考点65 数学归纳法(练习)(解析版)
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A． 时该命题不成立B． 时该命题成立
C． 时该命题不成立D． 时该命题成立
【答案】C
【解析】假设 时该命题成立，由题意可得 时，该命题成立，而 时，该命题不成立，所以 时，该命题不成立.而 时，该命题不成立，不能推得 该命题是否成立．故选C．
3．（2020·合肥一六八中学）用数学归纳法证明“ 能被9整除”，在假设 时命题成立之后，需证明 时命题也成立，这时除了用归纳假设外，还需证明的是余项（）能被9整除.
【解析】（1）由 ，令 ，则 ，得 ，
当 时，由 ，得 ，得 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，即 ， ， .
（2）由（1）知 ， ， ，猜想 ，
下面用数学归纳法证明：①当 时，由猜想知显然成立；
②假设 猜想成立，即 ，
则当 时，由（1）有 ，
即当 时，猜想 也成立.
综合①②可知，猜想 成立，即
（3）由（2）知 ，当 时， ，
用数学归纳法证明：
时， 显然成立，
设 时， 成立，
则 时，
所以 成立
5．（2020·安徽屯溪一中）已知数列 ， ， ，...， ，...，记数列的前 项和 .
（1）计算 ， ， ， ；
（2）猜想 的表达式，并证明.
【答案】（1） ， ， ， ；（2） ，证明见解析.
【解析】（1） ， ， ，
（2）猜想
考点65数学归纳法
【题组一概念理解】
1．（2020·辽宁）用数学归纳法证明： 时，从 推证 时，左边增加的代数式是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，可得当 时，等式的左边为 ，
当 时，等式的左边为 ，
当 时，等式的左边为 ，
所以从 到 时，左边需增加的代数式是 ，
故选A．
2．（2020·安徽贵池。池州一中）某个命题与自然数 有关，若 时命题成立，那么可推得当 时该命题也成立，现已知 时，该命题不成立，那么可以推得
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】假设 时命题成立，即 能被9整除，
当 时，
能被9整除
要证上式能被9整除，还需证明 也能被9整除
故选：
4．（2020·陕西省洛南中学）用数学归纳法证明 ，则当 时，左端应在 的基础上加上（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当n=k时，等式左端=1+2+…+k2，
当 （ ，且 ）时， ，即 ，所以 ，这表明当 时，结论成立，
综上所述， .
3．（2020·上海杨浦）设数列 的前 项和为 ，且 （ ），设 （ ），数列 的前 项和 .
（1）求 、 、 的值；
（2）利用“归纳—猜想—证明”求出 的通项公式；
（3）求数列 的通项公式.
【答案】（1） ， ， ；（2） （ ）；（3） .
即 .
那么，
即当 时等式也成立.
由①②知，等式对任何 都成立.
2．（2019·扶风县法门高中）数列 满足 ）.
（1）计算 ，并由此猜想通项公式 ；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.
【答案】（1） ， ；（2）证明见解析.
【解析】（1） ，由此猜想 ；
（2）证明：当 时， ，结论成立；假设 （ ，且 ），结论成立，即
A． B． C． D．
【wk.baidu.com案】B
【解析】若已假设n=k(k≥2，k为偶数)时命题为真，因为n只能取偶数，所以还需要证明n=k+2成立.、
故选B.
【题组二数学归纳法的运用】
1．（2020·镇原中学）用数学归纳法证明 .
【答案】见解析
【解析】证明：①当 时，左边 ，右边 ，等式成立；
②假设当 时等式成立，
7．（2020·安徽金安）用数学归纳法证明不等式 的过程中，由 递推到 时，不等式左边（）
A．增加了一项
B．增加了两项 ，
C．增加了A中的一项，但又减少了另一项
D．增加了B中的两项，但又减少了另一项
【答案】D
【解析】当 时，左边 ，
当 时，左边
，
所以，由 递推到 时，不等式左边增加了 ， ；减少了 ；故选：D
综合知： ，又 ，
则
当 为偶数时，
当 为奇数时，
综上可得
4．（2020·浙江高三二模）已知数列 ， ，且 ．
（1）若 的前 项和为 ，求 和 的通项公式
（2）若 ，求证：
【答案】（1） ; （2）证明见解析
【解析】（1） 的前 项和为 ， 是等差数列，
设 ，则 ，
， ，
满足
（ ）
（2） 代入 得 ，
8．（2020·驻马店市基础教学研究室）用数学归纳法证明： 时，从“ 到 ”等式左边的变化结果是（）
A．增乘一个因式 B．增乘两个因式 和
C．增乘一个因式 D．增乘 同时除以
【答案】C
【解析】当 时，则有 ；
当 时，则有 .
，故从“ 到 ”等式左边的变化结果是：增乘一个因式 .故选：C.
9．（2020·河南宛城.南阳中学）已知n为正偶数，用数学归纳法证明 时，若已假设 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证 （）时等式成立（）
证明：①当 时，左边 ，右边 ，猜想成立
②假设当 时猜想成立
即
那么当 时
因此对 也成立；
根据①②对于 猜想成立.
当n=k+1时，等式左端=1+2+…+k2+k2+1+k2+2+…+（k+1）2，增加了项（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2．故选：C．
5．（2020·小店.山西大附中）用数学归纳法证明不等式“ （ ）”过程中，由 到 时，不等式的左边（）
A．增加了一项
B．增加了两项
C．增加了两项 ，又减少了一项
D．增加了一项 ，又减少了一项
【答案】C
【解析】由题意，当 时，左端 ，
当 时，左端 ，
所以第二步由 到 时，
不等式左端的变化是增加了 两项，同时减少了 项.故选：C.
6．（2020·吉林吉林）用数学归纳法证明等式， 时，由 到 时，等式左边应添加的项是（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】：因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由 到 时，等式左边增加了 ，故选C.
C． 时该命题不成立D． 时该命题成立
【答案】C
【解析】假设 时该命题成立，由题意可得 时，该命题成立，而 时，该命题不成立，所以 时，该命题不成立.而 时，该命题不成立，不能推得 该命题是否成立．故选C．
3．（2020·合肥一六八中学）用数学归纳法证明“ 能被9整除”，在假设 时命题成立之后，需证明 时命题也成立，这时除了用归纳假设外，还需证明的是余项（）能被9整除.
【解析】（1）由 ，令 ，则 ，得 ，
当 时，由 ，得 ，得 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，即 ， ， .
（2）由（1）知 ， ， ，猜想 ，
下面用数学归纳法证明：①当 时，由猜想知显然成立；
②假设 猜想成立，即 ，
则当 时，由（1）有 ，
即当 时，猜想 也成立.
综合①②可知，猜想 成立，即
（3）由（2）知 ，当 时， ，
用数学归纳法证明：
时， 显然成立，
设 时， 成立，
则 时，
所以 成立
5．（2020·安徽屯溪一中）已知数列 ， ， ，...， ，...，记数列的前 项和 .
（1）计算 ， ， ， ；
（2）猜想 的表达式，并证明.
【答案】（1） ， ， ， ；（2） ，证明见解析.
【解析】（1） ， ， ，
（2）猜想
考点65数学归纳法
【题组一概念理解】
1．（2020·辽宁）用数学归纳法证明： 时，从 推证 时，左边增加的代数式是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，可得当 时，等式的左边为 ，
当 时，等式的左边为 ，
当 时，等式的左边为 ，
所以从 到 时，左边需增加的代数式是 ，
故选A．
2．（2020·安徽贵池。池州一中）某个命题与自然数 有关，若 时命题成立，那么可推得当 时该命题也成立，现已知 时，该命题不成立，那么可以推得
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】假设 时命题成立，即 能被9整除，
当 时，
能被9整除
要证上式能被9整除，还需证明 也能被9整除
故选：
4．（2020·陕西省洛南中学）用数学归纳法证明 ，则当 时，左端应在 的基础上加上（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当n=k时，等式左端=1+2+…+k2，
当 （ ，且 ）时， ，即 ，所以 ，这表明当 时，结论成立，
综上所述， .
3．（2020·上海杨浦）设数列 的前 项和为 ，且 （ ），设 （ ），数列 的前 项和 .
（1）求 、 、 的值；
（2）利用“归纳—猜想—证明”求出 的通项公式；
（3）求数列 的通项公式.
【答案】（1） ， ， ；（2） （ ）；（3） .
即 .
那么，
即当 时等式也成立.
由①②知，等式对任何 都成立.
2．（2019·扶风县法门高中）数列 满足 ）.
（1）计算 ，并由此猜想通项公式 ；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.
【答案】（1） ， ；（2）证明见解析.
【解析】（1） ，由此猜想 ；
（2）证明：当 时， ，结论成立；假设 （ ，且 ），结论成立，即
A． B． C． D．
【wk.baidu.com案】B
【解析】若已假设n=k(k≥2，k为偶数)时命题为真，因为n只能取偶数，所以还需要证明n=k+2成立.、
故选B.
【题组二数学归纳法的运用】
1．（2020·镇原中学）用数学归纳法证明 .
【答案】见解析
【解析】证明：①当 时，左边 ，右边 ，等式成立；
②假设当 时等式成立，
7．（2020·安徽金安）用数学归纳法证明不等式 的过程中，由 递推到 时，不等式左边（）
A．增加了一项
B．增加了两项 ，
C．增加了A中的一项，但又减少了另一项
D．增加了B中的两项，但又减少了另一项
【答案】D
【解析】当 时，左边 ，
当 时，左边
，
所以，由 递推到 时，不等式左边增加了 ， ；减少了 ；故选：D
综合知： ，又 ，
则
当 为偶数时，
当 为奇数时，
综上可得
4．（2020·浙江高三二模）已知数列 ， ，且 ．
（1）若 的前 项和为 ，求 和 的通项公式
（2）若 ，求证：
【答案】（1） ; （2）证明见解析
【解析】（1） 的前 项和为 ， 是等差数列，
设 ，则 ，
， ，
满足
（ ）
（2） 代入 得 ，
8．（2020·驻马店市基础教学研究室）用数学归纳法证明： 时，从“ 到 ”等式左边的变化结果是（）
A．增乘一个因式 B．增乘两个因式 和
C．增乘一个因式 D．增乘 同时除以
【答案】C
【解析】当 时，则有 ；
当 时，则有 .
，故从“ 到 ”等式左边的变化结果是：增乘一个因式 .故选：C.
9．（2020·河南宛城.南阳中学）已知n为正偶数，用数学归纳法证明 时，若已假设 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证 （）时等式成立（）
证明：①当 时，左边 ，右边 ，猜想成立
②假设当 时猜想成立
即
那么当 时
因此对 也成立；
根据①②对于 猜想成立.
当n=k+1时，等式左端=1+2+…+k2+k2+1+k2+2+…+（k+1）2，增加了项（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2．故选：C．
5．（2020·小店.山西大附中）用数学归纳法证明不等式“ （ ）”过程中，由 到 时，不等式的左边（）
A．增加了一项
B．增加了两项
C．增加了两项 ，又减少了一项
D．增加了一项 ，又减少了一项
【答案】C
【解析】由题意，当 时，左端 ，
当 时，左端 ，
所以第二步由 到 时，
不等式左端的变化是增加了 两项，同时减少了 项.故选：C.
6．（2020·吉林吉林）用数学归纳法证明等式， 时，由 到 时，等式左边应添加的项是（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】：因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由 到 时，等式左边增加了 ，故选C.