7圆与圆的位置关系问题解题策略
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如果以线段BC为直径的圆与 以线段AE为直径的圆相切
罗列三要素 不必画出圆
第一步 罗列三要素，突破矛盾
d OD ?
3 3 1 3 OH OB (5 x) 3 x 5 5 2 10 4 4 1 2 BH OB (5 x) 4 x 5 5 2 5 2 DH BH 4 x 5
罗列三要素 不必画出圆
第一步 罗列三要素，突破矛盾
1 r DE ? 2
HE x 4
回归经典
HE 4 x
DE (4 x) 2 2 2 x 2 8 x 20
三部曲：
先罗列三要素；
第二步 列方程——两圆外切
再列方程；
以线段AB为直径的圆与 以线段DE为直径的圆外切
以点A为圆心AE长为半径的⊙A相切
罗列三要素 不必画出圆
第一步 罗列三要素，突破矛盾
RC CF y ?
由两个三角形相似
x 8 得 4 y
32 因此 y x
∵∠EDC＝∠3＋∠2, 证明两个三角形相似是一道典型题 典型性在于证明∠1＝∠2三因一果 ∠EDC＝∠B＋∠1,
∠B＝∠3,
如果圆C与直线MN相切，且与 以BP为半径的圆P也相切．
罗列三要素 不必画出圆
第一步 罗列三要素，突破矛盾
d CP y ?
由两个三角形相似
x AP 得 AP y AP2 x 2 42 16 因此y x x x x
三部曲：
先罗列三要素；
第二步 分类列方程——两圆相切
小结—在没有解出x=BE的值之前，无法准确画出示意图
两圆外切时， BE 4 2
两圆内切时， BE 10 2 17
心动不如行动
⊙P的半径是PB, ⊙G的半径是GD．
原来是几何证明题啊！
正方形ABCD，等腰直角三角形APF．
求证：BP＋DG＝PG．
先构造 △ABH≌△ADG．
再证明 △APH≌△APG．
小结——经典几何问题赋予了新的活力！
求证：BP＋DG＝PG． 于是：RP＋rG＝PG＝d．
三部曲：
09徐汇25
先罗列三要素； 再列方程；
后解方程、检验．
当以点C为圆心CF长为半径的⊙C和以点A为 圆心AE长为半径的⊙A相切时，求BE的长 ．
三部曲：
先罗列三要素；
第一步 罗列三要素，突破矛盾
再列方程；
后解方程、检验．
RC CF y ?
rA AE 10 x
d AC 10
以点C为圆心CF长为半径的⊙C
2
2
这两个圆可能内切吗？
三部曲：
第三步 解方程、检验
4 8 解方程2t 3 t 4 t 5 5
2 2
先罗列三要素； 再列方程；
后解方程、检验．
得t 10
5 21 2
你对这个结果有自信吗？ 负值当然要舍去了！ 正值在取值范围内码？ 估算一下，画图检验！
2
三部曲：
先罗列三要素；
第三步 解方程、检验
解方程5
20 得x 3
再列方程；
2
1 3 2 x 4 3 x x 2 10 5
2
后解方程、检验．
存在外切的情况
这两个方程都可以 化为一元一次方程
2
1 3 2 解方程 5 x 4 3 x x 2 10 5 20 得x 不存在内切的可能 7
QE BE t
QE t BE
4 4 4 3 3 3 PE BP (5 t ) 4 t BE BP (5 t ) 3 t 5 5 5 5 5 5
4 8 PQ 3 t 4 t 5 5
2
三部曲：
先罗列三要素；
第三步 解方程、检验
再列方程；
32 解方程 10 x 10 x
得x 4 2
后解方程、检验．
存在外切的情况
32 解方程 (10 x) 10 x
解得x1 10 2 17，x2 10 2 17
内切存在吗？估算！
x 10 2 17时内切
（1）求y关于x的函数关系式； （2）在点P运动的过程中，点C到MN的距离是否会发生变 化？如果发生变化，请用x的代数式表示这段距离；如果 不发生变化，请求出这段距离；
三部曲：
先罗列三要素；
09闵行25
再列方程；
后解方程、检验．
正方形ABCD，动点P，等腰直角三角形APF．
⊙P、⊙G的半径分别是PB和GD，试判断⊙P 与⊙G两圆的位置关系，并说明理由．
3 2 OD 3 x x 10 5
2
2
三部曲：
先罗列三要素；
第二步 分类列方程——两圆相切
再列方程；
如果以线段BC为直径的圆与 以线段AE为直径的圆相切
R4
后解方程、检验．
1 r 5 x 2
3 2 d 3 x x 10 5
20 21 25 2 5 21 5
4.472 21 5
1.18 t 2.5
小结——三部曲
①罗列三要素； ②列方程； ③解方程、检验．
求PQ难得糊涂 犹抱分类半遮面 折磨你的自信！
rP t rQ t d PQ ?
4 8 解方程2t 3 t 4 t 5 5
第三步 解方程、检验
再列方程；
16 解方程 8 x x x
得x 2
后解方程、检验．
存在外切的情况
16 解方程 8 x x x
当x 8时，方程x 2 4 x 8 0无实根 当x 8时，x 2
不存在内切的可能
小结——成也铺垫，败也铺垫
(1)铺垫了圆心距d＝y (2)铺垫了RC=CD=8
在没有解出x的值之前，无法准确画出示意图
三部曲：
先罗列三要素；
09崇明25
再列方程；
后解方程、检验．
动点P、Q分别从A、B两点同时出发，沿AB、BC方 向匀速移动，它们的速度都是1cm/秒．当点P到达点 B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t （秒）． 分别以P、Q为圆心，PA、BQ长为半径画圆，若⊙P 与⊙Q相切，求t的值．
R
后解方程、检验．
1 1 1 1 2 AB 1 r DE x 8 x 20 d FM (4 x) 2 2 2 2
1 2 1 根据 R r d , 得1 x 8 x 20 (4 x) 2 2
三部曲：
先罗列三要素；
第三步 解方程、检验
1 2 1 解方程1 x 8 x 20 (4 x) 2 2
问题整理 分类讨论思想，列表法
N在C左 两圆外切
N与C重合 圆C不存在
N在C右,极限位置 两圆内切
0 CN 6
CN 0
7 0 CN 3
小结 因果关系
题目 正解 错解
请直接写出当⊙C存在时，⊙O与⊙C的位置关系，以 及相应的⊙C半径CN的取值范围． 7 当两圆外切时， 0 CN 6；当两圆内切时， 0 CN . 3 7 当0 CN 6时, 两圆外切；当 0 CN 时, 两圆内切 . 3
2
小结——几何法定向，代数法定位
在没有解之前，我们可以想象， 外切存在一种情况，不存在内切的可能
三部曲： 先罗列三要素；
09杨浦24
再列方程； 后解方程、检验．
cos B
3 5
点O为BC边上的动点，⊙O交线段AB于点P，交线段OD于 点M，交射线BC于点N． 在点O运动的过程中，以点C为圆心，CN为半径作⊙C，请 直接写出当⊙C存在时，⊙O与⊙C的位置关系，以及相应 的⊙C半径CN的取值范围．
∴∠1＝∠2.
三部曲：
先罗列三要素；
第二步 分类列方程——两圆相切
再列方程；
当⊙C和⊙A相切时，求BE的长 ．
后解方程、检验．
32 RC x
rA 10 x
d AC 10
32 如果两圆外切，那么 R r d，列方程 10 x 10 x
32 如果两圆内切，那么 R r d，列方程 (10 x) 10 x
三部曲：
09浦东25
先罗列三要素； 再列方程；
后解方程、检验．
P是射线BN上的一个动点 ．
如果圆C与直线MN相切，且与以BP为半径的 圆P也相切，求BP∶PD的值．
三部曲：
先罗列三要素；
第一步 罗列三要素，突破矛盾
再列方程；
后解方程、检验．
RC CD 8
rP BP x
d CP y ?
2 2
得t 10
5 21 2
三部曲：
先罗列三要素；
09虹口25
再列方程；
后解方程、检验．
如果以线段BC为直径的圆与以线段AE为直径 的圆相切，求线段BE的长 ．
三部曲：
先罗列三要素；
第一步 罗列三要素，突破矛盾
再列方程；
后解方程、检验．
1 R BC 4 2 1 1 r AE (10 x) 2 2 d OD ?
再列方程；
如果圆C与直线MN相切，且与 以BP为半径的圆P也相切．
R 8
后解方程、检验．
rx
16 d x x
16 如果两圆外切，那么 R r d，列方程 8 x x x 16 如果两圆内切，那么 R r d，列方程 8 x x x
三部曲：
先罗列三要素；
08上海25 09闵行25 09杨浦24 09徐汇25
09上海24 09浦东25 09杨浦25
09卢湾25 09虹口25 09崇明25
三部曲：
先罗列三要素：R，r，d；
再分类列方程；
后解方程、检验．
一般情况下，这个类型题
无法先画出比较准确的示意图
三部曲：
先罗列三要素；
08上海25
再列方程；
后解方程、检验．
2
三部曲：
先罗列三要素；
第二步 列方程——两圆相切
再列方程；
后解方程、检验．
若⊙P与⊙Q相切，求t的值．
rP t rQ t
4 8 d PQ 3 t 4 t 5 5
2
2
4 8 如果两圆外切，那么 2t 3 t 4 t 5 5
2
2
1 3 2 如果两圆外切，那么 R r d，列方程5 x 4 3 x x 2 10 5
2
2
2
如果两圆内切，那么 R r d，列方程5
1 3 2 x 4 3 x x 2 10 5
三部曲：
09杨浦24 先罗列三要素； 再列方程； 后解方程、检验．
以点C为圆心，
CN为半径作⊙C．
无需三部曲的反例！
问题一 当⊙C不存在时，点N的位置？
问题二 怎样确定⊙O的最大位置？A? D?
3 cos B 5
由AB得到O.
此时 OB 5 5 1 5 1 25 25 7 BE AB 5 因此 CN 2 6 3 3 2 3 2 6 6 3
M是线段DE的中点，E是射线BC上的动点． 如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径 的圆外切，求线段BE的长．
三部曲：
先罗列三要素；
第一步 罗列三要素，突破矛盾
再列方程；
后解方程、检验．
以线段AB为直径的圆与
以线段DE为直径的圆外切
1 R AB 1 2 1 r DE ? 2 1 d FM (4 x) 2
三部曲：
先罗列三要素；
准备动作 语言转换
再列方程；
后解方程、检验．
AP BQ t 若⊙P与⊙Q相切，求t的值．
三部曲：
先罗列三要素；
第一步 罗列三要素，突破矛盾
再ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方程；
后解方程、检验．
rP t
rQ t
d PQ ?
第一步 罗列三要素，突破矛盾 回归经典
d PQ ?
再列方程；
后解方程、检验．
4 得BE x 3
代数法检验—演算 几何法检验—画图
小结——三部曲 ①罗列三要素； ②列方程； ③解方程、检验．
列方程1
得BE x
1 2 1 x 8 x 20 (4 x) 2 2
4 3
1 AB 1 2 1 r DE ? 2 1 d FM (4 x) 2 R
罗列三要素 不必画出圆
第一步 罗列三要素，突破矛盾
d OD ?
3 3 1 3 OH OB (5 x) 3 x 5 5 2 10 4 4 1 2 BH OB (5 x) 4 x 5 5 2 5 2 DH BH 4 x 5
罗列三要素 不必画出圆
第一步 罗列三要素，突破矛盾
1 r DE ? 2
HE x 4
回归经典
HE 4 x
DE (4 x) 2 2 2 x 2 8 x 20
三部曲：
先罗列三要素；
第二步 列方程——两圆外切
再列方程；
以线段AB为直径的圆与 以线段DE为直径的圆外切
以点A为圆心AE长为半径的⊙A相切
罗列三要素 不必画出圆
第一步 罗列三要素，突破矛盾
RC CF y ?
由两个三角形相似
x 8 得 4 y
32 因此 y x
∵∠EDC＝∠3＋∠2, 证明两个三角形相似是一道典型题 典型性在于证明∠1＝∠2三因一果 ∠EDC＝∠B＋∠1,
∠B＝∠3,
如果圆C与直线MN相切，且与 以BP为半径的圆P也相切．
罗列三要素 不必画出圆
第一步 罗列三要素，突破矛盾
d CP y ?
由两个三角形相似
x AP 得 AP y AP2 x 2 42 16 因此y x x x x
三部曲：
先罗列三要素；
第二步 分类列方程——两圆相切
小结—在没有解出x=BE的值之前，无法准确画出示意图
两圆外切时， BE 4 2
两圆内切时， BE 10 2 17
心动不如行动
⊙P的半径是PB, ⊙G的半径是GD．
原来是几何证明题啊！
正方形ABCD，等腰直角三角形APF．
求证：BP＋DG＝PG．
先构造 △ABH≌△ADG．
再证明 △APH≌△APG．
小结——经典几何问题赋予了新的活力！
求证：BP＋DG＝PG． 于是：RP＋rG＝PG＝d．
三部曲：
09徐汇25
先罗列三要素； 再列方程；
后解方程、检验．
当以点C为圆心CF长为半径的⊙C和以点A为 圆心AE长为半径的⊙A相切时，求BE的长 ．
三部曲：
先罗列三要素；
第一步 罗列三要素，突破矛盾
再列方程；
后解方程、检验．
RC CF y ?
rA AE 10 x
d AC 10
以点C为圆心CF长为半径的⊙C
2
2
这两个圆可能内切吗？
三部曲：
第三步 解方程、检验
4 8 解方程2t 3 t 4 t 5 5
2 2
先罗列三要素； 再列方程；
后解方程、检验．
得t 10
5 21 2
你对这个结果有自信吗？ 负值当然要舍去了！ 正值在取值范围内码？ 估算一下，画图检验！
2
三部曲：
先罗列三要素；
第三步 解方程、检验
解方程5
20 得x 3
再列方程；
2
1 3 2 x 4 3 x x 2 10 5
2
后解方程、检验．
存在外切的情况
这两个方程都可以 化为一元一次方程
2
1 3 2 解方程 5 x 4 3 x x 2 10 5 20 得x 不存在内切的可能 7
QE BE t
QE t BE
4 4 4 3 3 3 PE BP (5 t ) 4 t BE BP (5 t ) 3 t 5 5 5 5 5 5
4 8 PQ 3 t 4 t 5 5
2
三部曲：
先罗列三要素；
第三步 解方程、检验
再列方程；
32 解方程 10 x 10 x
得x 4 2
后解方程、检验．
存在外切的情况
32 解方程 (10 x) 10 x
解得x1 10 2 17，x2 10 2 17
内切存在吗？估算！
x 10 2 17时内切
（1）求y关于x的函数关系式； （2）在点P运动的过程中，点C到MN的距离是否会发生变 化？如果发生变化，请用x的代数式表示这段距离；如果 不发生变化，请求出这段距离；
三部曲：
先罗列三要素；
09闵行25
再列方程；
后解方程、检验．
正方形ABCD，动点P，等腰直角三角形APF．
⊙P、⊙G的半径分别是PB和GD，试判断⊙P 与⊙G两圆的位置关系，并说明理由．
3 2 OD 3 x x 10 5
2
2
三部曲：
先罗列三要素；
第二步 分类列方程——两圆相切
再列方程；
如果以线段BC为直径的圆与 以线段AE为直径的圆相切
R4
后解方程、检验．
1 r 5 x 2
3 2 d 3 x x 10 5
20 21 25 2 5 21 5
4.472 21 5
1.18 t 2.5
小结——三部曲
①罗列三要素； ②列方程； ③解方程、检验．
求PQ难得糊涂 犹抱分类半遮面 折磨你的自信！
rP t rQ t d PQ ?
4 8 解方程2t 3 t 4 t 5 5
第三步 解方程、检验
再列方程；
16 解方程 8 x x x
得x 2
后解方程、检验．
存在外切的情况
16 解方程 8 x x x
当x 8时，方程x 2 4 x 8 0无实根 当x 8时，x 2
不存在内切的可能
小结——成也铺垫，败也铺垫
(1)铺垫了圆心距d＝y (2)铺垫了RC=CD=8
在没有解出x的值之前，无法准确画出示意图
三部曲：
先罗列三要素；
09崇明25
再列方程；
后解方程、检验．
动点P、Q分别从A、B两点同时出发，沿AB、BC方 向匀速移动，它们的速度都是1cm/秒．当点P到达点 B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t （秒）． 分别以P、Q为圆心，PA、BQ长为半径画圆，若⊙P 与⊙Q相切，求t的值．
R
后解方程、检验．
1 1 1 1 2 AB 1 r DE x 8 x 20 d FM (4 x) 2 2 2 2
1 2 1 根据 R r d , 得1 x 8 x 20 (4 x) 2 2
三部曲：
先罗列三要素；
第三步 解方程、检验
1 2 1 解方程1 x 8 x 20 (4 x) 2 2
问题整理 分类讨论思想，列表法
N在C左 两圆外切
N与C重合 圆C不存在
N在C右,极限位置 两圆内切
0 CN 6
CN 0
7 0 CN 3
小结 因果关系
题目 正解 错解
请直接写出当⊙C存在时，⊙O与⊙C的位置关系，以 及相应的⊙C半径CN的取值范围． 7 当两圆外切时， 0 CN 6；当两圆内切时， 0 CN . 3 7 当0 CN 6时, 两圆外切；当 0 CN 时, 两圆内切 . 3
2
小结——几何法定向，代数法定位
在没有解之前，我们可以想象， 外切存在一种情况，不存在内切的可能
三部曲： 先罗列三要素；
09杨浦24
再列方程； 后解方程、检验．
cos B
3 5
点O为BC边上的动点，⊙O交线段AB于点P，交线段OD于 点M，交射线BC于点N． 在点O运动的过程中，以点C为圆心，CN为半径作⊙C，请 直接写出当⊙C存在时，⊙O与⊙C的位置关系，以及相应 的⊙C半径CN的取值范围．
∴∠1＝∠2.
三部曲：
先罗列三要素；
第二步 分类列方程——两圆相切
再列方程；
当⊙C和⊙A相切时，求BE的长 ．
后解方程、检验．
32 RC x
rA 10 x
d AC 10
32 如果两圆外切，那么 R r d，列方程 10 x 10 x
32 如果两圆内切，那么 R r d，列方程 (10 x) 10 x
三部曲：
09浦东25
先罗列三要素； 再列方程；
后解方程、检验．
P是射线BN上的一个动点 ．
如果圆C与直线MN相切，且与以BP为半径的 圆P也相切，求BP∶PD的值．
三部曲：
先罗列三要素；
第一步 罗列三要素，突破矛盾
再列方程；
后解方程、检验．
RC CD 8
rP BP x
d CP y ?
2 2
得t 10
5 21 2
三部曲：
先罗列三要素；
09虹口25
再列方程；
后解方程、检验．
如果以线段BC为直径的圆与以线段AE为直径 的圆相切，求线段BE的长 ．
三部曲：
先罗列三要素；
第一步 罗列三要素，突破矛盾
再列方程；
后解方程、检验．
1 R BC 4 2 1 1 r AE (10 x) 2 2 d OD ?
再列方程；
如果圆C与直线MN相切，且与 以BP为半径的圆P也相切．
R 8
后解方程、检验．
rx
16 d x x
16 如果两圆外切，那么 R r d，列方程 8 x x x 16 如果两圆内切，那么 R r d，列方程 8 x x x
三部曲：
先罗列三要素；
08上海25 09闵行25 09杨浦24 09徐汇25
09上海24 09浦东25 09杨浦25
09卢湾25 09虹口25 09崇明25
三部曲：
先罗列三要素：R，r，d；
再分类列方程；
后解方程、检验．
一般情况下，这个类型题
无法先画出比较准确的示意图
三部曲：
先罗列三要素；
08上海25
再列方程；
后解方程、检验．
2
三部曲：
先罗列三要素；
第二步 列方程——两圆相切
再列方程；
后解方程、检验．
若⊙P与⊙Q相切，求t的值．
rP t rQ t
4 8 d PQ 3 t 4 t 5 5
2
2
4 8 如果两圆外切，那么 2t 3 t 4 t 5 5
2
2
1 3 2 如果两圆外切，那么 R r d，列方程5 x 4 3 x x 2 10 5
2
2
2
如果两圆内切，那么 R r d，列方程5
1 3 2 x 4 3 x x 2 10 5
三部曲：
09杨浦24 先罗列三要素； 再列方程； 后解方程、检验．
以点C为圆心，
CN为半径作⊙C．
无需三部曲的反例！
问题一 当⊙C不存在时，点N的位置？
问题二 怎样确定⊙O的最大位置？A? D?
3 cos B 5
由AB得到O.
此时 OB 5 5 1 5 1 25 25 7 BE AB 5 因此 CN 2 6 3 3 2 3 2 6 6 3
M是线段DE的中点，E是射线BC上的动点． 如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径 的圆外切，求线段BE的长．
三部曲：
先罗列三要素；
第一步 罗列三要素，突破矛盾
再列方程；
后解方程、检验．
以线段AB为直径的圆与
以线段DE为直径的圆外切
1 R AB 1 2 1 r DE ? 2 1 d FM (4 x) 2
三部曲：
先罗列三要素；
准备动作 语言转换
再列方程；
后解方程、检验．
AP BQ t 若⊙P与⊙Q相切，求t的值．
三部曲：
先罗列三要素；
第一步 罗列三要素，突破矛盾
再ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方程；
后解方程、检验．
rP t
rQ t
d PQ ?
第一步 罗列三要素，突破矛盾 回归经典
d PQ ?
再列方程；
后解方程、检验．
4 得BE x 3
代数法检验—演算 几何法检验—画图
小结——三部曲 ①罗列三要素； ②列方程； ③解方程、检验．
列方程1
得BE x
1 2 1 x 8 x 20 (4 x) 2 2
4 3
1 AB 1 2 1 r DE ? 2 1 d FM (4 x) 2 R