《复变函数与积分变换》(全集)6-2

所以
2 E A0 , T

2E n An sin , n T
n 1,2,3,
对于非周期函数 f (t )，在傅氏积分条件下， 在f (t )的连续 点处有 1 f (t ) F ( )eit d , 2
其中F () f (t )eit dt为f (t )的傅氏变换 .
另外，δ函数还可利用如下方式得到：
令 1 ,0 t h h (t ) h , 0, t 0, t h
h 0
则 lim h (t ) (t ),
h 0

且



(t )dt lim h (t )dt lim
因此为了刻画此时电路中的电流强度，我们有必要 引入一个广义函数－ δ函数.
δ函数 定义 若函数 (t )满足 1 (t ) 0, t 0; ）
2 (t )dt 1，或者 (t )dt＝，其中 I为含 t 0的区间, ） 1
I
则称 (t )为函数.
f (t )

T 2
T 2

2
2
t
解： 由于
2 2 an E cosntdt, n 0,1,2,3, T 2 2 2 bn E sin ntdt 0, n 0,1,2,3, T 2 2 E 知 a0 , an 2 E sin n , n 1,2,3, T n T
2E



s) |
2E

| sin

2
|
作业：P242
3，4：2）3）， 6，10
it
即
所以
{1} eit dt 2 ().


1 ( ) 2
i 0 t



e
it
dt.
由上可得， {e
} e i0t e it dt


e i ( 0 ) t dt


2 ( 0 ).
解： 由定义：
dt eit dt
c c
2 cos( t )dt
2 sin(c) , 0 2c, 0
0, t 0 的傅氏积分及其积分 例2 求指数衰减函数 f (t ) t e , t 0 表达式，其中 0.
2 2 an T fT (t ) cosntdt, T 2 An an bn ,
2 2
2 2 bn T fT (t ) sin ntdt, T 2 n 0,1,2,3,
由于 an , bn 是n的函数，所以 An 反映了谐波随频率 的 变化情况 .
频谱图：频率与振幅的关系图。
二、单位脉冲函数及其傅氏变换
在物理和诸多工程领域中，许多客观现象具有 脉冲性质，它反映了一点或者一瞬时的量，如冲力、 脉冲电压、点电荷等. 鉴于这种情况，人们引入单位脉冲函数来描述， 这种函数又称为Dirac函数，简记为δ函数. 现实例子： 在原本电流为0的电路中，于t 0时刻进入一 单位脉冲的电量，现欲求出电路中的电流i (t ). 此时电路中的电荷为 0, t 0 q (t ) , 1, t 0
解： 由傅氏变换得：
F () f (t )eit dt

e e
0

t it

1 i 2 i 2
dt e( i )t dt
0

下面我们将利用傅氏逆变换求其积分表达式。
由于
1 f (t ) 2
1 2 1 1 F ( )e dt 2

it
1 1 2 ( 2 ) 0, t 0 1 1 sin t f (t ) d . 0 1 1 2 ( ) 1, t 0 2 2 例5 求周期函数 f (t ) A cos0t的傅氏积分 .
解： 由傅氏变换公式知
而电流强度是电荷关于时间的变化率，即 dq(t ) q(t t ) q(t ) i(t ) lim . t 0 dt t 这时 q(t )在这一点不能求导 . 但如果我们从形式上计算这个导数： dq(t ) q(0 t ) q(0) 1 i(0) lim lim . t 0 t 0 t dt t
§6－2 傅氏变换
一、傅氏变换的定义 在上一节我们导出了傅里叶积分变换公式的 复指数形式：
若令 则
1 f (t ) 2



e d f (u )e iu du
it

F () f (u)eiu du


(1)
1 f (t ) F ( )eit d (2) 2 从上面两个式子可以看 出：函数 f (t )与F ( )之间具有互逆对应关系 。
注：通过上述计算可知：工程中的一些函数原本不 满足傅氏积分定理，但通过δ函数，可以计算它们 的广义傅氏变换函数。 1, t 0 的傅氏变换为 例3 证明单位阶跃函数 u (t ) 0, t 0 1 ( ). i 1 ( )，则由傅里叶逆变换得 证 若F ( ) i 1 1 f (t ) [ ( )]eit d 2 i 1 eit 1 d ( )eit d 2 i 2
An f (t )的振幅频谱，简称频谱 .
由于周期函数对应的频 谱是离散的，因此也称 为 离散频谱 .
例6
求下列周期性矩形脉冲的频谱：
0, T / 2 t / 2 f (t ) E , / 2 t / 2 . 0, /2t T /2
1 e 1 d ( )eit d 2 i 2 1 sin t 1 d 0 2 sin d （见P154，例8） . 由Dirichlet积分知 0 2 2 , t 0 sin t 从而 d 0, t 0. 则 0 2, t 0

三、非周期函数的频谱
傅氏变换是与频谱概念密切联系的，随着无线电 技术等工程领域的发展，频谱理论也有长足的进步。
以T为周期的非正弦函数 f t (t )的n次谐波为
2n 其中 An为n次谐波的振幅， n为初相， n n , T T T
an cosnt bn sin nt An sin(nt n ),
事实上，上面两式即构成一个将函数f (t )变为函数F ( )的 一个变换，该变换就称为函数f (t )的傅氏变换。
即
{ f (t )} F ( ) f (t )eit dt.


反过来，由上面第（2）式也可得出：
1 {F ( )} f (t ) 2
1


注1：在频谱分析中，F ( )又称为f (t )的频谱函数.
频谱函数的模 | F () | 又称为f (t )的频谱.
注2： | F ( ) || F ( ) | .
例7
求如下图单个矩形脉冲的频谱函数.
f (t )


2
2
解： F () f (t )eit dt 2 Eeit dt
it


i it 2 2 e dt

cos(t ) sin(t ) dt 2 2
0


cos(t ) sin(t ) dt 2 2
我们可以得到如下含参量积分：
0, t 0 cos(t ) sin( t ) dt , t 0 0 2 2 2 t e , t 0
h
h 0 0
1 dt 1. h
δ函数的重要性质：筛选性质
若f (t )为连续函数，则有




(t ) f (t )dt f (0).
h 1 h 1 lim h (t ) f (t )dt lim f (t )dt lim f ( ) dt f (0), 0 h0 h0 h 0 h 0 h


F ( )eit dt.
(3)
第（）式就称为函数F ( )的傅氏逆变换。 3
注意：傅氏变换的条件也就是傅氏积分定理的条件。
例1
1, | t | c 求函数 f (t ) 的傅氏变换 . 0, | t | c
F () f (t )e
c 0 it

ei0t e i0t it e dt F () Acos0teit dt A 2 A i ( 0 )t [e e i ( 0 )t ]dt 2 A i ( 0 )t [ e dt e i ( 0 )t dt] 2 A ( 0 ) A ( 0 )
δ函数的傅氏变换：
it F () (t )eit dt e |t 0 1.


反之，当 F ( ) 2 ( )时，由傅氏逆变换得
1 f (t ) 2
1 F ( )e d 2
it
eit | 0 1. 2 ( )e d