北京市顺义区2016届高三3月第一次统练(一模)数学理试题 Word版含答案

顺义区2016届高三第一次统练数 学 试 卷（理科） 2016.3第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设i 为虚数单位，则(21)i i += ( ) （A ） 2i + （B ） 2i - （C ）2i -+ （D ）2i --2.已知集合2{|1}=<A x x ，2{|log 1}=<B x x ，则= A B （ ） （A ）{|11}-<<x x（B ）{|01}<<x x（C ）{|02}<<x x （D ）{|12}-<<x x3.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 （ ） （A ）2=x y （B ）3=+y x x（C ）1=-y x（D) 2log =-y x4.执行如图所示的程序框图，输出的结果是 ( )（A ）15 （B ）21 （C ）24 （D ） 355.已知向量(,1)=-a x ，(,4)=b x r ，其中∈x R .则“2=x ”是“⊥a b r r”成立的 （ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件6.直线l：122⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩x y （t 为参数）与圆C ：22cos 12sin =+⎧⎨=+⎩x y θθ（θ为参数）的位置关系是 ( ) （A ） 相离 （B ） 相切 （C) 相交且过圆心 （D ）相交但不过圆心7.在平面直角坐标系中，若不等式组22,12,10+≥⎧⎪≤≤⎨⎪-+≥⎩x y x ax y （a 为常数）表示的区域面积等于1， 则a 的值为( )（A ） 16- （B ） 16 （C ）12 （D ）18.如图，已知平面αI 平面β=l ，⊥αβ.A B 、是直线l 上的两点，D C 、是平面β内的两点，且⊥DA l ，⊥CB l ，4,=DA 6=AB ，8=CB .P 是平面α上的一动点，且有∠=∠APD BPC ，则四棱锥-P ABCD 体积的 最大值是 （ ）（A ）48 （B ） 16 （C） （D ）144第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9.261()+x x的展开式中3x 的系数为______（用数字作答).10.抛物线28=-y x 的准线与双曲线22:184-=x y C 的两条渐近线所围成的三角形面积为_________.11.已知某几何体的三视图如图,正（主）视图中的弧线是半圆， 根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是________（单位:2cm ）.12.已知函数2322,1()log (1).1⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩x x f x xx x则((______;=f f ()f x 的最小值为 ．13.某慢性疾病患者，因病到医院就医，医生给他开了处方药（片剂),要求此患者每天早、晚间隔12小时各服一次药，每次一片，每片200毫克．假设该患者的肾脏每12小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的50%，并且医生认为这种药在体内的残留量不超过400毫克时无明显副作用.若该患者第一天上午8点第一次服药，则第二天上午8点服完药时．．．．，药在其体内的残留量是_______毫克，若该患者坚持长期服用此药________明显副作用（此空填“有”或“无”）.14..设12345,,,,A A A A A 是空间中给定的5个不同的点，则使510==∑k k MA 成立的点M 的个数有_________ 个.三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）已知函数21()cos()cos sin 22=--+f x x x x π，∈x R .（Ⅰ）求函数()f x 的最大值；（Ⅱ）若[,]63∈-x ππ，求函数()f x 的单调递增区间. 16.（本小题满分13分）在某班级举行的“元旦联欢会”有奖答题活动中，主持人准备了A B ，两个问题，规定：被抽签抽到的答题同学，答对问题A 可获得100分，答对问题B 可获得200分，答题结果相互独立互不影响，先回答哪个问题由答题同学自主决定；但只有第一个问题答对才能答第二个问题，否则终止答题.答题终止后，获得的总分决定获奖的等次.若甲是被抽到的答题同学，且假设甲答对A B ，问题的概率分别为 1124， .（Ⅰ）记甲先回答问题A 再回答问题B 得分为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）你觉得应先回答哪个问题才能使甲的得分期望更高？请说明理由.17.（本小题满分13分）如图，在四棱锥-P ABCD 中，等边 PAD 所在的平面与正方形ABCD 所在的平面互相垂直,O 为AD 的中点，E 为DC 的中点，且 2.=AD（Ⅰ）求证：⊥PO 平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角--P EB A 的余弦值；（Ⅲ）在线段AB 上是否存在点M ，使线段PM 与 PAD 所在平面成30︒角.若存在，求出AM 的长,若不存在，请说明理由. 18.（本小题满分13分） 已知函数2()ln =-f x x x .（Ⅰ）求曲线()=y f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）设2()=-+g x x x t ，若函数()()()=-h x f x g x 在1[,]e e上(这里 2.718≈e ）恰有两个不同的零点,求实数t 的取值范围. 19.（本小题满分14分）已知椭圆:E 22221x y a b +=(0)a b >>的离心率e ，且点在椭圆E 上.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；(Ⅱ)直线l 与椭圆E 交于A 、B 两点，且线段AB 的垂直平分线经过点1(0,)2.求 AOB （O 为坐标原点)面积的最大值.20.（本小题满分14分）在数列{}n a 中，10=a ，21+=+n n a a m ，其中∈m R ，*∈n N .（Ⅰ）当1=m 时，求234,,a a a 的值；（Ⅱ）是否存在实数m ，使234,,a a a 构成公差不为0的等差数列？证明你的结论； （Ⅲ）当14>m 时，证明：存在*∈k N ，使得2016>k a .顺义区2016届高三第一次统练数学试卷 （理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. C ；2. B ；3. B ；4. C ；5. A ；6. D ；7. B ； 8 . A .二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 20; 10.; 11. 43+π; 12.1,0 ； 13.350 , 无. 14. 1. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由已知21()cos()cos sin 22=--+f x x x x π1cos 21sin cos 22-=-+x x x 【3分】11sin 2cos 2)224=+=+x x x π 【6分】当 2242+=+x k πππ ，即8=+x k ππ，∈k z 时，max ()=f x 【7分】 （Ⅱ) 当222242-≤+≤+k x k πππππ时，()f x 递增 【9分】即388-≤≤+k x k ππππ， 令0=k ，且注意到[,]63∈-x ππ ∴函数()f x 的递增区间为[,]68-ππ【13分】16.（本小题满分13分）（Ⅰ）ξ的可能取值为0,100.300. 【2分】∴0111(0=()(1)222=⋅-=P ξ），113(100=(1)248=⋅-=P ξ），111(300=248=⋅=P ξ） 【5分】分布列为：758==E ξ. 【7分】 （Ⅱ）设先回答问题B ，再回答问题A 得分为随机变量η，则η的可能取值为0,200.300.∴13(0=(1)44=-=P η）， 111(200=(1)428=⋅-=P ξ）， 111(300=428=⋅=P ξ）， 【10分】 分布列为：62.58==E η. 【12分】>E E ξη∴应先回答A 所得分的期望值较高. 【13分】17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ） PAD 是等边三角形，O 为AD 的中点, ∴⊥PO AD平面⊥PAD 平面ABCD ，AD 是交线，⊂PO 平面PAD∴⊥PO 平面ABCD . 【4分】（Ⅱ）取BC 的中点F ， 底面ABCD 是正方形，∴⊥OF AD ，∴,PO OF AD ，两两垂直.分别以OA OF OP 、、的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则(1,2,0),(1,2,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,1,0)---P B C D A E 【5分】(1,0,= PA ，(2,1,0,)=- AE ，(1,1=- EP ，(2,1,0,)=EB设平面PBE 的法向量为(,,)= n x y z ，∴00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n PE n EB ，∴(,,)(1,0(,,)(2,1,0)0⎧⋅-=⎪⎨⋅=⎪⎩x y z x y z∴020⎧-=⎪⎨+=⎪⎩x y x y ，∴12⎧=⎪=-⎨⎪=⎩x y z ，∴(1,2,=- n 平面EBA 的法向量即为平面ABCD的法向量=OP .由图形可知所求二面角为锐角，∴cos ,||||||⋅<>==n OP n OP n OP 【9分】 (Ⅲ)方法1：设在线段AB 上存在点(1,,0)M x ，(02)<≤x ， 使线段PM 与 PAD 所在平面成030角，平面PAD 的法向量为(0,2,0)，(1,,=PM x ，∴01sin 30|2===，解得=x∴在线段AB 上存在点M ，当线段=AM 时，与 PAD 所在平PM 面成030角. 【13分】方法2：由（Ⅰ）知⊥PO 平面ABCD ， ⊥BA AD ，⊥BA PO ,= PO AD O∴⊥BA 平面POD .设在线段AB 上存在点M 使线段PM 与 PAD 所在平面成030角，连结PM ，由线面成角定义知：∠MPA 即为PM 与 PAD 所在平面所成的角,0tan 30=⋅=AM PA ,当线段=AM PAD 所在平PM 面成030角.18.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数定义域为(0,)+∞ 【1分】1'()2=-f x x x，∴'(1)1=f 【2分】又(1)1=f ，∴所求切线方程为11-=-y x ，即0-=x y 【5分】 （Ⅱ）函数()()()ln =-=-+-h x f x g x x x t 在1[,]e e上恰有两个不同的零点，等价于ln 0-+-=x x t 在1[,]e e上恰有两个不同的实根， 【8分】 等价于ln =-t x x 在1[,]e e上恰有两个不同的实根， 令()ln ,=-k x x x 则11'()1-=-=x k x x x∴当1(,1)∈x e 时，'()0<k x ，∴()k x 在1(,1)e递减；当(1,]∈x e 时，'()0>k x ，∴()k x 在(1,]e 递增. 故min ()(1)1==k x k ，又11()1,()1=+=-k k e e e e. 【11分】 11()()20-=-+<k k e e e e ，∴1()()<k k e e ，∴1(1)()<≤k t k e即1(1,1]∈+t e【13分】 19.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知 221314=-=e a ，∴24=a 【2分】点在椭圆上，∴221314+=a b，解得2,1==a b . ∴所求椭圆方程为2214+=x y 【4分】(Ⅱ)设11(,)A x y ，22(,)B x y ， AB 的垂直平分线过点1(0,2）, ∴AB 的斜率k 存在. 当直线AB 的斜率0=k 时， ∴1212,=-=x x y y∴12|||||||||2=⋅==AOBS x y x y xV 2214122+-=⋅=x x ""=当且仅当22114,=-x x∴1=x max ()1=AOB S V 【6分】当直线AB 的斜率0≠k 时， 设:=+AB l y kx m (0)≠m .∴2214=+⎧⎪⎨+=⎪⎩y kx mx y 消去y 得：222(14)8440+++-=k x kmx m 由0∆>.2241+>k m ① 【8分】∴2121222844,1414-+=-=++km m x x x x k k ， ∴1224,214+=-+x x kmk ∴121222214++=+=+y y x x m k m k，∴AB 的中点为224(,)1414-++km mk k 由直线的垂直关系有211421414-+⋅=--+m k k km k ，化简得2146+=-k m ② 由①②得26,60->∴-<<m m m 【10分】又(0,0)O 到直线=+y kx m的距离为=d ，12|||4=-=AB x x 【12分】1||42==AOBS AB dV |==m 60-<<m Q ，∴3=-m 时，max 1()313=⨯=AOB S V .由3=-m ，∴21418+=k，解得=k即=k max ()1=AOB S V ； 综上：max ()1=AOB S V ； 【14分】 20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）21=a ，32=a ，45=a . 【3分】（Ⅱ） 234,,a a a 成等差数列，∴3243-=-a a a a ， 即 222233+-=+-a m a a m a ，∴ 223232()()0---=a a a a ，即()()323210-+-=a a a a . 320-≠a a ，∴3210+-=a a .将2=a m ，23=+a m m 代入上式， 解得1=-m 【7分】 经检验，此时234,,a a a 的公差不为0.∴存在1=-m 234,,a a a 构成公差不为0的等差数列. 【8分】（Ⅲ） 221111()()244+-=+-=-+-≥-n n n n n a a a m a a m m , 又 14>m ，∴ 令104=->d m . 【10分】由 1--≥n n a a d ， 12---≥n n a a d ，…… 21-≥a a d ，将上述不等式相加，得 1(1)-≥-n a a n d ，即(1)≥-n a n d . 【12分】 取正整数20161>+k d ，就有2016(1)()2016≥->⋅=k a k d d d. 【14分】。