第二讲椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质(教案) 高中数学复习专题 Word版含答案

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《椭圆、双曲线、抛物线及其性质》复习教案全面版

《椭圆、双曲线、抛物线及其性质》复习教案一．基础知识1.定义：①椭圆：点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长(定长大于两定点间的距离)的点的轨迹。

其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。

（2a=2c 时？？）②双曲线：M={P| ||PF 1|-|PF 2||=2a ，2a ＜|F 1F 2|}平面内与两个定点21,F F 距离的差的绝对值等于|)|2(221F F a a 的点的轨迹。

（2a=2c时？？）③椭圆、双曲线、抛物线统一定义：点集M={P|e dPF，e 为常数，0＜e ＜1是椭圆，e ＞1时是双曲线，e=1是抛物线｝注：两个定义是解决圆锥曲线的性质问题和求圆锥曲线方程的两个有力工具，所以要对两个定义有深刻的认识。

2.标准方程与性质：①椭圆标准方程与性质：标准方程：焦点在x 轴上，中心在原点：12222by ax （a ＞b ＞0）；焦点F 1（－c ，0），F 2（c ，0）。

其中22bac 焦点在y 轴上，中心在原点：12222bx ay （a ＞b ＞0）；焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。

其中22bac注：1）在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，22b ac并且椭圆的焦点总在长轴上；2）两种标准方程可用一般形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠Ｂ），当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。

性质：对于焦点在x 轴上，中心在原点：12222by ax （a ＞b ＞0）有以下性质：1）范围：|x|≤ａ，|y|≤ｂ；2）对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O （0，0）；顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ），长轴|A 1A 2|=2a ，短轴|B 1B 2|=2b ；3）离心率：e=ac （焦距与长轴长之比）；4）准线方程：cax2；5）焦半径公式：P （x 0，y 0）为椭圆上任一点。

高考数学二轮专题复习专题五第二讲椭圆、双曲线、抛物线课件新人教版

(2，±2 2)，|OM|＝ 22＋8＝2 3. 答案(dáàn)：
B
第八页，共33页。
(2)已知双曲线的两条渐近线均和圆 C：(x－1)2＋y2＝51相切，且双曲线的右焦点为抛物线 y2＝4 5x 的焦点，则该双曲线的标准方程为________．解析：由题意可知双曲线的c＝ 5.设双曲线xa22－by22＝1(a>0， b>0)的一条渐近线方程为kx－y＝0，根据圆心(1,0)到该直线的距离为半径 15，得k2＝14，即ba22＝14.又a2＋b2＝( 5)2，则a2 ＝答4案，：b2x4＝2－1，y2＝所1以所求双曲线的标准方程为x42－y2＝1.
线与椭圆交于C，D两点．若 AC ·DB＋ AD·CB＝8，求k的值．
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[解]
(1)设F(－c,0)，由
c a
＝
3 3
，知a＝
3 c.过点F且与x
轴垂直的直线的方程为x＝－c，代入椭圆方程有－a2c2＋by22＝
1，解得y＝± 36b，于是2 36b＝433，解得b＝ 2，又a2－c2＝
6k2 2＋3k2
，x1x2＝
3k2－6 2＋3k2
.
因为A(－ 3，0)，B( 3，0)，所以 AC ·DB ＋ AD ·CB ＝(x1＋ 3，y1)·( 3－x2，－y2)＋(x2＋ 3，y2)·( 3－x1，－y1)
第二十二页，共33页。
＝6－2x1x2－2y1y2 ＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1) ＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2 ＝6＋22k＋2＋3k122. 由已知得6＋22k＋2＋3k122＝8，解得k＝± 2.
(2)(2013·江西高考)已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦

高考数学二轮复习专题六：第二讲《椭圆、双曲线、抛物线》文课件

(0，－a) (0，a) (1，＋∞) a 2 b 2 2a 2b
3．实轴和虚轴
y＝±x
•1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 •5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 •6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/302022/1/302022/1/301/30/2022 •7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/302022/1/30January 30, 2022 •8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/302022/1/302022/1/302022/1/30
D．(－4,0)
(2)(2010年湖南卷) 设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离
是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A．4
B．6
C．8
D．12
答案：(1)B (2)B
曲线的方程与方程的曲线
四、曲线的方程与方程的曲线若二元方程f(x，y)＝0是曲线C的方程，或曲线C是方程 f(x，y)＝0的曲线，则必须满足以下两个条件： (1)曲线上点的坐标都是________(纯粹性)． (2)以这个方程的解为坐标的点都是________(完备性)．
即4k2－t2＋1＞0，即t2＜4k2＋1，且 x 1 ＋ x 2 ＝－ 1 ＋，8 k 4 t k 2 x 1 x 2 ＝ 1 4 ＋ t 2 － 4 k 4 2

数学(理)高考二轮复习：专题五第二讲《椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质》课件(共46张PPT)

a2＋b2＝25
a2＝20
依题意1＝ba×2
，解得b2＝5 ，∴双曲线 C 的方程为
2x02 －y52＝1.
第二讲椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质
考点一
课前自主诊断
课堂对点补短限时规范训练上页下页
试题
通解优解
考点一
考点二
考点三

2．设 F1，F2 分别为椭圆x42＋y2＝1 的左、右焦点，点 P 在椭圆上，
第二讲椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质课前自主诊断课堂对点补短
考点三直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系
限时规范训练上页下页
试题
解析
考点一考点二
考点三
6．(2016·高考全国Ⅰ卷)设圆 x2＋y2＋2x－15＝0 的圆心为 A，直线 l 过点 B(1,0)且与 x 轴不重合，l 交圆 A 于 C，D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E. (1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点 E 的轨迹方程； (2)设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1 于 M，N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P，Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围．
10，点 P(2,1)在 C 的一条渐近线上，则 C 的方程为( A )
A.2x02 －y52＝1
B.x52－2y02 ＝1
C.8x02－2y02 ＝1
D.2x02－8y02 ＝1
第二讲椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质
考点一
课前自主诊断
课堂对点补短
限时规范训练上页下页
试题
解析
考点一考点二考点三
长即可表示出面积，解方程求 b 即可．由题意知双曲线的渐近线方程为 y＝±b2x，圆的方程为 x2＋y2＝4，

椭圆双曲线抛物线知识点

椭圆双曲线抛物线知识点椭圆、双曲线和抛物线是常见的曲线形状，它们在数学和物理中有广泛的应用。

本文将介绍椭圆、双曲线和抛物线的基本定义、性质、方程和常见应用。

一、椭圆（ellipse）椭圆是一个平面上的闭合曲线，该曲线的各点到两个定点（称为焦点）的距离之和是一个常数。

椭圆有两个焦点和两个短轴，两个短轴的中点称为椭圆的中心。

椭圆的长轴是通过焦点的直线，长轴的一半称为椭圆的半长轴，短轴的一半称为椭圆的半短轴。

椭圆的数学表达式为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1其中a和b分别是椭圆半长轴和半短轴的长度。

椭圆的性质：1.椭圆是轴对称的，关于x轴和y轴都有对称性。

2.椭圆的离心率0<e<1，离心率越接近0，椭圆越圆。

3.椭圆的周长可以用椭圆的长轴和半短轴的长度计算。

椭圆的应用：1.椭圆的几何性质使它在图形设计和艺术中有广泛的应用。

2.椭圆的光学性质使它在透镜和镜面的设计中有应用。

3.椭圆在天体力学中用来描述行星的轨道。

4.椭圆在密码学中用来生成加密算法的公钥和私钥。

二、双曲线（hyperbola）双曲线是一个平面上的开放曲线，该曲线的各点到两个焦点的距离之差是一个常数。

双曲线有两个焦点和两个短轴，两个短轴的中点称为双曲线的中心。

双曲线的长轴是通过焦点的直线，长轴的一半称为双曲线的半长轴，短轴的一半称为双曲线的半短轴。

双曲线的数学表达式为：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1其中a和b分别是双曲线半长轴和半短轴的长度。

双曲线的性质：1.双曲线有两条渐进线，它们与双曲线的轴相切。

2.双曲线是非对称的，关于x轴和y轴没有对称性。

3.双曲线的离心率e>1，离心率越大，双曲线越扁。

4.双曲线的焦点和顶点与轴的关系可以用双曲线的方程来确定。

双曲线的应用：1.在物理学中，双曲线用来描述光学中的反射和折射现象。

2.在工程学中，双曲线用于设计天线的形状，以提高信号接收和发送的效果。

3.在经济学中，双曲线用来描述供求曲线和价格变动趋势。

椭圆、双曲线、抛物线教学设计

椭圆、双曲线及抛物线一、教学目标： 1.知识目标：（1）了解椭圆、双曲线及抛物线的定义，理解它们的标准方程，能根据已知条件写出它们的方程；（2）由椭圆、双曲线及抛物线的方程知道它们的焦点坐标，了解图形的类型． 2.能力目标：培养学生的数形结合能力和逻辑思维能力. 3.思想品质目标：对学生进行爱国主义教育，并培养学生对新问题勇于探索的精神. 二、教学重点：对椭圆、双曲线及抛物线方程的讨论.三、教学难点：对椭圆、双曲线及抛物线方程的讨论.搞清标准方程中系数的几何意义，是突破难点的关键.四、教学方法：讲授法、图示法、归纳法与练习法相结合. 五、教学过程：（一）椭圆 1．问题的引入2003年10月15日９时整，我国自行研制的“神舟”五号载人飞船载着航天员杨利伟在中国酒泉卫星发射中心发射升空，飞船在变轨前绕地球运行的轨道是椭圆，见图5-23.图5-23椭圆是一种常见的曲线，如汽车油罐横截面的轮廓，天体中一些行星和卫星运行的轨道等．请同学们准备一条一定长的绳子、两枚钉子和一支铅笔按照下面的步骤画一个椭圆：（1）将绳子的两端固定在画板上的1F 和2F 两点，并使绳长大于1F 和2F 的距离，如图5-24所示；（2）用铅笔尖把绳子拉紧，并在画板上慢慢移动，画出一个椭圆．从上面的画图中，我们可以看出，绳子的长度是保持不变的，椭圆是由到点1F 和2F 的距离的和等于绳长的所有点组成的．我们把平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和是常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距．练习题5．4．1.1请同学们按照上述方法用一条一定长的绳子，并改变两定点间的距离在画板画几个图5-24椭圆，并说出随着两定点的距离的变化，椭圆的形状有什么变化，试着找出其中的规律．解答：画图略. 两定点间的距离越大，椭圆越扁；两定点间的距离越接近于0，椭圆越接近于圆. 2 椭圆的标准方程根据上面画椭圆的步骤来研究椭圆的方程．取过焦点1F 、2F 的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图5-25所示．设),(y x M 是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为c 2（c ＞0），椭圆上的点与两个定点1F 、2F 的距离之和为a 2（a ＞0），则1F ，2F 的坐标分别为)0,(),0,(c c -，由条件a MF MF 221=+，可以得到方程12222=+bx a y )0(>>b a ，（5．11）其中222b c a =-. 可以证明，如果点),(y x M 的坐标满足方程（5．11），那么点M 一定在椭圆上．因此方程（5．11）叫做焦点在x 轴上的椭圆的标准方程．若如图5-26所示，取过焦点1F 、2F 的直线为y 轴，线段21F F 的垂直平分线为x 轴，建立平面直角坐标系，用同样的方法可以得到它的方程为12222=+bx a y )0(>>b a ，（5．12）其中222b c a =-,方程（5．12）叫做焦点在y 轴上的椭圆的标准方程．想一想：已知一个椭圆的标准方程，如何判定焦点在x 轴还是在y 轴？回答：一般地，比较x 、y 分母的大小即可判别.例1 已知椭圆的焦点在x 轴上，且焦距为8，椭圆上一点到两个焦点距离之和等于10，写出椭圆的标准方程．解由已知有102,82==a c ，即4=c ，5=a ，所以 9222=-=c a b ，由于椭圆的焦点在x 轴上，因此椭圆的标准方程为 1352222=+y x ，即192522=+y x . 想一想：如果将例1的已知条件“椭圆的焦点在x 轴上”删去，其余条件不变，你能写出椭圆的标准方程吗？回答：当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程为192522=+yx ；当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程为192522=+x y . 例2 求椭圆191622=+y x 的焦点坐标和焦距．解这是焦点在x 轴的椭圆的标准方程.故9,1622==b a ， 7222=-=b a c ，图5-25x图5-26图5-27 x即 7=c .所以焦点坐标为)0,7(),0,7(21F F -，焦距722=c ．如图5-27所示，椭圆12222=+bx a y )0(>>b a 与坐标轴的交点分别为A 1（−a ，0）、A 2（a ，0）、B 1（0，−b ）、B 2（0，b ），线段A 1 A 2和B 1B 1分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长度分别为2a 和2b .练习题5．4．1.21．求满足下列条件的椭圆标准方程：（1）13=a ，焦点为)0,12(),0,12(21F F -（2）10=b ，焦点为)0,23(),0,23(21F F - （3）13=a ，焦点为)12,0(),12,0(21F F - 2．求下列椭圆的焦点坐标和焦距．134)1(22=+y x ； 1553)2(22=+y x ； 143)3(22=+y x .参考答案：1．125169)1(22=+y x ； 11028)2(22=+y x ； 125169)3(22=+x y ；2 ．（1）焦点坐标)0,1(±，焦距 = 2；（2）焦点坐标)0,2(±，焦距22=；（3）焦点坐标)1,0(±，焦距 = 2．（二）双曲线 1．双曲线的定义大家知道，反比例函数xy 1=的图像是双曲线（图5-28）；一个发电厂通风塔的纵截面的外部轮廓也是双曲线的一部分（图5-29）.下面我们取一条两边长度不等的拉链，如图5-30所示，将拉链的两边分别固定在两个定点21F F 、（拉链两边的长度之差小于21F F 和的距离）上，把铅笔尖固定在拉链琐口处，慢慢拉开拉链，使铅笔尖慢慢移动，就可以画出双曲线的一部分．将拉链的两边交换位置分别固定在12F F 、处，用同样的方法可以画出双曲线的另一部分．从上面的作图过程，我们可以看出，拉链两边的长度之差是保持不变的定值，双曲线是由与点21F F 、的距离的差等于定值的点组成的．我们把平面内与两个定点21F F 、的距离的差的绝对值是常图5-28 x 图5-29 图5-30数（小于21F F 且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距．2．双曲线的标准方程根据上面所说的双曲线的画法来研究双曲线的方程．取过焦点1F 、2F 的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图6-31所示．用与求椭圆标准方程相类似的方法，可以求得焦点1F 、2F 的坐标分别为)0,(),0,(c c -的双曲线方程为12222=-bx a y )0,0(>>b a , （5．13）这是焦点在x 轴上的双曲线的标准方程．类似的，还可以得到焦点在y 轴的双曲线标准方程为（图5-32） 12222=-bx a y )0,0(>>b a （5．14）其中a 2为双曲线上的点到焦点距离之差的绝对值，22a c b -=．方程（5．13）和（5．14）都叫做双曲线的标准方程.例3 已知双曲线的焦点在x 轴上，且焦距为26，双曲线上一点到两个焦点距离之差的绝对值等于10，请写出双曲线的标准方程．解由已知得102,262==a c ，即13=c ，5=a ，所以 144222=-=a c b由于双曲线的焦点在x 轴上，因此双曲线的标准方程为 11252222=-y x ，即 11442522=-y x . 想一想：如果将上例中的已知条件“双曲线的焦点在x 轴上”删去，其余条件不变，你能求出双曲线的标准方程吗？回答：与椭圆情况类似，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为11442522=-y x ；焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为11442522=-x y .例4 求双曲线1201622=-y x 的焦点坐标与焦距.解由已知20,1622==b a ，得36222=+=b a c ，即6=c因为双曲线的焦点在x 轴上，所以焦点坐标为)0,6(),0,6(21F F -，焦距122=c ．练习题5．4．2图5-31 x 图5-321．求满足下列条件的双曲线标准方程：（1）12=a ，焦点为)0,13(),0,13(21F F -；（2）3=b ，焦点为)0,33(),0,33(21F F -；（3）3=b ，焦点为)33,0(),33,0(21F F -． 2．求下列双曲线的焦点坐标与焦距：1918)1(22=-y x ； 1918)2(22=-x y . 参考答案：1．125144)1(22=-y x ；1930)2(22=-y x ； 1930)3(22=-x y ； 2．（1）焦点坐标)0,33(± ，焦距36=；（2）焦点坐标)33,0(± ，焦距36=．（三）抛物线 1．抛物线的定义我们知道，一元二次函数的图像是抛物线；在现实生活中我们推铅球，抛出的铅球在空中运行的轨道是抛物线的一段；很多拱桥的桥孔是抛物线等等．平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线（图5-33），．定点F 为抛物线的焦点，定直线l 为抛物线的准线．2．抛物线的标准方程取过焦点F ，且垂直于准线l 的直线为x 轴，x 轴与l 相交于点E ，以线段EF 的垂直平分线为y 轴，如图5-34．设p EF =)0(>p ，那么焦点F 的坐标为)0,2(p ，准线l 的方程为2p x -=．设抛物线上的点),(y x M 到l 的距离为d ，那么d MF =所以 2)2(22px y p x +=+-．两边平方并化简得px y 22= )0(>p （5．15）方程（5．15）叫做抛物线的标准方程.物线的焦点在x 的正半轴上，它坐标为)0,2(p ，准线方程为2px -=．用同样的方法我们还可以得到抛物线的另外三种形式的标准方程，下面我们把抛物线的方程、焦点、准线方程和图形列表（表5-1）.图5-34 l 图5-33)0,2(-解已知得抛物线的焦点在x 的负半轴上，并且22-=-p，4=p ，所以抛物线的标准方程为x y 82-=例6 求抛物线x y 212=的焦点坐标和准线方程．解已知得212=p ，41=p ，焦点坐标x 的正半轴上，所以焦点坐标为)0,81(，准线方程为81-=x ．练习题5．4．31．求符合下列条件的抛物线的标准方程（1）准线方程是3=y ；（2）焦点在x 的负半轴上，焦点到准线间的距离是8． 2．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：x y 4)1(2= y x 31)2(2-=24)3(y x = 043)4(2=+y x ．3．请你填加一个适当的条件，得到抛物线的方程为x y 82-=．参考答案：1．y x 12)1(2-=； x y 12)2(2-=；2．（1）（1，0），1-=x ； ),121,0()2(-121=y ； ),0,161()3(161-=x ； ),31,0()4(-31=y .3．略．六、小结： 1. 本节知识内容2．需要注意的问题(1)无论已知椭圆方程还是确定椭圆方程，都要首先确定焦点位置，然后再研究下一步问题；已知一个椭圆的标准方程时，比较含x 、y 项的分母的大小即可判别焦点所在轴；在椭圆的标准方程中，222c b a += )0(>>b a 恒成立.(2) 无论已知双曲线标准方程还是确定双曲线标准方程，都要首先确定焦点位置，然后再研究下一步问题；已知一个双曲线的标准方程时，比较含x 、y 项的分母的大小即可判别焦点所在轴；在双曲线的标准方程中，222a a c +=)0,0(>>b a 恒成立.(3)无论已知抛物线方程还是确定抛物线方程，都要首先确定焦点位置及开口方向，然后再研究下一步问题；已知一个抛物线的标准方程时，分析一次项的系数及平方项（或一次项）的变量名称，即可判别焦点所在轴及开口方向；在抛物线的标准方程中，0>P 恒成立.七.练习与作业：练习：习题 5.4第1、2、3题.达标训练5.4第1题. 作业：习题 5.4第4、6、7题.达标训练5.4第2、3题.。

高考数学二轮复习专题五解析几何第2讲椭圆、双曲线、抛物线教案-高三全册数学教案

第2讲椭圆、双曲线、抛物线圆锥曲线的定义及标准方程[核心提炼]1．圆锥曲线的定义、标准方程名称椭圆双曲线抛物线定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)|PF |＝|PM |点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M 标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)y 2＝2px (p >0)2.求解圆锥曲线标准方程“先定型，后定量”所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“定量”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．[典型例题](1)(2019·杭州市高考二模)设倾斜角为α的直线l 经过抛物线Г：y 2＝2px (p >0)的焦点F ，与抛物线Г交于A ，B 两点，设点A 在x 轴上方，点B 在x 轴下方．若|AF ||BF |＝m ，则cos α的值为( )A.m －1m ＋1B.mm ＋1C.m －1mD .2m m ＋1(2)椭圆x 24＋y 2＝1上到点C (1，0)的距离最小的点P 的坐标为________．(3)(2019·高考浙江卷)已知椭圆x 29＋y 25＝1的左焦点为F ，点P在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，|OF |为半径的圆上，则直线PF 的斜率是________．【解析】 (1)设抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为l ：x ＝－p2.如图所示，分别过点A ，B 作AM ⊥l ，BN ⊥l ，垂足分别为M ，N . 在三角形ABC 中，∠BAC 等于直线AB 的倾斜角α，由|AF ||BF |＝m ，|AF |＝m |BF |，|AB |＝|AF |＋|BF |＝(m ＋1)|BF |，根据抛物线的定义得：|AM |＝|AF |＝m |BF |，|BN |＝|BF |，所以|AC |＝|AM |－|MC |＝m |BF |－|BF |＝(m －1)|BF |，在直角三角形ABC 中，cos α＝cos ∠BAC ＝|AC ||AB |＝（m －1）|BF |（m ＋1）|BF |＝m －1m ＋1，故选A.(2)设点P (x ，y )，则|PC |2＝(x －1)2＋y 2＝(x －1)2＋⎝⎛⎭⎪⎫1－x 24＝34x 2－2x ＋2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫x －432＋23. 因为－2≤x ≤2，所以当x ＝43时，|PC |min ＝63，此时点P的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫43，53或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43，－53. (3)通解：依题意，设点P (m ，n )(n >0)，由题意知F (－2，0)，所以线段FP 的中点M ⎝⎛⎭⎪⎫－2＋m 2，n 2在圆x 2＋y2＝4上，所以⎝⎛⎭⎪⎫－2＋m 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 22＝4，又点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 25＝1上，所以m 29＋n 25＝1，所以4m 2－36m －63＝0，所以m ＝－32或m ＝212(舍去)，n ＝152，所以k PF ＝152－0－32－（－2）＝15.优解：如图，取PF 的中点M ，连接OM ，由题意知|OM |＝|OF |＝2，设椭圆的右焦点为F 1，连接PF 1.在△PFF 1中，OM 为中位线，所以|PF 1|＝4，由椭圆的定义知|PF |＋|PF 1|＝6，所以|PF |＝2，因为M 为PF 的中点，所以|MF |＝1.在等腰三角形OMF 中，过O 作OH ⊥MF 于点H ，所以|OH |＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝152，所以k PF ＝tan ∠HFO ＝15212＝15.【答案】 (1)A(2)⎝⎛⎭⎪⎪⎫43，53或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43，－53 (3)15(1)圆锥曲线定义的应用①已知椭圆、双曲线上一点及焦点，首先要考虑使用椭圆、双曲线的定义求解．②应用抛物线的定义，灵活将抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相互转化使问题得解．(2)圆锥曲线方程的求法求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”． ①定型．就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程．②计算．即利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2或p .另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0)，椭圆常设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)，双曲线常设为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．[对点训练]1．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，22在椭圆上，且点(－1，0)到直线PF 2的距离为455，其中点P (－1，－4)，则椭圆的标准方程为( )A ．x 2＋y 24＝1 B.x 24＋y 2＝1C ．x 2＋y 22＝1 D.x 22＋y 2＝1解析：选D.设F 2的坐标为(c ，0)(c >0)，则kPF 2＝4c ＋1，故直线PF 2的方程为y ＝4c ＋1(x －c )，即4c ＋1x －y －4cc ＋1＝0，点(－1，0)到直线PF 2的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－4c ＋1－4c c ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫4c ＋12＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫4c ＋12＋1＝455，即⎝ ⎛⎭⎪⎫4c ＋12＝4，解得c ＝1或c ＝－3(舍去)，所以a 2－b 2＝1.①又点⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，22在椭圆E 上，所以1a 2＋12b 2＝1，②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.故选D.2．(2019·嘉兴一中高考适应性考试)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点到渐近线的距离等于焦距的34倍，则双曲线的离心率为________，如果双曲线上存在一点P 到双曲线的左右焦点的距离之差为4，则双曲线的虚轴长为________．解析：因为右焦点到渐近线的距离为b ，若右焦点到渐近线的距离等于焦距的34倍，所以b ＝34·2c ＝32c ，平方得b 2＝34c 2＝c 2－a 2，即a 2＝14c 2，则c ＝2a ，则离心率e ＝ca＝2，因为双曲线上存在一点P 到双曲线的左右焦点的距离之差为4，所以2a ＝4，则a ＝2，从而b ＝16－4＝2 3. 答案：2 43圆锥曲线的几何性质[核心提炼]1．椭圆、双曲线中，a ，b ，c 之间的关系(1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝ca＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2；(2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2.2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．[典型例题](1)(2019·高考浙江卷)渐近线方程为x ±y ＝0的双曲线的离心率是( )A.22B ．1 C. 2 D ．2(2)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．22【解析】 (1)因为双曲线的渐近线方程为x ±y ＝0，所以无论双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，都满足a ＝b ，所以c ＝2a ，所以双曲线的离心率e ＝ca＝ 2.故选C.(2)设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意知，当三角形的高为b 时面积最大，所以12×2cb ＝1，bc ＝1，而2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝22(当且仅当b ＝c ＝1时取等号)，故选D.【答案】 (1)C (2)D圆锥曲线性质的应用(1)分析圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．(2)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式．建立关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．[注] 求椭圆、双曲线的离心率，常利用方程思想及整体代入法，该思想及方法利用待定系数法求方程时经常用到．[对点训练]1．(2019·绍兴诸暨高考二模)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别是F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2＝60°，则此双曲线的离心率等于( )A ．23－2 B.3＋12C.3＋1D ．23＋2解析：选C.设双曲线的焦距长为2c ，因为点P 为双曲线上一点，且∠PF 1F 2＝30°，∠PF 2F 1＝60°，所以P 在右支上，∠F 2PF 1＝90°，即PF 1⊥PF 2，|PF 1|＝2c sin 60°＝3c ， |PF 2|＝2c cos 60°＝c ，所以由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝(3－1)c ＝2a ，所以e ＝c a ＝23－1＝3＋1.故选C.2．(2019·宁波高考模拟)如图，F 1、F 2是椭圆C 1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点，若AF 1⊥BF 1，且∠AF 1O ＝π3，则C 1与C 2的离心率之和为( )A ．2 3B ．4C ．2 5D ．26解析：选A.F 1、F 2是椭圆C 1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点，若AF 1⊥BF 1，且∠AF 1O ＝π3，可得A ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－12c ，32c ，B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12c ，－32c ，代入椭圆方程可得c 24a 2＋3c 24b 2＝1，可得e 24＋34e 2－4＝1，可得e 4－8e 2＋4＝0，解得e ＝3－1.代入双曲线方程可得：c 24a 2－3c 24b2＝1，可得：e 24－34－4e2＝1，可得：e 4－8e 2＋4＝0，解得e ＝3＋1，则C 1与C 2的离心率之和为2 3. 故选A.直线与圆锥曲线[核心提炼]1．直线与圆锥曲线位置关系与“Δ”的关系将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量(如y )得到方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0.①若A ＝0，则：圆锥曲线可能为双曲线或抛物线，此时直线与圆锥曲线只有一个交点．②若A ≠0，则：当Δ＞0时，直线与圆锥曲线有两个交点(相交)；当Δ＝0时，直线与圆锥曲线有一个交点(相切)；当Δ＜0时，直线与圆锥曲线没有交点(相离)．2．直线与圆锥曲线相交时的弦长设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入，即当直线与圆锥曲线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|，其中|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2. 考向1 位置关系的判断[典型例题]在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．【解】(1)由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t .又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，ON 的方程为y ＝ptx ，代入y 2＝2px ，整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t2p.因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t . 所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点．理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点．考向2 弦长问题[典型例题]已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10【解析】抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，由题意可知l 1，l 2的斜率存在且不为0.不妨设直线l 1的斜率为k ，则l 1：y ＝k (x －1)，l 2：y ＝－1k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k （x －1），消去y 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝2k 2＋4k2＝2＋4k 2，由抛物线的定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋2＝2＋4k 2＋2＝4＋4k2.同理得|DE |＝4＋4k 2，所以|AB |＋|DE |＝4＋4k2＋4＋4k 2＝8＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋k 2≥8＋8＝16，当且仅当1k 2＝k 2，即k ＝±1时取等号，故|AB |＋|DE |的最小值为16，故选A.【答案】 A考向3 分点(中点)问题[典型例题]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为4，且经过点P (2，53)． (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 经过M (0，1)，且与C 交于A ，B 两点，MA →＝－23MB →，求l 的方程．【解】 (1)依题意知，2c ＝4，则椭圆C 的焦点为F 1(－2，0)，F 2(2，0)，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝（2＋2）2＋（53）2＋（2－2）2＋（53）2＝6，所以b 2＝a 2－c 2＝5，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.(2)当l 的斜率不存在时，l 与x 轴垂直，则l 的方程为x ＝0，A ，B 为椭圆短轴上的两点，不符合题意．当l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 25＝1，y ＝kx ＋1，得(9k 2＋5)x 2＋18kx －36＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－18k 9k 2＋5，x 1·x 2＝－369k 2＋5，由MA →＝－23MB →得，(x 1，y 1－1)＝－23(x 2，y 2－1)，则x 1＝－23x 2，所以13x 2＝－18k 9k 2＋5，－23x 22＝－369k 2＋5，所以(－54k 9k 2＋5)2＝549k 2＋5，解得k ＝±13，故直线l 的方程为y ＝±13x ＋1.解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤(1)设方程及点的坐标；(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程(注意二次项系数是否为零)；(3)应用根与系数的关系及判别式；(4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解．[对点训练]1．(2018·高考浙江卷)已知点P (0，1)，椭圆x 24＋y 2＝m (m >1)上两点A ，B 满足AP →＝2PB →，则当m ＝________时，点B 横坐标的绝对值最大．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AP →＝2 PB →，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝2x 2，1－y 1＝2（y 2－1），即x 1＝－2x 2，y 1＝3－2y 2.因为点A ，B 在椭圆上，所以⎩⎪⎨⎪⎧4x 224＋（3－2y 2）2＝m ，x224＋y 22＝m ，得y 2＝14m ＋34，所以x 22＝m －(3－2y 2)2＝－14m 2＋52m －94＝－14(m －5)2＋4≤4，所以当m ＝5时，点B横坐标的绝对值最大，最大值为2.答案：52．(2019·温州十五校联合体联考)过点M (0，1)且斜率为1的直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两渐近线交于点A ，B ，且BM →＝2AM →，则直线l 的方程为____________；如果双曲线的焦距为210，则b 的值为________．解析：直线l 的方程为y ＝x ＋1，两渐近线的方程为y ＝±b ax .其交点坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫a b －a ，b b －a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－a a ＋b ，b a ＋b .由BM →＝2AM →，得x B ＝2x A .若ab －a ＝－2a a ＋b，得a ＝3b ，由a 2＋b 2＝10b 2＝10得b ＝1，若－aa ＋b ＝2ab －a ，得a ＝－3b (舍去)．答案：y ＝x ＋1 1专题强化训练1．(2018·高考浙江卷)双曲线x 23－y 2＝1的焦点坐标是( )A ．(－2，0)，(2，0)B ．(－2，0)，(2，0)C ．(0，－2)，(0，2)D ．(0，－2)，(0，2)解析：选B.由题可知双曲线的焦点在x 轴上，因为c 2＝a 2＋b2＝3＋1＝4，所以c ＝2，故焦点坐标为(－2，0)，(2，0)．故选B.2．已知圆M ：(x －1)2＋y 2＝38，椭圆C ：x 23＋y 2＝1，若直线l 与椭圆交于A ，B 两点，与圆M 相切于点P ，且P 为AB 的中点，则这样的直线l 有( )A ．2条B ．3条C ．4条D ．6条解析：选C.当直线AB 斜率不存在时且与圆M 相切时，P 在x 轴上，故满足条件的直线有2条；当直线AB 斜率存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，由x 213＋y 21＝1，x 223＋y 22＝1，两式相减，整理得：y 1－y 2x 1－x 2＝－13·x 1＋x 2y 1＋y 2，则k AB ＝－x 03y 0，k MP ＝y 0x 0－1，k MP ·k AB ＝－1，k MP ·k AB ＝－x 03y 0·y 0x 0－1＝－1，解得x 0＝32，由32<3，可得P 在椭圆内部，则这样的P 点有2个，即直线AB 斜率存在时，也有2条．综上可得，所示直线l 有4条．故选C.3．若椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a >b >0)和圆x 2＋y 2＝(b2＋c )2有四个交点，其中c 为椭圆的半焦距，则椭圆的离心率e 的取值范围为( )A ．(55，35)B ．(0，25)C ．(25，35)D ．(35，55)解析：选A.由题意可知，椭圆的上、下顶点在圆内，左、右顶点在圆外，则⎩⎪⎨⎪⎧a >b2＋c ，b <b 2＋c ⇒⎩⎪⎨⎪⎧（a －c ）2>14（a 2－c 2），a 2－c 2<2c ⇒55<e <35. 4．(2019·学军中学质检)双曲线M ：x 2－y 2b2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，记|F 1F 2|＝2c ，以坐标原点O 为圆心，c 为半径的圆与双曲线M 在第一象限的交点为P ，若|PF 1|＝c ＋2，则点P 的横坐标为( )A.3＋12B.3＋22C.3＋32D.332解析：选A.由点P 在双曲线的第一象限可得|PF 1|－|PF 2|＝2，则|PF 2|＝|PF 1|－2＝c ，又|OP |＝c ，∠F 1PF 2＝90°，由勾股定理可得(c ＋2)2＋c 2＝(2c )2，解得c ＝1＋ 3.易知△POF 2为等边三角形，则x P ＝c2＝3＋12.5．已知离心率e ＝52的双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线相交于O ，A 两点，若△AOF 的面积为4，则a 的值为( )A ．2 2B ．3C ．4D ．5 解析：选C.因为e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝52，所以b a ＝12，|AF ||OA |＝b a ＝12，设|AF |＝m ，|OA |＝2m ，由面积关系得12·m ·2m ＝4，所以m ＝2，由勾股定理，得c ＝m 2＋（2m ）2＝25，又c a ＝52，所以a ＝4，故选C.6．(2019·宁波市诺丁汉大学附中高三期末考试)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分别为A 、B ，双曲线左顶点为M ，若∠AMB ＝120°，则该双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．3 D ．2解析：选D.依题意，作图如图所示：因为OA ⊥FA ，∠AMO ＝60°，OM ＝OA ，所以△AMO 为等边三角形，所以OA ＝OM ＝a ，在直角三角形OAF 中，OF ＝c ，所以该双曲线的离心率e ＝c a ＝OF OA ＝1sin 30°＝2，故选D.7．(2019·杭州高三模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某一条渐近线交于两点P ，Q ，若∠PAQ ＝π3且OQ →＝5OP →，则双曲线C 的离心率为( )A.213 B ．2 C.72D ．3解析：选A.由图知△APQ 是等边三角形，设PQ 中点是H ，圆的半径为r ，则AH ⊥PQ ，AH ＝32r ，PQ ＝r ，因为OQ →＝5OP →，所以OP ＝14r ，PH ＝12r ，即OH ＝14r ＋12r ＝34r ，所以tan ∠HOA ＝AH OH ＝233，即b a ＝233，b 2a2＝c 2－a 2a 2＝43，从而得e ＝c a ＝213，故选A. 8.如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1 C.|BF |＋1|AF |＋1 D.|BF |2＋1|AF |2＋1解析：选A.由图形可知，△BCF 与△ACF 有公共的顶点F ，且A ，B ，C 三点共线，易知△BCF 与△ACF 的面积之比就等于|BC ||AC |.由抛物线方程知焦点F (1，0)，作准线l ，则l 的方程为x ＝－1.因为点A ，B 在抛物线上，过A ，B 分别作AK ，BH 与准线垂直，垂足分别为点K ，H ，且与y 轴分别交于点N ，M .由抛物线定义，得|BM |＝|BF |－1，|AN |＝|AF |－1.在△CAN 中，BM ∥AN ，所以 |BC ||AC |＝|BM ||AN |＝|BF |－1|AF |－1.9．(2019·温州高考模拟)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝8|OF |(O 为坐标原点)，则|AF ||BF |＝________．解析：由题意，|AF |＝4p ，设|BF |＝x ，由抛物线的定义，可得p －x 4p －x ＝x x ＋4p ，解得x ＝47p ，所以|AF ||BF |＝7，故答案为7.答案：710．(2019·浙江名校协作体高三期末考试)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线交两渐近线于A ，B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若OP →＝λOA →＋μOB →，λμ＝425(λ，μ∈R )，则双曲线的离心率e 的值是________．解析：由题意可知，双曲线的渐近线为y ＝±bax ，右焦点为F (c ，0)，则点A ，B ，P的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫c ，bc a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－bc a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，所以OA →，OB →，OP →的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，bc a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－bc a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，又OP →＝λOA →＋μOB →，则⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，bc a ＋μ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－bc a ，即⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝1b a＝λc a －μc a ，又λμ＝425，解得λ＝45，μ＝15，所以b a ＝4c5a －c 5a ⇒e 2－1＝35e ⇒e ＝54. 答案：5411.(2019·台州市高考一模)如图，过抛物线y2＝4x 的焦点F 作直线与抛物线及其准线分别交于A ，B ，C 三点，若FC →＝4FB →，则|AB →|＝________．解析：分别过A ，B 作准线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，则DF ＝p ＝2，由抛物线的定义可知FB ＝BB 1，AF ＝AA 1，因为FC →＝4FB →，所以DF BB 1＝FC BC ＝43，所以FB ＝BB 1＝32.所以FC ＝4FB ＝6，所以cos ∠DFC ＝DF FC ＝13，所以cos ∠A 1AC ＝AA 1AC ＝AF AF ＋6＝13，解得AF ＝3，所以AB ＝AF ＋BF ＝3＋32＝92.答案：9212．设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2.若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是__________．解析：由题意不妨设点P 在双曲线的右支上，现考虑两种极限情况：当PF 2⊥x 轴时，|PF 1|＋|PF 2|有最大值8；当∠P 为直角时，|PF 1|＋|PF 2|有最小值27.因为△F 1PF 2为锐角三角形，所以|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为(27，8)．答案：(27，8)13.(2019·浙江新高考冲刺卷)如图，过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)左焦点F 1的直线交双曲线左支于A ，B 两点，C 是双曲线右支上一点，且A ，C 在x 轴的异侧，若满足|OA |＝|OF 1|＝|OC |，|CF 1|＝2|BF 1|，则双曲线的离心率为________．解析：取双曲线的右焦点F 2，连接CF 2，延长交双曲线于D ，连接AF 2，DF 1，由|OA |＝|OF 1|＝|OC |＝|OF 2|＝c ，可得四边形F 1AF 2C 为矩形，设|CF 1|＝2|BF 1|＝2m ，由对称性可得|DF 2|＝m ， |AF 1|＝4c 2－4m 2，即有|CF 2|＝4c 2－4m 2，由双曲线的定义可得2a ＝|CF 1|－|CF 2|＝2m －4c 2－4m 2，① 在直角三角形DCF 1中，|DC |＝m ＋4c 2－4m 2，|CF 1|＝2m ，|DF 1|＝2a ＋m ，可得(2a ＋m )2＝(2m )2＋(m ＋4c 2－4m 2)2，② 由①②可得3m ＝4a ，即m ＝4a3，代入①可得，2a ＝8a3－4c 2－64a 29，化简可得c 2＝179a 2，即有e ＝c a ＝173.故答案为173.答案：17314．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (c ，0)关于直线y ＝bcx 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．解析：设椭圆的另一个焦点为F 1(－c ，0)，如图，连接QF 1，QF ，设QF 与直线y ＝bcx 交于点M .由题意知M 为线段QF 的中点，且OM ⊥FQ ，又O 为线段F 1F 的中点，所以F 1Q ∥OM ，所以F 1Q ⊥QF ，|F 1Q |＝2|OM |.在Rt △MOF 中，tan ∠MOF ＝|MF ||OM |＝bc ，|OF |＝c ，可解得|OM |＝c 2a ，|MF |＝bca，故|QF |＝2|MF |＝2bc a ，|QF 1|＝2|OM |＝2c2a.由椭圆的定义得|QF |＋|QF 1|＝2bc a ＋2c2a＝2a ，整理得b ＝c ，所以a ＝b 2＋c 2＝2c ，故e ＝c a ＝22.答案：2215.(2019·温州模拟)已知直线l ：y ＝－x ＋3与椭圆C ：mx 2＋ny 2＝1(n >m >0)有且只有一个公共点P (2，1)．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ′：y ＝－x ＋b 交C 于A ，B 两点，且PA ⊥PB ，求b 的值．解：(1)联立直线l ：y ＝－x ＋3与椭圆C ：mx 2＋ny 2＝1(n >m >0)，可得(m ＋n )x 2－6nx ＋9n －1＝0，由题意可得Δ＝36n 2－4(m ＋n )(9n －1)＝0，即为9mn ＝m ＋n ，又P 在椭圆上，可得4m ＋n ＝1，解方程可得m ＝16，n ＝13，即有椭圆方程为x 26＋y 23＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线y ＝b －x 和椭圆方程，可得3x 2－4bx ＋2b 2－6＝0，判别式Δ＝16b 2－12(2b 2－6)>0， x 1＋x 2＝4b 3，x 1x 2＝2b 2－63，y 1＋y 2＝2b －(x 1＋x 2)＝2b3，y 1y 2＝(b －x 1)·(b －x 2)＝b 2－b (x 1＋x 2)＋x 1x 2＝b 2－63，由PA ⊥PB ，即为PA →·PB →＝(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1) ＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1 ＝2b 2－63－2·4b 3＋b 2－63－2b 3＋5＝0，解得b ＝3或13，代入判别式，则b ＝13成立．故b 为13.16.(2019·浙江金华十校高考模拟)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F 的坐标为(1，0)，P ，Q 为椭圆上位于y 轴右侧的两个动点，使PF ⊥QF ，C 为PQ 中点，线段PQ 的垂直平分线交x 轴，y 轴于点A ，B (线段PQ 不垂直x 轴)，当Q 运动到椭圆的右顶点时，|PF |＝22.(1)求椭圆M 的标准方程；(2)若S △ABO ∶S △BCF ＝3∶5，求直线PQ 的方程．解：(1)当Q 运动到椭圆的右顶点时，PF ⊥x 轴，所以|PF |＝b 2a ＝22，又c ＝1，a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝2，b ＝1. 椭圆M 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋b ′，显然k ≠0，联立椭圆方程得：(2k 2＋1)x 2＋4kb ′x ＋2(b ′2－1)＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由根与系数的关系得：⎩⎪⎨⎪⎧x 1x 2＝2（b ′2－1）2k 2＋1>0，①x 1＋x 2＝－4kb ′2k 2＋1>0，②Δ＝8（2k 2－b ′2＋1）>0，③由PF →·QF →＝0⇒(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝0得：3b ′2－1＋4kb ′＝0，④点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2kb ′2k 2＋1，b ′2k 2＋1，所以线段PQ 的中垂线AB 方程为： y －b ′2k 2＋1＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2kb ′2k 2＋1，令y ＝0可得：A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－kb ′2k 2＋1，0；令x ＝0可得B ⎝⎛⎭⎪⎫0，－b ′2k 2＋1，则A 为BC 中点，故S △BCF S △ABO ＝2S △ABF S △ABO ＝2|AF ||AO |＝2（1－x A ）x A ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x A －1，由④式得：k ＝1－3b ′24b ′，则x A ＝－kb ′2k 2＋1＝6b ′4－2b ′29b ′4＋2b ′2＋1， S △BCF S △ABO ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x A －1＝6b ′4＋8b ′2＋26b ′4－2b ′2＝53，得b ′2＝3. 所以b ′＝3，k ＝－233或b ′＝－3，k ＝233.经检验，满足条件①②③，故直线PQ 的方程为：y ＝233x －3，y ＝－233x ＋ 3.17.(2019·绍兴市高三教学质量调测)已知点A (－2，0)，B (0，1)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上．(1)求椭圆C 的方程；(2)P 是线段AB 上的点，直线y ＝12x ＋m (m ≥0)交椭圆C 于M ，N两点．若△MNP 是斜边长为10的直角三角形，求直线MN 的方程．解：(1)因为点A (－2，0)，B (0，1)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1上，所以a ＝2，b ＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m x 24＋y 2＝1消去y ，得12x 2＋mx＋m 2－1＝0，则Δ＝2－m 2>0，x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－2， |MN |＝52|x 1－x 2|＝10－5m 2.①当MN 为斜边时， 10－5m 2＝10，解得m ＝0，满足Δ>0，此时以MN 为直径的圆方程为x 2＋y 2＝52.点A (－2，0)，B (0，1)分别在圆外和圆内，即在线段AB 上存在点P ，此时直线MN 的方程y ＝12x ，满足题意．②当MN 为直角边时，两平行直线AB 与MN 的距离 d ＝255|m －1|，所以d 2＋|MN |2＝45|m －1|2＋(10－5m 2)＝10，即21m 2＋8m －4＝0，解得m ＝27或m ＝－23(舍)，又Δ>0，所以m ＝27.过点A 作直线MN ：y ＝12x ＋27的垂线，可得垂足坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－127，－47，垂足在椭圆外，即在线段AB 上存在点P ，所以直线MN 的方程y ＝12x ＋27，符合题意．综上所述，直线MN 的方程为y ＝12x 或y ＝12x ＋27.18．(2019·杭州市高考数学二模)设抛物线Γ：y 2＝2px (p ＞0)上的点M (x 0，4)到焦点F 的距离|MF |＝54x 0.(1)求抛物线Γ的方程；(2)过点F 的直线l 与抛物线Γ相交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线l ′与抛物线Γ相交于C ，D 两点，若AC →·AD →＝0，求直线l 的方程．解：(1)因为|MF |＝x 0＋p 2＝54x 0，所以x 0＝2p .即M (2p ，4)．把M (2p ，4)代入抛物线方程得4p 2＝16，解得p ＝2. 所以抛物线Γ的方程为y 2＝4x .(2)易知直线l 的斜率存在，不妨设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4xy ＝k （x －1），消元得：k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，y 1＋y 2＝4k.设AB的中点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋2k2，2k ，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4（k 2＋1）k2. 所以直线l ′的方程为y －2k＝－1k ⎝⎛⎭⎪⎫x －k 2＋2k2，即x ＝－ky ＋2k2＋3.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4xx ＝－ky ＋2k 2＋3，消元得：y 2＋4ky －4⎝⎛⎭⎪⎫3＋2k 2＝0.设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4k ，y 3y 4＝－4⎝⎛⎭⎪⎫3＋2k 2.所以x 3＋x 4＝4k 4＋6k 2＋4k2，所以CD的中点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 4＋3k 2＋2k 2，－2k . 所以|CD |＝1＋k2（y 3＋y 4）2－4y 3y 4＝4（k 2＋1）k 2＋2|k |，|PQ |＝2（k 2＋1）k 2＋1|k |，因为AC →·AD →＝0，所以AC ⊥AD .所以|AQ |＝12|CD |. 因为AB ⊥CD ，所以|AP |2＋|PQ |2＝|AQ |2，即14|AB |2＋|PQ |2＝14|CD |2，所以16（k 2＋1）2k 4＋16（k 2＋1）3k 2＝16（k 2＋1）2（k 2＋2）k2，解得k ＝±1，所以直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.。

圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义、方程和性质知识总结

圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义、方程和性质知识总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII2椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。

定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。

说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。

②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。

2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a b y a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a b xa y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围 x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴 x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上 x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、，焦距 )0(221>=c c F F)0(221>=c c F F离心率)10(<<=e ace )10(<<=e ace33. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。

焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。

高中数学备课教案椭圆与双曲线的方程与性质

高中数学备课教案椭圆与双曲线的方程与性质高中数学备课教案：椭圆与双曲线的方程与性质椭圆与双曲线是高中数学中重要的曲线，对于学生的数学素养和应试能力都有一定的影响。

本教案将介绍椭圆与双曲线的方程与性质，帮助学生更好地理解和掌握这两种曲线。

一、椭圆的方程与性质1. 椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的集合。

2. 椭圆的方程椭圆的一般方程为：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$其中，a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。

3. 椭圆的性质- 椭圆的焦点：椭圆的焦点是定义椭圆的两个定点。

- 椭圆的顶点：椭圆的顶点是距离椭圆中心最远的点。

- 椭圆的直径：椭圆的直径是穿过椭圆中心并且两端点都在椭圆上的线段。

二、双曲线的方程与性质1. 双曲线的定义双曲线是平面上到两个定点的距离之差等于常数的点的集合。

2. 双曲线的方程双曲线的一般方程为：$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$其中，a和b分别为双曲线的长半轴和短半轴。

3. 双曲线的性质- 双曲线的焦点：双曲线的焦点是定义双曲线的两个定点。

- 双曲线的顶点：双曲线的顶点是距离双曲线中心最远的点。

- 双曲线的渐近线：双曲线有两条渐近线，与双曲线无交点，但无限延伸。

三、椭圆与双曲线的比较在椭圆和双曲线的定义、方程和性质中，我们可以看到它们的一些不同之处。

1. 定义的不同- 椭圆：到两个定点的距离之和等于常数。

- 双曲线：到两个定点的距离之差等于常数。

2. 方程的不同- 椭圆：方程形式为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$。

- 双曲线：方程形式为$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$。

3. 性质的不同- 椭圆：有两个焦点和两条对称轴。

- 双曲线：有两个焦点、两条渐近线和两条对称轴。

四、实例分析接下来，我们通过两个实例来进一步理解椭圆与双曲线的方程与性质。

双曲线和椭圆的主要性质教案

双曲线和椭圆的主要性质教案一、引言双曲线和椭圆是数学中非常重要的曲线，它们在几何学、物理学、工程学等领域具有广泛的应用。

本教案将重点介绍双曲线和椭圆的主要性质，帮助学生更好地理解和掌握这两种曲线的特点。

二、双曲线的主要性质1. 定义双曲线是平面上的一类特殊曲线，其定义有多种方式，包括点的距离差的绝对值等于常数、焦点和直角双曲线等。

2. 坐标系类型双曲线可以分为水平双曲线和垂直双曲线，这取决于其焦点和曲线的位置关系。

水平双曲线的焦点在x轴上，而垂直双曲线的焦点在y轴上。

3. 式与图像双曲线的一般方程是(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1，其中a和b分别为其中心到曲线的两个焦点的距离。

根据a和b的取值不同，双曲线可以呈现出不同的形状。

4. 渐进线双曲线还具有渐进线的性质，即曲线靠近无穷远时，会趋近于与渐进线平行。

5. 对称性双曲线具有对称性，即曲线关于x轴、y轴和原点对称。

三、椭圆的主要性质1. 定义椭圆是平面上的一类特殊曲线，其定义有多种方式，包括点的距离和的绝对值等于常数、焦点和椭圆等。

2. 坐标系类型椭圆可以分为水平椭圆和垂直椭圆，这取决于其焦点和曲线的位置关系。

水平椭圆的焦点在x轴上，而垂直椭圆的焦点在y轴上。

3. 式与图像椭圆的一般方程是(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1，其中a和b分别为其中心到曲线的两个焦点的距离。

根据a和b的取值不同，椭圆可以呈现出不同的形状。

4. 渐进线椭圆没有渐进线，曲线靠近无穷远时，不会趋近于与任何直线平行。

5. 对称性椭圆具有对称性，即曲线关于x轴、y轴和原点对称。

四、双曲线和椭圆的应用案例1. 双曲线在物理学中的应用双曲线常常出现在物理学中的力学和电磁学等领域。

例如，在引力场中，粒子运动轨迹常常是双曲线。

2. 椭圆在几何学中的应用椭圆在几何学中有广泛的应用。

例如，在椭圆曲线密码学中，椭圆被用于加密和解密信息，保护数据的安全性。

3. 双曲线和椭圆在工程学中的应用双曲线和椭圆在工程学中也有重要的应用，如天线的设计、电子设备的焦点控制等。

高中数学椭圆及双曲线教案

高中数学椭圆及双曲线教案
教学主题：椭圆及双曲线
教学目标：
1. 了解椭圆及双曲线的基本概念；
2. 掌握椭圆及双曲线的标准方程；
3. 能够画出椭圆及双曲线的图形。

教学内容：
1. 椭圆的定义及性质；
2. 双曲线的定义及性质；
3. 椭圆及双曲线的标准方程；
4. 椭圆及双曲线的图形。

教学步骤：
一、导入
教师通过引入一个生活中的问题或例子，引起学生对椭圆及双曲线的兴趣和好奇心。

二、概念讲解
1. 椭圆的定义及性质：教师讲解椭圆的定义，以及椭圆的性质，如焦点、长轴、短轴等。

2. 双曲线的定义及性质：教师讲解双曲线的定义，以及双曲线的性质，如渐近线、焦点等。

三、标准方程
1. 椭圆的标准方程：教师给出椭圆的标准方程，讲解如何根据方程确定椭圆的形状和位置。

2. 双曲线的标准方程：教师给出双曲线的标准方程，讲解如何根据方程确定双曲线的形状
和位置。

四、练习与讨论
1. 学生进行练习，如求解椭圆及双曲线的焦点、长轴、短轴等问题。

2. 学生讨论解题过程和方法，互相交流思路和经验。

五、实例分析
1. 教师给出一个实际的例子，让学生应用所学知识解决问题。

2. 学生分析实例，讨论解题思路和方法。

六、课堂总结
教师对本节课内容进行总结，并强调重要知识点。

七、作业布置
教师布置相关作业，巩固学生所学知识。

参考教材：《高中数学教材》
教学评价：通过学生的课堂表现、作业完成情况和考试成绩等方面进行评价，及时调整教学方法，提高教学效果。

椭圆和双曲线教案

椭圆和双曲线教案教案：椭圆和双曲线一、引言椭圆和双曲线是数学中的两个重要概念，在几何、物理和工程学等领域广泛应用。

本教案将介绍椭圆和双曲线的定义、性质和应用，以帮助学生深入理解和掌握这两种曲线的特点和相关知识。

二、椭圆的定义和性质1. 定义：椭圆是一个到两个定点F1、F2的距离之比的轨迹，这个比值小于1，并且在椭圆上的每一点到F1、F2的距离之和是一个常数。

2. 重要特点：a. 焦点和准线：椭圆的焦点是定点F1和F2，准线是通过两个焦点的直线。

b. 长轴和短轴：椭圆的长轴是椭圆上距离最远的两个点之间的距离，短轴是椭圆上距离最近的两个点之间的距离。

c. 离心率：椭圆的离心率定义为焦点间距离除以长轴长，越接近于1，离心率越大。

d. 曲线方程：椭圆的标准方程是(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1，其中a是椭圆长轴的一半，b是椭圆短轴的一半。

3. 应用：椭圆广泛应用于卫星轨道、行星运动、天体力学等领域，同时也在工程制图、艺术设计等方面久负盛名。

三、双曲线的定义和性质1. 定义：双曲线是一个到两个定点F1、F2的距离之差的轨迹，这个差值大于1，并且在双曲线上的每一点到F1、F2的距离之差是一个常数。

2. 重要特点：a. 焦点和准线：双曲线的焦点是定点F1和F2，准线是通过两个焦点的直线。

b. 长轴和短轴：双曲线的长轴是双曲线上距离最远的两个点之间的距离，短轴是双曲线上距离最近的两个点之间的距离。

c. 离心率：双曲线的离心率定义为焦点间距离除以长轴长，离心率大于1。

d. 曲线方程：双曲线的标准方程是(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1，其中a是双曲线长轴的一半，b是双曲线短轴的一半。

3. 应用：双曲线在物理学中常被用于描述光的传播、天体力学中的质点运动等现象。

四、椭圆和双曲线的比较1. 轨迹形状：椭圆是闭合曲线，而双曲线则是开放曲线。

2. 焦点和准线：椭圆和双曲线都有两个焦点和一条准线。

第2讲椭圆、双曲线、抛物线(教案)

第2讲椭圆、双曲线、抛物线1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率)． 2．以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等)．热点一圆锥曲线的定义与标准方程 1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)． (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)．(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M . 2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．例1 (1)(2017·湛江模拟)已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的一个焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，则a 等于( ) A ．1 B ．2 C.13 D.19 答案 A解析抛物线y 2＝8x 的焦点为F ()2，0，在双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)中， c ＝2，c 2＝4，b 2＝3，所以a 2＝c 2－b 2＝4－3＝1, 所以a ＝1，故选A.(2)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线方程为( ) A ．y 2＝9x B ．y 2＝6x C ．y 2＝3x D ．y 2＝3x 答案 C解析如图分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设||BF ＝a ，则由已知得||BC ＝2a ，由抛物线定义，得||BD ＝a ，故∠BCD ＝30°，在Rt △ACE 中， ∵||AE ＝|AF |＝3，||AC ＝3＋3a ，∴2||AE ＝||AC ，即3＋3a ＝6，从而得a ＝1，||FC ＝3a ＝3.∴p ＝||FG ＝12||FC ＝32，因此抛物线方程为y 2＝3x ，故选C.思维升华 (1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意当焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．跟踪演练1 (1)(2017届沈阳市东北育才学校模拟)已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1的焦点相同，且它们的离心率的乘积等于85，则此双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.y 24－x 212＝1 C.x 212－y 24＝1 D.y 212－x 24＝1 答案 B解析由题意得c ＝4，4a ×45＝85⇒a ＝2，∴b 2＝12.又双曲线的焦点在y 轴上，∴双曲线的方程为y 24－x 212＝1，故选B.(2)△ABC 的两个顶点为A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长为18，则C 点轨迹方程为( ) A.x 216＋y 29＝1(y ≠0) B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.y 216＋x 29＝1(y ≠0) D.x 225＋y 29＝1(y ≠0) 答案 D解析 ∵△ABC 的两顶点A (－4,0)，B (4,0)，周长为18，∴|AB |＝8，|BC |＋|AC |＝10.∵10>8，∴点C 到两个定点的距离之和等于定值，满足椭圆的定义，∴点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆．∴2a ＝10,2c ＝8，即a ＝5，c ＝4，∴b ＝3.∴C 点的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．故选D.热点二圆锥曲线的几何性质1．椭圆、双曲线中a ，b ，c 之间的关系(1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝ca ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2. (2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝ca＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2.2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．例2 (1)(2017·全国Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则椭圆C 的离心率为( ) A.63 B.33 C.23 D.13答案 A解析由题意知，以A 1A 2为直径的圆的圆心坐标为(0,0)，半径为a .又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切，所以圆心到直线的距离d ＝2ab a 2＋b2＝a ，解得a ＝3b ，所以b a ＝13 .所以e ＝c a ＝a 2－b 2a＝ 1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝1－⎝⎛⎭⎫132＝63. 故选A.(2)(2017届百校大联考全国名校联盟联考)过双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点A 作斜率为－1的直线，该直线与E 的渐近线交于B ，C 两点，若BC →＋2BA →＝0，则双曲线E 的渐近线方程为 ( ) A ．y ＝±3x B ．y ＝±4x C ．y ＝±2x D ．y ＝±2x 答案 D解析直线l ：y ＝－x ＋a 与渐近线l 1：bx －ay ＝0交于点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a ＋b ，ab a ＋b ，直线l ：y ＝－x ＋a 与渐近线l 2：bx ＋ay ＝0交于点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a －b ，－ab a －b ，A ()a ，0.因为BC →＋2BA →＝0，所以AC →＝3AB →，所以a 2a －b－a ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a ＋b －a ，所以b ＝2a .所以双曲线E 的渐近线方程为y ＝±2x ，故选D.思维升华 (1)明确圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．跟踪演练2 (1)(2017届株洲一模)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1为左焦点，A 为右顶点， B 1，B 2分别为上、下顶点，若F 1，A ，B 1，B 2四点在同一个圆上，则此椭圆的离心率为( ) A.3－12B.5－12C.22 D.32答案 B解析由题设圆的半径r ＝a ＋c 2，则b 2＋⎝⎛⎪⎫a －a ＋c 22＝⎝ ⎛⎪⎫a ＋c 22，即a 2－c 2＝ac ⇒e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1＋52，故选B. (2)已知双曲线C: x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0, b >0)的焦距为2c ，直线l 过点⎝⎛⎭⎫23a ，0且与双曲线C 的一条渐近线垂直，以双曲线C 的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线l 交于M, N 两点，若||MN ＝423c ，则双曲线C 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±2xD ．y ＝±4x 答案 B解析由题意可设渐近线方程为y ＝b a x ，则直线l 的斜率k l ＝－a b ，直线方程为y ＝－ab ⎝⎛⎭⎫x －23a ，整理可得ax ＋by －23a 2＝0.焦点()c ，0到直线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪ac －23a 2a 2＋b2＝⎪⎪⎪⎪ac －23a 2c，则弦长为2c 2－d 2＝2c 2－⎝⎛⎭⎫ac －23a 22c 2＝423c ，整理可得c 4－9a 2c 2＋12a 3c －4a 4＝0，即e 4－9e 2＋12e －4＝0，分解因式得()e －1()e －2()e 2＋3e －2＝0.又双曲线的离心率e >1，则e ＝ca ＝2，所以b a＝c 2－a 2a 2＝ ⎝⎛⎭⎫c a 2－1＝3，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3x . 故选B.热点三直线与圆锥曲线判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x ，y 的方程组，消去y (或x )得一元二次方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．(2)几何法：画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．例3 如图，已知P ⎝⎛⎭⎫62，1为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的点，且a 2＋b 2＝5.过点P 的动直线与圆F ：x 2＋y 2＝a 2＋1相交于A ，B 两点，过点P 作直线AB 的垂线与椭圆E 相交于点Q . (1)求椭圆E 的离心率； (2)若|AB |＝23，求|PQ |.解 (1)依题意知，64a 2＋1b 2＝1，a 2＋b 2＝5，a >b >0，解得a 2＝3，b 2＝2，所以椭圆E 的离心率e ＝a 2－b 2a 2＝ 3－23＝33. (2)依题意知圆F 的圆心为原点，半径r ＝2，||AB ＝23，所以原点到直线AB 的距离为 d ＝r 2－⎝⎛⎭⎫|AB |22＝22－⎝⎛⎭⎫2322＝1，因为点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫62，1，所以直线AB 的斜率存在，设为k .所以直线AB 的方程为y －1＝k ⎝⎛⎭⎫x －62，即kx －y －62k ＋1＝0，所以d ＝⎪⎪⎪⎪1－62k 1＋k2＝1，解得k ＝0或k ＝2 6.①当k ＝0时，此时直线PQ 的方程为x ＝62，所以||PQ 的值为点P 的纵坐标的两倍，即||PQ ＝2×1＝2；②当k ＝26时，直线PQ 的方程为 y －1＝－126⎝⎛⎭⎫x －62，将它代入椭圆E 的方程x 23＋y 22＝1，消去y 并整理，得34x 2－106x －21＝0，设Q 点坐标为()x 1，y 1，所以62＋x 1＝10634，解得x 1＝－7634，所以||PQ ＝1＋⎝⎛⎭⎫－1262⎪⎪⎪⎪x 1－62＝3017. 思维升华解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．跟踪演练3 (2017届百校大联考全国名校联盟联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P ⎝⎛⎭⎫－1，233在椭圆C 上， ||PF 2＝433，过点F 1的直线l 与椭圆C 分别交于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)若△OMN 的面积为1211，O 为坐标原点，求直线l 的方程．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，1a 2＋43b2＝1，()－1－c 2＋43＝4 33，解得a ＝3，b ＝2，c ＝1，故所求椭圆的方程为x 23＋y 22＝1，离心率为e ＝c a ＝33.(2)当直线MN 与x 轴垂直时， ||MN ＝433，此时S △MON ＝233不符合题意，舍去；当直线MN 与x 轴不垂直时，设直线MN 的方程为y ＝k ()x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 22＝1，y ＝k ()x ＋1，消去y 得()2＋3k 2x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.设M ()x 1，y 1，N ()x 2，y 2，则x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2，所以||MN ＝()1＋k 2[]()x 1＋x 22－4x 1x 2＝()1＋k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k 22＋3k 22－4×3k 2－62＋3k 2＝48()k 2＋12()2＋3k 22＝43()k 2＋12＋3k 2，原点O 到直线MN 的距离为d ＝||k 1＋k2，所以三角形的面积S △OMN ＝12||MN d＝12×||k 1＋k2×43()k 2＋12＋3k 2，由S △OMN ＝1211，得k 2＝3，故k ＝±3，所以直线l 的方程为y ＝3()x ＋1或y ＝－3()x ＋1.真题体验1．(2017·全国Ⅱ改编)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则双曲线C 的离心率为________．答案 2解析设双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ，圆的圆心为(2,0)，半径为2，由弦长为2，得圆心到渐近线的距离为22－12＝ 3.由点到直线的距离公式，得|2b |a 2＋b2＝3，解得b 2＝3a 2.所以双曲线C 的离心率e ＝ca＝c 2a 2＝1＋b 2a2＝2. 2．(2017·全国Ⅱ改编)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为________．答案 2 3解析抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由直线方程的点斜式可得直线MF 的方程为y ＝3(x －1)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －1)，y 2＝4x ，解得⎩⎨⎧x ＝13，y ＝－233或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2 3.∵点M 在x 轴的上方，∴M (3,23)． ∵MN ⊥l ，∴N (－1,23)． ∴|NF |＝(1＋1)2＋(0－23)2＝4，|MF |＝|MN |＝3－(－1)＝4.∴△MNF 是边长为4的等边三角形． ∴点M 到直线NF 的距离为2 3.3．(2017·全国Ⅲ)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.答案 5解析 ∵双曲线的标准方程为x 2a2－y 29＝1(a ＞0)，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3ax .又双曲线的一条渐近线方程为y ＝35x ，∴a ＝5.4．(2017·山东)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点，若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________．答案 y ＝±22x解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，∴y 1＋y 2＝2pb 2a 2.又∵|AF |＋|BF |＝4|OF |，∴y 1＋p 2＋y 2＋p 2＝4×p2，即y 1＋y 2＝p ，∴2pb 2a 2＝p ，即b 2a 2＝12，∴b a ＝22，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .押题预测1．(2017届江西师范大学附属中学模拟)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ，交另一条渐近线于点B ，且AF 2→＝13F 2B →，则该双曲线的离心率为( )A.62 B.52C. 3 D ．2押题依据圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的灵魂，其中离心率、渐近线是高考命题的热点．答案 A解析由F 2()c ，0到渐近线y ＝bax 的距离为d ＝bc a 2＋b2＝b ，即||AF 2→＝b ，则||BF 2→＝3b . 在△AF 2O 中， ||OA →||＝a ，OF 2→＝c ，tan ∠F 2OA ＝b a ， tan ∠AOB ＝4b a ＝2×ba 1－⎝⎛⎭⎫b a 2，化简可得a 2＝2b 2，即c 2＝a 2＋b 2＝32a 2，即e ＝c a ＝62，故选A.2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且点⎝⎛⎭⎫1，32在该椭圆上． (1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的左焦点F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AOB 的面积为627，求圆心在原点O且与直线l 相切的圆的方程．押题依据椭圆及其性质是历年高考的重点，直线与椭圆的位置关系中的弦长、中点等知识应给予充分关注．解 (1)由题意可得e ＝c a ＝12，又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝34a 2.因为椭圆C 经过点⎝⎛⎭⎫1，32，所以1a 2＋9434a 2＝1，解得a ＝2，所以b 2＝3，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知F 1(－1,0)，设直线l 的方程为x ＝ty －1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty －1，x 24＋y 23＝1消去x ，得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0，显然Δ>0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t 2，所以|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝36t 2(4＋3t 2)2＋364＋3t 2＝12t 2＋14＋3t 2，所以S △AOB ＝12·|F 1O |·|y 1－y 2|＝6t 2＋14＋3t 2＝627，化简得18t 4－t 2－17＝0，即(18t 2＋17)(t 2－1)＝0，解得t 21＝1，t 22＝－1718(舍去)．又圆O 的半径r ＝|0－t ×0＋1|1＋t 2＝11＋t2，所以r ＝22，故圆O 的方程为x 2＋y 2＝12.A 组专题通关1．(2017·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1 答案 D解析根据题意画出草图如图所示⎝⎛⎭⎫不妨设点A 在渐近线y ＝b a x 上.由△AOF 是边长为2的等边三角形，得∠AOF ＝60°，c ＝|OF |＝2. 又点A 在双曲线的渐近线y ＝b a x 上，∴ba ＝tan 60°＝ 3.又a 2＋b 2＝4，∴a ＝1，b ＝3， ∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1.故选D.2．(2017届汕头模拟)若椭圆x 236＋y 216＝1上一点P 与椭圆的两个焦点F 1，F 2的连线互相垂直，则△PF 1F 2的面积为( ) A ．36 B ．16 C ．20 D ．24 答案 B解析设||PF 1||＝m ，PF 2＝n ，则m 2＋n 2＝4()36－16＝80，即()m ＋n 2－2mn ＝80.又m ＋n ＝2×6＝12，∴mn ＝32，S △PF 1F 2＝12mn ＝16，故选B.3. (2017届常德一模)已知抛物线C: y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，弦AB 的中点M 到抛物线C 的准线的距离为5，则直线l 的斜率为( ) A ．±22B ．±1C ．±63D ．±62答案 C解析由题意知直线l 的斜率存在且不为零，设直线l 的方程为y ＝k ()x －1，点A ()x 1，y 1，B ()x 2，y 2，线段AB 的中点为M ()x 0，y 0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ()x －1，y 2＝4x ，得k 2x 2－()2k 2＋4x ＋k 2＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.又因为弦AB 的中点M 到抛物线C 的准线的距离为5，所以x 1＋x 22＋p 2＝x 1＋x 22＋1＝5，所以x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝8，解得k 2＝23，所以k ＝±63，故选C.4.(2017·河南省豫北重点中学联考)如图， F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，若||AB ∶|BF 1|∶|AF 1|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为( ) A.13 B ．3 C. 5 D ．2 答案 A解析设||AB ＝3x ，||BF 1||＝4x ，AF 1＝5x ，所以△ABF 1是直角三角形．因为||BF 2||－BF 1＝2a ，所以||BF 2||＝BF 1＋2a ＝4x ＋2a, ||AF 2＝x ＋2a .又||AF 1||－AF 2＝2a ，即5x －x －2a ＝2a ，解得x ＝a ，又||BF 22＋||BF 12＝4c 2，即()4x ＋2a 2＋()4x 2＝4c 2，即()4a ＋2a 2＋()4a 2＝4c 2，解得c 2a2＝13，即e ＝13，故选A.5．(2017·全国Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.答案 6解析如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ， ∴PM ∥OF . 由题意知，F (2,0)， |FO |＝|AO |＝2.∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ， ∴|MP |＝12|FO |＝1.又|BP |＝|AO |＝2， ∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3，故|FN |＝2|MF |＝6.6．(2017届浙江省嘉兴市第一中学适应性考试)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点到渐近线的距离等于焦距的34倍，则双曲线的离心率为________，如果双曲线上存在一点P 到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，则双曲线的虚轴长为________．答案 2 4 3解析由右焦点到渐近线的距离等于焦距的34倍可知，双曲线的渐近线y ＝b a x 的倾斜角为π3，即ba＝3，所以e ＝c a＝1＋3＝2.因为a ＝2，从而b ＝3a ＝23，所以虚轴长为4 3.7．(2017·泉州质检)椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a >1)的离心率为32， F 1，F 2是C 的两个焦点，过F 1的直线l 与C交于A ，B 两点，则||AF 2||＋BF 2的最大值为______．答案 7解析因为离心率为32，所以a 2－1a ＝32⇒a ＝2，由椭圆定义得||AF 2＋||BF 2＋||AB ＝4a ＝8，即||AF 2＋||BF 2＝8－||AB .而由焦点弦性质知，当AB ⊥x 轴时，||AB 取最小值2×b 2a＝1，因此||AF 2||＋BF 2的最大值为8－1＝7.8．一动圆与圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，则动圆圆心的轨迹方程为________________．答案 x 225＋y 216＝1解析两定圆的圆心和半径分别是O 1(－3,0)，r 1＝1； O 2(3,0)，r 2＝9.设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ，则由题设条件，可得|MO 1|＝R ＋1，|O 2M |＝9－R . ∴|MO 1|＋|MO 2|＝10>|O 1O 2|＝6.由椭圆的定义知，点M 在以O 1，O 2为焦点的椭圆上，且2a ＝10,2c ＝6，∴b 2＝16. ∴动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.9．(2017届唐山模拟)已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点M ⎝⎛⎭⎫3，12，且离心率为32. (1)求椭圆Γ的方程；(2)设点M 在x 轴上的射影为点N ，过点N 的直线l 与椭圆Γ相交于A, B 两点，且NB →＋3NA →＝0，求直线l 的方程．解 (1)由已知可得3a 2＋14b 2＝1,a 2－b 2a ＝32，解得a ＝2, b ＝1，所以椭圆Γ的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由已知N 的坐标为()3，0，当直线l 斜率为0时，直线l 为x 轴，易知NB →＋3NA →＝0不成立．当直线l 斜率不为0时，设直线l 的方程为x ＝my ＋3，代入x 24＋y 2＝1，整理得()4＋m 2y 2＋23my －1＝0，设A ()x 1，y 1， B ()x 2，y 2，则 y 1＋y 2＝－23m4＋m 2，①y 1y 2＝－14＋m 2， ②由NB →＋3NA →＝0，得y 2＝－3y 1， ③由①②③解得m ＝±22.所以直线l 的方程为x ＝±22y ＋3，即y ＝±2()x －3.10.如图所示，抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，动点T (－1，m )，过F 作TF 的垂线交抛物线于P ，Q 两点，弦PQ 的中点为N . (1)证明：线段NT 平行于x 轴(或在x 轴上)； (2)若m ＞0且|NF |＝|TF |，求m 的值及点N 的坐标．(1)证明易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1，动点T (－1，m )在准线上，则k TF ＝－m2.当m ＝0时，T 为抛物线准线与x 轴的交点，这时PQ 为抛物线的通径，点N 与焦点F 重合，显然线段NT 在x 轴上．当m ≠0时，由条件知k PQ ＝2m ，所以直线PQ 的方程为y ＝2m(x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝2m (x －1)，得x 2－(2＋m 2)x ＋1＝0，Δ＝[－(2＋m 2)]2－4＝m 2(4＋m 2)＞0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，可知x 1＋x 2＝2＋m 2，y 1＋y 2＝2m(x 1＋x 2－2)＝2m .所以弦PQ 的中点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋m 22，m ，又T (－1，m )，所以k NT ＝0，则NT 平行于x 轴．综上可知，线段NT 平行于x 轴(或在x 轴上)．(2)解已知|NF |＝|TF |，在△TFN 中，tan ∠NTF ＝|NF ||TF |＝1⇒∠NTF ＝45°，设A 是准线与x 轴的交点，则△TF A 是等腰直角三角形，所以|TA |＝|AF |＝2，又动点T (－1，m )，其中m ＞0，则m ＝2. 因为∠NTF ＝45°，所以k PQ ＝tan 45°＝1，又焦点F (1,0)，可得直线PQ 的方程为y ＝x －1. 由m ＝2，得T (－1,2)，由(1)知线段NT 平行于x 轴，设N (x 0，y 0)，则y 0＝2，代入y ＝x －1，得x 0＝3，所以N (3,2)．B 组能力提高11.(2017·长沙市长郡中学模拟)2000多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯(Apollonius)发现：平面截圆锥的截口曲线是圆锥曲线．已知圆锥的高为PH, AB 为地面直径，顶角为2θ，那么不过顶点P 的平面与PH 夹角π2>a >θ时，截口曲线为椭圆；与PH 夹角a ＝θ时，截口曲线为抛物线；与PH 夹角θ>a >0时，截口曲线为双曲线．如图，底面内的直线AM ⊥AB ，过AM 的平面截圆锥得到的曲线为椭圆，其中与PB 的交点为C ，可知AC 为长轴．那么当C 在线段PB 上运动时，截口曲线的短轴端点的轨迹为( ) A ．圆的部分B ．椭圆的部分C ．双曲线的部分D ．抛物线的部分答案 D解析如图，因为对于给定的椭圆来说，短轴的端点Q 到焦点F 的距离等于半长轴a ，但短轴的端点Q 到直线AM 的距离也是a ，即说明短轴的端点Q 到定点F 的距离等于到定直线AM 的距离，所以由抛物线的定义可知，短轴的端点的轨迹是抛物线的一部分，故选D.12．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为F ()1，0，离心率为22，过点F 的动直线交M 于A, B 两点，若x 轴上的点P ()t ，0使得∠APO ＝∠BPO 总成立(O 为坐标原点)，则t 等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－ 2 D. 2 答案 B解析在椭圆中c ＝1, e ＝c a ＝22，得a ＝2，b ＝1，故椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.设A ()x 1，y 1， B ()x 2，y 2，由题意可知，当直线斜率不存在时， t 可以为任意实数；当直线斜率存在时，可设直线方程为y ＝k ()x －1，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ()x －1，x 22＋y 2＝1，得()1＋2k 2x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，∴x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2， x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2，使得∠APO ＝∠BPO 总成立，即使得PF 为∠APB 的角平分线，即直线P A 和PB 的斜率之和为0，即y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0，①由y 1＝k (x 1－1), y 2＝k ()x 2－1，代入①整理得2x 1x 2－()t ＋1()x 1＋x 2＋2t ＝0，由根与系数的关系，可得4k 2－41＋2k 2－()t ＋14k 21＋2k 2＋2t ＝0，化简可得t ＝2，故选B.13．(2017·武汉调研)已知直线MN 过椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点F ，与椭圆交于M ，N 两点，直线PQ 过原点O 与MN 平行，且与椭圆交于P ，Q 两点，则|PQ |2||MN ＝________.答案 2 2解析方法一特殊化，设MN ⊥x 轴，则||MN ＝2b 2a ＝22＝2，||PQ 2＝4, ||PQ 2||MN ＝42＝2 2.方法二由题意知F (－1,0)，当直线MN 的斜率不存在时，|MN |＝2b 2a ＝2，|PQ |＝2b ＝2，则|PQ |2|MN |＝22；当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的斜率为k ，则MN 方程为y ＝k (x ＋1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 22＋y 2＝1，整理得(2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0. 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1，则|MN |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22(k 2＋1)2k 2＋1.直线PQ 的方程为y ＝kx ，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 22＋y 2＝1，解得x 2＝21＋2k 2，y 2＝2k 21＋2k 2，则|OP |2＝x 2＋y 2＝2(1＋k 2)1＋2k 2，又|PQ |＝2|OP |，所以|PQ |2＝4|OP |2＝8(1＋k 2)1＋2k 2，∴|PQ |2|MN |＝2 2.14．(2017·天津)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c,0)，右顶点为A ，点E 的坐标为(0，c )，△EF A的面积为b 22.(1)求椭圆的离心率；(2)设点Q 在线段AE 上，|FQ |＝3c2，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM ∥QN ，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c . ①求直线FP 的斜率； ②求椭圆的方程．解 (1)设椭圆的离心率为e . 由已知可得12(c ＋a )c ＝b 22.又由b 2＝a 2－c 2，可得2c 2＋ac －a 2＝0，即2e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1或e ＝12.又因为0<e <1，所以e ＝12.所以椭圆的离心率为12.(2)①依题意，设直线FP 的方程为x ＝my －c (m >0)，则直线FP 的斜率为1m .由(1)知a ＝2c ，可得直线AE 的方程为x 2c ＋yc ＝1，即x ＋2y －2c ＝0.与直线FP 的方程联立，可得x ＝(2m －2)c m ＋2，y ＝3cm ＋2，即点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫(2m －2)c m ＋2，3c m ＋2.由已知|FQ |＝3c2，有⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2m －2)c m ＋2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c m ＋22＝⎝⎛⎭⎫3c 22，整理得3m 2－4m ＝0，所以m ＝43(m ＝0舍去)，即直线FP 的斜率为34.②由a ＝2c ，可得b ＝3c ，故椭圆方程可以表示为x 24c 2＋y 23c2＝1.由①得直线FP 的方程为3x －4y ＋3c ＝0，与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋3c ＝0，x 24c 2＋y 23c 2＝1，消去y ，整理得7x 2＋6cx －13c 2＝0，解得x ＝－13c7(舍去)或x ＝c .因此可得点P ⎝⎛⎭⎫c ，3c 2，进而可得|FP |＝(c ＋c )2＋⎝⎛⎭⎫3c 22＝5c2，所以|PQ |＝|FP |－|FQ |＝5c 2－3c2＝c .由已知，线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离，故直线PM 和QN 都垂直于直线FP . 因为QN ⊥FP ，所以|QN |＝|FQ |·tan ∠QFN ＝3c 2×34＝9c8，所以△FQN 的面积为12|FQ ||QN |＝27c 232.同理△FPM 的面积等于75c 232.由四边形PQNM 的面积为3c ，得75c 232－27c 232＝3c ，整理得c 2＝2c .又由c >0，得c ＝2.2 16＋y212＝1.所以椭圆的方程为x。

高三数学专题复习 1.6.2椭圆、双曲线与抛物线教案(第2课时)-人教版高三全册数学教案

考向三考查求曲线方程利用直接法、代入(相关点)法、定义法或待定系数法求曲线的轨迹方程是高考的常见题型，通常作为考题的第(1)问，试题较易．【例3】在平面直角坐标系xOy 中，点P (a ，b )(a >b >0)为动点，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点．已知△F 1PF 2为等腰三角形． (1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线PF 2上的点，满足A M →·B M →＝－2，求点M 的轨迹方程．[思路点拨] (1)在△F 1PF 2中，可知|PF 2|＝|F 1F 2|，从而得关于a ，c 的方程，求离心率e .(2)设动点M (x ，y )，进而表示向量AM →，BM →，依条件AM →·BM →＝－2，求得轨迹方程．解 (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)．由题意，可得|PF 2|＝|F 1F 2|，即a －c2＋b 2＝2c .整理得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a2＋c a－1＝0，得c a ＝－1(舍去)或c a ＝12，所以e ＝12. (2)由(1)知，a ＝2c ，b ＝3c ， ∴椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线AF 2的方程为y ＝3(x －c )，A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3x －c .消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0，解得x 1＝0，x 2＝85c ，∴方程组的解⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，335c ，B ()0，－3c .设点M 的坐标为(x ，y )，则A M →＝⎝⎛⎭⎪⎫x －85c ，y －335c ，B M →＝(x ，y ＋3c )．由y ＝3(x －c )，得c ＝x －33y . 于是A M →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8315y －35x ，85y －335x ，B M →＝(x ，3x )，由A M →·B M →＝－2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫8315y －35x ·x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫85y －335x ·3x ＝－2，化简得18x 2－163xy －15＝0.将y ＝18x 2－15163x 代入c ＝x －33y ，得c ＝10x 2＋516x >0，所以x >0.因此，点M 的轨迹方程是18x 2－163xy －15＝0(x >0)．[探究提升] (1)求轨迹方程时，先看轨迹的形状能否预知，若能预先知道轨迹为何种圆锥曲线，则可考虑用定义法求解或用待定系数法求解；否则利用直接法或代入法． (2)讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应，要注意字母的取值范围．【变式训练3】 (2013·辽宁高考)如图，抛物线C 1：x 2＝4y ，C 2：x 2＝－2py (p ＞0)．点M (x 0，y 0)在抛物线C 2上，过M 作C 1的切线，切点为A ，B (M 为原点O 时，A ，B 重合于O )．当x 0＝1－2时，切线MA 的斜率为－12.(1)求p 的值；(2)当M 在C 2上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重合于O 时，中点为O )．解 (1)因为抛物线C 1：x 2＝4y 上任意一点(x ，y )的切线斜率为y ′＝x2，且切线AM 的斜率为－12. ∴切点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，14，切线AM ：y ＝－12(x ＋1)＋14. 因为点M (1－2，y 0)在切线MA 及抛物线C 2上，于是y 0＝－12(2－2)＋14＝－3－224， y 0＝－1－222p ＝－3－222p.由①②得p ＝2.(2)设N (x ，y )，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 214，B (x 2，x 224)，x 1≠x 2，由N 为线段AB 中点知 x ＝x 1＋x 22，y ＝x 21＋x 228.切线MA 、MB 的方程为y ＝x 12(x －x 1)＋x 214.y ＝x 22(x －x 2)＋x 224.由⑤⑥得MA ，MB 的交点M (x 0，y 0)的坐标为x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 1x 24.因为点M (x 0，y 0)在C 2上，即x 20＝－4y 0，。

人教版高中数学全套教案导学案专题五第2讲椭圆双曲线抛物线

第2讲椭圆双曲线抛物线自主学习导引真题感悟1．(2012·江西)椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1、F 2，若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为A.14B.55C.12D.5－2解析利用等比中项性质确定a ，c 的关系．由题意知|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ，且三者成等比数列，则|F 1F 2|2＝|AF 1|·|F 1B |，即4c 2＝a 2－c 2，a 2＝5c 2，所以e 2＝15，所以e ＝55.答案 B2．(2012·山东)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为A ．x 2＝833y B ．x 2＝1633y C ．x 2＝8yD ．x 2＝16y解析根据离心率的大小和距离列出方程或方程组求解． ∵双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2， ∴ca ＝a 2＋b 2a ＝2，∴b ＝3a ， ∴双曲线的渐近线方程为3x ±y ＝0，∴抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2到双曲线的渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪3×0±p 22＝2，∴p ＝8.∴所求的抛物线方程为x 2＝16y . 答案 D考题分析椭圆、双曲线、抛物线的定义、性质、方程一直是每年高考必要内容．近几年命题更加注意知识的融合创新，涉及导数、函数、不等式、数列、向量等知识，同时注意思想方法的运用．络构建高频考点突破考点一：圆锥曲线的定义及应用【例1】(2012·潍坊二模)已知双曲线C ：x 24－y 25＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为C 的右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则PF 1→·PF 2→等于A ．24B ．48C ．50D ．56[审题导引] 据已知条件和双曲线的定义可以求出|PF 1|与|PF 2|的长，在△PF 1F 2中利用余弦定理可求两向量夹角的余弦值，即得PF 1→·PF 2→.[规范解答] 如图所示，|PF 2|＝|F 1F 2|＝6，由双曲线定义可得，|PF 1|＝10. 在△PF 1F 2中，由余弦定理可得，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝102＋62－622×10×6＝56.∴PF 1→·PF 2→＝|PF 1→||PF 2→|cos ∠F 1PF 2＝10×6×56＝50. [答案] C 【规律总结】焦点三角形问题的求解技巧(1)所谓焦点三角形，就是以椭圆或双曲线的焦点为顶点，另一个顶点在椭圆或双曲线上的三角形．(2)解决此类问题要注意应用三个方面的知识： ①椭圆或双曲线的定义； ②勾股定理或余弦定理；③基本不等式与三角形的面积公式．【变式训练】1．已知双曲线x 2m －y 27＝1，直线l 过其左焦点F 1，交双曲线左支于A 、B 两点，且|AB |＝4，F 2为双曲线的右焦点，△ABF 2的周长为20，则m 的值为A ．8B ．9C ．16D ．20解析由双曲线的定义可知，|AF 2|－|AF 1|＝2m ， |BF 2|－|BF 1|＝2m ，所以(|AF 2|＋|BF 2|)－(|AF 1|＋|BF 1|)＝4m ， |AF 2|＋|BF 2|－|AB |＝4m ， |AF 2|＋|BF 2|＝4＋4m . 又|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝20，即4＋4m ＋4＝20. 所以m ＝9. 答案 B2．(2012·四川)椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A 、B ，当△F AB 的周长最大时，△F AB 的面积是________．解析根据椭圆的定义结合其几何性质求解．直线x ＝m 过右焦点(1,0)时，△F AB 的周长最大，由椭圆定义知，其周长为4a ＝8，此时，|AB |＝2×b 2a ＝2×32＝3，∴S △F AB ＝12×2×3＝3. 答案 3考点二：圆锥曲线的性质【例2】(2012·咸阳二模)已知椭圆C 1：x 2m ＋2＋y 2n ＝1与双曲线C 2：x 2m －y 2n ＝1共焦点，则椭圆C 1的离心率e 的取值范围为A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22C ．(0,1)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 [审题导引] 根据椭圆与双曲线的方程确定其焦点位置，进而求出m 、n 的范围，可求离心率e 的取值范围．[规范解答] 由双曲线的方程知，椭圆与双曲线的焦点在x 轴，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2－n ＝m ＋nm ＋2＞0m ＞0n ＞0m ＋2＞n，∴⎩⎨⎧n ＝1m ＞0.设椭圆C 1的离心率为e ，∴e 2＝1－n m ＋2＝1－1m ＋2. ∵m ＞0，∴e 2＞12，e ＞22，即离心率的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.[答案] A【规律总结】离心率的求法双曲线与椭圆的离心率就是ca 的值，有些试题中可以直接求出a 、c 的值再求离心率，在有些试题中不能直接求出a 、c 的值，由于离心率是个比值，因此只要能够找到一个关于a 、c 或a 、b 的方程，通过这个方程解出c a 或ba ，利用公式e ＝ca 求出，对双曲线来说，e ＝1＋b 2a 2，对椭圆来说，e ＝1－b 2a 2.【变式训练】3．(2012·日照模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为A ．y ＝±32xB ．y ＝±32xC ．y ＝±33xD ．y ＝±3x解析抛物线y 2＝16x 的焦点为(4,0)，∴c ＝4， e ＝c a ＝4a ＝2，∴a ＝2，b ＝c 2－a 2＝16－4＝23，故渐近线方程为y ＝±3x . 答案 D4．(2012·济南三模)已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为53c (c 为双曲线的半焦距长)，则双曲线的离心率为A.52 B.32 C.352D.23解析易知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线为y ＝±ba x ，即±bx －ay ＝0.不妨设双曲线的焦点为F (c,0)，据题意，得53c ＝|±bc |a 2＋b 2，∴b ＝53c ， ∴a 2＋b 2＝a 2＋59c 2＝c 2，即a 2＝49c 2，∴e 2＝c 2a 2＝94，∴e ＝32.答案 B考点三：求圆锥曲线的方程【例3】(1)(2012·湖南)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为A.x 220－y 25＝1B.x 25－y 220＝1C.x 280－y 220＝1D.x 220－y 280＝1(2)设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x[审题导引] (1)利用焦距为10与P (2,1)在双曲线的渐近线上可列出关于a ，b 的方程组，解出a 与b ，得双曲线的方程．(2)求出各点的坐标，就可以根据三角形的面积列出关于a 的方程，解方程即得．[规范解答] (1)∵x 2a 2－y2b 2＝1的焦距为10，∴c ＝5＝a 2＋b 2.①又双曲线渐近线方程为y ＝±ba x ，且P (2,1)在渐近线上， ∴2ba ＝1，即a ＝2b .②由①②解得a ＝25，b ＝5，故应选A. (2)抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，则直线l 的方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 4，它与y 轴的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2，所以△OAF 的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 4·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－a 2＝4，解得a ＝±8.所以抛物线方程为y 2＝±8x .故选B. [答案] (1)A (2)B 【规律总结】求圆锥曲线方程的方法(1)定义法：在所给的条件满足圆锥曲线的定义时或已知圆锥曲线的焦点及其上一点的坐标时常用此方法．(2)待定系数法：①顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0)，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时a 不具有p 的几何意义．②中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，椭圆方程可设为x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0)，双曲线方程可设为x 2m －y 2n ＝1(mn ＞0)．这样可以避免繁琐的计算．利用以上设法，根据所给圆锥曲线的性质求出参数，即得方程．【变式训练】5．若点P (x ，y )到点F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，则点P (x ，y )的轨迹方程为 A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．x 2＝8yD ．x 2＝－8y解析点P (x ，y )到点F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，说明点P (x ，y )到点F (0,2)和到直线y ＋2＝0的距离相等，所以P 点的轨迹为抛物线，设抛物线方程为x 2＝2py ，其中p ＝4，故所求的轨迹方程为x 2＝8y . 答案 C6．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m ＞0，n ＞0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为A.x 212＋y 216＝1 B.x 216＋y 212＝1 C.x 248＋y 264＝1D.x 264＋y 248＝1解析依题意得抛物线y 2＝8x 的焦点坐标是(2,0)，则椭圆的右焦点坐标是(2,0)，由题意得m 2－n 2＝22且e ＝2m ＝12，m ＝4，n 2＝12，椭圆的方程是x 216＋y 212＝1，选B. 答案 B名师押题高考【押题1】设F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P 满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且cos ∠PF 1F 2＝45，则双曲线的渐近线方程为A ．3x ±4y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±3y ＝0D ．5x ±4y ＝0解析在△PF 1F 2中，由余弦定理得 cos ∠PF 1F 2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－|PF 2|22|PF 1|·|F 1F 2|＝|PF 1|24c ·|PF 1|＝|PF 1|4c ＝45. 所以|PF 1|＝165c .又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，即165c －2c ＝2a ，a ＝35c . 代入c 2＝a 2＋b 2得b a ＝±43.因此，双曲线的渐近线方程为4x±3y＝0.答案 C[押题依据]对于圆锥曲线，定义是非常重要的，高考中常以选择题或填空题的形式灵活考查圆锥曲线的定义以及由定义所涉及的几何性质．本题是典型的焦点三角形问题，突出了定义，同时考查了余弦定理，方法较灵活，故押此题．【押题2】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为22.过F1的直线l交C于A、B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．解析根据椭圆焦点在x轴上，可设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，∵e＝22，∴ca＝22.根据△ABF2的周长为16得4a＝16，因此a＝4，b＝22，∴椭圆方程为x216＋y28＝1.答案x216＋y28＝1[押题依据]椭圆的方程、几何性质与定义是解析几何的重要内容，是高考的热点问题，通常的考查方式是把椭圆的几何性质、椭圆的定义相互综合．本题难度较小，属基础题目，故押此题．。

椭圆双曲线高中数学教案

椭圆双曲线高中数学教案
教学目标：让学生了解椭圆和双曲线的基本概念，掌握其特点和性质，能够解决相关的数学问题。

教学重点和难点：椭圆和双曲线的定义、焦点、直径、离心率等基本特征的理解和应用。

教学资源：教科书、教学PPT、数学绘图工具等。

教学过程：
1.引入：通过介绍一个有趣的问题或现象引起学生的兴趣，引出椭圆和双曲线的概念。

2.概念讲解：讲解椭圆和双曲线的定义、焦点、直径、离心率等基本概念，帮助学生建立起概念框架。

3.示例分析：通过具体的例子和问题分析，引导学生掌握椭圆和双曲线的特点和性质。

4.练习与讨论：让学生进行练习，并与同学或老师讨论解题思路和方法，加深对椭圆和双曲线的理解。

5.归纳总结：总结本节课的知识点，强化学生的记忆和理解。

6.拓展延伸：提供一些拓展性的问题或思考题，激发学生的思维能力，引导他们深入探究椭圆和双曲线的更多性质。

7.作业布置：布置相关的练习题或作业，巩固学生对椭圆和双曲线的理解和运用能力。

教学反思：及时总结课堂教学的不足之处，以便下次更好地备课和教学。

椭圆双曲线抛物线知识点汇总

椭圆双曲线抛物线知识点汇总椭圆、双曲线和抛物线是解析几何中常见的二次曲线，它们在数学、物理和工程等领域有着广泛的应用。

以下是这三种曲线的知识点汇总：1. 椭圆的定义与标准方程椭圆是平面上所有点到两个固定点（焦点）的距离之和为常数的点的集合。

椭圆的标准方程为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1$，其中 $a$ 和 $b$ 分别是椭圆的半长轴和半短轴。

2. 椭圆的性质- 椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和是一个常数。

- 椭圆的长轴和短轴互相垂直，且长轴是椭圆上最长的直径。

- 椭圆的面积为 $\pi \times a \times b$。

3. 双曲线的定义与标准方程双曲线是平面上所有点到两个固定点（焦点）的距离之差的绝对值为常数的点的集合。

双曲线的标准方程为 $\frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{b^2} = 1$（水平开口）或 $\frac{y^2}{b^2} -\frac{x^2}{a^2} = 1$（垂直开口），其中 $a$ 和 $b$ 分别是双曲线的实半轴和虚半轴。

4. 双曲线的性质- 双曲线的焦点到双曲线上任意一点的距离之差是一个常数。

- 双曲线的两个分支分别位于两个焦点的两侧。

- 双曲线的面积无法用简单的公式表示，但可以通过积分计算。

5. 抛物线的定义与标准方程抛物线是平面上所有点到一个固定点（焦点）和一条直线（准线）的距离相等的点的集合。

抛物线的标准方程为 $y^2 = 4ax$（水平开口）或 $x^2 = 4ay$（垂直开口），其中 $a$ 是抛物线的参数。

6. 抛物线的性质- 抛物线的焦点到抛物线上任意一点的距离等于该点到准线的距离。

- 抛物线是对称的，且对称轴是抛物线的顶点所在的直线。

- 抛物线的面积可以通过积分计算，公式为 $\frac{1}{4} \times a \times \text{弧长}$。