4.1随机变量的数字期望
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4.1 数学期望
设球的直径X～ 例4.1.2 设球的直径 ～U(a, b), 求球的体积 的数学期望E(X). 的数学期望 体积V=(π/6)X3,可得 解 体积 可得
−2 1 3 2 y 3, fV( y)= b−a 9π 0,
π a3≤ y≤π b3;
6 6 . 其它
则 E(V)= ∫ yf ( y)dy= π (a+b)(a2+b2). 24 −∞ V
i =1
n−1
i −1 n−1
(1− p)
n−1−( i −1)
p
i −1
= np[ p + (1− p)]
n−1
= np.
可利用二项分布的可加性证明，见例 可利用二项分布的可加性证明，见例4.1.12
电子科技大学
数学期望
3. X~N(µ , σ 2 ) , 则 E(X) = µ ;
1 +∞ − E( X ) = ∫−∞ xf ( x)dx = ∫−∞ xe σ 2π x−µ t2 +∞ 1 − t= (µ + σt )e 2 dt σ ∫−∞
数学期望
§4.1 数学期望 一. 随机变量的数学期望 引 例 定义4.1.1 设X 是离散型随机变量,其分布律为 定义 是离散型随机变量,
P{X = xi } = pi , i = 1,2,3....
若 ∑ xi pi < + ∞ 则称
i =1 +∞
+∞
E( X ) = ∑ xi pi 为X的数学期望 均值). (
解 E( XY) = ∑∑xi y j P{X = xi ,Y = y j }
i j
= ∑∑xi y j pi . p. j = ∑ xi pi . ∑ y j p. j
4.1 数学期望的定义
0.3
解：设X:A击中环数；Y:B击中环数，则
A射击平均击中环数为
E ( X ) 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3
B射击平均击中环数为
E (Y ) 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1
所以A的射击技术较B的好.
例 2： 某工人工作水平为： 全天不出废品的日子 占 30%，出一个废品的日子占 40%，出二个废品 占 20%，出三个废品占 10%。 ① 设 X 为一天中的废品数，求 X 的分布律； ② 这个工人平均每天出几个废品？ X 0 1 2 解： ① 分布律为：
(k 1)!
二、连续型随机变量的数学期望
定义:设连续型随机变量X的密度函数为f(x),若
则称
xf ( x)dx绝对收敛
xf ( x)dx
为连续型随机变量X的数学期望,记为E(X). 即
E( X )
xf ( x)dx
即连续型随机变量X的数学期望是它的概率密度 f ( x) 与实数 x 的乘积在区间 (,)上的积分.
设(X,Y)是二维随机变量，Z=g(X,Y) (g是连续函数). 这里，二维随机变量的情形只讨论离散型.
设二维随机向量(X,Y)的分布律为
P{X xi , Y y j } pij
则 E(Z ) E[ g ( X , Y )]
i, j 1,2,...
g ( x , y
i j i
即，平均分不是这6个不同成绩的简单平均，而是 这6个不同的分数60、75、85、90、95、100与它 们出现的概率2/10、2/10、3/10、1/10、1/10、1/10 的乘积之和. 这样，我们就引出了随机变量的数学期望的概念.
解：设X:A击中环数；Y:B击中环数，则
A射击平均击中环数为
E ( X ) 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3
B射击平均击中环数为
E (Y ) 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1
所以A的射击技术较B的好.
例 2： 某工人工作水平为： 全天不出废品的日子 占 30%，出一个废品的日子占 40%，出二个废品 占 20%，出三个废品占 10%。 ① 设 X 为一天中的废品数，求 X 的分布律； ② 这个工人平均每天出几个废品？ X 0 1 2 解： ① 分布律为：
(k 1)!
二、连续型随机变量的数学期望
定义:设连续型随机变量X的密度函数为f(x),若
则称
xf ( x)dx绝对收敛
xf ( x)dx
为连续型随机变量X的数学期望,记为E(X). 即
E( X )
xf ( x)dx
即连续型随机变量X的数学期望是它的概率密度 f ( x) 与实数 x 的乘积在区间 (,)上的积分.
设(X,Y)是二维随机变量，Z=g(X,Y) (g是连续函数). 这里，二维随机变量的情形只讨论离散型.
设二维随机向量(X,Y)的分布律为
P{X xi , Y y j } pij
则 E(Z ) E[ g ( X , Y )]
i, j 1,2,...
g ( x , y
i j i
即，平均分不是这6个不同成绩的简单平均，而是 这6个不同的分数60、75、85、90、95、100与它 们出现的概率2/10、2/10、3/10、1/10、1/10、1/10 的乘积之和. 这样，我们就引出了随机变量的数学期望的概念.
第四章 随机变量的数学期望
1 dxdy y xe 2 x
x
x2 y2 2
dxdy
dy
e
x2 2
dx
ye
y2 2
1 dy 2
e
y2 2
y
xe
x2 2
dx
1
4.1.4
数学期望的性质
（1） EC＝C，(C为常数) （2） E(CX)＝CEX ，(C为常数) （3） E(X+Y)＝EX＋EY E(aX+b)＝aEX＋b， E(
2 2
2 2
2
0
(x ) e
( x )2 2 2
dx
( x )2 2 2
2 x 2 e 0 2 2 2
2 2
(x ) d 2 2
2
3 2 1 ( ) 2 2 2
4.2.3
EZ Eg ( X , Y ) g ( xi , y j ) pij
j 1 i 1
（2）若（X，Y）是二维连续型随机变量，有
EZ
g ( x , y ) f ( x , y ) dx dy
例1：设 X～B（n，p），求EX(X－1)。 解：因X～B（n，p），则X的分布律为
1 x2 y2 f ( x, y ) exp{ } 2 2 1 x2 y2 E[max{ X , Y }] max{ X , Y }exp{ 2 }dxdy 2
1 2
1 2
x y
解：由题设，(X，Y)的联合密度为
ye
4.1-数学期望
若x , y独立，则 E（XY）=EXEY
例 6 对N个人进行验血，有两种方案： （1）对每人的血液逐个化验，共需N次化验； （2）将采集的每个人的血分成两份，然后取其中 的一份，按k个人一组混合后进行化验（设N是k的 倍数），若呈阴性反应，则认为k个人的血都是阴 性反应，这时k个人的血只要化验一次；如果混合 血液呈阳性反应，则需对k个人的另一份血液逐一 进行化验，这时k个人的血要化验k+1次；
EX = ∑k ⋅ C p q
k =0 n k n k
n −k
n! = ∑k ⋅ pk qn−k k!(n − k)! k =0
,nk = 0,1,L, n 。
(n −1)! = np pk −1qn−1−(k −1) (k −1)!(n −1 − (k −1))! k =1
∑
方法2： 方法 ： Xi 服从（0-1）分布， P{Xi = 0} = q, P{Xi = 1 = p, i = 1,2,L, n } 且 X1,L, Xn 独立，令 X = X1 +L+ Xn ，则 X 的可能 取值为 0,1,…n， k P{X = k} = Cn pk qn−k , k = 0,L, n n
3y, z = g(x) = 3x − (2000 ≤ y ≤ 4000
下面求 EZ，并求使 EZ 达到最大的 y 值， y ∞ 4000 3x − ( y − x) 3y EZ = g(x) f (x)dx = dx + dx 2000 2000
2000 y 1 =− [ y 2 − 7000 y + 4*10 6 ] 1000 1 =− [( y − 3500 ) 2 − 3500 2 − 4*10 4 ] 1000 1 =− ( y − 3500 ) 2 + 8250 1000 −∞
《概率论与数理统计》数学期望
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
概率论与数理统计
§4.4 协方差和相关系数
协方差 相关系数 授课内容 例题
§4.4 协方差和相关系数 协方差
1. 定义
§4.4 协方差和相关系数 协方差
2. 协方差的计算公式
概率论与数理统计
§4.1 数学期望
离散型随机变量的数学期望
连续型随机变量的数学期望
授课内容
数学期望的性质
§4.1 数学期望 离散型随机变量的数学期望
1. 定义
§4.1 数学期望 离散型随机变量的数学期望
关于定义的几点说明
(2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变 而改变 , 之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值 的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.
§4.4 协方差和相关系数 相关系数
3. 不相关的定义
§4.4 协方差和相关系数 相关系数
4. 不相关性的判定
以下四个条件等价 (1) ρ 0; (2)Cov( X ,Y ) 0; (3) D( X Y ) DX DY;
(4)3 随机变量函数的数学期望 二维随机变量函数的数学期望
§4.3 随机变量函数的数学期望 二维随机变量函数的数学期望
一维随机变量函数的数学期望 二维随机变量函数的数学期望 授课内容 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
5 .不相关与相互独立的关系
协方差 相关系数 授课内容 例题
§4.4 协方差和相关系数 例题
4.1(随机变量的数学期望)
因而E(X)不存在．
4.1.1
数学期望的概念
【例 4.5】某种化合物的 pH 值 X 是一个随机变量， 它的概率密度是
25( x 3.8 )， 3.8 x 4， f ( x ) 25( x 4.2)， 4 x 4.2， 0， 其 它.
求pH值X的数学期望E(X). 解：
一个样品的价值（以元计）为Y = 5–0.5X，求E(Y). 解： E (Y ) E (5 0.5 X ) (5 0.5 x ) f ( x )dx
3 ( 5 0.5 x )( x 2 x )dx 0 2
1 b a , a x b f ( x) 0, 其它
x b2 a 2 a b E ( X ) xf ( x )dx dx a ba 2(b a ) 2
b
补充知识: Γ -函数
定义Leabharlann ( ) t 1 e t dt 0
若积分 xf ( x ) dx 不收敛,则称X的数学期望不存在.
4.1.1
数学期望的概念
著名的柯西分布是数学期望不存在的经典例子： 设随机变量X服从柯西分布，其概率密度为
1 f ( x) (1 x 2 )
由于积分
| x | dx xdx 发散， xf ( x ) dx 2 2 2 (1 x ) 0 (1 x )
1 E( X ) xf ( x)dx 2
标准正 态概率 密度性 质
2
t
x
xe
( x )2 2 2
dx
1 2
4.1随机变量的期望
E ( X 1 ) 0 0 1 0.2 2 0.8 1.8(分） E ( X 2 ) 0 0.6 1 0.3 2 0.1 0.5(分）
例2 设X ~ ( ), 求E ( X ).
解 X的分布率为 P{ X k }
X的数学期望为 E( X ) k
E ( X ) = np
i 1 i
可见，服从参数为n和p的二项分布的随机变量X 的数学期望是 n p.
例9 把数字1,2,…,n任意地排成一列，如果数字k恰 好出现在第 k 个位置上，则称为一个巧合，求巧合 个数的数学期望. 解: 设巧合个数为X, 引入
1, 数字k恰好出现在第k个位置上 k=1,2, …,n Xk 否则 0， n 则 X Xk
1 3 6 6
1 2 6 6
1 3 P{ X 70} P ( AB ) P ( A) P ( B ) 6 6 其中A为事件"第一班车8 : 10到站" , B为事件"第二班车
9 : 30到站".候车时间X的数学期望为
3 2 1 3 2 E ( X ) 10 30 50 70 90 27.22分 6 6 36 36 36
因此，在对随机变量的研究中，确定某些数 字特征是重要的 .
在这些数字特征中，最常用的是
数学期望、方差、协方差和相关系数
一、离散型随机变量的数学期望
1.概念的引 入 例如：某7人的高数成绩为90，85，85，
80，80，75，60，则他们的平均成绩为
90 85 2 80 2 75 60 7 1 2 2 1 1 79.3 90 85 80 75 60 7 7 7 7 7
例2 设X ~ ( ), 求E ( X ).
解 X的分布率为 P{ X k }
X的数学期望为 E( X ) k
E ( X ) = np
i 1 i
可见，服从参数为n和p的二项分布的随机变量X 的数学期望是 n p.
例9 把数字1,2,…,n任意地排成一列，如果数字k恰 好出现在第 k 个位置上，则称为一个巧合，求巧合 个数的数学期望. 解: 设巧合个数为X, 引入
1, 数字k恰好出现在第k个位置上 k=1,2, …,n Xk 否则 0， n 则 X Xk
1 3 6 6
1 2 6 6
1 3 P{ X 70} P ( AB ) P ( A) P ( B ) 6 6 其中A为事件"第一班车8 : 10到站" , B为事件"第二班车
9 : 30到站".候车时间X的数学期望为
3 2 1 3 2 E ( X ) 10 30 50 70 90 27.22分 6 6 36 36 36
因此，在对随机变量的研究中，确定某些数 字特征是重要的 .
在这些数字特征中，最常用的是
数学期望、方差、协方差和相关系数
一、离散型随机变量的数学期望
1.概念的引 入 例如：某7人的高数成绩为90，85，85，
80，80，75，60，则他们的平均成绩为
90 85 2 80 2 75 60 7 1 2 2 1 1 79.3 90 85 80 75 60 7 7 7 7 7
4.1 一维随机变量的数学期望
n
n p
(n 1)!
pk1(1 p)(n1)(k1)
k1 (k 1)![(n 1) (k 1)]!
n1
np
Ck 1 n1
pk
1
(1
p)(n1) (k 1)
k 1 0
np[ p (1 p)]n1 np
3.超几何分布 H (n, M , N )
nM
证明：若X ~ H(n, M, N ) ，则 E( X ) = N 。
( p)
p2
=p
2.连续随机变量的数学期望
定义：设连续型随机变量X 的概率密度为 (x) ，若
积分 x (x)dx 绝对收敛（即 |x|(x)dx 存
在），则称积分 x (x)dx 的值为随机变量X
的数学期望。记为E ( X ) 或EX 。即
E ( X ) =
x (x)dx 。
数学期望简称为期望，又称为均值。
统计分布如下：
X
频数 频率
x1 m1
( x1 )
x2 m2
(x2 )
xl ml
(xl )
总计
n
1
2021/4/22
计算随机变量 X 的样本平均值：
x
x1m1 x2 m2 xl ml n
1 n
l
xim i
i 1
或者， x
x1
m1 n
x2
m2 n
xi
ml n
l
x1 (x1 ) x2 (x2 )xl (xl ) xi (xi )
注意：并不是所有的随机变量都有数学期望。
例 3.设随机变量 X 服从柯西分布，其密度函数为 1
C n1 N 1
C C m (n1)m M 1 ( N 1)( M 1)
随机变量函数的数学期望
甲,乙双方的数学期望相同,表示他们的准确度相同.由于乙的方 差小,表示乙射手比甲射手好
(二) 方差的性质
1、常数的方差等于0
证明： D(c) E(c Ec)2 E(c c)2 0
2、随机变量和常数之和的方差就等于这个随机变量的方差。 证明：
D( c) E[ c E( c)]2 E[ c E c]2 E( E )2 D
§4.1 数学期望与方差
一.数学期望
随机变量x及它所取的数和相应频率的乘积和,称为x的平 均数(属于加权平均)也称为随机变量的数学期望或均值.
(一)离散型随机变量的数学期望
定义1 离散型随机变量X 有概率函数 P(X=xk)=Pk (k=1,2,....)
若级数 xk pk 绝对收敛,则称这个级数为X 的数学期望 k 1
ba 2
2
可见均匀分布的数学期望为区间的中值.
2.随机变量函数的数学期望
定理1 设Y是随机变量X的函数,Y=g(X)(g是连续函数)
(若1)若 Xg是(x离k ) 散pk绝型对 随机收变敛量,则,它E的(Y分) 布E律[g为( XP{)X] =xk}=gp(kx. k
K=1,2,..
k x) 2
f
(x)dx
1
a (x3 kx)2 dx
2a a
a2 (15a4 42ka2 35k) E(C)=C.
(2) E( +C)=E +C
证明：对离散型随机变量
E( C) (xi C) p(xi ) xi p(xi ) Cp(xi ) E C
E1 0.2 (80 85 90 95 100) 90 E2 0.2 (85 87.5 90 92.5 95) 90 D1 (80 90)2 0.2 (85 90)2 0.2 (90 90)2 0.2
(二) 方差的性质
1、常数的方差等于0
证明： D(c) E(c Ec)2 E(c c)2 0
2、随机变量和常数之和的方差就等于这个随机变量的方差。 证明：
D( c) E[ c E( c)]2 E[ c E c]2 E( E )2 D
§4.1 数学期望与方差
一.数学期望
随机变量x及它所取的数和相应频率的乘积和,称为x的平 均数(属于加权平均)也称为随机变量的数学期望或均值.
(一)离散型随机变量的数学期望
定义1 离散型随机变量X 有概率函数 P(X=xk)=Pk (k=1,2,....)
若级数 xk pk 绝对收敛,则称这个级数为X 的数学期望 k 1
ba 2
2
可见均匀分布的数学期望为区间的中值.
2.随机变量函数的数学期望
定理1 设Y是随机变量X的函数,Y=g(X)(g是连续函数)
(若1)若 Xg是(x离k ) 散pk绝型对 随机收变敛量,则,它E的(Y分) 布E律[g为( XP{)X] =xk}=gp(kx. k
K=1,2,..
k x) 2
f
(x)dx
1
a (x3 kx)2 dx
2a a
a2 (15a4 42ka2 35k) E(C)=C.
(2) E( +C)=E +C
证明：对离散型随机变量
E( C) (xi C) p(xi ) xi p(xi ) Cp(xi ) E C
E1 0.2 (80 85 90 95 100) 90 E2 0.2 (85 87.5 90 92.5 95) 90 D1 (80 90)2 0.2 (85 90)2 0.2 (90 90)2 0.2
4-1(数学期望)
但
E ( XY ) 0;
1 P{ X 1, Y 1} 8
3 P{ X 1}P{Y 1} 8
2
反例 2 ( X , Y ) ~ U ( D), D {( x, y ) x y 1} 1 , x 2 y 2 1, f ( x, y ) 0, 其它
数学期望的性质
E ( XY ) ( xy) f ( x, y )dxdy
1 1 1 0 x xdx0 y (1 3 y 2 )dy 2 2 2
4 5 5 3 8 6
E ( X ) E (Y )
数学期望的性质
注意：X ,Y 相互独立
y2 ye 2 dy
D1 D2
X 0 1 2 3 例2.设随机变量X分布律为 P 0.3 0.3 0.2 0.2
求X的数学期望.
解：由定义，E X = 0 0.3 +1 0.3 + 2 0.2 + 3 0.2.
例3 X ~ P(), 求 E ( X ) . 解 E( X )
k 0
x k pk k
E (Y )
g( x ) f ( x )dx
3、 设(X ,Y )为二维离散型随机变量，分布律为
P{ X x i , Y y j } pij , i , j 1,2,
Z = g(X ,Y ), 若级数
g( xi , y j ) pij
i 1 j 1
解. EX =
+ -
xf x dx =
+
+
-
令
x-
= 2
E ( XY ) 0;
1 P{ X 1, Y 1} 8
3 P{ X 1}P{Y 1} 8
2
反例 2 ( X , Y ) ~ U ( D), D {( x, y ) x y 1} 1 , x 2 y 2 1, f ( x, y ) 0, 其它
数学期望的性质
E ( XY ) ( xy) f ( x, y )dxdy
1 1 1 0 x xdx0 y (1 3 y 2 )dy 2 2 2
4 5 5 3 8 6
E ( X ) E (Y )
数学期望的性质
注意：X ,Y 相互独立
y2 ye 2 dy
D1 D2
X 0 1 2 3 例2.设随机变量X分布律为 P 0.3 0.3 0.2 0.2
求X的数学期望.
解：由定义，E X = 0 0.3 +1 0.3 + 2 0.2 + 3 0.2.
例3 X ~ P(), 求 E ( X ) . 解 E( X )
k 0
x k pk k
E (Y )
g( x ) f ( x )dx
3、 设(X ,Y )为二维离散型随机变量，分布律为
P{ X x i , Y y j } pij , i , j 1,2,
Z = g(X ,Y ), 若级数
g( xi , y j ) pij
i 1 j 1
解. EX =
+ -
xf x dx =
+
+
-
令
x-
= 2
4.1数学期望
= λe
−λ
[λe
λ
+e
λ
]
= λ2 + λ
是连续型随机变量， (2) X是连续型随机变量，它的概率密度为 是连续型随机变量 f ( x) 若
∫
+∞ −∞
g (x
)⋅
f
( x )dx
+∞
收敛， 收敛，则有
E (Y ) = E [g ( X )] =
∫
−∞
g ( x ) f ( x )dx .
例3
( 2 ) E ( XY ) = 0 . 72
例6
设随机变量 ( X , Y )的联合概率密度为
1 3 3 2 , < y < x, x > 1 x f ( x, y ) = 2 x y 0 ， 其它
1 试计算 E (Y ) 和 E 。 XY y
0
y= x
∫ ∫
+∞
+∞
−∞ −∞
g ( x , y ) f ( x , y )dxdy .
例5 已知
Y X
0
0
0 . 04
1
0 . 24
2
0 . 12
0 . 18
1 0 . 06 0 . 36 求(1) E ( 2 X − Y ); ( 2) E ( XY )
解： ( 1 ) E ( 2 X − Y ) = 0 ;
绝对收敛， 为 f ( x ) ，如果积分 ∫− ∞ xf ( x )dx 绝对收敛，即
+∞
为连续型随机变量， 1.定义 1.定义 设X 为连续型随机变量，概率密度
∫
+∞
−∞
x ⋅ f ( x )dx 收敛，则称积分 ∫ xf ( x )dx 收敛， −∞
4.1数学期望
k 1 k 1
k 1 p kx k 1 x1 p
1 p
11
k p x k 1
'
x 1 p
1 p (1 x) 2
x 1 p
常见 r.v. 的数学期望
分布
参数为p 的 0-1分布 B(n,p) P()
E (Y ) g ( x) f ( x)dx
16
3、 r.v.函数的数学期望 3.2、二维r.v.函数Y=g(X)的数学期望 定理4.1（3）设离散 r.v. (X ,Y ) 的概率分布为
P( X xi , Y y j ) pij , i, j 1,2, Z = g(X ,Y ),
21
k 2
3、 r.v.函数的数学期望
例8. 设 X ~ E( ), 求 E( X2 ) .
解:由于 可得：
e x , x 0 f ( x) 。 0, 其它
EX x f ( x)dx x e
2 2 2 0 0
x
dx
2
2
22
§4.1随机变量的数学期望
5
§4.1随机变量的数学期望
例1 设X ~ B ( 1 , p ), 求 E( X ) .
解
X 0 1
pk 1 p p
E( X )= 0×（1-p）+1×p=p
6
§4.1随机变量的数学期望
例2： 解 X ~ B ( n , p ), 求 E( X ) .
E ( X ) kC p (1 p)
若级数 g ( xi , y j ) pij 绝对收敛 , 则 i , j 1
k 1 p kx k 1 x1 p
1 p
11
k p x k 1
'
x 1 p
1 p (1 x) 2
x 1 p
常见 r.v. 的数学期望
分布
参数为p 的 0-1分布 B(n,p) P()
E (Y ) g ( x) f ( x)dx
16
3、 r.v.函数的数学期望 3.2、二维r.v.函数Y=g(X)的数学期望 定理4.1（3）设离散 r.v. (X ,Y ) 的概率分布为
P( X xi , Y y j ) pij , i, j 1,2, Z = g(X ,Y ),
21
k 2
3、 r.v.函数的数学期望
例8. 设 X ~ E( ), 求 E( X2 ) .
解:由于 可得：
e x , x 0 f ( x) 。 0, 其它
EX x f ( x)dx x e
2 2 2 0 0
x
dx
2
2
22
§4.1随机变量的数学期望
5
§4.1随机变量的数学期望
例1 设X ~ B ( 1 , p ), 求 E( X ) .
解
X 0 1
pk 1 p p
E( X )= 0×（1-p）+1×p=p
6
§4.1随机变量的数学期望
例2： 解 X ~ B ( n , p ), 求 E( X ) .
E ( X ) kC p (1 p)
若级数 g ( xi , y j ) pij 绝对收敛 , 则 i , j 1
§4.1数学期望
∑
万元） xi pi = 12 × 0.6 + ( −5) × 0.4 = 5.2 （万元）. i =1
2
称这个平均效益5.2万元为随机变量 数学期望, 称这个平均效益 万元为随机变量 X 的数学期望
2.数学期望的定义 数学期望的定义 定义 如果
∞
设 X 是离散型随机变量，其概率分布为 是离散型随机变量，
Y P
10 8 0 P { X ≤ 1} P {1 < X ≤ 4} P { X > 4}
所以产品价值的平均值为
E (Y ) = 10 × P{ X ≤ 1} + 8 × P{1 < X ≤ 4} + 0 × P { X > 4} 1 4 k 0.8 e −0.8 + 8 × 0.8 k e −0.8 + 0 = 10 × ∑ ∑ k! k =0 k ! k =2
ax + b, 0 ≤ x ≤ 1 f ( x) = , 其它 0, 求 a 与 b 的值, 并求分布函数 F ( x ). 的值, 解 解方程组得 a = 1, b = 1 / 2. 当 0 ≤ x < 1时, 有
P{ X > 4} = 1 − P{ X ≤ 4} = 1 − ∑ 0.8 e −0.8 k =0 k ! = 0.001 412, 所以产品的废品率为 0.001 412.
4
k
(2) 求产品价值的平均值. 求产品价值的平均值 代表产品的价值, 的概率分布为: 解 ( 2) 设Y 代表产品的价值, 那么Y 的概率分布为:
落在各个时间区间的概率, 解 先求出寿命 X 落在各个时间区间的概率, 即有
1 e − x / 10 dx = 1 − e −0.1 = 0.0952, P{ X ≤ 1} = ∫ 0 10
考研资料——概率论基础知识4
概率论基础知识(4)第四章 随机变量的数字特征 一 数学期望§4.1.1离散型随机变量的数学期望例1：全班40名同学，其年龄与人数统计如下： 该班同学的平均年龄为：若令x 表示从该班同学中任选一同学的年龄，则x 的分布律为于是，x 取值的平均值，即该班同学年龄的平均值为定义1：设x 为离散型随机变量，其分布律为如果级数绝对收敛，则此级数为x 的数学期望（或均值）既为 E(X)，即 E(X)=意义：E(X)表示X 取值的（加权）平均值例2：甲、乙射手进行射击比赛，设甲中的环数位X1，乙中的环数为X2，已知X1和X2的分布律分别为：问谁的平均中环数高？ 解：甲的平均中环数为 E(X 1)=8 0.3+90.1+10 0.6=9.3乙的平均中环数为 E(X 2)=8 0.2+9 0.5+10 0.3=9.1可见E(X 1)> E(X 2)，即甲的平均中环数高于乙的平均中环数。
例3：设 ，求E(X)解：由于，其分布律为，k=0,1,2…,所以例4：一无线电台发出呼唤信号被另一电台收到的概率为0.2，发方每隔5秒拍发一次呼唤信号，直到收到对方的回答信号为止，发出信号到收到回答信号之间需经16秒钟，求双方取得联系时，发方发出呼唤信号的平均数？解：令X 表示双方取得联系时，发方发出呼唤信号的次数。
X 的分布律为于是，双方取得联系时，发方发出的呼唤信号的平均数为由于,求导数将x=0.8代如上式，便得将此结果代入原式便得：（次）§4.1.2连续型随机变量的数学期望绝对收敛，则称此积分为X 的数学期望，记为E(X)，即，例7：设风速V是一个随机变量，且V~U[0,a]，又设飞机的机翼上所受的压力W是风速V的函数：这里a,k均为已知正数。
试求飞机机翼上所受的平均压力E(W)。
W的分布函数为两边求导，使得进而便可求得W的数学期望由此运算过程可以看到，不必求出W的概率密度ƒw(z)，而根据V的概率密度ƒv(v)也可直接求出W 的数学期望值，即§4.1.3随机变量函数的数学期望值1.一维随机变量函数的数学期望定理1：设X为随机变量，Y=g(X),(1)如果X，且级数(2)如果Xƒ(X)，且积分绝对收敛，则有证略求：例8：已知X的分布律为解：例9：设，求解：（令 m=k-2）例10：设，求解：由于X的概率密度为于是例11：国际市场上每年对我国某种商品的需求量为一个随机变量X（单位：吨），且已知，并已知每售出一吨此种商品，可以为国家挣得外汇3万美元，但若售不出去，而屯售于仓库，每年需花费保养费每吨为一万美元，问应组织多少货源可使国家的平均收益达到最大？解：设a为某年准备组织出口此种商品的数量（单位：吨）Y为国家收益，于是Y是X的函数，即其概率密度为令解得 a=3500（吨）但，故E(Y)在a=3500时，E（Y）最大，即组织货源为3500吨时，可是国家的收益达到最大。
C4_1
x
电子科技大学
数学期望
所以, 平均弦长为 由于
E ( L)
1 x f ( x) 2 2 0 其它 1 4R 2 E ( L) ( 2 R cos x ) dx 2
( 2 R cos x ) f ( x )dx
1 p
n 1 i 1 i 1
p
np[ p (1 p)]
n 1
np.
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数学期望
3. X~N(m , s 2 ) , 则 E(X) = m ;
1 2s 2 dx E ( X ) xf ( x )dx xe s 2 t2 xm 1 t m st e 2 dt s
1 x , f ( x ) 1 x , 0, 1 x 0; 0 x 1; 其它.
2
设随机变量X的概率密度为
试求 E{[ X E ( X )] }.
2
证明 E{[ X E ( X )] } [ x E ( X )] f ( x )dx
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数学期望
在定义 中, 要求条件无穷级数
绝对收敛, 从而保证数学期望有唯一的数值. 同样, 对连续型随机变量的无穷广义积分 要求绝对收敛也出于相同的考虑。 如果绝对收敛不能得到满足, 称随机变量 的数学期望不存在.
电子科技大学
数学期望
1.X~P(l) , 则 E(X) = l; 2. X~B(n, p) , 则 E(X) = np; 3. X~N(m , s 2 ) , 则 E(X) = m ;
3 ） E ( X i ) E ( X i );
i 1 i 1
概率论与数理统计第4章
随机变量的数学期望是概率论中最重要的 概念之一.它的定义来自习惯上的平均值概念.
5
一、离散型随机变量的数学期望
引例 某企业对自动流水线加工的产品实行质量 监测，每天抽检一次，每次抽取5件，检验产品是 否合格，在抽检的30天的记录中，无次品的有18天， 一件次品的有9天，两件次品的有3天，求日平均次 品数．
k
这启发我们引出如下连续型随机变量的数 学期望定义：
30
二、连续型随机变量的数学期望
设连续型随机变量 X 的概率密度为 f ( x ), 若积分
x f ( x ) d x
绝对收敛, 则称积分 x f ( x ) d x 的值为随机
变量 X 的数学期望, 记为 E ( X ) . 即 E ( X ) x f ( x )d x.
n
n 1
n( n 1)( n i ) i 1 n i 1 p q i! i 0
n 1
令i k 1
( n 1)( n i ) i ( n1) i np pq i! i 0
n 1
np C
i 0
n 1
i n 1
pq
i
( n 1 ) i
试问哪个射手技术较好?
12
解 设甲、乙射手击中的环 数分别为 X 1 , X 2 .
E ( X 1 ) 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3(环), E ( X 2 ) 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1(环),
故甲射手的技术比较好. 乙射手 甲射手
Y
1500
0.0952
2000
2500
3000
0.7408
4.1随机变量的数字期望
此要求 xk pk k 1
否则，称随机变量的数学期望不存在．
例1 设随机变量X的分布列为 X
P
求 E(X )
－1 3 0.4 0.6
解 易知 E(X ) 1 0.4 3 0.6 1.4
若将此例视为甲、乙两队“比赛”，甲队赢的概率为 0.6，输的概率为0.4，并且甲队每赢一次得3分，每输一 次扣1分，则 E(X) = 1.4 是指甲队平均每次可得分．
于是有 E( X ) xi P{X xi} xi ( pij )
xi pij
i 1
i 1
j 1
i1 j 1
同理可得
E(Y ) y j P{Y y j} y j ( pij )
y j pij
j 1
j 1
i 1
i1 j 1
2. 连续型随机变量的数学期望
定义 设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若积分
g(x, y)
f (x, y)dxdy 收敛, 则Z=g (X,Y)的
数学期望为：
E(Z) E[g(X ,Y )]
g(x, y) f (x, y)dxdy
例6 设随机变量 X ~ B(n, p) ，Y e2 X , 求 E(Y )
解 因为 X ~ B(n, p) 分布律为
P{X k} Cnk pk qnk , k 0,1, 2, , n,
y)
1 4
x(1
3y2
),
0 x 2, 0 y 1
0,
其它
求 E( X ), E(Y ), E( XY ), E( X 2 Y 2 )
解 E(X ) 4
3
E(Y ) 5 8
E(XY ) 5 6
E(X 2 Y 2 ) 2 1(x2 y2 ) 1 x(1 3y2 )dxdy
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例2 设二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布表为
X
Y
12
3 求随机变量X和Y的数学期望．
1 1/4 1/8 1/4 2 1/8 1/8 1/8
解 由(X,Y)的联合分布律可得关于X、Y的边缘分 布分别为
X1
2
Y1
23
P 5/8 3/8
于是有
E( X ) 1 5 2 3 11
8
88
P 3/8 1/4 3/8
n
所以 E(Y ) E(e2X ) e2kCnk pk qnk
k 0
n
Cnk ( p e2 )k qnk
k 0
( pe2 q)n
其中 p q 1
例7 设二维随机变量 (X, Y) 的密度函数为
f
(x,
y)
x
y, 0,
0 x 1, 0 y 1 其它
求 E( XY ), E( X Y 2 ) .
x,
y)
1 4
x(1
3
y
2
),
0 x 2, 0 y 1
0,
其它
求 E( X ), E(Y ), E( XY ), E( X 2 Y 2 )
解 E(X ) 4
3
E(Y ) 5 8
E(XY ) 5 6
E(X 2 Y 2 ) 2 1(x2 y2 ) 1 x(1 3y2 )dxdy
2
1 y 1 x(1 3y2 )dxdy 1
2
xdx
1 y(1 3y2 )dy 5
00 4
40
0
8
E(XY ) 2 1 xy 1 x(1 3y2 )dxdy 00 4
1 2 x2dx 1 y(1 3y2 )dy 5
40
0
6
例8 设二维随机变量 (X ,Y ) 的密度函数为
f
(
NN
N
8 f1 9 f2 10 f3
由于概率是频率的稳定中心，以 E( X甲）表示甲的平均 击中环数, 则
E（X甲） 8 0.3 9 0.110 0.6 9.3 E（X乙） 8 0２. 9 0５. 10 0３. 9.1,
由于 E（X甲）> E（X乙）,故认为甲射手的水平较高。
可以看出：平均值是以分布概率为权重的加权平均。
解 设每年准备该种商品y t (1200 y 3000)
则利润为
Y g(X)
2y,
Xy
2X ( y X ), X y
2y, X y 3X y, X y
f
(x)
1 ， 1200 1800
x
3000
0， 其它
得到平均利润为
3000
1
E(Y ) g(x)
dx
1200
1800
E(X Y ) E(X ) E(Y )
证 设二维随机变量 (X, Y) 的密度函数为 f (x, y),
边缘密度函数分别为 f X (x) 和 fY ( y) ,
则
E(X Y)
(x y) f (x, y)dxdy
xf (x, y)dxdy
yf (x, y)dxdy
xfX (x)dx yfY ( y)dy E( X ) E(Y )
00
4
1
2 x3dx 1(1 3y2 )dy 1
2
xdx
1 y2 (1 3y2 )dy
40
0
40
0
37 15
例9 设国际市场上每年对我国某种出口农产品的需求量X (单
位：t )是随机变量，它服从[1200，3000]上的均匀分布．若售出 这种农产品1t，可赚2万元，但若销售不出去，则每吨需付仓库保 管费1万元，问每年应准备多少吨产品才可得到最大利润?
证 因为X与Y相互独立，故其联合密度函数与边缘密度
此要求 xk pk k 1
否则，称随机变量的数学期望不存在．
例1 设随机变量X的分布列为 X
P
求 E(X )
－1 3 0.4 0.6
解 易知 E(X ) 1 0.4 3 0.6 1.4
若将此例视为甲、乙两队“比赛”，甲队赢的概率为 0.6，输的概率为0.4，并且甲队每赢一次得3分，每输一 次扣1分，则 E(X) = 1.4 是指甲队平均每次可得分．
f
(x)
(3000
x)
/(1500)2
,
1500 x 3000
求X的数学期0望, .
其它
解 由已知可得
E(X )
xf (x)dx
1500 0
xx 15002源自dx3000 1500
x
3000 - x 15002
dx
x3 315002
1500 0
1500x2 x3 15002
/
3
3000 1500
解
E( XY )
xyf (x, y)dxdy
1
1 xy(x y)dxdy 1
00
3
E( X Y 2 ) (x - y2 ) f (x, y)dxdy
1
1
(x
-
y2
)(x
y)dxdy
1
1(x2 xy - xy2 - y3)dxdy 1
00
00
6
例8 设二维随机变量 (X, Y) 的密度函数为
xf (x, y)dxdy
E(Y )
yf y ( y)dy
y[
f (x, y)dx]dy
yf (x, y)dxdy
3. 随机变量函数的数学期望
定理3 设X是随机变量，Y = g(X)是X的连续函数，则有
(1) 若 X为离散型变量，其概率函数为 P{X xk} pk , k 1, 2,L ,
2. 设C为常数，X为随机变量，则有E(CX)=CE(X)．
证 设X的密度函数为 f (x) ，则有
E(CX ) Cxf (x)dx C xf (x)dx CE( X ).
3. 设 X ,Y 为任意两个随机变量，都有 E(X Y ) E(X ) E(Y )
4. 数学期望的性质
3. 设 X, Y 为任意两个随机变量，都有
推广到任意有限多个随机变量之和的情形，有
E(X1 X2 L Xn) E(X1) E(X2) L E(Xn)
E(k1X1 k2 X 2 L kn X n ) k1E( X1) k2E( X 2 ) L k2E( X n )
4. 设X, Y为相互独立的随机变量，则有
E(XY ) E(X ) E(Y )
f
(
x,
y)
1 4
x(1
3
y2
),
0 x 2, 0 y 1
0,
其它
求 E( X ), E(Y ), E( XY ), E( X 2 Y 2 )
解 E(X ) 1
2
1 x 1 x(1 3y2 )dxdy 1
2 x2dx
1
(1
3y2
)dy
4
40 0 4
40
0
3
E(Y)
500 2000 1000 1500
例5 设二维连续型随机变量的概率密度函数为
2 x y, 0 x 1, 0 y 1
f (x, y) 0,
其它
求E（X），E（Y）．
解 关于X、Y的边缘概率密度函数分别为
fX (x)
f (x, y)dy
1
(2
x
y)dy
3
x
0
2
fY ( y)
如果级数 g(xk ) pk 收敛，则有 k 1 E(Y ) E[g( X )] g(xk ) pk . k 1
(2)如果X为连续型随机变量，其概率密度为 f(x),
如果积分 g(x) f (x)dx 收敛
则有
E(Y ) E[g( X )] g(x) f (x)dx
(3) 如果(X,Y)为离散型随机向量，其联合概率分布为
f (x, y)dx
1
(2
x
y)dx
3
y
0
2
于是有
E( X )
13 x( 02
x)dx
3x 4
2
x3 3
1 0
5 12
13
3y2 y3 1 5
E(Y )
0
y( 2
-
y)dy
4
-
3
0
12
(0 x 1) (0 y 1)
定理2 设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度函数为 f (x, y), 则有
g(x, y)
f (x, y)dxdy 收敛, 则Z=g (X,Y)的
数学期望为：
E(Z) E[g(X ,Y )]
g(x, y) f (x, y)dxdy
例6 设随机变量 X ~ B(n, p) ，Y e2 X , 求 E(Y )
解 因为 X ~ B(n, p) 分布律为
P{X k} Cnk pk qnk , k 0,1, 2,L , n,
x f (x)dx
收敛，则称积分值 xf ( x)dx 为X的数学期望（或
均值）。记作E(X)，即
E( X ) xf (x)dx
说明：如果积分
x
f
xdx
收敛
，则称随机变量
X的数学期望不存在。
例3 设随机变量X 服从柯西分布,其密度函数为
f
(
x)
(1
1
x
2
)
,
- x
试证X的数学期望不存在．
§4.1 随机变量的数学期望
1.离散型随机变量的数学期望
引例 有甲、乙两射手，他们的射击技术用下表给出 甲射手
击中环数 X甲 8