2013年高考数学总复习 4-4 两角和与差的三角函数 新人教B版

2013年高考数学总复习 4-4 两角和与差的三角函数 新人教B

版

1.(文)(2011·银川三模)已知sin θ＝4

5，且sin θ－cos θ>1，则sin2θ＝( )

A ．－24

25

B ．－1225

C ．－45

D.2425

[答案] A

[解析] 由题意可知cos θ＝－3

5，

所以sin2θ＝2sin θcos θ＝－24

25

，故选择A.

(理)(2011·潍坊月考)若sin(π6－α)＝13，则cos(2π

3＋2α)的值为( )

A.1

3 B ．－13

C.79 D ．－79

[答案] D

[解析] cos(2π3＋2α)＝2cos 2(π

3＋α)－1

＝2co s 2[π2－(π

6

－α)]－1

＝2sin 2(π6－α)－1＝2×(13)2－1＝－7

9

.

2．(文)(2011·北京东城区期末)在△ABC 中，C ＝120°，t an A ＋tan B ＝23

3，则tan A tan B

的值为( )

A.14

B.13

C.12

D.53 [答案] B

[解析] ∵C ＝120°，∴A ＋B ＝60°， ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝3，

∵tan A ＋tan B ＝233，∴tan A tan B ＝1

3

.

(理)已知sin α＝3

5

，α为第二象限角，且tan(α＋β)＝1，则tan β的值是( )

A ．－7

B ．7

C ．－34

D.34

[答案] B

[解析] 由sin α＝35，α为第二象限角，得cos α＝－4

5，

则tan α＝－3

4

.

∴tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan α＋β－tan α

1＋tan α＋βt an α

＝1＋341＋⎝⎛⎭

⎫－34＝7.

3．(文)已知0<α<π2<β<π，cos α＝35，sin(α＋β)＝－3

5，则cos β的值为( )

A ．－1

B ．－1或－7

25

C ．－24

25

D ．±2425

[答案] C

[解析] ∵0<α<π2，π2<β<π，∴π2<α＋β<3π

2，

∴sin α＝45，cos(α＋β)＝－4

5，

∴cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝⎝⎛⎭⎫－45 · 35＋⎝⎛⎭⎫－35 · 45＝－2425

，故选C. (理)(2010·河南许昌调研)已知sin β＝35(π2<β<π)，且sin(α＋β)＝cos α，则tan(α＋β)＝( )

A ．1

B ．2

C ．－2 D.8

25

[答案] C

[解析] ∵sin β＝35，π2<β<π，∴cos β＝－4

5，

∴sin(α＋β)＝cos α＝cos[(α＋β)－β] ＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β ＝－45cos(α＋β)＋3

5

sin(α＋β)，

∴25sin(α＋β)＝－4

5

cos(α＋β)，∴tan(α＋β)＝－2.

4．(2011·温州月考)已知向量a ＝(sin(α＋π

6)，1)，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin(α

＋4π

3

)等于( ) A ．－ 34

B ．－14

C.34

D.14

[答案] B

[解析] a ·b ＝4sin ⎝⎛⎭

⎫α＋π

6＋4cos α－ 3 ＝23sin α＋6cos α－3＝43sin ⎝⎛⎭⎫α＋π

3－3＝0， ∴sin(α＋π3)＝1

4

.

∴sin(α＋4π3)＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－1

4

，故选B. 5．函数f (x )＝(3sin x －4cos x )·cos x 的最大值为( ) A ．5 B.92 C.12 D.5

2

[答案] C

[解析] f (x )＝(3sin x －4cos x )cos x ＝3sin x cos x －4cos 2x ＝3

2sin2x －2cos2x －2

＝52sin(2x －θ)－2，其中tan θ＝43， 所以f (x )的最大值是52－2＝1

2

.故选C.

6．(文)(2011·合肥质检)将函数y ＝sin(2x ＋π3)的图象上各点向右平移π

6个单位，再把每一

点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标保持不变，所得函数图象的一条对称轴是( )

A ．x ＝π

8

B ．x ＝π

6

C ．x ＝π

3

D ．x ＝π

2

[答案] A

[解析]

∴x ＝k π4＋π8，令k ＝0得x ＝π8

.

(理)(2011·皖南八校联考)已知f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)的图象与y ＝－1的图象的相邻两交

点间的距离为π，要得到y ＝f (x )的图象，只需把y ＝cos2x 的图象( )

A ．向左平移π

12个单位

B ．向右平移π

12个单位

C ．向左平移5π

12个单位

D ．向右平移5π

12

个单位

[答案] B

[解析] f (x )的图象与直线y ＝－1相邻两交点之间的距离就是f (x )的周期，∴2π

ω＝π，∴ω

＝2，

∴f (x )＝sin(2x ＋π3)＝cos[π2－(2x ＋π

3)]

＝cos(π6－2x )＝cos(2x －π

6)

＝cos2(x －π12

)

故只须把y ＝cos2x 的图象的右平移π

12

个单位，即可得到f (x )的图象．

7．已知tan α、tan β是关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋2＝0的两实根，则sin α＋βcos α－β＝

________.

[答案] 1

[解析] 因为sin α＋βcos α－β＝sin αcos β＋cos αsin β

cos αcos β＋sin αsin β

＝

tan α＋tan β

1＋tan αtan β

；

∵tan α，tan β为方程的两根，

∴⎩

⎪⎨⎪⎧

tan α＋tan β＝3tan α·tan β＝2，∴sin α＋βcos α－β＝31＋2＝1.

8．(2010·上海奉贤区调研)已知α，β∈(0，π2)，且tan α·tan β<1，比较α＋β与π

2

的大小，