平面向量基本定理(公开课)
平面向量基本定理(教案)
平面向量基本定理(教案)教案章节一：向量的概念回顾1.1 向量的定义向量是有大小和方向的量，通常用箭头表示。
向量可以用坐标形式表示，例如在二维空间中，向量可以表示为(a, b)。
1.2 向量的加法向量的加法是指在同一平面内，将两个向量首尾相接，形成的第三个向量。
向量的加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。
教案章节二：平面向量的基本定理2.1 定理的定义平面向量的基本定理是指在平面内，任何两个不共线的向量可以作为平面的基底。
基底是线性无关的向量组，可以通过线性组合表示平面内的任意向量。
2.2 基底的性质基底是线性无关的，即不存在非零的线性组合使得向量组的和为零。
基底可以任意选择，但选择不同的基底会导致向量的坐标不同。
教案章节三：向量的线性组合3.1 线性组合的定义向量的线性组合是指将向量与实数相乘后相加的结果。
例如，a u + b v 表示将向量u 乘以实数a，向量v 乘以实数b，将两个结果相加。
3.2 线性组合的性质线性组合满足分配律，即(a u + b v) + c w = a (u + c w) + b v。
线性组合的系数可以是任意实数，包括正数、负数和零。
教案章节四：向量的坐标表示4.1 坐标系的建立坐标系是由两个或多个轴组成的，用于表示向量的位置和方向。
在二维空间中，通常使用x 轴和y 轴作为坐标轴。
4.2 向量的坐标表示向量可以用坐标形式表示，即(x, y)，其中x 表示向量在x 轴上的投影，y 表示向量在y 轴上的投影。
向量的长度可以用勾股定理计算，即|u| = √(x^2 + y^2)。
教案章节五：向量的线性相关性5.1 线性相关的定义向量组线性相关是指存在一组不全为零的实数，使得向量组的和为零。
例如，向量组(u, v, w) 线性相关，当存在不全为零的实数a, b, c，使得a u +b v +c w = 0。
5.2 线性相关性的性质如果向量组线性相关，其中任意一个向量都可以表示为其他向量的线性组合。
平面向量基本定理教案(精选10篇)
平面向量基本定理教案(精选10篇)(实用版)编制人：______审核人：______审批人：______编制单位：______编制时间：__年__月__日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高中数学第二章平面向量第18课时平面向量基本定理B版公开课课件省市一等奖完整版
向量等式O→P＝(1－t)O→A＋tO→B叫做直线 l 的向量参数方程
式，其中实数 t 叫做参变数，简称参数．当 t＝12时，O→P＝12(O→A＋ O→B)，此时 P 点为线段 AB 的中点，这是线段 AB 中点的向量表 达式．
讲重点 正确认识直线的向量参数方程式 (1)直线的向量参数方程式与 P，A，B 三点共线的条件是完 全一致的．因为直线的向量参数方程式中O→A，O→B的系数之和为 1，所以我们可以把它看作判断三点共线的一个依据，即当同一 起点发出的三个向量，其中之一用另外两个的数乘向量的和表示 时，若系数之和为 1，则三个向量的终点在一条直线上．即：点 P，A，B 三点共线⇔存在 λ，μ∈R，使O→P＝λO→A＋μO→B(λ＋μ＝ 1)． (2)线段中点的向量表达式其实是直线的向量参数方程式在 参数取12时的特殊形式.
解析： (2)
选项 正误
原因
A√
由平面向量基本定理可得
B × 不能是空间内任一向量 a，而应是平面 α 内任一向量
C× D×
λ1e1＋λ2e2 一定在平面 α 内 这样的 λ1，λ2 是唯一的
类型二 用基底表示向量 【例 2】 已知△ABC 中，D 为 BC 的 中点，E，F 为 BC 的三等分点，若A→B＝a， A→C＝b，用 a，b 表示A→D，A→E，A→F.
解析：由题意，得A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋12B→C＝A→B＋ 12(A→C－A→B)＝a＋12(b－a)＝12a＋12b； A→E＝A→B＋B→E＝a＋13(b－a)＝23a＋13b； A→F＝A→B＋B→F＝a＋23(b－a)＝13a＋23b.
点评： 用基底表示向量主要有以下两种类型： (1)直接利用基底，结合向量的线性运算，灵活应用三角形 法则与平行四边形法则求解； (2)若直接利用基底表示比较困难，则依据“正难则反”的 原则，采用方程思想求解.
平面向量基本定理(优秀经典公开课课件)
所以34s＝1－23t，s＝3t ，
解得ts＝＝13590，，
所以O→P＝130a＋35b.
[母题变式] 若本例中“点 M 是 AB 上靠近 B 的一个三等分点”改为“点 M 是 AB 上靠近 A 的一个三等分点”，“点 N 是 OA 上靠近 A 的一个四分点”改为“N 为 OA 的 中点”，求 BP∶PN 的值．
[答案] AC
[规律方法] 对基底的理解
(1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则 不能作基底，反之，则可作基底．
(2)一个平面的基底若确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一 线性表示出来，设向量 a 与 b 是平面内两个不共线的向量，若 x1a＋y1b＝x2a＋y2b， 则xy11＝ ＝xy22， .
答案 ACD
题型二 用基底表示向量 [例 2] 如图所示，已知在▱ABCD 中，E，F 分别是 BC，DC 边的中点．若A→B ＝a，A→D＝b，试用{a，b}为基底表示向量D→E，B→F.
[解析] D→E＝D→A＋A→B＋B→E ＝－A→D＋A→B＋12B→C ＝－A→D＋A→B＋12A→D＝a－21b. B→F＝B→A＋A→D＋D→F ＝－A→B＋A→D＋12A→B＝b－21a.
解析 易得A→N＝31A→C＝13b，A→M＝12A→B＝12a， 由 N，E，B 三点共线可知，存在实数 m 使A→E＝mA→N＋(1－m)A→B＝31mb＋(1 －m)a. 由 C，E，M 三点共线可知，存在实数 n 使A→E＝nA→M＋(1－n)A→C＝12na＋(1－ n)b.
所以13mb＋(1－m)a＝21na＋(1－n)b， 由于{a，b}为基底，
结论
λ1＝λ2， μ1＝μ2
2．任意一向量基底表示的唯一性的应用 平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不 共线向量 e1，e2 的线性组合 λ1e1＋λ2e2.在具体求 λ1，λ2 时有两种方法： (1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理． (2)利用待定系数法，即利用定理中 λ1，λ2 的唯一性列方程组求解．
平面向量基本定理 课件
命题方向2 用基底表示向量
已知O→A＝a，O→B＝b，C为线段AO上距A较近的一 个三等分点，D为线段CB上距C较近的一个三等分点，则用a、 b表示O→D的表达式为( )
A.19(4a＋3b) C.13(2a＋b)
B.116(9a＋7b) D.14(3a＋b)
[解析] ∵O→D＝O→C＋C→D＝O→C＋13C→B ＝O→C＋13(O→B－O→C)＝23O→C＋13O→B ＝49O→A＋13O→B＝19(4a＋3b)，∴选A.
∵a、b不共线，∴131211－－mn＝＝mn
⇒n＝15，
∴O→P＝15a＋25b.
在△OAB中，O→C＝14O→A，O→D＝12O→B，AD与BC交于点M，
设O→A＝a，O→B＝b，试以a、b为基底表示O→M.
[分析]
先用平面向量基本定理设出
→ OM
＝ma＋nb，分别
表示出A→M、A→D、C→M、C→B后，再利用共线向量的条件列出方
则A→B＝B→D， ∴∠DBC为向量A→B与B→C的夹角． ∵∠DBC＝120°， ∴向量A→B与B→C的夹角为120°. (2)∵E为BC的中点，∴AE⊥BC， ∴A→E与E→C的夹角为90°.
探索延拓创新
命题方向4 综合分析与解决问题的能力
如图，在△OAB中，O→A＝a，O→B＝b，M、N分别
∴e1＋e2 与 e1 不共线，即 e1 与 e1＋e2 可作为一组基底；
②设 e1－2e2＝λ(e2－2e1)，则(1＋2λ)e1－(2＋λ)e2＝0，则
1＋2λ＝0， 2＋λ＝0，
无解，
∴e1－2e2 与 e2－2e1 不共线，即 e1－2e2 与 e2－2e1 可作为
一组基底；
③∵e1－2e2＝－12(4e2－2e1)，∴e1－2e2 与 4e2－2e1 共线， 即 e1－2e2 与 4e2－2e1 不可作为一组基底；
平面向量基本定理-完整版课件
中不能作为基底的是
()
A．{e1，e2}
B．{e1＋e2,3e1＋3e2}
C．{e1,5e2}
D．{e1，e1＋e2}
[名师点津]
1．平面向量基本定理包括两个方面的内容：一是存在性，即 存在实数λ1，λ2，使a ＝λ1e1＋λ2e2；二是唯一性，即对任意 向量a ，存在唯一实数对λ1，λ2，使a ＝λ1e1＋λ2e2.
[问题探究] 1.如图所示，OM∥AB，点P在由射线
OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影 区域内(不含边界)运动，且―O→P ＝－12―O→A ＋m―O→B ，求实数m的取值范围．
[迁移应用] 如图所示，在边长为 2 的正六边形 ABCDEF 中，动圆 Q 的半径为 1，圆心在线段 CD(含 端点)上运动，P 是圆 Q 上及其内部的动点， 设向量―A→P ＝m―A→B ＋n―A→F (m，n∈R )，则
提示：都能． 2．基底是否是固定不变的？
提示：不是．
[做一做]
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底．( )
(2)基底中的向量可以是零向量．
()
(3)平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线
性分解形式也是唯一确定的．
()
2．设e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，则以下各组向量
对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否 共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底； (2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都 可以由这组基底唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个
不共线的向量，若x1a ＋y1b ＝x2a ＋y2b ，则x1＝x2且y1＝y2. [提醒] 一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同
平面向量基本定理(公开课)
F1 G
F2
正交分解
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基 底时，会为我们研究问题带来方便。
我们知道，在平面直角坐标系，每 一个点都可用一对有序实数（即它的 坐标）表示，对直角坐标平面内的每 一个向量，如何表示？
y yj j O i xi x a
分别取与x轴、y轴方向相同的两 个单位向量i、j作为基底. 任作一个向量a,由平面向量基本 定理知,有且只有一对实数x、 y, 使得 a= x i+y j 把(x,y)叫做向量a的坐标，记作 a = ( x, y ) 其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫 做a在y轴上的坐标
否作出向量2e1 3e2 ?
d 2e1 3e 2
向 量 的 合 成
e2
e1
d
如：已知 e1 , e2 , 是同一平面内的两个
不共线向量，a 是这一平面内的任一向量． ♦ 探究： a 与 e1 , e2 , 的关系
e1
想 一 想 ？
a
e2
学生活动：
OC OM ON 1OA 2 OB
新课引入
F1 G F2
G = F G与F F ? 1+F2 1, 2有什么关系 G=F1+F2叫做重力G的分解
类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的 任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量 λ1a1和λ2 a2,使a=λ1a1 + λ2 a2
若两个不共线向量互相垂直时
λ2 a 2
a
把一个向量分解为两个互相垂 直的向量 ,叫做把向量正交分解
A、 7,1
的坐标为 A、(m-i,n-j)
C、(m+i,n+j)
B、 -1 C、 -1 -7， -7,1 D、 7，
【最新】课件-平面向量基本定理公开课PPT
例2：如图，已知OA OC，BOC 45，| OA | 2，
| OB | 1，| OC | 3,且OC OA OB，求 .
本课总结：
(1)我们把不共线向量e1，e2 叫做表示 这一平面内所有向量的一组基底.
(2)基底不唯一，关键是不共线
(3)由定理可将任一向量a在给出基底
e1、e2的条件下进行分解；
问题三：上述定理中，基底e1 , e2是不是唯一的呢？
问题四：上述定理中，“平面内”三个字是否可以 去掉？
例1：已知e1 , e2是平面内一组基底，则下列两个向量不能 构成 e2 C.e1 2e2与4e2 2e1
B.e1与e1 e2 D.e1 e2与e1 2e2
(4)基底给定时, 分解形式惟一, 1、2
是被a、e1、e2惟一确定的数量.
练习：已知平行四边形ABCD中，BM = 1 BC，DN = 1 DC，
3
2
AB=a, AN =b,若AM =a+b，求 +的值
变式1：上式中若AC AM AN，求，的值.
变式2：若P,Q分别是AM , AN的中点，若
e1 e2
思考1：__ e1 __ e2是否都能画出？
思考2：若平面内给定一个向量a，是否可以利用e1，e2画出？
思考：观察如图三个不共线向量e1 、a 、e2, 通过作图
研究a与e1，e2之间的关系
(1)
a
e1
(2)
a
e2
平面向量基本定理
如果 e1, e2是同一平面内两个不 共线的向量，那么对这一平面内任 意一个向量 a,有且只有一对实数
PQ a b,求 +的值
1,2 ,使 a 1e1 2 e2 .
其中e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量 的一组基底
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则
（3） 设 e e2 , 1
1
a且
是平面内的一组基底，当 e e 0 1 1 2 2
2
=b
恒有1 2 0,
2016年9月25日星期日
思考1 平面内用来表示一个向量的基底有 多少组? （有无数组）
例 ｅ， ｅ 例3. 2 设 １ 2是平面内的一组基底，如果 AB = 3 ｅ ｅ ｅ ｅ ｅ ｅ １- 2 １+ １- 9 2 ,BC = 4 2 ,CD = 8 2,
B A C
D
求证：A,B,D三点共线。
证明： AD AB BC CD
1 2
(3).同一向量在选择不同基底时，
1, 2 可能相同也可能不同
（1）一个平面内，可作为基底的向量有 无数
对。
(1)(3)
e1， e2 , 求作向量 2.5e1 3e2 例1 已知向量
e1
e2
C A B
2.5e1
则OC=
3e 2
o
2.5e1 3e2
(3e1 2e2 ) (4e1 e2 ) (8e1 9e2 ) 15e1 10e2 5(3e1 2e2 ) 5 AB
AD与AB共线 .
又AD与AB有公共的起点 A，所以A, B, D三点共线 .
知识点二、向量的夹角与垂直 : 两个非零向量 a 和 b ,作 OA a ，
90 记作 a b a 与 b 垂直，
B b a O A
例2.在等边三角形中，求 (1)AB与AC的夹角； (2)AB与BC的夹角。 C
C
'
120
A
0
60
B
B
D
本节小结
谢谢大家
２.平面向量基本定理的几点说明
使a 1e1 2 e2 若 a 与 e1 (e2 ) 共线，则 2 0(1 0), 使a 1e1 2 e2 (2)定理的代数表达形式：若 e1e2 ,不共线， 1e1 2e 2 ae1 be 2
B
b
叫做向量 a 和 b
特别的：
AOB OB b ,则
a
A
O A a 注意:两向量必须 的夹角． 是同起点的
a
O A
O b B
a 与 b 同向
பைடு நூலகம்
0
B b
夹角的范围：00 ,1800
a 与 b 反向
180
即
e1
a 1 e1 2 e2
M
e1
A
a
C
e2
向 量 的 分 解
O
N
e2
B
e1
a
e2
a
若 a 0, 取 1 2 0, 使 0 e e 1 1 2 2
若
a
与 e1 使
(e2 )
共线，则 2 0 (1 0),
a 1 e1 2 e2
B
M
B
M
a
e1
a
A
x
O
O
e2
y
A
思考2、若基底选取不同, 则表示同一向量 的实数1, 2是否相同?
B M B M
2016年9月25日星期日
a
e1
x
A
a
O e2
m O
y n
A
a 3e1 2e2
3 a x 4y 2
a 3m 2n
知识小结：
(1).基底的选择是不唯一的； (2).同一向量在选定基底后， 是唯一存在的 ,
平面向量基本定理
一、课前准备：
复习1: 共线向量定理: （思考：为什么限定
向量a(a 0)与b共线,当且仅当有唯一一个 实数 , 使b a. (若a 0,当b 0时，不唯一；当b 0时，不存在） 复习2 : 给定平面内任意两个向量e1 , e2 , 我们能 向 否作出向量2e1 3e2 ? 量 的 e2 合 d e2 成
a0
？）
e1
e1
d 2e1 3e 2
已知 e1 , e2 , 是同一平面内的两个
不共线向量，a 是这一平面内的任一向量． ♦ 探究： a 与 e1 , e2 , 的关系
e1
想 一 想 ？
a
e2
2016年9月25日星期日
OC OM ON 1OA 2 OB
知识点一、平面向量基本定理 :
（１）平面向量基本定理
唯 如果 e1 , e2 , 是同一平面内两个不共线向量， 存 那么对于这一平面的任意向量 a, 在 一 存在 一对实数， 有且只有 1 , 2 ,
使 (2)
a 1 e1 2 e2
性 性
基底：把不共线的向量 e1 , e2 叫做这一平面内 思考： 上述表达式中的 1, 2 是否唯一？ 所有向量的一组基底．