高等流体力学笔记第6讲

第六讲例二、点源、线源、面源及体积源引起的流动问题求解举例，这一类问题的基本方程可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧=⨯∇=⋅∇0e e V q V 或q e =∇ϕ2属于已知散度、旋度为零流场求解问题。

1、 点源问题（无旋有势流动）：（求解实际问题的具体方法：奇点法）点源的定义：若)(limt Q qd ='⎰⎰⎰'→'τττ此时称其为强度为Q 的点源式中q 为点源的体密度，Q 可以是常数，也可以是Q(t)，为体积流量。

对于点源问题，因为气仅在源点有源因此散度不为零，而在其它点上无源散度为零，故该问题的基本方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=⨯∇=⋅∇0e e V V 或02=∇e ϕ为了便于求解e ϕ，根据点源所产生的流场为球对称的性质选用球坐标系来求解e ϕ。

在球坐标系中02=∇e ϕ的表达式为：0sin 1)(sin sin 1)(2222=∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂εϕθθϕθθθϕe e eR R R 设点源处于原点，由于其形成的速度场是球对称，故)(R e e ϕϕ=与εθ,无关，且所有的0=∂∂=∂∂εθ，()()dRd R =∂∂。

所以上面球坐标下的02=∇e ϕ的表达式可简化为：0)(2=∂∂RR dR d e ϕ积分上式可得：c R R e=∂∂ϕ2，再次积分可得：21c Rc e +=ϕ式中c c -=1，2c 均为积分常数，将由边界条件确定。

由于由点源引起得速度e V 是径向的，故0==εV V e ，RRV V Re =,根据其和流速的关系：R R dR d R R R R R V V e e R e ϕϕ=∂∂==。

由点源的条件可得包围点源任何一个半径为R 的球体均有：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰'→''==⋅=⋅∇ττττqd Q dA V n d V elim 高斯定理所以c R R c dA R c dA dRd dA R R dR d R R dA V n AA e Ae Ae ππϕϕ44222====⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ A 为半径为R 的球面面积，n 为球面的外法线单位矢量。

令 Q c =π4可得：π4Q c =,π41Qc -= 所以RRR Q R R R c R R dR d V e e 2214πϕ=-==,24R Q V eπ= 2214c R Q c R c e +-=+=πϕ 2c 一般不影响流动的性质，故可得一般的表示为RQe πϕ4-=。

如果点源不是放置在原点上，而是在),,(ζηξp ，则该点源对任意一点（x,y,z ）处的速度场与速度势为：s ss t Q t z y x V e 24)(),,,(π=st Q t z y x e πϕ4)(),,,(-=其中，如图所示，222)()()(ζηξ-+-+-=z y x sk z j y i x R R s )()()(ζηξ-+-+-='-=2、 面源、线源与体积源⎪⎩⎪⎨⎧=⨯∇=⋅∇0e e V V线源的定义：),,(lim 0ζηξLAA q A qd '='⎰⎰∆→'∆称为强度为Lq '的线源.其中A '∆为线源的面积，L q '称为线源强度。

类似有面源、体积源的定义，),,(ζηξA q '称为面源强度。

0→'∆h0→'∆τ ),,(ζηξvq '称为体积源强度。

如果把线源，面源和体积源引起的流场看成是由无数个分布在点),,(ζηξ上的点源产生的流速场的叠加而成，则由点源的表达式可得：线源：s s S L d q V L L e ⎰'''=241π⎰'''-=L L e s L d q πϕ41面源：s s S A d q A L e ⎰⎰'''=241π⎰⎰'''-=A L e s A d q πϕ41体积源：s s S d q V ve ⎰⎰⎰'''=ττπ241⎰⎰⎰'''-=ττπϕs d q ve 41s 及s 的定义2同前，),,,(t q q L L ζηξ'='，),,,(t q q A A ζηξ'='，),,,(t q q v v ζηξ'='分别为“线源强度”，“面源强度”，“体积源强度”。

例三：散度为零的有涡流动举例——线涡问题（龙卷风深入旋涡）如果流动的散度为零，但旋度不为零则其基本方程应为：⎪⎩⎪⎨⎧=⋅∇Ω=⨯∇0v v V V 从前面分析可知，若假定v v B V ⨯∇=，且满足0=⋅∇v B 则由上面方程可得： Ω-=∇v B 2关于上面泊桑方程的特解，可参照q e =∇ϕ2的解形式直接给出：⎰⎰⎰''Ω=ττζηξπd S t Be ),,,(41222)()()(ζηξ-+-+-=z y x s 为涡量体积微元ζηξτd d d d ='所在位置到任一点（x ，y ，z ）的距离k z j y i x R ++=，k j i R ζηξ++='对应的速度场为：⎰⎰⎰''Ω⨯∇=⨯∇=ττπd SB V v v 41因为k zj y i x ∂∂+∂∂+∂∂=∇，而),,,(t ζηξΩ=Ω，ζηξτd d d d ='，故： ⎰⎰⎰''Ω⨯∇=ττπd SV v 41 Ω⨯-=Ω⨯∇-=⨯∇=Ω⨯∇+Ω⨯∇=Ω⨯∇32)1(1)1()(SSS S S S S S S与x ，y ，z 无关 （SSS =∇） 所以：⎰⎰⎰''Ω⨯=ττπd SSV v )(413 作为上面问题的一个例子，我们来看一下线涡周围的诱导流场。

设Ω集中分布在一管状体积中，当管的面积0→'∆A 时细管变成了涡线，并且有：const A d n AA =Γ='⋅Ω⎰⎰∆→'∆0lim ，则称其为线涡。

Γ为绕线涡的速度环量，根据前面的得出的公式，线涡引起的速度场应为：⎰⎰⎰'→'∆'Ω⨯-=ττπd SSiml V A v )(4130 ⎰⎰⎰'→'∆''''Ω⨯-=τπL d A d L d L d SS iml A )(4130 ⎰⎰⎰'→'∆'Ω'⨯-=τπA d L d SSiml A )(4130 ⎰''⨯Γ-=L S L d S 34π这一公式称为毕奥－沙伐公式。

如果线涡为无限长的直线涡，且与子轴平行，则直线涡与z ＝0平面的交点为)0,,(00ηξ，任意点p （x ，y ，z ）至直线的距离2020)()(ηξσ-+-=y x ，k d L d ξ=',SSe s =,则由毕奥－沙伐公式可得： =V V ⎰''⨯Γ-L S L d S 34π＝ξπd Ske s ⎰∞∞-⨯Γ-=24 由几何关系。

（如图所示）： θθξsin sd d =θσsin =Sεθe e k s '=⨯sin 则代入积分式可得：εθσθπe d Sin V 'Γ=⎰∞∞-4＝εθθπe d Sin 'Γ⎰∞∞-4＝επσe 'Γ2 式中 ε'为σ与x 轴的夹角，θ为S 与y 轴的夹角2020)()(ηξσ-+-=y x 与ξ无关。

),(00ηξσ--=y x f 而与z ，ζ无关，因此对无限直线涡可视为平面点涡。

例四：习题：1、在原静止不可压流场中放置一无限长直线涡，其强度分别为1Γ和2Γ，t=0时，放置（0,0x ）和（0,0x -）点上，已知1Γ>2Γ>0，求这两条直线涡运动轨迹。

第三章再做2、写出如图所示的不可压缩（理想）无旋流动的方程和边界条件，来流速度，压力和密度分别为ρ,,0∞P V ，质量力不计：（1） 均匀来流，两平行平板间有一r=a 的圆柱； （2） 均匀来流，两平行平板间有一强度Q 的线源； （3） 均匀来流，两平行平板间有一强度为Q 的线涡。

（1） 解：可视其为平面点涡对于任意一点（x,y ）速度场επσ'Γ=e V 4，11114επσ'Γ=e V ，2422επσ'Γ=e V 该点的速为两个直线涡的叠加，因此 y x e u u e u u V V V )()(212121+++=+= εεεe e e r x sin cos -=εεεe e e r y cos sin +=对于任意点（x,y ），111111s i n 2si n επσεΓ-=-=V u ，222222sin 2sin επσεΓ-=-=V u 111111cos 2cos επσεΓ==V v ，222222cos 2cos επσεΓ==V v无限长直线涡可视为平面点涡，点涡不对自身产生诱导流场，故对流场中任意一点的速度场可表达为：111sin 2επσΓ-=u 222sin 2επσΓ-=21112σπy y -Γ-22222σπy y -Γ- 111cos 2επσΓ=v 222cos 2επσΓ+=21112σπx x -Γ22222σπx x -Γ+ 直线涡2Γ对直线涡1Γ产生的诱导流速为：212212112σπy y dt dx u -Γ-==，212212112σπxx dt dy v -Γ==直线涡1Γ对直线涡2Γ产生的诱导流速为：221121222σπy y dt dx u -Γ-==，221121222σπxx dt dy v -Γ== 式中：2121,,,y y x x 为直线涡1Γ与直线涡2Γ的运动轨迹坐标。

从上面可得：121211x x y y v u ---= 121222x x y y v u ---=(2211v uv u -=)（直线积分较难，均为t 的函数：c dt y y x x x x dt dt dy t y +-+--Γ==⎰⎰22122121211)()(2)(π c dt y y x x x x dt dt dy t y +-+--Γ==⎰⎰21221212122)()(2)(π t=0，1y =0，2y =0，1x =0x ，2x =-0x ）上式表明：两个点涡运动速度始终垂直于两点的连线，两涡线之间的距离始终不变每个点涡距两点涡连线中任一点的距离保持不变。

这表明两直线涡在绕两个涡之间的连线（或延长线）在旋转，因此运动轨迹为圆。

在本问题所给情况下，t=0时刻，从上面式子可知道，1y =2y =0，1x =0x ，2x =-0x ，代入后可得到021==u u ，21v v -=，此时轴心在两点连线上即x 轴上。