高考数学(理科)一轮复习双曲线学案含答案

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高三第一轮复习——双曲线篇(试题及答案)

1．解析由双曲线的渐近线的公式为，
可知选项A的渐近线方程为 .故选A.
2.解析由题意可得，，故 .所以渐近线的方程为 .
将代入渐近线方程，得，则 .故选D.
3. 9．解析利用几何意义，即找到到直线的最小距离（或取不到），该值即为实数的最大值．
由双曲线的渐近线为，易知与平行，因此该两平行线间的距离即为最小距离（且无法达到），故实数的最大值为．
2．解析解法一（基本量法）：由，，，，即 .
评注双曲线的问题多在小题中出现，注意基本的等量关系及定义，特别是特有的渐近线方程的求解.
1. A解析由题意得，解得，所以双曲线的方程为 .
故选 .
2. 解析，故焦距为 .
3. 8. 解析双曲线的渐近线为，一个焦点为 .再由题设，可得，解得 .
1.解析由，得，所以，将代入，得，所以，又A的坐标是(1，3)，故的面积为 .故选D.
（1）若，，成等差数列，求数列的通项公式；
（2）设双曲线的离心率为，且，求 .
2017年
1.（2017全国2卷文5）若，则双曲线的离心率的取值范围是（）.
A. B. C. D.
2.（2017北京卷文10）若双曲线的离心率为，则实数 _________.
1.解析由题意，，
当时，，；当时，， .故选D.
2.解析（1）由已知，，两式相减得到， .
又由，得到，故对所有都成立.
所以数列是首项为，公比为的等比数列.从而 .
由，，成等差数列，可得，所以，故 .
所以 .
（2）由（1）可知， .
所以双曲线的离心率 .

高中数学一轮复习(含答案) 9.7 双曲线

第七节双曲线一、基础知识1．双曲线的定义平面内到两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ❶(2a ＜|F 1F 2|)的点P 的轨迹叫做双曲线❷.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．❶当|PF 1|－|PF 2|＝2a (2a ＜|F 1F 2|)时，点P 的轨迹为靠近F 2的双曲线的一支.当|PF 1|－|PF 2|＝－2a (2a ＜|F 1F 2|)时，点P 的轨迹为靠近F 1的双曲线的一支.❷若2a ＝2c ，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线；若2a ＞2c ，则轨迹不存在；若2a ＝0，则轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线.2.双曲线的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．3．双曲线的几何性质二、常用结论(1)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2a，也叫通径．(2)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)．(3)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .(4)若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .考点一双曲线的标准方程[典例] (1)(2018·石家庄摸底)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是( )A.7x 216－y 212＝1 B.y 23－x 22＝1C ．x 2－y 23＝1D.3y 223－x 223＝1 (2)(2018·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1 D.x 29－y 23＝1 [解析] (1)法一：当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线的标准方程是x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎨⎧4a 2－9b 2＝1，ba ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1；当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线的标准方程是y 2a 2－x2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎨⎧9a 2－4b 2＝1，ab ＝3，无解．故该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，选C. 法二：当其中的一条渐近线方程y ＝3x 中的x ＝2时，y ＝23＞3，又点(2,3)在第一象限，所以双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线的标准方程是x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎨⎧4a 2－9b 2＝1，ba ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，故选C. 法三：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，即y 3＝±x ，所以可设双曲线的方程是x 2－y 23＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，故选C. (2)法一：如图，不妨设A 在B 的上方，则A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a . 又双曲线的一条渐近线为bx －ay ＝0，则d 1＋d 2＝bc －b 2＋bc ＋b 2a 2＋b 2＝2bcc ＝2b ＝6，所以b ＝3.又由e ＝c a ＝2，知a 2＋b 2＝4a 2，所以a ＝ 3. 所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1.法二：由d 1＋d 2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b ＝3.因为双曲线 x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以c a ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a 2＝4，解得a 2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1，故选C. [答案] (1)C (2)C[题组训练]1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，若|PF 1|－|PF 2|＝4b ，且双曲线的焦距为25，则该双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 2＝1 B.x 23－y 22＝1 C ．x 2－y 24＝1 D.x 22－y 23＝1 解析：选A 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝4b ，c 2＝a 2＋b 2，2c ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，则该双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长为4，离心率为 5，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 216＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 22－y 23＝1 D ．x 2－y 26＝1 解析：选A 因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长为4，所以a ＝2，由离心率为5，可得ca ＝5，c ＝25，所以b ＝c 2－a 2＝20－4＝4，则双曲线的标准方程为x 24－y 216＝1.3．经过点P (3,27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为____________．解析：设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，因为所求双曲线经过点P (3,27)，Q (－62，7)，所以⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝125.故所求双曲线方程为y 225－x 275＝1.答案：y 225－x 275＝1考点二双曲线定义的应用考法(一) 利用双曲线的定义求双曲线方程[典例] 已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 22－y 214＝1(x ≥ 2) B.x 22－y 214＝1(x ≤－2) C.x 22＋y 214＝1(x ≥ 2) D.x 22＋y 214＝1(x ≤－2) [解析] 设动圆的半径为r ，由题意可得|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r －2，所以|MC 1|－|MC 2|＝22＝2a ，故由双曲线的定义可知动点M 在以C 1(－4,0)，C 2(4,0)为焦点，实轴长为2a ＝22的双曲线的右支上，即a ＝2，c ＝4⇒b 2＝16－2＝14，故动圆圆心M 的轨迹方程为x 22－y 214＝1(x ≥ 2)．[答案] A[解题技法] 利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．考法(二) 焦点三角形问题[典例] 已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析] 由双曲线的方程得a ＝1，c ＝2，由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝2. 在△PF 1F 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°，即(22)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|＝22＋|PF 1|·|PF 2|，解得|PF 1|·|PF 2|＝4. [答案] B [解题技法] 在双曲线中，有关焦点三角形的问题常用双曲线定义和解三角形的知识来解决，尤其是涉及|PF 1|，|PF 2|的问题，一般会用到双曲线定义．涉及焦点三角形的面积问题，若顶角θ已知，则用S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin θ，|||PF 1|－|PF 2|＝2a 及余弦定理等知识；若顶角θ未知，则用S △PF 1F 2＝12·2c ·|y 0|来解决．[题组训练]1．已知点F 1(－3,0)和F 2(3,0)，动点P 到F 1，F 2的距离之差为4，则点P 的轨迹方程为( ) A.x 24－y 25＝1(y >0) B.x 24－y 25＝1(x >0) C.y 24－x 25＝1(y >0) D.y 24－x 25＝1(x >0) 解析：选B 由题设知点P 的轨迹方程是焦点在x 轴上的双曲线的右支，设其方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(x >0，a >0，b >0)，由题设知c ＝3，a ＝2，b 2＝9－4＝5，所以点P 的轨迹方程为x 24－y 25＝1(x >0)．2．已知双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点．若|PF 1|＝43|PF 2|，则△F 1PF 2的面积为( )A ．48B ．24C ．12D ．6解析：选B 由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝13|PF 2|＝2a ＝2，解得|PF 2|＝6，故|PF 1|＝8，又|F 1F 2|＝10，由勾股定理可知三角形PF 1F 2为直角三角形，因此S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝24.考点三双曲线的几何性质考法(一) 求双曲线的离心率(或范围)[典例] (2018·长春二测)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤53，2B.⎝⎛⎦⎤1，53 C ．(1,2] D.⎣⎡⎭⎫53，＋∞[解析] 由双曲线的定义可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝4|PF 2|，所以|PF 2|＝2a3，由双曲线上的点到焦点的最短距离为c －a ，可得2a 3≥c －a ，解得c a ≤53，即e ≤53，又双曲线的离心率e ＞1，故该双曲线离心率的取值范围为⎝⎛⎦⎤1，53，故选B. [答案] B [解题技法] 1．求双曲线的离心率或其范围的方法 (1)求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2直接求e . (2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．2．求离心率的口诀归纳：离心率，不用愁，寻找等式消b 求；几何图形寻迹踪，等式藏在图形中．考法(二) 求双曲线的渐近线方程[典例] (2019·武汉部分学校调研)已知双曲线C ：x 2m 2－y 2n 2＝1(m ＞0，n ＞0)的离心率与椭圆x 225＋y 216＝1的离心率互为倒数，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．4x ±3y ＝0B ．3x ±4y ＝0C ．4x ±3y ＝0或3x ±4y ＝0D ．4x ±5y ＝0或5x ±4y ＝0 [解析] 由题意知，椭圆中a ＝5，b ＝4，∴椭圆的离心率e ＝1－b 2a 2＝35，∴双曲线的离心率为 1＋n 2m 2＝53，∴n m ＝43，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±n m x ＝±43x ，即4x ±3y ＝0.故选A. [答案] A [解题技法] 求双曲线的渐近线方程的方法：求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x 2a 2－y 2b 2＝0，得y ＝±b a x ；或令y 2a 2－x 2b 2＝0，得y ＝±ab x .反之，已知渐近线方程为y ＝±b a x ，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(a ＞0，b ＞0，λ≠0)．[题组训练]1．(2019·潍坊统一考试)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点到渐近线的距离为3，且离心率为2，则该双曲线的实轴的长为( )A ．1 B. 3 C ．2D ．2 3解析：选C 由题意知双曲线的焦点(c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为bca 2＋b2＝b ＝3，即c 2－a 2＝3，又e ＝ca＝2，所以a ＝1，该双曲线的实轴的长为2a ＝2.2．已知直线l 是双曲线C ：x 22－y 24＝1的一条渐近线，P 是直线l 上一点，F 1，F 2是双曲线C 的左、右焦点，若PF 1―→·PF 2―→＝0，则点P 到x 轴的距离为( )A.233B. 2 C ．2 D.263解析：选C 由题意知，双曲线的左、右焦点分别为F 1(－6，0)，F 2(6，0)，不妨设直线l 的方程为y ＝2x ，设P (x 0，2x 0)．由PF 1―→·PF 2―→＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 20－6＝0，得x 0＝±2，故点P 到x 轴的距离为|2x 0|＝2，故选C.3．(2019·成都一诊)如图，已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，长方形ABCD 的顶点A ，B 分别为双曲线E 的左、右焦点，且点C ，D 在双曲线E 上，若|AB |＝6，|BC |＝52，则双曲线E 的离心率为( )A. 2B.32C.52D. 5解析：选B 根据|AB |＝6可知c ＝3，又|BC |＝52，所以b 2a ＝52，b 2＝52a ，所以c 2＝a 2＋52a ＝9，解得a＝2(舍负)，所以e ＝c a ＝32.4．(2018·郴州二模)已知双曲线y 2m －x 29＝1(m ＞0)的一个焦点在直线x ＋y ＝5上，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±34xB ．y ＝±43xC ．y ＝±223xD ．y ＝±324x解析：选B 由双曲线y 2m －x 29＝1(m ＞0)的焦点在y 轴上，且在直线x ＋y ＝5上，直线x ＋y ＝5与y轴的交点为(0,5)，有c ＝5，则m ＋9＝25，得m ＝16，所以双曲线的方程为y 216－x 29＝1，故双曲线的渐近线方程为y ＝±43x .故选B.[课时跟踪检测]1．(2019·襄阳联考)直线l ：4x －5y ＝20经过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点和虚轴的一个端点，则双曲线C 的离心率为( )A.53B.35C.54D.45解析：选A 由题意知直线l 与两坐标轴分别交于点(5,0)，(0，－4)，从而c ＝5，b ＝4，∴a ＝3，双曲线C 的离心率e ＝c a ＝53.2．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且|PF 1|＝6，则|PF 2|＝( ) A ．6B ．4C ．8D ．4或8解析：选D 由双曲线的标准方程可得a ＝1，则||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2，即|6－|PF 2||＝2，解得|PF 2|＝4或8.3．(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为( ) A. 2B ．2 C.322D ．2 2解析：选D ∵e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝2，∴ba＝1. ∴双曲线的渐近线方程为x ±y ＝0. ∴点(4,0)到C 的渐近线的距离d ＝42＝2 2. 4．若实数k 满足0＜k ＜9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等解析：选D 由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等．5．(2018·陕西部分学校摸底)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1，过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行直线，则该直线与另一条渐近线及x 轴所围成的三角形的面积为( )A.24B.22 C.28D.216解析：选C 设双曲线C 1的左顶点为A ，则A ⎝⎛⎭⎫－22，0，双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，不妨设题中过点A 的直线与渐近线y ＝2x 平行，则该直线的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1.联立⎩⎨⎧y ＝－2x ，y ＝2x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝－24，y ＝12.所以该直线与另一条渐近线及x 轴所围成的三角形的面积S ＝12·|OA |·12＝12×22×12＝28，故选C. 6．(2019·辽宁五校协作体模考)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为5，从双曲线C 的右焦点F 引渐近线的垂线，垂足为A ，若△AFO 的面积为1，则双曲线C 的方程为( )A.x 22－y 28＝1 B.x 24－y 2＝1 C.x 24－y 216＝1 D ．x 2－y 24＝1 解析：选D 因为双曲线C 的右焦点F 到渐近线的距离|F A |＝b ，|OA |＝a ，所以ab ＝2，又双曲线C 的离心率为5，所以 1＋b 2a 2＝5，即b 2＝4a 2，解得a 2＝1，b 2＝4，所以双曲线C 的方程为x 2－y 24＝1，故选D.7．(2018·北京高考)若双曲线x 2a 2－y 24＝1(a >0)的离心率为52，则a ＝________.解析：由e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2，得a 2＋4a 2＝54，∴a 2＝16.∵a >0，∴a ＝4. 答案：4 8．过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝________. 解析：双曲线的右焦点为F (2,0)，过F 与x 轴垂直的直线为x ＝2，渐近线方程为x 2－y 23＝0，将x ＝2代入x 2－y 23＝0，得y 2＝12，y ＝±23，故|AB |＝4 3. 答案：4 39．(2018·海淀期末)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________.解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，由已知可得两条渐近线互相垂直，由双曲线的对称性可得ba＝1.又正方形OABC 的边长为2，所以c ＝22，所以a 2＋b 2＝c 2＝(22)2，解得a ＝2.答案：210．(2018·南昌摸底调研)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过点F 作圆(x －a )2＋y 2＝c 216的切线，若该切线恰好与C 的一条渐近线垂直，则双曲线C 的离心率为________．解析：不妨取与切线垂直的渐近线方程为y ＝b a x ，由题意可知该切线方程为y ＝－ab (x －c )，即ax ＋by －ac ＝0.圆(x －a )2＋y 2＝c 216的圆心为(a,0)，半径为c4，则圆心到切线的距离d ＝|a 2－ac |a 2＋b 2＝ac －a 2c ＝c 4，又e ＝ca，则e 2－4e ＋4＝0，解得e ＝2，所以双曲线C 的离心率e ＝2. 答案：2 11．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)，点 M (3，m )在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)求证：MF 1―→·MF 2―→＝0；(3)求△F 1MF 2的面积．解：(1)∵e ＝2，∴双曲线的实轴、虚轴相等．则可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. ∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 26－y 26＝1.(2)证明：不妨设F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则MF 1―→＝(－23－3，－m )，MF 2―→＝(23－3，－m )．∴MF 1―→·MF 2―→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2，∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0，∴MF 1―→·MF 2―→＝0. (3)△F 1MF 2的底边长|F 1F 2|＝4 3.由(2)知m ＝±3. ∴△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝12×43×3＝6.12．中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求椭圆和双曲线的方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．解：(1)由题知c ＝13，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线方程为x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a －m ＝4，7·13a＝3·13m ，解得a ＝7，m ＝3.则b ＝6，n ＝2.故椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线为x 29－y 24＝1. (2)不妨设F 1，F 2分别为椭圆与双曲线的左、右焦点，P 是第一象限的交点，则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6，所以|PF 1|＝10，|PF 2|＝4. 又|F 1F 2|＝213，所以cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝102＋42－(213)22×10×4＝45.。

2019届高考理科数学一轮复习精品学案：第51讲双曲线(含解析)

5. B [ 解析 ] 将 x=c 代入 - =1, 得 y=± , 不妨取 A c, , B c, - , 则 |AB|= , 将 x=c 代入 y=± x,
得 y=± , 不妨取 C c, , D c, - , 则 = . ∵ ≥
, ∴ ≥ × , 即 b≥ c, 则 b2≥ c2, 即
c2 -a 2≥ c2, 即 c2≥ a2, 则 e2≥ , 则 e≥ , 故选 B.
是双曲线 - =1 的下支 .
7. 2 或
[ 解析 ] 若双曲线的焦点在 x 轴上 , 设双曲线的方程为 - =1, 则渐近线的方程为 y=± x, 由题意
可得 b= a, 可得 c=2a, 则 e= =2; 若双曲线的焦点在 y 轴上 , 设双曲线的方程为 - =1, 则渐近线的方程为
y=± x, 由题意可得 a= b, 可得 c= a, 则 e= . 综上可得 e=2 或 e= .
A. - =1B. - =1
C. - =1D. - =1 [ 解析 ] B 由离心率为知该双曲线为等轴双曲线 , 渐近线方程为 y=±x. 又 ∵过 F 和 P(0,4) 的直线与双曲线的渐近线平行 , ∴c=4, a=b=2 . 故选 B.
2. [ 2017 ·山东卷 ] 在平面直角坐标系 xOy中 , 双曲线 - =1( a>0, b>0) 的右支与焦点为 F 的抛物线
[ 解析 ] B ∵ 双曲线的一条渐近线方程为 y= x, ∴ = ①．又 ∵椭圆 + =1 与双曲线有公共焦点 , ∴c=3, 则 a2+b2=c2=9②．
由 ①② 解得 a=2, b= , 故双曲线 C的方程为 - =1.
3. [ 2016 ·全国卷 Ⅰ] 已知方程

高考数学专题复习：双曲线(含解析)

高考数学专题复习：双曲线(含解析)本文存在大量的格式错误和段落问题，需要进行修正和删减。

修正后的文章如下：研究目标：1.理解双曲线的定义、几何图形、标准方程以及简单几何性质。

2.理解数形结合的思想。

3.了解双曲线的实际背景及其简单应用。

一、单选题1.设 $F_1,F_2$ 分别是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，点 $P$ 在双曲线 $C$ 的右支上，且 $F_1P=F_2P=c$，则 $\frac{c^2}{a^2-b^2}$ 的值为：A。

$1$B。

$\frac{1}{2}$C。

$\frac{1}{3}$D。

$\frac{1}{4}$答案】B解析】根据双曲线的性质求出 $c$ 的值，结合向量垂直和向量和的几何意义进行转化求解即可。

点睛】本题主要考查双曲线性质的意义，根据向量垂直和向量和的几何意义是解决本题的关键。

2.设 $F_1(-1,0),F_2(1,0)$ 是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，$A(0,b)$ 为左顶点，点$P$ 为双曲线右支上一点，且 $AP=\frac{a}{2}$，则$\frac{b^2}{a^2}$ 的值为：A。

$1$B。

$\frac{1}{2}$C。

$\frac{1}{3}$D。

$\frac{1}{4}$答案】D解析】先求出双曲线的方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，再求出点 $P$ 的坐标，最后求$\frac{b^2}{a^2}$。

点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和向量的数量积运算，考查双曲线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力。

双曲线的通径为 $2a$。

3.已知直线$l$ 的倾斜角为$\theta$，且$l: y=x\tan\theta$，直线 $l$ 与双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右两支分别交于 $A,B$ 两点，$OA\perp$轴，$OB\perp$轴（其中 $O$、$F_1,F_2$ 分别为双曲线的坐标原点、左、右焦点），则该双曲线的离心率为：A。

2020高考数学理科大一轮复习导学案《双曲线》含答案

第六节双曲线知识点一双曲线的定义平面内动点P与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a<2c)，则点P的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．1．判断正误(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．(×)(2)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(×)2．设P是双曲线x216－y220＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于(B)A．1 B．17C．1或17 D．以上答案均不对解析：由题意知|PF1|＝9<a＋c＝10，所以P点在双曲线的左支，则有|PF2|－|PF1|＝2a＝8，故|PF2|＝|PF1|＋8＝17.知识点二双曲线的标准方程与几何性质1．双曲线的标准方程和几何性质2.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝ 2.3．双曲线方程：x 2|k |－2＋y 25－k ＝1，那么k 的范围是( D )A ．k >5B ．2<k <5C ．－2<k <2D ．－2<k <2或k >5解析：由题意知，(|k |－2)(5－k )<0，解得－2<k <2或k >5.4．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( A )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22xD ．y ＝±32x解析：解法1：由题意知，e ＝ca ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，所以b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x ，故选A.解法2：由e ＝ca ＝1＋(b a )2＝3，得ba ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x ，故选A.5．(2019·合肥市质量检测)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0所截得的弦的长为2，则该双曲线的离心率等于62.解析：不妨取双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为bx －ay ＝0，圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0的圆心为(3,0)，半径为2，∴圆心(3,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离d ＝3ba 2＋b2，又d ＝22－(22)2＝3，∴3ba 2＋b2＝3，化简得a 2＝2b 2，∴该双曲线的离心率e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝1＋12＝62.1．双曲线定义的四点辨析(1)当0<2a <|F 1F 2|时，动点的轨迹才是双曲线． (2)当2a ＝0时，动点的轨迹是线段F 1F 2的中垂线．(3)当2a ＝|F 1F 2|时，动点的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线． (4)当2a >|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在． 2．方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示的曲线(1)当m >0，n >0时，表示焦点在x 轴上的双曲线． (2)当m <0，n <0时，则表示焦点在y 轴上的双曲线． 3．方程的常见设法(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)． (2)若渐近线的方程为y ＝±b a x ，则可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．考向一双曲线的定义及应用【例1】(1)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P 在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于()A．2 B．4C．6 D．8(2)已知圆C：(x－3)2＋y2＝4，定点A(－3,0)，则过定点A且和圆C外切的动圆圆心M的轨迹方程为________．【解析】(1)由双曲线的方程得a＝1，c＝2，由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2.在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°，即(22)2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|＝22＋|PF1|·|PF2|.解得|PF1|·|PF2|＝4.故选B.(2)设动圆M的半径为R，则|MC|＝2＋R，|MA|＝R，∴|MC|－|MA|＝2，由双曲线的定义知，M点的轨迹是以A，C为焦点的双曲线的左支，且a＝1，c＝3，∴b2＝8，则动圆圆心M的轨迹方程为x2－y28＝1(x≤－1)．【答案】(1)B(2)x2－y28＝1(x≤－1)双曲线定义的主要应用方面(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．(2019·沈阳市教学质量监测(一))已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 与双曲线C 的焦点不重合，点M 关于F 1，F 2的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在双曲线的右支上，若|AN |－|BN |＝12，则a ＝( A )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：如图，设MN 的中点为P .∵F 1为MA 的中点，F 2为MB 的中点，∴|AN |＝2|PF 1|，|BN |＝2|PF 2|，又|AN |－|BN |＝12，∴|PF 1|－|PF 2|＝6＝2a ， ∴a ＝3.故选A.考向二双曲线的标准方程【例2】 (2018·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1D.x 29－y 23＝1【解析】解法1：因为直线AB 经过双曲线的右焦点，所以不妨取A (c ，b 2a )，B (c ，－b 2a )，取双曲线的一条渐近线为直线bx －ay ＝0，由点到直线的距离公式可得d 1＝|bc －b 2|a 2＋b 2＝bc －b 2c ，d 2＝|bc ＋b 2|a 2＋b 2＝bc ＋b 2c ，因为d 1＋d 2＝6，所以bc －b 2c ＋bc ＋b 2c ＝6，所以2b ＝6，得b ＝3.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以ca ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a 2＝4，解得a 2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1，故选C.解法2：由d 1＋d 2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b＝3.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以ca ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a 2＝4，解得a 2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1，故选C.【答案】 C求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值．(1)(2019·福州高三考试)已知双曲线C 的两个焦点F 1，F 2都在x 轴上，对称中心为原点O ，离心率为 3.若点M 在C 上，且MF 1⊥MF 2，M 到原点的距离为3，则C 的方程为( C )A.x 24－y 28＝1 B.y 24－x 28＝1 C ．x 2－y 22＝1D ．y 2－x 22＝1(2)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.解析：(1)由题意可知，OM 为Rt △MF 1F 2斜边上的中线，所以|OM |＝12|F 1F 2|＝c .由M 到原点的距离为3，得c ＝3，又e ＝ca ＝3，所以a ＝1，所以b 2＝c 2－a 2＝3－1＝2.故双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1.故选C.(2)法1：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点(4，3)，∴λ＝16－4×(3)2＝4，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.法2：∵渐近线y ＝12x 过点(4,2)，而3<2，∴点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴双曲线的标准方程为x 24－y2＝1.考向三双曲线的几何性质方向1 渐近线问题【例3】 (2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A.32 B ．3 C ．2 3D ．4【解析】因为双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±33x ，所以∠MON ＝60°.不妨设过点F 的直线与直线y ＝33x 交于点M ，由△OMN 为直角三角形，不妨设∠OMN ＝90°，则∠MFO ＝60°，又直线MN 过点F (2,0)，所以直线MN 的方程为y ＝－3(x －2)，由⎩⎨⎧y ＝－3(x －2)，y ＝33x ，得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32，所以M (32，32)，所以|OM |＝(32)2＋(32)2＝3，所以|MN |＝3|OM |＝3，故选B.【答案】 B 方向2 离心率问题【例4】 (2018·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3 D. 2【解析】不妨设一条渐近线的方程为y ＝b a x ，则F 2到y ＝ba x 的距离d ＝|bc |a 2＋b2＝b ，在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ，所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中，根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－(6a )22ac ＝－cos ∠POF 2＝－a c ，即3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝ca ＝ 3.【答案】 C方向3 最值与范围问题【例5】已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233 【解析】因为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，x 202－y 20＝1，所以MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3<0，即3y 20－1<0，解得－33<y 0<33.【答案】 A1.与双曲线有关的范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解.(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如借助双曲线上点的坐标范围，方程中Δ≥0等来解决.2.与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略(1)双曲线的离心率e ＝ca 是一个比值，故只需根据条件得到关于a ，b ，c 的一个关系式，利用b 2＝c 2－a 2消去b ，然后变形成关于e 的关系式，并且需注意e >1.(2)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0). (3)若渐近线的方程为y ＝±b a x ，则可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0).1．(方向1)(2019·福州四校联考)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别作双曲线的两条渐近线的平行线，若这4条直线所围成的四边形的周长为8b ，则该双曲线的渐近线方程为( A )A ．y ＝±xB ．y ＝±2xC ．y ＝±3xD ．y ＝±2x解析：由双曲线的对称性得该四边形为菱形，因为该四边形的周长为8b ，所以菱形的边长为2b ，由勾股定理得4条直线与y 轴的交点到x 轴的距离为4b 2－c 2＝3b 2－a 2，又4条直线分别与两条渐近线平行，所以b a ＝3b 2－a 2a 2＋b2，解得a ＝b ，所以该双曲线的渐近线的斜率为±1，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，故选A.2．(方向2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与圆x 2＋(y －4)2＝1相切，则双曲线的离心率为( D )A ．2 B. 3 C ．3 D ．4解析：因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为bx ±ay ＝0.依题意，直线bx ±ay ＝0与圆x 2＋(y －4)2＝1相切，则圆心(0,4)到直线bx ±ay ＝0的距离d ＝|4a |a 2＋b2＝1，所以4a c ＝1，所以双曲线离心率e ＝ca ＝4.3．(方向3)中心在原点的椭圆C 1与双曲线C 2具有相同的焦点，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P 为C 1与C 2在第一象限的交点，|PF 1|＝|F 1F 2|且|PF 2|＝3，若椭圆C 1的离心率e 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，45，则双曲线的离心率e 2的范围是( C )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，53 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫53，2 C.⎝⎛⎭⎪⎫43，2 D.(2,3)解析：设椭圆方程为：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意有：|PF 2|＝3＝2a －|PF 1|＝2a －2c ，设双曲线方程为x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)，同理可得2m ＝|PF 1|－|PF 2|＝2c －(2a －2c )＝4c －2a ，所以m ＝2c －a ，又e 2＝c m ＝c 2c －a＝12－1e1，因为e 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，45，所以1e 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫54，32，所以e 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2.经久不衰的高考热点——离心率问题离心率是圆锥曲线的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点．这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求圆锥曲线的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b 用a ，c 表示，转化为关于离心率e 的关系式，这是化解有关椭圆或双曲线的离心率问题难点的根本方法．一、利用定义求离心率典例1 (2019·广州高三调研测试)在直角坐标系xOy 中，设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，P 为双曲线C 的右支上一点，且△OPF 为正三角形，则双曲线C 的离心率为( )A. 3B.233 C ．1＋ 3D ．2＋ 3【解题思路】设F ′为双曲线的左焦点，利用△OPF 为正三角形求出|PO |＝|PF |＝c ，∠POF ′＝120°，利用双曲线的定义得到|PF ′|＝2a ＋c ，最后在△PF ′O 中由余弦定理可得ca 的值．【解析】设F ′为双曲线的左焦点，|F ′F |＝2c ，依题意可得|PO |＝|PF |＝c ，连接PF ′，由双曲线的定义可得|PF ′|－|PF |＝2a ，故|PF ′|＝2a ＋c ，在△PF ′O 中，∠POF ′＝120°，由余弦定理可得cos120°＝c 2＋c 2－(2a ＋c )22c 2，化简可得c 2－2ac －2a 2＝0，即(c a )2－2×c a －2＝0，解得c a ＝1＋3或ca ＝1－3(不合题意，舍去)，故双曲线的离心率e ＝1＋3，故选C.【答案】 C二、利用平面几何性质求离心率典例2 (2018·北京卷)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n 2＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________．【解析】如图，设椭圆的右焦点为F (c,0)，双曲线N 的渐近线与椭圆M 在第一象限内的交点为A ，由题意可知A (c 2，3c2)，由点A 在椭圆M 上得，c 24a 2＋3c 24b 2＝1，∴b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2，∵b 2＝a 2－c 2，∴(a 2－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4a 2(a 2－c 2)，∴4a 4－8a 2c 2＋c 4＝0，∴e 4椭－8e 2椭＋4＝0，∴e 2椭＝4±23，∴e 椭＝3＋1(舍去)或e 椭＝3－1，∴椭圆M 的离心率为3－1，∵双曲线的渐近线过点A (c 2，3c2)， ∴渐近线方程为y ＝3x ， ∴nm ＝3，故双曲线的离心率e 双＝m 2＋n 2m 2＝2.【答案】 3－1 2三、利用椭圆或双曲线的性质建立方程(或不等式)求离心率的值(或取值范围)典例3 已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，点P 在椭圆上且满足PF 1→·PF 2→＝c 2，则该椭圆离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12 D.⎝⎛⎦⎥⎤0，22【解析】设P (x ，y )，则x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，y 2＝b 2－b2a 2x 2，－a ≤x ≤a ，PF 1→＝(－c －x ，－y )，PF 2→＝(c －x ，－y )．所以PF 1→·PF 2→＝x 2－c 2＋y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫1－b 2a 2x 2＋b 2－c 2＝c2a 2x 2＋b 2－c 2.因为－a ≤x ≤a ，所以b 2－c 2≤PF 1→·PF 2→≤b 2.所以b 2－c 2≤c 2≤b 2，所以2c 2≤a 2≤3c 2，所以33≤c a ≤22.故选B.【答案】 B(1)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( A )A.13B.12C.23D.34(2)过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为椭圆的右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( B )A.22B.33C.12D.13解析：(1)由题意，不妨设直线l 的方程为y ＝k (x ＋a )，k >0，分别令x ＝－c 与x ＝0，得|FM |＝k (a －c )，|OE |＝ka .设OE 的中点为G ，由△OBG ∽△FBM ，得12|OE ||FM |＝|OB ||BF |，即ka 2k (a －c )＝a a ＋c ，整理，得c a ＝13，故椭圆的离心率e ＝13.故选A.(2)由题意，可设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .因为在Rt △PF 1F 2中，|PF 1|＝b 2a ，|F 1F 2|＝2c ，∠F 1PF 2＝60°，所以|F 1F 2||PF 1|＝2acb 2＝ 3.因为b 2＝a 2－c 2，所以3c 2＋2ac－3a 2＝0，即3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33或e ＝－ 3.又e ∈(0,1)，所以e ＝33.故选B.。

高考数学理科一轮复习双曲线学案含答案

高考数学（理科）一轮复习双曲线学案含答案学案52 双曲线导学目标： 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质.2.理解数形结合的思想．自主梳理1．双曲线的概念平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a2c)，则点P的轨迹叫________．这两个定点叫双曲线的________，两焦点间的距离叫________．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a0，c0；(1)当________时，P点的轨迹是________；(2)当________时，P点的轨迹是________；(3)当________时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±baxy＝±abx离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b2 (ca0，cb0)3.实轴长和虚轴长相等的双曲线为________________，其渐近线方程为________，离心率为________．自我检测1．(2011安徽)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( ) A．2 B．22C．4 D．422．已知双曲线x22－y2b2＝1 (b0)的左、右焦点分别为F1、F2，其中一条渐近线方程为y＝x，点P(3，y0)在该双曲线上，则PF1→PF2→等于( )A．－12 B．－2C．0 D．43．(2011课标全国)设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为( )A.2 B．2 D．34．(2011武汉调研)已知点(m，n)在双曲线8x2－3y2＝24上，则2m＋4的范围是__________________．5．已知A(1,4)，F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，P是双曲线右支上的动点，求|PF|＋|PA|的最小值．探究点一双曲线的定义及应用例1 已知定点A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程．变式迁移1 已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．探究点二求双曲线的标准方程例2 已知双曲线的一条渐近线方程是x－2y＝0，且过点P(4,3)，求双曲线的标准方程．变式迁移2 (2011安庆模拟)已知双曲线与椭圆x29＋y225＝1的焦点相同，且它们的离心率之和等于145，则双曲线的方程为____________．探究点三双曲线几何性质的应用例3 已知双曲线的方程是16x2－9y2＝(1)求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1||PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．变式迁移3 已知双曲线C：x22－y2＝1.(1)求双曲线C的渐近线方程；(2)已知M点坐标为(0,1)，设P是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点．记λ＝MP→MQ→，求λ的取值范围．方程思想的应用例(12分)过双曲线x23－y26＝1的右焦点F2且倾斜角为30°的直线交双曲线于A、B两点，O为坐标原点，F1为左焦点．(1)求|AB|；(2)求△AOB的面积；(3)求证：|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|.多角度审题(1)要求弦长|AB|需要A、B两点坐标或设而不求利用弦长公式，这就需要先求直线AB；(2)在(1)的基础上只要求点到直线的距离；(3)要充分联想到A、B两点在双曲线上这个条件．【答题模板】(1)解由双曲线的方程得a＝3，b＝6，∴c＝a2＋b2＝3，F1(－3,0)，F2(3,0)．直线AB的方程为y＝33(x－3)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝33x－3x23－y26＝1，得5x2＋6x－27＝0.[2分]∴x1＋x2＝－65，x1x2＝－275，∴|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋332x1＋x22－4x1x2＝433625＋1085＝1635.[4分](2)解直线AB的方程变形为3x－3y－33＝0.∴原点O到直线AB的距离为d＝|－33|32＋－32＝32.[6分]∴S△AOB＝12|AB|d＝12×1635×32＝1235.[8分] (3)证明如图，由双曲线的定义得|AF2|－|AF1|＝23，|BF1|－|BF2|＝23，[10分]∴|AF2|－|AF1|＝|BF1|－|BF2|，即|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|.[12分]【突破思维障碍】写出直线方程，联立直线方程、双曲线方程，消元得关于x的一元二次方程，利用弦长公式求|AB|，再求点O到直线AB的距离从而求面积，最后利用双曲线的定义求证等式成立．【易错点剖析】在直线和双曲线相交的情况下解题时易忽视消元后的一元二次方程的判别式Δ0，而导致错解．1．区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中a，b，c 的大小关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2；双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e∈(0,1)．2．双曲线x2a2－y2b2＝1 (a0，b0)的渐近线方程是y＝±bax，y2a2－x2b2＝1 (a0，b0)的渐近线方程是y＝±abx.3．双曲线标准方程的求法：(1)定义法，根据题目的条件，判断是否满足双曲线的定义，若满足，求出相应的a、b、c，即可求得方程．(2)待定系数法，其步骤是：①定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上；②设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程；③定值：根据题目条件确定相关的系数．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知M(－2,0)、N(2,0)，|PM|－|PN|＝3，则动点P的轨迹是( )A．双曲线 B．双曲线左边一支C．双曲线右边一支 D．一条射线2．设点P在双曲线x29－y216＝1上，若F1、F2为双曲线的两个焦点，且|PF1|∶|PF2|＝1∶3，则△F1PF2的周长等于( )A．22 B．16 C．14 D．123．(2011宁波高三调研)过双曲线x2a2－y2b2＝1 (a0，b0)的右焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线FM(切点为M)，交y轴于点P.若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率为( )A.2B.3 C．2 D．双曲线x2a2－y2b2＝1的左焦点为F1，左、右顶点分别为A1、A2，P是双曲线右支上的一点，则分别以PF1和A1A2为直径的两圆的位置关系是( )A．相交 B．相离 C．相切 D．内含5．(2011山东)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( ) A.x25－y24＝1 B.x24－y25＝x23－y26＝1 D.x26－y23＝1二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2011上海)设m是常数，若点F(0,5)是双曲线y2m－x29＝1的一个焦点，则m＝________.7．设圆过双曲线x29－y216＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则此圆心到双曲线中心的距离为______．8．(2011铜陵期末)已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为________．三、解答题(共38分)9．(12分)根据下列条件，求双曲线方程：(1)与双曲线x29－y216＝1有共同的渐近线，且经过点(－3，23)；(2)与双曲线x216－y24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．10．(12分)(2011广东)设圆C与两圆(x＋5)2＋y2＝4，(x－5)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．(1)求圆C的圆心轨迹L的方程；(2)已知点M(355，455)，F(5，0)，且P为L上动点，求||MP|－|FP||的最大值及此时点P的坐标．．(14分)(2010四川)已知定点A(－1,0)，F(2,0)，定直线l：x＝12，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍．设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N.(1)求E的方程；(2)试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由．学案52 双曲线自主梳理1．双曲线焦点焦距(1)ac 双曲线(2)a＝c 两条射线(3)ac 3.等轴双曲线y＝±x e＝2 自我检测1．C [∵2x2－y2＝8，∴x24－y28＝1，∴a＝2，∴2a＝4.]2．C3．B [设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l的方程为l：x＝c或x＝－c，代入x2a2－y2b2＝1得y2＝b2(c2a2－1)＝b4a2，∴y＝±b2a，故|AB|＝2b2a，依题意2b2a＝4a，∴b2a2＝2，∴c2－a2a2＝e2－1＝2，∴e＝3.] 4．(－∞，4－23]∪[4＋23，＋∞)5．解设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义可知|PF|＝2a＋|PF1|＝4＋|PF1|，∴|PF|＋|PA|＝4＋|PF1|＋|PA|.∴当满足|PF1|＋|PA|最小时，|PF|＋|PA|最小．由双曲线的图象可知当点A、P、F1共线时，满足|PF1|＋|PA|最小，易求得最小值为|AF1|＝5，故所求最小值为堂活动区例1 解题导引求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量．在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，以确保轨迹的纯粹性和完备性．解设F(x，y)为轨迹上的任意一点，因为A，B两点在以C，F为焦点的椭圆上，所以|FA|＋|CA|＝2a，|FB|＋|CB|＝2a(其中a表示椭圆的长半轴)．所以|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|.所以|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|＝122＋92－122＋52＝2.所以|FA|－|FB|＝2.由双曲线的定义知，F点在以A，B为焦点，2为实轴长的双曲线的下半支上．所以点F的轨迹方程是y2－x248＝1 (y≤－1)．变式迁移1 解设动圆M的半径为r，则由已知得，|MC1|＝r＋2，|MC2|＝r－2，∴|MC1|－|MC2|＝22，又C1(－4,0)，C2(4,0)，∴|C1C2|＝8.∴22|C1C2|.根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(－4,0)、C2(4,0)为焦点的双曲线的右支．∵a＝2，c＝4，∴b2＝c2－a2＝∴点M的轨迹方程是x22－y214＝1 (x≥2)．例2 解题导引根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选取方程的形式，当焦点不能定位时，则应分两种情况讨论．解决本题的方法有两种：一先定位，避免了讨论；二利用其渐近线的双曲线系，同样避免了对双曲线方程类型的讨论．在共渐近线的双曲线系x2a2－y2b2＝λ (参数λ≠0)中，当λ0时，焦点在x轴上；当λ0时，焦点在y轴上．解方法一∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，当x＝4时，y＝2yp＝3，∴双曲线的焦点在y轴上．从而有ab＝12，∴b＝2a.设双曲线方程为y2a2－x24a2＝1，由于点P(4,3)在此双曲线上，∴9a2－164a2＝1，解得a2＝5.∴双曲线方程为y25－x220＝1.方法二∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，即x2－y＝0，∴双曲线的渐近线方程为x24－y2＝0.设双曲线方程为x24－y2＝λ (λ≠0)，∵双曲线过点P(4,3)，∴424－32＝λ，即λ＝－5.∴所求双曲线方程为x24－y2＝－5，即y25－x220＝1.变式迁移2 y24－x212＝1解析由于在椭圆x29＋y225＝1中，a2＝25，b2＝9，所以c2＝16，c＝4，又椭圆的焦点在y轴上，所以其焦点坐标为(0，±4)，离心率e＝45.根据题意知，双曲线的焦点也应在y轴上，坐标为(0，±4)，且其离心率等于145－45＝2.故设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1 (a0，b0)，且c＝4，所以a＝12c＝2，a2＝4，b2＝c2－a2＝12，于是双曲线的方程为y24－x212＝1.例3 解题导引双曲线问题与椭圆问题类似，因而研究方法也有许多相似之处，如利用“定义”“方程观点”“直接法或待定系数法求曲线方程”“数形结合”等．解(1)由16x2－9y2＝144，得x29－y216＝1，∴a＝3，b＝4，c＝5.焦点坐标F1(－5,0)，F2(5,0)，离心率e＝53，渐近线方程为y＝±43x.(2)||PF1|－|PF2||＝6，∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1||PF2|＝|PF1|－|PF2|2＋2|PF1||PF2|－|F1F2|22|PF1||PF2|＝36＋64－10064＝0，∴∠F1PF2＝90°.变式迁移3 解(1)因为a＝2，b＝1，且焦点在x轴上，所以渐近线方程为y－22x＝0，y＋22x＝0.(2)设P点坐标为(x0，y0)，则Q的坐标为(－x0，－y0)，λ＝MP→MQ→＝(x0，y0－1)(－x0，－y0－1)＝－x20－y20＋1＝－32x20＋2.∵|x0|≥2，∴λ的取值范围是(－∞，－1]．课后练习区1．C 2.A 3.A ．A [∵双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为y＝±bax，圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，∴圆心为C(3,0)．又渐近线方程与圆C相切，即直线bx－ay＝0与圆C相切，∴3ba2＋b2＝2，∴5b2＝4a2.①又∵x2a2－y2b2＝1的右焦点F2(a2＋b2，0)为圆心C(3,0)，∴a2＋b2＝9.②由①②得a2＝5，b2＝4.∴双曲线的标准方程为x25－y24＝1.]6．16解析由已知条件有52＝m＋9，所以m＝8.62 9．解(1)方法一由题意可知所求双曲线的焦点在x轴上，(2分)设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1，由题意，得ba＝43，－32a2－232b2＝1，解得a2＝94，b2＝4.(4分)所以双曲线的方程为49x2－y24＝1.(6分)方法二设所求双曲线方程x29－y216＝λ (λ≠0)，(2分)将点(－3,23)代入得λ＝14，(4分)所以双曲线方程为x29－y216＝14，即49x2－y24＝1.(6分)(2)设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1.由题意c＝25.(8分)又双曲线过点(32，2)，∴322a2－4b2＝1.又∵a2＋b2＝(25)2，∴a2＝12，b2＝8.(10分)故所求双曲线的方程为x212－y28＝1.(12分)10．解(1)设圆C的圆心坐标为(x，y)，半径为r.圆(x＋5)2＋y2＝4的圆心为F1(－5，0)，半径为2，圆(x－5)2＋y2＝4的圆心为F(5，0)，半径为2.由题意得|CF1|＝r＋2，|CF|＝r－2或|CF1|＝r－2，|CF|＝r＋2，∴||CF1|－|CF||＝4.(4分)∵|F1F|＝254.∴圆C的圆心轨迹是以F1(－5，0)，F(5，0)为焦点的双曲线，其方程为x24－y2＝1.(6分)(2)由图知，||MP|－|FP||≤|MF|，∴当M，P，F三点共线，且点P在MF延长线上时，|MP|－|FP|取得最大值|MF|，(8分)且|MF|＝355－52＋455－02＝2.(9分)直线MF的方程为y＝－2x＋25，与双曲线方程联立得y＝－2x＋25，x24－y2＝1，整理得15x2－325x＋84＝0.解得x1＝14515(舍去)，x2＝此时y＝－255.(11分) ∴当||MP|－|FP||取得最大值2时，点P的坐标为(655，－255)．(12分)11．解(1)设P(x，y)，则x－22＋y2＝2x－12，化简得x2－y23＝1(y≠0)．(5分)(2)①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y＝k(x－2) (k≠0)，与双曲线方程x2－y23＝1联立消去y，得(3－k2)x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0.由题意知，3－k2≠0且Δ＞0.(7分)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1＋x2＝4k2k2－3，x1x2＝4k2＋3k2－3，2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2x1x2－2x1＋x2＋4＝k24k2＋3k2－3－8k2k2－3＋4＝－9k2k2－3.因为x1，x2≠－1，所以直线AB的方程为y＝y1x1＋1(x＋1)．因此M点的坐标为12，3y12x1＋1，FM→＝－32，3y12x1＋1.同理可得FN→＝－32，3y22x2＋1.因此FM→FN→＝－32×－32＋9y1y24x1＋1x2＋1＝94＋－81k2k2－344k2＋3k2－3＋4k2k2－3＋1＝0.(11分)②当直线BC与x轴垂直时，其方程为x＝2，则B(2,3)，C(2，－3)．AB的方程为y＝x＋1，因此M点的坐标为12，32，FM→＝－32，32.同理可得FN→＝－32，－32.因此FM→FN→＝－32×－32＋32×－32＝0.(13分) 综上，FM→FN→＝0，故FM⊥FN.故以线段MN为直径的圆过点F.(14分)。

高考数学一轮复习双曲线的综合问题

3
3
＜y0＜ .
3
3
答案（1）A
2 2
（2）设P是双曲线－＝1上一点，M，N分别是两圆（x－5）2＋y2＝4和（x
9
16
＋5）2＋y2＝1上的点，则｜PM｜－｜PN｜的最大值为
A.6
B.9
C.12
D.14
（
）
解析
2 2
（2）如图所示，设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，则点F1
2 2
曲线 2－ 2 ＝1上，依题意得a＝680，c＝1 020，∴b2＝c2－a2＝1 0202－6802＝

2
2

5×3402，故双曲线方程为 2 －
＝1，将y＝－x 代入上式，得x＝
680
5×3402
±680 5，∵｜PB｜＞｜PA｜，∴x＝－680 5，y＝680 5，即P（－680 5，
+
＝2k＋
1 −2 2 −2
1 −2
2 −2
1 −2
2 −2
(2−2)(1 +2 −4)
(2−2)×2(2−3)(+2)
＝2k＋
＝3.
1 2 −2(1 +2 )+4
−4(−1)(+2)
｜解题技法｜
直线与双曲线位置关系的判断方法
将直线方程与双曲线方程联立消去一个未知数，得到一个一元二次方程，以ax2
故选B.
答案（2）B
｜解题技法｜
与双曲线有关最值（范围）问题的解题方法
（1）几何法：若题目中的待求量有明显的几何特征，则考虑利用双曲线的定
义、几何性质以及平面几何中的定理等知识确定极端位置后数形结合求解；

高考数学一轮复习学案第50讲双曲线（解析版）

第50讲双曲线（解析版）考点内容解读要求常考题型 1．双曲线的定义掌握双曲线的定义，标准方程，几何性质，离心率，通径，最值。

Ⅰ选择题，填空题，大题 2．双曲线的性质能利用双曲线的简单性质求双曲线的方程．能用双曲线的简单性质分析解决一些简单的问题．Ⅱ选择题，填空题，大题一、双曲线的简单几何性质双曲线22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的简单几何性质1．范围22221x x a ax a x a 即或≥≥∴≥≤-双曲线上所有的点都在两条平行直线x=-a 和x=a 的两侧，是无限延伸的。

因此双曲线上点的横坐标满足x ≤-a 或x ≥a ． 2．对称性对于双曲线标准方程12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0），把x 换成-x ，或把y 换成-y ，或把x 、y同时换成-x 、-y ，方程都不变，所以双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。

3．顶点①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。

②双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A 1（-a ，0），A 2（a ，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。

③两个顶点间的线段A 1A 2叫作双曲线的实轴；设B 1（0，-b ），B 2（0，b ）为y 轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。

实轴和虚轴的长度分别为|A 1A 2|=2a ，|B 1B 2|=2b 。

a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长。

①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。

②双曲线的焦点总在实轴上。

③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。

4．离心率①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e 表示，记作aca c e ==22。

2025年高考数学一轮复习-8.6.1-双曲线的定义、方程与性质【导学案】

故得|MC1|-|MC2|=2 2.在④的情况下,
同理得|MC2|-|MC1|=2 2.
由③④得|MC1|-|MC2|=±2 2.
已知|C1C2|=8,根据双曲线定义,
可知点 M 的轨迹是以 C1(-4,0),C2(4,0)为焦点的双曲线,
且 a= 2,c=4,b2=c2-a2=14,
22
其方程为 - =1.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准
xa22-by22=1
方程
(a>0,b>0)
ya22-bx22=1 (a>0,b>0)
图形
性范围
质
x≤-a 或 x≥a,y∈R
y≤-a 或 y≥a,x∈R
对称轴:坐标轴对称中心:原对称性
点
顶点坐标:
顶点坐标:
顶点
A1(-a,0),
A1(0,-a),
A2(a,0)
22
2.已知 F 是双曲线 - =1 的左焦点,A(1,4),P 是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|
4 12
的最小值为 ( )
A.9B.8 C.7 D.6
22
【解析】选 A.由 - =1,得 a2=4,b2=12,
4 12
则 a=2,b=2 3,c= 2 + 2=4,
所以左焦点为 F(-4,0),右焦点为 F'(4,0),
22
4.(结论 1)若双曲线 2- 2=1 的焦点 F(3,0)到其渐近线的距离为 5,则双曲线的方程
为( )
22
22
A. - =1 B. - =1
45
54
22
22
C. - =1 D. - =1

2019高考数学一轮复习专题：椭圆双曲线抛物线(含答案)

2019高考数学一轮复习专题：椭圆双曲线抛物线(含答案)椭圆、双曲线、抛物线1.椭圆的定义椭圆是平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

椭圆的集合P={M|MF1+MF2=2a}，|F1F2|=2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数。

当2a>|F1F2|时，P点的轨迹是椭圆；当2a=|F1F2|时，P点的轨迹是线段；当2a<|F1F2|时，P点不存在。

2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)或y^2/a^2+x^2/b^2=1(a>b>0)。

椭圆的范围为-a≤x≤a，-b≤y≤b，对称轴为坐标轴，对称中心为(0,0)。

椭圆的顶点为A1(-a,0)，A2(a,0)，B1(0,-b)，B2(0,b)或A1(0,-a)，A2(0,a)，B1(-b,0)，B2(b,0)。

椭圆的长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b，焦距为2c，离心率为e=c/a，其中c^2=a^2-b^2.3.应用题1) 2017·浙江高考题：椭圆x^2/9+y^2/4=1的离心率是5/3.解析：根据标准方程，a=3，b=2，则c=5，离心率e=c/a=5/3.2) 已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(m>0)的焦距为8，则m的值为3或41.解析：根据椭圆的性质，c^2=a^2-b^2，焦距为2c=8，则c=4，a^2=16+b^2.代入m>0的条件，解得b=2√(m+1)，a=4，代入c^2=a^2-b^2，解得m=3或41.解析：当焦点在x轴上时，椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{m^2}=1$，根据离心率的定义$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{m^2}{4}}$，所以$\frac{m^2}{4}=1-e^2$，代入得到 $m=\sqrt{4-4e^2}$。

数学一轮复习第九章解析几何9.6双曲线学案理

9。

6双曲线必备知识预案自诊知识梳理1.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的等于非零常数(小于|F1F2｜）的点的轨迹叫作双曲线。

这两个定点叫作,两焦点间的距离叫作.集合P=｛M|||MF1｜-｜MF2||=2a},|F1F2｜=2c，其中a〉0,c>0,且a,c为常数.（1）若a c，则点M的轨迹是双曲线；(2）若a c，则点M的轨迹是两条射线;（3）若a c，则点M不存在.2.标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2 x2−x2x2=1（a>0,b〉0);(2）中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为x2 x2−x2x2=1(a>0，b>0）。

3。

双曲线的性质标准方程x2a2−y2b2=1（a〉0，b〉0)y2a2−x2b2=1(a〉0,b〉0）图形续表标准方程x2a2−y2b2=1（a>0，b〉0)y2a2−x2b2=1（a>0，b〉0)性质范围x≥a或x≤-a，y∈Ry≤—a或y≥a,x∈R 对称性对称轴：,对称中心:顶点A1，A2A1,A2渐近线y=±xxx y=±xxx离心率e=xx,e∈(1，+∞）a,b，c的关系c2=实虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴,它的长|A1A2|=;线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2｜=；a叫作双曲线的实半轴长,b叫作双曲线的虚半轴长1.过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0，b〉0）上一点M(x0，y0）的切线方程为x0xa2−y0yb2=1.2.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b〉0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P（x0，y0）为双曲线上任意一点,且不与点F1，F2共线,∠F1PF2=θ，则△F1PF2的面积为b2xxxθ2。

3。

若点P（x0,y0）在双曲线x2a2−y2b2=1(a〉0,b〉0)内，则被点P所平分的中点弦的方程为x0xa2−y0yb2=x02a2−y02b2。

高考数学(理科)一轮复习双曲线学习型教学案含答案

高考数学（理科）一轮复习双曲线学案含答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案52 双曲线导学目标：1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质.2.理解数形结合的思想．自主梳理．双曲线的概念平面内动点P与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值为常数2a，则点P的轨迹叫________．这两个定点叫双曲线的________，两焦点间的距离叫________．集合P＝{m|||mF1|－|mF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0；当________时，P点的轨迹是________；当________时，P点的轨迹是________；当________时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1y2a2－x2b2＝1图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A1，A2顶点坐标：A1，A2渐近线y＝±baxy＝±abx离心率e＝ca，e∈，其中c＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b23.实轴长和虚轴长相等的双曲线为________________，其渐近线方程为________，离心率为________．自我检测．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是A．2B．22c．4D．422．已知双曲线x22－y2b2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，其中一条渐近线方程为y＝x，点P在该双曲线上，则PF1→•PF2→等于A．－12B．－2c．0D．43．设直线l过双曲线c的一个焦点，且与c的一条对称轴垂直，l与c交于A，B两点，|AB|为c的实轴长的2倍，则c的离心率为A.2B.3c．2D．34．已知点在双曲线8x2－3y2＝24上，则2m＋4的范围是__________________．5．已知A，F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，P是双曲线右支上的动点，求|PF|＋|PA|的最小值．探究点一双曲线的定义及应用例1 已知定点A，B，c，以c为一个焦点作过A，B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程．变式迁移1 已知动圆m与圆c1：2＋y2＝2外切，与圆c2：2＋y2＝2内切，求动圆圆心m的轨迹方程．探究点二求双曲线的标准方程例2 已知双曲线的一条渐近线方程是x－2y＝0，且过点P，求双曲线的标准方程．变式迁移2 已知双曲线与椭圆x29＋y225＝1的焦点相同，且它们的离心率之和等于145，则双曲线的方程为____________．探究点三双曲线几何性质的应用例3 已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144.求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|•|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．变式迁移3 已知双曲线c：x22－y2＝1.求双曲线c的渐近线方程；已知m点坐标为，设P是双曲线c上的点，Q是点P关于原点的对称点．记λ＝mP→•mQ→，求λ的取值范围．方程思想的应用例过双曲线x23－y26＝1的右焦点F2且倾斜角为30°的直线交双曲线于A、B两点，o为坐标原点，F1为左焦点．求|AB|；求△AoB的面积；求证：|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|.多角度审题要求弦长|AB|需要A、B两点坐标或设而不求利用弦长公式，这就需要先求直线AB；在的基础上只要求点到直线的距离；要充分联想到A、B两点在双曲线上这个条件．【答题模板】解由双曲线的方程得a＝3，b＝6，∴c＝a2＋b2＝3，F1，F2．直线AB的方程为y＝33．设A，B，由y＝33x－3x23－y26＝1，得5x2＋6x－27＝0.[2分]∴x1＋x2＝－65，x1x2＝－275，∴|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋332•x1＋x22－4x1x2＝43•3625＋1085＝1635.[4分]解直线AB的方程变形为3x－3y－33＝0.∴原点o到直线AB的距离为d＝|－33|32＋－32＝32.[6分]∴S△AoB＝12|AB|•d＝12×1635×32＝1235.[8分]证明如图，由双曲线的定义得|AF2|－|AF1|＝23，|BF1|－|BF2|＝23，[10分]∴|AF2|－|AF1|＝|BF1|－|BF2|，即|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|.[12分]【突破思维障碍】写出直线方程，联立直线方程、双曲线方程，消元得关于x的一元二次方程，利用弦长公式求|AB|，再求点o到直线AB的距离从而求面积，最后利用双曲线的定义求证等式成立．【易错点剖析】在直线和双曲线相交的情况下解题时易忽视消元后的一元二次方程的判别式Δ>0，而导致错解．．区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中a，b，c 的大小关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2；双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e∈．2．双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线方程是y＝±bax，y2a2－x2b2＝1的渐近线方程是y＝±abx.3．双曲线标准方程的求法：定义法，根据题目的条件，判断是否满足双曲线的定义，若满足，求出相应的a、b、c，即可求得方程．待定系数法，其步骤是：①定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上；②设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程；③定值：根据题目条件确定相关的系数．一、选择题．已知m、N，|Pm|－|PN|＝3，则动点P的轨迹是A．双曲线B．双曲线左边一支c．双曲线右边一支D．一条射线2．设点P在双曲线x29－y216＝1上，若F1、F2为双曲线的两个焦点，且|PF1|∶|PF2|＝1∶3，则△F1PF2的周长等于A．22B．16c．14D．123．过双曲线x2a2－y2b2＝1的右焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线Fm，交y轴于点P.若m为线段FP的中点，则双曲线的离心率为A.2B.3c．2D.54．双曲线x2a2－y2b2＝1的左焦点为F1，左、右顶点分别为A1、A2，P是双曲线右支上的一点，则分别以PF1和A1A2为直径的两圆的位置关系是A．相交B．相离c．相切D．内含5．已知双曲线x2a2－y2b2＝1的两条渐近线均和圆c：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆c的圆心，则该双曲线的方程为A.x25－y24＝1B.x24－y25＝1c.x23－y26＝1D.x26－y23＝1二、填空题6．设m是常数，若点F是双曲线y2m－x29＝1的一个焦点，则m＝________.7．设圆过双曲线x29－y216＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则此圆心到双曲线中心的距离为______．8．已知以双曲线c的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线c的离心率为________．三、解答题9．根据下列条件，求双曲线方程：与双曲线x29－y216＝1有共同的渐近线，且经过点；与双曲线x216－y24＝1有公共焦点，且过点．10．设圆c与两圆2＋y2＝4，2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．求圆c的圆心轨迹L的方程；已知点m，F，且P为L上动点，求||mP|－|FP||的最大值及此时点P的坐标．1．已知定点A，F，定直线l：x＝12，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍．设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、c两点，直线AB、Ac分别交l于点m、N.求E的方程；试判断以线段mN为直径的圆是否过点F，并说明理由．学案52 双曲线自主梳理．双曲线焦点焦距a<c 双曲线a＝c 两条射线a>c 3.等轴双曲线y＝±x e＝2自我检测．c [∵2x2－y2＝8，∴x24－y28＝1，∴a＝2，∴2a＝4.]2．c3．B [设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1，由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l的方程为l：x＝c或x＝－c，代入x2a2－y2b2＝1得y2＝b2＝b4a2，∴y＝±b2a，故|AB|＝2b2a，依题意2b2a＝4a，∴b2a2＝2，∴c2－a2a2＝e2－1＝2，∴e＝3.]4．5．解设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义可知|PF|＝2a＋|PF1|＝4＋|PF1|，∴|PF|＋|PA|＝4＋|PF1|＋|PA|.∴当满足|PF1|＋|PA|最小时，|PF|＋|PA|最小．由双曲线的图象可知当点A、P、F1共线时，满足|PF1|＋|PA|最小，易求得最小值为|AF1|＝5，故所求最小值为9.课堂活动区例1 解题导引求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量．在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，以确保轨迹的纯粹性和完备性．解设F为轨迹上的任意一点，因为A，B两点在以c，F为焦点的椭圆上，所以|FA|＋|cA|＝2a，|FB|＋|cB|＝2a．所以|FA|＋|cA|＝|FB|＋|cB|.所以|FA|－|FB|＝|cB|－|cA|＝122＋92－122＋52＝2.所以|FA|－|FB|＝2.由双曲线的定义知，F点在以A，B为焦点，2为实轴长的双曲线的下半支上．所以点F的轨迹方程是y2－x248＝1．变式迁移1 解设动圆m的半径为r，则由已知得，|mc1|＝r＋2，|mc2|＝r－2，∴|mc1|－|mc2|＝22，又c1，c2，∴|c1c2|＝8.∴22<|c1c2|.根据双曲线定义知，点m的轨迹是以c1、c2为焦点的双曲线的右支．∵a＝2，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14.∴点m的轨迹方程是x22－y214＝1．例2 解题导引根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程，但要注意焦点的位置，从而正确选取方程的形式，当焦点不能定位时，则应分两种情况讨论．解决本题的方法有两种：一先定位，避免了讨论；二利用其渐近线的双曲线系，同样避免了对双曲线方程类型的讨论．在共渐近线的双曲线系x2a2－y2b2＝λ中，当λ>0时，焦点在x轴上；当λ<0时，焦点在y轴上．解方法一∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，当x＝4时，y＝2<yp＝3，∴双曲线的焦点在y轴上．从而有ab＝12，∴b＝2a.设双曲线方程为y2a2－x24a2＝1，由于点P在此双曲线上，∴9a2－164a2＝1，解得a2＝5.∴双曲线方程为y25－x220＝1.方法二∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，即x2－y＝0，∴双曲线的渐近线方程为x24－y2＝0.设双曲线方程为x24－y2＝λ，∵双曲线过点P，∴424－32＝λ，即λ＝－5.∴所求双曲线方程为x24－y2＝－5，即y25－x220＝1.变式迁移2 y24－x212＝1解析由于在椭圆x29＋y225＝1中，a2＝25，b2＝9，所以c2＝16，c＝4，又椭圆的焦点在y轴上，所以其焦点坐标为，离心率e＝45.根据题意知，双曲线的焦点也应在y轴上，坐标为，且其离心率等于145－45＝2.故设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1，且c＝4，所以a＝12c＝2，a2＝4，b2＝c2－a2＝12，于是双曲线的方程为y24－x212＝1.例3 解题导引双曲线问题与椭圆问题类似，因而研究方法也有许多相似之处，如利用“定义”“方程观点”“直接法或待定系数法求曲线方程”“数形结合”等．解由16x2－9y2＝144，得x29－y216＝1，∴a＝3，b＝4，c＝5.焦点坐标F1，F2，离心率e＝53，渐近线方程为y＝±43x.||PF1|－|PF2||＝6，cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1||PF2|＝|PF1|－|PF2|2＋2|PF1||PF2|－|F1F2|22|PF1||PF2|＝36＋64－10064＝0，∴∠F1PF2＝90°.变式迁移3 解因为a＝2，b＝1，且焦点在x轴上，所以渐近线方程为y－22x＝0，y＋22x＝0.设P点坐标为，则Q的坐标为，λ＝mP→•mQ→＝•＝－x20－y20＋1＝－32x20＋2.∵|x0|≥2，∴λ的取值范围是2＋y2＝4，∴圆心为c．又渐近线方程与圆c相切，即直线bx－ay＝0与圆c相切，∴3ba2＋b2＝2，∴5b2＝4a2.①又∵x2a2－y2b2＝1的右焦点F2为圆心c，∴a2＋b2＝9.②由①②得a2＝5，b2＝4.∴双曲线的标准方程为x25－y24＝1.]6．16解析由已知条件有52＝m＋9，所以m＝16.7.163 8.629．解方法一由题意可知所求双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1，由题意，得ba＝43，－32a2－232b2＝1，解得a2＝94，b2＝4.所以双曲线的方程为49x2－y24＝1.方法二设所求双曲线方程x29－y216＝λ，将点代入得λ＝14，所以双曲线方程为x29－y216＝14，即49x2－y24＝1.设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1.由题意c＝25.又双曲线过点，∴322a2－4b2＝1.又∵a2＋b2＝2，∴a2＝12，b2＝8.故所求双曲线的方程为x212－y28＝1.0．解设圆c的圆心坐标为，半径为r.圆2＋y2＝4的圆心为F1，半径为2，圆2＋y2＝4的圆心为F，半径为2.由题意得|cF1|＝r＋2，|cF|＝r－2或|cF1|＝r－2，|cF|＝r＋2，∴||cF1|－|cF||＝4.∵|F1F|＝25>4.∴圆c的圆心轨迹是以F1，F为焦点的双曲线，其方程为x24－y2＝1.由图知，||mP|－|FP||≤|mF|，∴当m，P，F三点共线，且点P在mF延长线上时，|mP|－|FP|取得最大值|mF|，且|mF|＝355－52＋455－02＝2.直线mF的方程为y＝－2x＋25，与双曲线方程联立得y＝－2x＋25，x24－y2＝1，整理得15x2－325x＋84＝0.解得x1＝14515，x2＝655.此时y＝－255.∴当||mP|－|FP||取得最大值2时，点P的坐标为．1．解设P，则x－22＋y2＝2x－12，化简得x2－y23＝1．①当直线Bc与x轴不垂直时，设Bc的方程为y＝k，与双曲线方程x2－y23＝1联立消去y，得x2＋4k2x－＝0.由题意知，3－k2≠0且Δ＞0.设B，c，则x1＋x2＝4k2k2－3，x1x2＝4k2＋3k2－3，y1y2＝k2＝k2x1x2－2x1＋x2＋4＝k24k2＋3k2－3－8k2k2－3＋4＝－9k2k2－3.因为x1，x2≠－1，所以直线AB的方程为y＝y1x1＋1．因此m点的坐标为12，3y12x1＋1，Fm→＝－32，3y12x1＋1.同理可得FN→＝－32，3y22x2＋1.因此Fm→•FN→＝－32×－32＋9y1y24x1＋1x2＋1＝94＋－81k2k2－344k2＋3k2－3＋4k2k2－3＋1＝0.②当直线Bc与x轴垂直时，其方程为x＝2，则B，c．AB的方程为y＝x＋1，因此m点的坐标为12，32，Fm→＝－32，32.同理可得FN→＝－32，－32.因此Fm→•FN→＝－32×－32＋32×－32＝0.综上，Fm→•FN→＝0，故Fm⊥FN. 故以线段mN为直径的圆过点F.。

高考数学一轮复习考点知识与题型讲解44 双曲线(含解析)

高考数学一轮复习考点知识与题型讲解考点44 双曲线一．双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a(2a＜|F1F2|)的点P的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．二.双曲线的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)．“焦点位置看正负，焦点随着正的跑”.三．双曲线的几何性质x≤－a或x≥a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a实虚轴线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长A 1A 2＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长B 1B 2＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)四．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (或x )得到一个关于变量x (或y )的一元方程．例：由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F x ，y ＝0消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0.(1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则： Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．考点题型分析考点题型一双曲线的定义【例1-1】(2022·浙江省德清县第三中学)已知双曲线22:14x G y -=的左､右焦点分别为1F ､2F ，若点P 在G 的右支上，且21PF =，则1PF =( ) A ．3B ．5C ．251D ．251+【答案】B【解析】由题可知：双曲线方程为2214x y -=，所以2a =又212PF PF a -=，所以1245PF PF =+=故选：B【例1-2】．(2022·河北张家口市)已知12(6,0),(6,0)F F -，动点P 满足21|PF PF a -=∣，当a 分别为4和12时，点P 的轨迹分别为( ) A ．双曲线和一条直线 B ．双曲线和一条射线 C ．双曲线的一支和一条射线 D ．双曲线的一支和一条直线【答案】C【解析】由题意，得1212F F =当4a =时，21124PF PF a F F -==<，可知点P 的轨迹为双曲线左支；当12a =时，211212PF PF a FF -===，可知点P 的轨迹为以1F 为端点的一条射线.故选：C【例1-3】．(2022·全国课时练习)已知F 1，F 2分别为双曲线C ：221x y -=的左､右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2=60°，则|PF 1|·|PF 2|等于________. 【答案】4【解析】由双曲线方程知：12||2F F c == 在△PF 1F 2中，由余弦定理知：2222121212121212||||||2||||cos (||||)||||F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF =+-⋅∠=-+⋅，∴21212||||8(||||)PF PF PF PF ⋅=--，而12||||||2PF PF -=， ∴12||||4PF PF ⋅=. 故答案为：4.【举一反三】1．(2022·上海普陀区)设P 是双曲线221169x y -=上的点，若1F ，2F 是双曲线的两个焦点，则12PF PF -=( )A ．4B ．5C ．8D ．10【答案】C【解析】由双曲线221169x y -=可得4a = 根据双曲线的定义可得：2128PF F a P -== 故选：C2．(2022·上海市)已知两点()3,0M -和()3,0N ，动点P 满足6PM PN -=，则动点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线C ．一条射线D ．双曲线的右支【答案】C【解析】由两点()3,0M -和()3,0N ，动点P 满足6PM PN MN -==，所以动点P 的轨迹是一条射线.故选：C3．(2022·浙江省宁海中学高三月考)在平面直角坐标系中，()12,0F -，()22,0F ，12PF PF a -=(a ∈R )，若点P 的轨迹为双曲线，则a 的取值范围是( ) A ．()0,4 B ．(]0,4 C ．()4,+∞ D ．()()0,44,+∞【答案】A【解析】12PF PF a -=，由点P 的轨迹为双曲线，根据双曲线的定义.则12124PF PF F F <=-，所以04a <<故选: A4．(2022·全国高三专题练习)已知1F 、2F 为双曲线22:13x C y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ︒∠=，则12PF F △的面积为____________【解析】双曲线22:13x C y -=，则223,1a b ==，所以2224c a b =+=，利用双曲线定义知，122PF PF a -==两边平方得221212||||122||||PF PF PF PF +=+⋅，且12||24F F c ==，1260F PF ∠=由余弦定理22212212121212||||||122||||161cos 2||||2||||2PF PF FF PF PF F PF PF PF PF PF +-+⋅-∠===⋅⋅，解得：12||||4PF PF ⋅=，则121211||||sin 604222PF F S PF PF =⋅⋅∠=⨯⨯=考点题型二双曲线的标准方程【例2-1】(2022·福建龙岩市)“11m -<<”是“方程22112x y m m +=+-表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若方程22112x y m m +=+-表示双曲线，则(1)(2)0m m +-<，得12m -<<，则11m -<<能推出12m -<<，12m -<<不能推出11m -<<，“11m -<<”是“方程22112x y m m +=+-表示双曲线”的充分不必要条件，故选：A ．【例2-2】．(2022·全国课时练习)过点(1,1)，且ba=( ) A ．22112x y -=B ．22112y x -=C ．22112y x -= D ．22112x y -=或22112y x -=【答案】D【解析】由ba=222b a =. 当焦点在x 轴上时，设双曲线方程为222212x y a a -=，将点(1,1)代入可得212a =，则双曲线方程为22112x y -=.同理，焦点在y 轴上时，双曲线方程为22112y x -=.故选：D【举一反三】1．(2022·海原县第一中学)根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)焦点在x 轴上，2a =离心率52e =，求双曲线的标准方程； (2)11a c +=，3c a -=，焦点在y 轴上，求双曲线的标准方程．【答案】(1)224121x y -=；(2)2211633y x -=.【解析】(1)由题意可得252a c e a =⎧⎪⎨==⎪⎩，5c ∴=，b =因为双曲线的焦点在x 轴上，因此，双曲线的标准方程为224121x y -=； (2)由已知条件可得113a c c a +=⎧⎨-=⎩，解得74c a =⎧⎨=⎩，b ∴==因为双曲线的焦点在y 轴上，因此，双曲线的标准方程为2211633y x -= 2．(2022·浙江)已知曲线22:1()12x y E m m m -=∈--R ，( )A ．若E 表示双曲线，则2m >B ．若12m <<，则E 表示双曲线C ．若E 表示椭圆，则2m >D ．若12m <<且32m ≠，则E 表示椭圆【答案】D【解析】因为曲线22:1()12x y E m m m -=∈--R ，当()()120m m -->解得2m >或1m <时曲线表示双曲线；当102012m m m m->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩即12m <<且32m ≠时曲线表示椭圆；故选：D3．(2022·江苏南通市)命题:p “34m <<”是命题:q “曲线22135x y m m-=--表示双曲线”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】命题:q “曲线22135x y m m-=--表示双曲线”，则()()350m m -->，即()()350m m --<，解得35m <<由于命题p 能推出命题q ，命题q 不能推出命题p 则命题p 是命题q 的充分不必要条件故选：C考点题型三直线与曲线的位置关系【例3】(2022·全国课时练习)若直线y ＝kx 与双曲线4x 2－y 2＝16相交，求实数k 的取值范围．【答案】22k -<<【解析】4x 2－y 2＝16渐近线方程为2y x =±，因为直线y ＝kx 与双曲线4x 2－y 2＝16相交，所以k ≠±2，将y ＝kx 代入4x 2－y 2＝16得关于x 的一元二次方程(4－k 2)x 2－16＝0，由0∆>可得()241640k ⨯->，解得22k -<<.【举一反三】1．(2022·徐汇区·上海中学)已知直线()1y kx k =+∈R 与双曲线2231x y -=，则k 为何值时，直线与双曲线有一个公共点？【答案】k =k =【解析】由22311x y y kx ⎧-=⎨=+⎩得()223220k x kx ---=，因为直线与双曲线有一个公共点，所以230k -=或()()()2223024320k k k ⎧-≠⎪⎨∆=----=⎪⎩，解得k =k =2．(2022·江苏南通市)直线34y kx k =-+与双曲线221169x y -=有且只有一个公共点，则k 的取值有( )个 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】联立22341169y kx k x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 并整理得()()()2221693243164390kx k k x k ⎡⎤-+-+-+=⎣⎦，由于直线34y kx k =-+与双曲线221169x y -=有且只有一个公共点，所以，21690k -=或()()()222216903243641694390k k k k k ⎧-≠⎪⎨⎡⎤⎡⎤∆=----+=⎪⎣⎦⎣⎦⎩，解得34k =±或2724250k k +-=，对于方程2724250k k +-=，判别式为22447250'∆=+⨯⨯>，方程2724250k k +-=有两个不等的实数解.显然34k =±不满足方程2724250k k +-=.综上所述，k 的取值有4个.故选：D.3．(2022·陕西宝鸡市)如果直线1y kx =-与双曲线224x y -=只有一个交点，则符合条件的直线有( ) A ．1条 B ．2条C ．3条D ．4条【答案】D【解析】由2214y kx x y =-⎧⎨-=⎩，得22(1)250k x kx -+-=，若210k -=，即1k =±，1k =时，52x =，方程组只有一解；1k =-时，52x =-，方程组只有一解； 210k -≠时，22420(1)0k k ∆=+-=，2k =±，此时方程组也只有一解．方程组只有一解，即直线与双曲线只有一个交点．因此这样的直线有4条．故选：D ．考点题型四弦长【例4】(2022·全国高三专题练习)直线x ＋y ＝1与双曲线4x 2－y 2＝1相交所得弦长为( )A．3B．3CD【答案】B【解析】将直线1x y +＝代入2241x y -＝得23220x x +-=. 设两交点()()1122,,,A x y B x y ，则12122233x x x x +-=-＝，，123AB x ∴=-==.故选:B ．【举一反三】1．(2022·辽宁朝阳市·高三月考)直线0x y -=与双曲线2222x y -=有两个交点为A ，B ，则AB =( ) A ．2 B ．C ．4D ．【答案】C【解析】由22220x y x y ⎧-=⎨-=⎩，得11x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩22x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩4AB ==.故选：C ．2．(2022·全国高三专题练习)过点P (4，2)作一直线AB 与双曲线C ：22x －y 2＝1相交于A ，B 两点，若P 为线段AB 的中点，则|AB |＝( ) A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】解法一：由题意可知，直线AB 的斜率存在．设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y＝k (x －4)＋2.由22(4)2,12y k x x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并整理，得(1－2k 2)x 2＋8k (2k －1)x －32k 2＋32k －10＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为P (4，2)为线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝－28(21)12k k k--＝8，解得k ＝1. 所以x 1x 2＝2232321012k k k -+--＝10. 所以|AB |.故选:D.解法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则221112x y -=， ① 222212x y -=. ② ①－②得12(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0. 因为P (4，2)为线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4.所以4(x 1－x 2)－4(y 1－y 2)＝0，即x 1－x 2＝y 1－y 2，所以直线AB 的斜率k ＝1212y y x x --＝1.则直线AB 的方程为y ＝x －2. 由222,12y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并整理，得x 2－8x ＋10＝0，所以x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝10.所以|AB |＝.故选：D考点题型五离心率与渐近线【例3】(2022·浙江湖州市)双曲线2214y x -=的离心率是_______，渐近线方程是_______．(两条都写出)2y x=±【解析】由题可知1a=，2b=，故c=e==渐近线方程为：by xa=±即2y x=±.2y x=±【举一反三】1．(2022·浙江杭州市·学军中学)双曲线22143x y-=的渐近线方程是___________；离心率为___________.【答案】2y x=±2【解析】由双曲线方程得：2,a b==，则c=因此渐近线方程是2y x=±；离心率为2ca=故答案为：2y x=±；22．(2022·湖北高三一模)已知12,F F分别是双曲线C的左､右焦点，若双曲线C上存在一点M满足1212::12:13:5MF MF F F=，则该双曲线的离心率为___________.【答案】5【解析】设121212,13,5MF k MF k F F k===双曲线的离心率122125521312F Fc kea MF MF k k====--.故答案为：53．(2022·河北张家口市)已知椭圆221259x y+=和双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>有共同焦点12,,F F P是它们的一个交点，且123F PFπ∠=，则双曲线的离心率为_____________.【答案】13【解析】椭圆的长半轴长为5，双曲线的半实轴长为a ，根据椭圆及双曲线的定义：121210,2PF PF PF PF a +=-=，所以125,5PF a PF a =+=-，12128,3F F F PF π=∠=，由余弦定理可得，2264(5)(5)2(5)(5)cos 3a a a a π=++--+-，整理得213a =，13c e a ===..。

高三数学一轮复习-双曲线 (带答案)

解析几何—双曲线一、学习目标知识与技能：了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在解决实际问题时的应用。

过程与方法：掌握双曲线的定义、标准方程及简单的几何性质。

情感态度价值观：理解数形结合的思想，了解椭圆的简单应用。

二、学习重难点重点：双曲线的定义的灵活应用、利用标准方程研究几何性质，尤其是离心率求值问题。

难点：双曲线的综合问题三、考纲解读：掌握双曲线的定义、标准方程,能够根据条件利用待定系数法求双曲线方程. 四、知识链接1.共渐近线的双曲线系方程：与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线的双曲线系方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，若λ>0，则双曲线的焦点在轴上；若λ<0，则双曲线的焦点在轴上．2.双曲线的形状与e 的关系：∵双曲线渐近线的斜率k ＝ba ＝c 2－a 2a＝c 2a2－1＝e 2－1，∴e 越大，则渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔．故双曲线的离心率越大，它的开口就越宽阔．3. 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为，而双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为应注意其区别与联系．4．平行于双曲线的渐近线的直线与双曲线有且仅有个交点．五、基础检测A1．已知()()3,0,3,0,6M N PM PN --=，则动点P 的轨迹是（） A ．一条射线B ．双曲线右支C ．双曲线D ．双曲线左支【答案】A 因为6PM PN MN -==，故动点P 的轨迹是一条射线：0,3y x =≥A2．若12,F F 分别是双曲线2211620x y-=的左、右焦点,P 为双曲线C 上一点,且19PF =,则2PF 的长为( )A ．1B ．17或1C ．17D ．12【答案】C 因为194610PF a c =<+=+=,所以P 必在双曲线左支上, :212248PF PF a -==⨯=,又19PF =,所以298PF -=,解得:217PF =,A3．若00(,)P x y 是双曲线22124x y -=左支上一点，则0x 的取值范围是_____【答案】(,-∞六、学习过程B1．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，P 是双曲线上在第一象限内的点，直线PO 、2PF 分别交双曲线C 左、右支于另一点M 、N ，122PF PF =，且260MF N ∠=，则双曲线C 的离心率为（）A B CD 【答案】B122PF PF =，122PF PF a -=，14PF a ∴=，22PF a =.连接1MF 、2MF ，根据双曲线的对称性可得12MF PF 为平行四边形，260MF N ∠=o Q ，1260F PF ∴∠=，由余弦定理可得2224164242cos60c a a a a =+-⋅⋅⋅o ，c ∴=，ce a∴== B2．已知△ABP 的顶点A 、B 分别为双曲线的左右焦点，顶点P 在双曲线C 上，则sin sin sin A BP-的值等于（）AB C ．54D ．45【答案】D 由题意得双曲线22:1169x y C -=得4a =, 3b =,根据双曲线的定义得:28PB PA a -==‖,又210AB c ===, 从而由正弦定理,得sin sin 4sin 5PB PA A B P AB --==‖，B4．双曲线C 与双曲线2212y x -=有共同的渐近线，且过点．（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线:1l y kx =+与双曲线C 左支交于,A B 两点，求k 的取值范围；【答案】（1）2212y x -=；（2）（1）因为双曲线C 与双曲线2212y x -=有共同的渐近线，所以设双曲线C 的方程为222y x λ-=，把点代入C中，即(22λ-=，解得λ1=-，所以双曲线C 的方程为2212y x -=.（2）联立22112y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得：()222230k x kx ---=，①因为直线与双曲线左支有两个交点,A B ，设()()1122,,,A x y B x y ，且120,0x x <<，解不等式()2221221222041220202302k k k k x x k x x k ⎧-≠⎪+->⎪⎪⎨+=<⎪-⎪-⎪=>-⎩，解得：k k k ⎧<<⎪⎪≠⎨⎪>⎪⎩k <<B5．已知双曲线两个焦点分别是())12,F F，点)P在双曲线上.（1）求双曲线的标准方程;（2）过双曲线的右焦点2F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线交于,A B 两点，求1F AB ∆的周长.【答案】（1）221x y -=；（2）12 （1）()22,0F，)P2P F x∴⊥轴 221b PF a∴==且c =又222c a b =+，即220a a +-=，解得：1a = 21b ∴=∴双曲线的标准方程为：221x y -=（2）由（1）知，双曲线渐近线为y x =，倾斜角为45 直线AB 过2F 且倾斜角为60 ,A B ∴均在双曲线的右支上122BF BF ∴-=，122AF AF -= 112244AF BF AF BF AB ∴+=++=+设直线AB方程为：y x =代入双曲线方程得：2270x -+=4AB ∴== 1F AB ∴∆的周长为：114212AF BF AB AB ++=+=七、达标检测A1．设1k >，则关于,x y 的方程()22211k x y k -+=-所表示的曲线是（）A ．长轴在y 轴上的椭圆B ．长轴在x 轴上的椭圆C ．实轴在y 轴上的双曲线D ．实轴在x 轴上的双曲线【答案】C ∵k ＞1，∴1+k >0，k 2-1＞0，方程()22211k x y k -+=-，即222111y x k k -=-+，表示实轴在y 轴上的双曲线，A2．已知双曲线的渐近线为2y x =±，实轴长为4，则该双曲线的方程为（） A ．22142x y -=B ．22142x y -=或22148y x -=C ．22148y x -=D ．22142x y -=或22148y x -=【答案】D双曲线的渐近线方程为2y x =±，实轴长为4，24a ∴=，则2a =，∴当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为22214x y b -=，0b >，此时2b =b =∴双曲线方程为22142x y -=，当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线方程为22214y x b-=，0b >，此时22b =，解得b =22148x y -=． B3．已知双曲线22:1(04)4x y C m m m-=<<-的渐近线与圆22(2)3x y -+=相切，则m =（）A ．1B C ．2D ．3【答案】A 双曲线22:1(04)4x y C m m m-=<<-的渐近线方程为y =将y =0= 由双曲线的渐近线0±=与圆22(2)3x y -+==解得1m = C4．设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为( ) A ．B ．C ．D ．3【答案】B 因为是双曲线上一点，所以，又所以，，所以又因为，所以有，，即解得：（舍去），或；所以，所以B5．设双曲的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A B C ．12D ．12【答案】D设该双曲线方程为2222100x ya ba b-=（＞，＞），可得它的渐近线方程为by xa=±，焦点为F（c，0），点B（0，b）是虚轴的一个端点，∴直线FB的斜率为FBb bkc c-==--，∵直线FB与直线by xa=互相垂直，1b bc a∴-⨯=-,2b ac∴=,22222b c a c a ac=-∴-=，,210e e∴--=,e∴=,。

三维设计高考数学人教版理科一轮复习配套题库8.6双曲线(含答案详析)

高考真题备选题库第8章平面解析几何第6节双曲线考点一双曲线的定义、标准方程1．（2013广东，5分）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C 的方程是( )A.x 24－y 25＝1B.x 24－y 25＝1 C.x 22－y 25＝1 D.x 22－y 25＝1 解析：本题考查双曲线的方程，考查考生的运算能力．由题意可知c ＝3，a ＝2，b ＝ c 2－a 2＝ 32－22＝5，故双曲线的方程为x 24－y 25＝1.答案：B2．（2013湖北，5分）已知0＜θ＜π4，则双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1与C 2：y 2sin 2θ－x 2sin 2θtan 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等解析：本题考查三角函数、双曲线等知识，意在考查考生对双曲线知识的掌握情况，会求实轴、虚轴、焦距和离心率的值，掌握三角函数的重要公式是求解本题的基础．双曲线C 1的离心率e 1＝c 1a 1＝a 21＋b 21a 21＝ cos 2θ＋sin 2θcos 2θ＝1cos θ，双曲线C 2的离心率e 2＝c 2a 2＝ a 22＋b 22a 22＝ sin 2θ＋sin 2θtan 2θsin 2θ＝1＋tan 2θ＝1＋sin 2θcos 2θ＝1cos θ，所以e 1＝e 2，而双曲线C 1的实轴长为2a 1＝2cos θ，虚轴长为2b 1＝2sin θ，焦距为2c 1＝2a 21＋b 21＝2，双曲线C 2的实轴长为2a 2＝2sin θ，虚轴长为2b 2＝2sin θsin θ，焦距为2c 2＝2 a 22＋b 22＝2sin 2θ＋sin 2θtan 2θ＝2tan θ，所以A ，B ，C 均不对，故选D. 答案：D3．（2012湖南，5分）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 解析：根据已知列出方程即可．c ＝5，双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x 经过点(2,1)，所以a ＝2b ，所以25＝4b 2＋b 2，由此得b 2＝5，a 2＝20，故所求的双曲线方程是x 220－y 25＝1.答案：A4．（2011山东，5分）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A.x 25－y 24＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 23－y 26＝1 D.x 26－y 23＝1 解析：圆心的坐标是(3,0)，圆的半径是2，双曲线的渐近线方程是bx ±ay ＝0，根据已知得3b a 2＋b2＝2，即3b 3＝2，解得b ＝2，则a 2＝5，故所求的双曲线方程是x 25－y 24＝1.答案：A5．（2011安徽，5分）双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4D ．4 2解析：双曲线方程可变形为x 24－y 28＝1，所以a 2＝4，a ＝2,2a ＝4.答案：C6．（2011安徽，5分）双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A ．(22，0) B ．(52，0) C ．(62，0) D ．(3，0)解析：将双曲线方程化为标准方程为： x 2－y 212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12，∴c 2＝a 2＋b 2＝32，∴c ＝62，故右焦点坐标为(62，0)．答案：C考点二双曲线的简单几何性质1．（2013福建，5分）双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )A.25 B.45 C.255D.455解析：本题考查双曲线的图象与性质，点到直线的距离等基础知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力以及运算求解能力．双曲线x 24－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±x2，即x ±2y ＝0，所以双曲线的顶点(±2,0)到其渐近线距离为25＝255.答案：C2．（2013浙江，5分）如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62解析：本题考查椭圆、双曲线的定义，几何图形和标准方程，简单几何性质，考查转化与化归思想、数形结合思想、函数与方程思想以及运算求解能力．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)①，点A 的坐标为(x 0，y 0)．由题意得a 2＋b 2＝3＝c 2②，则|OA |＝c ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝3，x 20＋4y 20＝4，解得x 20＝83，y 20＝13，又点A 在双曲线上，代入①得，83b 2－13a 2＝a 2b 2③，联立②③解得a ＝2，所以e ＝c a ＝62，故选D.答案：D3．（2013北京，5分）若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 的离心率为3，则其渐近线方程为( )A. y ＝±2x B ．y ＝±2x C. y ＝±12xD. y ＝±22x解析：本题考查双曲线的方程和简单几何性质，意在考查考生的运算求解能力．在双曲线中离心率e ＝ca ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝3，可得ba＝2，故所求的双曲线的渐近线方程是y ＝±2x .答案：B4．（2013陕西，5分）双曲线x 216－y 2m ＝1的离心率为54，则m 等于________．解析：本题考查双曲线的几何性质和方程思想的具体应用．⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，b 2＝m ，e 2＝2516⇒2516＝16＋m16⇒m ＝9. 答案：95．（2013江苏，5分）双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________．解析：本题考查双曲线的几何性质，意在考查学生的运算能力．令x 216－y 29＝0，解得y ＝±34x . 答案：y ＝±34x6．（2013湖南，5分）设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C上一点．若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为________．解析：本小题主要考查双曲线的定义及其几何性质和余弦定理，考查数形结合思想与运算求解能力，属中档题．依题意及双曲线的对称性，不妨设F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，求得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .而|F 1F 2|＝2c ，所以在△PF 1F 2中由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1|·|F 1F 2|·cos ∠PF 1F 2，所以4a 2＝16a 2＋4c 2－2·4a ·2c ·cos 30°，即3a 2－23ac ＋c 2＝0，所以3a －c ＝0，故双曲线C 的离心率为 3.答案： 37．（2012新课标全国，5分）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A.2 B ．2 2 C ．4D ．8解析：抛物线y 2＝16x 的准线方程是x ＝－4，所以点A (－4，23)在等轴双曲线C ：x 2－y 2＝a 2(a ＞0)上，将点A 的坐标代入得a ＝2，所以C 的实轴长为4.答案：C8．（2012浙江，5分）如图，F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b ＞0)的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|＝|F 1F 2|，则C 的离心率是( )A.233B.62C. 2D. 3解析：不妨设c ＝1，则直线PQ ：y ＝bx ＋b ，两渐近线为y ＝±bax ，因此有交点P (－aa ＋1，ba ＋1)，Q (a1－a ，b1－a )，设PQ 的中点为N ，则点N 的坐标为(a 21－a 2，b 1－a2)，因为线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ，|MF 2|＝|F 1F 2|，所以点M 的坐标为(3,0)，因此有k MN ＝b1－a 2－0a 21－a 2－3＝－1b，所以3－4a 2＝b 2＝1－a 2，所以a 2＝23，所以e ＝62.答案：B9．（2011湖南，5分）设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：双曲线方程x 2a 2－y 29＝1的渐近线方程为3x ±ay ＝0，与已知方程比较系数得a ＝2.答案：C10．(2009·浙江，5分)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点A 作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B 、C .若AB ＝12BC ，则双曲线的离心率是( )A.2B. 3C. 5D.10解析：直线l ：y ＝－x ＋a 与渐近线l 1：bx －ay ＝0交于B (a 2a ＋b ，aba ＋b )，l 与渐近线l 2：bx ＋ay ＝0交于C (a 2a －b ，－aba －b)，A (a,0)，AB ＝(－ab a ＋b ，aba ＋b )，BC ＝(2a 2b a 2－b 2，－2a 2ba 2－b 2)． ∵AB ＝12BC ，∴－ab a ＋b ＝a 2ba 2－b 2，b ＝2a ，∴c 2－a 2＝4a 2，∴e 2＝c 2a2＝5，∴e ＝ 5.答案：C11．（2012湖北，5分）如图，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b ＞0)的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2.若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D .则(1)双曲线的离心率e ＝________；(2)菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD 的面积S 2的比值S 1S 2＝________.解析：由题意可得a b 2＋c 2＝bc ，∴a 4－3a 2c 2＋c 4＝0，∴e 4－3e 2＋1＝0，∴e 2＝3＋52，∴e ＝1＋52.设sin θ＝b b 2＋c2，cos θ＝c b 2＋c2，S 1S 2＝2bc 4a 2sin θcos θ＝2bc4a 2bc b 2＋c 2＝b 2＋c 22a 2＝e 2－12＝2＋52. 答案：1＋52 2＋5212．（2011辽宁，5分）已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．解析：根据点(2,3)在双曲线上，可以很容易建立一个关于a ，b 的等式，即4a 2－9b 2＝1，考虑到焦距为4，这也是一个关于c 的等式，2c ＝4，即c ＝2.再有双曲线自身的一个等式a 2＋b 2＝c 2，这样，三个方程，三个未知量，可以解出a ＝1，b ＝3，c ＝2，所以，离心率e ＝2.答案：213．（2010江苏，5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．解析：由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M 的坐标为(3，15)或(3，－15)，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4. 答案：4。

2019届高考数学一轮复习：《双曲线》教学案(含解析)

双_曲_线[知识能否忆起]1．双曲线的定义平面内与定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程和几何性质[小题能否全取]1．(教材习题改编)若双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的左焦点的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，0 C.⎝⎛⎭⎪⎫－62，0D.()－3，0解析：选C ∵双曲线方程可化为x 2－y212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12.∴c 2＝a 2＋b 2＝32，c ＝62.∴左焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0. 2．(教材习题改编)若双曲线x 2a 2－y 2＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为( )A.255 B.32 C.233D ．2解析：选C 依题意得a 2＋1＝4，a 2＝3，故e ＝2a 2＝23＝233.3．设F 1，F 2是双曲线x 2－y224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．4 2B ．8 3C ．24D ．48解析：选C 由P 是双曲线上的一点和3|PF 1|＝4|PF 2|可知，|PF 1|－|PF 2|＝2，解得|PF 1|＝8，|PF 2|＝6.又|F 1F 2|＝2c ＝10，所以△PF 1F 2为直角三角形，所以△PF 1F 2的面积S ＝12×6×8＝24.4．双曲线x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________________．解析：由题意知a 2＋1a ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＝2，解得a ＝33，故该双曲线的渐近线方程是3x±y＝0，即y ＝±3x.答案：y ＝±3x5．已知F 1(0，－5)，F 2(0,5)，一曲线上任意一点M 满足|MF 1|－|MF 2|＝8，若该曲线的一条渐近线的斜率为k ，该曲线的离心率为e ，则|k|·e＝________.解析：根据双曲线的定义可知，该曲线为焦点在y 轴上的双曲线的上支， ∵c ＝5，a ＝4，∴b ＝3，e ＝c a ＝54，|k|＝43.∴|k|·e＝43×54＝53.答案：531.区分双曲线与椭圆中a 、b 、c 的关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.双曲线的离心率e ＞1；椭圆的离心率e ∈(0,1)．2．渐近线与离心率：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为b a ＝ b2a2＝ c 2－a 2a2＝e 2－1.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．[注意] 当a>b>0时，双曲线的离心率满足1<e<2；当a ＝b>0时，e ＝2(亦称为等轴双曲线)；当b>a>0时，e> 2.3．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．典题导入[例1] (1)(2018·湖南高考)已知双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1的焦距为10，点P(2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y25＝1 B.x 25－y220＝1 C.x 280－y220＝1D.x 220－y280＝1 (2)(2018·辽宁高考)已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．[自主解答] (1)∵x 2a 2－y2b 2＝1的焦距为10，∴c ＝5＝a 2＋b 2.①又双曲线渐近线方程为y ＝±b a x ，且P(2,1)在渐近线上，∴2ba ＝1，即a ＝2b.②由①②解得a ＝25，b ＝ 5.(2)不妨设点P 在双曲线的右支上，因为PF 1⊥PF 2，所以(22)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，又因为|PF 1|－|PF 2|＝2，所以(|PF 1|－|PF 2|)2＝4，可得2|PF 1|·|PF 2|＝4，则(|PF 1|＋|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝12，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2 3. [答案] (1)A (2)2 3由题悟法1．应用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．2．双曲线方程的求法(1)若不能明确焦点在哪条坐标轴上，设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn<0)． (2)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y2b 2＝λ(λ≠0)．(3)若已知渐近线方程为mx ＋ny ＝0，则双曲线方程可设为m 2x 2－n 2y 2＝λ(λ≠0)．以题试法1．(2018·大连模拟)设P 是双曲线x 216－y220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左右两个焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|＝( )A ．1B ．17C ．1或17D ．以上答案均不对解析：选B 由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝8，又∵|PF 1|＝9，∴|PF 2|＝1或17，但双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c －a ＝6－4＝2＞1，∴|PF 2|＝17.典题导入[例2] (2018·浙江高考)如图，F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a ，b ＞0)的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M.若|MF 2|＝|F 1F 2|，则C 的离心率是( )A.233 B.62C. 2D. 3[自主解答] 设双曲线的焦点坐标为F 1(－c,0)，F 2(c,0)． ∵B(0，b)，∴F 1B 所在的直线为－x c ＋yb ＝1.①双曲线渐近线为y ＝±ba x ，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝b a x ，－x c ＋yb ＝1，得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫ac c －a ，bc c －a . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－b a x ，－x c ＋yb ＝1，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－ac a ＋c ，bc a ＋c ，∴PQ 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c c 2－a 2，bc 2c 2－a 2.由a 2＋b 2＝c 2得，PQ 的中点坐标可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c b 2，c 2b . 直线F 1B 的斜率为k ＝bc，∴PQ 的垂直平分线为y －c 2b ＝－c b ⎝⎛⎭⎪⎫x －a 2c b 2.令y ＝0，得x ＝a 2cb 2＋c ，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c b 2＋c ，0，∴|F 2M|＝a 2c b 2. 由|MF 2|＝|F 1F 2|得a 2cb 2＝a 2c c 2－a2＝2c ，即3a 2＝2c 2，∴e 2＝32，∴e ＝62.[答案] B若本例条件变为“此双曲线的一条渐近线与x 轴的夹角为α，且π4＜α＜π3”，求双曲线的离心率的取值范围．解：根据题意知1＜ba ＜3，即1＜e 2－1＜ 3.所以2＜e ＜2. 即离心率的取值范围为( 2，2)．由题悟法1．已知渐近线方程y ＝mx ，求离心率时，若焦点位置不确定时，m ＝b a (m ＞0)或m ＝ab ，故离心率有两种可能．2．解决与双曲线几何性质相关的问题时，要注意数形结合思想的应用．以题试法2．(1)(2018·福建高考)已知双曲线x 2a －y25＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( )A.31414B.324C.32D.43解析：选C 由题意知c ＝3，故a 2＋5＝9，解得a ＝2，故该双曲线的离心率e ＝c a ＝32.(2)(2018·大同模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与抛物线y 2＝8x 有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若|PF|＝5，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±33xB ．y ＝±3xC ．y ＝±2xD ．y ＝±22x 解析：选B 设点P(m ，n)，依题意得，点F(2,0)，由点P 在抛物线y 2＝8x 上，且|PF|＝5得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2＝5，n 2＝8m ，由此解得m ＝3，n 2＝24.于是有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝4，9a 2－24b 2＝1，由此解得a 2＝1，b 2＝3，该双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±3x.典题导入[例3] (2018·南昌模拟)已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(b>a>0)，O 为坐标原点，离心率e ＝2，点M(5，3)在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)若直线l 与双曲线交于P ，Q 两点，且OP ·OQ ＝0.求1|OP|2＋1|OQ|2的值． [自主解答] (1)∵e ＝2，∴c ＝2a ，b 2＝c 2－a 2＝3a 2，双曲线方程为x 2a 2－y 23a2＝1，即3x 2－y 2＝3a 2.∵点M(5，3)在双曲线上，∴15－3＝3a 2.∴a 2＝4. ∴所求双曲线的方程为x 24－y212＝1.(2)设直线OP 的方程为y ＝kx(k≠0)，联立x 24－y212＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝123－k 2，y 2＝12k 23－k 2，∴|OP|2＝x 2＋y 2＝2＋3－k2.则OQ 的方程为y ＝－1kx ，同理有|OQ|2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 23－1k2＝2＋3k 2－1，∴1|OP|2＋1|OQ|2＝3－k 2＋2－2＋＝2＋2k22＋＝16.由题悟法1．解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程．利用根与系数的关系，整体代入．2．与中点有关的问题常用点差法．[注意] 根据直线的斜率k 与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系．以题试法3．(2018·长春模拟)F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，过点F 2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M ，满足|1MF ,|＝3|2MF ,|，则此双曲线的渐近线方程为________________．解析：由双曲线的性质可得|2MF ,|＝b ，则|1MF ,|＝3b.在△MF 1O 中，|OM ,|＝a ，|1OF ,|＝c ，cos ∠F 1OM ＝－a c ，由余弦定理可知a 2＋c 2－22ac ＝－a c ，又c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＝2b 2，即b a＝22，故此双曲线的渐近线方程为y ＝±22x. 答案：y ＝±22x1．(2018·唐山模拟)已知双曲线的渐近线为y ＝±3x ，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( ) A.x 24－y212＝1 B.x 22－y24＝1 C.x 224－y28＝1D.x 28－y224＝1 解析：选 A 由题意可设双曲线方程为x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧b a＝3，c ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝3，a 2＋b 2＝42，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝12，故双曲线方程为x 24－y212＝1.2．若双曲线过点(m ，n)(m ＞n ＞0)，且渐近线方程为y ＝±x，则双曲线的焦点( ) A ．在x 轴上B ．在y 轴上C ．在x 轴或y 轴上D ．无法判断是否在坐标轴上解析：选A ∵m ＞n ＞0，∴点(m ，n)在第一象限且在直线y ＝x 的下方，故焦点在x 轴上．3．(2018·华南师大附中模拟)已知m 是两个正数2,8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y2m＝1的离心率为( )A.32或 52B.32C. 5D.32或 5 解析：选D ∵m 2＝16，∴m ＝±4，故该曲线为椭圆或双曲线．当m ＝4时，e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝32.当m ＝－4时，e ＝c a ＝a 2＋b2a＝ 5.4.(2018·浙江高考)如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点．若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )A ．3B ．2 C. 3D. 2解析：选B 设焦点为F(±c,0)，双曲线的实半轴长为a ，则双曲线的离心率e 1＝c a ，椭圆的离心率e 2＝c2a ，所以e 1e 2＝2.5．(2018·哈尔滨模拟)已知P 是双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且1PF ,·2PF ,＝0，若△PF 1F 2的面积为9，则a ＋b 的值为( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8解析：选C 由1PF ,·2PF ,＝0得1PF ,⊥2PF ,，设|1PF ,|＝m ，|2PF ,|＝n ，不妨设m ＞n ，则m 2＋n 2＝4c 2，m －n ＝2a ，12mn ＝9，c a ＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝5，∴b ＝3，∴a ＋b ＝7.6．(2018·浙江模拟)平面内有一固定线段AB ，|AB|＝4，动点P 满足|PA|－|PB|＝3，O 为AB 中点，则|OP|的最小值为( )A ．3B ．2 C.32D ．1解析：选C 依题意得，动点P 位于以点A ，B 为焦点、实轴长为3的双曲线的一支上，结合图形可知，该曲线上与点O 距离最近的点是该双曲线的一个顶点，因此|OP|的最小值等于32.7．(2018·西城模拟)若双曲线x 2－ky 2＝1的一个焦点是(3,0)，则实数k ＝________. 解析：∵双曲线x 2－ky 2＝1的一个焦点是(3,0)， ∴1＋1k ＝32＝9，可得k ＝18.答案：188．(2018·天津高考)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)与双曲线C 2：x 24－y216＝1有相同的渐近线，且C 1的右焦点为F(5，0)，则a ＝________，b ＝________.解析：双曲线x 24－y 216＝1的渐近线为y ＝±2x，则b a ＝2，即b ＝2a ，又因为c ＝5，a 2＋b 2＝c 2，所以a ＝1，b ＝2.答案：1 29．(2018·济南模拟)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若E 为PF 的中点，则双曲线的离心率为________．解析：设双曲线的右焦点为F′.由于E 为PF 的中点，坐标原点O 为FF′的中点，所以EO ∥PF′，又EO ⊥PF ，所以PF′⊥PF ，且|PF′|＝2×a2＝a ，故|PF|＝3a ，根据勾股定理得|FF′|＝10a.所以双曲线的离心率为10a 2a ＝102. 答案：10210．(2018·宿州模拟)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．点M(3，m)在双曲线上．(1)求双曲线方程；(2)求证：1MF ·2MF ＝0.解：(1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 26－y26＝1.(2)证明：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6，∴c ＝23， ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m23.∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3，故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2. ∴1MF ·2MF ＝0.11．(2018·广东名校质检)已知双曲线的方程是16x 2－9y 2＝144. (1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2)设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝32，求∠F 1PF 2的大小．解：(1)由16x 2－9y 2＝144得x 29－y216＝1，所以a ＝3，b ＝4，c ＝5，所以焦点坐标F 1(－5,0)，F 2(5,0)，离心率e ＝53，渐近线方程为y ＝±43x.(2)由双曲线的定义可知||PF 1|－|PF 2||＝6， cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝1|－|PF 22＋2|PF 1||PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝36＋64－10064＝0，则∠F 1PF 2＝90°.12．如图，P 是以F 1、F 2为焦点的双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1上的一点，已知PF 1·PF 2＝0，且|PF 1|＝2|PF 2|.(1)求双曲线的离心率e ；若OP 1·OP 2＝－(2)过点P 作直线分别与双曲线的两渐近线相交于P 1，P 2两点，274，2PP 1＋PP 2＝0.求双曲线C 的方程．解：(1)由PF 1·PF 2＝0，得PF 1⊥PF 2，即△F 1PF 2为直角三角形．设|PF 2|＝r ，|PF 1|＝2r ，所以(2r)2＋r 2＝4c 2，2r －r ＝2a ，即5×(2a)2＝4c 2.所以e ＝ 5.(2)b a ＝e 2－1＝2，可设P 1(x 1,2x 1)，P 2(x 2，－2x 2)，P(x ，y)，则OP 1·OP 2＝x 1x 2－4x 1x 2＝－274，所以x 1x 2＝94.①由2PP 1＋PP2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＝－1－，－2x 2－y ＝－1－，即x ＝2x 1＋x 23，y ＝1－x 23.又因为点P 在双曲线x 2a 2－y2b2＝1上，所以1＋x 229a2－1－x 229b2＝1.又b 2＝4a 2，代入上式整理得x 1x 2＝98a 2.②由①②得a 2＝2，b 2＝8. 故所求双曲线方程为x 22－y28＝1.1．(2018·长春模拟)设e 1、e 2分别为具有公共焦点F 1、F 2的椭圆和双曲线的离心率，P 是两曲线的一个公共点，且满足|1PF ,＋2PF ,|＝|12F F ,|，则e 1e 2e 21＋e 22的值为( ) A.22B ．2 C. 2D ．1解析：选A 依题意，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，|F 1F 2|＝2c ，不妨设m ＞n.则由|1PF ,＋2PF ,|＝|12F F ,|得|1PF ,＋2PF ,|＝|2PF ,－1PF ,|＝|1PF ,－2PF ,|，即|1PF ,＋2PF ,|2＝|1PF ,－2PF ,|2，所以1PF ,·2PF ,＝0，所以m 2＋n 2＝4c 2.又e 1＝2c m ＋n ，e 2＝2c m －n ，所以1e 21＋1e 22＝2＋n24c2＝2，所以e 1e 2e 21＋e 22＝11e 22＋1e 21＝22.2．已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞1，b ＞0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b)，点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s≥45c ，则双曲线的离心率e 的取值范围为________．解析：由题意知直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.由点到直线的距离公式得，点(1,0)到直线l的距离d 1＝－a 2＋b2，同理得，点(－1,0)到直线l 的距离d 2＝＋a 2＋b2，s ＝d 1＋d 2＝2ab a 2＋b2＝2ab c .由s≥45c ，得2ab c ≥45c ，即5a c 2－a 2≥2c 2. 所以5e 2－1≥2e 2，即4e 4－25e 2＋25≤0，解得54≤e 2≤5.由于e ＞1，所以e 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤52， 5 . 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤52， 5 3．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM ,＋ON ,＝t OD ,，求t 的值及点D 的坐标．解：(1)由题意知a ＝23，故一条渐近线为y ＝b23x ，即bx －23y ＝0，则|bc|b 2＋12＝3，得b 2＝3，故双曲线的方程为x 212－y23＝1.(2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，D(x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0，将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0y 0＝433，x 212－y 203＝1，得⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3，故t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．1．(2018·岳阳模拟)直线x ＝2与双曲线C ：x 24－y 2＝1的渐近线交于E 1，E 2两点，记1OE ,＝e 1，2OE ,＝e 2，任取双曲线C 上的点P ，若OP ,＝ae 1＋be 2，则实数a 和b 满足的一个等式是________．解析：可求出e 1＝(2,1)，e 2＝(2，－1)，设P(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋2b ＝x 0，a －b ＝y 0，则(a ＋b)2－(a －b)2＝1，得ab＝14. 答案：ab ＝142．已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1的左，右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2作与x 轴垂直的直线与双曲线一个交点为P ，且∠PF 1F 2＝π6，则双曲线的渐近线方程为________________．解析：根据已知得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，±b 2a ，则|PF 2|＝b 2a ，又∠PF 1F 2＝π6，则|PF 1|＝2b 2a ，故2b 2a －b 2a ＝2a ，所以b 2a 2＝2，ba＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±2x. 答案：y ＝±2x3．(2018·大同模拟)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA ―→,·OB―→,＞2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．解：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由已知得a ＝3，c ＝2，再由c 2＝a 2＋b 2得b 2＝1，所以双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，整理得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0，由题意得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝22＋－3k2＝－k2＞0，故k 2≠13且k 2＜1，①设A(x A ，y A )，B(x B ，y B )，则x A ＋x B ＝62k1－3k 2，x A ·x B ＝－91－3k2，由OA ,·OB ,＞2得x A x B ＋y A y B ＞2，又x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2) ＝(k 2＋1)x A x B ＋2k(x A ＋x B )＋2＝(k 2＋1)·－91－3k 2＋2k·62k 1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1，于是3k 2＋73k 2－1＞2，即－3k 2＋93k 2－1＞0，解不等式得13＜k 2＜3，②由①②得13＜k 2＜1，所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1.。

高三数学人教版a版数学(理)高考一轮复习教案：8.6 双曲线 word版含答案

第六节双曲线1．双曲线的标准方程了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．2．双曲线的几何性质知道双曲线的简单几何性质．知识点一双曲线的定义条件结论1结论2平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2M点的轨迹为双曲线F1，F2为双曲线的焦点||MF1|－|MF2||＝2a|F1F2|为双曲线的焦距2a<|F1F2|易误提醒双曲线的定义中易忽视2a<|F1F2|这一条件．若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a>|F1F2|则轨迹不存在．[自测练习]1．已知F为双曲线C：x2－y2＝1的左焦点，P、Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．解析：由双曲线方程知，b＝4，a＝3，c＝5，则虚轴长为8，则|PQ|＝16，由左焦点F(－5,0)且A(5,0)恰为右焦点，知线段PQ过双曲线的右焦点，则P、Q都在双曲线的右支上，由双曲线的定义可知|PF|－|P A|＝2a，|QF|－|QA|＝2a，两式相加得|PF|＋|QF|－(|P A|＋|QA|)＝4a，则|PF|＋|QF|＝4a＋|PQ|＝4×3＋16＝28，故△PQF的周长为28＋16＝44.答案：44知识点二双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R x ∈R ，y ≤－a 或y ≥a 对称性对称中心：原点对称轴：坐标轴；对称中心：原点对称轴：坐标轴；顶点顶点坐标A 1(－a,0)，A 2(a,0) 顶点坐标A 1(0，－a )，A 2(0，a ) 渐近线 y ＝±baxy ＝±a bx离心率e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝ a 2＋b 2实虚轴线段A 1A 2叫作双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫作双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫作双曲线的实半轴长，b 叫作双曲线的虚半轴长通径过焦点垂直于实轴的弦叫通径，其长为2b 2aa ，b ，c 关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)易误提醒 (1)双曲线的标准方程中对a ，b 的要求只是a >0，b >0易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a >b >0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)；若a ＝b >0，则双曲线的离心率e ＝2；若0<a <b ，则双曲线的离心率e > 2.(2)注意区分双曲线与椭圆中的a ，b ，c 的大小关系：在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.(3)易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x 轴上，渐近线斜率为±ba ，当焦点在y 轴上，渐近线斜率为±ab.[自测练习]2．“m <8”是“方程x 2m －10－y 2m －8＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：方程x 2m －10－y 2m －8＝1表示双曲线，则(m －8)·(m －10)>0，解得m <8或m >10，故“m <8”是“方程x 2m －10－y 2m －8＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.答案：A3．已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2 B.62 C.52D ．1 解析：因为双曲线的方程为x 2a 2－y 23＝1，所以e 2＝1＋3a 2＝4，因此a 2＝1，a ＝1.选D.答案：D4．已知F 是双曲线x 23a 2－y 2a 2＝1(a >0)的右焦点，O 为坐标原点，设P 是双曲线C 上一点，则∠POF 的大小不可能是( )A ．15°B ．25°C ．60°D ．165°解析：∵两条渐近线y ＝±33x 的倾斜角分别为30°，150°，∴0≤∠POF <30°或150°<∠POF ≤180°，故选C. 答案：C考点一双曲线的定义及标准方程|1．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且|PF 1|＝43|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．42B ．8 3C ．24D ．48解析：由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝2，又|PF 1|＝43|PF 2|，∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，又|F 1F 2|＝2c ＝10，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，△PF 1F 2为直角三角形．△PF 1F 2的面积S ＝12×6×8＝24.答案：C2．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 解析：依题意，A (a ，b )，以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，∴c ＝4，(4－a )2＋b 2＝4，∴a ＝2，b 2＝12.故双曲线C 的方程为x 24－y 212＝1.答案：A3．已知F 1，F 2为双曲线x 25－y 24＝1的左、右焦点，P (3，1)为双曲线内一点，点A 在双曲线上，则|AP |＋|AF 2|的最小值为( )A.37＋4B.37－4C.37－2 5D.37＋2 5解析：由题意知，|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－2a ，要求|AP |＋|AF 2|的最小值，只需求|AP |＋|AF 1|的最小值，当A ，P ，F 1三点共线时，取得最小值，则|AP |＋|AF 1|＝|PF 1|＝37，∴|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－2a ＝37－2 5. 答案：C求解双曲线定义及标准方程问题的两个注意点(1)在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．(2)求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a ，b ，c 的关系易错易混．考点二渐近线与离心率问题|双曲线的渐近线与离心率问题是每年各地高考命题的热点．归纳起来常见的命题探究角度有：1．已知离心率求渐近线方程． 2．已知渐近线求离心率．3．由离心率或渐近线确定双曲线方程．4．利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围．探究一已知离心率求渐近线方程1．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x解析：因为e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝54，所以b 2a 2＝14，所以b a ＝12，所以y ＝±12x . 答案：C探究二已知渐近线求离心率2．(2016·海淀模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线为y ＝2x ，则双曲线的离心率为________．解析：由题意知b a ＝2，得b ＝2a ，c ＝5a ，所以e ＝ca ＝ 5.2＝4x 的焦点重合，且解析：∵抛物线的焦点为F (1,0)，∴c ＝1. 又c a ＝5，∴a ＝15，∴b 2＝c 2－a 2＝1－15＝45. 故所求方程为5x 2－5y 24＝1，故选D. 答案：D探究四利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(1，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)解析：∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，则由题意得ba>2，∴e ＝c a ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2>1＋4＝ 5.答案：C解决有关渐近线与离心率关系问题的方法(1)已知渐近线方程y ＝mx ，若焦点位置不明确要分|m |＝b a 或|m |＝ab 讨论．(2)注意数形结合思想在处理渐近线夹角、离心率范围求法中的应用．考点三直线与双曲线的位置关系|(2016·汕头模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，F 1，F 2分别是它的左、右焦点，A (－1,0)是其左顶点，且双曲线的离心率为e ＝2.设过右焦点F 2的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，其中点P 位于第一象限内．(1)求双曲线的方程；(2)若直线AP ，AQ 分别与直线x ＝12交于M ，N 两点，求证：MF 2⊥NF 2.[解] (1)由题可知a ＝1.∵e ＝ca ＝2.∴c ＝2.∵a 2＋b 2＝c 2，∴b ＝3，∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1. (2)设直线l 的方程为x ＝ty ＋2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 23＝1，x ＝ty ＋2，得(3t 2－1)y 2＋12ty ＋9＝0，则y 1＋y 2＝－12t 3t 2－1，y 1y 2＝93t 2－1.又直线AP 的方程为y ＝y 1x 1＋1(x ＋1)，将x ＝12代入，得M ⎝⎛⎭⎫12，3y 12(x 1＋1).同理，直线AQ 的方程为y ＝y 2x 2＋1(x ＋1)，将x ＝12代入，得N ⎝⎛⎭⎫12，3y 22(x 2＋1).∴MF 2→＝⎝⎛⎭⎫32，－3y 12(x 1＋1)，NF 2→＝⎝⎛⎭⎫32，－3y 22(x 2＋1).∴MF 2→·NF 2→＝94＋9y 1y 24(x 1＋1)(x 2＋1)＝94＋9y 1y 24(ty 1＋3)(ty 2＋3) ＝94＋9y 1y 24[t 2y 1y 2＋3t (y 1＋y 2)＋9]＝94＋9×93t 2－14⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2×93t 2－1＋3t ×－12t 3t 2－1＋9＝94－94＝0， ∴MF 2⊥NF 2.解决直线与双曲线位置关系的两种方法(1)解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x (或y )的一元二次方程．利用根与系数的关系，整体代入．(2)与中点有关的问题常用点差法．注意：根据直线的斜率k 与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝t OD →，求t 的值及点D 的坐标．解：(1)由题意知a ＝23，又∵一条渐近线为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0.∴由焦点到渐近线的距离为3，得|bc |b 2＋a 2＝ 3. ∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程y ＝33x －2代入双曲线方程x 212－y 23＝1得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝33(x 1＋x 2)－4＝12. ∴⎩⎨⎧x 0y 0＝433，x 2012－y203＝1.∴⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3.∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3).20.忽视直线与双曲线的位置关系中“判别式”致误【典例】已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点？[易错点析] 由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑判别式，致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑判别式，导致解题错误．[解] 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)，若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意．设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，即y ＝kx ＋1－k .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－k ，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2－2k (1－k )x －(1－k )2－2＝0(2－k 2≠0)．① ∴x 0＝x 1＋x 22＝k (1－k )2－k 2.由题意，得k (1－k )2－k 2＝1，解得k ＝2.当k ＝2时，方程①成为2x 2－4x ＋3＝0. Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．∴不能作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P (1,1)是线段AB 的中点． [方法点评] (1)本题是以双曲线为背景，探究是否存在符合条件的直线，题目难度不大，思路也很清晰，但结论却不一定正确．错误原因是忽视对直线与双曲线是否相交的判断，从而导致错误，因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的．(2)本题属探索性问题．若存在，可用点差法求出AB 的斜率，进而求方程；也可以设斜率k ，利用待定系数法求方程．(3)求得的方程是否符合要求，一定要注意检验．[跟踪练习] (2015·厦门模拟)过双曲线C ：x 24－y 29＝1的左焦点作倾斜角为π6的直线l ，则直线l 与双曲线C 的交点情况是( )A ．没有交点B ．只有一个交点C ．有两个交点且都在左支上D ．有两个交点分别在左、右两支上解析：直线l 的方程为y ＝33(x ＋13)，代入C ：x 24－y 29＝1整理，得23x 2－813x －160＝0，Δ＝(－813)2＋4×23×160>0，所以直线l 与双曲线C 有两个交点，由一元二次方程根与系数的关系得两个交点横坐标符号不同，故两个交点分别在左、右支上．答案：DA 组考点能力演练1．双曲线x 236－m 2－y 2m 2＝1(0<m <3)的焦距为( )A ．6B ．12C ．36D ．236－2m 2解析：c 2＝36－m 2＋m 2＝36，∴c ＝6.双曲线的焦距为12. 答案：B2．双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为( )A ．2 3B ．2 C. 3D ．1解析：双曲线x 24－y 212＝1的焦点坐标为(4,0)，(－4,0)，渐近线方程为y ＝3x ，y ＝－3x .由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等， d ＝|43＋0|3＋1＝2 3.答案：A3．P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上的点，F 1，F 2是其左、右焦点，双曲线的离心率是54，且PF 1⊥PF 2，若△F 1PF 2的面积是9，则a ＋b 的值等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：由||PF 1|－|PF 2||＝2a ，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，12|PF 1|·|PF 2|＝9，得c 2－9＝a 2.又c a ＝54，∴a ＝4，c ＝5，b ＝3.∴a ＋b ＝7.答案：D4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若c 是a ，m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是( )A.33B.22C.14D.12解析：依题意，a 2－b 2＝m 2＋n 2＝c 2，c 2＝am,2n 2＝2m 2＋c 2，得a ＝4m ，c ＝2m ，∴e ＝ca ＝1. ，P 为双曲线右支上的)解析：因为P 为双曲线右支上的任意一点，所以|PF 1|＝2a ＋|PF 2|，所以|PF 1|2|PF 2|＝|PF 2|＋4a 2|PF 2|＋4a ≥2|PF 2|·4a 2|PF 2|＋4a ＝8a ，当且仅当|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4a 时，等号成立，可得2a ＋4a ≥2c ，解得e ≤3，又因为双曲线离心率大于1，故选D.答案：D6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作与x 轴垂直的直线，与双曲线的一个交点为P ，且∠PF 1F 2＝π6，则双曲线的渐近线方程为________．解析：易知P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，又∠PF 1F 2＝π6，∴tan π6＝b 2a 2c ，即33＝c 2－a 22ac ，即3e 2－2e －3＝0，∴e ＝3，∴b 2a 2＝c 2a 2－1＝2.∴ba＝2，则双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .答案：y ＝±2x7．设点P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2在第一象限的交点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF 1|＝3|PF 2|，则双曲线的离心率为________．解析：由双曲线的定义|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝3|PF 2|，∴|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a .又点P 在以F 1F 2为直径的圆上，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即(3a )2＋a 2＝(2c )2，c 2a 2＝52，∴e ＝102.答案：1028．已知双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，其中一条渐近线为y ＝3x ，点A 在双曲线C 上，若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝________.解析：双曲线的一条渐近线方程为y ＝3x ，则b ＝3a ，c ＝2a .在△AF 2F 1中，由|F 1A |＝2|F 2A |，|F 1A |－|F 2A |＝2a ，得|F 1A |＝4a ，|F 2A |＝2a ，|F 1F 2|＝4a ，解：(1)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1过一、三象限的渐近线l 1：x a －yb ＝0的倾斜角为α.因为l 和l 2关于l 1对称，记它们的交点为P ，l 与x 轴的交点为M . 而l 2与x 轴平行，记l 2与y 轴的交点为Q . 依题意有∠QPO ＝∠POM ＝∠OPM ＝α. 又l ：y ＝3(x －2)的倾斜角为60°，则2α＝60°，所以tan 30°＝b a ＝33.于是e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝1＋13＝43，所以e ＝233. (2)由于b a ＝33，于是设双曲线方程为x 23k 2－y 2k 2＝1(k ≠0)，即x 2－3y 2＝3k 2.将y ＝3(x －2)代入x 2－3y 2＝3k 2中，得x 2－3×3(x －2)2＝3k 2.化简得到8x 2－36x ＋36＋3k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋3|x 1－x 2|＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2362－4×8×(36＋3k 2)8＝9－6k 2＝3，求得k 2＝1.故所求双曲线方程为x 23－y 2＝1.10.如图所示的“8”字形曲线是由两个关于x 轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是x 2＋y 2－4y －4＝0，双曲线的左、右顶点A ，B 是该圆与x 轴的交点，双曲线与半圆相交于与x 轴平行的直径的两端点．(1)试求双曲线的标准方程；(2)记双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，试在“8”字形曲线上求一点P ，使得∠F 1PF 2是直角．解：(1)设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，在已知圆的方程中，令y ＝0，得x 2－4＝0，即x ＝±2，则双曲线左、右顶点为A (－2,0)，B (2,0)，于是a ＝2.令y ＝2，可得x 2－8＝0，解得x ＝±22，即双曲线过点(±22，2)，则822－4b 2＝1，∴b ＝2.所以所求双曲线方程为x 24－y 24＝1.(2)由(1)得双曲线的两个焦点F 1(－22，0)， F 2(22，0)．当∠F 1PF 2＝90°时，设点P (x ，y )， ①若点P 在双曲线上，得x 2－y 2＝4，由F 1P →·F 2P →＝0，得(x ＋22)(x －22)＋y 2＝0，即x 2－8＋y 2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝4，x 2－8＋y 2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝±6，y ＝±2，所以P 1(6，2)，P 2(6，－2)，P 3(－6，2)，P 4(－6，－2)． ②若点P 在上半圆上，则x 2＋y 2－4y －4＝0(y ≥2)，由F 1P →·F 2P →＝0，得(x ＋22)(x －22)＋y 2＝0，即x 2＋y 2－8＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4y －4＝0，x 2＋y 2－8＝0，无解．同理，点P 在下半圆也没有符合题意的点．综上，满足条件的点有4个，分别为P 1(6，2)，P 2(6，－2)，P 3(－6，2)，P 4(－6，－2)．B 组高考题型专练1．(2015·高考全国卷Ⅱ)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3D. 2解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，不妨设点M 在双曲线的右支上，如图，AB ＝BM ＝2a ，∠MBA ＝120°，作MH ⊥x 轴于H ，则∠MBH ＝60°，BH ＝a ，MH ＝3a ，所以M (2a ，3a )．将点M 的坐标代入双曲线方程x 2a 2－y 2b2＝1，得a ＝b ，所以e ＝ 2.故选D.答案：D2．(2015·高考重庆卷)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A ．±12B ．±22C ．±1D ．±2解析：由题意，得A 1(－a,0)，A 2(a,0)，F (c,0)，将x ＝c 代入双曲线方程，解得y ＝±b 2a ，不妨设B ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，C ⎝⎛⎭⎫c ，－b2a ，则kA 1B ＝b 2a c ＋a ，kA 2C ＝－b 2a c －a ，根据题意，有b 2a c ＋a ·－b 2a c －a ＝－1，整理得ba＝1，所以该双曲线的渐近线的斜率为±1，故选C.答案：C3．(2015·高考四川卷)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.433B ．2 3C ．6D ．4 3解析：由双曲线的标准方程x 2－y 23＝1得，右焦点F (2,0)，两条渐近线方程为y ＝±3x ，直线AB ：x ＝2，所以不妨取A (2,23)，B (2，－23)，则|AB |＝43，选D.答案：D4．(2015·高考北京卷)已知(2,0)是双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)的一个焦点，则b ＝________. 解析：因为(2,0)是双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)的一个焦点，所以1＋b 2＝4，则b ＝ 3.答案： 35．(2015·高考山东卷)平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2率为________．解析：由题意，双曲线的渐近线方程为点A 在第一象限，由⎩⎪⎨⎪⎧y x 故A ⎝⎛⎭⎫2pb a ，2pb 2a 2.所以k AF ＝2pb a＝4b 4ab . 由已知F 为△OAB 的垂心，所以直线AF 与另一条渐近线垂直，故k AF ·⎝⎛⎭⎫－b a ＝－1，即4b 2－a 24ab ×⎝⎛⎭⎫－b a ＝－1，整理得b 2＝54a 2，所以c 2＝a 2＋b 2＝94a 2，故c ＝32a ，即e ＝c a ＝32. 答案：32。

数学(理)一轮复习题库：第九章第讲双曲线

第5讲双曲线一、选择题1．设双曲线错误!－错误!＝1(a＞0)的渐近线方程为3x±2y＝0,则a的值为( )．A．4 B．3 C．2 D．1解析双曲线错误!－错误!＝1的渐近线方程为3x±ay＝0与已知方程比较系数得a＝2。

答案C2．已知双曲线C:错误!－错误!＝1的焦距为10,点P(2，1)在C的渐近线上，则C的方程为（）．A.错误!－错误!＝1B.错误!－错误!＝1C.错误!－错误!＝1D.错误!－错误!＝1解析不妨设a>0，b〉0，c＝错误!。

据题意，2c＝10，∴c＝5。

①双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，且P（2，1)在C的渐近线上，∴1＝错误!。

②由①②解得b2＝5，a2＝20，故正确选项为A.答案A3．已知双曲线x2－y23＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则错误!·错误!的最小值为( ）．A．－2 B．－错误!C．1 D．0解析设点P（x，y)，其中x≥1.依题意得A1(－1,0），F2（2,0）,则有错误!＝x2－1，y2＝3（x2－1），错误!·错误!＝（－1－x，－y)·(2－x，－y）＝(x＋1）（x－2)＋y2＝x2＋3(x2－1)－x－2＝4x2－x－5＝4错误!2－错误!,其中x≥1.因此，当x＝1时,错误!·错误!取得最小值－2，选A。

答案A4．过双曲线错误!－错误!＝1(a〉0，b>0）的左焦点F(－c,0）（c>0)作圆x2＋y2＝错误!的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P,若错误!＋错误!＝2错误!，则双曲线的离心率为（）．A。

2 B。

错误!C。

错误! D.错误!解析设双曲线的右焦点为A，则错误!＝－错误!,故错误!＋错误!＝错误!－错误!＝错误!＝2错误!，即OE＝错误!AP.所以E是PF的中点，所以AP＝2OE＝2×错误!＝a.所以PF＝3a.在Rt△APF中,a2＋（3a）2＝(2c）2，即10a2＝4c2,所以e2＝错误!，即离心率为e＝错误!＝错误!，选C.答案C5．已知双曲线x24－错误!＝1的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( ）．A. 5 B．4 2 C．3 D．5解析易求得抛物线y2＝12x的焦点为（3,0)，故双曲线错误!－错误!＝1的右焦点为（3，0），即c＝3,故32＝4＋b2,∴b2＝5，∴双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，∴双曲线的右焦点到其渐近线的距离为错误!＝错误!.答案A6．如图,已知点P为双曲线错误!－错误!＝1右支上一点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心,若S△IPF1＝S△IPF2＋λS△IF1F2成立，则λ的值为（)A.错误!B。