江苏省南京市四校2012届高三数学12月月考试题

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江苏省南京2012届高三数学第二次教学质量检测苏教版

南京市2012年届高三第二次模拟考试数学试卷解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1．已知集合{}R x x x x A ∈≤-=,02|2，}{a x x B ≥=|，若B B A = ，则实数a 的取值范围是。

解析：B B A = 可知道B A ⊆，又]2,0[=A 所以实数a 的取值范围是]0,(-∞11.已知i b iia -=+3，其中Rb a ∈,，i 为虚数单位，则=+b a 。

解析：将等式两边都乘i ，得到bi i a +=+13，两边比较得结果为412.某单位从4名应聘者A 、B 、C 、D 中招聘2人，如果这4名应聘者被录用的机会均等，则A ，B 两人中至少有1人被录用的概率是。

解析：从题目来看，所有的可能性共有6种，但A ，B 都没被录取的情况只有一种，即满足条件的有5种，所以结果为65 4、某日用品按行业质量标准分成王五个等级，等级系数X 依次为1，2，3，4，5.现从一批该日用品中随机抽取200件，对其等级系数进行统计分析，得到频率f 的分布如下的件数为。

解析：由所有频率之和为1，可知道a =0.1，由频率公式可知道所求件数为20。

5、已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≥+212y y x y x ，则目标函数y x z +-=2的取值范围是解析：画出可行域，可以知道目标函数的取值范围是[－4，2]6、已知双曲线1222=-y ax 的一条渐近线方程为02=-y x ，则该双曲线的离心率=e解析：焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是0=±ay bx ，与题是所给比较得5.1,2===c b a ，所以结果为527、已知圆C 的经过直线022=+-y x 与坐标轴的两个交点，又经过抛物线x y 82=的焦点，则圆C 的方程为。

解析：先求直线得022=+-y x 与坐标轴的交点为)2,0(),0,1(B A -，抛物线x y 82=的焦点为)0,2(D ，可把圆C 的方程设为一般形式，把点坐标代入求得x 2＋y 2－x －y －2＝0法2。

2012-2013学年江苏省四校联考高三(上)期中数学试卷(含解析)

2012-2013学年江苏省四校联考高三（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知i是虚数单位，复数，则|z|=．==﹣+故答案为：2．（5分）若函数f（x）=+是偶函数，则实数a的值为2．+，可以求得=是偶函数，，+3．（5分）（2012•盐城二模）已知集合P={﹣1，m}，，若P∩Q≠∅，则整数m=0．4．（5分）（2012•盐城二模）已知向量的模为2，向量为单位向量，，则向量与的夹角大小为．设向量与的夹角为，可得•，再根据，得•﹣2与解：设向量与的夹角为∴•=∵，∴=•﹣2=0，得2cosθ﹣1=0，所以cosθ=，故答案为：本题给出单位向量与向量的差向量垂直于单位向量与5．（5分）（2012•盐城二模）若命题“∀x∈R，x2﹣ax+a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是[0，4]．6．（5分）已知三角形的一边长为5，所对角为60°，则另两边长之和的取值范围是（5，10]．所以25≥，所以a+b≤10．7．（5分）（2010•南通模拟）已知数列{a n}为等差数列，若，则数列{|a n|}的最小项是第6项．绝对值的大小．解：∵＜0∵∴，|a5|＞|a6|8．（5分）已知θ是第二象限角，且，则的值为．tan的值，将所求式子利用两角和与差的正切函数tan的值代入计算，即可求出值．=﹣，，即2﹣3tan﹣tan﹣tan（﹣=．故答案为：9．（5分）已知函数y=f（x）在点（2，f（2））处的切线为由y=2x﹣1，则函数g（x）=x2+f（x）在点（2，g（2））处的切线方程为6x﹣y﹣5=0．10．（5分）等差数列{a n}中，已知a8≥15，a9≤13，则a12的取值范围是（﹣∞，7]．，故，所以a12=a9+3d，能求出a12的取值范围．∴∴，11．（5分）在锐角△ABC中，若tanA=t+1，tanB=t﹣1，则t的取值范围为t＞．∴＞0，＞，＞12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点P是第一象限内曲线y=﹣x3+1上的一个动点，点P处的切线与两个坐标轴交于A，B两点，则△AOB的面积的最小值为．为切线的斜率，根据切点和斜率表示出切线的方程，分别令x=0和y=0求出切线与两坐标轴的交点坐标，由交点坐标表示出△AOB的面积S，利用基本不等式即可求出面积的最小值时P横坐标的值，把此时P横坐标的值代入S中即可求出S的最小值．解答：解：根据题意设P的坐标为（t，﹣t3+1），且0＜t＜1，求导得：y′=﹣3x2，故切线的斜率k=y′|x=t=﹣3t2，所以切线方程为：y﹣（﹣t3+1）=﹣3t2（x﹣t），令x=0，解得：y=2t3+1；令y=0，解得：x=，所以△AOB的面积S=（2t3+1）•=，设y=2t2+=2t2++≥3，当且仅当2t2=，即t3=，即t=取等号，把t=代入得：S min=．故答案为：点评：解本题的思路是设出切点P的坐标，求出曲线方程的导函数，把P的横坐标代入导函数中求出切线的斜率，由切点坐标和斜率写出切线方程，求出切线与两坐标轴的交点坐标，进而表示出三角形ABC 的面积S，变形后利用基本不等式即可求出S最小时P横坐标的值，把此时P的横坐标代入S即可求出S的最小值．要求学生掌握求导法则以及会利用基本不等式求函数的最小值．13．（5分）（2012•江苏二模）已知等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n和T n，若，且是整数，则n的值为15．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：在中，令n=1可得a1=13b1 ，设等差数列{a n}和{b n}的公差分别为d1和d2，再分别令n=2，3，解得b1=2d2，d1=7d2 ，a1=26d2．化简为是整数，由此可得n的值．解答：解：由题意可得===13，故a1=13b1．设等差数列{a n}和{b n}的公差分别为d1和d2，由===，把a1=13b1代入化简可得12b1=59d2﹣5d1①．再由===11，把a1=13b1代入化简可得2b1=11d2﹣d1②．解①②求得b1=2d2，d1=7d2．故有a1=26d2．由于===为整数，∴n=15，故答案为15．点评：此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键，属于中档题．14．（5分）若关于x的方程|e x﹣3x|=kx有四个实数根，则实数k的取值范围为（0，3﹣e）．二、解答题：本大题共10小题，共90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、求证过程或演算步骤．15．（14分）（2011•东城区二模）已知，．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求函数的值域．）先利用同角三角函数基本关系式求弦公式将cosA变换为，代入计算即可2，且所以．=所以）可得所以，因为sinx∈[﹣1，1]，所以，当时，f（x）取最大值；）的值域为16．（14分）设，，（x∈R，m∈R）．（Ⅰ）若与的夹角为钝角，求x的取值范围；（Ⅱ）解关于x的不等式．）根据已知中向量的坐标及与的夹角为钝角，根据向量数量积的定义，可得＜）根据利用平方法可得）∵，与的夹角为钝角，解得时，与所以当与的夹角为钝角时，的取值范围为）由知，又∵时，与17．（15分）（2008•湖北模拟）随着机构改革开作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a人（140＜2a＜420，且a为偶数），每人每年可创利b万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？分析：设裁员x人，可获得的经济效益为y万元，y=（2a﹣x）（b+0.01bx）﹣0.4bx，配方求y的最大值．则（5分），∴]（1）当，即70＜a≤140时，x=a﹣70，y 取到最大值；（10分））当，即x=当140＜a＜210，公司应裁员为，经济效益取到最大值（15分）18．（15分）已知函数f（x）=xlnx．（I）求函数f（x）的单调递减区间；（II）若f（x）≥﹣x2+ax﹣6在（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；（III）过点A（﹣e﹣2，0）作函数y=f（x）图象的切线，求切线方程．专题：综合题；压轴题．，设，由此能求出g（x）最小值g（2）=5+ln2，从而能求出，故∴∴函数f（x）的单调递减区间是；（4分）即，∴，∴19．（16分）（2012•江西模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，且S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n}的前n项和T n．n}的通项公式．（II）利用等比数列的通项公式求出，进一步求出b n，根据数列{b n}通项的特点，选择错位相减解得）n前n项和，一般先求出数列的通项，根据通项的特点选择合适的求和方法．20．（16分）已知函数f（x）=e x（x2+ax+1）．（1）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线与x轴平行，求a的值；（2）求函数f（x）的极值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．专题：计算题．分析：（1）先由所给函数的表达式，求导数fˊ（x），再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由平行直线的斜率相等方程求a的值即可；（2）对参数a进行分类，先研究f（x）的单调性，利用导数求解f（x）在R上的最小值问题即可，故只要先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最小值即得．解答：解：f'（x）=e x[x2+（a+2）x+a+1]（2分）（1）f'（2）=e2[4+2（a+2）+a+1]=0，解得a=﹣3（4分）（2）令f'（x）=0，得x1=﹣1，x2=﹣1﹣a当a=0时，无极值（7分）当a＞0，﹣1＞﹣1﹣a，f（x）在（﹣∞，﹣1﹣a），（﹣1，+∞）上递增，（﹣1﹣a，﹣1）上递减极大值为f（﹣1﹣a）=e﹣1﹣a（a+2），极小值（10分）当a＜0时，﹣1＜﹣1﹣a，f（x）在（﹣∞，﹣1），（﹣1﹣a，+∞）上递增，（﹣1，﹣a﹣1）上递减极大值为，极小值f（﹣1﹣a）=e﹣1﹣a（a+2）（13分）点评：本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的最值及其几何意义、两条直线平行的判定等基础知识，考查运算求解能力．21．（10分）已知a是整数，a2是偶数，求证：a也是偶数．考点：反证法与放缩法．专题：反证法．分析：本题利反证法证明：先假设a不是偶数，即a是奇数．设a=2n+1（n∈Z），平方得a2=4n2+4n+1．因4（n2+n）是偶数，导出矛盾．由上述矛盾可知，a一定是偶数．解答：证明：（反证法）假设a不是偶数，即a是奇数．设a=2n+1（n∈Z），则a2=4n2+4n+1．因4（n2+n）是偶数，∴4n2+4n+1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾．由上述矛盾可知，a一定是偶数．点评：此题考查了反证法的定义，反证法在数学中经常运用，当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法，此即所谓“正难则反“．22．（10分）已知曲线在点A处的切线与曲线在点B处的切线相同，求φ的值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：导数的概念及应用．分析：分别求出两函数的导函数，根据导函数的取值范围可求出切线的斜率，从而求出切线方程，然后根据曲线在点B处的切线相同，可求出φ的值．解答：解：k=y′=，当且仅当x+2=，即x+2=1，x=﹣1时，取等号…（2分）切又k切=y′=2cos（2x+ϕ）≤2，由题意，k切=2，此时切点A（﹣1，﹣1），切线l：y=2x+1…（5分），又，23．（10分）数列{a n}的前n项和为S n，存在常数A，B，C，使得a n+S n=An2+Bn+C对任意正整数n都成立．若数列{a n}为等差数列，求证：3A﹣B+C=0．n（﹣所以A=d d24．（10分）已知函数f（x）=2（1+x）ln（1+x）﹣x2﹣2x，x∈[0，+∞），求f（x）的最大值．。

江苏省南京师大附中2012届高三12月阶段性检精彩试题(数学)

省师大附中2012届高三12月阶段性检测数学试卷2011-12-13 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸的相应．．．．．．位置上．．．． 1．若a ,b ∈R ，i 为虚数单位，且(a +i)i=b +i ，则a +b = ▲ ．2．过点（—1,—2）的直线l 被圆222210x y x y +--+=截得的弦长为2，则直线l 的斜率为 ▲ ．3．已知四棱椎P －ABCD 的底面是边长为6 的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且8PA =，则该四棱椎的体积是 ▲ ．4．已知a ,b ,c 分别是△ABC 的三个角A ,B ,C 所对的边，若a =1,b,A +C =2B ,则sin C = ▲ ． 5．给定下列四个命题：①若一个平面的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②垂直于同一直线的两条直线相互平行； ③平行于同一直线的两个平面相互平行；④垂直于同一直线的两个平面相互平行上面命题中，真命题．．．的序号是 ▲ （写出所有真命题的序号）6．等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1≠0，S k +3＝0，则k = ▲ ． 7．已知函数y =sin(ωx +ϕ)（ω>0, －π≤ϕ<π）的图像如图所示，则ϕ= ▲ ．8．已知x 、y 满足5030x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则24z x y =+的最小值为 ▲ ．9．在ABC △中，BD 2DC =，AD mAB nAC =+，则mn= ▲ ． 10．已知实数x ，y 满足3221423x x ,y y≤≤≤≤，则xy 的取值围是 ▲ ． 11．设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足1122::PF F F PF =6:5:4，则曲线C 的离心率等于 ▲ ．12．若)(x f 是R 上的减函数，且1)3(,3)0(-==f f ，设},2|1)(||{<-+=t x f x P }1)(|{-<=x f x Q ，若“Q x ∈”是“P x ∈”的必要不充分条件,则实数t 的取值围是 ▲ ．13．数列{a n }满足a 1＝1，a i ＋1＝⎩⎨⎧2a i，a i ≤m －12，2(m －a i)＋1，a i＞m －12．其中m 是给定的奇数．若a6＝6，则m = ▲ ．14．已知ω是正实数，设})](cos[)(|{是奇函数θωθω+==x x f S ，若对每个实数a ，ωS ∩)1,(+a a 的元素不超过２个，且存在实数a 使ωS ∩)1,(+a a 含有２个元素，则ω的取值围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)设函数f (x )=a b ⋅，其中向量=(2cos x ,1),=(cos x ,3sin2x ),x ∈R .(1) 若f (x )=0且x ∈(－π2,0), 求tan2x ；(2) 设△ABC 的三边a ,b ,c 依次成等比数列，试求f (B )的取值围．16．(本小题满分14分)如图，四棱锥P －ABCD 的底面为矩形，且AB ＝2，BC ＝1，E ，F 分别为AB ，PC 中点. （1）求证：EF ∥平面PAD ；（2）若平面PAC ⊥平面ABCD ，求证：平面PAC ⊥平面17．（本小题满分14分）某商店经销一种青奥会纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部（第16题）门上交a 元（a 为常数，2≤a ≤5）的税收.设每件产品的日售价为x 元（35≤x ≤41），根据市场调查，日销售量与e x (e 为自然对数的底数)成反比例.已知每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件.(1)求该商店的日利润L(x )元与每件产品的日售价x 的函数关系式；(2)当每件产品的日售价为多少元时，该商店的日利润L(x )最大，并求出L(x )的最大值.18．(本小题满分16分)已知函数c bx x ax x f -+=44ln )((x >0)在x = 1处取得极值c --3，其中a ,b ,c 为常数。

南京市2012届高三第二次模拟考试参考答案与评分标准

（没有说明“在 x＝1 附近，f(x)＝ex－bx”的扣 1 分) （2）解法一 f(x)＝0 同解于 g(x)＝0，因此，只需 g(x)＝0 有且只有一个解．即方程 ex－bx＝0 有且只有一个解． ex 因为 x＝0 不满足方程，所以方程同解于 b＝． x (x－1)ex ex 令 h(x)＝，由 h(x)＝＝0 得 x＝1． x x2 当 x∈(1，＋∞)时，h(x)＞0，h(x)单调递增，h(x)∈(e，＋∞)； „„„„„„„„„„ 6 分

南京市 2012 届高三第二次模拟考试
数学参考答案及评分标准
说明： 1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分． 1．(－∞，0] 5．[－4，2] 9．3 13．2 3 2．4 6． 5 2 5 3． 6 7．x2＋y2－x－y－2＝0 11．48 4．20 27 8． 35 12．①②
x0 x0 x0 x0
因此，在 x∈(0，2)上也无极大值．
„„„„„„„„„„„ 12 分
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②当 b＞e 时，g(lnb)＜0．因为 g(0)＝1＞0，g(2lnb)＝b2－2blnb＝b(b－2lnb)＞0， 2 （令 k(x)＝x－2lnx．由 k(x)＝1－＝0 得 x＝2，从而当 x∈(2，＋∞)时，k(x)单调递增， x 又 k(e)＝e－2＞0，所以当 b＞e 时，b－2lnb＞0．）所以存在 x1∈(0，lnb)，x2∈(lnb，2lnb)，使得 g(x1)＝g(x2)＝0．

南京市2012届高三第一次调研数学试卷及答案(苏教版)

南京市2012届高三第一次调研测试数学2011.09注意事项：1. 本试卷共160分.考试用时120分钟.2. 答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题纸上 .考试结束后，交回答题纸.参考公式：一组数据的方差S 2- ［（X 1 X ）2 （X 2 X ）2L （X n x ）2］，其中x 为这组数据的平均数.n一、填空题（本大题共 14小题，每小题5分，共70分）101 •计算cos 也。

32. 若复数m _ （m R,i 是虚数单位）为纯虚数，则m=。

1 i3. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为 x,8,10,11,9.已知这组数据的平均数为 10,则其方差为 ____________ 。

4. 已知等比数列{a n }的各项均为正数.若a 1=3，前三项的和为 21,则a 4+a 5+a 6= ________________ 。

5. 设P 和Q 是两个集合，定义集合P Q {x|x P,且x Q}.若P {1,2,3,4},为 __________ 。

10. 如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔 A , B ，灯塔B 位于灯塔A 的正南方向.海上停泊着两艘轮船，甲位于灯塔 A 的北偏西750方向，与A 相距3 2海里的D 处；乙船位于灯塔 B 的北偏西600方向，与B 相距5海里的C处.则两艘船之间的距离为 ___________ 海里.11. _________________________________________________ 如图，在正三棱柱 ABC -A 1B 1C 1中，D 为棱AA 1的中点是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为 ___________________________Q {x|. x 1 2,x R}，则 P Q _____________ 。

6.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果 I 为 ____________ S — 1I — 1While S <5I 1 S —— II 17. 已知扇形的周长为 8cm 则该扇形面积的最大值为 ____________ cm 2。

江苏省南京市四区县高三数学上学期12月联考试题苏教版

江苏省南京市四区县2013届高三上学期联考数学试题2012.12注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答卷纸．参考公式：1．样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n i =1∑n(x i －－x )2，其中－x 是这组数据的平均数．2．柱体、锥体的体积公式：V 柱体＝Sh ，V 锥体＝13Sh ，其中S 是柱（锥）体的底面面积，h 是高．一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置．．．．．．．上．1．已知集合M ＝{1，2，3，4，5}，N ＝{2，4，6，8，10}，则M ∩N ＝ ▲ ． 2．若(12)(,i i a bi a b -=+∈R ,i 为虚数单位), 则ab = ▲ ．3. 函数)2lg()(x x f -=的定义域为 ▲ .4. 程序框图（即算法流程图）如图（右）所示，其输出结果是_____▲___.5. 若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为6的概率是 ▲ 6. 在△ABC 中，s i n:s i n :s i n 2A B C =，则c o s C▲ ．7. 在等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，已知5423a S =+，6523a S =+，则此数列的公比q 为 ▲8. 已知向量),cos 6,9(),3,5(α--=-= α是第二象限角，)2//(-，则αtan = ▲9. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题： ①若m β⊂，αβ⊥，则m α⊥； ②若m//α，m β⊥，则αβ⊥； ③若αβ⊥，αγ⊥，则βγ⊥； ④若m αγ=，n βγ=，m//n ，则//αβ．上面命题中，真命题．．．的序号是 ▲ （写出所有真命题的序号）． 10. 函数x x x x y cos sin 2sin cos 22⋅+-=, ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 的最大值为 ▲ 11.设椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为12,F F ，上顶点为A ，过点A与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且2221=+F F F ．则椭圆C 的离心率为______▲_____12. 过圆x 2＋y 2＝1上一点P 作圆的切线与x 轴和y 轴分别交于A ，B 两点，O 是坐标原点，则|2|OB OA +的最小值是 ▲ ．13.．已知ABC ∆的三边长a ，b ，c 成等差数列，且22284a b c ++=，则实数b 的取值范围是 ▲14. 设函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意()x M M D ∈⊆，有x l D +∈，且()()f x l f x +≥，则称()f x 为M 上的l 高调函数．如果定义域为R 的函数()f x 是奇函数，当0x ≥时，22()||f x x a a =--，且()f x 为R 上的4高调函数，那么实数a 的取值范围是 ▲ ．二．解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在三角形ABC 中，已知2AB AC AB AC ⋅=⋅，设∠CAB ＝α，（1）求角α的值；（2）若cos(-)=7βα5(,)36βππ∈，求cos β的值.16．(本小题满分14分)如图的几何体中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AB DE AD 2==，F 为CD 的中点．（1）求证：//AF 平面BCE ；（2）求证：平面BCE ⊥平面CDE .17. （本小题满分14分）某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线2()1(0)f x ax a =->的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M 、N ，交曲线于点P ，设(,())P t f t（1）将OMN ∆（O 为坐标原点）的面积S 表示成t 的函数()S t ；（2）若在12t =处，()S t 取得最小值，求此时a 的值及()S t 的最小值.BA EDCF18. （本小题满分16分）如图：已知,A B 是圆224x y +=与x 轴的交点，P 为直线:4l x =上的动点，,PA PB 与圆224x y +=的另一个交点分别为,M N . （1）若P 点坐标为(4,6)，求直线MN 的方程；（2）求证:直线MN 过定点.19．（本题满分16分）已知函数f (x )＝a x＋x 2－x ln a (a ＞0，a ≠1)．（1）当a ＞1时，求证：函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；（2）若函数y ＝|f (x )－t |－1有三个零点，求t 的值；（3）若存在x 1，x 2∈[－1，1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥e－1，试求a 的取值范围．20．（本题满分16分）设等差数列}{n a 的公差0≠d ，数列}{n b 为等比数列，若a b a ==11，33b a =，57b a = （1）求数列}{n b 的公比q ；（2）若*,,N m n b a m n ∈=，求n 与m 之间的关系；（3）将数列}{n a ，}{n b 中的公共项按由小到大的顺序排列组成一个新的数列}{n c ，是否存在正整数r q p ,,)(r q p <<使得r q p ,,和r c q c p c r q p +++,,均成等差数列？说明理由。

江苏省南京市四校2012届高三12月月考试题(数学)

综上可知，不存在满足题意的三项ar，as，at．……………………………………………16分
20．解：（1）．……………………………3分
由于，故当时，，所以，
故函数在上单调递增．…………………………………………………………5分
（2）当时，因为，且在R上单调递增，
故有唯一解．…………………………………………………………………7分
从而sinB＋cosB＝，即sin(B＋)＝．……………………………………………14分
（解法2）由余弦定理可得b2＋c2－a2＝2bccosA，即b2＋c2－a2＝bc①．……………8分
又因为b＋c＝a②，
联立①②，消去a得2b2－5bc＋2c2＝0，即b＝2c或c＝2b．……………………………10分
（1）若n＝15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是，设表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量的概率分布及数学期望；
（2）当n取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少？
参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1．x∈R，x2－x＋1≤02．[－1，4]
（解法2）令，x≥0，
则，令，解得x＝8．…………………………………………9分
当x∈(0，8)，，y递增；当x∈(8，＋∞)，，y递减．…………………11分
所以当x＝8时，y有最大值，即当n＝8时，f(n)有最大值f(8)＝520．…………………13分
所以第8年工厂的纯利润最高，最来自为520万元．………………………………………14分
21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．请在答题纸指定的区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

南京市四校2012届高三12月月考英语试题及答案

江苏省南京市四校2012届高三12月月考试题英语试题第一部分：听力（共两节，满分20分）第一节（共5小题，每小题1分，满分5分）请听下面5段对话，每段对话后有一个小题，从题中所给的A，B，C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1．Where will the woman go?A．To the hospital．B．To the airport．C．To school．2．What is the man mostly likely to be?A．A waiter．B．A manager．C．A housekeeper．3．Where does the man plan to travel?A．To America．B．To Britain．C．To Brazil．4．When are Stephanie and Lee getting married?A．In June．B．In July．C．In August．5．What can we learn from the conversation?A．The driver can manage it because he is good at driving．B．The driver can do that because the hotel is not far away．C．The driver can manage it because there is not much traffic on the way．第二节（共15小题；每小题1分，满分15分）听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A，B，C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷相应位置。

听每段对话或独白前，你将有时间阅读每个小题，每小题5秒钟；听完后，个个小题将给出5秒钟的作答时间。

江苏省南通市2012届四校联考高考数学试题

江苏省南通市2012届四校联考数学试题考试时间：120分钟满分：160分一、解答题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1、已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x <－1或x >4}，那么集合A ∩(∁U B )等于。

2、已知函数f (x )＝11－x 2的定义域为M ，g (x )＝log 2(1－x )(x ≤－1)的值域为N ，则∁R M ∩N 等于。

3、设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|－2，|x |≤111＋x 2，|x |>1，则f (f (12))等于。

4、已知函数f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)，若实数a ，b 满足f (a )＋f (b －1)＝0，则a ＋b 等于。

5、已知54cos ),,0(-=∈απα，则)4sin(πα-= 。

6、若函数f (x )＝3cos(ωx ＋θ)对任意的x 都有f (π6＋x )＝f (π6－x )，则f (π6)等于________7、化简)15cos(3)45cos()75sin(000+-+++φφφ的值为。

8、将函数y ＝f ′(x )sin x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝1－2sin 2x 的图象，则f (x )是。

9、若函数f (x )＝log a (x 3－ax )(a >0，a ≠1)在区间(－12，0)上单调递增，则a 的取值范围是。

10、若π()sin 4n f n α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()(4)(2)(6)f n f n f n f n ++++=··11、若π4是函数f (x )＝sin2x ＋a cos 2x (a ∈R ，为常数)的零点，则f (x )的最小正周期是________12、设函数f (x )＝⎩⎨⎧2x，－2≤x <0g (x )－log 5(x ＋5＋x 2)，0<x ≤2，若f (x )为奇函数，则当0<x ≤2时，g (x )的最大值是________．13、已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，若sin A －3cos A ＝0，sin 2B －sin B cos B －2cos 2B ＝0，则角C 的大小为________14、设非空集合A ＝{x |2a ＋1≤x ≤3a －5}，B ＝{x |y ＝(3－x )(x －22)}，则A ⊆(A ∩B )的一个充分不必要条件是________二、解答题（15,16每题14分，17,18每题15分，19,20每题20分）15、已知命题p ：指数函数f (x )＝(2a －6)x 在R 上单调递减，命题q ：关于x 的方程x 2－3ax ＋2a 2＋1＝0的两个实根均大于3.若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．16、已知函数x x x x f 2cos 35cos sin 5)(-=（其中)R x ∈，求： ①函数)(x f 的最小正周期； ②函数)(x f 的单调递减区间； ③函数)(x f 图像的对称轴。

江苏省南京市四校2012届高三化学12月月考试题

江苏省南京市四校2012届高三12月月考试题化学试题本试卷分选择题和非选择题两部分，共120分。

考试时间100分钟。

注意事项：答题前，考生务必将自己的姓名、班级、学号写在答题纸的密封线内。

选择题答案要求填涂在答题卡．．．上对应题目的答案空格内。

．．．上，非选择题的答案写在答题纸可能用到的相对原子质量：H-1 O-16 Al-27 Cl-35.5 K-39 Ca- 40 Fe-56 I-127 选择题单项选择题：本题包括10小题，每小题2分，共计20分。

每小题只有一个．．．．选项符合题意。

1．2011年是国际化学年，中国的宣传口号是“化学——我们的生活，我们的未来”。

下列有关叙述不正确的是（）A．在家用燃煤中加入适量的生石灰能有效减少二氧化硫的排放量B．利用太阳能、潮汐能、风力发电，以获取清洁能源C．大量排放SO2或CO2都会导致酸雨的形成D．采用纳米二氧化钛光触媒技术，将汽车尾气中的NO和CO转化为无害气体2．化学科学需要借助化学专业语言来描述，下列有关化学用语正确的是（）A．甲烷分子的球棍模型：B．NH4I的电子式：Cl C．F的结构示意图：D．中子数为20的氯原子：37173．下列物质中，既能与盐酸反应又能与NaOH溶液反应的是（）①NaHCO3 ②Al2O3 ③Al(OH)3④(NH4)2CO3 ⑤NaHSO4A．①②③ B．②③⑤ C．②③ D．①②③④4．常温下，下列各组离子在指定溶液中能大量共存的是（）A．加入KSCN溶液显红色的溶液：K+、NH4+、Cl－、NO3－B．常温下，c(H+)/c(OH－)＝1010的溶液中：Na+、NH4+、ClO－、I－C．滴入酚酞试液显红色的溶液：Mg2+、Al3+、Br－、SO42－D．能溶解Al2O3的溶液：Na＋、Ca2＋、HCO3－、NO3－5．短周期元素X、Y、Z在元素周期表中的位置如右下图所示，下列说法正确的是A．X、Y、Z三种元素中，X的非金属性最强B．常压下X的单质的熔点比Z的低C．Y的最高正化合价为+7D．Y的氢化物的稳定性比Z的弱6．能正确表示下列反应的离子方程式为（）A．用铁棒作阴极、炭棒作阳极电解饱和氯化钠溶液：B．NH4HCO3溶于过量的NaOH溶液中：HCO3-+OH-＝CO32- +H2O C．将1mol/L NaAlO2溶液和1.5mol/L的HCl溶液等体积互相均匀混合：3AlO2－+ 6H＋＝ 2 Al(OH)3↓+ Al3＋D．NaClO溶液与FeCl2溶液混合：Fe2+ + 2ClO－+ 2H2O ＝ Fe(OH)2↓ + 2HClO 7．下列装置或操作能达到实验目的的是（）8．设N A为阿伏加德罗常数的值，下列叙述正确的是（）A．常温常压下， 2.8g N2与C2H4的混合气体所含电子数为1.4 N AB．标准状况下，1.12 L NO与1.12O2的混合物中含有的原子数为0.2N AC．25℃时，pH＝13的 Ba(OH)2溶液中含有的OH－数目为0.1 N A海水粗盐母液Mg(OH)2MgCl 2 6H 2O 无水MgCl 2NaBrBr 2SO 2水溶液吸收Br 2精盐氯碱工业①②③④⑤．NaHCO 3△Na 2CO 3H 2O 、NH 3CO 2D ．常温下，1 L 0.1 mol·L －1的NH 4NO 3溶液中氧原子数为0.3 N A9．海洋中有丰富的食品、矿产、能源、药物和水产资源，下图为海水利用的部分过程。

江苏省南京市四校2022届高三数学12月月考试题

P江苏省南京市四校2022届高三12月月考试题数学试题注意事项： 1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．参考公式：1．样本数据1，2，…，n 的方差2＝错误!错误!＝in n ＝1，－错误!co A ，且m ⊥n ．（1）求角A ；（2）若b ＋c ＝错误!a ，求in B ＋错误!的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥O —ABCD AD DPB DCP∠=∠1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦π)4ρθ=+41,531,5x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩1C 1C nn n n f 100)1810)(10100()(-+-+=1)10(801000)(++-=n n n f 1)10(801000)(++-=n n n f )191(800001+++-=n n 52092800001=⨯-≤1+n 19+=n 1)10(801000++-=x x y 1)1()8(40++-='x x x y 0='y 0>'y 0<'y 4m 3a 21=b 313==b b q 132-⋅=k n k b 132-⋅=k 13-=k tr s a a a ⋅=2)22)(22()22(2++=+t r s tr s s rt --=-22)(202≠-s rt 222s rt t r s ---=22s rt t r s ---02=-s rt 02=--t r s ()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=+-=+-(0,)x ∈+∞ln 0,10x a a >->()0f x '>(0,)+∞0,1a a >≠(0)0f '=()f x '()0f x '=,(),()x f x f x '|()|1y f x t =--()1f x t =±11t t +>-min 1(())(0)1t f x f -===12,[1,1]x x ∈-12|()()|1f x f x e -≥-[1,1]x ∈-max min max min |(())(())|(())(())1f x f x f x f x e -=-≥-[1,0]-[1,1]x ∈-{}min max (())(0)1,(())max (1),(1)f x f f x f f ===-11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a a a --=+--++=--1()2ln (0)g t t t t t=-->22121()1(1)0g t t t t '=+-=-≥1()2ln g t t t t =--(0,)t ∈+∞(1)0g =()0g t >01t <<()0g t <(1)(1)f f >-01a <<(1)(1)f f <-(1)(0)1ln 1f f e a a e a e -≥-⇒-≥-⇒≥01a <<11(1)(0)1ln 10f f e a e a a e--≥-⇒+≥-⇒<≤[)10,,a e e ⎛⎤∈+∞ ⎥⎝⎦2DA DB DC=⋅PD DB DC PD=BDP PDC∠=∠BDP∆PDC∆DPB DCP∠=∠11100022020102⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦x y sin =(),x y ''10202x x y y ⎡⎤'⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦1,22,x x y y ⎧'=⎪⎨⎪'=⎩2,1,2x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩x y sin =1sin 22y x ''=2sin 2y x ''=x y sin =xy 2sin 2=),cos sin 4πρθρθθ=+=-可化为220,x y x y +-+=22111()()222x y -++=41,531,5x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩（3410x y ++=11341122510d ⨯-⨯+==75L ==1C 因为AC ＝2，∠ABC ＝90º，所以AB ＝BC ＝错误!，从而B 0，0，0，A)00，，C ()00，B 10，0，3，A 1)03，，C1()03，D 3⎫⎪⎭，E 302⎛⎫ ⎪⎝⎭，．所以()123CA =，，设AF ＝，则F 错误!，0，，()()1122220302CF x BF x B D ⎛⎫=-=-= ⎪⎭，，，，，，，12(00CF B D x ⋅=⋅=，所以1.CF B D ⊥要使CF ⊥平面B 1DF ，只需CF ⊥B 1F由1CF B F ⋅＝2＋（－3）＝0，得＝1或＝2，故当AF ＝1或2时，CF ⊥平面B 1DF ．…………………………………………………… 5分（2）由（1）知平面ABC 的法向量为n 1=（0，0，1）．设平面B 1CF 的法向量为(,,)x y z =n ，则由100CF B F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n得020z z +=-=，，令=1得)1=n ，所以平面B 1CF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值1cos 〈〉==，n n 10分 23．解：（1）设袋中黑球的个数为个，记“从袋中任意摸出一个球，得到黑球”为事件A ，则2()155x P A ==，∴＝6．设袋中白球的个数为个，记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件B ，则2152154()17yC P B C -=-=，∴2－29＋120＝0， ∴＝5或＝24（舍）∴红球的个数为4个． …………………………………………………………………3分 ∴随机变量的取值为0，1，2，的分布列是数学期望11442560122110535105E ξ=⨯+⨯+⨯=＝158．………………………………………………6分（2）设袋中有黑球个，则2(5,10,15,5z n n==…）．设“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球”为事件C，则23521661 ()125251nnCP CC n=-=+⨯-，当n＝5时，最大，最大值为710．……………………………………………………10分。

江苏省苏南四校2012-2013学年高三数学上学期12月月考试卷(含解析)苏教版

2012-2013学年江苏省苏南四校高三（上）12月月考数学试卷一、填空题1．（5分）已知集合A={sin90°，cos180°}，B={x|x2+x=0}，则A∩B={﹣1} ．考点：交集及其运算．分析：首先化简集合A和B，然后根据交集的定义得出结果．解答：解：∵集合A={sin90°，cos180°}={1，﹣1} B={x|x2+x=0}={0，﹣1}∴A∩B={﹣1}故答案为：{﹣1}．点评：此题考查了交集的定义，正确化简集合A和B是解题的关键，属于基础题．2．（5分）不等式ax2+bx+c＞0的解集是（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞），则a：b：c= 1：3：2 ．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：利用一元二次不等式的解集与相应的方程的实数根之间的关系即可得出．解答：解：∵不等式ax2+bx+c＞0的解集是（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞），∴a＞0，且﹣2，﹣1是方程ax2+bx+c=0的解，∴，解得b=3a，c=2a＞0，∴a：b：c=1：3：2．故答案为1：3：2．点评：熟练掌握一元二次不等式的解集与相应的方程的实数根之间的关系是解题的关键．3．（5分）设复数z=（a2﹣a）+2ai（a∈R）为纯虚数，则a= 1 ．考点：复数的基本概念．专题：计算题．分给出的复数z=（a2﹣a）+2ai（a∈R）为纯虚数，则该复数的实部等于0且虚部不等析：于0，然后列式计算a的值．解答：解：由复数z=（a2﹣a）+2ai（a∈R）为纯虚数，则，解得：a=1．故答案为1．点评：本题考查了复数的基本概念，复数为纯虚数的充要条件是实部等于0且虚部不等于0，此题是基础题．4．（5分）函数y=的定义域为（] ．考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：求已知函数的定义域，则需要根式内部的对数式大于等于0，然后运用对数函数的单调性去掉对数符号求解关于x的一次不等式即可，要注意保证对数式的真数大于0．解答：解：要使原函数有意义，则，即，因为函数为减函数，所以，0＜3x﹣1≤1，所以，．所以，原函数的定义域为．故答案为．点评：本题考查了函数的定义域及其求法，考查了对数不等式的解法，解答此题的关键是熟练对数函数的单调性，解答此题时学生易忽略真数大于0而导致解题出错，此题是基础题．5．（5分）（2011•江苏模拟）已知α、β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．分析：直线和平面垂直，平面和平面垂直的判定，二者的关系搞清楚，解答：解：由平面与平面垂直的判定定理知，m为平面α内的一条直线，如果m⊥β，则α⊥β；反过来m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”可能有m∥β，m∩β=p，可能有m⊥β三种情况．所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．故答案为：必要不充分点评：考查定理的理解，分析问题时：考虑要全面，有时可以借助实物，动手动脑，简化问题．6．（5分）200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速在[50，60]的汽车大约有60 辆．考点：频率分布直方图．专题：图表型．分析：由已知中的频率分布直方图为200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图，我们可得到样本容量，再由图中分析出时速在[50，60]的频率，即可得到该组数据的频数，进而得到答案．解答：解：由已知可得样本容量为200，又∵数据落在区间的频率为0.03×10=0.3∴时速在[50，60]的汽车大约有200×0.3=60故答案为60点评：本题考查的知识点是频率分布直方图，其中根据已知中的频率分布直方图结合频率=矩形高×组距计算各组的频率是解答此类问题的关键．7．（5分）已知某算法的流程图如图所示，则输出的结果是 5 ．考点：程序框图．专题：图表型．分析：框图首先给变量a和b赋值，然后执行用a+b替换c，用b替换a，用c替换b，再判断b＜5是否成立，成立则继续进入循环，不成立则输出c的值．解答：解：框图首先给变量a、b赋值，a=1，b=2；然后用a+b=1+2=3替换c，用2替换a，用3替换b，判断3＜5成立；执行用a+b=2+3=5替换c，用3替换a，用5替换b，判断5＜5不成立；则算法结束，输出c的值为5．故答案为5．点评：本题考查了程序框图，考查了循环结构，虽然框图先执行了一次循环体，实则是当型循环，原因是判断框中的条件满足时执行循环体，不满足时跳出循环，此题是基础题．8．（5分）设S n是等比数列{a n}的前n项的和，若a3+2a6=0，则的值是．考点：等比数列的通项公式；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知利用等比数列的通项公式可求q3，然后利用等比数列的求和公式化简===1+q3，代入即可求解解答：解：∵a3+2a6=0，∴=即q3=﹣∴===1+q3=1﹣故答案为：点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题9．（5分）函数f（x）=sinx+cosx的图象向左平移m（m＞0）个单位后，与y=cosx﹣sinx 的图象重合，则实数m的最小值为．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；两角和与差的正弦函数．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：化简两个函数的表达式为正弦函数的形式，按照平移的方法平移，即可得到m的最小值．解答：解：函数f（x）=sinx+cosx=sin（x+），y=cosx﹣sinx=sin（x+），所以函数至少向左平移个单位，即m的最小值为：．故答案为：，点评：本题考查两角和的正弦函数以及三角函数图象的平移，考查计算能力．10．（5分）一个质地均匀的正四面体（侧棱长与底面边长相等的正三棱锥）骰子四个面上分别标有1，2，3，4这四个数字，抛掷这颗正四面体骰子，观察抛掷后能看到的数字．若连续抛掷两次，两次朝下面上的数字之积大于6的概率是．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：计算题．分析：本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是抛掷这颗正四面体骰子两次，共有4×4种结果，满足条件的事件是两次朝下面上的数字之积大于6，可以列举出这种事件，共有6种结果，根据古典概型概率公式得到结果．解答：解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是抛掷这颗正四面体骰子两次，共有4×4=16种结果，满足条件的事件是两次朝下面上的数字之积大于6，可以列举出这种事件，（2，4）（3，3）（3，4）（4，3）（4，2）（4，4）共有6种结果，根据古典概型概率公式得到P==，故答案为：点评：本题主要考查古典概型，解决古典概型问题时最有效的工具是列举，大纲中要求能通过列举解决古典概型问题，也有一些题目需要借助于排列组合来计数．11．（5分）（2011•淮南一模）我们把在平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系xOy中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A（﹣3，4），且其法向量为的直线方程为1x（x+3）+（﹣2）×（y﹣4）=0，化简得x﹣2y+11=0．类比上述方法，在空间坐标系O﹣xyz中，经过点A（1，2，3），且其法向量为的平面方程为x+2y﹣z﹣2=0 ．考点：归纳推理．分析：类比求曲线方程的方法，我们可以用坐标法，求空间坐标系中平面的方程．任取平面内一点P（x，y，z），则根据，即，将A点坐标及的坐标代入易得平面的方程．解答：解：根据法向量的定义，若为平面α的法向量则⊥α，任取平面α内一点P（x，y，z），则∵PA=（1﹣x，2﹣y，3﹣z），∴（x﹣1）+2（y﹣2）+（3﹣z）=0即：x+2y﹣z﹣2=0故答案为：x+2y﹣z﹣2=0点评：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．由于平面向量与空间向量的运算性质相似，故我们可以利用求平面曲线方程的办法，构造向量，利用向量的性质解决空间内平面方程的求解．12．（5分）数列{a n}的通项a n=n2（cos2﹣sin2），其前n项和为S n，则S30为470 ．考点：数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用二倍角公式对已知化简可得，a n=n2（cos2﹣sin2）=n2cos，然后代入到求和公式中可得，+32cos2π+…+302cos20π，求出特殊角的三角函数值之后，利用平方差公式分组求和即可求解解答：解：∵a n=n2（cos2﹣sin2）=n2cos∴+32cos2π+…+302cos20π=+…=[1+22﹣2×32）+（42+52﹣62×2）+…+（282+292﹣302×2）]=[（12﹣33）+（42﹣62）+…+（282﹣302）+（22﹣32）+（52﹣62）+…+（292﹣302）] =[﹣2（4+10+16…+58）﹣（5+11+17+…+59）]=[﹣2×]=470故答案为：470点评：本题主要考查了二倍角的余弦公式、分组求和方法的应用，解题的关键是平方差公式的应用13．（5分）设正实数x，y，z满足x+2y+z=1，则的最小值为7 ．考点：平均值不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：把式子中的1换成已知条件（x+y）+（y+z）=1，化简后再利用基本不等式即可．解答：解：∵正实数x，y，z满足x+2y+z=1，∴==1+=7，当且仅当，x+y+y+z=1，即，时，取等号．∴则的最小值为7．故答案为7．点评：适当变形应用基本不等式是解题的关键．14．（5分）对任意x∈R，函数f（x）的导数存在，若f′（x）＞f（x）且a＞0则e a•f（0）与f（a）的大小关系为：e a•f（0）＜f（a）（用≤，≥，＜，＞之一填空）．考点：导数的几何意义；不等关系与不等式．专题：函数的性质及应用．分析：由f′（x）＞f（x）可得f'（x）﹣f（x）＞0，而由e﹣x[f′（x）﹣f（x）]＞0可判断函数e﹣x f（x）是单调递增函数，结合a＞0可求．解答：解：∵f′（x）＞f（x），∴f′（x）﹣f（x）＞0，又∵e﹣x＞0，∴e﹣x[f′（x）﹣f（x）]＞0∴e﹣x f′（x）﹣e﹣x f（x）＞0而[e﹣x f（x）]′=（e﹣x）′f（x）+e﹣x f′（x）=﹣e﹣x f（x）+e﹣x f′（x）＞0 ∴函数F（x）=e﹣x f（x）是单调递增函数，又∵a＞0所以F（a）＞F（0），即e﹣a f（a）＞e﹣0f（0）=f（0）变形可得：e a f（0）＜f（a），故答案为：＜点评：本题考查导数的基本运算及利用导数判断函数的单调性，观察和利用e﹣x f（x）的导函数的形式是解决问题的关键，属基础题．二、解答题15．（14分）已知向量．（1）当时，求的值；（2）设函数f（x）=（）•，求f（x）的单调增区间；（3）已知在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，c=2asin（A+B），对于（2）中的函数f（x），求f（B+）的取值范围．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：综合题；平面向量及应用．分析：（1）利用向量共线的条件，可得3sinx=﹣cosx，代入，即可得到结论；（2）利用向量数量积公式化简函数，结合正弦函数的单调增区间，可得f（x）的单调增区间；（3）求出A的值，确定B的范围，化简函数，可得函数的值域．解答：解：（1）∵向量，∴3sinx=﹣cosx，∴=﹣；（2）函数f（x）=（）•=（sinx+cosx，2）•（sinx，﹣1）=sin2x+sinxcosx ﹣2=+sin2x﹣2=sin（）﹣由≤≤，可得≤x≤∴f（x）的单调增区间为[，]（k∈Z）；（3）∵c=2asin（A+B），∴sinC=2sinAsinC，∴sinA=∵A∈（0，π），∴A=∵△ABC为锐角三角形，∴f（B+）=sin[2（B+）﹣]﹣=sin2B﹣∵，∴∴0＜sin2B≤1∴﹣＜f（B+）≤﹣．点评：本题考查向量知识的运用，考查三角函数的化简，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16．（14分）已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若对于区间[﹣2，2]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤c，求实数c的最小值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）由题意可得，解得即可．（2）利用导数求出此区间上的极大值和极小值，再求出区间端点出的函数值，进而求出该区间的最大值和最小值，则对于区间[﹣2，2]上任意两个自变量的值x1，x2，都对于区间[﹣2，2]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|f（x）max﹣f（x）min|≤c，求出即可．解答：解：（1）∵函数f（x）=ax3+bx2﹣3x（a，b∈R），∴f′（x）=3ax2+2bx﹣3．∵函数f（x）=ax3+bx2﹣3x（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0，∴切点为（1，﹣2）．∴，即，解得．∴f（x）=x3﹣3x．（2）令f′（x）=0，解得x=±1，列表如下：由表格可知：当x=﹣1时，函数f（x）取得极大值，且f（﹣1）=2；当x=1时，函数f（x）取得极小值，且f（1）=﹣2．又f（﹣2）═﹣2，f（2）=2．∴f（x）=x3﹣3x在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值分别为2，﹣2．∴对于区间[﹣2，2]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|f（x）max﹣f（x）min|=|2﹣（﹣2）|=4≤c．即c得最小值为4．点评：熟练掌握利用导数求切线的斜率和函数的单调区间及极值是解题的关键．17．（14分）（2008•杨浦区二模）建造一条防洪堤，其断面为等腰梯形，腰与底边成角为60°（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其断面面积为平方米，为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省，则断面的外周长（梯形的上底线段BC与两腰长的和）要最小．（1）求外周长的最小值，此时防洪堤高h为多少米？（2）如防洪堤的高限制在的范围内，外周长最小为多少米？考点：函数模型的选择与应用．专题：综合题；转化思想．分析：（1）利用梯形的面积公式将梯形的上底、下底用h表示；将梯形周长用h表示；利用基本不等式求出周长的最小值．（2）利用函数单调性的定义判断出函数的单调性；利用函数的单调性求出周长的最小值．解答：解：（1），AD=BC+2×hcot60°=BC+，，解得．设外周长为l，则=；当，即时等号成立．外周长的最小值为米，此时堤高h为米．（2），设，则=，l是h的增函数，∴（米）．（当h=3时取得最小值）．点评：将实际问题转化为函数模型、利用基本不等式求函数的最值注意需满足：一正、二定、三相等；利用函数单调性的定义判断函数的单调性、利用函数的单调性求函数的最值．18．（16分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足下列条件：①当x∈R时，f（x）的最小值为0，且f（x﹣1）=f（﹣x﹣1）恒成立；②当x∈（0，5）时，x≤f（x）≤2|x﹣1|+1恒成立．（I）求f（1）的值；（Ⅱ）求f（x）的解析式；（Ⅲ）求最大的实数m（m＞1），使得存在实数t，只要当x∈[1，m]时，就有f（x+t）≤x 成立．考点：函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法；二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由当x∈（0，5）时，都有x≤f（x）≤2|x﹣1|+1恒成立可得f（1）=1；（2）由f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x）可得二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）的对称轴为x=﹣1，于是b=2a，再由f（x）min=f（﹣1）=0，可得c=a，从而可求得函数f （x）的解析式；（3）可由f（1+t）≤1，求得：﹣4≤t≤0，再利用平移的知识求得最大的实数m．解答：解：（1）∵x∈（0，5）时，都有x≤f（x）≤2|x﹣1|+1恒成立，∴1≤f（1）≤2|1﹣1|+1=1，∴f（1）=1；（2）∵f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x），∴f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）的对称轴为x=﹣1，∴﹣=﹣1，b=2a．∵当x∈R时，函数的最小值为0，∴a＞0，f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）的对称轴为x=﹣1，∴f（x）min=f（﹣1）=0，∴a=c．∴f（x）=ax2+2ax+a．又f（1）=1，∴a=c=，b=．∴f（x）=x2+x+=（x+1）2．（3）∵当x∈[1，m]时，就有f（x+t）≤x成立，∴f（1+t）≤1，即（1+t+1）2≤1，解得：﹣4≤t≤0．而y=f（x+t）=f[x﹣（﹣t）]是函数y=f（x）向右平移（﹣t）个单位得到的，显然，f（x）向右平移的越多，直线y=x与二次曲线y=f（x+t）的右交点的横坐标越大，∴当t=﹣4，﹣t=4时直线y=x与二次曲线y=f（x+t）的右交点的横坐标最大．∴（m+1﹣4）2≤m，∴1≤m≤9，∴m max=9．点评：本题考查二次函数的性质，难点在于（3）中m的确定，着重考查二次函数的性质与函数图象的平移，属于难题．19．（16分）（2010•盐城一模）已知⊙O：x2+y2=1和点M（4，2）．（Ⅰ）过点M向⊙O引切线l，求直线l的方程；（Ⅱ）求以点M为圆心，且被直线y=2x﹣1截得的弦长为4的⊙M的方程；（Ⅲ）设P为（Ⅱ）中⊙M上任一点，过点P向⊙O引切线，切点为Q．试探究：平面内是否存在一定点R，使得为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆的位置关系．专题：综合题．分析：（Ⅰ）找出圆的圆心坐标和半径，设切线方程的斜率为k，由M的坐标和k写出切线l的方程，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d让d等于半径r得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，写出直线l的方程即可；（Ⅱ）根据点到直线的距离公式求出M到已知直线的距离d，然后利用勾股定理即可求出圆M的半径，根据圆心和半径写出圆的标准方程即可；（Ⅲ）假设存在这样的R点，设出R的坐标，并设出P的坐标，根据圆的切线垂直于过切点的半径得到三角形OPQ为直角三角形，根据勾股定理表示出PQ的长，然后利用两点间的距离公式表示出PR的长，设PQ与PR之比等于λ，把PQ和PR的式子代入后两边平方化简得到一个关系式记作（*），又因为P在⊙M上，所以把P的坐标当然到⊙M的方程中，化简后代入到（*）中，根据多项式对应项的系数相等即可求出R 的坐标和λ的值．解答：解：（Ⅰ）由⊙O：x2+y2=1得到圆心O（0，0）半径r=1，设切线l方程为y﹣2=k（x﹣4），易得，解得，∴切线l方程为；（Ⅱ）圆心M到直线y=2x﹣1的距离d==，设圆的半径为r，则，∴⊙M的方程为（x﹣4）2+（y﹣2）2=9；（Ⅲ）假设存在这样的点R（a，b），点P的坐标为（x，y），相应的定值为λ，根据题意可得，∴，即x2+y2﹣1=λ2（x2+y2﹣2ax﹣2by+a2+b2）（*），又点P在圆上∴（x﹣4）2+（y﹣2）2=9，即x2+y2=8x+4y﹣11，代入（*）式得：8x+4y﹣12=λ2[（8﹣2a）x+（4﹣2b）y+（a2+b2﹣11）]，若系数对应相等，则等式恒成立，∴，解得，∴可以找到这样的定点R，使得为定值．如点R的坐标为（2，1）时，比值为；点R的坐标为时，比值为．点评：此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用两点间的距离公式及点到直线的距离公式化简求值，会根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程，是一道综合题．20．（16分）设数列{a n}满足：a n（n∈N*）是整数，且a n+1﹣a n是关于x的方程x2+（a n+1﹣2）x﹣2a n+1=0的根．（1）若a1=4且n≥2时，4≤a n≤8求数列{a n}的前100项和S100；（2）若a1=﹣8，a6=1且a n＜a n+1（n∈N*）求数列{a n}的通项公式．考点：数列递推式．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）利用a n+1﹣a n是关于x的方程x2+（a n+1﹣2）x﹣2a n+1=0的根，可得a n+1=a n+2，或a n+1=a n，结合a1=4且n≥2时，4≤a n≤8，即可得到结论；（2）根据条件，确定数列{a n}的前6项是﹣8，﹣6，﹣4，﹣2，﹣1，1，且n＞4时，a n+1=a n+2，从而可得数列{a n}的通项公式．解答：解：（1）∵a n+1﹣a n是关于x的方程x2+（a n+1﹣2）x﹣2a n+1=0的根∴（a n+1﹣a n）2+（a n+1﹣2）（a n+1﹣a n）﹣2a n+1=0∴（a n+1﹣a n﹣2）（2a n+1﹣a n）=0∴a n+1=a n+2，或a n+1=a n，∵a1=4且n≥2时，4≤a n≤8，∴数列{a n}为：4，6，8，4，6，8，…，∴数列{a n}的前100项和S100=33（4+6+8）+4=598；（2）若a1=﹣8且a n＜a n+1（n∈N*）∵a n+1=a n+2，或a n+1=a n，∴数列{a n}的前6项是：﹣8，﹣6，﹣4，﹣2，0，2或﹣8，﹣6，﹣4，﹣2，﹣1，1或：﹣8，﹣6，﹣3，﹣1，1，3或﹣8，﹣6，﹣2，0，2，4或﹣8，﹣6，﹣2，﹣1，1，3∵a6=1，∴数列{a n}的前6项是﹣8，﹣6，﹣4，﹣2，﹣1，1，且n＞4时，a n+1=a n+2，∴数列{a n}的通项公式是；点评：本题考查数列的通项与求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

江苏省南京市江宁高中高三数学上学期12月迎市统测试卷(含解析)

2012-2013学年江苏省南京市江宁高中高三（上）12月迎市统测数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．（5分）已知，其中n∈R，i是虚数单位，则n= 1 ．考点：复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：化简原式可得2=1+n+（n﹣1）i，由复数相等可得，解之即可．解答：解：∵，∴2=（1﹣i）（1+ni），化简可得2=1+n+（n﹣1）i，由复数相等可得，解得n=1，故答案为：1点评：本题考查复数相等的充要条件，属基础题．2．（5分）命题p：∀x∈R，2x2+1＞0的否定是∃x0∈R，．．考点：命题的否定．专题：证明题．分析：根据全称命题“∀x∈M，p（x）”的否定￢p为“∃x0∈M，￢p（x）”．即可求出．解答：解：根据全称命题的否定是特称命题，∴命题p：∀x∈R，2x2+1＞0的否定是“∃x0∈R，”．故答案为“∃x0∈R，”．点评：掌握全称命题的否定是特称命题是解题的关键．3．（5分）用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中奇数共有36 个．（用数字作答）考点：排列、组合及简单计数问题．专题：概率与统计．分析：如果一个数为奇数，且只能取1，2，3，4，5这五个数字，则个位数只能取1，3，5，进而根据分步原理，可得答案．解答：解：用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中奇数必满足：个位数只能取1，3，5中一个，百位数和十位数没有限制故共有3×4×3=36个故答案为：36点评：本题考查的知识点是排列组合及简单计数问题，其中分析解决问题需要多少步骤，每个步骤分别有几种情况是解答的关键．4．（5分）若根据5名儿童的年龄x（岁）和体重y（kg）的数据，用最小二乘法得到用年龄预报体重的线性回归方程是，已知这5名儿童的年龄分别是3，4，5，6，7，则这5名儿童的平均体重是17 kg．考点：回归分析的初步应用．专题：计算题；概率与统计．分析：根据所给的5名儿童的年龄做出平均年龄，这是样本中心点的横标，把横标代入线性回归方程求出纵标，就是要求的平均体重．解答：解：∵5名儿童的年龄分别是3，4，5，6，7，∴这5名儿童的平均年龄是=5，∵用年龄预报体重的回归方程是，∴这5名儿童的平均体重是y=2×5+7=17（kg）．故答案为：17．点评：本题考查线性回归方程的应用，本题解题的关键是知道样本中心点满足线性回归直线的方程，代入求解即可．5．（5分）定义=x（x+1）（x+2）…（x+n﹣1），其中x∈R，n∈N*，例如=（﹣4）（﹣3）（﹣2）（﹣1）=24，则函数f（x）=的奇偶性为奇函数．考点：函数奇偶性的判断．专题：计算题．分析：由于f（x）==（x﹣1004）（x﹣1003）…（x﹣1）•x•（x+1）…（x+1004），可判断f（﹣x）=﹣f（x），从而可得答案．解答：解：∵f（x）==（x﹣1004）（x﹣1003）…（x﹣1）•x•（x+1）…（x+1004），∴f（﹣x）=（﹣x﹣1004）（﹣x﹣1003）…（﹣x﹣1）•（﹣x）•（﹣x+1）…（﹣x+1004）=（﹣1）2009•（x+1004）（x+1003）…（x+1）•x•（x﹣1）…（x﹣1004=﹣f（x），∴f（x）为奇函数．故答案为：奇函数．点评：本题考查函数奇偶性的判断，分析得到f（x）=（x﹣1004）（x﹣1003）…（x﹣1）•x•（x+1）…（x+1004）是判断的关键，考查分析与转化的能力，属于中档题．6．（5分）曲线y=﹣x2+6x，则过坐标原点且与此曲线相切的直线方程为y=6x ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：由y=﹣x2+6x，知y′=﹣2x+6，由曲线y=﹣x2+6x过坐标原点，能求出过坐标原点且与此曲线相切的直线方程．解答：解：∵y=﹣x2+6x，∴y′=﹣2x+6，∵曲线y=﹣x2+6x过坐标原点，∴k=y′|x=0=6，∴过坐标原点且与此曲线相切的直线方程为y=6x．故答案为：y=6x．点评：本题考查曲线的切线方程的求法，是基础题．解题时要认真审题，注意导数的几何意义的合理运用．7．（5分）已知复数z=x+yi，且，则的最大值．考点：复数求模．专题：计算题；数形结合．分析：由题意求出x，y的关系，利用的几何意义点与原点连线的斜率，求出它的最大值．解答：解：，即（x﹣2）2+y2=3就是以（2，0）为圆心以为半径的圆，的几何意义点与原点连线的斜率，易得的最大值是：故答案为：．点评：本题考查复数的基本概念，复数求模，简单线性规划，考查计算能力，是中档题．8．（5分）用反证法证明命题：“如果a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为a，b都不能被5整除．考点：反证法．专题：阅读型．分析：反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时，可以证明其否定不成立，由此得出此命题是成立的．解答：解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”．故答案为：a，b都不能被5整除．点评：反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧．9．（5分）给出下面类比推理命题（其中R为实数集，C为复数集）：①“若a，b∈R，则a﹣b=0⇒a=b”类比推出“若a，b∈C，则a﹣b=0⇒a=b”；②“若a，b∈R，则ab=0⇒a=0或b=0”类比推出“若a，b∈C，则ab=0⇒a=0或b=0”；③“若a，b∈R，则a﹣b＞0⇒a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a﹣b＞0⇒a＞b”；④“若a，b∈R，则a2+b2≥0”类比推出“若a，b∈C，则a2+b2≥0”．所有命题中类比结论正确的序号是①②．考点：类比推理．专题：规律型．分析：在数集的扩展过程中，有些性质是可以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，也可直接举一个反例，要想得到本题的正确答案，可对4个结论逐一进行分析，不难解答．解答：解：①在复数集C中，若两个复数满足a﹣b=0，则它们的实部和虚部均相等，则a，b相等．故①正确；②在复数集C中，若两个复数满足ab=0，则它们的中必有一个为零．故②正确；③若a，b∈C，当a=1+i，b=i时，a﹣b=1＞0，但a，b 是两个虚数，不能比较大小．故③错误④若a，b∈C，当a=i，b=i时，a2+b2=﹣2＜0，不能得出a2+b2≥0，故④错．故所有命题中类比结论正确的序号是①②．故答案为：①②．点评：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．但类比推理的结论不一定正确，还需要经过证明．10．（5分）对于R上的可导函数f（x），若满足（x﹣2）f′（x）≥0，则f（0）+f（3）与2f（2）的大小关系为不小于．（填“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”）考点：函数的单调性与导数的关系．专题：导数的概念及应用．分析：借助导数知识，根据（x﹣2）f'（x）≥0，判断函数的单调性，再利用单调性，比较函数值的大小即可．解答：解：∵对于R上可导的任意函数f（x），满足（x﹣2）f'（x）≥0∴有或，即当x∈[2，+∞）时，f（x）为增函数，当x∈（﹣∞，2]时，f（x）为减函数，∴f（0）≥f（2），f（3）≥f（2）∴f（0）+f（3）≥2f（2）故答案为：不小于．点评：本题考查了利用导数判断抽象函数单调性，以及利用函数的单调性比较函数值的大小．11．（5分）从装有n+1个球（其中n个白球，1个黑球）的口袋中取出m个球（0＜m≤n，m，n∈N），共有C n+1m种取法．在这C n+1m种取法中，可以分成两类：一类是取出的m个球全部为白球，共有C10•C n m+C11•C n m﹣1=C10•C n+1m，即有等式：C n m+C n m﹣1=C n+1m成立．试根据上述思想化简下列式子：C n m+C k1•C n m﹣1+C k2•C n m﹣2+…+C k k•C n m﹣k= C n+k m．（1≤k＜m≤n，k，m，m∈N）．考点：归纳推理．专题：压轴题；规律型．分析：从装有n+1个球（其中n个白球，1个黑球）的口袋中取出m个球（0＜m≤n，m，n∈N），共有C n+1m种取法．在这C n+1m种取法中，可以分成两类：一类是取出的m个球全部为白球，另一类是，取出1个黑球，m﹣1个白球，则C n m+C n m﹣1=C n+1m根据上述思想，在式子：C n m+C k1•C n m﹣1+C k2•C n m﹣2+…+C k k•C n m﹣k中，从第一项到最后一项分别表示：从装有n个白球，k个黑球的袋子里，取出m个球的所有情况取法总数的和，故答案应为：从从装有n+k 球中取出m个球的不同取法数，根据排列组合公式，易得答案．解答：解：在C n m+C k1•C n m﹣1+C k2•C n m﹣2+…+C k k•C n m﹣k中，从第一项到最后一项分别表示：从装有n个白球，k个黑球的袋子里，取出m个球的所有情况取法总数的和，故答案应为：从从装有n+k球中取出m个球的不同取法数C n+k m故选C n+k m点评：这个题结合考查了推理和排列组合，处理本题的关键是熟练掌握排列组合公式，明白每一项所表示的含义，再结合已知条件进行分析，最后给出正确的答案．12．（5分）已知x∈（0，1]，，则f（x）的值域是[0，2）．考点：微积分基本定理；函数的值域．专题：导数的综合应用．分析：利用微积分基本定理先求出函数f（x）的解析式，再利用一次函数的单调性即可求出其值域．解答：解：∵==2﹣2x，即f（x）=﹣2x+2．∵x∈（0，1]，∴f（1）≤f（x）＜f（0），即0≤f（x）＜2．∴函数f（x）的值域是[0，2）．故答案为[0，2）．点评：熟练微积分基本定理和一次函数的单调性是解题的关键．13．（5分）某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用的时间的数据如下表：阅读时间（小时）0 0.5 1 1.5 2人数 5 20 10 10 5由此可以估计该校学生在这一天平均每人的课外的阅读时间为0.9 小时．考点：众数、中位数、平均数．专题：计算题；图表型．分析：根据通过样本去估计总体的统计思想：可用这50名学生平均课外阅读时间，估计该校学生平均课外阅读时间．结合已知中的数据，我们可以根据不同阅读时间段的大小及相应的学生人数，求出学生总人数和阅读总时间，代入平均数公式，即可得到答案．解答：解：50名学生总的阅读时间为：0.5×20+1×10+1.5×10+2×5=45小时故校学生在这一天平均每人的课外的阅读时间约为45÷50=0.9（小时）．故答案为：0.9点评：本题考查了平均数的定义和从图表中获取信息的能力．同时考查了用样本估计总体的统计思想的运用．14．（5分）下列四个命题：①“a＞b”是“2a＞2b”成立的充要条件；②“a=b”是“lga=lgb”成立的充分不必要条件；③函数f（x）=ax2+bx（x∈R）为奇函数的充要条件是“a=0”④定义在R上的函数y=f（x）是偶函数的必要条件是．其中真命题的序号是①③．（把真命题的序号都填上）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数y=2x是R上的增函数可得①正确．通过举反例可得②不正确．根据奇函数的定义可得③正确．由偶函数的定义不能推出，但由能推出函数y=f（x）是偶函数，可得④不正确．解答：解：由于函数y=2x是R上的增函数，故由“a＞b”能推出“2a＞2b”，而且由“2a＞2b”成立能推出“a＞b”成立，故①“a＞b”是“2a＞2b”成立的充要条件，故①正确．由②“a=b”成立不能推出“lga=lgb”成立，如a=b=﹣1时，“lga=lgb”不成立．但由“lga=lgb”成立，能推出“a=b”成立，故“a=b”是“lga=lgb”成立的充分不必要条件，故②不正确．函数f（x）=ax2+bx（x∈R）为奇函数，等价于f（﹣x）=﹣f（x），即 ax2 ﹣bx=﹣（ax2+bx），等价于 a=0，故函数f（x）=ax2+bx（x∈R）为奇函数的充要条件是“a=0”，故③正确．由函数y=f（x）是偶函数可得 f（﹣x）=f（x），但不能推出成立，（如f（x）=0时）．但由可得 f（﹣x）=f（x），即函数y=f（x）是偶函数，故定义在R上的函数y=f（x）是偶函数的充分条件是，故④不正确．点评：本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，函数的奇偶性可单调性，属于基础题．二、解答题（共5小题，满分70分）15．（14分）试求使不等式对一切正整数n都成立的最小自然数t的值，并用数学归纳法加以证明．数学归纳法．考点：专综合题；点列、递归数列与数学归纳法．题：分设，确定函数的单调性，求出最小值，即可得到最小自然数t的值，在析：解解：设答：∵=∴f（n）递增，∴f（n）最小为∵f（n）＞5﹣2t对一切正整数n都成立，∴，∴自然数t≥2∴自然数t的最小值为2 …（7分）下面用数学归纳法证明（1）当n=1时，左边=，∴n=1时成立（2）假设当n=k时成立，即那么当n=k+1时，左边==∴n=k+1时也成立根据（1）（2）可知成立 …（14分）注：第（1）小题也可归纳猜想得出自然数t 的最小值为2点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 16．（14分）已知等腰梯形PDCB 中（如图1），PB=3，DC=1，PB=BC=，A为PB 边上一点，且PA=1，将△PAD 沿AD 折起，使面PAD⊥面ABCD （如图2）（I ）证明：平面PAD⊥PCD；（II ）试在棱PB 上确定一点M ，使截面AMC 把几何体分成的两部分V PDCMA ：V MACB =2：1；（III ）在M 满足（Ⅱ）的情况下，判断直线AM 是否平行面PCD ．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题．分析：（I ）由已知中CD⊥AD 及面PAD⊥面ABCD ，我们根据面面垂直的性质定理得到CD⊥平面PAD ，再由面面垂直的判定定理得到平面PAD⊥PCD；（II ）根据（I ）的结论，平面PAB⊥平面ABCD ，在PB 上取一点M ，作MN⊥AB，则MN⊥平面ABCD ，利用体积公式，分别计算V PDCMA ，V MACB ，再根据V PDCMA ：V MACB =2：1，即可求出满足条件的M 为PB 的中点；（III ）以A 为原点，AD 、AB 、AP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如如图所示的空间直角坐标系，求出相关顶点的坐标，进而求出直线AM 的方向向量及平面PCD 的法向量，判定两个向量是否垂直，即可判断直线AM 是否平行面PCD ．解解：（I ）证明：依题意知：CD⊥AD．又∵面PAD⊥面ABCD∴DC⊥平面PAD ．（2分）答： ∴平面PAD⊥PCD；（II ）由（I ）知PA⊥平面ABCD ∴平面PAB⊥平面ABCD ．（4分）在PB 上取一点M ，作MN⊥AB，则MN⊥平面ABCD ，设MN=h 则（6分）要使即M 为PB 的中点；（III ）以A 为原点，AD 、AB 、AP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如如图所示的空间直角坐标系则A （0，0，0），B （0，2，0）， C （1，1，0），D （1，0，0）， P （0，0，1），M （0，1，）由（I ）知平面PAD⊥平面PCD ，作AQ⊥PD，则的法向量．（10分）又∵△PAD 为等腰Rt△∴因为所以AM 与平面PCD 不平行．（13分）点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，熟练掌握空间直线、平面间平行与垂直的判定定理、性质定理、定义及几何特征是解答此类问题的关键．17．（14分）已知二次函数f （x ）=ax 2+bx+c ，（a ，b ，c ∈R ）满足：对任意实数x ，都有f （x ）≥x，且当x ∈（1，3）时，有成立．（1）证明：f （2）=2；（2）若f （﹣2）=0，f （x ）的表达式；（3）设，x ∈[0，+∞），若g （x ）图上的点都位于直线的上方，求实数m 的取值范围．考点：函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法．专题：综合题；转化思想；数形结合法．分析：（1）由已知f（2）≥2恒成立，又由成立得（2）≤，由此两种情况可得f（2）=2．（2）f（﹣2）=0，由（1）证明知f（2）=2，f（x）的表达式中有三个未知数，由两函数值只能得出两个方程，再对任意实数x，都有f（x）≥x，这一恒成立的关系得到一0，由此可以得到a=，将此三方程联立可解出三个参数的值，求出f（x）的表达式；（3）方法一：由题f（x）图象（在y轴右侧）总在直线上方即可，也就是直线的斜率小于直线与抛物线相切时的斜率位置，由于f（x）图象与y轴交点在直线与y轴交点上方，在与y轴相交点处的切线斜率为，故在直线与二次函数相切的切点处一定有切线的斜率大于直线的斜率，且＞，将两个方程联立，用判别式为0求m的最大值．方法二：必须恒成立，即x2+4（1﹣m）x+2＞0在x∈[0，+∞）恒成立．转化为二次函数图象与x轴在x∈[0，+∞）无交点的问题，由于g（x）的单调性不确定，故本题要分两种情况讨论，一种是对称轴在y轴右侧，此时需要判别式小于0，一类是判别式大于0，对称轴小于0，且x=0处的函数值大于等于0，转化出相应的不等式求解．解答：解：（1）由条件知f（2）=4a+2b+c≥2恒成立又∵取x=2时，与恒成立，∴f（2）=2．（2）∵∴4a+c=2b=1，∴b=，c=1﹣4a又f（x）≥x恒成立，即ax2+（b﹣1）x+c≥0恒成立．∴，整理得0故可以解出：，∴．（3）解法1：由分析条件知道，只要f（x）图象（在y轴右侧）总在直线上方即可，也就是直线的斜率小于直线与抛物线相切时的斜率位置，于是：∴．解法2：必须恒成立，即x2+4（1﹣m）x+2＞0在x∈[0，+∞）恒成立．①△＜0，即[4（1﹣m）]2﹣8＜0，解得：；②解出：．又时，经验证不合题意总之，．点评：本题是二次函数的一道综合题，考查到了分类讨论的思想，对分析转化的推理能力要求较高．18．（14分）（2010•攀枝花二模）已知定义在R上的函数f（x）=x2（ax﹣3），其中a为常数．（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（2）若函数f（x）在区间（﹣1，0）上是增函数，求a的取值范围；（3）若函数g（x）=f（x）+f′（x），x∈[0，2]，在x=0处取得最大值，求正数a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题．分析：（1）由x=1是函数f（x）的一个极值点则知f'（1）=0，代入导函数即可；（2）要求函数f（x）在区间（﹣1，0）上是增函数，则要求导函数f'（x）在区间（﹣1，0）大于等于零即可，另外要注意对a的讨论；（3）要求函数g（x）=f（x）+f'（x），x∈[0，2]，在x=0处取得最大值，即求函数g（x）的极值并将之与函数端点值g（0），g（2）进行比较大小，得出在函数g（x）[0，2]上的最大值只能为g（0）或g（2），再根据条件在x=0处取得最大值，得到g（0）≥g（2）即可解答：解：（1）∵f（x）=ax3﹣3x2∴f'（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2）．∵x=1是f（x）的一个极值点，∴f'（1）=0，∴a=2（2）①当a=0时，f（x）=﹣3x2在区间（﹣1，0）上是增函数，∴a=0符合题意；②当a≠0时，f'（x）=3ax，令f'（x）=0得：x1=0，x2=当a＞0时，对任意x∈（﹣1，0），f'（x）＞0，∴a＞0 （符合题意）当a＜0时，当时，f'（x）＞0，∴，∴﹣2≤a＜0（符合题意）综上所述，a≥﹣2．（3）a＞0，g（x）=ax3+（3a﹣3）x2﹣6x，x∈[0，2]．g'（x）=3ax2+2（3a﹣3）x﹣6=3[ax2+2（a﹣1）x﹣2]，令g'（x）=0，即ax2+2（a﹣1）x﹣2=0（*），显然有△=4a2+4＞0．设方程（*）的两个根为x1，x2，由（*）式得，不妨设x1＜0＜x2．当0＜x2＜2时，g（x2）为极小值所以g（x）在[0，2]上的最大值只能为g（0）或g（2）当x2≥2时，由于g（x）在[0，2]上是单调递减函数所以最大值为g（0），所以在[0，2]上的最大值只能为g（0）或g（2）又已知g（x）在x=0处取得最大值所以g（0）≥g（2）即0≥20a﹣24，解得a≤，又因为a＞0，所以．故答案为：（1）a=2；（2）a≥﹣2；（3）点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，关键在于比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b）的大小，从而得到函数的最值，另外还有分类讨论的思想，属于基础题．19．（14分）（2008•杨浦区二模）（理）在平面直角坐标系xoy中，若在曲线C1的方程F（x，y）=0中，以（λx，λy）（λ为正实数）代替（x，y）得到曲线C2的方程F（λx，λy）=0，则称曲线C1、C2关于原点“伸缩”，变换（x，y）→（λx，λy）称为“伸缩变换”，λ称为伸缩比．（1）已知曲线C1的方程为，伸缩比λ=2，求C1关于原点“伸缩变换”后所得曲线C2的方程；（2）射线l的方程，如果椭圆C1：经“伸缩变换”后得到椭圆C2，若射线l与椭圆C1、C2分别交于两点A、B，且，求椭圆C2的方程；（3）对抛物线C 1：y 2=2p 1x ，作变换（x ，y ）→（λ1x ，λ1y ），得抛物线C 2：y 2=2p 2x ；对C 2作变换（x ，y ）→（λ2x ，λ2y ）得抛物线C 3：y 2=2p 3x ，如此进行下去，对抛物线C n ：y 2=2p n x 作变换（x ，y ）→（λn x ，λn y ），得抛物线C n+1：y 2=2p n+1x ，…．若，求数列{p n }的通项公式p n ．考点：数列与解析几何的综合；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；抛物线的简单性质；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质．专题：新定义．分析：（1）由“伸缩变换”的伸缩比得，从而即得曲线C 2的方程；（2）根据C 2、C 1关于原点“伸缩变换”，对C 1作变换（x ，y ）→（λx，λy）（λ＞0），得到C 2分别解方程组得点A ，B 两点的坐标，最后利用两点的距离公式得到关于λ的方程求出λ的值，即可写出椭圆C 2的方程；（3）先对C n ：y 2=2p n x 作变换（x ，y ）→（λn x ，λn y ）得抛物线C n+1：（λn y ）2=2p n λn x ，结合y 2=2p n+1x 得到：，从而求得数列{p n }的通项公式p n ．解答：解（1）由条件得，得C 2：；（4分）（2）∵C 2、C 1关于原点“伸缩变换”，对C 1作变换（x ，y ）→（λx，λy）（λ＞0），得到C 2，（5分）解方程组得点A 的坐标为；（7分）解方程组得点B 的坐标为；（8分）==，化简后得3λ2﹣8λ+4=0，解得，因此椭圆C 2的方程为或．（12分）（漏写一个方程扣2分）（3）（理）对C n ：y 2=2p n x 作变换（x ，y ）→（λn x ，λn y ）得抛物线C n+1：（λn y ）2=2p n λn x ，得，又∵y 2=2p n+1x ，∴，即，（14分）=2•22•23•…•2n ﹣1，则，（16分）（或解：）p 1=1， ∴．（18分）点评：本小题主要考查圆锥曲线的标准方程、圆锥曲线简单性质、数列与解析几何的综合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．。

江苏省南京市数学高三上学期理数12月联考试卷

江苏省南京市数学高三上学期理数12月联考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·石家庄模拟) 已知为虚数单位，，其中，则（）A .B .C . 2D . 42. （2分） (2019高一上·宿州期中) 集合，，则（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高三上·广东月考) 设，则p是q成立的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分）把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形，则第七个三角形数是（）A . 21B . 28C . 32D . 365. （2分）设，函数的导函数为，且是奇函数，则a=（）A . -2B . 1C . 2D . -16. （2分） (2017高一下·宜昌期中) 已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若a1=﹣3，S5=S10 ，则当Sn取到最小值时n的值为（）A . 5B . 7C . 8D . 7或87. （2分） (2016高二下·衡水期中) 执行如图所示的程序框图，如果输入x=3，则输出k的值为（）A . 6B . 8C . 10D . 128. （2分）函数的图象大致是（）A .B .C .D .9. （2分）若长方体的一个顶点上三条棱长分别是1、2、2，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A . 6πB . 9πC . 3πD . 12π10. （2分） (2019高二上·会宁期中) 若，则的最小值为（）A .B .C .D .11. （2分）(2013·陕西理) 设z1 ， z2是复数，则下列命题中的假命题是（）A . 若|z1﹣z2|=0，则 =B . 若z1= ，则 =z2C . 若|z1|=|z2|，则z1• =z2•D . 若|z1|=|z2|，则z12=z2212. （2分） (2018高一下·栖霞期末) 若向量满足，，，则的最小值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）计算： ________．14. （1分）(2012·江苏理) 设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1]上，f（x）=其中a，b∈R．若 = ，则a+3b的值为________．15. （1分）已知长方体的长、宽、高分别为3，4，5，则体对角线长度为________．16. （1分）函数y=3﹣cos x的最大值为________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分）(2012·广东) 设数列{an}的前n项和为Sn ，满足2Sn=an+1﹣2n+1+1，n∈N* ，且a1 ， a2+5，a3成等差数列．（1）求a1的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．18. （10分） (2018高三上·大连期末) 如图，在底面是菱形的四棱锥中,平面，，点分别为的中点，设直线与平面交于点 .（1）已知平面平面，求证： .（2）求直线与平面所成角的正弦值.19. （10分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．20. （10分）设，其中p、n∈N+ ．（1）当p=2时，试比较an与bn的大小；（2）当p=n时，求证：an≥bn对∀n∈N+恒成立．21. （10分）(2017·黄陵模拟) 如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1 ，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．22. （10分） (2017高二下·高淳期末) 设函数f（x）=lnx﹣ax，a∈R．（1）当x=1时，函数f（x）取得极值，求a的值；（2）当0＜a＜时，求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值；（3）当a=﹣1时，关于x的方程2mf（x）=x2（m＞0）有唯一实数解，求实数m的值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、22-1、22-2、22-3、。

江苏省南京市四区县2012-2013学年高三数学上学期联考试卷苏教版

2012-2013学年江苏省南京市四区县高三（上）联考数学试卷一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．1．（5分）（2013•镇江一模）已知集合M={1，2，3，4，5}，N={2，4，6，8，10}，则M∩N= {2，4} ．考点：交集及其运算．分析：两个集合都是用列举法表示的，根据交集的定义，M∩N的元素是集合M，N的相同元素．解答：解：∵集合M={1，2，3，4，5}，N={2，4，6，8，10} 根据交集的定义得：M∩N={2，4}故答案是{2，4}点评：本题主要考查交集的定义．2．（5分）若（1﹣2i）i=a+bi（a，b∈R，i为虚数单位），则ab= 2 ．考点：复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：把等式左边展开后运用复数相等的概念得到a、b的值．解答：解：由（1﹣2i）i=a+bi，得：2+i=a+bi，所以a=2，b=1，所以ab=2．故答案为2．点评：本题考查了复数相等的充要条件，两个复数相等，当且仅当它们的实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题．3．（5分）函数f（x）=的定义域为（﹣∞，1] ．考点：对数函数的定义域．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的结构列出限制条件，求解不等式组得到定义域．解答：解：由题意知，解得：x≤1，所以函数的定义域为（﹣∞，1]，故答案为（﹣∞，1]．点评：本题考察函数定义域的求解，属基础题．其中有对数不等式的求解，注意应先将实数化为同底的对数，再利用对数函数的单调性求解．4．（5分）（2009•安徽）程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是127 ．考点：设计程序框图解决实际问题．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算a值，并输出满足条件a＞100的第一个a值，模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中变量a的值的变化情况进行分析，不难给出答案．解答：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：a 是否继续循环循环前 1/第一圈 3 是第二圈 7 是第三圈 15 是第四圈 31 是第五圈 63 是第六圈 127 否故最后输出的a值为：127故答案为：127点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．5．（5分）（2008•江苏）若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：计算题．分析：分别求出基本事件数，“点数和为4”的种数，再根据概率公式解答即可．解答：解析：基本事件共6×6个，点数和为4的有（1，3）、（2，2）、（3，1）共3个，故．故填：．点评：本小题考查古典概型及其概率计算公式，考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．6．（5分）（2013•大连一模）在△A BC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，则cosC的值为．考点：正弦定理；余弦定理．专题：计算题．分析：由正弦定理可得，可设其三边分别为2k，3k，4k，再由余弦定理求得cosC的值．解答：解：在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，由正弦定理可得，可设其三边分别为2k，3k，4k，由余弦定理可得 16k2=4k2+9k2﹣12k2cosC，解方程可得cosC=，故答案为：．点评：本题考查正弦定理、余弦定理的应用，设出其三边分别为2k，3k，4k，是解题的关键．7．（5分）（2013•镇江一模）在等比数列{a n}中，S n为其前n项和，已知a5=2S4+3，a6=2S5+3，则此数列的公比q为 3 ．考点：等比数列的前n项和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分分q=1，及q≠1，两种情况，结合等比数列的通项公式及求和公式分别表示已知，解析：方程可求q解答：解：∵a5=2S4+3，a6=2S5+3，若q=1，则，不符合题意若q≠1∴两式相减整理可得，∴q=3故答案为：3点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用，解题的关键是根据已知方程进行求解公比q的技巧8．（5分）已知向量=（5，﹣3），=（9，﹣6﹣cosα），α是第二象限角，∥（2﹣），则tanα=﹣．考点：平面向量数量积的运算；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析：由题意可得向量的坐标，进而由向量平行的条件可得cosα=，结合a是第二象限角可得sinα，由三角函数关系可得答案．解答：解：由题意可得：=2（5，﹣3）﹣（9，﹣6﹣cosα）=（1，cosα），∵∥（2﹣），∴5cosα﹣（﹣3）×1=0，解得cosα=，又因为α是第二象限角，∴sinα==，故tanα==，故答案为：点本题为三角函数与向量的综合应用，涉及向量平行的充要条件，属基础题．评：9．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题：①若m⊂β，α⊥β，则m⊥α；②若m∥α，m⊥β，则α⊥β；③若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ；④若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥β．上面命题中，真命题的序号是②．（写出所有真命题的序号）．考点：平面与平面之间的位置关系．专题：证明题．分析：①根据空间中线面的位置关系可得：m⊥α或者m∥α或者m⊂α；②根据面面垂直的判定定理可知α⊥β；③根据空间中平面与平面的位置关系可得：β⊥γ或者β与γ相交或者β∥γ；④根据三棱柱的三个侧面可得α与β相交，根据四棱柱的四个侧面可得α∥β．解答：解：①若m⊂β，α⊥β，则根据空间中线面的位置关系可得：m⊥α或者m∥α或者m⊂α，所以①错误；②若m∥α，m⊥β，则根据面面垂直的判定定理可知α⊥β，所以②正确；③若α⊥β，α⊥γ，则根据空间中平面与平面的位置关系可得：β⊥γ或者β与γ相交或者β∥γ，所以③错误；④若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则可以根据三棱柱的三个侧面可得α与β相交，根据四棱柱的四个侧面可得α∥β，所以④错误．故答案为：②．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握有关的定理与空间中点、线、面得位置关系，考查学生分析问题解决问题的能力与空间想象能力、逻辑推理能力，此题属于基础题．10．（5分）函数y=cos2x﹣sin2x+2sinx•cosx，x的最大值为．考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：利用两角和的正弦公式二倍角公式化简函数的解析式为sin（2x+），由x，可得 2x+的范围，从而得到sin（2x+）的范围，由此求得函数的最大值．解答：解：∵函数y=cos2x﹣sin2x+2sinx•cosx=cos2x+sin2x=sin（2x+），x，∴2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[﹣1，]，故函数的最大值为，故答案为．点评：本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．11．（5分）设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且2+=．则椭圆C的离心率为．考点：椭圆的简单性质；平行向量与共线向量．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：依题意可求得直线AQ的方程，从而求得Q点的坐标，利用向量的坐标运算由2+=可求得a，c之间的关系式，从而可求得椭圆C的离心率．解答：解：∵A（0，b），F1（﹣c，0），F2（c，0），∴直线AF2的斜率为：k=﹣，∵AQ⊥AF2，∴k AQ=．∴直线AQ的方程为：y﹣b=（x﹣0）=x，令y=0得：x=﹣．∴Q点的坐标为（﹣，0）．∵2+=，∴2（2c，0）+（﹣﹣c，0）=（0，0），∴﹣=﹣3c，∴3c2=b2=a2﹣c2，∴=，∴e==．故答案为：．点评：本题考查椭圆的简单性质，考查向量的坐标运算，求得Q点的坐标是关键，属于中档题．12．（5分）过圆x2+y2=1上一点P作圆的切线与x轴和y轴分别交于A，B两点，O是坐标原点，则|+2|的最小值是 3 ．考点：基本不等式；平面向量数量积的运算；直线与圆的位置关系．专题：计算题；平面向量及应用．分析：设∠OBP=α，由O＜α＜，∠OAP=﹣α，知|+2|=|（，）|然后利用向量的模以及基本不等式求出表达式的最小值即可．解答：解：设∠OAP=α，∵O＜α＜，∠OBP=﹣α，，，∴|+2|=|（，）|=====3，当且仅当tan2时，表达式取得最小值．故答案为：3．点评：本题考查直线和圆的方程的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地运用均值不等式进行解题．13．（5分）（2012•江苏二模）已知△ABC的三边长a，b，c成等差数列，且a2+b2+c2=84，则实数b的取值范围是．考点：等差数列的性质．专等差数列与等比数列．题：分析：设a=b﹣d，c=b+d，代入已知等式化简可得3b2+2d2=84，由此求得b的最大值为2．再由a+b＞c 可得b＞2d，结合已知的等式得3b2+2＞84，解得 b＞2，再把这两个b的范围取交集求得数b的取值范围．解答：解：设公差为d，则有 a=b﹣d，c=b+d，代入a2+b2+c2=84化简可得3b2+2d2=84．故当d=0时，b有最大值为2．由于三角形任意两边之和大于第三边，故较小的两边之和大于最大边，即 a+b＞c，可得b＞2d．∴3b2+2＞84，解得 b＞2，故实数b的取值范围是，故答案为．点评：本题主要考查等差数列的定义和性质的应用，解不等式，属于中档题．14．（5分）设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+t∈D，且f（x+t）≥f（x），则称f（x）为M上的t高调函数．如果定义域为R的函数f （x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣a2|﹣a2，且f（x）为R上的4高调函数，那么实数a的取值范围是﹣1≤a≤1．考点：函数单调性的性质．专题：压轴题；数形结合．分析：根据分段函数的意义，对f（x）的解析式分段讨论，可得其分段的解析式，结合其奇偶性，可得其函数的图象；进而根据题意中高调函数的定义，可得若f（x）为R上的4高调函数，则对任意x，有f（x+4）≥f（x），结合图象分析可得4≥4a2；解可得答案．解答：解：根据题意，当x≥0时，f（x）=|x﹣a2|﹣a2，则当x≥a2时，f（x）=x﹣2a2，0≤x≤a2时，f（x）=﹣x，由奇函数对称性，有则当x≤﹣a2时，f（x）=x+2a2，﹣a2≤x≤0时，f（x）=﹣x，图象如图：易得其图象与x轴交点为M（﹣2a2，0），N（2a2，0）因此f（x）在[﹣a2，a2]是减函数，其余区间是增函数．f（x）为R上的4高调函数，则对任意x，有f（x+4）≥f（x），故当﹣2a2≤x≤0时，f（x）≥0，为保证f（x+4）≥f（x），必有f（x+4）≥0；即x+4≥2a2；有﹣2a2≤x≤0且x+4≥2a2可得4≥4a2；解可得：﹣1≤a≤1；故答案为﹣1≤a≤1．点评：考查学生的阅读能力，很应用知识分析解决问题的能力，考查数形结合的能力，用图解决问题的能力，属中档题．二．解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2010•徐州模拟）在三角形ABC中，已知，设∠CAB=α，（1）求角α的值；（2）若，其中，求cosβ的值．考点：平面向量数量积的运算；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的余弦函数．专题：计算题．分析：（1）根据向量之间的关系，把向量的数量积用公式表示出来，两边比较，得到角的余弦值，根据角的范围，确定角的值．（2）根据角α和角β﹣α的函数值和角的范围，把要求的角变化为两个已知角的关系，解题过程中需要的角的三角函数值，结合角的范围求出，本题的关键是角的变换．解答：解：（1）∵，∴∴，∵0＜α＜π为三角形ABC的内角，∴，（2）由（1）知：，且，∴，故cosβ=cos（β﹣α+α）=cos（β﹣α）cosα﹣sin（β﹣α）sinα=．点评：本题表面上是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模，用数量积列出式子，但是这步工作做完以后，题目的重心转移到角的变换问题．注意解题过程中角的范围．16．（14分）（2012•枣庄一模）如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题．分析：（Ⅰ）取CE中点P，连接FP、BP，欲证AF∥平面BCE，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AF与平面平面BCE内一直线平行，而AF∥BP，AF⊂平面BCE，BP⊂平面BCE，满足定理条件；（Ⅱ）欲证平面BCE⊥平面CDE，根据面面垂直的判定定理可知在平面BCE内一直线与平面CDE垂直，而根据题意可得BP⊥平面CDE，BP⊂平面BCE，满足定理条件．解答：证明：（Ⅰ）取CE中点P，连接FP、BP，∵F为CD的中点，∴FP∥DE，且FP=．又AB∥DE，且AB=．∴AB∥FP，且AB=FP，∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP．（4分）又∵AF⊄平面BCE，BP⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE（6分）（Ⅱ）∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD ∵AB⊥平面ACD，DE∥AB∴DE⊥平面ACD又AF⊂平面ACD∴DE⊥AF又AF⊥CD，CD∩DE=D∴AF⊥平面CDE（10分）又BP∥AF∴BP⊥平面CDE又∵BP⊂平面BCE∴平面BCE⊥平面CDE（12分）点评：本小题主要考查空间中的线面关系，考查线面平行、面面垂直的判定，考查运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题．17．（14分）某建筑公司要在一块宽大的矩形地面（如图所示）上进行开发建设，阴影部分为一公共设施建设不能开发，且要求用栏栅隔开（栏栅要求在一直线上），公共设施边界为曲线f（x）=1﹣ax2（a＞0）的一部分，栏栅与矩形区域的边界交于点M、N，交曲线于点P，设P（t，f（t））．（1）将△OMN（O为坐标原点）的面积S表示成t的函数S（t）；（2）若在t=处，S（t）取得最小值，求此时a的值及S（t）的最小值．考点：定积分；函数的值域．专题：计算题．分析：（1）求f（x）的导函数，设出P的坐标，确定过点P的切线方程，进而可得M，N 的坐标，表示出三角形的面积；（2）把t=代入S（t），利用导数研究S（t）的最值问题，即可确定△OMN（O为坐标原点）的面积的最小值；解答：解：（1）∵曲线f（x）=1﹣ax2（a＞0）可得f′（x）=﹣2ax，P（t，f（t））．直线MN的斜率为：k=f′（t）=﹣2at，可得L MN：y﹣f（t）=k（x﹣t）=﹣2at（x﹣t），令y=0，可得x M=t+，可得M（t+，0）；令x=0，可得y M=1+at2，可得N（0，1+at2），∴S（t）=S△OMN=×（1+at2）×=；（2）t=时，S（t）取得最小值，S′（t）==，∴S′（）=0，可得12a2×﹣4a=0，可得a=，此时可得S（t）的最小值为S（）===；点评：本题考查导数知识的运用，解题的关键是确定切线方程，求出三角形的面积，利用导数法求最值，属于中档题．18．（16分）如图：已知A，B是圆x2+y2=4与x轴的交点，P为直线l：x=4上的动点，PA，PB与圆x2+y2=4的另一个交点分别为M，N．（1）若P点坐标为（4，6），求直线MN的方程；（2）求证：直线MN过定点．考点：恒过定点的直线．专题：直线与圆．分析：（1）直线PA方程为y=x+2，由解得M（0，2），直线PB的方程 y=3x﹣6，由解得 N（，﹣），用两点式求得MN的方程．（2）设P（4，t），则直线PA的方程为 y=（x+2），直线PB的方程为 y=（x﹣2），解方程组求得M、N的坐标，从而得到MN的方程为y= x﹣，显然过定点（1，0）．解答：解：（1）直线PA方程为y=x+2，由解得M（0，2），…（2分）直线PB的方程 y=3x﹣6，由解得 N（，﹣），…（4分）用两点式求得MN的方程，并化简可得 y=﹣2x+2．…（6分）（2）设P（4，t），则直线PA的方程为 y=（x+2），直线PB的方程为 y=（x﹣2）．由得 M（，），同理 N（，）．…（10分）直线MN的斜率 k==…（12分）直线MN的方程为 y=（x﹣）﹣，化简得：y= x﹣．…（14分）所以直线MN过定点（1，0）．…（16分）点评：本题主要考查直线过定点问题，求直线的方程，求两条直线的交点坐标，属于中档题．19．（16分）（2012•河北模拟）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）若函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，求t的值；（Ⅲ）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，试求a的取值范围．考函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．点：专题：计算题；压轴题．分析：（Ⅰ）证明a＞1时函数的导数大于0．（Ⅱ）先判断函数f（x）的极小值，再由y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，所以方程f（x）=t±1有三个根，根据t﹣1应是f（x）的极小值，解出t．（Ⅲ）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f（﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna （3分）由于a＞1，故当x∈（0，+∞）时，lna＞0，a x﹣1＞0，所以f′（x）＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增（5分）（Ⅱ）当a＞0，a≠1时，因为f′（0）=0，且f′（x）在R上单调递增，故f′（x）=0有唯一解x=0（7分）所以x，f′（x），f（x）的变化情况如下表所示：又函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，所以方程f（x）=t±1有三个根，而t+1＞t﹣1，所以t﹣1=（f（x））min=f（0）=1，解得t=2；（11分）（Ⅲ）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min|=（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，（12分）由（Ⅱ）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，而，记，因为（当t=1时取等号），所以在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）（14分）①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1⇒a﹣lna≥e﹣1⇒a≥e，②当0＜a＜1时，由，综上知，所求a的取值范围为．（16分）点评：本题考查函数的零点，用导数判断函数单调性，利用导数研究函数极值．20．（16分）设等差数列{a n}的公差d≠0，数列{b n}为等比数列，若a1=b1=a，a3=b3，a7=b5（1）求数列{b n}的公比q；（2）若a n=b m，n，m∈N*，求n与m之间的关系；（3）将数列{a n}，{b n}中的公共项按由小到大的顺序排列组成一个新的数列{c n}，是否存在正整数p，q，r（p＜q＜r）使得p，q，r和c p+p，c q+q，c r+r均成等差数列？说明理由．考点：等差数列与等比数列的综合；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等差数列的性质．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）依题意，通过解方程组即可求得数列{b n}的公比q；（2）由a n=b n可求得d=，代入整理有n+1=（±1）m﹣1•，可分析（±1）m﹣1＞0，从而可得n与m之间的关系；（3）设a n=b n，令m=2k﹣1（k∈N*），可求得b m=a•2k﹣1，令c n=2n﹣1a，若存在正整数p、q、r（p＜q＜r）满足题意，由基本不等式可得出矛盾，从而可得结论．解答：解：（1）设{b n}的公比为q，由题意即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）q=1不合题意，故=，解得q2=2，∴q=±﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）由a n=b n得：a+（n﹣1）d=aq n﹣1，又2d=aq2﹣a=a，∴d=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∴1+=即n+1=（±1）m﹣1•﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∵n+1∈N*，∴（±1）m﹣1＞0，∴m为奇数，且n=﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（3）若{a n}与{b n}有公共项，不妨设a n=b n，由（2）知：m为奇数，且n=﹣1，令m=2k﹣1（k∈N*），则b m=a•=a•2k﹣1，∴c n=2n﹣1a﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）若存在正整数p、q、r（p＜q＜r）满足题意，则∴2q=2p﹣1+2r﹣1，又2p﹣1+2r﹣1≥2=（当且仅当p=r时取“=”）又∵p≠r，∴2p﹣1+2r﹣1＞﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）又y=2x在R上增，∴q＞．与题设q=矛盾，∴不存在p、q、r满足题意．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（16分）点评：本题考查等差数列的通项公式与等比数列的通项公式的综合应用，考查方程思想与化归思想的综合运用，突出抽象思维与逻辑推理能力的考查，属于难题．三、选做题21．（40分）在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分，请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4﹣1：（几何证明选讲）如图，从O外一点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，AB与OP交于点M，设CD为过点M且不过圆心O的一条弦，求证：O，C，P，D四点共圆．B．选修4﹣2：（矩阵与变换）已知二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量e1=[]，并且矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）变换成（9，15），求矩阵M．C．选修4﹣4：（坐标系与参数方程）在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为p=2sin（），以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），求直线l被曲线C所截得的弦长．D．选修4﹣5（不等式选讲）已知实数x，y，z满足x+y+z=2，求2x2+3y2+z2的最小值．考点：与圆有关的比例线段；简单的等周问题；简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：计算题；不等式的解法及应用；直线与圆；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：A．因为PA，PB为圆O的两条切线，所以OP垂直平分弦AB，在Rt△OAP中，OM•MP=AM2，圆O中，AM•BM=CM•DM，由此能够证明O，C，P，D四点共圆．B．设M=，则=3=，=，由此能求出M．C．将ρ=2sin（），分别化为普通方程：x2+y2+2x﹣2y=0，3x+4y+1=0，由此能求出弦长．D．由柯西不等式知：（x+y+z）2≤[（）2+（）2+z2]•[（）2+（）2+12]，故，由此能求出2x2+3y2+z2的最小值．解答：A．选修4﹣1：（几何证明选讲）证明：因为PA，PB为圆O的两条切线，所以OP垂直平分弦AB，在Rt△OAP中，OM•MP=AM2，…（4分）在圆O中，AM•BM=CM•DM，所以OM•MP=CM•DM，…（8分）又弦CD不过圆心O，所以O，C，P，D四点共圆．…（10分）B．选修4﹣2：（矩阵与变换）设M=，则=3=，故．…（4分）=，故．…（7分）联立以上两方程组解得a=﹣1，b=4，c=﹣3，d=6，故M=．…（10分）C．选修4﹣4：（坐标系与参数方程）解：将方程ρ=2sin（），分别化为普通方程：x2+y2+2x﹣2y=0，3x+4y+1=0，…（6分）由曲线C的圆心为C（﹣1，1），半径为，所以圆心C到直线l的距离为，故所求弦长为=．…（10分）D．选修4﹣5（不等式选讲）解：由柯西不等式可知：（x+y+z）2≤[（）2+（）2+z2]•[（）2+（）2+12]，…（5分）故，当且仅当，即：x=，y=，z=时，2x2+3y2+z2取得最小值为．…（10分）点评：A考查与圆有关的比例线段的应用，B考查矩阵与变换的应用，C考查极坐标与参数方程的应用，D考查柯西不等式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的灵活运用．四、必做题：第22题、第23题，每小题10分，共计20分，请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（10分）（2011•苏州二模）袋中装着标有数字1，2，3，4的卡片各1张，甲从袋中任取2张卡片（每张卡片被取出的可能性都相等），并记下卡面数字和为X，然后把卡片放回，叫做一次操作．（1）求在一次操作中随机变量X的概率分布和数学期望E（X）；（2）甲进行四次操作，求至少有两次X不大于E（X）的概率．考点：离散型随机变量及其分布列；互斥事件的概率加法公式．专题：计算题；压轴题．分析：（1）由题设知，X可能的取值为：3，4，5，6，7；计算出随机变量X的概率分布进而利用求数学期望的公式得到X的数学期望E（X）；（2）记“一次操作所计分数X不大于E（X）”的事件记为C，则P（C）=．设四次操作中事件C发生次数为Y，则Y～B（4，）．则其服从二项分布，所以所求事件的概率为P（Y≥2）=．解答：解：（1）由题设知，X可能的取值为：3，4，5，6，7．随机变量X的概率分布为X 3 4 5 6 7 P因此X的数学期望E（X）=（3+4+6+7）×+5×=5．（2）记“一次操作所计分数X不大于E（X）”的事件记为C，则P（C）=P（“X=3”或“X=4”或“X=5”）=++=．设四次操作中事件C发生次数为Y，则Y～B（4，）则所求事件的概率为P（Y≥2）=1﹣C41××（）3﹣C40×（）4=．点评：解决此类题目的关键是正确求得随机变量的取值以及每个值得概率，熟练掌握求离散型随机变量的概率分布的方法步骤．23．（10分）对一个边长互不相等的凸n（n≥3）边形的边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色．所有不同的染色方法记为P（n）（1）求P（3），P（4），P（5）；（2）求P（n）考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：（1）直接利用着色方案分别求出P（3），P（4），P（5）；（2）直接利用类比推理，推出凸n（n≥3）边形的边染色与凸n﹣1边形的不同染色方法数的种数P n﹣1的关系，P n=3×2n﹣1﹣P n﹣1，然后求出染色方法数为P n=2n+（﹣1）n•2，解答：解（1）对于边a1，有3种不同的染法，由于边a2的颜色与边a1的颜色不同，所以，对边a2有2种不同的染法，第三边有一种方法，所以P（3）=6，类似四边形时对于边a1，有3种不同的染法，由于边a2的颜色与边a1的颜色不同，对边a2有2种不同的染法，第三边有2种方法，如果与a1的颜色不同，则第四边为1种染色方法，如果与a1的颜色相同，第四边有2种染色方法，P（4）=3×2×1×1+3×2×1×2=18，类似可求P（5）=30；…（3分）（2）设不同的染色法有P n种．易知．当n≥4时，首先，对于边a1，有3种不同的染法，由于边a2的颜色与边a1的颜色不同，所以，对边a2有2种不同的染法，类似地，对边a3，…，边a n﹣1均有2种染法．对于边a n，用与边a n﹣1不同的2种颜色染色，但是，这样也包括了它与边a1颜色相同的情况，而边a1与边a n颜色相同的不同染色方法数就是凸n﹣1边形的不同染色方法数的种数P n﹣1，于是可得P n=3×2n﹣1﹣P n﹣1，P n﹣2n=（P n﹣1﹣2n﹣1）．于是P n﹣2n=（﹣1）n﹣3（P3﹣23）=（﹣1）n﹣1•（﹣2），P n=2n+（﹣1）n•2，n≥3．综上所述，不同的染色方法数为P n=2n+（﹣1）n•2，．…（10分）点评：本题考查分步计数原理、分类计数原理的综合应用，涉及几何图形有关的涂色问题，分析时注意结合图形分析．。

江苏省南京市四校高三12月月考数学试题.pdf

物理第四章2节《熔化和凝固》课堂达标题A 1、晶体在熔化时的温度叫做____________。

晶体熔化的过程中，虽然大量吸热，但温度_____________。

2、人们通常用钨这种金属制造电灯的灯丝，是因为钨的__________高． 3、下列固体属于晶体的是（） A．石蜡? B．固态酒精? C．玻璃? D．松香 4、海波的熔点是48℃，那么48℃的海波是（） ?A．固态? B．液态? C．固液共存? D．以上三种状态都有可能 5、．在0℃的房间里，把正在熔化的冰块投入到0℃的水中，过一段时间后，下列说法正确的是（） ?A．水质量增多 B．冰质量增多 C．水和冰质量不变 ?D．以上三种情况都有可能 6、如图所示，为某种晶体熔化过程的图象。

由图可知，该晶体的熔点为________，熔化过程用了________min，该晶体可能是________。

7、有两个同学研究海波和石蜡熔化时温度的变化规律，记录的数据如下表：他们在实验中观察到，海波第5 min开始熔化，第11min熔化完毕；石蜡第2min开始变软，第12min全部熔化完毕。

时间/min123456789101112131415海波的温度404244464848484848484853565963石蜡的温度404142444647484951525456596365请你对以上实验数据进行分析后完成下面各题：（1）海波熔化时温度的变化规律是_______________________；（2）石蜡熔化时温度的变化规律是_______________________。

参考答案：1、熔点；不变2、熔点3、B4、D5、C6、0℃；7、（1）海波熔化时温度保持不变；（2）石蜡熔化时温度不断上升初中学习网，资料共分享！我们负责传递知识！。

江苏省南京市数学高三理数12月月考试卷

江苏省南京市数学高三理数12月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分）对于两个复数，，有下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 42. （1分） (2017高一上·中山月考) 如图中阴影部分所表示的集合是（）A .B .C .D .3. （1分）(2018·安徽模拟) 已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（）A .B .C .D .4. （1分）设，则““是“”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件5. （1分）已知在平面直角坐标系中，圆的方程为，直线过点且与直线垂直.若直线与圆交于两点，则的面积为（）A . 1B .C . 2D .6. （1分）已知等比数列满足，则（）A . 64B . 81C . 128D . 2437. （1分） (2017高二下·沈阳期末) 已知函数，则函数满足（）A . 最小正周期为B . 图象关于点对称C . 在区间上为减函数D . 图象关于直线对称8. （1分）若函数y=2sin（2x+φ）的图象过点（，1），则它的一条对称轴方程可能是（）A . x=B . x=C . x=D . x=9. （1分）若函数y=f（x）满足，存在x0≠0，x0≠，使，则x0叫做函数y=f（x）的“基点”，已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1存在“基点”，则a2+（b﹣2）2的取值范围是（）A . [2，+∞）B . [4，+∞）C . [8，+∞）D . [10，+∞）10. （1分） (2019高一上·丹东月考) 已知函数的图象如图所示，根据图象有下列三个命题：① 函数在定义域上是单调递增函数；② 函数在定义域上不是单调递增函数，但有单调递增区间；③ 函数的单调递增区间是，．其中所有正确的命题是（）A . ①B . ②C . ③D . ②③11. （1分） (2017高二下·赣州期末) 若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（）A .B . a2＞b2C . a|c|＞b|c|D .12. （1分）(2018·鞍山模拟) 已知为椭圆上关于长轴对称的两点，分别为椭圆的左、右顶点，设分别为直线的斜率，则的最小值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·山东) 由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________．14. （1分）(2020·淮北模拟) 从抛物线图象上一点作抛物线准线的垂线，垂足为，且，设为抛物线的焦点，则的面积为________.15. （1分）已知集合A={x|x=a0+a1×2+a2×22+a3×23}，其中ak∈{0，1}（k=0，1，2，3）且a3≠0．则A 中所有元素之和是________16. （1分） (2019高二下·上海月考) 异面直线、成80°角，点是、外的一个定点，若过点有且仅有2条直线与、所成的角相等且等于，则的范围为________三、解答题 (共7题；共14分)17. （2分） (2016高二下·温州期中) 如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cos∠B=（1）求△ACD的面积；（2）若BC=2 ，求AB的长．18. （2分） (2016高三上·翔安期中) Sn为数列{an}的前n项和，已知an＞0，an2+2an=4Sn+3（I）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn= ，求数列{bn}的前n项和．19. （2分）(2017·宝鸡模拟) 如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，H是CF的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；（Ⅱ）求直线DH与平面BDEF所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角H﹣BD﹣C的大小．20. （2分） (2018高二下·普宁月考) 已知焦点在轴上的椭圆，短轴的一个端点与两个焦点构成等腰直角三角形，且椭圆过点 .（1）求椭圆的标准方程；（2）设依次为椭圆的上下顶点，动点满足，且直线与椭圆另一个不同于的交点为 .求证：为定值，并求出这个定值.21. （2分） (2017高二下·沈阳期末) 已知函数，，其中（1）设函数，求函数的单调区间；（2）若存在，使得成立，求的取值范围.22. （2分）(2018·榆林模拟) 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程是，将向上平移2个单位得到曲线．（1）求曲线的极坐标方程；（2）直线的参数方程为（为参数），判断直线与曲线的位置关系．23. （2分） (2018高二下·衡阳期末) [选修4—5:不等式选讲]已知函数（1）求不等式的解集.（2）若不等式的解集非空，求的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共14分) 17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。