线性方程组与信号流图的相互变换

SUM N o.41 N o.21997
成　都　气　象　学　院　学　报
JOU RNAL O F CH EN GDU I N ST ITU T E O F M ET EOROLO GY
V o l.12N o.2
June1997线性方程组与信号流图的相互变换
马洪明　杨　玲
(成都气象学院)
【摘　要】
线性方程组与信号流图可以相互变换。

把线性方程组变换为信号流图,利用
信号流图运算规则,能简化运算并直观显示信号源和各变量间的因果关系;此
外,把描述线性时不变系统的信号流图变换为线性方程组,然后利用线性代数的
经典方法,能直接得出各变量的解。

关键词:　线性方程组;信号流图;变换.
中图法分类:　T P202
CONV ER S I ON FROM L I N EA R EQU A T I ON SYST EM
TO S IGNAL2FLOW GRA PH
M a H ongm ing　Y ang L ing
(D epartm en t of A tm o spheric E lectron ic Engineering,C I M)
ABSTRACT
T he linear equati on system can be converted to a signal2flow graph.O n the p rinci p le of the operati on of the signal2flow graph,the relati on s betw een each variab le and signal sou rce can be disp layed directly.T he signal2flow grap h describ ing a linear invarian t system can also be converted to a linear equati on system.Each variab le can be so lved by the classical m ethod of linear algeb ra.
Key W ords:　L inea r equa tion sy ste m;S ig na l2f lo w g rap h;Conversion.
1　引言
对于线性时不变系统,根据系统的物理模型或方框图,可以直接画出系统的信号流图。

由信号流图直观地显示出信号源和各变量间的因果关系。

利用信号流图的运算规则可以简化运算,利用梅森公式可以直接得出输出结果。

但是,当信号和系统状态变量的数目变得越来越多
初稿1995年12月22日收到,修改稿1996年12月12日收到。

的时候,信号流图将变得十分复杂。

此时应用信号流图求解各状态变量的优势将丧失。

如将信号流图变换为对应的线性方程组,可以利用线性代数的经典方法,例如由克莱姆法则得出状态变量的解,或者利用多元高斯消去法的计算机程序软件,得出各状态变量的数值解。

对于描述线性时不变系统的线性代数方程组,当我们要了解各状态变量间的相互联系,又能直观地显示相互关系或者要消去某些状态变量时,亦可将线性代数方程组变换成信号流图。

然后对信号流图进行分析,即可达到目的。

因此,线性方组与信号流图的相互变换是有益的。

2　线性方程组与信号流图的变换方法
2.1　信号流图
信号流图是有向线段的组合与联结。

有向线段的端点称为节点,节点是表示系统中任意变量或信号的点。

线段表示信号传输的路径,信号的传输方向就是有向线段的指向;有向线段相当于乘法器,其增益标注在线段旁。

信号流图可描述信号从系统中的一点流向另一点的情况,能表明系统中各变量及信号源之间的关系。

2.2　线性方程组
设所求的系统,描述其特征的状态变量为x k(k=1,2,…,n),则线性方程组为
　A x=f
其中A为系数矩阵
　A=a11a12 (1)
a21a22 (2)
………
a n1a n2…a nn
f是独立信号源构成的列矩阵
　f=b1
b2
…
b k
x0
x是状态变量构成的列矩阵
　x=x1 x2…x n
2.3　等效变换方法
设有线性方程组
　A x=f
061成　都　气　象　学　院　学　报第12卷
　a 11a 12
…a 1n a 21a 22…a 2n
………a n 1a n 2…a nn x 1x 2…x n =b 1b 2…b k x 0
A 是一个n ×n 的系数矩阵,则可知信号流图中应有一个代表独立信号源的节点,设为x 0,(一般令x 0=1);n 个代表状态变量的节点,设为x k (k =1,2,…,n );把这些节点先画在纸上。

然后再画有向线段:①如果b k ≠0,就有一条增益为b k 的有向线段从源节点x 0引向节点x k 上;如果b k =0,就无该线。

②当i ≠j 时,如果a ij ≠0,就有一条增益为-a ij 的有向线段,从节点x j 引向节点x i 上;如果a ij =0,就无该线。

③当i =j 时,如果a ii ≠1,就有一条增益为1-a ii 的有向线段,从节点x i 引向该节点(自环);如果a ii =1,就无该自环。

这就是线性方程组与信号流图的互换方法。

3　线性方程组变换为信号流图举例
例1　设线性方程组为
　a 11
　a 12　a 13
a 21　a 22　a 23
a 31　a 32　a 33x 1
x 2x 3=b 1b 2b 3x 0
按照等效变换方法,对应的信号流图为
按照信号流图的简化规则,消去自环路后,变为
161第2期
马洪明等:线性方程组与信号流图的相互变换
按照信号流图的梅森增益公式,可写出各状态变量的值,例如x 1为
　x 1=b 1a 11(1-a 32a 23a 33a 22)+b 2a 22(-a 12a 11)+b 2a 22(a 32a 33a 13a 11)+b 3a 33(-a 13a 11)+b 3a 33(a 23a 22a 12a 11)1-(a 21a 11 a 12a 11)-(a 32a 33 a 23a 22)-(a 31a 33 a 13a 11)+(a 21a 22 a 32a 33 a 13a 11)+(a 12a 11 a 23a 22 a 31a 33)例2　线性方程组为　a 11　a 12
a 21　0 x 1x 2=
b 10x
0信号流图为
按照信号流图的简化规则,有
消去节点x 1,变为
由上述例子可见,当线性方程组变换为信号流图时,可以把各变量与信号源之间的因果关系用图示方法表现出来。

这种方法直观、形象、简便易行。

此外,借助于信号流图的简化规则和梅森增益公式,还可得出所需结果。

261成　都　气　象　学　院　学　报第12卷
4　信号流图变换为线性方程组举例
设所给系统的信号流图为按等效变换方法,对应的线性方程组为
　1-4
5031
0007
-100011 x 1x 2x 3x 4=　9-6　0　0x 0
按照线性代数方程组的克莱姆法则,可以求出各个状态变量的值,例如
　x 3=1-490
31-60
0700
00
011-4
5031
000
7-100011
x 0=23192x 0对线性方程组,还可按照主元高斯消去法原理编出的计算机程序软件,把各系数a ij 和b i 输入计算机,直接得出状态变量x i 的数值解。

5　系数矩阵A 的求法
对线性方程组A x =f ,其系数矩阵A =(a ij )n ×n 矩阵的各元素a ij 是常数值。

但是在大多数情况下,因为系统中积分、微分、延时等元件的存在,所描述系统的不是线性方程组,矩阵A 的元素也不是常数。

其系数矩阵的求法如下。

1.对线性时不变系统,若描述系统的状态变量与系统元件参数、输入信号满足线性微积分方程组(连续)或差分方程组(离散)。

根据输入信号的具体情况,可以对输入信号、状态变量进行变换,例如采用频域变换、复频域变换、Z 变换等,把原有的微积分方程组或差分方程组变换为代数方程组,从而得到A 矩阵的各元素a ij ,它们是常数值。

361第2期马洪明等:线性方程组与信号流图的相互变换
2.对非线性或时变系统,很多情况下可以将其近似看作分段线性或分时段线性,仍可找出各段对应的线性方程组,各段A 矩阵的元素a ij ,在各段是常数值。

因此,在很多情况下,对信号与系统中的问题均可求出矩阵A ,并由此采用信号流图法或线性方程组法进行研究。

6　结语
线性方程组方法和信号流图方法,都可以描述线性时不变系统,并用来求解系统的状态变量。

这两种方法各有特色:线性方程组方法系统性强,应用范围广;信号流图方法形象直观,求解简便。

如果将此两种方法相互变换,那么就能优势互补,以加深对问题的理解和认识。

参　考　文　献
1　郑君里等.信号与系统.北京:人民教育出版社,1981
2　(美)陈惠开等.现代网络分析.北京:人民邮电出版社,1992461成　都　气　象　学　院　学　报第12卷。