高中数学 精选单元测试卷集---向量测试07

合集下载

高中数学平面向量测试题

高中数学平面向量测试题

a b (1)2 12 2
故答案为 2 。
名师点评 本题主要考查向量的坐标运算。 17、答案(1)平行四边形;(2)菱形
试题分析:(1)根据向量相等的概念可得出,AD // BC,AD=BC,再由平行四边形的判定
可得答案; (2)根据向量相等的概念和菱形的判定可得答案.
详解:(1)因为 AD BC ,所以 AD // BC,AD=BC,所以四边形 ABCD 是平行四边形.
8、已知 O 是△ABC 内部一点, OA OB OC 0 , AB AC 2 且∠BAC=60°,
则△OBC 的面积为( )
A. 3 3
B. 1 2
C. 3 2
D. 2 3
9、已知
a
3e1
2e2
,则与
a
共线的向量为(

A.
2e1
3e2
B.
6e1
4e2
C.
6e1
4e2
AB
AE
12
,则
AD
AE
的值是__________.
r
r
rr
14、已知平面向量 a (1, 2), b (2, m),且a / /b,则m= ________.
15、设向量
a
x,
x
1
,
b
1,
2
,且
a
b
,则
x
__________.
16、已知向量 a 2,3 ,b 3, 2 ,则 a b ___________.
和向量形式的中点坐标公式可得 OD⊥BC,
.再利用向量的三角形法则
即可得到
,化简代入即可.
详解:如图所示,取线段 BC 的中点,连接 OD,AD.

高一数学第二学期《向量》单元试卷

高一数学第二学期《向量》单元试卷

高一数学第二学期《向量》单元试卷班级: 姓名: 座号: 一、选择题(本题共14题,每题3分共42分)〔 〕1.点G 是⊿ABC 所在平面上一点,向量0GA GB GC ++=,则点G 是⊿ABC 的A .内心B . 外心C . 垂心D . 重心 〔 〕2.下列说法正确的是A 平行向量就是向量所在的直线平行的向量B 长度相等的向量叫相等向量C 零向量的长度为0D 共线向量是在一条直线上的向量 〔 〕3.下列说法错误的有(1);0=-(2)=±0;(3);00=⋅ (4)=-||||.A 1个B 2个C 3个D 4个〔 〕4.若→a 、→b 、→c 为任意向量,R m ∈,则下列等式不一定成立的是 A )()(→→→→→→++=++c b a c b a B →→→→→→→∙+∙=∙+c b c a c b a )(C →→→→⋅+⋅=+⋅b m a m b a m )(D )()(→→→→→→∙∙=∙∙c b a c b a〔 〕5.已知ABCD 是正方形,E 是DC 的中点,且AB =a,AD =b ,则BE 等于(A ) b +12a (B) b -12a (C) a +12b (D) a -12b〔 〕6.若非零向量、满足|+|=|-|,则与(A ) 同向 (B ) 反向 (C ) 平行 (D )垂直〔 〕7.设O 为坐标原点,点A(1,2)、B(5,0)、C(x,2), AC 的中点为D,若//,则x 等于(A )8 (B) 9 (C) 10 (D) 11〔 〕 8.设一直线上三点A 、B 、P 满足)1(-≠=λλ,O 是平面上任一点,若OP OA OB λμ=+ 则λ和μ的一组取值可能是A .1,1λμ==B .0.4,0.6λμ==C .11,23λμ== D .1,1λμ=-= 〔 〕9.若b a b a b a32,,1||||+⊥==且与向量k 4-也互相垂,则实数k 的值为(A )-6 (B )6 (C )3(D )(-3)〔 〕10.四边形ABCD 满足0,=∙=BD AC DC AB ,则四边形ABCD 是(A )平行四边形 (B )矩形 (C )菱形 (D )正方形〔 〕11. 正△ABC 边长为a ,则∙+∙+∙的值是(A ) 0 (B ) OA 0 (C ) 2a 23 (D ) 2a 23-〔 〕12.已知10||=→a ,12||=→b ,且36)51()3(-=∙→→b a ,则→a 与→b 的夹角为A ︒60B ︒120C ︒135D ︒150〔 〕13.已知△ABC 满足CB CA BC BA AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2,则△ABC 是A. 等边三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形〔 〕14.给出下列命题:(1)若b a c c b c a =≠∙=∙则且,0; 2)非零向量a和b 满足b a b a+=- 的充要条件是b a ⊥;(3)在ABC ∆中,若0>∙BC AB ,则ABC ∆为钝角三角形;(4)设),(,,R b a c c OC b OB a OA ∈+====μλμλ满足且10,1≤≤=+λμλ则当时,点C 在线段AB 上.其中正确命题的个数为 (A ) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 二、填空题(本题共18分,每题3分)15.已知=∈==θπθθθ)则,(共线,与且20)3,3(),sin ,(cos . 16.已知1,a b a b ==+=则a b -= .17.函数y =x x 22-的图象按向量a =(-1,-2)平移后,得到函数解析式是______ __ 18.若a =(2,3),b =(-4,7),则a 在b 方向上的投影为__19.已知)6,5(-=→a ,)3,4(-=→b ,)8,5(-=→c ,则=+∙-→→→→22)(24)(3c b a a20.设),(),(d c n b a m ==,,规定两向量n m,间的一个运算""⊗为,),(bc ad bd ac n m +-=⊗若已知_______,)3,4()2,1(=--=⊗=q q p p 则,三、解答题(5小题,共40分)21.(7分)已知| a |=4, |b |=5, | b a +|=21 ,求: ① b a ∙ ② (2a -b )·(b a 3+)22.(7分) 已知由向量AB =(3,2),AC =(1,k )确定的△ABC 为直角三角形,求k 的值。

《平面向量》单元检测题-高中数学单元检测题附答案(最新整理)

《平面向量》单元检测题-高中数学单元检测题附答案(最新整理)

即(2te1+7e2)·(e1+te2)<0.整理得:2te21+(2t2+7)e1·e2+7te2<0.(*)
∵|e1|=2,|e2|=1,〈e1,e2〉=60°.∴e1·e2=2×1×cos 60°=1 1
∴(*)式化简得:2t2+15t+7<0.解得:-7<t<- . 2
当向量 2te1+7e2 与 e1+te2 夹角为 180°时,设 2te1+7e2=λ(e1+te2) (λ<0).
5
3 由 5c=-3a-4b 两边平方得 a·b=0,∴a·(b+c)=a·b+a·c=- .故选 B.
5
【第 12 题解析】若 a=(m,n)与 b=(p,q)共线,则 mq-np=0,依运算“⊙”知 a⊙b=0,故 A 正确.由
于 a⊙b=mq-np,又 b⊙a=np-mq,因此 a⊙b=-b⊙a,故 B 不正确.对于 C,由于 λa=(λm,λn),
k+t2 y=-ka+tb,且 x⊥y,试求 的最小值.
t



20.(本小题满分 12 分)设OA=(2,5),OB=(3,1),OC=(6,3).在线段 OC 上是否存在点 M,使 MA⊥MB?
若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.
21.(本小题满分 12 分)设两个向量 e1、e2 满足|e1|=2,|e2|=1,e1、e2 的夹角为 60°,若向量 2te1+7e2 与 e1+te2 的夹角为钝角,求实数 t 的取值范围.
14.a,b 的夹角为 120°,|a|=1,|b|=3,则|5a-b|=________.
1 15.已知向量 a=(6,2),b=(-4, ),直线 l 过点 A(3,-1),且与向量 a+2b 垂直,则直线 l 的方程为

新版精选2019年高中数学单元测试试题-平面向量专题完整版考核题库(含参考答案)

新版精选2019年高中数学单元测试试题-平面向量专题完整版考核题库(含参考答案)

2019年高中数学单元测试试题 平面向量专题(含答案)学校:__________第I 卷(选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题1.已知,a b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c 满足()()0--=a c b c ,则c 的最大值是( )A .1B .2CD .2(2008浙江理) 2.如图,在平行四边形ABCD 中,下列结论中错误的是( )A .AB DC =;B .AD AB AC +=;C .AB AD BD -=; D .0AD CB +=;(2006)3.设P 是△ABC 所在平面内的一点,2BC BA BP +=,则( )A .0PA PB +=B .0PC PA += C .0PB PC +=D .0PA PB PC ++=(2009山东理)答案 B解析 :因为2BC BA BP +=,所以点P 为线段AC 的中点,所以应该选B 。

4.设平面向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++=。

如果向量1b 、2b 、3b ,满足2i i b a =,且i a 顺时针旋转30o 后与i b 同向,其中1,2,3i =,则( )A .1230b b b -++=B .1230b b b -+=C .1230b b b +-=D .1230b b b ++=(2006全国1理)5.已知O 是ABC △所在平面内一点,D 为BC 边中点,且2OA OB OC ++=0,那么( )A .AO OD =B .2AO OD =C .3AO OD = D .2AO OD =(2007北京理4)6.点P 在平面上作匀速直线运动,速度向量v=(4,-3)(即点P 的运动方向与v 相同,且每秒移动的距离为|v|个单位.设开始时点P 的坐标为(-10,10),则5秒后点P 的坐标为( )A .(-2,4)B .(-30,25)C .(10,-5)D .(5,-10)(2005全国卷2)7.设A {a,1},B {2,b },C {4,5},为坐标平面上三点,O 为坐标原点,若方向在与→→→OC OB OA 上的投影相同,则a 与b 满足的关系式为 ( ) A .354=-b aB .345=-b aC .1454=+b aD .1445=+b a (2007四川7) 8.已知向量a 、b 满足:|a |=1,|b |=2,|a -b |=2,则|a +b |=( )A .1B .2C .5D .6(2004全国2文9)9.已知{|(1,0)(0,1),},{|(1,1)(1,1),}P a a m m R Q b b n n R ==+∈==+-∈是两个向量集合,则P Q =IA .{〔1,1〕} B. {〔-1,1〕} C. {〔1,0〕} D. {〔0,1〕}(2009湖北卷理)第II 卷(非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题10.已知向量b 不共线,,,则与共线的条件是 .11.正三角形ABC 的边长为1,设,,==c AC =,那么a c c b b a ⋅+⋅+⋅的值是12.已知向量a b P a b =+,其中a 、b 均为非零向量,则P 的取值范围是 ▲ .13.在△ABC 中,∠C=90°,),1(k =,)1,2(=,则k 的值是 .14.已知向量a 与b 的夹角为60°,|a |=2,|b |=3,则|a -b |= ▲ .15.已知向量(sin ,cos ),(3,4),,tan a b a b θθθ==-=若则 ▲16.如图,在矩形ABCD 中,2AB BC ==,点E 为BC 的中点,点F 在边CD 上,若2AB AF =,则AE BF 的值是 ▲ .17.已知(1,3),(2,1)a b =-=-,且)2()(k -⊥+,则=k . 18.已知点A(2,3),B(10,5),直线AB 上一点P 满足,则P 点坐标为 . 19.已知是单位向量,的最大值是___ 20.若,则向量的夹角为 .21.已知向量a ,b 满足()22,4a b +=-,()38,16a b -=-,则向量a ,b 的夹角的大小为 ▲ .【考点定位】此题考查的是向量的坐标运算和夹角的计算。

高中数学向量专项练习(含答案)

高中数学向量专项练习(含答案)

高中数学向量专项练习一、选择题1. 已知向量若则()A. B. C. 2 D. 42. 化简+ + + 的结果是()A. B. C. D.3.已知向量, 若与垂直, 则()A. -3B. 3C. -8D. 84.已知向量, , 若, 则()A. B. C. D.5.设向量, , 若向量与平行, 则A. B. C. D.6.在菱形中, 对角线, 为的中点, 则()A. 8B. 10C. 12D. 147.在△ABC中, 若点D满足, 则()A. B. C. D.8.在中, 已知, , 若点在斜边上, , 则的值为().A. 6B. 12C. 24D. 489.已知向量若, 则()A. B. C. D.10.已知向量, , 若向量, 则实数的值为A. B. C. D.11.已知向量, 则A. B. C. D.12.已知向量, 则A. B. C. D.13.的外接圆圆心为, 半径为, , 且, 则在方向上的投影为A. 1B. 2C.D. 314.已知向量, 向量, 且, 则实数等于()A. B. C. D.15.已知平面向量, 且, 则实数的值为()A. 1B. 4C.D.16.是边长为的等边三角形, 已知向量、满足, , 则下列结论正确的是()A. B. C. D.17.已知菱形的边长为, , 则()A. B. C. D.18.已知向量, 满足, , 则夹角的余弦值为( )A. B. C. D.19.已知向量=(1, 3), =(-2, -6), | |= , 若(+ )·=5, 则与的夹角为()A. 30° B. 45° C. 60° D. 120°20.已知向量, 则的值为A. -1B. 7C. 13D. 1121.如图, 平行四边形中, , 则()A. B. C. D.22.若向量 , , 则 =( )A. B. C. D.23.在△ 中, 角 为钝角, , 为 边上的高, 已知 , 则 的取值范围为(A )39(,)410 (B )19(,)210 (C )33(,)54 (D )13(,)2424. 已知平面向量 , , 则向量 ( )A. B. C. D.25.已知向量 , , 则A. (5,7)B. (5,9)C. (3,7)D.(3,9) 26.已知向量 , 且 , 则实数 =( )A. -1B. 2或-1C. 2D. -227.在 中, 若 点 满足 , 则 ( )A. B. C. D.28.已知点 和向量 , 若 , 则点 的坐标为( )A. B. C. D.29.在矩形ABCD 中, 则 ( )A. 12B. 6C.D.30. 已知向量 , ,则 ( ).A. B. C. D.31.若向量 与 共线且方向相同, 则 ( )A. B. C. D.32.设 是单位向量, 且 则 的最小值是( )A. B. C. D.33.如图所示, 是 的边 上的中点, 记 , , 则向量 ( )A. B. C. D.34.如图, 在 是边BC 上的高, 则 的值等于 ( )ADCB35.已知平面向量的夹角为, ()A. B. C. D.36.已知向量且与共线, 则()A. B. C. D.二、填空题37. 在△ABC中, AB=2, AC=1, D为BC的中点, 则=_____________.38.设, , 若, 则实数的值为()A. B. C. D.39.空间四边形中, , , 则()A. B. C. D.40. 已知向量, , 满足, , 若, 则的最大值是 .41. 化简: = .42. 在中, 的对边分别为, 且, , 则的面积为 .43. 已知向量=(1, 2), •=10, | + |=5 , 则| |= .44.如图, 在中, 是中点, , 则.45. 若| |=1, | |=2, = + , 且⊥, 则与的夹角为________。

高中数学精选单元测试卷集---向量测试07

高中数学精选单元测试卷集---向量测试07

向量测试07一. 选择题: 1.sin 103π的值是( )A. 12 B 。

-12C 。

32D 。

-322. 化简()()43a b a b b --+-得( ) A.a b -2B. a b -8C. a b -6 D 。

a3. 设有函数①y x =+cos π2与②y x =+sin 72π,则( )A. ①与②都是奇函数 B 。

①与②都是偶函数C. ①是奇函数而②是偶函数 D 。

①是偶函数而②是奇函数 4。

若向量()a x x x =+--3342,与AB →相等,其中点A (1,2),B (3,2),则x 的所有取值为( )A.-1B. -14,C. -5 D 。

05。

下列各组函数中是同一函数的是( ) A 。

y x x =+sin cos 22与y x x =tan cot ·B. y x =csc 2与y x =+cot 21C 。

y x =tan 与y x =-sec 21D. y x =sin 与y x x =tan cos ·6.已知向量()()OP OP →==-→11441,,,,且点P 分有向线段P P 12→的比为-2,则OP 2→的坐标是( )A. ()79,- B 。

()97,- C 。

5232,-⎛⎝ ⎫⎭⎪ D.-⎛⎝ ⎫⎭⎪5232, 7. 已知sin sin αβ>,那么下列命题成立的是( ) A 。

若α、β是第一象限角,则cos cos αβ> B. 若α、β是第二象限角,则tan tan αβ>C 。

若α、β是第三象限角,则cos cos αβ> D. 若α、β是第四象限角,则tan tan αβ> 8. 如果()()a b ==--1242332,,,,那么a 与b 的夹角是( )A. π2B. π3C. π4D 。

π6二。

填空题:9。

如果()tan παπαπ+=-<<⎛⎝ ⎫⎭⎪34322,那么cos πα2+⎛⎝ ⎫⎭⎪的值等于__________。

高考数学总复习平面向量单元测试题

高考数学总复习平面向量单元测试题

B
x
(17)解 (Ⅰ )记 P(x, y), 由 M(-1,0), N(1, 0) 得 PM = - MP =(-1-x, -y) PN = - NP =(1-x, -y),
MN = - NM =(2, 0), ∴ MP ·MN =2(1+x), PM ·PN =x 2+y2-1, NM ·NP =2(1-x).


(
)
1
C ( , -5)
2
5,若 (a b) c 5 ,则 a与c的夹角为 (

2
A 30°
B 60°
C 120°
D
150°
(5) 为 了 得 到 函 数 y = sin(2x- ) 的 图 像 , 可 以 将 函 数 y = cos2x 的 图 像
6
(
)
A 向右平移 个单位长度
6
B 向右平移 个单位长度
坐标系 .
设 |AB|=c,|AC|=b, 则 A(0,0),B(0,0),C(0,0).
y
且 |PQ|=2a,|BC|=a. 设点 P 的坐标为 (x,y), 则 Q(- x, - y),
C Q
∴ BP =(x - c, y), CQ =( - x, - y- b).
BC =( - c, b), PQ =(-2 x, -2 y).
即 | a - t e |2≥ |a - e|2 ∴ t 2 2a et 2a e 1 0
即 (2a e)2 4(2a e 1) 0 即(a e 1)2 0 a e 1 0
二填空题 :
2
a e e 0 e(a e) 0
2
11.
3 [ 解析 ] :向量 OA (k,12), OB (4,5), OC ( k,10) ,

高二向量测验卷含答案

高二向量测验卷含答案

高二向量测验卷(满分100分 时间90分钟)一.填空题(共12小题,每小题4分,共48分)1. 已知(4,2),(,3)a b x == 且//a b ,则x = 6 .2. 设向量(1,3),(2,4)=-=- a b ,若表示向量4,32,-a b a c 的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量=c ()4,6-.3. 在 ABCD 中,,,3,AB a AD b AN NC M === 为BC 的中点,则MN 等于()14b a -.(用,a b表示).4. 已知(1,2),2(4,7)a b a b +=---=- ,则向量a 与b 的夹角为135.5. 已知, a b 的夹角为120且||2,||5== a b ,则(2)-⋅= a b a 13 .6. 若向量 a 与 b 满足⋅ a b =12,且5,= b 则 a 在 b 方向上的投影是125.7. 已知非零向量a b 、满足:2||(1)||a b k a b +=--,且a b ⊥ ,则k8. 已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,若 M N P 、、三点共线,O 为坐标原点,且12011ON a OM a OP =⋅+⋅ (直线MP 不过点O ),则2011S =20112. 9.已知1, 0,OA OB OA OB ==⋅= 点C 在AOB ∠内,且030AOC ∠=,设OC mOA nOB =+ (,)m n R ∈,则mn等于 3 .10. 如果向量a 与 b 的夹角为θ,那么我们称a b ⨯为向量a 与 b 的“向量积”, a b ⨯ 是一个向量,它的长度a b ⨯ =sin ,a b ⋅⋅ θ如果3,2,2a b a b ==⋅=-,则a b ⨯=11. ABC ∆中,123,,AB AC m BA BC m CA CB m ⋅=⋅=⋅=,则222AB BC CA ++=()1232m m m ++.12. 已知OFQ ∆的面积为S,,1,QFA OF FQ α∠=⋅=若1(,2)2S ∈,则OF FQ 与夹角α的范围是,arctan 44π⎛⎫⎪⎝⎭.二、选择题(每题4分,共16分)13. 对于向量,,a b c和实数λ,下列命题中真命题是( B )A. 若0a b ⋅= ,则0a = 或0b =B. 若0a λ= ,则0a =或0λ=C. 若22a b = ,则a b = 或a b =-D. 若a b a c ⋅=⋅ 且0a ≠ ,则b c = 14. 如图平面内的两条相交直线1OP 与2OP 将该平面分割成四个部分:Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ (不包含边界),若12OP aOP bOP =+,ⅡⅠP 2QFAO且点P 落在Ⅲ,则实数,a b 满足( B ) A.0,0a b >> B. 0,0a b >< C. 0,0a b <> D. 0,0a b << 15. 设,a b 是两个非零向量,若函数()()()f x xa b a xb =+⋅-的图像是一条直线,则必有( A )A. a b ⊥B. //a bC. ||||a b =D. ||||a b ≠16. 在ABC ∆中,给出以下命题:(1)AB AC BC -= ;(2)0AB BC CA ++= ;(3)若()()0AB AC AB AC +⋅-=,则ABC ∆是等腰三角形;(4)若0AC AB ⋅>,则ABC ∆为锐角三角形;上述命题中正确的是( C ) A.(1)(2) B.(1)(4) C.(2)(3) D. (2)(3)(4)三、解答题(共5题,其中17、18每题8分,19、20每题10分,附加题10分)17. (用向量的方法证明)在梯形ABCD 中,//,、AD BC E F 分别是AB CD 、的中点,求证://EF BC ,且1()2EF AD BC =+. 证明:略.18. 已知(0,1),(5,1),(7,2)A B D --,且//,DC AB BC AB ⊥,求点C 的坐标.解:()()()()()()()()()5,2,7,25,172255521036AB DC x y BC x y x y x y x y =-=--=+--⨯=-⨯-⎧⎪∴⎨-⨯++⨯-=⎪⎩=-⎧⇒⎨=⎩19. 已知A 、B 、C 、D 四点的坐标分别为(1,0),(1,0),(0,1),(2,0)A B C D -,P 线段是CD上任一点,求AP BP ⋅的最小值.解:,,C D P 三点共线,()()22122,(01)(32,),(12,)(32,)(12,)583415()55OP tOC t OD t t t AP t t BP t t AP BP t t t t t t t ∴=+-=-≤≤=-=-∴⋅=-⋅-=-+=--当45t =时,最小值为15-. 20. 如图,已知ABC ∆的三边长AB=8,BC=7,AC=3,(1) 求BA AC ⋅;(2)A 的半径为2,设PQ 是A 的一条直径,求BP CQ ⋅的最大值和最小值.解:(1) 2228371cos ,28323πθθ+-==∴=⨯⨯ (2)()()()()BP CQ BA AP CA AQ BA AP CA AP⋅=+⋅+=+⋅-()22BA CA AP AP CA BA BA CA AP AP CB =⋅-+-=⋅-+⋅设,,0AP CB θθπ<>=≤≤上式12427cos 814cos θθ=-+⨯=+显然取值范围是[]6,22-,即,最大值为22,最小值为6-。

向量测试题及答案

向量测试题及答案

向量测试题及答案一、选择题1. 在平面直角坐标系中,向量\( \overrightarrow{AB} \)的坐标表示为\( (3, 4) \),向量\( \overrightarrow{BC} \)的坐标表示为\( (-1, 2) \),则向量\( \overrightarrow{AC} \)的坐标表示为:A. \( (2, 6) \)B. \( (4, 6) \)C. \( (2, 2) \)D. \( (4, 2) \)2. 若向量\( \overrightarrow{a} \)与向量\( \overrightarrow{b} \)共线,则下列哪个说法是正确的?A. \( \overrightarrow{a} \)与\( \overrightarrow{b} \)的模长相等B. \( \overrightarrow{a} \)与\( \overrightarrow{b} \)的方向相反C. \( \overrightarrow{a} \)与\( \overrightarrow{b} \)的点积为零D. \( \overrightarrow{a} \)是\( \overrightarrow{b} \)的标量倍二、填空题3. 若向量\( \overrightarrow{v} \)的模长为5,向量\( \overrightarrow{v} \)与向量\( \overrightarrow{u} \)的夹角为60°,则向量\( \overrightarrow{v} \)与向量\( \overrightarrow{u} \)的点积为________。

4. 已知向量\( \overrightarrow{a} = (1, 2) \),向量\( \overrightarrow{b} = (3, 4) \),求向量\( \overrightarrow{a} \)与向量\( \overrightarrow{b} \)的叉积的模长。

高中数学向量检测考试试题含答案解析X

高中数学向量检测考试试题含答案解析X

本章达标测评(总分:150分;时间:120分钟)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.以下说法中不正确的是( ) A.零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等 C.平行向量方向相同 D.平行向量一定是共线向量 2.化简AC⃗⃗⃗⃗⃗ -BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 得( ) A.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ B.DA ⃗⃗⃗⃗⃗ C.BC⃗⃗⃗⃗⃗ D.0 3.设a =(1,-2),b =(-3,4),c =(3,2),则(a +2b )·c 等于( ) A.(-15,12) B.0 C.-3 D.-114.若M 是△ABC 的重心,则下列各向量中与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的是( ) A.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.3AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ 5.在△ABC 中,(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2,则△ABC 的形状一定是( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形6.在△ABC 中,AB=4,∠ABC=30°,D 是边BC 上的一点,且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值等于( )A.-4B.0C.4D.87.已知|a |=1,|b |=√2,且a ⊥(a -b ),则向量a 与向量b 的夹角是( ) A.30° B.45° C.90° D.135°8.已知向量a ,b 满足a =(4,3),2a +b =(3,18),则b 在a 方向上的投影为( ) A.3 B.4 C.-165 D.1659.已知平面上直线l 的方向向量e =-45,35,点O(0,0)和A(1,-2)在l 上的射影分别是O'和A',则O 'A '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λe ,其中λ等于( ) A.115B.-115 C.2 D.-210.已知平面向量a ,b ,c 满足|a |=1,|b |=2,|c |=3,且a ,b ,c 两两所成的角相等,则|a +b +c |等于( )A.6或√3B.6或√2C.√2D.6二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中横线上) 11.若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则1a +1b 的值等于 .12.已知OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,|OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,则OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 两两的夹角是 .13.函数y=tan (π4x -π2)的部分图象如图,则(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )·OB⃗⃗⃗⃗⃗ = .14.如图,AB 是☉O 的直径,点C,D 是半圆AB 的两个三等分点,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = .15.若向量a =(x,2x),b =(-3x,2),且a ,b 的夹角为钝角,则x 的取值范围是 .三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分12分)如图,在平行四边形OADB 中,设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CD ⃗⃗⃗⃗⃗ .试用a ,b 表示OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 及MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .17.(本小题满分12分)设向量a ,b 满足|a |=|b |=1及|3a -2b |=√7. (1)求向量a 与b 的夹角; (2)求|3a +b |的值.18.(本小题满分12分)已知向量a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),0<β<α<π. (1)若|a-b|=√2,求证:a ⊥b ;(2)设c =(0,1),若a +b =c ,求α,β的值.19.(本小题满分13分)已知|m |=4,|n |=3,m 与n 的夹角为60°,a =4m -n ,b =m +2n ,c =2m -3n .求: (1)a 2+b 2+c 2;(2)a·b +2b ·c -3c ·a .20.(本小题满分13分)如图,在边长为1的正三角形ABC 中,E,F 分别是边AB,AC 上的点,若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =n AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,m,n∈(0,1).设EF 的中点为M,BC 的中点为N. (1)若A,M,N 三点共线,求证:m=n; (2)若m+n=1,求|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值.21.(本小题满分13分)在Rt△ABC 中,已知∠A=90°,BC=a,若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点,问PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角θ取何值时,BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值最大?并求出这个最大值.附加题1.(2013湖南,6,5分,★★☆)已知a,b 是单位向量,a·b =0.若向量c 满足|c-a-b |=1,则|c |的取值范围是( ) A.[√2-1,√2+1] B .[√2-1,√2+2] C.[1,√2+1] D.[1,√2+2]2.(2013重庆,10,5分,★★★)在平面上,AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,|OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .若|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |<12,则|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是( )A.(0,√52] B.(√52,√72] C.(√52,√2] D.(√72,√2]一、选择题1.C 只有C 是错误的,平行向量包括方向相同与相反两种情况.2.D 原式=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.3.C ∵a+2b=(-5,6),∴(a+2b)·c=-3.4.C 由题意知AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∵0∥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴C 正确,故选C.(注意利用结论:在△ABC 中,对△ABC 的重心M 有AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0) 5.C 由(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2,得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,即AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0, ∴2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴∠A=90°.故选C. 6.C ∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0, ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即AD⊥BC, ∴∠ADB=90°,在Rt△ADB 中,∠B=30°, ∴AD=12AB=2,∠BAD=60°,∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos 60°=2×4×12=4.7.B 由a⊥(a -b),得a·(a -b)=0,即a 2-a·b=0,∴a·b=a 2.设向量a 与向量b 的夹角为θ,则cos θ=a ·b|a ||b |=a 2|a ||b |=1×√2=√22.又0°≤θ≤180°,∴θ=45°.8.D b=(2a+b)-2a=(3,18)-(8,6)=(-5,12),b在a 方向上的投影为|b|cos<a,b>=a ·b |a |=(4,3)·(-5,12)5=165.9.D 由题意可知|O 'A '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos(π-θ)(θ为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与e 的夹角). ∵O(0,0),A(1,-2),∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2).∵e=-45,35,∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·e=1×-45+(-2)×35=-2=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|e|·cos θ,∴|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cosθ=-2,∴|O 'A '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2.又∵|O 'A '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|λ|·|e|,∴λ=±2.又由已知可得λ<0,∴λ=-2,故选D.10.A ∵a,b,c 两两所成的角相等,∴夹角为0°或120°.当夹角为0°时,|a+b+c|=|a|+|b|+|c|=1+2+3=6,排除C; 当夹角为120°时,a·b=|a||b|cos 120°=1×2×-12=-1,b·c=|b||c|·cos120°=2×3×-12=-3,c·a=|c||a|cos 120°=3×1×-12=-32,∴|a+b+c|2=a 2+b 2+c 2+2(a·b+b·c+c·a)=12+22+32+2-1-3-32=3, ∴|a+b+c|=√3. ∴|a+b+c|=6或√3. 二、填空题 11.答案 12解析 ∵A(2,2),B(a,0),C(0,b), ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a-2,-2),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a,b), 又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线, ∴b(a -2)-(-2)(-a)=0, 即b(a-2)-2a=0,∴b=2aa -2,取倒数,得1b =a -22a =12-1a , ∴1a +1b =12. 12.答案 120°解析 由OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-(OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ).∴OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=[-(OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )]2.整理得|OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +|OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2. ∵|OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,∴OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12,∴cos<OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=-12,∴<OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=120°.同理,<OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=120°,<OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=120°. 13.答案 4解析 依题意知A(2,0),B(3,1),∴OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1),OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1),∴(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4. 14.答案 12a+b解析 连接OD,由题意知四边形AODC 为平行四边形,则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ =12a+b. 15.答案 (-∞,-13)∪(-13,0) ∪(43,+∞)解析 ∵a,b 的夹角为钝角,∴a·b=x·(-3x)+2x·2=-3x 2+4x<0, 解得x<0或x>43,①由a,b 共线且反向可得x=-13.② 由①②得x 的取值范围是 (-∞,-13)∪(-13,0)∪(43,+∞). 三、解答题16.解析 由题意知,在平行四边形OADB 中,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =16BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =16(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -OB⃗⃗⃗⃗⃗ )=16(a-b)=16a-16b, 则OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b+16a-16b=16a+56b.ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23(a+b), 则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23(a+b)-16a-56b=12a-16b.17.解析 (1)由题意得(3a-2b)2=7, 即9|a|2-12a·b+4|b|2=7, 把|a|=|b|=1代入上式得a·b=12. 设a 与b 的夹角为θ,∴|a||b|cos θ=12,即cos θ=12,又θ∈[0,π],∴θ=π3. ∴向量a 与b 的夹角为π3. (2)(3a+b)2=9|a|2+6a·b+|b|2 =9+3+1=13, ∴|3a+b|=√13.18.解析 (1)证明:由条件知|a|=|b|=1,由|a-b|=√2,得(a-b)2=|a-b|2=2,即 a 2-2a·b+b 2=2,即|a|2-2a·b+|b|2=2, ∴-2a·b+2=2,a·b=0,从而a⊥b.(2)∵a+b=(cos α+cos β,sin α+sin β), ∴由a+b=c,得cos α+cos β=0,sin α+sin β=1,∵cos 2α+sin 2α=1,∴(-cos β)2+(1-sin β)2=1,整理得sin β=12,同理,sin α=12. ∵0<β<α<π,∴α=5π6,β=π6.19.解析 ∵|m|=4,|n|=3,m 与n 的夹角为60°, ∴m·n=|m||n|cos 60°=4×3×12=6. (1)a 2+b 2+c 2=(4m-n)2+(m+2n)2+(2m-3n)2=16|m|2-8m·n+|n|2+|m|2+4m·n+4|n|2+4|m|2-12m·n+9|n|2 =21|m|2-16m·n+14|n|2=21×16-16×6+14×9=366. (2)a·b+2b·c -3c·a=(4m-n)·(m+2n)+2(m+2n)·(2m -3n)-3(2m-3n)·(4m -n) =-16|m|2+51m·n -23|n|2 =-16×16+51×6-23×9=-157.20.解析 (1)证明:由A,M,N 三点共线,得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 设AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R), 则12(AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ ), 所以m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ), 所以m=n.(2)因为MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )-12(AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(1-m)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(1-n)AC⃗⃗⃗⃗⃗ , 又m+n=1,所以MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(1-m)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12m AC⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=14(1-m)2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+14m 2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+12(1-m)m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =14(1-m)2+14m 2+14(1-m)m=14(m -12)2+316,故当m=12时,|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |min =√34. 21.解析 解法一:如图,∵ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =0.∵ AP⃗⃗⃗⃗⃗ =-AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴ BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AP ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ -AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-a 2-AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +0 =-a 2-AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-a 2+12PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ =-a 2+a 2cos θ. 故当cos θ=1,即θ=0°(PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同)时,BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值最大,其最大值为0. 解法二:以直角顶点A 为坐标原点,两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系.设|AB|=c,|AC|=b,则A(0,0),B(c,0),C(0,b),且|PQ|=2a,|BC|=a, 设点P 的坐标为(x,y),则Q(-x,-y),同时易知x 2+y 2=a 2, ∴BP⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-c,y),CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x,-y-b), BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-c,b),PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2x,-2y).∴BP⃗⃗⃗⃗⃗ ·CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-c)(-x)+y(-y-b) =-(x 2+y 2)+cx-by.∵cos θ=PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=cx -by a 2,∴cx -by=a 2cos θ,∴BP⃗⃗⃗⃗⃗ ·CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =-a 2+a 2cos θ. 故当cos θ=1,即θ=0°(PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同)时,BP⃗⃗⃗⃗⃗ ·CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值最大,其最大值为0.附加题1.A 由公式||a|-|b||≤|a -b|得||c|-|a+b||≤|c -a-b|=1, ∴-1+|a+b|≤|c|≤1+|a+b|,又∵a,b 是单位向量,a·b=0,∴|a+b|=√2,∴-1+√2≤|c|≤1+√2.2.D 以A 为原点,AB 1所在直线为x 轴建立直角坐标系,如图所示.设B 1(a,0),B 2(0,b),O(m,n),则由已知得P(a,b).由|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 1|=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2|=1,|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |<12,得(m-a)2+n 2=1,m 2+(n-b)2=1,(m-a)2+(n-b)2<14,即-2am+a 2=1-(m 2+n 2),①-2nb+b 2=1-(m 2+n 2),②m 2+n 2-2am-2bn+a 2+b 2<14,③①②代入③中,得m 2+n 2+1-(m 2+n 2)+1-(m 2+n 2)<14,即有m 2+n 2>74,√m 2+n 2>√72.又|OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,相当于以O 为圆心,1为半径的圆与x 轴,y 轴有交点,即有|m|≤1,|n|≤1,即m 2+n 2≤2,√m 2+n 2≤√2,故有|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√m 2+n 2∈(√72,√2].。

高中数学测试题向量运算

高中数学测试题向量运算

高中数学测试题向量运算高中数学测试题:向量运算向量运算是高中数学中的重要部分,它涉及到向量的加减法、数量乘法、点乘和叉乘等基本运算。

在这篇文章中,我们将重点介绍向量的各种运算方法,并通过一些测试题来帮助巩固理解。

一、向量的加减法向量的加法定义为两个向量对应分量相加,即对应坐标相加。

例如,已知向量A(x₁, y₁)和向量B(x₂, y₂),则它们的和向量C(x₁+x₂,y₁+y₂)。

测试题1:已知向量A(3, 4)和向量B(-2, 6),求它们的和向量C。

二、向量的数量乘法向量的数量乘法是指将向量的每个分量都乘以同一个数。

例如,已知向量A(x, y),数k,则kA(kx, ky)。

测试题2:已知向量A(2, -3),求2A。

三、向量的点乘向量的点乘,也称为内积或数量积,表示为A·B。

点乘的结果是一个标量,等于两个向量的对应分量相乘再相加。

即A·B = x₁x₂ +y₁y₂。

测试题3:已知向量A(2, 1)和向量B(-3, 4),求它们的点乘。

四、向量的叉乘向量的叉乘,也称为外积或向量积,表示为A×B。

叉乘的结果是一个向量,垂直于原来的两个向量,并且大小与它们的夹角和长度有关。

计算公式为A×B = |A||B|sinθn,其中|A|和|B|分别为两个向量的长度,θ为它们的夹角,n为垂直于它们所在平面的单位向量。

测试题4:已知向量A(1, -2, 3)和向量B(4, 5, 6),求它们的叉乘。

五、综合题综合运用以上的向量运算方法,解决以下问题。

测试题5:已知向量A(3, 2)和向量B(1, -1),求满足2A + kB = 0的k的值。

测试题6:设向量A = 2i - j + 3k,向量B = i + j - 2k,向量C = -3i + 4j - k,求(A×B)·C的值。

测试题7:已知向量A = i + 2j + 3k,向量B = 2i + j - 2k,求向量A与向量B的夹角。

最新版精选高中数学单元测试试题-平面向量专题测试版题库(含答案)

最新版精选高中数学单元测试试题-平面向量专题测试版题库(含答案)

2019年高中数学单元测试试题 平面向量专题(含答案)学校:__________第I 卷(选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1.已知向量a=(x-1,2),b=(2,1),则a ⊥b 的充要条件是 A.x=-12B.x-1C.x=5D.x=02.已知向量)3,5(-=→x a , ),2(x b =→,且→→⊥b a , 则由x 的值构成的集合是 A.{2,3}B. {-1, 6}C. {2}D.{6}第II 卷(非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题3.如图,在平面直角坐标系xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P 的位置在(0,0),圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,OP 的坐标为____.4.在△ABC 中,已知(1,2)AB -=,(2,1)AC =,则△ABC 的面积等于 .5.设向量a 与b 的夹角为θ,a =(2,1),a +3b=(5,4),则sin θ=.6.已知向量()0,1,(,),(1,3)OA OB k k OC ===,若//AB AC ,则实数k = -17.已知两个非零向量与,定义θsin ||||||⋅=⨯b a b a ,其中θ为与的夹角.若 )2,3(),6,3(-=--=+b a b a ,则=⨯||b a .8.已知A(2cos αα),B(2cos ββ),C(-1,0)是平面上三个不同的点且满足CA BC λ→→=,则实数λ的取值范围是 .[1/3,3] 9.若向量a =)(x x 2,,b =)(2,3x -,且a b 、的夹角为钝角,则x 的取值范围是____________10.{|(1,0)(0,1),},{|(1,1)(1,1),}P a a m m R Q b b n n R ==+∈==+-∈是两个向量集合,则P Q =I ★ .11.如图,在ABC 中,DC=2AD ,AE=2EB ,AB a =,AC b =,则用,a b 表示DE 为 ▲ 。

2022高考数学(人教A版)单元测试卷——第7单元 平面向量(含答案)

2022高考数学(人教A版)单元测试卷——第7单元 平面向量(含答案)

2022高考数学单元测试卷 第7单元 平面向量一、单选题1.在边长为3的等边ABC ∆中,点E 满足2AE EC =,则BE BA ⋅=( ) A .9B .152C .6D .2742.设点G 是△ABC 的重心,且(56sinA )+(40sinB)+(35sinC)=0,则角B 的大小为( ) A .450B .600C .300D .1503.已知e 1⃑⃑⃑ , e 2⃑⃑⃑ 是不共线向量,则下列各组向量中,是共线向量的有( )①a =5e 1⃑⃑⃑ , b ⃑ =7e 1⃑⃑⃑ ;②a =12e 1⃑⃑⃑ −13e 2⃑⃑⃑ , b ⃑ =3e 1⃑⃑⃑ −2e 2⃑⃑⃑ ; ③a =e 1⃑⃑⃑ +e 2⃑⃑⃑ ,b ⃑ =3e 1⃑⃑⃑ −3e 2⃑⃑⃑ A .①②B .①③C .②③D .①②③4.已知平面向量()()a k 2b 11k R ==∈,,,,,则k=2是a 与b 同向的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件5.设12,e e 是两个互相垂直的单位向量,且1214OA e e =+,1212OB e e =+则OA 在OB 上的投影为A .410B .35 C. D .3226.如图,已知圆()()22:444M x y -+-=,四边形ABCD 为圆M 的内接正方形,,E F 分别为边,AB AD 的中点,当正方形ABCD 绕圆心M 转动时,ME OF ⋅的取值范围是( )A .⎡-⎣B .[]8,8-C .⎡-⎣D .[]4,4-7.给出下列命题:①两个长度相等的向量一定相等; ②零向量方向不确定;③若ABCD A B C D ''''-为平行六面体,则AB D C '=;④若ABCD A B C D ''''-为长方体,则AB BC CC AA A D ''''++=+. 其中正确命题的个数为( ) A .4B .3C .2D .18.如图,平行四边形ABCD 的对角线交于点M ,若AB a =,AD b =,用a 、b 表示MD 为( )A .1122a b + B .1122a b - C .1122a b -- D .1122a b -+ 9.已知命题:,32x x p x R ∀∈>,命题q :若ABC ∆中,5,8,7a b c ===,则20BC CA ⋅=-,则下列命题正确的是( )A .p q ∧B .()p q ⌝∧C .()p q ∨⌝D .()()p q ⌝∧⌝10.如图,||||1OA OB ==,OA 与OB 的夹角为120︒,OC 与OA 的夹角为30︒,若OC OA OB λμ=+(,)R λμ∈,则λμ等于( ).A .2B .3C .12D .211.已知△ABC 外接圆的半径为1,圆心为O ,且,OA AB =,则的值是( )A .3B .2C .D .12.设向量()1,1a =,()3,2b =-,则32a b -=( )A .(3,7)-B .(0,7) C .(3,5) D .(3,5)-二、填空题13.在等边ABC ∆中,D ,E 分别为边AB ,AC 的三等分点,且2AD BD =,2EC AE =,6BC =,则DE AB ⋅=__________.14.如图,正方形ABCD 的边长为2,三角形DPC 是等腰直角三角形(P 为直角顶点),E ,F 分别为线段CD ,AB 上的动点(含端点),则PE PF ⋅的范围为__________.15.已知向量()5,a m =,()2,2b =-,若()2a b b b -⋅=,则实数m =_________.16.已知平面向量a 、b 满足条件:0a b ⋅=,cos a α=,sin b α=,0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,若向c a b λμ=+ (),R λμ∈,且()()2222121cos 21sin 9λαμα-+-=,则c的最小值为_______三、解答题17.已知ABC 的面积为S ,且AB AC S ⋅=.(1)求22sincos 222A AA -的值; (2)若角,,ABC 成等差数列,||4CB CA -=求ABC 的面积S .18.已知||2a =,用a 表示出与a 方向相同的单位向量,以及与a 方向相反的单位向量.19.已知向量m =(24x sin,cos 2x ),n =(cos 4x,且f (x )m =•n . (Ⅰ)求函数f (x )的最小正周期;(Ⅰ)若0x π≤≤,求函数f (x )的最大值和最小值.参考答案一、选择题1、C2、B3、A4、C5、C6、B7、D8、D9、B 10、D 11、D 12、A 二、填空题13、-18 14、[]2,4 15、-1 16、13三、解答题17、(1)(2)4818、与a 方向相间的单位向量为2a ,与a 方向相反的单位向量为2a-.19、(Ⅰ)4π (Ⅰ)最大值2,最小值1。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

向量测试07一. 选择题:)D.2. )D.3. )A. ①与②都是奇函数B. ①与②都是偶函数C. ①是奇函数而②是偶函数D. ①是偶函数而②是奇函数4. A(1,2),B(3,2),则x的所有取值为()D. 05. 下列各组函数中是同一函数的是()6. P)7. )A. 若α、βB. 若α、βC. 若α、βD. 若α、β8. a与b的夹角是()D.二. 填空题:9. __________。

10. a∥b,则a的坐标是___________。

11. __________。

12. 把函图象移得则______________。

13. 若点在直线上,则的值为__________。

14.___________。

三. 解答题:15.16.(1A、B、D三点共线。

(2)试确定实数k17. y轴右侧的第一个最高点x轴在原点右侧的第一交点为N(6,0)。

(1)求这个函数的解析式;(2)求这个函数取最小值时x的值;(3)求这个函数的单调递减区间。

18. (本小题满分8分)60°。

(1t的值;(2t的取值范围。

19. (本小题满分9分)图象经过怎样的平移和伸缩变化得到?20. (本小题满分9分)滴答手表论坛 滴答手表论坛吘莒峃在海港A正东78 n mile处有一小岛B,现甲船从A港出发以30 n mile/h的速度驶向B岛,同时乙船以12 n mile/h的速度向北偏西30°的方向驶离B岛,不久之后,丙船则向正东向从B岛驶出,当甲乙两船相距最近时,在乙船观测发现丙船在乙船南偏东60°方向,问此时甲丙两船相距多远?【试题答案】一. 选择题。

本大题共8小题,每小题4分,共32分。

1. D2. B3. C4. A5. B6. C7. D8. A二. 填空题:本大题共6小题,每小题3分,共18分。

三. 解答题:本大题共6小题,共50分。

15. 解:由已知条件及正弦的和(差)角公式,得:4分6分8分16. 解:(11分3分∴A、B、D三点共线……………………4分(2)线,则存在,使7分8分17. 解:(11分入3分∴在长度为一个周期且包含原点的闭区间上,有从而所求的函数解析式是:6分(2)当y7分(38分18. (本小题满分8分)解:(1∴当向量方向相反。

…………………4分(2∵这两个向量夹角为钝角7分由(1∴t8分[ 19.5分而横坐标不单位长度,得20. 解:如图所示,设在甲船行驶t小时的时候,甲船到达C处,乙船到达D处,丙船到达E处,此时,甲、乙两船最近,依题意得:4分CD 取到最小值,即此时甲乙两船相距最近………………6分 DF ⊥AB ,则∠BDF =30°,∠DBE =120°∴∠BDE =30°,∠DEB =180°-30°-120°=30° ∴△BDE 为等腰三角形答:甲乙两船相距最近时,甲丙两船相距42 n mile 。

………………9分专题三 数列、推理与证明(时间∶120分钟 满分∶160分)一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分)1.若等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 10=18,S 20=24,则S 40等于________. 2.在等比数列{a n }中,a n +1<a n ,a 2·a 8=6,a 4+a 6=5,则a 5a 7等于________.3.已知等比数列{}a n 中,各项都是正数,且a 1,12a 3,2a 2成等差数列,则a 9+a 10a 7+a 8的值为________.4.数列{a n }的通项公式a n =1n +n +1,若{a n }的前n 项和为24,则n 为________.5.(2010·江苏)函数y =x 2(x >0)的图象在点(a k ,a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k +1,其中k ∈N *,a 1=16,则a 1+a 3+a 5的值是________.6.数列{a n }中,S n 是其前n 项和,若S n =2a n -1,则a n =________.7.(2010·浙江)设n ≥2,n ∈N ,(2x +12)n -(3x +13)n =a 0+a 1x +a 2x 2+…+a n x n,将|a k |(0≤k ≤n )的最小值记为T n ,则T 2=0,T 3=123-133,T 4=0,T 5=125-135,…,T n ,…,其中T n =_____________.8.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 5a 3=59,则S 9S 5等于________.9.若数列{a n }满足a 1+3a 2+32a 3+…+3n -1a n =n +13(n ∈N *),则a n =_____________.10.设数列{a n }满足a 1+2a 2=3,点P n (n,a n )对任意的n ∈N *,都有1+n n P P =(1,2),则数列{a n }的前n 项和S n = .11.已知数列{a n }满足a 1=1,且对于任意的正整数n 都有a n +1=2a n2+a n,请写出它的一个通项公式为_____________.12.已知{a n }是递增数列,且对任意n ∈N *都有a n =n 2+λn 恒成立,则实数λ的取值范围是____________________.13.对正整数n ,设曲线y =x n(1-x )在x =2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n +1 的前n 项和的公式是S n =________.14.(2010·天津)设{a n }是等比数列,公比q =2,S n 为{a n }的前n 项和.记T n =17S n -S 2na n +1,n ∈N *.设0n T 为数列{T n }的最大项,则n 0=________.二、解答题(本大题共6小题,共90分)15.(14分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a n +2S n ·S n -1=0(n ≥2),a 1=12.(1)求证:⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列;(2)求a n 的表达式.16.(14分)在等差数列{a n }中,a 10=30,a 20=50.(1)求数列{a n }的通项a n ; (2)令b n =102n a -,证明:数列{b n }为等比数列;(3)求数列{nb n }的前n 项和T n . 17.(14分)在数列{a n }中,a n =4n -1+n ,n ∈N *.(1)求数列{a n }的前n 项和S n ;(2)求证:不等式S n +1≤4S n 对任意n ∈N *皆成立. 18.(16分)设同时满足条件:①b n +b n +22≤b n +1(n ∈N *);②b n ≤M (n ∈N *,M 是与n 无关的常数)的无穷数列{b n }叫“特界”数列.(1)若数列{a n }为等差数列,S n 是其前n 项和,a 3=4,S 3=18,求S n ; (2)判断(1)中的数列{S n }是否为“特界”数列,并说明理由. 19.(16分)在数列{a n }中,a 1=2,a n +1=a n +2n+1(n ∈N *).(1)求证:数列{a n -2n}为等差数列;(2)设数列{b n }满足b n =log 2(a n +1-n ),若(1+1b 2)(1+1b 3)(1+1b 4) (1)1b n)>k n +1对一切n ∈N *且n ≥2恒成立,求实数k 的取值范围.20.(16分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,点(n ,S n n )在直线y =12x +112上.数列{b n }满足b n+2-2b n +1+b n =0(n ∈N *),b 3=11,且其前9项和为153. (1)求数列{a n }、{b n }的通项公式;(2)设c n =3 2a n -11 2b n -1 ,数列{c n }的前n 项和为T n ,求使不等式T n >k57对一切n ∈N *都成立的最大正整数k 的值. 答案1.8032.323.3+2 24.6245.216.2n -17.⎩⎪⎨⎪⎧0 n 为偶数 12n -13n n 为奇数 8.19.⎩⎪⎨⎪⎧23, n =1.13, n ≥2,n ∈N *.10.n (n -43) 11.a n =2n +112.(-3,+∞)13.2n +1-2 14.415.(1)证明 ∵a n =-2S n S n -1,∴S n -S n -1=-2S n S n -1(n ≥2),S n ≠0(n =1,2,3,…),∴1S n -1S n -1=2,又1S 1=1a 1=2,∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项,2为公差的等差数列.(2)解 由(1)得1S n =2+2(n -1)=2n ,∴S n =12n ,∴n ≥2时,a n =-2S n S n -1=-12n n -1 .又当n =1时,S 1=a 1=12,∴a n=⎩⎪⎨⎪⎧12 n =1 ,-12n n -1 n ≥2 .16.(1)解 由a n =a 1+(n -1)d ,a 10=30,a 20=50,得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1+9d =30a 1+19d =50,解得a 1=12,d =2.∴a n =12+(n -1)·2=2n +10. (2)证明 由(1)得b n =102n a -=22n +10-10=22n =4n,∴b n +1b n =4n +14n =4, ∴{b n }是首项是4,公比为4的等比数列.(3)解 由nb n =n ×4n 得:T n =1×4+2×42+…+n ×4n, 4T n =1×42+…+(n -1)×4n +n ×4n +1,相减可得:-3T n =4+42+ (4)-n ×4n +1=4 1-4n-3-n ×4n +1,化简得T n =3n -1 ×4n +1+49.所以数列{nb n }的前n 项和T n =3n -1 ×4n +1+49.17.(1)解 因为数列{a n }的通项公式为a n =4n -1+n ,所以数列{a n }的前n 项和S n =1× 1-4n 1-4+n n +12=4n-13+n n +1 2(n ∈N *).(2)证明 对于任意n ∈N *,S n +1-4S n =4n +1-13+ n +1 n +2 2-4[4n-13+n n +12]=-12(3n 2+n -4)=-12(3n +4)(n -1).因n ≥1且n ∈N *时,3n +4>0,n -1≥0, 所以-12(3n +4)(n -1)≤0,即S n +1≤4S n .即不等式S n +1≤4S n 对任意n ∈N *均成立.18.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ,则a 1+2d =4,3a 1+3d =18,解得a 1=8,d =-2,∴S n =na 1+n n -12d =-n 2+9n .(2)由S n +S n +22-S n +1= S n +2-S n +1 - S n +1-S n2=a n +2-a n +12=d2=-1<0, 得S n +S n +22<S n +1,故数列{S n }适合条件①.而S n =-n 2+9n =-(n -92)2+814(n ∈N *),则当n =4或5时,S n 有最大值20,即S n ≤20,故数列{S n }适合条件②. 综上,数列{S n }是“特界”数列.19.(1)证明 由a n +1=a n +2n+1,变形得:a n +1-2n +1=(a n +2n -2n +1)+1,即a n +1-2n +1=[a n -2n(2-1)]+1,所以(a n +1-2n +1)-(a n -2n)=1,故数列{a n -2n}是以a 1-2=0为首项,1为公差的等差数列. (2)解 由(1)得a n -2n=n -1, 所以b n =log 2(a n +1-n )=n .设f (n )=(1+1b 2)(1+1b 3)(1+1b 4)·…·(1+1b n)×1n +1(n ≥2,n ∈N *), 则f (n +1)=(1+1b 2)(1+1b 3)(1+1b 4)·…·(1+1b n )(1+1b n +1)×1n +2,两式相除得f n +1 f n =(1+1b n +1)×n +1n +2=n +2n +1×n +1n +2=n +2n +1>1.所以f (n )是关于n 的单调递增函数,则f (n )min =f (2)=32×13=32.所以k 的取值范围为(-∞,32). 20.解 (1)由已知,得S n n =12n +112,∴S n =12n 2+112n .当n ≥2时,a n =S n -S n -1=12n 2+112n -12(n -1)2-112(n -1)=n +5;当n =1时,a 1=S 1=6也符合上式.∴a n =n +5. 由b n +2-2b n +1+b n =0(n ∈N *)知,{b n }是等差数列, 由{b n }的前9项和为153,可得9 b 1+b 92=153,求得b 5=17,又b 3=11, ∴{b n }的公差d =b 5-b 32=3.∴b n =3n +2.(2)c n =3 2n -1 6n +3 =12(12n -1-12n +1).∴T n =12(1-13+13-15+…+12n -1-12n +1)=12(1-12n +1). ∵n 增大,T n 增大,∴{T n }是递增数列. ∴T n ≥T 1=13.T n >k 57对一切n ∈N *都成立,只要T 1=13>k57,∴k <19.则k max =18.。

相关文档
最新文档