第一型曲面积分.

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第一型曲面积分计算公式推导[001]

第一型曲面积分计算公式推导

在计算曲面积分之前，我们需要先了解曲面积分的基本概念和计

算方法。曲面积分是数学中的一个重要概念，用于求解曲面上的某个

物理量的总量或平均值。它与曲线积分有一定相似之处，但由于曲面

具有二维特性，因此其计算方法相对复杂一些。

首先，我们来考虑一个简单的曲面S，它可以用一对参数u和v的函数表示，即S：(x(u,v), y(u,v), z(u,v))。这样的曲面可以是平面、球面、圆柱面等等。为了方便计算，我们通常会将曲面S分割成无限

小的面元，每个面元的面积可以表示为dS。

现在，我们需要计算曲面上的某个物理量F的总量或平均值。物

理量F可以是一个标量函数，也可以是一个矢量函数。我们记物理量F 在曲面S上的取值为F(x,y,z)或F(xi,yi,zi)，其中(xi,yi,zi)是曲

面上任意一点的坐标。那么曲面S上物理量F的总量就可以表示为曲

面积分：

∬S F(x,y,z) dS 或∬S F(xi,yi,zi) dS

接下来，我们需要推导出曲面积分的计算公式。根据曲面积分的

定义，我们可以将曲面上的物理量F表示为F在参数域上的函数：F(x(u,v), y(u,v), z(u,v))

现在，我们来计算dS。根据多元微积分的知识，我们可以得知，

如果曲面S是光滑的且方向一致，那么dS可以表示为参数域上两个参

数u和v之间的偏导数的叉乘的模：

dS = |∂(x,y)/∂(u,v)| du dv

其中|∂(x,y)/∂(u,v)|表示偏导数的叉乘的模。

将dS带入曲面积分的公式中，可以得到：

∬S F(x(u,v), y(u,v), z(u,v)) |∂(x,y)/∂(u,v)| du dv

第一型曲面积分中值定理

第一型曲面积分中值定理（也称为平均值定理）是曲面积分的一个重要定理，它指出在有界曲面上，曲面积分与曲面上某一点的法向量所夹角的余弦的乘积的积分是相等的。

具体地说，设有一个有界曲面S，上面有一标量函数f(x, y, z)定义，且f(x, y, z)在S上连续。令n(x, y, z)是曲面S上某一点的法向量，则第一型曲面积分中值定理可以表达为：

∫∫S f(x, y, z) dS = f(a, b, c) ∫∫S cosθ dS

其中，(a, b, c)是曲面S上的一点，θ是向量n(x, y, z)与向量(0, 0, 1)之间的夹角。

这个定理的意义在于，曲面积分可以通过选择合适的点作为代表来计算，从而简化了计算的复杂性。同时，这个定理也可用于推导其他曲面积分的性质和计算方法。

第一型曲面积分

根据计算公式 (2), 并使用极坐标变换, 可得
J ( y 2 z 2 )dS ( y 2 z 2 )dS
S1 S2
2
2
x y a
2

a 0
a(a 2 x 2 )
2
a2 x2 y2
2π 2 2 0
dxdy
2
2a dr
a r cos a2 r 2
2
G a 2 sin 2 sin 2 a 2 sin 2 cos 2 a 2 sin 2 ,
EG F 2 a 4 sin2 a 2 sin ;
J (a 2 sin 2 sin 2 a 2 cos 2 ) a 2sin d d
按 (3) 式计算如下:
E a 2 cos 2 cos 2 a 2 cos 2 sin 2 a 2 sin 2 a 2 ,
山西大同大学数计学院
F a 2 sin cos sin cos a sin cos sin cos 0 ,
解先求出
x
图 22 3
y
山西大同大学数计学院
2 2 2 E x u yu z u
cos 2 v sin 2 v 1,
F xu xv yu yv zu zv u sin v cos v u sin v cos v 0 ,

第一型曲面积分的对称性

一维、二维以及其它多维曲面积分，在积分学中占据重要的地位，是许多基础、重要的数学方法的基础。而第一型曲面积分是其中一个特殊的实例，其具有独一无二的特性和对称性，有别于传统的积分方法。

第一型曲面积分即示意函数曲面积分，也称为花瓣积分，是一种以曲面的形式

把轴对称函数积分起来的方法。其原理是用轴对称函数在曲面上的旋转形成的新的函数，然后用积分来计算这个函数的积分。其对称性指的是，从某一点可以进行等距的旋转，从而得到此曲面积分的等效表示，而无论积分的方向如何变化，其结果都不会发生变化。

由于第一型曲面积分所具有的独有特性和对称性，广泛应用于不同领域。例如

经典物理学中，经常用其来分析有关多轴对称物理系统的轨道运动；在量子力学领域，第一型曲面积分可以解决许多具有对称性的复杂量子力学问题；在工程应用中，由于其可以准确、快捷的计算带有多轴对称结构设计的一系列数值，因此被广泛采用。

从中可见，第一型曲面积分是一种重要的数学工具，广泛应用于各种不同领域，它具有特有的对称性和独有的优势。在基础教育过程中，对于对其进行详细的研究将有助于提升我们在该领域的应用能力。

4 第一型曲面积分

S1 在 xoy 面上的投影区域 Dxy : 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 且
O
y
x
zx =
x , zy = 2 2 x +y
D xy
y 2 , 1 + zx + z2 = 2 y 2 2 x +y
z 2dS = ∫∫
S2
( x 2 + y 2 ) 2dxdy ∫∫
2
= ∫ dθ ∫
0
2π
1
2 2
与上半球面 z = a2 − x2 − y2 的解: 锥面 z = x + y 交线为为上半球面夹于锥面间的部分, 设∑1 为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xoy 面上的投影域为 Dxy = { ( x, y) x2 + y2 ≤ 1 a2 }, 则 2
I = ∫∫ (x2 + y2 ) dS
∫∫ f ( x , y, z )dS Σ
当 f ( x, y, z) ≡ 1时，是曲面的面积。 ∫∫dS是曲面的面积。 Σ
对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. 的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似 • 积分的存在性. 积分的存在性. 则对面积的曲面积分存在. 则对面积的曲面积分存在. • 对积分域的可加性. 若 ∑ 是分片光滑的对积分域的可加性. 是分片光滑的, 片光滑曲面 ∑1, ∑2, 则有上连续, 在光滑曲面 ∑ 上连续,

第四节第一类曲面积分

若
lim
0
i 1
f
(
i
,i
,
i
)
Si
存在，且与的分法及点 (i ,i , i ), 的取法无关，
则称该极限为 f (x , y , z) 在上对面积的曲面积分，
或第一类曲面积分.
即
记作 f (x, y, z)d S
其中 f (x, y, z) 叫做被积函数, 叫做积分曲面.
几点说明：
第一类曲面积分曲面积分第二类曲面积分第二型曲面积分第一型曲面积分曲线积分与曲面积分对坐标的曲面积分对面积的曲面积分第一类曲线积分第一类永动机
第四节
第十一章
第一类（对面积）曲面积分
一、对面积的曲面积分的概念与性质二、对面积的曲面积分的计算法
一、第一类（对面积）曲面积分的概念与性质
引例: 设光滑曲面形构件具有连续面密度求质量 M.
nz
dA
M d
根据面积元素公式得曲面面积公式
S D 1 fx2 (x, y) f y2 (x, y) d
即
S
1 ( z )2 ( z )2 d xd y
D
x y
若光滑曲面方程为 x g( y, z) , ( y, z) Dy z ,则有
Dy z
若光滑曲面
f (x, y, Dx y
dS
1 yx2 yz2dxdz

第一二类曲面积分相互转化

第一类曲面积分和第二类曲面积分是两种不同的曲面积分类型。

它们可以相互转化。

第一类曲面积分是对向量场在曲面上的投影进行积分。具体来说，对于一个向量场F(x,y,z)，曲面S上的第一类曲面积分可以表示为

∬SF·dS。其中，F·dS表示向量F在曲面上的投影与曲面的微元面积dS的点积。

相比之下，第二类曲面积分则是对标量场在曲面上的积分。具体

来说，对于一个标量场f(x,y,z)，曲面S上的第二类曲面积分可以表

示为∬Sfds。其中，ds表示曲面S上的微元弧长。

这两种曲面积分类型之间的转化可以通过斯托克斯定理来实现。

斯托克斯定理表明，对于一个向量场F(x,y,z)，曲面S的边界曲线C，有∫CF·dr = ∬S curlF·dS。其中，curlF表示向量场F的旋度。

这意味着，通过计算旋度可以将第一类曲面积分转化为第二类曲面积分，反之亦然。

第一类曲面积分换元

曲面积分是一种对于曲面上矢量场的积分运算。第一类曲面积分也被称为标量场的曲面积分，它是对于一个标量函数在曲面上的积分。换元是一种数学中的技巧，它可以将一个积分转化为另一个形式的积分。在第一类曲面积分中，换元有两种情况：参数替换和函数替换。

参数替换是指将曲面上的参数用另一组参数表示，这个方法通常用于简化曲面积分的计算。例如，如果曲面被参数化为(u,v)，可以将(u,v)用(x,y,z)表示，然后通过链式法则计算出新的积分表达式。

函数替换是指将被积函数通过一些代数或者函数变换转化为新的函数，这个方法通常用于简化积分的计算。例如，如果被积函数可以被表示为f(x,y,z)，可以将它替换为g(u,v,w)，然后通过链式法则计算出新的积分表达式。

在进行第一类曲面积分换元时，需要注意保持积分区域的不变性，并且要确保新的积分表达式与原表达式等价。

一,第一型曲面积分的概念与性质

Dxy 2
令t 1 r2
4 3
5
z 1
Dx y o
y
2
x
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设
一卦限中的部分, 则有( C ).
1为在第
(B) ydS 41 xdS ; (C) zdS 41 xdS ;
( 2000 考研 )
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备用题 1. 已知曲面壳
的面密度
lim
0 k 1
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而
( k )xy 1 zx2 (x, y) z y2 (x, y) dxd y
1 zx2 (k , k ) z y2 (k , k ) ( k )xy
f (x, y, z) dS
f (k ,k , z(k ,k ))
1 zx2 (k , k ) z y2 (k , k ) ( k )xy
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二、对面积的曲面积分的计算法
定理: 设有光滑曲面
z
f (x, y, z) 在上连续, 则曲面积分
o
y
f (x, y, z) dS 存在, 且有
x Dxy
( k )x y (k ,k , k )
f (x, y, z(x, y)) Dx y
证明: 由定义知
n

§6.5第一型曲面积分的计算

f ( x, y, z)dA f ( x, y( x, z), z)
1
y
2 x
(
x
,
z
)
y
2 z
(
x
,
z
)dxdz
Dxz
(4) f ( x, y, z) 1时， dA 曲面的面积.
例2.计算 z3dA,其中是z a2 x2 y2与z x2 y2 所围立体的表面。
z
1
2
o
y)
z
2 y
(x,
y)dxdy
，曲面
换成其投影区域Dxy
即可。
记忆口诀：“一代二换三投影”。
（2）若曲面的方程为x x( y, z)，( y, z) Dyz，则
f ( x, y, z)dA f ( x( y, z), y, z)
1
x
2 y
(
y,
z)
x
2 z
(
y,
z)dydz
D yz
（3）若曲面的方程为y y( x, z)，( x, z) Dxz，则
( x, y) Dx y
A Dxy
Fx2 Fy2 Fz2 dxdy. Fz
例1.求球面 x2 y2 z2 a2在 z b部分的面积(a b 0).
az
S
b
y
x
二. 第一型曲面积分的概念

§6.5第一型曲面积分的计算

z
(2) 若3向yz平面投影 , 投影域为
Dyz : y2 z 2 1, y 0.
2 1
y
(x2 y2 z2 )dA
3
1. D yz
1
dydz
1 y2 z2
2 d
1
0
2
x 3
d 1 2
(3) (x2 y 2 z 2 )dA dA 3 的面积
3
3
综上,
(x2
投影域为
Dxy : x2 y2 1, x 0, y 0,
1
zx2
z
2 y
1
.
1 x2 y2
(x2 y2 z2)dA ( ) (x2 y2 z2)dA
3
3上 3下
1.
1
dxdy 1.
1
dxdy
Dxy 1 x2 y2
Dxy 1 x2 y2
2
2 0
d 01
d 1 2
1
2
3
4
∵在1 ，2 ，3 上， f (x, y,z) xyz 0 ，
z
∴ xyzdS xyzdS xyzdS 0 。
4
1
2
3
在 4 上， z 1 x y ，
∵
1
z
2 x
z
2 y
1(1)2 (1)2
3，

第一类曲面积分的物理意义

第二类曲面积分是微积分中一个非常重要的概念,可以用来描述物体表面的变化率。而第一类曲面积分则与物体的形状和表面曲率有关,它在物理学中有着更加广泛的应用。

正文:

在物理学中,物体的形状和表面曲率对于其运动和力学性质有着重要的影响。因此,微积分中第一类曲面积分的求解,可以帮助我们更好地理解物体的形状和

表面变化率,进而推导出一些重要的物理学结论。

例如,我们可以用第一类曲面积分来计算物体表面的摩擦系数。这是因为物体表面的摩擦系数与物体表面的曲率密切相关。如果我们能够求解出物体表面的曲率,就可以得到物体表面的摩擦系数。

此外,我们还可以用第一类曲面积分来计算物体的弹性模量。这是因为物体的弹性模量与物体表面的曲率密切相关。如果我们能够求解出物体表面的曲率,就可以得到物体的弹性模量。

总之,第一类曲面积分在物理学中有着广泛的应用,可以帮助我们更好地理

解物体的形状和表面变化率,进而推导出一些重要的物理学结论。

拓展:

除了计算物体表面的物理性质外,第一类曲面积分还在工程学和计算机科学等领域有着广泛的应用。例如,在计算机图形学中,我们可以用第一类曲面积分来计算物体的表面纹理和形状,从而生成更加逼真的图像。

在工程学中,第一类曲面积分还被广泛应用于机械设计、电子设计等领域。例如,在机械设计中,我们可以用第一类曲面积分来计算机械零件的曲率和形状,

从而设计出更加精确的机械零件。

此外,在计算机科学中,第一类曲面积分还被广泛应用于计算机图形学和机器学习等领域。例如,在计算机图形学中,我们可以用第一类曲面积分来计算物体的表面纹理和形状,从而生成更加逼真的图像。

考研数学-第一型曲线曲面积分

L
分析：利用对称性
(3x
L
2
5xy 2 y )ds (3x 2 y ) ds
2 2 2 L
6ds 6a
L
例3 练习十三/三计算曲线积分 ( x y )ds,
L
4 3
4 3
其中L为星形线 x y a (a 0).
2 3
2 3
2 3
解：令 x a cos t , y a sin t (0 t 2 )
I
Dxy

4 y 2 z 2 4 yz dxdy y 2z 4 y 2 z 2 4 yz ( x 3) y 2z
I
Dxy

4 y 2 z 2 4 yz dxdy y 2z 4 y 2 z 2 4 yz ( x 3) y 2z

I L ( x y 2 Rx 2 Ry 2 R ) dv
2 2 2
( 利用对称性 )
( x y )dv 2 R
2 2 2
dv

2 2
d sin d
0 0
2

R
0
4 3 r sin r dr 2 R R 3
λ 0
i 1
n
2. 计算:

: z z( x , y ) , ( x , y ) D x y , 则

第一类曲面积分例题

下面是一个关于第一类曲面积分的例题：

问题：计算曲面积分$\iint_S x^2 \,dS$，其中曲面$S$ 是球体$x^2 + y^2 + z^2 = 4$ 在$z \geq 0$ 的上半部分。

解答：首先，我们需要找到曲面$S$ 的参数方程。由于曲面是一个球体，可以使用球坐标来描述。

在球坐标系中，令$x = r \sin\theta \cos\phi$，$y = r \sin\theta \sin\phi$，$z = r \cos\theta$，其中$r \geq 0$，$0 \leq \theta \leq \pi/2$，$0 \leq \phi \leq 2\pi$。将这个参数方程代入球体方程$x^2 + y^2 + z^2 = 4$，得到：

$(r \sin\theta \cos\phi)^2 + (r \sin\theta \sin\phi)^2 + (r \cos\theta)^2 = 4$

整理得到$r = 2\sin\theta$。

接下来，计算曲面元素$dS$。曲面元素$dS$ 在球坐标系中的表示为$dS = r^2 \sin\theta \,dr \,d\theta \,d\phi$。

将要求解的曲面积分$\iint_S x^2 \,dS$ 转化为球坐标系下的积分形式：

$\iint_S x^2 \,dS = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/2} (r \sin\theta \cos\phi)^2 \cdot (r^2 \sin\theta) \,d\theta \,d\phi$

第一类曲面积分的几何意义

领略第一类曲面积分的几何意义第一类曲面积分作为数学分析领域中的重要概念，对曲面的几何性质有着非常重要的指导意义。它的几何意义主要体现在以下几个方面：

1. 曲面面积

第一类曲面积分最基本的几何意义是用来求解曲面的面积。曲面在三维空间中表现为一个无限多个微小区域组成的整体，因此我们可以将曲面分割成许多微小的面积元。在每个微小的面积元上计算函数f 的值再求和得到的结果便是曲面的面积。

2. 曲面向量

对于一个曲面上的任意一点P，我们可以定义一个向量N，它的方向垂直于曲面到该点的切平面。通过第一类曲面积分的计算，我们可以得到曲面上每个点的向量N及其大小。这种曲面向量有着广泛的应用，例如计算物体表面的反射或折射光线等。

3. 曲面重心

曲面上的每个微小面积元都有一个重心，通过第一类曲面积分的计算，我们可以得到每个微小面积元的质心及其大小，从而求出整个曲面的重心。这对于研究物体运动或力学性质等问题非常有用。

通过对第一类曲面积分的深入研究和应用，我们可以更加深刻地认识曲面的几何性质，为数学分析等相关领域的研究提供了重要的理论基础和实际应用价值。

第一型曲面积分的几何意义

第一型曲面积分是计算曲面上某个标量场的积分，其几何意义是曲面上某一点处的矢量场经过垂直于曲面的单位法向量的投影后的

大小，再对整个曲面进行积分。

举个例子，考虑一个球体，其表面上有一个温度场。我们可以通过第一型曲面积分计算出球面上某一点处的温度值，然后将整个球面上的所有温度值进行积分，得到球体的总体热量。

在物理学中，第一型曲面积分在计算电场、磁场、流体力学中的流量以及热量传输等方面具有广泛的应用。对于曲面上某个矢量场的积分，我们可以将曲面划分为无数小面元，并计算每个小面元上的积分，然后将其累加起来，得到整个曲面的积分值。

总之，第一型曲面积分作为一种基本的数学工具，在物理学、工程学和计算机图形学等领域中都有着重要的应用。

第一型曲面积分.

第一型曲面积分计算公式推导[001]

第一型曲面积分中值定理

第一型曲面积分

第一型曲面积分的对称性

4 第一型曲面积分

第四节第一类曲面积分

第一二类曲面积分相互转化

第一类曲面积分换元

一,第一型曲面积分的概念与性质

§6.5第一型曲面积分的计算

§6.5第一型曲面积分的计算

第一类曲面积分的物理意义

考研数学-第一型曲线曲面积分

第一类曲面积分 例题

第一类曲面积分的几何意义

第一型曲面积分的几何意义

第一类曲面积分例题