平面向量与基本不等式
向量不等式知识点
向量和不等式1.零向量：长度为0的向量．2.单位向量：长度等于1个单位的向量．00||1||a a a a →→→→==单位向量，3.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．4.相等向量：长度相等且方向相同的向量．5.向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=．6、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． 7、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=．⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+． 8、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()0b b ≠共线．9、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底）10、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，baC BAa b C C -=A -AB =B当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭． 11、平面向量的数量积：⑴()cos 0,0,0180a b a b a b θθ⋅=≠≠≤≤．零向量与任一向量的数量积为0．⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥⇔⋅=．②当a 与b 同向时，a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，a b a b ⋅=-；22a a a a ⋅==或a a a =⋅．③ab a b ⋅≤． ⑶运算律：①a b b a ⋅=⋅；②()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；③()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅． 12.平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a +b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a -b=1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB x x y y =--. (4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.(5) 设两个非零向量()11,a x y =，()22,b x y =，则1212a b x x y y ⋅=+． (6)若(),a x y =，则222a x y =+，或2a x y =+(7)设a 、b 都是非零向量，()11,a x y =，()22,b x y =，θ是a 与b 的夹角，则121cos x x a b a bx θ⋅==+(8)向量的平行与垂直设()11,a x y =，()22,b x y =，则12120a b x x y y ⊥⇔+=． 设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=. 1.不等式的基本性质①a b b a >⇔<；②,a b b c a c >>⇒>；③a b a c b c >⇒+>+；④,0a b c ac bc >>⇒>，,0a b c ac bc ><⇒<；⑤,a b c d a c b d >>⇒+>+； ⑥0,0a b c d ac bd >>>>⇒>；⑦()0,1nna b a b n n >>⇒>∈N >；⑧)0,1a b n n >>⇒>∈N >．2、在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=，坐标平面内的点()00,x y P ． ①若0B >，000x y C A +B +>，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的上方． ②若0B >，000x y C A +B +<，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的下方．3、在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=．①若0B >，则0x y C A +B +>表示直线0x y C A +B +=上方的区域；0x y C A +B +<表示直线0x y C A +B +=下方的区域．②若0B <，则0x y C A +B +>表示直线0x y C A +B +=下方的区域；0x y C A +B +<表示直线0x y C A +B +=上方的区域．4、线性约束条件：由x ，y 的不等式（或方程）组成的不等式组，是x ，y 的线性约束条件．目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x ，y 的解析式． 线性目标函数：目标函数为x ，y 的一次解析式．线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题． 可行解：满足线性约束条件的解(),x y ．可行域：所有可行解组成的集合．最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．()()5.0()f x a a g x >≠解分式不等式的一般步骤是什么？ 先移项通分标准化，则()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩6.设a 、b 是两个正数，则2a b+称为正数a 、b 称为正数a 、b 的几何平均数．7.均值不等式定理：若0a >，0b >，则a b +≥2a b+≥．（一正、二定、三相等） 8.常用的基本不等式：①()222,a b ab a b R +≥∈；②()22,2a b ab a b R +≤∈；③()20,02a b ab a b +⎛⎫≤>> ⎪⎝⎭；④()222,22a b a b a b R ++⎛⎫≥∈ ⎪⎝⎭9、极值定理：设x 、y 都为正数，则有⑴若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值24s ．⑵若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值．10. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题） 如：恒成立的最小值a f x a f x <⇔<()() a f x a f x >⇔>()()恒成立的最大值 a f x a f x >⇔>()()能成立的最小值 附：重心：三角形三条中线交点. △ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. 外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点.设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔==. （2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅. （4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=.。
考点10 平面向量(核心考点讲与练)-2023年高考数学核心考点讲与练(新高考专用)(解析版)
①数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.
②模：|a|＝ ＝ .
③夹角：cosθ＝ ＝ .
④两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
⑤|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ · .
，注意与平面向量平行的坐标表示区分．
3.（2021年全国高考甲卷）若向量 满足 ，则 _________.
【答案】
【分析】根据题目条件，利用 模的平方可以得出答案
【详解】∵
∴
∴ .
故答案为： .
4.（2021年全国新高考Ⅰ卷）已知 为坐标原点，点 ， ， ， ，则（）
A. B.
C. D.
【答案】AC
2.三个常用结论
(1)O为△ABC的重心的充要条件是 ＋ ＋ ＝0；
(2)四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点，则 ＋ ＝2 ；
(3)对于平面上的任一点O， ， 不共线，满足 ＝x ＋y (x，y∈R)，则P，A，B共线⇔x＋y＝1.
注意向量共线与三点共线的区别.
3.平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.
【答案】D
【分析】根据所给图形，由向量的线性运算，逐项计算判断即可得解.
【详解】 ＋ ＋ ＝ ＋ ＝0，A正确；
＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝0，B正确；
＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ，C正确；
＋ ＋ ＝ ＋0＝ ＝ ≠ ，D错误，
故选：D．
2.（2020内蒙古鄂尔多斯市第一中学）下列结论正确的是
A．若向量 ， 共线，则向量 ， 的方向相同
平面 向量基本定理
平面向量基本定理全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：平面向量基本定理是解析几何中的一个重要定理，它是平面向量运算的基础，也是矢量分析的核心概念之一。
在平面几何中，研究平面向量的性质和应用是非常重要的，通过掌握平面向量基本定理，可以更好地理解和解决平面几何中的各种问题。
平面向量基本定理是指，在平面直角坐标系中，两个不共线的向量可以唯一确定一个平面，并且这个平面也能确定这两个向量。
换句话说，如果在平面直角坐标系中给定两个不共线的向量a和b，那么这两个向量确定的平面就是以这两个向量为基底的平面，任意一个平面向量都可以唯一地表示为这两个向量的线性组合。
下面我们来详细解释一下平面向量基本定理的内容和应用。
我们知道，在平面直角坐标系中，每个向量都可以表示为一个有序对(a,b)，其中a和b分别是向量在坐标系的x轴和y轴上的分量。
向量a可以表示为(a1,a2)，向量b可以表示为(b1,b2)。
两个向量的和是它们对应分量的和，两个向量的数量积是它们对应分量的乘积之和。
根据向量的加法和数量积的定义，我们可以得出平面向量加法的交换律和结合律，即a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)，以及数量积的分配律，即a*(b+c)=a*b+a*c。
这些性质是平面向量基本定理的重要基础。
根据平面向量基本定理，我们可以推导出平行向量的性质。
如果两个向量a和b平行，那么它们的数量积等于它们的模长乘积。
即a·b=|a|*|b|*cosθ，其中θ是a和b之间的夹角。
这个公式是计算两个向量夹角的重要方法之一，也是解决平面向量问题的关键步骤之一。
根据平面向量基本定理，我们还可以推导出向量的线性相关性和线性无关性的概念。
如果两个向量a和b线性相关，那么存在不全为零的实数k，使得a=k*b或者b=k*a。
反之，如果不存在这样的实数k，那么向量a和b就是线性无关的。
通过判断向量的线性相关性和线性无关性，我们可以确定向量组的秩，从而求解平面向量的线性组合问题。
向量与不等式
向量与不等式一，平面向量（1）线性运算：向量相加连首尾，同起点向量相减后指前（2）数形结合①基本定理：三点共线时两侧向量比例和为1，比例与对边相同（三点不共线时按原比例放缩，基底不为两侧时用基本定理后移项）②四心判断：重心为中线，垂心为高，外心为中垂线，内心为角分线（判断四心时按等腰直角三角形建模）③四边形对角线：共起点向量加减为四边形两条对角线（对角线相等为矩形，对角线垂直为菱形）④直径圆：（-）（-）=0，若a，b，c起点相同，则c在a，b终点为直径的圆上（锐角圆外，钝角圆内）（3）代数运算①模长计数：单模，复合膜，夹角三者，知二求一（复合膜乘积=展开后单模与单模数量积=复合膜长乘复合膜夹角）②共起点数量积：=|AM|2-|BM|2（M为BC中点）③坐标运算：坐标后减前，平行比例等，数量积相乘再相加二，不等式（1）不等式解法①二次不等式与绝对值不等式：大于取两边，小于取中间②分式不等式：移项通分，除变乘③指对不等式：转化同形式（取对数），利用单调性，构造新不等式④高次不等式：单调增右上，单调减右下，寄穿偶不穿（2）线性规划①区域画法：找两坐标轴截距，代入原点检验②截距式：求三交点，代入求最值，另一不等式检验区域③斜率式（反斜率式）：目标点为（-a，-b）④距离式：不含根号即为距离平方（3）均值不等式①最值公式：a+b≥2ab，a2+b2≥2ab，ab≤（a+b）2/4②单变量最值：通过配凑使变量消去③乘积与和混用：求谁留谁④整分混用：通过常数代换，整体相乘并消参⑤二次方程法：目标最值设为k，转化为二次函数求最值⑥轮换对称法：多变量完全等价，则变量相等时取最值。
21 平面向量中最值、范围问题-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板含解析
【高考地位】平面向量中的最值和范围问题,是一个热点问题，也是难点问题,这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围,如:向量的模、数量积、夹角及向量的系数．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合．在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中高档题. 【方法点评】方法一 利用基本不等式求平面向量的最值使用情景：一般平面向量求最值问题解题模板:第一步 利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系；第二步 运用基本不等式求其最值问题; 第三步 得出结论。
例1.已知点A 在线段BC 上（不含端点），O 是直线BC 外一点,且20OA aOB bOC --=，则221a ba b b+++的最小值是___________ 【答案】222例2 如右图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,N M 两点，且,AM x AB AN y AC ==，则2x y +的最小值为( ）A ．2B ．13C ．3223+ D ．34【答案】C【变式演练1】如图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,M N 两点，且,AM x AB AN y AC ==,则x y +的最小值为( ）A ．2B ．13C ．43D ．34【答案】CMNA BGQ考点：向量共线，基本不等式求最值【变式演练2】已知点A（1, 1)，B(4,0），C（2，2）．平面区域D由所有满足AP AB ACλμ=+(1≤≤a，1≤≤b）的点P（x，y)组成的区域．若区域D的面积为8,则a+b的最小值为．【答案】4考点:1、平面向量的线性运算；2、基本不等式． 【变式演练3】平行四边形ABCD 中，60,1,2,BAD AB AD P ∠===为平行四边形内一点,且22AP =，若),(R AD AB AP ∈+=μλμλ,则2u λ+的最大值为 ． 6【解析】试题分析：对),(R AD AB AP ∈+=μλμλ两边平方可得()()22AP AB AD λμ=+可化为222222APAB AB AD ADλλμμ=+⋅⋅+,据已知条件可得22122λμ=+≥,即λμ≤，又()22212223λλμ=++=+≤，则λ+≤. 考点：向量的数量积运算；基本不等式方法二 利用向量的数量积m n m n ⋅≤求最值或取值范围使用情景：涉及数量积求平面向量最值问题解题模板：第一步 运用向量的加减法用已知向量表示未知向量；第二步 运用向量的数量积的性质求解； 第三步 得出结论。
基本不等式的向量形式
基本不等式的向量形式[思维扩展]波利亚有句名言：“类比是伟大的引路人”．这句话言简意赅地阐明了类比在数学发现中的地位．我们知道，a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)以及a ＋b2≥ab (a ，b ∈R ＋)是两个应用广泛的基本不等式，一种有趣的想法是：这两个不等式可以类比到向量中去吗？由(a －b )2＝|a －b |2≥0不难得到a 2＋b 2≥2a ·b ，当且仅当a ＝b 时等号成立．但将a ＋b2≥ab (a ，b ∈R ＋)简单地类比为a ＋b2≥a ·b 就不行了，由于该不等式左边为向量，右边为数量，故其无意义，因此我们需要调整角度，看能否获得有用的结果．注意到a ＋b2≥ab (a ，b ∈R ＋)⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ＋)，而不等式⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥a ·b 左右两边都是数量，因而可以比较大小．事实上，由(a ＋b )2＝(a －b )2＋4a ·b ＝|a －b |2＋4a ·b ≥4a ·b可得⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥a ·b ，当且仅当a ＝b 时等号成立．这样，我们就得到如下两个结论：定理1 设a ，b 是两个向量，则a 2＋b 2≥2a ·b ，当且仅当a ＝b 时等号成立．定理2 设a ，b 是两个向量，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥a ·b ，当且仅当a ＝b时等号成立．例1 若平面向量a ，b 满足|2a －b |≤3，则a ·b 的最小值是________． 答案 －98解析 方法一 由定理1得 32≥|2a －b |2＝(2a －b )2 ＝(－2a )2＋b 2－4a ·b≥2·(－2a ·b )－4a ·b ＝－8a ·b ，所以a ·b ≥－98，当且仅当b ＝－2a 时等号成立，故a ·b 的最小值是－98.方法二 由定理2得2a ·(－b )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －b 22＝|2a －b |24≤94， 则a ·b ≥－98，当且仅当b ＝－2a 时等号成立．故a ·b 的最小值是－98.说明 本题可推广至一般形式：若平面向量a ，b 满足：|λa ＋b |≤m (m >0)，则当λ>0时，a ·b 的最大值为m 24λ；当λ<0时，a ·b 的最小值为m 24λ.例2 已知a ，b 满足|a |＝1，(a ＋b )·(a －2b )＝0，则|b |的最小值为________．分析 此题有一定难度．普通学生难以想到．事实上，利用定理1此题极易作答，过程如下．答案 12解析 引入正参数λ，由(a ＋b )·(a －2b )＝0得a 2－a ·b －2b 2＝0，又|a |＝1，则1－2b 2＝a ·b ，1－2b 2＝a ·b ≤12⎝⎛⎭⎪⎫λa 2＋1λb 2＝12(λ＋1λb 2)， 当且仅当λa 2＝1λb 2，即b 2＝λ2时等号成立．所以1－2λ2＝a ·b ≤12⎝⎛⎭⎪⎫λa 2＋1λb 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋1λ·λ2，解得λ＝|b |≥12，故|b |的最小值为12.例3 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，求|c |的最大值． 解 由(a －c )·(b －c )＝0得c 2＝c ·(a ＋b )， 由定理1及已知条件得 c 2＝c ·(a ＋b )≤12[c 2＋(a ＋b )2]＝12(c 2＋a 2＋b 2)＝12(c 2＋2)， 解得|c |2≤2，故|c|的最大值是 2.拓展1 已知a ，b 是平面内夹角为θ的两个单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是1cosθ2.拓展2 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的向量，且|a |＝m ，|b |＝n ，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是m 2＋n 2. 例4 平面上三点A ，B ，C 满足AB →·BC →>0，求AC →2＋1AB →·BC→的最小值．解 由定理2得0<AB →·BC →≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →＋BC →22＝14AC →2， 则 AC →2＋1AB →·BC →≥AC →2＋4AC →2＝|AC →|2＋4|AC →|2≥2·|AC →|·2|AC →|＝4，故当且仅当AB →＝BC →，且|AC →|＝2时，AC →2＋1AB →·BC →取得最小值4.例5 设a ，b 满足a 2＋a ·b ＋b 2＝3，求a 2－a ·b ＋b 2的取值范围． 解 由定理1得a ·b ≤a 2＋b 22，所以a ·b ≤3－a ·b2，解得a ·b ≤1.又由定理1得(－a )·b ≤－a 2＋b 22，所以a ·b ≥－a 2＋b 22＝－3－a ·b 2，解得a ·b ≥－3.所以－3≤a ·b ≤1.因为a2－a·b＋b2＝(3－a·b)－a·b＝3－2a·b，所以1≤a2－a·b ＋b2≤9.以上五道例题从不同角度为我们初步展示了定理1、定理2的魅力，它们微小平凡，对破解难题却极其有效．不过，追求它们更广泛的应用前景固然让人心动，但更有价值的则是获得它们的思维过程．类比是打开发现之门的金钥匙，但如何用好这把钥匙却值得我们长久的思考．。
平面向量问题的类型与解法
平面向量问题的类型与解法大家知道，平面向量问题是近几年高考的热点问题之一，每年高考必有一个五分小题，有时在大题中也会涉及到平面向量的内容。
从题型上，以选择题或填空题为主，难度系数为低档或中档，但近几年有向高档题目发展的趋势。
纵观近几年高考试题，归结起来平面向量问题主要包括：①平面向量几何运算问题；②平面向量坐标运算问题；③平面向量数量积的问题等几种类型。
各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也各不相同。
那么在实际解答平面向量问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过典型例题的详细解析，来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：1、在∆ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB u u u r =（ ）A 34AB u u u r - 14AC u u u r B 14AB u u u r - 34AC u u u r C 34AB u u u r + 14AC u u u rD 14AB u u u r +34AC u u u r 【解析】【知识点】①平面向量几何运算的法则与基本方法；②向量共线的充分必要条件；③三角形一边上中线的定义与性质。
【解题思路】运用向量几何运算的基本方法和三角形一边上中线的性质，结合问题条件求出向量EB u u u r 关于向量AB u u u r ，AC u u u r 的式子就可得出选项。
A【详细解答】如图，Q ∆ABC 中，AD 为BC 边上的中线，BC uuu r =AC u u u r -AB u u u r ，∴AD u u u r =AC u u u r -DC u u u r =AC u u u r -12 E BC uuu r =12AC u u u r +12AB u u u r ，Q E 为AD 的中点，∴AE u u u r B D C =12AD u u u r =14AC u u u r +14AB u u u r ，⇒EB u u u r =AB u u u r -AE u u u r =AB u u u r - 14AC u u u r -14AB u u u r =34AB u u u r - 14AC u u u r , ⇒A 正确，∴选A 。
高中数学平面向量知识及注意事项
高中数学平面向量知识及注意事项一、向量基础知识1、实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么(1)结合律：λ(μa )=(λμ) a ；(2)第一分配律：(λ+μ) a =λa +μa ；(3)第二分配律：λ(a +b)=λa +λb .2、向量的数量积的运算律：(1) a ·b = b ·a（交换律）；注:c b a c b a )()(∙≠∙(2)（λa ）·b = λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）；(3)（a ＋b ）·c = a ·c +b ·c .3、平面向量基本定理：如果1e 、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a =λ11e +λ22e ．不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．4、投影：向量b 在向量a方向上的投影为|b |cos θ。
5、a 与b 的数量积(或内积)：a ·b =|a ||b |cos θ．6、a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．7、平面向量的坐标运算：(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a +b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a -b=1212(,)x x y y --.(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa =(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212x x y y +.8、两向量的夹角公式：121222221122cos x x y y x y x y θ+=+⋅+(a=11(,)x y ,b =22(,)x y ).9、向量的模与平面两点间的距离公式：|a |22x y =+,A B d =||AB AB AB =⋅ 222121()()x x y y =-+-(A 11(,)x y ，B 22(,)x y ).10、两个非零向量的共线与垂直的充要条件：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a ∥b ⇔b =λa12210x y x y ⇔-=.a ⊥b (a ≠0 )⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=.11、三角形的重心坐标公式：△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++.G G GC 0A B＋＋＝ 二、向量中需要注意的问题1、向量运算的几何形式和坐标形式，请注意：向量运算中向量起点、终点及其坐标的特征.2、几个概念：零向量、单位向量(与AB 共线的单位向量是||ABAB ± ，平行(共线)向量(无传递性，是因为有0 )、相等向量(有传递性)、相反向量、向量垂直、以及一个向量在另一向量方向上的投影（a 在b上的投影是cos ,a ba ab b⋅=<>=∈R).3、两非零向量．．．．共线的充要条件：//a b a b λ⇔= cos ,1a b ⇔<>=± 12210x y x y ⇔-=. 两个非零向量．．．．垂直的充要条件：0||||a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔+=- 12120x x y y ⇔+=. 特别：零向量和任何向量共线和垂直. b a λ=是向量平行的充分不必要条件!4、三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；向量 PA PB PC、、中三终点A B C 、、共线⇔存在实数αβ、使得：PA PB PC αβ=+且1αβ+=.5、向量的数量积：22||()a a a a ==⋅ ，1212||||cos a b a b x x y y θ⋅==+，121222221122cos ||||x x y y a b a b x y x y θ+⋅==++ ，12122222||cos ,||x x y y a b a b a a b b x y +⋅=<>==+在上的投影. 注意：,a b <> 为锐角⇔0a b ⋅> 且 a b 、不同向；,a b <>为直角⇔0a b ⋅= 且 0a b ≠ 、； ,a b <> 为钝角⇔0a b ⋅< 且 a b 、不反向,0a b ⋅< 是,a b <> 为钝角的必要非充分条件.6、一个重要的不等式：||||||||||||a b a b a b -≤±≤+注意： a b 、同向或有0⇔||||||a b a b +=+ ≥||||||||a b a b -=- ； a b 、反向或有0 ⇔||||||a b a b -=+ ≥||||||||a b a b -=+； a b、不共线⇔||||||||||||a b a b a b -<±<+ .(这些和实数集中类似)7、中点坐标公式1212,22x x y y x y ++==，122MP MP MP P +=⇔为12PP 的中点.。
高考数学平面向量和不等式常用二级结论——帮你节省做题时间(精)
高考数学平面向量和不等式常用二级结论——帮你节省解题时间● 实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa )=(λμ)a ;(2)第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa;(3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb .● 向量的数量积的运算律：(1) a ·b= b ·a （交换律）;(2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）;(3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c.● 平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．● 向量平行的坐标表示设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=. ●a 与b 的数量积(或内积) a ·b =|a ||b |cos θ． ●a ·b 的几何意义 数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．● 平面向量的坐标运算 (1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)A B O B O A x x y y =-=-- . (4)设a =(,),xy Rλ∈，则λa=(,)x y λλ. (5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()xx yy +.● 两向量的夹角公式c o s θ(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ). ●平面两点间的距离公式,A B d =||A B11(,)x y ，B 22(,)x y ). ● 向量的平行与垂直设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则A ||b ⇔b =λa 12210x y x y ⇔-=.a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=. ● 线段的定比分公式设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数，且12PP P P λ=，则 121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121O P O P O P λλ+=+ ⇔12(1)O P t O P t O P =+- （11t λ=+）. ● 三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. ● 点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k ⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''O P O P P P ⇔=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'P P 的坐标为.● “按向量平移”的几个结论（1）点(,)P x y 按向量a =平移后得到点'(,)P x hy k ++. (2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =平移后得到图象C ,则C 的函数解析式为()y f x h k=-+. (3) 图象C 按向量a =平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则C 的函数解析式为()y f x h k =+-. (4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =平移后得到图象C ,则C 的方程为(,)0f x h y k --=. (5) 向量m =(,)x y 按向量a =平移后得到的向量仍然为m =(,)x y . ● 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ∆的外心222O A O B O C ⇔== .（2）O 为ABC ∆的重心0O A O B O C ⇔++= .（3）O 为ABC ∆的垂心O A O B O B O C O C O A ⇔⋅=⋅=⋅ .（4）O 为ABC ∆的内心0a O A b O B c O C ⇔++= .（5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心a O A b O B c O C ⇔=+ .不等式● 常用不等式：（1）,a b R∈⇒222a b a b +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈⇒2a b +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （3）3333(0,0,0).a b c a b c abc ++≥>>> （4）柯西不等式22222()()(),,,,.a b c d a c b d a b c d R ++≥+∈ （5）b a b a b a +≤+≤-. ● 极值定理已知y x ,都是正数，则有（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2；（2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值241s . 推广 已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(22+-=+ （1）若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大；当||y x -最小时,||y x +最小.（2）若和||y x +是定值,则当||y x -最大时, ||xy 最小； 当||y x -最小时, ||xy 最大. ● 一元二次不等式20(0)a x b xc ++><或2(0,40)a b a c ≠∆=->，如果a 与2a x b x c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2a x b x c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<； 121212,()()0()x x x xx x x x x x <>⇔--><或. ● 含有绝对值的不等式当a> 0时，有22x a x a ax a <⇔<⇔-<<. 22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.75.无理不等式（1()0()0()()f x g x f x gx ≥⎧⎪⇔≥⎨⎪>⎩ . （22()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或. （32()0()()0()[()]f x gx gx f x gx ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,()()()()fx g x a a fx g x >⇔>; ()0l o g ()l o g ()()0()()a a f x f x gxgx f xgx >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩. (2)当01a <<时,()()()()fx g x a a fx g x >⇔<; ()0l o g ()l o g ()()0()()a a f x f x gxgx f xgx >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩。
平面向量的基本概念和基本定理
【平面向量】（1）平面向量的基本概念和基本定理： 考点．．1．重要的概念．．．．．①基本概念向量、向量的模（长度），向量的表示，自由向量、相等向量，相反向量，位置向量，零向量、共线向量、单位向量、基线、数乘向量、基向量、坐标、正交基底、向量的数量积、夹角、正射影 考点．．2．重要的定理．．．．． ②基本定理：平行向量基本定理（掌握）、平面向量基本定理（了解）向量共线定理 向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa ∥b (b≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e （2）平面向量的基本运算：（几何运算、代数运算、坐标运算） 考点３重要的运算 ① 向量的加法几何运算：如图，已知向量a 、在平面内任取一点A ，作a AB =，b BC =，则向量AC叫做a 与b 的和，记作b a +，即 AC BC AB b a =+=+特殊情况：(1)BBabba +ba +AABC C)2()3(对于零向量与任一向量a ，有 a a a =+=+00向量加法的运算律：a +b =b +a (a +b ) +c =a + (b +c )向量的加法的代数运算：AC BC AB b a =+=+向量的加法的坐标运算： 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=， ② 向量的减法向量的减法的几何运算： 减法的三角形法则作法：在平面内取一点O ， 作OA = a , OB = b , 则BA = a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量注意：1︒AB 表示a - b 强调：差向量“箭头”指向被减数 2︒用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b ) 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一a ∥b ∥c a - b = a + (-b ) a - b 向量减法的运算律：向量的减法的代数运算：AB =OB -OA向量的减法的坐标运算：若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a -),(2121y y x x --= 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标AB =OB -OA =( x 2, y 2) - (x 1,y 1)= (x 2- x 1, y 2- y 1)③ 向量的数乘 向量的数乘的几何计算示例：已知非零向量a ，作出a +a +a 和(-a )+(-a )+(-a) OC =BC AB OA ++=a +a +a =3aPN =MN QM PQ ++=(-a )+(-a )+(-a )=-3a向量的数乘的运算律： 结合律：λ(μa )=(λμ)a①第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa②第二分配律：λ(a +b )=λa+λb ③向量的数乘的代数运算：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |=|λ||a|（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa=0a -bA AB B B’ O a -ba a bb O A O Ba -ba -b B A O -b向量的数乘的坐标运算若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=④向量的数量积向量的数量积的几何计算：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）并规定0与任何向量的数量积为0向量的数量积的几何意义： 数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积 投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b | 两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0︒≤θ≤180︒向量的数量积的运算律：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积 两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量1︒e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ 2︒a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4︒cos θ =||||b a ba ⋅C5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b |向量的数量积的代数运算： 交换律：a ⋅ b = b ⋅ a数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb ) 分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２， （ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２向量的数量积的坐标运算已知两个非零向量),(11y x a = ，),(22y x b = b a⋅2121y y x x += 设),(11y x a = ，),(22y x b = ，则b a⊥⇔02121=+y y x x 平面内两点间的距离公式（1）设),(y x a = ，则222||y x a +=或22||y x a +=（2）如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式).两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）co s θ =||||b a ba ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=典型例题例1如图，一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为h km /2，求船的实际航行的速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示). 解：例2 已知a(1, 2)，b (2, 3)，c (-2, 5)，求证：△ABC 是直角三角形证明：例3 设a = (5, -7)，b = (-6, -4)，求a ⋅b解：例4已知a= (3, -1)，b = (1, 2)，求满足x ⋅a = 9与x ⋅b = -4的向量x解：例5已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b的夹角是多少?例6 如图，以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角△ABC ，使∠b = 90︒，求点b和向量AB 的坐标 解：例7 在△ABC 中，AB =(2, 3)，AC =(1, k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值 解：例8若非零向量a 和b 满足｜a ＋b ｜＝｜a －b ｜证明：a ⊥b证法一：证法二：例9 已知向量a 是以点A (3，－1)为起点，且与向量b ＝（－3，4）垂直的单位向量，求a 的终点坐标说明：向量的坐标表示是终点坐标减去起始点的坐标，所以向量的坐标与点的坐标既有联系又有区别，二者不能混淆本章知识网络结构运算 类型 几何方法坐标方法运算性质向 量 的 加 法 1平行四边形法则2三角形法则),(2121y y x x b a ++=+a b b a +=+)()(c b a c b a ++=++ AC BC AB =+向 量 的 减 法三角形法则),(2121y y x x b a --=-)(b a b a -+=-BA AB -= AB OA OB =-向 量 的 乘 法1a λ是一个向量,满足: 2λ>0时,a λ与a 同向;λ<0时,a λ与a 异向;λ=0时, a λ=0),(y x a λλλ=a a )()(λμμλ=a a a μλμλ+=+)(b a b a λλλ+=+)(a ∥b a b λ=⇔向 量 的 数 量 积b a •是一个数 10=a 或0=b 时, b a •=020≠a 且0≠b 时,),cos(||||b a b a b a =•2121y y x x b a +=•a b b a •=•)()()(b a b a b a •=•=•λλλc b c a c b a •+•=•+)( 22||a a =22||y x a +=||||||b a b a ≤•重要定理、公式：．．．．．．．．(1)平面向量基本定理21,e e是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数21,λλ，使2211e e aλλ+= (2)两个向量平行的充要条件MO N BAD Ca ∥b ⇔a＝λb ⇔01221=-y x y x(3)两个向量垂直的充要条件a ⊥b ⇔a ·b＝O ⇔02121=+y y x x平面向量习题1、已知,OAOB a b ，且||||2a b ，∠AOB=60°，则||a b =____；a b 与b 的夹角为_____.2.已知点G 是ABC ∆的重心， ()AG AB AC λμλμ=+∈R ，，那么λμ+=_____； 若︒=∠120A ，2AB AC ⋅=-AG __________ .3.已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及所在平面内一点P 满足AB PC PB PA =++，则点△BC P 与△ABP 的面积分别为s 1,s 2,则s 1:s 2=_________4.如图，AB 是半圆O 的直径，C , D 是弧AB 三等分点，M , N 是线段AB 的三等分点，若OA = 6，则→MD ·→NC 的值是 ．5、在半径为1的圆周上按顺序均匀分布着A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6六个点．则122323343445455656616112A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅＝ ．6、已知||1,||2,0,OA OB OA OB ==⋅=点C 在AOB ∠内，且045AOC ∠=，设OC mOA nOB =+，其中,m n R ∈，则mn等于__________. 7、已知在同一平面上的三个单位向量,,a b c ，它们相互之间的夹角均为120o ，且|1ka b c ++>｜，则实数k 的取值范围是8.设向量),1,2(),2cos ,1(==b a θ)1,sin 21(),1,sin 4(θθ==d c ，其中)4,0(πθ∈.（1）求d c b a ⋅-⋅的取值范围；（2）若函数)()(|,1|)(d c f b a f x x f ⋅⋅-=与比较的大小9.已知m R ∈, 2 (1, )a x m =-+，1 (1, )b m x =+， (, )x c m x m=-+.（Ⅰ）当1m =-时，求使不等式 1a c ⋅<成立的x 的取值范围； （Ⅱ）求使不等式 0a b ⋅>成立的x 的取值范围.10.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量(1,2)a =-，又点(8,0),(,),(sin ,)(0)2A B n t C k t πθθ≤≤(1)若,AB a ⊥且||5||AB OA =，求向量OB ；(2)若向量AC 与向量a 共线，当4>时，且sin t θ取最大值为4时，求OA OC • 解:一、考题选析：例1、已知向量(2,3),(3,)a b λ=-=，若//a b ，则λ等于( )A 、23 B 、2- C 、92- D 、23- 例2、设两个向量22(2cos )λλα=+-，a 和sin 2m m α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，b ，其中m λα，，为实数．若2=a b ，则mλ的取值范围是（ ） Ａ、[]16，-Ｂ、[48]，Ｃ、]1[，-∞ Ｄ、]61[，-例3、在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（ ） A 、23B 、13C 、13-D 、23-例4、设平面向量321,,a a a 的和0321=++a a a 。
向量形式的基本不等式
也可以由实数型的基本不等式得到：ａ２＋ｂ２＝
｜ａ｜２＋｜ｂ｜２≥２｜ａ｜｜ｂ｜≥２ａ·ｂ． 我们权且称不 等 式 （＊）为 向 量 基 本 不 等 式，
类比基本不等式的变式可得向量基本不等式的几
种变式：
（１）２（ａ２＋ｂ２）≥（ａ＋ｂ）２ （２）ａ２＋ｂ２≥－２ａ·ｂ （３）（ａ＋ｂ）２≥４ａｂ （４）（ａ－ｂ）２≥－４ａｂ
Ｓｍｉｎ 表示Ｓ 所有可能取值中的最小值．则下列命题
正确的是
（写出所有正确命题的编号）．
①Ｓ 有５个不同的值；
②若ａ ⊥ｂ，则Ｓｍｉｎ与｜ａ｜无关； ③若ａ∥ｂ，则Ｓｍｉｎ与｜ｂ｜无关； ④若｜ｂ｜＞４｜ａ｜，则Ｓｍｉｎ＞０； ⑤若｜ｂ｜＝２｜ａ｜，Ｓｍｉｎ＝８｜ａ｜２，则ａ 与ｂ 的夹角
为π４ ．
趣的是，将 基 本 不 等 式 中 的 实 数ａ、ｂ 类 比 为 向 量
ａ、ｂ，也 有 向 量 形 式 下 的 基 本 不 等 式 成 立 ：ａ２ ＋ｂ２ ≥
２ａ·ｂ
（＊）
事实上，由（ａ－ｂ）２＝｜ａ－ｂ｜２≥０，展 开 得ａ２
－２ａｂ＋ｂ２≥０，移 项 得ａ２＋ｂ２≥２ａ·ｂ，等 号 成 立 当
且仅当向 量ａ 与ｂ 相 等 ．
＞ａ２＋ｂ２＋２ａ·ｂ＞４ａ·ｂ．所以Ｓｍｉｎ ＝４ａ·ｂ． 记向 量ａ 与ｂ 的夹 角 为θ，
所以４｜ａ｜｜２ａ｜ｃｏｓθ＝４｜ａ｜２，从而
ｃｏｓθ＝
１２ ，得θ ＝
π ．故选 ３
Ｂ．
例２ （２０１４高考数学安徽卷理科第１５题）已 知两个不 相 等 的 非 零 向 量ａ，ｂ，两 组 向 量 ｘ１，ｘ２， ｘ３，ｘ４，ｘ５和ｙ１，ｙ２，ｙ３，ｙ４，ｙ５均由２个ａ 和３个ｂ排 列 而 成．记 Ｓ＝ｘ１ｙ１ ＋ｘ２ｙ２ ＋ｘ３ｙ３ ＋ｘ４ｙ４ ＋ｘ５ｙ５，
必胜秘诀向量与不等式
高考数学必胜秘诀在哪？――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结五、平面向量1、向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)； （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
a 的相反向量是－a 。
如下列命题：（1）若a b =，则a b =。
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。
（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。
（5）若,a bb c ==，则a c =。
（6）若/,/a bb c ，则//a c 。
其中正确的是_______（答：（4）（5）） 2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，j 为基底，则平面内的任一向量可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量的坐标，＝(),x y 叫做向量的坐标表示。
基本不等式的向量形式
2021年新高考数学总复习：基本不等式的向量形式我们知道，a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )以及a ＋b 2≥ab (a ，b ∈R ＋)是两个应用广泛的基本不等式，一种有趣的想法是：这两个不等式可以类比到向量中去吗？由(a －b )2＝|a －b |2≥0不难得到a 2＋b 2≥2a ·b ，当且仅当a ＝b 时等号成立．但将a ＋b 2≥ab (a ，b ∈R ＋)简单地类比为a ＋b 2≥a ·b 就不行了，由于该不等式左边为向量，右边为数量，故其无意义，因此我们需要调整角度，看能否获得有用的结果．注意到a ＋b 2≥ab (a ，b ∈R ＋)⇔⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ＋)，而不等式⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≥a ·b 左右两边都是数量，因而可以比较大小．事实上，由(a ＋b )2＝(a －b )2＋4a ·b ＝|a －b |2＋4a ·b ≥4a ·b 可得⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≥a ·b ，当且仅当a ＝b 时等号成立． 这样，我们就得到如下两个结论：定理1 设a ，b 是两个向量，则a 2＋b 2≥2a ·b ，当且仅当a ＝b 时等号成立．定理2 设a ，b 是两个向量，则⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≥a ·b ，当且仅当a ＝b 时等号成立． 例1 若平面向量a ，b 满足|2a －b |≤3，则a ·b 的最小值是________．答案 －98解析 方法一 由定理1得32≥|2a －b |2＝(2a －b )2＝(－2a )2＋b 2－4a ·b≥2·(－2a ·b )－4a ·b ＝－8a ·b ，所以a ·b ≥－98，当且仅当b ＝－2a 时等号成立， 故a ·b 的最小值是－98. 方法二 由定理2得2a ·(－b )≤⎝⎛⎭⎫2a －b 22＝|2a －b |24≤94，则a ·b ≥－98，当且仅当b ＝－2a 时等号成立． 故a ·b 的最小值是－98. 说明 本题可推广至一般形式：若平面向量a ，b 满足：|λa ＋b |≤m (m >0)，则当λ>0时，a ·b的最大值为m 24λ；当λ<0时，a ·b 的最小值为m 24λ. 例2 已知a ，b 满足|a |＝1，(a ＋b )·(a －2b )＝0，则|b |的最小值为________．分析 此题有一定难度．普通学生难以想到．事实上，利用定理1此题极易作答，过程如下．答案 12解析 引入正参数λ，由(a ＋b )·(a －2b )＝0得a 2－a ·b －2b 2＝0，又|a |＝1，则1－2b 2＝a ·b ，1－2b 2＝a ·b ≤12⎝⎛⎭⎫λa 2＋1λb 2 ＝12(λ＋1λb 2)， 当且仅当λa 2＝1λb 2，即b 2＝λ2时等号成立． 所以1－2λ2＝a ·b ≤12⎝⎛⎭⎫λa 2＋1λb 2 ＝12⎝⎛⎭⎫λ＋1λ·λ2， 解得λ＝|b |≥12， 故|b |的最小值为12. 例3 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，求|c |的最大值．解 由(a －c )·(b －c )＝0得c 2＝c ·(a ＋b )，由定理1及已知条件得c 2＝c ·(a ＋b )≤12[c 2＋(a ＋b )2] ＝12(c 2＋a 2＋b 2)＝12(c 2＋2)， 解得|c |2≤2，故|c|的最大值是 2.拓展1 已知a ，b 是平面内夹角为θ的两个单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是1cos θ2. 拓展2 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的向量，且|a |＝m ，|b |＝n ，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是m 2＋n 2.例4 平面上三点A ，B ，C 满足AB →·BC →>0，求AC →2＋1AB →·BC →的最小值．。
基本不等式，高考离不开
１ ２
２＝１２３，当且仅当点犉 为线段犕犖 的中
点时，等号成立．
故填答案：１ ６，１２３．
２犮＝２槡犪２ ＋犫２ ≥２槡２犪犫 ＝８，当且仅当犪＝犫＝２槡２ 时，等号成立，所以犆 的焦距的最小值为８．
故选 Ｂ．
五、证明问题
ห้องสมุดไป่ตู้
例５ （２０２０年全国卷 Ⅲ 第２３题）设犪，犫，犮∈犚， 犪＋犫＋犮＝０，犪犫犮＝１．
数量积公式，代入即可确定参数λ 的值；结合辅助线 的构造，利用平面向量的线性运算与数量积公式加以
转化，分别利用两向量的夹角的余弦值大于等于 －１，
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复习
２０２１年４月 学习交流
复习 备考 学习交流 ２０２１年４月
基本不等式，高考离不开
? 江苏省海安市曲塘中学 崔益斌
基本不等式及其应用是高考中的一个重要考点 之一，是 高 考 数 学 命 题 的 一 个 热 点 与 亮 点，备 受 高 考 命题者的青睐．基本不等式及其应用有时直接单独命 制，有 时 与 其 他 数 学 知 识 进 行 融 合 与 交 汇，涉 及 代 数 式的最值、大小比较、平面向量、三角函数、圆锥曲线、 证明以及实际应用等问题．下面结合２０２０年高考数学 中的基本不等式的应用真题，实例展示基本不等式的 应用与技 巧，抛 砖 引 玉，以 期 为 高 考 复 习 与 备 考 提 供 些许帮助．
备考
以及基本不等式的应用，通过不等式的性质转化来确
定相应的最值问题． 解：由于犃→犇 ＝λ犅→犆，可得
犃犇 ∥犅犆，又 ∠犅 ＝６０°，所以
∠犃＝１２０°，结合犃犅＝３，犅犆＝ ６，可得犃→犇·犃→犅 ＝λ犅→犆·犃→犅
高中数学不等式与向量教案
高中数学不等式与向量教案
教学内容：不等式与向量
教学目标：通过本节课的学习，学生能够掌握不等式的基础知识，能够解决一元不等式、二元不等式等基础问题，并且能够应用向量的基础知识解决简单问题。
教学重点：不等式的解法；向量的基础知识
教学难点：不等式的应用问题；向量的实际问题
教学过程：
1. 导入新知识（5分钟）：通过举例引出不等式的概念，并与学生讨论不等式的性质和解法。
2. 不等式的解法（15分钟）：介绍一元不等式和二元不等式的解法方法，让学生通过练习题来巩固对不等式解法的理解和掌握。
3. 向量的基础知识（10分钟）：引入向量的概念，讨论向量的性质和表示方法，让学生熟悉向量的基本概念。
4. 课堂练习（15分钟）：让学生进行一些不等式和向量的练习题，帮助他们巩固所学知识。
5. 应用实例（10分钟）：通过一些实际问题让学生应用所学知识解决问题，提高他们的应用能力。
6. 总结回顾（5分钟）：总结本节课所学内容，让学生复习并巩固知识点。
作业布置：布置一些不等式和向量的练习题，让学生在家中进行练习并完成。
教学反思：本节课主要是让学生掌握不等式和向量的基础知识，并且能够应用所学知识解决实际问题。
通过练习题和应用实例的训练，可以提高学生的解题能力和思维能力，为进一步学习数学打下良好的基础。
基本不等式八种交汇问题
盘点有关基本不等式的八种交汇问题典例讲解一、基本不等式与函数交汇1、已知函数的图像恒过定点A ，若点A 在直线上，其中 ，则的最小值是（ ） A ．9B ．4C ．D ．82．设,a b 都是不为1的正数，函数11()2x x f x a b --=+-的图象关于1x =对称则()f x 的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．33．若0a >，0b >，且函数()3242f x x ax bx =--在1x =处有极值，则41a b+的最小值为（ ）A ．49B ．43C ．32D ．234、已知a ∈R ，函数4()||f x x a a x=+-+在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是 ．二．基本不等式与立体几何交汇1．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面,ABC AB BC ⊥，且2AB =.若三棱锥P ABC -的外接球体积为36π，则当该三棱锥的体积最大时，其表面积为( ) A ．663B．8+C．8+D．6+2．如图，三棱锥P ABC -的四个顶点恰是长、宽、高分别是m ，2，n 的长方体的顶点，此三棱锥的体积为2，则该三棱锥外接球体积的最小值为（ ）A ．2563πBC ．323πD ．36π3．如图，在三棱锥P ABC -中PA PB PC 、、两两垂直，且3,2,1PA PB PC ===，设log (3)2(0,1)a y x a a =+->≠40mx ny ++=0,0m n >>41m n+92M 是底面三角形ABC 内一动点，定义：()(,,)f M m n p =，其中m n p 、、分别是三棱锥M PAB -、三棱锥M PBC -、三棱锥M PAC -的体积。
若1(),2,2f M x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且18ax y+≥恒成立，则正实数a 的最小值是_____.三．基本不等式与数列交汇2．记等比数列n 的前项和为n ，已知1，423，设是正整数，若存在正整数(1)ij i j <<，使得,,i j ma mn na 成等差数列，则mn 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．83．已知正项等比数列{}n a 满足：2853516,20a a a a a =+=，若存在两项,m n a a 使得32=，则14m n+的最小值为 A ．34 B ．910C ．32D ．954、已知递增等差数列{}n a 中，122a a =-，则3a 的（ ）A ．最大值为4-B ．最小值为4C ．最小值为4-D ．最大值为4或4-5、已知正项等比数列{}n a 满足：2853516,20a a a a a =+=，若存在两项,m n a a 使得32=，则14m n+的最小值为（ ） A.79B.910C. 3 4D.95四．基本不等式与直线交汇 1．若直线()10,0x ya b ab+=>>过点()3,12，则a b +的最小值为（ ） A ．27B ．30C ．33D ．362．若直线ax ＋by －1＝0(a >0，b >0)过曲线y ＝1＋sin πx (0<x <2)的对称中心，则1a ＋2b 的最小值为( )A.2＋1 B ．4 2 C ．3＋2 2 D ．63、在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,2A ，点()4,2M ，点N 在线段OA 的延长线上.设直线MN 与直线OA 及x 轴围成的三角形面积为S ，则S 的最小值为____________.五、基本不等式与圆锥曲线交汇1．已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ）A ．13B ．12C ．9D ．62、已知F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点，若直线y kx =与椭圆相交于,A B 两点，且120AFB ∠=︒，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A．,12) B．(0,2C ．1[,1)2D ．(10,2]3、已知抛物线2: 2(0)C y px p =>的焦点F 到其准线的距离为4，圆22():21M x y -+=，过F 的直线l 与抛物线C 和圆M 从上到下依次交于A ，P ，Q ，B 四点，则4AP BQ +的最小值为（ ）A ．9B ．11C ．13D ．154、已知点A (0,2)-，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF的斜率为3，O 为坐标原点． （Ⅰ)求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程．六、基本不等式与不等式恒成立问题交汇 1、当时，不等式恒成立，则的取值范围是()A. B. C. D.2、已知0,0a b >>，若不等式313na b a b+≥+恒成立，则n 的最大值为（ ）(1,2)x ∈240xmx ++<m 5m ≤-5-<m 5<m 5≥mA ．9B ．12C ．16D ．203、若a >0，a >0，a >0且a (a +a +a )+aa =16，则2a +a +a >a 2+2a 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,−2)∪(4,+∞)B. (−∞,−4)∪(2,+∞)C. (−2,4)D. (−4,2)4、若对任意实数x >0，y >0，不等式x +√xy ≤a (x +y )恒成立，则实数a 的最小值为( )A. √2−12B. √2−1C. √2+1D. √2+12七、基本不等式与解三角形交汇1. 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边另别是,,a b c ，已知2222sin sin sin 3sin A B A B C ++=，则sin C 的最大值为（ ）A ．6B ．3C ．6D ．62、在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,∠ABC =120°,∠ABC 的平分线交AC 于点D ,且BD =1,则4a +c 的最小值为 .3．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，4c =，a A =，且C 为锐角，则ABC ∆面积的最大值为________.4．ABC ∆的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，．（I ）若c b a ，，成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ； （II ）若c b a ，，成等比数列，求B cos 的最小值． 八、基本不等式与平面向量交汇1、设OA ＝（1，－2），OB ＝(a ，－1)，OC ＝(－b,0)(a >0，b >0，O 为坐标原点)，若A ，B ，C 三点共线，则2a ＋1b 的最小值是( )A ．4 B.92 C ．8 D ．92、已知向量(1,1)a x =-，(,2)b y =，其中0x >，0y >，若a b ⊥，则12x y+的最值为_______．3、如图所示,已知点G 是ABC 的重心,过点G 作直线分别交AB ，AC 两边于M ，N两点，且AMxAB =，AN yAC =，则3x y +的最小值为______.巩固练习1、函数2614(1)1x x y x x ++=>-+的最小值是（ ）A ．10B ．12C ．13D ．142、已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，22－1)C ．(－1,22－1)D ．(－22－1,22－1)3、已知a 、()0,b ∈+∞,若14a b a bλ+≥+恒成立,则实数λ的取值范围为（ ） A.[)5,+∞B.[)9,+∞C.(],5-∞D.(],9-∞4．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知12a =，对任意*,p q N ∈，都有p q p q a a a +=⋅，则()114260n n nS S a --⋅++（1n >且*n N ∈）的最小值为（ ）A ．16B ．24C ．32D ．645、设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且=2,则直线的斜率的最大值为A ．B ．C ．D ．1 6、设()ln f x x =，0a b <<，若p f =，()2a bq f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是A ．q r p =<B ．q r p =>C ．p r q =<D ．p r q =>7．已知函数())2log f x x =，若对任意的正数,a b ，满足()()310f a f b +-=，则31a b+的最小值为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．248．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面,ABC AB BC ⊥，且2AB =.若三棱锥P ABC -的外接球体积为36π，则当该三棱锥的体积最大时，其表面积为( ) A ．663B．8+C．8+D．6+9、设m ，n R ∈，若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，则+m n 的取值范围是A．[1- B．(,1[1+3,+)-∞∞C．[2-D ．(,2[2+22,+)-∞-∞O P F 22(0)y px p =>M PFPM MF OM323210．已知0,0>>a b ，若不等式恒成立，则的最大值为_________． 11．已知圆柱的两个底面的圆周都在表面积为20π的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为__________．12．已知抛物线()220y px p =>的焦点和椭圆22143x y +=的右焦点重合，直线过抛物线的焦点F 与抛物线交于P 、Q 两点和椭圆交于A 、B 两点，M 为抛物线准线上一动点，满足8PF MF +=，3MFP π∠=，当MFP 面积最大时，直线AB 的方程为______.13．已知函数()2ln 2f x x x =-在点()()1,1f 处的切线过点(),,0,0a b a b >>，则13a b+的最小值为__________.14、已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的最小值为 A ．16 B ．14 C ．12 D ．1015．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，ccos )sin b a C c A -=． (1)求A ；(2)若ABC，点D 在线段AC 上，且13AD AC =，求BD 的最小值．16．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>A ，上顶点为B ，过A ，B两点的直线平分圆22(1)1x y ⎛-+= ⎝⎭(1)求椭圆E 的方程；(2)若直线:l y x m =+与E 相交于C ，D 两点，且点(0,3)M m ，当CDM 的面积最大时，求直线l 的方程．17．已知α，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且满足()sin cos sin βαβα=+． (1)证明：2sin cos tan 1sin ααβα=+；(2)求tan β的最大值．18、在平面直角坐标系xoy 中， 已知点(0,1)A -，B 点在直线3y =-上，M 点满足//MB OA ，MA AB MB BA =，M 点的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）P 为C 上动点，l 为C 在点P 处的切线，求O 点到l 距离3103m a b a b--≤+m F C 24y x =F 1l 2l 1l CA B 2l C D E ||||AB DE +的最小值．19、在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e =且椭圆C 上的点到(0,2)Q 的距离的最大值为3． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）在椭圆C 上，是否存在点(,)M m n 使得直线l ：1mx ny +=与圆O ：221x y +=相交于不同的两点,A B ，且OAB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由．。
平面向量知识点归纳
平面向量知识点归纳■标准化文件发布号：（9556・EUATWK・MWUB・WUNN-INNUL-DDQTY・Kn第—童平面向量2.1向量的基本概念和基本运算16、向量：既有大小，乂有方向的量.数量：只有大小，没有方向的量. 有向线段的三要素：起点、方向、长度.零向量：长度为0的向量• 单位向量：长度等于1个单位的向量• 平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量•零向量与任一向量平 行.相等向量：长度相等且方向相同的向量.17、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点：共起点.⑶三角形不等式：||«|-|/?|| < d + b <|^| + |/?a+b=b+a ；② 结合律：(& + b) + c ： = d + (b + c ：) ；(3 J + 0 = 6 + « = (i . (5)坐标运算：设0 =(不,)\), b=(x 2,y 2)t 贝IJ万+5 = (召+疋，开+儿)・«-^=AC-AB=BC(1)三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量・⑵坐标运算：设a = S = (x 2,y 2),则a-b=(x l -x 29y l -y 2).设A 、B 两点的坐标分别为(人切)，(x 2,y 2),则AB = (^-y 2).19、向量数乘运算: (1)实数兄与向量万的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作久刁・ ②当兄＞0时，久/的方向与7的方向相同；当几＜0时？久/的方向与〃的方向相 反;当 ＞1 = 0 时，Ad = 6 .⑵运算律：①;1(“町=(；1“)万；②(兄+〃)厅=脑+炖；③兄(刁+5)=肪+舫(3)坐标运算:设 a = (x,y).则 Aa = A(x,y) =(Ax 9Ay).20、 向量共线定理：向量耳〃工0）与5共线，当且仅当有唯一一个实数几，使 b = A,a . 设"&,）［）, b=（x 2,y 2）,其中,则当且仅当人儿-兀儿=°时 向量⑷运算性质：①交换律:18、向量减法运算: B&、6（5工0）共线.2.2平面向量的基本定理及坐标表示21、平面向量基本定理：如果兀、&是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量X,有且只有一对实数&、,使万=入石+入瓦.（不共线的向量石、：作为这一平面内所有向量的一组基底）22、分点坐标公式：设点P是线段Pf?上的一点，P】、的坐标分别是（%））（兀2,儿），当卒"匝时，点P的坐标是（芝牛，塔字）•（当2 = 1B寸，就为屮点公式。
平面向量的鸡爪定理
平面向量的鸡爪定理
平面向量的鸡爪定理，也称平面向量的柯西-施瓦茨不等式，是指对于任意两个平面向量a和b，它们的数量积（也称点积或内积）满足下列不等式：
|a·b| ≤|a|·|b|
其中，|a·b|表示向量a和b的数量积的绝对值，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长（或长度）。
该不等式表明，向量的数量积的绝对值不大于这两个向量的模长之积，即它们之间的夹角越小，数量积的绝对值就越小。
该不等式的“鸡爪”名称是因为它的几何意义可以用一个简单的“鸡爪”形状来表示。
具体来说，将向量a和b首尾相连，得到一个平行四边形，然后从该平行四边形顶点引出一条垂线，将该平行四边形分成两个三角形，如图所示。
此时，鸡爪的拇指部分表示向量a，食指表示向量b，而垂线部分则表示它们的数量积的绝对值。
根据勾股定理，垂线的长度为|a·b|，而鸡爪的两个指部分的长度则分别为|a|和|b|。
因此，不等式左侧的|a·b|就对应着鸡爪的垂线部分，而不等式右侧的|a|·|b|则对应着鸡爪的两个指部分的长度之积。
由于鸡爪不等式中左侧的垂线部分不超过右侧两个指部分的长度之积，因此该不等式得证。
总之，平面向量的鸡爪定理是向量分析中一条重要的基本定理，它揭示了向量之间数量积和模长之间的关系，具有广泛的应用价值。
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一：选择题 1. 在中，点在线段上，且则的最小值为（ ）
A.8
B.16
C.24
D.32
2. 在△ABC所在平面上有一点P，满足，则△PBC与△ABC面积之比
是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.已知两个非零向量a＝（m－1，n－1），b＝（m－3，n－3），且a与b 的夹角是钝角或直角，则m＋n的取值范围是（ ）
10.已知为由不等式组所确定的平面区域上的动点，若点，则的最大值 为
A．（
，3
）
B．（2，6）
C．[
，3
]
D．[2，6]
4.,点在内，且，设，，则等于（ ）
A． B．3 C． D．
5.若两个正实数满足，且不等式 有解，则实数的取值范围是（ ）
A.
B
.
C.
D.
6.已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A．2
B．
C．1
D．
7.已知点是边长为1的正方形的对角线上的任意一点,于,于,则等于 （ ）
11.定义域为的函数图像的两个端点为A，B，是图像上任意一点，其中.
已知向量，若不等式恒成立，则称函数在上“阶线性近似”.若函数在
上“阶线性近似”，则实数的取值范围为 （ ）
A.
B.
C.
D.
12.所在平面内一点满足则为（ ） A. B. C. D.
13.如图，为直线外一点，若中任意相邻两点的距离相等，设用表示， 其结果为
A. Байду номын сангаас. C. D.
14.已知点是边长为1的正方形的对角线上任意一点，于点 于,则等于（）
A.1
B.
C.
D.0
二：填空题
1. 已知是的外接圆圆心，且若存在实数使得,且则
2. 已知是等差数列，若存在两项使得则的最小值为
3.已知向量、满足，则
.
4.已知正三角形ABC的边长为2，点D，E分别在边AB，AC上，且 =l ， =l ．若点F为线段BE的中点，点O为△ADE的重心，则 • =．
A.1
B.
C.
D.
8.在△ABC中，若2＝·＋·＋·，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三 角形
9.点P是单位正方体ABCD－A1B1C1D1中异于A的一个顶点，则·的值为（
）
( )．
A．0
B．1
C．0或1 D．任意实数
10.如图，四面体的体积为，且满足，则四面体中最长的棱长为（ ） A. B.2 C. D.3
5.的外接圆半径为1，圆心为，且，则的值为 6.已知点是内一点，且若的面积之比是则
7.设点是函数的图像上任意一点，过点分别向直线和轴作垂线，垂足分 别为则
8. 设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋ －的最大值为________．
9. 已知均为单位向量，且夹角为若，则实数