2013届人教A版文科数学课时试题及解析(53)直线与圆锥曲线的位置关系A

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高考数学(文科)- 直线与圆锥曲线的位置关系-专题练习(含答案与解析)

因为以AB为直径的圆恰过坐标原点，故所以0⋅=，OA OB212高考数学（文科）专题练习直线与圆锥曲线的位置关系解析1．解析：直线y=kx-k+1，即y-1=k(x-1)，恒过点A(1，1)．因为+<1，所以点A在椭圆内，故直线与椭圆相交，选A．2．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|=x1+x2+p=4，又p=1，所以x1+x2=3，所以点C的横坐标是=．3．解析：由解得A(，)，B(-，-)．故|AB|=|-(-)|=．而F(，0)，点F到直线y=x的距离d==．故△FAB的面积S=|AB|×d=××=．故选B．4．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y=-(x-)，与抛物线方程联立，消去y整理得x2-3px+=0，可得x1+x2=3p．根据中点坐标公式，有=3，p=2，因此抛物线的准线方程为x=-1．故选C．5．解析：设弦的端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=8，y1+y2=4，两式相减，得+=0，所以=-，所以k==-．故选B．6．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别过A，B作直线x=-2的垂线，垂足分别为D，E．因为|PA|=|AB|，所以又得x1=，则点A到抛物线C的焦点的距离为1+=．选A．7．解析：设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|+|BB1|=2|OO1|=4，由抛物线定义得|AA1|+|BB1|=|FA|+|FB|，所以|FA|+|FB|=4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．答案：+=1(y≠0)8．解析：设A(x A，y A)，B(x B，y B)，因为y2=4x，所以抛物线的准线为x=-1，F(1，0)，又A到抛物线准线的距离为4，所以x A+1=4，所以x A=3，因为xAxB==1，所以xB=，所以|AB|=xA+xB+p=3++2=．答案：9．解：(1)由直线l1的方程知，直线l1与两坐标轴的夹角均为45°，故长轴端点到直线l1的距离为，短轴端点到直线l1的距离为，求得a=2，b=1．所以C1的标准方程为+y2=1．(2)依题意设直线l：y=x+t(t≠0)由得5x2+8tx+4t2-4=0，判别式Δ=64t2-16×5(t2-1)>0解得-<t<，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则故y1y2=(x1+t)(x2+t)=x1x2+(x1+x2)t+t2=．因为以AB为直径的圆恰过坐标原点，故OA⊥OB，所以·=0，即x1x2+y1y2=+=0，解得t=±，满足-<t<且t≠0，故所求直线l的方程为y=x+或y=x-．【能力提升】10．解析：因为△ABF2的内切圆周长为π，所以△ABF2的内切圆的半径为，所以△ABF2的面积为×4×5×=5，又因为△ABF2的面积为|y2-y1|×|F1F2|=3|y2-y1|，所以3|y2-y1|=5，所以|y2-y1|=，故选D．11．解析：圆心O到直线l的距离d==3，所以|AB|=2=2，由题知直线l的倾斜角为30°，所以|CD|===4．答案：412．略13．略14．略。

课时跟踪检测(五十二) 直线与圆锥曲线的位置关系

数学
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课时跟踪检测(五十二) 直线与圆锥曲线的结束位置关系
x2 y2 11．解：(1)设椭圆方程为a2＋b2＝1(a>0，b>0)， c 1 因为 c＝1，a＝2，所以 a＝2，b＝ 3， x2 y2 所以椭圆方程为 4 ＋ 3 ＝1. (2)由题意得直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y＝kx＋1， kx＋1， y＝联立方程x2 y2 ＋＝1， 4 3 得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0，且 Δ>0.
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课时跟踪检测(五十二) 直线与圆锥曲线的结束位置关系

10．解析：由抛物线方程 y2＝4x 可知焦点 F(1,0)，准线为 x＝－1.直 3 线 EF 的斜率为 k＝tan 150° ＝－ 3 ， 3 所以直线 EF 的方程为 y＝－ 3 (x－1)， 2 3 与准线方程联立可得点 E－1，， 3 2 3 故可设 Px，， 3 1 2 将其代入抛物线方程 y ＝4x，解得 x＝3. 1 4 所以|PE|＝3－－1＝3， 4 由抛物线的定义可知|PE|＝|PF|，故|PF|＝3. 4 答案：3
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课时跟踪检测(五十二) 直线与圆锥曲线的结束位置关系
课时跟踪检测(五十二) 直线与圆锥曲线的位置关系 b b 1．解析：因为直线y＝ a x＋3与双曲线的渐近线y＝ a x平行，所以它与双曲线只有1个交点．答案：A 2．解析：根据已知条件得c＝ 16－m2，则点

2 2 x y 2 16－m2， 16－m2在椭圆16＋m2＝1(m>0)上， 2
16－m2 16－m2 ∴ ＋＝1，可得m＝2 2. 16 2m2 答案：B

2013届高考文科数学一轮复习考案课件8.4直线与圆锥曲线的位置关系

【点评】(1)直线与抛物线只有一个公共点时包括直线与抛物线的
对称轴平行和直线与抛物线相切两种情况,同时要注意直线与抛物
线相交可以是一个公共点和两个公共点;(2)解答直线与椭圆的位置
关系有两种方法,即判别式与数形结合法;(3)判断直线与双曲线的位
置关系可以利用判别式时,注意对二次项系数的讨论,二次项系数等
(A)2个. (B)1个. (C)0. (D)不确定.
考纲解读典例精析
命题预测技巧归纳
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基础拾遗例题备选
(2)过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点,它们的横坐标之和等于2,则这样的直线 ( ) (A)有且仅有一条. (B)有且仅有两条. (C)有无穷多条. (D)不存在.
2
则直线MN的方程可设为y= 1 x+b,代入抛物线方程中,可知Δ>0,又线
k
段MN的中点在直线y=-kx+ 9 上,由根与系数之间的关系可得线段MN
2
的中点,代入y=-kx+ 9 可得b与k的关系式,再结合Δ>0求解.或根据点差
2
法,建立线段MN中点坐标方程,然后解出中点坐标后,根据中点在抛物线内建立不等式.
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基础拾遗例题备选
又A、B两点在椭圆上,则 x12+4 y12=16, x22+4 y22=16, 两式相减得( x12 - x22 )+4( y12 - y22 )=0, 于是(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0,
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直线与圆锥曲线的位置关系(有答案)汇编

第4讲直线与圆锥曲线的位置关系（教师）【2013年高考会这样考】1．考查圆锥曲线中的弦长问题、直线与圆锥曲线方程的联立、根与系数的关系、整体代入和设而不求的思想．2．高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，考查函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合运用．【复习指导】本讲复习时，应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系．会判断已知直线与曲线的位置关系(或交点个数)，会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值、定值、点的轨迹、参数问题及相关的不等式与等式的证明问题．基础梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即⎩⎨⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0，消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C 无公共点．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行． 2．圆锥曲线的弦长 (1)圆锥曲线的弦长直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长．(2)圆锥曲线的弦长的计算设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2·|y1－y2|.(抛物线的焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2θ，θ为弦AB所在直线的倾斜角)．一种方法点差法：在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程．“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是否为正数．一条规律“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．双基自测1．(人教A版教材习题改编)直线y＝kx－k＋1与椭圆x29＋y24＝1的位置关系为()．A．相交B．相切C．相离D．不确定解析直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，而点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．答案 A2．(2012·泉州质检)“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析与渐近线平行的直线也与双曲线有一个公共点．答案 A3．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )．A ．3 2B ．2 6C ．27D ．4 2解析根据题意设椭圆方程为x 2b 2＋4＋y 2b 2＝1(b ＞0)，则将x ＝－3y －4代入椭圆方程，得4(b 2＋1)y 2＋83b 2y －b 4＋12b 2＝0，∵椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，∴Δ＝(83b 2)2－4×4(b 2＋1)·(－b 4＋12b 2)＝0，即(b 2＋4)(b 2－3)＝0，∴b 2＝3，长轴长为2b 2＋4＝27.答案 C4．(2012·成都月考)已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )． A.x 23－y 26＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1D.x 25－y 24＝1解析设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有：⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式作差得：y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝－12b 2－15a 2＝4b 25a 2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以将4b 2＝5a 2代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线的标准方程是x 24－y 25＝1.答案 B5．(2011·泉州模拟)y ＝kx ＋2与y 2＝8x 有且仅有一个公共点，则k 的取值为________．解析由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝8x ，得ky 2－8y ＋16＝0，若k ＝0，则y ＝2；若k ≠0，则Δ＝0，即64－64k ＝0，解得k ＝1.故k ＝0或k ＝1. 答案 0或1考向一直线与圆锥曲线的位置关系【例1】►(2011·合肥模拟)设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )． A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1]D ．[－4,4][审题视点] 设直线l 的方程，将其与抛物线方程联立，利用Δ≥0解得．解析由题意得Q (－2,0)．设l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入y 2＝8x 得k 2x 2＋4(k 2－2)x ＋4k 2＝0，∴当k ＝0时，直线l 与抛物线恒有一个交点；当k ≠0时，Δ＝16(k 2－2)2－16k 4≥0，即k 2≤1，∴－1≤k ≤1，且k ≠0，综上－1≤k ≤1. 答案 C研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，但对于选择题、填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解．【训练1】若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是( )． A ．至多为1 B ．2 C ．1 D ．0 解析由题意知：4m 2＋n 2＞2，即m 2＋n 2＜2，∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，故所求交点个数是2个．答案 B考向二弦长及中点弦问题【例2】►若直线l 与椭圆C ：x 23＋y 2＝1交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为32，求△AOB 面积的最大值．[审题视点] 联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系后代入弦长公式，利用基本不等式求出弦长的最大值即可．解设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)当AB ⊥x 轴时，|AB |＝3；(2)当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m .由已知，得|m |1＋k 2＝32，即m 2＝34(k 2＋1)．把y ＝kx ＋m 代入椭圆方程，整理，得(3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0.∴x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋1，x 1x 2＝3(m 2－1)3k 2＋1.∴|AB |2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝(1＋k 2)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤36k 2m 2(3k 2＋1)2－12(m 2－1)3k 2＋1＝12(k 2＋1)(3k 2＋1－m 2)(3k 2＋1)2＝3(k 2＋1)(9k 2＋1)(3k 2＋1)2＝3＋12k 29k 4＋6k 2＋1.当k ≠0时，上式＝3＋129k 2＋1k 2＋6≤3＋122×3＋6＝4，当且仅当9k 2＝1k 2，即k ＝±33时等号成立．此时|AB |＝2；当k ＝0时，|AB |＝3，综上所述|AB |max ＝2.∴当|AB |最大时，△AOB 面积取最大值S max ＝12×|AB |max ×32＝32.当直线(斜率为k )与圆锥曲线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，则|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋1k 2|y 1－y 2|，而|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后再进行整体代入求解．【训练2】椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若AB ＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程．解法一设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，代入椭圆方程并作差得a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. 而y 1－y 2x 1－x 2＝－1，y 1＋y 2x 1＋x 2＝k oc ＝22，代入上式可得b ＝2a .再由|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22，其中x 1、x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两根，故⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b ＝4，将b ＝2a 代入得a ＝13，∴b ＝23. ∴所求椭圆的方程是x 23＋2y 23＝1.法二由⎩⎨⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y ＝1，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则|AB |＝(k 2＋1)(x 1－x 2)2＝2·4b 2－4(a ＋b )(b －1)(a ＋b )2.∵|AB |＝22，∴a ＋b －aba ＋b ＝1.①设C (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝b a ＋b ，y ＝1－x ＝aa ＋b， ∵OC 的斜率为22，∴a b ＝22. 代入①，得a ＝13，b ＝23. ∴椭圆方程为x 23＋23y 2＝1.考向三圆锥曲线中的最值(或取值范围)问题【例3】►(2011·湘潭模拟)已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点． (1)求过点O 、F ，并且与直线l ：x ＝－2相切的圆的方程；(2)设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围． [审题视点] (1)求出圆心和半径，得出圆的标准方程；(2)设直线AB 的点斜式方程，由已知得出线段AB 的垂直平分线方程，利用求值域的方法求解．解 (1)∵a 2＝2，b 2＝1，∴c ＝1，F (－1,0)， ∵圆过点O ，F ，∴圆心M 在直线x ＝－12上．设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，t ，则圆半径r ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－(－2)＝32，由|OM |＝r ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋t 2＝32，解得t ＝±2，∴所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ±2)2＝94.(2)设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，代入x 22＋y 2＝1，整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.∵直线AB 过椭圆的左焦点F 且不垂直于x 轴， ∴方程有两个不等实根．如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点N (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 0＝12(x 1＋x 2)＝－2k 22k 2＋1，y 0＝k (x 0＋1)＝k2k 2＋1，∴AB 的垂直平分线NG 的方程为y －y 0＝－1k (x －x 0)．令y ＝0，得x G ＝x 0＋ky 0＝－2k 22k 2＋1＋k 22k 2＋1＝－k 22k 2＋1＝－12＋14k 2＋2，∵k ≠0，∴－12＜x G ＜0，∴点G 横坐标的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0.直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．【训练3】 (2012·金华模拟)已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p ＞0)相交于B 、C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →.(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．解 (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4.由⎩⎨⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1y 2＝4， ①y 1＋y 2＝8＋p2， ②又∵AC →＝4AB →，∴y 2＝4y 1，③ 由①②③及p ＞0得：y 1＝1，y 2＝4，p ＝2，得抛物线G 的方程为x 2＝4y .(2)设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 的中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎨⎧x 2＝4y ，y ＝k (x ＋4)得x 2－4kx －16k ＝0，④ ∴x 0＝x C ＋x B2＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k . ∴线段BC 的中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k (x －2k )， ∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为： b ＝2k 2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2，对于方程④，由Δ＝16k 2＋64k ＞0得k ＞0或k ＜－4. ∴b ∈(2，＋∞)．考向四定值(定点)问题【例4】►(2011·四川)椭圆有两顶点A (－1,0)、B (1,0)，过其焦点F (0,1)的直线l 与椭圆交于C 、D 两点，并与x 轴交于点P .直线AC 与直线BD 交于点Q . (1)当|CD |＝322时，求直线l 的方程．(2)当点P 异于A 、B 两点时，求证：O P →·O Q →为定值．[审题视点] (1)设出直线方程与椭圆方程联立．利用根与系数的关系和弦长公式可求出斜率从而求出直线方程；(2)关键是求出Q 点坐标及其与P 点坐标的关系，从而证得OP →·OQ →为定值．证明过程中要充分利用已知条件进行等价转化． (1)解因椭圆焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由已知得b ＝1，c ＝1，所以a ＝2，椭圆方程为y 22＋x 2＝1. 直线l 垂直于x 轴时与题意不符．设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，将其代入椭圆方程化简得 (k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1·x 2＝－1k 2＋2，|CD |＝k 2＋1·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22(k 2＋1)k 2＋2.由已知得22(k 2＋1)k 2＋2＝322，解得k ＝±2.所以直线l 的方程为y ＝2x ＋1或y ＝－2x ＋1. (2)证明直线l 与x 轴垂直时与题意不符．设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0且k ≠±1)，所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，0.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由(1)知x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1·x 2＝－1k 2＋2，直线AC 的方程为y ＝y 1x 1＋1(x ＋1)，直线BD 的方程为y ＝y 2x 2－1(x －1)，将两直线方程联立，消去y 得x ＋1x －1＝y 2(x 1＋1)y 1(x 2－1).因为－1＜x 1，x 2＜1，所以x ＋1x －1与y 2y 1异号．⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －12＝y 22(x 1＋1)2y 21(x 2－1)2 ＝2－2x 222－2x 21·(x 1＋1)2(x 2－1)2＝(1＋x 1)(1＋x 2)(1－x 1)(1－x 2)＝1＋－2k k 2＋2＋－1k 2＋21－－2k k 2＋2＋－1k 2＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫k －1k ＋12. 又y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝2(1－k )(1＋k )k 2＋2＝－2(1＋k )2k 2＋2·k －1k ＋1，∴k －1k ＋1与y 1y 2异号，x ＋1x －1与k －1k ＋1同号， ∴x ＋1x －1＝k －1k ＋1，解得x ＝－k . 因此Q 点坐标为(－k ，y 0)． O P →·O Q →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k，0·()－k ，y 0＝1. 故O P →·O Q →为定值．解决圆锥曲线中的定值问题的基本思路很明确：即定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积等，其不受变化的量所影响的一个值即为定值，化解这类问题的关键是引进参数表示直线方程、数量积等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量，解题过程中要注意讨论直线斜率的存在情况，计算要准确．【训练4】 (2011·山东)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 23＋y 2＝1.如图所示，斜率为k (k ＞0)且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线x ＝－3于点D (－3，m )． (1)求m 2＋k 2的最小值；(2)若|OG |2＝|OD |·|OE |，求证：直线l 过定点．(1)解设直线l 的方程为y ＝kx ＋t (k ＞0)，由题意，t ＞0. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6ktx ＋3t 2－3＝0.由题意Δ＞0，所以3k 2＋1＞t 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－6kt3k 2＋1，所以y 1＋y 2＝2t3k 2＋1.由于E 为线段AB 的中点，因此x E ＝－3kt3k 2＋1，y E ＝t3k 2＋1，此时k OE ＝y E x E＝－13k .所以OE 所在直线方程为y ＝－13k x ，又由题设知D (－3，m )，令x ＝－3，得m ＝1k ，即mk ＝1，所以m 2＋k 2≥2mk ＝2，当且仅当m ＝k ＝1时上式等号成立，此时由Δ＞0得0＜t ＜2，因此当m ＝k ＝1且0＜t ＜2时，m 2＋k 2取最小值2. (2)证明由(1)知OD 所在直线的方程为y ＝－13k x ，将其代入椭圆C 的方程，并由k ＞0，解得G ⎝⎛⎭⎪⎫－3k 3k 2＋1，13k 2＋1. 又E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3kt 3k 2＋1，t 3k 2＋1，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，1k ，由距离公式及t ＞0得|OG |2＝⎝⎛⎭⎪⎫－3k 3k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k 2＋12＝9k 2＋13k 2＋1， |OD |＝(－3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＝9k 2＋1k ，|OE |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3kt 3k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t 3k 2＋12＝t 9k 2＋13k 2＋1，由|OG |2＝|OD |·|OE |得t ＝k ，因此直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，所以直线l 恒过定点(－1,0)．规范解答17——怎样求解析几何中的探索性问题【问题研究】解析几何中探索性问题的结论往往不明确，需要根据已知条件通过推理论证或是计算对结论作出明确的肯定或是否定，因此解决起来具有较大的难度．【解决方案】明确这类问题的解题思想：即假设其结论成立、存在等，在这个假设下进行推理论证，如果得到了一个合情合理的推理结果，就肯定假设，对问题作出正面回答，如果得到一个矛盾的结果，就否定假设，对问题作出反面回答．【示例】►(本题满分12分)(2011·辽宁)如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M 、N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e .直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D . (1)设e ＝12，求|BC |与|AD |的比值；(2)当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由．第(1)问，设C 1的方程，C 2的方程同样由C 1的系数a ，b 来表示，再分别求点A 、B 的坐标，进而可求|BC |∶|AD |；第(2)问利用k BO ＝k AN ，得t 与e 、a 的关系式，再由|t |＜a ，求e 的范围．[解答示范] (1)因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1，C 2：b 2y 2a 4＋x 2a 2＝1，(a ＞b ＞0)．设直线l ：x ＝t (|t |＜a )，分别与C 1，C 2的方程联立，求得A (t ，a b a 2－t 2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，b a a 2－t 2.(4分)当e ＝12时，b ＝32a ，分别用y A ，y B 表示A ，B 的纵坐标，可知 |BC |∶|AD |＝2|y B |2|y A|＝b 2a 2＝34.(6分)(2)t ＝0时的l 不符合题意．t ≠0时，BO ∥AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等，即b a a 2－t 2t ＝a ba 2－t 2t －a ，(8分) 解得t ＝－ab 2a 2－b 2＝－1－e 2e 2·a .因为|t |＜a ，又0＜e ＜1，所以1－e 2e 2＜1，解得22＜e ＜1.(10分) 所以当0＜e ≤22时，不存在直线l ，使得BO ∥AN ；当22＜e ＜1时，存在直线l ，使得BO ∥AN .(12分) 本题探索的是离心率e 的变化范围，化解这个难点的方法首先假设存在直线l ，使得BO ∥AN ，根据k BO ＝k AN ，再由|t |＜a 构建关于e 的不等式，解出e 的范围，最后作出肯定回答．【试一试】已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1. (1)求曲线C 的方程；(2)是否存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有F A →·FB →＜0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由． [尝试解答] (1)设P (x ，y )是曲线C 上任意一点，那么点P (x ，y )满足： (x －1)2＋y 2－x ＝1(x ＞0)．化简得y 2＝4x (x ＞0)．(2)设过点M (m,0)(m ＞0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．设l 的方程为x ＝ty ＋m ，由⎩⎨⎧x ＝ty ＋m ，y 2＝4x ，得y 2－4ty －4m ＝0，Δ＝16(t 2＋m )＞0，于是⎩⎨⎧y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m .①又F A →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)． F A →·FB →＜0⇔(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2＜0.② 又x ＝y 24，于是不等式②等价于y 214·y 224＋y 1y 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214＋y 224＋1＜0⇔(y 1y 2)216＋y 1y 2－14[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＋1＜0，③由①式，不等式③等价于m 2－6m ＋1＜4t 2，④对任意实数t,4t 2的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2－6m ＋1＜0，即3－22＜m ＜3＋2 2.由此可知，存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有F A →·FB→＜0，且m 的取值范围是(3－22，3＋22)．一、选择题1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点分别为F 1、F 2，b ＝4，离心率为35.过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．10B ．12C ．16D ．20解析：如图，由椭圆的定义知△ABF 2的周长为4a ，又e ＝c a ＝35，即c ＝35a ，∴a 2－c 2＝1625a 2＝b 2＝16，∴a ＝5.△ABF 2的周长为20. 答案：D2．设F 1、F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P 、Q两点，当四边形PF 1QF 2的面积最大时，1PF ·2PF 的值等于( )A ．0B ．2C ．4D ．－2解析：易知当P 、Q 分别在椭圆短轴端点时，四边形PF 1QF 2的面积最大．此时，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，P (0,1)， ∴1PF ＝(－3，－1)，2PF ＝(3，－1)． ∴1PF ·2PF ＝－2. 答案：D3．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13<k <12，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(14，94)B ．(23，1)C ．(12，23)D ．(0，12)解析：由题意：B (c ，b 2a )，∴k ＝b 2ac ＋a ＝a －c a ＝1－e ，∴13<1－e <12， ∴12<e <23. 答案：C4．(2011·东北三校第一次联考)已知双曲线x 29－y 216＝1，过其右焦点F 的直线(斜率存在)交双曲线于P 、Q 两点，PQ 的垂直平分线交x 轴于点M ，则|MF ||PQ |的值为( )A.53B.56C.54D.58解析：依题意，将直线PQ 特殊化为x 轴，于是有点P (－3,0)、Q (3,0)、M (0,0)、F (5,0)，|MF ||PQ |＝56. 答案：B5．(2012·潍坊模拟)椭圆x 24＋y 23＝1的离心率为e ，点(1，e )是圆x 2＋y 2－4x －4y ＋4＝0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是( )A ．3x ＋2y －4＝0B ．4x ＋6y －7＝0C ．3x －2y －2＝0D ．4x －6y －1＝0解析：依题意得e ＝12，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点(1，12)的连线的斜率为2－122－1＝32，所求直线的斜率等于－23，所以所求直线方程是y －12＝－23(x －1)．即4x ＋6y －7＝0.答案：B 二、填空题6．(2011·北京东城区期末)设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________．解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，令x ＝c ，则|y |＝b 2a ，由题意得|PF 2|＝b 2a ，又∵|F 1F 2|＝|PF 2|，∴2c ＝b 2a ，∵b 2＝a 2－c 2，∴c 2＋2ac －a 2＝0，∴e 2＋2e －1＝0，解之得e ＝－1±2，又∵0<e <1，∴e ＝2－1.答案：2－17．已知以坐标原点为顶点的抛物线C ，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与抛物线C 交于A 、B 两点．若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．解析：由题意知，抛物线的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，所以可设抛物线的方程为y 2＝ax (a ≠0)．将直线方程和抛物线方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝axy ＝x ，得：x 2－ax ＝0，解得x 1＝0，x 2＝a ，故AB中点的横坐标为x 0＝12(x 1＋x 2)＝12a ，由题意得12a ＝2，解得a ＝4.所以该抛物线的方程为y 2＝4x .答案：y 2＝4x 三、解答题8．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F 1、F 2为顶点的三角形的周长为4(2＋1)．一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点．(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线PF 1、PF 2的斜率分别为k 1、k 2，证明：k 1·k 2＝1. 解：(1)设椭圆的半焦距为c ，由题意知：c a ＝22，2a ＋2c ＝4(2＋1)，所以a ＝22，c ＝2，又a 2＝b 2＋c 2，因此b ＝2. 故椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.由题意设等轴双曲线的标准方程为x 2m 2－y 2m 2＝1(m >0)，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m ＝2，因此双曲线的标准方程为x 24－y 24＝1.(2)证明：P (x 0，y 0)，则k 1＝y 0x 0＋2，k 2＝y 0x 0－2. 因为点P 在双曲线x 2－y 2＝4上，所以x 20－y 20＝4. 因此k 1k 2＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 20x 20－4＝1，即k 1k 2＝1.9．(2012·大连模拟)已知椭圆C 过点M (1，32)，两个焦点为A (－1,0)，B (1,0)，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 过点A (－1,0)，且与椭圆C 交于P ，Q 两点，求△BPQ 的内切圆面积的最大值．解：(1)由题意，c ＝1，可设椭圆方程为x 21＋b 2＋y 2b 2＝1.因为A 在椭圆上，所以11＋b 2＋94b 2＝1，解得b 2＝3，b 2＝－34(舍去)．所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 方程为x ＝ky －1，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky －1，x 24＋y 23＝1⇒(4＋3k 2)y 2－6ky －9＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝6k 3k 2＋4，y 1·y 2＝－93k 2＋4，所以S △BPQ ＝12·|F 1F 2||y 1－y 2|＝12k 2＋13k 2＋4.令k 2＋1＝t ，则t ≥1，所以S △BPQ ＝123t ＋1t ，而3t ＋1t 在[1，＋∞)上单调递增，所以S △BPQ ＝123t ＋1t ≤3，当t ＝1时取等号，即当k ＝0时，△BPQ 的面积最大值为3.10．已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上．若右焦点F 到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M 、N .当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．解：(1)依题意，可设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1，则右焦点为F (a 2－1，0)．由题意，知|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3.故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设点M 、N 的坐标分别为M (x M ，y M )、N (x N ，y N )，弦MN 的中点为P (x P ，y P )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0.∵直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点， ∴Δ＝(6mk )2－4(3k 2＋1)×3(m 2－1)>0⇒m 2<3k 2＋1.① ∴x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk 3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m 3k 2＋1.∴k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk .又|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN .则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k ，即2m ＝3k 2＋1，②把②代入①，得m 2<2m ，解得0<m <2. 由②，得k 2＝2m －13>0，解得m >12. 综上可得，m 的取值范围是12<m <2.。

2013年全国高考数学试题分类汇编直线与圆锥曲线的位置关系

10.4直线与圆锥曲线的位置关系考点直线与圆锥曲线的位置关系1.(2013课标全国Ⅱ,10,5分)设抛物线C:y2＝4x的焦点为F,直线l 过F且与C交于A,B两点.若|AF|＝3|BF|,则l的方程为( )A.y＝x－1或y＝－x＋1B.y＝(x－1)或y＝－(x－1)C.y＝(x－1)或y＝－(x－1)D.y＝(x－1)或y＝－(x－1)答案 C2.(2013江西,20,13分)椭圆C:＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝,a＋b＝3.(1)求椭圆C的方程;(2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意一点,直线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m.证明:2m－k为定值.解析(1)因为e＝＝,所以a＝c,b＝c.代入a＋b＝3得,c＝,a＝2,b＝1.故椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明:证法一:因为B(2,0),P不为椭圆顶点,则直线BP的方程为y＝k(x－2),①①代入＋y2＝1,解得P.直线AD的方程为y＝x＋1.②①与②联立解得M.由D(0,1),P,N(x,0)三点共线知＝,解得N.所以MN的斜率为m＝＝＝,则2m－k＝－k＝(定值).证法二:设P(x0,y0)(x0≠0,±2),则k＝,直线AD的方程为y＝(x＋2),直线BP的方程为y＝(x－2),直线DP的方程为y－1＝x,令y＝0,由y0≠1可得N,联立解得M,因此MN的斜率为m＝＝＝＝,所以2m－k＝－＝＝＝＝(定值).3.(2013山东,22,14分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C的中心在原点O,焦点在x轴上,短轴长为2,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)A,B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点,E为线段AB的中点,射线OE交椭圆C于点P.设＝t,求实数t的值.解析(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0),由题意知解得a＝,b＝1.因此椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)(i)当A,B两点关于x轴对称时,设直线AB的方程为x＝m,由题意－<m<0或0<m<.将x＝m代入椭圆方程＋y2＝1,得|y|＝.所以S△AOB＝|m|＝.解得m2＝或m2＝.①又＝t＝t(＋)＝t(2m,0)＝(mt,0),因为P为椭圆C上一点,所以＝1.②由①②得t2＝4或t2＝,又因为t＞0,所以t＝2或t＝.(ii)当A,B两点关于x轴不对称时,设直线AB的方程为y＝kx＋h.将其代入椭圆的方程＋y2＝1,得(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0,设A(x1,y1),B(x2,y2).由判别式Δ＞0可得1＋2k2＞h2,此时x1＋x2＝－,x1x2＝,y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2h＝,所以|AB|＝＝2.因为点O到直线AB的距离d＝,所以S△AOB＝|AB|d＝×2·＝|h|.又S△AOB＝,所以|h|＝.③令n＝1＋2k2,代入③整理得3n2－16h2n＋16h4＝0,解得n＝4h2或n＝h2,即1＋2k2＝4h2或1＋2k2＝h2.④又＝t＝t(＋)＝t(x1＋x2 ,y1＋y2)＝,因为P为椭圆C上一点,所以t2＝1,即t2＝1.⑤将④代入⑤得t2＝4或t2＝,又知t＞0,故t＝2或t＝,经检验,适合题意.综合(i)(ii)得t＝2或t＝.4.(2013浙江,22,14分)已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点为F(0,1).(1)求抛物线C的方程;(2)过点F作直线交抛物线C于A,B两点.若直线AO,BO分别交直线l:y＝x－2于M,N两点,求|MN|的最小值.解析(1)由题意可设抛物线C的方程为x2＝2py(p＞0),则＝1,所以抛物线C的方程为x2＝4y.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y＝kx＋1.由消去y,整理得x2－4kx－4＝0,所以x1＋x2＝4k,x1x2＝－4.从而|x1－x2|＝4.由解得点M的横坐标x M＝＝＝.同理点N的横坐标x N＝.所以|MN|＝|x M－x N|＝＝8＝.令4k－3＝t,t≠0,则k＝.当t＞0时,|MN|＝2＞2.当t<0时,|MN|＝2≥.综上所述,当t＝－,即k＝－时,|MN|的最小值是.。

2013届人教A版文科数学课时试题及解析(53)直线与圆锥曲线的位置关系A

课时作业 (五十三 )A[第 53讲直线与圆锥曲线的地点关系][时间： 45 分钟分值： 100 分]基础热身1．过点 P(－ 1,0)的直线 l 与抛物线 y 2＝ 5x 相切，则直线l 的斜率为 ()2 3 5 6A ．±2B ． ±2C ． ±2D ． ±2b x 2 y 2)2．直线 y ＝ x ＋ 3 与双曲线a 2－2＝1 的交点个数是 (abA ．1B ．2C ．1 或 2D ．0223．双曲线x2－y2＝ 1(a ＞ 0， b ＞ 0)的渐近线与抛物线y ＝ x 2＋ 1 相切，则双曲线的离心率是()a bA. 3 B ．2C. 5D.64．方程 x 2y 22＝ 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是 ________．2＋mm － 1能力提高5．直线 y ＝ x ＋ m 与抛物线 x 2＝ 2y 相切，则 m ＝ () 1 1 1 1A ．－ 2B ．－ 3C ．－ 4D.2226．“|C| ≤a ”是“曲线 Ax ＋By ＋ C ＝ 0 与x ＋y＝1(a>b>0)有公共点”的 ()A 2＋B 2abA ．充足不用要条件B ．必需不充足条件C ．充要条件D ．既不充足也不用要条件2 2 x y()A ．16 3B ．8 3C ．4 3D ．2 32 28．椭圆x 2＋ y2＝ 1(a>b>0)的半焦距为 c ，若直线 y ＝2x 与椭圆的一个交点的横坐标恰为a bc ，则椭圆的离心率为 ( )3 2 A. 2 B. 3－1C. 2D. 2－1x 2 y 229．已知双曲线 a 2－b 2＝ 1(a>0，b>0)的左极点与抛物线 y ＝ 2px(p>0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－ 2，－ 1)，则双曲线的焦距为 ()A ．2 3B ．2 5C ．43D ．4510．已知抛物线 y 2＝2px(p>0)，过点 (p,0)作两条相互垂直的直线l 1， l 2，若 l 1 与抛物线交于 P 、Q 两点， l 2 与抛物线交于 M 、N 两点， l 1 的斜率为 k ，某同学已正确求得弦 PQ 的中p p点坐标为 k 2＋ p ，k ，则弦 MN 的中点坐标为 ________．11．若直线 y ＝ (a ＋ 1)x － 1 与 y 2＝ax 恰有一个公共点，则 a ＝ ________.222212．已知双曲线 x 2－ y2＝1(a ＞ 0，b ＞ 0)和椭圆 x ＋ y＝ 1 有同样的焦点，且双曲线的离a b 16 9心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 ________________ ．13．已知抛物线C ： y 2＝ 2px(p ＞ 0)的准线为 l ，过 M(1,0)且斜率为 3的直线与 l 订交于点 A ，与 C 的一个交点为→ → B.若AM ＝ MB ，则 p ＝ ________.14． (10 分)已知动圆 P 过点 F0，1 且与直线 y ＝－ 1相切．44(1)求点 P 的轨迹 C 的方程；(2)过点 F 作一条直线交轨迹 C 于 A ，B 两点，轨迹M 为线段 AB 的中点，求证： MN ⊥ x 轴．C 在A ，B 两点处的切线订交于点N ，x 2y 215． (13 分)已知椭圆C ： a 2＋b 2＝ 1(a>b>0) 的长轴长为4.(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线(2)若点 P 是椭圆 C 上的随意一点，过原点的直线y ＝ x ＋ 2 相切，求椭圆焦点坐标；l 与椭圆订交于 M ， N 两点，记直线1PM ， PN 的斜率分别为 k PM ， k PN ，当 k PM ·k PN ＝－时，求椭圆的方程．难点打破2220x 2 y 216．(12 分 )已知圆 C 1 的方程为 ( x －2) ＋ (y －1) ＝ 3 ，椭圆 C 2 的方程为 a 2＋ b 2＝ 1(a>b>0) ，C 2 的离心率为2，假如 C 1 与 C 2 订交于 A 、 B 两点，且线段 AB 恰为圆 C 1 的直径，求直线2AB 的方程和椭圆C 2 的方程．2013届人教A 版文科数学课时试题及解析(53)直线与圆锥曲线的位置关系 A课时作业 (五十三 )A【基础热身】1．C[分析 ] 明显斜率存在不为0，设直线 l 的方程为 y ＝ k(x ＋ 1)，代入抛物线方程消2225 去 x 得 ky － 5y ＋ 5k ＝ 0，由＝(－ 5)－ 4× 5k ＝ 0，得 k ＝ ±.应选 C.2bb2．A [分析 ] 因为直线 y ＝ a x ＋3 与双曲线的渐近线y ＝ a x 平行，因此它与双曲线只有1 个交点．应选 A.设切点为 P(x 0， y 0)，则切线斜率为 k ＝ y ′＝ 2x 0，依题意有 y 0＝ 2x 0 .又 y 0 3． C [分析 ]b 2 x 0 2b ＝x 0＋ 1，解得 x 0＝ ±1，因此 a ＝ 2x 0＝ 2，b ＝ 2a ，因此 e ＝1＋a 2＝5.应选 C.4． m< 1且 m ≠ 0 [ 分析 ] 第一 m ≠ 0， m ≠ 1，依据已知， m 2<(m － 1)2，即 m 2－ (m 2－ 2m2＋1)<0 ，1 1解得 m< .因此实数 m 的取值范围是 m< 且 m ≠0.22【能力提高】将直线方程代入抛物线方程，得 x 2－ 2x －2m ＝0，由＝ 4＋ 8m ＝ 0，得 m5．A[分析 ] ＝－ 1.应选 A.26． B [分析 ] 假如两曲线有公共点，可得椭圆中心到直线的距离|C| ≤a ；反d ＝A 2＋ B 2之不必定建立．应选B.37． A [分析 ] 抛物线的准线为 y ＝－ 4，双曲线的两条渐近线为y ＝±3 x ，这两条直线与 y ＝－ 4 的交点是 A(－ 4 3，－ 4)， B(4 3，－ 4)，故围成三角形的面积为S ＝12|AB |× 4＝ 12× 8 3× 4＝ 16 3.应选 A.8． D [ 分析 ] 依题意直线 y ＝ 2x 与椭圆的一个交点坐标为 (c,2c)，因此 c 2 4c 2＝1，消2＋ 2a b 去 b 整理得 a 2－ 2ac － c 2＝ 0，因此 e 2＋ 2e －1＝ 0，解得 e ＝－ 1± 2.又 e ∈ (0,1)，因此 e ＝ 2－1.应选 D.x2y2b 9．B [分析 ] 双曲线2－ 2＝ 1 的渐近线为y ＝ ± x ，由双曲线的一条渐近线与抛物线的aba准线的交点坐标为 (－ 2，－ 1)得－ p ＝－ 2，即 p ＝ 4.又∵ p＋a ＝ 4，∴ a ＝ 2，将 (－ 2，－ 1)代2 2 入 y ＝ba x 得b ＝ 1，∴ c ＝ a 2＋ b 2＝ 4＋ 1＝ 5，∴ 2c ＝ 2 5.10． (k 2p ＋ p ，－ kp)[ 分析 ] 因为两直线相互垂直，因此直线l 2 的斜率为－ 1，只要将k 弦 PQ 中点坐标中的 k 替代为－ 1，就能够获得弦 MN 的中点坐标，于是得弦 MN 的中点坐标为 (k 2 p ＋ p ，－ kp)． k4 [分析] 由 y ＝ a ＋ 1 x － 1，得 (a ＋ 1)y 2－ ay － a ＝ 0.当 a ≠－ 1 时， 11．0 或－ 1 或－ 5 y 2＝ax24 令＝ a ＋ 4a(a ＋ 1)＝ 0，解得 a ＝ 0 或 a ＝－ 5；当 a ＝－ 1 时，方程仅有一个根y ＝－ 1，符4合要求．因此a ＝ 0 或－ 1 或－ .22[分析 ] 椭圆方程为 x 2212.x－ y＝ 1 ＋ y＝ 1，则 c 2＝ a 2 －b 2＝ 7，即 c ＝ 7，又双曲线离43169心率为椭圆离心率的2 倍，因此双曲线的离心率为e ＝7，又 c ＝ 7，因此 a ＝ 2，因此 b 2222＝ c 2－a2＝ 7－ 4＝ 3，因此双曲线方程为 x 4 － y3 ＝ 1.p13．2[分析 ] 抛物线的准线方程为 x ＝－ 2，过点 M 的直线方程为 y ＝ 3(x － 1)，因此 p 1＋ p → →AB 的中点，由中点公式得交点A －，－ 3 2 .因为 AM ＝ MB ，因此点 M 是线段2p p p 2 p 2B 2＋2，3 1＋2 .又点 B 在抛物线上，于是3 1＋2＝ 2p × 2＋ 2 ，即 p ＋ 4p － 12＝ 0，解得 p ＝－ 6( 舍去 )或 p ＝ 2.14． [解答 ] (1)由已知，点 P 到点 F 0， 1的距离等于到直线y ＝－1的距离，依据抛物44线的定义，可得动圆圆心 P 的轨迹 C 为抛物线，其方程为 x 2＝ y.(2)证明：设 A(x 1 ，x 21)， B(x 2，x 22) ． ∵ y ＝ x 2，∴ y ′＝ 2x ，∴ AN ， BN 的斜率分别为 2x 1,2x 2，故 AN 的方程为 y － x 21＝ 2x 1 (x － x 1)，BN 的方程为y － x 2＝ 2x (x － x )，2 2 2即y ＝2x 1x － x 12，2y ＝ 2x 2x －x 2.x 1＋ x 2两式相减，得x N ＝.又 x M ＝x 1＋ x 2，2因此 M ，N 的横坐标相等，于是 MN ⊥ x 轴．15． [解答 ] (1) 由 b ＝ 2得 b ＝ 2，1＋1 2 2∴又 2a ＝ 4， a ＝ 2， a ＝ 4， b ＝ 2，∴两个焦点坐标为 ( 2，0)，(－ 2，0)．(2)因为过原点的直线 l 与椭圆订交的两点 M ， N 对于坐标原点对称，不如设： M( x 0， y 0)， N(－ x 0，－ y 0) ，P(x ， y)，x 02 y 02 x 2 y 2 M ， N ， P 在椭圆上，则它们知足椭圆方程，故有a 2＋b 2＝1， a 2＋ b 2＝ 1，两式相减得：y 2－ y 02 b 2x2－x 02＝－ a 2.由题意它们的斜率存在，则k PM ＝ y － y 0， k PN ＝ y ＋ y 0，y 2－ y 2x － x 0 x ＋ x 0y －y 0 y ＋ y 0 ＝－ b 2k PM ·k PN ＝ 0·0＝2－ x 02 a 2，x －x x ＋ x xb 21，由 a ＝2 得 b ＝1，则－ 2 ＝－ 4a x 22故所求椭圆的方程为4 ＋ y ＝ 1.【难点打破】16． [解答 ] 由 e ＝2，得 c＝ 2，得 a 2＝ 2c 2， b 2＝ c 2.2a2方程为x22设椭圆 C 2 2＋ y2＝ 1， A(x 1， y 1)，B(x 2，y 2)．2b b由圆心为 (2,1)，得 x 1＋ x 2＝ 4， y 1＋y 2 ＝2.2222x 1y 1x 2y 2又 2b 2＋ b 2＝ 1， 2b 2＋ b 2＝ 1，x 12－ x 22 y 12－ y 22 两式相减，得2 ＋2 ＝0.2b b因此 y 1－ y 2 ＝－ x 1＋ x 2＝－ 1，x 1－ x 2 2 y 1＋ y 2 因此直线 AB 的方程为 y － 1＝－ (x － 2) ，即 x ＋ y －3＝ 0.2 2将上述方程代入 2b x 2＋ y b 2＝ 1，得 3x 2－ 12x ＋18－ 2b 2＝0， (*) 又直线 AB 与椭圆 C 2 订交，因此＝ 24b 2－ 72>0.且 x 1， x 2 是方程 (*) 的两根，2因此 x 1＋ x 2＝ 4， x 1 x 2＝6－2b.3由 |AB|＝ 2|x 1－ x 2|＝ 2 x 1＋ x 2 2－4x 1 x 2 ＝ 2×20，3 得 2×8b 2－ 24＝2× 20 3 3.x 2 y 2 2解得 b ＝8，故所求椭圆方程为16＋8＝ 1.。

2013届人教A版文科数学课时试题及解析(53)直线与圆锥曲线的位置关系B

课时作业 (五十三 )B[第53讲直线与圆锥曲线的地点关系 ][时间： 45 分钟分值： 100 分]基础热身x 2 y 21．双曲线 9 － 16＝ 1 上的点到双曲线的右焦点的距离的最小值是 ()A ．2B ．3C ．4D ． 5x 2 22．斜率为 1 的直线被椭圆4 ＋ y ＝ 1 截得的弦长的最大值为 ()2 5 4 10 4 5 2 10A. 5B.5C. 5D. 53．过抛物线 y 2＝ 4x 的焦点作倾斜角为135°的弦 AB ，则 AB 的长度是 ( )A ．4B ．4 2C ．8D ．8 2 4．设抛物线 C 的极点为原点，焦点 F(1,0)，直线 l 与抛物线 C 订交于 A ， B 两点，若AB 的中点 (2,2) ，则直线 l 的方程为 ________．能力提高5．动圆 M 的圆心 M 在抛物线 y 2＝ 4x 上挪动，且动圆恒与直线 l ： x ＝－ 1 相切，则动圆M 恒过点( )A ． (－ 1,0)B ． (－ 2,0)C ．(1,0)D ． (2,0)x 2y26．若直线 mx ＋ ny ＝ 2 24 和圆 O ：x ＋ y ＝ 4 没有交点，则过点 (m ，n)的直线与椭圆＋＝941 的交点个数为 ( )A ．至多 1 个B ．2 个C ．1 个D ．0 个2 27．双曲线x 2－ y2＝ 1(a>0，b>0) 的左、右焦点分别是F 1， F 2，过 F 2 作倾斜角为 150°的a b直线交双曲线左支于 M 点，若 MF 1 垂直于 x 轴，则双曲线的离心率为 ()A. 6B. 5C. 3D. 28．椭圆 ax 2＋ by 2＝1 与直线 y ＝ 1－x 交于 A 、 B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为3，则 a的值为 ( ) 2 b3 2 3 9 3 23A. 2B. 3C. 2D. 279．过原点的直线 l 被双曲线 y 2－ x 2＝ 1 截得的弦长为 22，则直线 l 的倾斜角为 ()A ． 30°或 150 °B ． 45°或 135 °C ．60°或 120 °D ． 75°或 105 °x 2 y 2A 1、A 2，一个虚轴端点为B ，若10．已知双曲线 a 2－ b 2 ＝ 1(a>0 ，b>0) 的两个极点分别为它的焦距为 4，则△ A 1A 2B 面积的最大值为 ________．2211．如图 K53 － 1，在平面直角坐标系xOy 中，点 A 为椭圆 E ：x2＋ y2＝ 1(a>b>0)的左顶a b点， B ， C 在椭圆 E 上，若四边形 OABC 为平行四边形，且∠OAB ＝30°，则椭圆 E 的离心率等于 ________．图 K53－112．抛物线 y 2＝ 4x 过焦点的弦的中点的轨迹方程是________．x 2 y 213．双曲线 a 2－ b 2＝ 1(a>0，b>0) 的两条渐近线将平面区分为“上、下、左、右”四个地区 (不含界限 )，若点 (1,2) 在“上”地区内，则双曲线离心率 e 的取值范围是 ________．14． (10 分 )设抛物线 y 2＝ 2px(p>0)的焦点为 F ，经过焦点 F 的直线交抛物线于 A 、 B 两点，点 C 在抛物线的准线上，且BC∥ x 轴，证明：直线AC 经过原点O.点M 15．(13 分 )在直角坐标系xOy 中，点 M 到点 F1 (－3，0)、F2( 3，0)的距离之和是4，的轨迹是C，直线 l ： y＝ kx＋2与轨迹 C 交于不一样的两点P 和 Q.(1)求轨迹 C 的方程；(2)能否存在常数k，使以线段PQ 为直径的圆过原点O？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明原因．图 K53－2难点打破16． (12 分 ) 设椭圆x222＋y2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F 1， F2，点 P(a，b)知足 |PF2| a b＝|F1F2|.(1)求椭圆的离心率e；PF2与圆 (x＋1)2＋( y－3)2＝ 16 订交于(2)设直线 PF2与椭圆订交于A，B 两点，若直线5M， N 两点，且 |MN |＝8|AB |，求椭圆的方程．课时作业 (五十三 )B【基础热身】1． A [ 分析 ] 双曲线的右极点到右焦点的距离最小，最小值为 2.应选 A. 2．B [ 分析 ] 当直线经过椭圆中心时，被椭圆截得的弦最长，将此时直线方程y ＝x 代入椭圆方程，得弦的一个端点的坐标为M 2 ， 2，于是弦长为2|OM |＝4 10.应选 B.5 55 3．C [分析 ] 抛物线的焦点为 (1,0)，设弦 AB 所在的直线方程为 y ＝－ x ＋ 1 代入抛物线方程，得 x 2－6x ＋ 1＝ 0.设 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x 1＋ x 2＝ 6，x 1x 2＝1，由弦长公式，得 |AB| ＝ 2× 62－ 4× 1 ＝ 8.应选 C.4． y ＝x [ 分析 ] 由题意知，抛物线C 的方程 y 2＝ 4x.y 21＝ 4x 1，设 A(x 1， y 1)， B(x 2， y 2)，则 x 1≠ x 2，y 22＝ 4x 2，y 12－ y 22＝ 4(x 1－ x 2)，因此 y 1－ y 2＝ 4 ＝ 1，x 1－ x 2 y 1＋ y 2l ： y － 2＝ x －2，即 y ＝ x. 【能力提高】5． C [分析 ] 由于直线 l 是抛物线的准线，依据抛物线的定义，圆心 M 到F 的距离等于 M 到抛物线准线 l 的距离．因此动圆 M 恒过抛物线的焦点 F(1,0)．应选 C. 6． B [分析 ] 依题意，圆心到直线的距离大于半径，即 |－ 4|2 2>2，因此 m 2＋ n 2<4 ，m ＋ n 2 2该不等式表示点 (m ， n)在以原点为圆心， 2 为半径的圆内，而这个圆又在椭圆x ＋ y＝ 1 内， 9 4因此过点 (m ， n)的直线与椭圆有 2 个交点．应选 B.7． C [分析 ] 由题意知△ F 1 MF 2 是直角三角形，且 |F 1F 2|＝ 2c ，∠ MF 2F 1＝ 30°，2c 2c 2 4c 2 c 2 2因此 |MF 1|＝，于是点 M 坐标为－ c ， c 2＝ 1，即 2－ 4c ＝ 1，将.因此 2－ 3b a 2 2 3 3 a 3 c － ae ＝ c代入，化简整理，得3e 4－ 10e 2＋3＝ 0，解得 e 2＝ 1(舍去 )，或 e 2＝ 3，因此 e ＝3.应选a 3C.1， y 12， y 22－2bx ＋ b8． A[分析 ] 设 A(x )，将 y ＝ 1－ x 代入椭圆方程，得( a ＋ b)x)，B(x－1＝ 0，则 x 1＋x2＝ b，即线段 AB 中点的横坐标为b ，代入直线方程 y ＝ 1－ x 得纵坐2a ＋ ba ＋ b标为 a ，因此过原点与线段AB 中点的直线的斜率为a ＝ 3 a ＋ bb 2 .应选 A.9． C [分析 ] 设直线 l 方程为 y ＝ kx ，代入双曲线方程得(k 2－1)x 2＝1，∴ x ＝ ±1，k 2－ 1k，y ＝± 2k －1A1， k∴两交点的坐标为k 2－ 1 ，k 2－ 1B － 1 ，－ k ，22k － 1 k － 122k由两点间距离公式得， |AB|2＝ k 2－ 1 2＋k 2－ 1 2＝ (2 2)2 ，解得 k ＝ ± 3，∴倾斜角为 60°或 120°.2 ＋ b2 210． 2[分析 ]a ＝ c＝ 2，因此△ A 1A 2B 面积的最大值为依题意， S △ A 1 A 2B ＝ ab ≤22.22 2 [分析 ] 设椭圆的半焦距为c.由于四边形 OABC 为平行四边形， ∵ BC ∥ OA ，|BC|11. 3＝|OA|，因此点 C 的横坐标为 a，代入椭圆方程得纵坐标为3b22 .由于∠ OAB ＝ 30°，因此3b＝ 3× a，即 a ＝ 3b ， a 2＝ 9a 2－ 9c 2，2 3 2因此 8a 2＝9c 2，因此离心率 e ＝2212．y 2＝ 2(x － 1)3 .[分析 ] 抛物线焦点为 F(1,0)，设弦的端点 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2 )，中点2 2y 1－ y 2y P(x ，y)，则 y 1＝ 4x 1，y 2＝4x 2，作差得 (y 1＋ y 2)(y 1 －y 2 )＝ 4(x 1－ x 2)① .将 y 1＋ y 2＝ 2y ，＝x 1－ x 2 x － 1y代入①式，得 2y ·＝ 4，即 y 2＝ 2(x － 1)．13．(1， 5)[分析 ] b ＋ 2a>0 ，双曲线的渐近线为 bx ±ay ＝ 0，依题意有即 b<2a ，所b － 2a<0 ，以 c 2 －a 2 <4a 2，那么 e ＝ c< 5.又 e>1，因此 e ∈ (1， 5)．a14． [解答 ]p， 0的直线 AB 的方程为 x ＝ my ＋ p证明：设过焦点 F 22， A(x 1， y 1)， B(x 2，y 2)．由 x ＝ my ＋ p ，2消去 x ，得 y 2－2pmy － p 2＝ 0，y 2＝ 2px ，∴ y 1y 2＝－ p 2.∵ BC ∥ x 轴，且点 C 在准线 x ＝－ p上，2∴点 C 的坐标为－ p， y 2 .2k CO ＝y 2＝2p ＝y 1＝ k OA ，故 AC 过原点 O.－ py 1 x 1215． [解答 ] (1) ∵点 M 到 (－ 3，0)， ( 3， 0)的距离之和是 4， ∴ M 的轨迹 C 是长轴长为 4，焦点在 x 轴上，焦距为 2 3的椭圆，其方程为 x 2 2＋ y ＝ 1.4(2)将 y ＝ kx ＋ 2代入曲线 C 的方程，消去 y ，整理得 (1＋ 4k 2 )x 2＋ 8 2kx ＋ 4＝0.①设 P(x 1， y 1)， Q( x 2， y 2)，由方程①，得 x 1＋ x 2＝－8 2k2， x 1x 2＝4 2 .②1＋4k 1＋ 4k又 y 1·y 2＝( kx 1＋ 2)(kx 2 ＋ 2)＝k 2x 1x 2＋ 2k(x 1＋ x 2)＋ 2.③→ →若以 PQ 为直径的圆过原点，则 OP ·OQ ＝ 0，因此 x 1x 2＋ y 1y 2＝ 0，6 将②、③代入上式，解得 k ＝ ±2 .又因 k 的取值应知足2－ 1>0(*) ，将 k ＝ ±6 6>0，即 4k代入 (*) 式知切合题意． ∴ k ＝ ± .22【难点打破】16．[解答 ] (1) 设 F 1(－ c,0)，F 2(c,0)(c>0) ，由于 |PF 2|＝|F 1F 2|，因此a － c 2＋b 2＝2c ，整理得 2c2＋ c － 1＝ 0，得 c ＝－ 1(舍 )，或 c ＝ 1，因此 e ＝ 1.a a aa 2 2(2)由 (1) 知 a ＝ 2c ，b ＝ 3c ，可得椭圆方程为 3x 2＋4y 2＝ 12c 2，直线 PF 2 的方程为 y ＝ 3(x － c)．3x 2＋ 4y 2＝12c 2 ，A ，B 两点的坐标知足方程组消去 y 并整理，得5x 2－ 8cx ＝0.解得 x 1y ＝3 x － c ，81＝ 0，x 2＝ c ，858 33＝0，x 2 ＝x3c ，33不如设 A5c.得方程组的解1＝－5c ，5 c ，B(0，－ 3c)，yy 2＝5c.因此 |AB|＝8 23 32165c＋5 c ＋ 3c＝ 5 c.于是 |MN|＝ 5|AB|＝2c.8圆心 (－ 1， 3)到直线 PF 2 的距离|－ 3－ 3－ 3c| 3|2＋c|d ＝ 2 ＝ .2由于 d 2＋ |MN | 2＝ 42，32因此222(2 ＋ c)＋ c＝ 16，整理得7c ＋ 12c － 52＝ 0.426x 2 y 2得 c ＝－ 7 (舍 )，或 c ＝ 2.因此椭圆方程为 16＋12＝ 1.。

2013届人教A版理科数学课时试题及解析(51)直线与圆锥曲线的位置关系

课时作业(五十一) [第51讲直线与圆锥曲线的位置关系][时间：45分钟分值：100分]基础热身1．已知椭圆C ：x 24＋y 2b＝1，直线l ：y ＝mx ＋1，若对任意的m ∈R ，直线l 与椭圆C恒有公共点，则实数b 的取值范围是( )A ．[1,4)B ．[1，＋∞)C ．[1,4)∪(4，＋∞)D ．(4，＋∞)2．直线l 过点(2，0)且与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条3．直线x －y ＋3＝0与曲线y 29－x |x |4＝1的交点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．14．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－153，－1B.⎝⎛⎭⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎫－153，0 D.⎝⎛⎭⎫－153，153 能力提升5．设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，F A →与x轴正向的夹角为60°，则|OA →|为( )A.21p 4B.21p 2C.136pD.1336p 6．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在7．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝23，A ，B 是椭圆上关于x 、y 轴均不对称的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P (1,0)．设AB 的中点为C (x 0，y 0)，则x 0的值为( )A.95B.94C.49D.598．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若|F A |＝2|FB |，则k ＝( )A.13B.23C.23D.2239．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点．则cos ∠AFB ＝( )A.45B.35C ．－35D ．－4510．若直线l ：tx －y ＋6＝0与曲线C ：x 2－y 2＝2有两个不同交点，则实数t 的取值范围是________．11．过点(0,2)的双曲线x 2－y 2＝2的切线方程是________．12．设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．若AB 的中点为(2,2)，则直线l 的方程为________．13．已知双曲线x 29－y 216＝1，过其右焦点F 的直线交双曲线于P ，Q 两点，PQ 的垂直平分线交x 轴于点M ，则|MF ||PQ |＝________.14．(10分)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的对称轴上的定点M (m,0)(m >0)，过点M 作直线AB 与抛物线相交于A ，B 两点．(1)试证明A ，B 两点的纵坐标之积为定值；(2)若点N 是定直线l ：x ＝－m 上的任一点，证明：直线AN ，MN ，BN 的斜率成等差数列．15．(13分) P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC →＝λOA →＋OB →，求λ的值．难点突破16．(12分) 已知曲线C 上任意一点M 到点F (0,1)的距离比它到直线l ：y ＝－2的距离小1.(1)求曲线C 的方程；(2)过点P (2,2)的直线m 与曲线C 交于A 、B 两点，设AP →＝λPB →，当△AOB 的面积为42时(O 为坐标原点)，求λ的值．课时作业(五十一)【基础热身】1．C [解析] 直线恒过定点(0,1)，只要该点在椭圆内部或椭圆上即可，故只要b ≥1且b ≠4.2．C [解析] 点(2，0)恰是双曲线的一个顶点，过该点仅有一条直线与双曲线相切，而过该点与双曲线的渐近线平行的两条直线也与双曲线仅有一个公共点，故这样的直线有3条．3．B [解析] 当x ≥0时，方程是y 29－x 24＝1，当x <0时，方程是y 29＋x 24＝1，作图即知．4．A [解析] 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6，消去y 后得 (1－k 2)x 2－4kx －10＝0，设交点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则1－k 2≠0，Δ＝(－4k )2＋40(1－k 2)>0，x 1＋x 2＝4k1－k 2>0，x 1x 2＝－101－k 2>0，解不等式组得－153<k <－1.【能力提升】5．B [解析] 过A 作AD ⊥x 轴于D ，令|FD |＝m ，则|F A |＝2m ，p ＋m ＝2m ，m ＝p ，∴OA ＝⎝⎛⎭⎫p 2＋p 2＋(3p )2＝212p . 6．B [解析] 方法1：该抛物线的通径长为4，而这样的弦AB 的长为x A ＋x B ＋p ＝7，故这样的直线有且仅有两条．方法二：①当该直线的斜率不存在时，它们的横坐标之和等于2，不合题意． ②当该直线的斜率存在时，设该直线方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，由x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝5⇒k 2＝43⇒k ＝±233.故这样的直线有且仅有两条．7．B [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由于点A ，B 在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，所以x 21a2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0.设直线AB 的斜率为k ，则得k ＝－b 2x 0a 2y 0，从而线段AB 的垂直平分线的斜率为a 2y 0b 2x 0，线段AB 的垂直平分线的方程为y －y 0＝a 2y 0b 2x 0(x －x 0)．由于线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P (1,0)，所以0－y 0＝a 2y 0b 2x 0(1－x 0)，解得x 0＝a2a 2－b 2.a 2a 2－b 2＝a 2c 2＝⎝⎛⎭⎫1e 2.所以x 0＝94. 8．D [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线y ＝k (x ＋2)与抛物线y 2＝8x 联立，消掉y 得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.根据韦达定理x 1x 2＝4，(1)．根据焦点半径公式，有|F A |＝x 1＋2，|FB |＝x 2＋2，由|F A |＝2|FB |，得x 1＝2x 2＋2，(2)，由(1)(2)解得x 2＝1(负值舍去)，故点B 的坐标为(1,22)，将其代入y ＝k (x ＋2)(k >0)得k ＝223.9．D [解析] 法一：联立直线与抛物线的方程，消去y 得x 2－5x ＋4＝0，∴x ＝1或4，得A (1，－2)，B (4,4)，则|AF |＝2，|BF |＝5，|AB |＝35，由余弦定理得cos ∠AFB ＝－45，故选D.法二：联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y 2＝4x ，解得x ＝1或x ＝4，所以交点坐标分别为A (1，－2)，B (4,4)，又F (1,0)，∴FB →＝(3,4)，F A →＝(0，－2)，所以cos ∠AFB ＝F A →·FB →|F A →||FB →|＝－85×2＝－45.10．(－2，－1)∪(－1,1)∪(1,2) [解析] 直线与曲线方程联立，消掉y 得(1－t 2)x 2－26tx －8＝0，直线与双曲线交于不同两点的充要条件是1－t 2≠0且Δ＝(26t )2－4(1－t 2)×(－8)>0，解得t 2<4且t 2≠1.11．y ＝±3x ＋2 [解析] 设切线方程为y ＝kx ＋2，代入双曲线方程得(1－k 2)x 2－4kx －6＝0，由Δ＝16k 2＋24(1－k 2)＝0，解得k ＝±3，故所求的切线方程为y ＝±3x ＋2.12．y ＝x [解析] 由已知抛物线方程为y 2＝4x .直线l 的斜率不存在时，根据抛物线的对称性，点(2,2)不可能是AB 的中点，故直线l 的斜率存在，设直线方程斜率为k ，则直线l的方程是y －2＝k (x －2)且k ≠0，与抛物线方程y 2＝4x 联立消去x ，则y 2－4⎝⎛⎭⎫y －2k ＋2＝0，即y 2－4k y ＋8k －8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k ，又y 1＋y 22＝2，即2k＝2，解得k ＝1，故所求的直线方程是y －2＝x －2，即y ＝x .13.56[解析] 右焦点F 的坐标是(5,0)，设直线PQ 的方程是x ＝my ＋5，代入双曲线方程得(16m 2－9)y 2＋160my ＋162＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－160m 16m 2－9，y 1y 2＝16216m 2－9，则|PQ |＝1＋m 2⎝⎛⎭⎫－160m 16m 2－92－4·16216m 2－9＝96(1＋m 2)|16m 2－9|. 设PQ 的中点N (x 0，y 0)，则y 0＝－80m 16m 2－9，x 0＝－80m 216m 2－9＋5＝－4516m 2－9. 设M (t,0)，则y 0x 0－t ＝－m ，即t ＝y 0m ＋x 0＝－12516m 2－9，故|MF |＝|t －5|＝⎪⎪⎪⎪－12516m 2－9－5＝80(1＋m 2)|16m 2－9|.所以|MF ||PQ |＝8096＝56.14．[解答] (1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 1y 2＝－2pm ，下证之：设直线AB 的方程为：x ＝ty ＋m ，与y 2＝2px 联立得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＝ty ＋m ，消去x ，得y 2－2pty －2pm ＝0，由韦达定理得y 1y 2＝－2pm .(2)证明：设点N (－m ，n )，则直线AN 的斜率为k AN ＝y 1－n x 1＋m ，直线BN 的斜率为k BN ＝y 2－nx 2＋m，∴k AN ＋k BN ＝y 1－n y 212p ＋m ＋y 2－n y 222p＋m ＝2p (y 1－n )y 21＋2pm ＋2p (y 2－n )y 22＋2pm＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1－n y 21－y 1y 2＋y 2－n y 22－y 1y 2 ＝2p ·y 2(y 1－n )－y 1(y 2－n )y 1y 2(y 1－y 2)＝2p ·n (y 1－y 2)y 1y 2(y 1－y 2)＝2p ·n y 1y 2＝2p ·n －2pm＝－n m又∵直线MN 的斜率为k MN ＝n －0－m －m＝－n2m ，∴k AN ＋k BN ＝2k MN ，即直线AN ，MN ，BN 15．[解答] (1)点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线x a 2－y b 2＝1上，有x 20a 2－y 20b2＝1，由题意又有y 0x 0－a ·y 0x 0＋a ＝15，可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，则e ＝c a ＝305.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5y 2＝5b 2，y ＝x －c 得4x 2－10cx ＋35b 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝5c2，x 1x 2＝35b 24.①设OC →＝(x 3，y 3)，OC →＝λOA →＋OB →，即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2，又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2，有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2，化简得：λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2. 又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2.②由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2，得：λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4. 【难点突破】16．[解答] (1)∵点M 到点F (0,1)的距离比它到直线l ：y ＝－2的距离小1，∴点M 在直线l 的上方，点M 到F (0,1)的距离与它到直线l ′∶y ＝－1的距离相等， ∴点M 的轨迹C 是以F 为焦点，l ′为准线的抛物线， ∴曲线C 的方程为x 2＝4y .(2)当直线m 的斜率不存在时，它与曲线C 只有一个交点，不合题意，设直线m 的方程为y －2＝k (x －2)，即y ＝kx ＋(2－2k )，代入x 2＝4y 得x 2－4kx ＋8(k －1)＝0(*)，Δ＝16(k 2－2k ＋2)>0对k ∈R 恒成立，所以直线m 与曲线C 恒有两个不同的交点．设交点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝8(k －1)． ∴|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 ＝(1＋k 2)[(x 2＋x 1)2－4x 1x 2] ＝4(1＋k 2)(k 2－2k ＋2)，点O 到直线m 的距离d ＝|2－2k |1＋k2， ∴S △ABO ＝12|AB |d ＝4|k －1|k 2－2k ＋2＝4(k －1)4＋(k －1)2，∵S △ABO ＝42，∴4(k －1)4＋(k －1)2＝42， ∴(k －1)4＋(k －1)2－2＝0，∴(k －1)2＝1或(k －1)2＝－2(舍去)，∴k ＝0或k ＝2.当k ＝0时，方程(*)的解为x ＝±2 2. 若x 1＝22，x 2＝－22，则λ＝2－22－22－2＝3－22；若x 1＝－22，x 2＝22，则λ＝2＋2222－2＝3＋2 2.当k ＝2时，方程(*)的解为4±2 2. 若x 1＝4＋22，x 2＝4－22，则λ＝－2－222－22＝3＋22；若x 1＝4－22，x 2＝4＋22，则λ＝－2＋222＋22＝3－2 2.所以λ＝3＋22或3－2 2.。

高考数学(理)专题辅导：53 直线与圆锥曲线的位置关系 Word版含解析

课时分层训练(五十三) 直线与圆锥曲线的位置关系A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的交点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．1或2D ．0A [因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝ba x 平行，所以它与双曲线只有1个交点．]2．已知直线y ＝22(x －1)与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，点M (－1，m )，若MA →·MB →＝0，则m ＝( )A. 2 B ．22 C.12D ．0B [由⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得A (2,22)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2.又∵M (－1，m )且MA →·MB →＝0， ∴2m 2－22m ＋1＝0，解得m ＝22.]3．(·南昌模拟)椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ab 的值为( )A.32 B ．233 C.932D ．2327A [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 中点M (x 0，y 0)．由题设k OM ＝y 0x 0＝32.由⎩⎨⎧ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1，得(y 2＋y 1)(y 2－y 1)(x 2＋x 1)(x 2－x 1)＝－a b . 又y 2－y 1x 2－x 1＝－1，y 2＋y 1x 2＋x 1＝2y 02x 0＝32，所以a b ＝32.]4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 221－y 228＝1 B ．x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1D [由题意知点(2，3)在渐近线y ＝b a x 上，所以b a ＝32，又因为抛物线的准线为x ＝－7，所以c ＝7，故a 2＋b 2＝7，所以a ＝2，b ＝ 3.故双曲线的方程为x 24－y 23＝1.]5．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 218＋y 29＝1 B ．x 227＋y 218＝1 C.x 236＋y 227＝1D ．x 245＋y 236＝1A [因为直线AB 过点F (3,0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x－3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a22⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2.又a 2＝b 2＋c 2，所以b＝c ＝3，a ＝32，所以E 的方程为x 218＋y 29＝1.] 二、填空题6．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为__________．16 [直线l 的方程为y ＝3x ＋1，由⎩⎨⎧y ＝3x ＋1，x 2＝4y ，得y 2－14y ＋1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝14， ∴|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝14＋2＝16.]7．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为________．5 [双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线为y ＝ba x ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b ax ，y ＝x 2＋1，消去y ，得x 2－ba x ＋1＝0有唯一解，所以Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－4＝0，b a ＝2，e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 5.] 8．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)与y 轴交于A ，B 两点，点F 为该椭圆的一个焦点，则△ABF 的面积的最大值为__________．2 [不妨设点F 的坐标为(4－b 2，0)，而|AB |＝2b ，∴S △ABF ＝12×2b ×4－b 2＝b 4－b 2＝b 2(4－b 2)≤b 2＋4－b 22＝2(当且仅当b 2＝4－b 2，即b 2＝2时取等号)，故△ABF 面积的最大值为2.]三、解答题9．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，其一个顶点是抛物线x 2＝－43y 的焦点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ，求直线l 的方程和点M 的坐标.【导学号：57962425】[解] (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意得b ＝3，c a ＝12，3分解得a ＝2，c ＝1.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. 5分(2)因为过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切，所以直线l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x －2)＋1，8分得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0.① 因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝[－8k (2k －1)]2－4(3＋4k 2)(16k 2－16k －8)＝0，整理，得96(2k ＋1)＝0，解得k ＝－12.所以直线l 的方程为y ＝－12(x －2)＋1＝－12x ＋2.10分将k ＝－12代入①式，可以解得M 点的横坐标为1，故切点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.12分10．已知中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆C ，其上一点P 到两个焦点F 1，F 2的距离之和为4，离心率为32.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx ＋1与曲线C 交于A ，B 两点，求△OAB 面积的取值范围． [解] (1)设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，由条件可得a ＝2，c ＝3，b ＝1，故椭圆C 的方程y 24＋x 2＝1. 5分(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1，得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0，故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4. 8分设△OAB 的面积为S ，由x 1x 2＝－3k 2＋4<0，知S ＝12(|x 1|＋|x 2|)＝12|x 1－x 2| ＝12(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2k 2＋3(k 2＋4)2，10分令k 2＋3＝t ，知t ≥3，∴S ＝21t ＋1t＋2，对函数y ＝t ＋1t (t ≥3)，知y ′＝1－1t 2＝t 2－1t 2>0， ∴y ＝t ＋1t 在t ∈[3，＋∞)上递增，∴t ＋1t ≥103，∴0<1t ＋1t ＋2≤316，∴S ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，32. 12分B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．(·四川高考)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )A.33B ．23C.22D ．1C [如图所示，设P (x 0，y 0)(y 0>0)，则y 20＝2px 0，即x 0＝y 202p .设M (x ′，y ′)，由PM →＝2MF →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′－x 0＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x ′，y ′－y 0＝2(0－y ′)，化简可得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝p ＋x 03，y ′＝y 03.∴直线OM 的斜率为k ＝y 03p ＋x 03＝y 0p ＋y 202p ＝2p 2p 2y 0＋y 0≤2p 22p ＝22(当且仅当y 0＝2p 时取等号)．]2．(·青岛质检)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为__________．2＋3 [如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l 的斜率为b a ，又直线l 过右焦点F (c,0)，则直线l 的方程为y ＝ba (x －c )．因为点P 的横坐标为2a ，代入双曲线方程得4a 2a 2－y 2b 2＝1，化简得y ＝－3b 或y ＝3b (点P 在x 轴下方，故舍去)．故点P 的坐标为(2a ，－3b )，代入直线方程得－3b ＝ba (2a －c )，化简可得离心率e ＝ca ＝2＋ 3.]3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(0，3)，离心率为12，左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．图8-9-3(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB ||CD |＝534，求直线l 的方程.【导学号：57962426】[解](1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c a ＝12，b 2＝a 2－c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1，3分∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.5分(2)由题设，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1， ∴圆心到直线l 的距离d ＝2|m |5. 由d <1得|m |<52.(*) ∴|CD |＝21－d 2＝21－45m 2＝255－4m 2. 8分设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 23＝1，得x 2－mx ＋m 2－3＝0，由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3. ∴|AB |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122[m 2－4(m 2－3)]＝1524－m2. 10分由|AB||CD|＝534得4－m25－4m2＝1，解得m＝±33，满足(*)．∴直线l的方程为y＝－12x＋33或y＝－12x－33. 12分。

2013高中数学高考真题分类：考点43-直线与圆锥曲线的位置关系

考点 43 直线与圆锥曲线的地点关系一、选择题1. （2013 ·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ8）O为坐标原点，F为抛物线C：y2 4 2x 的焦点， P 为C上一点，若| PF | 4 2 ，则△POF的面积为（）A. 2B.2 2C.2 3D. 4【解题指南】由抛物线的定义: 抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离求解 .【分析】选 C. 设P( x1, y1)，则| PF | x1 P，解得 x1 3 2，由于P x1 2 2 4 22为 C 上一点，则y12 4 2x1 4 2 3 2 24 ，得 | y1 | 2 6 ，所以SPOF 1226 23. 22.（ 2013·江西高考文科·Ｔ 9）已知点 A（ 2， 0），抛物线 C： x2=4y 的焦点为 F，射线 FA 与抛物线 C 订交于点M，与其准线订交于点N，则 |FM| ：|MN|= （）A.2:5B.1:2C. 1:5D. 1:3【解题指南】由抛物线的定义把FM 转变为点M到准线的距离，再联合直线的斜率，借助直角三角形进行求解.【分析】选 C. 设直线 FA 的倾斜角为，由于F（0,1），A（2,0），因此直线 FA 的斜率为1，即tan1，过点作准线的垂线交准线于点，由2 2 M Q抛物线定义得FM MQ ，在 MQN 中|MQ |1 ,可得 |MQ|1，即 |FM| ：|QN | 2 |MN | 5|MN|= 1: 5 .3. （ 2013·重庆高考文科·Ｔ 10）设双曲线 C 的中心为点 O ，如有且只有一对订交于点 O 、所成的角为 600 的直线 A 1B 1 和 A 2 B 2 ，使 A 1 B 1 A 2 B 2 ，其中 A 1 、 B 1 和 A 2 、 B 2 分别是这对直线与双曲线 C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A. (2 3,2]B.[2 3,2)C.(2 3,)D.[2 3,)3333【解题指南】依据双曲线的对称性找到渐近线与直线 A 1B 1 和 A 2 B 2 的斜率之间的关系即可 .【分析】选 A. 由题意知 , 直线 A 1B 1 和 A 2 B 2 对于 x 轴对称 , 又所成的角为 600, 所以直线方程为 y3x 或 y3x , 又由于有且只有一对相较于点O 、所成的3角为 600 的直线 A 1B 1 和 A 2 B 2 ，使 A 1 B 1 A 2 B 2 ，因此渐近线斜率知足3 b 3 ,3 a解得23e 2 . 应选 A.34. （ 2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ10）已知椭圆 E : x2y 2 1( a b 0) 的右a 2b 2焦点 F (3,0)，过点 F 的直线交 E 于 A ， B 两点，若 AB 的中点坐标为 (1, 1)，则 E的方程为（）A. x2y 21B.4536C. x 2y 21D.27 18x 2y 2 36127 x 2 y 2 189 1【解题指南】本题中给出 AB 的中点坐标，因此在解题时先设出 A ，B 两点坐标，而后采纳点差法求解 .【分析】选 D. 由椭圆x2y 2 1得， b 2 x 2 a 2 y 2 a 2 b 2 ， a 2b 2。

人教版A版高中数学高二选修2-1 第二章复习直线与圆锥曲线的位置关系要点归纳.

直线与圆锥曲线的位置关系要点归纳一、知识要点归纳1．直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何的重点内容之一．可从代数与几何两个角度考虑．从代数角度看，可通过将表示直线的方程，代入圆锥曲线的方程消元后所得的情况来判断，但要注意的是：对于椭圆方程来讲，所得一元方程必是一元二次方程，而对双曲线方程来讲未必，例如：y = kx + m 代入22a x －22by = 1中消y 后整理得：(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2kmx －a 2m 2－a 2b 2= 0 ①，当k =±ab时，该方程为一次方程，此时直线y = kx + m 与双曲线的渐进线平行(重合)，当k ≠±a b时，方程①为二次方程，这时可以用判别式来判断直线与双曲线的位置关系．从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及两个相异的公共点．具体如下：⑴直线与圆锥曲线的相离关系，常通过求二次曲线上的点到已知直线的距离的最大值或最小值来解决．⑵直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或与双曲线的渐进线平行；对于抛物线，表示直线与其相切或直线与其对称轴平行．⑶直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相割，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦．2．弦长公式：斜率为k 的直线被圆锥曲线截得弦AB ，若A 、B 两点的坐标分别为：A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|AB| =21k +| x 1－x 2| =2122124))[(1(x x x x k -++=211k +| y 1－y 2| =2122124))[(11(y y y y k-++．利用这个公式求弦长时，主要是应用韦达定理．3．关于圆锥曲线的中点弦问题直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，一般有三种类型：⑴求中点弦所在直线方程问题；⑵求弦中点的轨迹问题；⑶弦长为定值时，弦中点的坐标问题．其常见解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法以及中心对称变换法等．二、经典例题评析例1 已知点P(4，2)是直线l 被椭圆236x ＋29y = 1所截得的线段的中点，求直线l 的方程．分析：本题考查直线与椭圆的位置关系问题．通常将直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，再由根与系数之间的关系，直接求出x 1＋x 2、x 1x 2(或y 1＋y 2、y 1y 2)的值代入计算即得．并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法在圆锥曲线中要经常用到．本题涉及到直线被椭圆截得弦的中点问题，也可采用点差法或中点坐标公式，运算会更简便．解法一：设所求直线方程为y －2 = k(x －4)，代入椭圆236x ＋29y = 1中，整理得(4k 2＋1)x 2－8k(4k －2)x ＋4(4k －2)2－36 = 0． ①设直线与椭圆的交点为A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则x 1、x 2是方程①的两根，∴x 1＋x 2=28(42)41k k k -+．∵P(4，2)为AB 中点， ∴4 =122x x +=24(42)41k k k -+⇒k =－12． ∴所求直线方程为x ＋2y －8 = 0．解法二：设直线与椭圆的交点为A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)， ∵P(4，2)为AB 中点，∴x 1＋x 2= 8，y 1＋y 2= 4．又∵21x ＋214y = 36，22x ＋224y = 36，两式相减得(21x －22x )＋214(y －22y ) = 0，即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2) = 0， ∴1212y y x x --=1212()4()x x y y -++=－12，即AB k =－12， ∴所求直线方程为x ＋2y －8 = 0．解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(x ，y)，另一个交点为B(8－x ，4－y)，∵A 、B 在椭圆上，∴x 2＋4y 2= 36，① (8－x)2＋4(4－y)2= 36，② ①－②得x ＋2y －8 = 0，∵A 、B 两点同时满足方程x ＋2y －8 = 0， ∴所求直线方程为x ＋2y －8 = 0．评析：这是一个技巧性较强的题目，关键是怎样求出k =1212y y x x --的值．从上述解题过程中看出，巧妙地将一个方程减去另一个方程，分解因式，就得到(x 1＋x 2)、(x 1－x 2)、(y 1＋y 2)、(y 1－y 2)的关系式，而(x 1＋x 2)、(y 1＋y 2)是可以由中点坐标公式求出具体数值的，从而k =1212y y x x --的值可以求出来．“设而不求”是处理此类问题的有效方法．有关直线与二次曲线相交先中点问题常用解法二(点差法)来解决．点差法最常用来求中点弦问题，具体解题的步骤是：设点(即设出弦的端点坐标)——代入(即代入曲线方程)——作差(即两式相减)，目的是与中点坐标、弦的斜率联系起来．例2 过原点作直线l 和抛物线 y = x 2－4x + 6交于A 、B 两相异点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．解：设直线AB 的方程为y = kx ，代入抛物线方程y = x 2－4x + 6，得：x 2－(k + 4)x + 6 = 0 ①，由于直线与抛物线有两个交点，所以∆= (k + 4)2－24＞0，解得k ＜－4－26或k ＞－4 +26．设A 、B 、M 的坐标分别为(x 1，y 1) ，(x 2，y 2) ，(x ，y)，根据韦达定理知：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+⨯==+=+=.)4(21)4(21,)4(21)(2121k k k k kx y k x x x ⇒ y = 2x 2－4x ． ∵k ＜－4－26或k ＞－4 +26，由)4(21+=k x 得x ＜6或x ＞6．故所求M 点的轨迹方程是y = 2x 2－4x (x ＜6或x ＞6)．评析：与运用韦达定理求直线和抛物线交点的中点坐标，是以直线和抛物线有两个交点为前提条件，即必须考虑方程：x 2－(k + 4)x + 6 = 0有两个不等的实根∆＞0的条件下，因此，k 的取值是受限制的．例3 已知直线y = (a + 1)x －1与抛物线y 2= ax 恰有一个公共点，求实数a 的值．解：联立方程⎩⎨⎧=-+=.,1)1(2ax y x a y⑴当a = 0时，此方程组恰有一解为⎩⎨⎧==.0,1y x ．⑵当a ≠0时，消去x ，整理得aa 1+y 2－y －1 = 0．若a =－1，则方程组恰有一解为⎩⎨⎧-=-=.1,1y x ．若a ≠－1，令∆= 0，可解得a =－54．所以，当a = 0，－1，－54时，原直线与曲线恰有一个公共点．评析：上面三解的几何意义是：当a= 0时，曲线y 2= ax 蜕化成直线y = 0，此时已知直线为y = x －1，它们恰有一个交点(1，0)；当a =－1时，直线与抛物线对称轴平行，恰有一个交点；当a =－54时，直线与抛物线相切．例4 已知抛物线C 1：y 2= x + 1，C 2：(x +41)2=21(y －819)，直线l ：y = kx+ b ，试问：是否存在自然数k 和b ，使得l 与C 1、C 2均为公共点？解：将y = kx + b 分别代入C 1、C 2的方程，得⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+=-+-+②b x k x ①b x bk x k .025)1(24,01)12(2222 ⇒⎪⎩⎪⎨⎧<---=∆<---=∆④b k ③b k bk .02516)1(4,0)1(4)12(222221）（视③、④中b 为主元，得⎪⎩⎪⎨⎧≥->-≥->-⑥k b ⑤b kb .0)1(254,0)21(1222）（⇒1＜b ＜25，得自然数b = 2．将b = 2代入⑤、⑥，有⎪⎩⎪⎨⎧<-<-.4)1(,3)221(22k k⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<-+<<-.31,232232k k ⇒232232+-＜＜k ．由此得自然数k = 1．故当k = 1，b = 2时l 与C 1、C 2均为公共点．评析：在上述求解过程中，得出方程①、②及不等式③、④是较为容易的，关键是如何处理二元二次不等式组(无需求所有的k 和b)，这里以b 为主元进行讨论是明智的选择．。

人教A版高中数学选修2-1第二章《直线与圆锥曲线的位置关系》专题训练(含解析)

直线与圆锥曲线的位置关系专题训练一．选择题.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 过抛物线22x y =的焦点F 作倾斜角为120的直线交抛物线于A 、B 两点，则弦AB的长为A ． 2B ．32 C ． 21D ．1 2. 直线m x y +=与椭圆1422=+y x 有两个不同的交点，则m 的范围是 A ．55-<<m B ．5-<m 或5>m C ．5<m D ．55<<-m3. 已知点A 、B 是抛物线x y 42=上的两点，点)2,3(M 是线段AB 的中点，则AB 的值为A ．4B ．24C ．8D ．284. 过点)1,1(M 作斜率为21-的直线与椭圆C ：12222=+by a x )1(>>b a 相交于A 、B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于A ．21 B ．31C ．33D ．225. 已知抛物线C :y x 22=，直线l ：2-=x y ，则抛物线上的点到直线的最小距离为A ．423 B ． 5 C ． 1 D ． 26. 已知双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 的离心率为5，左焦点为F ，过点F 与x 轴垂直的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点M 、N ，若OMN ∆的面积为20，其中O 是坐标原点，则该双曲线的标准方程为A ．18222=-y xB ．18422=-y xC ．12822=-y xD ．14822=-y x 7. 已知过抛物线px y 22=)0(>p 的焦点F 且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，8=⋅BF AF ，则p 等于A ．1B ．2C ．4D ．88. 过双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B 、C ，若A 、B 、C 三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离心率为A ．3B ．22C ．10D ．32 9. 已知两点)0,5(-M 、)0,5(N ，若直线上存在点P ，使6-=PN PM ，则称该直线为“B 型直线”,给出下列直线：①1+=x y ；②2=y ；③x y 34=；④x y 2=，其中为“B 型直线”的是A ． ①③B ．①②C ． ③④D ．①④10. 已知椭圆141622=+y x 的左顶点为A ，过点A 作两条弦AM 、AN 分别交椭圆于M 、N 两点，直线AM 、AN 的斜率记为1k 、2k 且满足221-=⋅k k ，则直线MN 经过的定点为 A ．)0,928(-B ．)0,928(C ．)928,0(D ．)928,0(- 二．填空题.11. 已知椭圆M ： 12222=+by a x )0(>>b a 的离心率为36，焦距为22.斜率为1的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A 、B .则AB 的最大值为_______．12. 已知M 、N 为椭圆1422=+y x 上的两个动点且ON OM ⊥(O 为坐标原点)，则OMN ∆的面积的最小值为．13. 已知椭圆C ：1422=+y x ，过点)0,4(M 的直线l 交椭圆于A 、B 两个不同的点，且MB MA ⋅=λ，则λ的取值范围为 .三．解答题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14．已知曲线E 上的点到)1,0(F 的距离比它到x 轴的距离大1. （Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）过F 作斜率为k 的直线交曲线E 于A 、B 两点，若FA BF 3=，求直线l 的方程.15. 已知点)0,2(-M 、)0,2(N ，动点P 满足条件22-=PN PM .记动点P 的轨迹为W ．（Ⅰ）求W 的方程；（Ⅱ）若A 、B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求⋅的最小值.16．已知点A 、B 是椭圆L ：12222=+by a x )0(>>b a 的左右顶点，点C 是椭圆的上顶点，若该椭圆的焦距为32，直线AC 、BC 的斜率之积为41-. （Ⅰ）求椭圆L 的方程；（Ⅱ）是否存在过点)0,1(M 的直线l 与椭圆L 交于两点P 、Q ，使得以PQ 为直径的圆经过点C ，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.17．已知椭圆：C 12222=+by a x )0(>>b a 的焦点与双曲线1-222=y x 的焦点重合，并且经过点)21,3(M ．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设椭圆C 短轴的上顶点为P ，直线l 不经过P 点且与C 相交于A 、B 两点，若直线PA 与直线PB 的斜率的和为1-，判断直线l 是否过定点，若是，求出这个定点，否则说明理由.直线与圆锥曲线的位置关系专题训练参考答案11．6 12．54 13．]12,439(∈λ 1．A 【解析】根据抛物线22x y =方程得：焦点坐标)81,0(F ，直线AB 的斜率为3120tan -==k ，则直线AB 的方程为：x y 381-=-，将直线方程代入到抛物线方程当中，得：081322=-+x x ．设),(11y x A 、),(22y x B ，所以2321-=+x x ，161-21=x x ，所以2414324)(3121221=+=-++=x x x x AB ． 2．D 【解析】由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x m x y ，得0448522=-++m mx x ，结合题意0)44(206422>--=∆m m ，解得：55<<-m .3．C 【解析】设),(11y x A 、),(22y x B ，则1214x y =，2224x y =，由中点坐标公式可知：421=+y y ，两式相减可得，)(4))((212121x x y y y y -=+-，则直线AB 的斜率12121=--=x x y y k ，直线AB 的方程为32-=-x y ，即1-=x y ，联立方程可得⎩⎨⎧=-=x y x y 412，整理得0162=+-x x ，84-624)(12212212==-++=x x x x k AB .4．D 【解析】设),(11y x A 、),(22y x B ，则1221221=+b y a x ，1222222=+by a x ，两式相减得0))(())((2212122121=+-++-b y y y y a x x x x ，即2121212212)()(x x y y y y a x x b --=++-，因为)1,1(M ，直线AB 的斜率为21-，所以212222-=-a b ，即2122=ab ，所以22)(12=-==a b a c e . 5．A 【解析】根据题意，设抛物线上的点为)2,(2t t ，所以423223)1(2242222222≥+-=+-=--=t t t t t d . 6．A 【解析】由5=ac可得225a c =， ∴2225a b a =+，故422=ab ， ∴双曲线的渐近线方程为x y 2±=，由题意得)2,(c c M -，)2-,(c c N -，∴20421=⋅⋅=∆c c S OMN ，解得102=c ，∴22=a ,82=b ,∴双曲线的方程为18222=-y x . 7．B 【解析】抛物线px y 22=的焦点)0,2(p F ，准线方程为2px -=，设),(11y x A 、),(22y x B ，∴直线AB 的方程为2px y -=，代入px y 22=可得04322=+-p px x ，∴p x x 321=+，4221p x x =，由抛物线的定义可知，21p x AF +=，22px BF +=， ∴824)(2)2)(2(22212121==+++=++=⋅p p x x p x x p x p x BF AF ，解得2=p ． 8．C 【解析】由题意，)0,(a A ．双曲线的渐近线方程为x aby ±=．由⎪⎩⎪⎨⎧=--=x a b y a x y )(，解得b a a x C +=2；由⎪⎩⎪⎨⎧-=--=x a b y a x y )(，解得b a a x B -=2．由题意C A Bx x x =2，即a ba ab a a ⨯+=-222)(，整理得a b 3=．所以a c 10=，故10=e .9．B 【解析】因为点)0,5(-M 、)0,5(N ，点P 使6-=PN PM ，所以点P 的轨迹是以)0,5(-M 、)0,5(N 为焦点，62=a 的双曲线，可得162=b ，双曲线的方程为116922=-y x .因为双曲线的渐近线方程为x y 34±=, 所以直线x y 34=与双曲线没有公共点，直线x y 2=经过点)0,0(斜率34>k ，与双曲线也没有公共点，而直线1+=x y 与直线2=y 都与双曲线116922=-y x 有交点，因此，在1+=x y 与2=y 上存在点P 使6-=PN PM ，满足B 型直线的条件，只有①②正确．10．A 【解析】若直线斜率存在，设直线MN 方程为m kx y +=，设),(11y x M 、),(22y x N由⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x 141622，消去y 得01648)41(222=-+++m kmx x k ，则221418k km x x +-=+，222141164k m x x +-=，因为221-=⋅k k ，所以2442211-=+⋅+x y x y ，且m kx y +=11，m kx y +=22，代入整理化简得：k m 928=，所以)928(+=+=x k m kx y ，即直线MN 恒过)0,928(-；当直线斜率不存在时，0x x =，联立椭圆方程和221-=⋅k k ，易得928-=x ,928-=y ．综上，直线MN 恒过)0,928(-．11．6【解析】由题意得2=c .∵36==a c e ，∴3=a ，1=b .所以椭圆M 的方程为1322=+y x . 设直线l 的方程为m x y +=，),(11y x A 、),(22y x B .由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1322y x mx y 得0336422=-++m mx x . ∴2321m x x -=+，433221-=m x x ， ∴23124)(2221221m x x x x AB -=-+=当0=m ，即直线l 过原点时，AB 最大，最大值为6． 12．54【解析】设直线方程为kx y =1，另一直线方程为x ky 1-2=， ),(11kx x M ，),(22kx x N -，22212222222121)11)(1(21)()(21x x kk k x x kx x S OMN ++=-+⨯+=∆, 将坐标代入椭圆得，221414k x +=，2222414k k x +=，174436421)4)(41(16)1(2122222222++-+=++⨯+=∆kk k k k k k S OMN,84422≥+kk ，当且仅当1=k 时等号成立，S 最小值为54. 13．]12,439(∈λ【解析】当直线l 的斜率为0时，12=⋅=MB MA λ；当直线l 的斜率不为0时，设直线l ：4+=my x ，点),(11y x A 、),(22y x B ，联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=14422y x my x ，消去x 得0128)4(22=+++my y m ，由0)4(486422>+-=∆m m ，得122>m ，所以412221+=m y y . 221211y m y m MB MA +⋅+=⋅=λ=)431(124)1(12)1(222212+-⨯=++=+m m m y y m 由122>m ，得1634302<+<m ，所以12439<<λ.14．【解析】（Ⅰ）设曲线E 上的点),(y x P ,由题可知：P 到)1,0(F 的距离与到直线1-=y 的距离相等，所以P 点的轨迹是以)1,0(F 为焦点，1-=y 为准线的抛物线，即曲线E 的方程为：y x 42=；（Ⅱ）设过F 的斜率为k 的直线方程为：1+=kx y ，联立⎩⎨⎧=+=yx kx y 412 ⇒ 0442=--kx x . 令),(11y x A 、),(22y x B ，所以k x x 421=+，4-21=x x ，由题可知：3=，即：)1,(3)1,(1122-=--y x y x , 即得123x x =-，由k x x 421=+，4-21=x x ，123x x =-得：312=k ，33±=k ，所求直线l 的方程为：133+±=x y . 15．【解析】（Ⅰ）由22-=PN PM 知动点P 的轨迹是以M 、N 为焦点的双曲线的右支，实半轴长2=a ，半焦距2=c ，故虚半轴长222=-=a cb ，所以W 的方程为12222=-y x )2(≥x ；（Ⅱ）设),(11y x A 、),(22y x B ，当x AB ⊥时，21x x =，21y y -=，从而221212121=-=+=⋅y x y y x x ，当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为m kx y +=，与W 的方程联立，消去y 得：022)1(222=----m kmx x k ,所以22112kkm x x -=+，1-22221k m x x +=，所以))((21212121m kx m kx x x y y x x OB OA +++=+=⋅=142122121)2)(1(2222222222-+=-+=+-+-++k k k m k m k k m k ,又因为021>x x ，所以012>-k ，从而2>⋅OB OA综上，当x AB ⊥轴时，OB OA ⋅取得最小值2.16．【解析】（Ⅰ）由题意可知，3=c ，a b k AC =,ab k BC -=，有41--22=ab ，即224b a =，又222c b a +=，解得42=a ，12=b ，所以椭圆L 的方程为1422=+y x ；（Ⅱ）存在过点)0,1(M 的直线l 与椭圆L 交于两点P 、Q ，使得以PQ 为直径的圆经过点C .以PQ 为直径的圆经过点C 可得，CQ CP ⊥，若直线l 的斜率为0，则A 、B 是为点P 、Q ，此时03561633cos <-=-+=∠ACB ，此时CP 、CQ 不垂直，不满足题意，可设直线l 的方程为：1+=my x ，联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+11422my x y x ，消x 可得，032)4(22=-++my y m ，则有⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=+4342221221m y y m m y y ①，设),(11y x P 、),(22y x Q ，由题意可知021≠x x ，因为CQ CP ⊥，则1-=⋅CQ CP k k ，即1112211-=-⋅-x y x y ，整理可得：02))(1()1(21212=++-++y y m y y m ②，将①代入②可得：024)1(24)1(3222=++--++-m m m m m ，整理得05232=--m m ，解得1-=m 或35=m ，所以直线l 的方程为：01=-+y x 或0353=--y x ．17．【解析】（Ⅰ）双曲线的焦点为)0,3(-、)0,3(，亦即椭圆C 的焦点，∴3=c ，又椭圆经过点)21,3(M . 由椭圆定义得4)21-(0)21()32(22222=+++=a ，解得42=a ，12=b ， ∴椭圆C 的标准方程为：1422=+y x ；（Ⅱ）当斜率不存在时，设l :t x =，),(A y t A 、)-,(A y t B ，1211-=-=--+-=+tt y t y k k A A PB PA ，解得2=t ，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足题意；当斜率存在时，设l :m kx y +=)1(≠m ，),(11y x A 、),(22y x B ，联立⎩⎨⎧=-++=04422y x m kx y ，整理得：0448)41(222=-+++m kmx x k ， 221418kkm x x +-=+，22214144k m x x +-=， 211212122211-)()(11x x x m kx x x m kx x x y x y k k PB PA ++-+=-+-=+ =1)1)(1(4)1(8-=-+-m m m k ，)1(≠m 所以12--=k m ，此时k 64-=∆，存在k 使得0>∆成立．∴直线l 的方程为12--=k kx y ，即0)1()2(=+--y x k ，所以l 过定点)1,2(-.。