平面向量与基本不等式
高二数学平面向量试题答案及解析
高二数学平面向量试题答案及解析
1.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设是公比为的无穷等比数列，下列的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第组；
①；②；③；④.
【答案】①④
【解析】由得，所以①唯一确定数列，由得
，方程的解不定，所以②不能唯一确定数列，由得方程的解不定，所以③不能唯一确定数列，由得，所以④唯一确定数列.【考点】数列基本量运算
2.下列各组向量中不平行的是（）
A．a="(1,2,-2),b=(-2,-4,4)"B．c=(1,0,0),d=(-3,0,0)
C．e="(2,3,0)," f="(0,0,0)"D．g=(-2,3,5),h=(16,-24,40)
【答案】D
【解析】略
3.已知则 ,．
【答案】；
【解析】由三边可知，以向量为邻边的平行四边形是菱形，夹角为，
，为另一对角线长度为1
【考点】向量运算与三角形法则
4.已知向量与的夹角为且，若，且，则实数的值为
A．B．1C．2D．
【答案】B
【解析】因为，所以，所以
得．
【考点】1．数量积；2．向量垂直．
5.已知向量，，若，则__________________．
【答案】或
【解析】两向量平行，所以，解得：或．
【考点】向量平行的坐标表示
6.设，向量，且，则（）
A．﹣2B．4C．﹣1D．0
【答案】D
【解析】向量，且，可得，
解得或（舍去，因为）．则．故选：D．
【考点】平面向量数量积的运算
7.已知||=2，||=4，⊥（＋），则与夹角的度数为．
【答案】120
【解析】设与夹角为．由⊥（＋）得，，解得，
所以．
【考点】向量的数量积及其运算律并求向量的夹角．
平面向量知识点及典型例题
第06讲平面向量
⃗⃗⃗⃗⃗ ，此时，向量的模1.向量：既有大小又有方向的量（也称为矢量），向量的大小也称为向量的模简记为AB
⃗⃗⃗⃗⃗ |表示.
用|AB
2.零向量，表示为：0⃗ ，|0⃗ |=0；
3.模长等于1的向量称为单位向量，表示为：e，|e|=1
3.把大小相等、方向相同的向量称为相等的向量，向量a等于向量b⃗，记作，a=b⃗
把大小相等、方向相反的向量称为相反的向量，向量a的相反向量记作−a，且a+(−a)=0⃗
4.两个非零向量的方向相同或相反，则称这两个向量平行，记作，a∥b⃗，
两个向量平行也称为两个向量共线。零向量与任何向量都平行。
5.三角形法则
6.对任意向量a，有a+0⃗ =0⃗ +a=a
7.对任意向量a ,b⃗，满足不等式
||a|−|b⃗||≤|a−b⃗|≤|a|+|b⃗|
||a|+|b⃗||≤|a+b⃗|≤|a|+|b⃗|
8．向量加法的平行四边形法则
9. a+b⃗=b⃗+a；(a+b⃗)+c=a+(b⃗+c)；a−b⃗=a+(−b⃗)
10.给定一个实数λ与任意一个向量a,规定它们的乘积是一个向量，记作λa,其中：
（1)当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|,而且λa的方向如下：
①当λ>0时，与a的方向相同；②当λ<0时，与a的方向相反．
（2)当λ=0或 a=0时，λa=0.
数乘向量的结果是一个向量，而且这个向量与原来的向量共线（平行），即λa∥a；
数乘向量的几何意义：把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小。
11.λ(μa )=(λμ)a ； λa +μa =(λ+μ)a . ； λ(a +b ⃗ )=λa +λb ⃗ . 12.向量平行：如果存在实数λ，使得b ⃗ =λa ，则a ∥b
平面向量常见题型汇编2 向量基本定理与不等式
向量基本定理与不等式,、三角函数相结合
例题1： 在Rt ABC ∆中，090A ∠=，点D 是边BC 上的动点，且3AB =,4AC =,(0,0)AD AB AC λμλμ=+>>，则当λμ取得最大值时， AD 的值为 解析：由090A ∠=可将三角形放入平面直角坐标系中，建立如图坐标系，
其中()00A ，，()30B ，，()04C ，
∵(0,0)AD AB AC λμλμ=+>>∴1λμ+= ∵2λμλμ+≥14λμ≤当且仅当12λμ==时取等号 ()()111133004222222AD AB AC AB AC λμ⎛⎫=+=
+=+= ⎪⎝⎭，，， ∴2235222AD ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭
变式1： 已知点A 在线段BC 上（不含端点），O 是直线BC 外一点，且20OA aOB bOC --=,则221a b a b b
+++的最小值是___________ 分析：本题主要考查了不等式，不等式求最值问题，属于中档题。解决此类问题，重要的思路是如何应用均值不等式或其他重要不等式，很多情况下，要根据一正、二定、三取等的思路去思考，本题根据条件构造21a b +=，研究的式子分别加1后变形，即可形成所需条件，应用均值不等式.
解析：由20OA aOB bOC --=可得， 2OA aOB bOC =+，根据A 、B 、C 三点共线可得21a b +=，且0,0a b >>，
所以()222222211222221222a b a b a a b b a b a b a b b a b a b b a b a b
考点10 平面向量(核心考点讲与练)-2023年高考数学核心考点讲与练(新高考专用)(解析版)
又因为P是该圆上的动点，所以设 ， ，
,
，因为 ，
，所以当 时， 的最大值为8.
故选：C.
4.（2022·辽宁大东·模拟预测） 中 ， ，D为AB的中点， ，则 （）
A.0B.2C.-2D.-4
考点10平面向量（核心考点讲与练）
一、平面向量的概念及线性运算
1.向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
具有大小和方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或模)
如a，
零向量
长度等于零的向量；其方向不确定
记作0
单位向量
给定一个非零向量a，与a同向且模为1的向量，叫做向量a的单位向量，可记作a0
a0＝
共线(平
行)向量
4.平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组.
5.用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a＝λ1e1＋λ2e2的形式.
6.计算向量数量积的三种方法
定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活运用，与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.
7.求向量模的常用方法
利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算.
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
平面向量与不等式
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平面向量
考试内容：
向量．向量的加法与减法．实数与向量的积．平面向量的坐标表示．线段的定比分点．平面向量的数量积．平面两点间的距离、平移． 考试要求：
（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念． （2）掌握向量的加法和减法．
（3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．
（4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算． （5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．
（6）掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用掌握平移公式．
§05. 平面向量 知识要点
1.本章知识网络结构
2.向量的概念
(1)向量的基本要素：大小和方向.
(2)向量的表示：几何表示法 AB ；字母表示：a ；
坐标表示法 a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）. (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a ｜. (4)特殊的向量：零向量a ＝O ⇔｜a ｜＝O .
单位向量a O 为单位向量⇔｜a O ｜＝1.
(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）⎩⎨⎧==⇔21
2
1y y x x
(6) 相反向量：a =-b ⇔b =-a ⇔a +b =0
(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a ∥b .平行向量也称为共线向量. 3.向量的运算 运算类型 几何方法
坐标方法 运算性质
向量的 加法
1.平行四边形法则
向量不等式知识点
向量和不等式
1.零向量：长度为0的向量．
2.单位向量：长度等于1个单位的向量．00||1||
a a a a →
→
→
→==单位向量，
3.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．
4.相等向量：长度相等且方向相同的向量．
5.向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．
⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+．
⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()
a b c a b c ++=++；
③00a a a +=+=．
6、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． 7、向量数乘运算：
⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①
a a λλ=；
②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=．
⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()
a b a b λλλ+=+． 8、向量共线定理：向量()
0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．
设()11,a x y =，()22,b x y =，
其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()
0b b ≠共线．
9、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底）
平面向量与不等式结合专题
2
意 a，b R （或 a ，b 非负） ，且“等号成立”时的条件是积 ab 或和 a＋b 其中之一应是 定值(一正二定三等).
a 2 b 2 a b ab 2 (根据目标不等式左右的运算结构选 2 2 11 a b 2 2 2 用) a、b、c R， a b c ab bc ca （当且仅当 a b c 时，取等号）
2
k 1 . b 2
（2）由 f ( x) g ( x), 得x 2 x x 6, 即 ( x 2)( x 4) 0, 得 2 x 4,
g ( x) 1 x 2 x 5 1 g ( x) 1 x2 5, 由于 x 2 0, 则 3 ， f ( x) x2 x2 f ( x)
（1）对于 || a | | b ||| a b || a | | b | ，要注意： ① a、 b 同向或有 0 | a b || a | | b | || a | | b ||| a b | ； ② a、 b 反向或有 0 | a b || a | | b | || a | | b ||| a b | ； b 不共线 || a | | b ||| a b || a | | b | .(这些和实数集中类似) ③ a、 考点误区分析： 2).能成立问题： 若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f x A 成立,即 f x A 在区间
21 平面向量中最值、范围问题-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板含解析
【高考地位】
平面向量中的最值和范围问题,是一个热点问题，也是难点问题,这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围,如:向量的模、数量积、夹角及向量的系数．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合．在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中高档题. 【方法点评】
方法一 利用基本不等式求平面向量的最值
使用情景：一般平面向量求最值问题
解题模板:第一步 利用向量的概念及其基本运算将所求问题
转化为相应的等式关系；
第二步 运用基本不等式求其最值问题; 第三步 得出结论。
例1.已知点A 在线段BC 上（不含端点），O 是直线BC 外一点,且20OA aOB bOC --=，则221a b
a b b
+
++的最小值是___________ 【答案】2
22
例2 如右图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与
,AB AC 两边分别交于,N M 两点，且,AM x AB AN y AC ==，则2x y +的最小
值为( ）
A ．2
B ．13
C ．32
2
3
+ D ．34
【答案】C
【变式演练1】如图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,M N 两点，且,AM x AB AN y AC ==,则x y +的最小值为( ）
A ．2
B ．13
C ．43
D ．34
【答案】C
M
N
A B
G
Q
考点：向量共线，基本不等式求最值
基本不等式的向量形式
基本不等式的向量形式
[思维扩展]
波利亚有句名言：“类比是伟大的引路人”．这句话言简意赅地阐明了类比在数学发现中的地位．
我们知道，a 2
＋b 2
≥2ab (a ，b ∈R)以及
a ＋b
2
≥ab (a ，b ∈R ＋)是
两个应用广泛的基本不等式，一种有趣的想法是：这两个不等式可以类比到向量中去吗？
由(a －b )2＝|a －b |2≥0不难得到a 2＋b 2≥2a ·b ，当且仅当a ＝b 时等号成立．
但将
a ＋b
2
≥ab (a ，b ∈R ＋)简单地类比为
a ＋b
2
≥a ·b 就不行
了，由于该不等式左边为向量，右边为数量，故其无意义，因此我们需要调整角度，看能否获得有用的结果．
注意到a ＋b
2≥ab (a ，b ∈R ＋)⇔⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22
≥ab (a ，b ∈R ＋)，而不等式⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22
≥a ·b 左右两边都是数量，因而可以比较大小．事实上，由(a ＋b )2＝(a －b )2＋4a ·b ＝|a －b |2
＋4a ·b ≥4a ·b
可得⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22
≥a ·b ，当且仅当a ＝b 时等号成立．
这样，我们就得到如下两个结论：
定理1 设a ，b 是两个向量，则a 2＋b 2≥2a ·b ，当且仅当a ＝b 时等号成立．
定理2 设a ，b 是两个向量，则⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22
≥a ·b ，当且仅当a ＝b
时等号成立．
例1 若平面向量a ，b 满足|2a －b |≤3，则a ·b 的最小值是________． 答案 －98
解析 方法一 由定理1得 32≥|2a －b |2＝(2a －b )2 ＝(－2a )2＋b 2－4a ·b
平面向量问题的类型与解法
平面向量问题的类型与解法
大家知道，平面向量问题是近几年高考的热点问题之一，每年高考必有一个五分小题，有时
在大题中也会涉及到平面向量的内容。从题型上，以选择题或填空题为主，难度系数为低档
或中档，但近几年有向高档题目发展的趋势。纵观近几年高考试题，归结起来平面向量问题
主要包括：①平面向量几何运算问题；②平面向量坐标运算问题；③平面向量数量积的问题
等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也各不相同。那么在实际解答
平面向量问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过
典型例题的详细解析，来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、在∆ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB u u u r =（ ）
A 34A
B u u u r - 14A
C u u u r B 14AB u u u r - 34AC u u u r C 34AB u u u r + 14AC u u u r
D 14AB u u u r +34
AC u u u r 【解析】
【知识点】①平面向量几何运算的法则与基本方法；②向量共线的充分必要条件；③三角形
一边上中线的定义与性质。
【解题思路】运用向量几何运算的基本方法和三角形一边上中线的性质，结合问题条件求出
向量EB u u u r 关于向量AB u u u r ，AC u u u r 的式子就可得出选项。 A
【详细解答】如图，Q ∆ABC 中，AD 为BC 边上的
中线，BC uuu r =AC u u u r -AB u u u r ，∴AD u u u r =AC u u u r -DC u u u r =AC u u u r -12 E BC uuu r =12AC u u u r +12AB u u u r ，Q E 为AD 的中点，∴AE u u u r B D C =12AD u u u r =14AC u u u r +14AB u u u r ，⇒EB u u u r =AB u u u r -AE u u u r =AB u u u r - 14AC u u u r -14AB u u u r =34AB u u u r - 14
高考数学平面向量和不等式常用二级结论——帮你节省做题时间(精)
高考数学平面向量和不等式常用二级结论——帮你节省解题时间
● 实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa )=(λμ)a ;
(2)第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa;(3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb .
● 向量的数量积的运算律：
(1) a ·b= b ·a （交换律）;(2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）;
(3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c.
● 平面向量基本定理
如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．
不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
● 向量平行的坐标表示
设a =11(,
)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=. ●
a 与
b 的数量积(或内积) a ·b =|a ||b |cos θ． ●
a ·
b 的几何意义 数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．
● 平面向量的坐标运算 (1)设a =11(,
)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212
(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121
(,)A B O B O A x x y y =-=-- . (4)设a =(,),xy R
【第529期】平面向量中的最值问题
【第529期】平面向量中的最值问题
滴水穿石，不是因为力量，而是在于坚持！
平面向量中的最值问题
平面向量是解题的工具，其自身兼具几何代数双重特征，并且有其运算规律.向量问题的考察常见有两类，一是对其自身性质与运算的考察，二是与其他知识相结合综合考察.值得一说的是，向量中的一些运算性质，不能简单的照搬实数运算，而需要进行严格的推理证明，否则会留下隐患，特别是求解向量中的最值问题时，必须要有严格的推理.这里分享两道关于向量中的最值问题.
本题中利用平面向量基本定理表示出目标向量后根据向量模的定义找出其表达式，注意求模的最值时采用了平方法，将其转化为基本不等式的模型，然后结合已知，利用基本不等式求得最值，这是一类比较常见的关于平面向量模的最值处理策略.
平面向量数量积的最值问题，一方面可考虑定义法，即利用数量积定义将其表示，然后分析其特征寻求最值；另一方面将其利用坐标运算化归为函数，结合函数特点寻求最值.本题中的最值处理方法是一种变形技巧，看似与基本不等式的结构特征相似，甚至可以不假思索的采用不等式法求最值，但是始终是不妥的，毕竟平面向量中能否直接运用基本不等式将其放缩为向量数量积还是需要求证的，不如这里变形更有说服力.通过上题的求解，不难发现变形的结果和基本不等式中求得的形式是一致的，尝试推理一下.
显然这一基本不等式中的结论在向量运算中仍然适用，这样上述问题中求最值时就可以直接采用基本不等式将其进行转化，相比变形处理就要简洁许多.当然二者各有千秋，变形虽麻烦，但是比较保险；借助不等式直接处理，则需要对这一原理要明确，方能保证在解题时胸有成竹.以上内容，纯属个人观点，只为抛砖引玉，让我们的复习备考更高效！由于才疏学浅，难免有不足之处，欢迎大家批评指正，不胜感激！此外，公众号内容仅供学习交流，不得他用！
向量不等式知识点
向量和不等式
1.零向量：长度为0的向量．
2.单位向量：长度等于1个单位的向量．00||1||
a a a a →
→
→
→==单位向量，
3.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．
4.相等向量：长度相等且方向相同的向量．
5.向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．
⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+．
⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()
a b c a b c ++=++；
③00a a a +=+=．
6、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． 7、向量数乘运算：
⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①
a a λλ=；
②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ
⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()
a b a b λλλ+=+． 8、向量共线定理：向量()
0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．
设()11,a x y =，()22,b x y =，
其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()
0b b ≠共线．
9、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底）
必胜秘诀向量与不等式
高考数学必胜秘诀在哪？
――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
五、平面向量
1、向量有关概念：
（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线
段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））
（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；
（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||
AB AB ±)； （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；
（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记
作：∥，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；
（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。
如下列命题：（1）若a b =，则a b =。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相
同，终点相同。（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。（4）若ABCD 是平行四边形，
则AB DC =。（5）若,a bb c ==，则a c =。（6）若/,/a bb c ，则//a c 。其中正确的是_______（答：（4）（5）） 2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点
考向04 基本不等式及应用(重点)-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)
考向04 基本不等式及应用
（2021·全国高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22
194
x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12
MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13 B ．12
C ．9
D ．6
【答案】C 【分析】
本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式2
1212
2MF MF MF MF ⎛+⎫
⋅≤ ⎪⎝⎭
即可得到答案． 【详解】
由题，2
2
9,4a b ==，则
1226MF MF a +==，
所以2
121292MF MF MF MF ⎛+⎫
⋅≤= ⎪⎝⎭
（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）
． 故选：C ． 【点睛】
椭圆上的点与椭圆的两焦点的距离问题，常常从椭圆的定义入手，注意基本不等式得灵活运用，或者记住定理：两正数，和一定相等时及最大，积一定，相等时和最小，也可快速求解.
1.利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”
（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量. （3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：
① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）
② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围.
注意：形如(0)a
y x a x
=+>的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．
基本不等式的向量形式
2021年新高考数学总复习：基本不等式的向量形式
我们知道，a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )以及a ＋b 2≥ab (a ，b ∈R ＋)是两个应用广泛的基本不等式，一种有趣的想法是：这两个不等式可以类比到向量中去吗？
由(a －b )2＝|a －b |2≥0不难得到a 2＋b 2≥2a ·b ，当且仅当a ＝b 时等号成立．
但将a ＋b 2≥ab (a ，b ∈R ＋)简单地类比为a ＋b 2≥a ·b 就不行了，由于该不等式左边为向量，右边为数量，故其无意义，因此我们需要调整角度，看能否获得有用的结果．
注意到a ＋b 2≥ab (a ，b ∈R ＋)⇔⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ＋)，而不等式⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≥a ·
b 左右两边都是数量，因而可以比较大小．事实上，由(a ＋b )2＝(a －b )2＋4a ·b ＝|a －b |2＋4a ·b ≥4a ·b 可得⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≥a ·
b ，当且仅当a ＝b 时等号成立． 这样，我们就得到如下两个结论：
定理1 设a ，b 是两个向量，则a 2＋b 2≥2a ·b ，当且仅当a ＝b 时等号成立．
定理2 设a ，b 是两个向量，则⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≥a ·
b ，当且仅当a ＝b 时等号成立． 例1 若平面向量a ，b 满足|2a －b |≤3，则a ·b 的最小值是________．
答案 －98
解析 方法一 由定理1得
32≥|2a －b |2＝(2a －b )2
＝(－2a )2＋b 2－4a ·b
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A．（
，3
）
B．（2，6）
C．[
，3
]
D．[2，6]
4.,点在内，且，设，，则等于（ ）
A． B．3 C． D．
5.若两个正实数满足，且不等式 有解，则实数的取值范围是（ ）
A.
B
.
C.
D.
6.已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A．2
B．
C．1
D．
7.已知点是边长为1的正方形的对角线上的任意一点,于,于,则等于 （ ）
平面向量与基本不等式
一：选择题 1. 在中，点在线段上，且则的最小值为（ ）
A.8
B.16
C.24
D.32
2. 在△ABC所在平面上有一点P，满足，则△PBC与△ABC面积之比
是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.已知两个非零向量a＝（m－1，n－1），b＝（m－3，n－3），且a与b 的夹角是钝角或直角，则m＋n的取值范围是（ ）
5.的外接圆半径为1，圆心为，且，则的值为 6.已知点是内一点，且若的面积之比是则
7.设点是函数的图像上任意一点，过点分别向直线和轴作垂线，垂足分 别为则
8. 设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋ －的最大值为________．
9. 已知均为单位向量，且夹角为若，则实数
A.1
B.
C.
D.
8.在△ABC中，若2＝·＋·＋·，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三 角形
9.点P是单位正方体ABCD－A1B1C1D1中异于A的一个顶点，则·的值为（
）
( )．
A．0
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B．1
C．0或1 D．任意实数
10.如图，四面体的体积为，且满足，则四面体中最长的棱长为（ ） A. B.2 C. D.3
11.定义域为的函数图像的两个端点为A，B，是图像上任意一点，其中.
已知向量，若不等式恒成立，则称函数在上“阶线性近似”.若函数在
上“阶线性近似”，则实数的取值范围为 （ ）
A.
B.
C.
D.
12.所在平面内一点满足则为（ ） A. B. C. D.
13.如图，为直线外一点，若中任意相邻两点的距离相等，设用表示， 其结果为
A. B. C. D.
14.已知点是边长为1的正方形的对角线上任意一点，于点 于,则等于（）
A.1
B.
C.
D.0
二：填空题
1. 已知是的外接圆圆心，且若存在实数使得,且则
2. 已知是等差数列，若存在两项使得则的最小值为
3.已知向量、满足，则
.
4.已知正三角形ABC的边长为2，点D，E分别在边AB，AC上，且 =l ， =l ．若点F为线段BE的中点，点O为△ADE的重心，则 • =．