高等流体力学笔记第6讲
流体力学笔记整理
流体力学
引言
一、流体力学的研究对象
流体：气体、液体的总称
流体力学：研究流体的运动规律及流体与固体相互作用的一门学科
二、流体力学的研究方法
1、理论分析方法
建立模型→推导过程→求解方程→解释结果
2、实验方法
理论分析→模型试验→测量→数据分析
3、数值方法
数学模型→离散化→编程计算→检验结果
第一章 流体力学的基础概念
§1.流体的物理性质与宏观模型
一、流体的物理性质
1、易形变性：流体静止时，不能承受任何微小的切应力。 原因：分子平均间距和相互作用力的不同。
2、黏性：当流体层之间存在相对运动或者切形变时，流体就会反抗这种相对运 动或切形变，使流体渐渐失去相对运动。流体这种阻碍流体层相对运 动的特性称为黏性。 库伦实验——表面不滑移假设
内摩擦：宏观：相对快速流层对慢速流层有一个拖带作用力，使慢速流层变 快起来；相应地慢速流层将拽住快速流层让其减速，最终使 流层间的相对运动消失。流体层间这种单位面积的作用力称 为黏性应力。 微观：流体的黏性是分子输送的统计平均，是由于分子不规则运动， 在不同流层间进行宏观的动量交换。
理想流体：当流体的黏性很小，其相对速度也不大时，其黏性应力对流动作 用就不甚重要并可予以略去，这种不计黏性的流体称为理想流体。 3、压缩性：压强变化引起流体体积或密度变化的性质
液体：一般认为不可压缩（除水中爆炸等压力骤变问题） 气体：①压强变化引起流体体积变化
1%气压差相当于85m 高度上气压的改变量，所以一般认为 大气不可压缩（除非有强烈上升、下沉气流）即ρ不变。 ②速度变化也可以影响流体压强的变化 ()
新版流体力学知识点大全-新版.pdf
dQ dWs dt dt
ed t C .V
ep
C .S
V dA
D EdV
f UdV
Dt D* t
D* t
Tn UdA
qdV
*t
D* t
n TdA
*t
流体力学 - 3
质量体内的总能量增长率： D
EdV ,
Dt D* t
E e 1U 2 2
体积力 所作的功率：
f UdV ； 表面力 所作的功率： Tn UdA
欧拉坐标 ，即：笛卡尔坐标， V V r , t V x, y, z,t ；
拉格朗日 ，刚体描述，速度、加速度分别为： r ,r
3、微分型的流体方程 1)、 连续性方程：单位时间流入控制体的质量等于控制体内质量的增加。
t
V0
定常流
t0
V0
不可压缩： D Dt 0
V0
一维定常流： 1A1V1 2 A2V2
D* t
*t
质量体内的 生成热 ： qdV
D* t
边界面上因 热传导输入 的热量： n TdA
*t
e)、热力学第二定律 dS dQ 0,
T
S 是系统的熵
2、有积分形式到微分形势的方程，有三种方法：
(1)、应用矢量的微积分；
(2)、积分应用于体积元，有体积元趋于零，取极限推得；
重大城市建设与环境学院《流体力学》考研笔记
重庆大学2010年城市建设与环境学院《流体力学》考研大纲
第一章绪论：
表面张力不考。流体的内摩擦阻力计算题要考。
第二章流体静力学：
浮体，潜体不考，本章的一些证明不考(如压强公式的证明)
第三章*（重点章）一元流体动力学：
1、考试重点章节，动量方程为重点。
2、水头线不考，气体部分的总压线和全压线不考。气体能量方程（供暖，供热，供燃气，通风及空调工程考）。
3、恒定平面势流问题：关于应力和应变率的关系不考，关于微团的流动只需了解，需知道液体微团运动的意义，恒定平面势流中势流的叠加不考，流函数，势函数的关系重点(必考)。
4、不可压缩流体运动微分方程:方程的意义要会写，紊流的基本方程，要知道平均值，切应力如何产生要知道。
第四章流动阻力的能量损失：
1、只考普朗特假设，粗糙雷诺数，层流底层厚度，局部阻碍相互干扰要了解比较透彻。水击不考。
2、切应力计算公式(层流圆管切应力τ)需了解，紊流运动中了解概念，普朗特假设不考。
3、绕流阻力:什么叫绕流阻力，如何产生的？边界层分离的概念要考。
第五章孔口，管嘴，管路闸孔：计算一般不考(非重点，但需了解)
1、孔口，管嘴环状管网，闸孔不考，但枝状管网，串，并联要考。
2、管网的水力计算:环状管网的水力计算不考，枝状管网需了解。
3、堰流、闸孔出流不考，水击不考。
4、气孔射流(稳定射流)计算不考，概念要考（如什么叫质量流速）。
第六章射流与扩散：重点掌握射流特征，其余不考。
1、射流计算不考（市政工程，供暖，供热，供燃气，通风及空调工程不用看射流，其他专业要了解它的概念）。扩散不用看。
最全整理的流体力学
好吧，最后几天了，大家都很荡漾了，都沉不下心了，我也只是捡重点的整理了一下，我一个人的肯定不太全。。。大家觉得有用的可以看看，结合自己的笔记复习
最后一考！
--油工801 802班
第一章
1-8解：2/1147001
.01
147.1m N u
=⨯
==δ
μ
τ 1-9解：()()2/5.1621196.012.02
15
.0065.021m N d D u
u
=-⨯
=-==
μ
δ
μ
τ
N L d F 54.85.16214.01196.014.3=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=τπ
P 7 “温度对粘度的影响 ”要看哦~ P 10 力的表现形式分为质量力和表面力
第二章
2-10解：设：水银的密度为1ρ，油的密度为2ρ。根据题意，有：
22p gZ p A A +=ρ（1） ()32p h Z g p A B +∆+=ρ（2）
根据等压面理论，在等压面1-1上有：
312p h g p +∆=ρ（3）
将式（3）代入（1），得：
312p h g gZ p A A +∆+=ρρ（4）
将（4）-（2），得：
()()Pa
h
g p p B A 98125.08.9920100021=⨯⨯-=∆-=-ρρ 2-11解：设：水的密度为1ρ，油的密度为2ρ。根据题意，有：
()21p h Z g p B A +∆+=ρ 221p h g gZ p B B +∆+=ρρ
()()Pa
h
g p p B A 98125.08.9920100021=⨯⨯-=∆-=-ρρ 这俩大题，写的时候要分清几种流体的相对密度哦~
2~5 2~6两节内容不考
P 13 流体静压力的特性（大小和方向） P 20 绝对压力 相对压力 真空度
流体力学学习笔记
《高等流体力学》
学习笔记
王恒宇
113121001183
重点实验室
一维非定常流动中的特征线方程和特征关系
一、概念
特征曲线：对于双曲型方程组，在x，t平面有一系列曲线，若在这些曲线上，任意给定物理参数的值作为Cauchy问题的初始值，这样Cauchy问题的解一般是不存在的。这些曲线称为方程组的特征曲线。
特征关系：对在这些曲线上的物理参数或未知函数的值给定一定的关系式。
二、推导
设x=x(t)为某一特征曲线，在这条曲线上给定u(t)，ρ(t)，S(t)的值。研究下面方程组的Cauchy问题
∂ρ∂t +u∂ρ
∂x
+ρ∂u
∂x
=0，
ρ∂u ∂t +ρu∂u
∂x
+∂p
∂x
=0，（1）∂S
∂t
+u∂S
∂x
=0，
p=f(ρ,S)。
求解这个问题即要在x=x(t)上求出∂u
∂t ，∂u
∂x
，∂ρ
∂t
，∂p
∂x
，∂S
∂t
，∂S
∂x
的
值。六个一级微商满足以下六个方程
∂ρ∂t +u∂ρ
∂x
+ρ∂u
∂x
=0，
S∂u ∂t +pρ∂ρ
∂x
+ρu∂u
∂x
+p S∂S
∂x
=0，
∂S ∂t +u∂S
∂x
=0，（2）
dt ∂ρ∂t +dx ∂ρ∂x =dρ， dt ∂u ∂t +dx ∂u ∂x =du ， dt
∂S ∂t
+dx
∂S ∂x
=dS 。
由于x=x(t)是特征曲线，上方程组无解。因此，x=x(t)应使该方程组系数行列式等于零，即
||100u ρ00ρ0p ρρu p S 00100u dt 00dx 000dt 00dx 000dt 00dx ||
=0 （3） 化简得，
|udt −dx ρdt 0
p ρdt
ρudt −ρdx p S dt 00udt −dx
流体力学第六讲
一、拉格朗日法（随体法）
着眼于流场中具体流体质点的运动。即跟 踪每一个流体质点，分析其运动参数随时间的 变化规律。
用初始时刻 t0 某流体质点具有的空间坐标(a,b,c) 来标识不同的流体质点，用流体质点的初始坐标 (a,b,c)和时间变量 t 共同表达流体质点的运动规律 x = x ( a,b,c,t )、y = y ( a,b,c,t )、z = z ( a,b,c,t )。
§3-5 伯努利方程及其应用
一、伯努利方程的推导
p v2 z C g 2 g
对于同一流线上的任意两点 1、2 ，上式可写成：
p1 v1 p2 v2 z1 z2 g 2 g g 2 g
单位重力流体的动能 （速度水头） —— 在重力作用下，理想不可压缩流体作 定常流动时，沿流线的伯努利方程(能量方程)。
2
2
物理意义：重力作用下，理想不可压缩流体作定
常流动时，各点处不同性质的流体能量之间可以
相互转换，但在流线任意点处总的机械能守恒。
二、理想流体总流（流束）的伯努利方程
总流 —— 流体通过有限过流断面的流动。
表达了两个过流断面处流体能量的关系，但 要以过流断面上的平均值表示。 1、动能项
以断面平均流速将动能表示为：
N 0 即 N = N( x, y, z ) 或 t
二、控制体：流场中人为选定的，相对于坐标 系有固定位置，有任意确定形状的空间区域。 三、物理量(运动参数)的质点导数(随体导数)：
《流体力学与流体机械》读书笔记思维导图
014
第13章 容积式流体 机械
016 参考文献
本书是普通高等学校能源与动力工程专业基础课教材，四川省精品课程“流体力学”的配套教材，同时也是 四川省高等教育“质量工程”建设教材。全书分为两部分。前部分为工程流体力学的内容，主要包括绪论、流体 静力学、流体运动学、流体动力学基础、相似理论和量纲分析、势流理论、黏性流体流动基础、气体动力学基础 等。后半部分为流体机械方面的内容，主要包括机翼与叶栅理论、叶片式流体机械基本原理、容积式流体机械、 其他形式的流体机械等。本书难易程度适中，科学理论与概念阐述准确，并具较强的实用性。与本书配套的电子 课件，可供读者使用。本书可作为能源与动力工程、流体机械工程、石油化工、建筑暖通等专业本科或研究生教 材，也可供相关工程技术人员和教师参考。
2.5 液体作用在平 面上的总压力
习题
第3章 流体运动学
3.1 研究流体 1
运动的两种方 法
3.2 流体运动 2
的基本概念
3 3.3 连续性方
程
4 3.4 流体微团
运动分析
5
习题
第4章 流体动力学基本方程
4.1 理想流体 1
的运动微分方 程
4.2 伯努利方 2
程
3
4.3 动量方程
4 4.4 动量矩方
10.8 平面叶栅流动 的奇点分布解法
10.9 叶栅三元流动 解法简述
流体力学总结笔记
流体力学
一、流体的主要物性与流体静力学
1、静止状态下的流体不能承受剪应力，不能抵抗剪切变形。
2、粘性：内摩擦力的特性就是粘性，也是运动流体抵抗剪切变形的能力，是运动流体产生机械能损失的根源；主要与流体的种类和温度有关，温度上升粘性减小，与压强没关系。
3、牛顿内摩擦定律：
du F A
dy μ= F d u
A d y
τμ==
相关因素：粘性系数、面积、速度、距离；与接触面的压力没有关系。
例1：如图6-1所示，平板与固体壁面间间距为1mm,流体的动力黏滞系数为0.1Pa.S, 以50N 的力拖动，速度为1m/s,平板的面积是（ ）m 2。
解：F F A du dy
δ
μνμ=
=
=0.5 例2：如图6-2所示，已知活塞直径d=100mm,长l=100mm 气缸直径D=100.4mm,其间充满黏滞系数为0.1Pa·s 的油，活塞以2m/s 的速度运动时，需要的拉力F 为（ ）N 。 解：332
0.1[(10010)0.1]31.40.210
du F A
N dy μπ--==⨯⨯⨯⨯⨯=⨯ 4、记忆个参数，常温下空气的密度3
1.205/m kg ρ=。
5、表面力作用在流体隔离体表面上，起大小和作用面积成正比，如正压力、剪切力；质量
力作用在流体隔离体内每个流体微团上，其大小与流体质量成正比，如重力、惯性力，单位质量力的单位与加速度相同，是2
/m s 。
6、流体静压强的特征： A 、垂直指向作用面，即静压强的方向与作用面的内法线方向相同； B 、任一点的静压强与作用面的方位无关，与该点为位置、流体的种类、当地重力加速度等因素有关。
高等流体力学第6讲
Fx 0
Fy U
有环量圆柱绕流中，在圆柱上有垂直于流动方向的作用力， 称之为升力。环量顺时针方向时，升力指向正y轴方向； 环量逆时针方向时，升力指向负y轴方向。
五、 无环量圆柱绕流——均匀流、偶极子的组合
将基本流动进行叠加可以解决某些较复杂的实际流动问题， 最基本的例子就是用势流叠加法研究圆柱绕流。平面圆柱恒定 绕流问题是平面绕流问题中最简单的情形。
无环量圆柱恒定绕流问题的解由均匀流和偶极子两个基本 流动叠加得到。
在坐标原点布置一个强度为m，方向与x轴相反的偶极子 （源点在左，汇点在右），再叠加一个沿x轴的均匀流。
圆柱面上的压强最小值在 = /2 ， Cp = -3
作用于圆柱面上的合力为
2
F 0
( p)b ndA
2 0
( p
U
2
2
2U
2
sin
2 )(i cos
j sin
)ad
0
柱面所受的合力为零，这个结论就是著名的达朗贝尔悖论。 显然，该结论与实际情况不符。其原因是由于没有考虑粘性对 圆柱所产生的摩擦阻力和由于边界层分离所产生的压差力。
U
r
a2 r
cos
U r
高等流体力学第6讲
D Dt
l
F
dl
l
1
p
dl
2V
l
dl
正压的理想流体在体积力有 势时，沿着任何封闭流体线 的速度环量在流动过程中保 持不变。
d
dt
d dt
l
v
dl
0
注意理想流体中也可能会存在涡量，只 不过粘性对涡量的作用为0
对于粘性流体，最重要的一个目的就是 需了解粘性对涡量的扩散作用
对于理想正压流体，在体积力有势条件下：
平行于涡线的速度变 化使涡线上相邻两点 产生沿涡线的相对位 移，涡线伸长或收缩
垂直于涡线的速度变 化使涡线上相邻两点 产生垂直涡线的相对 位移，使涡线扭曲。
21
与流体散度有关的项。流体运动时，流体单元收缩， 散度小于零，涡量增加；反之涡量减少
引起流场中涡量变化的“源头”
何为有势的质量力？
F(x, y, z) fxi f y j fzk
为了更好地理解流场,需要熟悉“环量”这一概念 什么是环量?即速度绕一闭合回路的曲线积分
环量 LV dL LV cos dL
V ds 2rV
1
2
V ds Vdx 0 Vdx 0
12341
12
34
4
3
VL V (L) 0
d uA uB dx vB vC dy uC uD dx vD vA dy
【计算流体力学】第6讲-差分方法4-WENO
( j, j)
j-2 j-1 j j+1 | f j2 2 f j1 f j || f j1 2 f j f j1 |
( j-1, j ) ( j, j+1 )
j-3 j-2 j-1 j j+1
q0
1 3
f j2
7 6
f
j 1
11 6
fj
q1
1 6
f j1
5 6
fj
1 3
f j1
q2
1 3
（1997）
TV (un1) TV (un ) O(x p )
一致高精度
WENO格式（Liu et al., 1994; Jiang & Shu 1996） Stanley Osher
ENO: 光滑区信息浪费、逻辑判断等
光滑区高精度，捕捉激波具有ENO性质
4
• 通量hj1/2 与j+1/2点处的函数值 f j1/ 2的关系
r 1 l 1
r l i 1
( f [ j k i r,l])2 r l
,
f [ j,l] f [ j 1,l 1] f [ j,l 1]
ISk
1 2
(f[jk
2,1])2
(f[
jk
1,1])2
(
f[
j
k
2,2])2
工程流体力学笔记
第一章流体及其主要物理性质
研究内容：1、流体在外力作用下，静止与运动的规律
2、流体与边界的相互作用
工程中的三大问题：A、流体荷载（设计管道壁厚）
B、流体的输送能力（确定流量）
C、流动的形态（确定能量损耗）
§1.1 流体的概念
一、流体的定义
自然界物质存在的主要形态：固态、液态和气态
流体包括液体和气体
具有流动性的物体（即能够流动的物体）
流动性：在微小剪切力作用下会发生连续变形的特性。
流体与固体的区别
固体：可以抵抗压力、拉力、剪切力，固体的变形与受力的大小成正比；
流体：无固定形状，能抵抗压力，不能抵抗拉力，静止流体不能抵抗剪切力；
任何一个微小的剪切力都能使流体发生连续的变形。
液体与气体的区别
液体的流动性小于气体，很难压缩；液体具有一定的体积，并取容器的形状；
气体充满任何容器，而无一定体积；气体可以压缩。
二、流体连续介质模型
●实际流体：由大量不断地作无规则运动的分子组成
●流体的物理量：空间上分布不连续：分子间存在着间隙
时间分布不连续：分子不间断热运动
因此，以分子为对象研究流体运动规律极其复杂。
●在实际工程中，所研究的流体的空间尺度远比分子尺寸大得多，而且要解决的问题
也不是流体微观运动特性，而是流体宏观运动特性，即大量分子运动的统计平均特
性。
●欧拉提出了连续介质假说：流体所占有的空间连续而无空隙地充满着流体质点
●采用流体连续介质假设的优点
1.避免了流体分子运动的复杂性，只需研究流体的宏观运动。
2. 可以利用数学工具来研究流体的平衡与运动规律。
U
§1.2 流体的主要物理性质
一、流体的密度
惯性是物体保持其原有运动状态的一种性质
流体力学第六章 边界层理论 (附面层理论)
流体力学
(Fluid Mechanics)
整理ppt
流体力学第六章
第六章 边界层理论 (附面层理论)
整理ppt
流体力学第六章
发展史 1.伯努利方程碰到的问题: 圆柱绕流实验 2.奈维-斯托克斯方程的导出 奈维-斯托克斯（Navier-Stokes equations），以路易·纳维 (Louis Navier)和乔治·加布里埃尔·斯托克斯命名，是一组描述 象液体和空气这样的流体物质的方程。该方程建立了流体的粒 子动量的改变率(加速度)和作用在液体内部的压力的变化和耗 散粘滞力(类似于摩擦力) 之间的关系。
x
dx
(
4
)
u y
0.
AB上 摩 擦 力 dx
整理ppt
流体力学第六章
卡门-波尔豪森动量积分关系式的物理意义： 在定常情形下，流出所论区域边界的动量流率等于 作用在区域内流体上一切力的合力。
整理ppt
流体力学第六章
在方程（6-2-3）中，令k=1，得到列宾森积分方程：
k
1
x
0
x
y
L
进一步分析运动方程中各项的量级，因
2u x2
U L2
,
2u y 2
U
2
2v x2
v L2
,
2v y 2
v
2
闻德荪《工程流体力学》考研笔记
闻德荪《工程流体力学》考研笔记
闻德荪教授的《工程流体力学》考研笔记是一本备受广大考研学
子称赞的教材。该笔记内容丰富、系统、易懂，对于工程流体力学这
门学科的理解和运用有着重要的指导作用。以下是本文对该笔记的简
要介绍。
《工程流体力学》考研笔记以流体力学的基本概念和原理为线索，深入浅出地介绍了流体静力学、流体动力学、流体表面张力、湍流等
基本内容。首先，笔记从流体静力学入手，讲解了流体受力平衡的原
理以及应用方式。接着，通过数学推导和实际案例，介绍了流体动力
学的基本原理，包括连续性方程、动量方程和能量方程等。通过这些
内容，学生能够全面了解流体的运动规律和特性。
在介绍完基本的流体力学原理之后，笔记详细探讨了流体运动的
各个方面，如流体的旋转、倾斜、加速和减速等。同时，笔记注重实
践应用，将这些原理与实际工程中的问题联系起来，让学生能够将所
学的理论知识应用到实际中。此外，笔记还介绍了一些重要的流体特性，如表面张力和湍流。这些内容不仅加深了学生对流体力学的理解，还有助于学生更好地应对考试中的相关问题。
除了基础理论之外，笔记还对一些常见的流体力学实验方法进行
了介绍。例如，通过对静力学、动力学和表面张力实验的分析，学生
可以更好地理解实验原理和步骤，并能够正确分析实验结果。这对于
提高学生的实验能力和科学研究水平具有重要意义。
另外，闻德荪教授的《工程流体力学》考研笔记还配备了大量的
习题和解析，可以帮助学生检测和巩固所学的知识。这些习题包括选
择题、填空题和计算题等多种形式，覆盖了教材中的各个知识点。通
过反复练习，学生可以更好地掌握流体力学的相关知识，并提高解题
高等流体力学笔记第6讲
⾼等流体⼒学笔记第6讲
第六讲
例⼆、点源、线源、⾯源及体积源引起的流动问题求解举例，这⼀类问题的基本⽅程可表⽰
为：=??=??0
e e V q V 或q e =??2
属于已知散度、旋度为零流场求解问题。 1、点源问题（⽆旋有势流动）：（求解实际问题的具体⽅法：奇点法）
点源的定义：若)(lim
t Q qd =''
→'τ
ττ此时称其为强度为Q 的点源式中q 为点源的体密度，Q 可以是常数，也可以是Q(t)，为体积流量。
对于点源问题，因为⽓仅在源点有源因此散度不为零，⽽在其它点上⽆源散度为零，故该问题的基本⽅程为：
==0
e e V V 或02=?e ?
为了便于求解e ?，根据点源所产⽣的流场为球对称的性质选⽤球坐标系来求解e ?。在球坐标系中02=?e ?的表达式为：0sin 1)(sin sin 1)(2
222=??++ε?θθ?θθθ?e e e
R R R 设点源处于原点，由于其形成的速度场是球对称，故)(R e e ??=与εθ,⽆关，且所有的
0=??=??εθ，()()dR
d R =??。所以上⾯球坐标下的02=?
e ?的表达式可简化为：
0)(2=??R
R dR d e ?
积分上式可得：c R R e
=2，再次积分可得：21c R
c e +=?式中c c -=1，2c 均为积分常数，将由边界条件确定。由于由点源引起得速度e V 是径向的，故0==εV V e ，R
R
V V R
e =,根据其和流速的关系：R R dR d R R R R R V V e e R e ??=??==。
由点源的条件可得包围点源任何⼀个半径为R 的球体均有：
高等流体力学讲义流体力学基本概念
在拉格朗日参考系中 x, y, z 不再是独立变量，
x - x0 = u ( t - t0) y - y0 = v (t - t0） z - z0 = w (t - t0)
用 x0 , y0 , z0 来区分不同的流体质点，而用 t 来确定流体质点
的不同空间位置。
1.2 欧拉和拉格朗日参考系
系统和控制体
Dt t CV
CS
I
dA1
u
dA3
u
n
t
n
t t
DN Dt
d
t CV
系统中的变量N对时间的变化率;
固定控制体内的变量N对时间的变化率，
由 的不定常性引起 ;
t
CV
d
CV
t
d
undA
CS
N 流出控制体的净流率，由于系统的空间位置和体积随时 间改变引起 .
1 . 3 雷诺输运定理
DN Dt
ax
2x 2t
t
(2x0e2t )
4 x0e 2t
4x
ay
2 y 2t
t [2 y0 (1 t)]
2 y0
2y (1 t)2
x x0e2t , y y0 (1 t)2 ,
z z0e2t (1 t)2
az
2z 2t
t
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第六讲
例二、点源、线源、面源及体积源引起的流动问题求解举例，这一类问题的基本方程可表示
为：⎪⎩⎪⎨⎧=⨯∇=⋅∇0
e e V q V 或q e =∇ϕ2
属于已知散度、旋度为零流场求解问题。 1、 点源问题（无旋有势流动）：（求解实际问题的具体方法：奇点法）
点源的定义：若)(lim
t Q qd ='⎰⎰⎰'
→'τ
ττ此时称其为强度为Q 的点源式中q 为点源的体密度，Q 可以是常数，也可以是Q(t)，为体积流量。
对于点源问题，因为气仅在源点有源因此散度不为零，而在其它点上无源散度为零，故该问题的基本方程为：⎪⎩⎪⎨
⎧=⨯∇=⋅∇0
e e V V 或02=∇e ϕ
为了便于求解e ϕ，根据点源所产生的流场为球对称的性质选用球坐标系来求解e ϕ。在球坐标系中02=∇e ϕ的表达式为：
0sin 1)(sin sin 1)(2
222=∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂εϕθθϕθθθϕe e e
R R R 设点源处于原点，由于其形成的速度场是球对称，故)(R e e ϕϕ=与εθ,无关，且所有的
0=∂∂=∂∂εθ，()()dR
d R =∂∂。 所以上面球坐标下的02=∇
e ϕ的表达式可简化为：
0)(2=∂∂R
R dR d e ϕ
积分上式可得：c R R e
=∂∂ϕ2，再次积分可得：21c R
c e +=ϕ式中c c -=1，2c 均为积分常数，将由边界条件确定。由于由点源引起得速度e V 是径向的，故0==εV V e ，R
R
V V R
e =,根据其和流速的关系：R R dR d R R R R R V V e e R e ϕϕ=∂∂==。
由点源的条件可得包围点源任何一个半径为R 的球体均有：
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰'
→''==⋅=⋅∇τ
τ
ττqd Q dA V n d V e
lim 高斯定理
所以
c R R c dA R c dA dR
d dA R R dR d R R dA V n A
A e A
e A
e ππϕϕ44222====⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰ A 为半径为R 的球面面积，n 为球面的外法线单位矢量。 令 Q c =π4可得：π4Q c =
,π
41Q
c -= 所以R
R
R Q R R R c R R dR d V e e 2214πϕ=-==
,24R Q V e
π= 2214c R Q c R c e +-=+=
πϕ 2c 一般不影响流动的性质，故可得一般的表示为R
Q
e πϕ4-=。 如果点源不是放置在原点上，而是在),,(ζηξp ，则该点源对任意一点（x,y,z ）处的速度场与速度势为：
s s
s t Q t z y x V e 24)(),,,(π=
s
t Q t z y x e πϕ4)
(),,,(-
=
其中，如图所示，
222)()()(ζηξ-+-+-=z y x s
k z j y i x R R s )()()(ζηξ-+-+-='-=
2、 面源、线源与体积源⎪⎩⎪⎨⎧=⨯∇=⋅∇0
e e V V
线源的定义：),,(lim 0
ζηξL
A
A q A qd '='⎰⎰∆→'∆称为强度为L
q '的
线源.
其中A '∆为线源的面积，L q '称为线源强度。 类似有面源、体积源的定义，),,(ζηξA q '称为面源强度。
0→'∆h
0→'∆τ ),,(ζηξv
q '称为体积源强度。 如果把线源，面源和体积源引起的流场看成是由无数个分布在点),,(ζηξ上的点源产生的流速场的叠加而成，则由点源的表达式可得：
线源：s s S L d q V L L e ⎰'
''=
241π
⎰'
''-
=L L e s L d q π
ϕ41
面源：s s S A d q A L e ⎰⎰'
''=
241π
⎰⎰'
''-
=A L e s A d q π
ϕ41
体积源：s s S d q V v
e ⎰⎰⎰'
''=
ττπ
241
⎰⎰⎰'
''-
=ττπ
ϕs d q v
e 41
s 及s 的定义2同前，),,,(t q q L L ζηξ'='，),,,(t q q A A ζηξ'='，
),,,(t q q v v ζηξ'='分别为“线源强度”，“面源强度”，“体积源强度”。
例三：散度为零的有涡流动举例——线涡问题（龙卷风深入旋涡）
如果流动的散度为零，但旋度不为零则其基本方程应为：
⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅∇Ω
=⨯∇0
v v V V 从前面分析可知，若假定v v B V ⨯∇=，且满足0=⋅∇v B 则由上面方程可得： Ω-=∇v B 2
关于上面泊桑方程的特解，可参照q e =∇ϕ2的解形式直接给出：
⎰⎰⎰'
'Ω=
ττζηξπ
d S t B
e )
,,,(41
222)()()(ζηξ-+-+-=z y x s 为涡量体积微元ζηξτd d d d ='所在位置到任一
点（x ，y ，z ）的距离k z j y i x R ++=，k j i R ζηξ++='
对应的速度场为：
⎰⎰⎰''Ω⨯∇=
⨯∇=ττπd S
B V v v 41