高考数学专题复习-圆锥曲线阿基米德三角性质的研究与拓展

高考数学专题复习-圆锥曲线阿基米德三角性质的研究与拓展
【问题提出】
圆锥曲线弦的两个端点和在这两端点处的切线的交点所构成的三角形叫做阿基米德三角形, 这条弦叫做阿基米德三角形的底, 两切线的交点叫做阿基米德三角形的顶点. 特别地, 我们把底边过焦点的阿基米德三角形称之为阿基米德焦点三角形.
【探究拓展】
探究1 已知抛物线C :22y px =的焦点为F ，过弦AB 的两端点作抛物线的切线PA 、PB ，两切线交于点P ，则PFA PFB ∠=∠.
变式1.1 （2005江西卷理22）如图，设抛物线C :2y x =的焦点为F ，动点P 在直线l :20x y --=上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB , 且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.
（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程.
（2）证明PFA PFB ∠=∠.
探究2 已知抛物线C :22y px =中弦AB 过焦点F ，过弦AB 的两端点作抛物线的切线QA 、QB ，两切线交于点Q ，则点Q 的轨迹为准线，且△AQB 面积的最小值为2p .
变式2.1 （2006全国卷二理21）已知抛物线24x y =的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两 动点，且()0AF FB λλ=>.过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M .
(1)证明FM AB ⋅为定值；
(2)设△ABM 的面积为S ，写出()S f λ=的表达式，并求S 的最小值.。