SSP第3章倒格子布里渊110827-P

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3.2 倒格子的定义
3.2.1 倒格子定义之一
设，布拉菲格子基矢为 a1,a2,a3， 将由矢量
R l = l1a1 + l2a 2 + l3a3， li 为整数， = 1,2,3 i
决定的格子，称为正格子， 将满足下述关系：
2π ai ⋅ b j = 2πδ ij = 0 i= j i≠ j i, j = 1,2,3
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3.4 布里渊区
3.4.5 体心立方(BCC)的第一布里渊区
BCC (正基矢) a a1 = (-i + j + k ) 2 a a 2 = (i − j + k ) 2 a a 3 = (i + j − k ) 2
b1 = 2π a 2 × a3 a1 ⋅ (a 2 × a3 )
BCC (倒基矢) 2π b1 = (j + k) a 2π b2 = (k + i ) a 2π b3 = (i + j) a
3.3.2 倒格子的倒格子是原布拉菲格子
按倒格子基矢定义构造基矢 c1, c2, c3，可以证明 ci = ai，i = 1,2,3。
2π (b 2 × b 3 ) 2π = * b 2 × b 3 利用 a × b × c = b(a ⋅ c) − c(a ⋅ b) b1 ⋅ b 2 × b 3 Ω (a3 × a1 ) × (a1 × a 2 ) (2π ) 2 = a1[(a3 × a1 ) ⋅ a 2 ] Q b 2 × b3 = (a3 × a1 ) × (a1 × a 2 ) Ω2 − a 2 [(a3 × a1 ) ⋅ a1 ] 2 2 (2π ) (2π ) = a1[(a3 × a1 ) ⋅ a 2 ] = a1Ω = a1 2 Ω Ω = a1Ω 2π (2π ) 2 2π (b 2 × b 3 ) Rl，Kh所代表点的集合都 a1 = * ∴ c1 = Ω b1 ⋅ b 2 × b 3 Ω 是布拉菲格子，且互为 正倒格子。事实上在 * 3 又 Ω Ω = (2π ) eiK h ⋅R l = 1 ∴ c1 = a1 同理：c 2 = a 2， c3 = a 3 中 Rl，Kh地位全同。 即令：c1 =
b3 =
2π a1 × a 2 a1 ⋅ (a 2 × a3 )
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3.2 倒格子的定义
3.2.3 倒格子定义之三
采用波函数定义倒格子 设有以 a1,a2,a3为基矢的布拉菲格子
R l = l1a1 + l2a 2 + l3a3， li 为整数， = 1,2,3 i
并有平面波 eik⋅r 。 定义，具有给定布拉菲格子周期性的那些平面波，其波矢 Kh 所 代表点的集合称为 Rl 的倒格子。 其数学表达为 ，如有
∴ d h1h2h3 = OA⋅ G h1h2h3 / Gh1h2h3
→
a3 a3/h3 0 a1/h1 A C Gh1h2h3 B a2 a2/h2 a1
a1 = ⋅ (h1b1 + h2b 2 + h3b 3 ) / Gh1h2h3 h1 = 2π / Gh1h2h3 即：Gh1h2h3 = 2π / d h1h2h3，
= 2π (h1l1 + h2l2 + h3l3 ) = 2πµ Q li , hi 都是整数， µ 也应是整数， ∴ eiK h ⋅R l = ei 2πµ = 1
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3.3 倒格子的性质
3.3.1 倒格子原胞体积 Ω*与正格子原胞体积 Ω 的关系
可以证明，
Ω* = (2π )3 /Ω， 即，Ω*Ω = (2π )3 (a 2 × a3 ) (a3 × a1 ) (a1 × a 2 ) ⋅[ × ] a1 ⋅ (a 2 × a3 ) a1 ⋅ (a 2 × a 3 ) a1 ⋅ (a 2 × a3 )
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3.4 布里渊区
3.4.2 布里渊区界面方程
令，Kh为倒格矢，如下图， A为Kh的垂直平分面 k为倒空间的矢量 则，A上所有点都应满足
1 K h2 2 证明：由图可见， k ⋅Kh = Q K 1 k ⋅ h = Kh Kh 2 1 Kh 2
A
1 Kh 2
0 k
k’
Kh
∴
k ⋅Kh =
1 2 Kh 2
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3.4 布里渊区
3.4.4 面心立方(FCC)的第一布里渊区
FCC (正基矢) a a1 = ( j + k ) 2 a a 2 = (k + i ) 2 a a3 = (i + j) 2
FCC (倒基矢) 2π (-i + j + k ) a 2π b2 = (i − j + k ) a 2π b3 = (i + j − k ) a b1 =
b1 = 2π a 2 × a3 a1 ⋅ (a 2 × a3 )
BCC (正基矢) a a1 = (-i + j + k ) 2 a a 2 = (i − j + k ) 2 a a 3 = (i + j − k ) 2
可见 FCC倒格子是一个边长为 4π/a的BCC格子。 倒格子原点最近邻有八个格点。 所以FCC晶格第一布里渊区是一个 截顶十四面体。
3.3.4 倒格矢 G h1h2h3 = h1b1 + h2b 2 + h3b 3 与正格子中晶面系 (h1h2h3) 正交
因为已知，晶面系 (h1h2h3) 中最靠近原点的晶面 ABC 在基矢a1, a2, a3上的截距分别为 a1/h1, a2/h2, a3/h3，如下图，Gh1h2h3 为 晶面 ABC 的法线， → → → → → → a a a3 a1 有， CA = OA− OC = − ， CB = OB − OC = 2 h − 3 h h1 h3 2 3
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3.4 布里渊区
3.4.3 布里渊区性质
1、各布里渊区的形状都关于原点对 称。 2、各布里渊区都可通过平移倒格矢 到达第一布里渊区，且与之完全重合。 3、每个布里渊区的体积都相等，且 等于倒格子原胞体积。
G
4、布里渊区的形状完全由晶体布拉菲格子决定(倒格矢由正格 矢定义)，所以不管晶体的基元代表什么，只要布拉菲格子相同， 布里渊区形状就相同。 5、简约布里渊区----第一布里渊区
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3.3 倒格子的性质
3.3.3 晶体中物理量的傅里叶变换关系
设，晶体任一 r 处有物理量Γ (r)， 由晶格的周期性，应有Γ (r) = Γ (r+Rl)，Rl为任意正格矢， 周期性函数可作傅里叶级数展开如下：
Γ (r ) = ∑ F (K h )eiK h ⋅r Γ (r + R l ) = ∑ F (K h )eiK h ⋅(r + R l ) = ∑ F (K h )eiK h ⋅r ) ⋅ eiK h ⋅R l
= (a 2 × a3 ) ⋅ {a1[(a3 × a1 ) ⋅ a 2 ] − a 2 [(a3 × a1 ) ⋅ a1 ]} = (a 2 × a3 ) ⋅ a1[(a3 × a1 ) ⋅ a 2 ] = ΩΩ = Ω2
∴ Ω* = (2π )3 /Ω， 即，Ω*Ω = (2π )3
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3.3 倒格子的性质
eiK h ⋅( R l + r ) = eiK h ⋅r
对于任何 r 和 Rl 成立，那么 Kh 决定的格子就是布拉菲格子 Rl 的 倒格子。
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3.2 倒格子的定义
倒格子定义之三验证
由以上定义，要求 Kh满足，
eiK h ⋅R l = 1
这是因为，
eiK h ⋅( R l + r ) = eiK h ⋅r , 即：eiK h ⋅R l ⋅ eiK h ⋅r = eiK h ⋅r，即：eiK h ⋅R l = 1
∴ c = 2π
(= a1 ⋅ b1 )
显然，倒格子基矢，也即倒格 a1 ⋅ (a 2 × a3 ) 矢的量纲是 [长度]-1，与 波矢的量纲一致。 由此，可以直接定义倒格子基矢为：
b1 = 2π a 2 × a3 a1 ⋅ (a 2 × a3 )
b2 =
2π a3 × a1 a1 ⋅ (a 2 × a3 )
a1 =
FCC (正基矢) a (j + k) 2 a a 2 = (k + i ) 2 a a 3 = (i + j) 2
可见 BCC 倒格子是一个边长为4π/a 的FCC格子。 倒格子原点最近邻有十二个格点。 所以BCC晶格第一布里渊区是一个 正十二面体。
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3.5 晶体的X射线衍射
可以验证，当波矢Kh取为
K h = h1b1 + h2b 2 + h3b 3， h1h2 h3为整数
其中 b1,b2,b3 由 验证：
a i ⋅b j = 2πδ ij
确定，则以上条件成立。
K h ⋅ R l = (h1b1 + h2b 2 + h3b 3 ) ⋅ (l1a1 + l2a 2 + l3a3 )
Q Ω* = b1 ⋅ (b 2 × b 3 ) = (2π )3 = (2π )3
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Ω 利用 a × b × c = b(a ⋅ c) − c(a ⋅ b)
(a 2 × a3 ) ⋅ [(a3 × a1 ) × (a1 × a 2 )]
分解， (a 2 × a3 ) ⋅ [(a3 × a1 ) × (a1 × a 2 )]
由此得证，倒格矢 G h1h2h3 的长度 Gh1h2h3 是
晶面系 (h1h2 h3 ) 面间距 d h1h2h3 倒数的 2π 倍。
倒格矢取向及长度与晶面的关系，使得倒格矢与晶面一一对应。
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3.4 布里渊区
3.4.1 布里渊区定义
定义：在倒格子中，以某一格点为坐标原点，作所有倒格矢的垂 直平分面，倒格子空间被这些平面分成许多包围原点的多面 体区域，这些区域称为布里渊区。 第一布里渊区：最靠近原点的平 面所围的区域。 第二布里渊区：第一布里渊区界 面与次远垂直平分面所围的 区域。 第三布里渊区示意。 第 n 个布里渊区是从原点出发， 跨过 (n-1) 个垂直平分面达 到的所有点的集合。