人教A版(理)数学一轮复习导练测：第二章 函数与基本初等函数I 2.8

2.8 函数与方程
1．函数的零点 (1)函数零点的定义
对于函数y ＝f (x ) (x ∈D )，把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x ) (x ∈D )的零点． (2)几个等价关系
方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个__c __也就是方程f (x )＝0的根．
2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与零点的关系
3.对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点．( × )
(2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点(函数图象连续不断)，则f (a )·f (b )<0.( × ) (3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在b 2－4ac <0时没有零点．( √ ) (4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．( × ) (5)函数y ＝2sin x －1的零点有无数多个．( √ )
(6)函数f (x )＝kx ＋1在[1,2]上有零点，则－1<k <－1
2
.( × )
1．(2013·重庆)若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( ) A ．(a ，b )和(b ，c )内 B ．(－∞，a )和(a ，b )内 C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内 D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内
答案 A
解析 由于a <b <c ，所以f (a )＝0＋(a －b )(a －c )＋0>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0.因此有f (a )·f (b )<0，f (b )·f (c )<0，又因f (x )是关于x 的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，因此函数f (x )的两零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内，故选A. 2．(2013·天津)函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B
解析 当0<x <1时，f (x )＝2x log 0.5x －1，令f (x )＝0，则log 0.5x ＝⎝⎛⎭⎫12x .
由y ＝log 0.5x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象知，在(0,1)内有一个交点，即f (x )在(0,1)上有一个零点． 当x >1时，f (x )＝－2x log 0.5x －1＝2x log 2x －1， 令f (x )＝0得log 2x ＝⎝⎛⎭⎫12x ，
由y ＝log 2x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象知在(1，＋∞)上有一个交点，即f (x )在(1，＋∞)上有一个零点，故选B.
3．(2014·湖北)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A ．{1,3} B ．{－3，－1,1,3} C ．{2－7，1,3} D ．{－2－7，1,3} 答案 D
解析 令x <0，则－x >0，
所以f (－x )＝(－x )2－3(－x )＝x 2＋3x . 因为f (x )是定义在R 上的奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )．
所以当x <0时，f (x )＝－x 2－3x .
所以当x ≥0时，g (x )＝x 2－4x ＋3.令g (x )＝0，即x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3.当x <0时，g (x )＝－x 2－4x ＋3.令g (x )＝0，即x 2＋4x －3＝0，解得x ＝－2＋7>0(舍去)或x ＝－2－7.所
以函数g (x )有三个零点，故其集合为{－2－7，1,3}．
4．已知函数f (x )＝ln x －x ＋2有一个零点所在的区间为(k ，k ＋1) (k ∈N ＋)，则k 的值为________． 答案 3
解析 由题意知，当x >1时，f (x )单调递减，因为f (3)＝ln3－1>0，f (4)＝ln4－2<0，所以该函数的零点在区间(3,4)内，所以k ＝3.
题型一 函数零点的判断和求解
例1 (1)设x 0是方程ln x ＋x ＝4的解，则x 0属于( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)
D ．(3,4)
(2)函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
ln x －x 2
＋2x ，x >0，
4x ＋1，x ≤0的零点个数是________．
答案 (1)C (2)3
解析 (1)设f (x )＝ln x ＋x －4， ∵f (2)＝ln2－2<0，f (3)＝ln3－1>0， ∴x 0∈(2,3)．
(2)当x >0时：作函数y ＝ln x 和y ＝x 2－2x 的图象，
由图知，x >0时，f (x )有两个零点； 当x <0时，由f (x )＝0得x ＝－1
4，
综上，f (x )有三个零点． 思维升华 函数零点的求法：
(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其有几个交点，就有几个不同的零点．
(1)函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( )
A ．(－2，－1)
B ．(－1,0)
C ．(0,1)
D ．(1,2)
(2)若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是( ) A ．多于4个 B ．4个 C ．3个
D ．2个
答案 (1)B (2)B
解析 (1)∵f (x )＝2x ＋3x 在R 上是增函数． 而f (－2)＝2－
2－6<0，f (－1)＝2－
1－3<0，
f (0)＝20＝1>0，f (1)＝2＋3＝5>0，f (2)＝22＋6＝10>0， ∴f (－1)·f (0)<0.
故函数f (x )在区间(－1,0)上有零点． (2)由题意知，f (x )是周期为2的偶函数．
在同一坐标系内作出函数y ＝f (x )及y ＝log 3|x |的图象，如下：
观察图象可以发现它们有4个交点， 即函数y ＝f (x )－log 3|x |有4个零点． 题型二 二次函数的零点问题
例2 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋2，a ∈R .
(1)若不等式f (x )≤0的解集为[1,2]，求不等式f (x )≥1－x 2的解集；
(2)若函数g (x )＝f (x )＋x 2＋1在区间(1,2)上有两个不同的零点，求实数a 的取值范围． 解 (1)因为不等式f (x )≤0的解集为[1,2]， 所以a ＝－3，于是f (x )＝x 2－3x ＋2. 由f (x )≥1－x 2得，1－x 2≤x 2－3x ＋2， 解得x ≤1
2
或x ≥1，
所以不等式f (x )≥1－x 2的解集为{x |x ≤1
2
或x ≥1}．
(2)函数g (x )＝2x 2
＋ax ＋3在区间(1,2)上有两个不同的零点，则⎩⎪⎨⎪
⎧
g (1)>0，
g (2)>0，1<－a
4
<2，
a 2
－24>0，
即错误!解得－5<a <－2错误!.
所以实数a 的取值范围是(－5，－26)．
思维升华 解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组．
已知f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a
的取值范围．
解 方法一 设方程x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)＝0的两根分别为x 1，x 2(x 1<x 2)，则(x 1－1)(x 2－1)<0， 即x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1<0， 由根与系数的关系，
得(a －2)＋(a 2－1)＋1<0， 即a 2＋a －2<0，∴－2<a <1. 方法二 函数图象大致如图， 则有f (1)<0，
即1＋(a 2－1)＋a －2<0， 故－2<a <1.
题型三 函数零点和参数的范围
例3 若关于x 的方程22x ＋2x a ＋a ＋1＝0有实根，求实数a 的取值范围． 解 方法一 (换元法)
设t ＝2x (t >0)，则原方程可变为t 2＋at ＋a ＋1＝0，(*) 原方程有实根，即方程(*)有正根． 令f (t )＝t 2＋at ＋a ＋1.
①若方程(*)有两个正实根t 1，t 2， 则⎩⎪⎨⎪
⎧
Δ＝a 2
－4(a ＋1)≥0，t 1＋t 2＝－a >0，t 1·
t 2＝a ＋1>0，解得－1<a ≤2－22；
②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根，不合题意，舍去)，则f (0)＝a ＋1<0，解得a <－1；
③若方程(*)有一个正实根和一个零根，则f (0)＝0且－a
2>0，解得a ＝－1.
综上，a 的取值范围是(－∞，2－22]． 方法二 (分离变量法)
由方程，解得a ＝－22x ＋1
2x ＋1，设t ＝2x (t >0)，
则a ＝－t 2＋1
t ＋1
＝－⎝⎛⎭⎫t ＋2t ＋1－1
＝2－⎣⎡⎦
⎤(t ＋1)＋2
t ＋1，其中t ＋1>1，
由基本不等式，得(t ＋1)＋2
t ＋1≥22，当且仅当t ＝2－1时取等号，故a ≤2－2 2.
思维升华 对于“a ＝f (x )有解”型问题，可以通过求函数y ＝f (x )的值域来解决，解的个数也可化为函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝a 交点的个数．
(2014·江苏)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f (x )＝|x 2－
2x ＋1
2|.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是
________． 答案 (0，1
2
)
解析 作出函数y ＝f (x )在[－3,4]上的图象，f (－3)＝f (－2)＝f (－1)＝f (0)＝f (1)＝f (2)＝f (3)＝f (4)＝12，观察图象可得0<a <12
.
数形结合思想在函数零点问题中的应用
典例：(1)方程log 3x ＋x －3＝0的解所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)
(2)已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a >0，且a ≠1)，当2<a <3<b <4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________.
思维点拨 (1)利用零点存在性定理；(2)利用临界情况时f (x )的图象观察零点的大小． 解析 (1)设f (x )＝log 3x ＋x －3， 则f (2)＝log 32－1<0， f (3)＝log 33＋3－3＝1>0， ∴f (x )＝0在(2,3)有零点，
又f (x )为增函数，∴f (x )＝0的零点在(2,3)内．
(2)在直角坐标系下分别作出y ＝log 2x ，y ＝log 3x 及y ＝3－x ，y ＝4－x 的图象，如图所示，显然所有可能的交点构成图中的阴影区域(不含边界)，其中各点的横坐标均落于(2,3)之内，又因为
x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，故n ＝2.
答案 (1)C (2)2
温馨提醒 (1)零点问题可转化为函数图象的交点问题进行求解，体现了数形结合的思想．(2)求零点范围时用数形结合求解可减少思维量，作图时要尽量准确.
方法与技巧
1．函数零点的判定常用的方法有
(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f (x )＝0.
2．研究方程f (x )＝g (x )的解，实质就是研究G (x )＝f (x )－g (x )的零点．
3．转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题． 失误与防范
1．函数f (x )的零点是一个实数，是方程f (x )＝0的根，也是函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标．
2．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象.
A 组 专项基础训练 (时间：45分钟)
1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －1， x ≤1，1＋log 2
x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )
A.1
2，0 B ．－2,0 C.12 D ．0
答案 D
解析 当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝1
2，
又因为x >1，所以此时方程无解． 综上函数f (x )的零点只有0，故选D.
2．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B
解析 (数形结合法) ∵a >0，∴a 2＋1>1. 而y ＝|x 2－2x |的图象如图，
∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有两个交点．
3．若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－1,1)
B ．(－2,2)
C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案 C
解析 ∵方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝m 2－4>0，∴m >2或m <－2.
4．函数f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
答案 C
解析 由f (x )＝x cos x 2＝0，得x ＝0或cos x 2＝0. 又x ∈[0,4]，所以x 2∈[0,16]． 由于cos(π
2
＋k π)＝0(k ∈Z )，
而在π2＋k π(k ∈Z )的所有取值中，只有π2，3π2，5π2，7π2，9π
2满足在[0,16]内，故零点个数为1＋5
＝6.
5．已知三个函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝x －2，h (x )＝log 2x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．b <a <c D ．c <a <b
答案 B
解析 方法一 由于f (－1)＝12－1＝－1
2<0，f (0)＝1>0，
且f (x )为R 上的递增函数． 故f (x )＝2x ＋x 的零点a ∈(－1,0)．
∵g (2)＝0，∴g (x )的零点b ＝2； ∵h ⎝⎛⎭⎫12＝－1＋12＝－12<0，h (1)＝1>0， 且h (x )为(0，＋∞)上的增函数， ∴h (x )的零点c ∈⎝⎛⎭⎫12，1，因此a <c <b . 方法二 由f (x )＝0得2x ＝－x ；
由h (x )＝0得log 2x ＝－x 作出函数y ＝2x ， y ＝log 2x 和y ＝－x 的图象(如图)．
由图象易知a <0,0<c <1，而b ＝2， 故a <c <b .
6．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是________． 答案 {x |－3
2
<x <1}
解析 ∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2,3. ∴－2,3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，
由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧
－2＋3＝－a ，
－2×3＝b .
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝－1，
b ＝－6， ∴f (x )＝x 2－x －6. ∵不等式af (－2x )>0，
即－(4x 2＋2x －6)>0⇔2x 2＋x －3<0， 解集为{x |－3
2
<x <1}．
7．函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________. 答案 2
解析 由于ln2<lne ＝1，所以f (2)<0，f (3)＝2＋ln3，由于ln3>1，所以f (3)>0，所以增函数f (x )的零点位于区间(2,3)内，故n ＝2.
8．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x －1，x >0，
－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范
围是________．
答案 (0,1)
解析 画出f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x －1，x >0，
－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图．
由于函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，结合图象得：0<m <1，即m ∈(0,1)． 9．判断函数f (x )＝4x ＋x 2－2
3
x 3在区间[－1,1]上零点的个数，并说明理由．
解 因为f (－1)＝－4＋1＋23＝－73<0，f (1)＝4＋1－23＝13
3>0，所以f (x )在区间[－1,1]上有零点．
又f ′(x )＝4＋2x －2x 2＝92－2(x －12)2，当－1≤x ≤1时，0≤f ′(x )≤9
2，所以f (x )在[－1,1]上单调
递增．
所以f (x )在[－1,1]上有且只有一个零点．
10．关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围． 解 方法一 设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0,2]， ①若f (x )＝0在区间[0,2]上有一解， ∵f (0)＝1>0，则应有f (2)<0， 又∵f (2)＝22＋(m －1)×2＋1， ∴m <－3
2
.
②若f (x )＝0在区间[0,2]上有两解，则
⎩⎪⎨⎪⎧
Δ≥0，
0<－m －1
2<2，f (2)≥0，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
(m －1)2
－4≥0，－3<m <1，4＋(m －1)×2＋1≥0.
∴⎩⎪⎨
⎪⎧
m ≥3或m ≤－1，
－3<m <1，m ≥－32.
∴－3
2
≤m ≤－1.
由①②可知m 的取值范围是(－∞，－1]．
方法二 显然x ＝0不是方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0的解， 0<x ≤2时，方程可变形为 1－m ＝x ＋1
x
，
又∵y ＝x ＋1
x
在(0,1]上单调递减，[1,2]上单调递增，
∴y ＝x ＋1
x 在(0,2]的取值范围是[2，＋∞)，
∴1－m ≥2，∴m ≤－1， 故m 的取值范围是(－∞，－1]．
B 组 专项能力提升 (时间：25分钟)
11．(2014·重庆)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
1x ＋1－3， x ∈(－1，0]，
x ，x ∈(0，1]，且g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]
内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，1
2 B.⎝⎛⎦⎤－114，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，2
3 D.⎝⎛⎦⎤－114，－2∪⎝⎛⎦⎤0，23 答案 A
解析 作出函数f (x )的图象如图所示， 其中A (1,1)，B (0，－2)．
因为直线y ＝mx ＋m ＝m (x ＋1)恒过定点C (－1,0)，故当直线y ＝m (x ＋1)在AC 位置时，m ＝12，
可知当直线y ＝m (x ＋1)在x 轴和AC 之间运动时两图象有两个不同的交点(直线y ＝m (x ＋1)可与AC 重合但不能与x 轴重合)，此时0<m ≤1
2，g (x )有两个不同的零点．当直线y ＝m (x ＋1)过
点B 时，m ＝－2；当直线y ＝m (x ＋1)与曲线f (x )相切时，联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝1x ＋1－3，
y ＝m (x ＋1)，得mx 2＋(2m ＋
3)x ＋m ＋2＝0，由Δ＝(2m ＋3)2－4m (m ＋2)＝0，解得m ＝－9
4，可知当y ＝m (x ＋1)在切线和
BC 之间运动时两图象有两个不同的交点(直线y ＝m (x ＋1)可与BC 重合但不能与切线重合)，此时－94<m ≤－2，g (x )有两个不同的零点．综上，m 的取值范围为(－94，－2]∪(0，1
2
]，故选
A.
12．若直角坐标平面内的两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称点对[P ，Q ]是函数y ＝f (x )的一对“友好点对”(点对[P ，Q ]与[Q ，P ]看作
同一对“友好点对”)．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
log 2x ，x >0，
－x 2－4x ，x ≤0，则此函数的“友好点对”有( )
A ．0对
B ．1对
C ．2对
D ．3对 答案 C
解析 函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
log 2x ，x >0，
－x 2
－4x ，x ≤0的图象及函数f (x )＝－x 2－
4x (x ≤0)的图象关于原点对称的图象如图所示，则A ，B 两点关于原点的对称点一定在函数f (x )＝－x 2－4x (x ≤0)的图象上，故函数f (x )的“友好点对”有2对，选C.
13．若方程4－x 2＝k (x －2)＋3有两个不等的实根，则k 的取值范围是________． 答案 (512，3
4
]
解析 作出函数y 1＝4－x 2和y 2＝k (x －2)＋3的图象如图所示，函数y 1的图象是圆心在原点，半径为2的圆在x 轴上方的半圆(包括端点)，函数y 2的图象是过定点P (2,3)的直线，因为点A (－2,0)，则k P A ＝3－0
2－(－2)
＝
34.直线PB 是圆的切线，由圆心到直线的距离等于半径得，|3－2k PB |k 2PB ＋1＝2，得k PB ＝5
12.由图可知当k PB <k ≤k P A 时，两函数图象有两个交点，即原方程有两个不等实根．所以512<k ≤34
.
14．已知0<a <1，k ≠0，函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
a x
， x ≥0，
kx ＋1，x <0，若函数g (x )＝f (x )－k 有两个零点，
则实数k 的取值范围是________． 答案 (0,1)
解析 函数g (x )＝f (x )－k 有两个零点，即f (x )－k ＝0有两个解，即y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个交点．分k >0和k <0作出函数f (x )的图象．当0<k <1时，函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个交点；当k ＝1时，有一个交点；当k >1或k <0时，没有交点，故当0<k <1时满足题意．
15．已知函数f (x )＝－x 2
＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2
x
(x >0)．
(1)若y ＝g (x )－m 有零点，求m 的取值范围；
(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． 解 (1)方法一 ∵g (x )＝x ＋e 2
x ≥2e 2＝2e ，
等号成立的条件是x ＝e ， 故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，
因而只需m ≥2e ，则y ＝g (x )－m 就有零点． 方法二 作出g (x )＝x ＋e 2
x (x >0)的大致图象如图．
可知若使y ＝g (x )－m 有零点，则只需m ≥2e.
(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异实根，即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，
作出g (x )＝x ＋e 2
x (x >0)的大致图象如图．
∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2. ∴其图象的对称轴为x ＝e ，开口向下， 最大值为m －1＋e 2.
故当m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．
∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．。