2020高考数学核心突破《专题5 立体几何 第3讲 空间向量及其在立体几何中的应用》 (2)

专题五第3讲
1．(2017·江西九江二模)《九章算术》中有鳖臑(biēnào)和刍甍(chú méng)两种几何体，鳖臑是一种三棱锥，四面都是直角三角形，刍甍是一种五面体，其底面为矩形，顶部为一条平行于底面矩形的一边且小于此边的线段．在如图所示的刍甍ABCDEF中，已知平面ADFE ⊥平面ABCD，EF∥AD，且四边形ADFE为等腰梯形，AE＝EF＝3，AD＝5.
(1)试判断四面体A-BDE是否为鳖臑，并说明理由；
(2)若AB＝2，求平面BDE与平面CDF所成的锐二面角的余弦值．
解析(1)四面体A-BDE为鳖臑．
证明过程如下：过点E作EH⊥AD，垂足为H.
∵四边形ADFE为等腰梯形，AE＝5，EF＝3，AD＝5，则AH＝1，
∴EH＝AE2－AH2＝2，DE＝EH2＋DH2＝25，
∴AD2＝AE2＋DE2，∴DE⊥AE.
∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥AD.
又平面ADFE⊥平面ABCD，平面ADFE∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥平面ADFE.
又AE⊂平面ADFE，∴AB⊥AE.
又DE⊂平面ADFE，∴AB⊥DE.
又AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面ABE，∴DE⊥平面ABE.
又BE⊂平面ABE，∴DE⊥BE.
∴△BDE，△ADE，△BAE和△BAD都为直角三角形，
∴四面体A-BDE为鳖臑．
(2)以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(2,0,0)，D(0,5,0)，E(0,1,2)，F(0,4,2)，C(2,5,0)．
设平面BDE 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 则D E →＝(0，－4,2)，D B →
＝(2，－5,0)，
则⎩⎪⎨⎪⎧
m ·D E →＝0，m ·
D B →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧
－4y 1＋2z 1＝0，
2x 1－5y 1＝0.
令x 1＝5，得y 1＝2，z 1＝4，∴m ＝(5,2,4)．
设平面CDF 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)． 又D C →＝(2,0,0)，D F →
＝(0，－1,2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧
n ·DC →＝0，n ·
D F →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧
2x 2＝0，
－y 2＋2z 2＝0.
令z 2＝1，得n ＝(0,2,1)． ∴cos 〈m ，n 〉＝
m·n
|m|·|n|
＝4＋425＋4＋16×5
＝8
15
， 所以平面BDE 与平面CDF 所成的锐二面角的余弦值为8
15
.
2．(2017·东北三校联考)如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面P AC ⊥平面ABCD ，且P A ⊥AC ，P A ＝AD ＝2.四边形ABCD 满足BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AB ＝BC ＝1.点E ，F 分别为侧棱PB ，PC 上的点，且PE PB ＝PF PC
＝λ.
(1)求证：EF ∥平面P AD ；
(2)当λ＝1
2
时，求异面直线BF 与CD 所成角的余弦值；
(3)是否存在实数λ，使得平面AFD ⊥平面PCD ？若存在，试求出λ的值；若不存在，
请说明理由．
解析 (1)证明：∵PE PB ＝PF
PC ＝λ，
∴EF ∥BC ，又BC ∥AD ，∴EF ∥AD ， 而EF ⊄平面P AD ，AD ⊂平面P AD ， ∴EF ∥平面P AD .
(2)∵平面ABCD ⊥平面P AC ，平面ABCD ∩平面P AC ＝AC ，且P A ⊥AC ， ∴P A ⊥平面ABCD . ∴P A ⊥AB ，P A ⊥AD .
又∵AB ⊥AD ，∴P A ，AB ，AD 两两垂直． 如图所示，建立空间直角坐标系．
∵AB ＝BC ＝1，P A ＝AD ＝2，
∴A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)， 当λ＝1
2时，F 为PC 中点，∴F ⎝⎛⎭⎫12，12，1， ∴BF →＝⎝⎛⎭⎫－12，12，1，CD →
＝(－1,1,0)， 设异面直线BF 与CD 所成的角为θ， ∴cos θ＝|cos 〈BF →，CD →
〉|＝12＋1
26
2×2＝33.
故异面直线BF 与CD 所成角的余弦值为33
. (3)设F (x 0，y 0，z 0)，
则PF →＝(x 0，y 0，z 0－2)，PC →
＝(1,1，－2)，
又PF →＝λPC →
，∴⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝λ，y 0＝λ，
z 0
＝2－2λ，
∴AF →
＝(λ，λ，2－2λ)．
设平面AFD 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧
m ·AF →＝0，m ·
AD →＝0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
λx 1＋λy 1＋(2－2λ)z 1＝0，2y 1＝0，
令z 1＝λ，得m ＝(2λ－2,0，λ)．
设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧
n ·PD →＝0，n ·
CD →＝0，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
2y 2－2z 2＝0，－x 2＋y 2＝0， 取y 2＝1，则x 2＝1，z 2＝1，∴n ＝(1,1,1)，
由m ⊥n ，得m·n ＝(2λ－2,0，λ)·(1,1,1)＝2λ－2＋λ＝0， 解得λ＝
23
.
当λ＝2
3
时，使得平面AFD ⊥平面PCD .
3．(2018·湖北襄阳四中模拟)如图，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，侧棱SA ⊥底面ABCD ，AB 垂直于AD 和BC ，SA ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝1，M 是棱SB 的中点．
(1)求证：AM ∥平面SCD ；
(2)求平面SCD 与平面SAB 所成二面角的余弦值；
(3)设点N 是直线CD 上的动点，MN 与平面SAB 所成的角为θ，求sin θ的最大值． 解析 (1)证明：以点A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (0,2,0)，C (2,2,0)，D (1,0,0)，S (0,0,2)，M (0,1,1)．
则AM →＝(0,1,1)，SD →＝(1,0，－2)，CD →
＝(－1，－2,0)． 设平面SCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧
SD →·n ＝0，CD →·
n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧
x －2z ＝0，－x －2y ＝0.
令z ＝1，得n ＝(2，－1,1)． ∵AM →·n ＝0，∴AM →⊥n .
∵AM ⊄平面SCD ，∴AM ∥平面SCD .
(2)易知平面SAB 的一个法向量为n 1＝(1,0,0)． 设平面SCD 与平面SAB 所成的二面角为φ， 易知0<φ<π2
，
则cos φ＝⎪⎪⎪⎪n 1·n |n 1|·|n|＝21·6＝63，即cos φ＝6
3. ∴平面SCD 与平面SAB 所成二面角的余弦值为6
3
. (3)设N (x,2x －2,0)，则MN →
＝(x,2x －3，－1)． ∵平面SAB 的一个法向量为n 1＝(1,0,0)， sin θ＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
x 5x 2－12x ＋10＝1
10×⎝⎛⎭⎫1x 2－12×1
x
＋5
＝
1
10×
⎝⎛⎭⎫1x －352
＋75
，
当1x ＝35，即x ＝53时，(sin θ)max ＝357
. 4．▱ABCD 中，AB ＝2，M 为CD 的中点，BM ＝3，且DAM 为等边三角形，沿AM 将△DAM 折起至P AM 的位置，使PB ＝2.
(1)求证：BM ⊥P A ；
(2)求二面角A -PB -M 的平面角的正弦值．
解析 (1)证明：由已知，在△ABM 中，BM ＝3，AM ＝1，AB ＝2，∴BM 2＋AM 2＝AB 2，∴BM ⊥AM .又在△PMB 中，PB ＝2，PM ＝1，BM ＝3，∴PM 2＋BM 2＝PB 2，∴BM ⊥PM .又PM ∩AM ＝M ，∴BM ⊥平面P AM ，∴BM ⊥P A .
(2)在△P AM 中，作PO ⊥AM 交AM 于点O ，取AB 中点K ，以O 为原点，OA ，OK ，OP 所在射线分别为x ，y ，z 轴正半轴建立空间直角坐标系(图略)，则由已知可得A ⎝⎛⎭⎫1
2，0，0，P ⎝
⎛⎭
⎫
0，0，
32，B ⎝⎛⎭⎫－12，3，0，M ⎝⎛⎭⎫－12，0，0， ∴P A →＝⎝⎛⎭⎫12，0，－32，P B →
＝⎝⎛⎭⎫－12，3，－32.
设平面P AB 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，
则由⎩⎪⎨⎪⎧
P A →·
n ＝0，P B →·
n ＝0，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x －3z ＝0，
－x ＋23y －3z ＝0，
∴n ＝(3，3，3)． 同理，平面PBM 的一个法向量为m ＝(－3,0，3)．
设二面角A -PB -M 的平面角为α， 则|cos α|＝
|m ·n ||m |·|n |＝55，∴sin α＝25
5
. 5．(2017·甘肃兰州诊断)如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝2，BC ＝CD ＝1，顶点D 1在底面ABCD 内的射影恰为点C .
(1)求证：AD 1⊥BC ；
(2)若直线DD 1与直线AB 所成的角为π
3，求平面ABC 1D 1与平面ABCD 所成角(锐角)的
余弦值．
解析 (1)证明：连接D 1C ，则D 1C ⊥平面ABCD ， ∴D 1C ⊥BC .
在等腰梯形ABCD 中，连接AC . ∵AB ＝2，BC ＝CD ＝1，AB ∥CD ， ∴AC ＝ 3. ∴AB 2＝BC 2＋AC 2.
∴BC ⊥AC ，又∵AC ∩D 1C ＝C ， ∴BC ⊥平面AD 1C ，∴AD 1⊥BC . (2)由(1)知，AC ，BC ，D 1C 两两垂直．
∵AB ∥CD ，∴∠D 1DC ＝π
3.
∵CD ＝1，∴D 1C ＝ 3.
又AC ＝3，以C 为原点，CA →，CB →，CD 1→
分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间
直角坐标系，则C (0,0,0)，A (3，0,0)，B (0,1,0)，D 1(0,0，3)，
AB →＝(－3，1，0)，AD 1→
＝(－3，0，3)． 设平面ABC 1D 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧
n ·AB →＝0，n ·
AD 1→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧
y －3x ＝0，z －x ＝0，
可得平面ABC 1D 1的一个法向量n ＝(1，3，1)． 又CD 1→
＝(0,0，3)为平面ABCD 的一个法向量， 因此cos 〈CD 1→
，n 〉＝CD 1→·n |CD 1→
||n |
＝55，
∴平面ABC 1D 1与平面ABCD 所成角(锐角)的余弦值为5
5
.
6．(2017·北京清华附中一模)如图，在棱台ABC -FED 中，△DEF 与△ABC 分别是边长为1与2的正三角形，平面ABC ⊥平面BCDE ，四边形BCDE 为直角梯形，BC ⊥CD ，CD
＝1，点G 为△ABC 的重心，N 为AB 的中点，AM →＝λAF →
(λ∈R ，λ>0)．
(1)当λ＝2
3
时，求证：GM ∥平面DFN ；
(2)若直线MN 与CD 所成角为π
3
，试求二面角M -BC -D 的余弦值．
解析 (1)证明：连接AG 并延长交BC 于点P ，连接PF ，NP .∵点G 为△ABC 的重心，∴P 为BC 的中点，且AG AP ＝23，又AM →＝23A F →
，∴AG AP ＝AM AF ＝23，∴GM ∥PF .∵N 为AB 的中点，P
为BC 的中点，∴NP ∥AC .又AC ∥DF ，
∴NP ∥DF ，则P ，D ，F ，N 四点共面，即PF ⊂平面DFN ， ∴GM ∥平面DFN .
(2)∵平面ABC ⊥平面BCDE ，平面ABC ∩平面BCDE ＝BC ，AP ⊥BC ，∴AP ⊥平面BCDE ，连接PE ，易得PE ⊥BC .以P 为原点，PC 所在直线为x 轴，PE 所在直线为y 轴，P A 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则C (1,0,0)，D (1,1,0)，A (0,0，3)，F ⎝⎛⎭⎫12，1，32，B (－1,0,0)，
N ⎝⎛⎭⎫－12
，0，32.设M (x ，y ，z )，∵AM →＝λAF →
，
∴M ⎝⎛⎭⎫λ2，λ，3－32λ，NM →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫λ＋12，λ，32(1－λ)， C D →
＝(0,1,0)．∵MN 与CD 所成角为π3，
∴cos π3＝|NM →·C D →
||NM →|·|C D →
|
＝
λ
⎝ ⎛⎭
⎪⎫λ＋122＋λ2＋3
4(1－λ)2＝12，得2λ2＋λ－1＝0，∴λ＝12
，∴M ⎝⎛⎭
⎫
14，12，334. 设平面MBC 的法向量为n ＝(a ，b ，c )，
则⎩⎪⎨⎪⎧
n ·
B C →＝0，n ·
BM →＝0，取n ＝(0,33，－2)．
又平面BCD 的一个法向量为ν＝(0,0,1)， ∴二面角M -BC -D 的余弦值为|n·ν||n |·|v |＝231
31
.。