重点中学-七年级上册-基础 03 有理数的运算

第三讲有理数的运算

【知识导引】

本讲主要是有理数的运算，包括有理数的加、减、乘、除、乘方等多种运算.进行有理数的混合运算时要注意以下运算顺序：①先乘方，再乘除、最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按从小括号、中括号到大括号依次进行.进行运算时一般按此顺序进行，能用简便方法的尽量用简便方法.若恰当地运用交换律、结合律、分配律有时可以简化计算，通过有理数的混合运算来解决实际问题，要注意分析题意，列出正确的算式，用有效数字表示近似数的精确度比较复杂也较难理解，其关键是理解有效数字的概念.要注意用科学记数法表示的数字或者是带有单位的数字的精确度.

【典例精析】

【例1】

计算：

(1)−35×34

5+(−25)×34

5

−40×34

5

(2)0.7×14

9+23

4

×(−15)+0.7×5

9

+1

4

×(−15)

【思路点拨】

本题含有加、减、乘混合运算。首先观察算式，思考可不可以用运算律简化计算。【解题过程】

(1)原式=34

5×(−35−25−40)=19

5

×(−100)=−380

(2)原式=(0.7×14

9+0.7×5

9

)+[23

4

×(−15)+1

4

×(−15)]

=0.7×(1

4

9

+

5

9

)+(2

3

4

+

1

4

)×(−15)

=0.7×2+3×(−15)=−43.6

【方法归纳】

在有理数混合运算中，逆用分配律ma+mb+me=m(a+b+c)，可以达到简化计算的目的.必要时，可以根据数据结构的特点进行分组，分维后再用上述公式进行计算。

【例2】计算：

(1) 1

2+1

6

+1

12

+⋯+1

90

(2) 1+2−3−4+5+6−7−8+9+10−⋯+2017+2018−2019−2020【思路点拨】

(1) 原式可以化为1

1×2+1

2×3

+1

3×4

+⋯+1

9×10

，通过裂项进行计算；(2) 把2020个数按照

每四项一组，共分成505组，每一组的和都为−4。

【解题过程】 (1)

12+16+112+⋯+190=11×2+12×3+13×4+⋯+19×10

=(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(19−1

10)

=1−12+12−13+13−⋯+19−1

10

=1−

110=910

(2)

1+2−3−4+5+6−7−8+9+10−⋯+2017+2018−2019−2020

=(1+2−3−4)+(5+6−7−8)+(9+10−11−12)+⋯

+(2017+2018−2019−2020)=(−4)+(−4)+⋯+(−4)=(−4)×503=−2020

【方法归纳】

这类计算题要充分理解数字之间的关系，尽量寻找简单可行的方法，可考虑将数分解或分组.

【例3】计算：

(12+13+⋯+12019)(1+12+13+⋯+12018

)−(1+12+13+⋯+12019)(12+13+⋯+1

2018

)

【思路点拨】

通过观察，发现四个括号里的有些数量复，可以设a =1+1

2+1

3+⋯+1

2018，这样理数的运算转化为代数式的运算.

【解题过程】

设a =1+1

2

+1

3

+⋯+

12018

，则

原式=(a −1+1

2019)a −(a +1

2019)(a −1)

=a 2−a +

22019−a 2−a 2019+a +12010=1

2019

【方法归纳】

本题是通过常值换元，把数字的运算转化为式子的运算，也是有理数运算的一种技巧.

【例4】 已知|a |

a +

|b |b

+

|c |c

=−1, 求abc

|abc |的值.

【思路点拨】

根据已知条件，先判断a,b,c 的符号，再求abc

|abc |的值.

【解题过程】

∵当a>0时，|a|=a，此时|a|

a =1；当a<0时，|a|=−a, 此时|a|

a

=−1

∴|a|

a =±1, 同理，|b|

b

=±1,|c|

c

=±1

又∵|a|

a +|b|

b

+|c|

c

=−1,∴|a|

a

,|b|

b

,|c|

c

中必有两个为−1，一个为1.

∴a,b,c中必是两负一正，∴abc>0,∴|abc|=abc,∴abc

|abc|

=1.

【方法归纳】

根据已知条件判断正负性，再由此去掉绝对值符号.这里通常会用到分类讨论的思想.

【例5】

小红上周六买进某公司股票1000股，每股27元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况(单位：元)

(1)

(2) 本周内最高价是每股多少元，最低价是每股多少元?

(3) 已知小红买进股票时付了1.5‰的手续费，卖出时需付成交额1.5‰的手续费和1‰的交易税. 如果他在星期六收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何?

【思路点拨】

弄清变化情况以及量之间的关系.

【解题过程】

(1)

27+4+4.5−1=34.5(元)

(2)

27+4+4.5=35.5,∴最高价是每股26元.

(3)

∵星期六收盘前每股27+4+4.5−1−2.5−6+2=28元，∴他的收益为：

1000×(28−27)−1000×27×1.5‰−(1‰+1.5‰)×1000×28=889.5(元).

【例6】

(1)观察一列数2,4,8,16,32,…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是；根据此规律，如果a n(n为正整数)表示这个数列的第n项，那么a18=, a n=.

(2) 如果要求1+3+32+33+⋯+320的值，可令S=1+3+32+33+⋯+320①

将①式两边同乘以3，得②

由②式减去①式，得S=.

(3) 用由特殊到一般的方法知：若数列a1,a2,a3,…,a n，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为q，则a n=(用含a1,q,n的代数式表示).

【思路点拨】

分析题意和数据特点即可找到它们之间的关系.

【解题过程】