解析几何椭圆限时训练
椭圆高中练习题及讲解
椭圆高中练习题及讲解椭圆是圆锥曲线的一种，其定义为平面上所有到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的集合。
这个常数称为椭圆的长轴长度，而长轴长度的一半称为椭圆的长半轴。
椭圆的另一个重要参数是短半轴，它的长度是长半轴的一半乘以椭圆的离心率的倒数。
### 练习题1. 椭圆的基本性质给定一个椭圆，其长半轴为6，短半轴为4，求椭圆的离心率。
2. 椭圆的方程已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，求椭圆的方程，其中长半轴a=5，短半轴b=3。
3. 椭圆的切线若点P(2,3)在椭圆x²/16 + y²/9 = 1上，求过点P的椭圆切线的方程。
4. 椭圆与直线的位置关系直线y=2x+4与椭圆x²/25 + y²/16 = 1相交于两点，求这两点的坐标。
5. 椭圆的面积求椭圆x²/100 + y²/64 = 1的面积。
### 讲解1. 椭圆的基本性质离心率e定义为焦点到椭圆上任意一点的距离与长半轴的比值。
由于椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于长轴长度，设长轴长度为2a，那么离心率e = √(1 - (b²/a²))。
对于本题，a=6，b=4，所以e = √(1 - (4²/6²)) = √(1 - 4/9) = √(5/9)。
2. 椭圆的方程当椭圆的中心在原点，焦点在x轴上时，椭圆的方程为x²/a² + y²/b² = 1。
代入a=5，b=3，得到椭圆的方程为x²/25 + y²/9 = 1。
3. 椭圆的切线对于椭圆上的点P(2,3)，切线斜率可以通过椭圆的梯度求得。
首先求椭圆在点P处的梯度，然后切线的斜率是梯度的负倒数。
具体计算过程涉及到求导和使用点斜式方程。
4. 椭圆与直线的位置关系将直线方程代入椭圆方程，得到一个关于x的二次方程，解此方程可得x的值，再代回直线方程求得y的值，从而得到交点的坐标。
高三数学一轮复习 8.6 椭圆课时训练解析 新人教A版
高三数学一轮复习 8.6 椭圆课时训练解析 新人教A 版(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点．若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10解析：由题意知a ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10. 答案：D2．(2010·广东高考)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A.45B.35C.25D.15解析：由题意有2a ＋2c ＝2(2b )，即a ＋c ＝2b ，又c 2＝a 2－b 2，消去b 整理得5c 2＝3a 2－2ac ，即5e 2＋2e －3＝0，∴e ＝35或e ＝－1(舍去)．答案：B3．“m ＞n ＞0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：把椭圆方程化成x 21m＋y 21n＝1.若m ＞n ＞0，则1n ＞1m＞0.所以椭圆的焦点在y 轴上．反之，若椭圆的焦点在y 轴上，则1n ＞1m＞0即有m ＞n ＞0.故为充要条件．答案：C4．(2011·长沙模拟)已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，且它的长轴长等于圆C ：x 2＋y2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )A.x 24＋y 23＝1B.x 216＋y 212＝1 C.x 24＋y 2＝1D.x 216＋y 24＝1 解析：由x 2＋y 2－2x －15＝0， 知r ＝4＝2a ⇒a ＝2.又e ＝c a ＝12，c ＝1.答案：A5．若椭圆上存在点P ，使得点P 到两个焦点的距离之比为2∶1，则此椭圆离心率的取值范围是( )A ．[14，13]B ．[13，12]C ．(13，1)D ．[13，1)解析：设P 到两个焦点的距离分别为2k ，k ，根据椭圆定义可知：3k ＝2a ，又结合椭圆的性质可知．椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为2c ，即k ≤2c ，∴2a ≤6c ，即e ≥13.答案：D6．过椭圆x 26＋y 25＝1内的一点P (2，－1)的弦，恰好被P 点平分，则这条弦所在的直线方程是( )A ．5x －3y －13＝0B ．5x ＋3y －13＝0C ．5x －3y ＋13＝0D ．5x ＋3y ＋13＝0解析：设过点P 的弦与椭圆交于A 1(x 1，y 1)，A 2(x 2，y 2)两点，则⎩⎨⎧x 216＋y 215＝1，x 226＋y225＝1，且x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝－2，∴23(x 1－x 2)－25(y 1－y 2)＝0， ∴kA 1A 2＝y 1－y 2x 1－x 2＝53. ∴弦所在直线方程为y ＋1＝53(x －2)，即5x －3y －13＝0. 答案：A二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________________．解析：由题意得2a ＝12，c a ＝32，所以a ＝6，c ＝33，b ＝3.故椭圆方程为x 236＋y 29＝1.答案：x 236＋y 29＝18．已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为12，焦距为8，则该椭圆的方程是____________．解析：由题意知，2c ＝8，c ＝4，∴e ＝c a ＝4a ＝12，∴a ＝8，从而b 2＝a 2－c 2＝48， ∴方程是y 264＋x 248＝1. 答案：y 264＋x 248＝1 9．(2010·湖北高考)已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点P (x 0，y 0)满足0＜x 202＋y 20＜1，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为________，直线x 0x2＋y 0y ＝1与椭圆C 的公共点个数为________．解析：依题意得点P 位于椭圆C 的内部(异于原点O )，因此有|F 1F 2|≤|PF 1|＋|PF 2|＜2a ，即22－1≤|PF 1|＋|PF 1|＜22，2≤|PF 1|＋|PF 2|＜22，|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是[2,22)；依题意，可考虑取特殊点P (－1,0)，相应的直线为x ＝－2，显然该直线与椭圆没有公共点，即直线x 0x2＋y 0y ＝1与椭圆的公共点的个数为0.答案：[2,2 2 ) 0三、解答题(共3小题，满分35分)10．已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝x ＋m ，是否存在实数m ，使直线l 与(1)中的椭圆有两个不同的交点M 、N ，使|AM |＝|AN |，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由．解：(1)依题意，设椭圆的方程为x 2a2＋y 2＝1，设右焦点为(c,0)，则由点到直线的距离公式，得|c ＋22|2＝3，∴c ＝2，∴a 2＝b 2＋c 2＝3，∴所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 23＋y 2＝1，∴4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0，∴x 1＋x 2＝－3m2，x 1·x 2＝3m 2－14，∴y 1＋y 2＝m2.∵|AM |＝|AN |，∴x 21＋y 1＋12＝x 22＋y 2＋12∴－3m 2＝－(m2＋2)， ∴m ＝2，此时判别式Δ＝0，∴满足条件的m 的值不存在．11．已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点为F (－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2∶ 3. (1)求椭圆C 的方程；(2)设点M (m,0)在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当|MP |最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，a ∶b ＝2∶3，c ＝2.解得a 2＝16，b 2＝12. 所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设P (x ，y )为椭圆上的动点，由于椭圆方程为x 216＋y 212＝1，故－4≤x ≤4. 因为MP ＝(x －m ，y )，所以|MP |2＝(x －m )2＋y 2＝(x －m )2＋12·(1－x 216)＝14x 2－2mx ＋m 2＋12＝14(x －4m )2＋12－3m 2.因为当|MP |最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点， 即当x ＝4时，|MP |2取得最小值．而x ∈[－4,4]，故有4m ≥4，解得m ≥1.又点M 在椭圆的长轴上，所以－4≤m ≤4. 故实数m 的取值范围是[1,4]．12．(2010·全国新课标)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 1斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．(1)求E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|PA |＝|PB |，求E 的方程． 解：(1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ，又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43a .l 的方程为y ＝x ＋c, 其中c ＝a 2－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y2b2＝1.化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2c 2－b 2a 2＋b 2.因为直线AB 斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝ 2[x 1＋x 22－4x 1x 2].得43a ＝4ab 2a 2＋b2，故a 2＝2b 2， 所以E 的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22.(2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b 2＝－23c ，y 0＝x 0＋c ＝c3. 由|PA |＝|PB |得k PN ＝－1. 即y 0＋1x 0＝－1， 得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3. 故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.。
(完整版)椭圆练习题(含答案)
解析几何——椭圆精炼专题一、 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中有只有一项是符合题目要求的．） 1．椭圆63222=+y x 的焦距是（ ）A ．2B ．)23(2-C ．52D ．)23(2+2．F 1、F 2是定点，|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则点M 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．直线 C ．线段 D ．圆 3．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是 （ ）A ．14822=+x yB ．161022=+x yC ．18422=+x yD ．161022=+y x4．方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是（ ）A ．),0(+∞B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，1）5． 过椭圆12422=+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点2F 构成2ABF ∆，那么2ABF ∆的周长是（ ）A ． 22B ． 2C ． 2D ． 16．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为31，长轴长为12，则椭圆方程为（ ） A ．112814422=+y x 或114412822=+y x B ． 14622=+y x C ．1323622=+y x 或1363222=+y x D ． 16422=+y x 或14622=+y x 7． 已知k ＜4，则曲线14922=+y x 和14922=-+-k y k x 有（ ） A ． 相同的短轴 B ． 相同的焦点 C ． 相同的离心率 D ． 相同的长轴8．椭圆192522=+y x 的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，已知21PF PF ⊥，则△21PF F 的面积为（ ） A ．9 B ．12 C ．10 D ．89．椭圆131222=+y x 的焦点为1F 和2F ，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，那么1PF 是2PF 的（ ）A ．4倍B ．5倍C ．7倍D ．3倍10．椭圆1449422=+y x 内有一点P （3，2）过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的方程为（ ） A ．01223=-+y x B ．01232=-+y xC ．014494=-+y xD ． 014449=-+y x11．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ）A ．3B ．11C ．22D ．1012．过点M （－2，0）的直线M 与椭圆1222=+y x 交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线M 的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为（ ）A ．2B ．－2C ．21 D ．－21 二、 填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．）13．椭圆2214x y m +=的离心率为12，则m = ． 14．设P 是椭圆2214x y +=上的一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，则12PF PF 的最大值为 ；最小值为 ． 15．直线y =x －21被椭圆x 2+4y 2=4截得的弦长为 ．16．已知圆Q A y x C ),0,1(25)1(:22及点=++为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于M ，则点M 的轨迹方程为 ．三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．） 17．已知三角形ABC 的两顶点为(2,0),(2,0)B C ，它的周长为10,求顶点A 轨迹方程．18．椭圆的一个顶点为A （2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．19．点P 到定点F （2，0）的距离和它到定直线x =8的距离的比为1：2，求点P 的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形．20．中心在原点，一焦点为F 1（0，52）的椭圆被直线y =3x －2截得的弦的中点横坐标是21，求此椭圆的方程．21.已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210，求椭圆方程22．椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O 为坐标原点．（1）求2211b a +的值； （2）若椭圆的离心率e 满足33≤e ≤22，求椭圆长轴的取值范围．椭圆练习题参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ACDDABD13、3或316 14、 4 ， 1 15、5382 16、121425422=+yx17、3)(x 15922±≠=+y x 18、解：（1）当A (2,0)为长轴端点时，a =2 , b =1，椭圆的标准方程为： ；（2）当为短轴端点时，，，椭圆的标准方程为： ；19．解：设P （x ，y ），根据题意，|PF|=(x-2)2-y 2,d=|x-8|,因为|PF|d =12 ,所以 (x-2)2-y 2 |x-8| = 12 .化简，得3x 2+4y 2=48,整理，得x 216 +y 212=1,所以，点P 的轨迹是椭圆。
解答题限时训练。解几方程问题与最值问题
2008年高考数学（文）解答题限时训练1 解析几何方程问题与最值问题1.已知椭圆19222=+y x 上任意一点P, 由P 向x 轴作垂线段PQ ，垂足为Q ，点M 在线 段PQ 上，且MQ PM 2=，点M 的轨迹为曲线E.(1)求曲线E 的方程；(2)若过定点F(0，2)的直线l 交曲线E 于不同的两点G ，H(点G 在点F ，H 之间),且满足2=，求直线l 的方程.2、(本小题满分12分)已知 F 1、F 2分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是第一象限内该椭圆上的一点，1254PF PF ⋅=- ，求点P 的作标； （Ⅱ）设过定点M （0，2）的直线l 与椭圆交于同的两点A 、B ，且∠ADB 为锐角（其中O 为作标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围.3．（课后思考）已知M(-3,0)﹑N(3,0),P 为坐标平面上的动点，且直线PM 与直线PN 的斜率之积为常数m(m ≥-1,m ≠0).(1)求P 点的轨迹方程并讨论轨迹是什么曲线？(2)若59m =-, P 点的轨迹为曲线C,过点Q(2,0)斜率为1k 的直线1 与曲线C 交于不同的两点A ﹑B,AB 中点为R,直线OR(O 为坐标原点)的斜率为2k ，求证12k k 为定值；（3）在（2）的条件下，设QB AQ λ= ，且[2,3]λ∈，求1 在y 轴上的截距的变化范围.2008年高考数学（文）解答题限时训练1 解析几何 答案1.(1)设M(x , y ), P(x 0, y 0), ∵MQ PM 2=, ∴⎩⎨⎧==y y x x 300, 将其代入1922020=+y x 得 曲线E 的方程为：1222=+y x (2)设G(x 1, y 1)、H(x 2, y 2), ∵2=, ∴x 2=2x 1……①依题意设直线l ：2+=kx y 代入曲线E 的方程并整理得068)21(22=+++kx x k ∴221221216,218k x x k k x x +=⋅+-=+……②，联立①②解得10303±=k 所以直线l 的方程为：y =10303±x +2. 2、解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力．（Ⅰ）易知2a =，1b =，c =∴1(F，2F ．设(,)Px y (0,0)x y >>．则22125(,,)34PF PF x y x y x y ⋅=--=+-=- ，又2214x y +=， 联立22227414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2211342x x y y =⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨==⎪⎪⎩⎩，P ． （Ⅱ）显然0x =不满足题设条件．可设l 的方程为2y kx =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ． 联立22222214(2)4(14)1612042x y x kx k x kx y kx ⎧+=⎪⇒++=⇒+++=⎨⎪=+⎩∴1221214x x k =+，1221614k x x k +=-+ 由22(16)4(14)120k k ∆=-⋅+⋅>22163(14)0k k -+>，2430k ->，得234k >．① 又AOB ∠为锐角cos 00AOB OA OB ⇔∠>⇔⋅> ，∴12120OA OB x x y y ⋅=+>又212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++ 1212x x y y +21212(1)2()4k x x k x x =++++2221216(1)2()41414k k k k k =+⋅+⋅-+++ 22212(1)21641414k k k k k +⋅=-+++224(4)014k k-=>+ ∴2144k -<<．②综①②可知2344k <<，∴k 的取值范围是(2,- ． 3.解：（1）由,33y y m x x =+- 得22(9)y m x =-，若m= -1，则方程为229x y +=，轨迹为圆； 若10m -<<，方程为22199x y m +=-，轨迹为椭圆；若0m >，方程为22199x y m-=-，轨迹为双曲线。
高考数学一轮复习第8章平面解析几何第5节椭圆课时分层训练
课时分层训练(四十七) 椭 圆A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( )A ．4B ．3C ．2D ．5A [由题意知，在△PF 1F 2中，|OM |＝12|PF 2|＝3，∴|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4.]2．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m >0)，则此椭圆的离心率为( ) A.13 B.33C.22D.12B [原方程化为x 2m 2＋y 2m3＝1(m >0)，∴a 2＝m2，b 2＝m 3，则c 2＝a 2－b 2＝m6，则e 2＝13，∴e ＝33.]3．(2017·盐城模拟)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 264－y 248＝1B.x 248＋y 264＝1C.x 248－y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 D [设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16， ∴M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆， 且2a ＝16,2c ＝8，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1，故选D.]4．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，若P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( ) 【导学号：51062287】A ．2B ．3C ．6D ．8C [由题意知，O (0,0)，F (－1,0)，设P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋1，y )，∴OP →·FP →＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋y 2＋x .又∵x 24＋y 23＝1，∴y 2＝3－34x 2，∴OP →·FP →＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2.∵－2≤x ≤2，∴当x ＝2时，OP →·FP →有最大值6.]5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1A [∵x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，∴c a ＝33.又∵过F 2的直线l 交椭圆于A ，B 两点，△AF 1B 的周长为43， ∴4a ＝43，∴a ＝3，∴b ＝2， ∴椭圆方程为x 23＋y 22＝1.]二、填空题6．(2017·绍兴质检)已知椭圆：x 24＋y 2b2＝1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是__________．3 [由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知，|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3，由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则2b2a＝3，所以b 2＝3，即b ＝ 3.]7．(2017·嘉兴一中月考)如图853，∠OFB ＝π6，△ABF 的面积为2－3，则以OA为长半轴，OB 为短半轴，F 为一个焦点的椭圆方程为__________．图853x 28＋y 22＝1 [设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意可知，|OF |＝c ，|OB |＝b ， ∴|BF |＝a .∵∠OFB ＝π6，∴b c ＝33，a ＝2b .∴S △ABF ＝12·|AF |·|BO |＝12(a －c )·b ＝12(2b －3b )b ＝2－3，解得b 2＝2，则a ＝2b ＝2 2. ∴所求椭圆的方程为x 28＋y 22＝1.]8．如图854，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是 ________.【导学号：51062288】图85463 [将y ＝b 2代入椭圆的标准方程，得x 2a ＋b 24b ＝1， 所以x ＝±32a ，故B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2. 又因为F (c,0)，所以BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2，CF →＝⎝⎛⎭⎪⎫c －32a ，－b 2.因为∠BFC ＝90°，所以BF →·CF →＝0， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22＝0，即c 2－34a 2＋14b 2＝0，将b 2＝a 2－c 2代入并化简，得a 2＝32c 2，所以e 2＝c 2a 2＝23，所以e ＝63(负值舍去)．]三、解答题9．如图855所示，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.图855(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．【解】 (1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ， 所以e ＝12.7分(2)法一：a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，直线AB 的方程为y ＝－3(x －c )， 将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，－335c ，10分所以|AB |＝1＋3·⎪⎪⎪⎪⎪⎪85c －0＝165c .12分由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |·sin∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b＝5 3.15分法二：设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a .10分 由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t ，再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°可得，t ＝85a .13分由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝403知，a ＝10，b ＝5 3.15分10．设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB .[解] (1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ，2分 又k OM ＝510，从而b 2a ＝510. 进而a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.6分(2)证明：由N 是AC 的中点知，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，－b 2，可得NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 6，5b 6.8分又AB →＝(－a ，b )，从而有AB →·NM →＝－16a 2＋56b 2＝16(5b 2－a 2).12分由(1)的计算结果可知a 2＝5b 2， 所以AB →·NM →＝0，故MN ⊥AB .15分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知圆M ：x 2＋y 2＋2mx －3＝0(m <0)的半径为2，椭圆C ：x 2a 2＋y 23＝1的左焦点为F (－c,0)，若垂直于x 轴且经过F 点的直线l 与圆M 相切，则a 的值为( )A.34 B ．1 C ．2D ．4C [圆M 的方程可化为(x ＋m )2＋y 2＝3＋m 2， 则由题意得m 2＋3＝4，即m 2＝1(m <0)， ∴m ＝－1，则圆心M 的坐标为(1,0)． 又直线l 过椭圆C 的左焦点，且垂直于x 轴， ∴直线l 的方程为x ＝－c . 又∵直线l 与圆M 相切， ∴c ＝1，∴a 2－3＝1，∴a ＝2.]2．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点与抛物线C 2：y 2＝4x 的焦点相同，记为F ，设点M 是两曲线在第一象限内的公共点，且|MF |＝53，则M 点的横坐标是________，a ＋b ＝________. 【导学号：51062289】23 2＋3 [设M (x M ，y M )．易知F (1,0)，|MF |＝1＋x M ＝53，∴x M ＝23.从而y 2M ＝83. 由⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝1，49a 2＋83b2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，∴a ＋b ＝2＋ 3.]3．(2017·舟山调研)如图856，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)经过点A (0，－1)，且离心率为22.图856(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.[解] (1)由题设知ca ＝22，b ＝1， 结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝ 2.3分 所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.6分(2)证明：由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0.8分由已知Δ>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0， 则x 1＋x 2＝4kk －1＋2k2，x 1x 2＝2kk －1＋2k2.10分从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k k －2k k －＝2k －2(k －1)＝2.所以直线AP 与AQ 的斜率之和为定值2.15分。
高考数学总复习第九章解析几何95椭圆课时作业文含解析新人教A版
高考数学总复习第九章解析几何95椭圆课时作业文含解析新人教A 版9-5 椭圆课时作业A 组——基础对点练1．已知直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点．若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.23D.34【答案】B2．(2019·武汉模拟)已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是( )A.x 216＋y 27＝1B.x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1C.x 216＋y 225＝1D.x 216＋y 225＝1或x 225＋y 216＝1 【答案】B3．(2019·湖北八校联考)设F 1，F 2分别为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( )A.514B.513C.49D.59【答案】B4．(2018·全国Ⅱ卷)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( )A ．1－32 B ．2－ 3 C.3－12D.3－1 【答案】D5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右顶点和上顶点分别为A ，B ，左焦点为F .以原点O 为圆心的圆与直线BF 相切，且该圆与y 轴的正半轴交于点C ，过点C 的直线交椭圆于M ，N 两点．若四边形FAMN 是平行四边形，则该椭圆的离心率为( )A .35B.12C.23D.34【答案】A6．以F 1(－1，0)，F 2(1，0)为焦点且与直线x －y ＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是( )A.x 220＋y 219＝1B.x 29＋y 28＝1 C.x 25＋y 24＝1 D.x 23＋y 22＝1 【答案】C7．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，短轴长为4，则椭圆的标准方程为__________． 【答案】x 216＋y 24＝1 8．设F 1，F 2是椭圆x 249＋y 224＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，则△PF 1F 2的面积为__________．【答案】249．分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)与椭圆x 24＋y 23＝1有相同的离心率且经过点(2，－3)． (2)已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5，3，过P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点． 10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(2，1)，且离心率为22. (1)求椭圆C 的方程．(2)设M ，N 是椭圆上的点，直线OM 与ON (O 为坐标原点)的斜率之积为－12.若动点P 满足OP →＝OM →＋2ON →，求点P 的轨迹方程．B 组——能力提升练1．设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0，1]∪[9，＋∞)B ．(0，3]∪[9，＋∞)C ．(0，1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)【答案】A2．由半椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(x ≥0)与半椭圆x 2c 2＋y 2b 2＝1(x ≤0)合成的曲线称作“果圆”，如图所示，其中a 2＝b 2＋c 2，a >b >c >0.由右椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(x ≥0)的焦点F 0和左椭圆x 2c 2＋y 2b 2＝1(x ≤0)的焦点F 1，F 2确定的△F 0F 1F 2叫做果圆的焦点三角形，若果圆的焦点三角形为锐角三角形，则右椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(x ≥0)的离心率的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1 D.⎝⎛⎭⎪⎫0，33 【答案】C 3．已知P (1，1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为________．【答案】x ＋2y －3＝04．已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1，1)是一定点．则|PA |＋|PF |的最大值为________，最小值为________．【答案】6＋ 2 6－ 25．已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴端点为(0，2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝2PB →.(1)求椭圆的方程．(2)求m的取值范围．。
解析几何专题训练三 椭圆
专题训练三 椭圆（1）一、选择题1． “－3<m <5”是“方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为 ( ) A ．6B ．5C ．4D ．33．已知椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到y 轴的距离为( )A.233B.263C.33D. 34．直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多一个B ．2个C ．1个D ．0个5．已知椭圆E 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1且斜率为2的直线交椭圆E 于P 、Q 两点，若△PF 1F 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为 ( )A.53B.23C.23D.136．方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的椭圆的左顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，D 是它短轴上的一个端点，若3 1DF ＝ DA＋2 2DF ，则该椭圆的离心率为 ( )A.12B.13C.14D.157．已知椭圆的一个焦点为F ，若椭圆上存在点P ，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF 相切于线段PF 的中点，则该椭圆的离心率为（ ）A ．B ．23 C ． D ．598．已知椭圆E ：x 2m ＋y 24＝1，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 截得的弦长与l ：y ＝kx ＋1被椭圆E 截得的弦长不可能相等的是 ( ) A ．kx ＋y ＋k ＝0B ．kx －y －1＝0C ．kx ＋y －k ＝0D ．kx ＋y －2＝09．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则 ( ) A ．a 2＝132B ．a 2＝13 C．b 2＝12D ．b 2＝210．已知直线1:2l y x m =+与曲线:C y =m 的取值范围是 ( ）A．(- B．( C． D． 二、填空题11．已知F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点，点P 在椭圆上，且满足|PF 1|＝2|PF 2|，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为__________．3.3312．(2011·浙江高考)设F 1，F 2分别为椭圆x 23＋y 2＝1的左、右焦点，点A ，B 在椭圆上，若 1F A ＝5 2F B ，则点A 的坐标是________．答案：(0，±1)13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，若∠BAO ＋∠BFO ＝90°，则椭圆的离心率是________．答案：5－1214．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．答案：1515．如图所示，A ，B 是椭圆的两个顶点，C 是AB 的中点，F 为椭圆的右焦点，OC 的延长线交椭圆于点M ，且|OF |＝2，若MF ⊥OA ，则椭圆的方程为__________．6.x 24＋y 22＝1三、解答题16．已知向量1m =（0，x ），1n =（1，1），2m =（x ，0），2n=（y 2，1）（其中x ，y 是实数），又设向量m = 1m +22n ，n =2m －21n ，且m //n，点P （x ，y ）的轨迹为曲线C.(Ⅰ）求曲线C 的方程；(Ⅱ）设直线1:+=kx y l 与曲线C 交于M 、N 两点，当|MN|=324时，求直线l 的方程.【答案】（I ）方程是：.1222=+y x(Ⅱ直线l 的方程x －y+1=0或x+y －1=0.17．已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为3.(Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ）已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点.①若线段AB 中点的横坐标为12-，求斜率k 的值；②已知点7(,0)3M -，求证：MA MB ⋅ 为定值.【答案】（Ⅰ）则椭圆方程为221553x y +=(Ⅱ）（1）解得k =(2）49=专题训练三 椭圆（2）一、选择题1 若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆, 那么实数k 的取值范围是 ( )A (0, +∞)B (0, 2)C (1, +∞)D (0, 1)2．已知F 1，F 2为椭圆x 212＋y 23＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，且|PF 1|＝t |PF 2|，则t 的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．73．在椭圆x 216＋y24＝1内，通过点M (1,1)，且被这点平分的弦所在的直线方程为( )A ．x ＋4y －5＝0B ．x －4y －5＝0C ．4x ＋y －5＝0D ．4x －y －5＝04．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A 、B 两点，则|AB |的最大值为 ( )A ．2 B.455 C.4105 D.81055．点O 和点F 为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．86 设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )A2B C 2 1 7．AB 为过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中心的弦，F (c,0)为它的焦点，则△FAB 的最大面积为( )A ．b 2B ．abC ．acD ．bc8 椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是 ( ) A 3 B 11 C 22 D 109 直线l 交椭圆4x 2+5y 2=80于M 、N 两点, 椭圆的上顶点为B 点, 若△BMN 的重心恰好落在椭圆的右焦点上, 则直线l 的方程是 ( )A 5x +6y -28=0B 5x +6y -28=0C 6x +5y -28=0D 6x -5y -28=010.点P （-3，1）在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左准线上，过点P 且方向为)5,2(-=的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为 ( )A33 B 31 C 22 D 21二、填空题11．方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的椭圆的左顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，D 是它短轴上的一个端点，若3DF 1→T ＝DA →＋2DF 2→，则该椭圆的离心率为________．4.1512．如图，已知点P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y2b2＝1 (a >b >0)上一点，若PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率是________．5.5313．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点(1，12)作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是______________．7.x 25＋y 24＝114．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆x 2a 2＋y2b2＝1 (a >b >0)的焦距为2c ，以点O 为圆心，a 为半径作圆M .若过点P ⎝⎛⎭⎫a 2c ，0所作圆M 的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为________．5.5315．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 1、A 2、B 1、B 2分别为椭圆x 2a 2＋y2b2＝1 (a >b >0)的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B 2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为__________．4.15三、解答题16．已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为33，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，当l的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为22． (1)求a ，b 的值；(2)C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP ＝OA ＋OB成立？若存在，求出所有的P的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由． 【答案】(1)得a ＝3，b ＝a2－c2＝2．(2)综上，C 上存在点P(32，±22)使OP ＝OA ＋OB成立，此时l 的方程为2x ±y －2＝0.17．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的长轴长为4，离心率为12，点P 是椭圆上异于顶点的任意一点，过点P 作椭圆的切线l ，交y 轴于点A ，直线l ′过点P 且垂直于l ，交y 轴于点B . (1)求椭圆的方程；(2)试判断以AB 为直径的圆能否经过定点？若能，求出定点坐标；若不能，请说明理由．8．解 (1)椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)恒过定点(1,0)和(－1,0)．。
解析几何解答题--椭圆
解析几何解答题--椭圆1.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c,0)，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433.(1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围．解 (1)由已知有c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2.设直线FM 的斜率为k (k >0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )．由已知，有()kck 2＋12＋()c22＝()b 22，解得k ＝33. (2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c 或x ＝c .因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为()c ，233c . 由|FM |＝(c ＋c )2＋()233c －02＝433，解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1. (3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ，得t ＝yx ＋1，即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t (x ＋1)，x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6.又由已知，得t ＝6－2x 23(x ＋1)2>2，解得－32<x <－1或－1<x <0.设直线OP 的斜率为m ，则m ＝y x ，即y ＝mx (x ≠0)，与椭圆方程联立，整理可得m 2＝2x 2－23.①当x ∈()－32，－1时，有y ＝t (x ＋1)<0，因此m >0，于是m ＝2x 2－23，得m ∈()23，233. ②当x ∈(－1,0)时，有y ＝t (x ＋1)>0，因此m <0，于是m ＝－2x 2－23，得m ∈()－∞，－233. 综上，直线OP 的斜率的取值范围是()－∞，－233∪()23，233. 2．平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，左、右焦点分别是F 1，F 2.以F 1为圆心以3为半径的圆与以F 2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b2＝1，P 为椭圆C 上任意一点．过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .(ⅰ)求|OQ ||OP |的值；(ⅱ)求△ABQ 面积的最大值．解 (1)由题意知2a ＝4，则a ＝2.又c a ＝32，a 2－c 2＝b 2，可得b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1.(ⅰ)设P (x 0，y 0)，|OQ ||OP |＝λ，由题意知Q (－λx 0，－λy 0)．因为x 204＋y 20＝1，又(－λx 0)216＋(－λy 0)24＝1，即λ24()x 204＋y 20＝1， 所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2.(ⅱ)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0.由Δ>0，可得m 2<4＋16k 2.①则有x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2.所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m 21＋4k 2. 因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )， 所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝2(16k 2＋4－m 2)m 21＋4k 2＝2()4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2.设m 21＋4k 2＝t . 将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程， 可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.② 由①②可知0<t ≤1.因此S ＝2(4－t )t ＝2－t 2＋4t . 故S ≤23，当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2 3. 由(ⅰ)知，△ABQ 面积为3S ， 所以△ABQ 面积的最大值为6 3.3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点P (0,1)和点A (m ，n )(m ≠0)都在椭圆C 上，直线P A 交x 轴于点M .(1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)；(2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 坐标；若不存在，说明理由．解(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2.解得a 2＝2.故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.设M (x M,0)．因为m ≠0，所以－1<n <1.直线P A 的方程为y －1＝n －1m x ，所以x M ＝m1－n，即M ()m 1－n ，0.(2)因为点B 与点A 关于x 轴对称，所以B (m ，－n )．设N (x N,0)，则x N ＝m1＋n.“存在点Q (0，y Q )使得∠OQM ＝∠ONQ ”等价于“存在点Q (0，y Q )使得|OM ||OQ |＝|OQ ||ON |”，即y Q 满足y 2Q ＝|x M ||x N |. 因为x M ＝m 1－n ，x N ＝m 1＋n ，m 22＋n 2＝1，所以y 2Q ＝|x M ||x N |＝m 21－n 2＝2.所以y Q ＝2或y Q ＝－ 2.4．设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510.(1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程．解 (1)由题设条件知，点M 的坐标为()23a ，13b ，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510，进而得a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB 的方程为x 5b ＋yb＝1，点N 的坐标为()52b ，－12b .设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为()x 1，72，则线段NS 的中点T 的坐标为()54b ＋x 12，－14b ＋74.又点T 在直线AB 上，且k NS ·k AB ＝－1， 从而有⎩⎪⎨⎪⎧5b 4＋x 125b ＋－14b ＋74b ＝1，72＋12b x 1－52b＝5，解得b ＝3.所以a ＝35，故椭圆E 的方程为x 245＋y 29＝1.5．如图，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程； (2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e .解 (1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2.设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2＋2)2＋(2－2)2＝23，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1.故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)解法一：连接QF 1，如下图，设点P (x 0，y 0)在椭圆上，且PF 1⊥PF 2，则x 20a 2＋y 20b2＝1，x 20＋y 20＝c 2， 求得x 0＝±a c a 2－2b 2，y 0＝±b 2c .由|PF 1|＝|PQ |>|PF 2|得x 0>0，从而|PF 1|2＝()a a 2－2b 2c＋c2＋b 4c2＝2(a 2－b 2)＋2a a 2－2b 2＝(a ＋a 2－2b 2)2. 由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PF 2，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|， 因此(2＋2)|PF 1|＝4a ，即(2＋2)(a ＋a 2－2b 2)＝4a ，于是(2＋2)(1＋2e 2－1)＝4，解得e ＝12[]1＋()42＋2－12＝6－ 3.解法二：连接QF 1，如上图，由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PQ ，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此，4a －2|PF 1|＝2|PF 1|.|PF 1|＝2(2－2)a ，从而|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －2(2－2)a ＝2(2－1)a . 由PF 1⊥PF 2，知|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2，因此e ＝ca ＝|PF 1|2＋|PF 2|22a＝(2－2)2＋(2－1)2＝9－62＝6－ 3.6.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．解 (1)过点(c,0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝bcb 2＋c2＝bc a ，由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2，解得离心率c a ＝32.(2)解法一：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2,1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10.易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k (2k ＋1)1＋4k 2，x 1x 2＝4(2k ＋1)2－4b 21＋4k 2.由x 1＋x 2＝－4，得－8k (2k ＋1)1＋4k 2＝－4， 解得k ＝12.从而x 1x 2＝8－2b 2.于是|AB |＝1＋()122|x 1－x 2|＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10(b 2－2). 由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3.故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1. 解法二：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.②依题意，点A ，B 关于圆心M (－2,1)对称，且|AB |＝10.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋4y 21＝4b 2, x 22＋4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，得－4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0.易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2，所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12.因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1，代入②得x 2＋4x ＋8－2b 2＝0.所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2.于是|AB |＝1＋()122|x 1－x 2|＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10(b 2－2).由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3.故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.7．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B ，已知|AB |＝32|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过原点O 的直线l 与该圆相切．求直线l 的斜率．解 (1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c,0)．由|AB |＝32|F 1F 2|，可得a 2＋b 2＝3c 2.又b 2＝a 2－c 2，则c 2a 2＝12.所以椭圆的离心率e ＝22.(2)由(1)知a 2＝2c 2，b 2＝c 2.故椭圆方程为x 22c 2＋y 2c 2＝1.设P (x 0，y 0)．由F 1(－c,0)，B (0，c )，有F 1P →＝(x 0＋c ，y 0)，F 1B →＝(c ，c )．由已知，有F 1P →·F 1B →＝0，即(x 0＋c )c ＋y 0c ＝0.又c ≠0，故有x 0＋y 0＋c ＝0.①又因为点P 在椭圆上，故x 202c 2＋y 20c2＝1.②由①和②可得3x 20＋4cx 0＝0.而点P 不是椭圆的顶点，故x 0＝－43c ，代入①得y 0＝c3，即点P 的坐标为()－4c 3，c 3. 设圆的圆心为T (x 1，y 1)，则x 1＝－43c ＋02＝－23c ，y 1＝c 3＋c 2＝23c ，进而圆的半径r ＝(x 1－0)2＋(y 1－c )2＝53c .设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y ＝kx .由l 与圆相切，可得|kx 1－y 1|k 2＋1＝r ，即||k ()－2c 3－2c 3k 2＋1＝53c ，整理得k 2－8k ＋1＝0，解得k ＝4±15.所以，直线l 的斜率为4＋15或4－15. 8．已知椭圆C 的中心在原点，离心率e ＝32，右焦点为F (3，0)． (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆的上顶点为A ，在椭圆C 上是否存在点P ，使得向量OP →＋OA →与F A →共线？若存在，求直线AP 的方程；若不存在，简要说明理由．解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，又离心率e ＝32，右焦点为F (3，0)，∴c a ＝32，c ＝3，∴a ＝2，b 2＝1， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)假设椭圆C 上存在点P (x 0，y 0)，使得向量OP →＋OA →与F A →共线． ∵OP →＋OA →＝(x 0，y 0＋1)，F A →＝(－3，1)， ∴x 0＝－3(y 0＋1)． ①又点P (x 0，y 0)在椭圆x 24＋y 2＝1上，∴x 204＋y 20＝1. ② 由①②解得⎩⎨⎧x 0＝0，y 0＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－837，y 0＝17.∴P (0，－1)或P ()－837，17.当点P 的坐标为(0，－1)时，直线AP 的方程为x ＝0，当点P 的坐标为P ()－837，17时，直线AP 的方程为3x －4y ＋4＝0，故存在满足题意的点P ，直线AP 的方程为x ＝0或3x －4y ＋4＝0.9．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b ≥1)的离心率e ＝32，且椭圆C 上一点N 到Q (0,3)距离的最大值为4，过点M (3,0)的直线交椭圆C 于点A 、B .(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 为椭圆上一点，且满足OA →＋OB →＝tOP →(O 为坐标原点)，当|AB |<3时，求实数t 的取值范围．解 (1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴a 2＝4b 2，则椭圆方程为x 24b 2＋y 2b 2＝1，即x 2＋4y 2＝4b 2.设N (x ，y )，则|NQ |＝(x －0)2＋(y －3)2＝4b 2－4y 2＋(y －3)2＝－3y 2－6y ＋4b 2＋9＝－3(y ＋1)2＋4b 2＋12.当y ＝－1时，|NQ |有最大值4b 2＋12，则4b 2＋12＝4，解得b 2＝1，∴a 2＝4，故椭圆方程是x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，直线AB 的方程为y ＝k (x －3)， 由⎩⎨⎧y ＝k (x －3)，x 24＋y 2＝1，整理得(1＋4k 2)x 2－24k 2x ＋36k 2－4＝0.则x 1＋x 2＝24k 21＋4k 2，x 1·x 2＝36k 2－41＋4k 2， Δ＝(－24k 2)2－16(9k 2－1)(1＋4k 2)>0，解得k 2<15.由题意得OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x ，y )，则x ＝1t (x 1＋x 2)＝24k 2t (1＋4k 2)，y ＝1t (y 1＋y 2)＝1t [k (x 1＋x 2)－6k ]＝－6k t (1＋4k 2). 由点P 在椭圆上，得(24k 2)2t 2(1＋4k 2)2＋144k 2t 2(1＋4k 2)2＝4，化简得36k 2＝t 2(1＋4k 2)．①由|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|<3，得(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]<3，将x 1＋x 2，x 1x 2代入得(1＋k 2)[]242k 4(1＋4k 2)2－4(36k 2－4)1＋4k 2<3，化简，得(8k 2－1)(16k 2＋13)>0，则8k 2－1>0，即k 2>18，∴18<k 2<15.②由①得t 2＝36k 21＋4k 2＝9－91＋4k 2， 由②得3<t 2<4，∴－2<t <－3或3<t <2. 故实数t 的取值范围为－2<t <－3或3<t <2.10已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1和F 2，且|F 1F 2|＝2，点()1，32在该椭圆上． (1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的面积为1227，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．解 (1)由题意知c ＝1,2a ＝32＋()322＋22＝4，a ＝2，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)①当直线l ⊥x 轴时，可取A ()－1，－32，B ()－1，32，△AF 2B 的面积为3，不符合题意． ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，代入椭圆方程得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，显然Δ>0成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k23＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－123＋4k 2，可得|AB |＝12(k 2＋1)3＋4k 2， 又圆F 2的半径r ＝2|k |1＋k 2，∴△AF 2B 的面积为12|AB |r ＝12|k |k 2＋13＋4k 2＝1227，化简得：17k 4＋k 2－18＝0，得k ＝±1， ∴r ＝2，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.11如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .(1)若点C 的坐标为()43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．解 设椭圆的焦距为2c ，则F 1(－c,0)，F 2(c,0)．(1)因为B (0，b )，所以|BF 2|＝b 2＋c 2＝a .又|BF 2|＝2，故a ＝ 2.因为点C ()43，13在椭圆上，所以169a 2＋19b 2＝1.解得b 2＝1.故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)因为B (0，b )，F 2(c,0)在直线AB 上，所以直线AB 的方程为x c ＋yb＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x c ＋y b ＝1，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a 2ca 2＋c 2，y 1＝b (c 2－a 2)a 2＋c 2，或⎩⎨⎧x 2＝0，y 2＝b .所以点A 的坐标为()2a 2c a 2＋c 2，b (c 2－a 2)a 2＋c 2.又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为()2a 2c a 2＋c 2，b (a 2－c 2)a 2＋c2.因为直线F 1C 的斜率为b (a 2－c 2)a 2＋c 2－02a 2c a 2＋c2－(－c )＝b (a 2－c 2)3a 2c ＋c 3，直线AB 的斜率为－bc ，且F 1C ⊥AB ，所以b (a 2－c 2)3a 2c ＋c3·()－b c ＝－1. 又b 2＝a 2－c 2，整理得a 2＝5c 2.故e 2＝15.因此e ＝55.12已知圆O ：x 2＋y 2＝4，点A (3，0)，以线段AB 为直径的圆内切于圆O ，记点B 的轨迹为Γ. (1)求曲线Γ的方程；(2)直线AB 交圆O 于C ，D 两点，当B 为CD 的中点时，求直线AB 的方程．解 (1)设AB 的中点为M ，切点为N ，连接OM ，MN ，则|OM |＋|MN |＝|ON |＝2，取A 关于y 轴的对称点A ′，连接A ′B ，故|A ′B |＋|AB |＝2(|OM |＋|MN |)＝4.所以点B 的轨迹是以A ′，A 为焦点，4为长轴长的椭圆．其中，a ＝2，c ＝3，b ＝1，则曲线Γ的方程为x 24＋y 2＝1.(2)因为B 为CD 的中点，所以OB ⊥CD ，则OB →⊥AB →.设B (x 0，y 0)，则x 0(x 0－3)＋y 20＝0.又x 204＋y 20＝1，解得x 0＝23，y 0＝±23则k OB ＝±22，所以k AB ＝±2，则直线AB 的方程为2x ＋y －6＝0或2x －y －6＝0.13. 已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P (－2，1)在椭圆上，线段PF 2与y 轴的交点M 满足PM →＋F 2M →＝0.(1)求椭圆C 的方程；(2)椭圆C 上任一动点N (x 0，y 0)关于直线y ＝2x 的对称点为N 1(x 1，y 1)，求3x 1－4y 1的取值范围．解 (1)点P (－2，1)在椭圆上，∴2a 2＋1b2＝1.①又∵PM →＋F 2M →＝0，M 在y 轴上，∴M 为PF 2的中点，∴－2＋c ＝0，c ＝ 2.∴a 2－b 2＝2，② 联立①②，解得b 2＝2(b 2＝－1舍去)，∴a 2＝4.故所求椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)∵点N (x 0，y 0)关于直线y ＝2x 的对称点为N 1(x 1，y 1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ y 0－y 1x 0－x 1×2＝－1，y 0＋y 12＝2×x 0＋x 12.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝4y 0－3x 05，y 1＝3y 0＋4x 05.∴3x 1－4y 1＝－5x 0.∵点N (x 0，y 0)在椭圆C ：x 24＋y 22＝1上，∴－2≤x 0≤2，∴－10≤－5x 0≤10， 即3x 1－4y 1的取值范围为[－10,10]．。
椭圆专项训练(全解)
椭圆专项训练1、已知动点P 与双曲线13222=-y x 的两个焦点1F 、2F 的距离之和为定值，且21cos PF F ∠的最小值为91-． （1）求动点P 的轨迹方程；（2）若已知)3,0(D ，M 、N 在动点P 的轨迹上且DN DM λ=，求实数λ的取值范围． 解：（1）由已知可得： 5=c ，912)2(2222-=-+a c a a ∴ 4,92222=-==c a b a∴ 所求的椭圆方程为 14922=+y x .(2)方法一：由题知点D 、M 、N 共线，设为直线m ，当直线m 的斜率存在时，设为k ，则直线m 的方程为 y = k x +3 代入前面的椭圆方程得 (4+9k 2) x 2 +54 k +45 = 0 ① 由判别式 045)94(4)54(22≥⨯+⨯-=∆k k ，得952≥k . 再设M (x 1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2)，则一方面有))3(,()3,()3,(222211-=-==-=y x y x DN y x DM λλλλ，得 ⎩⎨⎧-=-=)3(32121y y x x λλ 另一方面有 2219454k k x x +-=+，2219445k x x +=②将21x x λ=代入②式并消去 x 2可得94)1(532422+=+k λλ，由前面知， 536402≤<k ∴ 581)1(532492≤+<λλ，解得 551<<λ.又当直线m 的斜率不存在时，不难验证：551==λλ或, 所以551≤≤λ为所求。
方法二:同上得⎩⎨⎧-=-=)3(32121y y x x λλ设点M (3cos α，2sin α)，N (3cos β,2sin β) 则有⎩⎨⎧-=-=)3sin 2(3sin 2cos cos βλαβλα由上式消去α并整理得)(1251813sin 22λλλλβ-+-=, 由于1sin 1≤≤-β∴ 1)(1251813122≤-+-≤-λλλλ， 解得551≤≤λ为所求. 方法三：设法求出椭圆上的点到点D 的距离的最大值为5，最小值为1. 进而推得λ的取值范围为551≤≤λ。
椭圆基础练习题及其完整答案
解析几何——椭圆精炼专题一、 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中有只有一项是符合题目要求的．） 1．椭圆63222=+y x 的焦距是（ ）A ．2B ．)23(2-C ．52D ．)23(2+2．F 1、F 2是定点，|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则点M 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．直线 C ．线段 D ．圆 3．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是 （ ）A ．14822=+x y B ．161022=+x y C ．18422=+x y D ．161022=+y x4．方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是（ ）A ．),0(+∞B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，1）5． 过椭圆12422=+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点2F 构成2ABF ∆，那么2ABF ∆的周长是（ ） A ． 22 B ． 2 C ． 2 D ． 16．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为31，长轴长为12，则椭圆方程为（ ） A ．112814422=+y x 或114412822=+y x B ． 14622=+y x C ．1323622=+y x 或1363222=+y x D ． 16422=+y x 或14622=+y x 7． 已知k ＜4，则曲线14922=+y x 和14922=-+-k y k x 有（ ） A ． 相同的短轴 B ． 相同的焦点 C ． 相同的离心率 D ． 相同的长轴8．椭圆192522=+y x 的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，已知21PF PF ⊥，则△21PF F 的面积为（ ）A ．9B ．12C ．10D ．89．椭圆131222=+y x 的焦点为1F 和2F ，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，那么1PF 是2PF 的（ ）A ．4倍B ．5倍C ．7倍D ．3倍 10．椭圆1449422=+y x 内有一点P （3，2）过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的方程为（ ）A ．01223=-+y xB ．01232=-+y xC ．014494=-+y xD ． 014449=-+y x11．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ）A ．3B ．11C ．22D ．1012．过点M （－2，0）的直线M 与椭圆1222=+y x 交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线M 的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为（ ）A ．2B ．－2C ．21 D ．－21二、 填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．）13．椭圆2214x y m +=的离心率为12，则m = ． 14．设P 是椭圆2214x y +=上的一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，则12PF PF 的最大值为 ；最小值为 ．15．直线y =x －21被椭圆x 2+4y 2=4截得的弦长为 ．16．已知圆Q A y x C ),0,1(25)1(:22及点=++为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于M ，则点M 的轨迹方程为 ． 三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．） 17．已知三角形ABC 的两顶点为(2,0),(2,0)B C -，它的周长为10,求顶点A 轨迹方程． 18．椭圆的一个顶点为A （2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 19．点P 到定点F （2，0）的距离和它到定直线x =8的距离的比为1：2，求点P 的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形． 20．中心在原点，一焦点为F 1（0，52）的椭圆被直线y =3x －2截得的弦的中点横坐标是21，求此椭圆的方程．21.已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210，求椭圆方程 22．椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O 为坐标原点． （1）求2211ba +的值； （2）若椭圆的离心率e 满足33≤e ≤22，求椭圆长轴的取值范围．椭圆练习题参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A CDDABD13、3或316 14、 4 ， 1 15、5382 16、121425422=+y x 17、3)(x 15922±≠=+y x 18、解：（1）当A (2,0)为长轴端点时，a =2 , b =1，椭圆的标准方程为： ；（2）当为短轴端点时，，，椭圆的标准方程为： ；19．解：设P （x ，y ），根据题意，|PF|=(x-2)2-y 2,d=|x-8|,因为|PF|d =12 ,所以 (x-2)2-y 2 |x-8| = 12.化简，得3x 2+4y 2=48,整理，得x 216 +y 212=1,所以，点P 的轨迹是椭圆。
方法篇练习：专题7-解析几何-第28练-含解析
第28练椭圆问题中最值得关注的基本题型[题型分析·高考展望］椭圆问题在高考中占有比较重要的地位，并且占的分值也较多．分析历年的高考试题，在选择题、填空题、解答题中都有涉及到椭圆的题,所以我们对椭圆知识必须系统的掌握．对各种题型，基本的解题方法也要有一定的了解．体验高考1．（2015·广东）已知椭圆x225＋错误!＝1(m〉0)的左焦点为F1(－4,0）,则m等于()A．2 B．3 C．4 D．9答案B解析由题意知25－m2＝16,解得m2＝9，又m>0，所以m＝3。
2．（2015·福建)已知椭圆E：错误!＋错误!＝1(a＞b＞0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M，直线l:3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF｜＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于错误!，则椭圆E的离心率的取值范围是()A。
错误! B.错误!C.错误!D。
错误!答案A解析设左焦点为F0，连接F0A，F0B,则四边形AFBF0为平行四边形．∵｜AF｜＋|BF｜＝4，∴｜AF ｜＋|AF 0｜＝4，∴a ＝2.设M (0，b ),则4b 5≥45,∴1≤b ＜2.离心率e ＝c a ＝错误!＝ 错误!＝ 错误!∈错误!，故选A.3．(2016·课标全国丙）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：错误!＋错误!＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为椭圆C 上一点,且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则椭圆C 的离心率为( ） A 。
错误! B 。
错误! C.错误! D 。
错误!答案 A解析 设M （－c ,m )，则E 错误!，OE 的中点为D ，则D 错误!，又B ，D ，M 三点共线,所以错误!＝错误!，a ＝3c ，e ＝错误!。
4．（2015·浙江）已知椭圆错误!＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋错误!对称．（1)求实数m 的取值范围；（2)求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．解（1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－错误!x＋b。
近年高考数学一轮复习第九章解析几何课时训练(四十二)椭圆文(2021年整理)
课时跟踪检测（四十二) 椭圆一抓基础,多练小题做到眼疾手快1．（2018·江安中学期末)经过点A错误!，B错误!两点的椭圆的方程为________________．解析:设椭圆的方程为x2m2＋错误!＝1，则错误!解得错误!所以椭圆的标准方程为错误!＋y2＝1.答案：错误!＋y2＝12．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为错误!，则该椭圆方程为________________．解析：设椭圆的方程为错误!＋错误!＝1(a>b>0），因为2a＝12，错误!＝错误!,所以a＝6，c＝3，b2＝27。
所以椭圆的方程为错误!＋错误!＝1.答案：错误!＋错误!＝13．设椭圆错误!＋错误!＝1的焦点为F1，F2,点P在椭圆上，若△PF1F2是直角三角形，则△PF1F2的面积为________．解析:由已知a＝2，b＝3，c＝1，则点P为短轴顶点（0，错误!）时，∠F1PF2＝错误!，△PF1F2是正三角形，若△PF1F2是直角三角形，则直角顶点不可能是点P，只能是焦点F1(或F2)为直角顶点，此时｜PF1｜＝错误!＝错误!错误!，S△PF1F2＝错误!·错误!·2c＝错误!＝错误!。
答案：3 24．（2018·南京名校联考）若n是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋错误!＝1的离心率是________．解析：由n2＝2×8，得n＝±4，当n＝4时，曲线为椭圆，其离心率为e＝错误!＝错误!；当n＝－4时，曲线为双曲线，其离心率为e＝错误!＝错误!.答案：错误!或错误!5．(2018·北京东城模拟）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2∶错误!，则椭圆C的方程是____________________．解析：设椭圆C的方程为错误!＋错误!＝1(a＞b＞0)．由题意知错误!解得a2＝16，b2＝12。
高三数学一轮复习 椭 圆双基限时训练 理(含解析)
2014届高三数学一轮复习 椭 圆双基限时训练 理（含解析）巩固双基,提升能力一、选择题1．(2013·浙江台州调研)已知点M (3，0)，椭圆x 24＋y 2＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A 、B ，则△ABM 的周长为( )A ．4B ．8C ．12D ．16解析：直线y ＝k (x ＋3)过定点N (－3，0)，而M 、N 恰为椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM 的周长为4a ＝4×2＝8.答案：B2．(2013·滨州月考)若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2解析：设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点，∴S ＝12×2c ×b ＝bc ＝1≤b 2＋c 22＝a 22.∴a 2≥2.∴a ≥ 2.∴长轴长2a ≥22，故选D. 答案：D3．(2013·温州质检)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ，右焦点F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，则点P (x 1，x 2)( )A ．必在圆x 2＋y 2＝1外 B ．必在圆x 2＋y 2＝1上 C ．必在圆x 2＋y 2＝1内D ．与x 2＋y 2＝1的位置关系与e 有关解析：由于x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝b 2a 2－2·－c a ＝b 2＋2ac a 2＝a 2－c 2＋2aca 2＝1＋c 2a －ca 2， ∵c ＞0,2a －c ＞0，故上式大于1，即x 21＋x 22＞1. ∴P (x 1，x 2)必在圆x 2＋y 2＝1外．答案：A4．(2013·沈阳二中质检)过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13＜k ＜12，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，94B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：点B 的横坐标是c ，故B 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫c ，±b 2a ，已知 k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a .斜率k ＝b 2ac ＋a ＝b 2ac ＋a 2＝a 2－c 2ac ＋a 2＝1－e 2e ＋1.由13＜k ＜12，解得12＜e ＜23. 答案：C5．(2012·山东)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )A.x 28＋y 22＝1B.x 212＋y 26＝1C.x 216＋y 24＝1 D.x 220＋y 25＝1 解析：由题可知双曲线的渐近线为y ＝±x ，它与椭圆的四个交点是对称的，以这四个交点为顶点的四边形是正方形，其面积为16，可知点(2,2)在椭圆上，即满足4a 2＋4b2＝1，又因为e ＝c a ＝32，故而b 2＝5，a 2＝20，因此答案选D. 答案：D6．(2012·课标全国)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.45解析：根据题意知|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，直线PF 2的倾斜角是60°，所以32a －c ＝c ⇒e ＝34，所以选C.答案：C 二、填空题7．(2012·江西)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为__________．解析：依题意得|F 1F 2|2＝|AF 1||BF 1|，即4c 2＝(a －c )(a ＋c )＝a 2－c 2，整理得5c 2＝a 2，所以e ＝c a ＝55. 答案：558．(2012·四川)椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于A 、B .当△FAB的周长最大时，△FAB 的面积是__________．解析：如图，当直线过右焦点时周长最大(不过焦点时，可用斜边大于直角边排除)，F (－1,0)，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x 24＋y23＝1，得y ＝±32，∴S ＝32×2＝3.答案：39．(2013·韶关调研)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的两个焦点，若椭圆上一点P 满足|PF 1→|＋|PF 2→|＝4，则椭圆的离心率e ＝________.解析：由题意2a ＝4，∴a ＝2，又∵c ＝1，∴e ＝12.答案：12三、解答题10．(2012·安徽)如图，点F 1(－c,0)，F 2(c,0)分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，经过F 1作x 轴的垂线交椭圆C 的上半部分于点P ，过点F 2作直线PF 2的垂线交直线x ＝a 2c于点Q .(1)如果点Q 的坐标是(4,4)，求此时椭圆C 的方程； (2)证明：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点．解析：(1)点P (－c ，y 1)(y 1＞0)代入x 2a 2＋y 2b 2＝1得：y 1＝b 2a ，PF 2⊥QF 2⇔b 2a －0－c －c ×4－04－c ＝－1 ①又a 2c＝4 ② c 2＝a 2－b 2(a ，b ，c ＞0) ③由①②③得：a ＝2，c ＝1，b ＝3， 即椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)直线PQ 的方程为y －2a b 2a －2a ＝x －a 2c －c －a 2c，即y ＝ca x ＋a .将上式代入椭圆方程得，x 2＋2cx ＋c 2＝0，解得x ＝－c ，y ＝b 2a.所以直线PQ 与椭圆C 只有一个交点．11．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．解析：(1)将(0,4)代入C 的方程得16b2＝1，∴b ＝4.又由e ＝c a ＝35，得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)．设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋x －3225＝1，即x 2－3x －8＝0，解得x 1＝3－412，x 2＝3＋412.设线段AB 的中点坐标为(x ′，y ′)，则x ′＝x 1＋x 22＝32，y ′＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65，即中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－65.12．(2013·大连模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，过F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，AF →＝2FB →.(1)求椭圆C 的离心率；(2)如果|AB |＝154，求椭圆C 的方程．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知y 1＜0，y 2＞0. (1)直线l 的方程为y ＝3(x －c )，其中c ＝a 2－b 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －c ，x 2a 2＋y 2b2＝1，得(3a 2＋b 2)y 2＋23b 2cy －3b 4＝0.解得y 1＝－3b 2c ＋2a 3a 2＋b 2，y 2＝－3b 2c －2a 3a 2＋b2. 因为AF →＝2FB →，所以－y 1＝2y 2.3b 2c ＋2a 3a 2＋b 2＝2·－3b 2c －2a 3a 2＋b2. ∴得离心率e ＝c a ＝23.(2)因为|AB |＝1＋13|y 2－y 1|， 所以23·43ab 23a 2＋b2＝154.由c a ＝23，得b ＝53a ，所以a ＝3，b ＝ 5. 椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.。
限时训练解析几何(20分钟)
高三（20）限时训练（20分钟）姓名12.5题目：如图，椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的右焦点(1,0)F，离心率12e=，直线l的方程为4x=.(1)求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F点P，使得直线PA PM PB、、的斜率k 在，请说明理由。
练习1．已知函数 8()||f x x a x=-- ，[2,4]x ∈．当2a >，求()f x 的最大值．2．二次函数2*(),f x ax bx c a =++∈N ，1c ≥，1a b c ++≥，方程20ax bx c ++=有两个小于1的不等正根，求a 的最小值。
3．如图，抛物线C 1：24y x =的焦点F ，圆C 2：221(1)16x y +-=，是否存在斜率不为零的直线l 与C 1相交于A 、B ，使得线段AB 被圆C 2 截成三等分?若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由。
4．如图所示，在三棱锥V －ABC 中，VA =x ，BC =y ，VB =VC =2，AB =AC =1,求三棱锥V －ABC 的体积的最大值.AB CV5．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，求证：{}n a 为等差数列的充要条件是111()1n n n S S a n ++=-- (其中2n ≥)6．数列{}n x 满足132x =，13nn n n n x x x n+⎧⎪=⎨+⎪⎩为奇数,为偶数.(1)求数列{}n x 通项公项；(2) 记212212n n n S x x x x -=++++，是否存在实数集A ，使a A ∈时，不等式2(1)2133n n n nS a S a++++>对任意*N n ∈恒成立？若存在，求出A ；若不存在，请说明理由．。
2021版高考数学总复习第八章解析几何47椭圆课时作业文
2021版高考数学总复习第八章解析几何47椭圆课时作业文A.12B.24C.22 D.32解析：依题意得，题中的直三棱柱的底面是等腰直角三角形，设其直角边长为a ，则斜边长为2a ，圆锥的底面半径为22a 、母线长为a ，因此其俯视图中椭圆的长轴长为2a 、短轴长为a ，其离心率e ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a 2＝22，选C. 答案：C5．(2020·泉州质检)已知椭圆x 2m －2＋y 210－m＝1的长轴在x 轴上，焦距为4，则m 等于( )A ．8B ．7C ．6D ．5 解析：∵椭圆x 2m －2＋y 210－m＝1的长轴在x 轴上，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2>0，10－m >0，m －2>10－m ，解得6< m <10.∵焦距为4，∴c 2＝m －2－10＋m ＝4，解得m ＝8. 答案：A6．(2020·江西上饶一模)设F 1，F 2为椭圆C 1：x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)与双曲线C 2：x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)的公共焦点，它们在第一象限内交于点M ，∠F 1MF 2＝90°，若椭圆的离心率e 1＝34，则双曲线C 2的离心率e 2为( ) A.92 B.322解析：设P (x ，y )，则|OP |2＝x 2＋y 2＝a 28，由椭圆定义得，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|2＋2|PF 1||PF 2|＋|PF 2|2＝4a 2， 又∵|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等比数列， ∴|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|2＝4c 2， 则|PF 1|2＋|PF 2|2＋8c 2＝4a 2，∴(x ＋c )2＋y 2＋(x －c )2＋y 2＋8c 2＝4a 2，整理得x 2＋y 2＋5c 2＝2a 2，即a 28＋5c 2＝2a 2，整理得c 2a 2＝38， ∴椭圆的离心率e ＝ca ＝64.故选D. 答案：D9．(2020·江西高安模拟，5)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，若F 关于直线3x ＋y ＝0的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为( ) A.12 B.3－12 C.32D.3－1 解析：设F (－c,0)关于直线3x ＋y ＝0的对称点A (m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n m ＋c ·－3＝－1，3·m －c 2＋n2＝0，∴m ＝c 2，n ＝32c ，代入椭圆方程可得c 24a 2＋34c2b2＝1，把b 2＝a 2－c 2代入，化简可得e 4－8e 2＋4＝0，解得e 2＝4±23，又0＜e ＜1，∴e ＝3－1，故选D. 答案：D10．(2021·新课标全国卷Ⅰ文科)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点．若C上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范畴是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0，3]∪[9，＋∞)14．(2020·武汉调研)已知直线MN 过椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点F ，与椭圆交于M ，N 两点．直线PQ 过原点O 与MN 平行，且PQ 与椭圆交于P ，Q 两点，则|PQ |2|MN |＝________.解析：本题考查椭圆的几何性质．因为a ＝2，b ＝1，因此c ＝1，当MN ⊥x 轴时，由通径公式知|MN |＝2b 2a ＝22＝2，又PQ 过原点且与MN 平行，因此|PQ |＝2b ＝2，因此|PQ |2|MN |＝42＝22；当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y ＝k (x ＋1)，则直线PQ 的方程为y ＝kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1，x 22＋y 2＝1，得(2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1 ①，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1 ②，因此|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2，将①②代入化简整理，得|MN |＝221＋k22k 2＋1；同理可求得|PQ |＝81＋k 22k 2＋1，因此|PQ |2|MN |＝822＝2 2.综上所述，|PQ |2|MN |＝2 2. 答案：2 2[能力挑战]15．(2020·烟台一模)已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为12. (1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 通过点M (0,1)，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若AM →＝2MB →，求直线l 的方程．解析：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，因为c ＝1，c a ＝12，因此a ＝2，b ＝3，因此椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意得直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y23＝1得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0，且Δ＞0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由AM →＝2MB →得x 1＝－2x 2.。
高三数学每天一练半小时：第练椭圆的几何性质
训练目标熟练掌握椭圆的几何性质并会应用．训练题型(1）求离心率的值或范围；（2)应用几何性质求参数值或范围；(3)椭圆方程与几何性质综合应用．解题策略（1)利用定义|PF1｜＋|PF2｜＝2a找等量关系；(2）利用a2＝b2＋c2及离心率e＝错误!找等量关系；（3)利用焦点三角形的特殊性找等量关系。
1．设椭圆C:错误!＋错误!＝1(a>b〉0）的左，右焦点分别为F1，F2，P 是C上的点,PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为( ) A。
错误! B.错误!C.错误!D。
错误!2．（2017·衡水调研)已知椭圆C的中心为O，两焦点为F1,F2,M是椭圆C上的一点,且满足|错误!｜＝2|错误!｜＝2｜错误!｜，则椭圆C的离心率e等于（)A。
错误!B。
错误!C。
错误!D。
错误!3．椭圆x2a2＋错误!＝1(a>b〉0）的左顶点为A,左,右焦点分别是F1，F2,B是短轴的一个端点,若3错误!＝错误!＋2错误!，则椭圆的离心率为( ）A.错误! B.错误!C.14D。
错误!4．已知椭圆E：错误!＋错误!＝1（a〉b>0)的短轴的两个端点分别为A，B,点C为椭圆上异于A，B的一点，直线AC与直线BC的斜率之积为－错误!，则椭圆的离心率为（)A.错误!B.错误!C.错误!D。
错误!5．(2016·潍坊模拟)设F是椭圆错误!＋y2＝1的右焦点，椭圆上的点与点F的最大距离为M,最小距离是m，则椭圆上与点F的距离等于错误!（M＋m）的点的坐标是（)A．(0，±2) B．（0,±1)C。
错误!D。
错误!6．(2016·济南模拟)在椭圆错误!＋错误!＝1内,过点M(1,1）且被该点平分的弦所在的直线方程为( )A．9x－16y＋7＝0 B．16x＋9y－25＝0C．9x＋16y－25＝0 D．16x－9y－7＝07．设F1，F2分别是椭圆错误!＋错误!＝1(a〉b>0)的左，右焦点,离心率为错误!，M是椭圆上一点且MF2与x轴垂直，则直线MF1的斜率为（）A．±错误!B．±错误!C．±错误!D．±错误!8．(2016·北京海淀区期末）若椭圆C1：错误!＋错误!＝1（a1>b1〉0)和椭圆C2：错误!＋错误!＝1(a2>b2〉0)的焦点相同且a1〉a2。
解析几何椭圆练习题
椭圆1.已知点P 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上一点，点F 1､F 2是椭圆C 的左右焦点，若△PF 1F 2的内切圆半径的最大值为a -c ，则椭圆C 的离心率为()A.23B.22C.32D.33【解析】B2.已知点P (x ,y )(x ≠0，y ≠0)是椭圆x 216+y 28=1上的一个动点，F 1，F 2分别为椭圆的左，右焦点，O 是坐标原点，若M 是∠F 1PF 2的平分线上的一点(不与点P 重合)，且F 1M ⋅PM=0，则|OM |的取值范围为()A.[0，3) B.(0，22) C.[22，3) D.[0，4]【解析】B3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上存在点P ，使得PF 1 =3PF 2 ，其中F 1､F 2分别为椭圆的左､右焦点，则该椭圆的离心率取值范围是()A.14,1 B.14,1C.12,1D.12,1【解析】D4.已知椭圆C 的焦点为F 1-1,0 ，F 21,0 ，过F 2的直线交于C 与A ，B ，若AF 2 =2F 2B ，AB =BF 1 ，则C 的方程为()A.x 22+y 2=1B.x 23+y 22=1C.x 24+y 23=1D.x 29+y 28=1【解析】B5.已知A 1,1 ，F 1是椭圆5x 2+9y 2=45的左焦点，点P 是椭圆上的动点，求PA +PF 1 的最大值和最小值分别为()A.6+2；6-2B.4+2；4-2C.6+22；6-22D.4+22；4-22【解析】A6.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2做倾斜角为π6的直线与椭圆相交与A ，B 两点，若AF 2=2F 2B，则椭圆C 的离心率e 为()A.239B.13C.34D.45【解析】A7.已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点，A ,B 分别为椭圆C 的左、右顶点，P 为椭圆C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则椭圆C 的离心率为()A.13B.12C.23D.34【解析】A8.设F 1，F 2是椭圆x 216+y 24=1的左，右焦点，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，则AF 2 +BF 2 的最大值为()A.14 B.13C.12D.10【解析】A9.已知F 是椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点，经过原点的直线l 与椭圆E 交于P ,Q两点，若PF =2QF ，且∠PFQ =120°，则椭圆E 的离心率为()A.33B.12C.13D.22【解析】A10.已知椭圆x 216+y 27=1的右焦点为F ,A 是椭圆上一点，点M 0,4 ，则△AMF 的周长最大值为()A.14B.16C.18D.20【解析】C11.已知F 是椭圆x 225+y 29=1的一个焦点，AB 为过椭圆中心的一条弦，则△ABF 面积的最大值为()A.6B.15C.20D.12【解析】D12.已知F 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的一个焦点，若直线y =kx 与椭圆相交于A ，B 两点，且∠AFB =120°，则椭圆离心率的取值范围是()A.32,1B.0,32 C.12,1D.0,12【解析】C13.已知椭圆C :x 29+y 24=1，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ,B ，线段MN 的中点在椭圆C 上，则AN +BN 的值为()A.6B.12C.18D.24【解析】B14.椭圆x 212+y 23=1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么PF 1 ∶PF 2 的值为()A.7B.5C.92D.83【解析】A15.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F2为C的左右焦点，P(m,n)(m>0,n>0)为C上一点，且△PF1F2的内心I(s,1)，若△PF1F2的面积为2b，则n的值为()A.35B.43C.83D.3【解析】C16.如图F1,F2是椭圆C1:x24+y2=1与双曲线C2的公共焦点A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()A.2B.3C.32D.62【解析】D17.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0)，F2(c,0)，点P在椭圆上，且∠PF1F2=30°，∠PF2F1=60°，则椭圆的离心率e等于()A.2-1B.3-1C.3-2D.5-3【解析】B18.已知椭圆x2+my2=1(m>0)的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m=()A.2B.2C.14D.4【解析】C19.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过焦点F1的倾斜角为30∘直线交椭圆于A，B两点，弦长AB=8，若三角形ABF2的内切圆的面积为π，则椭圆的离心率为()A.22B.36C.12D.33【解析】C20.过点(-3，2)且与x29+y24=1有相同焦点的椭圆方程是()A.x215+y210=1 B.x210+y215=1 C.x29+y225=1 D.x210+y25=1【解析】A21.已知方程x 225-m +y 2m +9=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是()A.m >-9B.m <25C.-9<m <25D.8<m <25【解析】D22.椭圆x 29+y 24=1的焦点为F 1、F 2，点P 为椭圆上一动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是()A.-55,55 B.-∞,-55 ∪55,+∞ C.-355,355 D.-∞,-355 ∪355,+∞ 【解析】C23.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的长轴长为4，若点P 是椭圆C 上任意一点，过原点的直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，记直线PM 、PN 的斜率分别为K PM ,K PN ，当K PM ⋅K PN =-14时，则椭圆方程为()A.x 216+y 24=1B.x 24+y 22=1C.x 2+y 24=1D.x 24+y 2=1【解析】D24.已知椭圆C ：x 2+y 2b2=1(b >0，且b ≠1)与直线l ：y =x +m 交于M ，N 两点，B 为上顶点．若BM =BN ，则椭圆C 的离心率的取值范围是()A.0,22B.22,1 C.63,1D.0,63【解析】C25.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的两个焦点分别为F 1，F 2，设P 为椭圆上一点，角F 1PF 2的外角平分线所在直线为l ，过点F 1，F 2分别做l 的垂线，垂足分别为R ，S ，当点P 在椭圆上运动时，点R ，S 的轨迹所围成的图形的面积为：()A.a 2B.4a 2C.πa 2D.4πa 2【解析】C26.已知F 1，F 2分别是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点，点P ，Q 是C 上位于x 轴上方的任意两点，且PF 1⎳QF 2．若PF 1 +QF 2 ≥b ，则C 的离心率的取值范围是()A.0,12B.12,1C.0,32D.32,1 【解析】C27.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左右焦点分别为F 1、F 2，长轴长为4，点P 2,1 在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是()A.离心率的取值范围为0,12B.当离心率为24时，QF 1 的最大值为2+22C.存在点Q 使得QF 1⋅QF 2=0D.1QF 1 +1QF 2 的最小值为1【解析】BD28.如图所示，一个底面半径为4的圆柱被与其底面所成的角θ=60°的平面所截，截面是一个椭圆，则下列正确的是()A.椭圆的长轴长为8B.椭圆的离心率为32C.椭圆的离心率为12 D.椭圆的一个方程可能为x 264+y 216=1【解析】BD29.(多选)已知F 1，F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点，P 是椭圆C 上一点，则()A.当a =2b 时，满足∠F 1PF 2=90°的点P 有2个B.当a >2b 时，满足∠F 1PF 2=90°的点P 有4个C.△PF 1F 2的周长小于4aD.△PF 1F 2的面积大于等于a 22【解析】ABC30.设P 为椭圆x 217+y 213=1上一动点，F 1,F 2分别为左右焦点，延长F 1P 至点Q ，使得|PQ |=PF 2 ，则动点Q 的轨迹方程为．【解析】(x +2)2+y 2=6831.已知A ，B 为椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右顶点，点P 在E 上，且k PA ⋅k PB =-19，则椭圆E 的离心率为．【解析】22332.椭圆C ：x 218+y 2b2=1的上､下顶点分别为A ，C ，如图，点B 在椭圆上，平面四边形ABCD满足∠BAD =∠BCD =90°，且S △ABC =2S △ADC ，则该椭圆的短轴长为.【解析】633.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1(-c，0)，F2(c，0)，斜率为-12的直线l与椭圆C交于A，B两点．若△ABF1的重心为Gc6,c3，则椭圆C的离心率为．【解析】6 3。
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05限时规范特训
A 级 基础达标
1．已知椭圆C ：x 24＋y 2
b ＝1(b >0)，直线l ：y ＝mx ＋1，若对任意的m ∈R ，直线l 与椭圆C 恒有公共点，则实数b 的取值范围是( )
A ．[1,4)
B ．[1，＋∞)
C ．[1,4)∪(4，＋∞)
D ．(4，＋∞)
解析：直线恒过定点(0,1)，只要该点在椭圆内部或椭圆上即可，故只要b ≥1且b ≠4.
答案：C
2．[2014·韶关调研]椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为( )
B.12 D ．4
＋y
21m
＝1，
∴
1m ＝2，∴m ＝14.故应选A.
答案：A
3．椭圆x 24＋y 2
＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|＝( )
A.72
B.32
C. 3
D ．4
解析：a 2＝4，b 2＝1，所以a ＝2，b ＝1，c ＝3，不妨设F 1为左焦点，P 在x 轴上方，则F 1(－3，0)，设P (－3，m )(m >0)，则(－3)2
4＋m 2
＝1，解得m ＝12，所以|PF 1＝1
，根据椭圆定义：＝
2a ，所以|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2×2答案：A
4．椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)
1，F 2，D 心率为( )
B.1
3 D.15
0)，
－a ，－b )，DF 2→
＝(c ，－b )． 由3DF 1＝DA ＋2DF 2，得－3c ＝－a ＋2c ，即a ＝5c ，故e ＝15. 答案：D
5．[2014·湖南郴州]设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈(1
2，1)，则实数k 的取值范围是( )
A ．(0,3)
B ．(3，16
3) C ．(0,3)∪(16
3，＋∞)
D ．(0,2)
解析：当k >4时，c ＝k －4，由条件知14<k －4
k <1， 解得k >16
3；
当0<k <4时，c ＝4－k ，
由条件知14<4－k
4<1，解得答案：C
6．[2014·烟台模拟]椭圆x 2a 2＋，b )，且左焦点为F ，△F AB 离心率e 为( )
B.5－12 D.3＋14
|AB |＝a 2＋b 2，|BF |＝|AF |2＝|AB |2＋|BF |2即(a ＋c )2＝a 2＋b 2＋ac －a 2＝0，同除a 2得e 2＋e －1＝0，∴e ＝－1±52，∵e ∈(0,1)，∴e ＝5－12.
答案：B
7．F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2
9＝1的左、右两焦点，P 为椭圆的一个顶点，若△PF 1F 2是等边三角形，则a 2＝________.
解析：∵△PF 1F 2是等边三角形， ∴2c ＝a .
又∵b ＝3，∴a 2＝12. 答案：12
8．[2014·汕尾质检]已知P 为椭圆x 225＋y 2
16＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x 22
小值为________．
解析：1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |答案：7
9．[2014·江西模拟]，12
)作圆x 2＋y 2＝1
________．
(1，1
2)与圆相切的一条直线为x ＝为，连接OP ，则OP ⊥AB ，∵k OP ＝1
2，∴，∴直线AB 的方程为2x ＋y －2＝0，∵点(0，b )在直线AB 上，∴b ＝2，又c ＝1，∴a 2＝5，故椭圆方程是x 25＋y 2
4＝1.
答案：x 25＋y 2
4＝1
10．[2014·大连模拟]设A ，B 分别为椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、
右顶点，(1，3
2)为椭圆上一点，椭圆长半轴长等于焦距．
(1)求椭圆的方程；
(2)设P (4，x )(x ≠0)，若直线AP ，BP 分别与椭圆相交于异于A ，B 的点M ，N ，求证：∠MBN 为钝角．
解：(1)依题意，得a ＝2c ，b 2＝a 2－c 2＝3c 2，
设椭圆方程为x 2
4c 2＋y 23c 2＝1程为x 24＋y 2
3＝1.
(2)证明：由(1)，知A (－2,0)设M (x 0，y 0)，则－2<x 0<2，得x ＝6y 0x 0＋2，BM →＝(x 0－2，y 0)，BP →
为钝角．
E ：y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a >b >0)的上焦点1交椭圆于A ，B 两点，已知A (13，43)(1)求椭圆E 的方程；
(2)设点C 是椭圆E 上到直线PF 1距离最远的点，求C 点的坐标． 解：(1)由A (13，4
3)和P (3,4)可求直线PF 1的方程为y ＝x ＋1. 令x ＝0，得y ＝1，即c ＝1.
椭圆E 的焦点为F 1(0,1)，F 2(0，－1)，由椭圆的定义可知．
2a ＝|AF 1|＋|AF 2| ＝
(13)2＋(4
3－1)2＋
(13)2＋(4
3＋1)2＝2 2.
∴a ＝2，b ＝1，
所以椭圆E 的方程为y 22＋x 2
＝1.
(2)设与直线PF 1平行的直线l ：y ＝x ＋m .
⎩⎨⎧
y 22
＋x 2＝1，y ＝x ＋m ，
消去y 得3x 2Δ＝(2m )2－4×3×(m 2－2)＝即m 2＝3，∴m ＝±3.
要使点C 到直线PF 1所以m ＝－ 3.
1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的PF 2与y 轴的交点M 满足(1)求椭圆C 的方程；
(2)椭圆C 上任一动点N (x 0，y 0)关于直线y ＝2x 的对称点为N 1(x 1，y 1)，求3x 1－4y 1的取值范围．
解：(1)点P (－2，1)在椭圆上， ∴2a 2＋1
b 2＝1.①
又∵PM →＋F 2M →
＝0，M 在y 轴上， ∴M 为PF 2的中点， ∴－2＋c ＝0，c ＝ 2. ∴a 2－b 2＝2，②
联立①②，解得b 2＝2(b 2＝－1舍去)， ∴a 2＝4.
故所求椭圆C 的方程为x 24＋(2)∵点N (x 0，y 0)关于直线∴⎩⎨⎧ y 0－y 1
x 0－x 1
×2＝－1，y 0
＋y 1
2＝2×x 0
＋x 1
2.
＋y 2
2＝1上， 0即3x 1－4y 1的取值范围为[－10,10]． B 级 知能提升
1．[2014·兰州诊断]过点M (－2,0)的直线l 与椭圆x 2＋2y 2＝2交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P .设直线l 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线
OP (O 为坐标原点)的斜率为k 2，则k 1k 2等于( )
A ．－2
B ．2
C ．－12
D.12
解析：设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21＋2y 21＝2，x 2
2＋2y 2
2＝2，两式作差得
x 21－x 22＋2(y 21－y 2
2)＝0，
故k 1＝y 1－y 2x 1－x 2＝－
x 1＋x 2
2(y 1＋y 2)
＝－x 02y 0，又k 2＝y 0x 0
，∴k 1k 2＝－1
2.
答案：C
2．已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF →＝2FD →
，则C 的离心率为________．
解析：设椭圆C 的焦点在x 轴上，如图所示，则B (0，b )，F (c,0)，D (→→
＝(x D －c ，y D )，
c )，
∴(3c 2)a 2＋－b 2)
b 2＝1，即e 2＝13，∴e ＝3
3.
答案：3
3
3．[2014·惠州调研]已知椭圆(1)求椭圆C 的方程；
(2)已知动直线y ＝k (x ＋1)中点的横坐标为－1
2，求斜率MA →·MB →为定值．
a 2＝
b 2＋
c 2
，又c a ＝63，12×b ×2c ＝53，则椭圆方程为x 25＋3y
2
5＝1.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ①将y ＝k (x ＋1)代入x 25＋3y 2
5＝1， 得(1＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－5＝0，
∴Δ＝48k 2
＋20>0，x 1＋x 2＝－6k 2
3k 2＋1
，
∵AB 中点的横坐标为－1
2， ∴－6k 23k 2＋1
＝－1，解得k ＝±33.
②由(1)知x 1＋x 2＝－6k 2
3k 2＋1，x 1x 2＝3k 2－52，
∴MA →·MB →＝(x 1＋73，y 1)·(x 2＝(x 1＋73)(x 2＋7
3)＋y 1y 2
＝(x 1＋73)(x 2＋7
3)＋k 2(x 1＋1)(＝(1＋k 2
)x 1x 2＋(73＋k 2)(x 1＋x －6k 23k 2＋1
)＋499＋k 2
＝4
9(定值)．。