广东省惠州一中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷

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2014-2015学年上学期高一期中测试数学试题(含答案)

2014-2015学年上学期高一期中测试数学试题（含答案）第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（） A ．3y x = B ． 1y x =+ C ．21y x =-+ D ． 2x y -= 2．在同一坐标系中，表示函数log a y x =与y x a =+的图象正确的是（）A B C D 3．若1log 12a<，则a 的取值范围是( ) A ．1(0,)(1,)2+∞ B ．1(,1)2 C ．(1,)+∞ D ．1(,1)(1,)2+∞4．已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时， ()22x f x x m =++ (m 为常数)，则(1)f -的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 5．设全集U =R ，{}|0P x f x x ==∈R （），，{}|0Q x g x x ==∈R （），，{}|0S x x x ϕ==∈R （），，则方程220f x x x ϕ=（）+g （）（）的解集为（）A ． P Q SB ．P QC ．P Q S （）D ． P Q S u （C ）5．设9.0log 5.0=a ，9.0log 1.1=b ，9.01.1=c ，则c b a , ,的大小关系为（） A ．c b a << B ．c a b << C ．a c b << D ．b c a << 6．设}3 2, ,21,31 ,1{-∈α，若函数αx y =是定义域为R 的奇函数，则α的值为（） A ．3 ,31 B ．3 ,31 ,1- C ．3 ,1- D ．31 ,1-7．已知函数)(x f 是奇函数，当0>x 时，)1 ,0( )(≠>=a a a x f x ，且3)4(log 5.0-=f ，则a 的值为（）A ．3B ．3C ．9D ．23 8．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=-)1( )23(log )1( 2)(2x x x x f x ，若4)(=a f ，则实数=a （）A ．2-或6B ．2-或310 C ．2-或2 D ．2或310 9．方程021231=⎪⎭⎫⎝⎛--x x 的解所在的区间为（） A ．) 1 ,0 ( B ．) 2 ,1 ( C ．) 3 ,2 ( D ．) 4 ,3 (10．已知函数bx ax y +=2和xbay =|)| || ,0(b a ab ≠≠在同一直角坐标系中的图象不可能．．．是（）11．已知函数)3(log 221a ax x y +-=在区间) ,2[∞+上是减函数，则a 的取值范围是（）A ．)4 ,(-∞B ．]4 ,4[-C ．]4 ,4(-D ．]4 ,(-∞12．若在直角坐标平面内B A ,两点满足条件：①点B A ,都在函数)(x f y =的图象上；②点B A ,关于原点对称，则称B A ,为函数)(x f y =的一个“黄金点对”．那么函数=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧>≤-+)0( 1)0( 222x x x x x 的“黄金点对”的个数是（） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，共20分.13．已知集合}06|{2=--=x x x M ，}01|{=+=ax x N ，且M N ⊆，则由a 的取值组成的集合是．14．若x x f =)(log 5，则=-)9log 2(log 255f ．15．已知定义在R 上的偶函数)(x f 满足0)1(=-f ，并且)(x f 在)0 ,(-∞上为增函数．若0)( <a f a ，则实数a 的取值范围是．16．已知函数()x f 的定义域是}0|{≠∈=x R x D ，对任意D x x ∈21 ,都有：=⋅)(21x x f)()(21x f x f +，且当1>x 时，()0>x f ．给出结论：①()x f 是偶函数；②()x f 在()∞+ ,0上是减函数．则正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。

2014-2015学年广东省惠州市惠阳高级中学高一上学期期中数学试卷和解析

2014-2015学年广东省惠州市惠阳高级中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2，4}，B={2，3}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{2}B．{3}C．{1，4}D．{1，2，3，4}2．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．[0，1） B．[0，+∞）C．[0，1）∪（1，+∞）D．（0，1）∪（1，+∞）3．（5分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A．B．y=x3 C．y=e x D．y=lnx4．（5分）若函数y=f（x）是函数y=2x的反函数，则f（2）的值是（）A．4 B．2 C．1 D．05．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣bx﹣3，若f（﹣1）=7，则f（1）=（）A．﹣7 B．7 C．﹣13 D．136．（5分）已知函数f（x）=2x+（2﹣x），则（）A．f（x）与g（x）与均为奇函数B．f（x）为奇函数，g（x）为偶函数C．f（x）与g（x）与均为偶函数D．f（x）为偶函数，g（x）为奇函数7．（5分）函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A．B．C．D．8．（5分）若二次函数y=x2﹣2x+1在区间（﹣∞，a]上为减函数，则a的取值范围是（）A．a＞1 B．a≥1 C．a＜1 D．a≤19．（5分）已知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）+g（x）=，则f（3）=（）A．1 B．C．D．10．（5分）已知非空集合M和N，规定M﹣N={x|x∈M且x∉N}，那么M﹣（M ﹣N）等于（）A．M∪N B．M∩N C．M D．N二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）计算=．12．（5分）已知幂函数f（x）过点，则=．13．（5分）已知函数f（x）=，若f（1）=f（﹣1），则实数a的值等于．14．（5分）函数f（x）=x|x﹣2|的单调减区间为．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（12分）已知集合A={x|2x﹣3≥x﹣2}，不等式log2（x+1）≤2的解集为集合B．（1）求集合A，B；（2）求集合A∩B，（∁R A）∪B．16．（12分）已知函数f（x）=ax﹣，且f（﹣2）=﹣．（1）求f（x）的解析式；（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性并加以证明；（3）求函数f（x）在上的最大值和最小值．17．（14分）已知函数f（x）=x2﹣2ax+a﹣1．（1）若函数f（x）在区间[﹣1，1]上具有单调性，求a的取值范围；（2）若函数f（x）在区间[﹣1，1]上的最小值为﹣3，求a的值．18．（14分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x+m．（1）求m及f（﹣3）的值；（2）求f（x）的解析式并画出简图；（3）写出f（x）的单调区间（不用证明）．19．（14分）已知函数y=a x（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为6，记f（x）=．（1）求a的值；（2）判断函数f（x）的奇偶性；（3）求不等式f（x）＞的解集．20．（14分）已知函数f（x）=ax2﹣2x﹣1，（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）解关于x的方程f（x）=0；（3）当a≥1时，f（x）在[2，4]上的最小值为3，求f（x）在[2，4]上的最大值．2014-2015学年广东省惠州市惠阳高级中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2，4}，B={2，3}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{2}B．{3}C．{1，4}D．{1，2，3，4}【解答】解：由Venn图可知，阴影部分的元素为属于A且不属于B的元素构成，所以用集合表示为A∩B，∵全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2，4}，B={2，3}，∴A∩B={2}，故选：A．2．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．[0，1） B．[0，+∞）C．[0，1）∪（1，+∞）D．（0，1）∪（1，+∞）【解答】解：∵函数f（x）=，∴，解得x＞0且x≠1；∴函数f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞）．故选：D．3．（5分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A．B．y=x3 C．y=e x D．y=lnx【解答】解：反比例函数y=在定义域内没有单调性；根据奇函数和单调性的定义知y=x3在其定义域内既是奇函数又是增函数；y=e x在定义域内没奇偶性；对数函数y=lnx在定义域内没有奇偶性；∴B正确．故选：B．4．（5分）若函数y=f（x）是函数y=2x的反函数，则f（2）的值是（）A．4 B．2 C．1 D．0【解答】解：根据函数与反函数的关系，令2x=2，可得x=1，故f（2）=1，故选：C．5．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣bx﹣3，若f（﹣1）=7，则f（1）=（）A．﹣7 B．7 C．﹣13 D．13【解答】解：∵f（x）=ax3﹣bx﹣3∴令g（x）=f（x）+3=ax3﹣bx则由于定义域为R关于原点对称且g（﹣x）=﹣（ax3+bx）=﹣g（x）∴g（x）为奇函数∴g（﹣1）=﹣g（1）∴f（1）+3=﹣（f（﹣1）+3）∵f（﹣1）=7∴f（1）=﹣13．故选：C．6．（5分）已知函数f（x）=2x+（2﹣x），则（）A．f（x）与g（x）与均为奇函数B．f（x）为奇函数，g（x）为偶函数C．f（x）与g（x）与均为偶函数D．f（x）为偶函数，g（x）为奇函数【解答】解：函数f（x）的定义域为R，关于原点对称．f（﹣x）=2﹣x+=+2x=f（x），则f（x）为偶函数；g（x）=log2（2+x）﹣log2（2﹣x），由2+x＞0，2﹣x＞0，解得﹣2＜x＜2，定义域为（﹣2，2），关于原点对称，g（﹣x）=log2（2﹣x）﹣log2（2+x）=﹣g（x），则g（x）为奇函数．故选：D．7．（5分）函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，∴函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴图象过原点，综上只有A符合．故选：A．8．（5分）若二次函数y=x2﹣2x+1在区间（﹣∞，a]上为减函数，则a的取值范围是（）A．a＞1 B．a≥1 C．a＜1 D．a≤1【解答】解：∵二次函数y=x2﹣2x+1的图象是开口朝上，且以直线x=1为对称轴的抛物线，∴二次函数y=x2﹣2x+1的单调递减区间为（﹣∞，1]，又∵二次函数y=x2﹣2x+1在区间（﹣∞，a]上为减函数，∴（﹣∞，a]⊆（﹣∞，1]，即a≤1，故选：D．9．（5分）已知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）+g（x）=，则f（3）=（）A．1 B．C．D．【解答】解：由已知得，又因为f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，所以f（﹣3）=﹣f（3），g（﹣3）=g （3）．代入方程组解得f（3）=．故选：C．10．（5分）已知非空集合M和N，规定M﹣N={x|x∈M且x∉N}，那么M﹣（M ﹣N）等于（）A．M∪N B．M∩N C．M D．N【解答】解：根据题意得：M﹣（M﹣N）=M∩N，故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）计算=．【解答】解：原式===，故答案为：．12．（5分）已知幂函数f（x）过点，则=．【解答】解：设幂函数f（x）=xα（α∈R），其图象过点，∴3α=；解得α=，∴f（x）=，∴===．故答案为：．13．（5分）已知函数f（x）=，若f（1）=f（﹣1），则实数a 的值等于2．【解答】解：函数f（x）=，若f（1）=f（﹣1），可得：，解得：a=2．故答案为：2．14．（5分）函数f（x）=x|x﹣2|的单调减区间为[1，2] ．【解答】解：当x＞2时，f（x）=x2﹣2x，当x≤2时，f（x）=﹣x2+2x，这样就得到一个分段函数f（x）=．f（x）=x2﹣2x的对称轴为：x=1，开口向上，x＞2时是增函数；f（x）=﹣x2+2x，开口向下，对称轴为x=1，则x＜1时函数是增函数，1＜x＜2时函数是减函数．即有函数的单调减区间是[1，2]．故答案为：[1，2]．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（12分）已知集合A={x|2x﹣3≥x﹣2}，不等式log2（x+1）≤2的解集为集合B．（1）求集合A，B；（2）求集合A∩B，（∁R A）∪B．【解答】（1）由2x﹣3≥x﹣2，得x≥1∴A={x|x≥1}…（3分）由log2（x+1）≤2，得log2（x+1）≤log24∴，解得﹣1＜x≤3∴B={x|﹣1＜x≤3}（2）A∩B={x|1≤x≤3}∵C R A={x|x＜1}∴（C U A）∪B={x|x≤3}16．（12分）已知函数f（x）=ax﹣，且f（﹣2）=﹣．（1）求f（x）的解析式；（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性并加以证明；（3）求函数f（x）在上的最大值和最小值．【解答】解：（1）∵，∴…（1分）得a=1，∴…（3分）（2）f（x）在（0，+∞）上是增函数设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2…（4分）f（x1）﹣f（x2）=x1﹣﹣x2+=…（7分）∵0＜x1＜x2∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0，x1x2+1＞0…（8分）∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．…（9分）（3）由（2）可知f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴f（x）在上是增函数…（10分）∴，…（12分）17．（14分）已知函数f（x）=x2﹣2ax+a﹣1．（1）若函数f（x）在区间[﹣1，1]上具有单调性，求a的取值范围；（2）若函数f（x）在区间[﹣1，1]上的最小值为﹣3，求a的值．【解答】解：（1）函数f（x）=x2﹣2ax+a﹣1的对称轴为x=a∵f（x）在区间[﹣1，1]上具有单调性，∴a≤﹣1或a≥1…（4分）（2）①当a≤﹣1时，f（x）在[﹣1，1]上是增函数，∴f（x）min=f（﹣1）=3a=﹣3，得a=﹣1（符合）…（7分）②当﹣1＜a＜1时，f（x）在[﹣1，a]上是减函数，在（a，1]上是增函数，∴，得a=﹣1或a=2（均不符合，舍去）…（10分）③当a≥1时，f（x）在[﹣1，1]上是减函数，∴f（x）min=f（1）=﹣a=﹣3，得a=3（符合）…（13分）综上：a=﹣1或a=3…（14分）18．（14分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x+m．（1）求m及f（﹣3）的值；（2）求f（x）的解析式并画出简图；（3）写出f（x）的单调区间（不用证明）．【解答】解：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，∴m=0，…（2分）∴当x≥0时，f（x）=x2﹣2x∴f（﹣3）=﹣f（3）=﹣3…（4分）（2）当x＜0时，﹣x＞0∴f（﹣x）=（﹣x）2﹣2（﹣x）=x2+2x…（6分）∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）∴﹣f（x）=x2+2x，即f（x）=﹣x2﹣2x（x＜0）∴f（x）的解析式为…（8分）f（x）的图象如下图：…（10分）（3）由f（x）的图象可知：f（x）的增区间为（﹣∞，﹣1]，[1，+∞），减区间为[﹣1，1]…（14分）19．（14分）已知函数y=a x（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为6，记f（x）=．（1）求a的值；（2）判断函数f（x）的奇偶性；（3）求不等式f（x）＞的解集．【解答】解：（1）∵函数y=a x在[1，2]上的最大值与最小值之和为6，∴a+a2=6…（3分）得a=2，或a=﹣3（舍去）…（4分）（2），定义域为R…（5分）…（8分）∴函数f（x）为奇函数…（9分）（3）∵，∴化简得2x＞16…（11分）解得x＞4…（13分）∴不等式的解集为{x|x＞4}…（14分）20．（14分）已知函数f（x）=ax2﹣2x﹣1，（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）解关于x的方程f（x）=0；（3）当a≥1时，f（x）在[2，4]上的最小值为3，求f（x）在[2，4]上的最大值．【解答】解：（1）当a=0时，函数f（x）=﹣2x﹣1在R上为减函数；…（1分）当a≠0时，f（x）的对称轴为若a＞0时，函数f（x）在上为减函数，在上为增函数…（3分）若a＜0时，函数f（x）在上为增函数，在上为减函数…（5分）（2）方程f（x）=0，即ax2﹣2x﹣1=0当a=0时，方程﹣2x﹣1=0有1个实根，…（6分）当a≠0时，△=4+4a…（7分）①若△＜0，即a＜﹣1时，方程ax2﹣2x﹣1=0没有实根…（8分）②若△=0，即a=﹣1时，方程ax2﹣2x﹣1=0有1个实根x=﹣1…（9分）③若△＞0，即a＞﹣1且a≠0时，方程ax2﹣2x﹣1=0有2个实根…（10分）（3）当a≥1时，函数f（x）=ax2﹣2x﹣1开口向上，对称轴为…（11分）∴f（x）在区间[2，4]上为增函数∴f（x）min=f（2）=4a﹣5=3，得a=2∴f（x）=2x2﹣2x﹣1…（13分）∴f（x）max=f（4）=23…（14分）赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

2014-2015学年上学期高一期中测试数学试题(含答案)

2014-2015学年上学期高一期中测试数学试题（含答案）第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（）A ．3y x =B ． 1y x =+C ．21y x =-+D ． 2x y -=2．在同一坐标系中，表示函数log a y x =与y x a =+的图象正确的是（）A B C D3．若1log 12a<，则a 的取值范围是( ) A ．1(0,)(1,)2+∞ B ．1(,1)2 C ．(1,)+∞ D ．1(,1)(1,)2+∞4．已知函数f(x)为定义在R 上的奇函数，当x≥0时， ()22xf x x m =++ (m 为常数)，则(1)f -的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．35．设全集U =R ，{}|0P x f x x ==∈R （），，{}|0Q x g x x ==∈R （），，{}|0S x x x ϕ==∈R （），，则方程22f x x x ϕ=（）+g （）（）的解集为（）A ． P Q SB ．P QC ．P Q S （）D ． P Q S u （C ）5．设9.0log 5.0=a ，9.0log 1.1=b ，9.01.1=c ，则c b a , ,的大小关系为（）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<6．设}3 2, ,21 ,31 ,1{-∈α，若函数αx y =是定义域为R 的奇函数，则α的值为（）A ．3 ,31B ．3 ,31 ,1- C ．3 ,1- D ．31,1- 7．已知函数)(x f 是奇函数，当0>x 时，)1 ,0( )(≠>=a a a x f x，且3)4(log 5.0-=f ，则a的值为（）A ．3B ．3C ．9D ．238．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=-)1( )23(log )1( 2)(2x x x x f x ，若4)(=a f ，则实数=a （） A ．2-或6 B ．2-或310 C ．2-或2 D ．2或3109．方程21231=⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x 的解所在的区间为（）A ．) 1 ,0 (B ．) 2 ,1 (C ．) 3 ,2 (D ．) 4 ,3 (10．已知函数bx ax y +=2和xb a y =|)| || ,0(b a ab ≠≠在同一直角坐标系中的图象不可能是（）11．已知函数)3(log 221a ax x y +-=在区间) ,2[∞+上是减函数，则a 的取值范围是（）A ．)4 ,(-∞B ．]4 ,4[-C ．]4 ,4(-D ．]4 ,(-∞12．若在直角坐标平面内B A ,两点满足条件：①点B A ,都在函数)(x f y =的图象上；②点B A ,关于原点对称，则称B A ,为函数)(x f y =的一个“黄金点对”．那么函数=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧>≤-+)0( 1)0( 222x x x x x 的“黄金点对”的个数是（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，共20分.13．已知集合}06|{2=--=x x x M ，}01|{=+=ax x N ，且M N ⊆，则由a 的取值组成的集合是．14．若x x f =)(log 5，则=-)9log 2(log 255f ．15．已知定义在R 上的偶函数)(x f 满足0)1(=-f ，并且)(x f 在)0 ,(-∞上为增函数．若0)( <a f a ，则实数a 的取值范围是．16．已知函数()x f 的定义域是}0|{≠∈=x R x D ，对任意D x x ∈21 ,都有：=⋅)(21x x f)()(21x f x f +，且当1>x 时，()0>x f ．给出结论：①()x f 是偶函数；②()x f 在()∞+ ,0上是减函数．则正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。

试题

2014～2015学年度高一年级第一学期期中考试数学试题卷Ⅰ（选择题，共60分）一、选择题（共12小题每题5分）1、1. 已知全集U ={0,1,2,3,4}，集合{1,2,3}M =，{0,3,4}N =，则()U C M N 等于 A.｛0， 4｝ B.｛3，4｝ C.｛1，2｝ D. ∅ 2、设集合{}1->∈=x Q x A ，则（）A ．A ∅∈ BA C．A ∈ D．A3、下列四组函数，表示同一函数的是（）A ．()()f x g x x == B ．()()2,x f x x g x x==C ．()()f x g x ==．()(),f x x g x ==4、已知log 83a =，则a 的值为 A 、12B 、2C 、3D 、4 5、函数2()1(01)x f x a a a -=+>≠且的图像恒过定点 A 、（0,1） B 、（0,2） C 、（2,1） D 、（2,2）6.已知3,(1)()222,(1)x x x f x x -⎧+≤⎪=⎨⎪+>⎩ 那么1[()]2f f 的值是（） A. 54 B. 34 C. 94 D. 14-7．如图所示，I 是全集，M ，P ，S 是I 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（） A ．()M P S ⋂⋂ B ．()M P S ⋂⋃ C ．()I (C )M P S ⋂⋂ D ．()I (C )M P S ⋂⋃8．若函数)(x f 对任意0>a 且1≠a ，都有)()(x af ax f =，则称函数为“穿透”函数，则下列函数中，不是“穿透”函数的是( )A. x x f -=)(B. 1)(+=x x fC. x x f =)(D. x x x f -=)(9.设1212121<⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<ab ，则（）A ． 0a b <<B ． 1b a >>C ．01b a <<<D ．01a b <<< 9. 若函数()f x = 3442++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是（）A ． 3(0,)4B. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡43,0C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,43D. ⎥⎦⎤ ⎝⎛43,010、设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是（）A . )()(x g x f 是偶函数B . )(|)(|x g x f 是奇函数C . |)(|)(x g x f 是奇函数D . |)()(|x g x f 是奇函数10、已知)(),(x g x f 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，3()()1f x g x x x -=++，则(1)(1)f g +=A 、1-B 、3-C 、 1D 、311．已知)(x f 满足)()(x f x f -=-，且当0>x 时，2)(-=x x x f ，则当0<x 时，)(x f 的表达式为（）A ．2)(+=x x x fB ．2)(-=x x x fC ．2)(+-=x x x fD ．2)(--=x x x f 12、已知函数(2)f x +的定义域为[]2,2-，则(1)(1)f x f x -++的定义域为（） A ．[]1,1- B ．[]2,2- C ．[]1,3 D ．[]1,5-卷Ⅱ（非选择题，共90分）13、如图，函数()f x 的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为()0,0,(1,2),(3,1)，则1()(3)f f 的值等于 14、求函数|21|()3x f x -=的单调递增区间14、若集合{}2,12,4a a A --=，{}9,1,5a a B --=,且{}9=B A ，则a 的值是________;15、设25abm ==，且112a b+=则m 等于 16.已知二次函数12)2(24)(22+----=p p x p x x f ，若在区间［–１，１］内至少存在一个实数c ，使)(c f ＞0 ，则实数p 的取值范围是_____________。

2014-2015年广东省惠州一中高一(上)期中数学试卷及参考答案

2014-2015学年广东省惠州一中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．（5分）已知U={1，2，3，4}，A={1，3，4}，B={2，3，4}，那么∁U（A∪B）=（）A．{1，2}B．{1，2，3，4}C．∅D．{φ}2．（5分）下列从集合A到集合B的对应f是映射的是（）A．B．C．D．3．（5分）设α∈，则使函数y=xα为奇函数α值的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．44．（5分）中心城区现有绿化面积为1000hm2，计划每年增长4%，经过x（x∈N*）年，绿化面积为y hm2，则x，y间的函数关系式为（）A．y=1000（1+4%）x（x∈N*）B．y=（1000×4%）x（x∈N*）C．y=1000（1﹣4%）x（x∈N*）D．y=1000（4%）x（x∈N*）5．（5分）下列四组函数中表示相等函数的是（）A．f（x）=与g（x）=xB．f（x）=•与g（x）=C．f（x）=lnx2与g（x）=2lnxD．f（x）=log a a x（a＞0，a≠1）与g（x）=6．（5分）若x0是方程lnx+x=3的解，则x0属于区间（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）7．（5分）设y1=40.9，y2=80.48，y3=，则（）A．y3＞y1＞y2B．y2＞y1＞y3C．y1＞y3＞y2D．y1＞y2＞y38．（5分）设函数f（x）=log a（x+b）（a＞0且a≠1）的图象过点（2，1），其反函数的图象过点（2，8），则a+b等于．（）A．1 B．2 C．3 D．49．（5分）已知f（x）=是R上的增函数，那么a的取值范围是（）A．（1，2） B． C． D．10．（5分）对于函数f（x）中任意的x1、x2（x1≠x2）有如下结论：①f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）；②f（x1+x2）=f（x1）•f（x2）；③f（﹣x1）=；④＜0 （x1≠0）；⑤＞0．当f（x）=2x时，上述结论中正确结论的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）11．（5分）函数f（x）=+的定义域是．12．（5分）当x∈（0，+∞）时，幂函数y=（m2﹣m﹣1）•x﹣5m﹣3为减函数，则实数m的值为．13．（5分）函数y=log（x2﹣5x+6）的单调增区间为．14．（5分）已知函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数．当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=1﹣x﹣x4．则f（x）={ ．15．（5分）函数f（x）=4x+2x+1+2（x≤0）的值域是．16．（5分）直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a有四个交点，则a的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，每项小题14分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（14分）化简或求值：（1）（2）计算．18．（14分）已知全集U={x|x＞0}，集合A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，C={x|5﹣a＜x＜a}．（1）求A∪B，（∁U A）∩B；（2）若C⊆（A∪B），求a的取值范围．19．（14分）已知函数f（x）=﹣（a为常数）（1）是否存在实数a，使函数f（x）是R上的奇函数，若存在求出来，若不存在，也要说明理由．（2）探索函数f（x）的单调性，并利用定义加以证明．（3）当a=0时，求函数f（x）的值域．20．（14分）已知a＞0且a≠1，指数函数y=a x在（﹣∞，+∞）上是增函数；如果函数x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，求实数a的值．21．（14分）已知函数f（x）=x2﹣2ax+3在区间[0，1]上的最大值是g（a），最小值是p（a）．（1）写出g（a）和p（a）的解析式．（2）当函数f（x）的最大值为3、最小值为2时，求实数a的取值范围．2014-2015学年广东省惠州一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．（5分）已知U={1，2，3，4}，A={1，3，4}，B={2，3，4}，那么∁U（A∪B）=（）A．{1，2}B．{1，2，3，4}C．∅D．{φ}【解答】解：∵A={1，3，4}，B={2，3，4}，∴A∪B={1，2，3，4}，∵全集U={1，2，3，4}，∴∁U（A∪B）=∅．故选：C．2．（5分）下列从集合A到集合B的对应f是映射的是（）A．B．C．D．【解答】解：如果一个集合中的任何元素在另一个集合中都有唯一确定的一个元素和它对应，则此对应构成映射．故选项D构成映射，对于选项A：集合B中4在集合A中对应两个数1，2，故此对应不是映射．对于选项B：不能构成映射，因为前边的集合中的元素2，4在后一个集合中没有元素和它对应，故此对应不是映射．对于选项C：集合B中5在集合A中对应两个数1，2，所以C是错误的．故选：D．3．（5分）设α∈，则使函数y=xα为奇函数α值的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：当α=﹣1，1，3时，函数y=xα为奇函数．验证：f（x）=y=x﹣1．定义域为{x|x≠0}关于原点对称，f（﹣x）==﹣=﹣f（x），因此函数f（x）是奇函数．其余同理可得．故选：C．4．（5分）中心城区现有绿化面积为1000hm2，计划每年增长4%，经过x（x∈N*）年，绿化面积为y hm2，则x，y间的函数关系式为（）A．y=1000（1+4%）x（x∈N*）B．y=（1000×4%）x（x∈N*）C．y=1000（1﹣4%）x（x∈N*）D．y=1000（4%）x（x∈N*）【解答】解：∵现有绿化面积1000hm2，且每年增长4%，∴每年的绿化面积构成首项为1000，公比为（1+4%）的等比数列，设为{a n}，a1=1000，∴经过x（x∈N*）年，绿化面积即为y=a x=1000（1+4%）x，+1∴y=1000×（1+4%）x（x∈N*），故选：A．5．（5分）下列四组函数中表示相等函数的是（）A．f（x）=与g（x）=xB．f（x）=•与g（x）=C．f（x）=lnx2与g（x）=2lnxD．f（x）=log a a x（a＞0，a≠1）与g（x）=【解答】解：A．函数f（x）==|x|，对应法则和g（x）不一致，所以A不是相等函数．B．要使函数f（x）有意义，则，解得x≥1，要使函数g（x）有意义，则x2﹣1≥0，解得x≥1或x≤﹣1，即两个函数的定义域不相同，所以B不是相等函数．C．函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，函数g（x）的定义域为{x|x＞0}，两个函数的定义域不相同，所以C不是相等函数．D．函数f（x）=x，g（x）=x，两个函数的定义域和对应法则完全相同，所以D是相等函数．故选：D．6．（5分）若x0是方程lnx+x=3的解，则x0属于区间（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【解答】解：∵方程lnx+x=3，∴设对应函数f（x）=lnx+x﹣3，∵f（2）=ln2+2﹣3=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3+3﹣3=ln3＞0，∴根据根的存在性定理可知在区间（2，3）内函数存在零点，即x0属于区间（2，3）．故选：C．7．（5分）设y1=40.9，y2=80.48，y3=，则（）A．y3＞y1＞y2B．y2＞y1＞y3C．y1＞y3＞y2D．y1＞y2＞y3【解答】解：∵=21.8，=（23）0.48=21.44，=21.5，函数y=2x在R上是增函数，1.8＞1.5＞1.44，∴21.8＞21.5＞21.44，故y1＞y3＞y2，故选：C．8．（5分）设函数f（x）=log a（x+b）（a＞0且a≠1）的图象过点（2，1），其反函数的图象过点（2，8），则a+b等于．（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1）的图象过点（2，1），其反函数的图象过点（2，8），则，∴，解得：a=3或a=﹣2（舍），b=1，∴a+b=4，故选：D．9．（5分）已知f（x）=是R上的增函数，那么a的取值范围是（）A．（1，2） B． C． D．【解答】解：由题意得：，解得≤a＜2，所以a的取值范围是[，2）．故选：B．10．（5分）对于函数f（x）中任意的x1、x2（x1≠x2）有如下结论：①f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）；②f（x1+x2）=f（x1）•f（x2）；③f（﹣x1）=；④＜0 （x1≠0）；⑤＞0．当f（x）=2x时，上述结论中正确结论的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：①∵f（x）=2x，∴f（x1•x2）=≠+=f（x1）+f（x2），故①错误；②f（x1+x2）==•=f（x1）•f（x2），故②正确；③f（﹣x1）===，故③正确；④∵k=y′=2x ln2＞0（k为曲线f（x）=2x上任意两点的连续的斜率），∴=＞0，故④错误；⑤由k=y′=2x ln2＞0得，k=＞0，故⑤正确．综上所述，当f（x）=2x时，上述结论中正确结论的个数是②③⑤，故选：B．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）11．（5分）函数f（x）=+的定义域是[0，1）．【解答】解：要使函数有意义，则，即，则，解得0≤x＜1，故函数的定义域为[0，1）．故答案为：[0，1）．12．（5分）当x∈（0，+∞）时，幂函数y=（m2﹣m﹣1）•x﹣5m﹣3为减函数，则实数m的值为2．【解答】解：利用幂函数的定义得m2﹣m﹣1=1，解得m=2，m=﹣1；则幂函数解析式为y=x﹣13为减函数和y=x2为增函数，所以m=2故答案为213．（5分）函数y=log（x2﹣5x+6）的单调增区间为（﹣∞，2）．【解答】解：令t=x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3），则y=，根据复合函数的同增异减的原则可得，的单调增区间，即函数t=x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3）＞0时的减区间．由x2﹣5x+6＞0可得x＜2 或x＞3．故函数的定义域为（﹣∞，2）∪（3，+∞）．而由函数t的图象可得函数t=x2﹣5x+6＞0时的减区间为（﹣∞，2），t=x2﹣5x+6＞0时的增区间为（3，+∞）．故答案为（﹣∞，2）．14．（5分）已知函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数．当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=1﹣x﹣x4．则f（x）={ ．【解答】解：设x∈（0，+∞），则﹣x∈（﹣∞，0），由x∈（﹣∞，0）时，f （x）=1﹣x﹣x4得f（﹣x）=1﹣（﹣x）﹣（﹣x）4=1+x﹣x4，又f（x）是奇函数，得f（﹣x）=﹣f（x），故f（x）=﹣f（﹣x）=x4﹣x﹣1，且f（0）=0，∴故答案为：f（x）=15．（5分）函数f（x）=4x+2x+1+2（x≤0）的值域是（2，5] ．【解答】解：f（x）=4x+2x+1+2=（2x）2+2•2x+2=（2x+1）2+1，∵x≤0，∴0＜2x≤1，∴1＜（2x+1）2≤4，∴2＜（2x+1）2+1≤5．∴函数f（x）的值域是（2，5]．故答案为：（2，5]．16．（5分）直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a有四个交点，则a的取值范围是（1，）．【解答】解：如图，在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a，观图可知，a的取值必须满足，解得．故答案为：（1，）三、解答题：本大题共5小题，每项小题14分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（14分）化简或求值：（1）（2）计算．【解答】解：（1）原式==．（2）分子=lg5（3+3lg2）+3（lg2）2=3lg5+3lg2（lg5+lg2）=3；分母=（lg6+2）﹣lg6+1=3；∴原式=1．18．（14分）已知全集U={x|x＞0}，集合A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，C={x|5﹣a＜x＜a}．（1）求A∪B，（∁U A）∩B；（2）若C⊆（A∪B），求a的取值范围．【解答】解：（1）∵A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，∴A∪B={x|2＜x＜10}；∵全集U={x|x＞0}，∴∁U A={x|0＜x＜3或x≥7}，则（∁U A）∩B={x|2＜x＜3或7≤x＜10}；（2）由C⊆（A∪B），分两种情况考虑：①若C=∅，则5﹣a≥a，解得：a≤；②若C≠∅，则2≤5﹣a＜a，解得：＜a≤3，综上所述，a≤3．19．（14分）已知函数f（x）=﹣（a为常数）（1）是否存在实数a，使函数f（x）是R上的奇函数，若存在求出来，若不存在，也要说明理由．（2）探索函数f（x）的单调性，并利用定义加以证明．（3）当a=0时，求函数f（x）的值域．【解答】解：（1）∵函数f（x）=﹣（a为常数），∴函数f（x）的定义域为R，∵f（x）是R上的奇函数，∴f（0）=0，即=0，∴，∴a=1，又∵当a=1时，f（x）=﹣=的定义域为R，且对∈R，又f（﹣x）==﹣f（x），∴存在a=1，使函数f（x）R上的奇函数；（2）任取x1，x2∈R，且x1＜x2，∴f（x1）﹣f（x2）=﹣﹣+=﹣=，∵y=2x是R上的增函数，且x1＜x2，∴＞，又+1＞0，+1＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），∴f（x）是R上的减函数；（3）方法一：∵函数f（x）=﹣（a为常数），∴当a=0时，f（x）===﹣1+，得2x=，∵2x＞0，∴＞0，即y（y+1）＜0，∴﹣1＜y＜0，故函数f（x）的值域为（﹣1，0）．方法二：∵函数f（x）=﹣（a为常数），∴当a=0时，f（x）===﹣1+，∵2x＞0，∴2x+1＞1，∴0＜＜1，∴﹣1＜﹣1+＜0，故函数f（x）的值域为（﹣1，0）．20．（14分）已知a＞0且a≠1，指数函数y=a x在（﹣∞，+∞）上是增函数；如果函数x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，求实数a的值．【解答】解：因为y=a x在（﹣∞，+∞）上是增函数，所以a＞1，…（2分）所以在[a，2a]上为减函数，…（4分）从而得即…（6分）所以，…（10分）所以，…（12分）解得a=4．…（14分）21．（14分）已知函数f（x）=x2﹣2ax+3在区间[0，1]上的最大值是g（a），最小值是p（a）．（1）写出g（a）和p（a）的解析式．（2）当函数f（x）的最大值为3、最小值为2时，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=（x﹣a）2+3﹣a2．当时，g（a）=f（x）max=f（1）=4﹣2a；当时，g（a）=f（x）max=f（0）=3；所以当a＜0时，p（a）=f（x）min=f（0）=3；当0≤a＜1时，p（a）=f（x）min=3﹣a2；当a≥1时，p（a）=f（x）min=f（1）=4﹣2a；所以（2）当时，g（a）=f（x）max=f（0）=3，p（a）=f（x）min=3﹣a2=2，解得a=1；当a＞1时，g（a）=f（x）max=f（0）=3，p（a）=f（x）min=4﹣2a=2，解得a=1（舍）．当时，验证知不符合题意．所以a=1就是所求值．。

2014-2015学年广东省惠州市博罗县博师高中高一上学期期中数学试卷和解析

2014-2015学年广东省惠州市博罗县博师高中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分．每小题只有一个选项符合题意）1．（5分）已知全集U={0，1，2，3，4}，M={0，1，2}，N={2，3}，则（∁U M）∩N=（）A．{2}B．{3}C．{2，3，4}D．{0，1，2，3，4}2．（5分）函数y=的定义域是（）A．{x|x≤0}B．{x|x＜0}C．{x|x＜0且x≠﹣1}D．{x|x≠0且x≠﹣1} 3．（5分）下列图形中，不可作为函数y=f（x）图象的是（）A． B．C．D．4．（5分）若A={1，4，x}，B={1，x2}且B⊆A，则x=（）A．2 B．2或﹣2 C．0或2 D．0，2或﹣25．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=x3 B．y=cosx C．y=tanx D．y=ln|x|6．（5分）设a＞1，函数f（x）=a x在区间[1，2]上的最大值是最小值的2倍，则a=（）A．2 B．3 C．2 D．47．（5分）方程log2x+x﹣2=0的解所在的区间为（）A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）8．（5分）三个数0.76，60.7，log0.76的大小关系为（）A．0.76＜log0.76＜60.7B．0.76＜60.7＜log0.76C．log0.76＜60.7＜0.76D．log0.76＜0.76＜60.79．（5分）已知函数f（x）是定义在（﹣6，6）上的偶函数，f（x）在[0，6）上是单调函数，且f（﹣2）＜f（1）则下列不等式成立的是（）A．f（﹣1）＜f（1）＜f（3）B．f（2）＜f（3）＜f（﹣4）C．f（﹣2）＜f （0）＜f（1）D．f（5）＜f（﹣3）＜f（﹣1）10．（5分）“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…，用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下图与故事情节相吻合的是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）11．（5分）函数f（x）=log2（x﹣1）+的定义域为．12．（5分）已知函数f（x）=，则f[f（﹣2）]=．13．（5分）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+3log2（x+1）+m（m为常数），则f（﹣1）=．14．（5分）规定记号“a⊗b”表示一种运算，即a⊗b=ab+a+b2（a，b为正实数），若1⊗m=3，则m的值为．三、解答题（本题共6小题，15、16题各12分，其余各题各14分，共80分．）15．（12分）设全集为R，A+{x|﹣4≤x≤1}，B={x|﹣2＜x＜3}．求（1）A∩B；（2）∁R（A∪B）16．（12分）计算下列各式的值：（1）；（2）．17．（14分）解不等式：（1）log x≥1；（2）a2x+1＜a4﹣x．18．（14分）已知函数，且．（1）求m的值；（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明；（3）求函数f（x）在区间[﹣5，﹣1]上的最值．19．（14分）已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]，（1）当a=﹣1时，求函数的最大值和最小值；（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调减函数．20．（14分）已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x（2﹣x）．（1）在给定的图示中画出函数f（x）的图象（不需列表）；（2）求函数f（x）的解析式；（3）讨论方程f（x）﹣k=0的根的情况．（只需写出结果，不要解答过程）2014-2015学年广东省惠州市博罗县博师高中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分．每小题只有一个选项符合题意）1．（5分）已知全集U={0，1，2，3，4}，M={0，1，2}，N={2，3}，则（∁U M）∩N=（）A．{2}B．{3}C．{2，3，4}D．{0，1，2，3，4}【解答】解：∵全集U={0，1，2，3，4}，M={0，1，2}，∴C U M={3，4}．∵N={2，3}，∴（C U M）∩N={3}．故选：B．2．（5分）函数y=的定义域是（）A．{x|x≤0}B．{x|x＜0}C．{x|x＜0且x≠﹣1}D．{x|x≠0且x≠﹣1}【解答】解：∵函数y=，∴；解得x＜0且x≠﹣1，∴函数y的定义域是{x|x＜0且x≠﹣1|．故选：C．3．（5分）下列图形中，不可作为函数y=f（x）图象的是（）A． B．C．D．【解答】解：由函数的概念，C中有的x，存在两个y与x对应，不符合函数的定义，ABD均符合．故选：C．4．（5分）若A={1，4，x}，B={1，x2}且B⊆A，则x=（）A．2 B．2或﹣2 C．0或2 D．0，2或﹣2【解答】解：根据已知条件，x2=4，或x2=x；∴x=2，﹣2，0，或1；x=1时不满足集合元素的互异性，应舍去；∴x=0，2，或﹣2．故选：D．5．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=x3 B．y=cosx C．y=tanx D．y=ln|x|【解答】解：对于A，因为y=x3是奇函数，故不成立；对于B，因为y=cosx在（0，+∞）上有增有减，故不成立；对于C，y=tanx是奇函数，故不成立．对于D，设ln|x|=g（x），因为g（﹣x）=ln|﹣x|=lnx=g（x），故其为偶函数；又x＞0时，g（x）=lnx在（0，+∞）上单调递增．满足要求故选：D．6．（5分）设a＞1，函数f（x）=a x在区间[1，2]上的最大值是最小值的2倍，则a=（）A．2 B．3 C．2 D．4【解答】解：a＞1，函数f（x）=a x是增函数，在区间[1，2]上的最大值是最小值的2倍，可得a2=2a，解得a=2．故选：A．7．（5分）方程log2x+x﹣2=0的解所在的区间为（）A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）【解答】解：设f（x）=log2x+x﹣2，显然f（x）是（0，+∞）上的增函数，x0是连续函数f（x）的零点．因为f（2）=log22+2﹣2＞0，f（1）=log21+1﹣2=﹣1＜0，故x0∈（1，2），故选：C．8．（5分）三个数0.76，60.7，log0.76的大小关系为（）A．0.76＜log0.76＜60.7B．0.76＜60.7＜log0.76C．log0.76＜60.7＜0.76D．log0.76＜0.76＜60.7【解答】解：由对数函数y=log0.7x的图象和性质可知：log0.76＜0由指数函数y=0.7x，y=6x的图象和性质可知0.76＜1，60.7＞1∴log0.76＜0.76＜60.7故选：D．9．（5分）已知函数f（x）是定义在（﹣6，6）上的偶函数，f（x）在[0，6）上是单调函数，且f（﹣2）＜f（1）则下列不等式成立的是（）A．f（﹣1）＜f（1）＜f（3）B．f（2）＜f（3）＜f（﹣4）C．f（﹣2）＜f （0）＜f（1）D．f（5）＜f（﹣3）＜f（﹣1）【解答】解：由题意可得，函数f（x）在[﹣6，0]上也是单调函数，再根据f（﹣2）＜f（1）=f（﹣1），可得函数f（x）在[﹣6，0]上是单调增函数，故函数f（x）在[0，6]上是单调减函数，故f（﹣1）=f（1）＞f（﹣3）=f（3）＞f（5），故选：D．10．（5分）“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…，用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下图与故事情节相吻合的是（）A．B．C．D．【解答】解：对于乌龟，其运动过程可分为两段：从起点到终点乌龟没有停歇，其路程不断增加；到终点后等待兔子这段时间路程不变，此时图象为水平线段．对于兔子，其运动过程可分为三段：开始跑得快，所以路程增加快；中间睡觉时路程不变；醒来时追赶乌龟路程增加快．分析图象可知，选项B正确．故选：B．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）11．（5分）函数f（x）=log2（x﹣1）+的定义域为（1，3] ．【解答】解：∵函数f（x）=log2（x﹣1）+，∴；解得1＜x≤3，∴函数f（x）的定义域为（1，3]．故答案为：（1，3]．12．（5分）已知函数f（x）=，则f[f（﹣2）]=0．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（﹣2）=﹣2+2=0，∴f[f（﹣2）]=f[0]=02=0．故答案为：0．13．（5分）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+3log2（x+1）+m（m为常数），则f（﹣1）=﹣4．【解答】解：因为该函数为奇函数，且在x=0时有意义，所以f（0）=1+m=0，所以m=﹣1．所以x≥0时，f（x）=2x+3log2（x+1）﹣1．所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（21+3log22﹣1）=﹣4．故答案为：﹣4．14．（5分）规定记号“a⊗b”表示一种运算，即a⊗b=ab+a+b2（a，b为正实数），若1⊗m=3，则m的值为1．【解答】解：∵a⊗b=ab+a+b2（a，b为正实数），∴1⊗m=1×m+1+m2=3，即m2+m﹣2=0，解得，m=﹣2，或m=1又∵a，b为正实数，∴m=﹣2舍去．∴m=1故答案为1三、解答题（本题共6小题，15、16题各12分，其余各题各14分，共80分．）15．（12分）设全集为R，A+{x|﹣4≤x≤1}，B={x|﹣2＜x＜3}．求（1）A∩B；（2）∁R（A∪B）【解答】解：（1）A∩B={x|﹣2＜x≤1}；…（4分）（2）A∪B={x|﹣4≤x＞3}；…（8分），C R（A∪B）={x|x＜﹣4或x≥3}…（12分）16．（12分）计算下列各式的值：（1）；（2）．【解答】解：（1）=（3分）=（5分）=1．（6分）（2）=（4分）=2log32﹣5log32+3log32﹣3（6分）=﹣3．（7分）17．（14分）解不等式：（1）log x≥1；（2）a2x+1＜a4﹣x．【解答】解：（1）∴即解集为﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（2）a2x+1＜a4﹣x当a＞1时，有2x+1＜4﹣x，∴{x|x＜1}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）当0＜a＜1时，有2x+1＞4﹣x，∴{x|x＞1}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）18．（14分）已知函数，且．（1）求m的值；（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明；（3）求函数f（x）在区间[﹣5，﹣1]上的最值．【解答】解：（1）由得：，即：4m=4，解得：m=1；…（2分）（2）函数f（x）在（0，+∞）上为减函数．…（3分）证明：设0＜x1＜x2，则=；…（5分）∵0＜x1＜x2∴，即f（x2）﹣f（x1）＜0，∴f（x2）＜f（x1），∴f（x）在（0，+∞）上为减函数．…（7分）（3）由（1）知：函数，其定义域为{x|x≠0}．…（8分）∴，即函数f（x）为奇函数．…（9分）由（2）知：f（x）在[1，5]上为减函数，则函数f（x）在区间[﹣5，﹣1]上为减函数．…（10分）∴当x=﹣5时，f（x）取得最大值，最大值为；当x=﹣1时，f（x）取得最小值，最小值为f（﹣1）=﹣2+1=﹣1．…（12分）（其他解法请参照给分）19．（14分）已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]，（1）当a=﹣1时，求函数的最大值和最小值；（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调减函数．【解答】解：（1）当a=﹣1时，函数表达式是f（x）=x2﹣2x+2，∴函数图象的对称轴为x=1，在区间（﹣5，1）上函数为减函数，在区间（1，5）上函数为增函数．∴函数的最小值为[f（x）]min=f（1）=1，函数的最大值为f（5）和f（﹣5）中较大的值，比较得[f（x）]max=f（﹣5）=37综上所述，得[f（x）]max=37，[f（x）] min=1（6分）（2）∵二次函数f（x）图象关于直线x=﹣a对称，开口向上∴函数y=f（x）的单调减区间是（﹣∞，﹣a]，单调增区间是[﹣a，+∞），由此可得当[﹣5，5]⊆（﹣∞，﹣a]时，即﹣a≥5时，f（x）在[﹣5，5]上单调减，解之得a≤﹣5．即当a≤﹣5时y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调减函数．（6分）20．（14分）已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x（2﹣x）．（1）在给定的图示中画出函数f（x）的图象（不需列表）；（2）求函数f（x）的解析式；（3）讨论方程f（x）﹣k=0的根的情况．（只需写出结果，不要解答过程）【解答】解：（1）由已知得函数f（x）的图象如图所示．（2）设x≤0，则﹣x≥0，∵当x≥0时，f（x）=x（2﹣x）∴f（﹣x）=﹣x（x+2）；由f（x）是定义域为R的偶函数知：f（﹣x）=f（x），∴f（x）=﹣x（x+2），（x∈（﹣∞，0]）；…（3分）所以函数f（x）的解析式是．（3）由题意得：k=f（x），当k＜0或k=1时，方程f（x）﹣k=0有两个根，当k=0时，方程f（x）﹣k=0有三个根，当0＜k＜1时，方程f（x）﹣k=0有四个根．当k＞1时，方程f（x）﹣k=0没有实数根．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

广东省珠海一中、惠州一中高一(上)期中数学试卷

高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.函数y=ax+1(a>0且a≠1)的图象必经过点( )A. (0,1)B. (1,0)C. (2,1)D. (0,2)2.函数y=x2−2x−1，x∈[0,3]的值域为( )A. [−1,2]B. [−2,2]C. [−2,−1]D. [−1,1]3.已知集合A={0,1，2}，集合B={0,2，4}，则A∩B=( )A. {0,1，2}B. {0,2}C. {0,4}D. {0,2，4}4.函数f(x)=4x−x2的零点所在的大致区间是( )A. (−1,12)B. (−12,0)C. (0,12)D. (12,1)5.己知不等式x2−2x−3<0的解集为A，不等式x2+x−6<0的解集为B，不等式x2+ax+b<0的解集为A∩B，那么a+b等于( )A. −3B. 1C. −1D. 36.函数f(x)在(−∞,+∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)=−1，则满足−1≤f(x−2)≤1的x的取值范围是()A. B. C. [0,4] D. [1,3]7.已知abc<0，则在下列四个选项中，表示y=ax2+bx+c的图象只可能是( )A. B.C. D.8.设a=log123，b=(13)0.2，c=213，则a、b、c的大小顺序为( )A. b<a<cB. c<b<aC. c<a<bD. a<b<c9.函数y=log0.5(4x−3)+1的定义域为( )A. (−∞,54]B. (34,54]C. (34,1]D. [54,+∞)10.已知函数f(x)=−x2−ax−5,(x≤1)ax,(x>1)在(−∞,+∞)上是增函数，则a的取值范围是( )A. (−∞,−2]B. [−2,0)C. [−3,0)D. [−3,−2]11.某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算：若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元，则此人购物实际所付金额为( )A. 1500元B. 1550元C. 1750元D. 1800元12.已知函数f(x)=ln(x+1)+m,x≥0ax−b+1,x<0(m<−1)，对于任意s∈R且s≠0.均存在唯一实数t，使得f(s)=f(t)，且s≠t.若关于x的方程|f(x)|=f(m2)|有4个不相等的实数根，则a的取值范围是( )A. (−2,−1)B. (−1,0)C. (−4,−2)D. (−4,−1)∪(−1,0)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知幂函数f(x)的图象过点(8,12)，则此幂函数的解析式是f(x)=______．14.已知f(x)为R上的奇函数，当x<0时，f(x)=2x−1，则f(log210)=______．15.设a，b是关于x的一元二次方程x2−2mx+m+6=0的两个实根，则(a−1)2+(b−1)2的最小值是______．16.设函数f(x)=(x+1)2+txx2+1(t>0)的最大值为M，最小值为m，则M+m=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.求下列各式的值：(1)(2764)23⋅24+(0.008)−23−(22)43−42×80.25；(2)(log34+log38)(log43+log163)．18.已知集合A={y|y=(12)x2−x}，B={x|y=−x2+3x−2}，求A∩B．19.已知函数的解析式为f(x)=−x2+4(x>1)|ex−1|(x≤1)．(1)求f(f(6))；(2)画出这个函数的图象，并写出函数的值域；(3)若函数F(x)=f(x)−k有三个零点，求k的取值范围．20.已知函数y=log12(x2−2mx+3)．(Ⅰ)如果函数的定义域为R，求m的范围；(Ⅱ)在(−∞,1)上为增函数，求实数m的取值范围．21.已知函数f(x)=1−42ax+a(a>0且a≠1)为奇函数．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的值域；(3)判断f(x)的单调性并证明．22.设函数f(x)=x|x−a|．(1)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)求函数f(x)在[0,1]上的最大值g(a)的解析式．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵函数f(x)=ax+1，其中a>0，a≠1，令x=0，可得y=1+1=2，点的坐标为(0,2)，故选：D已知函数f(x)=ax+1，根据指数函数的性质，求出其过的定点．本题主要考查指数函数的性质及其特殊点，是一道基础题．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数值域的概念，以及配方求二次函数值域的方法．配方便得到y=(x−1)2−2，从而可看出x=1时y取最小值，x=3时，y取最大值，这样即可得出该函数的值域．【解答】解：y=x2−2x−1=(x−1)2−2；∴x=1时，y取最小值−2；x=3时，y取最大值2；∴该函数的值域为[−2,2]．故选B．3.【答案】B【解析】解：∵集合集合A={0,1，2}，集合B={0,2，4}，∴A∩B={0,2}．故选：B．利用交集定义求解．本题考查交集的求法，解题时要认真审题，是基础题．4.【答案】A【解析】解：∵函数f(x)=4x−x2是连续函数，f(−1)=14−1=−34<0，f(12)=2−14=74>0，f(−1)⋅f(12)<0，∴根据零点存在定理，可得函数f(x)=4x−x2的零点所在的大致区间是(−1,12)，故选：A．确定f(−1)，f(12)函数值的符号，通过函数的连续性，根据零点存在定理，可得结论．本题考查零点存在定理，考查学生的计算能力，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：由题意：A={x|−1<x<3}，B={x|−3<x<2}，A∩B={x|−1<x<2}，由根与系数的关系可知：a=−1，b=−2，故选A．解方程x2−2x−3=0和x2+x−6=0，求得集合A和B，求出A∩B，根据韦达定理求得a，b．考查不等式解集和相应方程根之间的关系，属基础题．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的单调性，函数的奇偶性，属于较易题．由题干中函数的单调性及奇偶性，可将不等式−1≤f(x−2)≤1化为−1≤x−2≤1，即可解得答案．【解答】解：∵函数f(x)为奇函数，若f(1)=−1，则f(−1)=−f(1)=1，又∵函数f(x)在(−∞,+∞)上单调递减，−1≤f(x−2)≤1，∴f(1)≤f(x−2)≤f(−1)，∴−1≤x−2≤1，解得：1≤x≤3，所以x的取值范围是[1,3]．故选D．7.【答案】B【解析】解：A由于图象开口向下，所以a<0．由图象可知f(0)=c>0，又抛物线对称轴x=−b2a<0，∴b<0，∴abc>0，与已知abc<0矛盾所以A不可能B由于图象开口向上，所以a>0．由图象可知f(0)=c<0，又抛物线对称轴x=−b2a<0，∴b>0，符合已知abc<0所以B正确．同样的方法得出C，D均不可能．故选：B．根据各选项的图象，确定出a，b，c的正负，验证是否符合abc<0，作出解答．本题考查二次函数图象，对于二次函数图象要从以下几个方面把握：开口方向，对称轴，与坐标轴交点情况．8.【答案】D【解析】解：∵a=log123<0，0<b=(13)0.2<1，c=213>1，∴a<b<c．故选：D．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：函数f(x)=log0.5(4x−3)+1，令log0.5(4x−3)+1≥0，解得log0.5(4x−3)≥−1，即0<4x−3≤2，解得34<x≤54；所以函数f(x)的定义域为(34,54].故选：B．根据函数f(x)的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．本题考查了利用解析式求函数定义域的应用问题，是基础题．10.【答案】D【解析】【分析】本题考查了分段函数的单调性问题，属于一般题．根据分段函数的性质，f(x)=−x2−ax−5,(x≤1)ax,(x>1)在(−∞,+∞)上是增函数，二次函数开口向下，且对称轴x=−a2≥1，反比例函数y=ax在(1,+∞)上也是增函数，再根据f(x)是增函数从而求解a的取值范围．【解答】解：由题意函数f(x)=−x2−ax−5,(x≤1)ax,(x>1)在(−∞,+∞)上是增函数，∴二次函数y=−x2−ax−5开口向下，对称轴x=−a2≥1，解得a≤−2，反比例函数y=ax在(1,+∞)是增函数，则a<0，又∵函数f(x)在(−∞,+∞)上是增函数，则有a1≥−(1)2−a×1−5，解得a≥−3，所以a的取值范围[−3,−2]，故选D．11.【答案】A【解析】【分析】本题考查的知识点是分段函数，正确理解题意，进而得到满足条件的分段函数解析式是解答的关键，属于基础题．设此商场购物总金额为x元，可以获得的折扣金额为y元，可得到获得的折扣金额y元与购物总金额x元之间的解析式，结合y=50>25，代入可得此人在此商场购物总金额，减去折扣可得答案．【解答】解：设此商场购物总金额为x元，可以获得的折扣金额为y元，由题可知：y=0,0<x≤8000.05(x−800),800<x≤13000.1(x−1300)+25,x>1300,∵y=50>25，∴x>1300，∴0.1(x−1300)+25=50，解得，x=1550，1550−50=1500，故此人购物实际所付金额为1500元．故选：A．12.【答案】C【解析】解：由题意可知f(x)在[0,+∞)上单调递增，值域为[m,+∞)，∵对于任意s∈R，且s≠0，均存在唯一实数t，使得f(s)=f(t)，且s≠t，∴f(x)在(−∞,0)上是减函数，值域为(m,+∞)，∴a<0，且−b+1=m，即b=1−m．∵|f(x)|=f(m2)有4个不相等的实数根，∴0<f(m2)<−m，又m<−1，∴0<am2<−m，即0<(a2+1)m<−m，∴−4<a<−2，∴则a的取值范围是(−4,−2)，故选：C．根据f(x)在[0,+∞)上的单调性和值域结合函数性质判断f(x)在(−∞,0)上的单调性和值域，得出a，b，m的关系，根据|f(x)|=f(m2)有4个不相等的实数根可知0<f(m2)<−m，由此求出a的范围得答案本题考查了函数的性质应用，函数图象的运用，属于中档题．13.【答案】x−13【解析】解：设f(x)=xα，∵幂函数f(x)的图象过点(8,12)，∴8α=12，即23α=2−1，∴3α=−1，∴α=−13．∴f(x)=x−13．故答案为：x−13．设f(x)=xα，将点(8,12)的坐标代入可求得α，从而可得答案．本题考查幂函数的概念与解析式的求法，属于基础题．14.【答案】910【解析】解：已知f(x)为R上的奇函数，f(−x)=−f(x)，∴f(log210)=−f(−log210)=−(2−log210−1)=−110+1=910，故答案为：910．由f(−x)=−f(x)，可得f(log210)=−f(−log210)，代入x<0的表达式求出即可．考查了奇函数的性质，对数恒等式的应用，基础题．15.【答案】8【解析】解：∵a，b是关于x的一元二次方程x2−2mx+m+6=0的两个实根，∴△=(−2m)2−4(m+6)≥0，解得：m≤−2或m≥3，且由根与系数的关系得：a+b=2m，ab=m+6，∴(a−1)2+(b−1)2=a2−2a+1+b2−2b+1=a2+b2−2(a+b)+2=(a+b)2−2ab−2(a+b)+ 2=(2m)2−2(m+6)−2×2m+2=4m2−6m−10=4(m−34)2−494，∵m≤−2或m≥3，∴4(m−34)2−494≥4(3−34)2−494=8，从而(a−1)2+(b−1)2≥8，所以其最小值为8．故答案为：8．根据二次函数根与系数的关系确定参数m的取值范围，从而求解(a−1)2+(b−1)2的值域．本题是中档题，其中能够优先考虑判别式大于等于0从而求解m的范围是正确解决本题的关键．16.【答案】2【解析】解：f(x)=(x+1)2+txx2+1=x2+1+(t+2)xx2+1=1+(t+2)xx2+1，令g(x)=(t+2)xx2+1(t>0)，函数的定义域为R，且g(−x)=−(t+2)xx2+1=−g(x)，则函数g(x)为奇函数，设其最大值为S，则其最小值为−S，∴M=1+S，m=1−S，∴M+m=2．故答案为：2．把已知函数解析式变形，可得f(x)=1+(t+2)xx2+1，证明函数g(x)=(t+2)xx2+1(t>0)为定义域上的奇函数，再由奇函数图象关于原点对称求解．本题考查函数奇偶性的判定及其应用，考查函数的最值，考查数学转化思想方法，是中档题．17.【答案】解：(1)(2764)23⋅24+(0.008)−23−(22)43−42×80.25=[(34)3]23⋅24+[(0.2)3]−23−(234)43−214⋅234=9+25−2−2=30；(2)(log34+log38)(log43+log163)=(2log32+3log32)⋅(12log23+14log23)=(5log32)⋅(34log23)=154．【解析】(1)化根式为分数指数幂，再由有理指数幂的运算性质化简求值；(2)直接利用导数的运算性质化简求值．本题考查有理指数幂的运算性质与对数的运算性质，是基础的计算题．18.【答案】解：x2−x=(x−12)2−14≥−14，∴0<(12)x2−x≤(12)−14=214，∴A=(0,214],解−x2+3x−2≥0得，1≤x≤2，∴B=[1,2]，故A∩B=[1,214]．【解析】通过配方即可得出x2−x≥−14，从而得出A=(0,214]；通过解不等式−x2+3x−2≥0即可求出B=[1,2]，然后进行交集的运算即可．本题考查了配方求二次函数值域的方法，指数函数的值域和单调性，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)根据题意，f(f(6))=f(−2)=1−1e2．(2)函数f(x)=−x2+4(x>1)|ex−1|(x≤1)图象如下：根据图象观察可得：值域为(−∞,3)．(3)函数F(x)=f(x)−k有三个零点，即k=f(x)，函数y=k与y=f(x)有三个交点，由图象知，k的范围是(0,1)．【解析】(1)根据分段函数求值f(f(6))=f(−2)=1−1e2；(2)(3)画出函数图象，观察可得到答案．考查分段函数求值，分段函数的画法，求函数值域，函数的零点问题，中档题．20.【答案】解：(I)要使函数函数y=log12(x2−2mx+3)的定义域为R，必须x2−2mx+3>0恒成立，∴△=4m2−12<0，解得−3<m<3，(II)令y=log12u(x)，则此函数在(0,+∞)单调递减，要f(x)在(−∞,1)上为增函数，则u(x)=x2−2mx+3在(−∞,1)递减，且恒为正，u(1)=4−2m≥0，且m≥1，求得1≤m≤2，故实数m的取值范围为[1,2]．【解析】(Ⅰ)由题意利用复合函数的单调性，可得x2−2mx+3>0恒成立，故有△=4m2−12<0，由此求得m的范围．(Ⅱ)令u(x)=x2−2mx+3，则u(x)=x2−2mx+3在(−∞,1)递减，且恒为正，故有u(1)=4−2m≥0，且m≥1，由此求得实数m的取值范围．本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题．21.【答案】解：(1)根据题意，因为函数f(x)=1−42ax+a(a>0且a≠1)为奇函数且其定义域为R，所以f(0)=1−42+a=0，解可得：a=2；当a=2时，可得f(−x)+f(x)=0，则f(x)为奇函数，所以a=2；(2)根据题意，令y=f(x)，即y=1−42×2x+2，变形可得2x=−1−yy−1>0，解可得−1<y<1；所以f(x)的值域为(−1,1)；(3)f(x)为R上的增函数．证明：对任意的x1，x2∈R，不妨设x1>x2，f(x1)−f(x2)=1−22x1+1−1+22x2+1=22x2+1−22x1+1=2⋅(2x1−2x2)(2x1+1)⋅(2x2+ 1)，又由x1>x2，则x1−x2>0，则2x1+1>0，2x2+1>0，2x1−2x2>0；所以f(x1)−f(x2)>0，f(x1)>f(x2)，所以f(x)为R上的增函数．【解析】(1)根据题意，由奇函数的性质可得f(0)=1−42+a=0，解可得a的值，验证即可得答案；(2)根据题意，将函数的解析式变形可得2x=−1−yy−1>0，解可得y的范围，即可得答案；(3)根据题意，由作差法分析可得结论．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是求出a的值，属于基础题．22.【答案】解：(1)当a=0时，f(x)=x|x|，f(−x)=−x|−x|=−x|x|=−f(x)，所以f(x)为奇函数；当a≠0时，f(x)=x|x−a|，f(1)=|1−a|，f(−1)=−|−1−a|，则f(−1)≠f(1)且f(−1)≠−f(1)，所以f(x)为非奇非偶函数；(2)f(x)=x|x−a|=x2−ax,(x≥a)−x2+ax,(x<a)=(x−a2)2−a24,(x≥a)−(x−a2)2+a24,(x<a)，当a<0时，f(x)在[0,1]上是单调递增函数，f(x)max=f(1)=1−a．当0≤a2≤12,即0≤a≤1时，f(x)在[0,a2],[a,1]上是单调递增函数，在[a2,a]上是单调递减函数．其中f(a2)=a24,f(1)=1−a，当a∈[0,−2+22)时a24<1−a，f(x)max=f(1)=1−a，当a∈[−2+22,1]时a24≥1−a，f(x)max=f(a2)=a24，当12<a2≤1,即1<a≤2时，f(x)在[0,a2]上是单调递增函数，在[a2,1]上是单调递减函数．f(x)max=f(a2)=a24，当a2>1,即a>2时，f(x)在[0,1]上是单调递增函数，f(x)max=f(1)=a−1，所以函数f(x)在[0,1]上的最大值的解析式g(a)=a−1,a>2a24,−2+22≤a≤21−a,a<−2+22．【解析】(1)当a=0时，当a≠0时，利用函数的奇偶性的定义判断即可．(2)化简函数为分段函数，当0≤a2≤12,即0≤a≤1时，当12<a2≤1,即1<a≤2时，当a2>1,即a>2时，通过函数的单调性求和函数的最大值，然后求解函数f(x)在[0,1]上的最大值的解析式即可．本题考查函数与方程的应用，函数的最值的求法以及函数的单调性的应用，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，是基本知识的考查．(注明最好按a<0，a>0画出草图再按对称轴是否在分类[0,1])。

2023-2024学年广东省惠州一中高一(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年广东省惠州一中高一（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列图形能表示函数y ＝f （x ）的图象的是（）A ．B ．C ．D ．2．设a ∈R ，则“a ＞1”是“2a ＞1”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知集合A ={x|y =√3+2x −x 2}，B ＝{y |y ＝e x +a }（a ∈R ），若A ∩B ＝∅，则a 的取值范围为（） A ．（﹣∞，﹣1]B ．（﹣∞，﹣1）C ．（3，+∞）D ．[3，+∞）4．某位同学经常会和爸爸妈妈一起去加油，经过观察他发现了一个有趣的现象：爸爸和妈妈的加油习惯是不同的．爸爸每次加油都说：“师傅，给我加250元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”．这位同学若有所思，如果爸爸、妈妈都加油两次，两次的加油价格不同，妈妈每次加满油箱；爸爸每次加250元的油，我们规定谁的平均单价低谁就合算，那么请问爸爸、妈妈谁更合算呢？（） A ．妈妈B ．爸爸C ．一样D ．不确定5．设函数f （x ）＝log 2（ax ﹣x 2）在区间（2，3）上单调递减，则a 的取值范围是（） A ．（﹣∞，4]B ．[3，4]C ．[6，+∞）D ．[3，6]6．设a ＝log 23，b ＝log 34，c ＝1.5，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞b ＞a7．已知函数f （x ）＝lgx ﹣ax +1（a ＞0），若有且仅有两个整数x 1、x 2使得f （x 1）＞0，f （x 2）＞0，则a 的取值范围是（） A ．[13lg30，12lg20) B ．(0，13lg30] C ．（2﹣lg 2，2]D ．（2﹣lg 3，2]8．已知函数f(x)=e x −ae x +1是定义在R 上的奇函数，若不等式f （f （x ））+f （m •e x ）≤0在x ∈[0，1]上恒成立，则整数m 的最大值为（）A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．1二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（）A ．函数f(x)=√x−3x+2的定义域为（﹣∞，﹣2）∪[3，+∞） B ．f(x)=x 2x 和g （x ）＝x 表示同一个函数C ．函数f(x)=1x −x 的图象关于坐标原点对称D ．函数f （x ）满足f （x ）﹣2f （﹣x ）＝x ﹣1，则f(x)=23x +110．已知函数f(x)={2a−x ，x ≥12x−a ，x ＜1的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．a ＝1B ．a ＝﹣1C ．函数y ＝f （x +1）是偶函数D ．关于x 的不等式f(x)＞12的解集为（0，2） 11．若6a ＝2，6b ＝3，则下列不等关系正确的有（） A ．√a +1+√b +1＜2 B ．1a +1b＞4C ．a 2+b 2＞12D ．1a(b +13b)＞212．已知f （x ）在定义在R 上的奇函数，满足f （2﹣x ）＝f （x ），当x ∈[﹣1，1]时，f(x)=ln(√x 2+1+x)，则下列说法正确的是（） A ．f （2k ）＝0，k ∈ZB ．f （2k ﹣1）＝ln (√2+1)，k ∈ZC ．∃x 0∈R ，f （x 0+2）﹣f （x 0）＝1D ．方程|f （x ）|=12在[﹣4，2]的各根之和为﹣8三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数f （x ）={x −1，x ≤−1x 2+1，x ＞−1，若f （x 0）＝3，则x 0＝．14．已知函数f （x ）为定义在R 上的函数满足以下两个条件：（1）对于任意的实数x ，y 恒有f （x +y ）＝f （x ）•f （y ）；（2）f （x ）在R 上单调递增．请写出满足条件的一个f （x ）的解析式，f （x ）＝．15．已知函数f （x ）是R 上的偶函数，且f （x ）的图象关于点（1，0）对称，当x ∈[0，1]时，f （x ）＝2﹣2x ，则f （0）+f （1）+f （2）+⋯+f （2024）的值为．16．已知函数f （x ）={x 2+4x ，x ≥22|x−a|，x ＜2，若对任意的x 1∈[2，+∞），都存在唯一的x 2∈（﹣∞，2），满足f （x 2）＝f （x 1），则实数a 的取值范围是．四、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知集合A ＝{x ||x |≤4}，B ＝{x |5﹣m ≤x ≤5+m ，m ＞0}．（Ⅰ）若m ＝10，求A ∩B ；（Ⅱ）若命题p ：“∀x ∈A ，x ∈B ”是真命题，求实数m 的取值范围． 18．（12分）令P =80.25×√24+(2764)−13−(−2021)0，Q ＝lg 25+lg 2•lg 50+（lg 2）2．（1）分别求P 和Q ；（2）若2a ＝5b ＝m ，且1a +1b=Q ，求m ．19．（12分）已知函数f(x)=a(12)|x|+b 的图像过原点，且无限接近直线y ＝2但又不与该直线相交．（1）求函数f （x ）的解析式，并画出函数图象；（2）求不等式f （x +1）＞f （2x ﹣1）的解集．20．（12分）随着经济的发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习，已知前3年平台会员的个数如下表所示（其中第4年为预估人数，仅供参考）：（1）依据表中数据，从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台x（x∈N*）年后平台会员人数y（千人），并求出你选择模型的解析式：①y=tx+b(t＞0)，②y＝d•log r x+s（r＞0且r≠1），③y＝m•a x+n（a＞0且a≠1）．（2）为控制平台会员人数盲目扩大，平台规定会员人数不得超过k⋅(94)x(k＞0)千人，依据（1）中你选择的函数模型求k的最小值．21．（12分）已知函数f(x)=ae x−lnx(a＞0，e=2.71828⋯为自然对数的底数）．（1）当a＝1时，判断函数f（x）零点个数，并证明你的结论；（2）当x∈[1，e]时，关于x的不等式f（x）＞2x﹣lna恒成立，求实数a的取值范围．22．（12分）已知指数函数f（x）＝（2a2+3a﹣1）a x，其中a＞0，且a≠1．（1）求实数a的值；（2）已知函数f（x）与函数g（x）关于点(m2，2m2)中心对称，且方程f（x）＝g（x）有两个不等的实根x1，x2．①若0＜x1＜x2＜1，求2m的取值范围；②若|x1﹣x2|＝1，求实数m的值．2023-2024学年广东省惠州一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列图形能表示函数y＝f（x）的图象的是（）A．B．C．D．解：根据题意，对于A、C两图，可以找到一个x与两个y对应的情形；对于D图，当x＝0时，有两个y值对应；对于B图，每个x都有唯一的y值对应，因此，B图可以表示函数y＝f（x），故选：B．2．设a∈R，则“a＞1”是“2a＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：解不等式2a＞1得a＞1 2，故a＞1可以得到a＞12，但a＞12不能说明a＞1，所以“a＞1”是“2a＞1”的充分不必要条件．故选：A．3．已知集合A={x|y=√3+2x−x2}，B＝{y|y＝e x+a}（a∈R），若A∩B＝∅，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，﹣1）C．（3，+∞）D．[3，+∞）解：由已知，集合A即函数y=√3+2x−x2的定义域，由不等式3+2x﹣x2≥0，即x2﹣2x﹣3≤0，解得﹣1≤x≤3，∴A={x|y=√3+2x−x2}={x|−1≤x≤3}=[−1，3]，集合B，即函数y＝e x+a的值域，因为指数函数y＝e x的值域为（0，+∞），所以函数y＝e x+a的值域为（a，+∞），∴B ＝{y |y ＝e x +a }＝（a ，+∞）， ∵A ∩B ＝∅，∴a 的取值范围是[3，+∞）．故选：D ．4．某位同学经常会和爸爸妈妈一起去加油，经过观察他发现了一个有趣的现象：爸爸和妈妈的加油习惯是不同的．爸爸每次加油都说：“师傅，给我加250元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”．这位同学若有所思，如果爸爸、妈妈都加油两次，两次的加油价格不同，妈妈每次加满油箱；爸爸每次加250元的油，我们规定谁的平均单价低谁就合算，那么请问爸爸、妈妈谁更合算呢？（） A ．妈妈B ．爸爸C ．一样D ．不确定解：如果爸爸、妈妈都加油两次，设第一次加油汽油单价为x 元/升，第二次加油汽油单价是y 元/升（x ≠y ），妈妈每次加满油箱，需加油a 升，根据题意得：妈妈两次加油共需付款a （x +y ）元，爸爸两次能加250x+250y=250(x+y)xy升油，若爸爸两次加油的平均单价为M 元/升，妈妈两次加油的平均单价为N 元/升，则M =2xy x+y ，N =x+y2，∵N −M =x+y 2−2xy x+y =(x−y)22(x+y)＞0，∴爸爸的加油方式更合算．故选：B ．5．设函数f （x ）＝log 2（ax ﹣x 2）在区间（2，3）上单调递减，则a 的取值范围是（） A ．（﹣∞，4]B ．[3，4]C ．[6，+∞）D ．[3，6]解：令ax ﹣x 2＝t ，y ＝log 2t 在定义域内是增函数，且f （x ）在（2，3）上单调递减， ∴t ＝ax ﹣x 2在（2，3）上单调递减，∴{a2≤23a −9≥0，解得3≤a ≤4，∴a 的取值范围是[3，4]．故选：B ．6．设a ＝log 23，b ＝log 34，c ＝1.5，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞b ＞a解：因为a =log 23＞log 22√2=1.5，b =log 34＜log 33√3=1.5，所以a ＞c ＞b ．故选：C ．7．已知函数f （x ）＝lgx ﹣ax +1（a ＞0），若有且仅有两个整数x 1、x 2使得f （x 1）＞0，f （x 2）＞0，则a 的取值范围是（） A ．[13lg30，12lg20) B ．(0，13lg30] C ．（2﹣lg 2，2]D ．（2﹣lg 3，2]解：由题意得lgx ＞ax ﹣1（a ＞0）的解中，有且仅有两个整数，即函数y ＝lgx 在直线y ＝ax ﹣1（a ＞0）上方的图象中有且仅有两个横坐标为整数的点，其中直线y ＝ax ﹣1（a ＞0）恒过点（0，﹣1），如下图所示：显然当y ＝ax ﹣1满足{2a −1＜lg23a −1≥lg3时，满足要求，解得a ∈[13lg30，12lg20)．故选：A ．8．已知函数f(x)=e x −ae x +1是定义在R 上的奇函数，若不等式f （f （x ））+f （m •e x ）≤0在x ∈[0，1]上恒成立，则整数m 的最大值为（） A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．1解：因为函数f(x)=e x −ae x +1是定义在R 上的奇函数，所以f （﹣x ）+f （x ）＝0对于x ∈R 恒成立，即e −x −a e −x +1+e x −a e x +1=0，所以(1−a)(e x +1)1+e x=0，因为1+e x ≠0，所以a ＝1，所以f(x)=e x −1e x +1=1−2e x +1，因为y ＝e x +1在R 上单调递增，y =2e x +1在R 上单调递减，f(x)=1−2e x +1在R 上单调递增，所以由f （f （x ））+f （m •e x ）≤0，可得f （f （x ））≤﹣f （m •e x ）＝f （﹣m •e x ），所以f （x ）≤﹣me x 在x ∈[0，1]上恒成立，所以−m ≥f(x)e x =1e x (e x −1e x +1)=e x −1e x (e x +1)，令ℎ(x)=e x −1e x (e x +1)，则﹣m ≥h （x ）max ，令e x −1=t ∈[0，e −1]，ℎ(t)=t (t+1)(t+2)=t t 2+3t+2=1t+2t+3，因为t +2t +3≥2√t ×2t+3=3+2√2，当且仅当t =2t即t =√2时等号成立，所以1t+2t+3≤2√2+3=3−2√2，所以−m ≥3−2√2，即得m ≤2√2−3，所以整数m 的最大值为﹣1，故选：B ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（） A ．函数f(x)=√x−3x+2的定义域为（﹣∞，﹣2）∪[3，+∞） B ．f(x)=x 2x 和g （x ）＝x 表示同一个函数C ．函数f(x)=1x −x 的图象关于坐标原点对称D ．函数f （x ）满足f （x ）﹣2f （﹣x ）＝x ﹣1，则f(x)=23x +1 解：对于A ：由x−3x+2≥0解得x ≥3或x ＜﹣2，所以函数f(x)=√x−3x+2的定义域为（﹣∞，﹣2）∪[3，+∞），故A 正确；对于B ：f(x)=x 2x的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），g （x ）＝x 的定义为（﹣∞，+∞），定义域不相同，所以f(x)=x 2x和g （x ）＝x 不是同一个函数，故B 错误；对于C ：f(x)=1x−x 的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，且f(−x)=1−x +x =−(1x −x)=−f(x)，所以f(x)=1x −x 为奇函数，所以函数f(x)=1x−x 的图象关于坐标原点对称，故C 正确；对于D ：因为函数f （x ）满足f （x ）﹣2f （﹣x ）＝x ﹣1，所以f （﹣x ）﹣2f （x ）＝﹣x ﹣1，解得f(x)=13x +1，故D 错误；故选：AC ．10．已知函数f(x)={2a−x ，x ≥12x−a，x ＜1的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．a ＝1B ．a ＝﹣1C ．函数y ＝f （x +1）是偶函数D ．关于x 的不等式f(x)＞12的解集为（0，2）解：由函数图像可知x ＝1为函数f （x ）的对称轴，即函数满足f （2﹣x ）＝f （x ），则当x ＞1时，则2﹣x ＜1，故22﹣x ﹣a＝2a ﹣x ，∴2﹣x ﹣a ＝a ﹣x ，则a ＝1，同理当x ＜1时，则2﹣x ＞1，故2a ﹣2+x＝2x ﹣a ，∴a ﹣2+x ＝x ﹣a ，则a ＝1，综合可知a ＝1，A 正确；B 错误．将f(x)={2a−x ，x ≥12x−a ，x ＜1的图象向左平移1个单位，即得函数y ＝f （x +1），x ∈R 的图象，则y ＝f （x +1）的图象关于y 轴对称，故y ＝f （x +1）为偶函数，C 正确；当x ≥1时，f （x ）＝21﹣x ，令21−x ＞12，解得x ＜2，故1≤x ＜2；当x ＜1时，f （x ）＝2x ﹣1，令2x−1＞12，解得x ＞0，故0＜x ＜1，综合可得0＜x ＜2，即不等式f(x)＞12的解集为（0，2），D 正确．故选：ACD ．11．若6a ＝2，6b ＝3，则下列不等关系正确的有（） A ．√a +1+√b +1＜2 B ．1a +1b＞4C ．a 2+b 2＞12D ．1a(b +13b)＞2解：因为6a ＝2，6b ＝3，所以a ＝log 62，b ＝log 63，所以a +b ＝log 62+log 63＝log 66＝1，对于A ，因为2√(a +1)(b +1)≤（a +1）+（b +1），所以(√a +1+√b +1)2≤2[（a +1）+（b +1）]，因为a ≠b 时，所以等号不成立，即√a +1+√b +1＜√2[(a +1)+(b +1)]=√6，选项A 错误；对于B ，因为a ＝log 62＞0，b ＝log 63＞0，所以ab ≤(a+b)24=(log 62+log 63)24=14，因为a ≠b ，所以等号不成立，所以ab ＜14，1a+1b=a+b ab=1ab＞4，选项B 正确；对于C ，因为a 2+b 2≥2ab ，所以a 2+b 2≥(a+b)22=12，因为a ≠b ．所以等号不成立，所以a 2+b 2＞12，所以C 正确；对于D ，因为a =ln2ln6，b =ln3ln6，所以1a (b +13b )=ln6ln2×(ln3ln6+ln63ln3)，由于ln6ln2＞ln4ln2=2，且ln3ln6+ln63ln3≥2√ln3ln6⋅ln63ln3=2√13，因为ln3ln6≠ln63ln3，所以等号不成立，所以ln3ln6+ln63ln3＞2√13，所以1a (b +13b )=ln6ln2×(ln3ln6+ln63ln3)＞2×2√13＞2，所以1a(b +13b)＞2，选项D 正确．故选：BCD ．12．已知f （x ）在定义在R 上的奇函数，满足f （2﹣x ）＝f （x ），当x ∈[﹣1，1]时，f(x)=ln(√x 2+1+x)，则下列说法正确的是（） A ．f （2k ）＝0，k ∈ZB ．f （2k ﹣1）＝ln (√2+1)，k ∈ZC ．∃x 0∈R ，f （x 0+2）﹣f （x 0）＝1D ．方程|f （x ）|=12在[﹣4，2]的各根之和为﹣8解：根据题意，依次分析选项：对于A ，由f （x ）在定义在R 上的奇函数，则f （﹣x ）＝﹣f （x ），又f （2﹣x ）＝f （x ），所以f （2﹣x ）＝﹣f （﹣x ），即f （x +2）＝﹣f （x ），所以f （x +4）＝f [2+（x +2）]＝﹣f （x +2）＝f （x ），即f （x ）是以4为周期的周期函数；又由f （x ）为奇函数，则f （0）＝0，则f （4k ）＝0，k ∈Z ，又由f （2﹣x ）＝f （x ），则f （2）＝f （0）＝0，则有f （4k +2）＝0，k ∈Z ，综合可得：f （2k ）＝0，A 正确；对于B ，选项B ．当k ＝0时，f （﹣1）＝ln （√2−1），B 错误；对于C ，f （x 0+2）﹣f （x 0）＝f （x 0+2﹣4）﹣f （x 0）＝f （x 0﹣2）﹣f （x 0）＝﹣f （2﹣x 0）﹣f （x 0）＝﹣2f （x 0）＝1，所以f （x 0）=−12，易得在区间[0，1]上，f(x)=ln(√x 2+1+x)是增函数，则f （﹣1）≤f （x ）≤f （1），即ln （√2−1）≤f （x ）≤ln （√2+1），又由√2−1=12+11√e ，则ln （√2−1）＜ln √e=−12，所以必存在x 0，使得f （x 0）=−12，即∃x 0∈R ，f （x 0+2）﹣f （x 0）＝1，C 正确；对于D ，因为|f （x ）|为偶函数，根据题意先作出f （x ）在[0，4]上的示意图，然后由对称性作出|f （x ）|在[﹣4，0]上的图象，如图所示，则方程|f （x ）|=12在[﹣4，2]的各根之和为﹣3×2+（﹣1）×2+1×2＝﹣6，D 错误；故选：AC ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数f （x ）={x −1，x ≤−1x 2+1，x ＞−1，若f （x 0）＝3，则x 0＝ √2 ．解：因为函数f （x ）={x −1，x ≤−1x 2+1，x ＞−1，且f （x 0）＝3，当x 0≤﹣1时，f （x 0）＝x 0﹣1＝3，解得x 0＝4（舍）；当x 0＞﹣1时，f （x 0）=x 02+1=3，解得x 0=−√2（舍）或x 0=√2．故答案为：√2．14．已知函数f （x ）为定义在R 上的函数满足以下两个条件：（1）对于任意的实数x ，y 恒有f （x +y ）＝f （x ）•f （y ）；（2）f （x ）在R 上单调递增．请写出满足条件的一个f （x ）的解析式，f （x ）＝ 2x （答案不唯一）．解：不妨设f （x ）＝2x ，则f （x +y ）＝2x +y ＝2x ×2y ＝f （x ）+f （y ），且f （x ）在R 上单调递增；故答案为：f （x ）＝2x （答案不唯一）．15．已知函数f （x ）是R 上的偶函数，且f （x ）的图象关于点（1，0）对称，当x ∈[0，1]时，f （x ）＝2﹣2x ，则f （0）+f （1）+f （2）+⋯+f （2024）的值为 1 ．解：因为f （x ）图像关于点（1，0）对称，所以f （x ）＝﹣f （2﹣x ）．又因为函数f （x ）是R 上的偶函数，所以f （x ）＝f （﹣x ），所以f （x ）＝﹣f （2﹣x ）＝﹣f （x ﹣2），则f （x +4）＝﹣f （x +2）＝﹣[﹣f （x ）]＝f （x ）．故函数f （x ）的周期为4．所以f （3）＝f （﹣1）＝f （1）＝2﹣2＝0，又f （0）＝2﹣1＝1，f （2）＝﹣f （0）＝﹣1 所以f （0）+f （1）+f （2）+…+f （2024）＝506[f （0）+f （1）+f （2）+f （3）]+f （2024）＝506×（1+0﹣1+0）+f （0）＝1．故答案为：1．16．已知函数f （x ）={x 2+4x ，x ≥22|x−a|，x ＜2，若对任意的x 1∈[2，+∞），都存在唯一的x 2∈（﹣∞，2），满足f （x 2）＝f （x 1），则实数a 的取值范围是 [0，4）．解：当x ≥2时，f （x ）=x 2+4x =x +4x ≥2√x ⋅4x=4，当且仅当x =4x ，即x ＝2时，等号成立， ∴y ＝f （x ）在[2，+∞）上的值域为[4，+∞），当x ＜2时，f （x ）＝2|x﹣a |，①当a ≥2时，f （x ）＝2a﹣x在（﹣∞，2）上单调递减，要使对任意的x 1∈[2，+∞），都存在唯一的x 2∈（﹣∞，2），满足f （x 2）＝f （x 1），则2a ﹣2＜4，即a ＜4，∴2≤a ＜4，②当a ＜2时，f （x ）＝2|x﹣a |在（﹣∞，a ）上单调递减，在（a ，2）上单调递增，又f （a ）＝1＜4，要使对任意的x 1∈[2，+∞），都存在唯一的x 2∈（﹣∞，2），满足f （x 2）＝f （x 1），则2|2﹣a |≤4，即0≤a ≤4，又∵a ＜2， ∴0≤a ＜2，综上所述，实数a 的取值范围是[0，4）．故答案为：[0，4）．四、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知集合A ＝{x ||x |≤4}，B ＝{x |5﹣m ≤x ≤5+m ，m ＞0}．（Ⅰ）若m ＝10，求A ∩B ；（Ⅱ）若命题p ：“∀x ∈A ，x ∈B ”是真命题，求实数m 的取值范围．解：集合A ＝{x ||x |≤4}＝{x |﹣4≤x ≤4}， B ＝{x |5﹣m ≤x ≤5+m ，m ＞0}．（Ⅰ）若m ＝10，则B ＝{x |﹣5≤x ≤10}， ∴A ∩B ＝{x |﹣4≤x ≤4}；（Ⅱ）若命题p ：“∀x ∈A ，x ∈B ”是真命题，则A ⊆B ， ∴5﹣m ≤5+m ，且{5−m ≤−45+m ≥4，解得m ≥9∴实数m 的取值范围是[9，+∞）．18．（12分）令P =80.25×√24+(2764)−13−(−2021)0，Q ＝lg 25+lg 2•lg 50+（lg 2）2．（1）分别求P 和Q ；（2）若2a ＝5b ＝m ，且1a +1b=Q ，求m ．解：（1）P =80.25×√24+(2764)−13−(−2021)0=234×214+(34)3×(−13)−1=2+43−1=73， Q ＝lg 25+lg 2•lg 50+（lg 2）2＝lg 25+lg 2（lg 2+lg 50）＝lg 25+lg 2•lg 100＝lg 25+lg 4＝lg 100＝2；（2）2a ＝5b ＝m ＞0，则a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，故1a +1b=log m 2+log m 5=log m 10=2，解得m =√10．19．（12分）已知函数f(x)=a(12)|x|+b 的图像过原点，且无限接近直线y ＝2但又不与该直线相交．（1）求函数f （x ）的解析式，并画出函数图象；（2）求不等式f （x +1）＞f （2x ﹣1）的解集．解：（1）由题意可知{a +b =0b =2，解得{a =−2b =2，∴f （x ）＝﹣2×(12)|x|+2，∴f （x ）={−2(12)x +2，x ≥0−2(12)−x+2，x ＜0，图象如图所示：（2）∵f （x ）＝﹣2×(12)|x|+2，x ∈R ，∴f （﹣x ）＝﹣2×(12)|−x|+2＝﹣2×(12)|x|+2＝f （x ）， ∴f （x ）为偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，不等式f （x +1）＞f （2x ﹣1）可化为，f （|x +1|）＞f （|2x ﹣1|）， ∴|x +1|＞|2x ﹣1|， ∴（x +1）2＞（2x ﹣1）2，整理得，x 2﹣2x ＜0，解得0＜x ＜2，即不等式的解集为{x |0＜x ＜2}．20．（12分）随着经济的发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习，已知前3年平台会员的个数如下表所示（其中第4年为预估人数，仅供参考）：（1）依据表中数据，从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台x （x ∈N *）年后平台会员人数y （千人），并求出你选择模型的解析式：①y =tx+b(t ＞0)，②y ＝d •log r x +s （r ＞0且r ≠1），③y ＝m •a x +n （a ＞0且a ≠1）．（2）为控制平台会员人数盲目扩大，平台规定会员人数不得超过k ⋅(94)x (k ＞0)千人，依据（1）中你选择的函数模型求k 的最小值．解：（1）从表格数据可以得知，函数是一个增函数，故不可能是①， ∵函数增长的速度越来越快， ∴选择③y ＝m •a x +n （a ＞0且a ≠1），代入表格中的三个点可得：{14=ma +n 20=ma 2+n 29=ma 3+n ，解得：{m =8a =32n =2，∴y =8⋅(32)x +2，x ∈N *．（2）由（1）可知：f(x)=8⋅(32)x +2，x ∈N *，故不等式8⋅(32)x+2≤k⋅(94)x对x∈[1，+∞）恒成立，∴k≥8(32)x+2(32)2x=2⋅(23)2x+8⋅(23)x对x∈[1，+∞）恒成立，令(23)x=t，则t∈(0，23 ]，∴g（t）＝2t2+8t，t∈(0，23]，∵g（t）在(0，23]单调递增，∴g(t)≤g(23)=569，∴k≥56 9，∴k min=56 9．21．（12分）已知函数f(x)=ae x−lnx(a＞0，e=2.71828⋯为自然对数的底数）．（1）当a＝1时，判断函数f（x）零点个数，并证明你的结论；（2）当x∈[1，e]时，关于x的不等式f（x）＞2x﹣lna恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）当a＝1时，f(x)=1e x−lnx，函数y=1e x单调递减，y＝﹣lnx单调递减，所以f（x）在（0，+∞）上单调递减，又f(1)=1e＞0，f(e)=1e e−1＜0，所以f（x）在（1，e）上存在零点，且只有一个零点，所以f（x）只有1个零点．（2）由题意可知，当x∈[1，e]时，不等式ae x−lnx＞2x−lna恒成立，等价于ae x−lnx−2x+lna＞0恒成立，即(a e x−lnx−2x+lna)min＞0．令g(x)=ae x−lnx−2x+lna，则g′(x)=−a e x−1x−2，因为a＞0，x＞0，所以g'（x）＜0，则g（x）在[1，e]上单调递减，所以g(x)min=g(e)=ae e−1−2e+lna＞0，令ℎ(a)=ae e−1−2e+lna，因为y=ae e，y＝lna单调递增，所以h（a）单调递增，又h（e e+1）＝e﹣1﹣2e+e+1＝0，所以当a ＞e e +1时，h （a ）＞0，综上，a 的取值范围为（e e +1，+∞）．22．（12分）已知指数函数f （x ）＝（2a 2+3a ﹣1）a x ，其中a ＞0，且a ≠1．（1）求实数a 的值；（2）已知函数f （x ）与函数g （x ）关于点(m 2，2m2)中心对称，且方程f （x ）＝g （x ）有两个不等的实根x 1，x 2．①若0＜x 1＜x 2＜1，求2m 的取值范围； ②若|x 1﹣x 2|＝1，求实数m 的值．解：（1）由题知由于函数f （x ）＝（2a 2+3a ﹣1）•a x ，a ＞0，且a ≠1为指数函数，则2a 2+3a ﹣1＝1，解得a =12或a ＝﹣2（舍），故实数a 的值为12；（2）由（1）知，f(x)=(12)x ，由于函数f （x ）与函数g （x ）关于点(m 2，2m2)中心对称，∴f （m ﹣x ）+g （x ）＝2m ，∴g(x)=2m −(12)m−x ，由于方程f （x ）＝g （x ）有两个不等的实根x 1，x 2，即(12)x =2m −(12)m−x 有两个不等的实根，化简得可得：22x ﹣22m •2x +2m ＝0，不妨令2x ＝t ，则有t 2﹣22m •t +2m ＝0，∵x 1，x 2为(12)x =2m −(12)m−x 的两个不等实根，∴t 1=2x 1，t 2=2x 2为t 2﹣22m •t +2m ＝0的两个不等实根 ①令h （t ）＝t 2﹣22m •t +2m ，由于0＜x 1＜x 2＜1，∴1＜t 1＜t 2＜2，即h （t ）＝0区间（1，2）内有两不等实根，∴{Δ=(−22m )2−4⋅2m＞01＜22m 2＜2ℎ(1)=1−22m +2m ＞0ℎ(2)=4−2⋅22m +2m ＞0，解得223＜2m ＜√5+12，∴2m 的取值范围为(223，√5+12)；②不妨设：x 1＜x 2，∵|x 1﹣x 2|＝1，∴x 2﹣x 1＝1，∴t 2t 1=2x 22x 1=2x 2−x 1=2，由t 1+t 2=22m ，t 1⋅t 2=2m ，则t 2t 1+t 1t 2=(t 1+t 2)2−2t 1t 2t 1t 2=(t 1+t 2)2t 1t 2−2=24m 2m −2=23m ﹣2=2+12=52，∴23m =92，解得m =13log 292，∴实数m 的值为13log 292，故①2m ∈(223，√5+12)；②m =13log 292．。

广东省惠州市高一上学期数学期中考试试卷

广东省惠州市高一上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） 1．若集合（是虚数单位），，则等于（）A .B .C .D .2. （2分）已知全集，且，，则（）A .B .C .D .3. （2分）下列函数是偶函数的是（）A . y=x2 ，x∈[0，1]B . y=x3C . y=2x2﹣3D . y=x4. （2分） (2016高一上·沈阳期中) 已知f（ex）=x，则f（5）等于（）A . e5B . 5eC . ln5D . log5e5. （2分）函数y= 的值域为（）A . RB . [ ，+∞）C . （﹣∞， ]D . （0， ]6. （2分） (2018高一上·湘东月考) 已知函数，则等于（）A .B .C .D .7. （2分）函数f（x）=log2（x+1）与g（x）=2﹣x+1在同一直角坐标系下的图象大致是（）A .B .C .D .8. （2分）化简的结果为（）A . 5B .C . －D . －59. （2分） (2019高一上·周口期中) 已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高一上·翁牛特旗月考) 若函数满足，且在上是增函数，又，则的解集是（）A .B .C .D .11. （2分） (2017高一上·正定期末) 已知定义域为R的偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是减函数，且=2，则不等式f（log4x）＞2的解集为（）A .B . （2，+∞）C .D .12. （2分）(2020·汨罗模拟) 我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．如函数的图象大致是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二下·鸡泽期末) 已知函数f（x）= ，且关于x的方程f（x）+x﹣a=0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．14. （1分） (2016高一上·芒市期中) 集合A={0，1，2}的子集共有________个．15. （1分）对于a，b∈R，记max{a，b}= ，函数f（x）=max{2x+1，5﹣x}，（x∈R）的最小值为________16. （1分）已知f（x）= （a＞0且a≠1），g（x）=﹣ x3+ x2+4ax．若同时满足条件：①f（x）在R上单调递减；②g（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分）已知f（x﹣1）=x2﹣2x+7，（1）求f（2），f（a）的值．（2）求f（x）和f（x+1）的解析式；（3）求f（x+1）的值域．18. （10分）(2017·成武模拟) 已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．19. （10分）(2016高一上·湖北期中) 计算（1）（）﹣（）0.5+（0.2）﹣2× ﹣（0.081）0（2）lg ﹣lg +lg ．20. （10分）设集合A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，已知B⊆A.（1）求实数m的取值范围；（2）当x∈N时，求集合A的子集的个数．21. （10分） (2018高一上·漳平月考) 已知二次函数的最小值等于4，且（1）求函数的解析式；（2）设函数，且函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围；（3）设函数，求当时，函数的值域．22. （10分） (2019高一上·太原月考) 已知函数为定义在上的偶函数，且在上为减函数.（1）证明函数在上为增函数；（2）若 ,试求实数的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、17-3、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、第11 页共11 页。

2014-2015学年广东省惠州一中高三(上)段考数学试卷

∴a＜0，又∵函数图象与Y轴的交点在X轴上方 ∴c＞0 ∴|OA|•|OB| =|OA•OB| =|x1x2| =| | =﹣ 故选B 点评：在高中阶段由于研究函数的角度与初中阶段相比有所变化，因此同样对二次函数来说，高中研究的主要是二次函数性质的应用，如单调性、对称性等，因此解决此类问题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，并注意和方程思想、分类讨论思想、转化思想、数形结合思想等高中重要数学思想之间的紧密联系． 4．函数y=1+ax（0＜a＜1）的反函数的图象大致是（） A． B． C． D．考点：专题：反函数．数形结合．
）x 考点：专题：反函数．函数的性质及应用．
分析：根据y=3x，y＞0，得出x=log3y，即函数y=3x的反函数 y=log3x，x＞0．解答：解：∵函数y=3x，y＞0 ∴x=log3y， ∴函数y=3x的反函数y=log3x，x＞0．故选：C 点评：本题考查了指数，对数函数的性质，反函数的概念，属于容易题． 2．若f′（x0）=2，则等于（） A． ﹣1 B． ﹣2
C． 1
D．
3．如图所示为二次函数y=ax2+bx+c的图象，则|OA|•|OB|等于（）
A． B． ﹣ C． ± D．无法确定
4．函数y=1+ax（0＜a＜1）的反函数的图象大致是（） A． B． C．
D． 5．函数f（x）=cosxsinx的图象相邻的两条对称轴之间的距离是（） A． B． C． π D． 2π 6．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值（）

，解得a≥5，故选：C 点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质，其中利用二次函数的性质构造出一个关于a的不等式，是解答本题的关键． 8．在等差数列{an}中，已知a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+a6等于（） A． 40 B． 42 C． 43 D． 45 考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：先根据a1=2，a2+a3=13求得d和a5，进而根据等差中项的性质知a4+a5+a6=3a5求得答案．解答：解：在等差数列{an}中，已知a1=2，a2+a3=13，得d=3，a5=14， ∴a4+a5+a6=3a5=42．故选B 点评：本题主要考查了等差数列的性质．属基础题． 9．若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y﹣8=0垂直，则l的方程为（） A． 4x﹣y﹣3=0 B． x+4y﹣5=0 C． 4x﹣y+3=0 D． x+4y+3=0 考点：导数的几何意义；两条直线垂直的判定．分析：切线l与直线x+4y﹣8=0垂直，可求出切线的斜率，这个斜率的值就是函数在切点处的导数，利用点斜式求出切线方程．解答：解：设切点P（x0，y0）， ∵直线x+4y﹣8=0与直线l垂直，且直线x+4y﹣8=0的斜率为﹣ ， ∴直线l的斜率为4，

2024—2025学年广东省惠州中学高一上学期期中考试数学试卷

2024—2025学年广东省惠州中学高一上学期期中考试数学试卷一、单选题(★) 1. 已知命题p：，，则为（）A．，B．，C．，D．，(★★) 2. 已知集合满足，且，则满足条件的集合有（）A． 2个B． 4个C． 8个D． 16个(★★) 3. 设，，则与的大小关系是（）A．B．C．D．无法确定(★★) 4. 下列各组函数是同一个函数的是（）A．与B．与C．与D．与(★★) 5. 已知函数，则的值为（）A．B．C．D．(★★★) 6. 已知命题p：“，”，命题q：“，”．若命题和命题q都是真命题，则实数a的取值范围是（）A．或B．或C．D．(★) 7. 定义在[－2, 2]上的函数f( x)满足( x1－x2)·[ f( x1)－f( x2)]＞0，x1≠x2，且f( a2－a)＞f(2 a－2)，则实数a的取值范围为（）A． [－1, 2)B． [0, 2)C． [0, 1)D． [－1, 1)(★★★) 8. 定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度的最大值为（）A． 1B．C．D．二、多选题(★★) 9. 已知，则下列选项正确的是（）A．B．C．D．(★★) 10. 已知函数，则（）A．B．C．的最小值为1D．的图象与轴有1个交点(★★★) 11. 已知关于x的不等式（，）的解集为，则下列结论正确的是（）A．B．的最大值为C．的最小值为4D．的最小值为三、填空题(★) 12. 是定义在上的奇函数，则实数 ______(★★) 13. 已知函数在定义域上单调递减，则实数取值范围_______ .(★★★) 14. 设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的最大值为 _________ ．四、解答题(★★) 15. 记函数的定义域为集合，函数的值域为集合，求：(1)求M，N；(2)求.(★★) 16. 已知关于x的不等式的解集为或.(1)求a、b的值；(2)若函数，求值域.(★★★) 17. 某工厂准备引进一种新型仪器的生产流水线，已知投资该生产流水线需要固定成本1000万元，每生产x百台这种仪器，需另投入成本f( x)万元，假设生产的仪器能全部销售完，且售价为每台3万元. （1）求利润g( x)（万元）关于产量x（百台）的函数关系式；（2）当产量为多少时，该工厂所获利润最大？并求出最大利润.(★★★) 18. 已知二次函数的最小值为，且是其一个零点，都有.(1)求函数的解析式；(2)解关于的不等式，其中.(★★★★) 19. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部反比例对称函数”.(1)已知函数，试判断是不是“局部反比例对称函数”.并说明理由；(2)用定义证明函数在为单调递增函数；(3)若是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，求实数的取值范围.。