山东省济宁市高三数学考试清单考点十三三视图、几何计算

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三视图（高三）

三视图（⾼三）三视图⼀、简单⼏何体型【知识点1.1】三视图还原⽅法（1）画长⽅体；（2）只画俯视图，交点处并画上圆圈，因为这些点同时竞争，竞争可能垂直上拉；（3）看正视图和侧视图，看他有没有直⾓；若有直⾓，直⾓点垂直上拉，若没有，什么都不动；若不能够往上拉的点直接划掉；能够拉点与下⾯的圆圈点直接连起来；这样就还原出来了。

【知识点1.2】空间⼏何体的表⾯积与体积⑴圆柱侧⾯积；l r S ??=π2侧⾯；⑵圆锥侧⾯积：l r S ??=π侧⾯；⑶圆台侧⾯积：l R l r S ??+??=ππ侧⾯⑷体积公式：h S V =柱体；h S V ?=31锥体；()h S S S S V 下下上上台体+?+=31⑸球的表⾯积和体积：32344R V R S ππ==球球，.【例1.1】（2012·北京⾼考⽂、理科·Ｔ7）某三棱锥的三视图如图所⽰，该三棱锥的表⾯积是（）（A ）28+（B ）30+（C ）56+（D ）60+【解题指南】由三视图还原直观图，再求表⾯积.【解析】选B.直观图如图所⽰，底⾯是边长AC=5，BC=4的直⾓三⾓形，且过顶点P 向底⾯作垂线PH ，垂⾜在AC 上，AH=2，HC=3，侧（左）视图俯视图PH=4.145102ABC S ?==，154102PAC S ?=??=.因为PH ⊥⾯平ABC ⊥⾯，所以PH BC ⊥.⼜因为所以BC PC ⊥，所以145102PBC S ?==.在PAB ?中，PA PB AB ===PA 中点E ，连结BE ，则6BE =，所以162PAB S ?=?=因此三棱锥的表⾯积为10101030+++=+【变式1】（2013·⼴东⾼考⽂科·Ｔ6）某三棱锥的三视图如图所⽰，则该三棱锥的体积是（）A ．16 B ．13 C ．23D ．1 【解题指南】本题考查空间想象能⼒，要能由三视图还原出⼏何体的形状. 【解析】选B. 由三视图判断底⾯为等腰直⾓三⾓形，三棱锥的⾼为2，则111=112=323V .【变式2】(2013·浙江⾼考⽂科·T5)已知某⼏何体的三视图(单位:cm)如图所⽰,则该⼏何体的体积是 ( )A.108cm 3B.100cm 3C.92cm 3D.84cm 3 【解题指南】根据⼏何体的三视图,还原成⼏何体,再求体积. 【解析】选B.由三视图可知原⼏何体如图所⽰,所以111111ABCD A B C D M A D N V V V --=-1166334410032=??-?=. 【变式3】(2013·浙江⾼考理科·T12)若某⼏何体的三视图(单位:cm )如图所⽰,则此⼏何体的体积等于 cm 3 .【解题指南】先由三视图,画出⼏何体,再根据⼏何体求解. 【解析】由三视图可知原⼏何体如图所⽰,所以111ABC A B C M ABC V V V --=-111153345343306243232ABC ABC S S =?-=-=-= . 【答案】24 【变式4】（2011·新课标全国⾼考理科·Ｔ6）在⼀个⼏何体的三视图中，正视图和俯视图如图所⽰，则相应的侧视图可以为（）（A ）（B ）（C ）（D ）【思路点拨】由正视图和俯视图可联想到⼏何体的直观图，然后再推出侧视图.【精讲精析】选D. 由正视图和俯视图可以推测⼏何体为半圆锥和三棱锥的组合体（如图所⽰），且顶点BCA在底⾯的射影恰是底⾯半圆的圆⼼，可知侧视图为等腰三⾓形，且轮廓线为实线，故选D【变式5】（2014·四川⾼考⽂科·Ｔ4）某三棱锥的侧视图、俯视图如图所⽰，则该三棱锥的体积是（）（锥体体积公式：13V Sh=，其中S 为底⾯⾯积，h 为⾼）A ．3 B ．2 C D ．1【解题提⽰】由三视图得到该三棱锥的直观图是解决本题的关键.【解析】选D.根据所给的侧视图和俯视图，该三棱锥的直观图如下图所⽰．从俯视图可知，三棱锥的顶点A 在底⾯内的投影O 为边BD 的中点，所以AO 即为三棱锥的⾼，其体积为21213V ==.【变式6】（2014·湖南⾼考理科·Ｔ7）7．⼀块⽯材表⽰的⼏何何的三视图如图2所⽰，将该⽯材切削、打磨，加⼯成球，则能得到的最⼤球的半径等于 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解题提⽰】先由三视图画出直观图，判断这个⼏何体是底⾯是边长为6，8，10的直⾓三⾓形，⾼为12的躺下的直三棱柱，底⾯的内切圆的半径就是做成的最⼤球的半径。

高考数学中的三视图与投影相关知识点

高考数学中的三视图与投影相关知识点在几何学的领域中，三视图与投影是十分重要的一部分，它们不仅仅是应用于让我们更好地看清三维物体，也是高考数学常见的考点之一。

因此，在这篇文章中，我们将深入探讨高考数学中的三视图与投影相关知识点，帮助大家更好地理解和应用相关内容。

一、三视图概述在现实生活中，很多物体都是三维的，它们有长度、宽度和高度等特征，但我们任何时候都无法同时看到物体的所有信息，因为我们的眼睛只能看到一个角度。

为了更好地看清三维物体，我们可以将其分解为三个不同的投影角度，即正面视图、左视图和顶视图，这就是三视图的概念。

在数学中，我们可以通过三个二维的视图来表示三维物体的形状，三个视图分别呈现物体的正面、左侧和顶部，这些视图给我们提供了关于物体轮廓形状的详细信息。

三维物体的三视图可以通过投影的方式得到，这也是三视图和投影密不可分的原因。

二、投影概述投影是基于投影面和投影线进行的，是将三维物体在二维平面上展示的一种方式。

在投影中，投影面和投影线的位置非常重要，它们决定了最终投影的效果和质量。

在平行投影中，投影线是垂直于投影面的直线，这种投影方式可以得到准确的形状和大小，但是它的透视感比较弱，在某些情况下无法展示物体的深度，因此在我们画高考数学的题目时需要注意使用透视投影来展示物体的深度。

透视投影是一种根据物体在空间中的位置、大小、形状等特征进行的投影方式。

在透视投影中，物体的前方向是远离投影面的方向，反之则是物体的后方向，这种方式可以更好地表现物体的深度和透视效果。

三、三视图和投影的联系三视图和投影密不可分，因为三视图是通过投影方式得到的，我们可以通过三视图来确定物体在三维空间中的位置和方向，从而得到正确的投影。

在绘制三视图时，我们需要利用的是三个视图的交点来确定物体的位置，然后再根据物体的大小和形状来确定它的轮廓。

同样，在投影中，我们也需要确定三维物体在空间中的位置和方向，然后再根据其大小和形状进行投影。

高考数学中的三视图及相关方法

高考数学中的三视图及相关方法在高考数学中，三视图是一个常见的概念。

三视图是一个物体分别从三个不同的方向所观测到的图形，通过三个视图可以确定一个物体的形状、尺寸及空间位置。

在学习三视图时，需要掌握一些相关的知识和方法。

一、投影法与投影面在学习三视图之前，需要先掌握投影法和投影面的相关概念。

投影法是指从物体上某一点出发，将光线对着投影面射出，所形成的投影。

投影面是指用来做投影的平面。

在三视图中，通常使用前、上、侧三个平面来进行投影，这三个平面分别称为主平面。

二、主视图主视图是指在三视图中，以物体的正面朝前、上面朝上、左面朝左的方向所形成的视图。

主视图常常是确定一个物体的形状和尺寸的主要依据。

三、侧视图侧视图是指在三视图中，以物体左侧面朝上、物体正面朝前、物体下侧面朝下的方向所形成的视图。

侧视图和主视图相结合，可以确定一个物体的整体形状和尺寸。

四、俯视图俯视图是指在三视图中，以物体的上部朝上、物体的前面朝下、物体的左侧面朝左的方向所形成的视图。

俯视图主要用来确定一个物体的上部结构，例如天棚、台面等。

五、三视图的绘制方法在学习三视图时，需要掌握三视图的绘制方法。

绘制三视图时，需要确定主平面，然后将物体在主平面上分别绘出主视图、侧视图、俯视图。

在绘制时，需要按比例绘制，保持各个视图之间的比例关系一致。

六、三视图的应用在实际生活中，三视图有很多应用。

例如在工程设计中，可以通过三视图来确定一个建筑物或机械设备的形状和尺寸，以便进行制造和施工。

在家具设计方面，通过三视图可以确定家具的形状和尺寸，以便进行制造和销售。

总之，三视图在数学中是一个非常重要的概念。

通过学习三视图，可以帮助我们更好地了解物体的形状、尺寸和空间位置，从而更好地进行设计、制造和施工。

通过掌握三视图的相关知识和方法，我们可以在高考数学中取得更好的成绩。

济宁职高数学高考知识点

济宁职高数学高考知识点一、集合与函数1. 集合表示与运算a. 集合的表示方法：列举法、描述法、等价关系法。

b. 集合的运算：并集、交集、差集、补集。

2. 函数与映射a. 函数的定义与性质：定义域、值域、对应关系。

b. 函数的分类：一元函数、多元函数、映射关系。

c. 函数的性质：可逆性、单调性、奇偶性。

二、数列与数学归纳法1. 数列的概念a. 数列的定义与表示方法：通项公式、递推公式。

b. 常见数列：等差数列、等比数列、等差数列的和、等比数列的和。

2. 数学归纳法a. 数学归纳法的基本思想与原理。

b. 数学归纳法的应用：证明数列的性质、不等式的成立、命题的推理。

三、平面几何1. 点、线、面的性质a. 点的性质：坐标、距离。

b. 直线的性质：斜率、截距、平行、垂直。

c. 平面的性质：倾斜角、平行关系。

2. 三角形与四边形a. 三角形的性质：角的性质、边的关系、外角与内角关系。

b. 四边形的性质：平行四边形、矩形、菱形、正方形。

四、立体几何1. 三棱锥与四棱锥a. 三棱锥的性质：顶点角、斜高、直截锥体。

b. 四棱锥的性质：侧面积、体积、截面。

2. 柱、锥、台、球a. 圆柱的性质：侧面积、体积。

b. 圆锥的性质：侧面积、体积。

c. 圆台的性质：侧面积、体积。

d. 球的性质：表面积、体积。

五、概率与统计1. 概率的基本概念a. 试验与样本空间。

b. 事件与概率。

c. 条件概率与独立性。

2. 统计与图表a. 统计指标：平均数、中位数、众数、方差。

b. 统计图表：频数分布表、频数分布图、直方图、折线图。

以上为济宁职高数学高考的一些重要知识点，希望能对你的学习和备考有所帮助。

记得多做练习题，加深对知识点的理解与应用。

祝你取得好成绩！。

高考(山东)数学知识点细目表1

（1）导数概念及其几何 ① 了解导数概念的实际背景
意义
② 理解导数的几何意义
① 能根据导数定义，求函数 y c, y x, y x2 , y x3, y 1 , y x 的 x
导数．
（2）导数的运算
② 能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求
简单函数的导数，能求形如 f (ax b) 的复合函数的导数．
②
能利用单位圆中的三角函数线推导出
,
的正弦、余弦、正
2
切的诱导公式，能画出 y sin x, y cosx, y tan x 的图象，了解三角
函数的周期性．
③ 理解正弦函数、余弦函数在区间 0,2 上的性质（如单调性、最大值
和最小值以及与 x 轴的交点等），理解正切函数在区间 , 内的单 2 2
换
角公式，但对这三组公式不要求记忆）．
十
一．
（1）正弦、余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．
解
三
角形
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有
（2）应用
关的实际问题
（1）数列的概念和简单 ① 了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）．
①理解命题的概念.
②了解“若 p ，则 q ”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析
十（1）命题及其关系
四．
四种命题的相互关系．
常
用
③理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．
逻
辑用
（2）简单的逻辑联结词了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．
语
（3）全称量词与存在量 ① 理解全称量词与存在量词的意义．

山东省济宁市高三数学一轮复习专项训练立体几何(1)(含解析)

空间几何体的结构及其三视图和直观图1、(2013·四川卷)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )．解析：由于俯视图是两个圆，所以排除A，B，C，故选D.2、若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )．解析：A，B的正视图不符合要求，C的俯视图显然不符合要求，答案选D.答案：D3、若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )．解析所给选项中，A，C选项的正视图、俯视图不符合，D选项的侧视图不符合，只有选项B符合．答案 B4、(2012·陕西卷)将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为( )．[正解] 还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线，D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线．故选B.[答案] B5、如图，多面体ABCD－EFG的底面ABCD为正方形，FC＝GD＝2EA，其俯视图如下，则其正视图和侧视图正确的是( )．解析注意BE，BG在平面CDGF上的投影为实线，且由已知长度关系确定投影位置，排除A，C选项，观察B，D选项，侧视图是指光线从几何体的左面向右面正投影，则BG，BF的投影为虚线，故选D. 答案 D6．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )．解析给几何体的各顶点标上字母，如图1.A，E在侧投影面上的投影重合，C，G在侧投影面上的投影重合，几何体在侧投影面上的投影及把侧投影面展平后的情形如图2所示，故正确选项为B(而不是A)．答案 B7．已知正三棱锥V －ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示．求出侧视图的面积．解析：根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴侧视图中VA ＝42－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32×232＝23，∴S △VBC ＝12×23×23＝6.8．如图所示的是一个零件的直观图，试画出这个几何体的三视图．解这个几何体的三视图如图．9．如图是一个几何体的正视图和俯视图． (1)试判断该几何体是什么几何体； (2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积；(3)求出该几何体的体积．解 (1)正六棱锥．(2)其侧视图如图：其中AB ＝AC ，AD ⊥BC ，且BC 的长是俯视图中的正六边形对边的距离，即BC ＝3a ，AD 的长是正六棱锥的高，即AD ＝3a ，∴该平面图形的面积S ＝12 3a ·3a ＝32a 2.(3)V ＝13×6×34a 2×3a ＝32a 3.考点一空间几何体的表面积1、如图是一个几何体的正视图和侧视图，其俯视图是面积为82的矩形．则该几何体的表面积是( )．A ．8B ．20＋8 2C ．16D ．24＋8 2解析由已知俯视图是矩形，则该几何体为一个三棱柱，根据三视图的性质，俯视图的矩形宽为22，由面积82，得长为4，则该几何体的表面积为S ＝2×12×2×2＋22×4＋2×2×4＝20＋8 2.答案 B2、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．解析如图所示：该几何体为长为4，宽为3，高为1的长方体内部挖去一个底面半径为1，高为1的圆柱后剩下的部分．∴S 表＝(4×1＋3×4＋3×1)×2＋2π×1×1－2π×12＝38. 答案 383、如图所示，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1－ABC 1的体积为 ( )．A.312 B.34 C.612D.64解析：三棱锥B 1－ABC 1的体积等于三棱锥A －B 1BC 1的体积，三棱锥A －B 1BC 1的高为32，底面积为12，故其体积为13×12×32＝312.答案：A4、(2012·山东卷)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1－EDF 的体积为________．[一般解法] 三棱锥D 1－EDF 的体积即为三棱锥F －DD 1E 的体积．因为E ，F 分别为AA 1，B 1C 上的点，所以在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中△EDD 1的面积为定值12，F 到平面AA 1D 1D 的距离为定值1，所以＝13×12×1＝16.[优美解法] E 点移到A 点，F 点移到C 点，则＝＝13×12×1×1×1＝16. [答案] 165、(2013·辽宁卷)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为A.3172B ．210C.132D ．310解析：因为在直三棱柱中AB ＝3，AC ＝4，AA 1＝12，AB ⊥AC ，所以BC ＝5，且BC 为过底面ABC 的截面圆的直径，取BC 中点D ，则OD ⊥底面ABC ，则O 在侧面BCC 1B 1内，矩形BCC 1B 1的对角线长即为球的直径，所以2r ＝122＋52＝13，即r ＝132.答案：C6、(2013·新课标全国Ⅰ卷)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．A.500π3 cm 3B.866π3 cm 3C.1 372π3 cm 3D.2 048π3cm3解析作出该球的轴截面，如图所示，依题意BE ＝2 cm ，AE ＝CE ＝4 cm ，设DE ＝x ，故AD ＝2＋x ，因为AD 2＝AE 2＋DE 2，解得x ＝3(cm)，故该球的半径AD ＝5 cm ，所以V ＝43πR3＝500π3(cm 3)．答案 A7．(2013·广东卷)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是( )．A ．4 B.143 C.163 D ．6解析由四棱台的三视图可知该四棱台的上底面是边长为1的正方形；下底面是边长为2的正方形，高为2.由棱台的体积公式可知该四棱台的体积V ＝13(12＋12×22＋22)×2＝143，故选B.答案 B8．(2012·新课标全国卷)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )．A.6π B ．43π C ．46π D ．63π 解析如图，设截面圆的圆心为O ′，M 为截面圆上任一点，则OO ′＝2，O ′M ＝1，∴OM ＝ 2 2＋1＝3，即球的半径为3，∴V ＝43π(3)3＝43π.答案 B9．(2013·辽宁卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．解析由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个正四棱柱，圆柱底面圆半径为2，高为4，故体积为16π；正四棱柱底面边长为2，高为4，故体积为16，所以几何体的体积为16π－16. 答案 16π－1610．(2013·陕西卷)某几何体的三视图如图所示，则其体积为________．解析该几何体为一个半圆锥，故其体积为V ＝13×12×π×12×22＝π3.答案π311．(2013·江苏卷)如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F －ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝________.解析设三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的高为h ，底面三角形ABC 的面积为S ，则V 1＝13×14S ·12h ＝124Sh ＝124V 2，即V 1∶V 2＝1∶24. 答案 1∶2412．如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，CD ∥AB ，AB ＝4，AD ＝CD ＝2，将△ADC 沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D －ABC ，如图2所示．(1)求证：BC ⊥平面ACD ； (2)求几何体D －ABC 的体积．(1)证明在图中，可得AC ＝BC ＝22，从而AC 2＋BC 2＝AB 2，故AC ⊥BC ，又平面ADC ⊥平面ABC ，平面ADC ∩平面ABC ＝AC ，BC ⊂平面ABC ，∴BC ⊥平面ACD .(2)解由(1)可知，BC 为三棱锥B －ACD 的高，BC ＝22，S △ACD ＝2，∴V B －ACD ＝13S △ACD ·BC ＝13×2×22＝423，由等体积性可知，几何体D －ABC 的体积为423. 13．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积(单位：cm 2)为 ( )．A ．48B ．64C ．80D ．120解析据三视图知，该几何体是一个正四棱锥(底面边长为8 cm)，直观图如图，PE 为侧面△PAB 的边AB 上的高，且PE ＝5 cm.∴此几何体的侧面积是S ＝4S △PAB ＝4×12×8×5＝80 (cm 2)．答案 C14．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是A ．12πB ．24πC ．32πD ．48π解析该几何体的直观图如图所示，它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，其中底面ABCD 是边长为4的正方形，高为CC 1＝4，该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的直径为AC 1＝43＝2R ，所以球的半径为R ＝23，所以球的表面积是4πR 2＝4π×(23)2＝48π.答案 D15．(2013·山东卷)已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为A.5π12B.π3C.π4D.π6解析如图，O 为底面ABC 的中心，连接PO ，由题意知PO 为直三棱柱的高，∠PAO 为PA 与平面ABC 所成的角，S △ABC ＝12×3×3×sin 60°＝334.∴＝S △ABC ×OP ＝334×OP ＝94，∴OP ＝ 3.又OA ＝32×3×23＝1，∴tan ∠OAP ＝OP OA ＝3，又0<∠OAP <π2，∴∠OAP ＝π3.答案 B侧面展开问题1、如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 为直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝CC 1＝3.P 是BC 1上一动点，则CP ＋PA 1的最小值为________(其中PA 1表示P ，A 1两点沿棱柱的表面距离)．解：由题意知，把面BB 1C 1C 沿BB 1展开与面AA 1B 1B 在一个平面上，如图所示，连接A 1C 即可．11 则A 1、P 、C 三点共线时，CP ＋PA 1最小， ∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝C 1C ＝3， ∴A 1B 1＝AB ＝42＋32＝5，∴A 1C 1＝5＋3＝8， ∴A 1C ＝82＋32＝73.故CP ＋PA 1的最小值为73.答案 (1)823(2)73。

山东省济宁市高三数学考试清单考点十平面向量

考点十：平面向量10．1 平面向量的概念及其线性运算考纲要求1．了解向量的实际背景．2．理解平面向量的概念和向量相等的含义．3．理解向量的几何表示．4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6．了解向量线性运算的性质及其几何意义．10.2 平面向量的基本定理及坐标运算考纲要求1．了解平面向量的基本定理及其意义．2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．10.3 平面向量的数量积及其应用考纲要求1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．高考真题示例1．（2015•山东）已知菱形ABC D的边长为a，∠ABC=60°，则=（）A．﹣a2B．﹣a2C．a2D．a22．（2012•天津）已知△ABC为等边三角形，AB=2．设点P，Q满足，，λ∈R．若=﹣，则λ=（）A．B．C．D．3．（2011•山东）设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若（λ∈R），（μ∈R），且，则称A3，A4调和分割A1，A2，已知点C（c，0），D（d，O）（c，d∈R）调和分割点A（0，0），B（1，0），则下面说法正确的是（）A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C，D可能同时在线段AB上D ． C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上4．（2011•湖北）若向量=（1，2），=（1，﹣1），则2+与的夹角等于（） A ．﹣B ．C ．D ．5．（2011•辽宁）已知向量=（2，1），=（﹣1，k ），•（2﹣）=0，则k=（） A ． ﹣12B ． ﹣6C ． 6D ． 126．（2010•山东）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的，令，下面说法错误的是（） A ．若与共线，则⊙=0 B ．⊙=⊙C ．对任意的λ∈R ，有⊙=⊙） D ．（⊙）2+（）2=||2||27．（2009•山东）设P 是△ABC 所在平面内的一点，，则（） A ．B ．C ．D ．8．（2009•宁夏）已知向量=（﹣3，2），=（﹣1，0），若λ+与﹣2垂直，则实数λ的值为（） A ．﹣ B ．C ．﹣D ．9．（2008•山东）已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量=（，﹣1），=（cosA ，sinA ）．若⊥，且αcosB+bcosA=csinC ，则角A ，B 的大小分别为（） A ．，B ．，C ．，D ．，10．（2007•山东）已知=（1，n ），=（﹣1，n ），若2﹣与垂直，则||=（） A ． 1 B ． C ． 2 D ． 4 11．（2007•山东）在直角△ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是（）A．B．C．D．参考答案1．D 2．A 3．D 4．C 5．D 6．B 7．B 8．A 9．C 10．C 11．C。

高三数学三轮复习(表格形式)--12-空间几何体和三视图,表面积及体积

Sgh
棱台圆柱
S全 S侧 S上底 S下底 S全 2 r2 2 rh
空间几何体暴露在
V 1 (S ' S 'S S)h 3 V r2h
S S'
1 V台 3 (S ' S 'S S)h
圆锥
S全 (r '2 r2 r 'l rl)
空间几何体与三视图
三正视图光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图。视侧视图光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图。图俯视图光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。
正视图与侧视图高平齐；侧视图与俯视图宽相等；俯视图与正视图长对正。
直观图
空间几何表体面
积和体积
画法使用斜二测画法画出空间几何体的底、再画出空间几何体的其它部分。
面积
关系水平放置的平面图形的面积为 S ，使用斜二测画法画出的直观图的面积为 S ' ，则 S 2 2S ' 。
表面积
体积
棱柱
S全 S侧 2S底
V S底 gh高
棱锥
S全 S侧 S底
表面积即
V
1 3
S底
gh高
V锥
1 3
面的面积之和。
V 1 (r '2 r 'r r2 )h 3
S'0
V柱 Sgh
球
S球 4 R2
V球
4 3
R3
1

山东省济宁市高三数学考试清单考点十三三视图、几

考点十三：三视图、几何计算13.1 空间几何体的结构及其三视图与直观图考纲要求1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．3．会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．13.2 空间几何体的表面积与体积考纲要求了解柱体、锥体、台体、球体的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)高考真题示例1．（2011·安徽高考理科·Ｔ6）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）（A）48 （B）32+178（C）48+178（D）80【思路点拨】将三视图还原成直观图，可以知道这是一个底面为等腰梯形的直棱柱，之后利用面积公式，求出六个面的面积.【精讲精析】选C.这是一个底面为等腰梯形的直棱柱,两底面等腰梯形的面积和为，）（24442212=⨯+⨯⨯四个侧面的面积为，）（17824172244+=++⨯所以该几何体的表面积为48+178.2.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）（A）（B）（C）（D）【思路点拨】由正视图和俯视图可联想到几何体的直观图，然后再推出侧视图.【精讲精析】选D. 由正视图和俯视图可以推测几何体为半圆锥和三棱锥的组合体（如图所示），且顶点在底面的射影恰是底面半圆的圆心，可知侧视图为等腰三角形，且轮廓线为实线，故选DB CA3.（2011·北京高考文科·T5）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）（A ）32 （B ）16162+ （C ）48 （D ）16322+【思路点拨】作出直观图，先求出斜高，再计算表面积.【精讲精析】选B.斜高为222222+=，表面积为214(422)4161622⨯⨯⨯+=+.4.（2011·湖南高考理科·T3）设如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）（A ）1229+π （B ）1829+π（C ）429+π （D ）1836+π【思路点拨】本题考查学生的空间想象能力和计算几何体的体积的能力.【精讲精析】选B.由三视图可以得到几何体的上面是一个半径为23 的球，下面是一个底面边长为3高为2的正四棱柱.故体积为3439332+()18.322π⨯⨯⨯=+π5．（2011·陕西高考理科·T5）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）（A ）283π- 正（主）视图侧（左）视图俯视图2443 32正视图侧视图俯视图（B ）83π-（C ）82π- （D ）23π 【思路点拨】根据已知的三视图想象出空间几何体，然后由几何体的组成和有关几何体体积公式进行计算．【精讲精析】选A ．由几何体的三视图可知该几何体为一个组合体，即一个正方体中间去掉一个圆锥体，所以它的体积是3212212833V ππ=-⨯⨯⨯=-.6.（2011·浙江高考理科·Ｔ3）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）【思路点拨】逐个检验筛查.【精讲精析】选D.由正视图来看符合条件的只有C,D.从俯视图来看只有D 选项中的几何体符合.7.（2011·天津高考理科·T10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为__________3m 【思路点拨】由三视图正确判断出组合体的图形是关键.【精讲精析】组合体的底座是一个长、宽、高分别为3、2、1的长方体，上面是一个底面半径为1，高为3的圆锥，所以所求的体积是：211332163=+=⨯⨯+⨯⨯=+V V V ππ圆锥长方体【答案】6+π8.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ15）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6,23AB BC ==,则棱锥O ABCD -的体积为 __ .【思路点拨】画出图形，找出球心位置，然后数形结合求出棱锥O-ABCD 的体积.【精讲精析】如图所示，OO '垂直于矩形ABCD 所在的平面，垂足为O '，连接O 'B ，OB ，则在Rt ∆OO B '中，由OB ＝4, 23O B '=，可得OO '＝2,1162328 3.33O ABCD V S OO -'∴=⋅=⨯⨯⨯= 【答案】839.（2011·新课标全国高考文科·Ｔ16）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的163，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________【思路点拨】画出图形，利用数形结合，然后利用球及圆的性质求解. 【精讲精析】如图设球的半径为R ，圆锥的底面圆半径为r ，则依题意得223416r R ππ=⨯，即3cos ,2r O CO R '=∠=130,2O CO OO R ''∴∠=︒∴=，11,22AO R R BO R R ''∴=-=+, 112.332RAO BO R '∴==' 【答案】1310. （2011·福建卷理科·Ｔ12）三棱锥P-ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA=3，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥P-ABC 的体积等于______. 【思路点拨】利用公式13P ABC ABC V S PA -∆=⋅⋅求体积. 【精讲精析】由题意得：211323 3.334P ABC ABC V S PA -∆=⋅⋅=⨯⨯= 311.（2010·浙江高考文科·Ｔ8）若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是（）（A ）3523cm 3 （B ）3203cm 3（C ）2243cm 3 （D ）1603cm3【命题立意】本题主要考查了对三视图所表达的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题.【思路点拨】解答本题要先由三视图，想象出直观图，再求体积.【规范解答】选B.此几何体上方为正四棱柱、下方为四棱台.所以其体积为22231320422(4848)33V cm=⨯+⨯++⨯=（cm 3）.12.（2010 ·海南宁夏高考·理科T10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）（A ）2a π （B ）273a π （C ）2113a π （D ）25a π 【命题立意】本小题主要考查了几何体的外接球问题.【思路点拨】找出球与棱柱的相应关系，找出球的半径与三棱柱棱长之间的关系. 【规范解答】选Ｂ.设球心为O ，设正三棱柱上底面为ABC ∆，中心为O '，因为三棱柱所有棱的长为a ，则可知OO ' 2a=，33O A a '=，又由球的相关性质可知，球的半径22216R OO O A a ''=+=，所以球的表面积为22743R a ππ=，故选Ｂ.13.（2010·天津高考文科·Ｔ12）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 .【命题立意】本题主要考查三视图的基础知识，和柱体体积的计算，属于容易题.【思路点拨】由三视图还原几何体的形状.【规范解答】由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形，则由正视图和侧视图可知该几何体的高为1，结合三个视图可知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积为1+=2⨯⨯（12）213. 【答案】314. （2013·山东高考文科·Ｔ4）一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示，该四棱锥侧面积和体积分别是（）A.45,8B.845,3 C.84(51),3+ D. 8,8 【解题指南】本题考查空间几何体的三视图及表面积和体积公式. 【解析】选B.由图知，此棱锥高为2，底面正方形的边长为2，3822231=⨯⨯⨯=V ,侧面积需要计算侧面三角形的高51222=+=h ，5452214=⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯=侧S .15. （2013·广东高考理科·Ｔ5）某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（）A ．4B ．143 C ．163D ．6 【解题指南】本题考查空间想象能力与台体体积公式，应首先还原出台体形状再计算. 【解析】选B. 四棱台的上下底面均为正方形，两底面边长和高分别为1,2,2，111414142333V S S S S h =+=++⨯=下下棱台上上（）（）.16. （2013·辽宁高考文科·Ｔ10）与（2013·辽宁高考理科·Ｔ10）相同已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若13,4,,12,AB AC AB AC AA ==⊥=，则球O 的半径为（）31713..210..3102A B C D【解题指南】对于某些简单组合体的相接问题，通过作出截面，使得有关的元素间的数量关系相对集中在某个平面图形中。

山东省济宁市高三数学考试清单考点九计数原理、二项式定理

考点九：计数原理、二项式定理9.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理考纲要求1、理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题．9.2 排列与组合考纲要求1．理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题．2．理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题．9.3 二项式定理考纲要求会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．高考真题示例一．选择题（共16小题）1．（2014•湖北）若二项式（2x+）7的展开式中的系数是84，则实数a=（）A．2 B．C．1 D．2．（2014•湖南）（x﹣2y）5的展开式中x2y3的系数是（）A．﹣20 B．﹣5 C．5 D．20 3．（2008•山东）展开式中的常数项为（）A．﹣1320 B．1320 C．﹣220 D．220 4．（2006•山东）已知（）n的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是（）A．﹣1 B．1 C．﹣45 D．45 5．（2010•江西）展开式中不含x4项的系数的和为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2 6．（2009•浙江）在二项式的展开式中，含x4的项的系数是（）A．﹣10 B．10 C．﹣5 D．57．（2015•湖北）已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A．212B．211C．210D．298．（2015•安徽二模）在的展开式中，x4的系数为（）A．﹣120 B．120 C．﹣15 D．15 9．（2013•山东模拟）的展开式x2的系数是（）A．﹣6 B．﹣3 C．0 D．3 10．（2013•江西）（x2﹣）5的展开式中的常数项为（）A．80 B．﹣80 C．40 D．﹣40 11．（2013•辽宁）使得（n∈N+）的展开式中含有常数项的最小的n为（）A．4 B．5 C．6D．7 12．（2012•安徽）（x2+2）（）5的展开式的常数项是（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 13．（2012•天津）在（2x2﹣）5的二项展开式中，x项的系数为（）A．10 B．﹣10 C．40 D．﹣4014．（2010•山东）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（）A．36种B．42种C．48种D．54种15．（2010•陕西）（x+）5（x∈R）展开式中x3的系数为10，则实数a等于（）A．﹣1 B．C．1 D．216．（2010•天河区校级三模）如果（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，那么a1+a2+…+a7的值等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2参考答案1．C 2．A 3．C 4．D 5．B 6．B 7．D 8．C 9．A 10．C 11．B 12．D 13．D 14．B 15．D 16．A。

山东省济宁市高三数学考试清单考点四三角函数、解

考点四：三角函数、解三角形4．1 任意角和弧度制及任意角的三角函数考纲要求1．了解任意角的概念．2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化． 3．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．4.2 同角三角函数的基本关系及三角函数的诱导公式考纲要求1．理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tanα⎝⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2(k ∈Z ). 2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，并能灵活运用．4.3 三角函数的图象与性质考纲要求1．能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性．2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性． 4.4 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质考纲要求1．了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象；了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响．2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．4.5 三角恒等变换考纲要求1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．4．能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．4.6 正、余弦定理及其应用举例考纲要求1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．考试难度：基础题型，难度不大，应熟练掌握三角函数的恒等变换公式，融会贯通，熟练应用。

高考数学复习考点知识专题讲解与训练33--- 空间几何体及其三视图和直观图

高考数学复习考点知识专题讲解与训练专题33 空间几何体及其三视图和直观图【考纲要求】1．了解多面体和旋转体的概念，理解柱、锥、台、球的结构特征.2．理解简单空间图形 (柱、锥、台、球的简易组合) 的含义，了解中心投影的含义，掌握平行投影的含义.3．理解三视图和直观图间的关系，掌握三视图所表示的空间几何体.会用斜二测法画出它们的直观图.【知识清单】知识点1．空间几何体的结构特征一、多面体的结构特征二、旋转体的形成三、简单组合体简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体．知识点2．空间几何体的直观图简单几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：(1)画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°或135°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于x′轴、y′轴．已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．(2)画几何体的高在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变．知识点3．空间几何体的三视图三视图几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽.即“长对正，宽相等，高平齐”.【考点梳理】考点一：空间几何体的结构特征【典例1】（2020·山东海南省高考真题）已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以1D BCC1B1的交线长为________．.【答案】2【解析】如图：取11B C 的中点为E ，1BB 的中点为F ，1CC 的中点为G ，因为BAD ∠=60°，直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均为2，所以△111D B C为等边三角形，所以1D E =111D E B C ⊥，又四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱，所以1BB ⊥平面1111D C B A ，所以111BB B C ⊥，因为1111BB B C B =，所以1D E ⊥侧面11B C CB ，设P 为侧面11B C CB 与球面的交线上的点，则1D E EP ⊥，1D E =，所以||EP === 所以侧面11B C CB 与球面的交线上的点到E ，因为||||EF EG ==所以侧面11B C CB 与球面的交线是扇形EFG 的弧FG ，因为114B EF C EG π∠=∠=，所以2FEG π∠=，所以根据弧长公式可得22FG π==.. 【典例2】（2019·全国高考真题（理））中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．【答案】共26个面.1.【解析】由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有18826+=个面．如图，设该半正多面体的棱长为x ，则AB BE x ==，延长BC 与FE 交于点G ，延长BC 交正方体棱于H ，由半正多面体对称性可知，BGE ∆为等腰直角三角形，,21)122BG GE CH x GH x x x ∴===∴=⨯+==，1x ∴==1．【总结提升】解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧(1)关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一反例即可．(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．(3)既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．【变式探究】1. （2018·上海高考真题）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱AA是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马垂直于底面的四棱锥为阳马，设1AA为底面矩形的一边，则这样的阳马的个以该正六棱柱的顶点为顶点、以1数是（）A.4B.8C.12D.16【答案】D【解析】根据正六边形的性质，则D1﹣A1ABB1，D1﹣A1AFF1满足题意，而C 1，E 1，C ，D ，E ，和D 1一样，有2×4=8，当A 1ACC 1为底面矩形，有4个满足题意，当A 1AEE 1为底面矩形，有4个满足题意，故有8+4+4=16故选：D ．2.（2018届云南省名校月考一）已知长方体1111ABCD A B C D -的所有顶点在同一个球面上，若球心到过A 点的三条棱所在直线的距离分别是则该球的半径等于__________．【解析】设长方体1111ABCD A B C D -过点A 的三条棱的长分别为,,a b c ，由已知条件得：22228a b c ++=，所以球的半径为【特别提醒】三棱柱、四棱柱、正方体、长方体、三棱锥、四棱锥是常见的空间几何体，也是重要的几何模型，要特别注意掌握它们的几何特征．考点二：空间几何体的直观图【典例3】（2020·安徽金安�六安一中高一期末（理））如图所示，A B C ''△是水平放置的ABC 的直观图，'''//A B y 轴，'''//B C x 轴，''2A B =，''3B C =，则ABC 中，AC =（）A ．2B ．5C ．4D 【答案】B【解析】根据直观图可知''''24,3,2AB A B BC B C ABC π====∠=，所以5AC ===.故选：B【典例4】（2019·广东高考模拟（文））如图所示，在正方体1111ABCD A B C D 中，M 为1DD 的中点，则图中阴影部分1BC M 在平面11BCC B 上的正投影是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据正方体的结构特征，可知点M 在平面11BCC B 上的正投影是1CC 的中点，再结合点1B C 、的投影特征，即可得到图象.详解：由题意知，点M 在平面11BCC B 上的正投影是1CC 的中点，点B 和点1C 的投影是本身，连接三个投影点.故选D.【总结提升】1.用斜二测画法画直观图的技巧在原图形中与x 轴或y 轴平行的线段在直观图中与x ′轴或y ′轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出.2.解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系.3.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：SS原图形，S原图形＝直观图．【变式探究】1.（2019·河南高考模拟（理））设四面体ABCD各棱长均相等，S为AD在四面体的面BCD上的中点，Q为BC上异于中点和端点的任一点，则SQD的的射影可能是（）A.①B.②C.③D.④【答案】C【解析】四面体各棱长相等，可知四面体ABCD为正四面体取BC中点E，连接DE，如下图所示：作AF⊥平面BCD，垂足为F，由正四面体特点可知，F为BCD∆中心，且23DF DE=作ST⊥平面BCD，垂足为T，可知//ST AF，且T为DF中点，则13DT DE=即S在平面BCD上的射影点为T又,D Q∈平面BCDDQT∴∆即为SQD∆在平面BCD上的射影，可知③正确本题正确选项：C2. （2020·四川仁寿一中高三其他（文））佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效.因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目.图1的ABCD由六个正三角形构成，将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊，那么在图2这个六面体中，棱AB与CD所在直线的位置关系为（）A．平行B．相交C．异面且垂直D．异面且不垂直【答案】B【解析】将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，B C两点重合，所以AB与CD相交，且，故选：B考点三：空间几何体的三视图【典例5】（2020·全国高考真题（理））如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为（）A．E B．F C．G D．H【答案】A【解析】根据三视图，画出多面体立体图形，14D D 上的点在正视图中都对应点M ,直线34B C 上的点在俯视图中对应的点为N,∴在正视图中对应M ,在俯视图中对应N 的点是4D ,线段34D D ,上的所有点在侧试图中都对应E ,∴点4D 在侧视图中对应的点为E .故选：A【典例6】（2018·全国高考真题（文））中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意知，题干中所给的是榫头，是凸出的几何体，求得是卯眼的俯视图，卯眼是凹进去的，即俯视图中应有一不可见的长方形，且俯视图应为对称图形故俯视图为故选A.【典例7】（2018年理新课标I卷）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（）A. B.C. D. 2【答案】B[来源:学科网ZXXK]【解析】根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为，故选B.【规律方法】三视图中的数据与原几何体中的数据不一定一一对应，识图要注意甄别. 揭示空间几何体的结构特征，包括几何体的形状，平行垂直等结构特征，这些正是数据运算的依据.还原几何体的基本要素是“长对齐，高平直，宽相等”.简单几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．【变式探究】1.（2018·北京高考真题（文））某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.详解：由三视图可得四棱锥P ABCD -，在四棱锥P ABCD -中，2,2,2,1PD AD CD AB ====，由勾股定理可知：3,PA PC PB BC ====，则在四棱锥中，直角三角形有：,,PAD PCD PAB ∆∆∆共三个，故选C.2．(2019·石家庄质检)一个三棱锥的正(主)视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧(左)视图可能为( )【答案】D【解析】由题图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD⊥平面BCD，故选D.考点四：三视图与空间几何体的面积、体积【典例8】（2020·全国高考真题（文））下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABC ADC CDBS S S===⨯⨯=△△△根据勾股定理可得：AB AD DB===∴ADB△是边长为根据三角形面积公式可得：211sin 60222ADB S AB AD =⋅⋅︒=⋅=△∴该几何体的表面积是：632=⨯++故选：C.【典例9】（2019·浙江高考真题）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（）A ．158B ．162C ．182D ．32【答案】B【解析】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为2646336162 22++⎛⎫⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭.【总结提升】1.三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．(3)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形状，然后再找其剩下部分三视图的可能形状．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．2.几类空间几何体表面积、体积的求法(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和．(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．(3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的删、补．(4)若以三视图形式给出，解题的关键是根据三视图，想象出原几何体及几何体中各元素间的位置关系及数量关系．【变式探究】1．（2019·河北高三期末（文））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．116πB．73πC．136πD．83π【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体由半个圆锥与一个圆柱体拼接而成，所以该几何体的体积2211131211326V πππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=.故选C 2.（2019·浙江高三月考）已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示则该几何体的体积为____3cm ，表面积为_____2cm .【答案】100 124+【解析】画出三视图对应的原图如下图所示几何体ABCD J FGHI --，也即长方体ABCD EGHI -切掉一个三棱锥J EFI -.故几何体的体积为11663344108810032⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-=3cm ，表面积为()16626323623434442JFI S ∆⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-⨯+⨯+⨯+124JFI S ∆=+，在JFI ∆中5,JI IF JF ===12JFI S ∆=⨯=为124124JFI S ∆+=+2cm .故填：（1）100；（2）124+。

山东省济宁市2020届高三数学考试清单考点三函数与导数

考点三：函数与导数3.1 函数及其表示考纲要求1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单地应用．3.2 函数的单调性与最值考纲要求1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．2．会运用函数图象理解和研究函数的性质．3.3 函数的奇偶性与周期性考纲要求1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性．3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．3.4 一次函数、二次函数考纲要求1．理解并掌握一次函数、二次函数的定义、图象及性质．2．会求二次函数在闭区间上的最值．3．能用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的联系去解决有关问题．3.5 指数与指数函数考纲要求1．了解指数函数模型的实际背景．2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．4．知道指数函数是一类重要的函数模型．3.6 对数与对数函数考纲要求1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．2．理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．3．知道对数函数是一类重要的函数模型．4．了解指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)互为反函数．3.7 幂函数考纲要求1．了解幂函数的概念．2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝12x，y＝1x的图象，了解它们的变化情况．3.8 函数与方程考纲要求1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．3.9 导数、导数的计算考纲要求1．了解导数概念的实际背景．2．通过函数图象直观地理解导数的几何意义．3．能根据导数定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 的导数．4．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．能求简单复合函数(仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数)的导数．试题难度本题属于综合性较强的中档题，需要扎实的基础知识才能顺利解决。

山东省济宁市2020届高三数学考试清单考点十平面向量

考点十：平面向量10． 1平面向量的观点及其线性运算考大纲求1．认识向量的实质背景．2．理解平面向量的观点和向量相等的含义．3．理解向量的几何表示．4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6．认识向量线性运算的性质及其几何意义．10.2平面向量的基本定理及坐标运算考大纲求1．认识平面向量的基本定理及其意义．2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．10.3平面向量的数目积及其应用考大纲求1．理解平面向量数目积的含义及其物理意义．2．认识平面向量的数目积与向量投影的关系．3．掌握数目积的坐标表达式，会进行平面向量数目积的运算．4．能运用数目积表示两个向量的夹角，会用数目积判断两个平面向量的垂直关系．5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．6．会用向量方法解决简单的力学识题与其余一些实质问题．高考真题示例1．（ 2020?山东）已知菱形ABCD 的边长为a，∠ ABC=60°，则=（）A．﹣a2 B．﹣a2 C．a2 D．a22．（ 2020?天津）已知△ ABC为等边三角形，，λ∈ R．若=﹣A．B．AB=2．设点，则λ =（C．P，Q知足），D．3．（ 2020?山东）设 A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不一样的四点，若（λ∈R），（μ∈R），且，则称A3，A4调解切割A1， A2，已知点C（c，0），D（ d，O）（ c，d∈ R）调解切割点A． C 可能是线段AB的中点B． D 可能是线段AB的中点C． C， D可能同时在线段AB上A（ 0，0），B（ 1，0），则下边说法正确的选项是（）D． C， D 不行能同时在线段AB 的延伸线上4．（ 2020?湖北）若向量=（ 1， 2）， = （ 1 ，﹣ 1），则 2 + 与的夹角等于（）A．﹣B．C．D．5．（ 2020?辽宁）已知向量=（ 2，1），=（﹣ 1，k）， ?（ 2 ﹣） =0，则 k=（）A．﹣12 B．﹣6 C ．6 D． 126．（ 2020?山东）定义平面向量之间的一种运算“⊙”以下：对随意的，令，下边说法错误的选项是（）A．B．若与共线，则⊙=0 ⊙ = ⊙C．⊙ = D．）2=| | 2| | 2对随意的λ∈ R，有⊙（⊙）2+（）7．（ 2009?山东）设 P是△ ABC所在平面内的一点，，则（）A．B．C．D．8．（ 200 9?宁夏）已知向量=（﹣ 3， 2）， =（﹣ 1， 0），若λ+与﹣2垂直，则实数λ 的值为（）A．﹣B．C．﹣D．9．（ 2020?山东）已知a，b， c 为△ ABC的三个内角 A， B， C 的对边，向量 =（，﹣ 1），=（ cosA， sinA ）．若⊥，且α cosB+bcosA=csinC ，则角 A， B 的大小分别为（）A．，B．，C．，D．，10．（ 2020? 山东）已知=（1， n），=（﹣ 1， n），若 2﹣与垂直，则||= （）A．1B．C．2D．411．（ 2020?山东）在直角△ ABC中， CD是斜边 AB上的高，则以下等式不建立的是（）A．B．C．D．参照答案1．D2． A3．D4．C5．D6．B7．B8．A9．C 1 0． C 11． C。

高三数学鲁教版知识点

高三数学鲁教版知识点课堂临时报佛脚，不如课前预习好。

其实任何学科的知识都是一样的，学习任何一门学科，勤奋都是最好的学习方法，没有之一，书山有路勤为径。

下面是小编给大家整理的一些高三数学的知识点，希望对大家有所帮助。

(1)不等关系感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的` 实际背景。

(2)一元二次不等式①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程。

②通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。

③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图。

(3)二元一次不等式组与简单线性规划问题①从实际情境中抽象出二元一次不等式组。

②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组(参见例 2)。

③从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决(参见例 3)。

(4)基本不等式①探索并了解基本不等式的证明过程。

②会用基本不等式解决简单的(小)值问题。

1、基本事件特点：任何两个基本事件是互斥的;任何事件(除不可能事件) 都可以表示成基本事件的和。

2、古典概率：具有下列两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;(2)每个基本事件出现的可能性相等.P(A)A 中所含样本点的个数nA 中所含样本点的个数n.3、几何概率：如果随机试验的样本空间是一个区域(可以是直线上的区间、平面或空间中的区域)，且样本空间中每个试验结果的出现具有等可能性，那么规定事件 A 的概率为几何概率.几何概率具有无限性和等可能性。

4、古典概率和几何概率的基本事件都是等可能的;但古典概率基本事件的个数是有限的，几何概率的是无限个的.计数与概率问题在近几年的高考中都加大了考查的力度，每年都以解答题的形式出现。

在复习过程中，由于知识抽象性强，学习中要注重基础知识和基本方法，不可过深，过难。

复习时可从最基本的公式，定理，题型入手，恰当选取典型例题，构建思维模式，造成思维依托和思维的合理定势。

山东数学高考题型总结

立体几何常考题型总结一、三视图做题思路1、由三视图确定几何体的形状（柱体、锥体、台体、组合体）2、明确求体积还是表面积3、若求体积，明确底面积和高，高即是正视图或侧视图的高4、若求表面积，需还原几何体，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，根据三视图的规则，可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，在还原为空间几何体实际形状时一般以正视图和俯视图为主。

5、若是组合体，体积直接相加减，表面积注意结合的部分二、线面关系的判断与证明（1）线面平行的证明方法：①寻找面内的直线与已知直线平行，得分点：线线平行②利用直线所在的平面与已知平面平行，得分点：面面平行（2）面面平行的证明方法：利用线面平行，得分点：两次线面平行，两线相交关键证线线平行，常用的方法：1、中点------三角形的中位线2、相似三角形3、构造平行四边形4、 ,a b b c a c ⇒5、 ,,a a b a b αβαβ⊂⋂=⇒6、 ,,a b a b αβαγβγ⋂=⋂=⇒（3）线面垂直的证明方法：分析题中垂直条件，寻找线线垂直，或面面垂直①若有线线垂直，关键找两条相交直线，所证直线与平面内的两相交直线垂直即可②若有面面垂直，关键找两平面的交线的垂线。

（4）面面垂直的证明方法：在其中一个平面内寻找另一个平面的垂线，得分点：线面垂直关键证线线垂直，常用的方法：1、中点-----等腰三角形2、已知边长较多，利用勾股定理、余弦定理计算垂直3、菱形的对角线，矩形、正方形4、线面垂直的定义5、 ,a b a c b c ⊥⇒⊥概率与统计题型总结1、概率最关键的是要区分是古典概型（与个数有关）还是几何概型（与长度、面积、体积有关）2、解答题审题要慢，确保总的基本事件要列举对，注意是否放回3、记住以下几个数，检验列举的结果：4选2------6种 5选2--------10种 6选2-------15种 5选3---------10种 6选3--------20种两个骰子36种4、分层抽样注意抽样比是n N5、四个数据特征：众数、中位数、平均数、方差与标准差2222121()()()n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ 频率分布直方图中：1、众数：最高小矩形的中点2、中位数：中位数两侧的面积各为0.53、平均数：每个小矩形的中点与其对应的面积的乘积再求和4、通过小长方形的面积之和为1求不知道的频率。