高数自考(工本)笔记
自考高等数学工专教材
自考高等数学工专教材高等数学是大学专业课程中的一门重要学科，对于工专学生来说尤为重要。
自考高等数学工专教材是专门为工专学生编写的一本教材，旨在帮助他们系统学习和掌握高等数学的基本理论和应用方法。
本文将介绍该教材的内容概述、教学特点以及学习方法，希望能够为工专学生提供参考。
一、教材内容概述自考高等数学工专教材内容详实，涵盖了高等数学的基础知识和核心概念。
主要包括以下几个方面：1. 函数与极限：介绍了函数的概念、性质及其在数学和实际问题中的应用。
重点讲解了数列、极限以及极限的性质和计算方法。
2. 导数与微分：讲解了导数的概念、性质以及导数的运算法则。
阐述了导数的几何意义和物理意义，并应用导数解决相关问题。
3. 积分与定积分：介绍了积分的概念、性质和计算方法。
详细讲解了不定积分和定积分的概念和性质，以及应用积分解决问题的方法。
4. 一元函数的应用：以具体的实例和问题为背景，探讨了高等数学在工学领域的应用。
例如，最值问题、曲线的长度与曲面的面积、动力学中的应用等。
5. 二元函数与多元函数：介绍了二元函数和多元函数的概念、性质及其应用。
包括二元函数的极值与条件极值、多元复合函数的求导法则等内容。
二、教学特点自考高等数学工专教材具有一些独特的教学特点，以适应工专学生的学习需求：1. 理论联系实际：教材通过大量的实例和应用问题，将抽象的数学理论与实际工程问题相结合，增强学生的学习兴趣和理解力。
2. 实用性强：教材注重培养学生的计算和问题解决能力，通过丰富的例题和习题，引导学生掌握高等数学的实际应用。
3. 清晰易懂：教材语言通俗易懂，将抽象的数学概念和推导过程用简明的语言表达清晰，方便工专学生理解和掌握。
4. 系统性强：教材内容安排有序、层次清晰，从基础概念到高级应用逐步展开，帮助学生建立完整的高等数学知识体系。
三、学习方法为了更好地学习自考高等数学工专教材，学生可以采取以下学习方法：1. 注重基础知识的理解和掌握：高等数学的学习建立在扎实的数学基础上，学生应该重视基础知识的理解和记忆，做到理论联系实际。
高等数学(工本)自考教材
高等数学(工本)自考教材高等数学（工本）自考教材高等数学是大学数学中的一门重要课程，对于理工类专业的学生尤为重要。
掌握高等数学的基本理论和方法，不仅有助于理解和应用其他学科的知识，还为进一步学习相关专业奠定了坚实的基础。
本文将针对高等数学（工本）自考教材进行详细讨论和分析。
一、教材概述高等数学（工本）自考教材以系统、全面地介绍高等数学的知识为主线，包含了数列、极限、微分学、积分学等多个重要章节，涵盖了高等数学所需的基本概念、理论和方法。
教材内容丰富，层次分明，适合自学和复习使用。
二、教材特点1. 理论与实践相结合：教材既讲述了高等数学的基本理论，又通过大量的例题和习题，引导学生将理论应用于实际问题中，培养解决问题的能力。
2. 知识体系完整：教材将高等数学的各个分支知识有机地融合在一起，形成一个完整的知识体系。
从数列到极限，再到微分和积分，层层推进，层层深入，使学生能够系统地理解和掌握高等数学的核心内容。
3. 理论与实例并重：教材中穿插了大量的例题和习题，既展示了理论的应用，又提供了学生自我检测和巩固知识的机会。
学生在解题过程中能够不断地反复思考和总结，巩固理论知识。
三、教学方法高等数学（工本）自考教材适用于自学和复习，教学方法需要根据个人情况和学习进度来选择。
以下是几种常用的教学方法：1. 理论与实践相结合：在学习教材的过程中，要注重理论的学习，同时通过例题和习题的实际操作，加深对理论知识的理解和应用。
2. 多角度思考问题：在学习高等数学时，可以从不同的角度考虑问题，拓宽思维，培养解决问题的能力。
3. 合理规划学习时间：高等数学的学习需要一定时间和精力投入，因此要合理规划学习时间，保持学习的连续性和专注度。
四、学习建议1. 注重基础知识的学习：高等数学是建立在基础数学知识之上的，所以在学习过程中，要注重对基础概念和定理的理解和掌握。
只有打好基础，才能更好地理解和应用高等数学的知识。
2. 制定学习计划：制定一个合理的学习计划对于高等数学的学习非常重要。
专升本高数知识点汇总
专升本高数知识点汇总高等数学在专升本考试中占据着重要的地位，对于许多考生来说，掌握好高数的知识点是成功升本的关键之一。
以下是为大家汇总的专升本高数知识点，希望能对大家的学习有所帮助。
一、函数与极限1、函数的概念函数是一种从一个集合（定义域）到另一个集合（值域）的对应关系。
对于定义域内的每一个输入值，都有唯一的输出值与之对应。
2、函数的性质包括奇偶性、单调性、周期性和有界性。
奇函数满足 f(x) ＝ f(x)，偶函数满足 f(x) ＝ f(x)。
单调性是指函数在某个区间内是递增或递减的。
周期性函数是指存在一个非零常数 T，使得 f(x ＋ T) ＝ f(x)。
有界性则是指函数的值域在某个范围内。
3、极限的定义极限是指当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于的一个确定的值。
4、极限的计算包括利用极限的四则运算法则、两个重要极限（＼（＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼sin x}｛x} ＝ 1\），＼（＼lim_{x ＼to ＼infty} （1 ＋＼frac{1}｛x}）＾x ＝ e\））以及等价无穷小代换来计算极限。
5、无穷小与无穷大无穷小是以零为极限的变量，无穷大是绝对值无限增大的变量。
无穷小的性质在极限计算中经常用到。
二、导数与微分1、导数的定义函数在某一点的导数是函数在该点的切线斜率。
2、导数的几何意义导数表示函数在某一点处的变化率，反映了函数图像的斜率。
3、基本导数公式包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式。
4、导数的四则运算法则加法法则、减法法则、乘法法则和除法法则。
5、复合函数求导通过链式法则进行求导。
6、隐函数求导通过方程两边同时对自变量求导来求解。
7、微分的定义函数的微分等于函数的导数乘以自变量的微分。
8、微分的几何意义微分表示函数在某一点处切线的增量。
三、中值定理与导数的应用1、罗尔定理如果函数 f(x) 满足在闭区间 a,b 上连续，在开区间（a,b) 内可导，且 f(a) ＝ f(b)，那么在（a,b) 内至少存在一点ξ，使得 f'（ξ) ＝ 0 。
自考笔记 00020 高等数学(一) 完整免费版
自考笔记 00020 高等数学（一）完整免费版小薇笔记免费提供各科自考笔记，完整版请访问前言《高等数学一》共6章第一章函数 1.主要是对高中知识的复习; 2.为今后知识打下良好的基础; 3.本章知识在历年考题中所占的分值并不多，一般是5分左右. 第二章极限和连续主要是学习极限与连续的概念，是后面章节的基础; 本章内容在历年考题中所占分值为20左右. 第三章导数与微分主要是学习函数的导数和微分，这是高数的核心概念. 本章内容在历年考题中所占分值为15分左右. 第四章微分中值定理和导数的应用主要是掌握微分中值定理的应用，这一章容易出大题、难题; 本章在历年考题中所占分值为20分左右. 第五章一元函数积分学主要学习不定积分和定积分，这又是高数的核心概念; 本章内容在历年考题中所占分值为25分左右. 第六章多元函数微积分主要是学习多元函数的微积分的计算; 本章内容在历年考试题中所占分值为15分左右. 第一章函数1.1 预备知识 1.1.1 初等代数的几个问题 1.一元二次方程 2关于x的方程ax，bx，c,0(a?0)，称为一元二次方程，称为此方程的判别式. (1)求根公式: 当?,0时，方程有两个不同的实根: 当?,0时，方程有一个二重实根:当?,0时，方程有一对共轭复根: (2)根与系数的关系(韦达定理):2(3)一元二次函数(抛物线):y,ax，bx，c(a?0)，当a,0时，开口向上，当a,0时，开口向下. 对称轴顶点坐标 322例1.若x，x，ax，b能被x,3x，2整除，则a、b是多少, 结论:多项式f(x)，g(x).若f(x)能被g(x)整除，则g(x),0的根均为f(x),0的根. 2解:令x,3x，2,0，解得x,1或2，代入被除式得解得2.二元一次方程组两个未知量x，y满足的形如的方程组称为二元一次方程组. 当时，方程组有唯一解;当时，方程组无解;当时，方程组有无穷多解.例2.已知方程组 (1)若方程组有无穷多解，求a的值; (2)当a,6时，求方程组的解.解:(1)因为方程组有无穷多组解，所以, 解得a,4.(2)当,6是，原方程组变为, a解得 3.不等式 (1)一元二次不等式 22考虑不等式ax，bx，c,0，如果记一元二次方程ax，bx，c=0的两个不同实根分别为x，x，且x,x，根据一元二次函数的图形可知: 1212当a,0时，这个不等式的解集是{x?x,x或x,x}; 12当a,0时，它的解集是{x?x,x,x}. 12222用类似的方法可以求解不等式ax，bx，c?0，ax，bx，c,0和ax，bx，c?0. 2例3.解不等式x,5x，6?0. 2解:令,5，6,0,xx(x,2)(x,3),0, 得,2或=3, xx? 解集为(,?，2]?[3，，?). 2例4.解不等式x，(1,a)x,a,0. 2解:令x，(1,a)x,a,0, (x,a)(x，1),0, 得x,a或x,,1, ?若a,,1，解集为(a，,1), ?如a,,1，解集为Φ, ?若a,,1，解集为(,1，a). (2)绝对值不等式不等式?f(x)?,a,0等价于f(x),a或f(x),,a; 不等式?f(x)?,a等价于,a,f(x),a. 例5.解下列含有绝对值符号的不等式: (1)?2x,3??5 (2)?3x,1??7 解:(1)原不等式等价于,5?2x,3?5 解得:,1?x?4. 所以解集为[,1，4]. (2)原不等式等价于3x,1?,7或3x,1?7， 3x,1?,7的解集为x?,2，3x,1?7的解集为x?, 1小薇笔记免费提供各科自考笔记，完整版请访问所以解集为(,?，,2]?[，，?). 2例6.解不等式?x,2x,5?,3. 解:原不等式等价于2x,2x,5,,3的解集为(,?，]?[，，?)， 2x,2x,5,3的解集为(,2，4)，所以原不等式的解集为(,2，]?[，，4). 4.数列 (1)等差数列:相邻两项的差为定值，即a,a,d，d称为公差. n，1n通项公式:a,a，(n,1)d n1前n项和公式:当m，n,k，l时，a，a,a，a mnkl特别地有例7.设{a}是一个等差数列，且a，a，a，a,64，求a，a和S. 2310116712n解:因为 2，11,3，10,13 所以a，a,a，a,32, 211310又因为 6，7,13，所以a，a,32, 67S,(a，a)×12?2,6(a，a),6×32,192. 12112112(2)等比数列:相邻两项的商为定值，即，q称为公比. n-1通项公式:a,aq n1前n项和公式: 当m，n,k，l时，aa,aa mnkl特别地有例8.设{a}是一个等比数列，且a,12，a,48，求a，a和aa的值.n3511026解: 所以q,?25a,a?q,48×(?2),?1536 1055因为2，6,3，5,8 所以a?a,a?a,12×48,576. 26351.1.2 集合与逻辑符号 1.集合的概念集合是指由一些特定的对象汇集的全体，其中每个对象叫做集合的元素. 数集分类: N——自然数集Z——整数集 Q——有理数集R——实数集 C——复数集合 2.元素与集合的关系元素a在集合A中，就说a属于A，记为a?A;否则就说a不属于A，记为aA. 3.集合与集合的关系集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，称为A包含于B，或B包含A，也说A是B的子集，记为A?B或者B?A. 若A?B，且B?A，就称集合A与B相等，记作A,B. 2例9.A,{1，2}，C,{x?x,3x，2,0}，则A和C是什么关系, 2解:解方程x,3x，2,0，得x,1或x,2. 所以C,{1，2}，从而A,C. 4.空集不含任何元素的集合称为空集(记作Φ).规定空集为任何集合的子集. 2例10.{x?x?R，x，1,0},Φ 5.集合的表示方法:列举法，描述法一般的，有限集用列举法，无限集用描述法闭区间:[a，b],{x?a?x?b，x?R}; 开区间:(a，b),{x?a,x,b，x?R}; 半开半闭区间: 左开右闭区间:(a，b],{x?a,x?b，x?R}，左闭右开区间:[a，b),{x?a?x,b，x?R}; (,?，b],{x?x?b，x?R}，[a，，?],{x?x?a，x?R}; 点a的邻域:U(a，ε),(a,ε，a，ε)，ε,0，即U(a，ε)是一个以a为中心的开区间.在不强调邻域的大小时，点a的邻域也用U表示; a点a的去心邻域:N(a，ε),(a,ε，a)?(a，a，ε)，ε,0.点a的去心邻域也可以表示为N. a6.集合之间的运算 (1)并:由A、B中所有元素组成的集合称为A和B的并集，记为A?B. A?B,{x?x?A或x?B}，A?B,B?A. 例11.已知:A,{1，2，3，4}，B,{2，4，6，8，10，12}，求:A?B. 解:A?B,{1，2，3，4，6，8，10，12}. 例12.已知:,{?1,,5}，,{?,3,?2}，求:?. AxxBxxAB解:A?B,{x?,3,x,5}. (2)交:由既属于A又属于B的元素组成的集合称为A和B的交集，记为A?B. A?B,{x?x?A且x?B}，A?B,B?A 例13.已知:A,{1，2，3，4}，B,{2、4、6、8、10、12}，求:A?B. 解:A?B,{2，4}. 例14.已知:A,{x?1,x,4}，B,{x?,3,x?3}，求:A?B. 解:A?B,{x?1,x?3}. (3)余集(差集):由中不属于的元素组成的集合称为与的差集，记为,. ABABABA,B,{x?x?A但xB}. 例15.已知:A,{1，2，3，4}，B,{2，4，6，8，10，12}，求:A,B. 解:A,B,{1，3}. 7.一些逻辑符号p能推出q，记为pq，此时称p是q的充分条件，q是p的必要条件. 如果pq，qp 同时成立，就成p与q等价，或者说p与q互为充分必要条件(充要条件)，记作pq. 1.2 函数的概念与图形 1.2.1 函数的概念 1.定义设D是一个非空数集，f 是定义在D上的一个对应关系，如果对于任意的实数x?D，都有唯一的实数y通过f与之对应，则称f是定义在D上的一个函数，记作y,f(x)，x?D. 也称是的函数，其中称为自变量，称为因变量.当?时，称()为函数在点处的函数值.数集叫做这个函数的定义域，函数值全体组成的数,{?,()，?}称为函数的值域. yxxyxDfxxDWyyfxxD000例1.已知:，求:y的定义域、值域. 2解:令1,x?0，解得:,1?x?1, 所以定义域为[,1，1]. 2因为0?1,x?1，所以0??1，所以值域为[0，1].例2.已知:，求:y的定义域、值域.解:根据题意，得，解得,1,x,1，所以定义域为(,1，1)， 2小薇笔记免费提供各科自考笔记，完整版请访问因为 0,?1，从而，所以值域为[1，，?). 2.函数的三要素:定义域、对应法则、值域. 约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.在具体问题中定义域会根据实际需要而有所变化. 例3.判断下列两个函数是否相等，(1)y,x，3; (2).例4.求函数的定义域. 解:根据题意，得解得:2?x,3或3,x,5，所以定义域为[2，3)?(3，5). 3.函数的表示法:表达式法(解析法)、图形法、数表法. 1.2.2 函数的图形 1.函数图形的概念函数y,f(x)，x?D的图形是指在xOy平面上的点集{(x,y)?y,f(x)，x?D}. 常见的几个幂函数的图形:2.函数的性质 (1)有界性函数f(x)，x?D，存在两个实数m、M，满足条件:对于D中所有的x都有不等式m?f(x)?M，则称函数f(x)在D上有界，否则称无界.例5.判断下面函数在其定义域是否有界，(1)y=sinx， (2). (2)单调性设函数f(x)在区间D上有定义，如果对于区间D上任意两点x及x，当x,x时，恒有f(x),f(x)，则称函数f(x)在区间D上是单调增加，称f(x)是D上的单调增加函数，称D是函数f(x)的单调增加区间. 121212设函数及，当,时，恒有),)，则称函数f(x)在区间D上有定义，如果对于区间D上任意两点xxxxf(xf(xf(x)在区间D上是单调减少，称f(x)是D上的单调减少函数，称D是函数f(x)的单调减少区间. 1212122例6.求的单调性. y, x解:任取,,0， xx1222,,)(，),0, xx,(xxxx121212所以y,x在(,?，0)上单调减少.22同理可得:y, x在(0，，?)上单调增加. 例7.求y ,sinx的单调性. 解:y,sinx的图像如图，y=sinx在(2kπ,，2kπ，)上单调增加，在(2kπ，，2kπ，)上单调减少. (3)奇偶性设D关于原点对称，对于任意的x?D，有 f(,x),f(x)，称 f(x) 为偶函数;设D关于原点对称，对于任意的x?D，有 f(,x),,f(x)，称 f(x) 为奇函数.例8.判断下面函数的奇偶性(1)(2)解:(1)因为，所以定义域为R.3小薇笔记免费提供各科自考笔记，完整版请访问所以f(x)为奇函数.(2) x-x因为a,a?0，故x ?0，所以定义域为(,?，0)?(0，，?).所以()为奇函数. fx(4)幂函数的性质α形如y,x的函数为幂函数，其中α为任意常数. 性质: α对任意实数α，曲线y,x都通过平面上的点(1，1);αα,0时，y,x在(0，+?)单调增加; αα,0时，y,x在(0，+?)单调减少; ，+?); α为正整数时，幂函数的定义域是(,?αα为偶数时，,为偶函数; yxαα为奇数时，, 为奇函数; yxα为负整数时，幂函数的定义域是 (,?，0)?(0，+?). α幂函数y,x(α是常数)的图形:1.2.3 分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同的式子来表示的函数，称为分段函数. 例9.画出符号函数的图形:例10.画出下面分段函数的图形:例11.求下面分段函数定义域并画出图形.1.3 三角函数、指数函数、对数函数… … (剩余部分略)完整免费版请访问—— 1.4 函数运算 1.4.1函数的四则运算定义1.10 设函数f(x)，g(x)都在D上有定义，k?R，则对它们进行四则运算的结果还是一个函数，它们的定义域不变(除法运算时除数为0的点除外)，而函数值的对应定义如下: (1)加法运算 (f，g)(x),f(x)，g(x)，x?D . (2)数乘运算(kf)(x),kf(x)，x?D. (3)乘法运算 (fg)(x),f(x)g(x)，x?D .(4) 除法运算 g(x)?0， x?D. 其中等号左端括号表示对两个函数f，g 进行运算后所得的函数，它在x处的值等于右端的值.例1. 已知f(x)=ln(1，x)，g(x)=1,cosx，求 . 因为函数f(x)=ln(1，x)的定义域为(,1，+?)，函数g(x)=1,cosx 的定义域为(,?，+?)，且当x=2 kπ(k为整数)时，g(x)=0，所以，解，x?(,1， +?)\{2kπ}(k为整数) 1.4.2复合函数如有函数()和(),它们的定义域分别为和，值域分别是和当时，对于任意?,都有唯一的()?,，从而有唯一的(())?与?对应，这样就确定了一个从到的函数，此函数称fxgxDD ZZ.ZD xDgxZDfgxZxDDZfgf g.gfggffggf为 f和g的复合函数，记作重点是学会函数的分解与复合。
2019年自学考试《高等数学(一)》复习笔记精品文档12页
2019年自学考试《高等数学(一)》复习笔记一、函数1.知识范围(1)函数的概念函数的定义函数的表示法分段函数隐函数(2)函数的性质单调性奇偶性有界性周期性(3)反函数反函数的定义反函数的图像(4)基本初等函数幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数(5)函数的四则运算与复合运算(6)初等函数2.要求(1)理解函数的概念。
会求函数的表达式、定义域及函数值。
会求分段函数的定义域、函数值，会作出简单的分段函数的图像。
(2)理解函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性。
(3)了解函数与其反函数之间的关系(定义域、值域、图像)，会求单调函数的反函数。
(4)熟练掌握函数的四则运算与复合运算。
(5)掌握基本初等函数的性质及其图像。
(6)了解初等函数的概念。
(7)会建立简单实际问题的函数关系式。
二、极限1.知识范围(1)数列极限的概念数列数列极限的定义(2)数列极限的性质唯一性有界性四则运算法则夹逼定理单调有界数列极限存在定理(3)函数极限的概念函数在一点处极限的定义左、右极限及其与极限的关系趋于无穷时函数的极限函数极限的几何意义(4)函数极限的性质唯一性四则运算法则夹通定理(5)无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量的定义无穷小量与无穷大量的关系无穷小量的性质无穷小量的阶(6)两个重要极限2.要求(1)理解极限的概念(对极限定义中“ ”、“ ”、“ ”等形式的描述不作要求)。
会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。
(2)了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。
(3)理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。
会进行无穷小量阶的比较(高阶、低阶、同阶和等价)。
会运用等价无穷小量代换求极限。
(4)熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。
-------------------------------------0114三、连续1.知识范围(1)函数连续的概念函数在一点处连续的定义左连续与右连续函数在一点处连续的充分必要条件函数的间断点及其分类(2)函数在一点处连续的性质连续函数的四则运算复合函数的连续性反函数的连续性(3)闭区间上连续函数的性质有界性定理最大值与最小值定理介值定理(包括零点定理)(4)初等函数的连续性2.要求(1)理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在的关系，掌握判断函数(含分段函数)在一点处的连续性的方法。
自考00023《高等数学(工本)》考点押题版
1. a b a x bx a y b y a z bz
2. a b 的充要条件是： a b 0
3. cos( ab)
ab ab
2：向量的向量积{一级重点}{选择、计算} 公式：
i
1. a b a x
j ay by
k a z (a y bz a z b y )i (a z bx a x bz ) j (a x b y a y bx )k bz
2
1
dx
r2 ( )
r1 ( )
rdr
z 2 ( r , )
z1 ( r , )
f (r cos , r sin , z )dz
x r cos sin 3. 利用球面坐标计算： 为 y r sin sin y r cos
z z u z v x u x v x
z z u z v y u y v y
2. 设 z f (u, v), u ( x, y ), v ( x, y )
dz z du z dv dx u dx v dx
3. 设 F ( x, y, z ) 0
f ( x, y)dxdy, 曲面 : z
D
f ( x, y )
2. 设 V 为 的体积： V dv
3. 设 为曲面 z f ( x, y )
曲面的面积为 S
1 f x2 f y2 d
第四章 曲线积分与曲面积分
1：两类曲线积分的计算{一类重点}{计算题} 公式： 1. 对弧长的曲线积分计算： {1}若 L： y f ( x), a x b ，则
自考《高等数学(工专)》课后习题答案详解
自考《高等数学（工专）》课后习题答案详解《高等数学(工专)》真题：积分的性质单选题正确答案：A答案解析：本题考查积分的性质。
由于在[0，1]上，根号x大于x，所以I1>I2。
《高等数学(工专)》真题：微分概念单选题《高等数学(工专)》真题：驻点的概念单选题1.函数f(x，y)=x2+xy+y2+x-y+1的驻点为()。
A.(1，-1)B.(-1，-1)C.(-1，1)D.(1，1)正确答案：C答案解析：本题考查驻点的概念。
对x的偏导数为2x+y+1，对y的偏导数为x+2y-1，由于求驻点，也就是偏导数为0的点，所以2x+y+1=0，x+2y-1=0，得到x=-1，y=1。
《高等数学(工专)》真题：矩阵逆的求法单选题1.如果A2=10E，则(A+3E)-1=()。
A.A-2EB.A+2EC.A+3ED.A-3E正确答案：D答案解析：本题考查矩阵逆的求法。
A2-9E=E，(A+3E)(A-3E)=E，(A+3E)-1=A-3E《高等数学(工专)》真题：连续的概念单选题A.f(x)在(-∞，1)上连续B.f(x)在(-1，+∞)上连续C.f(x)在(-∞，0)∪(0，+∞)上连续D.f(x)在(-∞，+∞)上连续正确答案：C答案解析：本题考查连续的概念。
《高等数学(工专)》真题：矩阵的计算性质单选题1.设A是k×l阶矩阵，B是m×n阶矩阵，如果A·CT·B有意义，则C是()矩阵。
A.k×nB.k×mC.l×mD.m×l正确答案：D答案解析：本题考查矩阵的计算性质。
首先我们判断CT是l×m阶矩阵，所以C是m×l阶矩阵。
《高等数学(工专)》真题：连续的定义单选题1.试确定k的值，使f(x)在x=1处连续，其中()A.k=-2B.k=-1C.k=0D.k=2正确答案：D答案解析：本题考查连续的定义。
《高等数学(工专)》真题：矩阵的性质单选题1.关于矩阵的乘法的说法，正确的是()。
成人自考00023《高等数学(工本)》考点
成人自考00023《高等数学（工本）》考点成人自考00023《高等数学（工本）》的考点主要包括以下内容：1. 函数与极限：函数的概念、函数的性质、函数的极限、无穷小与无穷大、极限存在准则、函数的连续性等。
2. 导数与微分：导数的定义、导数的运算法则、高阶导数、隐函数与参数方程的导数、微分的定义、微分的运算法则、微分中值定理等。
3. 微分中值定理与导数的应用：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、洛必达法则、泰勒公式、函数的单调性与极值、函数的凹凸性与拐点等。
4. 不定积分与定积分：不定积分的概念与性质、基本积分表、换元积分法、分部积分法、定积分的概念与性质、定积分的计算方法、定积分的应用等。
5. 微分方程：微分方程的基本概念、一阶微分方程的解法、高阶线性微分方程的解法、常系数线性微分方程的解法、变系数线性微分方程的解法等。
6. 无穷级数：数列极限的概念与性质、数列极限存在准则、无穷级数的概念与性质、正项级数的审敛法、交错级数的审敛法、幂级数的收敛半径等。
7. 空间解析几何：空间直线的方程与位置关系、平面的方程与位置关系、空间曲线的方程与位置关系、空间曲面的方程与位置关系、空间直线与平面的位置关系等。
8. 多元函数微分学：偏导数与全微分、多元函数的极值与条件极值、隐函数与参数方程的偏导数、多元函数的泰勒公式等。
9. 重积分与曲线积分：二重积分的概念与性质、二重积分的计算方法、三重积分的概念与性质、三重积分的计算方法、曲线积分的概念与性质、曲线积分的计算方法等。
以上是成人自考00023《高等数学（工本）》的主要考点，考生在备考过程中应重点掌握这些内容，并进行大量的练习和习题的解析，以提高自己的理解和应用能力。
高等数学工本自考资料
高等数学工本自考资料
"高等数学"是大学数学的一部分，包括微积分学、数学分析、线性代数、概率统计等内容。
如果你正在自学高等数学，以下是一些建议和可能的资料来源：
1. 教材和参考书籍：
* 教材：使用主流的高等数学教材，例如《高等数学》（同济大学出版社）、《数学分析》（清华大学出版社）等。
* 参考书籍：可以根据自身理解难度选择一些参考书，如《数学分析习题集》、《线性代数习题集》等。
2. 在线教育平台：
* Coursera、edX、网易云课堂等：这些平台上可能有一些高等数学的在线课程，包括视频讲座、作业和测验。
3. 学习网站和资源：
* Khan Academy：提供大量的数学学科视频教程，包括微积分、线性代数等。
* Wolfram Alpha：用于数学问题求解的强大工具，可以输入数学问题，它会提供解答和详细步骤。
4. 问题集和习题册：
* 选择一些高等数学的问题集和习题册，逐步提高解题能力。
* 常用的高等数学题库：《高等数学习题集》（同济大学出版社）、《数学分析习题集》等。
5. 网络论坛和社群：
* 参与数学学习社群，如知乎数学版块、数学学习交流群等，向其他学习者请教问题，分享学习心得。
6. 学习计划和时间管理：
* 制定合理的学习计划，确保每个知识点都有足够的时间消化。
* 注意时间管理，确保每天都有一定的学习时间。
7. 扩展阅读和应用：
* 阅读相关的数学文献、论文，了解数学的应用领域。
* 尝试将学到的知识应用到实际问题中，加深理解。
以上是一些建议，具体的学习资料选择应根据个人的学习风格和理解难度进行调整。
自考高等数学(工本)串讲笔记
考试大纲说明一、本课程的基本要求与重点本课程的基本要求为：１．获得一元函数微积分学的系统的基本知识、基本理论和基本方法．２．获得线性代数初步知识．本课程的重点是：一元函数的导数和积分的概念、计算及其应用．二、课程考核要求１．函数（考核要求）（１）清楚一元函数的定义，理解确定函数的两个基本要素———定义域和对应法则，知道什么是函数的值域．（２）清楚函数与其图形之间的关系．（３）会计算函数在给定点处的函数值．（４）会由函数的解析式求出它的自然定义域．（５）知道函数的三种表示法———解析法、表格法、图像法及它们各自的特点．（６）清楚分段函数的概念．·１·第一部分（７）清楚函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性的含义．（８）会判定比较简单的函数是否具有上述特性．（９）知道函数的反函数的概念，清楚单调函数必有反函数．（１０）会求比较简单的函数的反函数．（１１）知道函数的定义域和值域与其反函数的定义域和值域之间的关系．（１２）清楚函数与其反函数的图形之间的关系．（１３）清楚函数的复合运算的含义及可复合的条件．（１４）会求比较简单的复合函数的定义域．（１５）会作多个函数按一定顺序的复合；会把一个函数分解成几个简单函数的复合．（１６）知道什么是基本初等函数，熟悉其定义域，基本特性和图形．（１７）知道反三角函数的主值范围．（１８）知道初等函数的构成．（１９）会对比较简单的实际问题通过几何、物理或其他途径建立其中蕴含的函数关系．２．极限和连续（考核要求）（１）知道数列的定义、通项及其在数轴上的表示．（２）知道单调数列和有界数列，会判别比较简单的数列的单调性和有界性．（３）理解数列收敛的含义及其几何意义．·２·高等数学（工专）（４）知道级数的定义，了解级数的收敛和发散的概念．（５）知道级数收敛的必要条件．（６）会判断等比级数的敛散性并在收敛时求出其和．（７）理解各种函数极限的含义及其几何意义．（８）理解函数的单侧极限，知道函数极限与单侧极限之间的关系．（９）熟知极限的四则运算法则，并能熟练地运用．（１０）熟知两个重要极限，并能熟练运用．（１１）理解无穷小量的概念．（１２）理解无穷小量与变量极限之间的关系．（１３）掌握无穷小量的性质．（１４）理解无穷大量的概念，知道它与无穷小量的关系．（１５）会判别比较简单的变量是否为无穷小量或无穷大量．（１６）清楚无穷小量之间高阶、同阶、等价的含义．（１７）会判断两个无穷小量的阶的高低或是否等价．（１８）清楚函数在一点连续和单侧连续的定义，知道它们之间的关系．（１９）知道函数在区间上连续的定义．（２０）知道连续函数经四则运算和复合运算后仍是连续函数．·３·第一部分（２１）知道单调的连续函数必有单调并连续的反函数．（２２）知道初等函数的连续性．（２３）清楚函数在一点间断的定义和两类间断点．（２４）会找出函数的两类间断点．（２５）会判别分段函数在分段点处的连续性．（２６）知道闭区间上连续函数必有界，并有最大值和最小值．（２７）知道闭区间上连续函数的介值定理与零点定理．（２８）会用零点定理判断函数方程在指定区间中根的存在性．３．一元函数的导数和微分（考核要求）（１）熟知函数的导数和左、右导数的概念，知道它们之间的关系．（２）知道函数在一点的导数的几何意义．（３）知道导数作为变化率的实际意义．（４）知道函数在区间上可导的含义．（５）知道曲线在一点处切线和法线的定义并会求它们的方程．（６）清楚函数在一点连续是函数在该点可导的必要条件．（７）能熟练运用可导函数的和、差、积、商的求导法则．·４·高等数学（工专）（８）熟练掌握复合函数的求导法则．（９）对于由多个函数的积、商、方幂所构成的函数，会用对数求导法计算其导数．（１０）清楚反函数的求导法则．（１１）熟记基本初等函数的求导公式并能熟练运用．（１２）理解由函数方程所确定的一元函数（隐函数）的含义．（１３）会求由一个函数方程所确定的隐函数的导数．（１４）知道高阶导数的定义，了解二阶导数的物理意义．（１５）会求初等函数的二阶导数．（１６）理解由参数方程所确定的函数的含义．（１７）会求参数式函数的一阶与二阶导数．（１８）了解微分作为函数增量的线性主部的含义．（１９）清楚函数的微分与导数的关系及函数可微与可导的关系．（２０）熟知基本初等函数的微分公式．（２１）熟知可微函数的和、差、积、商及复合函数的微分法则．（２２）会求函数的微分．４．微分中值定理和导数的应用（考核要求）（１）能正确陈述罗尔定理，知道其几何意义．（２）能正确陈述拉格朗日中值定理并清楚其几何意义．·５·第一部分（３）知道导数恒等于零的函数必为常数，导数处处相等的两个函数只能相差一个常数．（４）清楚应用洛必达法则的条件，能熟练地使用洛必达法则计算００和∞∞类型未定式的值．（５）能识别其他类型的未定式，并会应用洛必达法则求其值．（６）清楚导数的符号与函数单调性之间的关系．（７）会确定函数的单调区间和判别函数在给定区间上的单调性．（８）会用函数的单调性证明简单的不等式．（９）理解函数极值的定义．（１０）知道什么是函数的驻点，清楚函数的极值点与驻点和不可导点之间的关系．（１１）掌握函数在一点取得极值的两种充分条件．（１２）会求函数的极值．（１３）知道函数最值的定义及其与极值的区别．（１４）清楚最值的求法并能解决比较简单的求最值的应用问题．（１５）清楚曲线在给定区间上“凹”“凸”的定义．（１６）会确定曲线的凹凸区间．（１７）知道曲线的拐点的定义，会求曲线的拐点．（１８）知道曲线的水平和铅直渐近线的定义及其意义，会求曲线的这两类渐近线．·６·高等数学（工专）５．一元函数积分学（考核要求）（１）清楚原函数和不定积分的定义，了解它们的联系与区别．（２）理解微分运算和不定积分运算互为逆运算．（３）熟记不定积分的基本性质．（４）熟记基本积分公式，并能熟练运用．（５）能熟练运用第一换元积分法（即凑微分法）．（６）掌握第二换元积分法，知道几种常见的换元类型．（７）会求比较简单的有理函数的不定积分．（８）掌握分部积分法，能熟练地用它求几种常见类型的不定积分．（９）清楚微分方程的阶、解、通解、初始条件、特解的含义．（１０）能识别可分离变量的微分方程并会求解．（１１）能识别一阶线性微分方程并会求解．（１２）理解定积分的概念并了解其几何意义．（１３）清楚定积分的区别，知道定积分的值完全取决于被积函数和积分区间，与积分变量采用的记号无关．（１４）掌握定积分的基本性质．（１５）能正确叙述定积分的中值定理，了解其几何意义，知道连续函数在区间上的平均值的概念及其求法．（１６）理解变上限积分是积分上限的函数并会求其导数．·７·第一部分（１７）掌握牛顿莱布尼茨公式，并领会其重要的理论意义．（１８）会用牛顿莱布尼茨公式计算定积分．（１９）会计算分段函数的定积分．（２０）掌握定积分的换元积分法和分部积分法．（２１）知道对称区间上奇函数或偶函数的定积分的性质．（２２）清楚无穷限反常积分的概念及其敛散性．（２３）在被积函数比较简单的情况下会依据定义判断反常积分的敛散性，并在收敛时求出其值．（２４）会计算在直角从标系中平面图形的面积．（２５）会计算旋转体的体积．（２６）会求曲线的弧长．（２７）会计算变速直线运动在一定时间段内所经历的路程．（２８）会计算变力沿直线段所做的功．６．线性代数初步（考核要求）（１）知道关于线性方程组的一些基本概念．（２）熟知二、三阶行列式的定义．（３）会在一定条件下用克莱姆法则求线性方程组的解．（４）掌握行列式的各种性质．（５）掌握行列式的按行（列）展开．（６）会利用行列式的性质化简行列式并计算其值．·８·高等数学（工专）（７）知道矩阵的定义及有关概念．（８）知道什么是零矩阵和单位矩阵．（９）清楚矩阵的初等行变换的定义．（１０）知道什么是行最简形矩阵，会用初等行变换把矩阵化成行最简形．（１１）知道线性方程组的初等变换的定义，清楚初等变换不改变方程组的解．（１２）掌握求解线性方程组的消元法．（１３）知道线性方程组可能无解，或有唯一解，或有无穷多个解．（１４）在有无穷多个解的情况下会求出方程组的一般解．（１５）知道线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的概念，能熟练地用矩阵的初等行变换把线性方程组的增广矩阵化成行最简形的方法求方程的解．（１６）掌握矩阵的加法和数乘矩阵运算及其运算规则．（１７）掌握矩阵的乘法及其运算规则．（１８）掌握矩阵的转置及有关的运算规则．（１９）清楚矩阵的运算规则与数的运算规则的异同．（２０）清楚方阵的行列式的定义及有关方阵乘积的行列式的结果．（２１）知道方阵的伴随矩阵的定义和有关结果．（２２）清楚可逆矩阵和逆矩阵的定义及矩阵可逆的·９·第一部分条件，知道可逆矩阵的基本性质．（２３）会用伴随矩阵求可逆矩阵的逆矩阵．三、有关说明及试卷结构１．自学教材《高等数学（工专）》全国高等教育自学考试指导委员会组编，主编吴纪桃，漆毅，北京大学出版社，２００６年版．２．试卷结构（１）题分及考试时间试卷满分１００分，考试时间为１５０分钟．（２）内容比例第一、二章：函数及其图形，极限和连续约１５分第三、四章：一元函数微分学约４０分第五章：一元函数积分学约３０分第六章：线性代数初步约１５分（３）题型比例单项选择题、填空题、计算题、综合题（包括应用题和证明题），题量依次为：５，１０，８，２，共计２５题，所占分数依次约为１０分，３０分，４８分，１２分，共计１００分．·０１·高等数学（工专）? 考点精要一、函数１．函数的基本特性（１）有界性．（２）单调性．（３）奇偶性．（４）周期性．２．常用函数的类型（１）基本初等函数：常值函数：ｙ＝ｃ；幂函数：ｙ＝ｘμ（μ为实常数）；指数函数：ｙ＝ａｘ（ａ＞０，ａ≠１）；对数函数：ｙ＝ｌｏｇａｘ（ａ＞０，ａ≠１）；三角函数：ｙ＝ｓｉｎｘ，ｙ＝ｃｏｓｘ，ｙ＝ｔａｎｘ，ｙ＝ｃｏｔｘ，ｙ＝ｓｅｃｘ，ｙ＝ｃｓｃｘ；反三角函数：ｙ＝ａｒｃｓｉｎｘ，ｙ＝ａｒｃｃｏｓｘ，ｙ＝ａｒｃｔａｎｘ，ｙ＝ａｒｃｃｏｔｘ．（２）反函数．（３）复合函数．（４）初等函数．（５）分段函数．·１１·第二部分二、极限与连续１．有关定义级数设数列｛ｕｎ｝，称∑∞ｎ＝１ｕｎ＝ｕ１＋ｕ２＋…＋ｕｎ＋…为数项级数，简称级数．级数的部分和对于级数∑∞ｎ＝１ｕｎ，称ｓｎ＝ｕ１＋ｕ２＋…＋ｕｎ为级数∑∞ｎ＝１ｕｎ的部分和．级数的敛散对于级数∑∞ｎ＝１ｕｎ，若ｌｉｍｎ→∞ｓｎ＝ｓ，则称级数∑∞ｎ＝１ｕｎ收敛，称ｓ为级数∑∞ｎ＝１ｕｎ的和；若ｌｉｍｎ→∞ｓｎ不存在，则称级数∑∞ｎ＝１ｕｎ发散．函数的极限若当ｘ无限趋于正无穷大时，ｆ（ｘ）无限趋近于常数Ａ，则称Ａ是函数ｆ（ｘ）的当ｘ→＋∞ 时的极限，记为ｌｉｍｘ→＋∞ｆ（ｘ）＝Ａ．若当ｘ无限趋于负无穷大时，ｆ（ｘ）无限趋近于常数Ａ，则称Ａ是函数ｆ（ｘ）的当ｘ→－∞ 时的极限，记为ｌｉｍｘ→－∞ｆ（ｘ）＝Ａ．若当｜ｘ｜无限趋于正无穷大时，ｆ（ｘ）无限趋近于常数Ａ，则称Ａ是函数ｆ（ｘ）的当ｘ→ ∞ 时的极限，记为·２１·高等数学（工专）ｌｉｍｘ→∞ｆ（ｘ）＝Ａ．若当ｘ无限趋近于ｘ０时，ｆ（ｘ）无限趋近于常数Ａ，则称Ａ是函数ｆ（ｘ）的当ｘ→ｘ０时的极限，记为ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）＝Ａ．若当ｘ从小于ｘ０的方向无限趋近于ｘ０时，ｆ（ｘ）无限趋近于常数Ａ，则称Ａ是函数ｆ（ｘ）在ｘ０处的左极限，记为ｆ（ｘ０－０）＝ｌｉｍｘ→ｘ－０ｆ（ｘ）＝Ａ．若当ｘ从大于ｘ０的方向无限趋近于ｘ０时，ｆ（ｘ）无限趋近于常数Ａ，则称Ａ是函数ｆ（ｘ）在ｘ０处的右极限，记为ｆ（ｘ０＋０）＝ｌｉｍｘ→ｘ＋０ｆ（ｘ）＝Ａ．无穷小量若ｌｉｍｘ→ｘ＋０ｆ（ｘ）＝０，则称ｆ（ｘ）是当ｘ→ｘ０时的无穷小量，也称无穷小，类似地也有ｘ→ ∞，ｘ→ｘ－０，ｘ→ｘ＋０时的无穷小．无穷大量若当ｘ无限趋近于ｘ０时，｜ｆ（ｘ）｜无限增大，则称ｆ（ｘ）是当ｘ→ｘ０时的无穷大量，记为ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）＝∞．类似地也有其他无穷大量ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）＝＋∞，ｌｉｍｘ→∞ｆ（ｘ）＝－∞，等等．无穷小量的阶设ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）＝ｌｉｍｘ→ｘ０ｇ（ｘ）＝０，ｇ（ｘ）非零．·３１·第二部分若ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）＝０，则称当ｘ→ｘ０时ｆ（ｘ）是比ｇ（ｘ）高阶的无穷小；若ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）＝ｃ（≠０），则称当ｘ→ｘ０时ｆ（ｘ）是与ｇ（ｘ）同阶的无穷小；若ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）＝１，则称当ｘ→ｘ０时ｆ（ｘ）是与ｇ（ｘ）等价的无穷小．函数的连续性若ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ０），则称函数ｆ（ｘ）在点ｘ０处连续，否则称函数ｆ（ｘ）在点ｘ０处间断．左连续若ｌｉｍｘ→ｘ－０ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ０），则称函数ｆ（ｘ）在点ｘ０处左连续．右连续若ｌｉｍｘ→ｘ＋０ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ０），则称函数ｆ（ｘ）在点ｘ０处右连续．函数在闭区间［ａ，ｂ］上连续若ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）内处处连续，且在点ａ右连续，在点ｂ左连续，则称函数ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上连续．第一类间断点若ｌｉｍｘ→ｘ－０ｆ（ｘ），ｌｉｍｘ→ｘ＋０ｆ（ｘ）都存在，而ｘ０是ｆ（ｘ）的间断点，则称ｘ０是第一类间断点．第二类间断点若ｌｉｍｘ→ｘ－０ｆ（ｘ），ｌｉｍｘ→ｘ＋０ｆ（ｘ）至少有一个不存在，则称ｘ０是ｆ（ｘ）的第二类间断点．·４１·高等数学（工专）２．收敛级数的性质与判别法（１）设ｃ是非零常数，则级数∑∞ｎ＝１ｕｎ与∑∞ｎ＝１ｃｕｎ有相同的敛散性，且在收敛时有∑∞ｎ＝１ｃｕｎ＝ｃ∑∞ｎ＝１ｕｎ．（２）去掉或改变∑∞ｎ＝１ｕｎ的前有限项的值，不会改变级数的敛散性．（３）若∑∞ｎ＝１ｕｎ，∑∞ｎ＝１ｖｎ都收敛，则∑∞ｎ＝１（ｕｎ±ｖｎ）也收敛，且∑∞ｎ＝１（ｕｎ±ｖｎ）＝∑∞ｎ＝１ｕｎ±∑∞ｎ＝１ｖｎ．（４）必要条件若∑∞ｎ＝１ｕｎ收敛，则ｌｉｍｎ→∞ｕｎ＝０．（５）正项级数收敛的充要条件若ｕｎ≥０（ｎ＝１，２，…），则∑∞ｎ＝１ｕｎ收敛的充要条件是它的部分和｛ｓｎ｝有界．（６）正项级数的比较判别法设∑∞ｎ＝１ｕｎ，∑∞ｎ＝１ｖｎ是两个正项级数，且ｕｎ≤ｖｎ（ｎ＞Ｎ）．若∑∞ｎ＝１ｖｎ收敛，则∑∞ｎ＝１ｕｎ·５１·第二部分收敛；若∑∞ｎ＝１ｕｎ发散，则∑∞ｎ＝１ｖｎ发散．３．函数极限的有关性质和结论（１）唯一性若ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）存在，则极限值唯一．（２）局部有界性若ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）＝Ａ，则存在ｘ０的某去心的邻域，使得当ｘ在该邻域内时，ｆ（ｘ）有界．（３）保序性若ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）＝Ａ，ｌｉｍｘ→ｘ０ｇ（ｘ）＝Ｂ，且Ａ＞Ｂ，则存在ｘ０的某去心邻域，使得当ｘ在该邻域内时，有ｆ（ｘ）＞ｇ（ｘ）．推论１若在ｘ０的某去心邻域内有ｆ（ｘ）≥ｇ（ｘ），且ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）＝Ａ，ｌｉｍｘ→ｘ０ｇ（ｘ）＝Ｂ，则Ａ≥Ｂ．推论２（保号性）若ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）＝ａ，且ａ＞０（ａ＜０），则在ｘ０的某去心邻域内有ｆ（ｘ）＞０（ｆ（ｘ）＜０）．推论３若在ｘ０的某去心邻域内有ｆ（ｘ）≥０，且ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）＝Ａ，则Ａ≥０．（４）极限的运算法则设ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）＝Ａ，ｌｉｍｘ→ｘ０ｇ（ｘ）＝Ｂ，则ｌｉｍｘ→ｘ０［ｆ（ｘ）±ｇ（ｘ）］＝Ａ±Ｂ，ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）＝ＡＢ，·６１·高等数学（工专）ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）＝ＡＢ（Ｂ≠０），ｌｉｍｘ→ｘ０ｃｆ（ｘ）＝ｃＡ（ｃ为常数），ｌｉｍｘ→ｘ０ｆｋ（ｘ）＝Ａｋ（ｋ是正整数）．（５）极限存在的夹逼准则若ｆ（ｘ），ｇ（ｘ），ｈ（ｘ）在ｘ０的某去心邻域内满足ｇ（ｘ）≤ｆ（ｘ）≤ｈ（ｘ），且ｌｉｍｘ→ｘ０ｇ（ｘ）＝ｌｉｍｘ→ｘ０ｈ（ｘ）＝Ａ，则ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）＝Ａ．以上关于函数的性质和结论在ｘ→ ∞，ｘ→ｘ＋０，ｘ→ｘ－０时也有相应的结果．４．无穷小量的有关性质（１）有限个无穷小量的代数和是无穷小量．（２）有限个无穷小量的乘积是无穷小量．（３）有界变量乘无穷小量是无穷小量．（４）常数乘无穷小量是无穷小量．（５）极限与无穷小量的关系ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）＝Ａ的充要条件是ｆ（ｘ）＝Ａ＋α，其中ｌｉｍｘ→ｘ０α＝０．（６）无穷小量与无穷大量的关系当ｘ→ｘ０时，若ｆ（ｘ）是无穷小量，且ｆ（ｘ）≠０，则１ｆ（ｘ）就是无穷大量；若ｆ（ｘ）是无穷大量，则１ｆ（ｘ）就是无穷小量．５．连续函数的有关性质（１）函数连续的充要条件函数ｆ（ｘ）在点ｘ０处连·７１·第二部分续的充要条件是ｆ（ｘ）在点ｘ０处既左连续，又右连续．（２）连续函数四则运算法则若ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）在点ｘ０处连续，则ｆ（ｘ）±ｇ（ｘ），ｆ（ｘ）ｇ（ｘ），ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）（ｇ（ｘ０）≠０）也在点ｘ０处连续．（３）连续函数的复合运算法则若ｕ＝φ（ｘ）在点ｘ０处连续，ｙ＝ｆ（ｕ）在ｕ０＝φ（ｘ０）处连续，则复合函数ｙ＝ｆ（φ（ｘ））在点ｘ０处连续．（４）连续函数的求极限法则若ｌｉｍｘ→ｘ０φ（ｘ）＝ｕ０，ｙ＝ｆ（ｕ）在ｕ０处连续，则ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（φ（ｘ））＝ｆ（ｌｉｍｘ→ｘ０φ（ｘ））＝ｆ（ｕ０），ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（φ（ｘ））ｕ＝φ（ｘ）ｌｉｍｕ→ｕ０ｆ（ｕ）＝ｆ（ｕ０）．（５）连续函数的反函数的连续性若ｙ＝ｆ（ｘ）在区间Ｉｘ上单调连续，则它的反函数ｙ＝ｆ－１（ｘ）在区间Ｉｙ＝｛ｘ｜ｘ＝ｆ（ｙ），ｙ∈Ｉｘ｝上单调且连续．（６）基本初等函数在其定义域内连续．（７）初等函数在其定义区间内连续．（８）闭区间上连续函数的性质若函数ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上连续，则①（有界性定理）ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上有界；②（最值定理）ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上必取得最大值、最·８１·高等数学（工专）小值；③（介值定理）ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上必取得介于它的最小值与最大值之间的一切值；④（零点定理）若ｆ（ａ）·ｆ（ｂ）＜０，则ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）内必有零点，即存在ξ∈（ａ，ｂ），使ｆ（ξ）＝０．６．重要的结果（１）两个重要极限：ｌｉｍｘ→０（１＋ｘ）１ｘ＝ｅ，ｌｉｍｘ→０ｓｉｎｘｘ＝１．（２）常用的极限：ｌｉｍｎ→∞ａｎ＝０（｜ａ｜＜１），ｌｉｍｎ→∞ｎ槡ａ＝１（ａ＞０），ｌｉｍｘ→∞ａ０ｘｎ＋ａ１ｘｎ－１＋…＋ａｎｂ０ｘｍ＋ｂ１ｘｍ－１＋…＋ｂｍ＝ａ０ｂ０，ｎ＝ｍ，∞，ｎ＞ｍ，０，ｎ＜ｍ烅烆．（３）常见的级数的敛散性：等比级数∑∞ｎ＝０ａｒｎ，当｜ｒ｜＜１时收敛，当｜ｒ｜≥１时发散；调和级数∑∞ｎ＝１１ｎ，发散；ｐ－级数∑∞ｎ＝１１ｎｐ，当０＜ｐ≤１时发散，当ｐ＞１时收敛．·９１·第二部分（４）常用的等价无穷小：当ｘ→０时．ｓｉｎｘ～ｘ，ｌｎ（１＋ｘ）～ｘ，１－ｃｏｓｘ～ｘ２２，ｅｘ－１～ｘ，ｔａｎｘ～ｘ，ａｒｃｔａｎｘ～ｘ．三、导数与微分１．有关定义设函数ｙ＝ｆ（ｘ）在点ｘ０的某邻域内有定义，则有下列定义式：导数ｆ′（ｘ０）＝ｌｉｍΔｘ→０ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０）Δｘ＝ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ０）ｘ－ｘ０；导函数ｆ′（ｘ）＝ｌｉｍΔｘ→０ｆ（ｘ＋Δｘ）－ｆ（ｘ）Δｘ，ｘ∈Ｕ（ｘ０）；左导数ｆ′－（ｘ０）＝ｌｉｍΔｘ→０－ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０）Δｘ＝ｌｉｍｘ→ｘ－０ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ０）ｘ－ｘ０；右导数ｆ′＋（ｘ０）＝ｌｉｍΔｘ→０＋ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０）Δｘ＝ｌｉｍｘ→ｘ＋０ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ０）ｘ－ｘ０．·０２·高等数学（工专）微分若Δｙ＝ＡΔｘ＋ｏ（Δｘ），则ｄｙｘ＝ｘ０＝ＡΔｘ．二阶导数ｆ″（ｘ０）＝ｌｉｍΔｘ→０ｆ′（ｘ０＋Δｘ）－ｆ′（ｘ０）Δｘ＝ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ′（ｘ）－ｆ′（ｘ０）ｘ－ｘ０．２．概念之间的关系函数ｆ（ｘ）在点ｘ０处可导的充分必要条件是ｆ（ｘ）在点ｘ０处的左、右导数存在且相等，即ｆ′（ｘ０）存在ｆ′－（ｘ０）＝ｆ′＋（ｘ０）．可导，可微，连续之间的关系为：３．导数与微分的几何意义与物理意义导数的几何意义若ｆ′（ｘ０）存在，则ｆ′（ｘ０）是曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点（ｘ０，ｆ（ｘ０））处的切线的斜率．切线方程：ｙ－ｆ（ｘ０）＝ｆ′（ｘ０）（ｘ－ｘ０）；法线方程：ｙ－ｆ（ｘ０）＝－１ｆ′（ｘ０）（ｘ－ｘ０）．导数的物理意义若ｓ＝ｓ（ｔ）是变速直线运动的位置函数，则ｓ′（ｔ０）是在ｔ０时刻的瞬时速度，ｓ″（ｔ０）是在ｔ０·１２·第二部分时刻的加速度．微分的几何意义若ｆ′（ｘ０）存在，则ｆ′（ｘ０）Δｘ是曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在点（ｘ０，ｆ（ｘ０））处的切线上在点ｘ＝ｘ０＋Δｘ处的纵坐标与点ｘ＝ｘ０处的纵坐标之差．微分的实际意义若ｆ′（ｘ０）≠０，则ｆ′（ｘ０）Δｙ是增量Δｙ的线性主部，与Δｙ的差是ｏ（Δｘ）．４．基本的求导公式与微分公式（１）（Ｃ）′＝０，ｄＣ＝０（Ｃ是常数）；（２）（ｘα）′＝αｘα－１，ｄ（ｘα）＝α（ｘα－１）ｄｘ（α为实常数）；（３）（ａｘ）′＝ａｘｌｎａ，ｄ（ａｘ）＝ａｘｌｎａｄｘ（ａ＞０，ａ≠１）；（ｅｘ）′＝ｅｘ，ｄ（ｅｘ）＝ｅｘｄｘ；（４）（ｌｏｇａｘ）′＝１ｘｌｎａ，ｄ（ｌｏｇａｘ）＝１ｘｌｎａｄｘ（ａ＞０，ａ≠１）；（ｌｎｘ）′＝１ｘ，ｄ（ｌｎｘ）＝１ｘｄｘ；（５）（ｓｉｎｘ）′＝ｃｏｓｘ，ｄ（ｓｉｎｘ）＝ｃｏｓｘｄｘ；（６）（ｃｏｓｘ）′＝－ｓｉｎｘ，ｄ（ｃｏｓｘ）＝－ｓｉｎｘｄｘ；（７）（ｔａｎｘ）′＝ｓｅｃ２ｘ，ｄ（ｔａｎｘ）＝ｓｅｃ２ｘｄｘ；（８）（ｃｏｔｘ）′＝－ｃｓｃ２ｘ，ｄ（ｃｏｔｘ）＝－ｃｓｃ２ｘｄｘ；（９）（ｓｅｃｘ）′＝ｓｅｃｘｔａｎｘ，ｄ（ｓｅｃｘ）＝ｓｅｃｘｔａｎｘｄｘ；（１０）（ｃｓｃｘ）′＝－ｃｓｃｘｃｏｔｘ，ｄ（ｃｓｃｘ）＝－ｃｓｃｘｃｏｔｘｄｘ；（１１）（ａｒｃｓｉｎｘ）′＝１１－ｘ槡２，ｄ（ａｒｃｓｉｎｘ）＝１１－ｘ槡２ｄｘ；（１２）（ａｒｃｃｏｓｘ）′＝－１１－ｘ槡２，·２２·高等数学（工专）ｄ（ａｒｃｃｏｓｘ）＝－１１－ｘ槡２ｄｘ；（１３）（ａｒｃｔａｎｘ）′＝１１＋ｘ２，ｄ（ａｒｃｔａｎｘ）＝１１＋ｘ２ｄｘ；（１４）（ａｒｃｃｏｔｘ）′＝－１１＋ｘ２，ｄ（ａｒｃｃｏｔｘ）＝－１１＋ｘ２ｄｘ；５．求导法则设ｕ（ｘ），ｖ（ｘ）在点ｘ处可导，则［ｕ（ｘ）±ｖ（ｘ）］′＝ｕ′（ｘ）±ｖ′（ｘ），［ｕ（ｘ）ｖ（ｘ）］′＝ｕ′（ｘ）ｖ（ｘ）＋ｖ′（ｘ）ｕ（ｘ），ｕ（ｘ）ｖ（ｘ［］）′＝ｕ′（ｘ）ｖ（ｘ）－ｕ（ｘ）ｖ′（ｘ）ｖ２（ｘ），ｖ（ｘ）≠０，反函数的求导法则若函数ｘ＝φ（ｙ）在区间Ｉｙ内单调、可导，且φ′（ｙ）≠０，则其反函数ｙ＝ｆ（ｘ）在对应的区间Ｉｘ内单调、可导，且有ｆ′（ｘ）＝１φ′（ｙ），Ｉｘ＝｛ｘ｜ｘ＝φ（ｙ），ｙ∈Ｉｙ｝．复合函数的求导法则设函数ｕ＝φ（ｘ）在点ｘ处可导，ｙ＝ｆ（ｕ）在相应的点ｕ＝φ（ｘ）处可导，则复合函数ｙ＝ｆ（φ（ｘ））在点ｘ处可导，且ｄｙｄｘ＝ｆ′（ｕ）φ′（ｘ）＝ｄｙｄｕ·ｄｕｄｘ．·３２·第二部分６．高阶导数的求法ｙ″，ｙ等较低阶导数的求法：ｙ″＝（ｙ′），ｙ＝（ｙ″）′．依次求出ｙ′，ｙ″，ｙ即可．ｙ（ｎ）等较高阶导数的求法：依次求出ｙ′，ｙ″，ｙ，…，看出规律，归纳出ｙ（ｎ）的表达式．在求ｙ（ｎ）时，一些已求出的结果可以作为公式：（ｅｘ）（ｎ）＝ｅｘ；（ｘα）（ｎ）＝α（α－１）…（α－ｎ＋１）ｘα－ｎ；（ｓｉｎｘ）（ｎ）＝ｓｉｎｘ＋ｎπ（）２；（ｃｏｓｘ）（ｎ）＝ｃｏｓｘ＋ｎπ（）２．四、微分中值定理与导数的应用１．中值定理费马定理设函数ｆ（ｘ）在ｘ０处可导，并且在ｘ０的某邻域内恒有ｆ（ｘ）≤ｆ（ｘ０）或ｆ（ｘ）≥ｆ（ｘ０），则ｆ′（ｘ０）＝０．罗尔定理设函数ｆ（ｘ）满足：（１）在闭区间［ａ，ｂ］上连续；（２）在开区间（ａ，ｂ）内可导；（３）ｆ（ａ）＝ｆ（ｂ），则至少存在一点ξ∈（ａ，ｂ），使得ｆ′（ξ）＝０．拉格朗日中值定理设函数ｆ（ｘ）满足：·４２·高等数学（工专）（１）在闭区间［ａ，ｂ］上连续；（２）在开区间（ａ，ｂ）内可导；则至少存在一点ξ∈（ａ，ｂ），使得ｆ′（ξ）＝ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｂ－ａ或ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ′（ξ）（ｂ－ａ）．２．洛必达法则００和∞∞型未定式的洛必达法则如果ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ）满足下列条件：（１）ｌｉｍｘ→ａｆ（ｘ）＝ｌｉｍｘ→ａｇ（ｘ）＝０（或∞）；（２）在点ａ的某去心邻域内，ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）可导，并且ｇ′（ｘ）≠０；（３）ｌｉｍｘ→ａｆ′（ｘ）ｇ′（ｘ）存在（或者为∞），则ｌｉｍｘ→ａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）＝ｌｉｍｘ→ａｆ′（ｘ）ｇ′（ｘ）．其他类型未定式的极限０·∞ 型，∞－∞ 型，００型，１∞型，∞０型等未定式均转换为００型和∞∞型未定式来计算．３．函数的性态函数的极值与最值（１）极大值与极小值的定义．·５２·第二部分（２）极值的必要条件如果ｘ０是函数ｆ（ｘ）的极值点，则ｘ０必为函数ｆ（ｘ）的驻点或不可导点，亦即，要么ｆ′（ｘ０）＝０，要么ｆ′（ｘ０）不存在．（３）极值的第一充分条件设函数ｆ（ｘ）在点ｘ０的某邻域（ｘ０－δ，ｘ０＋δ）内连续，在去心邻域内可导．①如果当ｘ∈（ｘ０－δ，ｘ０）时，ｆ′（ｘ）＞０；当ｘ∈（ｘ０，ｘ０＋δ）时，ｆ′（ｘ）＜０，那么函数ｆ（ｘ）在ｘ０处取得极大值．②如果当ｘ∈（ｘ０－δ，ｘ０）时，ｆ′（ｘ）＜０；当ｘ∈（ｘ０，ｘ０＋δ）时，ｆ′（ｘ）＞０，那么函数ｆ（ｘ）在ｘ０处取得极小值．③如果当ｘ∈（ｘ０－δ，ｘ０）∪（ｘ０，ｘ０＋δ）时恒有ｆ′（ｘ）＞０，或恒有ｆ′（ｘ）＜０，那么函数ｆ（ｘ）在ｘ０处没有极值．（４）极值的第二充分条件设函数ｙ＝ｆ（ｘ）在点ｘ０处具有二阶导数，并且ｆ′（ｘ０）＝０，ｆ″（ｘ０）≠０．①若ｆ″（ｘ０）＜０，则函数ｙ＝ｆ（ｘ）在ｘ０处取得极大值．②若ｆ″（ｘ０）＞０，则函数ｙ＝ｆ（ｘ）在ｘ０处取得极小值．（５）函数极值的计算方法：①求出导数ｆ′（ｘ）以及不可导的点；②求出函数ｆ（ｘ）的全部驻点（即求出方程ｆ′（ｘ）＝０在所讨论的区间内的全部根）；·６２·高等数学（工专）③考查ｆ′（ｘ）的每一个驻点、不可导点的左右两侧附近的符号，由第一充分条件判定这些点是否极值点，是极大点还是极小点，或求出二阶导数，由第二充分条件判别．④求出各极值点处的函数值，就是函数ｆ（ｘ）的全部极值．（６）闭区间上连续函数的最值的计算方法：①求出ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）上的所有驻点和不可导点；②求出驻点、不可导点以及端点的函数值；③比较以上函数值，最大的即为最大值，最小的即为最小值．曲线的凹凸性与拐点（１）曲线的凹凸性及拐点的定义．（２）曲线凹凸性判别定理设函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，在（ａ，ｂ）内具有二阶导数．①若在（ａ，ｂ）内ｆ″（ｘ）＞０，则函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的图形是下凸的（凹的）；②若在（ａ，ｂ）内ｆ″（ｘ）＜０，则函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的图形是上凸的（凸的）．（３）确定拐点以及凹凸区间的方法：①求ｆ″（ｘ），并求出在所讨论区间内的ｆ″（ｘ）不存在的点；②令ｆ″（ｘ）＝０，求出位于所讨论区间内的所有实根；·７２·第二部分③ｆ″（ｘ）＝０的点和ｆ″（ｘ）不存在的点将ｆ（ｘ）的定义域分成一些区间，由ｆ″（ｘ）在这些区间内的符号确定其是凹或凸区间．④在所讨论的区间讨论ｆ″（ｘ）＝０的点和ｆ″（ｘ）不存在的点的左右两侧的符号，确定该点是否为拐点．曲线的水平渐近线与铅直渐近线渐近线有水平渐近线和铅直渐近线，它们通过取极限的方法来确定．五、一元函数积分学（一）不定积分及其计算１．原函数与不定积分ｆ（ｘ）在Ｉ上的全体原函数组成的函数族为函数ｆ（ｘ）在区间Ｉ上的不定积分，记为∫ｆ（ｘ）ｄｘ，即∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ｘ）＋Ｃ，其中Ｆ（ｘ）为ｆ（ｘ）的一个原函数．２．不定积分的性质性质１∫［ｆ（ｘ）±ｇ（ｘ）］ｄｘ＝∫ｆ（ｘ）ｄｘ±∫ｇ（ｘ）ｄｘ．性质２∫ｋｆ（ｘ）ｄｘ＝ｋ∫ｆ（ｘ）ｄｘ（ｋ≠０为常数）．性质３微分与积分互为逆运算：ｄｄｘ∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ｘ）或ｄ∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ｘ）ｄｘ；·８２·高等数学（工专）∫Ｆ′（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ｘ）＋Ｃ或∫ｄＦ（ｘ）＝Ｆ（ｘ）＋Ｃ．３．基本积分公式微分与积分互为逆运算，其基本公式不再详述．４．不定积分的计算方法（１）直接积分法由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法．（２）第一换元法（凑微分法）设ｆ（ｕ）具有原函数，ｕ＝φ（ｘ）可导，则∫ｆ［φ（ｘ）］φ′（ｘ）ｄｘ＝∫ｆ（ｕ）ｄ［］ｕｕ＝φ（ｘ）．（３）第二换元法设ｘ＝φ（ｔ）单调、可导，并且φ′（ｔ）≠０，又设ｆ［φ（ｔ）］φ′（ｔ）具有原函数，则有如下换元公式∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝∫ｆ［φ（ｔ）］φ′（ｔ）ｄ［］ｔｔ＝φ－１（ｘ），其中ｔ＝φ－１（ｘ）为ｘ＝φ（ｔ）的反函数．（４）分部积分法设ｕ（ｘ），ｖ（ｘ）在区间Ｉ上有连续导数，则∫ｕｖ′ｄｘ＝ｕｖ－∫ｕ′ｖｄｘ或∫ｕｄｖ＝ｕｖ－∫ｖｄｕ．（二）微分方程一阶微分方程的解法（１）可分离变量的微分方程形如ｄｙｄｘ＝ｇ（ｘ）ｈ（ｘ）·９２·第二部分或Ｍ１（ｘ）Ｍ２（ｙ）ｄｘ＋Ｎ１（ｘ）Ｎ２（ｙ）ｄｙ＝０的方程．（２）一阶线性微分方程形如ｄｙｄｘ＋Ｐ（ｘ）ｙ＝Ｑ（ｘ）的微分方程．当Ｑ（ｘ）＝０时，称之为齐次微分方程；而当Ｑ（ｘ）≠０时，称之为非齐次微分方程．解法：齐次方程的通解为ｙ＝Ｃｅ∫Ｐ（ｘ）ｄｘ（分离变量法）．非齐次方程的通解为ｙ＝ｅ－∫Ｐ（ｘ）ｄｘ∫Ｑ（ｘ）ｅ∫Ｐ（ｘ）ｄｘｄｘ＋（）Ｃ（常数变易法）．（三）定积分及其应用１．定积分的几何意义２．定积分的存在定理：定理１设函数ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上连续，则ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可积．定理２设函数ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上有界，并且只有有限个间断点，则ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可积．３．定积分的基本性质性质１∫ｂａ［ｆ（ｘ）±ｇ（ｘ）］ｄｘ＝∫ｂａｆ（ｘ）ｄｘ±∫ｂａｇ（ｘ）ｄｘ．·０３·高等数学（工专）性质２∫ｂａｋｆ（ｘ）ｄｘ＝ｋ∫ｂａｆ（ｘ）ｄｘ．性质３∫ｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝∫ｃａｆ（ｘ）ｄｘ＋∫ｂｃｆ（ｘ）ｄｘ，其中ｃ∈［ａ，ｂ］性质４如果在［ａ，ｂ］上ｆ（ｘ）≡１，则∫ｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝∫ｂａ１ｄｘ＝∫ｂａｄｘ＝ｂ－ａ．性质５设ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上可积，并且ｆ（ｘ）≥０（ｘ∈［ａ，ｂ］），则∫ｂａｆ（ｘ）ｄｘ≥０．推论１设ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可积，并且在［ａ，ｂ］上ｆ（ｘ）≤ｇ（ｘ），则∫ｂａｆ（ｘ）ｄｘ≤∫ｂａｇ（ｘ）ｄｘ．推论２设ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可积，则∫ｂａｆ（ｘ）ｄｘ≤∫ｂａ｜ｆ（ｘ）｜ｄｘ．性质６设ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可积，并且Ｍ和ｍ分别为ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的最大值与最小值．ｍ（ｂ－ａ）≤∫ｂａｆ（ｘ）ｄｘ≤Ｍ（ｂ－ａ）．性质７（积分中值定理）如果函数ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上连续，则至少存在一个点ξ∈［ａ，ｂ］，使得∫ｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）（ｂ－ａ）．·１３·第二部分４．微积分基本公式（１）积分上限的函数及其导数设函数ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上连续，则变上限积分Φ（ｘ）＝∫ｘａｆ（ｔ）ｄｔ在［ａ，ｂ］上可导，并且Φ′（ｘ）＝ｄｄｘ∫ｘａｆ（ｔ）ｄｔ＝ｆ（ｘ）（ｘ∈［ａ，ｂ］）．注ｄｄｘ∫ｂ（ｘ）ａｆ（ｔ）ｄｔ＝ｆ［ｂ（ｘ）］ｂ′（ｘ）；ｄｄｘ∫ｂａ（ｘ）ｆ（ｔ）ｄｔ＝－ｆ［ａ（ｘ）］ａ′（ｘ）；ｄｄｘ∫ｂ（ｘ）ａ（ｘ）ｆ（ｔ）ｄｔ＝ｆ［ｂ（ｘ）］ｂ′（ｘ）－ｆ［ａ（ｘ）］ａ′（ｘ）．（２）微积分学基本定理定理３设函数ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上连续，Ｆ（ｘ）是ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的一个原函数，则∫ｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝［Ｆ（ｘ）］ｂａ＝Ｆ（ｂ）－Ｆ（ａ）．５．定积分的换元法与分部积分法其换元法和分部积分法与不定积分类似，这里不再详述．６．无穷限反常积分设ｆ（ｘ）在［ａ，＋∞］或（－∞，ｂ］或（－∞，＋∞）上连续，定义反常积分·２３·高等数学（工专）∫＋∞ａｆ（ｘ）ｄｘ＝ｌｉｍｂ→＋∞∫ｂａｆ（ｘ）ｄｘ，∫ｂ－∞ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｌｉｍａ→－∞∫ｂａｆ（ｘ）ｄｘ，∫＋∞－∞ｆ（ｘ）ｄｘ＝∫０－∞ｆ（ｘ）ｄｘ＋∫＋∞０ｆ（ｘ）ｄｘ．若上述极限存在，则称相应的反常积分收敛，否则称其发散．７．定积分的应用（１）几何应用①平面图形的面积设函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上连续，并且ｆ（ｘ）≥ｇ（ｘ）（ｘ∈［ａ，ｂ］），则由曲线ｙ＝ｆ（ｘ）与ｙ＝ｇ（ｘ）以及直线ｘ＝ａ和ｘ＝ｂ围成的图形的面积Ａ为Ａ＝∫ｂａ［ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）］ｄｘ．同理可得Ａ＝∫ｄｃ［ψ（ｙ）－φ（ｙ）］ｄｙ．②旋转体的体积由连续曲线ｙ＝ｆ（ｘ）与直线ｘ＝ａ，ｘ＝ｂ（ａ＜ｂ）以及ｘ轴围成的平面图形绕ｘ轴旋转一周所成旋转体的体积为Ｖ＝∫ｂａπｆ２（ｘ）ｄｘ．由连续曲线ｘ＝φ（ｙ）与直线ｙ＝ｃ，ｙ＝ｄ（ｃ＜ｄ）·３３·第二部分以及ｙ轴围成的平面图形绕ｙ轴旋转一周所成旋转体的体积为Ｖ＝∫ｄｃπφ２（ｙ）ｄｙ．③平面曲线的弧长弧长微元为ｄｓ＝（ｄｘ）２＋（ｄｙ）槡２＝１＋ｙ′槡２ｄｘ．ｓ＝∫ｂａ１＋ｙ′槡２ｄｘ．或ｓ＝∫βαｘ′２（ｔ）＋ｙ′２（ｔ槡）ｄｔ．（２）定积分的物理应用①变速直线运动的位移问题ｓ＝∫Ｔ２Ｔ１ｖ（ｔ）ｄｔ．②变力沿直线所做的功Ｗ＝∫ｂａＦ（ｘ）ｄｘ．六、线性代数初步（一）行列式１．行列式的概念２．余子式三阶行列式中划去ａｉｊ元素所在的第ｉ行和第ｊ列的元素，剩下的元素按原次序构成的二阶行列式称为ａｉｊ的余子式，记做Ｍｉｊ．而称Ａｉｊ＝（－１）ｉ＋ｊＭｉｊ为ａｉｊ的代数余子式．·４３·高等数学（工专）ｎ阶行列式的余子式定义类似三阶的定义．３．行列式的性质与计算（１）基本性质性质１转置行列式与原行列式有相同的值，即Ｄ′＝Ｄ．性质２将行列式中的某一行（列）的每个元素同乘以数ｋ所得的新行列式等于ｋ乘以该行列式．推论如果行列式中一行（列）的元素全是０，则行列式等于０．性质３ａ１１ａ１２ａ１３ａ２１＋ａ′２１ａ２２＋ａ′２２ａ２３＋ａ′２３ａ３１ａ３２ａ３３＝ａ１１ａ１２ａ１３ａ２１ａ２２ａ２３ａ３１ａ３２ａ３３＋ａ１１ａ１２ａ１３ａ′２１ａ′２２ａ′２３ａ３１ａ３２ａ３３．性质４如果行列式中两行（列）对应元素相同，则行列式等于０．推论如果行列式中有两行（列）的元素成比例，则行列式等于０．性质５将行列式中的某行（列）的所有元素乘以一个常数ｋ，然后加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变．性质６互换行列式中的任意两行（列），行列式仅改变符号．·５３·第二部分（２）行列式的拉普拉斯展开式定理１三阶行列式的值Ｄ等于它的任意一行（列）的元素与其对应的代数余子式的乘积的和，即Ｄ＝ａｉ１Ａｉ１＋ａｉ２Ａｉ２＋ａｉ３Ａｉ３＝∑３ｊ＝１ａｉｊＡｉｊ（ｉ＝１，２，３），Ｄ＝ａ１ｊＡ１ｊ＋ａ２ｊＡ２ｊ＋ａ３ｊＡ３ｊ＝∑３ｉ＝１ａｉｊＡｉｊ（ｊ＝１，２，３），推论设Ｄ为三阶行列式，则它的任意一行（列）的元素与其某行对应元素的代数余子式的乘积之和有ａｉ１Ａｊ１＋ａｉ２Ａｊ２＋ａｉ３Ａｊ３＝∑３ｋ＝１ａｉｋＡｊｋ＝Ｄ，ｉ＝ｊ，０，ｉ≠ｊ｛；ａ１ｉＡ１ｊ＋ａ２ｉＡ２ｊ＋ａ３ｉＡ３ｊ＝∑３ｋ＝１ａｋｉＡｋｊ＝Ｄ，ｉ＝ｊ，０，ｉ≠ｊ｛．（３）克莱姆法则定理２若Ｄ＝ａ１１ａ１２ａ１３ａ２１ａ２２ａ２３ａ３１ａ３２ａ３３≠０，则三元线性·６３·高等数学（工专）方程组ａ１１ｘ１＋ａ１２ｘ２＋ａ１３ｘ３＝ｂ１，ａ２１ｘ１＋ａ２２ｘ２＋ａ２３ｘ３＝ｂ２，ａ３１ｘ１＋ａ３２ｘ２＋ａ３３ｘ３＝ｂ烅烄烆３有唯一解ｘ１＝Ｄ１Ｄ，ｘ２＝Ｄ２Ｄ，ｘ３＝Ｄ３Ｄ，其中Ｄｉ（ｉ＝１，２，３）就是将行列式Ｄ中的第ｉ列换为方程组的常数项得到的新的行列式．推论１若齐次线性方程组的系数行列式Ｄ≠０，则它仅有零解．推论２若齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为零．（二）矩阵１．矩阵及其运算（１）矩阵的定义（２）矩阵的运算①矩阵的加法与数乘将两个阶数相同的矩阵Ａ＝（ａｉｊ）与Ｂ＝（ｂｉｊ）的对应元素相加，所得到的新矩阵（ａｉｊ＋ｂｉｊ）称为矩阵Ａ与Ｂ的和，记做Ａ＋Ｂ．实数ｋ与矩阵Ａ＝（ａｉｊ）的各个元素相乘所得到的新矩阵（ｋａｉｊ）称为实数ｋ与矩阵Ａ的乘积，记做ｋＡ．矩阵加法与数乘具有如下性质（假定Ａ，Ｂ，Ｃ为同阶矩阵，Ｏ为同阶零矩阵）：·７３·第二部分１°Ａ＋Ｂ＝Ｂ＋Ａ；２°（Ａ＋Ｂ）＋Ｃ＝Ａ＋（Ｂ＋Ｃ）；３°Ａ＋Ｏ＝Ａ；４°Ａ＋（－Ａ）＝Ｏ；５°（ｋ＋ｌ）Ａ＝ｋＡ＋ｌＡ；６°ｋ（Ａ＋Ｂ）＝ｋＡ＋ｋＢ；７°ｋ（ｌＡ）＝（ｋｌ）Ａ；８°１Ａ＝Ａ；９°０Ａ＝Ｏ；１０°（－１）Ａ＝－Ａ．②矩阵的乘法设Ａ＝（ａｉｊ）ｍ×ｓ，Ｂ＝（ｂｉｊ）ｓ×ｎ，则矩阵的乘积的性质（假定下列出现的矩阵乘积均有意义）：１°（ＡＢ）Ｃ＝Ａ（ＢＣ）；２°Ａ（Ｂ±Ｃ）＝ＡＢ±ＡＣ；３°（Ｂ±Ｃ）Ａ＝ＢＡ±ＣＡ；４°Ａｍ×ｎＥｎ×ｎ＝Ｅｍ×ｍＡｍ×ｎ＝Ａｍ×ｎ（其中Ｅｎ×ｎ，Ｅｍ×ｍ均为单位阵）；５°（λＡ）Ｂ＝λ（ＡＢ）＝Ａ（λＢ）（其中λ为任意实数）．对于矩阵乘法，需要注意以下几点：１°只有当矩阵Ａ的列数和矩阵Ｂ的行数相等时，Ａ才能与Ｂ相乘，也就是说乘积ＡＢ才有意义．此时乘积矩阵ＡＢ的行数等于左边矩阵Ａ的行数ｍ，而列数等于右边·８３·高等数学（工专）。
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自考高等数学工本教材目录一、导论1. 高等数学的定义与概念2. 数学与科学的关系3. 数学的基本运算4. 数学的应用领域二、数列与数学归纳法1. 数列的概念与表示方法2. 数列的性质与分类3. 数学归纳法的基本原理与应用4. 递推数列与通项公式三、函数与极限1. 函数的定义与性质2. 基本初等函数及其性质3. 极限的概念与性质4. 极限的运算法则四、导数与微分1. 导数的定义与性质2. 基本初等函数的导数3. 高阶导数与导数运算法则4. 微分的定义与应用五、不定积分与定积分1. 不定积分的定义与性质2. 基本积分公式及其应用3. 定积分的定义与性质4. 定积分的运算法则与应用六、微分方程与应用1. 微分方程的定义与分类2. 一阶常微分方程的解法3. 高阶常微分方程的解法4. 微分方程在实际问题中的应用七、向量与空间解析几何1. 向量的定义与性质2. 向量的运算法则3. 空间解析几何的基本概念4. 点、直线和平面的方程八、级数与幂级数1. 级数的定义与性质2. 收敛级数与发散级数3. 幂级数的收敛域与求和函数4. 幂级数在实际问题中的应用九、多元函数与偏导数1. 多元函数的定义与性质2. 偏导数的概念与计算方法3. 高阶偏导数与混合偏导数4. 多元函数的极值与条件极值十、重积分与曲线积分1. 重积分的定义与性质2. 二重积分与三重积分的计算方法3. 曲线积分的定义与性质4. 曲线积分的计算方法与应用十一、常微分方程1. 高阶线性微分方程的解法2. 非齐次线性微分方程的应用3. 欧拉方程与常系数线性微分方程4. 常微分方程在实际问题中的应用十二、数学统计基础1. 随机事件与随机变量2. 概率分布函数与概率密度函数3. 统计量与样本分布4. 数理统计的基本概念与应用以上是自考高等数学工本教材的目录，涵盖了数学的各个重要主题，帮助学习者系统地了解和掌握高等数学的基础知识和方法。
通过学习这本教材，学生将能够在数学领域有扎实的理论基础，为日后的学习和应用打下坚实的基础。
全国2019年10月《高等数学(工本)》考试重点word精品文档6页
全国2019年10月《高等数学（工本）》考试重点第一章 空间解析几何与向量代数1. 空间两点间的距离公式21221221221)()()(z z y y x x p p -+-+-=2. 向量的投影3. 数量积与向量积：向量的数量积公式：设},,{},,,{z y x z y x b b b a a a == .1︒z z y y x x b a b a b a b a ++=⋅ .2︒b a ⊥的充要条件是：0=⋅b a.3︒=∧)cos(向量的数量积公式：.1︒b a b a b a b a b a b a b b b a a a i x y y x z x x z y z z y zy xz y x)()()(-+-+-==⨯.2︒=ϕsin.3︒b a //的充要条件是0=⨯b a4. 空间的曲面和曲线以及空间中平面与直线平面方程公式： ),,(o o o o z y x M },,{C B A =点法式：0)()()(=-+-+-o o o z z C y y B x x A直线方程公式： },,{n m l = ，),,(o o o o z y x M 点向式：nz z m y y l x x oo o -=-=- 5. 二次曲面第二章 多元函数微分学6. 多元函数的基本概念，偏导数和全微分偏导数公式：.1︒),(),,(),,(y x v y x u v u f z ψϕ===x vv z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ yv v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ .2︒设),(),,(),,(y x v y x u v u f z ψϕ===dxdvv z dx du u z dx dz ∂∂+∂∂=.3︒设0),,(=z y x FFzFyy z FzFx x z -=∂∂-=∂∂ 全微分公式：设),,(y x f z =dy yz dx x z dz ∂∂+∂∂= 7. 复合函数与隐函数的偏导数 8. 偏导数的应用：二元函数极值 9. 高阶导数第三章 重积分10. 二重积分计算公式：.1︒⎰⎰=D kA kd σ（A 为D 的面积）.2︒⎰⎰⎰⎰⎰⎰==)()()()(1212),(),(),(y y cdDx x badx y x f dy dy y x f dx d y x f ϕϕϕϕσ.3︒⎰⎰⎰⎰=Drdr r r f d d y x f )()(12)sin ,cos (),(θϕθϕβαϑϑϑσ11. 三重积分计算公式：.1︒利用直角坐标系计算，Ω为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤b x a x y y x y y x z z y x z )()(),(),(2121 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω),(),()()(2121),,(),,(y x z y x z x y x y badz z y x f dy dx d z y x f σ.2︒利用柱面坐标计算：Ω为⎪⎩⎪⎨⎧===z y r y r x ϑϑsin cos⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω),(),()()(212121),sin ,cos (),,(ϑϑϑϑϑϑϑϑr z r z r r dz z r r f rdr dx dv z y x f.3︒利用球面坐标计算：Ω为⎪⎩⎪⎨⎧===ϕϕϑϕϑcos sin sin sin cos r y r y r x⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(⎰⎰⎰=),(),(2)()(2121sin )cos ,sin sin ,sin cos (ϑϕϑϕϑϕϑϕβαϕϕϕϑϕϑϕϑr r dr r r r r f d d12. 重积分的应用公式：.1︒曲顶柱体的体积：⎰⎰=Ddxdy y x f V ,),(曲面),(:y x f z =∑.2︒设V 为Ω的体积：⎰⎰⎰Ω=dv V.3︒设∑为曲面),(y x f z =曲面的面积为σd f f S Dy x ⎰⎰++=221第四章 曲线积分与曲面积分13. 对弧长的曲线积分（1）若L ：b x a x f y ≤≤=),(，则⎰⎰+=baLdx x x x f dl y x f )(1)](,[),(2ϕϕ（2）若L ：βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==t t y t x ,)()(则⎰⎰'+'=βαψϕψϕdx t t t t f dl y x f L)()()](),([),(22（3）当1),(=y x f 时，曲线L 由B 的弧长为⎰=Ldl S 。
专升本高数复习笔记--经典
第一章 函数、极限和连续§1.1 函数一、 主要内容 ㈠ 函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数:⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y)y=f -1(x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。
㈡ 函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),则称f(x)在D 内单调增加( )；若f(x 1)≥f(x 2),则称f(x)在D 内单调减少( )；若f(x 1)＜f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调增加( )；若f(x 1)＞f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调减少( )。
2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b)㈢ 基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c 为常数)2.幂函数： y=x n, (n 为实数)3.指数函数： y=a x, (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)y=f[φ(x)] , x ∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数。
自考笔记小抄0020高等数学一知识点总结归纳小条
前言《高等数学一》共6章第一章函数1.主要是对高中知识的复习；2.为今后知识打下良好的基础；3.本章知识在历年考题中所占的分值并不多，一般是5分左右.第二章极限和连续主要是学习极限与连续的概念，是后面章节的基础；本章内容在历年考题中所占分值为20左右.第三章导数与微分主要是学习函数的导数和微分，这是高数的核心概念.本章内容在历年考题中所占分值为15分左右.第四章微分中值定理和导数的应用主要是掌握微分中值定理的应用，这一章容易出大题、难题；本章在历年考题中所占分值为20分左右.第五章一元函数积分学主要学习不定积分和定积分，这又是高数的核心概念；本章内容在历年考题中所占分值为25分左右.第六章多元函数微积分主要是学习多元函数的微积分的计算；本章内容在历年考试题中所占分值为15分左右.第一章函数1.1 预备知识1.1.1 初等代数的几个问题1.一元二次方程关于x的方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），称为一元二次方程，称为此方程的判别式. （1）求根公式：当△＞0时，方程有两个不同的实根：当△＝0时，方程有一个二重实根：当△＜0时，方程有一对共轭复根：（2）根与系数的关系（韦达定理）：（3）一元二次函数（抛物线）：y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下.对称轴顶点坐标例1.若x3＋x2＋ax＋b能被x2－3x＋2整除，则a、b是多少？结论：多项式f（x），g（x）.若f（x）能被g（x）整除，则g（x）＝0的根均为f（x）＝0的根.解：令x2－3x＋2＝0，解得x＝1或2，代入被除式得解得2.二元一次方程组两个未知量x，y满足的形如的方程组称为二元一次方程组.当时，方程组有唯一解；当时，方程组无解；当时，方程组有无穷多解.例2.已知方程组（1）若方程组有无穷多解，求a的值；（2）当a＝6时，求方程组的解.解：（1）因为方程组有无穷多组解，所以,解得a＝4.（2）当a＝6是，原方程组变为,解得3.不等式（1）一元二次不等式考虑不等式ax2＋bx＋c＞0，如果记一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两个不同实根分别为x1，x，且x1＜x2，根据一元二次函数的图形可知：2当a＞0时，这个不等式的解集是{x│x＜x1或x＞x2}；当a＜0时，它的解集是{x│x1＜x＜x2}.用类似的方法可以求解不等式ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c＜0和ax2＋bx＋c≤0.例3.解不等式x2－5x＋6≥0.解：令x2－5x＋6＝0,（x－2）（x－3）＝0,得x＝2或x=3,∴ 解集为（－∞，2]∪[3，＋∞）.例4.解不等式x2＋（1－a）x－a＜0.解：令x2＋（1－a）x－a＝0,（x－a）（x＋1）＝0,得x＝a或x＝－1,①若a＜－1，解集为（a，－1）,②如a＝－1，解集为Φ,③若a＞－1，解集为（－1，a）.（2）绝对值不等式不等式│f（x）│＞a＞0等价于f（x）＞a或f（x）＜－a；不等式│f（x）│＜a等价于－a＜f（x）＜a.例5.解下列含有绝对值符号的不等式：（1）│2x－3│≤5 （2）│3x－1│≥7解：（1）原不等式等价于－5≤2x－3≤5解得：－1≤x≤4.所以解集为[－1，4].（2）原不等式等价于3x－1≤－7或3x－1≥7，3x－1≤－7的解集为x≤－2，3x－1≥7的解集为x≥,所以解集为（－∞，－2]∪[，＋∞）.例6.解不等式│x2－2x－5│＜3.解：原不等式等价于x2－2x－5＞－3的解集为（－∞，]∪[，＋∞），x2－2x－5＜3的解集为（－2，4），所以原不等式的解集为（－2，]∪[，＋4）.4.数列（1）等差数列：相邻两项的差为定值，即a n＋1－a n＝d，d称为公差.通项公式：a n＝a1＋（n－1）d前n项和公式：当m＋n＝k＋l时，a m＋a n＝a k＋a l特别地有例7.设{a n}是一个等差数列，且a2＋a3＋a10＋a11＝64，求a6＋a7和S12. 解：因为 2＋11＝3＋10＝13所以a2＋a11＝a3＋a10＝32,又因为 6＋7＝13，所以a6＋a7＝32,S＝（a1＋a12）×12÷2＝6（a1＋a12）＝6×32＝192.12（2）等比数列：相邻两项的商为定值，即，q称为公比.通项公式：a n＝a1q n-1前n项和公式：当m＋n＝k＋l时，a m a n＝a k a l特别地有例8.设{a n}是一个等比数列，且a3＝12，a5＝48，求a1，a10和a2a6的值.解：所以q＝±2a＝a5·q5＝48×（±2）5＝±153610因为2＋6＝3＋5＝8所以a2·a6＝a3·a5＝12×48＝576.1.1.2 集合与逻辑符号1.集合的概念集合是指由一些特定的对象汇集的全体，其中每个对象叫做集合的元素.数集分类：N——自然数集Z——整数集Q——有理数集R——实数集C——复数集合2.元素与集合的关系元素a在集合A中，就说a属于A，记为a∈A；否则就说a不属于A，记为a A.3.集合与集合的关系集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，称为A包含于B，或B包含A，也说A是B的子集，记为A?B或者B?A.若A?B，且B?A，就称集合A与B相等，记作A＝B.例9.A＝{1，2}，C＝{x│x2－3x＋2＝0}，则A和C是什么关系？解：解方程x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2.所以C＝{1，2}，从而A＝C.4.空集不含任何元素的集合称为空集（记作Φ）.规定空集为任何集合的子集.例10.{x│x∈R，x2＋1＝0}＝Φ5.集合的表示方法：列举法，描述法一般的，有限集用列举法，无限集用描述法闭区间：[a，b]＝{x│a≤x≤b，x∈R}；开区间：（a，b）＝{x│a＜x＜b，x∈R}；半开半闭区间：左开右闭区间：（a，b]＝{x│a＜x≤b，x∈R}，左闭右开区间：[a，b）＝{x│a≤x＜b，x∈R}；（－∞，b]＝{x│x≤b，x∈R}，[a，＋∞]＝{x│x≥a，x∈R}；点a的邻域：U（a，ε）＝（a－ε，a＋ε），ε＞0，即U（a，ε）是一个以a为中心的开区间.在不强调邻域的大小时，点a的邻域也用U a表示；点a的去心邻域：N（a，ε）＝（a－ε，a）∪（a，a＋ε），ε＞0.点a的去心邻域也可以表示为N a.6.集合之间的运算（1）并：由A、B中所有元素组成的集合称为A和B的并集，记为A∪B.A∪B＝{x│x∈A或x∈B}，A∪B＝B∪A.例11.已知：A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8，10，12}，求：A∪B.解：A∪B＝{1，2，3，4，6，8，10，12}.例12.已知：A＝{x│1＜x＜5}，B＝{x│－3＜x≤2}，求：A∪B.解：A∪B＝{x│－3＜x＜5}.（2）交：由既属于A又属于B的元素组成的集合称为A和B的交集，记为A∩B.A∩B＝{x│x∈A且x∈B}，A∩B＝B∩A例13.已知：A＝{1，2，3，4}，B＝{2、4、6、8、10、12}，求：A∩B.解：A∩B＝{2，4}.例14.已知：A＝{x│1＜x＜4}，B＝{x│－3＜x≤3}，求：A∩B.解：A∩B＝{x│1＜x≤3}.（3）余集（差集）：由A中不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集，记为A－B.A－B＝{x│x∈A但x B}.例15.已知：A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8，10，12}，求：A－B.解：A－B＝{1，3}.7.一些逻辑符号p能推出q，记为p q，此时称p是q的充分条件，q是p的必要条件.如果p q，q p同时成立，就成p与q等价，或者说p与q互为充分必要条件（充要条件），记作p q.1.2 函数的概念与图形1.2.1 函数的概念1.定义设D是一个非空数集，f是定义在D上的一个对应关系，如果对于任意的实数x∈D，都有唯一的实数y通过f与之对应，则称f是定义在D上的一个函数，记作y＝f（x），x∈D.也称y是x的函数，其中x称为自变量，y称为因变量.当x0∈D时，称f（x0）为函数在点x处的函数值.数集D叫做这个函数的定义域，函数值全体组成的数W＝{y│y＝f（x），x∈D} 0称为函数的值域.例1.已知：，求：y的定义域、值域.解：令1－x2≥0，解得：－1≤x≤1,所以定义域为[－1，1].因为0≤1－x2≤1，所以0≤≤1，所以值域为[0，1].例2.已知：，求：y的定义域、值域.解：根据题意，得，解得－1＜x＜1，所以定义域为（－1，1），因为 0＜≤1，从而，所以值域为[1，＋∞）.2.函数的三要素：定义域、对应法则、值域.约定：定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.在具体问题中定义域会根据实际需要而有所变化.例3.判断下列两个函数是否相等，（1）y＝x＋3；（2）.例4.求函数的定义域.解：根据题意，得解得:2≤x＜3或3＜x＜5，所以定义域为[2，3）∪（3，5）.3.函数的表示法：表达式法（解析法）、图形法、数表法.1.2.2 函数的图形1.函数图形的概念函数y＝f（x），x∈D的图形是指在xOy平面上的点集{（x,y）│y＝f（x），x∈D}.常见的几个幂函数的图形：2.函数的性质（1）有界性函数f（x），x∈D，存在两个实数m、M，满足条件：对于D中所有的x都有不等式m≤f（x）≤M，则称函数f（x）在D上有界，否则称无界.例5.判断下面函数在其定义域是否有界，（1）y=sin x，（2）.（2）单调性设函数f（x）在区间D上有定义，如果对于区间D上任意两点x1及x2，当x1＜x2时，恒有f （x1）＜f（x2），则称函数f（x）在区间D上是单调增加，称f（x）是D上的单调增加函数，称D是函数f（x）的单调增加区间.设函数f（x）在区间D上有定义，如果对于区间D上任意两点x1及x2，当x1＜x2时，恒有f （x1）＞f（x2），则称函数f（x）在区间D上是单调减少，称f（x）是D上的单调减少函数，称D是函数f（x）的单调减少区间.例6.求y＝x2的单调性.解：任取x1＜x2＜0，x 12－x22＝（x1－x2）（x1＋x2）＞0,所以y＝x2在（－∞，0）上单调减少.同理可得：y＝x2在（0，＋∞）上单调增加. 例7.求y ＝sin x的单调性.解： y＝sin x的图像如图，y=sin x在（2kπ－，2kπ＋）上单调增加，在（2kπ＋，2kπ＋）上单调减少.（3）奇偶性设D关于原点对称，对于任意的x∈D，有f（﹣x）＝f（x），称f（x）为偶函数；设D关于原点对称，对于任意的x∈D，有f（﹣x）＝﹣f（x），称f（x）为奇函数.例8.判断下面函数的奇偶性（1）（2）解：（1）因为，所以定义域为R.所以f（x）为奇函数.（2）因为a x－a-x≠0，故x≠0，所以定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）.所以f（x）为奇函数.（4）幂函数的性质形如y＝xα的函数为幂函数，其中α为任意常数.性质：对任意实数α，曲线y＝xα都通过平面上的点（1，1）；α＞0时，y＝xα在（0，+∞）单调增加；α＜0时，y＝xα在（0，+∞）单调减少；α为正整数时，幂函数的定义域是（－∞，+∞）；α为偶数时，y＝xα为偶函数；α为奇数时，y＝xα为奇函数；α为负整数时，幂函数的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞）.幂函数y＝xα（α是常数）的图形：1.2.3 分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同的式子来表示的函数，称为分段函数. 例9.画出符号函数的图形：例10.画出下面分段函数的图形：例11.求下面分段函数定义域并画出图形.1.3 三角函数、指数函数、对数函数1.4 函数运算1.4.1函数的四则运算定义1.10 设函数f（x），g（x）都在D上有定义，k∈R，则对它们进行四则运算的结果还是一个函数，它们的定义域不变（除法运算时除数为0的点除外），而函数值的对应定义如下：（1）加法运算（f＋g）（x）＝f（x）＋g（x），x∈D .（2）数乘运算（kf）（x）＝kf（x），x∈D.（3）乘法运算（fg）（x）＝f（x）g（x），x∈D .（4）除法运算 g（x）≠0，x∈D.其中等号左端括号表示对两个函数f，g 进行运算后所得的函数，它在x处的值等于右端的值.例1. 已知f（x）=ln（1＋x），g（x）=1－cosx，求 .解因为函数f（x）=ln（1＋x）的定义域为（－1，+∞），函数g（x）=1－cosx 的定义域为（－∞，+∞），且当x=2 kπ（k为整数）时，g（x）=0，所以，，x∈（－1，+∞）\{2kπ}（k为整数）1.4.2复合函数如有函数f（x）和g（x）,它们的定义域分别为D f和D g，值域分别是 Z f和Z g..当Z g D f时，对于任意x∈D g,都有唯一的g（x）∈Z g D f,，从而有唯一的f（g（x））∈Z f与x∈D g对应，这样就确定了一个从D g到Z f的函数，此函数称为 f和g的复合函数，记作重点是学会函数的分解与复合。
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此文档下载后即可编辑《高等数学（工本）》考试重点第一章 空间解析几何与向量代数1. 空间两点间的距离公式21221221221)()()(z z y y x x p p -+-+-=2. 向量的投影3. 数量积与向量积：向量的数量积公式：设},,{},,,{z y x z y x b b b a a a == .1︒z z y y x x b a b a b a ++=⋅ .2︒b a ⊥的充要条件是：0=⋅b a.3︒b a =∧)cos(向量的数量积公式：.1︒b a b a b a b a b a b a b b b a a a ix y y x z x x z y z z y zyxz y x)()()(-+-+-==⨯.2︒=ϕsin .3︒b a //的充要条件是0=⨯b a4. 空间的曲面和曲线以及空间中平面与直线平面方程公式： ),,(o o o o z y x M },,{C B A =点法式：0)()()(=-+-+-o o o z z C y y B x x A直线方程公式： },,{n m l S = ，),,(o o o o z y x M点向式：nz z m y y l x x oo o -=-=-5. 二次曲面第二章 多元函数微分学6. 多元函数的基本概念，偏导数和全微分 偏导数公式： .1︒),(),,(),,(y x v y x u v u f z ψϕ===xvv z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ y v v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂.2︒设),(),,(),,(y x v y x u v u f z ψϕ===dxdvv z dx du u z dx dz ∂∂+∂∂=.3︒设0),,(=z y x FFzFy y z Fz Fx x z -=∂∂-=∂∂ 全微分公式：设),,(y x f z =dy yzdx x z dz ∂∂+∂∂=7. 复合函数与隐函数的偏导数8. 偏导数的应用：二元函数极值 9. 高阶导数第三章 重积分10. 二重积分计算公式：.1︒⎰⎰=DkA kd σ（A 为D 的面积）.2︒⎰⎰⎰⎰⎰⎰==)()()()(1212),(),(),(y y cd Dx x ba dx y x f dy dy y x f dx d y x f ϕϕϕϕσ.3︒⎰⎰⎰⎰=Drdr r r f d d y x f )()(12)sin ,cos (),(θϕθϕβαϑϑϑσ11. 三重积分计算公式：.1︒利用直角坐标系计算，Ω为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤b x a x y y x y y x z z y x z )()(),(),(2121 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω),(),()()(2121),,(),,(y x z y x z x y x y badz z y x f dy dx d z y x f σ.2︒利用柱面坐标计算：Ω为⎪⎩⎪⎨⎧===z y r y r x ϑϑsin cos⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω),(),()()(212121),sin ,cos (),,(ϑϑϑϑϑϑϑϑr z r z r r dz z r r f rdr dx dv z y x f.3︒利用球面坐标计算：Ω为⎪⎩⎪⎨⎧===ϕϕϑϕϑcos sin sin sin cos r y r y r x⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(⎰⎰⎰=),(),(2)()(2121sin )cos ,sin sin ,sin cos (ϑϕϑϕϑϕϑϕβαϕϕϕϑϕϑϕϑr r dr r r r r f d d12. 重积分的应用公式：.1︒曲顶柱体的体积：⎰⎰=Ddxdy y x f V ,),(曲面),(:y x f z =∑.2︒设V 为Ω的体积：⎰⎰⎰Ω=dv V.3︒设∑为曲面),(y x f z =曲面的面积为σd f f S Dy x ⎰⎰++=221第四章 曲线积分与曲面积分 13. 对弧长的曲线积分 （1）若L ：b x a x f y ≤≤=),(，则⎰⎰+=ba Ldx x x x f dl y x f )(1)](,[),(2ϕϕ（2）若L ：βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==t t y t x ,)()(则⎰⎰'+'=βαψϕψϕdx t t t t f dl y x f L)()()](),([),(22（3）当1),(=y x f 时，曲线L 由B 的弧长为⎰=Ldl S 。
成人自考00023《高等数学(工本)》考点
第一章空间解析几何与向量代数考点一：空间直角坐标系1．空间直角坐标系建立过空间定点O作三条垂直的数轴，以O为原点，具有相同单位长度，三条数轴分别为x轴、y轴、z轴，统称坐标轴。
三条坐标轴的任意两条都可确定一个平面，称为坐标面。
分别是x和y确定的Oxy平面，y和z确定的Oyz平面,x和z确定的Oxz平面。
三个相互垂直的坐标面把空间分为八个部分，每一部分称为一个卦象。
2．空间中两点间的距离公式设空间两点（）,（）,他们两点之间的距离为：||==。
特别地，点P（x，y，z）到原点O（0，0，0）的距离|OP|=。
考点二：向量代数1.向量的概念由数值决定大小的量，如：质量，温度，面积，密度等，称之为标量（数量）。
有大小还有方向，如：力，加速度，速度等，称之为向量。
空间中以A为起点，B为终点的线段称为有向线段，记为，简记为，将向量的长度记为||或||，称为向量的模。
如果向量的模为零，称为零向量。
定义1：如果两个向量与的长度相等且方向相同，则称这两个向量是相等的向量，记作=。
一个向量在空间中平移到任何位置而得到的向量与原向量相等，称为自由向量。
将若干个向量起点平移到同一个点后，它们的起点和终点都位于同一直线上，则称向量是共线的；起点和终点都位于同一个平面上，则称这些向量是共面的。
不论长度大小，两向量与的方向相反或相同，称与平行，记为。
2.向量的加法平行四边形法则：给定两个向量与，平移到同一个O点，设它们终点为A和B，则=，=，以，为邻边构造一个平行四边形OBCA。
以O为起点C为终点的向量=称为向量与的和，记为+=，即+=。
三角形法则：给定两个向量与，将平移，使其起点平移到的终点，此时的终点与用平行四边形法则确定的点C重合，从而=，于是与的和为+=。
零向量起点与终点重合，对于任何向量，三角形法则可得+0=。
向量加法的逆运算称为向量减法。
给定向量与，如存在使得=，则称是向量与的差，记为-=。
设=，=，有三角形法则可知=+，于是-=。
00023高等数学(工本) 笔记
高等数学是大学阶段数学的重要学科，是理工科学生必修的一门课程。
它不仅是理工科学生的必修课，也是数学专业学生的基础课，其内容包括微积分、复变函数、常微分方程、泛函分析等。
它为学生提供了深刻的数学基础，培养了学生的数学思维和分析解决问题的能力。
以下将对高等数学做一个全面的评估，并撰写一篇深入、广泛的文章。
一、微积分微积分是高等数学中的重要组成部分，涉及到导数、积分、微分方程等内容。
在微积分中，我们学习了函数的极限、导数、微分、积分等内容，在实际运用中常常用于求解函数的极值、曲线的切线方程、定积分的应用等。
二、复变函数复变函数是高等数学中的一门重要课程，其内容包括复数、解析函数、留数定理等。
复变函数的概念和方法对数学、物理、工程等领域具有重要的应用价值，是现代科学技术发展中的重要工具。
三、常微分方程常微分方程是高等数学中的一门重要课程，其内容包括一阶微分方程、高阶微分方程、微分方程的解法等。
常微分方程在科学技术发展中有着广泛的应用，例如在物理学、化学、生物学等领域都有着重要的应用。
四、泛函分析泛函分析是高等数学中的一门重要课程，其内容包括巴拿赫空间、希尔伯特空间、算子理论等。
泛函分析在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用，是数学的重要分支之一。
通过以上论述，我们可以看出高等数学在提升学生的数学素养、提高学生的分析问题的能力方面起着至关重要的作用。
它在实际的科学、技术领域中也有着广泛的应用，对于培养学生的科学技术素养有着重要的作用。
在我个人看来，高等数学是一门非常重要的学科，它不仅有着深厚的理论基础，同时也有着广泛的应用价值。
通过学习高等数学，可以培养学生的抽象思维能力和解决实际问题的能力，帮助学生更好地理解和应用数学知识。
我认为高等数学是大学阶段不可或缺的一门重要学科。
高等数学是一门具有深刻理论基础和广泛应用价值的学科，对于培养学生的数学思维和解决问题的能力有着重要的作用。
通过学习高等数学，可以帮助学生更好地理解和应用数学知识，为他们未来的学习和工作打下坚实的数学基础。
自考高等数学工本教材题解
自考高等数学工本教材题解高等数学是一门对于学习数学的人来说非常重要的学科，而自考高等数学工本教材作为学习高等数学的主要教材，对于自考学习者来说具有重要的指导作用。
本文将对自考高等数学工本教材中的题目进行解析和讲解，帮助读者更好地理解和掌握其中的知识点。
1、函数与极限部分在高等数学的学习中，函数与极限部分是一个非常关键的章节。
这部分包含了函数的基本概念和性质，极限的定义、性质和运算法则等内容。
在解题过程中，学习者要善于利用函数的性质和极限的运算法则，运用各种方法进行变形和推导。
通过对具体的题目进行解析，可以帮助学习者更好地理解这一章节的知识点。
2、导数与微分部分导数与微分是高等数学中另一个重要的章节，也是求解函数的关键工具之一。
这部分内容包括导数的定义、性质和常用的导函数公式，以及微分的概念和计算方法等。
在解题过程中，学习者需要掌握导函数的求导法则和微分的计算方法，并能够熟练运用它们解决实际问题。
通过对具体题目的解析和讲解，可以帮助学习者更好地理解这一章节中的各个知识点。
3、积分与定积分部分积分与定积分是高等数学中的又一重要章节，也是对函数进行研究和计算的一种方法。
这部分内容包括积分的概念、性质和基本公式，以及定积分的计算方法和几何应用等。
在解题过程中，学习者需要掌握不同类型积分的计算方法和应用技巧，并能够灵活运用它们解决实际问题。
通过对具体题目的解析和讲解，可以帮助学习者更好地掌握积分与定积分的相关知识。
4、级数与幂级数部分级数与幂级数是高等数学中的难点之一，也是对数列和函数进行研究的重要工具。
这部分内容包括级数的概念、性质和判敛方法，以及幂级数的收敛域和求和等。
在解题过程中，学习者需要掌握级数的收敛性判定方法和幂级数的求和技巧，并能够运用它们解决各种实际问题。
通过对具体题目的解析和讲解，可以帮助学习者更好地理解和掌握级数与幂级数的相关知识。
总结：自考高等数学工本教材中的题目涵盖了函数与极限、导数与微分、积分与定积分以及级数与幂级数等多个重要章节。
自考高等数学教材重点
自考高等数学教材重点高等数学作为自考的一门重要科目，对于报考者来说是一个关键的挑战。
掌握高等数学的核心知识点和重点是备考自考高等数学的关键。
本文将从微积分、数列与级数、常微分方程和线性代数四个方面，介绍自考高等数学教材的重点内容。
微积分是高等数学的基础内容，也是自考高等数学中的一项重点。
在微积分中，我们需要掌握以下几个方面的内容：一阶导数和二阶导数的概念及其计算方法；函数的极值和最值；函数的连续性和可导性；微分中值定理；函数的曲线图像与导数之间的关系等。
数列与级数是高等数学中的另一个重要内容。
在数列与级数中，我们需要了解数列的概念、性质和计算方法；数列极限的概念及其计算方法；级数的概念、性质和计算方法；级数的收敛和发散等相关知识。
掌握这些知识点，可以帮助我们理解数学中的极限概念以及数列与级数的性质。
常微分方程也是高等数学中的一项重点。
在常微分方程的学习中，我们需要了解常微分方程的基本概念和性质；一阶常微分方程和二阶常微分方程的解法；常系数线性齐次常微分方程和非齐次常微分方程的解法等。
熟练掌握这些内容，可以帮助我们解决实际问题中的微分方程。
线性代数是高等数学中的另一个重要组成部分。
在线性代数的学习中，我们需要了解向量的概念和性质；向量的线性相关性和线性无关性；矩阵的基本运算法则；矩阵的秩和行列式的计算方法；线性方程组的解法等。
掌握这些内容，可以帮助我们理解向量和矩阵在实际问题中的应用。
总结起来，自考高等数学教材的重点内容主要包括微积分、数列与级数、常微分方程和线性代数四个方面。
熟练掌握这些内容，对于备考高等数学是非常关键的。
通过系统的学习和练习，我们可以提高自己对这些知识点的理解和掌握，为自考高等数学取得好成绩奠定坚实的基础。
祝愿所有备考的考生能够顺利通过自考高等数学科目，实现自己的考试目标。