2.2.1 圆心角
弦所对的圆周角和圆心角的关系
弦所对的圆周角和圆心角的关系1. 引言大家好，今天咱们来聊聊一个看似有点儿高深、其实很简单的几何概念，那就是弦所对的圆周角和圆心角的关系。
听起来是不是有点儿复杂？别担心，我们慢慢来，肯定能把这个“圆”搞明白。
首先，咱们得了解这两个概念，顺便给大家普及一下，让你在下次喝茶聊天时也能来一句“你知道圆周角和圆心角的关系吗？”绝对能让朋友们刮目相看！1.1 圆心角的定义好，咱们先从圆心角说起。
圆心角，顾名思义，就是以圆心为顶点，连接圆上两点的角。
想象一下，你在圆心位置，像个“老大”，一手指向圆周上的A点，另一手指向B 点，然后就形成了一个“心”的角度。
这个角度的大小，基本上就是这两条线和圆心之间的“角斗”结果。
嘿，听起来是不是很酷？这就像你和朋友之间比拼谁的手机拍照更好，看谁的角度更完美。
1.2 圆周角的定义接着，咱们聊聊圆周角。
圆周角和圆心角的区别可大了！圆周角的顶点在圆的边缘，而不是圆心。
它是由两条弦的延长线形成的角度。
想象一下，你在海边，看到两条长长的沙滩，跟朋友说：“你看，这两个地方的海水都很漂亮！”然后你伸出手，想要把两个地方连起来，这样形成的角度就是圆周角。
虽然不那么显眼，但它的存在可一点也不简单。
2. 它们之间的关系说到这儿，大家可能会问：“这两个角到底有什么关系呢？”别急，接下来就是重点了！其实，弦所对的圆周角恰好等于相应的圆心角的一半。
简单来说，就是圆心角大，圆周角小。
就像在家里吃饭，你爸妈给你做了一个大份的菜，你能吃的部分就得少一些。
哎，这就叫“量入为出”嘛！2.1 数学公式所以，数学上我们可以用公式表示出来：圆周角 = 圆心角 / 2。
是不是简单明了？这个公式就像是一把钥匙，打开了圆心角和圆周角之间的秘密。
记住这句话，下次在考试时可别忘了！2.2 实际应用那么，这个关系有什么用呢？当然有了！在生活中，尤其是建筑设计和艺术创作中，我们常常需要用到这两种角度。
比如说，画一个大圆时，你需要确定一些关键点，这时候就得运用圆心角和圆周角的关系。
湘教版九年级下册第二章圆教案
湘教版九年级下册第2章圆教案第（1~4课时）第一课时圆的对称性学习目标：1、理解圆及弧、等弧、弦、等圆、半圆、直径等有关概念的定义；2、理解圆既是轴对称图形又是中心对称图形.；3、掌握点与圆的位置关系及判定条件.教学重点、难点：1、重点：圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的理解.2、难点：圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的区别与联系.教学过程：一、新课引入：1、创设情境、导入新课：圆是生活中常见的图形,许多物体都给我们以圆的形象.（1）观察以上图形，请大家说说生活中还有哪些圆形，让学生体验圆的和谐与美丽.（2）活动：请同学们在草稿纸上用圆规画圆,体验画圆的过程,想想圆是怎样形成的.二、新知探究：1、探究一：圆的定义（1）活动：如教材P43图所示，用绳子和圆规画圆；（2）思考：通过用绳子和圆规画圆的过程，你发现了什么由此你能得到什么结论（3）凝炼结果：圆的定义及表示方法：如右图:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的圆形叫做圆.固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径.以点O 为圆心的圆,记作“⊙O ”，读作“圆O ”.注意:圆指的是圆周,不是圆面. 2、探究二：点与圆的位置关系：（1）观察：与、、321P P P ⊙O 的位置关系，你发现了点与圆的有哪几种位置关系什么点P 到圆心O 的距离d 与⊙O 的半径为r 有何关系（2）结论：点与圆的位置关系及性质：一般地,设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d,则有 ①若点P 在⊙O 内，则d ＜r ； ②若点P 在⊙O 上，则d=r ； ③若点P 在⊙O 外，则d ＞r 。
（3）点与圆的位置关系的判定方法：数形结合法；①若d ＜r ，则点P 在⊙O 内； ②若d=r ，则点P 在⊙O 上； ③若d ＞r ，则点P 在⊙O 外。
3.与圆有关的概念：（结合图形理解）(1)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.(如:线段AB 、AC) (2)直径：经过圆心的弦(如AB)叫做直径.注:直径是特殊的弦,但弦不一定是直径. (3)弧的定义及分类:定义：圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.如图,以A 、B 为端点的弧记作,»AB ,读作:弧AB.分类:①圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.②大于半圆的弧,用三个点表示,如图中的¼ABC ,叫做优弧. 小于半圆的弧,用两个点表示,如图中的»AC ,叫做劣弧. （4）等圆:能够重合的两个圆叫做等圆.注:半径相等的两个圆是等圆,反过来,同圆或等圆的半径相等. （5）等弧:在等圆或同圆中,能够互相重合的弧叫等弧.32P 1注:①等弧是全等的，不仅是弧的长度相等.②等弧只存在于同圆或等圆中.4、探究三：圆的对称性（1）探究活动：通过教材P44探究1、2，引导学生仔细体会，必要时可通过画图或折叠圆心纸片演示.（2）凝炼结果：①圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心.②圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴.（3）思考车轮为什么做成圆形的如果车轮不是圆的(如椭圆或正方形等),坐车人会是什么感觉分析:把车轮做成圆形,车轮上各点到车轮中心(圆心)的距离都等于车轮的半径,当车轮在平面滚动时,车轮中心与平面的距离保持不变.因此,车辆在平路上行驶时,坐车的人会感到非常平稳.如果车轮不是圆的,车辆在行驶时,坐车人会感觉到上下颠簸,不舒服.三、自学成果展示：1.在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=3cm,BC=2cm,以点A为圆心，2cm长为半径作圆，则点C（ C ）A.在⊙A内B.在⊙A上C.在⊙A外D.可能在⊙A上也可能在⊙A外2、（1）以点A为圆心，可以画____个圆.(2)以已知线段AB的长为半径,可以画____个圆.(3)以A为圆心AB长为半径,可以画___个圆.【参考答案】2.(1)无数(2)无数(3)13.如图,半圆的直径AB=________. 【参考答案】3.22第3题图第4题图4.如图，图中共有____条弦.5、如图，是两个同心圆，其中两条直径互相垂直，大圆的半径是2，则其阴影部分的面积之和为(结果保留π)．四、课堂小结：小组交流，共享受收获的喜悦1、师生共同回顾圆的两种定义，弦（直径），弧（半圆、优弧、劣弧、等弧），等圆等知识点.2、通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,还有哪些疑问请与同伴交流.五、课堂检测：1、下列图形中，对称轴最多的图形是（）2．已知⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A与⊙O的位置关系是（）A．点A在⊙O上B．点A在⊙O内C．点A在⊙O外D．点A与圆心O重合3、已知⊙O的半径为5，圆心O的坐标为(0，0)，点P的坐标为(3，4)，那么点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法确定4、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）5、已知一点到圆的最小距离为1 cm，最大距离为3 cm，则圆的半径为（）A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．1 cm 或2 cm6、已知矩形ABCD的边AB＝6，AD＝8.如果以点A为圆心作⊙A，使B、C、D三点中在圆内和在圆外都至少有一个点，那么⊙A的半径r的取值范围是（）A．6＜r＜10 B．8＜r＜10 C．6＜r≤8 D．8＜r≤107、如图，⊙O与⊙O′是任意两个圆，把这两个圆看作一个整体，它是一个轴对称图形，请你作出这个图形的对称轴．8、如图，⊙O中，点A，O，D以及B，O，C分别都在同一条直线上．(1)图中共有几条弦请将它们写出来；(2)请任意写出两条劣弧和两条优弧．六、课后作业1.布置作业:从教材“习题2.1”中选取.拓展练习：1、在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，以点C为圆心，以r＝3为半径作圆，判断A，B两点和⊙O的位置关2、由于过度采伐森林和破坏植被，我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭．近日，A市气象局测得沙尘暴中心在A市正东方向400 km的B处，正在向西北方向转移，如图，距沙尘暴中心300 km的范围内将受其影响，问A市是否会受到这次沙尘暴的影响七、教学反思：第二课时 圆心角、圆周角（第1课时）2.2.1 圆心角学习目标：1.理解并掌握圆心角的概念.2.掌握圆心角与弧及弦的关系定理. 教学重点、难点：1、重点：弧、弦、圆心角之间关系的定理及推论和它们的应用.2、难点：探索定理和推论及其应用. 教学过程： 一、新课引入1、问题1：如图中,时钟的时针与分钟所成的角与时钟的外围所成的圆有哪些位置关系教师引导：让学生关键指出两点： 一是角的顶点在圆心,二是两边与圆相交. 2、引入课题：2.2.1 圆心角 二、思考探究，获取新知1.学生自学课文：P47,弄清：圆心角的定义（1）圆心角概念：顶点在圆心,角的两边与圆相交的角叫圆心角.如图,∠AOB 叫做AB ︵所对的圆心角, AB ︵叫做圆心角∠AOB 所对的弧. 注：圆心角的定义可以简化为:顶点在圆心的角叫圆心角. 2、探究：圆心角与弧、弦关系定理（1）探究1：请同学们按下列要求作图并回答下列问题:如图所示的⊙O 中，分别作相等的圆心角∠AOB 和∠A ′OB ′,将圆心角∠AOB 绕圆心O 旋转到∠A ′OB ′位置，你能发现哪些等量关系，为什么学生回答：【教学说明】AB ︵=¼A B ''，AB=A ′B ′. 理由：∵半径OA 与OA ′重合，且∠AOB=∠A ′OB ′，∴半径OB 与OB ′重合. ∵点A 与点A ′重合，点B 与点B ′重合，∴AB ︵与¼A B ''重合,弦AB 与弦A ′B ′重合. ∴AB ︵=¼A B '',AB=A ′B ′.（2）探究2：同学们思考一下,在等圆中,这些结论是否成立 学生回答:教师指导：在等圆⊙O 和⊙O ′中分别作∠AOB=∠A ′O ′B ′,然后滚动一个圆,使圆心O 与O ′重合,固定圆心,将其中的一个圆旋转一个角度,使得OA 与O ′A ′重合,∠AOB 与∠A ′O ′B ′重合,则有上面相同结论,AB=A ′B ′, »AB =¼A B ''. （3）凝炼结果：弧、弦、圆心角之间关系的定理:在同一个圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等. （4）推论：在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧和两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
2.2.1 圆心角
C．70°
D．80°
变式训练
【变例1】如图，已知在⊙O中，BC是直径，A︵B＝D︵C ，
∠AOD＝80°，则∠ABC等于( B )
A．40°
B．65°
C．100°
D．105°
变式训练
【变例2】一条弦把圆分成1∶3两部分，则弦所对的圆心角为
90 °.
【变例 3】⊙O 的半径为 5cm，弦 AB 所对的劣弧是⊙O 的14，
圆是中心对称图形， ·
它的对称中心是圆心.
新知探究
观察
圆上任意两点间的部分叫作圆 弧，简称弧.
弧用符号“⌒”表示.
M ·
O·
AB
如图圆O上两点A，B间的小于半圆的部分叫作劣 弧 ，记作 AB ；
A，B间的大于半圆的部分叫作优弧，
记作 AMB ，其中M是圆上一点．
概念归纳 圆心角：顶点在圆心，角的两边与圆相交，像这样 的角叫圆心角．
A 如图所示，∠AOB就是一个圆心角。
我们把∠AOB 所对的弧为 AB，所 对的弦为AB.
·
O B
典例解析
【例1】下列图形中表示的角是圆心角的是( A )
A
B
C
D
变式训练
【变例1】 如图所示，∠COD，∠AOD 是圆心角．
【变例 2】 如图，已知 AB 为⊙O 的直径，点 D 为半圆周上的一 点，且A︵D所对圆心角的度数是B︵D所对圆心角度数的两倍，则圆心
1．圆的对称性是怎样的？ 答：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心．
圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是它的对 称轴．圆还具有任意旋转对称性．
2．如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝72°，AE交 ⊙O于点B，且AB＝OC，则∠A＝ 24° ．
2019-2020【提分必做】九年级数学下册 第二章 2.2 圆心角、圆周角练习 (新版)湘教版
2.2 圆心角、圆周角2．2.1 圆心角基础题知识点1 认识圆心角1．下面四个图中的角，是圆心角的是(D)A B C D2．将一个圆分成四个扇形，它们的圆心角的度数比为4∶4∶5∶7，则这四个扇形中，圆心角最大的是(D) A ．54° B ．72°C ．90°D ．126°知识点2 圆心角、弧、弦之间的关系 3．下列说法中，正确的是(B) A ．等弦所对的弧相等 B ．等弧所对的弦相等 C ．圆心角相等，所对的弦相等 D ．弦相等所对的圆心角相等4．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠AOB＝122°，则∠AOC 的度数为(A) A ．122°B ．120°C ．61°D ．58°5．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四点，且AD ＝BC ，则AB 与CD 的大小关系为(B) A ．AB>CD B ．AB ＝CD C ．AB<CDD ．不能确定6．如图，已知在⊙O 中，BC 是直径，AB ︵＝DC ︵，∠AOD＝80°，则∠ABC 等于(B) A ．40°B ．65°C ．100°D ．105°7．如图所示，在⊙O 中，AC ，BC 是弦，根据条件填空： (1)若AC ＝BC ，则AC ︵＝BC ︵，∠AOC＝∠BOC； (2)若AC ︵＝BC ︵，则AC ＝BC ，∠AOC＝∠BOC； (3)若∠AOC＝∠BOC，则AC ︵＝BC ︵，AC ＝BC ．8．如图，在⊙O 中，点C 是AB ︵的中点，∠OAB＝50°，则∠BOC 等于40°．9．如图所示，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠B＝70°，则∠A ＝40°．10．(教材P49练习T2变式)如图所示，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD＝34°，求∠AEO 的度数．解：∵BC ︵＝CD ︵＝DE ︵， ∠COD＝34°， ∴∠BOE＝102°. ∵OA＝OE ，∴∠AEO＝∠EAO＝12∠BOE＝51°.中档题11．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ，CD ，DA 是⊙O 的弦，且BC ＝CD ＝DA.则∠BCD 等于(C) A ．100°B ．110°C ．120°D ．135°12．如图，在⊙O 中，已知弦AB ＝DE ，OC⊥AB，OF⊥DE，垂足分别为C ，F ，则下列说法中，正确的个数为(D)①∠DOE＝∠AOB；②AB ︵＝DE ︵；③OF＝OC ；④AC＝EF. A ．1B ．2C ．3D ．413．已知AB ︵，CD ︵是同圆的两段弧，且AB ︵＝2CD ︵，则弦AB 与2CD 之间的关系为(B)A ．AB ＝2CD B ．AB ＜2CDC ．AB ＞2CD D ．不能确定提示：如图，在圆上截取DE ︵＝CD ︵，连接DE ，CE ，则有AB ︵＝CE ︵.∴AB＝CE.又CD ＋DE ＝2CD>CE ＝AB ，∴AB＜2CD ，故选B.14．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，且有AB ︵＝BC ︵＝CA ︵. (1)求∠AOB，∠BOC，∠AOC 的度数； (2)连接AB ，BC ，CA ，试确定△ABC 的形状．解：(1)∵AB ︵＝BC ︵＝CA ︵， ∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.又∵∠AOB＋∠BOC＋∠COA＝360°， ∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝120°. (2)∵AB ︵＝BC ︵＝CA ︵， ∴AB＝BC ＝CA.∴△ABC 是等边三角形．15．如图，AB ，CD 是⊙O 的两条直径，过点A 作AE∥CD 交⊙O 于点E ，连接BD ，DE ，求证：BD ＝DE.证明：连接OE ， ∵OA＝OE ， ∴∠A＝∠OEA. ∵AE∥CD，∴∠BOD＝∠A，∠DOE＝∠OEA. ∴∠BOD＝∠DOE. ∴BD＝DE.16．如图，已知AB 是⊙O 的直径，M ，N 分别是AO ，BO 的中点，CM⊥AB，DN⊥AB.求证：AC ︵＝BD ︵.证明：连接OC ，OD ，∵AB 是⊙O 的直径，M ，N 分别是AO ，BO 的中点， ∴OM＝ON.∵CM⊥AB，DN⊥AB， ∴∠OMC＝∠OND＝90°.在Rt△OMC 和Rt△OND 中，⎩⎪⎨⎪⎧OM ＝ON ，OC ＝OD ，∴Rt△OMC≌Rt△OND(HL)． ∴∠COM＝∠DON. ∴AC ︵＝BD ︵. 综合题17．如图，在⊙O 中，AB ，CD 是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E ，F. (1)如果∠AOB＝∠COD，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？ (2)如果OE ＝OF ，那么AB ︵与CD ︵的大小有什么关系？为什么？解：(1)OE ＝OF.理由：∵OE⊥AB，OF⊥CD，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∴∠OEB＝∠OFD＝90°，∠EOB＝12∠AOB，∠FOD＝12∠COD.∵∠AOB＝∠COD，∴∠EOB＝∠FOD. 在△EOB 和△FOD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠OEB＝∠OFD，∠EOB＝∠FOD，OB ＝OD ，∴△EOB≌△FOD(AAS)． ∴OE＝OF. (2)AB ︵＝CD ︵.理由：∵OE⊥AB，OF⊥CD，AO ＝BO ，CO ＝DO ， ∴∠OEB＝∠OFD＝90°.∴点E ，F 分别是AB ，CD 的中点．在Rt△BEO 和Rt△DFO 中，⎩⎪⎨⎪⎧OB ＝OD ，OE ＝OF ，∴Rt△BEO≌Rt△DFO(HL)． ∴BE＝DF.∵AB＝2BE ，CD ＝2DF ， ∴AB＝CD. ∴AB ︵＝CD ︵.2.2.2 圆周角第1课时圆周角定理及其推论1基础题知识点1 认识圆周角1．下列四个图中，∠x是圆周角的是(C)知识点2 圆周角定理2．(2018·衢州)如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝35°，则∠AOB的度数是(B)A．75° B．70° C．65° D．35°3．如图，△ABC内接于⊙O.若∠A＝α，则∠OBC等于(D)A．180°－2αB．2αC．90°＋αD．90°－α4．如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A，B两点，P是优弧AB上任意一点(与A，B不重合)，则∠APB＝30°．5．(2018·广东)在同圆中，已知弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角是50°．知识点3 圆周角定理推论16．如图，点A ，B ，C ，D 都在⊙O 上，AC ，BD 相交于点E ，则∠ABD＝(A) A ．∠ACD B ．∠ADB C ．∠AEDD ．∠ACB7．如图，已知AB ，CD 是⊙O 的两条直径，∠ABC＝28°，那么∠BAD＝(A) A ．28°B ．42°C ．56°D ．84°8．(教材P52练习T3变式)如图，在⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P.若∠A＝30°，∠APD＝70°，则∠B 等于(C) A ．30°B ．35°C ．40°D ．50°9．如图，BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AB ︵＝BC ︵，∠AOB＝60°，则∠BDC 的度数是(D) A ．60°B ．45°C ．35°D ．30°10．如图所示，弦AB ，CD 相交于点O ，连接AD ，BC ，在不添加辅助线的情况下，请在图中找出一对相等的角，它们是答案不唯一，如：∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠AOD＝∠BOC，∠AOC＝∠BOD．11．如图，已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，AB ＝BC ，BD 交AC 于点E ，连接CD ，AD.求证：DB 平分∠ADC.证明：∵AB＝BC ， ∴AB ︵＝BC ︵. ∴∠BDC＝∠ADB. ∴DB 平分∠ADC.易错点 忽略弦所对的圆周角不唯一而致错12．已知某个圆的弦长等于它的半径，则这条弦所对的圆周角的度数为30°或150°． 中档题13．如图，P 是⊙O 外一点，PA ，PB 分别交⊙O 于C ，D 两点，已知AB ︵和CD ︵所对的圆心角分别为90°和50°，则∠P＝(D) A ．45°B ．40°C ．25°D ．20°14．(2018·菏泽)如图，在⊙O 中，OC⊥AB，∠ADC＝32°，则∠OBA 等于(D) A ．64°B ．58°C ．32°D ．26°15．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上，则∠AED 的正弦516．如图所示，在⊙O 中，已知∠BAC＝∠CDA＝20°，则∠ABO 的度数为50°．17．(教材P52练习T3变式)如图，在⊙O 中，A ，B 是圆上的两点，已知∠AOB＝40°，直径CD∥AB，连接AC ，则∠BAC＝35°．18．如图，点A ，B ，C 三点在⊙O 上，过C 作CD∥AB 与⊙O 相交于D 点，E 是CD ︵上一点，且满足AD ＝DE ，连接BD 与AE 相交于点F.求证：△AFD∽△ABC.证明：∵AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ACD. ∵AD＝DE ，∴AD ︵＝DE ︵. ∴∠DAE＝∠AED.∴∠DAE＝∠AED＝∠ACD＝∠BAC.∵∠ADF＝∠ACB，∠DAE＝∠BAC， ∴△AFD∽△ABC. 综合题19．如图，⊙O 的半径为1，A ，P ，B ，C 是⊙O 上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°. (1)判断△ABC 的形状，并证明你的结论；(2)试探究线段PA ，PB ，PC 之间的数量关系，并证明你的结论．证明：(1)△A BC 是等边三角形． 在⊙O 中，∵∠BAC 与∠CPB 是BC ︵所对的圆周角， ∠ABC 与∠APC 是AC ︵所对的圆周角， ∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC. 又∵∠APC＝∠CPB＝60°， ∴∠ABC＝∠BAC＝60°. ∴△ABC 为等边三角形．(2)在PC 上截取PD ＝AP ，连接AD ， ∵∠APC＝60°， ∴△APD 是等边三角形． ∴AD＝AP ＝PD ，∠ADP＝60°， 即∠ADC＝120°.又∵∠APB＝∠APC＋∠B PC ＝120°， ∴∠ADC＝∠APB. 在△APB 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠APB＝∠ADC，∠ABP＝∠ACD，AP ＝AD ，∴△APB≌△ADC(AAS)． ∴BP＝CD. 又∵PD＝AP.∴CP＝CD ＋PD ＝BP ＋AP.第2课时圆周角定理推论2及圆内接四边形的性质基础题知识点1 圆周角定理推论21．(2017·福建)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．则下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是(D)A．∠A DC B．∠ABDC．∠BAC D．∠BAD2．如图，小华同学设计了一个量直径的测量器，标有刻度的尺子OA，OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE＝8个单位长度，OF＝6个单位长度，则圆的直径为(B)A．12个单位长度B．10个单位长度C．4个单位长度D．15个单位长度3．如图，已知AB是⊙O的直径，∠D＝40°，则∠CAB的度数为(C)A．20° B．40° C．50° D．70°4．如图，CD是⊙O的直径，已知∠1＝30°，则∠2＝(C)A．30° B．45° C．60° D．70°5．如图，把直角三角形的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM＝8 cm，ON＝6 cm，则该圆玻璃镜的半径是(B)A.10 cmB．5 cmC．6 cmD．10 cm6．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠AOD＝130°，BC∥OD交⊙O于C，求∠A的度数．解：∵∠AOD＝130°，∴∠BOD＝50°.∵BC∥OD，∴∠B＝∠BOD＝50°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠A＝90°－∠B＝40°.知识点2 圆内接四边形对角互补7．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点．若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是(B)A．115° B．105° C．100° D．95°8．(教材P55例4变式)(2018·邵阳)如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是(B)A．80° B．120° C．100° D．90°9．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD＝110°，则∠BAD＝70°．10．如图，已知∠EAD是圆内接四边形ABCD的一个外角，并且BD＝DC.求证：AD平分∠EAC.证明：∵∠EAD＋∠BAD＝180°，∠DCB＋∠BAD＝180°，∴∠EAD＝∠DCB.∵BD＝DC，∴∠DBC＝∠DCB.又∵∠DBC＝∠DAC，∴∠EAD＝∠DAC，即AD平分∠EAC.易错点对圆内接四边形的概念理解不清导致错误11．如图，在⊙O中，点A，B，C在⊙O上，且∠ACB＝110°，则∠α＝140°．中档题12．在圆内接四边形ABCD中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶5，则∠D等于(B)A ．60°B ．120°C ．140°D ．150°13．如图，AB 为⊙O 的直径，关于角p ，q ，r ，s 之间的关系：①p＝2q ；②q＝r ；③p＋s ＝180°中，正确的是(A) A ．只有①和② B ．只有①和③ C ．只有②和③D ．①②③14．(2018·白银)如图，⊙A 过点O(0，0)，C(3，0)，D(0，1)，点B 是x 轴下方⊙A 上的一点，连接BO ，BD ，则∠OBD 的度数是(B) A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°15．(2018·北京)如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，CB ︵＝CD ︵，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB ＝70°．16．如图，已知点A ，B ，C ，D 均在⊙O 上，CD 为∠ACE 的平分线． (1)求证：△ABD 为等腰三角形；(2)若∠DCE ＝45°，BD ＝6，求⊙O 的半径．解：(1)证明： ∵CD 平分∠ECA，∴∠ECD＝∠DCA.∵∠ECD＋∠DCB＝180°，∠DCB＋∠BAD＝180°，∴∠ECD＝∠DAB.又∵∠DCA＝∠DBA，∴∠DBA＝∠DAB.∴DB＝DA.∴△ABD是等腰三角形．(2)∵∠DCE＝∠DCA＝45°，∴∠ECA＝∠ACB＝90°.∴∠BDA＝90°.∴AB是直径．∵BD＝AD＝6，∴AB＝BD2＋DA2＝62＋62＝6 2.∴⊙O的半径为3 2.17．(2018·宜昌)如图，在△ABC中，AB＝AC.以AB为直径的半圆交AC于点D，交BC于点E.延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC.(1)求证：四边形ABFC是菱形；(2)若AD＝7，BE＝2，求半圆和菱形ABFC的面积．解：(1)证明：∵AB为半圆的直径，∴∠AEB＝90°，∵AB＝AC，∴CE＝BE.又∵EF＝AE，∴四边形ABFC是平行四边形．又∵AB＝AC，(或∠AEB＝90°)∴平行四边形ABFC是菱形．(2)连接BD.∵AD＝7，BE ＝CE ＝2， 设CD ＝x ，则AB ＝AC ＝7＋x. ∵AB 为半圆的直径， ∴∠ADB＝90°. ∴AB 2－AD 2＝CB 2－CD 2. ∴(7＋x)2－72＝42－x 2. ∴x 1＝1或x 2＝－8(舍去)． ∴S 半圆＝12×π×42＝8π.∴BD＝15. ∴S 菱形ABFC ＝815. 综合题18．如图，在⊙O 中，直径AB 的两侧有定点C 和动点P ，点P 在AB ︵上运动(不与A ，B 重合)，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点Q.(1)试猜想：△PCQ 与△ACB 具有何种关系？(不要求证明) (2)当点P 运动到什么位置时，△ABC≌△PCB？并给出证明．解：(1)△PCQ∽△ACB. (2)当CP ︵为半圆时， △ABC≌△PCB. 证明：∵AB 是直径， ∴∠ACB＝90°. ∵CP ︵为半圆，∴CP是直径．∴∠PBC＝90°，AB＝CP.∵CB是公共边，∴Rt△ABC≌Rt△PCB(HL)．。
湘教版九年级数学下册2.2圆心角、圆周角2.2.1圆心角说课稿
湘教版九年级数学下册2.2圆心角、圆周角2.2.1圆心角说课稿一. 教材分析湘教版九年级数学下册2.2圆心角、圆周角是本节课的主要内容。
圆心角、圆周角是圆的基本性质，也是圆的重要概念。
本节课通过介绍圆心角、圆周角的概念，使学生了解圆心角、圆周角与圆的位置关系，掌握圆心角、圆周角的度量方法，培养学生运用圆的性质解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了圆的基本概念和性质，对圆有一定的认识。
但是，学生对圆心角、圆周角的概念和性质还不够了解，需要通过本节课的学习来进一步掌握。
此外，学生的空间想象力有待提高，需要通过实例演示和动手操作来加深对圆心角、圆周角的理解。
三. 说教学目标1.知识与技能：掌握圆心角、圆周角的概念，了解圆心角、圆周角与圆的位置关系，学会圆心角、圆周角的度量方法。
2.过程与方法：通过观察、思考、讨论，培养学生的空间想象力，提高学生运用圆的性质解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队协作精神，使学生感受到数学在生活中的重要性。
四. 说教学重难点1.圆心角、圆周角的概念及其与圆的位置关系。
2.圆心角、圆周角的度量方法。
3.运用圆的性质解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.采用问题驱动法，引导学生主动探究圆心角、圆周角的概念和性质。
2.利用多媒体演示，直观展示圆心角、圆周角与圆的位置关系。
3.运用动手操作，让学生亲身体验圆心角、圆周角的度量方法。
4.采用小组讨论法，培养学生的团队协作精神。
六. 说教学过程1.导入：通过复习圆的基本概念和性质，引导学生进入本节课的学习。
2.新课导入：介绍圆心角、圆周角的概念，引导学生观察圆心角、圆周角与圆的位置关系。
3.实例演示：利用多媒体演示，让学生直观地感受圆心角、圆周角与圆的位置关系。
4.动手操作：让学生亲自动手操作，体验圆心角、圆周角的度量方法。
5.小组讨论：引导学生进行小组讨论，共同探讨圆心角、圆周角的性质。
圆心角与弧度的计算与应用
圆心角与弧度的计算与应用圆心角和弧度是数学中与圆相关的重要概念。
了解和掌握圆心角与弧度的计算方法和应用，对于解决与圆相关的问题非常有帮助。
本文将介绍圆心角与弧度的概念、计算方法和应用。
一、圆心角的概念和计算方法圆心角是指以圆心为顶点的角。
在圆上，以圆心为顶点的角所对的弧长等于角的大小。
例如，当圆的半径为1时，以圆心为顶点的角的弧长等于角的大小，即1弧度。
圆心角的计算方法可以通过角度制和弧度制来进行。
1.1 角度制计算方法角度制是我们常见的计量角度的方式，以度为单位。
一个圆的周长是360度，所以一个圆心角的角度大小最大为360度。
当我们知道一个圆心角的角度大小时，可以通过以下公式来计算对应的弧长：弧长 = （圆心角的度数 / 360度） ×（2πr）其中，r为圆的半径，π为圆周率（取3.14）。
1.2 弧度制计算方法弧度制是一种数学计量角度的方式，以弧长与半径相等的圆心角为1弧度。
当我们知道一个圆心角的弧长时，可以通过以下公式来计算对应的角度大小：角度 = （弧长 / （2πr）） × 360度其中，r为圆的半径，π为圆周率（取3.14）。
二、圆心角与弧度的应用圆心角与弧度的计算方法可以应用于解决与圆相关的各种问题。
以下将介绍几个常见的应用。
2.1 弧长的计算当我们知道一个圆心角的角度大小和圆的半径时，可以通过计算得到对应的弧长。
例如，当圆的半径为3cm，一个圆心角的角度为60度时，可以通过以下公式计算弧长：弧长 = （60度 / 360度） ×（2π × 3cm）= π cm2.2 角度的计算当我们知道一个圆心角的弧长和圆的半径时，可以通过计算得到对应的角度大小。
例如，当圆的半径为2cm，一个圆心角的弧长为π cm时，可以通过以下公式计算角度：角度 = （π cm / （2π × 2cm）） × 360度 = 90度2.3 弧度的计算当我们知道一个圆心角的角度大小时，可以通过计算得到对应的弧度。
2023九年级数学下册第2章圆2.2圆心角、圆周角2.2.1圆心角教案(新版)湘教版
- 巩固学生在课堂上学到的圆心角知识点和应用。
- 通过拓展学习，拓宽学生的知识视野和思维方式。
- 通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。
拓展与延伸
1. 提供与本节课内容相关的拓展阅读材料：
- 《几何原本》：建议学生阅读这本书中关于圆心角和圆周角的部分，了解这些概念在几何学中的重要性和应用。
圆心角 = 1/4 × 360°
圆心角 = 90°
所以，圆心角AOB所对的圆心角为90°。
例题4：
已知圆O的半径为8cm，圆心角AOB为150°，求圆心角AOB所对的弦长。
解答：
弦长公式：弦长 = (圆心角 / 360°) × 2r
其中，圆心角AOB为150°，半径r为8cm。
代入公式得：弦长 = (150° / 360°) × 2 × 8cm
- 通过实践活动，培养学生的动手能力和解决问题的能力。
- 通过合作学习，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
3. 课后拓展应用
教师活动：
- 布置作业：根据“圆心角”课题，布置适量的课后作业，巩固学习效果。
- 提供拓展资源：提供与“圆心角”课题相关的拓展资源（如书籍、网站、视频等），供学生进一步学习。
- 反馈作业情况：及时批改作业，给予学生反馈和指导。
弧长 = πcm
所以，圆心角AOB所对的弧长为πcm。
例题2：
已知圆O的半径为10cm，圆心角AOB为60°，求圆心角AOB所对的弦长。
解答：
弦长公式：弦长 = (圆心角 / 360°) × 2r
其中，圆心角AOB为60°，半径r为10cm。
代入公式得：弦长 = (60° / 360°) × 2 × 10cm
圆心角 课件ppt
列结论中错误的个数为（ D ）
① ABCD；②AB=CD；③△AOB≌△COD． A．0 B．1 C．2 D．3
精品
巩固提升
5、在⊙O中，已知 AB 2CD ，则下列结论正确的是
（ B） A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB=2CD
D
A a
D．不能确定AB与2CD的大小关
精品
巩固提升
6、如图，在⊙O中， AB AC ，∠ACB=60°，
在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它A们所对
的弧_相__等__，所对的弦也__相__等___．
在同圆或等圆中，如果_两___个__圆__心__角__，a__两__条__弧__，
__两___条__弦___中有一组量相等，那么它们所对应的其 余各组都分别相等．
OA与OC重合，OB与OD重合．而同圆的半A径相等，
OA=OC，OB=OD，从而点A与C重合，B与D重合．
a
因此，AB 与CD 重合，AB与CD重合．
所以 AB CD，AB=CD．
精品
新知讲解
在同一圆中∠AOB=∠COD，
由旋转不变性得：AB=CD，AB CD．
D
∠AOB=∠COD
AB=CD
AB CD
求圆心角∠AOB的度数． 解：∵△ABC为等边三角形， ∴AB=BC=AC．
D
A
∴∠AOB=∠COB=∠AOC．
a
又∵∠AOB+∠COB+∠AOC=360°，
∴∠AOB= 1（∠AOB+∠COB+∠AOC）
3
=
1 3
×360°=120°．
精品
巩固提升
1、下面四个图中的角，为圆心角的是（ D ）
2.2.1圆心角
角，如∠AOB . B
⌒
2.圆心角 ∠AOB 所对的弧为AB .
M
3.圆心角 ∠AOB所对的弦为AB.
O
A
探 究：练一练 判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
圆内角
圆外角
圆周角（后 面会学到）
圆心角
二 圆心角、弧、弦关系定理
探究：请同学们观察下列各图并回答问题， 如图所示，⊙O中，圆心∠AOB=∠A ′OB ′，利用 旋转，你能发现哪些等量关系，为什么？
学习目标
1.结合图形了解圆心角的概念，学会辨别圆心角； 2.能发现圆心角、弦、弧之间的关系，并会初步运 用这些关系解决有关的问题．(重点)
导入新课
情境பைடு நூலகம்入
飞镖靶、闹钟以及被均分的蛋糕等圆形中，都存 在着角，那么这些角有什么共同的特征呢？
思考探究 获取新知
一 圆心角
概念学习
1.圆心角：顶点在圆心,角的两边与圆相交的角叫圆心
能力提升
如图所示，以平行四边形ABCD的顶点A为圆 心，AB为半径作圆，交AD，BC于E，F，延长 BA交⊙A于G，求证：G⌒E＝ E⌒F
证明：如图，连接AF ∵AB=AF， ∴∠ABF=∠AFB．
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC． ∴∠DAF=∠AFB，∠GAE=∠ABF． ∴∠GAE=∠EAF． ∴
2.如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是( B )
A．∠ABC B．∠AOB C．∠OAB D．∠OCB
3．如果两个圆心角相等，那么
（ D）
A．这两个圆心角所对的弦相等
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦和弧分别均相等
D．以上说法都不对
4.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 60 ° .
圆的角度计算方法
圆的角度计算方法一、圆的基本角度概念。
1.1 圆的角度定义很有趣味呢。
我们都知道圆是一个完美的图形，它的一圈就是360度。
这360度是怎么来的呀？这就像是古人给我们留下的一个神奇的数字约定。
你看，这360度就像一个大家庭，把圆完整地包围起来。
1.2 圆心角可是圆里很重要的角呢。
它是由两条半径所夹的角，就像圆的中心在发射出两条射线一样。
这个圆心角的大小和它所对的弧的长度是有关系的，就好比大的圆心角对着长一点的弧，小的圆心角对着短一点的弧，这就像大胃口对应大餐，小胃口对应小餐一样。
2.1 如果我们知道弧长和半径，就可以算出圆心角的大小。
公式就是圆心角（弧度制）等于弧长除以半径。
这就像是用距离除以长度来得到一个比例关系。
比如说，弧长是6厘米，半径是3厘米，那圆心角（弧度制）就是6除以3等于2弧度。
这里弧度制可能有点绕，但是你就把它想象成一种新的计算角度的货币，和我们平时的度有点不同，但本质上都是衡量角度的。
2.2 要是我们想把弧度制转换回角度制呢，就可以用一个小窍门。
1弧度约等于57.3度。
这就像是不同国家的货币兑换一样。
如果我们有3弧度，那换算成角度就是3乘以57.3度，大约是171.9度。
2.3 还有一种情况，如果我们知道扇形的面积和半径，也能算出圆心角。
圆心角（弧度制）等于2倍扇形面积除以半径的平方。
这就好比是从面积这个角度来反推角度的大小。
比如说扇形面积是9平方厘米，半径是3厘米，那圆心角（弧度制）就是2乘以9除以3的平方，也就是2弧度。
三、圆的角度计算在生活中的应用。
3.2 在机械制造里，圆的角度计算也是必不可少的。
比如设计圆形的齿轮或者转盘，要精确地计算它们的角度，才能保证机器的正常运转。
要是角度计算错了，那整个机器就会像没头的苍蝇一样乱转，这就是所谓的“失之毫厘，谬以千里”啊。
所以说圆的角度计算虽然看似简单，但在实际生活中可是有着举足轻重的地位呢。
初中数学教案探究：圆心角与圆幂定理的关系
初中数学教案探究：圆心角与圆幂定理的关系教学目标：1. 理解圆心角的概念，掌握圆心角的计算方法。
2. 了解圆幂定理的内容，能够运用圆幂定理解决实际问题。
3. 探究圆心角与圆幂定理之间的关系，提高解决问题的能力。
教学内容：第一章：圆心角的概念及计算1.1 圆心角的定义1.2 圆心角的计算方法1.3 圆心角的度量与表示第二章：圆幂定理的介绍2.1 圆幂定理的定义2.2 圆幂定理的内容2.3 圆幂定理的应用第三章：圆心角与圆幂定理的关系探究3.1 圆心角与圆幂定理的关联性分析3.2 圆心角与圆幂定理的证明3.3 圆心角与圆幂定理在实际问题中的应用第四章：圆心角与圆幂定理的综合应用4.1 圆心角与圆幂定理的联合计算4.2 圆心角与圆幂定理在几何证明题中的应用4.3 圆心角与圆幂定理在实际问题中的综合应用第五章：课堂小结与拓展5.1 圆心角与圆幂定理的关系总结5.2 圆心角与圆幂定理的拓展研究5.3 课后作业布置教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究圆心角与圆幂定理的关系。
2. 通过实例分析，让学生了解圆幂定理在实际问题中的应用。
3. 利用几何软件或实物模型，直观展示圆心角与圆幂定理的关系。
4. 组织小组讨论，促进学生之间的合作与交流。
教学评价：1. 通过课堂提问、作业批改等方式，了解学生对圆心角与圆幂定理的理解程度。
2. 设置课后练习题，考察学生运用圆心角与圆幂定理解决实际问题的能力。
3. 结合学生的课堂表现、作业完成情况和练习题成绩，对学生的学习情况进行综合评价。
教学资源：1. 教学PPT：包含圆心角与圆幂定理的相关概念、例题和拓展内容。
2. 几何软件或实物模型：用于直观展示圆心角与圆幂定理的关系。
3. 课后练习题：包括不同难度的题目，供学生巩固所学知识。
教学时数：本教案共计5课时，每课时45分钟。
教学过程：第一课时：圆心角的概念及计算1. 引入新课，介绍圆心角的概念。
2. 讲解圆心角的计算方法，引导学生理解圆心角与圆弧的关系。
圆心角的计算公式高中
圆心角的计算公式高中全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：圆心角是指以圆心为顶点，圆周上两点为端点所成的角。
在圆的几何学中，圆心角是一个非常重要且常见的概念，我们可以通过计算圆心角来解决许多与圆相关的问题。
在高中数学中，我们经常会遇到计算圆心角的问题。
下面，我们就来介绍一下圆心角的计算公式以及如何应用它们来解决实际问题。
我们来看一下圆的基本性质。
对于任意一个圆，其圆心到圆周上任意一点的距离都是相等的，这个距离就称为半径。
在圆周上我们可以确定两个点，并以圆心为顶点构成一个圆心角。
圆心角的计算公式主要依赖于圆的半径和圆周长之间的关系。
根据圆的定义，我们知道圆周长等于2πr，其中r为圆的半径。
而圆心角所对的弧长与整个圆周长的比值就称为圆心角所对的角度。
具体来说，圆心角所对的弧长S与整个圆周长L的比值可以表示为：θ = S/L其中θ表示圆心角的度数。
在数学中，我们通常使用弧度来表示圆心角的大小。
而圆心角的弧度与角度之间的转换关系可以通过下面的公式来表示：θ（弧度）= θ（角度）* π / 180这个公式可以帮助我们在角度和弧度之间进行转换，使得我们能够更方便地计算圆心角。
除了直接通过圆心角所对的弧长与整个圆周长的比值来计算圆心角之外，我们还可以通过圆心角所对的弧长与半径的比值来计算圆心角。
具体来说，圆心角所对的弧长与半径的比值可以表示为：这个公式可以帮助我们在给定圆的半径和所对的弧长的情况下计算圆心角的大小。
通过上面的介绍，我们可以看到计算圆心角并不难，只要掌握好相应的公式并理解其原理，就可以轻松解决与圆心角相关的问题。
在高中数学课程中，我们经常会遇到如下类型的问题：已知一个圆的半径和一个圆心角，然后求解该圆心角所对的弧长。
这类问题可以通过上文提到的公式来解决。
我们可以根据给定的圆心角和半径的值计算出弧长，然后再利用弧长与圆周长的关系计算出圆心角的大小。
除了直接计算圆心角所对的弧长之外，我们还可以通过与其他角度之间的关系来计算圆心角。
圆又缺缺又圆连又断断又连的意思-概述说明以及解释
圆又缺缺又圆连又断断又连的意思-概述说明以及解释1.引言1.1 概述本文将探讨圆又缺缺又圆连又断断又连的意义。
这个标题引发了人们对于形状和连续性的思考。
圆代表着一种完整和无缺的形态，而缺缺则表示一种不完整和有所欠缺的状态。
连和断则分别象征着连接和分离的意义。
通过研究圆又缺缺又圆连又断断又连的现象，我们可以深入了解这些形态和概念背后隐藏的意义和象征。
首先，我们将探讨圆的特点。
圆被定义为一个具有无限多个点到中心距离相等的平面图形。
它的特殊性在于其形态的完整性和对称性。
圆的属性包括半径、直径、周长和面积等。
通过研究这些特征，我们可以了解圆在几何学和数学中的重要性，并探索其在不同领域中的运用。
其次，我们将介绍缺缺的含义。
缺缺表示一种缺少或不完整的状态。
它可以指物体上的缺陷或人们内心中的不足。
通过观察缺缺的形容，我们可以思考人类对于完美和不完美的追求，并思考缺缺对于个体和社会的影响。
接下来，我们会讨论连的意义。
连代表着连接和联系的概念。
它是一种使两个或更多事物之间形成联系的力量。
连可以是物质上的连接，也可以是精神上的相互关联。
我们将分析不同领域中连的重要性，探讨连对于人类社会和文化的意义。
最后，我们将研究断断的含义。
断断表示一种分离或中断的状态。
它可以指物体上的断裂，也可以指人们之间的分离。
通过理解断断的定义和形容，我们可以思考个体和社会中的分离现象对于人们的影响，并思考如何寻求连接和修复断裂。
通过对于圆又缺缺又圆连又断断又连的意义的探讨，我们可以深入思考形状、完整性、连接和分离等概念在人类生活中的角色和意义。
这一主题将引发我们对于自身和他人的思考，并促使我们思考如何寻求平衡和完整。
1.2文章结构2. 正文：2.1 圆的特点2.1.1 定义在几何学中，圆是由一组点与特定点之间的距离相等定义的二维图形。
这个特定点被称为圆心，相等的距离被称为半径。
圆通常被描述为一个完整的、闭合的曲线。
2.1.2 属性圆具有一些独特的属性，使其在数学和实际应用中广泛使用。
九年级数学《圆心角》复习知识点浙教版
九年级数学《圆心角》复习知识点浙教
版
知识点
圆心角的特征识别
①顶点是圆心；
②两条边都与圆周相交。
有关计算公式
①L=n/180Xπr；
②S=n/360Xπr²
③扇形圆心角n=/。
④k=2Rsink=弦长；n=弦所对的圆心角，以度计。
与圆心角有关的定理圆心角定理：
圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
在同圆或等圆中，若两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，则对应的其余各组量也相等。
理解：
把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角.
因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的弧叫做1°的弧.
圆心角的度数和它们对的弧的度数相等.
推论：
在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦两条弦上的弦心距中,课前预习,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等
知识拓展：圆周角的顶点在圆上，它的两边为圆的两条弦。
圆心角的计算公式高中
圆心角的计算公式高中全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：圆心角的计算是高中几何学中的重要内容之一，圆心角是指以圆心为顶点的角。
在圆的内部，与圆心之间的夹角称为圆心角。
圆心角的计算公式在解决圆的相关问题时起着重要作用，掌握这些公式可以帮助我们更好地理解和解决圆的相关问题。
在圆的内部，如果两个弧之间的夹角是圆心角，那么这个夹角的大小等于这两个弧所对的圆弧的长度之比。
具体的计算公式如下：设圆的半径为r，圆心角对应的圆弧长度为s，圆心角为θ，则有：θ = s / rθ是圆心角的大小，s是圆心角所对应的圆弧长度，r是圆的半径。
这个公式表明了圆心角的大小与圆弧长度之间的关系，是圆心角计算中的基本公式。
除了上述公式外，我们还可以利用三角函数来计算圆心角。
在直角三角形中，正弦、余弦和正切分别是由边对边、边对边与斜边、边对边与边对边之比的三角函数。
在圆心角计算中，我们可以利用这些三角函数来求解圆心角。
以半径r为斜边，弦长为s为对边，我们可以利用正弦函数和余弦函数来计算圆心角。
1. 正弦函数计算圆心角：sin(θ/2) = s / (2r)θ = 2 * arcsin(s / (2r))通过利用三角函数，我们可以更加灵活地计算圆心角。
这种方法在解决一些具体的问题时会更加方便和简单，可以帮助我们更好地理解和应用圆心角的相关知识。
在实际的问题中，我们也可以通过利用圆心角的性质来计算圆心角。
如果两个弧所对的圆心角相等，则这两个弧所对的圆心角也相等。
这种性质在解决一些综合性问题时会带来很大的便利。
圆心角的计算公式是高中几何学中的重要内容之一。
通过理解和掌握这些公式，我们可以更好地解决圆的相关问题，提高解题的效率和准确性。
希望通过本文的介绍，读者能够对圆心角的计算有一个更加深入和全面的了解。
【字数：453】第二篇示例：圆心角是指从圆心出发到圆上任意一点的径线所夹的角度。
在圆的几何学中，圆心角是非常重要的一个概念。
我们经常用它来计算弧长、扇形面积等问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
湘教版九年级下册教案
2.2.1 圆心角
教学目标
1.理解圆心角的概念。
2.掌握圆心角、弧、弦之间的关系。
3.体验利用旋转变换来研究圆的性质的思想方法。
重点难点
重点：圆心角定理。
难点：根据圆的旋转不变性质推导出圆心角定理。
教学设计
一．预习导学
独立学习课本47--48页，解决下列问题：
1.叫做圆。
2.叫做圆心角。
3.现实生活中你看到哪些地方有圆心角？
4.圆心角与弧、弦的对应关系
二．探究展示
（一）合作探究
如图，已知在⊙O中，圆心角∠AOB=∠COD。
它们所对的弧错误!与错误!相等吗？它们所对的弦AB与CD相等吗？
因为将圆绕圆心旋转任一角度都能与自身重合，所以可以将⊙
O绕圆心O旋转，使点A与点C重合. 由于∠AOB=∠COD，因此，点
B与点D重合. 从而错误! = 错误!，AB=CD。
由此得到下述结论：
在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对
的弦也相等。
上述结论对于等圆也成立。
在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角有什么关系？所对的弦呢？你能在同圆或等圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角有什么关系？所对的弧呢？你能讲出道理吗？
教师提示，利用圆的旋转不变性质来解答。
由此得出圆心角定理：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧和两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
（二）展示提升
1.如图，等边∆ABC 的顶点A，B，C 在⊙O 上，
求圆心角∠AOB 的度数。
解：∵∆ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC。
∴∠ACB=∠BOC=∠COA 。
又∵∠AOB+∠BOC+∠COA=3600，
∴∠AOB=
（∠AOB+∠BOC+∠COA ）
2.如图，AB ，CD 是⊙0的两条弦。
（1）如果AB=CD ，那么 ， ；
（2）如果 错误!=错误!，那么 ， ；
（3）如果∠AOB=∠COD ，那么 ， ；
（4）如果AB=CD ，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F ，OE 与OF 相等
吗？为什么？
三．知识梳理
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧和两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
四．当堂检测
1.在⊙0中，已知∠AOB=400，错误!=错误! ，求∠COD 的度数。
2.如图，在⊙0中，AB 是直径，∠AOE=600，点C ，D 是 错误! 的三等分点，求∠COE 的度数。
五．教学反思
本节课的重点内容是圆心角定理，难点是圆心角定理的推导过程。
在推理过程中，要明确每一步的理论依据。
本堂课要让学生感受到旋转变换带来的方便，但不要求学生运用旋转变换来写证明过程。
31001203603
1=⨯
=。