浅谈勾股

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题目浅谈勾股

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摘要：勾股数是一个神秘、特殊的自然数组。它吸引了无数学者的目光！

本文将从勾股数的历史背景、构造、性质、以及判断方法去论

述它。

关键词：勾股定理勾股数直角三角形不定方程

Subject: talk about Hook shares

Author:Mathematics and computer college The professional of math Zhu Jiang jiang

Postal code：330038

Abstract:Hook number is a mysterious, special natural array. It attracted many scholars look!

This paper will hook number of historical background, structure, properties, and discusses its judgment method.

Keywords: hook number Pythagorean proposition

right-angle triangle Diophantine equation

一、历史背景

勾股数这个名称来源于我国公元前1世纪的古算书《周髀算

经)，书中记载了约公元前11世纪商高与周公的一段对话：“故折

矩．以为勾广三，股修四，径隅五。”这里的“勾”指直角三角形中较

短的直角边，“股”指另一条直角边，“径”指斜边，翻译成现在的语言是：由矩形对折而成的直角三角形。如果短直角边与长直角边的长

分别是3和4，那么斜边就是5，这里给出了一组勾股数。

能够成为直角三角形三边长度的三个正整数，被称为勾股数。

由勾股定理我们知道，对于自然数a,b、C，如果，则a,b、

c被称为一组勾股数。例如；3、4、5满足32+42=52，所以3．4、5就是一组勾股数，像这样的数组还有很多，如：5、12、13；7、24、25；9、40、41等。

从古时候起，人们就想知道，到底天有多高，地有多大?大约在公元前

1100年，周武王的弟弟周公就曾向当时的一位学者商高求教：“⋯⋯去

天不可阶而舟，地不可得尺寸丽度，请问数安从出?”商高所提供的测量 方法是“勾股术”：“⋯⋯故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。⋯⋯”据说， 在大禹治水的时候，就已经运用“勾三股四弦五”的特殊情形进行测量。 周公与商高的这段有趣的对话载于我国古代数学著作《周髀算经》(公 元前l 世纪)。经过历代数学家的完善，便形成了勾股定理(也称商高定 理)：直角三角形两直角边a 、b 的平方和，等于斜边c 的平方，即222a b c +=。 在西方，人们把这个定理的发现与证明归功于古希腊的毕达哥拉斯，因 而称之为毕达哥拉斯定理。满足勾股定理的正整数组称为勾股数(或毕 达哥拉斯数)。公元263年，魏朝的刘徽在《九章算术》中提到

222222222345,51213,72425+=+=+=

等。但是1945年，人们在对

古巴比伦人遗留下来的一块数学泥板的研究中，惊讶地发现上面竟然刻 有15组勾股数，其年代远在商高和毕达哥拉斯之前，大约在公元前1900 年到公元前1600年之间。这些勾股数组表明，古巴伦人早已掌握了勾股 定理并很可能找到了一种求得勾股数的一般方法，只不过人们还不能从 其他的泥板中找出更多的证据来证明这一点。毕达哥拉斯学派倒是明

确的给出了勾股数的一个公式：a=2n+l ，b 222n n =+，c=222n n =++1。其特点是

斜边与其中一直角边的差为1。另一个古希腊学者柏拉图(Pkll0，约公元 前427年～公元前347年)也给出了类似的式子：a=2n ，b=2n -1，c=2n +1。 此时斜边与其中一直角边之差为2。但是，他们给出的勾股数公式并不 能给出全部的勾股数组。公元l 世纪，我国古代数学名著《九章算术》提 出了一组求勾股数的式子，这组式子相当于：221()2

a m n =-，b=mn ，221()2

c m n =+ 到公元3世纪，大数学家刘徽用几何方法，证明了这个式子。这是

迄今为止用于勾股数的最完美的表达式形式之一。

二、 勾股的认识与发现

人类对于勾股数的认识可以说是源远流长，在古代的四大文明

古国(中国、埃及、印腰、和巴比伦)的史册里鄙有勾股数的记载。到

底是谁最早发现，岁月的风尘已淹没了许许多多历史的真相，但它

的发现确是人类伟大而永远的财富。

在教学研究中，我发现勾股数存在如下的规律：

1)如果a ．b 、C 是一组勾股数，那么h 、kb 、kc 也是一组勾股数

(其中的“k ”是正整数)。比如3、4、5是一组勾股数(k 是“2“或“3”)， 则6、8、10；9、12、15等必然也是勾股数。验证得知：由222a b c +=．

所以222222222222()()()()ka kb k a k b k a b k c kc +=+=+==。

2)如果a=2n -1，b=2n ，c=2n +l(n>1)，那么a 、b 、c 是勾股数。验证

一下：因为22222422222(1)4124(1)a b n n n n n n c +=-+=+-+=+=

所以a 、b 、c 是勾股数。但因2n +l 与2n -1只差2，所以像7、

24、25这样的勾股数就不能由这个公式给出，这一公式还是有其局

限性的。

3)对于5、12、13；7、24、25；9、40、41；1l 、60、61等这样的勾股教 可以由公式a=2n+l ；b=22n +2n ，c=22n +2n+l 得到，这容易由勾股定

理的逆定理得到验证。

通过观察分析上述勾股数，我还发现了勾股数的一些特点：

第一．如果直角三角形的短直角边为奇数，那么另一直角边和

斜边是两个连续的自然数。

第二。一个直角三角形的周长等于短直角的平方与短边自身

的和。

例如：直角三角形的三条边长是正整数，其中一条短直角边的

长度为13，求这个直角三角形的周长。

由上述特点一解：设这个直角三角形三个边分别是13、x 、x+l ，

则有：169+2x =2x+1（），解得x=84，那么此直角三角形的周长是：

13+84+85=182。

由上述特点二解：此直角三角形是以奇数为短直角边构成的直

角三角形，因此周长是169+13=182。

4)若x---2p +pq ．Y=，z=2p +则x ．y 、z 是勾殷数，此公式涵盖了自然 界的全部勾股数。

5)与勾股数有关的还有如下表达式。

(1)2222:::()/2:()/2a b c mn m n m n =-+ (m 、n 为奇数)；

(2)a=m,b=(2m -1)/2,c=(2m +1)/2 (m 为奇数)；

(3)a=,b=+m ，C=+m+n ，(2mn 为完全平方数)，这里的正整数

a 、

b 、

c 都满足22a b +=2c 。

6其实质三边是整数的直角三角形的情形就是解不定方程222x y z +=， 由躜此处x>O ，y>O ，z>O ．且假定x,y 互质，即（x,y ）=1并且容易验证x 、y 中

一定是一日錾一双，不妨假定x 是双数，则此不定方程—切正整数解，可以用

下列公式表示出来：x=2mn ，y=22()m n -，z=22m n +．2(m>n>0)，(m ，n)=1，