北师大版2019-2020八年级数学上册第一章勾股定理单元测试题4(较难 附答案)
北师大版八年级数学上册第一章 勾股定理 单元测试题(含答案)
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理单元测试题一、选择题(每小题4分，共40分)1．下列各组数分别为三角形三边的长，其中不能构成直角三角形的一组是(B) A．3，4，5 B．4，5，6C.34，54，1 D．9，12，152．如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为圆心，以正方形的对角线为半径画弧交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是(B)A.32B. 2C. 3 D．1.43．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8 cm，另一只朝左挖，每分钟挖6 cm，10分钟后，两只小鼹鼠相距(B)A．50 cm B．100 cmC．140 cm D．80 cm4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆弧交边AB于点D.若AC＝6，BC＝8，则BD的长是(A)A．4B．5C．6D．75．如果将长为6 cm，宽为5 cm的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是(A) A．8 cm B．5 2 cmC．5.5 cm D．1 cm6．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为(C)A．4 B．6 C．16 D．557．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边(x＞y)，下列四个说法：①x2＋y2＝49；②x－y＝2；③x＋y＝9；④2xy＋4＝49；其中说法正确的是(C)A．①② B．①②③C．①②④ D．①②③④8．小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5 m远的水底，竹竿高出水面0.5 m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为(A)A．2 m B．2.5 mC．2.25 m D．3 m9．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A 重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C 的长为(A)A．3 3 B．6 C．3 2 D.2110．(钦州中考)如图，6个边长为1的小正方形及其部分对角线所构成的图形中，如果从A 点到B点只能沿图中的线段走，那么从A点到B点的最短距离的走法共有(C)A．1种 B．2种 C．3种 D．4种二、填空题(每小题4分，共20分)11．在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0，9)，点B的坐标是(－12，0)，则A，B两点间的距离是15.12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，周长为60 cm，且两直角边BC∶AC＝5∶12，则△ABC的面积为120cm2.13．如图，在网格中，小正方形边长为a，则图中是直角三角形的是△ABC与△DEF．14．将一根长为25 cm的筷子置于底面直径为5 cm，高为12 cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为h cm，则h的取值范围是12≤h≤13．15．在△ABC中，AB＝10，AC＝210，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于6或10．三、解答题(共40分)16．(8分)如图，在3×4正方形网格中，每个小正方形的边长都是1.(1)分别求出线段AB，CD的长度；(2)在图中画线段EF，使得EF的长为5，AB，CD，EF三条线段能否构成直角三角形，并说明理由．解：(1)AB＝32＋22＝13；CD＝22＋22＝2 2.(2)如图，EF ＝22＋12＝5， ∵CD 2＋EF 2＝8＋5＝13，AB 2＝13， ∴CD 2＋EF 2＝AB 2.∴AB ，CD ，EF 三条线段可以组成直角三角形．17．(10分)如图，四边形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝2，AD ＝3，且AB ⊥BC.求证：AC ⊥CD.证明：由AB ＝1，BC ＝2，且AB ⊥BC ，得AC 2＝AB 2＋BC 2＝5. 在△ACD 中，AD 2＝32＝9，AC 2＋CD 2＝5＋22＝9， ∴AC 2＋CD 2＝AD 2.∴△ACD 为直角三角形，∠ACD ＝90°. ∴AC ⊥CD. 18.(10分)如图，圆柱的底面周长为6 cm ，AC 是底面圆的直径，高BC ＝6 cm ，点P 是BC 上一点，且PC ＝23BC.一只蚂蚁从点A 出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离是多少？解：画侧面展开图，如图，因为圆柱的底面周长为6 cm ， 所以展开图中AC ＝3 cm. 又因为PC ＝23BC ，所以PC ＝23×6＝4(cm)．在Rt △ACP 中，AP 2＝AC 2＋CP 2，得AP ＝5 cm. 所以蚂蚁爬行的最短距离是5 cm.19．(10分)如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，D 为AB 边上一点，试证明：(1)△ACE ≌△BCD ； (2)AD 2＋DB 2＝DE 2.证明：(1)∵∠ACB ＝∠ECD ＝90°， ∴∠ACD ＋∠BCD ＝∠ACD ＋∠ACE ， 即∠BCD ＝∠ACE.∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形， ∴BC ＝AC ，DC ＝EC. ∴△ACE ≌△BCD(SAS)． (2)∵△ACB 是等腰直角三角形， ∴∠B ＝∠BAC ＝45°. ∵△ACE ≌△BCD ， ∴∠CAE ＝∠B ＝45°.∴∠DAE＝∠CAE＋∠BAC＝45°＋45°＝90°.∴AD2＋AE2＝DE2.∵△ACE≌△BCD，∴AE＝DB.∴AD2＋DB2＝DE2.20.(10分)如图，在正方形ABCD纸片上有一点P，PA＝1，PD＝2，PC＝3.现将△PCD剪下，并将它拼到如图所示位置(C与A重合，P与G重合，D与D重合)．求：(1)线段PG的长；(2)∠APD的度数．【解答】(1)根据题意可得△AGD≌△CPD，∴∠GDA＝∠PDC.∵∠ADC＝90°，∴∠GDP＝90°.又∵GD＝PD＝2，∴PG＝2 2.(2)∵AG＝3，AP＝1，(22)2＋12＝32，∴∠APG＝90°.又由(1)可知△PDG是等腰直角三角形，∴∠GPD＝45°，∴∠APD＝135°.21、(12分)如图，在正方形ABCD中，E是BC中点，F在AB上，且AF∶FB＝3∶1.(1)请判断EF与DE的位置关系，并说明理由；(2)若此正方形的面积为16，求DF的长．解：(1)EF 与DE 垂直，即EF ⊥DE.理由：设正方形边长为a ， 则AD ＝DC ＝a ，AF ＝34a ，FB ＝14a ，BE ＝EC ＝12a.在Rt △DAF 中，DF 2＝AD 2＋AF 2＝2516a 2.在Rt △CDE 中，DE 2＝CD 2＋CE 2＝54a 2.在Rt △EFB 中，EF 2＝FB 2＋BE 2＝516a 2.∵DE 2＋EF 2＝54a 2＋516a 2＝2516a 2＝DF 2，∴△DFE 为直角三角形，∠DEF ＝90°.∴EF ⊥DE. (2)∵正方形的面积为16，∴a 2＝16. ∵DF 2＝2516a 2＝2516×16＝25，∴DF ＝5.。
2019-2020学年北师大新版八年级数学上册 第一章 勾股定理 单元练习(解析版)
第一章勾股定理一．选择题（共10小题）1．以下四组数中，不是勾股数的是（）A．3n，4n，5n（n为正整数）B．5，12，13C．20，21，29 D．8，5，72．一个长方形抽屉长12厘米，宽9厘米，贴抽屉底面放一根木棒，那么这根木棒最长（不计木棒粗细）可以是（）A．15厘米B．13厘米C．9厘米D．8厘米3．已知等腰三角形的一条腰长是15，底边长是18，则它底边上的高为（）A．9 B．12 C．15 D．184．下列长度的三条线段：①9，12，15；②7，24，25；③32，42，52；④3a，4a，5a（a ＞0）；⑤m2﹣n2，2mn，m2+n2（m，n为正整数，且m＞n）．其中可以构成直角三角形的有（）A．①②③④⑤B．①②④⑤C．①②④D．①②5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，CD⊥AB于D，则CD的长是（）A．6 B．C．D．6．如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知S1+S2＝7，且AC+BC＝8，则AB的长为（）A．6 B．2C．5D．7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AB边上的高为4cm，则Rt△ABC的周长为（）cm．A．24 B．C．D．8．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（）A．13 B．26 C．34 D．479．如图，一只蚂蚁从长为2cm、宽为2cm，高是3cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（）cm．A．3 B．2 C．5 D．710．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，AD＝2，AB⊥BC，CD⊥AD，连接AC，点P是在四边形ABCD边上的一点；若点P到AC的距离为，这样的点P有（）A．0个B．1个C．2个D．3个二．填空题（共8小题）11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，△ABC的周长为+2，其中斜边的长为2，则这个三角形的面积为．12．若一个直角三角形两直角边之比为3：4，斜边长20cm，则两直角边长分别为，斜边上的高长为．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC于点E，BC＝4，AC＝3，则△ACE的周长为．14．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D在边AC上，AB＝CD，点M、N分别为AD、BC的中点，连接MN、AN，MN＝3，AD＝4，则线段AN的长为．15．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝．分别以AB，AC，BC为边，向外作正方形ABDE，正方形ACFG，正方形BCMN，连接GE，DN．则图中阴影的总面积是．16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，底边BC＝6，点P是底边BC上任意一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE＝．17．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为dm．18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，现点P从点B出发，沿BC向C点运动，运动速度为cm/s，若点P的运动时间为t秒，则当△ABP是直角三角形时，时间t的值可能是．三．解答题（共4小题）19．如图，已知在△ABC中，∠A＝90°，D是BC中点，且DE⊥BC于D，交AB于E，求证：BE2﹣EA2＝AC2．20．如图，小强的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小强计算一下土地的面积，以便计算一下产量．小强找了米尺和测角仪，测得AB＝4米，BC＝3米，CD ＝12米，DA＝13米，∠B＝90°，请帮小强计算这块土地的面积．21．（1）如图（1），分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，写出S1，S2，S3之间关系．（不必证明）（2）如图（2），分别以Rt△ABC三边为边向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，确定它们的关系证明；（3）如图（3），分别以Rt△ABC三边为边向外作正三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，确定它们的关系并证明．22．已知，△ABC是边长3cm的等边三角形．动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB 向点B运动．（1）如图1，设点P的运动时间为t（s），那么t＝（s）时，△PBC是直角三角形；（2）如图2，若另一动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，如果动点P、Q都以1cm/s 的速度同时出发．设运动时间为t（s），那么t为何值时，△PBQ是直角三角形？（3）如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D．如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．设运动时间为t（s），那么t为何值时，△DCQ 是等腰三角形？（4）如图4，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D，连接PC．如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．请你猜想：在点P、Q的运动过程中，△PCD和△QCD的面积有什么关系？并说明理由．参考答案一．选择题（共10小题）1．解：A、3n2+4n2＝5n2，是勾股数；B、52+122＝132，是勾股数；C、202+212＝292，是勾股数；D、72+52≠82，不是勾股数；故选：D．2．解：这根木棒最长＝＝15厘米，故选：A．3．解：过点A作AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD＝BC＝18＝9，∴AD＝＝12（cm），∴它底边上的高为12cm；故选：B．4．解：①中有92+122＝152；②中有72+242＝252；③中322+422≠522；④中有（3a）2+（4a）2＝（5a）2；⑤中有（m2﹣n2）2+（2mn）2＝（m2+n2）2，所以可以构成直角三角形的有①②④⑤．故选：B．5．解：∵∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，∴BC＝＝6，△ABC的面积＝×AB×CD＝×AC×BC，即×10×CD＝×8×6，解得，CD＝，故选：C．6．解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，∵S1+S2＝7，∴×π×（）2+×π×（）2+×AC×BC﹣×π×（）2＝7，∴AC×BC＝14，AB＝＝＝6，故选：A．7．解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2＝100，由三角形的面积公式可知，•AC•BC＝•AB•CD＝20，∴2•AC•BC＝80则（AC+BC）2＝AC2+BC2+2•AC•BC＝180，解得，AC+BC＝6，∴Rt△ABC的周长＝AC+BC+AB＝6+10，故选：D．8．解：由勾股定理得，正方形F的面积＝正方形A的面积+正方形B的面积＝32+52＝34，同理，正方形G的面积＝正方形C的面积+正方形D的面积＝22+32＝13，∴正方形E的面积＝正方形F的面积+正方形G的面积＝47，故选：D．9．解：如图（1），AB＝＝；如图（2），AB＝＝5．故选：C．10．解：∵AB＝BC＝2，AD＝2，AB⊥BC，CD⊥AD，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∠DAC＝60°，∠ACD＝30°，∵点P到AC的距离为，∴AP＝CP＝，∴在AB和BC边上存在这样的P点，∵AD＝2，∴D到AC的距离为，∴当点P与点D重合时，P到AC的距离为，∴这样的点P有3个，故选：D．二．填空题（共8小题）11．解：设两条直角边分别为a、b，斜边为c，由题意得，a+b+c＝+2，∵c＝2，∴a+b＝，则（a+b）2＝6，即a2+2ab+b2＝6，由勾股定理得，a2+b2＝c2＝4，∴2ab＝6﹣2＝2，∴这个三角形的面积＝ab＝0.5，故答案为：0.5．12．解：设两直角边分别为3x、4x，由勾股定理得，（3x）2+（4x）2＝400，解得，x＝4，则两直角边之比为12，16，设斜边上的高长为h，则×12×16＝×20×h，解得，h＝9.6，故答案为：12，16；9.6．13．解：∵AB的垂直平分线交BC于点E，∴AE＝BE，∵BC＝4，AC＝3，∴EC+AE＝EC+BE＝BC＝4，∴△ACE的周长为：4+3＝7．故答案为：7．14．解：延长CA到H，使AH＝DC，连接BH，∵M为AD的中点，N为BC中点，∴HB＝2MN＝6，又∵AB＝DC，∴AB＝AH＝HB＝6，∴AC＝AD+DC＝4+6＝10，在Rt△ABC中，BC＝＝2，∴AN＝BC＝．故答案为：．15．解：如图将△GAE绕点A顺时针旋转90°得到△KAB．∵∠GAC＝∠EAB＝90°，∴∠GAE+∠CAB＝180°，∵∠GAE＝∠KAB，∴∠KAB+∠CAB＝180°，∴C、A、K共线，∵AG＝AK＝AC，∴S△ABK＝S△ABC＝S△AGE，同理可证S△BDN＝S△ABC，∴S△AEG+S△BDN＝2•S△ABC＝2××2×＝2．故答案为2．16．解：连接AP，过A作AF⊥BC于F，∵AB＝AC＝5，∴BF＝CF＝BC＝3，由勾股定理得：AF＝＝4，由图可得，S△ABC＝S△ABP+S△ACP，∵PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，∴+，＝×5PE，24＝5（PD+PE），∴PD+PE＝4.8，故答案为：4.8．17．解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，由勾股定理得：x2＝202+[（2+3）×3]2＝252，解得：x＝25（dm）．故答案为：25．18．解：如图1中，当∠APB＝90°时，AP⊥BC，∵AB＝AC，AP⊥BC，∴BP＝CP＝BC＝8cm，∴t＝8，解得t＝32秒；如图2中，当∠PAB＝90°时，过点A作AE⊥BC交BC于点E，∵AB＝AC，AE⊥BC＝8∴BE＝CE＝BC＝8，∴PE＝BP﹣BE＝t﹣8．在Rt△AEC中，AE2＝AC2﹣CE2，即AE2＝102﹣82，解得AE＝6cm，在Rt△PAB中，AP2＝BP2﹣AB2，在Rt△AEP中，AE2＝PE2+AE2，∴（t）2﹣100＝（t﹣8）2+36，解得t＝50（秒）．综上所述，t的值为32秒或50秒．故答案为：32s或50s．三．解答题（共4小题）19．证明：连接CE，∵D是BC中点，DE⊥BC，∴BE＝CE，∵∠A＝90°，∴CE2﹣EA2＝AC2，∴BE2﹣EA2＝AC2．20．解：连接AC，∵∠B＝90°∴AC2＝AB2+BC2＝25则AC2+CD2＝25+144＝169＝132＝AD2，因此∠ACD＝90°，S四边形＝S△ADC+S△ABC＝CD•AC+AB•BC＝×12×5+×4×3＝36（平方米），答：这块土地的面积为36m2．21．解：（1）S2+S3＝S1，由三个四边形都是正方形则：∵S3＝AC2，S2＝BC2，S1＝AB2，∵三角形ABC是直角三角形，∴AC2+BC2＝AB2，∴S2+S3＝S1．（2）∵S3＝AC2，S2＝BC2，S1＝AB2，∵三角形ABC是直角三角形，∴AC2+BC2＝AB2，∴S2+S3＝S1．（3）∵S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝AC2，∵三角形ABC是直角三角形，∴AC2+BC2＝AB2，∴S2+S3＝S1．22．解：（1）当△PBC是直角三角形时，∠B＝60°，∠BPC＝90°，所以BP＝1.5cm，所以t＝（2分）（2）当∠BPQ＝90°时，BP＝0.5BQ，3﹣t＝0.5t，所以t＝2；当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ，3﹣t＝2t，所以t＝1；所以t＝1或2（s）（4分）（3）因为∠DCQ＝120°，当△DCQ是等腰三角形时，CD＝CQ，所以∠PDA＝∠CDQ＝∠CQD＝30°，又因为∠A＝60°，所以AD＝2AP，2t+t＝3，解得t＝1（s）；（2分）（4）相等，如图所示：作PE⊥AD于E，QG⊥AD延长线于G，则PE∥QG，则易知∠G＝∠AEP，∠A＝∠ACB＝∠QCG ＝60°，在△EAP和△GCQ中，因为，所以△EAP≌△GCQ（AAS），所以PE＝QG，所以，△PCD和△QCD同底等高，所以面积相等．。
2019—2020年最新北师大版八年级数学上册《勾股定理》综合测试题及答案解析(试卷).docx
《第1章勾股定理》一、填空题1．直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边长为，斜边上的高为．2．已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为．3．已知等腰三角形的腰长为5cm，底边长为6cm，则这个三角形的面积为cm2．4．如图所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8，正方形A的面积是11，B的面积是10，C的面积是13，则D的面积为．5．如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行米．6．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1和2，则正方形ABCD 的面积是．7．如图，是一个长方体，长4、宽3、高12，则图中阴影部分的三角形的周长为．8．在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边．若a=6，c=10，则b= ；若a=12，b=5，则C= ；若c=15，b=13，则a= ．9．在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，若AB=13，BC=10，则AD= ．10．若一个直角三角形的三边长分别是6、8、a，则a2= ．11．等腰三角形的腰长为10，底边上的高为6，则底边长为．12．小颖从学校出发向南走了150m，接着向东走了80m到达书店，则学校与书店的距离是m．13．飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小刚头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离小刚5000米，则飞机每小时飞行千米．二、选择题14．下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是（）A．a=7，b=24，c=25 B．a=1.5，b=2，c=2.5C．D．a=15，b=8，c=1715．在下列以线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（）A．a=9，b=41，c=40 B．a=5，b=12，c=13C．a：b：c=3：4：5 D．a=11，b=12，c=1516．△ABC中，AB=13cm，AC=15cm，高AD=12，则BC的长为（）A．14 B．4 C．14或4 D．以上都不对17．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，直角三角形中短直角边a，较长直角边为了b，那么（a+b）2的值为（）A．13 B．14 C．25 D．16918．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．619．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟后，两只小鼹鼠相距（）A．50cm B．100cm C．140cm D．80cm20．一个圆桶底面直径为24cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为（）A．20cm B．50cm C．40cm D．45cm21．如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm（茶杯装满水），则a的取值范围是．22．直角三角形的周长为24，斜边长为10，则其面积为（）A．96 B．49 C．24 D．4823．有下面的判断：①△ABC中，a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形．②△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2+b2=c2．③若△ABC中，a2﹣b2=c2，则△ABC是直角三角形．④若△ABC是直角三角形，则（a+b）（a﹣b）=c2．以上判断正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个三、解答题：24．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知c=25，b=15，求a．25．甲、乙两同学在操场上，从同一旗杆处出发，甲向北走18米，乙向东走16米以后，又向北走6米，此时甲、乙两同学相距多远？26．一梯子斜靠在某建筑物上，当梯子的底端离建筑物9m时，梯子可以达到的高度是12m，你能算出梯子的长度吗？27．如图是一块地，已知AD=8cm，CD=6cm，∠D=90°，AB=26cm，BC=24cm，求这块地的面积．28．如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB长2.5米，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，求滑杆顶端A下滑多少米？29．如图，折叠长方形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与BD重合，得折痕DG，若AB=4，BC=3，求AG的长．30．如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=5，将长方形沿折痕AF折叠，点D恰好落在BC边上的点E处．（1）求BE的长；（2）求CF的长．31．已知：a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，①∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）．②∴c2=a2+b2．③∴△ABC是直角三角形．问：（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：；（2）错误的原因为；（3）本题正确的解题过程：《第1章勾股定理》（山东省济南市兴济中学）参考答案与试题解析一、填空题1．直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边长为13 ，斜边上的高为．【考点】勾股定理．【分析】可先用勾股定理求出斜边长，然后再根据直角三角形面积的两种公式求解即可．【解答】解：由勾股定理可得：AB2=52+122，则AB=13，直角三角形面积S=×5×12=×13×CD，可得：斜边的高CD=．故答案为：13，．【点评】本题考查勾股定理及直角三角形面积公式的综合运用，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理，此题难度不大．2．已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为5或．【考点】勾股定理．【专题】分类讨论．【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：①3是直角边，4是斜边；②3、4均为直角边；可根据勾股定理求出上述两种情况下，第三边的长．【解答】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：第三边的长为：=；②长为3、4的边都是直角边时：第三边的长为：=5；综上，第三边的长为：5或．故答案为：5或．【点评】此题主要考查的是勾股定理的应用，要注意的是由于已知的两边是直角边还是斜边并不明确，所以一定要分类讨论，以免漏解．3．已知等腰三角形的腰长为5cm，底边长为6cm，则这个三角形的面积为12 cm2．【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【分析】作底边上的高，根据等腰三角形三线合一和勾股定理求出高，再代入面积公式求解即可．【解答】解：如图，作底边BC上的高AD，则AB=5cm，BD=×6=3cm，∴AD===4，∴三角形的面积为：×6×4=12cm2．【点评】本题利用等腰三角形“三线合一”作出底边上的高，再根据勾股定理求出高的长度，作高构造直角三角形是解题的关键．4．如图所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8，正方形A的面积是11，B的面积是10，C的面积是13，则D的面积为30 ．【考点】勾股定理．【分析】根据正方形的面积公式，运用勾股定理可以证明：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积64，由此即可解决问题．【解答】解：如图记图中三个正方形分别为P、Q、M．根据勾股定理得到：A与B的面积的和是P的面积；C与D的面积的和是Q的面积；而P，Q的面积的和是M的面积．即A、B、C、D的面积之和为M的面积．∵M的面积是82=64，∴A、B、C、D的面积之和为64，设正方形D的面积为x，∴11+10+13+x=64，∴x=30．故答案为：30．【点评】此题考查了勾股定理，正方形的面积，得出正方形A，B，C，D的面积和即是最大正方形M的面积是解题的关键．5．如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行10 米．【考点】勾股定理的应用．【分析】从题目中找出直角三角形并利用勾股定理解答．【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，连接BD．在Rt△BDE中，DE=8米，BE=8﹣2=6米．根据勾股定理得BD=10米．【点评】注意作辅助线构造直角三角形，熟练运用勾股定理．6．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1和2，则正方形ABCD 的面积是 5 ．【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．【分析】根据正方形性质得出AB=CB，∠ABC=90°，求出∠EAB=∠FBC，证△AEB≌△BFC，求出BE=CF=2，在Rt△AEB中，由勾股定理求出AB，即可求出正方形的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∵AE⊥EF，CF⊥EF，∴∠AEB=∠BFC=90°，∴∠ABE+∠CBF=180°﹣90°=90°，∠ABE+∠EAB=90°，∴∠EAB=∠CBF，在△AEB和△BFC中，，∴△AEB≌△BFC（AAS），∴BE=CF=2，在Rt△AED中，由勾股定理得：AB==，即正方形ABCD的面积是5，故答案为：5．【点评】本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，关键是求出BE=CF，主要考查学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．7．如图，是一个长方体，长4、宽3、高12，则图中阴影部分的三角形的周长为30 ．【考点】勾股定理．【分析】在底面上，阴影三角形的边长是直角三角形的斜边，根据勾股定理即可求得，阴影部分是一个直角三角形，利用两直角边求出即可．【解答】解：如图所示，在直角△BCD中，根据勾股定理，得到BC===5．在直角△ABC中，根据勾股定理，得到AC===13．所以，图中阴影部分的三角形的周长为：AB+BC+AC=12+5+13=30．故答案是：30．【点评】本题考查了勾股定理．正确认识到阴影部分的形状是直角三角形是解题的关键；主要考查空间想象能力．8．在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边．若a=6，c=10，则b= 8 ；若a=12，b=5，则C= 13 ；若c=15，b=13，则a= 2．【考点】勾股定理．【专题】计算题．【分析】画出图形，根据勾股定理直接解答．【解答】解：如图：在Rt△ABC中，a=6，c=10，则b===8；在Rt△ABC中，a=12，b=5，则c===13；在Rt△ABC中，c=15，b=13，则a===2．故答案为8，13，2．【点评】本题考查了勾股定理，要注意分清直角边和斜边，另外，解答时要注意画出图形，找到相应的边和角，再代入公式计算．9．在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，若AB=13，BC=10，则AD= 12 ．【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【专题】几何图形问题．【分析】先根据等腰三角形的性质得出AD是BC边的中线，再根据勾股定理求出AD的长即可．【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，AB=13，BC=10，∴BD=BC=×10=5，∴AD===12．故答案为：12．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知等腰三角形三线合一的性质及勾股定理是解答此题的关键．10．若一个直角三角形的三边长分别是6、8、a，则a2= 100或28 ．【考点】勾股定理．【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边8既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．【解答】解：（1）若8是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：62+82=a2，所以a2=100；（2）若8是斜边，则第三边a为直角边，由勾股定理得：62+x2=82，所以a2=28．故答案为：100或28．【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．11．等腰三角形的腰长为10，底边上的高为6，则底边长为16 ．【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理求解即可．【解答】解：如图，∵AB=AC=6，AD⊥BC，AD=6，∴BD===8，∴BC=2BD=16．故答案为：16．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．12．小颖从学校出发向南走了150m，接着向东走了80m到达书店，则学校与书店的距离是170 m．【考点】勾股定理的应用．【专题】计算题．【分析】根据正南方向和正东方向成九十度，利用勾股定理进行计算即可．【解答】解：∵正南方向和正东方向成90°，∴根据勾股定理得学校与书店之间的距离为=170（米）．故答案为：170．【点评】此题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此题的关键是根据题意画出图形，再根据勾股定理进行计算．13．飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小刚头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离小刚5000米，则飞机每小时飞行540 千米．【考点】勾股定理的应用．【分析】先画出图形，构造出直角三角形，利用勾股定理解答．【解答】解：设A点为小刚头顶，C为正上方时飞机的位置，B为20s后飞机的位置，如图所示，则AB2=BC2+AC2，即BC2=AB2﹣AC2=9000000，∴BC=3000米，∴飞机的速度为3000÷20×3600=540（千米/小时），故答案为：540．【点评】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．解题时注意运用数形结合的思想方法使问题直观化．二、选择题14．下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是（）A．a=7，b=24，c=25 B．a=1.5，b=2，c=2.5C．D．a=15，b=8，c=17【考点】勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理的逆定理对各个选项进行分析，从而得到答案．【解答】解：A、满足勾股定理：72+242=252，故A选项不符合题意；B、满足勾股定理：1.52+22=2.52，故B选项不符合题意；C、不满足勾股定理，不是勾股数，故C选项符合题意；D、满足勾股定理：152+82=172，故D选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了用勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．15．在下列以线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（）A．a=9，b=41，c=40 B．a=5，b=12，c=13C．a：b：c=3：4：5 D．a=11，b=12，c=15【考点】勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理的逆定理，验证四个选项中数据是否满足“较小两边平方的和等于最大边的平方”，由此即可得出结论．【解答】解：A、因为92+402=412，能构成直角三角形，此选项错误；B、因为52+122=132，能构成直角三角形，此选项错误；C、因为32+42=52，故能构成直角三角形，此选项错误．D、因为112+122≠152，不能构成直角三角形，此选项正确．故选D．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是根据勾股定理的逆定理验证四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，套入数据验证“较小两边平方的和是否等于最大边的平方”是关键．16．△ABC中，AB=13cm，AC=15cm，高AD=12，则BC的长为（）A．14 B．4 C．14或4 D．以上都不对【考点】勾股定理．【专题】分类讨论．【分析】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC=BD+CD，在钝角三角形中，BC=CD﹣BD．【解答】解：（1）如图，锐角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12，在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得BD2=AB2﹣AD2=132﹣122=25，则BD=5，在Rt△ABD中AC=15，AD=12，由勾股定理得CD2=AC2﹣AD2=152﹣122=81，则CD=9，故BC=BD+DC=9+5=14；（2）钝角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12，在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得BD2=AB2﹣AD2=132﹣122=25，则BD=5，在Rt△ACD中AC=15，AD=12，由勾股定理得CD2=AC2﹣AD2=152﹣122=81，则CD=9，故BC的长为DC﹣BD=9﹣5=4．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理，把三角形边的问题转化到直角三角形中用勾股定理解答．17．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，直角三角形中短直角边a，较长直角边为了b，那么（a+b）2的值为（）A．13 B．14 C．25 D．169【考点】勾股定理．【分析】根据正方形的面积公式以及勾股定理，结合图形进行分析发现：大正方形的面积即直角三角形斜边的平方13，也就是两条直角边的平方和是13，四个直角三角形的面积和是大正方形的面积减去小正方形的面积即2ab=12．根据完全平方公式即可求解．【解答】解：根据题意，结合勾股定理a2+b2=13，四个三角形的面积=4×ab=13﹣1，∴2ab=12，联立解得：（a+b）2=13+12=25．故选C．【点评】本题考查了勾股定理和完全平方公式的运用，解题的关键是注意观察图形：发现各个图形的面积和a，b的关系．18．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】先根据翻折变换的性质得出CD=C′D，∠C=∠C′=90°，再设DE=x，则AE=8﹣x，由全等三角形的判定定理得出Rt△ABE≌Rt△C′DE，可得出BE=DE=x，在Rt△ABE中利用勾股定理即可求出x 的值，进而得出DE的长．【解答】解：∵Rt△DC′B由Rt△DBC翻折而成，∴CD=C′D=AB=8，∠C=∠C′=90°，设DE=x，则AE=8﹣x，∵∠A=∠C′=90°，∠AEB=∠DEC′，∴∠ABE=∠C′DE，在Rt△ABE与Rt△C′DE中，，∴Rt△ABE≌Rt△C′DE（ASA），∴BE=DE=x，在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，∴42+（8﹣x）2=x2，解得：x=5，∴DE的长为5．故选C．【点评】本题考查的是翻折变换的性质及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键．19．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟后，两只小鼹鼠相距（）A．50cm B．100cm C．140cm D．80cm【考点】勾股定理的应用．【专题】应用题．【分析】首先根据题意知：它们挖的方向构成了直角．再根据路程=速度×时间，根据勾股定理即可求解．【解答】解：由图可知，AC=8×10=80cm，BC=6×10=60cm，由勾股定理得，AB===100cm．故选B．【点评】本题考查了勾股定理的应用，首先要正确理解题意，画出正确的图形，再熟练运用勾股定理进行计算．20．一个圆桶底面直径为24cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为（）A．20cm B．50cm C．40cm D．45cm【考点】勾股定理的应用．【分析】如图，AC为圆桶底面直径，所以AC=24cm，CB=32cm，那么线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，在直角三角形ABC中利用勾股定理可以求出AB，也就求出了桶内所能容下的最长木棒的长度．【解答】解：如图，AC为圆桶底面直径，∴AC=24cm，CB=32cm，∴线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，∴AB==40cm．故桶内所能容下的最长木棒的长度为40cm．故选C．【点评】此题首先要正确理解题意，把握好题目的数量关系，然后利用勾股定理即可求出结果．21．如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm（茶杯装满水），则a的取值范围是11cm≤a≤12cm ．【考点】勾股定理的应用．【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．【解答】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=24﹣12=12cm．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时a最小，如图所示：此时，AB===13cm，故a=24﹣13=11cm．所以a的取值范围是：11cm≤a≤12cm．故答案是：11cm≤a≤12cm．【点评】此题将勾股定理与实际问题相结合，考查了同学们的观察力和由具体到抽象的推理能力，解答此题的关键是根据题意画出图形求出h的最大及最小值，有一定难度．22．直角三角形的周长为24，斜边长为10，则其面积为（）A．96 B．49 C．24 D．48【考点】勾股定理．【专题】方程思想．【分析】利用勾股定理求出两直角边，再代入三角形面积公式即可求解．【解答】解：直角三角形的周长为24，斜边长为10，则两直角边的和为24﹣10=14，设一直角边为x，则另一边14﹣x，根据勾股定理可知：x2+（14﹣x）2=100，解得x=6或8，所以面积为6×8÷2=24．故选C．【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；本题的关键是先求出两直角边，再计算面积．23．有下面的判断：①△ABC中，a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形．②△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2+b2=c2．③若△ABC中，a2﹣b2=c2，则△ABC是直角三角形．④若△ABC是直角三角形，则（a+b）（a﹣b）=c2．以上判断正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，需要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：①c不一定是斜边，故错误；②正确；③正确；④若△ABC是直角三角形，c不是斜边，则（a+b）（a﹣b）≠c2，故错误．共2个正确．故选C．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．三、解答题：24．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知c=25，b=15，求a．【考点】勾股定理．【分析】直接利用勾股定理得出a的值．【解答】解：∵∠C=90°，c=25，b=15，∴a==20．【点评】此题主要考查了勾股定理，正确应用勾股定理是解题关键．25．甲、乙两同学在操场上，从同一旗杆处出发，甲向北走18米，乙向东走16米以后，又向北走6米，此时甲、乙两同学相距多远？【考点】勾股定理的应用．【分析】根据题意画出示意图，然后根据勾股定理计算出CB的长．【解答】解：过C作CA⊥BA，由题意得：=20（米），答：此时甲、乙两同学相距20米．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是画出示意图，掌握勾股定理．26．一梯子斜靠在某建筑物上，当梯子的底端离建筑物9m时，梯子可以达到的高度是12m，你能算出梯子的长度吗？【考点】勾股定理的应用．【专题】数形结合．【分析】如（解答）图，AB为梯子长，AC为底端离建筑物的长9m，BC为顶端离地面的长12m；根据勾股定理即可求得．【解答】：解：如图：∵AC=9m，BC=12m，∠C=90°∴AB==15m∴梯子的长度为15米．【点评】此题考查了勾股定理的应用．解题时要注意数形结合思想的应用，关键是从实际问题中整理出数学问题．27．如图是一块地，已知AD=8cm，CD=6cm，∠D=90°，AB=26cm，BC=24cm，求这块地的面积．【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理可求出AC的长，根据勾股定理的逆定理可求出∠ACB=90°，可求出△ACB的面积，减去△ACD的面积，可求出四边形ABCD的面积．【解答】解：如图，连接AC．∵CD=6cm，AD=8cm，∠ADC=90°，∴AC==10（cm）．∵AB=26cm，BC=24cm，102+242=262．即AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°．∴四边形ABCD的面积=S△ABC﹣S△ACD=×10×24﹣×6×8=96（cm2）．【点评】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，关键判断出直角三角形从而可求出面积．28．如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB长2.5米，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，求滑杆顶端A下滑多少米？【考点】勾股定理的应用．【专题】应用题．【分析】由题意可知滑杆AB与AC、CB正好构成直角三角形，故可用勾股定理进行计算．【解答】解：设AE的长为x米，依题意得CE=AC﹣x．∵AB=DE=2.5，BC=1.5，∠C=90°，∴AC===2∵BD=0.5，∴在Rt△ECD中，CE====1.5．∴2﹣x=1.5，x=0.5．即AE=0.5．答：滑杆顶端A下滑0.5米．【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．29．如图，折叠长方形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与BD重合，得折痕DG，若AB=4，BC=3，求AG的长．【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理．【分析】首先由折叠长方形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与BD重合，得折痕DG，即可得：∠GDA=∠GDB，AD=ED，然后过点G作GE⊥BD于E，即可得AG=EG，设AG=x，则GE=x，BE=BD﹣DE=5﹣3=2，BG=AB﹣AG=4﹣x，在Rt△BEG中利用勾股定理，即可求得AG的长．【解答】解：过点G作GE⊥BD于E，根据题意可得：∠GDA=∠GDB，AD=ED，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，AD=BC=3，∴AG=EG，ED=3，∵AB=4，BC=3，∠A=90°，∴BD=5，设AG=x，则GE=x，BE=BD﹣DE=5﹣3=2，BG=AB﹣AG=4﹣x，在Rt△BEG中，EG2+BE2=BG2，即：x2+4=（4﹣x）2，解得：x=，故AG=．【点评】此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理等知识．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．30．如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=5，将长方形沿折痕AF折叠，点D恰好落在BC边上的点E处．（1）求BE的长；（2）求CF的长．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】（1）根据矩形的性质得到AD=BC=5，∠D=∠B=∠C=90°，由折叠的性质得到AE=AD=BC=5，根据勾股定理即可得到结果；（2）由（1）知BE=3，于是得到CE=BC﹣BE=2，根据折叠的性质得到EF=DF=4﹣CF，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）长方形ABCD中，∵AD=BC=5，∠D=∠B=∠C=90°，∵△AEF是△ADF沿折痕AF折叠得到的，∴AE=AD=BC=5，∴BE===3；（2）由（1）知BE=3，∴CE=BC﹣BE=2，∵△AEF是△ADF沿折痕AF折叠得到的，∴EF=DF=4﹣CF，∵EF2=CE2+CF2，∴（4﹣CF）2=22+CF2，解得：CF=．【点评】本题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理、全等三角形、方程思想等知识，关键是熟练掌握勾股定理，找准对应边．31．（2011•大田县校级模拟）已知：a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，①∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）．②∴c2=a2+b2．③∴△ABC是直角三角形．问：（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：③；（2）错误的原因为除式可能为0 ；（3）本题正确的解题过程：【考点】勾股定理的逆定理．【专题】推理填空题．【分析】（1）（2）两边都除以a2﹣b2，而a2﹣b2的值可能为零，由等式的基本性质，等式两边都乘以或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．（3）根据等式的基本性质和勾股定理，分情况加以讨论．【解答】解：（1）③（2）除式可能为零；（3）∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2），∴a2﹣b2=0或c2=a2+b2，当a2﹣b2=0时，a=b；当c2=a2+b2时，∠C=90°，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．故答案是③，除式可能为零．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用、分类讨论．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．。
2020年北师大版初二数学上册第1章 勾股定理 单元测试卷 (含答案)
第1章勾股定理单元测试卷一．选择题（共10小题）1．下列各组数①1，2，，②1，2，，③3，4，5，④5，12，13，其中能构成直角三角形的有A．1组B．2组C．3组D．4组2．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是A．5，11，12B．5，12，13C．4，5，6D．，2，3．已知中，，，边上的高，则的长是A．21B．15C．6D．21或94．已知，，为的内角，，所对应的边，满足下列条件的三角形不是直角三角形的是A．，，B．C．D．5．如图，在中，，，，则斜边上的高的长是A．4.8B．5C．D．66．如图，以直角三角形的一条直角边和斜边为一边作正方形和，它们的面积分别为9平方厘米和25平方厘米，则直角三角形的面积为A．6平方厘米B．12平方厘米C．24平方厘米D．3平方厘米7．如图，用4个相同的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若图中直角三角形较短的直角边长是5，小正方形的边长是7，则大正方形的面积是A．121B．144C．169D．1968．如图，在的方格中，小正方形的边长是1，点、、都在格点上，则边上的高为A．B．C．D．9．如图，正方体的棱长为2，为一条棱的中点．已知蚂蚁沿正方体的表面从点出发，到达点，则它运动的最短路程为A．B．4C．D．510．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动2米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动2米，则梯子的长度为A．10米B．6米C．7米D．8米二．填空题（共8小题）11．直角三角形一直角边的长是3，斜边长是5，则此直角三角形的面积为．12．如图一根竹子长为16米，折断后竹子顶端落在离竹子底端8米处，折断处离地面高度是米．13．如图，在四边形中，，，，则．14．一颗参天大树，树干周长为3米，地上有一根常青藤恰好绕了它5圈，藤尖离地面20米高．那么，这根常青藤至少有米．15．如图，已知直角中，是斜边上的高，，，则．16．如图，点，把线段分割成，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的“勾股分割点”．已知点，是线段的“勾股分割点”，若，，则的长为．17．如图是一株美丽的勾股树，其作法为：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直边形为边，分别向外作两个正方形，计为②．依此类推若正方形①的面积为16，则正方形③的面积是．18．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，，，将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图中实线部分）是．三．解答题（共7小题）19．如图，在中，，，是延长线上一点，，．求证：．20．已知港口与灯塔之间相距20海里，一艘轮船从港口出发，沿方向以每小时4海里的速度航行，4小时到达处，测得两处相距12海里，若轮船沿原方向按原速度继续航行2小时到达小岛处，此时船与灯塔之间的距离为多少海里？21．在四边形中，，，，，．（1）说明；（2）求四边形的面积．22．如图，一架长的梯子斜靠在一竖直墙上，这时为．（1）求的长度；（2）如果梯子底端沿地面向外移动到达点，那么梯子顶端下移多少？23．如图，某地方政府决定在相距的两站之间的公路旁点，修建一个土特产加工基地，且、两村到点的距离相等，已知于，于，，，那么基地应建在离站多少千米的地方？24．如图1，一架云梯斜靠在一竖直的墙上，云梯的顶端距地面15米，梯子的长度比梯子底端离墙的距离大5米．（1）这个云梯的底端离墙多远？（2）如图2，如果梯子的顶端下滑了，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？25．如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形中，，，，，正方形中，（1）小明发明了求正方形边长的方法：由题意可得，因为，所以，解得（2）小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：利用可以得到与、、的关系，请根据小亮的思路完成他的求解过程：（3）请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理．参考答案一．选择题（共10小题）1．下列各组数①1，2，，②1，2，，③3，4，5，④5，12，13，其中能构成直角三角形的有A．1组B．2组C．3组D．4组【解答】解：①，能构成直角三角形的三边长．②，能构成直角三角形的三边长．③，能构成直角三角形的三边长．④，能构成直角三角形的三边长．故其中能构成直角三角形的有4组．故选：．2．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是A．5，11，12B．5，12，13C．4，5，6D．，2，【解答】解：、，不能组成直角三角形；、，能组成直角三角形；、，不能组成直角三角形；、，不能组成直角三角形．故选：．3．已知中，，，边上的高，则的长是A．21B．15C．6D．21或9【解答】解：如图所示，在中，，，；在中，，，，当在三角形的内部时，如图1，；当在三角形的外部时，如图2，．的长是21或9．故选：．4．已知，，为的内角，，所对应的边，满足下列条件的三角形不是直角三角形的是A．，，B．C．D．【解答】解：、，是直角三角形，不符合题意；、设，，，，是直角三角形，不符合题意；、，，不是直角三角形，符合题意；、，，，是直角三角形，不符合题意；故选：．5．如图，在中，，，，则斜边上的高的长是A．4.8B．5C．D．6【解答】解：，，，，，，解得：．故选：．6．如图，以直角三角形的一条直角边和斜边为一边作正方形和，它们的面积分别为9平方厘米和25平方厘米，则直角三角形的面积为A．6平方厘米B．12平方厘米C．24平方厘米D．3平方厘米【解答】解：根据勾股定理可得直角三角形的另一边长为：（厘米），可得这个直角三角形的面积为：（平方厘米）．故选：．7．如图，用4个相同的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若图中直角三角形较短的直角边长是5，小正方形的边长是7，则大正方形的面积是A．121B．144C．169D．196【解答】解：直角三角形较短的直角边长是5，小正方形的边长是7，直角三角形的较长直角边，直角三角形斜边长，大正方形的边长是13，大正方形的面积是．故选：．8．如图，在的方格中，小正方形的边长是1，点、、都在格点上，则边上的高为A．B．C．D．【解答】解：的面积：，，设边上的高为，由题意得：，，故选：．9．如图，正方体的棱长为2，为一条棱的中点．已知蚂蚁沿正方体的表面从点出发，到达点，则它运动的最短路程为A．B．4C．D．5【解答】解：如图，它运动的最短路程，故选：．10．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动2米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动2米，则梯子的长度为A．10米B．6米C．7米D．8米【解答】解：由题意得：米，米，米，设米，则米，由题意得：，解得：，（米，故选：．二．填空题（共8小题）11．直角三角形一直角边的长是3，斜边长是5，则此直角三角形的面积为6．【解答】解：直角三角形一直角边的长是3，斜边长是5，另一条直角边为，此直角三角形的面积为：，故答案为：6．12．如图一根竹子长为16米，折断后竹子顶端落在离竹子底端8米处，折断处离地面高度是6米．【解答】解：设竹子折断处离地面米，则斜边为米，根据勾股定理得：解得：．折断处离地面高度是6米，故答案为：6．13．如图，在四边形中，，，，则．【解答】解：在中，，，则由勾股定理得到：．在中，，，由勾股定理得到：．所以．故答案为：．14．一颗参天大树，树干周长为3米，地上有一根常青藤恰好绕了它5圈，藤尖离地面20米高．那么，这根常青藤至少有25米．【解答】解：根据题意得，这根常青藤至少有（米，故答案为：25米．15．如图，已知直角中，是斜边上的高，，，则 2.4．【解答】解：在中，，，，．故答案为：2.4．16．如图，点，把线段分割成，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的“勾股分割点”．已知点，是线段的“勾股分割点”，若，，则的长为或．【解答】解：当是斜边时，，，，当为斜边时，，，，故答案为：或．17．如图是一株美丽的勾股树，其作法为：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直边形为边，分别向外作两个正方形，计为②．依此类推若正方形①的面积为16，则正方形③的面积是4．【解答】解：第①个正方形的面积为16，第②个正方形的面积为8，第③个正方形的面积为4，故答案为：4．18．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，，，将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图中实线部分）是．【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为，则所以所以风车的外围周长为．故答案为．三．解答题（共7小题）19．如图，在中，，，是延长线上一点，，．求证：．【解答】证明：，，，又，，，是直角三角形，且，．20．已知港口与灯塔之间相距20海里，一艘轮船从港口出发，沿方向以每小时4海里的速度航行，4小时到达处，测得两处相距12海里，若轮船沿原方向按原速度继续航行2小时到达小岛处，此时船与灯塔之间的距离为多少海里？【解答】解：在中，，，，，是直角三角形．是直角三角形，在中，，，．答：船与灯塔之间的距离为海里．21．在四边形中，，，，，．（1）说明；（2）求四边形的面积．【解答】解：（1）在中，由勾股定理得：，在中，，，，是直角三角形，．（2）四边形的面积．22．如图，一架长的梯子斜靠在一竖直墙上，这时为．（1）求的长度；（2）如果梯子底端沿地面向外移动到达点，那么梯子顶端下移多少？【解答】解：（1）在中，；（2）设梯子的端下滑到，如图，，在中，，梯子顶端下移．23．如图，某地方政府决定在相距的两站之间的公路旁点，修建一个土特产加工基地，且、两村到点的距离相等，已知于，于，，，那么基地应建在离站多少千米的地方？【解答】解：设，则解得答：基地应建在离站的地方．24．如图1，一架云梯斜靠在一竖直的墙上，云梯的顶端距地面15米，梯子的长度比梯子底端离墙的距离大5米．（1）这个云梯的底端离墙多远？（2）如图2，如果梯子的顶端下滑了，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？【解答】解：（1）根据题意可得米，米，由勾股定理，可得：解得：，答：这个云梯的底端离墙20米远；（2）由（1）可得：米，根据题意可得：米，米，由勾股定理，可得：，米，答：梯子的底部在水平方向滑动了4米．25．如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形中，，，，，正方形中，（1）小明发明了求正方形边长的方法：由题意可得，因为，所以，解得（2）小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：利用可以得到与、、的关系，请根据小亮的思路完成他的求解过程：（3）请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理．【解答】解：（2）因为所以．答：与、、的关系为．（3）根据（1）和（2）得：．即化简得．1、人不可有傲气，但不可无傲骨。
最新2019-2020年度北师大版八年级数学上册《勾股定理》单元测试卷及解析-精品试题
《第1章勾股定理》一、选择题1.如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（）A．2，3，4 B．3，4，5 C．6，8，10 D．5，12，132．如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的（）A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍3．下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，64．在一个直角三角形中，若斜边的长是13，一条直角边的长为12，那么这个直角三角形的面积是（）A．30 B．40 C．50 D．605．下列四组数：①5，12，13；②7，24，25；③3a，4a，5a（a＞0）；④32，42，52．其中可以构成直角三角形的边长有（）A．1组B．2组C．3组D．4组6．三个正方形的面积如图，当B=144、C=169时，则A的值为（）A．313 B．144 C．169 D．257．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，其中斜边上的高为（）A．6cm B．8.5cm C．cm D．cm8．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，则CD等于（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm二、填空题：9．如图，直角三角形中未知边的长度x= ．10．三角形的三边长分别是15，36，39，这个三角形是三角形．11．如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是米．12．如图，一圆柱高8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是cm．三、解答题：13．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿高与门高．14．如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？15．如图，一架长2.5米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙0.7米，为了安装壁灯，梯子顶端离地面2米，请你计算一下，此时梯子底端应再向远离墙的方向拉多远？参考答案与试题解析一、选择题1.如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（）A．2，3，4 B．3，4，5 C．6，8，10 D．5，12，13【考点】勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形，分析得出即可．【解答】解：A、∵22+32≠42，∴此三角形不是直角三角形，符合题意；B、∵32+42=52，∴此三角形是直角三角形，不合题意；C、62+82=102，∴此三角形是直角三角形，不合题意；D、52+122=132，∴此三角形是直角三角形，不合题意．故选：A．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．2．如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的（）A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍【考点】勾股定理．【分析】利用相似三角形的对应边成比例，运用勾股定理就可以解决．【解答】解：设直角三角形的直角边为a、b，斜边为c，直角边扩大2倍后为2a，2b，那么据勾股定理得原来c2=a2+b2，现在的斜边．即斜边扩大到原来的2倍，故选B．【点评】本题考查了勾股定理和相似三角形的性质，关键是根据相似三角形的对应边成比例解答．3．下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6【考点】勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理的逆定理得到答案．【解答】解：因为32+42=25 52=25，所以32+42=52，所以能构成直角三角形的是C．故选C．【点评】本题考查了直角三角形的判定的运用．4．在一个直角三角形中，若斜边的长是13，一条直角边的长为12，那么这个直角三角形的面积是（）A．30 B．40 C．50 D．60【考点】勾股定理．【分析】首先根据勾股定理，得另一条直角边的长，进而就可以求出直角三角形的面积．【解答】解：另一直角边长是：=5．则直角三角形的面积是×12×5=30．故选A．【点评】熟练运用勾股定理由直角三角形的两条边求出第三边；直角三角形的面积等于两条直角边的乘积的一半．5．下列四组数：①5，12，13；②7，24，25；③3a，4a，5a（a＞0）；④32，42，52．其中可以构成直角三角形的边长有（）A．1组B．2组C．3组D．4组【考点】勾股定理的逆定理．【分析】求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：①52+122=132，能构成直角三角形；②72+242=252，能构成直角三角形，能构成直角三角形；③（3a）2+（4a）2=（5a）2，能构成直角三角形；④（32）2+（42）2≠（52）2，不能构成直角三角形．故可以构成直角三角形的边长有3组．故选C．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．6．三个正方形的面积如图，当B=144、C=169时，则A的值为（）A．313 B．144 C．169 D．25【考点】勾股定理．【分析】根据a2+b2=c2，结合B=144、C=169，可求出a2的值，继而可得出A的值．【解答】解：由题意可得：a2+b2=c2，解得：a2=25，即A的值为25．故选D．【点评】此题考查了勾股定理的正方形的关键，关键是根据图形得出a2+b2=c2，题目出的很好，注意掌握勾股定理的表达式．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，其中斜边上的高为（）A．6cm B．8.5cm C．cm D．cm【考点】勾股定理．【分析】根据勾股定理求出斜边AB的长，再根据直角三角形面积的两种不同求法列出关于CD的方程即可求解．【解答】解：∵在Rt△ABC中，AC=5cm，BC=12cm，∴AB===13cm；∴S△ABC=×5×12=30cm2；∴×13CD=30，解得CD=cm．故选C【点评】本题考查了勾股定理和三角形的面积公式，巧妙利用直角三角形两种面积求法是解题的关键．8．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，则CD等于（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据翻折的性质可知：AC=AE=6，CD=DE，设CD=DE=x，在RT△DEB中利用勾股定理解决．【解答】解：在RT△ABC中，∵AC=6，BC=8，∴AB===10，△ADE是由△ACD翻折，∴AC=AE=6，EB=AB﹣AE=10﹣6=4，设CD=DE=x，在RT△DEB中，∵DEDE2+EB2=DB2，∴x2+42=（8﹣x）2∴x=3，∴CD=3．故选B．【点评】本题考查翻折的性质、勾股定理，利用翻折不变性是解决问题的关键，学会转化的思想去思考问题．二、填空题：9．如图，直角三角形中未知边的长度x= ．【考点】勾股定理．【分析】根据勾股定理直接解答即可．【解答】解：根据勾股定理可得：52+32=x2，解得：x=或﹣（舍去）．故答案为：．【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．即如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．本题难度不大，注意细心运算即可．10．三角形的三边长分别是15，36，39，这个三角形是直角三角形．【考点】勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理逆定理，三角形两短边的平方和等于长边的平方，即可得出其为直角三角形．【解答】解：∵152+362=392，∴可得三角形为直角三角形．【点评】熟练掌握勾股定理逆定理的应用．11．如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是12 米．【考点】勾股定理的应用．【专题】应用题．【分析】梯子和建筑物之间可构成直角三角形，梯子长为斜边，梯子的底端离建筑物的距离为一直角边，运用勾股定理可将另一直角边求出，即梯子可以到达建筑物的高度．【解答】解：∵直角三角形的斜边长为15m，一直角边长为9m，∴另一直角边长==12m，故梯子可到达建筑物的高度是12m．故答案为：12．【点评】本题的关键是建立数学模型，使实际问题转化为数学问题，进行求解．12．如图，一圆柱高8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是10 cm．【考点】平面展开-最短路径问题．【分析】此题最直接的解法，就是将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答．【解答】解：底面圆周长为2πr，底面半圆弧长为πr，即半圆弧长为：×2π×=6（cm），展开得：∵BC=8cm，AC=6cm，根据勾股定理得：AB==10（cm）．故答案为：10．【点评】此题主要考查了立体图形的展开和两点之间线段最短，解题的关键是根据题意画出展开图，表示出各线段的长度．三、解答题：13．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿高与门高．【考点】勾股定理的应用．【专题】应用题．【分析】根据题中所给的条件可知，竹竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高．【解答】解：设门高为x尺，则竹竿长为（x+1）尺，根据勾股定理可得：x2+42=（x+1）2，即x2+16=x2+2x+1，解得：x=7.5，故：门高7.5尺，竹竿高=7.5+1=8.5尺．【点评】本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键，难度一般．14．如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？【考点】勾股定理的应用．【分析】设旗杆在离底部x米的位置断裂，在直角三角形中利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解方程求出x的值，此题得解．【解答】解：设旗杆在离底部x米的位置断裂，在给定图形上标上字母如图所示．∵AB=x，AB+AC=16，∴AC=16﹣x．在Rt△ABC中，AB=x，AC=16﹣x，BC=8，∴AC2=AB2+BC2，即（16﹣x）2=x2+82，解得：x=6．故旗杆在离底部8米的位置断裂．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用勾股定理得出关于x的一元二次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，构建直角三角形，利用勾股定理表示出三边关系是关键．15．如图，一架长2.5米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙0.7米，为了安装壁灯，梯子顶端离地面2米，请你计算一下，此时梯子底端应再向远离墙的方向拉多远？【考点】勾股定理的应用．【专题】探究型．【分析】在Rt△DCE中利用勾股定理求出CE的长即可解答【解答】解：在Rt△DCE中，∵DE=AB=2.5m，CD=2m，∴CE===1.5m．∴BE=CE﹣BC=1.5﹣0.7=0.8m．答：梯子底端B应再向左拉0.8m．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．。
2020年北师大版数学八年级上册第1章 勾股定理 单元测试题 (含答案)
第1章勾股定理单元测试卷一．选择题（共10小题）1．下列各组数①1，2，，②1，2，，③3，4，5，④5，12，13，其中能构成直角三角形的有A．1组B．2组C．3组D．4组2．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是A．5，11，12B．5，12，13C．4，5，6D．，2，3．已知中，，，边上的高，则的长是A．21B．15C．6D．21或94．已知，，为的内角，，所对应的边，满足下列条件的三角形不是直角三角形的是A．，，B．C．D．5．如图，在中，，，，则斜边上的高的长是A．4.8B．5C．D．66．如图，以直角三角形的一条直角边和斜边为一边作正方形和，它们的面积分别为9平方厘米和25平方厘米，则直角三角形的面积为A．6平方厘米B．12平方厘米C．24平方厘米D．3平方厘米7．如图，用4个相同的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若图中直角三角形较短的直角边长是5，小正方形的边长是7，则大正方形的面积是A．121B．144C．169D．1968．如图，在的方格中，小正方形的边长是1，点、、都在格点上，则边上的高为A．B．C．D．9．如图，正方体的棱长为2，为一条棱的中点．已知蚂蚁沿正方体的表面从点出发，到达点，则它运动的最短路程为A．B．4C．D．510．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动2米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动2米，则梯子的长度为A．10米B．6米C．7米D．8米二．填空题（共8小题）11．直角三角形一直角边的长是3，斜边长是5，则此直角三角形的面积为．12．如图一根竹子长为16米，折断后竹子顶端落在离竹子底端8米处，折断处离地面高度是米．13．如图，在四边形中，，，，则．14．一颗参天大树，树干周长为3米，地上有一根常青藤恰好绕了它5圈，藤尖离地面20米高．那么，这根常青藤至少有米．15．如图，已知直角中，是斜边上的高，，，则．16．如图，点，把线段分割成，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的“勾股分割点”．已知点，是线段的“勾股分割点”，若，，则的长为．17．如图是一株美丽的勾股树，其作法为：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直边形为边，分别向外作两个正方形，计为②．依此类推若正方形①的面积为16，则正方形③的面积是．18．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，，，将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图中实线部分）是．三．解答题（共7小题）19．如图，在中，，，是延长线上一点，，．求证：．20．已知港口与灯塔之间相距20海里，一艘轮船从港口出发，沿方向以每小时4海里的速度航行，4小时到达处，测得两处相距12海里，若轮船沿原方向按原速度继续航行2小时到达小岛处，此时船与灯塔之间的距离为多少海里？21．在四边形中，，，，，．（1）说明；（2）求四边形的面积．22．如图，一架长的梯子斜靠在一竖直墙上，这时为．（1）求的长度；（2）如果梯子底端沿地面向外移动到达点，那么梯子顶端下移多少？23．如图，某地方政府决定在相距的两站之间的公路旁点，修建一个土特产加工基地，且、两村到点的距离相等，已知于，于，，，那么基地应建在离站多少千米的地方？24．如图1，一架云梯斜靠在一竖直的墙上，云梯的顶端距地面15米，梯子的长度比梯子底端离墙的距离大5米．（1）这个云梯的底端离墙多远？（2）如图2，如果梯子的顶端下滑了，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？25．如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形中，，，，，正方形中，（1）小明发明了求正方形边长的方法：由题意可得，因为，所以，解得（2）小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：利用可以得到与、、的关系，请根据小亮的思路完成他的求解过程：（3）请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理．参考答案一．选择题（共10小题）1．下列各组数①1，2，，②1，2，，③3，4，5，④5，12，13，其中能构成直角三角形的有A．1组B．2组C．3组D．4组【解答】解：①，能构成直角三角形的三边长．②，能构成直角三角形的三边长．③，能构成直角三角形的三边长．④，能构成直角三角形的三边长．故其中能构成直角三角形的有4组．故选：．2．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是A．5，11，12B．5，12，13C．4，5，6D．，2，【解答】解：、，不能组成直角三角形；、，能组成直角三角形；、，不能组成直角三角形；、，不能组成直角三角形．故选：．3．已知中，，，边上的高，则的长是A．21B．15C．6D．21或9【解答】解：如图所示，在中，，，；在中，，，，当在三角形的内部时，如图1，；当在三角形的外部时，如图2，．的长是21或9．故选：．4．已知，，为的内角，，所对应的边，满足下列条件的三角形不是直角三角形的是A．，，B．C．D．【解答】解：、，是直角三角形，不符合题意；、设，，，，是直角三角形，不符合题意；、，，不是直角三角形，符合题意；、，，，是直角三角形，不符合题意；故选：．5．如图，在中，，，，则斜边上的高的长是A．4.8B．5C．D．6【解答】解：，，，，，，解得：．故选：．6．如图，以直角三角形的一条直角边和斜边为一边作正方形和，它们的面积分别为9平方厘米和25平方厘米，则直角三角形的面积为A．6平方厘米B．12平方厘米C．24平方厘米D．3平方厘米【解答】解：根据勾股定理可得直角三角形的另一边长为：（厘米），可得这个直角三角形的面积为：（平方厘米）．故选：．7．如图，用4个相同的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若图中直角三角形较短的直角边长是5，小正方形的边长是7，则大正方形的面积是A．121B．144C．169D．196【解答】解：直角三角形较短的直角边长是5，小正方形的边长是7，直角三角形的较长直角边，直角三角形斜边长，大正方形的边长是13，大正方形的面积是．故选：．8．如图，在的方格中，小正方形的边长是1，点、、都在格点上，则边上的高为A．B．C．D．【解答】解：的面积：，，设边上的高为，由题意得：，，故选：．9．如图，正方体的棱长为2，为一条棱的中点．已知蚂蚁沿正方体的表面从点出发，到达点，则它运动的最短路程为A．B．4C．D．5【解答】解：如图，它运动的最短路程，故选：．10．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动2米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动2米，则梯子的长度为A．10米B．6米C．7米D．8米【解答】解：由题意得：米，米，米，设米，则米，由题意得：，解得：，（米，故选：．二．填空题（共8小题）11．直角三角形一直角边的长是3，斜边长是5，则此直角三角形的面积为6．【解答】解：直角三角形一直角边的长是3，斜边长是5，另一条直角边为，此直角三角形的面积为：，故答案为：6．12．如图一根竹子长为16米，折断后竹子顶端落在离竹子底端8米处，折断处离地面高度是6米．【解答】解：设竹子折断处离地面米，则斜边为米，根据勾股定理得：解得：．折断处离地面高度是6米，故答案为：6．13．如图，在四边形中，，，，则．【解答】解：在中，，，则由勾股定理得到：．在中，，，由勾股定理得到：．所以．故答案为：．14．一颗参天大树，树干周长为3米，地上有一根常青藤恰好绕了它5圈，藤尖离地面20米高．那么，这根常青藤至少有25米．【解答】解：根据题意得，这根常青藤至少有（米，故答案为：25米．15．如图，已知直角中，是斜边上的高，，，则 2.4．【解答】解：在中，，，，．故答案为：2.4．16．如图，点，把线段分割成，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的“勾股分割点”．已知点，是线段的“勾股分割点”，若，，则的长为或．【解答】解：当是斜边时，，，，当为斜边时，，，，故答案为：或．17．如图是一株美丽的勾股树，其作法为：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直边形为边，分别向外作两个正方形，计为②．依此类推若正方形①的面积为16，则正方形③的面积是4．【解答】解：第①个正方形的面积为16，第②个正方形的面积为8，第③个正方形的面积为4，故答案为：4．18．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，，，将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图中实线部分）是．【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为，则所以所以风车的外围周长为．故答案为．三．解答题（共7小题）19．如图，在中，，，是延长线上一点，，．求证：．【解答】证明：，，，又，，，是直角三角形，且，．20．已知港口与灯塔之间相距20海里，一艘轮船从港口出发，沿方向以每小时4海里的速度航行，4小时到达处，测得两处相距12海里，若轮船沿原方向按原速度继续航行2小时到达小岛处，此时船与灯塔之间的距离为多少海里？【解答】解：在中，，，，，是直角三角形．是直角三角形，在中，，，．答：船与灯塔之间的距离为海里．21．在四边形中，，，，，．（1）说明；（2）求四边形的面积．【解答】解：（1）在中，由勾股定理得：，在中，，，，是直角三角形，．（2）四边形的面积．22．如图，一架长的梯子斜靠在一竖直墙上，这时为．（1）求的长度；（2）如果梯子底端沿地面向外移动到达点，那么梯子顶端下移多少？【解答】解：（1）在中，；（2）设梯子的端下滑到，如图，，在中，，梯子顶端下移．23．如图，某地方政府决定在相距的两站之间的公路旁点，修建一个土特产加工基地，且、两村到点的距离相等，已知于，于，，，那么基地应建在离站多少千米的地方？【解答】解：设，则解得答：基地应建在离站的地方．24．如图1，一架云梯斜靠在一竖直的墙上，云梯的顶端距地面15米，梯子的长度比梯子底端离墙的距离大5米．（1）这个云梯的底端离墙多远？（2）如图2，如果梯子的顶端下滑了，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？【解答】解：（1）根据题意可得米，米，由勾股定理，可得：解得：，答：这个云梯的底端离墙20米远；（2）由（1）可得：米，根据题意可得：米，米，由勾股定理，可得：，米，答：梯子的底部在水平方向滑动了4米．25．如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形中，，，，，正方形中，（1）小明发明了求正方形边长的方法：由题意可得，因为，所以，解得（2）小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：利用可以得到与、、的关系，请根据小亮的思路完成他的求解过程：（3）请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理．【解答】解：（2）因为所以．答：与、、的关系为．（3）根据（1）和（2）得：．即化简得．1、学而不思则罔，思而不学则殆。
最新2019-2020年度北师大版八年级数学上册《勾股定理》综合测试题及答案解析-精品试题
《第1章勾股定理》一、填空题1．直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边长为，斜边上的高为．2．已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为．3．已知等腰三角形的腰长为5cm，底边长为6cm，则这个三角形的面积为cm2．4．如图所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8，正方形A的面积是11，B的面积是10，C的面积是13，则D的面积为．5．如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行米．6．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1和2，则正方形ABCD 的面积是．7．如图，是一个长方体，长4、宽3、高12，则图中阴影部分的三角形的周长为．8．在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边．若a=6，c=10，则b= ；若a=12，b=5，则C= ；若c=15，b=13，则a= ．9．在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，若AB=13，BC=10，则AD= ．10．若一个直角三角形的三边长分别是6、8、a，则a2= ．11．等腰三角形的腰长为10，底边上的高为6，则底边长为．12．小颖从学校出发向南走了150m，接着向东走了80m到达书店，则学校与书店的距离是m．13．飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小刚头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离小刚5000米，则飞机每小时飞行千米．二、选择题14．下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是（）A．a=7，b=24，c=25 B．a=1.5，b=2，c=2.5C．D．a=15，b=8，c=1715．在下列以线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（）A．a=9，b=41，c=40 B．a=5，b=12，c=13C．a：b：c=3：4：5 D．a=11，b=12，c=1516．△ABC中，AB=13cm，AC=15cm，高AD=12，则BC的长为（）A．14 B．4 C．14或4 D．以上都不对17．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，直角三角形中短直角边a，较长直角边为了b，那么（a+b）2的值为（）A．13 B．14 C．25 D．16918．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．619．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟后，两只小鼹鼠相距（）A．50cm B．100cm C．140cm D．80cm20．一个圆桶底面直径为24cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为（）A．20cm B．50cm C．40cm D．45cm21．如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm（茶杯装满水），则a的取值范围是．22．直角三角形的周长为24，斜边长为10，则其面积为（）A．96 B．49 C．24 D．4823．有下面的判断：①△ABC中，a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形．②△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2+b2=c2．③若△ABC中，a2﹣b2=c2，则△ABC是直角三角形．④若△ABC 是直角三角形，则（a+b）（a﹣b）=c2．以上判断正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个三、解答题：24．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知c=25，b=15，求a．25．甲、乙两同学在操场上，从同一旗杆处出发，甲向北走18米，乙向东走16米以后，又向北走6米，此时甲、乙两同学相距多远？26．一梯子斜靠在某建筑物上，当梯子的底端离建筑物9m时，梯子可以达到的高度是12m，你能算出梯子的长度吗？27．如图是一块地，已知AD=8cm，CD=6cm，∠D=90°，AB=26cm，BC=24cm，求这块地的面积．28．如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB长2.5米，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，求滑杆顶端A下滑多少米？29．如图，折叠长方形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与BD重合，得折痕DG，若AB=4，BC=3，求AG的长．30．如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=5，将长方形沿折痕AF折叠，点D恰好落在BC边上的点E处．（1）求BE的长；（2）求CF的长．31．已知：a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，①∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）．②∴c2=a2+b2．③∴△ABC是直角三角形．问：（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：；（2）错误的原因为；（3）本题正确的解题过程：《第1章勾股定理》（山东省济南市兴济中学）参考答案与试题解析一、填空题1．直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边长为13 ，斜边上的高为．【考点】勾股定理．【分析】可先用勾股定理求出斜边长，然后再根据直角三角形面积的两种公式求解即可．【解答】解：由勾股定理可得：AB2=52+122，则AB=13，直角三角形面积S=×5×12=×13×CD，可得：斜边的高CD=．故答案为：13，．【点评】本题考查勾股定理及直角三角形面积公式的综合运用，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理，此题难度不大．2．已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为5或．【考点】勾股定理．【专题】分类讨论．【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：①3是直角边，4是斜边；②3、4均为直角边；可根据勾股定理求出上述两种情况下，第三边的长．【解答】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：第三边的长为：=；②长为3、4的边都是直角边时：第三边的长为：=5；综上，第三边的长为：5或．故答案为：5或．【点评】此题主要考查的是勾股定理的应用，要注意的是由于已知的两边是直角边还是斜边并不明确，所以一定要分类讨论，以免漏解．3．已知等腰三角形的腰长为5cm，底边长为6cm，则这个三角形的面积为12 cm2．【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【分析】作底边上的高，根据等腰三角形三线合一和勾股定理求出高，再代入面积公式求解即可．【解答】解：如图，作底边BC上的高AD，则AB=5cm，BD=×6=3cm，∴AD===4，∴三角形的面积为：×6×4=12cm2．【点评】本题利用等腰三角形“三线合一”作出底边上的高，再根据勾股定理求出高的长度，作高构造直角三角形是解题的关键．4．如图所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8，正方形A的面积是11，B的面积是10，C的面积是13，则D的面积为30 ．【考点】勾股定理．【分析】根据正方形的面积公式，运用勾股定理可以证明：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积64，由此即可解决问题．【解答】解：如图记图中三个正方形分别为P、Q、M．根据勾股定理得到：A与B的面积的和是P的面积；C与D的面积的和是Q的面积；而P，Q的面积的和是M的面积．即A、B、C、D的面积之和为M的面积．∵M的面积是82=64，∴A、B、C、D的面积之和为64，设正方形D的面积为x，∴11+10+13+x=64，∴x=30．故答案为：30．【点评】此题考查了勾股定理，正方形的面积，得出正方形A，B，C，D的面积和即是最大正方形M的面积是解题的关键．5．如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行10 米．【考点】勾股定理的应用．【分析】从题目中找出直角三角形并利用勾股定理解答．【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，连接BD．在Rt△BDE中，DE=8米，BE=8﹣2=6米．根据勾股定理得BD=10米．【点评】注意作辅助线构造直角三角形，熟练运用勾股定理．6．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1和2，则正方形ABCD 的面积是 5 ．【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．【分析】根据正方形性质得出AB=CB，∠ABC=90°，求出∠EAB=∠FBC，证△AEB≌△BFC，求出BE=CF=2，在Rt△AEB中，由勾股定理求出AB，即可求出正方形的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∵AE⊥EF，CF⊥EF，∴∠AEB=∠BFC=90°，∴∠ABE+∠CBF=180°﹣90°=90°，∠ABE+∠EAB=90°，∴∠EAB=∠CBF，在△AEB和△BFC中，，∴△AEB≌△BFC（AAS），∴BE=CF=2，在Rt△AED中，由勾股定理得：AB==，即正方形ABCD的面积是5，故答案为：5．【点评】本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，关键是求出BE=CF，主要考查学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．7．如图，是一个长方体，长4、宽3、高12，则图中阴影部分的三角形的周长为30 ．【考点】勾股定理．【分析】在底面上，阴影三角形的边长是直角三角形的斜边，根据勾股定理即可求得，阴影部分是一个直角三角形，利用两直角边求出即可．【解答】解：如图所示，在直角△BCD中，根据勾股定理，得到BC===5．在直角△ABC中，根据勾股定理，得到AC===13．所以，图中阴影部分的三角形的周长为：AB+BC+AC=12+5+13=30．故答案是：30．【点评】本题考查了勾股定理．正确认识到阴影部分的形状是直角三角形是解题的关键；主要考查空间想象能力．8．在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边．若a=6，c=10，则b= 8 ；若a=12，b=5，则C= 13 ；若c=15，b=13，则a= 2．【考点】勾股定理．【专题】计算题．【分析】画出图形，根据勾股定理直接解答．【解答】解：如图：在Rt△ABC中，a=6，c=10，则b===8；在Rt△ABC中，a=12，b=5，则c===13；在Rt△ABC中，c=15，b=13，则a===2．故答案为8，13，2．【点评】本题考查了勾股定理，要注意分清直角边和斜边，另外，解答时要注意画出图形，找到相应的边和角，再代入公式计算．9．在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，若AB=13，BC=10，则AD= 12 ．【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【专题】几何图形问题．【分析】先根据等腰三角形的性质得出AD是BC边的中线，再根据勾股定理求出AD的长即可．【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，AB=13，BC=10，∴BD=BC=×10=5，∴AD===12．故答案为：12．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知等腰三角形三线合一的性质及勾股定理是解答此题的关键．10．若一个直角三角形的三边长分别是6、8、a ，则a 2= 100或28 ．【考点】勾股定理．【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边8既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．【解答】解：（1）若8是直角边，则第三边x 是斜边，由勾股定理得：62+82=a 2，所以a 2=100；（2）若8是斜边，则第三边a 为直角边，由勾股定理得：62+x 2=82，所以a 2=28．故答案为：100或28．【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．11．等腰三角形的腰长为10，底边上的高为6，则底边长为 16 ．【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理求解即可．【解答】解：如图，∵AB=AC=6，AD ⊥BC ，AD=6，∴BD===8，∴BC=2BD=16．故答案为：16．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．12．小颖从学校出发向南走了150m，接着向东走了80m到达书店，则学校与书店的距离是170 m．【考点】勾股定理的应用．【专题】计算题．【分析】根据正南方向和正东方向成九十度，利用勾股定理进行计算即可．【解答】解：∵正南方向和正东方向成90°，∴根据勾股定理得学校与书店之间的距离为=170（米）．故答案为：170．【点评】此题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此题的关键是根据题意画出图形，再根据勾股定理进行计算．13．飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小刚头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离小刚5000米，则飞机每小时飞行540 千米．【考点】勾股定理的应用．【分析】先画出图形，构造出直角三角形，利用勾股定理解答．【解答】解：设A点为小刚头顶，C为正上方时飞机的位置，B为20s后飞机的位置，如图所示，则AB2=BC2+AC2，即BC2=AB2﹣AC2=9000000，∴BC=3000米，∴飞机的速度为3000÷20×3600=540（千米/小时），故答案为：540．【点评】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．解题时注意运用数形结合的思想方法使问题直观化．二、选择题14．下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是（）A．a=7，b=24，c=25 B．a=1.5，b=2，c=2.5C．D．a=15，b=8，c=17【考点】勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理的逆定理对各个选项进行分析，从而得到答案．【解答】解：A、满足勾股定理：72+242=252，故A选项不符合题意；B、满足勾股定理：1.52+22=2.52，故B选项不符合题意；C、不满足勾股定理，不是勾股数，故C选项符合题意；D、满足勾股定理：152+82=172，故D选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了用勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．15．在下列以线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（）A．a=9，b=41，c=40 B．a=5，b=12，c=13C．a：b：c=3：4：5 D．a=11，b=12，c=15【考点】勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理的逆定理，验证四个选项中数据是否满足“较小两边平方的和等于最大边的平方”，由此即可得出结论．【解答】解：A、因为92+402=412，能构成直角三角形，此选项错误；B、因为52+122=132，能构成直角三角形，此选项错误；C、因为32+42=52，故能构成直角三角形，此选项错误．D、因为112+122≠152，不能构成直角三角形，此选项正确．故选D．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是根据勾股定理的逆定理验证四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，套入数据验证“较小两边平方的和是否等于最大边的平方”是关键．16．△ABC中，AB=13cm，AC=15cm，高AD=12，则BC的长为（）A．14 B．4 C．14或4 D．以上都不对【考点】勾股定理．【专题】分类讨论．【分析】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC=BD+CD，在钝角三角形中，BC=CD﹣BD．【解答】解：（1）如图，锐角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12，在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得BD2=AB2﹣AD2=132﹣122=25，则BD=5，在Rt△ABD中AC=15，AD=12，由勾股定理得CD2=AC2﹣AD2=152﹣122=81，则CD=9，故BC=BD+DC=9+5=14；（2）钝角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12，在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得BD2=AB2﹣AD2=132﹣122=25，则BD=5，在Rt△ACD中AC=15，AD=12，由勾股定理得CD2=AC2﹣AD2=152﹣122=81，则CD=9，故BC的长为DC﹣BD=9﹣5=4．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理，把三角形边的问题转化到直角三角形中用勾股定理解答．17．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，直角三角形中短直角边a，较长直角边为了b，那么（a+b）2的值为（）A．13 B．14 C．25 D．169【考点】勾股定理．【分析】根据正方形的面积公式以及勾股定理，结合图形进行分析发现：大正方形的面积即直角三角形斜边的平方13，也就是两条直角边的平方和是13，四个直角三角形的面积和是大正方形的面积减去小正方形的面积即2ab=12．根据完全平方公式即可求解．【解答】解：根据题意，结合勾股定理a2+b2=13，四个三角形的面积=4×ab=13﹣1，∴2ab=12，联立解得：（a+b）2=13+12=25．故选C．【点评】本题考查了勾股定理和完全平方公式的运用，解题的关键是注意观察图形：发现各个图形的面积和a，b的关系．18．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】先根据翻折变换的性质得出CD=C′D，∠C=∠C′=90°，再设DE=x，则AE=8﹣x，由全等三角形的判定定理得出Rt△ABE≌Rt△C′DE，可得出BE=DE=x，在Rt△ABE中利用勾股定理即可求出x的值，进而得出DE的长．【解答】解：∵Rt△DC′B由Rt△DBC翻折而成，∴CD=C′D=AB=8，∠C=∠C′=90°，设DE=x，则AE=8﹣x，∵∠A=∠C′=90°，∠AEB=∠DEC′，∴∠ABE=∠C′DE，在Rt△ABE与Rt△C′DE中，，∴Rt△ABE≌Rt△C′DE（ASA），∴BE=DE=x，在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，∴42+（8﹣x）2=x2，解得：x=5，∴DE的长为5．故选C．【点评】本题考查的是翻折变换的性质及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键．19．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟后，两只小鼹鼠相距（）A．50cm B．100cm C．140cm D．80cm【考点】勾股定理的应用．【专题】应用题．【分析】首先根据题意知：它们挖的方向构成了直角．再根据路程=速度×时间，根据勾股定理即可求解．【解答】解：由图可知，AC=8×10=80cm，BC=6×10=60cm，由勾股定理得，AB===100cm．故选B．【点评】本题考查了勾股定理的应用，首先要正确理解题意，画出正确的图形，再熟练运用勾股定理进行计算．20．一个圆桶底面直径为24cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为（）A．20cm B．50cm C．40cm D．45cm【考点】勾股定理的应用．【分析】如图，AC为圆桶底面直径，所以AC=24cm，CB=32cm，那么线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，在直角三角形ABC中利用勾股定理可以求出AB，也就求出了桶内所能容下的最长木棒的长度．【解答】解：如图，AC为圆桶底面直径，∴AC=24cm，CB=32cm，∴线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，∴AB==40cm．故桶内所能容下的最长木棒的长度为40cm．故选C．【点评】此题首先要正确理解题意，把握好题目的数量关系，然后利用勾股定理即可求出结果．21．如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm（茶杯装满水），则a的取值范围是11cm≤a≤12cm ．【考点】勾股定理的应用．【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．【解答】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=24﹣12=12cm．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时a最小，如图所示：此时，AB===13cm，故a=24﹣13=11cm．所以a的取值范围是：11cm≤a≤12cm．故答案是：11cm≤a≤12cm．【点评】此题将勾股定理与实际问题相结合，考查了同学们的观察力和由具体到抽象的推理能力，解答此题的关键是根据题意画出图形求出h的最大及最小值，有一定难度．22．直角三角形的周长为24，斜边长为10，则其面积为（）A．96 B．49 C．24 D．48【考点】勾股定理．【专题】方程思想．【分析】利用勾股定理求出两直角边，再代入三角形面积公式即可求解．【解答】解：直角三角形的周长为24，斜边长为10，则两直角边的和为24﹣10=14，设一直角边为x，则另一边14﹣x，根据勾股定理可知：x2+（14﹣x）2=100，解得x=6或8，所以面积为6×8÷2=24．故选C．【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；本题的关键是先求出两直角边，再计算面积．23．有下面的判断：①△ABC中，a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形．②△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2+b2=c2．③若△ABC中，a2﹣b2=c2，则△ABC是直角三角形．④若△ABC 是直角三角形，则（a+b）（a﹣b）=c2．以上判断正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，需要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：①c不一定是斜边，故错误；②正确；③正确；④若△ABC是直角三角形，c不是斜边，则（a+b）（a﹣b）≠c2，故错误．共2个正确．故选C．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．三、解答题：24．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知c=25，b=15，求a．【考点】勾股定理．【分析】直接利用勾股定理得出a的值．【解答】解：∵∠C=90°，c=25，b=15，∴a==20．【点评】此题主要考查了勾股定理，正确应用勾股定理是解题关键．25．甲、乙两同学在操场上，从同一旗杆处出发，甲向北走18米，乙向东走16米以后，又向北走6米，此时甲、乙两同学相距多远？【考点】勾股定理的应用．【分析】根据题意画出示意图，然后根据勾股定理计算出CB的长．【解答】解：过C作CA⊥BA，由题意得：=20（米），答：此时甲、乙两同学相距20米．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是画出示意图，掌握勾股定理．26．一梯子斜靠在某建筑物上，当梯子的底端离建筑物9m时，梯子可以达到的高度是12m，你能算出梯子的长度吗？【考点】勾股定理的应用．【专题】数形结合．【分析】如（解答）图，AB为梯子长，AC为底端离建筑物的长9m，BC为顶端离地面的长12m；根据勾股定理即可求得．【解答】：解：如图：∵AC=9m，BC=12m，∠C=90°∴AB==15m∴梯子的长度为15米．【点评】此题考查了勾股定理的应用．解题时要注意数形结合思想的应用，关键是从实际问题中整理出数学问题．27．如图是一块地，已知AD=8cm，CD=6cm，∠D=90°，AB=26cm，BC=24cm，求这块地的面积．【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理可求出AC的长，根据勾股定理的逆定理可求出∠ACB=90°，可求出△ACB 的面积，减去△ACD的面积，可求出四边形ABCD的面积．【解答】解：如图，连接AC．∵CD=6cm，AD=8cm，∠ADC=90°，∴AC==10（cm）．∵AB=26cm，BC=24cm，102+242=262．即AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°．∴四边形ABCD的面积=S△ABC﹣S△ACD=×10×24﹣×6×8=96（cm2）．【点评】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，关键判断出直角三角形从而可求出面积．28．如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB长2.5米，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，求滑杆顶端A下滑多少米？【考点】勾股定理的应用．【专题】应用题．【分析】由题意可知滑杆AB与AC、CB正好构成直角三角形，故可用勾股定理进行计算．【解答】解：设AE的长为x米，依题意得CE=AC﹣x．∵AB=DE=2.5，BC=1.5，∠C=90°，∴AC===2∵BD=0.5，∴在Rt△ECD中，CE====1.5．∴2﹣x=1.5，x=0.5．即AE=0.5．答：滑杆顶端A下滑0.5米．【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．29．如图，折叠长方形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与BD重合，得折痕DG，若AB=4，BC=3，求AG的长．【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理．【分析】首先由折叠长方形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与BD重合，得折痕DG，即可得：∠GDA=∠GDB，AD=ED，然后过点G作GE⊥BD于E，即可得AG=EG，设AG=x，则GE=x，BE=BD﹣DE=5﹣3=2，BG=AB﹣AG=4﹣x，在Rt△BEG中利用勾股定理，即可求得AG的长．【解答】解：过点G作GE⊥BD于E，根据题意可得：∠GDA=∠GDB，AD=ED，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，AD=BC=3，∴AG=EG，ED=3，∵AB=4，BC=3，∠A=90°，∴BD=5，设AG=x，则GE=x，BE=BD﹣DE=5﹣3=2，BG=AB﹣AG=4﹣x，在Rt△BEG中，EG2+BE2=BG2，即：x2+4=（4﹣x）2，解得：x=，故AG=．【点评】此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理等知识．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．30．如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=5，将长方形沿折痕AF折叠，点D恰好落在BC边上的点E处．（1）求BE的长；（2）求CF的长．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】（1）根据矩形的性质得到AD=BC=5，∠D=∠B=∠C=90°，由折叠的性质得到AE=AD=BC=5，根据勾股定理即可得到结果；（2）由（1）知BE=3，于是得到CE=BC﹣BE=2，根据折叠的性质得到EF=DF=4﹣CF，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）长方形ABCD中，∵AD=BC=5，∠D=∠B=∠C=90°，∵△AEF是△ADF沿折痕AF折叠得到的，∴AE=AD=BC=5，∴BE===3；（2）由（1）知BE=3，∴CE=BC﹣BE=2，∵△AEF是△ADF沿折痕AF折叠得到的，∴EF=DF=4﹣CF，∵EF2=CE2+CF2，∴（4﹣CF）2=22+CF2，解得：CF=．【点评】本题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理、全等三角形、方程思想等知识，关键是熟练掌握勾股定理，找准对应边．31．（2011•大田县校级模拟）已知：a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，①∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）．②∴c2=a2+b2．③∴△ABC是直角三角形．问：（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：③；（2）错误的原因为除式可能为0 ；（3）本题正确的解题过程：【考点】勾股定理的逆定理．【专题】推理填空题．【分析】（1）（2）两边都除以a2﹣b2，而a2﹣b2的值可能为零，由等式的基本性质，等式两边都乘以或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．（3）根据等式的基本性质和勾股定理，分情况加以讨论．【解答】解：（1）③（2）除式可能为零；（3）∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2），∴a2﹣b2=0或c2=a2+b2，当a2﹣b2=0时，a=b；当c2=a2+b2时，∠C=90°，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．故答案是③，除式可能为零．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用、分类讨论．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．。
八年级上册数学第一章勾股定理单元试题(北师大版含答案)
八年级上册数学第一章勾股定理单元试题( 北师大版含答案 )来第一章勾股定理检测题本检测题满分：100 分，时间： 90 分钟一、（每题 3 分，共 30 分）1.在△中，，，，则该三角形为（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形2. 假如把直角三角形的两条直角边长同时扩大到本来的2倍，那么斜边长扩大到本来的（）A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍3. 以下说法中正确的选项）是（A. 已知是三角形的三边，则B.在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方C.在 R t △中，∠°，因此D.在 Rt △中，∠°，因此4. 如图，已知正方形的面积为144，正方形的面积为169时，那么正方形的面积为（）A.313B.144C.169D.255.如图，在 Rt △中，∠°， c ， c ，则其斜边上的高为（）A.6 cB.8.5 cC. cD. c6. 以下知足条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A. 三内角之比为B. 三边长的平方之比为C. 三边长之比为D. 三内角之比为7.如图，在△ 中，∠ °，，，点在上，且，，则的长为（）A.6B.7C.8D.98.如图，一圆柱高 8 c，底面半径为 c ，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短行程是（）A.6 cB.8 cC.10 cD.12 c9. 假如一个三角形的三边长知足，则这个三角形必定是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D.等腰三角形10.在△ 中，三边长知足，则互余的一对角是（）A.∠与∠B.∠与∠C.∠与∠D.∠、∠ 、∠二、题（每题 3 分，共 24 分）11.已知两条线段的长分别为5 c 、12 c ，当第三条线段长为________时，这三条线段能够构成一个直角三角形 . 12.在△ 中， c ， c ，⊥于点，则 _______.13.在△ 中，若三边长分别为 9、 12 、15，则以两个这样的三角形拼成的长方形的面积为 __________.14.如图，在 Rt △中，，均分，交于点，且，，则点到的距离是 ________.15. 有一组勾股数，知道此中的两个数分别是17 和 8，则第三个数是 .16.若一个直角三角形的一条直角边长是，另一条直角边长比斜边长短，则该直角三角形的斜边长为________.17.如图，全部的四边形都是正方形，全部的三角形都是直角三角形，此中最大的正方形的边长为7 c，则正方形的面积之和为___________c2.18.如图，学校有一块长方形花园，有很少量人为了避开拐角走“捷径” ，在花园内走出了一条“路” ，他们只是少走了__ ______ 步路（假定 2 步为 1 ），却踩伤了花草.三、解答题（共46 分）19. （6 分）若△三边长知足以下条件，判断△能否是直角三角形，假如，请说明哪个角是直角.（1） ;（2） .20.（ 6 分）在△ 中，，，．若，如图①，依据勾股定理，则 . 若△ 不是直角三角形，如图②和图③，请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论．21.（ 6 分）若三角形的三个内角的比是，最短边长为1，最长边长为 2.求：（ 1）这个三角形各内角的度数；（2）此外一条边长的平方.22.（ 7 分）如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部 8 处，已知旗杆原长 16 ，你能求出旗杆在离底部多少米的地点断裂吗？23.（ 7 分）察看下表：列举猜想3，4，55， 12，137， 24，25请你联合该表格及有关知识，求出的值 .24. （ 7 分）如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处， c ，c，求：（ 1）的长；（ 2）的长 .25. （ 7 分）如图，长方体中，，，一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面爬到点，求蚂蚁如何走最短，最短行程是多少？第一章勾股定理检测题参照答案1.B 分析：在△ 中，由，，，可推出 . 由勾股定理的逆定理知此三角形是直角三角形，应选B．2.B 分析：设原直角三角形的三边长分别是，且后的三角形的斜边长为，即斜边长扩大到本来的，则扩大2 倍，故选B.3.C 分析： A. 不确立三角形能否是直角三角形，故 A 选项错误；B. 不确立第三边能否为斜边，故B选项错误；C.∠ C=90°，因此其对边为斜边，故 C 选项正确； D. ∠ B=90°，因此，故 D 选项错误.4.D 分析：设三个正方形的边长挨次为的三边构成一个直角三角形，因此，因为三个正方形，故，即.5.C 分析：由勾股定理可知 c ，再由三角形的面积公式，有，得 .6. D 分析：在 A 选项中，求出三角形的三个内角分别是30°，60°， 90°；在B， C 选项中，都切合勾股定理的条件，所以 A，B， C 选项中都是直角三角形. 在 D 选项中，求出三角形的三个角分别是因此不是直角三角形，应选D．7.C 分析：因为 Rt△中，，因此由勾股定理得. 因为，，因此 .8.C 分析：如图为圆柱的侧面睁开图，∵为的中点，则就是蚂蚁爬行的最短路径 . ∵，∴．∵，∴ ，即蚂蚁要爬行的最短行程是10 c ．9.B分析：由，整理，得，即，因此，切合，因此这个三角形必定是直角三角形.10.B分析：由，得，因此△是直角三角形，且是斜边，因此∠ B=90°，从而互余的一对角是∠与∠ .11. c或13 c分析：依据勾股定理，当12 为直角边长时，第三条线段长为；当 12 为斜边长时，第三条线段长为．12.15 c分析：如图，∵等腰三角形底边上的高、中线以及顶角的均分线三线合一，∴.∵，∴.∵ ，∴（c ）．13.108分析：因为，因此△是直角三角形，且两条直角边长分别为9、12，则以两个这样的三角形拼成的长方形的面积为 .14.3 分析：如图，过点作于 .因为，，，因此.因为均分，，因此点到的距离．15.15分析：设第三个数是，①若为最长边，则，不是整数，不切合题意；②若 17 为最长边，则，三边是整数，能构成勾股数，切合题意，故答案为：15．16. 分析：设直角三角形的斜边长是，则另一条直角边长是．依据勾股定理，得，解得，则斜边长是．17.49分析：正方形 A，B， C， D 的面积之和是最大的正方形的面积，即49 ．18.4分析：在Rt△ ABC中，，则，少走了（步）．19.解：（1）因为，依据三边长知足的条件，能够判断△是直角三角形，此中∠为直角.（2）因为，因此，依据三边长知足的条件，能够判断△ 是直角三角形，此中∠为直角.20. 解：如图①，若△ 是锐角三角形，则有 . 证明以下：过点作，垂足为，设为，则有 . 在 Rt △ ACD中，依据勾股定理，得 AC2 CD2=AD2，即 b2 x2= AD2. 在 Rt △ABD 中，依据勾股定理，得 AD2=AB2 BD2，即 AD2= c2 (a x)2 ，即，∴.∵，∴，∴.如图②，若△是钝角三角形，为钝角，则有.证明以下：过点作，交的延伸线于点.设为，在 Rt △BCD 中，依据勾股定理，得，在Rt△ ABD 中，依据勾股定理，得AD2+ BD2= AB2，即．即 .∵，∴，∴.21.解：（1）因为三个内角的比是，因此设三个内角的度数分别为 .由，得，因此三个内角的度数分别为.（2）由（ 1）知三角形为直角三角形，则一条直角边长为 1，斜边长为 2.设此外一条直角边长为，则，即.因此此外一条边长的平方为 3.22.剖析：旗杆折断的部分，未折断的部分和旗杆顶部离旗杆底部的部分构成了直角三角形，运用勾股定理可将折断的地点求出．解：设旗杆未折断部分的长为，则折断部分的长为，依据勾股定理, 得，解得：，即旗杆在离底部 6 处断裂．23. 剖析：依据已知条件可找出规律；依据此规律可求出的值．解：由 3， 4， 5：；5， 12，13：；7， 24，25： .故，，解得，，即.24.剖析：（ 1）因为△ 翻折获得△ ，因此，则在 Rt △中，可求得的长，从而的长可求；（2）因为，可设的长为，在 Rt △中，利用勾股定理求解直角三角形即可．解：（ 1）由题意 , 得 (c) ，在Rt △中，∵ ，∴ (c) ，∴（c ）．（ 2）由题意 , 得，设的长为，则 .在 Rt △中，由勾股定理 , 得，解得，即的长为 5 c ．25.剖析：要求蚂蚁爬行的最短行程，需将长方体的侧面睁开，从而依据“两点之间线段最短”得出结果．解：如图（1），把长方体剪开，则成长方形，宽为，长为，连结，则构成直角三角形，由勾股定理, 得.如图（2），把长方体剪开，则成长方形，宽为，长为，连结，则构成直角三角形，同理，由勾股定理, 得 .∴蚂蚁从点出发穿过抵达点行程最短,最短行程是5．来。
北师大版2019-2020八年级数学上册第一章勾股定理单元测试题4(基础 附答案)
北师大版2019-2020八年级数学上册第一章勾股定理单元测试题4（基础附答案）1．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）A．5、6、7 B．10、8、4 C．7、24、25 D．9、15、17 2．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，D为AB边上一动点，连接CD，△ACD与△A′CD关于直线CD轴对称，连接BA′，则BA′的最小值为（）A．B．1 C．D．3．如图,直角△ABC的周长为24,且AB:AC=5:3,则BC=( )A．6 B．8 C．10 D．124．如图：已知△ABC为直角三角形，分别以直角边AC、BC为直径作半圆AmC和BnC，以AB为直径作半圆ACB，记两个月牙形阴影部分的面积之和为S1，△ABC的面积为S2，则S1与S2的大小关系为（）A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1=S2D．不能确定5．如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心，正方形边长的一半为半径作圆，三个圆的面积分别记为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是（）A．B．C．D．无法确定6．葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上．如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是50cm，当一段葛藤绕树干盘旋2圈升高为2.4m时，这段葛藤的长是（）m．A．3 B．2.6 C．2.8 D．2.57．设三角形的三边长分别等于下列各组数，能构成直角三角形的是（）A．，，B．，，C．，，D．4，5，68．如图，在中，AD⊥BC于D，AB=3，DB=2，DC=1，则AC等于（）A．6 B．C．D．49．如图，在△ABC和△ACD中，∠B=∠D，tanB=，BC=5，CD=3，∠BCA=90°﹣∠BCD，则AD=_____．10．△ABC中，AB=10，BC=16，BC 边上的中线AD=6，则AC= ______．11．王师傅在操场上安装一副单杠,要求单杠与地面平行,杠与两撑脚垂直,如图所示,撑脚长AB,DC为3 m,两撑脚间的距离BC为4 m,则AC=____m就符合要求.12．如图，已知直线a∥b，a，b之间的距离为4，点P到直线a的距离为4，点Q到直线b的距离为2，PQ=2．在直线a上有一动点A，直线b上有一动点B，满足AB⊥b，且P A+AB+BQ最小，此时P A+BQ＝________．13．三角形的边长之比为：①1.5∶2∶2.5；②4∶7.5∶8.5；③1∶2；④3.5∶4.5∶5.5.其中可以构成直角三角形的有___________组．14．如图，正方体每个侧面的面积为平方米，用经过，，三点的平面截这个正方体，则所得的切面的周长是________米．15．如图，一棵大树在离地面9米高的B处断裂，树顶A落在离树底BC的12米处，则大树断裂之前的高度为米．16．课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间（如图），，，从三角板的刻度可知，小聪很快就知道了砌墙砖块的厚度的平方（每块砖的厚度相等）为________．17．一架长25米的云梯，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，(1)求梯子顶端到地面的距离；（2）如果梯子的顶端下滑4米，那么云梯的底端在水平方向将滑多少米？18．小烨在探究数轴上两点间距离时发现：若两点在轴上或与轴平行，两点的横坐标分别为，则两点间距离为；若两点在轴上或与轴平行，两点的纵坐标分别为，则两点间距离为.据此，小烨猜想：对于平面内任意两点，两点间的距离为.（1）请你利用下图，试证明：；（2）若，试在轴上求一点，使的距离最短，并求出的最小值和点坐标．19．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，分别按下列要求画以格点为顶点三角形和平行四边形．（1）三角形三边长为4，3，；（2）平行四边形有一锐角为45°，且面积为6．20．4个全等的直角三角形的直角边分别为a，b，斜边为c.现把它们适当拼合，可以得到如图所示的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？请试一试．21．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A的正前方60米处的C点，过了5秒后，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A 之间的距离为100米．求BC间的距离；这辆小汽车超速了吗？请说明理由．22．一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得∠B=90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？23．如图，在△ABC中，AC=6，BC=8，DE是△ABD的边AB上的高，且DE=4，AD=，BD=，求△ABC的边AB上的高．24．如图，在5×5的方格纸中，每一个小正方形的边长都为1。
2019----2020学年度第一学期北师大版八年级数学第一章勾股定理过关练习题(含答案)
2019----2020学年度第一学期北师大版八年级数学第一章过关练习题一、选择题1.下列各组数中，是勾股数的为（）A．1，1，2B．1.5，2，2.5C．7，24，25D．6，12，132.下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A．5cm，9cm，12cm B．7cm，12cm，13cmC．30cm，40cm，50cm D．3cm，4cm，6cm3.三角形的三边长分别为6，8，10，它的最长边上的高为（）A．6B．2.4C．8D．4.84.方形A、B、C、D的面积分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（）A．13B．26C．47D．945.如图，盒内长、宽、高分别是6cm、3cm、2cm，盒内可放木棒最长的长度是（）A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm6.若△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)(a2＋b2－c2)＝0，则△ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形7.已知一轮船以18n mile/h的速度从港口A出发向西南方向航行，另一轮船以24n mile/h 的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口1.5h后，两轮船相距()A．30n mile B．35n mile C．40n mile D．45n mile8.一根高9m的旗杆在离地4m高处折断，折断处仍相连，此时在3.9m远处耍的身高为1m的小明（）A．没有危险B．有危险C．可能有危险D．无法判断9.在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则BC等于（）A．14B．4C．14或4D．9或510.如图，一圆柱高8cm，底面半径为6πcm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是()A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm二、填空题11.如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，将△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在边AD上，若AB ＝8，BC＝10，则CE＝．12.将一根长为15cm的筷子置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为hcm，则h的取值范围是．13.如图，一个直径为8cm的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子露出杯子外1cm，当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端刚好触到杯口，则筷子长度为cm．14.直角三角形的斜边长是5，一直角边是3，则此三角形的周长是．15.如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，若AD=6cm，DE=5cm，则CD的长为cm．三、解答题16.有一块空白地，如图，∠ADC＝90°，CD＝6m，AD＝8m，AB＝26m，BC＝24m．试求这块空白地的面积．17.如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，动点P从点C出发，以每秒2cm的速度按C→A的路径运动，设运动时间为t秒．（1）出发2秒时，△ABP的面积为cm2；（2）当t为何值时，BP恰好平分∠ABC？18.一架长2.5米的梯子AB如图所示斜靠在一面墙上，这时梯足B离墙底C（∠C＝90°）的距离BC为0.7米．（1）求此时梯顶A距地面的高度AC；（2）如果梯顶A下滑0．9米，那么梯足B在水平方向，向右滑动了多少米？19.有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，其长AD＝8cm，高AB＝6cm，水深为AE＝4cm，在水面线EF上紧贴内壁G处有一粒食物，且EG＝6cm，一只小虫想从水缸外的A处沿水缸壁爬进水缸内的G处吃掉食物．(1)小虫应该沿怎样的路线爬才能使爬的路线最短呢？请你画出它爬行的最短路线，并用箭头标注．(2)求小虫爬行的最短路线长(不计缸壁厚度)．1---5CCDAB6---10DDBCC11.512.2---313.8.514.1215.816.9617.12；1.518. 2.4；1.319.(1)如图，作点A关于BC的对称点A′，连接A′G与BC交于点Q，则AQ＋QG为最短路线．(第25题)(2)因为AE＝4cm，AA′＝12cm，所以A′E＝8cm.在Rt△A′EG中，EG＝6cm，A′E＝8cm，A′G2＝A′E2＋EG2＝102，所以A′G＝10cm，所以A Q＋QG＝A′Q＋QG＝A′G＝10cm.所以最短路线长为10cm.。
2019-2020学年北师大版八年级数学上册 第一章 勾股定理 单元测试题(有答案)
第一章勾股定理单元测试题一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．如图，是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果EF＝4，AH＝12，那么AB等于（）A．30 B．25 C．20 D．152．勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（）A．B．C．D．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，正方形AEDC，BCFG的面积分别为25和144，则AB的长度为（）A．13 B．169 C．12 D．54．如图所示，正方形ABGF和正方形CDBE的面积分别是100和36，则以AD为直径的半圆的面积是（）A．4πB．8πC．12πD．16π5．下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（）A．1，2，3 B．4，6，8 C．6，8，10 D．13，14，156．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中不能说明△ABC是直角三角形的是（）A．a＝32，b＝42，c＝52B．a＝9，b＝12，c＝15C．∠A：∠B：∠C＝5：2：3 D．∠C﹣∠B＝∠A7．下列各组数据中，能做为直角三角形三边长的是（）A．1、2、3 B．3、5、7 C．32、42、52D．5、12、138．下列各组数据中，不是勾股数的是（）A．3，4，5 B．5，7，9 C．8，15，17 D．7，24，259．如图，学校有一块长方形草地，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草地内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（）米路，却踩伤了花草．A．1 B．2 C．5 D．1210．如图所示，有一个高18cm，底面周长为24cm的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底1cm 的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一只苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是（）A．16cm B．18cm C．20cm D．24cm二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如下图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为．12．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C的面积和是9，则正方形D的边长．13．已知，点O为数轴原点，数轴上的A，B两点分别对应﹣3，3，以AB为底边作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为．＝．14．如图，在△ABC中，BC＝5，AC＝12，AB＝13，则S△ABC15．如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝°（点A，B，P是网格线交点）．16．探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…，请写出第6个数组：．17．如图，一木杆在离地面1.5m处折断，木杆顶端落在离木杆底端2m处，则木杆折断之前的高为（m）．18．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为dm．三．解答题（共7小题，共66分）19．如图是边长为1的正方形网格，下面是勾股定理的探索与验证过程，请补充完整：∵S1＝，S2＝，S3＝，∴S1+S2＝S3．即2+ 2＝2．20．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在格点上．（1）线段AB的长是；（2）在图中画出一条线段EF，使EF的长为，并判断AB、CD、EF三条线段的长能否成为一个直角三角形三边的长？说明理由．21．如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°．求阴影部分的面积．22．已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．尝试化简整式A．发现 A＝B2，求整式B．联想由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当n＞1时，n2﹣1，2n，B为直角三角形的三边长，如图．填写下表中B的值：23．学校要对如图所示的一块地ABCD进行绿化，已知AD＝4米，CD＝3米，AD⊥DC，AB ＝13米，BC＝12米．（1）若连接AC，试证明：△ABC是直角三角形；（2）求这块地的面积．24．小王与小林进行遥控赛车游戏，小王的赛车从点C出发，以4米秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以3米秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，AC＝40米，AB＝30米．（1）出发3秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？（2）出发几秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰？25．如图，长方体的底面积为30cm2，长、宽、高的比为3：2：1，则：（1）这个长方体的长、宽、高分别是多少？（2）长方体的表面积和体积分别是多少？（3）若一只蚂蚁从顶点A沿长方体表面爬行到顶点B，直接写出从点A爬行到点B 的最短路程是cm．参考答案与试题解析一．选择题1．解：∵△ABH≌△BCG，∴BG＝AH＝12，∵四边形EFGH都是正方形，∴HG＝EF＝4，∴BH＝16，∴在直角三角形AHB中，由勾股定理得到：AB＝＝＝20．故选：C．2．解：“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示：故选：B．3．解：AB＝＝13，故选：A．4．解：∵在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB2＝100，BD2＝36，∴AD2＝100﹣36＝64，∴AD＝8，∴以AD为直径的半圆的面积是π（AD）2＝πAD2＝8π．故选：B．5．解：A、12+22＝5≠32，故不能组成直角三角形，错误；B、42+62≠82，故不能组成直角三角形，错误；C、62+82＝102，故能组成直角三角形，正确；D、132+142≠152，故不能组成直角三角形，错误．故选：C．6．解：A、∵92+162≠252，∴不能构成直角三角形，故选项正确；B、∵92+122＝152，∴能构成直角三角形，故选项错误；C、∵∠A：∠B：∠C＝5：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，∴最大角∠A＝90°，∴能构成直角三角形，故选项错误；D、∵∠C﹣∠B＝∠A，∴∠C＝∠B+∠A，∴最大角∠C＝90°，∴能构成直角三角形，故选项错误．故选：A．7．解：A、12+22≠32，所以以1、2、3为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；B、32+52≠72，所以以3、5、7为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；C、（32）2+（42）2≠（52）2，所以以32、42、52为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；D、52+122＝132，所以以5、12、13为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；故选：D．8．解：A、32+42＝52，能构成直角三角形，是整数，故选项错误；B、52+72≠92，不能构成直角三角形，故选项正确；C、82+152＝172，构成直角三角形，是正整数，故选项错误；D、72+242＝252，能构成直角三角形，是整数，故选项错误．故选：B．9．解：由题意可得，直角三角形的斜边为：＝5，则他们仅仅少走了3+4﹣5＝2（米）．故选：B．10．解：如图展开后连接SF，求出SF的长就是捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径，过S作SE⊥CD于E，则SE＝BC＝×24＝12cm，EF＝18﹣1﹣1＝16cm，在Rt△FES中，由勾股定理得：SF＝＝＝20（cm），答：捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是20cm．故选：C．二．填空题11．解：如图所示：∵（a+b）2＝21，∴a2+2ab+b2＝21，∵大正方形的面积为13，2ab＝21﹣13＝8，∴小正方形的面积为13﹣8＝5，故答案为：512．解：根据勾股定理的几何意义得：SD ＝SA+SB+SC＝9，可知，D的边长为＝3．故答案为：3．13．解：∵△ABC为等腰三角形，OA＝OB＝3，∴OC⊥AB，在Rt△OBC中，OC＝＝＝，∵以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，∴OM＝OC＝，∴点M对应的数为±．故答案为：．14．解：由于AB2＝BC2+AC2，∴△ABC是直角三角形，∴∠C＝90°，＝×12×5＝30，∴S△ABC故答案为：3015．解：延长AP交格点于D，连接BD，则PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，∴PD2+DB2＝PB2，∴∠PDB＝90°，∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°，故答案为：45．16．解：∵①3＝2×1+1，4＝2×12+2×1，5＝2×12+2×1+1；②5＝2×2+1，12＝2×22+2×2，13＝2×22+2×2+1；③7＝2×3+1，24＝2×32+2×3，25＝2×32+2×3+1；④9＝2×4+1，40＝2×42+2×4，41＝2×42+2×4+1；⑤11＝2×5+1，60＝2×52+2×5，61＝2×52+2×5+1，则⑥13＝2×6+1，2×62+2×6＝84，2×62+2×6+1＝85，故答案为：13，84，85．17．解：∵一木杆在离地面1.5m处折断，木杆顶端落在离木杆底端2m处，∴折断的部分长为＝2.5，∴折断前高度为2.5+1.5＝4（m）．故答案为：4．18．解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，由勾股定理得：x2＝202+[（2+3）×3]2＝252，解得：x＝25（dm）．故答案为：25．三．解答题19．解：∵S1＝4，S2＝9，S3＝13，∴S1+S2＝S3．即 AC2+BC2＝AB2．故答案为：4，9，13，AC，BC，AB．20．解：（1）线段AB的长是：＝；故答案为：；（2）如图所示：EF即为所求，AB、CD、EF三条线段的长能成为一个直角三角形三边的长理由：∵AB2＝（）2＝5，DC2＝8，EF2＝13，∴AB2+DC2＝EF2，∴AB、CD、EF三条线段的长能成为一个直角三角形三边的长．21．解：如图，连接AC．∵△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，∴AC ＝＝5．∵CD ＝12，AD ＝13，AC ＝5，∴AC 2+CD 2＝AD 2，∴△ACD 是直角三角形，∴S 阴影＝S △ACD ﹣S △ABC ＝×5×12﹣×3×4＝30﹣6＝24．22．解：A ＝（n 2﹣1）2+（2n ）2＝n 4﹣2n 2+1+4n 2＝n 4+2n 2+1＝（n 2+1）2， ∵A ＝B 2，B ＞0，∴B ＝n 2+1，当2n ＝8时，n ＝4，∴n 2+1＝42+1＝17；当n 2﹣1＝35时，n 2+1＝37．故答案为：17；3723．解：（1）∵AD ＝4，CD ＝3，AD ⊥DC由勾股定理可得：AC ＝＝＝5，又∵AC 2+BC 2＝52+122＝132＝AB 2 ，∴△ABC 是直角三角形；﹣（2）△ABC 的面积﹣△ACD 的面积＝×5×12﹣×3×4═24（m 2） 所以这块地的面积是24平方米．24．解：（1）出发3秒钟时，CC1＝12米，BB1＝9米，∵AC＝40米，AB＝30米，∴AC1＝28，AB1＝21，∴B1C1＝＝35＞25，∴出发3秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰；（2）设出发t秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意得，（40﹣4t）2+（30﹣3t）2＝252，解得：t＝5，t＝15（不合题意舍去），答：出发5秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰．25．解：（1）设长方体的高为xcm，则长为3xcm，宽为2xcm，由题意得3x•2x＝30，解得x＝，则3x＝3，2x＝2．答：这个长方体的长、宽、高分别是3cm、2cm、cm．（2）长方体的表面积为：（3×2+3×+2×）×2 ＝（30+15+10）×2＝110（cm2），长方体的体积为：3×2×＝30．答：长方体的表面积是110cm2，体积是30cm3；（3）展开前面上面由勾股定理得AB2＝（2+）2+（3）2＝90；所以最短路径的长为AB＝＝3（cm）．故答案为3．。
北师大版2020八年级数学上册第一章勾股定理自主学习单元综合能力达标测试题4(附答案详解)
北师大版2020八年级数学上册第一章勾股定理自主学习单元综合能力达标测试题4（附答案详解）1．已知一个直角三角形的两直角边的长是（+5）cm和（5- ）cm，则这个直角三角形的周长等于( ) cmA．2 B．C．10+D．2．如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC ，则AC 边上的高是( )A．253B．25C．355D．23．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该矩形的面积为（）A．20 B．24 C．994D．5324．下列各组数是勾股数的是（）A．2，3，4 B．4，5，6 C．3.6，4，8.6 D．9，40，41 5．已知一个直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边长是（）A．5 B7C14D7或5 6．在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是( )A．5，6，7B．5，12，13C．1，4，9D．5，11，12 7．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中， A、B都是格点，则线段AB的长度为（）A．5 B．6 C.7 D．88．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=6，DC=2，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（）A．8 B．10 C．12 D．149．如图，圆柱的底面半径为3cm，圆柱高AB为2cm，BC是底面直径，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C，则蚂蚁爬行的最短路线长（）A．5cm B．8cm C．24+9πcm D．24+36πcm 10．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，已知一条到达底部的直吸管在罐内部分的长度为a，若直吸管在罐外部分还剩余3，则吸管的总长度b（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）A．12≤b≤13 B．12≤b≤15 C．13≤b≤16 D．15≤b≤16 11．在△ABC中，AB＝6，AC＝5，BC边上的高AD＝4，则△ABC的周长为__________. 12．把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB=2，则CD=_____．13．如图，在RtΔABC 中，∠C =90º， BC =6cm ， AC =8cm ，如果按图中所示方法将ΔBCD 沿BD 折叠，使点C 落在边AB 上的点C '处，那么ΔADC '的周长是________cm ．14．在ABC ∆中，=90C ∠︒，分别以AB 、AC 为边向外作正方形，面积分别记为23,S S .若 32=16=9S S ，，则BC =______．15．已知等腰△OPQ 的顶点P 的坐标为（4，3），O 为坐标原点，腰长OP ＝5，点Q 位于y 轴正半轴上，则点Q 的坐标为_____．16．如图，在一个长方形草坪ABCD 上，放着一根长方体的木块，已知9AD =米，10AB =米，该木块的较长边与AD 平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A 爬过木块到达C 处需要走的最短路程是______米．17．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点D 是平面内的一个动点，且AD ＝4，M 为BD 的中点．设线段CM 长度为a ，在D 点运动过中，a 的取值范围是__________.18．如图，学校有一块长方形草坪，少数同学会图方便走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了_________m 路却踩伤了花草．19．写一个与直角三角形有关的定理________.20．如图，在一次测绘活动中，某同学站在点A 处观测停放于B 、C 两处的小船，测得船B 在点A 北偏东75°方向160米处，船C 在点A 南偏东15°方向120米处，则船B 与船C 之间的距离为________米．21．如图：在等腰直角三角形中，AB ＝AC ，点D 是斜边BC 上的中点，点E 、F 分别为AB ，AC 上的点，且DE ⊥DF ．（1）若设BE ＝a ，CF ＝b ，满足12|5|22a b m m -+-=-+-，求BE 及CF 的长．（2）求证：BE 2+CF 2＝EF 2．（3）在（1）的条件下，求△DEF 的面积．22．如图，已知长方体的长，宽，高，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从点爬到点，那么沿哪条路最近？最短路程是多少？23．已知在等腰三角形ABC 中，10AB AC ==，16BC =，当ABC ∆底边上的高增加x ，腰长增加()2x -时，底却保持不变，请确定x 的值.24．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝4，CD＝5，AD＝35，求四边形ABCD的面积．25．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2，CD＝3，AD＝5．（1）求证：AC⊥CD；（2）求四边形ABCD的面积．26．在如图的4×3网格中，每个小正方形的边长均为1，正方形顶点叫网格格点，连结两个网格格点的线段叫网格线段．（1）请你画一个边长为5的菱形，并求其面积；（2）若a是图中能用网格线段表示的最大无理数，b是图中能用网格线段表示的最小无理数，求a2-2b2的平方根．27．如图，A（0，4）是直角坐标系y 轴上一点，动点P 从原点O 出发，沿x 轴正半轴运动，速度为每秒1 个单位长度，以P为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△APB．设P点的运动时间为t 秒．（1）若AB∥x 轴，求t 的值；（2）若OP=12OA，求B点的坐标．（3）当t=3 时，x 轴上是否存在有一点M，使得以M、P、A 为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点M 的坐标．28．如图所示，沿AE折叠矩形，点D恰好落在BC边上的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长．参考答案1．C【解析】【分析】根据勾股定理先求出直角三角形的斜边，然后三边相加即可得【详解】直角三角形的斜边==周长=（+5）+（5−）+=10+故本题答案应为：C【点睛】勾股定理的应用和三角形的周长都是本题的考点，根据勾股定理求出直角三角形的斜边是解题的关键.2．C【解析】【分析】以AC、AB、BC为斜边的三个直角三角形的面积分别为1、1、12，因此△ABC的面积为32；用勾股定理计算AC5AC 355．【详解】∵三角形的面积等于大正方形的面积减去三个直角三角形的面积，即S△ABC=412-⨯1×212-⨯1×1131222-⨯⨯=．∵22125AC=+=AC边上的高3555==故选C．【点睛】本题考查了勾股定理及三角形的面积．掌握等积法求有关线段的长度是解答本题的关键．3．B【解析】【分析】设小正方形的边长为x，则矩形的一边长为（a+x）,另一边为（b+x）,根据矩形的面积的即等于两个三角形的面积之和，也等于长乘以宽，列出方程，化简再代入a,b的值，得出x2＋7x=12，再根据矩形的面积公式，整体代入即可.【详解】设小正方形的边长为x，则矩形的一边长为（a+x）,另一边为（b+x）,根据题意得：2（ax+x2+bx）=（a+x）（b+x）,化简得：ax+x2+bx-ab=0，又∵ a = 3 ， b = 4 ，∴x2＋7x=12;∴该矩形的面积为=（a+x）（b+x）=（3+x）（4+x）=x2＋7x+12=24.故答案为B.【点睛】本题考查了勾股定理的证明以及运用和一元二次方程的运用，求出小正方形的边长是解题的关键.4．D【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理进行分析，从而得到答案．【详解】解：A．不是，因为22+32≠42；B．不是，因为42+52≠62；C．不是，因为3.6，4，8.6不是整数；D．是，因为92+402=412．故选：D．【点睛】考查了勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．5．D【解析】题中没有指明哪个是直角边哪个是斜边，故应该分情况进行分析 解：（1）当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为22345+=，（2）当4为斜边时，由勾股定理得，第三边为22437-=,故直角三角形的第三边应该为5或7.故选D .“点睛”此题主要考查学生对勾股定理的运用，易错点是直接将所给两边长当成直角边，注意分情况进行分析．6．B【解析】试题分析：解：A 、∵52+62≠72，故不能围成直角三角形，此选项错误；C 、∵12+42≠92，故不能围成直角三角形，此选项错误；B 、∵52+122=132，能围成直角三角形，此选项正确；D 、∵52+112≠122，故不能围成直角三角形，此选项错误．故选B ．考点：本题考查了勾股定理的逆定理点评： 此类试题属于基础性试题，考生直接一招勾股定理把各项带入验证即可7．A【解析】试题分析：如图所示：建立格点三角形，利用勾股定理求解AB 的长度AB=22AC BC +=5．故选：A ．考点：勾股定理8．B【解析】【分析】过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′＝OC，连接DC′，交AB于P，连接CP，此时DP＋CP＝DP＋PC′＝DC′的值最小．由DC＝2，BD＝6，得到BC＝8，连接BC′，由对称性可知∠C′BA＝∠CBA＝45°，于是得到∠CBC′＝90°，然后根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′＝OC，连接DC′，交AB于P，连接CP．此时DP＋CP＝DP＋PC′＝DC′的值最小．∵DC＝2，BD＝6，∴BC＝8，连接BC′，由对称性可知∠C′BA＝∠CBA＝45°，∴∠CBC′＝90°，∴BC′⊥BC，∠BCC′＝∠BC′C＝45°，∴BC＝BC′＝8，根据勾股定理可得DC′＝2222'+=+=．8610BC BD故选：B．【点睛】此题考查了轴对称﹣线路最短的问题，确定动点P为何位置时PC＋PD的值最小是解题的关键．9．B【解析】将圆柱体的侧面展开并连接AC．∵圆柱的底面半径为3cm ， ∴BC=12×2•π•3=3π（cm ）， 在Rt △ACB 中，AC 2=AB 2+CB 2=4+9π2，∴249π+． 249π+．∵AB +BC=8＜249π+，∴蚁爬行的最短路线A ⇒B ⇒C ，故选B ．【点睛】运用了平面展开图，最短路径问题，做此类题目先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．10．D【解析】【分析】此题涉及的知识点是解直角三角形，根据题目中底面半径是5，高是12，可以算出另一边，吸管在罐外部分剩余3，不同放置就可以算出总长【详解】底面半径是5，高是12，则吸管最长放在罐里的长度为13，加上罐外的3，总长为16；如果吸管竖直放置，则罐里最短长为12，加上罐外3总长为15，所以吸管总长范围为：1516b ≤≤故选D【点睛】此题重点考察学生对直角三角形的解的应用，勾股定理是解题的关键11．145+825+【解析】 【分析】 分两种情况考虑：如图1所示，此时△ABC 为锐角三角形，在直角三角形ABD 与直角三角形ACD 中，利用勾股定理求出BD 与DC 的长，由BD+DC 求出BC 的长，即可求出周长；如图2所示，此时△ABC 为钝角三角形，同理由BD -CD 求出BC 的长，即可求出周长．【详解】解：分两种情况考虑：如图1所示，此时△ABC 为锐角三角形，在Rt △ABD 中，根据勾股定理得：BD=22226425AB AD -=-=， 在Rt △ACD 中，根据勾股定理得：CD=2222543AC AD -=-=，∴BC=253+， ∴△ABC 的周长为：652531425+++=+；如图2所示，此时△ABC 为钝角三角形，在Rt △ABD 中，根据勾股定理得：22226425AB AD -=-= 在Rt △ACD 中，根据勾股定理得：2222543AC AD --=，∴BC=253， ∴△ABC 的周长为：65253825++=+综合上述，△ABC 的周长为：145+825+故答案为：1425+或825+.【点睛】此题考查了勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 12．31-【解析】【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出BC=2，BF=AF=1，再利用勾股定理求出DF ，即可得出结论．【详解】 如图，过点A 作AF ⊥BC 于F ，在Rt △ABC 中，∠B=45°， ∴2AB=2，BF=AF=22AB=1， ∵两个同样大小的含45°角的三角尺，∴AD=BC=2，在Rt △ADF 中，根据勾股定理得，22AD AF -3∴33，3．【点睛】此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键． 13．12.【解析】【分析】先根据勾股定理得到AB=10cm ，再根据折叠的性质得到DC=DC′，BC=BC′=6cm ，则AC′=4cm ，然后可求出ΔADC '的周长.【详解】解：,∵∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，∴AB=22=10cm，68∵将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，∴△BCD≌△BC′D，∴DC=DC′，BC=BC′=6cm，AC′=AB- BC′=10-6=4ΔADC'的周长= AC′+ DC′+AD=4+DC+AD=4+AC=4+8=12(cm).故答案是：12.【点睛】本题考查了勾股定理在折叠中的应用，折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点的连线段被折痕垂直平分．14．7【解析】分析：先根据正方形的性质表示出S1，S2，S3的表达式，再根据勾股定理即可得出结论．详解：∵三个四边形均是正方形，∴S3=AB2，S2=AC2，S1=BC2，∵△ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，即S1+S2=S3，∵S3=16，S2=9，∴S1=16-9=7．∴点睛：本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．15．（0，6）或（0，5）【解析】【分析】分PO＝PQ及OP＝OQ两种情况考虑：①当PO＝PQ时，过点P作PM⊥y轴于点M，由点P的坐标可得出点M的坐标，再利用等腰三角形的性质可求出点Q的坐标；②当OP＝OQ 时，利用两点间的距离公式（勾股定理）可得出OP的长度，再利用等腰三角形的性质可得出点Q的坐标．综上即可得出结论．【详解】分两种情况考虑，如图所示．①当PO＝PQ时，过点P作PM⊥y轴于点M．∵点P的坐标为（4，3），∴点M的坐标为（0，3）．又∵PO＝PQ，∴OQ＝2OM＝6，∴点Q的坐标为（0，6）；②当OP＝OQ时，∵点P的坐标为（4，3），∴OP＝5，∴点Q的坐标为（0，5），故答案为：（0，6）或（0，5）．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及两点间的距离公式，分PO＝PQ及OP＝OQ 两种情况求出点Q的坐标是解题的关键．16．15【解析】【分析】解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答．【详解】由题意可知，将木块展开，如图所示：长相当于增加了2米，∴长为10+2=12米，宽为9米，22+=．91215故答案为：15．【点睛】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，两点之间线段最短，勾股定理的应用，要注意培养空间想象能力．17．3≤a≤7【解析】作AB的中点E，连接EM、CE.在直角△ABC中,22226810AB AC BC=+=+=，∵E是直角△ABC斜边AB上的中点，∴CE=1AB2=5.∵M是BD的中点，E是AB的中点，∴ME=12AD=2.∴在△CEM中，5−2⩽CM⩽5+2，即3⩽CM⩽7.∴3⩽a⩽7，故答案为：3⩽a⩽7.【点睛】作AB的中点E，连接EM、CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE和EM的长，然后在△CEM中根据三边关系即可求解．18．2.【解析】试题分析：根据题意结合勾股定理得出AB的长，进而得出AC+BC﹣AB的值即可．如图所示：2234+（m），∵AC+BC=3+4=7（m），∴在草坪内走出了一条“路“．他们仅仅少走了：7﹣5=2（m）．故答案为2．考点：勾股定理的应用．19．直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方【解析】【分析】可以写一个定理：“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”，即勾股定理．当然要保证都是真命题．【详解】解：“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”，即勾股定理．故答案为：“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”，即勾股定理．【点睛】本题是一个开放型题目，可有好多答案，只要保证命题是真命题20．200【解析】【分析】根据已知条件得到∠BAC=90°，AB=160米，AC=120米，由勾股定理即可得到结论．【详解】解：根据题意得：∠BAC=90°，AB=160米，AC=120米，在Rt△ABC中，=200米．故答案为：200．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，会识别方向角是解题的关键．21．（1）BE=12，CF=5；（2）证明见解析；（3）S=169 4.【解析】试题分析：（1）先根据二次根式的非负性求出m=2，再由非负数的性质求出a、b的值，进而得到BE及CF的长；（2）延长ED到P，使DP=DE，连接FP，CP，利用SAS得到三角形BED与三角形CPD 全等，利用全等三角形对应边相等得到BE=CP，再利用SAS得到△EDF和△PDF全等，利用全等三角形对应边相等得到EF=FP，利用等角的余角相等得到∠FCP为直角，在直角三角形FCP中，利用勾股定理列出关系式，等量代换即可得证；（3）连接AD，由AB=AC，且D为BC的中点，利用三线合一得到AD垂直于BC，AD为角平分线，再由三角形ABC为等腰直角三角形，得到一对角相等，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由AD=CD，利用ASA得到三角形AED与三角形CFD全等，利用全等三角形对应边相等得到AE=CF=5，DE=DF，由AE+EB求出AB的长，即为AC的长，再由AC-CF求出AF的长，在直角三角形AEF中，利用勾股定理求出EF的长，再根据三角形DEF为等腰直角三角形求出DE与DF的长，即可确定出三角形DEF的面积．试题解析：（1）由题意得20{20mm-≥-≥，解得m=2，则12a-+|b-5|=0，所以a-12=0，b-5=0，a=12，b=5，即BE=12，CF=5；（2）延长ED到P，使DP=DE，连接FP，CP，在△BED和△CPD中，{ED PDEDB PDCBD CD=∠=∠=，∴△BED≌△CPD（SAS），∴BE=CP，∠B=∠CDP，在△EDF和△PDF中，{90DE DPEDF PDEDF DF=∠=∠=︒=，∴△EDF≌△PDF（SAS），∴EF=FP，∵∠B=∠DCP，∠A=90°，∴∠B+∠ACB=90°，∴∠ACB+∠DCP=90°，即∠FCP=90°，在Rt△FCP中，根据勾股定理得：CF2+CP2=PF2，∵BE=CP，PF=EF，∴BE2+CF2=EF2；（3）连接AD，∵△ABC为等腰直角三角形，D为BC的中点，∴∠BAD=∠FCD=45°，AD=BD=CD，AD⊥BC，∵ED⊥FD，∴∠EDA+∠ADF=90°，∠ADF+∠FDC=90°，∴∠EDA=∠FDC，在△AED和△CFD中，{EAD FCD AD DCADE CDF∠=∠=∠=∠，∴△AED≌△CFD（ASA），∴AE=CF=5，DE=DF，即△EDF为等腰直角三角形，∴AB=AE+EB=5+12=17，∴AF=AC-FC=AB-CF=17-5=12，在Rt△EAF中，根据勾股定理得：，设DE=DF=x，根据勾股定理得：x2+x2=132，解得：x=2，即DE=DF=2，则S△DEF=12DE•DF=12×2×2=1694．考点：等腰直角三角形．22．最短路径应为图1所示，见解析；最短路程是5cm.【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．【详解】如图，图1图2 图3根据题意，如图所示，路径有以下三种情况：（1）沿，，，，，剪开，得图1，；（2）沿，，，，，剪开，得图2，；（3）沿，，，，，剪开，得图3，.综上所述，最短路径应为图1所示，所以，即，因此最短路程是5cm. 【点睛】此题考查平面展开-最短路径问题，解题关键在于画出展开图利用勾股定理进行计算.x .23．9【分析】过点A 作AD BC ⊥于点D .先根据勾股定理求出AD 的长，然后根据变化后的边长利用勾股定理列方程解答即可．【详解】过点A 作AD BC ⊥于点D .因为 10AB AC ==，16BD =，所以8BD CD ==.在Rt ABD ∆中，2222221086AD AB BD =-=-=，所以6AD =.根据题意得，()()22210268x x +-=++，所以9x =.【点睛】此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理和等腰三角形的性质解答．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a 和b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2.也就是说，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.24．4＋55.【解析】【分析】根据勾股定理、梯形、梯形的中位线等知识点进行解答.【详解】解：连接AC .在Rt △ABC 中，AC ＝＝＝2.∵AC2＋CD2＝(2)2＋52＝45＝(3)2＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴S四边形ABCD＝AB·BC＋AC·CD＝×2×4＋×2×5＝4＋5.【点睛】本题主要考查你对勾股定理、梯形、梯形的中位线等考点的理解.25．（1）证明见解析；（2）3+6【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质得到AC=2AB=4，根据跟勾股定理的逆定理即可得到结论；（2）根据勾股定理得到BC224223=-=，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】（1）在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=30°，AB=2，∴AC=2AB=4．在△ACD中，AC=4，CD=3，AD=5．∵42+32=52，即AC2+CD2=AD2，∴∠ACD=90°，∴AC⊥CD；（2）在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2，AC=4，∴BC224223-=，∴Rt△ABC的面积为12AB•BC12=⨯2×33=又∵Rt△ACD的面积为12AC•CD12=⨯4×3=6，∴四边形ABCD的面积为：36．【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．26．(1)作图见解析；4；（2）±4．【解析】试题分析：（1）直接利用勾股定理以及菱形的性质得出符合题意的图形求出其面积；（2）利用网格直接得出最大的无理数以及最小的无理数，再利用平方根的定义得出即可．试题解析：（1）如图所示：四边形ABCD 是边长为5 的菱形，其面积为：12BD×AC=12×2×4=4； （2）由网格得出：用网格线段表示的最大无理数为：224225+=，图中能用网格线段表示的最小无理数为：2，∴a 2-2b 2=（25）2－22(2)⨯＝16，∴a 2-2b 2的平方根是：±4． 27．（1）4；（2）点 B 的坐标为（6，2）；（3）见解析.【解析】【分析】由 AB ∥x 轴，可找出四边形 ABCO 为长方形，再根据△APB 为等腰三角形可得知∠OAP=45°，从而得出△AOP 为等腰直角三角形，由此得出结论；作 BQ ⊥x 轴于点 Q ，证△OAP ≌△QPB 得 BQ=OP=OA=2，PQ=AO=4，据此知OQ=OP+PQ=6，从而得出答案；设点 M （x ，0），知 224x +MP=|x-3|，再分 MA=MP ，MA=AP ， AP=MP 三种情况求解可得．【详解】解：（1）过点 B 作 BC ⊥x 轴于点 C ，如图 1 所示．∵AO⊥x 轴，BC⊥x 轴，且AB∥x 轴，∴四边形ABCO 为长方形，∴AO=BC=4．∵△APB 为等腰直角三角形，∴AP=BP，∠P AB=∠PBA=45°，∴∠OAP=90°-∠P AB=45°，∴△AOP 为等腰直角三角形，∴OA=OP=4．t=4÷1=4 （秒），故t 的值为4．（2）如图2，过点B 作BQ⊥x 轴于点Q，∴∠AOP=∠BQP=90°，∴∠OAP+∠OP A=90°，∵△ABP 为等腰直角三角形，∴P A=PB，∠APB=90°，∴∠AOP+∠BPQ=90°，∴∠OAP=∠QPB，∴△OAP≌△QPB（AAS），∴BQ=OP=12OA=2，PQ=AO=4，则OQ=OP+PQ=6，∴点B 的坐标为（6，2）；（3）当t=3 时，即OP=3，∵OA=4，∴AP=5，设点M（x，0），则MA=MP=|x-3|，①当MA=MP =|x-3|，解得x=-76；②当MA=AP =5，解得x=-3 或x=3（舍）；③当AP=MP 时，|x-3|=5，解得：x=8 或x=-2；综上，点M 的坐标为（76，0）或（-3，0）或（8，0）或（-2，0）【点睛】本题是三角形的综合问题，主要考查全等三角形的判定及性质、坐标与图形性质、等腰三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，解决问题的关键是证明三角形全等．28．3【解析】【分析】先根据矩形的性质得AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，再根据折叠的性质得AF＝AD＝10，EF ＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF＝6，则CF＝BC−BF＝4，设CE＝x，则DE＝EF＝8−x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2＋42＝（8−x）2，再解方程即可得到CE的长．【详解】∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，∴AF＝AD＝10，EF＝DE，在Rt△ABF中，∵BF＝6，∴CF＝BC−BF＝10−6＝4，设CE＝x，则DE＝EF＝8−x在Rt△ECF中，∵CE2＋FC2＝EF2，∴x2＋42＝（8−x）2，解得x＝3，即CE＝3．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．。
2019-2020学年北师大八年级上《第1章勾股定理》单元测试(有答案)-(数学)
北师大八年级数学上册《第1章勾股定理》2019-2020学年单元测试卷一、选择题1．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（）A．如果∠C﹣∠B=∠A，则△ABC是直角三角形B．如果c2=b2﹣a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°C．如果（c+a）（c﹣a）=b2，则△ABC是直角三角形D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形2．下列各组数的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（）A．1，2，3 B．32，42，52C．，，D．0.3，0.4，0.53．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（）A．90 B．100 C．110 D．1214．在Rt△ABC中，斜边长BC=3，AB2+AC2+BC2的值为（）A．18 B．9 C．6 D．无法计算5．在Rt△ABC中，a，b，c为△ABC三边长，则下列关系正确的是（）A．a2+b2=c2 B．a2+c2=b2C．b2+c2=a2 D．以上关系都有可能6．△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为（）A．42 B．32 C．42或32 D．37或33二.填空题7．已知a，b，c分别是Rt△ABC的两条直角边长和斜边长，且a+b=14，c=10，则S△ABC=．8．小强在操场上向东走200m后，又走了150m，再走250m回到原地，小强在操场上向东走了200m后，又走150m的方向是．9．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1、S2，则S1+S2等于．三.解答题10．如图，AC⊥CE，AD=BE=13，BC=5，DE=7，求AC．11．如图，有一个长方形的场院ABCD，其中AB=9m，AD=12m，在B处竖直立着一根电线杆，在电线杆上距地面8m的E处有一盏电灯．点D到灯E的距离是多少？12．如图是一束平行的阳光从教室窗户射入的平面示意图，小强同学测量出BC=1m，NC=m，BN=m，AC=4.5m，MC=6m，求MA的长．13．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？14．如图，在长方形纸片ABCD中，AB=18，把长方形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，若AF=13，求AD的长．15．如图，对任意符合条件的直角三角形BAC，绕其锐角顶点逆时针旋转90°得△DAE，所以∠BAE=90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE 面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法．北师大新版八年级数学上册《第1章勾股定理》2019-2020学年单元测试卷参考答案与试题解析一、选择题1．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（）A．如果∠C﹣∠B=∠A，则△ABC是直角三角形B．如果c2=b2﹣a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°C．如果（c+a）（c﹣a）=b2，则△ABC是直角三角形D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形【考点】KS：勾股定理的逆定理；K7：三角形内角和定理．【分析】直角三角形的判定方法有：①求得一个角为90°，②利用勾股定理的逆定理．【解答】解：A、根据三角形内角和定理，可求出角C为90度，故正确；B、解得应为∠B=90度，故错误；C、化简后有c2=a2+b2，根据勾股定理，则△ABC是直角三角形，故正确；D、设三角分别为5x，3x，2x，根据三角形内角和定理可求得三外角分别为：90度，36度，54度，则△ABC是直角三角形，故正确．故选B．【点评】本题考查了直角三角形的判定．2．下列各组数的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（）A．1，2，3 B．32，42，52C．，，D．0.3，0.4，0.5【考点】KS：勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断．【解答】解：∵0.32+0.42=0.25，0.52=0.25，∴0.32+0.42=0.52，∴0.3，0.4，0.5能构成直角三角形的三边．故选D．【点评】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是记住勾股定理的逆定理的解题格式，属于中考常考题型．3．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（）A．90 B．100 C．110 D．121【考点】KR：勾股定理的证明．【专题】1 ：常规题型；16 ：压轴题．【分析】延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，可得四边形AOLP是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，所以四边形AOLP是正方形，边长AO=AB+AC=3+4=7，所以KL=3+7=10，LM=4+7=11，因此矩形KLMJ的面积为10×11=110．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的证明，作出辅助线构造出正方形是解题的关键．4．在Rt△ABC中，斜边长BC=3，AB2+AC2+BC2的值为（）A．18 B．9 C．6 D．无法计算【考点】KQ：勾股定理．【分析】利用勾股定理将AB2+AC2转化为BC2，再求值．【解答】解：∵Rt△ABC中，BC为斜边，∴AB2+AC2=BC2，∴AB2+AC2+BC2=2BC2=2×32=18．故选A．【点评】本题考查了勾股定理．正确判断直角三角形的直角边、斜边，利用勾股定理得出等式是解题的关键．5．在Rt△ABC中，a，b，c为△ABC三边长，则下列关系正确的是（）A．a2+b2=c2 B．a2+c2=b2C．b2+c2=a2 D．以上关系都有可能【考点】KQ：勾股定理．【分析】根据勾股定理，分∠C是直角，∠B是直角，∠A是直角，三种情况讨论可得a，b，c之间的关系．【解答】解：在Rt△ABC中，a，b，c为△ABC三边长，∠C是直角，则有a2+b2=c2；∠B是直角，则有a2+c2=b2；∠A是直角，则有b2+c2=a2．故选：D．【点评】考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．6．△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为（）A．42 B．32 C．42或32 D．37或33【考点】KQ：勾股定理．【分析】本题应分两种情况进行讨论：（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出；（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相减即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出．【解答】解：此题应分两种情况说明：（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，BD===9，在Rt△ACD中，CD===5∴BC=5+9=14∴△ABC的周长为：15+13+14=42；（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD中，BD===9，在Rt△ACD中，CD===5，∴BC=9﹣5=4．∴△ABC的周长为：15+13+4=32∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32．故选C．【点评】此题考查了勾股定理及解直角三角形的知识，在解本题时应分两种情况进行讨论，易错点在于漏解，同学们思考问题一定要全面，有一定难度．二.填空题7．已知a，b，c分别是Rt△ABC的两条直角边长和斜边长，且a+b=14，c=10，则S△ABC=24．【考点】KQ：勾股定理；K3：三角形的面积．【分析】直接利用勾股定理结合已知得出关于b的等式，进而求出答案．【解答】解：∵a，b，c分别是Rt△ABC的两条直角边长和斜边长，且a+b=14，c=10，∴a=14﹣b，则（14﹣b）2+b2=c2，故（14﹣b）2+b2=102，解得：b1=6，b2=8，则a1=8，a2=6，=ab=×6×8=24．即S△ABC故答案为：24．【点评】此题主要考查了勾股定理以及三角形面积求法，正确得出直角边长是解题关键．8．小强在操场上向东走200m后，又走了150m，再走250m回到原地，小强在操场上向东走了200m后，又走150m的方向是北或南．【考点】KU：勾股定理的应用．【分析】据题意作出图形，利用勾股定理的逆定理判定直角三角形即可确定答案．【解答】解：解：如图，AB=200米，BC=BD=150米，AC=AD=250米，根据2002+1502=2502得：∠ABC=∠ABD=90°，∴小强在操场上向东走了200m后，又走150m的方向是向北或向南，故答案为：向北或向南．故答案为北或南【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据题意作出图形，难度中等．9．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1、S2，则S1+S2等于2π．【考点】KQ：勾股定理．【专题】11 ：计算题．【分析】根据半圆面积公式结合勾股定理，知S1+S2等于以斜边为直径的半圆面积．【解答】解：S1=π（）2=πAC2，S2=πBC2，所以S1+S2=π（AC2+BC2）=πAB2=2π．故答案为：2π．【点评】此题根据半圆的面积公式以及勾股定理证明：以直角三角形的两条直角边为直径的半圆面积和等于以斜边为直径的半圆面积，重在验证勾股定理．三.解答题10．如图，AC⊥CE，AD=BE=13，BC=5，DE=7，求AC．【考点】KQ：勾股定理．【分析】由已知可以利用勾股定理求得EC的长，从而可得到CD的长，再根据勾股定理求得AC的长即可．【解答】解：∵AC⊥CE，AD=BE=13，BC=5，DE=7，∴EC==12，∵DE=7，∴CD=5，∴AC==12．【点评】此题考查学生对直角三角形的性质及勾股定理的运用．11．如图，有一个长方形的场院ABCD，其中AB=9m，AD=12m，在B处竖直立着一根电线杆，在电线杆上距地面8m的E处有一盏电灯．点D到灯E的距离是多少？【考点】KU：勾股定理的应用．【分析】在Rt△ABD中求出BD，然后在Rt△EBD中利用勾股定理即可得出DE的长度．【解答】解：在Rt△BAD中，∠BAD=90°，米，在Rt△EBD中，∠EBD=90°，米．故点D到灯E的距离是17米．【点评】本题考查了勾股定理的应用，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的表达式．12．如图是一束平行的阳光从教室窗户射入的平面示意图，小强同学测量出BC=1m，NC=m，BN=m，AC=4.5m，MC=6m，求MA的长．【考点】KU：勾股定理的应用．【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△BCN的形状，再由勾股定理即可得出结论．【解答】解：∵BC=1m，NC=m，BN=m，∴BC2=1，NC2=，BN2=，∴BC2+NC2=BN2，∴AC⊥MC．在Rt△ACM中，∵AC=4.5m，MC=6m，MA2=AC2+CM2=56.25，∴MA=7.5 m．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，先根据题意判断出AC⊥MC是解答此题的关键．13．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？【考点】KV：平面展开﹣最短路径问题．【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．【解答】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=10+5=15，AD=20，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB===25；只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB===5；只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴AC=CD+AD=20+10=30，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：∴AB===5；∵25＜5，∴蚂蚁爬行的最短距离是25．【点评】本题主要考查两点之间线段最短．14．如图，在长方形纸片ABCD中，AB=18，把长方形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，若AF=13，求AD的长．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．【分析】由折叠得：∠EAC=∠BAC，AE=AB=18，根据平行线性质得：AF=FC=13，再求出EF=5，利用勾股定理求出EC的长，即AD的长．【解答】解：由折叠得：∠EAC=∠BAC，AE=AB=18，∵四边形ABCD为长方形，∴DC∥AB，∴∠DCA=∠BAC，∴∠EAC=∠DCA，∴FC=AF=13，∵AB=18，AF=13，∴EF=18﹣13=5，∵∠E=∠B=90°，∴EC==12，∵AD=BC=EC，∴AD=12．【点评】本题是折叠问题，考查了长方形、折叠的性质，难度不大；属于常考题型，熟练掌握折叠前后的两个对应角相等；与平行线的内错角相等得出等腰三角形，根据等角对等边，求出边的长，利用勾股定理解决问题．15．如图，对任意符合条件的直角三角形BAC，绕其锐角顶点逆时针旋转90°得△DAE，所以∠BAE=90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE 面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法．【考点】KR：勾股定理的证明．【分析】证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，化简整理得到勾股定理．【解答】解：由图可得：正方形ACFD的面积=四边形ABFE的面积=Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，=S△BAE+S△BFE，即S正方形ACFD∴b2=c2+，整理得：a2+b2=c2．【点评】本题主要考查了勾股定理的证明，勾股定理的证明方法有很多种，一般采用拼图的方法证明．在解题时注意：先利用拼图的方法拼图，然后再利用面积相等，证明勾股定理．。
2019秋季北师大版八年级数学上册 第1章 勾股定理 单元训练卷含答案
第一章勾股定理一．选择题（共10小题）1．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（）A．B．7，23，25 C．8，15，17 D．9，40，412．下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（）A．1、2、3 B．1、2、C．6，8，10 D．5、12、103．如图，一棵大树在离地面6米高的B处断裂，树顶A落在离树底部C的8米处，则大树数断裂之前的高度为（）A．16米B．15米C．24米D．21米4．勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（）A．B．C．D．5．在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝1，AC＝2，则AB的长是（）A．B．1 C．2 D．6．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°．公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以20米/秒的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（）A．16秒B．18秒C．20秒D．22秒7．在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（）A．5 B．6 C．7 D．88．如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1+S2＝S3图形个数有（）A．1 B．2 C．3 D．49．如图，已知圆柱的底面直径BC＝，高AB＝3，小虫在圆柱表面爬行，从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C 点，则小虫爬行的最短路程为（）A．B．C．D．10．如图，在平面直角坐标系中，分别以点O，A（，1）为圆心，大于OA长为半径画弧，两弧交于点P．若点P 的坐标为（m，n+1）（m≠，n≠﹣），则n关于m的函数解析式正确的是（）A．n＝﹣3m+1 B．n＝﹣3m+2 C．n＝﹣m+1 D．n＝﹣m+2二．填空题（共4小题）11．如图，小明利用升旗用的绳子测量学校旗杆BC的高度，他发现绳子刚好比旗杆长11米，若把绳子往外拉直，绳子接触地面A点并与地面形成30°角时，绳子末端D距A点还有1米，那么旗杆BC的高度为米．12．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范同内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则AD＝米．13．如图，已知∠ADC＝90°，AD＝8m，CD＝6m，BC＝24m，AB＝26m，则图中阴影部分的面积为．14．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4＝．三．解答题（共6小题）15．已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝3，AD＝，求四边形ABCD的面积．16．如图，已知等腰三角形ABC的底边BC长为10，点D是AC上的一点，其中BD＝8，CD＝6．（1）求证：BD⊥AC；（2）求AB的长．17．如图，在△ABD中，AC⊥BD于C，点E为AC上一点，连结BE、DE，DE的延长线交AB于F，已知DE＝AB，∠CAD ＝45°．（1）求证：DF⊥AB；（2）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，求证：a2+b2＝c2．18．已知△ABC中，AB＝AC．（1）如图1，在△ADE中，若AD＝AE，且∠DAE＝∠BAC，求证：CD＝BE；（2）如图2，在△ADE中，若∠DAE＝∠BAC＝60°，且CD垂直平分AE，AD＝3，CD＝4，求BD的长；（3）如图3，在△ADE中，当BD垂直平分AE于H，且∠BAC＝2∠ADB时，试探究CD2，BD2，AH2之间的数量关系，并证明．19．大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：在等腰三角形ABC中，AB＝AC，其一腰上的高为h，M是底边BC 上的任意一点，M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2．（1）请你结合图形来证明：h1+h2＝h；（2）当点M在BC延长线上时，h1、h2、h之间又有什么样的结论．请你画出图形，并直接写出结论不必证明；（3）利用以上结论解答，如图在平面直角坐标系中有两条直线l1：y＝x+3，l2：y＝﹣3x+3，若l2上的一点M到l1的距离是．求点M的坐标．20．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD＝2：3：4，（1）试说明△ABC是等腰三角形；（2）已知S△ABC＝40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A 出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒），①若△DMN的边与BC平行，求t的值；②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．北师大新版八年级上学期《第1章勾股定理》2019年单元测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．解：A、12+2＝2，故是直角三角形，故此选项错误；B、72+232≠252，故不是直角三角形，故此选项正确；C、82+152＝172，故是直角三角形，故此选项错误；D、92+402＝412，故不是直角三角形，故此选项错误．故选：B．2．解：A、12+22≠32，不能构成勾股数，故错误；B、不是整数，所以不能构成勾股数，故错误；C、62+82＝102，能构成勾股数，故正确；D、52+102≠122，不能构成勾股数，故错误．故选：C．3．解：由题意得BC＝6，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB＝＝10米．所以大树的高度是10+6＝16米．故选：A．4．解：“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示：故选：B．5．解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝1，AC＝2，∴AB＝＝＝，故选：A．6．解：如图：过点A作AC⊥ON，AB＝AD＝200米，∵∠QON＝30°，OA＝240米，∴AC＝120米，当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB＝200米，∵AB＝200米，AC＝120米，∴由勾股定理得：BC＝160米，CD＝160米，即BD＝320米，∵火车在铁路MN上沿ON方向以20米/秒的速度行驶，∴影响时间应是：320÷20＝16秒．故选：A．7．解：∵在直角三角形中，勾为3，股为4，∴弦为＝5．故选：A．8．解：（1）S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2，∵a2+b2＝c2，∴a2+b2＝c2，∴S1+S2＝S3．（2）S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2，∵a2+b2＝c2，∴a2+b2＝c2，∴S1+S2＝S3．（3）S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2，∵a2+b2＝c2，∴a2+b2＝c2，∴S1+S2＝S3．（4）S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2，∵a2+b2＝c2，∴S1+S2＝S3．综上，可得面积关系满足S1+S2＝S3图形有4个．故选：D．9．解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A、C的最短距离为线段AC的长．在RT△ADC中，∠ADC＝90°，CD＝AB＝3，AD为底面半圆弧长，AD＝3，所以AC＝3，∴从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程为2AC＝6，故选：D．10．解：由尺规作图可知，点P在OA的垂直平分线上，∴OP＝AP，由勾股定理得，OP＝，AP＝，则＝，整理得，n＝﹣3m+1，故选：A．二．填空题（共4小题）11．解：如图，依题意得AB+1﹣BC＝11米，而在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∴BC＝AB，∴BC＝10米．故填空答案：10．12．解：如图，点D作DE⊥AB于点E，∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，则AE＝AB﹣BE＝2.5﹣1.6＝0.9（米）．在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD＝＝＝1.5（米）故答案是：1.5．13．解：在Rt△ADC中，∵CD＝6m，AD＝8m，∠ADC＝90°，BC＝24m，AB＝26m，∴AC2＝AD2+CD2＝82+62＝100，∴AC＝10m，（取正值）．在△ABC中，∵AC2+BC2＝102+242＝676，AB2＝262＝676．∴AC2+BC2＝AB2，∴△ACB为直角三角形，∠ACB＝90°．∴S阴影＝AC×BC﹣AD×CD＝×10×24﹣×8×6＝96（m2）．故答案是：96m214．解：观察发现，∵AB＝BE，∠ACB＝∠BDE＝90°，∴∠ABC+∠BAC＝90°，∠ABC+∠EBD＝90°，∴∠BAC＝∠EBD，∴△ABC≌△BDE（AAS），∴BC＝ED，∵AB2＝AC2+BC2，∴AB2＝AC2+ED2＝S1+S2，即S1+S2＝1，同理S3+S4＝3．则S1+S2+S3+S4＝1+3＝4．故答案为：4．三．解答题（共6小题）15．解：连接AC．∵∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，∴AC＝＝＝．在△ACD中，AC2+CD2＝5+9＝14＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∴S四边形ABCD＝AB•BC+AC•CD，＝×1×2+××3＝1+．故四边形ABCD的面积为1+．16．（1）证明：∵BC＝10，BD＝8，CD＝6，∴BD2+CD2＝82+62＝102＝BC2，∴∠BDC＝90°，∴BD⊥AC；（2）解：设AB＝x，则AB＝AC＝x，∵CD＝6，∴AD＝x﹣6，∵AB2＝BD2+AD2，∴x2＝82+（x﹣6）2，解得：x＝，∴AB＝．17．解：（1）∵AC⊥BD，∠CAD＝45°，∴AC＝DC，∠ACB＝∠DCE＝90°，在Rt△ABC与Rt△DEC中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEC（HL），∴∠BAC＝∠EDC，∵∠EDC+∠CED＝90°，∠CED＝∠AEF，∴∠AEF+∠BAC＝90°，∴∠AFE＝90°，∴DF⊥AB．（2）∵S△BCE+S△ACD＝S△ABD﹣S△ABE，∴a2+b2＝•c•DF﹣•c•EF＝•c•（DF﹣EF）＝•c•DE＝c2，∴a2+b2＝c2．18．（1）如图1，证明：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE+∠CAE＝∠BAC+∠CAE，即∠DAC＝∠BAE．在△ACD与△ABE中，，∴△ACD≌△ABE（SAS），∴CD＝BE；（2）连接BE，∵CD垂直平分AE∴AD＝DE，∵∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴∠CDA＝∠ADE＝×60°＝30°，∵△ABE≌△ACD，∴BE＝CD＝4，∠BEA＝∠CDA＝30°，∴BE⊥DE，DE＝AD＝3，∴BD＝5；（3）如图，过B作BF⊥BD，且BF＝AE，连接DF，则四边形ABFE是平行四边形，∴AB＝EF，设∠AEF＝x，∠AED＝y，则∠FED＝x+y，∠BAE＝180°﹣x，∠EAD＝∠AED＝y，∠BAC＝2∠ADB＝180°﹣2y，∠CAD＝360°﹣∠BAC﹣∠BAE﹣∠EAD＝360°﹣（180°﹣2y）﹣（180°﹣x）﹣y＝x+y，∴∠FED＝∠CAD，在△ACD和△EFD中，，∴△ACD≌△EFD（SAS），∴CD＝DF，而BD2+BF2＝DF2，∴CD2＝BD2+4AH2．19．（1）证明：连接AM，由题意得h1＝ME，h2＝MF，h＝BD，∵S△ABC＝S△ABM+S△AMC，S△ABM＝×AB×ME＝×AB×h1，S△AMC＝×AC×MF＝×AC×h2，又∵S△ABC＝×AC×BD＝×AC×h，AB＝AC，∴×AC×h＝×AB×h1+×AC×h2，∴h1+h2＝h．（2）解：如图所示：h1﹣h2＝h．（3）解：在y＝x+3中，令x＝0得y＝3；令y＝0得x＝﹣4，所以A（﹣4，0），B（0，3）同理求得C（1，0）．AB＝＝5，AC＝5，所以AB＝AC，即△ABC为等腰三角形．①当点M在BC边上时，由h1+h2＝h得：+M y＝OB，M y＝3﹣＝，把它代入y＝﹣3x+3中求得：M x＝，所以此时M（，）．②当点M在CB延长线上时，由h1﹣h2＝h得：M y﹣＝OB，M y＝3+＝，把它代入y＝﹣3x+3中求得：M x＝﹣，所以此时M（﹣，）．③当点M在BC的延长线上时，h1＝＜h，不存在；综上所述：点M的坐标为M（，）或（﹣，）．20．（1）证明：设BD＝2x，AD＝3x，CD＝4x，则AB＝5x，在Rt△ACD中，AC＝＝5x，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；（2）解：S△ABC＝×5x×4x＝40cm2，而x＞0，∴x＝2cm，则BD＝4cm，AD＝6cm，CD＝8cm，AC＝10cm．①当MN∥BC时，AM＝AN，即10﹣t＝t，∴t＝5；当DN∥BC时，AD＝AN，得：t＝6；∴若△DMN的边与BC平行时，t值为5或6．②当点M在BD上，即0≤t＜4时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE；当t＝4时，点M运动到点D，不构成三角形当点M在DA上，即4＜t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能．如果DE＝DM，则t﹣4＝5，∴t＝9；如果ED＝EM，则点M运动到点A，∴t＝10；如果MD＝ME＝t﹣4，过点E做EF垂直AB于F，因为ED＝EA，所以DF＝AF＝AD＝3，在Rt△AEF中，EF＝4；因为BM＝t，BF＝7，所以FM＝t﹣7则在Rt△EFM中，（t﹣4）2﹣（t﹣7）2＝42，∴t＝．综上所述，符合要求的t值为9或10或．。
2019-2020学年度北师大版八年级数学上册 第一章 勾股定理 达标测试卷
第一章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．把一个直角三角形的两直角边长同时扩大到原来的3倍，则斜边长扩大到原来的( )A ．2倍B ．3倍C ．4倍D ．5倍2．下列各组线段能构成直角三角形的一组是( )A ．30，40，50B ．7，12，13C ．5，9，12D ．3，4，63．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝2.5 cm ，AC ＝1.5 cm ，则AB 的长为( )A ．3.5 cmB ．2 cmC ．3 cmD ．4 cm4．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，若AB ＝15 cm ，则正方形ADEC 和正方形BCFG 的面积之和为( )A ．150 cm 2B ．200 cm 2 C. 225 cm 2D ．无法计算5．如图，阴影部分是一个长方形，则长方形的面积是( )A ．3 cm 2B ．4 cm 2C. 5 cm 2D ．6 cm 26．满足下列条件的△ABC ，不是．．直角三角形的为( ) A ．∠A ＝∠B －∠C B ．∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶1∶2 C. b 2＝a 2－c 2D ．a ∶b ∶c ＝2∶3∶47．已知一轮船以18 n mile/h 的速度从港口A 出发向西南方向航行，另一轮船以24 n mile/h 的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口A 1.5 h 后，两轮船相距( )A ．30 n mileB ．35 n mile C. 40 n mileD ．45 n mile8．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝13，BC ＝10，点D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为点E ，则DE 等于( ) A.1013B.1513C. 6013D.75139．如图，牧童在A 处放牛，牧童家在B 处，A ，B 处距河岸的距离AC ，BD 的长分别为500 m 和700 m ，且C ，D 两地距离为500 m ，天黑前牧童从A 点将牛牵到河边饮水，再赶回家，那么牧童最少要走( )A ．1 000 mB ．1 200 m C. 1 300 mD ．1 700 m10．如图，圆柱的底面直径为16π，BC ＝12，动点P 从A 点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC 的中点S 的最短距离为( )A ．10B ．12 C. 20 D ．14二、填空题(每题3分，共30分)11．如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，AD 是底边上的高，若AB ＝5 cm ，BC ＝6 cm ，则AD ＝__________．12．如图，某人从A 点出发欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C 偏离欲到达地点B 300 m ，结果他在水中实际游了500 m ，则该河的宽度为__________．13．如图，一架长为4 m 的梯子，一端放在离墙脚2.4 m 处，另一端靠墙，则梯子顶端离墙脚________m.14．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3 cm ，AC ＝5 cm ，将△ABC 折叠，使点C 与点A 重合，得折痕DE ，则△ABE 的周长等于__________．15．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足关系式(a 2－c 2－b 2)2＋||c －b ＝0，则△ABC 的形状为_____________________________________．16．若直角三角形两直角边长的比为3∶4，斜边长为20，则此直角三角形的周长为________．17．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角C走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步路(假设2步为1 m)，却踩伤了花草．18．如图，已知长方形ABCD，AB＝3 cm，AD＝4 cm，过对角线BD的中点O作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F，则AE的长为__________．19．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”．如果大正方形的面积为169，且直角三角形中较短的直角边的长为5，则中间小正方形(阴影部分)的面积为________．20．在一根长90 cm的灯管上缠绕了彩色丝带，我们可近似地将灯管看成圆柱，且底面周长为4 cm，彩色丝带均匀地缠绕了30圈(如图为灯管的部分示意图)，则彩色丝带的总长度为__________．三、解答题(21题8分，26题12分，其余每题10分，共60分)21．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1.线段AB，AE分别是图中两个1×3的长方形的对角线，请你说明：AB⊥AE.22．某消防部队进行消防演练．在模拟演练现场，有一建筑物发生了火灾，消防车到达后，发现离建筑物的水平距离最近为12 m，如图，即AD＝BC＝12 m，此时建筑物中距地面12.8 m高的P处有一被困人员需要救援．已知消防车的车身高AB是3.8 m，问此消防车的云梯至少应伸长多少米？23．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝3，CD＝1，∠A＝90°，求∠ADC 的度数．24．如图，∠AOB＝90°，OA＝9 cm，OB＝3 cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿BC方向匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？25．如图，在长方形ABCD中，DC＝5 cm，在DC上存在一点E，沿直线AE把△AED 折叠，使点D恰好落在BC边上，设落点为F.若△ABF的面积为30 cm2，求△ADE 的面积．26．有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，高AB＝6 cm，水深AE＝4 cm，在水面线EF上紧贴内壁G处有一粒食物，且EG＝6 cm，一只小虫想从水缸外的A处沿水缸壁爬进水缸内的G处吃掉食物．(1)小虫应该沿怎样的路线爬才能使爬的路线最短呢？请你画出它爬行的最短路线，并用箭头标注．(2)求小虫爬行的最短路线长(不计缸壁厚度)．答案一、1.B 2.A 3.B 4.C 5.C 6.D 7.D 8.C 9.C10.A 【点拨】将圆柱侧面沿DA 展开，如图，则AB ＝12×16π×π＝8，BS ＝12BC ＝6.在Rt △ABS 中，由勾股定理得AS ＝10，即点P 从点A 沿着圆柱的侧面移动到点S 的最短距离为10.二、11.4 cm 12.400 m 13.3.2 14.7 cm 15.等腰直角三角形 16.48 17.4 18.78cm 19.4920.150 cm 【点拨】因为灯管可近似地看成圆柱，而圆柱的侧面展开图是一个长方形，所以把灯管的侧面展开后，将得到一个由30个完全相同的小长方形组成的大长方形，且每个小长方形的长等于灯管的底面周长，小长方形的宽等于灯管长度的130，则丝带的长度等于小长方形对角线长的30倍. 三、21.解：如图，连接BE .因为AE 2＝12＋32＝10， AB 2＝12＋32＝10， BE 2＝22＋42＝20， 所以AE 2＋AB 2＝BE 2.所以△ABE 是直角三角形，且∠BAE ＝90°，即AB ⊥AE .22.解：因为CD ＝AB ＝3.8 m ，所以PD ＝PC －CD ＝12.8－3.8＝9(m). 在Rt △ADP 中，AP 2＝AD 2＋PD 2， 所以AP 2＝122＋92. 所以AP ＝15 m.答：此消防车的云梯至少应伸长15 m.23.解：连接BD .在Rt △BAD 中，因为AB ＝AD ＝2，所以∠ADB ＝45°，BD 2＝AD 2＋AB 2＝22＋22＝8. 在△BCD 中，因为BD 2＋CD 2＝8＋1＝9＝BC 2， 所以△BCD 是直角三角形，且∠BDC ＝90°. 所以∠ADC ＝∠ADB ＋∠BDC ＝45°＋90°＝135°. 24.解：根据题意，BC ＝AC ＝OA －OC ＝9－OC .因为∠AOB ＝90°，所以在Rt △BOC 中，根据勾股定理，得OB 2＋OC 2＝BC 2. 所以32＋OC 2＝(9－OC )2， 解得OC ＝4 cm. 所以BC ＝5 cm.答：机器人行走的路程BC 是5 cm. 25.解：由折叠可知AD ＝AF ，DE ＝EF .由S △ABF ＝12BF ·AB ＝30 cm 2， AB ＝DC ＝5 cm ，得BF ＝12 cm.在Rt △ABF 中，由勾股定理得AF ＝13 cm ，所以BC ＝AD ＝AF ＝13 cm. 设DE ＝x cm ，则EC ＝(5－x )cm ， EF ＝x cm.在Rt △ECF 中，FC ＝13－12＝1(cm)，由勾股定理得EC 2＋FC 2＝EF 2， 即(5－x )2＋12＝x 2，解得x ＝135.所以DE ＝135 cm.所以△ADE 的面积为12AD ·DE ＝12×13×135＝16.9 (cm 2).26.解：(1)如图，作点A 关于BC 的对称点A ′，连接A ′G ，A ′G 与BC 交于点Q ，则AQ ＋QG 为最短路线.(2)因为AE ＝4 cm ，AA ′＝2AB ＝12 cm ，所以A ′E ＝8 cm.在Rt △A ′EG 中，EG ＝6 cm ，A ′E ＝8 cm ，A ′G 2＝A ′E 2＋EG 2＝102，所以A′G＝10 cm.所以AQ＋QG＝A′Q＋QG＝A′G＝10 cm. 答：小虫爬行的最短路线长为10 cm.。
北师大版2019-2020八年级数学上册第一章勾股定理单元测试题4(培优 附答案)
北师大版2019-2020八年级数学上册第一章勾股定理单元测试题4（培优附答案）1．如图,正方形网格中的ΔABC,若每个小方格边长都为1,则ΔABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上答案都不对2．如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合，若BC＝5，CD＝3，则BD的长为（）A．1 B．2 C．3 D．43．小明想做一个直角三角形的木架，以下四组木棒中，哪一组的三条能够刚好做成（A．9厘米，12厘米，15厘米B．7厘米，12厘米，13厘米C．12 厘米，15厘米，17厘米D．3 厘米，4厘米，7厘米4．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE，连接DE，DF，EF，在此运动过程中，下列结论：（1）△DFE是等腰直角三角形；（2）DE长度的最小值为4；（3）四边形CDFE的面积保持不变；（4）△CDE面积的最大值是4．正确的结论是（）A．（1）（2）（3）B．（1）（3）（4）C．（1）（2）（4）D．（2）（3）（4）5．如图矩形ABCD中，AB=3，BC=3，点P是BC边上的动点，现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落在点C1处，则点B到点C1的最短距离为（）A．5 B．4 C．3 D．26．如图一个圆柱，底圆周长10cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B 点，则最少要爬行（）cm .A．9 B．14 C．D．7．下列四组数中，能作为直角三角形三边长的是（）A．2，3，4 B．1，，C．4，5，6 D．3，4，68．在△ABC中，AB BC AC，则（）A．∠A＝90°B．∠B＝90°C．∠C＝90°D．∠A＝∠B 9．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，点P是AC边上的一个动点，当BP长度最小时，PC的长是_______________.10．把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB=，则CD=_____．11．已知一个三角形的三边分别为3k，4k，5k（k为自然数），则这个三角形为______，理由是_______．12．平面直角坐标系中，A（0，3），B（4，0），C（﹣1，﹣1），点P 线段AB上一动点，将线段AB 绕原点O 旋转一周，点P 的对应点为P′，则P′C 的最大值为_____，最小值为_____．13．在△ABC中，AB=12cm，AC=5cm，BC=13cm，则BC边上的高AD=________cm．14．在半径为的圆中，长度等于的弦所对的圆心角是________度．15．如图是5×5 方格子（每个小正方格的边长为1 个单位长度），图中阴影部分是正方形，则此正方形的边长为______.16．如图所示，圆柱体的底面周长为20cm，高为10cm，是上底面的直径，一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，则爬行的最短路程为______cm．17．已知，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8.动点P从点A出发沿A—B—C的方向以每秒2个单位的速度运动.设P的运动时间为t（秒）.（1）请直接用含t的代数式表示①当点P在AB上时，BP= ；②当点P 在BC上时，BP= ；（2）求△BPC为等腰三角形的t值.(备用图)18．如图，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13.求四边形ABCD的面积．19．如图，某公园内有一棵大树，为测量树高，小明C处用侧角仪测得树顶端A的仰（取1.732，角为30°，已知侧角仪高DC＝1.4m，BC＝30米，请帮助小明计算出树高AB．结果保留三个有效数字）20．请在数轴上作出，对应的点.21．已知在中，，，．判断的形状，并说明理由；试在下面的方格纸上补全，使它的顶点都在方格的顶点上每个小方格的边长为22．如图①，在中，于点，且.(1)试说明: 是等腰三角形;(2)已知cm2，如图②，动点从点出发以1 cm/s的速度沿线段向点运动，同时动点从点出发以相同的速度沿线段向点运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止.设点运动的时间为ts.①若的边与平行，求的值;②若点是边的中点，问:在点运动的过程中，能否成为等腰三角形?若能，求出的值;若不能，请说明理由.23．如图所示，从锐角三角形ABC的顶点B向对边作垂线BE．其中，，∠EBC=30°，求BC.24．如图，在△ABC中，AC=6，BC=8，DE是△ABD的边AB上的高，且DE=4，AD=，BD=，求△ABC的边AB上的高．参考答案1．B【解析】【分析】由题意可知ΔABC是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】∵AC2=22+32=13，AB2=62+42=52，BC2=82+12=65，∴AC2+AB2=BC2，∴△ABC是直角三角形．故选B.【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断．2．D【解析】试题分析：由翻折的性质可得：△ABD≌△CBD，得出∠ADB=∠CDB=90°，进一步在Rt△BCD中，利用勾股定理求得BD的长为=4．故选D考点：1．翻折变换，2．勾股定理3．A【解析】【分析】利用勾股定理的逆定理，符合a2+b2=c2条件的三个木棒，就能组成直角三角形.【详解】解：设每组木棒的长度分别为a、b、c，令最长的木棒为c，计算每组三个木棒的长的平方，A选项中，92+122=225=152，B、C、D三个选项经过计算均不符合条件，故选择A.【点睛】本题考查了直角三角形勾股定理的逆定理.4．A【解析】【分析】①连接，根据已知条件由可得，从而可知，即可对结论(1)(3)作出判断.②当时，的值最小，此时的值最小，的最小值为4，故结论(2)正确.③当面积最大时，此时的面积最小，此时S△CDE=S四边形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF=8，可判断结论(4).【详解】解：(1)连接，∵，，∴，∵是边上的中点，∴，，，∴，∴，在和中，∵，∴)，∴，，∴，即，∴是等腰直角三角形；故(1)正确；(2)∵，∴当时，的值最小，此时的值最小，的最小值为4，故(2)正确；(3)∵，∴，∴∴四边形的面积保持不变；故(3)正确；(4)当面积最大时，此时的面积最小，∵，，∴，∴，此时S△CDE=S四边形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF=，故(4)错误，故答案为：A．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定.解题的关键是连接辅助线构造全等三角形，对于不规则图形的面积，采用割补和等面积转换的方法求解. 5．C【解析】【分析】连接BD，BC1，利用三角形三边关系得出BC1+DC1＞BD，得到当C1在线段BD上时，点B 到点C1的距离最短，然后根据勾股定理计算即可.【详解】连接BD，BC1，在△C′BD中，BC1+DC1＞BD，由折叠的性质可知，C1D=CD=3，∴当C1在线段BD上时，点B到点C1的距离最短，在Rt△BCD中，BD==6，此时BC1=6﹣3=3，故选：C．【点睛】本题考查了翻转变换的性质，解题的关键是熟练掌握：折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等.6．C【解析】分析: 要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．详解:将圆柱展开，侧面为矩形，如图所示：∵底面⊙O的周长为10cm，∴AC=5cm，∵高BC=4cm，∴AB==cm．故选C．点睛:此题考查了圆柱的平面展开---最短路径问题，将圆柱展成矩形，求对角线的长即为最短路径7．B【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可.【详解】A、22+32=13≠42,此组数据不能作为直角三角形的三边长,故本选项错误B、12+（）2=（）2, 此组数据能作为直角三角形的三边长,故本选项正确C、42+52=41≠62,此组数据不能作为直角三角形的三边长,故本选项错误D、32+42=25≠62, ,此组数据不能作为直角三角形的三边长,故本选项错误故选：B【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理,熟知如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键.8．A【解析】试题解析：∵在△ABC中，，222+=5=∴222AB AC BC+=∴∠A=90°故选A.9．【解析】【分析】作AD⊥BC于D，则∠ADB=90°，由等腰三角形的性质和勾股定理求出AD，当BP⊥AC 时，BP最小；由△ABC的面积的计算方法求出BP的最小值，再由勾股定理求出PC即可．【详解】作AD⊥BC于D，如图所示：则∠ADB=90°，∵AB=AC，∴BD=BC=6，由勾股定理得：AD===8，当BP⊥AC时，BP最小，此时，∠BPC=90°，∵△ABC的面积=AC•BP=BC•AD，即×10×BP=×12×8，解得：BP=，∴PC==；故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、垂线段最短、三角形面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，由三角形面积的计算方法求出BP的最小值是解决问题的关键．10．【解析】【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出BC=2，BF=AF=1，再利用勾股定理求出DF，即可得出结论．【详解】如图，过点A作AF⊥BC于F，在Rt△ABC中，∠B=45°，∴BC=AB=2，BF=AF=AB=1，∵两个同样大小的含45°角的三角尺，∴AD=BC=2，在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF==∴CD=BF+DF-BC=1+-2=-1，故答案为：-1．【点睛】此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．11．直角三角形勾股定理的逆定理【解析】(3k)2+(4k)2=(5k)2，由勾股定理逆定理可得此三角形是直角三角形.故答案为(1). 直角三角形；(2). 勾股定理的逆定理.12．4+ 2.4﹣【解析】【分析】根据题意知线段AB的运动轨迹是圆环，内圆半径为O到AB的距离2.4、外圆半径为4，作直线OC，交外圆于点P1、交线段AB于P2，则P1′C即为最大长度、P2′C即为最小长度，据此求解可得．【详解】如图所示，线段AB的运动轨迹是圆环，内圆半径为3、外圆半径为4，作直线OC，交内圆于点P1、交外圆于P2，则P1C即为最小长度、P2C即为最大长度，∵OP1=2.4、OP2=4且OC=，∴P1C=2.4-、P2C=4+，故答案为：4+、2.4-．【点睛】本题主要考查坐标与图形的变化−旋转，解题的关键是根据题意得出线段AB的运动轨迹及点CP′去的最值时的位置．13．60 13【解析】因为222525,12144,13169===,所以222AC AB BC +=,根据勾股定理的逆定理可得: △ABC 是为BC 为斜边的直角三角形,根据等面积法可得: 1122AC AB BC AD ⨯=⨯,所以512601313AC AB AD BC ⨯⨯===,故答案为: 6013. 14．90 【解析】 【分析】 AB =，OA =OB =1，则AB 2=OA 2+OB 2，根据勾股定理的逆定理得到△AOB 为直角三角形，且∠AOB =90°． 【详解】 如图，在⊙O 中，AB = ，OA =OB =1，∴AB 2=OA 2+OB 2，∴△AOB 为直角三角形，且∠AOB =90°， 即长度等于的弦所对的圆心角是90°．故答案为：90． 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理,如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形，在一个三角形中，即如果用a ，b ，c 表示三角形的三条边，如果a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形. 15．【解析】 【分析】根据每一个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，再根据勾股定理，列出算式，即可得出答案． 【详解】根据题意得：阴影正方形的边长是：.故答案为．【点睛】此题考查了算术平方根，用到的知识点是算术平方根的求法和勾股定理，关键是根据勾股定理列出算式．16．【解析】【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方体，再然后利用两点之间线段最短解答．【详解】如图所示：由于圆柱体的底面周长为20cm，则AD=20×=10cm．又因为CD=AB=10cm，所以AC=cm．故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是cm．故答案为：．【点睛】本题考查了平面展开---最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答．17．（1）10-2t，2t-10；（2）t=2.5或2或1.4．【解析】【分析】（1）由勾股定理求出AB的长，①当点P在AB上时，BP= AB-AP，②当点P在BC上时，BP=2t－AB，即可得出结论；（2）分三种情况讨论：①作BC的垂直平分线交AB于点P，交BC于点E．连接PC，则△BPC 是等腰三角形；②以B为圆心，BC为半径作弧与AB交于点P．连接PC，则△BPC是等腰三角形；③以C为圆心，BC为半径作弧与AB交于点P．过C作CD⊥AB于D，连接PC，则△BPC是等腰三角形．分别计算即可．【详解】（1）①∵∠C=90°，BC=6，AC=8，∴AB==10，BP=AB-AP=10－2t；②BP=2t－AB=2t－10；（2）分三种情况讨论：①如图1，作BC的垂直平分线交AB于点P，交BC于点E．连接PC，则△BPC是等腰三角形．∵∠C=90°，∴PE∥AC．∵BE=EC，∴AP=PB=AB=5，∴t=5÷2=2.5；②如图2，以B为圆心，BC为半径作弧与AB交于点P．连接PC，则△BPC是等腰三角形．∵PB=BC=6，∴AP=AB－BP=10－6=4，t=4÷2=2；③如图3，以C为圆心，BC为半径作弧与AB交于点P．过C作CD⊥AB于D，连接PC，则△BPC是等腰三角形．∵AC•BC=AB•CD，∴CD==4.8，∴BD==3.6．∵∵PC=BC=6，∴PD=BD=3.6，∴AP=AB－BP=10－7.2=2.8，t=2.8÷2=1.4．综上所述：t=2.5或2或1.4．【点睛】本题是三角形综合题．考查了勾股定理，等腰三角形的判定和性质．解题的关键是分类讨论．18．36.【解析】试题分析：连接AC，在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由AD及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，根据四边形ABCD的面积=直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，即可求出四边形的面积．试题解析：解：连接AC．如图所示：∵∠B=90°，∴△ABC为直角三角形．又∵AB=3，BC=4，∴根据勾股定理得：AC==5．又∵CD=12，AD=13，∴AD2=132=169，CD2+AC2=122+52=144+25=169，∴CD2+AC2=AD2，∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°，则S四边形=S△ABC+S△ACD=AB•BC+AC•CD=×3×4+×5×12=36．ABCD故四边形ABCD的面积是36．点睛：此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解本题的关键．19．树高AB约为18.7米．【解析】试题分析：利用勾股定理计算AE长度，再计算AB.试题解析：过点D作DE⊥AB于点E，则ED＝BC＝30米，EB＝DC＝1.4米．设AE＝x米，在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，则AD＝2x．由勾股定理得：AE2＋ED2＝AD2，即x2＋302＝（2x）2，解得x＝10≈17.32．∴AB＝AE＋EB≈17.32＋1.4≈18.7（米）．答：树高AB约为18.7米．20．见解析【解析】【分析】过数轴上表示2的点C作数轴的垂线，然后以C为圆心，1个单位为半径画弧，交垂线于A 点，连接OA，在直角三角形OAC中，由OC=2，AC=1，利用勾股定理得到OA为,故以O为圆心，OA长为半径画弧，与数轴交于点B，点B即可对应的点；同理可以表示出对应的点.【详解】如图所示，其中点B所表示的数即为；点F所表示的数即为【点睛】本题考查了勾股定理,以及尺规作图,解题的关键是构造勾股数1,2,以及,并且利用了转化的思想,技巧性较强,学生要掌握其作图的方法.21．2017【解析】【分析】（1）由勾股定理的逆定理可判断△ABC为直角三角形；（2）AB为直角边长为1，2的直角三角形的斜边，BC为直角边长为3，4的直角三角形的斜边；AC为直角边长为4，2的直角三角形的斜边，依次画出相应图形即可．【详解】解:∵a＝＋1,∴a－1＝,∴(a－1)2＝2,即a2－2a＝1,∴原式＝a(a2－2a)＋(a2－2a)－a＋2016＝a＋1－a＋2016＝2017.(1)在△ABC中,∵AB=,AC=2，BC=5，∴AB2+AC2=5+20=25=BC2，∴△ABC为直角三角形.(2)如图所示：故答案为：直角三角形。
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北师大版2019-2020八年级数学上册第一章勾股定理单元测试题4（较难附答案）1．满足下述条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A．三边之比为1∶∶B．三内角之比为3∶4∶5C．其中一个内角的度数等于另外两个内角度数的和D．三边长分别为24、7、25 2．如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积S为（）cm2．A．54 B．108 C．216 D．2703．以下列各组数为边长能组成直角三角形的是()A．2，3，4 B．，2，C．，2，D．3，5，84．若三角形的三边长分别等于，，2，则此三角形的面积为________．5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，△BCD与△BC′D关于直线BD轴对称，BC=6，CD=3，点C与点C′对应，BC′交AD于点E，则线段DE的长为（）A．3 B．C．5 D．6．下列各组数中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( ) A．1，，B．2, 3, 4 C．5，6，7 D．7，8，97．下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的( )．A．1∶1∶2 B．1∶3∶4 C．9∶25∶26 D．25∶144∶1698．在下列长度的线段中，能构成直角三角形的是( )A．3，5，9 B．4，6，8 C．1，，2 D．，，9．如图，为数轴的原点，两点分别对应，作腰长为4的等腰⊿，连接,以为圆心，为半径画弧交数轴于点,则点对应的实数为________ .10．一个等腰直角三角形三角板沿着数轴正方向向前滚动，起始位置如图，顶点C和A 在数轴上的位置表示的实数为﹣1和1．那么当顶点C下一次落在数轴上时，所在的位置表示的实数是_____．11．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，分别以△ABC的三边为边向外作正方形，S1，S2，S3分别表示这三个正方形的面积，已知S1＝81，S3＝225，则S2＝__________.12．如图，圆柱形玻璃杯高为13cm，底面周长为40cm，在杯内壁离底1cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁到内壁B处的最短距离为______．13．如图，点E是正方形ABCD内的一点，点在BC边的下方，连接AE，BE，CE，，若，，，且≌，则______14．如图为某楼梯的侧面，测得楼梯的斜长AB为13米，高BC为5米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要______米．15．如图是一块长、宽、高分别是6cm、4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从顶点A出发，沿长方体的表面爬到和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是________．16．如图，在矩形ABCD中，点G在AD上，且GD=AB=1，AG=2，点E是线段BC上的一个动点（点E不与点B，C重合），连接GB，GE，将△GBE关于直线GE对称的三角形记作△GFE，当点E运动到使点F落在矩形任意一边所在的直线上时，则所有满足条件的线段BE的长是__________．17．一驾2.5米长的梯子靠在一座建筑物上，梯子的底部离建筑物0.7米，如果梯子的顶部滑下0.4米，梯子的底部向外滑出多远（其中梯子从AB位置滑到CD位置）？18．阅读下列一段文字，然后回答下列问题：已知平面内两点M（x1，y1）、N（x2，y2），则这两点间的距离可用下列公式计算MN=.例如：已知P（3，1）、Q（1，-2），则这两点的距离PQ=.特别地，如果两点M（x1，y1）、N（x2，y2）所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标轴，那么这两点间的距离公式可简化为MN=|x1-x2|或|y1-y2|．（1）已知A（1，2）、B（-2，-3），试求A、B两点间的距离；（2）已知A、B在平行于y轴的同一条直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为-1，试求A、B两点间的距离；（3）已知△ABC的顶点坐标分别为A（0，4）、B（-1，2）、C（4，2），你能判定△ABC 的形状吗？请说明理由．19．如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D.求△ABC的面积与BD的长．20．如图17－Z－12所示，等腰三角形ABC的底边长为8 cm，腰长为5 cm，一动点P 在底边上从点B向点C以0.25 cm/s的速度移动，请你探究：当点P运动几秒时，点P 与顶点A的连线AP与腰垂直？图17－Z－1221．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，分别按下列要求画以格点为顶点三角形和平行四边形．（1）三角形三边长为4，3，；（2）平行四边形有一锐角为45°，且面积为6．22．如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，AD=3，BC=2．求AB的长．23．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．(1)如图①，已知格点(小正方形的顶点)O(0，0)，A(3，0)，B(0，4)，请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；(2)如图②，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，∠DCB＝30°，求证：DC2＋BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．24．如图所示，从锐角三角形ABC的顶点B向对边作垂线BE．其中，，∠EBC=30°，求BC.参考答案1．B【解析】分析：根据三角形的内角和定理及勾股定理的逆定理进行分析，进而得到答案. 详解：A.设三边为k ，k ，k ，因为,所以是直角三角形.；B.因为.，所以不是直角三角形.；C.因为一个角等于另外两个内角之和，所以这个角=.，是直角三角形；D.因为72+242=252，所以是直角三角形.故答案为：B. 点睛：此题考查勾股定理的逆定理的应用.判断三角形是不是直角三角形，已知三角形的三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可2．C【解析】试题解析：连接AC ，则在Rt ADC 中，22222129225AC CD AD =+=+=，15AC ∴=，在ABC 中， 21521AB =， 222215361521AC BC +=+=，222AB AC BC ∴=+，90ACB ∴∠=︒， 11111536129270542162222ABC ACD S S AC BC AD CD ∴-=⋅-⋅=⨯⨯-⨯⨯=-=．故选C.3．B【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理进行判断即可得.【详解】A 、∵22+32=13≠42，∴不能组成是直角三角形，故不符合题意；B 、∵（）2+22=7=（）2，∴能组成直角三角形，故符合题意；C、∵（）2+（）2=14≠（）2，∴不能组成直角三角形，故不符合题意；D、∵3+5=8，∴不能组成三角形，故不符合题意，故选B.【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，判断三边能否组成直角三角形时，要看较小两边的平方和是否等于较大边的平方，满足则是直角三角形，不满足则不是. 4．【解析】【分析】由可得，三角形为直角三角形，再求面积.【详解】因为，，，.所以，所以，三角形为直角三角形.所以，三角形面积：.故答案为：【点睛】本题考核知识点：勾股定理逆定理. 解题关键点：利用勾股定理逆定理证出三角形是直角三角形.5．B【解析】【分析】首先根据题意得到BE=DE，然后根据勾股定理得到关于线段AB、AE、BE的方程，解方程即可解决问题．【详解】设ED=x，则AE=6﹣x，∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠EDB=∠DBC；由题意得：∠EBD=∠DBC，∴∠EDB=∠EBD，∴EB=ED=x；由勾股定理得：BE2=AB2+AE2，即x2=9+（6﹣x）2，解得：x=，∴ED=．故选：B．【点睛】考查了几何变换中的翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质，结合全等三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答．6．A【解析】【分析】欲判断是否是直角三角形，则需满足较小两边平方的和等于最大边的平方．【详解】解：A、∵12+（）2=（）2，∴能构成直角三角形；B、22+32≠42，∴不能构成直角三角形；C、∵52+62≠72，∴不能构成直角三角形；D、∵72+82≠92，∴不能构成直角三角形．故选：A．【点睛】本题考查的是用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，即若三角形的三边符合a2+b2=c2，则此三角形是直角三角形．7．C【解析】试题解析：∵1+1=2，1+3=4，9+25=34≠36，25+144=169．∴其中不是直角三角形的是9：25：36．故选C．8．C【解析】分析：根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形．详解：A．32+52≠92，故不是直角三角形，错误；B．42+62≠82，故不是直角三角形，错误；C．12+（）2=22，故是直角三角形，正确；D．（）2+（）2≠（）2，故不是直角三角形，错误．故选C．点睛：本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．9．【解析】Rt△AOC中，OA=3，AC=4，则勾股定理得OC=，因为OC=OM，所以点对应的实数为，故答案为.10．3+2．【解析】【分析】首先利用数轴即可得到等腰直角三角形的直角边AC、CB的长度，根据勾股定理可求AB的长，则顶点C下一次落在数轴上,所在的位置表示的实数=AC+AB+BC-1，由此可得出结论. 【详解】解：∵在Rt△ABC中，AC=CB=2，∴,当顶点C下一次落在数轴上时，所在位置表示的实数是：，故答案为：.【点睛】此题综合考查了数轴的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，直观不易遗漏，体现了数形结合的优点.11．144【解析】【分析】先根据正方形的性质表示出S1，S2，S3的表达式，再根据勾股定理即可得出结论【详解】∵三个四边形均是正方形，∴S1= BC2 ，S2= AB2,S3= AC2,∵△ABC是直角三角形，∴AB2+ BC2= AC2即S1+ S2= S3∵S1=81, S3=225，∴S2=225−81=144故答案为：144【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的三条边为三个正方形的边长是解决问题的关键12．25cm【解析】【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．【详解】如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B==25（cm）．故答案为25cm．【点睛】本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．13．135【解析】【分析】先由全等三角形的性质证明△EBE′是等腰直角直角三角形，进而得出∠BEE′=∠BE′E=45°，由勾股定理求出EE′2的值，再勾股定理的逆定理证得△EE′C是直角三角形，从而∠EE′C=90°，即可得出答案．【详解】连接EE′.∵△ABE≌△CBE′，∴∠ABE=∠CBE′，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∴∠EBE′=90°，∴△EBE′是直角三角形，又∵△ABE≌△CBE′，∴BE=BE′=2，∠AEB=∠BE′C，∴∠BEE′=∠BE′E=45°，∵EE′2=22+22=8，AE=CE′=1，EC=3，∴EC2=E′C2+EE′2，∴△EE′C是直角三角形，∴∠EE′C=90°，∴∠AEB=135°，故答案为：135．【点睛】本题考查了全等三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理逆定理；熟练掌握全等三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．14．17【解析】【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．【详解】由勾股定理得：楼梯的水平宽度∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，地毯的长度至少是12+5=17米.故答案为：17.【点睛】考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键.15【解析】AB就是蚂蚁爬的最短路线．但有三种情况：当：AD=3，DB=4+6=10时，；当AD=4，DB=6+3=9时，；当AD=6，DB=3+4=7时，所以第三种情况最短，故答案为：16．【解析】【分析】分三种情况分别讨论即可解决问题.【详解】①当点落在的延长线上时，设，在中，，，解得.②当点落在的延长线上时，易知.③当点落在的延长线上时，易知，综上所述，满足条件的的值为或或.故答案为：或或.【点睛】本题考查矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型.17．0.8米【解析】【分析】要求梯子的底部滑出多远，就要求梯子原先顶部的高度AO，且△AOB，△COD均为直角三角形，可以运用勾股定理求解．【详解】解：在直角三角形AOB中，根据勾股定理AB2=AO2+OB2，可以求得：OA==2.4米，现梯子的顶部滑下0.4米，即OC=2.4﹣0.4=2米，且CD=AB=2.5米，所以在直角三角形COD中DO2=CD2﹣CO2，即DO==1.5米，所以梯子的底部向外滑出的距离为1.5米﹣0.7米=0.8米．答：梯子的底部向外滑出的距离为0.8米．【点睛】本题考查的是勾股定理的实际应用，找出题目中隐含的直角三角形是解题的关键．18．（1）；（2）6；（3）直角三角形；【解析】【分析】（1）根据两点间的距离公式求解即可；（2）由A、B在平行于y轴的同一条直线上，可得点A、B的横坐标相等，由于横坐标相同，所以A、B两点间的距离等于纵坐标差的绝对值；（3）利用两点间的距离公式求得AB、BC、AC的值，再利用勾股定理的逆定理判断△ABC 的形状即可.【详解】（1）AB=；（2）AB=5-（-1）=6；（3）△ABC为直角三角形．理由如下：∵AB=，AC=，BC=，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC为直角三角形．【点睛】本题为阅读理解题，熟练运用题目中所给的两点距离公式是解决问题的关键.19．【解析】分析：首先以BC为底得出△ABC的面积；根据勾股定理求出AC的长度，然后根据等面积法求出BD的长度．详解：如图，S△BAC=2，由勾股定理得AC=，∵BC×2=AC⋅BD,即×2×2=×BD，∴BD=．点睛：本题主要考查的是直角三角形的勾股定理以及等积法的应用，属于基础题型．解答这个问题的关键就是要利用好勾股定理求出边长．20．当点P运动7 s或25 s时，点P与顶点A的连线AP与腰垂直【解析】试题分析：分类讨论，AP分别与两个腰垂直，利用勾股定理计算时间.应分两种情况：(1)设当点P运动t(0≤t≤32)s时，AP与腰AC垂直，过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图①所示．因为△ABC为等腰三角形，所以D为BC的中点，则BD＝CD＝4 cm，根据勾股定理得AD＝3 cm.在Rt△ACP中，AP2＝CP2－AC2＝(8－0.25t)2－52，在Rt△ADP中，AP2＝AD2＋DP2＝32＋(4－0.25t)2，所以(8－0.25t)2－52＝32＋(4－0.25t)2，解得t＝7.因此当23点P运动7 s时，AP与腰AC垂直．(2)设当点P运动t(0≤t≤32)s时，AP与腰AB垂直，过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图②所示．因为△ABC为等腰三角形，所以D为BC的中点，则BD＝CD＝4 cm，根据勾股定理得AD＝3 cm.在Rt△ABP中，AP2＝BP2－AB2＝(0.25t)2－52，在Rt△ADP中，AP2＝AD2＋DP2＝32＋(0.25t－4)2，所以(0.25t)2－52＝32＋(0.25t－4)2，解得t＝25.因此当点P运动25 s时，AP与腰AB垂直．综上，当点P运动7 s或25 s时，点P与顶点A的连线AP与腰垂直21．（1）见解析；（2）见解析.【解析】分析：(1)4在网格线上，3是直角边为3的直角三角形的斜边，是直角边分别为1和3的直角三角形的斜边；(2)先构造一个直角边为2的等腰直角三角形，以此为基础再构造平行四边形.详解：(1)图(1)即为所求；(2)图(2)即为所求.点睛：本题考查了勾股定理，在格点中，可结合网格中的直角构造直角三角形，一般有理数可用网格线表示，无理数可表示为直角三角形的斜边，勾股定理确定它的两条直角边.22．6-2【解析】【分析】延长DC交AB的延长线于点E，根据∠D=90°，∠A=60°可知AE=2AD=6，CE=2BC=4，再根据勾股定理求出BE的长，根据AB=AE﹣BE即可得出结论．【详解】延长DC交AB的延长线于点E，∵∠B=∠D=90°，∠A=60°，AD=3，BC=2，∴∠E=30°，∴AE=2AD=6，CE=2BC=4，∴BE=，∴AB=AE﹣BE=6﹣2．【点睛】本题考查了勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．23．(1)见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）由题意得：OA=3，OB=4，∴AB=5，即要使OM=5，如图点M即为所求点；（2）如图②，连接EC，由△ABC≌△DBE可得AC＝DE，BC＝BE，因为∠CBE ＝60°，所以EC＝BC，∠BCE＝60又因为∠DCB＝30°，所以∠DCE＝90°，由勾股定理可得DC2＋EC2＝DE2，所以DC2＋BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．试题解析：证明：(1)如图①所示，点M即为所求点．(2)如图②，连接EC，∵△ABC≌△DBE，∴AC＝DE，BC＝BE.∵∠CBE＝60°，∴EC＝BC，∠BCE＝60.∵∠DCB＝30°，∴∠DCE＝90°，∴DC2＋EC2＝DE2，∴DC2＋BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．点睛：本题关键在于理解勾股四边形的概念，充分利用其特点解题.24．8.【解析】试题分析：由已知在△ABE中由勾股定理易得BE的长，这样在Rt△BEC中，由∠EBC=30°结合勾股定理即可解得BC的长.试题解析：∵BE⊥AC于点E，∴∠AEB=∠BEC=90°，∵在直角△AEB中，AE=3，AB=5，∴BE=，∵∠BEC=90°，∠EBC=30°，∴BC=2CE，∵BC2=CE2+BE2，∴3CE2=BE2=48，∴CE=4，BC=8．。