60三角形与其内接三角形相似的条件

于发现了蕴藏于几何元素之间的最本质的关系： 三角形的所有与其相似的内接三角形具有公共的
垂心，这个垂心就是原三角形的外心． 最后需要说明的是，第一，任意给定三角形， 本定理提供了求作与其相似的内接三角形的作图 方法．第二，由本定理的推证过程可知，当三角形 与其内接三角形相似时，它们的相似比为愚＝ ２ｃｏｓ口，其中口为任意一组对应边所在直线的夹 角．在图３（１）中，臼＝么ＦＨＲ，志＝２ＰＧ：ＤＨ．当日 一。时，内接三角形为中位三角形，走。。。一２．这就 是说，在三角形的所有与其相似的内接三角形中， 中位三角形的周长最短且面积最小．第三，对于内 接三角形与原三角形“对应顶点共边”的情形，有 待我们进一步探究．
爿
三角形，Ｄ，Ｅ，Ｆ均非△ＡＢＣ边的中点，Ｐ，Ｑ，Ｒ 分别为边ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ的中点． 先证充分性．如图３（１），在△ＤＥＦ中，ＤＨ是
边ＥＦ上的高，ＤＨ经过△ＡＢＣ的外心０，垂足
Ｈ为△ＡＢＣ的中位线ＱＲ与ＥＦ的交点． 连接并延长Ｐ０交ＱＲ于点Ｇ，连接０Ｒ，ＯＲ 及ＰＱ，ＰＲ． 由题设知０Ｒ上ＲＦ，ＯＨ上ＨＦ， 故０，Ｈ，Ｆ，Ｒ四点共圆， 从而有么１＝么２，么ＦＯＲ一么ＦＨＲ． 由题设知ＰＧ上ＨＲ，ＤＨ上ＨＦ， 故么ＤＯＰ一么ＦＨＲ一么ＦＯＲ， ①
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数学通报
２０１４年
第５３卷
第１０期
三角形与其内接三角形相似的条件
贺基军
（河南省辉县市一中
４５３６００）
本文约定，如果三角形的三个顶点分别位于
点，那么原三角形为直角三角形． 证明如图１，在△ＡＢＣ中，Ｄ，Ｅ分别为边 ＢＣ，ＣＡ上的点但非中点，Ｆ为边ＡＢ的中点，且 △ＤＥＦ∽△ＡＢＣ． 分别取边ＢＣ，ＣＡ的中点Ｐ，Ｑ，连接ＰＱ， ＱＦ，ＦＰ及ＦＣ．易知，△ＤＥＦ∽△ＰＱＦ． 在△ＦＥＱ和△ＦＤＰ中， 由么ＥＦＤ一么ＱＦＰ 知么１＝么２，
于不含抛物线焦点的区域内，可引导学生参与题 目的变式过程．可以将其变式为含抛物线焦点的 区域内，如Ａ（１，１）；也可以变式为定直线，如ｙ＝ ｚ＋２上的点Ａ；也可以变式为定曲线，如圆ｚ２＋ （ｙ一４）２—１上的点Ａ；还可以变式为该抛物线与 ｙ轴的距离之和的最小值等等． 再如求抛物线的标准方程的题，可做下面的变式： 改变条件形式：已知抛物线的方程为标准方 程，焦点在ｚ轴上，其上一个Ｐ（一３，ｍ）到焦点的 距离为５，求抛物线的方程． 转换考查角度：对于顶点在原点的抛物线，给 出下列条件：①焦点在ｙ轴上；②焦点在ｚ轴上； ③抛物线上横坐标为１的点到焦点的距离等于 ６；④抛物线的通径的长为５；⑤由原点向过焦点 的某条直线作垂线，垂足坐标为（２，１）．能使这抛 物线方程为ｙ２—１０ｚ的条件是 （要求填写合适条件的序号） 当学生卷入到出题和题目的改编的过程中，
ｗ ＾
另一个三角形的三条边（不含端点）上，则称前者
为后者的内接三角形．作为原三角形的衍生三角 形，内接三角形具有“模型”意义，值得研究．
举例来说，以三角形三条中位线为边的三角
形（称为中位三角形），是原三角形的内接三角形． 这两个三角形显然相似，并且内接三角形的顶点 分别位于原三角形对应顶点的对边上，即二者的 对应顶点不共边．顺便说明，下文凡涉及“三角形 与其内接三角形相似”时，均限于“对应顶点不共 边”这一情形． 再举一例，以锐角三角形三条高的垂足为顶 点的三角形（，Ｎ，连接ＬＭ，ＭＮ，ＮＬ．
因么ＤＦＥ一么ＰＲＱ，故Ｍ，Ｒ，Ｆ，Ｌ四点共圆，
圈２【２）
从而有
么ＦＬＭ一么ＢＲＰ．
同理Ｎ，Ｅ，Ｑ，Ｌ四点共圆，
定理３如果锐角三角形的内接三角形顶点
均非原三角形边的中点，那么这两个三角形相似 的充要条件是内接三角形的一条高经过原三角形 的外心且垂足落在其相应的中位线上． 证明 设△ＤＥＦ为锐角三角形ＡＢＣ的内接
定理１
如果三角形与其内接三角形相似，
且内接三角形仅有一个顶点为原三角形边的中
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△ＡＢＣ的边上．否则，该交点将既是△ＤＥＦ的顶 点又是△ＡＢＣ边的中点（属于上文讨论的第一种
情形），也与假设矛盾．综上所述并通过简单作图，
我们可以得到如下事实（证明从略）：由△ＤＥＦ与
△ＰＱＲ的三组对应边所在直线可得三个交点Ｌ，
Ｍ，Ｎ（这里不计非对应边所在直线的交点），这三 个交点全部位于△ＡＢＣ的内部当且仅当△ＡＢＣ 为锐角三角形．
４ Ｂ
Ｄ
Ｐ
图３（１ Ｊ
从而有Ｒｔ△ＤＯＰ∽Ｒｔ△ＦＯＲ． 在△ＲＯＰ和△ＦＯＤ中， 由①知么ＲＯＰ一么ＦＯＤ，
②
由②知器一器，
Ｄ Ｐ
Ｃ
故△ＲＯＰ∽△ＦＯＤ，么３一么４． 由么１＋么３一么２＋么４知么ＰＲＱ一么ＤＦＥ， 同理可证么ＰＱＲ一么ＤＥＦ， 故△ＤＥＦ∽△ＰＱＲ∽△ＡＢＣ． 再证必要性．如图３（２），连接ＰＱ，ＱＲ，ＲＰ． 由△ＤＥＦ∽△ＡＢＣ知△ＤＥＦ∽△ＰＱＲ， 它们的对应边ＥＦ与ＱＲ，ＦＤ与ＲＰ，ＤＥ与ＰＱ
参考文献
１
凌明灿吴康．怎样的锐角三角形与其垂足三角形相似［Ｊ］ 数学通报，２０１４，４
仅当内接三角形的一条高所在直线经过原三角形
（上接第３４页） 题，尽量避免题目的形式重复出现，可适度改变条 件形式、变化问题背景、转换考查角度等，使题目 新颖，提高学生的新鲜感，开阔学生视野，提高解 题的信心和能力．同时教师要创造学生参与出题 和题目变式的机会，让他们愿意参与到复习的过 程中，既提高其发现问题、提出问题、分析问题解 决问题的能力，又达到减负增效的目的． 教师Ａ想通过题目Ａｌ（抛物线了＝ｎｚ２的焦 点坐标 ，准线方程 ．）告知学生， 题目给的抛物线方程未必是标准形式，这个陷阱 挖得好，但还不够，可让学生仿此出题．当学生能 巧妙地挖陷阱“骗过”别人，或识破别人的“诡计”， 他们的心情一定大好． 教师Ｂ出了３道求抛物线的标准方程的简单 题，让学生自己出题吧，效果一定优于教师出题学 生做．
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同理ＪＰｊ＿ＢＣ，从而可知点ｊ是△ＡＢＣ的外心．
的外心且垂足落在其相应的中位线所在直线上． “千淘万漉虽辛苦，吹尽狂沙始到金．”我们终
由工，Ｍ，Ｆ，Ｌ四点共圆知，
么ＬＪＭ＋么ＬＦＭ一１８０。． 由Ｊ，Ｍ，Ｄ，Ｐ四点共圆知， 么ＭＩＤ一［ＭＰＤ． 由么ＭＰＤ一么ＱＣＰ一么ＬＦＭ 得么ＭＩＤ一么ＬＦＭ， 故么ＬＪＭ＋么Ｍ，Ｄ一１８０。，即Ｄ，Ｉ，Ｌ三点共线， 从而可知ＤＬ是边ＥＦ上的高．
Ｂ
Ｄ
Ｐ
Ｃ
图３（２）
从而有么ＥＬＮ一么ＰＱＣ． 由么ＢＲＰ一么ＰＱＣ知么ＦＬＭ一么ＥＬＮ． ③
设△ＬＭＮ的内心为ｆ，连接ＪＬ，ＪＲ，ＪＭ，工Ｄ，工Ｐ． 由儿平分么ＭＬＮ及③知ＩＬ上ＥＦ．
同理ＩＭ上ＦＤ，故工，Ｍ，Ｆ，Ｌ四点共圆，
进而可知Ｉ，Ｍ，Ｒ，Ｆ，Ｌ五点共圆，
于是么ＩＲＦ一么ｊＬＦ＝９０。，ＩＲ上ＡＢ．
同理可证，ＥＭ，ＦＮ也是△ＤＥＦ的高，且都经过
点Ｊ．定理３获证． 类似地，还可以证明：定理３对于“钝角三角 形”的情形也成立，只须把结论中的“高”和“中位 线”分别改为“高所在直线”和“中位线所在直线” 即可（参见图２（２），其中ＤＬ上ＥＦ）．同时注意到： 如果不考虑内接三角形的顶点是否为原三角形边 的中点，那么，定理２“相当于”定理３的特例，即 定理３对于“直角三角形”的情形也成立． 综合上述诸定理，一般地有 定理 任意三角形与其内接三角形相似当且
Ｂ Ｐ
Ｄ
Ｃ
内接三角形，但二者未必相似．根据文［１］给出的 定理可知，锐角三角形与其垂足三角形相似当且
仅当此锐角三角形为等边三角形．因为等边三角 形的垂足三角形也是中位三角形，所以在“二者相
图１
似”的特别要求下，本例属于前例的特殊情形．
一般地，如果三角形与其内接三角形相似，内 接三角形是否必定为中位三角形？回答是否定 的．我们可以举出例证：存在非中位的内接三角形 与原三角形相似．在此前提下，本文着重探求相关 几何元素所应满足的条件． 设△ＤＥＦ是△ＡＢＣ的非中位的内接三角 形，且△ＤＥＦ∽△ＡＢＣ．在顶点Ｄ，Ｅ，Ｆ中，如果 有两个顶点都是△ＡＢＣ边的中点，易知第三个顶 点也是△ＡＢＣ边的中点，与假设矛盾．所以，顶点 Ｄ，Ｅ，Ｆ的所在位置共有两种可能情形：仅有一个 顶点是△ＡＢＣ边的中点，或三个顶点都不是 △ＡＢＣ边的中点． 首先考察第一种情形．
作为最值问题，题目Ａ４（已知Ｐ是抛物线
ｙ
２＝２ｚ上的一个动点，则点Ｐ到点Ａ（ｏ，２）的距 ）（选择支略）．）给的定点为Ａ（ｏ，２），位
使其知其然，知其所以然，知其将然，这样他们的
参与才是深入的、高效的．
离与点Ｐ到该抛物线准线的距离之和的最小值 为（
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ＦＥ—ＦＱ
ＦＤ ＦＰ’
故△ＦＥＱ∽△ＦＤＰ． 于是么ＦＥＱ一么ＦＤＰ， 从而可知Ｄ，Ｃ，Ｅ，Ｆ四点共 圆，么ＦＣＥ一么ＦＤＥ， 又么ＦＤＥ一么ＣＡＢ， 故么ＦＣＥ一么ＣＡＢ，从而有ＦＣ＝ＦＡ， 又ＦＡ—ＦＢ，故△ＡＢＣ是以ＡＢ为斜边的直角三 角形． 类似地，还可以证明 定理２如果直角三角形的内接三角形也是 直角三角形，那么这两个三角形相似的充要条件 是内接三角形的直角顶点为原三角形的斜边 中点． 其次考察第二种情形． 如图２（１）、（２）所示，设△ＤＥＦ是△ＡＢＣ的 内接三角形，顶点Ｄ，Ｅ，Ｆ均非△ＡＢＣ边的中点， 且△ＤＥＦ∽△ＡＢＣ．在△ＡＢＣ中，分别取边ＢＣ， ＣＡ，ＡＢ的中点Ｐ，Ｑ，Ｒ，显然△ＤＥＦ∽△ＰＱＲ． 下面考虑△ＤＥＦ与△ＰＱＲ的任意一组对应边所 在直线ｍ，咒的位置关系：其一，ｍ与咒必定相交． 否则，由ｍ∥咒可以推出顶点Ｄ，Ｅ，Ｆ分别与Ｐ， Ｑ，Ｒ重合，与假设矛盾．其二，仇与，ｚ的交点不在