5.1.2定积分的定义

y
yx
O
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2
则
2 i f (i )xi i2 xi 3 n
i n
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1x
结束
注 1 n 2 1 1 f (i )xi 3 i 3 n(n 1)(2n 1) n i 1 n 6 i 1
n
1 1 1 (1 )(2 ) 6 n n
y
A1 a
b
A3 A2 O A4
A5 b x
a f ( x) d x A1 A2 A3 A4 A5
各部分面积的代数和
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【例题】用定积分几何意义，求
2

2 2
4 x 2 dx
解 被积函数是 y 4 x ， x [－2, 2] 是 x 轴上方 的半圆，如图 5．根据定积分的几何意义， 所求定积分为阴影部分的面积，即
第一节 定积分的概念及性质
一、定积分问题举例 二、 定积分的定义 三、 定积分的近似计算 四、 定积分的性质
第五章
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任一种分法
a x0 x1 x2 xn b ,
任取
总趋于确定的极限 I , 则称此极限 I 为函数
上的定积分, 记作 f ( x) d x

注. 当n 较大时, 此值可作为 1 2 x dx 的近似值
0

1 2 x 0
dx lim i xi
2
n
0 i 1
y
lim
1 3
yx
O
注 目录 上页
2
n
i n
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1x
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练习1. 利用定义计算定积分
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定积分的几何意义:
曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值
a a
b
b
（2）积分上限可以小于下限，并且

（3） a
a
b a
f ( x)dx f ( x)dx ．
b
a
f ( x)dx 0 ．
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可积的充分条件: 定理1. 定理2.
且只有有限个间断点
(证明略)
例1. 利用定义计算定积分 解: 将 [0,1] n 等分, 分点为 取
y

2 2
4 x dx 2
2
y 4 x2
2
o
2
x
图5
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a b
在区间
即
f ( i ) xi a f ( x) d x lim 0 i 1
b
n
O a x1
i xi 1 xi b x
此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 .
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积分上限
[a , b] 称为积分区间
a
积分下限
b
f ( x) d x lim f ( i ) xi
0 i 1
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
积 分 和
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【注意】
（1）定积分 f ( x)dx 的值只与积分区间 a, b 和 被积函数 f ( x) 有关，与 a, b 的分法和 的取法 无关，与积分变量的符号无关。
b a
i

b a
f ( x)dx f (t )dt f (u )du