0,f x f x '>在(),ln2−∞上单调递增.当ln 2x >时,()0,f x '<()f x 在()ln2,+∞上单调递减.ln2x ∴=为()f x 的极大值点,不妨设12x x <.,由题意可知12ln2x x <<.()()()ln2ln2422x x F x f x f x x e e −=+−−=−+令.,()()()422,2,0,x x x x F x e e e e F x F x −−'=−−+∴'∴单调递减.又()()00,0F F x =∴<在()0,+∞上恒成立, 即()()ln2ln2f x f x +<−在()0,+∞上恒成立.()()()()()()()12222ln2ln ln2ln22ln2.f x f x f x x f x f x ∴==+−<−−=−1ln2,x <()()22ln2ln2,,ln2,x f x −<−∞又在上单调递增 12122ln2.2ln2x x x x ∴<−∴+<含参极值点偏移含参极值点偏移问题和无参的证法类似,参数可分为在函数中和在不等式中两种类型,可以通过参变分离,把含参问题转换为无参问题,其处理思路和上一节一样,注意将问题转化为()()112f x f a x >−.,然后构造函数()()()2F x f x f a x =−−.,利用函数的单调性可得()()1120f x f a x −−>,从而得出结论.含参型一:函数含参极值点偏移问题【例1】已知函数()()()221x f x x e a x =−+−有两个零点. (1)求a 的取值范围.(2)设12,x x 是()f x 的两个零点,证明:122x x +<.【解析】(1)函数()f x 的定义域为R .①当0a =时,()()20x f x x e =−=,得2x =,只有一个零点,不合题意. ②当0a ≠时,()()()12x f x x e a =−+'.i.当0a >时,由()0f x '=得1x =.,由()0f x '>得1x >.,由()0f x '<得1x <.1x ∴=是()f x 的极小值点,也是()f x的最小值点.()()1e 0.f x f ∴==−<又()20,f a =>∴在()1,2上存在一个零点2x ,即212x <<. 由()21lim 2limlim 0x x xx x x x x e e e −−→−∞→−∞→−∞−−===−又2(1)0a x −>,()f x ∴在(),1−∞上存在唯一零点1x , 即11x <,0a ∴>时,()f x 存在两个零点. ii.当0a <时,由()0f x '=得1x =或()ln 2x a =−.若()ln 21a −=,即2ea =−时,()f x '0,故()f x 在R 上单调递增,与题意不符.若()ln 21a −>,即e2a <−时,易证()max ()1e 0f x f ==−<,故()f x 在R 上只有一个零点. 若()ln 21a −<.,即e02a −<<时,易证.()()()()(()2max ln 2ln 24ln 25)0f x f a a a a =−=−−−+<.,故()f x 在R 上只有一个零点. 综上所述,0a >.（2）证明法一:非对称构造法由(1)题知,0a >且1212x x <<<..()()()()222x x h x f x f x x e xe −=−−=−+令.,则()()()()21211x x x e h x e−−−'−=.()211,10,e10x x x −>∴−>−>.()0h x ∴'>.()h x ∴在()1,+∞上单调递增.()()()()10,2h x h f x f x ∴>=>−..()()222f x f x ∴>−..()()122f x f x ∴>−..()121,21,x x f x <−<在(),1−∞上单调递减,122x x ∴<−,即122x x +<. 法二:参变分离,再对称构造由已知得()()120f x f x ==,不难发现121,1x x ≠≠, 故可整理得()()()()121222122211xx x e x e a x x −−−==−−..设()()()221xx e g x x −=−.,则()()12g x g x =..那么()()()23211xx g x e x −+=⨯−'. 当1x <时,()()0,g x g x '<单调递减.当1x >时,()()0,g x g x '>单调递增. 设0m >.,构造代数式.()()11122221111111.1m m m m m m m m g m g m e e e e m m m m +−−−−−+−⎛⎫+−−=⨯−⨯=⨯⨯+ ⎪+⎝⎭设()21e 1,01mm h m m m −=⨯+>+. 则()2222e 0(1)m m h m m =⨯>+',故()h m 单调递增,有()()00h m h >=. 因此,对于任意的()()0,11m g m g m >+>−.由()()12g x g x =可知12,x x 不可能在()g x 的同一个单调区间上, 不妨设12x x <,则必有121x x <<.令110m x =−>,则有()()()()()1111211112g x g x g x g x g x +−>−−⇔−>=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦. 而()1221,1,x x g x −>>在()1,+∞上单调递增,因此()()121222g x g x x x −>⇔−>. 整理得122x x +<.法三:参变分离,再非对称构造由法二得()()()221x x e g x x −=−,构造()()()()2,,1G x g x g x x =−−∈−∞. 利用单调性可证,此处略.含参型二:不等式含参极值点偏移问题【例1】已知函数()ln (0xf x x a a=−≠,)a R ∈. (1)求函数()f x 的单调区间.(2)若存在两个不相等的正数12,x x ,满足()()12f x f x =,求证:122x x a +>.【解析】(1)()ln x f x x a =−.,定义域为()()110,,x a f x a x ax−+∞='=−..当0a >时,(),0;0x a f x x a '<<,()0f x '<.当0a <时,()0,0x f x ><'.故当0a >时,()f x 的单调递减区间是()0,a .,单调递增区间是(),a +∞.当0a <时,()f x 的单调递减区间是()0,+∞,无单调递增区间.(2)证明由(1)题知当0a <时,()f x 的单调递减区间是()0,+∞,无递增区间，不合题意,故0a >,此时()f x 在()0,a 上单调递减,在(),a +∞上单调递增.若存在两个不相等的正数12,x x .,满足()()12f x f x =.,不妨设12x x <.,则有()()120,,,x a x a ∈∈+∞.要证122x x a +>,即证212x a x >−. 而21,2x a a x a >−>.由(1)题知()f x 在(),a +∞上单调递增,故只需证()()212f x f a x >−. 又()()12f x f x =,即要证()()112f x f a x >−(其中10x a <<). 考查函数()()()2F x f x f a x =−−.,()F x 的定义域是()0,2a .,()()()()()()()22211112ln ln 2,0,22x a x a x F x f x f a x x a x F x a a a x a a x ax a x −−−=−−=−−+−=−+−='−−()()(),,0,2,0,x a F x a F a ==当且仅当时才能取等号在定义域上恒递减观察知 ()()()()0,,20.x a F x f x f a x ∴∈=−−>当时 ()()()(),2,20.x a a F x f x f a x ∈=−−<当时 ()()()1110,,20x a f x f a x ∴∈−−>当时 122x x a ∴+>【例2】已知()21ln 2f x x x mx x =−−,m R ∈.若()f x 有两个极值点12,x x ,且12x x <,求证:212e x x >(e 为自然对数的底数).【解析】证明法一:零点等式相减相加消参换元法欲证212e x x >,需证12ln ln 2x x +>.若()f x 有两个极值点12,x x ,则函数()f x '有两个零点.又()ln f x x mx =−',12,x x ∴是方程()0f x '=的两个不同实根.则有112200lnx mx lnx mx −=⎧⎨−=⎩，解得1212ln ln x x m x x +=+.另一方面,由11220lnx mx lnx mx −=⎧⎨−=⎩得()2121ln ln x x m x x −=−,从而可得21122112ln ln ln ln x x x x x x x x −+=−+. ()()222121111222111lnln ln ln ln .1x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫+ ⎪−+⎝⎭∴+==−−又120x x <<,设21x t x =,则1t >.()121ln ln ln ,11t t x x t t +∴+=>−. 要证12ln ln 2x x +>,即证()1ln 2,11t tt t +>>−.即当1t >时,有()21ln 1t t t −>+.设函数()()21ln ,11t h t t t t −=−+,则()()()()()()222212111011t t t h t t t t t '+−−−=−=++, ()h t ∴为()1,+∞上的增函数.()()()10,10h h t h =∴=.于是,当1t >时,有()21ln 1t t t −>+.12ln ln 2x x ∴+>.212e x x ∴>.法二:含参非对称构造欲证212e x x >,需证12ln ln 2x x +>.若()f x 有两个极值点12,x x ,即函数()f x '有两个零点.又()ln ,f x x mx =−'12,x x ∴是方程()0f x '=的两个不同实根.显然0m >,否则,函数()f x '为单调函数,不符合题意.由于()11mx f x m x x −=−='',故()f x '在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在1,m⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.由()11121222ln ln 0lnx mx x x m x x lnx mx −=⎧⇒+=+⎨−=⎩,需证明()122m x x +>即可.即只需证明122x x m+>. 设()()()()2212(1),0,,02mx g x f x f x x g x m m x mx −⎛⎫⎛⎫=−−∈=> ⎪ ⎪'⎝'−⎭⎭'⎝,故()g x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,即()10g x g m ⎛⎫<= ⎪⎝⎭,故()2f x f x m ⎛⎫<− ⎪⎝'⎭'.由于()11mx f x m xx −=−='',故()f x '在10,m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 设121x x m <<,令1x x =,则()()2112f x f x f x m ⎛⎫=>− ⎪⎝''⎭' 又()2121,,,x x f x m m ⎛⎫−∈+∞ ⎪⎭'⎝在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减,故有212x x m >−,即122x x m +>.原命题得证.法三:单调性放缩转换法由12,x x 是方程()0f x '=的两个不同实根得ln xm x=, 令()()()12ln ,x g x g x g x x ==,由于()21ln xg x x −=', 因此,()g x 在()0,e 上单调递增,在(),e +∞上单调递减.设120e x x <<<,要证明212e x x >,只需证明()212e 0,e x x >∈,只需证明()212e f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭,即()222e 0f x f x ⎛⎫>> ⎪⎝⎭,即()222e 0f x f x ⎛⎫−> ⎪⎝⎭. 即()()()2,1,e h x f x f x e x ⎛⎫=−∈ ⎪⎝⎭,()()()()22221ln ,x e x h x h x x e −−='在()1,e 上单调递增,故()()0h x h e <=,即()2e f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭.()()21211e ,.x x f x f x f x ⎛⎫==< ⎪⎝⎭令则()221,,,e x e x ∈+∞()(),f x e +∞在上单调递减,222121e ,e .x x x x ∴>>即法四:差式引参消元法设()()1122ln 0,1,ln 1,t x t x =∈=∈+∞,则由112200lnx mx lnx mx −=⎧⎨−=⎩得11221122tt t t t me t e t t me−⎧=⎪⇒=⎨=⎪⎩, 设120k t t =−<,则12,11k k k ke kt t e e ==−−. 欲证212e x x >.,需证12ln ln 2x x +>.,即只需证明122t t +>..()()()()()1e 21e 2e 11e 2e 10e 1k k k k k kk k k +>⇔+<−⇔+−−<−.设()()()()()12e 1(0),e e 1,e 0k k k k k g k k e k g k k g k k =+'−−<=−+''=<,故()g k '在(),0−∞上单调递减,故()()00g k g '>=',故()g k 在(),0−∞上单调递增, 因此()()00g k g <=,命题得证. 法五:分式引参消元法设()()1122ln 0,1,ln 1,t x t x =∈=∈+∞,则由112200lnx mx lnx mx −=⎧⎨−=⎩得11221122tt t t t me t e t t me−⎧=⎪⇒=⎨=⎪⎩. 设()120,1t k t =∈.,则12ln ln ,11k k k t t k k ==−−.欲证212e x x >.,需证12ln ln 2x x +>.,即只需证明122t t +>.,即()()()1ln 21212ln ln 0111k kk k k k k k k +−−>⇔<⇔−<−++.设()()()()()2221(1)ln 0,1,01(1)k k g k k k g k k k k −−='−∈=>++.,故()g k 在()0,1上单调递增,因此()()10g k g <=,命题得证.极值点偏移变形一般题型1.若函数()f x 存在两个零点12,x x 且12x x ≠,求证:1202x x f +⎛⎫> ⎪⎝⎭'.2.若函数()f x 中存在12,x x 且12x x ≠,满足()()12f x f x =,求证:1202x x f +⎛⎫> ⎪⎝⎭'. 3.若函数()f x 存在两个零点12,x x 且12x x ≠,求证:0f '>.4.若函数()f x 中存在12,x x 且12x x ≠,满足()()12f x f x =,求证:0f '>.方法核心:要证明1202x x f +⎛⎫> ⎪⎝⎭'.,即比较122x x +与极值点0x 的大小,得出122x x +所在的单调区间,从而得出该处函数导数值的正负,从而结论得证.对于0f '>问题,要结合基本不等式122x x +<,转换为比较122x x +与极值点0x 的大小的问题.【例1】已知函数()()22ln f x x a x a x =−−− (1)求函数的单调区间.(2)若方程()f x 有两个不相等的实数根12,x x ,求证:1202x x f +⎛⎫> ⎪⎝⎭'. 【解析】（1）()()()21(0)x a x f x x x'−+=>.①当0a 时,()0f x '>,函数()f x 在()0,+∞上单调递增,()f x ∴的单调递增区间为()0,+∞.②当0a >时,由()0f x '>得2a x >. 由()0f x '<得02a x <<, ()f x ∴的单调递增区间为,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,单调递减区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.(2)证明12,x x 是方程()f x 的两个不等实根,0a ∴>.不妨设120x x <<,则()()221112222ln ,2ln x a x a x c x a x a x c −−−=−−−=,两式相减得()()221112222ln 2ln 0x a x a x x a x a x ⎡⎤−−−−−−−=⎣⎦,即221122112222ln ln x x x x a x x x x +−−=+−−. 又02a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭',当2a x >时,()0f x '>.当02ax <<时,()0f x '<.故只要证明1222x x a +>即可,即证22112212112222ln ln x x x x x x x x x x +−−+>+−−, 即证11221222lnx x x x x x −<+,即11212222ln 1x x x x x x ⨯−<+.设12(01)x t t x =<<.,令()22ln 1t g t t t −=−+.,则()22(1)0(1)t g t t t '−=>+.,则()22ln 1t g t t t −=−+在()0,1上为增函数,又()10g =,()0,1t ∴∈时,()0g t <总成立,得证. 【例2】已知函数()212ln )(a f x x a x x=+−+. (1)讨论()f x 的单调性.(2)如果方程()f x m =有两个不相等的解12,x x ,且12x x <,证明:1202x x f +⎛⎫> ⎪⎝⎭'. 【解析】(1)()()()()222221221122(0)x a x a x a x a a f x x x x x x +−−'−+−=+−==>. ①当0a 时,()()0,,0x f x ∈+∞'>,()f x 单调递增. ②当0a >时,()()()0,,0,x a f x f x <'∈ 单调递减;()()(),,0,x a f x f x ∈+∞>'单调递增.综上,当0a 时,()f x 在()0,+∞上单调递增.当0a >时,()f x 在()0,a 上单调递减,在(),a +∞上单调递增.(2)证明由(1)题知,当0a 时,()f x 在()0,+∞上单调递增,()f x m =至多有一个根,不符合题意. 当0a >时,()f x 在()0,a 上单调递减,在(),a +∞上单调递增,则()0f a '=.不妨设120x a x <<<,要证1202x x f +⎛⎫> ⎪⎝⎭',即证122x x a +>,即证122x x a +>, 即证212x a x >−.()f x 在(),a +∞上单调递增,即证()()212f x f a x >−,又()()21,f x f x =∴即证()()112f x f a x >−,即证()()f a x f a x +<−,其中()1,0,.x a x x a =−∈()()()g x f a x f a x =+−−令()()()()()()212ln 212ln a a a x a a x a x a a x a x a x ⎡⎤⎡⎤=++−++−−+−−+⎢⎥⎢⎥+−⎣⎦⎣⎦ ()()()()412ln 12ln ,a ax a a x a a x a x a x=+−+−−−+−+− ()()()2212124a a a ag x a x a x a x a x −−=+'+−−+−+−()()()()()()()22222222222242124.a a x x x a a a a a x a x a x a x a x +−−−=+−=−+−+−()()()0,,0,,x a g x g x '∈<当时单调递减()()()0000,g f a f a =+−−=又()()()()()0,,00,.x a g x g f a x f a x ∴∈<=+<−当时即 ()11,0,,x a x x a =−∈令又()()2112.0.2x x f x f a x f +⎛⎫∴>−∴> ⎪'⎝⎭\) 【例3】设函数()()x f x e ax a a R =−+∈,其图像与x 轴交于()()12,0,,0A x B x 两点,且12x x <.(1)求实数a 的取值范围. (2)证明:()0[f f x <''为函数()f x 的导函数].【解析】(1)(),x f x e a x R =−∈'.当0a 时,()0f x '>在R 上恒成立,不合题意.当0a >时,易知,ln x a =为函数()f x 的极值点,且是唯一极值点. 故()()()min ln 2ln f x f a a a ==−.当()0min f x ,即20e a <时,()f x 至多有一个零点,不合题意,故舍去. 当()0f x <时,即2e a >时,由()1e 0f =>,且()f x 在(),ln a −∞上单调递减, 故()f x 在()1,ln a 上有且只有一个零,点.由()()22ln 2ln 12ln f a a a a a a a a =−+=+−. 令212ln ,y a a a e =+−>,则21y a'=−>0,故2212ln e 14e 30a a +−>+−=−>.()2ln 0f a ∴>,即在()ln ,2ln a a 上有且只有一个零点.2e a ∴>.(2)由(1)题知,()f x 在(),ln a −∞上单调递减,在()ln ,a +∞上单调递增,且()1e 0f =>.121ln 2ln x a x a ∴<<<<,要证0f '<,只需证a <,ln a .122x x <+,故只需证x 1+x 2<2ln a .令h (x )=f (x )−f (2ln a −x )=e x −ax +a −e 2ln a −x +a (2ln a −x )−a=e x −a 2e −x −2ax +2a ln a ，1<x <ln a .则h '(x )=e x +a 2e −x −2a 2e x a 2e −2a =0,∴h (x )在(1,ln a )上单调递增.∴h (x )<e ln a −a 2e −ln a −2a ln a +2a ln a =0,即f (x )<f (2ln a −x ).∴f (x 1)<f (2ln a −x 1).又f (x 1)=f (x 2),∴f (x 2)<f (2ln a −x 1).x 2>ln a ,2ln a −x 1>ln a ,且f (x )在(ln a ,+∞)上单调递增,∴x 2<2ln a −x 1,即x 1+x 2<2ln a .∴f '<0.。

高考数学一轮复习备课手册：第47课椭圆的几何性质

第47课椭圆的几何性质一、考纲要求 1．熟练掌握椭圆的几何性质，会利用几何性质解决简单的问题；2．能够依据椭圆的几何性质获得参数间的关系，并能够处理与其它曲线进行综合的简单问题．二、知识梳理1．阅读教材第33页~36页，熟悉椭圆的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率），会从椭圆方程及图形两个角度研究某些性质；2.椭圆的离心率是反映了椭圆形状的一个重要量，它与ba之间满足一个什么关系，试从这个角度说明椭圆的扁圆程度，要求离心率关键要寻找何种等式？3.阅读第35页例1，在画出椭圆前，先把其方程化成函数形式的，思考：椭圆方程与函数的关系？4.阅读第35页例2，思考：,a c a c -+是椭圆上的点到某一焦点的最小与最大距离吗？你能证明吗？要点解析1．熟练掌握由椭圆方程求出6点、短轴长、长轴长、离心率、焦距、通径长、焦准距，两准距、等基本量；2．椭圆的变量范围主要应用于：（1）构造某一函数时作为定义域考虑，（2）在求离心率范围时作为构造不等关系的依据；3.椭圆的特征三角形是什么？其中哪个量对应于离心率？椭圆上点从某一长轴的端点出发向短轴端点运动过程中它对两个焦点形成的张角如何变化？形成的焦点三角形的面积如何变化？你能证明吗？4.求椭圆的离心率及离心率的范围其实质是去寻找含,,a b c 的齐次等式与齐次不等式，建立等量关系与不等关系通常有哪些手段呢？5.在椭圆的焦点三角形中研究问题一般离不开使用第一定义，有时还会结合正（余)弦定理解决问题； 6、涉及椭圆上点到焦点距离时一般会想到焦半径公式：00=,=-r a ex r a ex +左右，此公式来源于椭圆的第二定义。

三、诊断练习1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题。

课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。

将知识问题化，通过问题驱动，使教学言而有物，帮助学生内化知识，初步形成能力．2、诊断练习点评题1．若焦点在x 轴上的椭圆1222=+m y x 的离心率为21，则=m _____________．【分析与点评】焦点在x 轴上的椭圆，对应的,,a b c 一目了然，列出方程求解得23．【变式】：若椭圆1222=+m y x 的离心率为21，则=m ．分析：显然应分焦点在x 轴、y 轴两种情况讨论求解，结果为23或38．题2．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为______________．题3．椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是【分析与点评】让学生画出图形，结合图形确定出基本性质，要让学生注意长轴、短轴的概念，注意与长半轴、短半轴的区别，题4．过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为．【分析与点评】(1)容易求出P 点纵坐标，也就得出1PF 长度，由于1260F PF ∠=，所以a b PF 222=根据定义有ac a a b a PF PF )(33222221-===+，于是有33=e ．(2)求离心率时如何对条件进行转化？——消去b ，寻求,a c 的关系式，消元途径—222b ac =-．【变式】：已知椭圆的长轴长不小于短轴长的4倍，则椭圆的离心率的范围是．【分析与点评】（1）条件4a b ≥怎样转化？结合上例，平方得22221616()a b a c ≥=-，2221516c e a =≤得04e <≤．（2）也可让学生在题4的基础上直接通过图像猜想结论，使学生了解参数,a c 变化后，e 的变化情况（3）离心率问题是考察中常见的题型，教师应引导学生归纳总结求离心率的方法与技巧. 有关离心率问题，往往得到含,,a b c 的方程或不等式，化简方法：利用关系222ba c =-消去b ，得到,ac 的关系式。

高考数学知识点归纳总结全

为为为为p 为q 为为为为┐p 为┐q为为为为q 为p为为为为为┐q 为┐p为为为为为为为为为为为为为为为为高中数学必修+选修知识点归纳必修1数学知识点第一章：集合与函数概念1、集合三要素：确定性、互异性、无序性。

2、常见集合：正整数集合：或，整数集合：*N +N ，有理数集合：，实数集合：.Z Q R 3、并集.记作：.交集.记作：.B A B A 全集、补集{|,}U C A x x U x A =∈∉且(C U A)∩( C U B) = C U (A∪B) (C U A)∪( C U B) = C U (A∩B)；；B B A = A B ⊆⇒简易逻辑：或：有真为真，全假为假。

且：有假为假，全真为真。

非：真假相反原命题：若P 则q ；逆命题：若q 则p ；否命题：若┑P 则┑q；逆否命题：若┑q 则┑p 。

常用变换：①)()()()()()(y f x f y x f y f x f y x f =-⇔=+.证)()(])[()()()()(y f y x f y y x f x f x f y f y x f -=+-=⇔=-②)()()()()((y f x f y x f y f x f yxf +=⋅⇔-=证：)()()()(y f yxf y y x f x f +=⋅=4、设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合f A 中的任意一个数，在集合B 中都x 有惟一确定的数和它对应，那()x f 么就称为集合A 到集合B B A f →:的一个函数，记作：.()A x x f y ∈=,5、定义域1⎧⎪⎨⎪⎩分母不等于零被开方大于等于零对数的幂大于零，底大于零不等于值域：利用函数单调性求出所给区间的最大值和最小值，6、函数单调性：(1)定义法：设那么2121],,[x x b a x x <∈、上是增函数；],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔<-上是减函数.],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔>-步骤：取值—作差—变形—定号—判断(2)导数法：设函数在某个区间内可导，若)(x f y =，则为增函数；若，则0)(>'x f )(x f 0)(<'x f 为减函数.)(x f 7、奇偶性为偶函数：图象关于轴对称.()x f ()()x f x f =-y 函数为奇函数图象关于原点对()x f ()()x f x f -=-称.若奇函数在区间上是递增函数，则()x f y =()+∞,0在区间上也是递增函数．()x f y =()0,∞-若偶函数在区间上是递增函数，则()x f y =()+∞,0在区间上是递减函数．()x f y =()0,∞-函数的几个重要性质：①如果函数对于一切，都有()x f y =R x ∈或f （2a-x ）=f （x ），那函()()x a f x a f -=+数的图象关于直线对称.()x f y =a x = ②函数与函数的图象关于直线()x f y =()x f y -=对称；0=x 函数与函数的图象关于直线()x f y =()x f y -=对称；0=y 函数与函数的图象关于坐标()x f y =()x f y --=原点对称.二、函数与导数1、几种常见函数的导数①；②； ③'C 0=1')(-=n n nxx ； ④；x x cos )(sin '=x x sin )(cos '-=⑤； ⑥； ⑦a a a xx ln )('=xx e e =')(；⑧a x x a ln 1)(log '=xx 1)(ln '=2、导数的运算法则（1）. '''()u v u v ±=±（2）. '''()uv u v uv =+ （3）.'''2()(0)u u v uvv vv-=≠3、复合函数求导法则复合函数的导数和函数(())y f g x =的导数间的关系为，(),()y f u u g x ==x u x y y u '''=⋅即对的导数等于对的导数与对的导数的y x y u u x 乘积.解题步骤:分层—层层求导—作积还原导数的应用：1、在点处的导数的几何意义：)(x f y =0x 函数在点处的导数是曲线在)(x f y =0x )(x f y =处的切线的斜率，相应的切线))(,(00x f x P )(0x f '方程是.))((000x x x f y y -'=-切线方程:过点的切线方程，设切点为()00,P x y ，则切线方程为，()11,x y ()()111'y y f x x x -=-再将P 点带入求出即可1x 2、函数的极值(----列表法) (1)极值定义：极值是在附近所有的点，都有＜，0x )(x f )(0x f 则是函数的极大值；)(0x f )(x f极值是在附近所有的点，都有＞，0x )(x f )(0x f 则是函数的极小值.)(0x f )(x f (2)判别方法：①如果在附近的左侧＞0，右侧0x )('x f ＜0，那么是极大值；)('x f )(0x f ②如果在附近的左侧＜0，右侧0x )('x f ＞0，那么是极小值.)('x f )(0x f 3、求函数的最值(1)求在内的极值（极大或者极小值）()y f x =(,)a b (2)将的各极值点与比较，其()y f x =(),()f a f b 中最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。

新高考数学必考知识点归纳

新高考数学必考知识点归纳新高考数学作为高中数学教育的重要组成部分，其必考知识点覆盖了基础数学的多个领域。

以下是对新高考数学必考知识点的归纳：一、函数与导数- 函数的定义、性质、图像- 一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数- 函数的单调性、奇偶性、周期性- 导数的定义、几何意义、运算法则- 基本导数公式、复合函数的求导法则- 高阶导数、隐函数求导、参数方程求导二、三角函数与解三角形- 三角函数的定义、图像、性质- 正弦定理、余弦定理、正切定理- 三角恒等变换、和差化积、积化和差- 三角函数的反函数、同角三角函数关系三、不等式与方程- 不等式的基本性质、解法- 一元一次不等式、一元二次不等式- 分式不等式、绝对值不等式- 线性方程组、非线性方程组的解法- 一元高次方程的解法四、数列- 数列的概念、分类- 等差数列、等比数列的定义、通项公式、求和公式- 数列的极限、无穷等比数列的求和- 数列的单调性、有界性五、解析几何- 点、线、面的基本性质- 直线的方程、圆的方程、椭圆、双曲线、抛物线的方程- 直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系- 圆锥曲线的参数方程、极坐标方程六、立体几何- 空间直线、平面的基本性质- 空间向量、向量积- 空间直线与平面的位置关系- 多面体、旋转体的体积、表面积七、概率与统计初步- 随机事件的概率、概率的加法公式、乘法公式- 条件概率、独立事件- 离散型随机变量及其分布列、期望、方差- 统计数据的收集、整理、描述八、复数- 复数的概念、复数的运算- 复数的几何意义、复平面- 复数的共轭、模、辐角九、逻辑推理与证明- 逻辑推理的基本形式、演绎推理- 直接证明、反证法、数学归纳法十、数学思想与方法- 数学建模、数学思维- 解题策略、数学方法论新高考数学的备考需要对这些知识点有深入的理解和熟练的运用能力。

通过不断的练习和总结，考生可以提高解题速度和准确率，为高考取得优异成绩打下坚实的基础。

备战高考数学复习考点知识与题型讲解47---数列求和

备战高考数学复习考点知识与题型讲解第47讲数列求和考向预测核心素养通过基本量的运算考查等差、等比数列的求和公式；通过一般数列考查错位相减、裂项相消等方法，可与不等式结合，题目中等偏难. 数学运算、逻辑推理、数学建模一、知识梳理数列求和的常用方法 (1)公式法①等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）d2.②等比数列{a n}的前n 项和S n＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n）1－q ，q ≠1.(2)分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和．(4)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n 项和即可用错位相减法求解．[提醒] 错位相减法求和时，注意最后一项的符号．(5)倒序相加法：如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解．常用结论(1)1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2.(2)2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)． (3)1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2. (4)1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1. (5)1n （n ＋2）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2. (6)1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1； 4n （2n －1）（2n ＋1）＝12n －1＋12n ＋1.(7)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .二、教材衍化1．(人A 选择性必修第二册P 51练习T 2改编)数列{a n }中，a n ＝1n （n ＋1），若{a n }的前n 项和为2 0212 022，则项数n 为()A ．2 019 B.2 020 C.2 021 D.2 022解析：选C.由a n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，得S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝n n ＋1＝2 0212 022，则n ＝2 021.2．(人A 选择性必修第二册P 40练习T 1改编)一个球从100 m 高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10次着地时，经过的路程是()A ．100＋200(1－2－9) B.100＋100(1－2－9) C ．200(1－2－9)D.100(1－2－9)解析：选A.第10次着地时，经过的路程为100＋2(50＋25＋…＋100×2－9)＝100＋2×100×(2－1＋2－2＋…＋2－9)＝100＋200×2－1×（1－2－9）1－2－1＝100＋200(1－2－9)．3．(人A选择性必修第二册P56T11改编 )已知数列{a n}的前n项和为S n且a n＝n·2n，则S n＝________．解析：因为a n＝n·2n，所以S n＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，①所以2S n＝1·22＋2·23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，②①－②，得－S n＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝2（1－2n）1－2－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1＝(1－n)2n＋1－2.所以S n＝(n－1)2n＋1＋2.答案：(n－1)2n＋1＋2一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若数列{a n}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和S n＝a1－a n＋11－q.()(2)当n≥2时，1n2－1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1n－1－1n＋1.()(3)求S n＝a＋2a2＋3a3＋…＋na n时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．()(4)若数列a1，a2－a1，…，a n－a n－1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列{a n}的通项公式是a n＝3n－12.()答案：(1)√(2)√(3)×(4)√二、易错纠偏1．(忽略相加后S n前的系数致误)设数列{a n}的通项公式为a n＝sin2n°，该数列的前n项和为S n，则S89＝________．解析：因为sin(90°－α)＝cos α，所以sin2α＋sin2(90°－α)＝sin2α＋cos2α＝1.因为S89＝sin21°＋sin22°＋…＋sin289°，又S89＝sin289°＋sin288°＋…＋sin21°，两式相加得2S 89＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 289°＋sin 21°)＝1×89＝89，因此，S 89＝892＝44.5. 答案：44.52．(忽略n 的奇偶致误)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n (2n －1)，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________．解析：当n ＝2k (k ∈N *)时，S n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n )＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋[－(2n －3)＋(2n －1)] ＝2＋2＋…＋2＝2k ＝n ；当n ＝2k －1(k ∈N *)时，S n ＝S n －1＋a n ＝(n －1)－(2n －1)＝－n ，所以S n ＝⎩⎨⎧n ，n 为偶数，－n ，n 为奇数，所以S n ＝(－1)n n . 答案：(－1)n n3．(忽略倒序相加后a n 前的系数致误)若f (x )＋f (1－x )＝4，a n ＝f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f (1)(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________．解析：由f (x )＋f (1－x )＝4，可得f (0)＋f (1)＝4，…，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＝4，所以2a n ＝(f (0)＋f (1))＋⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎪⎫n －1n ＋…＋(f (1)＋f (0))＝4(n ＋1)，即a n ＝2(n ＋1)．答案：a n ＝2(n ＋1)考点一分组求和与并项求和(思维发散)复习指导：理解分组求和与并项求和的数列的特征，能对相关数列求和．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n 2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和．【解】 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－（n －1）2＋（n －1）2＝n .a 1也满足a n ＝n ，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)由(1)知a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)n n . 记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )．记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝2（1－22n ）1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n . 故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.本例(2)中，条件不变，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：当n 为偶数时，T n ＝(21＋22＋…＋2n )＋[－1＋2－3＋4＋…－(n －1)＋n ] ＝2－2n ＋11－2＋n 2 ＝2n ＋1－2＋n2.当n 为奇数时，T n ＝(21＋22＋…＋2n )＋[－1＋2－3＋4＋…－(n －2)＋(n －1)－n ]＝2n ＋1－2＋n －12－n＝2n ＋1－n ＋52.综上，T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋1＋n2－2，n 为偶数，2n ＋1－n ＋52，n 为奇数.分组求和与并项求和法的应用策略一般地，如果{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ±b n }或c n ＝⎩⎨⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数的前n 项和S n 时，可采用分组求和法求和．如果c n ＝(－1)n ·a n ，求c n 的前n 项和时，可采用并项求和法求解．|跟踪训练|在等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，a 2是a 1与a 4的等比中项． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n （n ＋1）2，记T n ＝－b 1＋b 2－b 3＋b 4＋…＋(－1)n b n ，求T n .解：(1)由题意知(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，即(a 1＋2)2＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)由题意知b n ＝a n （n ＋1）2＝n (n ＋1)，所以T n ＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)n n (n ＋1)．因为b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)，可得，当n 为偶数时，T n ＝(－b 1＋b 2)＋(－b 3＋b 4)＋...＋(－b n －1＋b n ) ＝4＋8＋12＋ (2)＝n 2（4＋2n ）2＝n （n ＋2）2；当n 为奇数时，T n ＝T n －1＋(－b n )＝（n －1）（n ＋1）2－n (n ＋1)＝－（n ＋1）22，所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－（n ＋1）22，n 为奇数，n （n ＋2）2，n 为偶数.考点二错位相减法求和(综合研析)复习指导：理解错位相减法求和的数列的特征，能对相关数列求和．(2021·高考全国卷乙)设{a n }是首项为1的等比数列，数列{b n }满足b n ＝na n 3.已知a 1，3a 2，9a 3成等差数列．(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)记S n 和T n 分别为{a n }和{b n }的前n 项和．证明：T n <S n2.【解】(1)设{a n }的公比为q ，则a n ＝q n －1.因为a 1，3a 2，9a 3成等差数列，所以1＋9q 2＝2×3q ，解得q ＝13，故a n ＝13n －1，b n ＝n 3n.(2)证明：由(1)知S n ＝1－13n1－13＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ，T n ＝13＋232＋333＋…＋n3n ①，13T n ＝132＋233＋334＋…＋n －13n ＋n3n ＋1②， ①－②得23T n ＝13＋132＋133＋…＋13n －n 3n ＋1，即23T n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13－n 3n ＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－13n －n3n ＋1，整理得T n ＝34－2n ＋34×3n，则2T n －S n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫34－2n ＋34×3n －32⎝⎛⎭⎪⎫1－13n ＝－n 3n <0，故T n<S n 2.错位相减法求和(1)掌握解题“3步骤”(2)注意解题“3关键”①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．②在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式．③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q ＝1和q ≠1两种情况求解．|跟踪训练|(2020·高考全国卷Ⅰ)设{a n }是公比不为1的等比数列，a 1为a 2，a 3的等差中项． (1)求{a n }的公比；(2)若a 1＝1，求数列{na n }的前n 项和．解：(1)设{a n }的公比为q ，因为a 1为a 2，a 3的等差中项，所以2a 1＝a 2＋a 3＝a 1q ＋a 1q 2，a 1≠0，所以q 2＋q －2＝0，因为q ≠1，所以q ＝－2.(2)设{na n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，由(1)得a n ＝(－2)n －1，S n ＝1×1＋2×(－2)＋3×(－2)2＋…＋n (－2)n －1，①－2S n ＝1×(－2)＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋(n －1)×(－2)n －1＋n (－2)n ，② ①－②得，3S n ＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n －1－n ×(－2)n ＝1－（－2）n 1－（－2）－n (－2)n ＝1－（1＋3n ）（－2）n 3，所以S n ＝1－（1＋3n ）（－2）n 9，n ∈N *.考点三裂项相消法求和(综合研析)复习指导：理解裂项相消法求和的数列的特征，能对相关数列求和．(链接常用结论（4）)数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1.现在给你三个条件．①a n ＋1＝2a n .②S n ＝2a n ＋t .③S n ＝2n ＋k .从上述三个条件中，选一个填在下面问题的横线上，并完成后面问题的解答．已知________，若b n ＝log 2a n ＋1，{b n }的前n 项和为T n . (1)求T n ；(2)求证：数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1T n 的前n 项和A n <2.【解】若选①.由a 1＝1，a n ＋1＝2a n 知，数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以a n ＝1×2n －1＝2n －1.(1)所以b n ＝log 22n ＝n .b n ＋1－b n ＝n ＋1－n ＝1.所以{b n }是首项为1，公差为1的等差数列．所以T n ＝n ×1＋n （n －1）2×1＝n （n ＋1）2.(2)证明：A n ＝1T 1＋1T 2＋…＋1T n＝21×2＋22×3＋…＋2n （n ＋1）＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝2n n ＋1<2（n ＋1）n ＋1＝2.所以A n <2. 若选②.由a 1＝1，S n ＝2a n ＋t 得，当n ＝1时，1＝2×1＋t ，所以t ＝－1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，所以a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列．下与选①相同．若选③.由a 1＝1，S n ＝2n ＋k 知，当n ＝1时，1＝21＋k ，k ＝－1.当n ≥2时，a n ＝S n－S n －1＝(2n －1)－(2n －1－1)＝2n －1.下与选①相同．裂项相消法求和(1)基本步骤(2)裂项原则一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． (3)消项规律消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．|跟踪训练|已知数列{a n }，{b n }满足a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，对任意n ∈N *，都有b 1a 1a 2＋b 2a 2a 3＋…＋b na n an＋1＞λ（－1）nan＋1，求实数λ的取值范围．解：由题意得b1a1a2＋b2a2a3＋…＋bnanan＋1＝20（21－1）（22－1）＋21（22－1）（23－1）＋…＋2n－1（2n－1）（2n＋1－1）＝12⎣⎢⎡⎝⎛⎭⎪⎫121－1－122－1＋⎝⎛⎭⎪⎫122－1－123－1＋…＋⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫12n－1－12n＋1－1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n＋1－1＞(－1)n·λ·12n＋1－1，两边同乘以2n＋1－1(n≥1时，2n＋1－1＞0)，得2n－1＞(－1)n·λ，所以当n为偶数时，λ＜2n－1恒成立，2n－1≥22－1＝3，故λ＜3；当n为奇数时，λ＞1－2n恒成立，1－2n≤1－2＝－1，故λ＞－1.综上可得－1＜λ＜3.[A 基础达标]1．设数列{a n}(n∈N*)的各项均为正数，前n项和为S n，log2a n＋1＝1＋log2a n，且a3＝4，则S6＝()A．128 B.65C.64D.63解析：选D.因为log2an＋1＝1＋log2an，所以log2an＋1＝log22a n，即a n＋1＝2a n，即数列{a n}是以2为公比的等比数列，又a3＝4，所以a1＝a34＝1，因此S 6＝a 1（1－26）1－2＝26－1＝63.2．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝S n ＋2a n ＋1，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2n a n a n ＋1的前n 项和为T n ，n ∈N *，则下列结论错误的是()A ．{a n ＋1}是等差数列 B.{a n ＋1}是等比数列C ．a n ＝2n －1D.T n <1解析：选A.因为S n ＋1＝S n ＋2a n ＋1，所以S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝2a n ＋1，因为a 1＝1，则a 2＝3，a 3＝7，…，以此类推可知，对任意的n ∈N *，a n >0，所以，a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，则a n ＋1＋1a n ＋1＝2，故数列{a n ＋1}是首项为a 1＋1＝2，公比为2的等比数列，所以a n ＋1＝2×2n －1＝2n ，所以a n ＝2n －1.因为2na n a n ＋1＝2n （2n －1）（2n ＋1－1）＝12n －1－12n ＋1－1，所以，T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－122－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1－123－1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1－1＝1－12n ＋1－1<1.所以，BCD 选项正确，A 选项错误．3．已知数列{a n }中，a n ＝2n －1，记[x ]表示不超过x 的最大整数，b n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a n 2 020＋1.若数列{b n }的前n 项和为T n ，则使得T n ≥2 020成立的n 的最小值为()A ．1 179 B.1 178 C.2 019D.2 020解析：选A.因为a n ＝2n －1，所以b n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a n 2 020＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4n －22 020＋1，n ∈N *，当n ∈[1，505]时，4n －2≤2 018，b n ＝1；当n ∈[506，1 010]时，2 020＜4n －2≤4 038，b n ＝2；当n ∈[1 011，1 515]时，4 040＜4n －2≤6 058，b n ＝3. 因为T 1 010＝505＋505×2＝1 515，(2 020－1 515)÷3≈168.3，所以使T n ≥2 020成立的n 的最小值为1 010＋169＝1 179.4．(多选)已知数列{a n }满足a 1＝32，a n ＝a 2n －1＋a n －1(n ≥2，n ∈N *)．记数列{a 2n }的前n 项和为A n ，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ＋1的前n 项和为B n ，则下列结论正确的是()A ．A n ＝a n ＋1－32B.B n ＝23－1a n ＋1C.A n B n ＝32a nD.A n B n <32n ＋14解析：选ABD.由a n ＝a 2n －1＋a n －1，得a 2n －1＝a n －a n －1≥0，所以a n ≥a n －1≥32，A n ＝a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n ＋1－a n )＝a n ＋1－a 1＝a n ＋1－32，故A 正确；由a n ＝a 2n －1＋a n －1＝a n －1(a n －1＋1)，得1a n ＝1a n －1（a n －1＋1）＝1a n －1－1a n －1＋1，即1a n －1＋1＝1a n －1－1a n ，所以B n ＝1a 1＋1＋1a 2＋1＋…＋1a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1＝1a 1－1a n ＋1＝23－1a n ＋1，故B 正确；易知A n ≠0，B n ≠0，所以A nB n ＝a n ＋1－3223－1a n ＋1＝32a n ＋1，故C 不正确；易知a n ＝a 2n －1＋a n －1<2a 2n －1，所以a n ＋1<2a 2n <23a 4n －1<…<22n －1a 2n1＝22n －1×⎝ ⎛⎭⎪⎫322n ＝12×32n ，所以A n B n ＝32a n ＋1<32×12×32n＝32n ＋14，故D 正确．5．(2022·南京金陵中学适应性训练)数列{a n }的通项公式为a n ＝n cos n π2，其前n项和为S n ，则S 2 024＝________．解析：a n ＝n cosn π2，观察此数列规律如下：a 1＝0，a 2＝－2，a 3＝0，a 4＝4，故S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝2.a5＝0，a6＝－6，a7＝0，a8＝8，故a5＋a6＋a7＋a8＝2.因此{a n}从左到右每连续4项和都为2，所以S2 024＝2 0244×2＝1 012.答案：1 0126．(2022·石家庄模拟)已知数列{a n}满足a1＝1，且a n＋1＋a n＝n－1 009(n∈N*)，则其前2 021项之和S2 021＝________．解析：S2 021＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a2 020＋a2 021)，又a n＋1＋a n＝n－1 009(n∈N*), 且a1＝1，所以S2 021＝1＋(2－1 009)＋(4－1 009)＋…＋(2 020－1 009)＝1＋(2＋4＋6＋…＋2 020)－1 009×1 010＝1＋2＋20202×1 010－1 009×1 010＝2 021.答案：2 0217．已知数列{na n}的前n项和为S n，且a n＝2n，则使得S n－na n＋1＋50<0的最小正整数n的值为________．解析：S n＝1×21＋2×22＋…＋n×2n，则2S n＝1×22＋2×23＋…＋n×2n＋1，两式相减得－S n＝2＋22＋…＋2n－n·2n＋1＝2（1－2n）1－2－n·2n＋1，故S n＝2＋(n－1)·2n＋1.又a n＝2n，所以S n－na n＋1＋50＝2＋(n－1)·2n＋1－n·2n＋1＋50＝52－2n＋1，依题意52－2n＋1<0，故最小正整数n的值为5.答案：58．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝3，nS n＋1＝(n＋1)S n＋2(n2＋n－1)．(1)证明数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n －2n 是等差数列，并求{a n }的通项公式； (2)若b n ＝2n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由题意知，S 1＝a 1＝3，则S 1－21＝1.nS n ＋1＝(n ＋1)S n ＋2(n 2＋n －1)可化为n (S n ＋1－2)＝(n ＋1)(S n －2)＋2n (n ＋1)，即S n ＋1－2n ＋1＝S n －2n＋2. 因而数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n －2n 是首项为1，公差为2的等差数列，所以S n －2n＝1＋(n －1)×2＝2n －1，S n ＝2n 2－n ＋2. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －3，而a 1＝3不符合该式，因而数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧3，n ＝1，4n －3，n ≥2.(2)由(1)知，b n ＝2n·a n ＝⎩⎨⎧2×3，n ＝1，2n ·（4n －3），n ≥2，则T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n －1＋b n＝2×3＋22×5＋23×9＋…＋2n －1×(4n －7)＋2n ×(4n －3)，① 2T n ＝22×3＋23×5＋24×9＋…＋2n ×(4n －7)＋2n ＋1×(4n －3)，② ①－②得，－T n ＝2×3＋22×2＋23×4＋24×4＋…＋2n ×4－2n ＋1×(4n －3) ＝－2＋22×4＋23×4＋24×4＋…＋2n ×4－2n ＋1×(4n －3) ＝－2＋22×4×（2n －1－1）2－1－2n ＋1×(4n －3)＝2n ＋1×(－4n ＋7)－18. 所以T n ＝2n ＋1×(4n －7)＋18.9．(2022·辽宁省名校联盟高三联合考试)已知数列{a n }满足a 3＝16，a n ＋1＝a n2a n ＋1.(1)求证：数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)若________，求数列{b n }的前n 项和T n . (在①b n ＝a n a n ＋1；②b n ＝（－1）na n；③b n ＝1a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫131an 三个条件中选择一个补充在第(2)问中，并对其求解，如果多写按第一个计分)解：(1)显然a n ≠0，将a n ＋1＝a n 2a n ＋1两边同时取倒数得1a n ＋1＝2a n ＋1a n＝1a n＋2，即1a n ＋1－1a n ＝2，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是公差为2的等差数列，所以1a n ＝1a 3＋(n －3)×2＝2n ，所以a n ＝12n. (2)选①：由已知得b n ＝12n ·12n ＋2＝14n （n ＋1）＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，那么数列{b n }的前n 项和T n ＝14⎝ ⎛1－12＋12－13⎭⎪⎫＋…＋1n －1n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n4n ＋4.选②：由已知得b n ＝(－1)n 2n ，那么数列{b n }的前n 项和T n ＝－2＋4－6＋8－…＋(－1)n 2n ，当n 为偶数时，T n ＝2×n2＝n ；当n 为奇数时，T n ＝－2＋(－2)×n －12＝－n －1.故T n ＝⎩⎨⎧n ，n ＝2k －n －1，n ＝2k －1(k ∈N *)．选③：由已知得b n ＝2n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132n ＝2n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫19n，那么数列{b n }的前n 项和T n ＝(2＋4＋…＋2n )＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫192＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫19n＝（2＋2n ）n 2＋19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19n 1－19＝n 2＋n ＋18⎝⎛⎭⎪⎫1－19n . 10．(2022·黄山模拟)已知递增的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 1＝1，S 2，S 3－1，S 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)已知b n ＝（－1）n （4n ＋4）a n ＋1a n ＋2，求数列{b n }的前2n 项和T 2n .解：(1)由S 1＝1知等差数列{a n }首项为1，所以S n ＝n ＋n （n －1）2d ，由S 2，S 3－1，S 4成等比数列可得(S 3－1)2＝S 2S 4，所以(2＋3d )2＝(2＋d )(4＋6d )，解得d ＝2或d ＝－23(舍去)，所以a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1. (2)因为b n ＝（－1）n （4n ＋4）a n ＋1a n ＋2＝（－1）n （4n ＋4）（2n ＋1）（2n ＋3）＝(－1)n⎝⎛⎭⎪⎫12n ＋1＋12n ＋3，所以T 2n ＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n －1＋b 2n＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋17－⎝ ⎛⎭⎪⎫17＋19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫19＋111＋…－⎝⎛⎭⎪⎫14n －1＋14n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1＋14n ＋3 ＝－13＋14n ＋3＝－4n 3（4n ＋3）.[B 综合应用]11．已知函数f (x )＝x ，令a n ＝f (n ＋1)＋f (n )，n ∈N*，记数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 的前n 项和为S n ，则S n ＝10时，n 的值是()A ．10 B.120 C.130D.140解析：选B.a n ＝n ＋1＋n ，从而1a n＝n ＋1－n ，故S n ＝2－1＋3－2＋…＋n ＋1－n ＝n ＋1－1，从而n ＋1－1＝10，所以n ＝120.12．(2022·成都诊断性检测)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝n2，记数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和为T n ，n ∈N *，则使得T n ＜2041成立的n 的最大值为() A ．17 B.18 C.19D.20解析：选C.当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1①，当n ＝1时满足①，所以a n ＝2n －1(n ∈N *)，所以1a n a n ＋1＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和T n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1，由12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＜2041，解得n ＜20，故使得T n ＜2041成立的n 的最大值为19. 13．(2022·济宁邹城期中)十九世纪法国数学家卢卡斯提出数列{L n }：2，1，3，4，7，…，称之为卢卡斯数列，且满足L 1＝2，L 2＝1，L n ＋1＝L n ＋L n －1(n ≥2)，则L 12＝________；记S n 为数列{L n }的前n 项和，若L 2 023＝t ，则S 2 021＝________．解析：由L 1＝2，L 2＝1，L n ＋1＝L n ＋L n －1(n ≥2)，得L 3＝L 2＋L 1＝1＋2＝3，L 4＝L 3＋L 2＝3＋1＝4，L 5＝L 4＋L 3＝4＋3＝7，L 6＝L 5＋L 4＝7＋4＝11，L 7＝L 6＋L 5＝11＋7＝18，L 8＝L 7＋L 6＝18＋11＝29，L 9＝L 8＋L 7＝29＋18＝47，L 10＝L 9＋L 8＝47＋29＝76，L 11＝L 10＋L 9＝76＋47＝123，L 12＝L 11＋L 10＝123＋76＝199，L2 023＝L2 022＋L2 021＝L2 021＋L2 020＋L2 020＋L2 019＝L2 021＋L2 020＋L2 019＋L2 018＋L2 018＋L2 017＝…＝L2 021＋L2 020＋L2 019＋…＋L3＋L2＋L1＋L2＝S2 021＋L2，故S2 021＝L2 023－L2＝t－1.答案：199t－1[C 素养提升]14．已知数列{a n}的首项a1＝5，前n项和为S n，满足S n－n2＝n(a n－1)．(1)证明数列{a n}为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{b n}满足b n＝(－1)n n(a n＋2n－4)＋2n，求数列{b n}的前n项和T n.解：(1)S n－n2＝n(a n－1)，即S n＝na n＋n2－n，①当n≥2时，S n－1＝(n－1)a n－1＋(n－1)2－(n－1)．②①－②，得(n－1)a n－(n－1)a n－1＋2(n－1)＝0.因为n≥2，所以a n－a n－1＝－2.所以数列{a n}是以5为首项，－2为公差的等差数列．所以a n＝a1＋(n－1)d＝－2n＋7.(2)由(1)得b n＝(－1)n n(a n＋2n－4)＋2n＝(－1)n3n＋2n，所以T n＝b1＋b2＋…＋b n＝(－3×1＋2×1)＋(3×2＋2×2)＋(－3×3＋2×3)＋(3×4＋2×4)＋…＋(－1)n3n＋2n＝－3[1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1)n＋1n]＋2(1＋2＋3＋4＋…＋n)，于是，当n为奇数时，T n＝－3×n＋1 2＋n(n＋1)＝（2n－3）（n＋1）2；当n为偶数时，T n＝3n2＋n(n＋1)＝n（2n＋5）2.所以数列{b n}的前n项和T n＝⎩⎪⎨⎪⎧（2n －3）（n ＋1）2，n 为奇数，n （2n ＋5）2，n 为偶数.15．在①a 3＋a 5＝14；②S 4＝28；③a 8是a 5与a 13的等比中项，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．问题：已知{a n }为公差不为零的等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，其前n 项和T n ＝2n ＋λ，λ为常数，a 1＝b 1，________．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)令c n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 100的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：设数列{b n }的公比为q ，由已知b 2＝T 2－T 1＝2，b 3＝T 3－T 2＝4，所以q ＝b 3b 2＝2，故b n ＝b 2q n －2＝2×2n －2＝2n －1；a 1＝b 1＝1，若选①：(1)不妨设{a n }的公差为d ，则1＋2d ＋1＋4d ＝14，解得d ＝2，所以a n ＝2n －1.(2)由c n ＝[lg a n ]，得c 1＝c 2＝c 3＝c 4＝c 5＝0，c 6＝c 7＝…＝c 50＝1，c 51＝c 52＝…＝c 100＝2，所以c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 100＝45×1＋50×2＝145. 若选②：(1)不妨设{a n }的公差为d ，则4×1＋4×32×d ＝28，解得d ＝4，所以a n ＝4n －3.(2)由c n ＝[lg a n ]，得c 1＝c 2＝c 3＝0，c 4＝c 5＝…＝c 25＝1，c 26＝c 27＝…＝c 100＝2，所以c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 100＝1×22＋2×75＝172.若选③：(1)不妨设{a n }的公差为d ，则(1＋7d )2＝(1＋4d )(1＋12d )，因为d ≠0，解得d ＝2，所以a n ＝2n －1. (2)由c n ＝[lg a n ]，得c1＝c2＝c3＝c4＝c5＝0，c6＝c7＝…＝c50＝1，c＝c52＝…＝c100＝2，51所以c1＋c2＋c3＋…＋c100＝1×45＋2×50＝145.21 / 21。

高考数学二轮复习考点知识讲解与练习47---直线、平面平行的判定与性质

高考数学二轮复习考点知识讲解与练习第47讲直线、平面平行的判定与性质考点知识：1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题．知识梳理1．直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行．(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α性质定理一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b的交线与该直线平行2.平面与平面平行(1)平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫做平行平面．(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，a∥β，b∥β⇒α∥β性质定理两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面α∥β，a⊂α⇒a∥β如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b1．平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.2．三种平行关系的转化诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．( )(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．( )(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( )(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( )答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)若一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行或在平面内，故(1)错误．(2)若a∥α，P∈α，则过点P且平行于a的直线只有一条，故(2)错误．(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交，故(3)错误．2．下列说法中，与“直线a∥平面α”等价的是( )A．直线a上有无数个点不在平面α内B．直线a与平面α内的所有直线平行C．直线a与平面α内无数条直线不相交D．直线a与平面α内的任意一条直线都不相交答案 D解析因为a∥平面α，所以直线a与平面α无交点，因此a和平面α内的任意一条直线都不相交，故选D.3.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．答案平行四边形解析∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形．4．(2021·太原质检)平面α∥平面β的一个充分条件是( )A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α答案 D解析若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，a∥α，a∥β，故排除A；若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B；若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C；故选D.5．(2022·长春调研)已知α，β表示两个不同的平面，直线m是α内一条直线，则“α∥β”是“m∥β”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案 A解析由α∥β，m⊂α，可得m∥β；反过来，由m∥β，m⊂α，不能推出α∥β.综上，“α∥β”是“m∥β”的充分不必要条件．6．(2021·衡水中学检测)如图，四棱锥P－ABCD中，AB＝BC＝12AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点．则CE与平面PAB的关系是________．答案平行解析取PA的中点F，连接EF，BF，∵E 是PD 中点，知EF 綉12AD ，又∠BAD ＝∠ABC ＝90°，BC ＝12AD ，∴BC 綉12AD ，从而BC 綉EF ，则四边形BCEF 为平行四边形，故CE ∥AF ，又BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，所以CE ∥平面PAB .考点一与线、面平行相关命题的判定1．(2019·全国Ⅱ卷)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( ) A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面答案 B解析若α∥β，则α内有无数条直线与β平行，当α内无数条直线互相平行时，α与β可能相交；若α，β平行于同一条直线，则α与β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一个平面，则α与β可以平行也可以相交，故A ，C ，D 中条件均不是α∥β的充要条件．根据两平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之也成立．因此B 中条件是α∥β的充要条件． 2．(2021·西安质检)设a ，b 为两条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列命题正确的是( )A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥bC．若a∥α，a∥β，则α∥βD．若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b答案 D解析A不正确：a∥b或a与b相交或异面；B不正确，a∥b或a与b是异面直线；C不正确，α∥β或平面α与β相交．D正确，根据面面平行的性质，可得a∥b.3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列结论正确的是________(填序号)．①AD1∥BC1；②平面AB1D1∥平面BDC1；③AD1∥DC1；④AD1∥平面BDC1.答案①②④解析如图，因为AB綉C1D1，所以四边形AD1C1B为平行四边形．故AD1∥BC1，从而①正确；易证BD∥B1D1，AB1∥DC1，又AB1∩B1D1＝B1，BD∩DC＝D，1故平面AB1D1∥平面BDC1，从而②正确；由图易知AD1与DC1异面，故③错误；因为AD1∥BC1，AD1⊄平面BDC1，BC1⊂平面BDC1，所以AD1∥平面BDC1，故④正确．感悟升华直线、平面间平行的判定方法(1)关注是否符合判定定理与性质定理，并注意定理中易忽视的条件．(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．(3)利用实物进行空间想象，比较判断．(4)熟记一些常见结论，如垂直于同一条直线的两个平面平行等．考点二直线与平面平行的判定与性质角度1 直线与平面平行的判定【例1】(2019·全国Ⅰ卷)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．(1)证明：MN∥平面C1DE；(2)求点C到平面C1DE的距离．(1)证明如图，连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝12B1C.又因为N为A1D的中点，所以ND＝12A1D.由题设知A1B1綉DC，可得B1C綉A1D，故ME綉ND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MN∥ED.又MN⊄平面C1DE，DE⊂平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.(2)解过点C作C1E的垂线，垂足为H.由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，又BC∩C1C＝C，BC，C1C⊂平面C1CE，所以DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH.所以CH⊥平面C1DE，故CH的长即为点C到平面C1DE的距离．由已知可得CE＝1，C1C＝4，所以C1E＝17，故CH＝417 17.从而点C到平面C1DE的距离为417 17.感悟升华 1.利用线面平行的判定定理证明直线与平面平行的关键是在平面内找到一条与已知直线平行的直线．2．利用面面平行的性质证明线面平行时，关键是构造过该直线与所证平面平行的平面，这种方法往往借助于比例线段或平行四边形．【训练1】如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：GH∥平面PAD.证明如图，连接AC交BD于点O，连接MO，因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是AC的中点．又M是PC的中点，所以AP∥OM.根据直线和平面平行的判定定理，则有PA∥平面BMD.因为平面PAHG∩平面BMD＝GH，根据直线和平面平行的性质定理，所以PA∥GH.因为GH⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，所以GH∥平面PAD.角度2 线面平行的性质定理的应用【例2】(2021·河南、江西五岳联考)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠DAB＝90°，AB＝BC＝PA＝12AD＝2，E为PB的中点，F是PC上的点．(1)若EF∥平面PAD，证明：F为PC的中点；(2)求点C到平面PBD的距离．(1)证明因为BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD.因为P∈平面PBC，P∈平面PAD，所以可设平面PBC∩平面PAD＝PM，又因为BC⊂平面PBC，所以BC∥PM，因为EF∥平面PAD，EF⊂平面PBC，所以EF∥PM，从而得EF∥BC.因为E为PB的中点，所以F为PC的中点．(2)解因为PA⊥底面ABCD，∠DAB＝90°，AB＝BC＝PA＝12AD＝2，所以PB＝PA2＋AB2＝22，PD＝PA2＋AD2＝25，BD＝BA2＋AD2＝25，所以S △DPB ＝12PB ·DP 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12PB 2＝6.设点C 到平面PBD 的距离为d ，由V C －PBD ＝V P －BCD ，得13S △DPB ·d ＝13S △BCD ·PA ＝13×12×BC ×AB ×PA ，则6d ＝12×2×2×2，解得d ＝23.感悟升华在应用线面平行的性质定理进行平行转化时，一定注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交，这时才有直线与交线平行．【训练2】如图所示，已知四边形ABCD 是正方形，四边形ACEF 是矩形，M 是线段EF 的中点．(1)求证：AM ∥平面BDE ；(2)若平面ADM ∩平面BDE ＝l ，平面ABM ∩平面BDE ＝m ，试分析l 与m 的位置关系，并证明你的结论．(1)证明如图，记AC 与BD 的交点为O ，连接OE .因为O ，M 分别为AC ，EF 的中点，四边形ACEF 是矩形，所以四边形AOEM 是平行四边形，所以AM ∥OE .又因为OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，所以AM∥平面BDE.(2)解l∥m，证明如下：由(1)知AM∥平面BDE，又AM⊂平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，所以l∥AM，同理，AM∥平面BDE，又AM⊂平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，所以m∥AM，所以l∥m.考点三面面平行的判定与性质【例3】(经典母题)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A 1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.证明(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，则GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB，∴A1G綉EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.【迁移1】在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“D1，D分别为B1C1，BC的中点”，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明如图所示，连接A1C交AC1于点M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1，又由三棱柱的性质及D ，D 1分别为BC ，B 1C 1的中点知，D 1C 1綉BD ， ∴四边形BDC 1D 1为平行四边形，∴DC 1∥BD 1. 又DC 1⊄平面A 1BD 1，BD 1⊂平面A 1BD 1， ∴DC 1∥平面A 1BD 1，又DC 1∩DM ＝D ，DC 1，DM ⊂平面AC 1D ，因此平面A 1BD 1∥平面AC 1D .【迁移2】在本例中，若将条件“E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点”变为“点D ，D 1分别是AC ，A 1C 1上的点，且平面BC 1D ∥平面AB 1D 1”，试求ADDC的值．解连接A 1B 交AB 1于O ，连接OD 1. 由平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，且平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1，平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O ，所以BC 1∥D 1O ，则A 1D 1D 1C 1＝A 1OOB＝1. 又由题设A 1D 1D 1C 1＝DC AD， ∴DC AD ＝1，即ADDC＝1. 感悟升华 1.判定面面平行的主要方法 (1)利用面面平行的判定定理．(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行)．2．面面平行条件的应用(1)两平面平行，分别构造与之相交的第三个平面，交线平行．(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行．提醒利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个平面内的两条直线是相交直线．【训练3】(2021·成都五校联考)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA ＝PD，AB＝AD，PA⊥PD，AD⊥CD，∠BAD＝60°，M，N分别为AD，PA的中点．(1)证明：平面BMN∥平面PCD；(2)若AD＝6，求三棱锥P－BMN的体积．(1)证明连接BD，如图所示．∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD为正三角形．∵M为AD的中点，∴BM⊥AD.∵AD⊥CD，CD，BM⊂平面ABCD，∴BM∥CD.又BM⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴BM∥平面PCD.∵M，N分别为AD，PA的中点，∴MN∥PD. 又MN⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，∴MN∥平面PCD.又BM，MN⊂平面BMN，BM∩MN＝M，∴平面BMN∥平面PCD.(2)解在(1)中已证BM⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD，BM⊂平面ABCD，∴BM⊥平面PAD.又AD＝6，∠BAD＝60°，∴BM＝3 3.∵PA＝PD，PA⊥PD，AD＝6，∴PA＝PD＝32AD＝32，∵M，N分别为AD，PA的中点，∴S△PMN＝14S△PAD＝14×12×(32)2＝94.∴三棱锥P－BMN的体积V＝V B－PMN＝13S△PMN·BM＝13×94×33＝934.A级基础巩固一、选择题1．下列命题中正确的是( )A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α答案 D解析A中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线也可能异面；C中，两平面可相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知b∥α，正确．2．如果AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是( )A．平行 B．相交C．AC在此平面内 D．平行或相交答案 A解析把这三条线段放在正方体内可得如图，显然AC∥EF，AC⊄平面EFG，∵EF⊂平面EFG，故AC∥平面EFG，故选A.3．(2021·重庆联考)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且DEEB＝DFFD1＝12，G在CC1上且平面AEF∥平面BD1G，则CGCC1＝( )A.12B．13C．23D．14答案 B解析如图所示，延长AE交CD于H，连接FH，则△DEH∽△BEA，所以DHAB＝DEEB＝12.因为平面AEF∥平面BD1G，平面AEF∩平面CDD1C＝FH，平面BD1G∩平面CDD1C1＝D1G，所以FH∥D1G.又四边形CDD1C1是平行四边形，所以△DFH∽△C1GD1，所以DFC1G＝DHC1D1，因为DHC1D1＝DHAB＝12，所以DFC1G＝12，因为DFFD1＝12，所以FD1＝C1G，DF＝CG，所以CGCC1＝13，故选B.4. (2021·兰州诊断)如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是( )A．异面 B．平行 C．相交 D．以上均有可能答案 B解析在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，∵AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，∴A1B1∥平面ABC.∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE，∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.5．(2021·河南名校联考)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是BB1，DD1，A1B1的中点，则下列说法错误的是( )A．B1D∥平面A1FC1 B．CE∥平面A1FC1C．GE∥平面A1FC1 D．AE∥平面A1FC1答案 C解析作出图形如图所示，观察可知，B1D∥FO，CE∥A1F，AE∥C1F，又FO⊂平面A1FC1，A 1F⊂平面A1FC1，C1F⊂平面A1FC1，B1D⊄平面A1FC1，CE⊄平面A1FC1，AE⊄平面A1FC1，所以选项A，B，D正确；因为GE∥A1B，所以GE与平面A1FC1相交，所以选项C错误，故选C.6．若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥中与平面α平行的棱有( ) A．0条 B．1条 C．2条 D．1条或2条答案 C解析如图所示，平面α即平面EFGH，则四边形EFGH为平行四边形，则EF∥GH.∵EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，∴EF∥平面BCD.又∵EF⊂平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，∴EF∥CD.又EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH.∴CD∥平面EFGH，同理，AB∥平面EFGH，所以与平面α(平面EFGH)平行的棱有2条．二、填空题7.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则EF＝________.答案 2解析根据题意，因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面AB1C＝AC，所以EF ∥AC.又E是AD的中点，所以F是CD的中点．因为在Rt△DEF中，DE＝DF＝1，故EF＝ 2. 8．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.可以填入的条件有________(填序号)．答案①或③解析由面面平行的性质定理可知，①正确；当m∥γ，n∥β时，n和m可能平行或异面，②错误；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以m∥n，③正确．9.如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)．答案点M在线段FH上(或点M与点H重合)解析连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，且FH∩HN＝H，D1D∩BD＝D，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，则MN⊂平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.三、解答题10．(2021·绵阳诊断)如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，点E、F分别是线段AD，PB的中点，PA＝AB＝2.(1)证明：EF∥平面PCD；(2)求三棱锥F－PCD的体积．(1)证明取PC的中点G，连接DG，FG.∵四边形ABCD为正方形，且DE綉12BC，FG∥BC，且FG＝12BC，∴DE∥FG且DE＝FG，∴四边形DEFG为平行四边形，∴EF∥DG，又∵EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，∴EF∥平面PCD.(2)解∵EF∥平面PCD，∴F到平面PCD的距离等于E到平面PCD的距离，∴V F－PCD＝V E－PCD＝12VA－PCD＝12VP－ACD.∵PA⊥平面ABCD，∴V P－ACD＝13×S△ACD×PA＝13×12×22×2＝43.∴V F－PCD＝12VP－ACD＝23.11.如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.证明(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，因为四边形ADEF为平行四边形，所以O为AE的中点．连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.因为M为AB的中点，N为AD的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG.B级能力提升12.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为( )A. 2 B．98C． 3 D．62答案 B解析如图1，分别取B1C1，C1D1的中点E，F，连接EF，BE，DF，B1D1，ME，易知EF∥B1D1∥BD，AB∥ME，AB＝EM，所以四边形ABEM为平行四边形，则AM∥BE，又BD和BE为平面BDFE内的两条相交直线．图1 图2所以平面AMN∥平面BDFE，即平面BDFE为平面α，BD＝2，EF＝12B1D1＝22，得四边形BDFE为等腰梯形，DF＝BE＝5 2，在等腰梯形BDFE如图2中，过E，F作BD的垂线，则四边形EFGH为矩形，∴其高FG＝DF2－DG2＝54－18＝324，故所得截面的面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋2×324＝98.13．在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，则点Q 满足条件________时，有平面D 1BQ ∥平面PAO . 答案 Q 为CC 1的中点解析如图所示，设Q 为CC 1的中点，因为P 为DD 1的中点，所以QB ∥PA .连接DB ，因为P ，O 分别是DD 1，DB 的中点，所以D 1B ∥PO ，又D 1B ⊄平面PAO ，QB ⊄平面PAO ，PO ⊂平面PAO ，PA ⊂平面PAO ，所以D 1B ∥平面PAO ，QB ∥平面PAO ，又D 1B ∩QB ＝B ，所以平面D 1BQ ∥平面PAO .故Q 为CC 1的中点时，有平面D 1BQ ∥平面PAO .14．(2021·西安调研)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，E ，F 分别是BC ，A 1C 1的中点，△ABC 是边长为2的等边三角形，AA 1＝2AB .(1)求证：EF ∥平面ABB 1A 1； (2)求点C 到平面AEF 的距离．(1)证明如图，取AB 的中点D ，连接DE ，A 1D . 因为E 是BC 的中点，所以DE ∥AC ，且DE ＝12AC .由三棱柱的性质知AC ∥A 1C 1. 因为F 是A 1C 1的中点，所以A 1F ∥AC ，且A 1F ＝12AC ，所以A 1F ∥DE ，且A 1F ＝DE ，所以四边形DEFA 1是平行四边形．所以EF ∥DA 1.又因为EF ⊄平面ABB 1A 1，DA 1⊂平面ABB 1A 1，所以EF ∥平面ABB 1A 1.(2)解由题可得V F －ACE ＝13×AA 1×S △ACE ＝13×4×12×34×22＝233.在△AEF 中，易求得AE ＝3，AF ＝17，EF ＝17， AE 边上的高为17－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝652，所以S △AEF ＝12×652×3＝1954.设点C 到平面AEF 的距离为h ，则V C－AEF＝13×h×S△AEF＝233，解得h＝865 65.。

2020年高考数学(文科)一轮复习第47讲直线与圆圆与圆的位置关系

听课手册第47讲直线与圆圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系设圆C的半径为r(r>0),圆心到直线l的距离为d,则直线与圆的位置关系可用下表表示:位置关系图示公共点个数几何特征代数特征(直线与圆的方程组成的方程组的解的情况)相离无实数解(续表)位置关系图示公共点个数几何特征代数特征(直线与圆的方程组成的方程组的解的情况)相切d=r相交22.两圆的位置关系设两圆的半径分别为R,r(R>r),两圆圆心间的距离为d,则两圆的位置关系可用下表表示:位置关系图示(R>r)公共点个数几何特征(|O1O2|=d)代数特征(两个圆的方程组成的方程组的解的情况)外离0无实数解外切1两组相同实数解相交2两组不同实数解内切1 两组相同实数解内含0 无实数解常用结论 1.圆的切线(1)过圆x 2+y 2=r 2上一点P (x 0,y 0)的圆的切线方程是x 0x+y 0y=r 2;(2)过圆(x-a )2+(y-b )2=r 2上一点P (x 0,y 0)的圆的切线方程是(x 0-a )(x-a )+(y 0-b )(y-b )=r 2;(3)过圆x 2+y 2=r 2外一点M (x 0,y 0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x 0x+y 0y=r 2.2.直线被圆截得的弦长弦心距d 、弦长a 的一半12a 及圆的半径r 构成直角三角形,且有r 2=d 2+(12a)2.3.圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数:①内含:0条;②内切:1条;③相交:2条;④外切:3条;⑤外离:4条. (2)当两圆相交时,两圆方程(x 2,y 2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程.题组一常识题1.[教材改编] 若直线x-y+1=0与圆(x-a )2+y 2=2有公共点,则实数a 的取值范围是 . 2.[教材改编] 圆x 2+y 2-4=0与圆x 2+y 2-4x+4y-12=0的公共弦所在直线的方程为 ,弦长为 .3.[教材改编] 已知点M (a ,b )在圆O :x 2+y 2=1外,则直线ax+by=1与圆O 的位置关系是 .4.[教材改编] 圆x 2+y 2-4x=0在点P (1,√3)处的切线方程为 .5.[教材改编] 过坐标原点O 作圆x 2+y 2-6x-8y+20=0的切线,则切点到O 的距离为 .题组二常错题◆索引:求圆的切线或弦长时易忽视切线斜率不存在的情况;两圆相切时易忽视有内切与外切两种情况.6.已知圆C 1:(x-a )2+(y+2)2=4与圆C 2:(x+b )2+(y+2)2=1相切,则(a+b )2= . 7.过点A (3,5)作圆C :x 2+y 2-2x-4y+1=0的切线,则切线的方程为 .8.设圆x2+y2-2x-2y-2=0的圆心为C,直线l过(0,3)与圆C交于A,B两点,若|AB|=2√3,则直线l 的方程为.探究点一直线与圆的位置关系例1(1)[2018·云南昆明二模]已知直线l:y=√3x+m与圆C:x2+(y-3)2=6相交于A,B两点,若|AB|=2√2,则实数m的值等于()A. -7或-1B. 1或7C. -1或7D. -7或1(2)[2019·河北唐山二中月考]在△ABC中,若a sin A+b sin B-c sin C=0,则圆C:x2+y2=2与直线l:ax+by+√2c=0的位置关系是()A. 相切B. 相交C. 相离D. 不确定[总结反思]判断直线与圆的位置关系的一般方法:(1)几何法:由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断.若d>r,则直线与圆相离;若d=r,则直线与圆相切;若d<r,则直线与圆相交.(2)代数法:联立直线与圆的方程,消元后得到关于x(或y)的一元二次方程,根据一元二次方程的解的个数来判断.变式题(1)圆x2+y2-2x+4y=0与直线2tx-y-2-2t=0(t∈R)的位置关系为()A. 相离B. 相切C. 相交D. 以上都有可能(2)已知圆C:x2+y2-6x+5=0,则圆心C的坐标为;若直线y=kx与圆C相切,且切点在第四象限,则k的值为.探究点二圆的切线与弦长问题角度1过圆上一点的切线问题例2(1)已知圆的方程是x2+y2=1,则经过圆上一点M(1,0)的圆的切线方程是()A. x=1B. y=1C. x+y=1D. x-y=1(2)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P处的切线方程是()A. x+2y-5=0B. x-2y+3=0C. 2x+y-4=0D. 2x-y=0[总结反思]过圆上一点(x0,y0)的圆的切线方程的求法:若切线斜率存在,先求切点与圆心连线,再由点斜式方程可求出切线方程;若切线斜率不的斜率k(k≠0),由垂直关系知切线斜率为-1k存在,则由图形得出切线方程x=x0.变式题已知点P(√2+1,2-√2),圆C:(x-1)2+(y-2)2=4,则过点P的圆C的切线方程为.角度2过圆外一点的切线问题例3(1)[2018·茂名一模]从坐标原点O向圆C:x2+y2-12y+27=0作两条切线,则该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为.(2)若直线y=k(x+3)与圆x2+y2-2x=3相切,则k= .[总结反思]处理切线、弦长问题的策略:(1)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题.(2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形.变式题 [2018·重庆三诊] 已知圆O 的方程为x 2+y 2=1,过第一象限内的点P (a ,b )作圆O 的两条切线PA ,PB ,切点分别为A ,B ,若PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =8,则a+b 的最大值为 ( ) A. 3 B. 3√2 C. 4√2 D. 6角度3 有关弦长问题例4 (1)[2018·全国卷Ⅰ] 直线y=x+1与圆x 2+y 2+2y-3=0交于A ,B 两点,则|AB|= . (2)[2018·湖南益阳4月调研] 已知斜率为1,且在y 轴上的截距b 为正的直线l 与圆C :x 2+y 2=4交于A ,B 两点,O 为坐标原点,若△AOB 的面积为√3,则b= .[总结反思] 解有关弦长问题的两种方法:(1)几何法:直线被圆截得的半弦长 l2、弦心距d 和圆的半径r 构成直角三角形,且r 2=(l 2)2+d 2.(2)代数法:联立直线方程和圆的方程,消元转化为关于x 或y 的一元二次方程,由根与系数的关系即可求得弦长|AB|=√1+k 2·|x 1-x 2|=√1+k 2·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2或|AB|=√1+1k 2·|y 1-y 2|=√1+1k 2·√(y 1+y 2)2-4y 1y 2(k ≠0).变式题已知直线l :kx-y-3=0与圆O :x 2+y 2=4交于A ,B 两点,且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2,则k=( )A. 2B. ±√2C. ±2D. √2探究点三圆与圆的位置关系例5 (1)[2018·四川绵阳三诊] 已知圆C 1:x 2+y 2=r 2,圆C 2:(x-a )2+(y-b )2=r 2(r>0)交于不同的A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,给出以下结论:①a (x 1-x 2)+b (y 1-y 2)=0;②2ax 1+2by 1=a 2+b 2;③x 1+x 2=a ,y 1+y 2=b.其中正确结论的个数是 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3(2)[2018·辽宁丹东二模] 圆心坐标为(2,0)的圆C 与圆x 2+y 2+4x-6y+4=0相外切,则C 的方程为( )A. x 2+y 2+4x+2=0 B. x 2+y 2-4x+2=0C. x2+y2+4x=0D. x2+y2-4x=0[总结反思](1)判断两圆的位置关系,有两种方法:一是代数法,联立两圆方程,消去其中一个未知数,通过对所得方程的根进行判断,从而可得两圆关系;二是几何法,通过计算两圆的圆心距与两圆的半径和或差进行比较,从而可得两圆的位置关系.(2)当两圆相交时,公共弦所在直线的方程可由两个圆的方程相减得到,而且在解决圆的有关问题时,注意合理利用圆的几何性质简化计算.变式题(1)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2√2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是()A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离(2)过两圆x2+y2+4x+y=-1和x2+y2+2x+2y+1=0的交点的圆中面积最小的圆的方程为.(3)如果圆C:x2+y2-2ax-2ay+2a2-4=0与圆O:x2+y2=4总相交,那么实数a的取值范围是.完成课时作业(四十七)。

高三数学复习知识点总结归纳

高三数学复习知识点总结归纳高三数学复习知识点总结第一、高考数学中有函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、立体几何等九大章节。

主要是考函数和导数，这是我们整个高中阶段里最核心的板块，在这个板块里，重点考察两个方面：第一个函数的性质，包括函数的单调性、奇偶性;第二是函数的解答题，重点考察的是二次函数和高次函数，分函数和它的一些分布问题，但是这个分布重点还包含两个分析就是二次方程的分布的问题，这是第一个板块。

第二、平面向量和三角函数。

重点考察三个方面：一个是划减与求值，第一，重点掌握公式，重点掌握五组基本公式。

第二，是三角函数的图像和性质，这里重点掌握正弦函数和余弦函数的性质，第三，正弦定理和余弦定理来解三角形。

难度比较小。

第三、数列。

数列这个板块，重点考两个方面：一个通项;一个是求和。

第四、空间向量和立体几何，在里面重点考察两个方面：一个是证明;一个是计算。

第五、概率和统计。

这一板块主要是属于数学应用问题的范畴，当然应该掌握下面几个方面，第一……等可能的概率，第二………事件，第三是独立事件，还有独立重复事件发生的概率。

第六、解析几何。

这是我们比较头疼的问题，是整个试卷里难度比较大，计算量的题，当然这一类题，我总结下面五类常考的题型，包括：第一类所讲的直线和曲线的位置关系，这是考试最多的内容。

考生应该掌握它的通法;第二类我们所讲的动点问题;第三类是弦长问题;第四类是对称问题，这也是2008年高考已经考过的一点;第五类重点问题，这类题时往往觉得有思路，但是没有答案，当然这里我相等的是，这道题尽管计算量很大，但是造成计算量大的原因，往往有这个原因，我们所选方法不是很恰当，因此，在这一章里我们要掌握比较好的算法，来提高我们做题的准确度，这是我们所讲的第六大板块。

第七、押轴题。

考生在备考复习时，应该重点不等式计算的方法，虽然说难度比较大，我建议考生，采取分部得分整个试卷不要留空白。

这是高考所考的七大板块核心的考点。

2023届高考数学复习第47讲数据分析 —— 一元线性回归模型及其应用(共34张PPT)

3，b∧＝01.01＝0.01，a∧＝ y －b∧ x ＝0.5－0.03＝0.47.所以经验回归方程为∧y＝0.01x＋0.47，则
当 x＝6 时，y＝0.53.所以预测小李该月 6 号打 6h 篮球的投篮命中率为 0.53.
知识聚焦
1. 一元线性回归模型：EY＝eb＝x＋0，a＋Dee，＝σ2 称为 Y 关于 x 的一元线性回归模型．其
y)如下表所示：
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
m
根据表中数据，得出 y 关于 x 的经验回归方程为∧y＝0.7x＋a∧，据此计算出样本(4,3)
处的残差为－0.15，则表中 m 的值为( B )
A. 3.3
B. 4.5
C. 5
D. 5.5
【解析】由题意可知，在样本(4,3)处的残差为－0.15，则∧y＝3.15，即 3.15＝0.7x ＋a∧，解得a∧＝0.35，即∧y＝0.7x＋0.35，又 x ＝3＋4＋4 5＋6＝4.5，且经验回归方程过样本中心点( x ， y )，则 y ＝0.7×4.5＋0.35＝3.5，则 y ＝2.5＋34＋4＋m＝3.5，解得 m＝4.5.
残差分析
(2021·佛山二模)H 市某企业坚持以市场需求为导向，合理配置生产资源，不
断改革、探索销售模式．下表是该企业每月生产的一种核心产品的产量 x(单位：吨)与
相应的生产总成本 y(单位：万元)的五组对照数据．
产量 x(件)
1
2
3
4
5
生产总成本 y(万元)
3
7
8
10
12
(1) 根据上述数据，若用最小二乘法进行线性模拟，试求 y 关于 x 的经验回归方程∧y

高考数学湘教版知识点总结

高考数学湘教版知识点总结高考数学是每个考生都必须面对的科目之一，湘教版数学教材是高中阶段的重要学习资料之一。

为了帮助考生系统地总结湘教版数学教材的知识点，本文将从数学的基本概念、常见题型和解题方法等方面进行总结。

以下是对湘教版数学教材相关知识点的整理和归纳，供广大考生参考。

一、代数与函数1. 多项式与因式分解：- 多项式的基本概念和运算- 因式分解的基本方法和技巧- 根据多项式的因式分解求解方程2. 一元二次方程与二次函数：- 一元二次方程的基本概念和解法- 二次函数的图像、性质和应用3. 不等式与绝对值：- 一元一次不等式的解法及其图像表示- 绝对值不等式的解法及其图像表示4. 幂与指数函数：- 幂函数与指数函数的基本概念和性质- 幂函数与指数函数的图像及其应用5. 对数与指数方程：- 对数函数的基本概念和性质- 对数函数的图像及其应用- 解指数方程和对数方程二、几何与向量1. 三角函数与解三角形：- 三角函数的基本概念和性质- 三角函数的图像和变换- 解各类三角形2. 平面向量的运算与坐标表示：- 平面向量的基本概念和运算法则- 平面向量的坐标表示及其应用3. 空间几何与立体几何：- 空间几何中的基本概念和性质- 空间中的平面与直线- 空间中的立体几何体的计算三、概率与统计1. 概率与事件：- 概率的基本概念和性质- 事件的计算与概率模型2. 随机变量与概率分布：- 随机变量及其分布列、分布函数和概率密度函数- 常见离散型和连续型概率分布3. 统计与抽样调查：- 样本调查的基本概念和方法- 统计量及其统计分布- 样本与总体的估计四、数与数量关系1. 数列与数列的通项公式：- 数列的概念和常见类型的数列- 数列的通项公式和递推公式2. 逻辑与证明：- 命题、联结词和命题逻辑- 数学中的证明方法和技巧3. 数学建模与解题策略：- 数学建模的基本过程和方法- 解题的一般性策略和思维方法以上是对高考数学湘教版教材的知识点进行的总结，希望对考生复习备考有所帮助。

四十七认识数的计算与推理

四十七认识数的计算与推理四十七是一个整数，属于自然数中的一员。

在数学中，我们可以通过不同的方式来认识和计算四十七，同时也可以应用这些认识和计算方法进行推理。

本文将讨论四十七的数学性质，以及在计算和推理中的应用。

I. 四十七的基本性质四十七是一个奇数，它不能被2整除，因为没有整数相乘得到47。

同时，四十七也不是一个完全平方数，因为它的平方根不是整数。

基于这些基本性质，我们可以进一步探索四十七的其他特点。

II. 四十七的数学运算A. 加法和减法我们可以使用加法和减法对四十七进行计算。

例如，47 + 5 = 52，表示将47与5相加得到52。

另外，47 - 10 = 37，表示从47中减去10后得到37。

B. 乘法和除法乘法是另一种常见的数学运算方式。

例如，47乘以2等于94，我们可以表示为47 × 2 = 94。

除法则是乘法的逆运算，即47除以2等于23.5，我们可以表示为47 ÷ 2 = 23.5。

需要注意的是，除法结果可以是一个小数或者分数。

C. 指数运算通过指数运算，我们可以将某个数值进行幂次计算。

例如，47的平方可以表示为47的2次方，即47² = 2209。

同样地，我们也可以进行更高次的指数运算以得到四十七的其他幂次结果。

III. 数字推理与应用数学中的推理是指通过已知条件和逻辑关系得出结论的过程。

我们可以利用数字推理来解决问题，解析四十七的一些特性。

A. 奇偶性推理由于四十七是一个奇数，我们可以推断它不能被2整除。

因此，任何与47相加得到偶数的整数必定是一个奇数。

B. 数字分析我们可以进一步分析四十七的数字构成。

四十七是由4和7这两个数字组成的，通过观察我们可以发现47是一个不可约的数。

这意味着没有其他整数可以整除47，因此47是一个质数。

IV. 数学问题示例为了更好地理解和应用四十七的计算与推理，我们来看一些具体的数学问题。

问题1：如果某个数加上47等于100，这个数是多少？解答：设这个数为x，根据已知条件可以得到方程x + 47 = 100。

备战高考数学一轮复习讲义第47讲数据分析 —— 列联表与独立性检验

第47讲数据分析——列联表与独立性检验附表：，其中n＝a＋b＋c＋d.参考公式：χ2＝(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)A组夯基精练一、单项选择题(选对方法，事半功倍)1. 下表是2×2列联表，则表中a，b的值分别为()C. 27,37D. 28,372. 某中学调查了高一年级学生的选科倾向，随机抽取300人，其中选考物理的有220人，选考历史的有80人，统计各选科人数如下表，则下列说法正确的是()B. 物理类的学生中选择地理的比例比历史类的学生中选择地理的比例高C. 根据小概率值α＝0.1的独立性检验，认为选择生物与选考类别无关D. 根据小概率值α＝0.1的独立性检验，认为选择生物与选考类别有关3. (2022·烟台模拟)某校为了研究“学生的性别”与“对待某一活动的态度”是否有关，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算χ2＝7.069，则认为“学生性别与支持某项活动有关系”的犯错误的概率不超过()A. 0.1%B. 1%C. 99%D. 99.9%4. 某校团委对“学生性别和喜欢某款软件是否有关”作了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生喜欢某款软件的人数占男生人数的45，女生喜欢某款软件的人数占女生人数的35，若有95%的把握(但没有99%的把握)认为是否喜欢某款软件和性别有关，则调查的学生中男生可能有()A. 20人B. 40人C. 60人D. 80人二、多项选择题(练—逐项认证，考—选确定的)5. 晚上睡眠充足是提高学习效率的必要条件，某市甲高中的高三年级学生晚上10点10分必须休息，另一所同类乙高中的高三年级学生晚上11点休息，并鼓励学生还可以继续进行夜自习，稍晚再休息．有关人员分别对这两所高中的高三年级学习总成绩前50名学生的学习效率进行问卷调查，其中甲高中有30名学生的学习效率高，且从这100名学生中随机抽取1人，抽到学习效率高的学生的概率是0.4，则()A. 甲高中的前50名学生中有60%的学生学习效率高B. 乙高中的前50名学生中有40%的学生学习效率高C. 有99.9%的把握认为“学生学习效率高低与晚上睡眠是否充足有关”D. 认为“学生学习效率高低与晚上睡眠是否充足有关”的犯错误的概率超过0.056. 为了增强学生的身体素质，提高适应自然环境、克服困难的能力，某校在课外活动中新增了一项登山活动，并对“学生喜欢登山和性别是否有关”做了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，得到如图所示的等高堆积条形图，则下列说法中正确的有()(第6题)A. 被调查的学生中喜欢登山的男生人数比喜欢登山的女生人数多B. 被调查的女生中喜欢登山的人数比不喜欢登山的人数多C. 若被调查的男、女生均为100人，则有99%的把握认为喜欢登山和性别有关D. 无论被调查的男、女生人数为多少，都有99%的把握认为喜欢登山和性别有关三、填空题(精准计算，整洁表达)7. 为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样的方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表.得到的结论是__________________．8. (2022·青岛模拟)某驾驶员培训学校为对比了解“科目二”的培训过程采用大密度集中培训与周末分散培训两种方式的效果，调查了105名学员，统计结果为：接受大密度集中培训的55名学员中有45名学员一次考试通过，接受周末分散培训的学员一次考试通过的有30名．根据统计结果，认为“能否一次考试通过与是否集中培训有关”犯错误的概率不超过________．9. 在某病毒疫苗研发过程中，需要利用基因编辑小鼠进行动物试验．现随机抽取100只基因编辑小鼠对某病毒疫苗进行试验，得到如下2×2列联表(部分数据缺失)：表中a的值为________；计算可知，在犯错误的概率最多不超过________的前提下，可认为“给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防某病毒感染的效果”．四、解答题(让规范成为一种习惯)10. 某企业销售部门为了解员工的销售能力，设计了关于销售的问卷调查表，从该部门现有员工中按性别(男生占45%)分层随机抽取n名进行问卷调查，得分分为1,2,3,4,5五个档次，各档次中参与问卷调查的员工的人数如条形图所示，已知第5档员工的人数占总人数的1 5.(第10题)(1) ①求n与a的值；②若将某员工得分所在的档次作为该员工的销售能力基数(记销售能力基数x0＝5为能力基数高，其他均为能力基数不高)．在销售能力基数为5的员工中，女生与男生的比例为7∶3，以抽取的n名员工为研究对象，完成下面的2×2列联表，并依据小概率值α＝0.1的独立性检验，判断销售能力基数高低与性别是否有关联.每位员工的营销能力指数y与销售能力基数x0以及参加培训的次数t满足函数关系式y＝x0＋(1＋x0)(1＋e t15)．如果员工甲的销售能力基数为4，员工乙的销售能力基数为2，则在甲不参加培训的情况下，乙至少需要参加多少次培训，其营销能力指数才能超过甲？参考数据：ln 3≈1.099.11. (2022·济南期末)某机构为了解市民对交通的满意度，随机抽取了100位市民进行调查，调查结果如下：回答“满意”的人数占总人数的一半，在回答“满意”的人中，“上班族”的人数是“非上班族”人数的37；在回答“不满意”的人中，“非上班族”占15.(1) 请根据以上数据填写下面2×2列联表，并依据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析能否认为市民对于交通的满意度与是否为上班族有关联.调查．规定：抽样的次数不超过n (n ∈N *)，若随机抽取的市民属于不满意群体，则抽样结束；若随机抽取的市民属于满意群体，则继续抽样，直到抽到不满意市民或抽样次数达到n 时，抽样结束．记抽样的总次数为随机变量X n .①若n ＝5，写出X 5的分布列和数学期望；②请写出X n 的数学期望的表达式(不需证明)，根据你的理解说明X n 的数学期望的实际意义．B 组滚动小练12. (2023·益阳调研)(多选)已知双曲线C ：x 2a 2－y 216＝1(a >0)的离心率为5，则( )A. C 的右顶点坐标为(2,0)B. C 的焦距为45C. C的渐近线方程为y＝±2xD. 直线y＝3x与C有两个交点13. (2023·扬州宝应期初)已知函数f(x)＝x3－32(k＋1)x2＋3kx＋1，其中k∈R.(1) 当k＝3时，求函数f(x)在(0,3)内的极值点；(2) 若函数f(x)在[1,2]上的最小值为3，求实数k的取值范围．。

高三数学《第47课数学归纳法》基础教案

第47课数学归纳法一、基础自测1．已知某个命题与正整数有关,如果当)(*N k k n ∈=时该命题成立,那么可以推得1+=k n 时该命题也成立.现已知5=n 时该命题不成立,则A 4=n 时该命题成立B 6=n 时该命题不成立C 4=n 时该命题不成立D 6=n 时该命题成立2．用数学归纳法证明2n >n 2 (n ∈N,n ≥5),则第一步应验证n= ;3．用数学归纳法证明:*1111(,1)2321n n n N n +++⋅⋅⋅+<∈>-时, ,第一步验证不等式成立；在证明过程的第二步从n=k 到n=k+1成立时,左边增加的项数是 .4、从222576543,3432,11=++++=++=中得出的一般性结论是_____________5. 数列2,5,11,20,,47,x …中的x =6. 若数列{}n a 中，12341,35,7911,13151719,...a a a a ==+=++=+++则10____a =7. )(131211)(+∈+⋅⋅⋅+++=N n nn f ，经计算的27)32(,3)16(,25)8(,2)4(,23)2(>>>>=f f f f f ，推测当2≥n 时，有__________________________. 8．若数列{}n a 的通项公式)()1(12+∈+=N n n a n ，记 )1()1)(1()(21n a a a n f -⋅⋅⋅--=，试通过计算)3(),2(),1(f f f 的值，推测出.________________)(=n f二、例题讲解例1．已知*N n ∈,证明:n n 211214131211--+⋅⋅⋅+-+-n n n 212111+⋅⋅⋅++++=.例2．求证：n n n +≤++++≤+21213121121例3.是否存在正整数m 使得()()9372+⋅+=nn n f 对任意自然数n 都能被m 整除，若存在，求出最大的m 的值，并证明你的结论。

2022版高考数学知识点讲座考点47 二项式定理新人教A版

【命题探究】2022版高考数学知识点讲座：考点47 二项式定理（解析版）加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用一考纲目标二项式定理的通项和二项式系数的性质二知识梳理1二项式定理及其特例：（1）01()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈，（2）1(1)1n r rn n n x C x C x x +=+++++2．二项展开式的通项公式：rr n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，，= 3．常数项、有理项和系数最大的项：求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性4二项式系数表（杨辉三角）()n a b +展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 5．二项式系数的性质：()n a b +展开式的二项式系数是，，，…，．可以看成以为自变量的函数，定义域是{0,1,2,,}n ，例当时，其图象是个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（m n mn nC C -=）．直线2nr =是图象的对称轴（2）增减性与最大值：当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值（3）各二项式系数和：∵1(1)1n r rn n n x C x C x x +=+++++，令，则0122n rnn n n n nC C C C C =++++++三．考点逐个突破1求二项式的指定项或其系数例1（1）在22－错误!5的二项展开式中，的系数为A．10 B．－10 C．40 D．－40[答案]D[解析] 本小题考查二项式展开式的系数求法，考查运算能力．22－错误!5的展开式的通项为T r＋1＝C错误!225－r－错误!r＝C错误!25－r－1r10－3 r，令103r＝1得， r ＝3，∴T4＝C错误!22－13＝－40∴的系数是－40[点评] 把二项式系数等同于项的系数是易犯的错误．2 在－25错误!＋4的展开式中32的系数为________．[答案]480[解析] －25的展开式的通项为T r＋1＝C错误!5－r－2r，令5－r＝3得r＝2，得3的系数C错误!－22＝40；错误!＋4的展开式的通项公式为T r＋1＝C错误!错误! 4－rr，令r＝2得2的系数C错误!错误!2＝12，于是展开式中32的系数为40×12＝4803在－1－2－3－4－5的展开式中，含4的项的系数是________．[答案] －15[解析] 从4个因式中选取，从余下的一个因式中选取常数，即构成4项，即－54－44－34－24－4，所以4项的系数应是－1－2－3－4－5＝－152二项式系数的性质例2（1）多项式10＝a0＋a1－1＋a2·－12＋…＋a10－110，则a8的值为A．10 B．45 C．－9 D．－45[答案] B[解析] 10＝[1＋－1]10＝1＋C错误!－1＋C错误!－12＋…＋C错误!－110＝a0＋a1－1＋a2－12＋…＋a10－110对任意实数都成立，∴a8＝C错误!＝C错误!＝452二项式1＋in6的展开式中二项式系数最大的一项的值为错误!，则在[0,2π]内的值为________．[答案] 错误!或错误![解析] 由题意得T4＝C错误!·in3＝20in3＝错误!，∴in＝错误!，∵∈[0,2π]，∴＝错误!或错误! 3若错误!6的二项展开式中，3的系数为错误!，则二项式系数最大的项为________．[答案] 错误!3[解析] ∵T r＋1＝C错误!26－r错误!r＝C错误!a－r12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，∴C错误!a－3＝错误!，解得a＝2故二项式系数最大的项为T4＝C错误!23错误!3＝错误!33用赋值法求二项式各项系数的和例3（1）若－a8＝a0＋a1＋a22＋…＋a88，且a5＝56，则a0＋a1＋a2＋…＋a8＝________[答案] 256[解析] －a8的展开式的通项公式为T r＋1＝C错误!·8－r·－a r＝－1r C错误!·a r·8－r，令8－r＝5，则r＝3，于是a5＝－13C错误!·a3＝56，解得a＝－1，即＋18＝a0＋a1＋a22＋…＋a88，令＝1得a0＋a1＋a2＋…＋a8＝28＝2562设2＋1 2＋19＝a0＋a1＋2＋a2＋22＋…＋a11＋211，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为A．－2 B．－1 C．1 D．2[答案] A[解析] 依题意，令＋2＝1，等式右边为a0＋a1＋a2＋…＋＝－1代入等式左边，得[－12＋1][2×－1＋1]9＝2×－19＝－2，即a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－24综合运用例4（1）设a∈Z，且0≤a<13，若512022＋a能被13整除，则a＝A．0 B．1 C．11 D．12[答案] A[解析] 本题考查二项展开式的应用．512022＝52－12022＝C错误!522022－C错误!522022＋C错误!522022＋…＋C错误!×52×－12022＋C错误!×－1 2022，若想被13整除需加12，∴a＝12（2）在1＋5＋1＋6＋1＋7的展开式中，含4项的系数是首项为－2，公差为3的等差数列的A．第11项 B．第13项 C．第18项D．第20项[答案] D[解析] 1＋5＋1＋6＋1＋7的展开式中，含4项的系数为C错误!＋C错误!＋C错误!＝C错误!＋C错误!＋C错误!＝5＋错误!＋错误!＝55，以－2为首项，3为公差的等差数列的通项公式a n＝－2＋3n－1＝3n－5，令a n＝55，即3n－5＝55，n＝20，故选D（3）将错误!n n∈N*的展开式中－4的系数记为a n，则错误!＋错误!＋…＋错误!＝________[答案] 错误![解析] 第r＋1项T r＋1＝C错误!·错误!r＝－1r C错误!－2r，令－2r＝－4，∴r＝2，∴a n＝－12C错误!＝错误!，∴错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!＋错误!＋…＋错误!＝2×错误!＝2×错误!＝错误!4已知数列{a n}满足a n＝n·2n－1n∈N*，是否存在等差数列{b n}，使a n＝b1C错误!＋b2C错误!＋b3C错误!＋…＋b n C错误!对一切正整数n成立并证明你的结论．[解析] 假设等差数列{b n}使等式n·2n－1＝b1C错误!＋b2C错误!＋b3C错误!＋…＋b n C错误!对一切正整数n成立，当n＝1时，得1＝b1C错误!，∴b1＝1，当n＝2时，得4＝b1C错误!＋b2C错误!，∴b2＝2，当n＝3时，得12＝b1C错误!＋b2C错误!＋b3C错误!，∴b3＝3，可猜想b n＝n时，n·2n－1＝C错误!＋2C错误!＋3C错误!＋…＋nC错误!∵C错误!＝·错误!＝n·错误!＝nC错误!∴C错误!＋2C错误!＋3C错误!＋…＋nC错误!＝nC错误!＋C错误!＋…＋C错误!＝n·2n－1故存在等差数列{b n}b n＝n，使已知等式对一切n∈N*成立．。

全国文数第47课推理与证明

P274
19
三组题讲透
数学低段
第47课第（4）题
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三组题讲透
数学低段
第47课第（4）题
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三组题讲透
数学低段
第47课第（4）题
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三组题讲透
数学低段
第47课第（4）题
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三组题讲透
①④⑤⑥
数学低段
第47课第（4）题
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第47课第2题 P275
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随堂普查练 I
数学低段
第47课第3题 P275
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随堂普查练 I
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第47课第3题 P275
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随堂普查练 I
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第47课第3题 P275
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随堂普查练 I
数学低段
第47课第4题 P275
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随堂普查练 I
数学低段
73
随堂普查练 Ⅱ
数学低段
第47课第1题 P279
74
随堂普查练 Ⅱ
数学低段
第47课第1题 P279
75
随堂普查练 Ⅱ
数学低段
第47课第2题 P279
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随堂普查练 Ⅱ
数学低段
第47课第2题 P279
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随堂普查练 Ⅱ
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第47课第2题 P279
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随堂普查练 Ⅱ
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三组题讲透
数学低段
第47课第（10）题
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三组题讲透
数学低段
第47课第（10）题

高中数学高考学习ppt (47)

第五章 5.2 第47课时
二合一
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撷取百家精妙·荟萃时代品牌
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高中数学1 ·必修第一册 ·A版
45分钟作业与单元评估
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4．化简：(1＋tan2α)·cos2α 等于( C )
A．－1
B．0
C．1
D．2
解析：原式＝1＋csoins22αα·cos2α＝cos2α＋sin2α＝1.
第五章 5.2 第47课时
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课时基作础业训练设计
第五章 5.2 第47课时
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——基础巩固——
一、选择题(每小题 5 分，共 40 分)
1．已知 sinα＝－35，α 为第四象限角，则 tanα＝( C )
A．－43
B．43
C．－34
D．34
解析：由于 α 为第四象限角，所以 cosα>0，从而 cosα＝ 1－sin2α
第五章 5.2 第47课时
第8页
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6．若 θ 是△ABC 的一个内角，且 sinθ－cosθ＝ 25，则 sinθcosθ 的
值为( B )
A．18
B．－18
C．12
D．－12
解析：(sinθ－cosθ)2＝sin2θ＋cos2θ－2sinθcosθ＝1－2sinθcosθ＝54，
第五章 5.2 第47课时
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