重要无理数20160404(DOC)
无理数发展简史
无理数发展简史
引言概述：
无理数是数学中的一个重要概念，是指不能表示为有理数的数，其发展历史可以追溯到古希腊时代。
本文将从古希腊开始，概述无理数的发展简史。
一、古希腊时代
1.1 古希腊数学家发现无理数的存在
1.2 比如毕达哥拉斯学派发现根号2是一个无理数
1.3 这一发现颠覆了他们向来坚信的“一切皆可用有理数表示”的观念
二、欧几里得几何学
2.1 欧几里得在其著作《几何原本》中提出了无理数的概念
2.2 他将无理数称为“不可测量的”
2.3 这一概念为后来无理数的研究奠定了基础
三、16世纪的代数学
3.1 文艾里奥提出了无理数的符号表示
3.2 他用字母“i”表示无理数
3.3 这一表示法为无理数的运算提供了便利
四、19世纪的实数系统
4.1 康托尔提出了实数系统的概念
4.2 他将有理数和无理数统一到了一个系统中
4.3 这一系统为数学的发展提供了更加完备的基础
五、现代数学中的应用
5.1 无理数在数学分析、几何学等领域有广泛应用
5.2 例如在微积分中，无理数是不可或者缺的概念
5.3 无理数的发展为数学的发展开辟了新的道路，也为现代科学的发展做出了重要贡献
结语：
通过对无理数发展简史的梳理，我们可以看到无理数在数学发展中的重要性和作用。
无理数的发现和研究不仅丰富了数学理论，也为现代科学的发展提供了重要支持。
希翼本文能够匡助读者更好地了解无理数的发展历程和意义。
无理数
摘要在实数系中，无理数和有理数相比较，无理数更为抽象，但它在实数系中是不可缺少的，占着重要的枢纽地位。
同时，它也是数系扩充的重要组成部分，即有理数系扩充到实数系。
对于无理数证明的研究，一方面，极大地促进了数学演绎推理的发展；另一方面，也体现了数学研究的严谨性。
因此，在研究无理数时，对于一些常见无理数的证明是非常重要的。
文章首先归纳了方根型无理数的证明方法，然后利用幂级数展开式和定积分的知识论证了一些特殊类型的无理数，最后，验证了 ，e的超越性，并借助Lindemann-Weierstrass定理证明在一定条件下的代数数的三角函数值与反三角函数值的无理性。
关键词：无理数，有理数，超越数ABSTRACTIn the real number system, irrational number is more abstract than rational number, but irrational number are indispensable and occupies an important key position in the real number system. Meanwhile, they are an important part when the rational number system is expanded to the real number system. The study of the proof of irrational number greatly promotes the development of mathematical rational deductive inference. At the same time, it also shows the rigorousness of mathematics. Therefore, the proofs of some common irrational numbers are extremely important. Firstly, the article generalizes the methods to prove irrational numbers with root type. Secondly, it uses the knowledge of power series expansion and definite integral to prove some irrational numbers with special types. Finally, the article demonstrates the transcendence of and e. Moreover, it uses Lindemann-Weierstrass theorem to prove the irrationality of trigonometric function value and anti-trigonometric function value under certain conditions.Key Words:irrational number, rational number, transcendental number目录摘要 (I)ABSTRACT ............................................ I I 一引言 . (1)二有理数与无理数的定义和性质 (1)2.1有理数与无理数的定义 (1)2.2相关性质 (1)三无理数的判定方法 (3)3.1 方根型无理数的证明 (3)3.2 幂级数证明方法 (9)3.3 利用定积分证明 (12)3.4 超越数证明法 ............................................................... 错误！未定义书签。
什么是无理数及其定义是什么
什么是无理数及其定义是什么什么是无理数及其定义是什么无理数最早是由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现，那么什么是无理数?下面店铺就带大家一起来详细了解下吧。
无理数基本定义无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比。
若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。
常见的无理数有大部分的平方根、π和e(其中后两者同时为超越数)等。
无理数的另一特征是无限的连分数表达式。
传说中，无理数最早由毕达哥拉斯学派弟-子希伯斯发现。
他以几何方法证明无法用整数及分数表示。
而毕达哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示，不相信无理数的存在。
但是他始终无法证明不是无理数，后来希伯斯将无理数透露给外人——此知识外泄一事触犯学派章程——因而被处死，其罪名等同于“渎神”。
无理数是无限不循环小数和开方开不尽的数. 如圆周率、√2(根号2)等。
有理数是所有的分数，整数，它们都可以化成有限小数，或无限循环小数。
如22/7等。
实数(real number)分为有理数和无理数(irrational number)。
有理数可分为整数(正整数、0、负整数)和分数(正分数、负分数) 也可分为正有理数，0，负有理数。
除了无限不循环小数以外的数统称有理数。
1、把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成整数、小数或无限循环小数，比如4=4.0, 4/5=0.8, 1/3=0.33333……而无理数只能写成无限不循环小数，比如√2=1.414213562…………根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数。
2、无理数不能写成两整数之比。
利用有理数和无理数的主要区别，可以证明√2是无理数。
证明：假设√2不是无理数，而是有理数。
既然√2是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式：√2=p/q再假设p和q没有公因数可以约，所以可以认为p/q 为最简分数,即最简分数形式。
把√2=p/q 两边平方得 2=(p^2)/(q^2)即 2(q^2)=p^2由于2q^2是偶数，p 必定为偶数，设p=2m由 2(q^2)=4(m^2)得 q^2=2m^2同理q必然也为偶数，设q=2n既然p和q都是偶数，他们必定有公因数2，这与前面假设p/q 是最简分数矛盾。
无理数
无理数的ห้องสมุดไป่ตู้来
• 公元前500年，古希腊毕达哥拉斯（Pythagoras） 学派的弟子希伯索斯（Hippasus）发现了一个 惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的 长度是不可公度的（若正方形的边长为1，则 对角线的长不是一个有理数），这一不可公度 性与毕氏学派的“万物皆数”（指有理数）的 哲理大相径庭。这一发现使该学派领导人惶恐， 认为这将动摇他们在学术界的统治地位，于是 极力封锁该真理的流传，希伯索斯被迫流亡他 乡，不幸的是，在一条海船上还是遇到毕氏门 徒，于是希伯索斯被残忍地扔进了大海。
无理数
初一知识预习
无理数的介绍
• 无理数，即非有理数之实数，不能写作两 整数之比。若将它写成小数形式，小数点 之后的数字有无限多个，并且不会循环， 也就是说它是无限不循环小数。 常见的无 理数有大部分的平方根、π和e（其中后两 者同时为超越数）等。无理数的另一特征 是无限的连分数表达式。
有理数与无理数的区别
无理数有哪些
无理数有哪些无理数是一个比“1”大得多的数，而且比“1”小得多。
比如，如果你把一位数取“0”，那么“1”就是0了。
如果你取“1”它就变成了“0”。
那么就应该知道它和“1”没有任何关系的。
所以说这个数不能叫做无理数。
那我们一起来看一下无理数有哪些。
首先说明这些年，我国数学界对无理数有很多论述和争论、不断加深我对无理数的认识和理解，也提出一些看法和改进意见。
1、实数是有意义的。
就是当把两个以上的数（包括相同的两个数）取同一个整数时，它们会产生一样的结果。
如一个整数取6或8等。
这是实数和虚数的本质区别所在。
在这里我们要说明一下：“实数”和“虚数”其实都是没有意义的，它们没有什么实质意义地联系在一起；而“实数”与“虚数”却有一定的意义，因为它们可以通过“实数”所包含的所有值来相互联系，所以它们有实质意义，并且“实数”与“虚数”是可以互相为“实数”而表示的；虚数与“实数”在相互结合上只是具有一些非常简单的形式，但真正要把实数看作有意义的函数来表示时还需要另寻它法。
而“实数”与“虚数”所表达出来的意义是完全相同的。
因此人们只要在实际应用中遇到这两个概念间难以解决的问题时，就可以将它们看作是一个整体而不必单独讨论。
2、在自然界中，经常会出现一些实数，但只是因为其个位和个位的关系，所以就叫它实数。
这种实数有4个位，分别为 a、 b、 c、 d。
实数只能表示整数的个位，不能表示奇偶数。
实数存在的唯一原因在于每个实数有多个数的子集；实数的个位之间的关系用数列的概念表示不了；实数在所有奇偶数系中都是连续的；实数不能以任何条件表示其子集或子位。
因此实数只能表示有多个子个位的值；实数必须有奇偶数2次方表示的多个值；实数的个位之间的关系用数列的概念表示是唯一规定好的。
3、当两个以上的实数同时含有任意大数和大数时。
当两个实数同时含有一个大数时，这是一种典型的无理数现象。
如果先由定义给出一个实数，然后将实数与小数进行比较，会发现小数小倍上的大数都在小数小倍上是0的几倍。
无理数发展简史
无理数发展简史无理数是指不能用两个整数的比值来表示的实数。
它们的小数部分是无限不循环的，因此无法用有限的小数或分数来准确表示。
无理数的发展历史可以追溯到古希腊时期，以下将详细介绍无理数的发展简史。
1. 古希腊时期的无理数概念在古希腊时期，毕达哥拉斯学派提出了“一切都可以用有理数来表示”的观点，即一切可以用整数或整数的比值来表示。
然而，毕达哥拉斯学派的成员发现了一种无法用有理数表示的量，即根号2。
他们发现，根号2的小数部分是无限不循环的，无法用有限的小数或分数来准确表示。
这就是无理数的最早概念。
2. 无理数的发展与研究在古希腊时期，无理数的发展并不十分深入。
直到公元3世纪，希腊数学家阿基米德提出了无理数的近似计算方法。
他使用了一个无穷的分数序列，逐步逼近无理数的真实值。
这种方法被称为阿基米德逼近法，为无理数的研究奠定了基础。
3. 无理数的数学形式定义无理数的数学形式定义最早可以追溯到17世纪。
法国数学家笛卡尔和德国数学家莱布尼茨分别提出了无理数的代数定义和几何定义。
笛卡尔认为无理数可以用代数方程的根来定义，而莱布尼茨则认为无理数可以用几何图形的长度来定义。
这两种定义为无理数的进一步研究提供了方向。
4. 无理数的重要性和应用无理数在数学中扮演着重要的角色。
它们被广泛应用于几何、物理、工程等领域。
例如，无理数在几何中用于描述无法用有理数表示的长度或面积。
在物理学中，无理数被用来描述波长、频率等连续变化的物理量。
在工程领域，无理数在测量和计算中起到了重要的作用。
5. 无理数的发展与现代数学随着数学的发展，无理数的研究也在不断深入。
19世纪末，德国数学家戴德金提出了无理数的连分数表示法，这种表示法可以将无理数表示为一个无穷的分数序列。
20世纪，无理数的研究进一步发展，包括无理数的性质、无理数的分类等方面。
总结：无理数的发展可以追溯到古希腊时期，毕达哥拉斯学派最早提出了无理数的概念。
随后，阿基米德提出了无理数的近似计算方法，并为无理数的研究奠定了基础。
无理数发展简史
无理数发展简史
引言概述：
无理数是数学中的一个重要概念，是指不能表示为有理数的数，其发展历史可以追溯到古希腊时代。
本文将从古希腊开始，概述无理数的发展简史。
一、古希腊时代
1.1 古希腊数学家发现无理数的存在
1.2 比如毕达哥拉斯学派发现根号2是一个无理数
1.3 这一发现颠覆了他们一直坚信的“一切皆可用有理数表示”的观念
二、欧几里得几何学
2.1 欧几里得在其著作《几何原本》中提出了无理数的概念
2.2 他将无理数称为“不可测量的”
2.3 这一概念为后来无理数的研究奠定了基础
三、16世纪的代数学
3.1 文艾里奥提出了无理数的符号表示
3.2 他用字母“i”表示无理数
3.3 这一表示法为无理数的运算提供了便利
四、19世纪的实数系统
4.1 康托尔提出了实数系统的概念
4.2 他将有理数和无理数统一到了一个系统中
4.3 这一系统为数学的发展提供了更加完备的基础
五、现代数学中的应用
5.1 无理数在数学分析、几何学等领域有广泛应用
5.2 例如在微积分中，无理数是不可或缺的概念
5.3 无理数的发展为数学的发展开辟了新的道路，也为现代科学的发展做出了重要贡献
结语：
通过对无理数发展简史的梳理，我们可以看到无理数在数学发展中的重要性和作用。
无理数的发现和研究不仅丰富了数学理论，也为现代科学的发展提供了重要支持。
希望本文能够帮助读者更好地了解无理数的发展历程和意义。
无理数存在的证明
无理数存在的证明说到无理数，相信大多数人都听说过，但说实话，很多人还是摸不着头脑。
你看，大家都知道什么是整数、分数，甚至小数。
但一提到无理数，脑袋里立马就冒出了一堆问号。
好像这些数字就像从天上掉下来的一颗颗外星石头，谁也摸不着它们的边儿。
无理数一点也不神秘，也不是数学家的专利，它们就像你我生活中的那些细碎却难以捉摸的小细节，藏在我们身边，悄无声息。
到底什么是无理数呢？简单来说，就是那些不能用两个整数相除得到的数。
大家耳熟能详的例子，就是圆周率π和根号2。
你想，π不就一个让你头大得想掀桌子的数字吗？它既不终结，也不重复，总是无限延续下去，像是永远也看不完的电影。
它不是“好”数字，也不是“坏”数字，反正就是“乱糟糟”的。
就像你吃泡面，面饼被撕开后，锅里没完没了地沸腾着。
试图给它找一个简单的、清晰的分数表达，结果发现“哎，这不行，没法做分数。
”那这事儿怎么证明的呢？咱们换个角度想，想象你在厨房做饭，突然发现锅里蒸汽腾腾，结果掉进了一个做饭的“迷思”——有一些东西，我们永远也找不到一个完美的分数来描述它。
比如说，根号2，打个比方，它就像是从一个看不见的箱子里蹦出来的。
我们从来不能把它写成一个完美的“a/b”形式，其中a和b是整数，尽管我们拼尽全力去尝试。
于是，有了证明。
根号2是个“调皮捣蛋”的家伙，一直隐藏在我们最不经意的地方，躲得远远的，搞得你一看就晕。
这个证明其实挺有意思的。
来，想象一下，如果根号2真能表示成一个分数，像“a/b”那样，那么这俩数a和b肯定是最简的，也就是说，它们的最大公约数是1。
否则，不然怎么能说是最简呢？那么你就得用反证法了。
假设根号2能写成“a/b”的样子，接着你就开始掰扯。
先假设a²/b² = 2，于是a² = 2b²。
哎，这时候，你就会发现a²是偶数，因为2b²肯定是偶数。
那么根据偶数的性质，a也必须是偶数。
你看到没，开始有点儿线索了。
无理数的三种基本类型
无理数的三种基本类型
1、开方开不尽的数；如：√5
2、函数式，如：lg2等
3、无限不循环小数；如：0.03003000300003……与π、e有关的式子等
无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。
若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。
常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等。
无理数的另一特征是无限的连分数表达式。
无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。
简单的说，无理数就是10进制下的无限不循环小数，如圆周率等。
有理数和无理数的概念
有理数和无理数的概念有理数和无理数的概念，听起来可能有点复杂，但其实它们就在我们生活中。
咱们每天用的数字，大多数是有理数，而无理数则像是隐藏在数学世界里的小精灵，等着你去发现。
一、有理数的定义1.1 什么是有理数？有理数，顾名思义，就是可以用分数表示的数。
比如说，1/2、3/4、甚至是-2，都是有理数。
它们可以是正的、负的，甚至是零。
你只要能找到两个整数，一个在上，一个在下，组成的分数就是有理数。
1.2 有理数的特性有理数的特性很简单。
它们可以在数轴上精确地定位。
想象一下，走在一条笔直的路上，你每走一步，脚下的每一个点都对应着一个有理数。
你永远不会迷路，因为你能准确知道自己的位置。
再比如说，0.75，它可以写成3/4，大家都能看得懂。
二、无理数的定义2.1 无理数的神秘无理数呢，就有点特别了。
它们不能用简单的分数表示。
比如说，最著名的无理数是π（圆周率）和√2。
试着把√2写成分数，你会发现，无论你怎么努力，总是无法找到两个整数，做出一个精准的分数。
这种神秘感，恰恰是无理数的魅力所在。
2.2 无理数的性质无理数在数轴上也有自己的位置。
可是它们就像是美丽的星星，分散得很，不容易找到。
它们的十进制表示是无限不循环的，想想看，√2的十进制展开是1.41421356……，这个数字一直延续下去，根本没完没了。
2.3 无理数的日常应用无理数在我们的生活中也有很多应用。
建筑设计中，常常需要用到无理数来计算角度和长度。
艺术作品中，黄金比例就是一个典型的无理数，它使得作品看起来更加和谐美观。
这些小细节，虽然不容易被注意，却在潜移默化中影响着我们的生活。
三、有理数与无理数的关系3.1 互为补充有理数和无理数其实就像一对好搭档，互相补充。
有理数代表了我们日常生活中常见的数量，而无理数则为我们的思维提供了更深层次的理解。
无论是做数学题，还是解决实际问题，两者都是不可或缺的。
3.2 数学的美妙数学的世界就是这样奇妙。
有理数和无理数共同构成了实数。
无理数发展简史
无理数发展简史一、引言无理数是数学中一个重要的概念，它是指不能表示为两个整数的比值的实数。
本文将从古希腊时期开始，介绍无理数的发展历程，包括无理数的发现、定义以及对数学发展的重要影响。
二、古希腊时期的无理数在古希腊时期，人们发现了一些无法用有理数表示的长度，例如，两条边长为1的正方形的对角线长度。
这种长度无法用有理数的比值来表示，被称为无理数。
然而，古希腊数学家并没有给无理数一个明确的定义，而是将其视为一种特殊的数。
三、无理数的发现直到公元5世纪，印度数学家阿耶巴塔发现了一种无理数，即根号2的无限不循环小数表示。
他证明了根号2不是有理数，并用几何方法进行了解释。
这一发现对无理数的研究起到了重要的推动作用。
四、无理数的定义在17世纪，法国数学家笛卡尔和德国数学家勒让德分别给出了无理数的定义。
笛卡尔将无理数定义为不能表示为代数方程的根的实数，而勒让德将无理数定义为无限不循环小数。
这两种定义为无理数的研究提供了更为清晰的框架。
五、无理数的性质无理数具有一些特殊的性质，例如，无理数的平方是有理数。
这一性质可以通过反证法证明，即假设无理数的平方是有理数，然后推导出矛盾的结论。
这一性质为无理数的研究提供了一种重要的方法。
六、无理数的应用无理数在数学中有广泛的应用。
例如，在几何学中，无理数可以用来表示无法精确计算的长度，如圆周率π和黄金分割比例。
在物理学中，无理数也被用来描述一些自然现象，如波动和振动。
七、无理数的发展对数学的影响无理数的发现和研究对数学的发展产生了深远的影响。
它打破了传统的数学观念，拓宽了数学的研究领域。
无理数的引入使得数学能够更好地描述现实世界中的问题，并推动了数学的发展和应用。
八、结论无理数作为数学中的一个重要概念，经历了漫长的发展历程。
从古希腊时期开始，人们发现了无法用有理数表示的长度，逐渐认识到无理数的存在。
随着时间的推移，无理数的定义和性质得到了进一步的研究和发展，对数学的发展产生了重要的影响。
无理数发展简史
无理数发展简史无理数是数学中的一个重要概念，它是指不能表示为两个整数的比值的数。
无理数的发展历程可以追溯到古希腊时期，经过了许多数学家的努力和探索，才逐渐被人们所认识和接受。
本文将从古希腊时期开始，详细介绍无理数的发展历史。
1. 古希腊时期在古希腊时期，人们对数的概念还不够清晰，只认识到有理数，即可以表示为两个整数的比值的数。
然而，古希腊的数学家毕达哥拉斯发现了一个有趣的现象，即勾股定理中的斜边长度不能用有理数表示。
这个发现引起了人们对无理数的思量。
2. 无理数的发现在古希腊时期，数学家们通过几何方法逐渐发现了一些无理数。
最著名的例子是毕达哥拉斯学派发现的根号2是一个无理数。
他们通过构造一个等腰直角三角形，假设斜边长度为有理数，然后推导出矛盾的结论，从而证明了根号2是一个无理数。
3. 无理数的定义在17世纪，法国数学家笛卡尔提出了无理数的定义，他将无理数定义为不能表示为有理数的数。
这个定义为后来对无理数的研究提供了基础。
4. 无理数的性质无理数具有许多特殊的性质。
首先，无理数是无限不循环的小数，即它的小数部份永远不会重复。
其次，无理数是无限不重复的数字序列，即它的数字序列永远不会重复。
此外，无理数还具有无穷多的近似值，可以用有理数来逼近，但永远无法精确表示。
5. 无理数的应用无理数在数学和物理中有广泛的应用。
在几何学中，无理数被用来表示无法用有理数表示的长度或者面积。
在物理学中，无理数被用来描述自然界中的一些现象，例如波长、频率等。
6. 无理数的发展随着数学的发展，无理数的研究也在不断深入。
19世纪，德国数学家戴德金提出了连分数的概念，通过连分数可以更好地逼近无理数。
20世纪，数学家们通过代数方法对无理数进行了更深入的研究，发现了许多无理数的性质和特点。
7. 现代无理数的研究在现代数学中，无理数的研究已经成为一个重要的分支领域。
数学家们通过使用复数、实数、超实数等概念，对无理数进行了更加深入的研究。
无理数发展简史
无理数发展简史一、引言无理数是数学中的一个重要概念，它指的是不能表示为两个整数的比值的数。
本文将带您回顾无理数的发展历史，从古希腊的发现到现代数学的应用，为您展示无理数在数学领域中的重要性和发展轨迹。
二、古希腊的发现公元前5世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派开始研究数学，他们致力于研究整数和有理数。
然而，他们发现了一些无法表示为两个整数之比的数，例如根号2。
这个发现颠覆了他们的整数观念，被称为"无理数"。
三、欧几里得的贡献公元前3世纪，欧几里得在他的著作《几何原本》中详细阐述了无理数的性质。
他提出了无理数的几何构造方法，例如使用直角三角形的斜边长度作为无理数的表示。
这一发现为无理数的研究奠定了基础。
四、无理数的形式化在17世纪，数学家笛卡尔和费马等人开始研究无理数的形式化表示方法。
他们引入了坐标系和代数符号，使得无理数可以通过代数表达式来表示。
这一形式化的表示方法大大推动了无理数的研究和应用。
五、无理数的重要性无理数在数学中具有重要的地位。
首先，无理数的存在性证明了数学中存在不可数的无限性。
其次，无理数的性质和运算法则为数学的发展提供了重要的基础。
例如，无理数的开方运算是数学中的重要问题，涉及到无理数的性质和运算规律的研究。
此外，无理数还在几何学、物理学和工程学等领域中有广泛的应用。
六、无理数的现代应用无理数的研究和应用在现代数学中得到了广泛的发展和应用。
例如，无理数在计算机科学中的应用，如密码学和数据压缩算法等。
此外，无理数还在物理学中的量子力学和相对论等领域中发挥着重要的作用。
无理数的研究也涉及到数论、代数学和分析学等数学分支，为这些领域的发展做出了重要贡献。
七、结论无理数的发展简史展示了人类对数学的不断探索和发展。
从古希腊的发现到现代数学的应用，无理数在数学领域中扮演着重要的角色。
无理数的研究不仅推动了数学的发展，也为其他学科的研究提供了基础。
通过对无理数的深入研究，我们能更好地理解数学的本质和数学在现实世界中的应用。
无理数发展简史
无理数发展简史一、引言无理数是数学中的一个重要概念，它们无法表示为两个整数的比值，也无法表示为有限小数或循环小数。
本文将为您介绍无理数的发展历程，从古希腊的发现到现代数学的应用，帮助您更好地理解和认识无理数。
二、古希腊的发现古希腊的数学家毕达哥拉斯首次发现了无理数的存在。
他们发现了一个无法表示为两个整数的比值的线段，即平方根。
例如，根号2无法表示为两个整数的比值，因为它是一个无限不循环的小数。
这一发现震惊了古希腊数学界，并被称为“无理数”。
三、欧几里得的贡献古希腊数学家欧几里得在其著作《几何原本》中对无理数进行了更深入的研究。
他提出了无理数的一个重要性质，即无理数可以通过无限循环的连分数来表示。
这种表示方法将无理数表示为一个整数加上一个无限循环的分数，使得无理数的逼近更加精确。
四、无理数的发展与推广随着数学的发展，人们对无理数的认识逐渐深入。
十九世纪末，德国数学家戴德金提出了无理数的代数理论，将无理数与有理数统一起来，形成了现代数学中的实数系统。
这一理论的提出为无理数的应用奠定了基础。
五、无理数的应用无理数在现代数学和科学中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，无理数被用来描述自然界中的一些现象，如波动和震动。
在金融学中，无理数被用来计算复利和利率等问题。
在计算机科学中，无理数被用来进行精确的计算和模拟。
六、无理数的研究进展随着数学研究的深入，人们对无理数的认识仍在不断拓展。
例如，二十世纪初，法国数学家勒贝格提出了超越数的概念，这是一类无理数，它们无法通过有限次代数运算来表示。
这一概念进一步丰富了无理数的研究领域。
七、结论无理数作为数学中的一个重要概念，经历了从古希腊的发现到现代数学的应用的发展过程。
它们的研究不仅丰富了数学理论，也为现实世界中的问题提供了解决方法。
通过对无理数的深入研究，我们可以更好地理解数学的本质和应用，推动数学科学的发展。
以上是关于无理数发展简史的详细内容，希望对您有所帮助。
如有任何问题，请随时向我提问。
无理数发展简史
无理数发展简史一、引言无理数是数学中一个重要的概念，它们无法用两个整数的比值来表示，因此被称为无理数。
本文将从古希腊时期开始，简要介绍无理数的发展历程。
二、古希腊时期在古希腊时期，人们对数的概念还相对含糊，他们主要关注有理数，即可以表示为两个整数的比值的数。
然而，古希腊的数学家毕达哥拉斯却发现了一个令人困惑的现象：无法用两个整数的比值来表示某些长度的平方根。
这个发现打破了他们关于数的理论框架，引起了对无理数的研究。
三、欧几里得的质数理论在欧几里得的《几何原本》中，他提出了质数的概念，并证明了无理数的存在性。
欧几里得通过反证法证明了根号2是一个无理数，这个证明被认为是无理数理论的重要里程碑。
四、无理数的符号表示在16世纪，意大利数学家拉法尔·波尔卡里奥利首次使用了无理数的符号表示，即√。
这个符号的引入使得无理数的表示更加简洁明了，为后来的研究奠定了基础。
五、无理数与三角函数17世纪，法国数学家笛卡尔和德国数学家莱布尼茨分别独立地发现了无理数与三角函数之间的关系。
他们发现，正弦函数和余弦函数的周期是无理数π，这个发现对后来的数学发展产生了深远的影响。
六、无理数的近似表示18世纪，数学家利用无理数的近似表示法，使得无理数的研究更加具体化。
著名的无理数π被近似表示为3.14159，这种近似表示法在实际计算中得到广泛应用。
七、无理数的无限性19世纪，德国数学家康托尔提出了无理数的无限性概念。
他证明了无理数的无限性，即无理数的小数部份是无限不循环的。
这个发现引起了数学界的哄动，对无理数的研究进入了一个新的阶段。
八、无理数的应用无理数在科学和工程领域有着广泛的应用。
例如，无理数π在几何学中被广泛应用于计算圆的面积和周长。
而黄金分割比例则在建造学和美学中得到了广泛的应用。
九、无理数的发展现状随着计算机技术的发展，对无理数的研究也取得了新的发展。
人们通过计算机摹拟和数值方法，对无理数的性质进行了更深入的研究。
数学当中那些神秘的无理常数
数学当中那些神秘的⽆理常数 √2 e πφ的趣介数学中的各种常数是最令⼈敬畏的东西，它们似乎是宇宙诞⽣之初上帝就已经精⼼选择好了的。
那⼀串⽆限不循环的数字往往会让⼈陷⼊⼀种⽆底洞般的沉思——为什么这串数字就不是别的，偏偏就是这个样呢。
除了那些众所周知的基本常数之外，还有很多⾮主流的数学常数，它们的存在性和⽆理性同样给它们赋予了浓重的神秘⾊彩。
今天，就让我们⼀起来看⼀看，数学当中到底有哪些神秘的⽆理常数。
√2 ≈ 1.4142135623730950488古希腊的⼤哲学家毕达哥斯拉（Pythagoras ）很早就注意到了数学与⼤千世界的联系，对数学科学的发展有着功不可没的贡献。
他还创⽴了在古希腊影响最深远的学派之⼀—— Pythagoras 学派。
Pythagoras 学派对数字的认识达到了审美的⾼度。
他们相信，在这个世界中“万物皆数”，所有事物都可以⽤整数或者整数之⽐来描述。
第⼀个⽆理数 √2 的发现者就是⼀位 Pythagoras 学派的学者，他叫做 Hippasus 。
据说，⼀⽇Hippasus 向 Pythagoras 提出了这样的问题：边长为 1 的正⽅形，对⾓线长度能⽤整数之⽐来表⽰吗？Pythagoras ⾃⼰做了⼀些思考，证明了这个数确实⽆法⽤整数之⽐来表⽰。
由于这⼀发现触犯了学派的信条，因此 Pythagoras 杀害了 Hippasus 。
利⽤勾股定理可知，这个数是⽅程 x^2 = 2 的唯⼀正数解，我们通常就记作 √2 。
√2 可能是最具代表性的⽆理数了，我们之前曾经介绍过很多 √2 的⽆理性的证明。
⽆理数的出现推翻了古希腊数学体系中的⼀个最基本的假设，直接导致了第⼀次数学危机，整座数学⼤厦险些轰然倒塌。
⽆理数虽说⽆理，在⽣产⽣活中的⽤途却是相当⼴泛。
例如，量⼀量你⼿边的书本杂志的长与宽，你会发现它们的⽐值就约为 1.414 。
这是因为通常印刷⽤的纸张都满⾜这么⼀个性质：把两条宽边对折到⼀起，得到⼀个新的长⽅形，则新长⽅形的长宽之⽐和原来⼀样。
无理数的由来
无理数的由来无理数的由来公元前500年古希腊毕达哥拉斯Pythagoras学派的弟子希勃索斯Hippasus发现了一个惊人的事实一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的若正方形边长是1则对角线的长不是一个有理数这一不可公度性与毕氏学派“万物皆为数”指有理数的哲理大相径庭。
这一发现使该学派领导人惶恐、恼怒认为这将动摇他们在学术界的统治地位。
希勃索斯因此被囚禁受到百般折磨最后竞遭到沉舟身亡的惩处。
不可通约的本质是什么长期以来众说纷坛得不到正确的解释两个不可通约的比值也一直被认为是不可理喻的数。
15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。
然而真理毕竟是淹没不了的毕氏学派抹杀真理才是“无理”。
人们为了纪念希勃索斯这位为真理而献身的可敬学者就把不可通约的量取名为“无理数”——这便是“无理数”的由来数学不是“数”学——话说无理数黄力民“数学是一门研究数量关系和空间形式的科学”的说法在中国曾经十分流行这可能与恩格斯著作的长期影响有关。
对于数学今天人们更加认同于如下的说法“数学是一个完全自成体系的知识领域…数学仅仅讨论它本身想象中的实体及关系”《科学技术百科全书》麦格劳-希尔图书公司第1卷数学科学出版社1980235-236页“到1900年数学已经从实在性中分裂出来了它已经明显地而且无可挽回地失去了它对自然界真理的所有权因而变成了一些没有意义的东西的任意公理的必然推论的随从了” 克莱因《古今数学思想》第4册上海科学技术出版社1979111页。
照此说法数学就不是“数”学了。
然而数学与生俱来的强大应用性并不因为“数学已经从实在性中分裂出来了”而有稍微的减弱。
既是抽象的又有实在的一面人们逐渐形成了对数学的主流看法——数学的现状“一方面是其内在的统一性另一方面是外界应用的更高的自觉性”数学的两种趋势是“从外部寻求新问题和在内部追求统一”美国国家研究委员会《振兴美国数学——90年代的计划》叶其孝等译世界图书出版公司1993而不再局限于给数学下一个定义。
无理数发展简史
无理数发展简史引言：无理数是数学中一种特殊的数，它无法表示为两个整数的比值。
无理数的发展历程可以追溯到古希腊时期，从最早的平方根无理数到无理数的完整定义，无理数的发展历史见证了数学的进步和人类对数学的探索。
一、平方根无理数的发现在古希腊时期，人们开始研究平方根的性质。
最早的无理数是由毕达哥拉斯学派发现的，他们发现了无法表示为整数比值的平方根。
最著名的例子是根号2。
毕达哥拉斯学派发现，无法找到两个整数的比值等于根号2。
这个发现颠覆了古希腊人关于数的理解，也开启了无理数的研究之路。
二、无理数的定义和发展在古希腊时期，由于无法准确描述无理数，人们对无理数的概念存在争议。
直到公元5世纪，数学家欧多克斯提出了无理数的首个完整定义。
他定义了无理数为不能表示为有限小数或者循环小数的实数。
这个定义为无理数的研究提供了明确的方向。
三、无理数的性质和重要应用无理数具有一些特殊的性质，这些性质使得无理数在数学和科学中有着重要的应用。
首先，无理数是无限不循环的小数，它们的小数部份永远不会重复。
其次，无理数与有理数的运算有着一些特殊的规律，如无理数与有理数相加、相乘的结果仍然是无理数。
此外，无理数在几何学中也有广泛的应用，如黄金分割比例等。
四、无理数的发展对数学的影响无理数的发展对数学的影响是深远的。
首先，无理数的发现推动了数学的发展，人们开始意识到数学领域还有许多未知的领域等待探索。
其次，无理数的研究促进了数学的形式化，为后来的数学理论奠定了基础。
此外，无理数的发展也对数学教育产生了重要影响，人们开始将无理数的概念引入教学中，培养学生的数学思维能力。
结论：无理数的发展是数学领域中的一大里程碑。
从最早的平方根无理数的发现，到无理数的完整定义和性质的研究，无理数的发展见证了数学的进步和人类对数学的不断探索。
无理数的发展对数学理论的形成、数学教育的发展以及科学研究的推进都有着重要的影响。
无理数的发展简史不仅仅是一段数学历史，更是人类智慧的结晶，它将继续推动数学的发展和人类对数学的不断追求。
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一、边长为1的正方形的对角线长度——20、来历：开创了“无理数”的先河 假设2是有理数，则可以表示为qp=2的形式，其中p 、q 是正整数且互质。
则有222q p =，因此p 2是偶数，即p 为偶数，故可设p =2k （k 为正整数）；因此2242k q =即222k q =；因此q 2是偶数，即q 为偶数。
“p 、q 均为偶数”与“p 、q 互质”产生矛盾。
故2不是有理数。
1、白银分割率若一个矩形沿长边对折之后得到的矩形与原矩形相似，即2÷=长短短长 即长边是短边的2倍，则该矩形称为“白银矩形”。
在白银矩形中，以短边为边长，划出一个正方形并裁掉，剩下长方形的长宽比即是白银比例，即12121+=-=白银比例2、佩尔数列佩尔数的数列从0和1开始，以后每一个佩尔数都是前面的数的两倍加上再前面的数，即⎪⎩⎪⎨⎧≥+===--2211021n a a n n a n n n 该数列后一项与前一项的比值的极限为121121211lim 12lim 12lim 22lim lim-∞→--∞→--∞→---∞→-∞→+=+=+=+=n nn n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a解得（负值已舍去）12lim1+=-∞→n nn a a 负值须舍去。
这表明，佩尔数列后一项与前一项的比值的极限为白银比例。
二、黄金分割率——215- 0、来历黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，用希腊字母Φ表示。
这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为“黄金分割”。
ΦΦΦ-=11 012=-+ΦΦ（负值已舍去）215-=Φ 1、代数运算性质 （1）ΦΦΦΦ-=+=+=-=1121521511 （2）ΦΦ-=-=125322、连分式与连根式 之前已经证明11+=ΦΦ，将等式右边的Φ用Φ+11代替，得到ΦΦ++=1111以此类推，可得无穷连分式。
同样，之前已经证明ΦΦ-=12即ΦΦ-=1，将根号内的Φ用Φ-1代替，得到ΦΦ--=11以此类推，可得无穷连根式。
3、斐波那契数列（Fibonacci Sequence ）设一个数列，它的最前面两个数是1、1，后面的每个数都是它前面的两个数之和，即⎪⎩⎪⎨⎧≥+===--3211121n a a n n F n n n 设存在常数r 、s 使得()()()()[]211-⋅--⋅=-⋅-n F r n F s n F r n F ，则⎩⎨⎧-=⋅=+11s r s r 当n ≥3时，有()()()()[]()r s F r F s n F r n F n n -⋅=⋅-⋅=-⋅---112122 ()()()()r s r s sr s r s r s r s r s r s n F r s r s r s n F r s r s n F r s n F n n n nn n n n n n n n n n n --=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⋅++⋅+⋅+=-⋅+⋅+⋅+=-⋅+⋅+=-⋅+=-----------11321123221332212211方程组⎩⎨⎧-=⋅=+11s r s r 的解为251+=s 、251-=r ，因此斐波那契数列的其通项公式为()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=nn n n ΦΦn F 151******** 该数列后一项与前一项的比值的极限为()()()()ΦΦΦΦΦΦΦΦF F n n n nn n n n nn n n n 1111lim 11lim lim 1212111=----=--⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=--∞→--∞→-∞→ 即斐波那契数列后一项与前一项的比值的极限为黄金分割率的倒数。
4、黄金三角形如上图所示，等腰ΔABC 中，AB=AC ，BC=1，∠A=36º，BD 为∠ABC 的平分线，BE ⊥AC 。
则AD=BD=BC=1，ΔABC ∽ΔBCD ，BC 2=AB·CD ，即1=(1+CD)·CD ，得到2CD 15-=，2CD AC 151+=+=，24152118sin ΦBC CD =-== 。
所谓“黄金三角形”是一个等腰三角形，其腰与底边的长度比为黄金分割率Φ，例如上图中的ΔABC 和ΔDAB 。
黄金三角形沿底边对折后得到的直角三角形是唯一可用5个而不是4个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形的三角形【未找到有关的证明】，如下图所示将一个正五边形的所有对角线连接起来，在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割率的，所产生的五角星里面的所有三角形都是黄金三角形。
三、自然常数——ee 作为数学常数，是自然对数函数的底数。
有时称它为“欧拉数”，以瑞士数学家欧拉命名；也有个较鲜见的名字——“纳皮尔常数”，以纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔（John Napier ）引进对数。
0、定义xx x e ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→11lime 的含义是单位时间内持续的翻倍增长所能达到的极限值。
比如计算利息，名义年利率为100%（即每年翻倍增长），若每年计息一次，则一年后本息总和为2100%1=+若按复利计，每半年计息一次，则一年后本息总和为2.252100%12=⎪⎭⎫ ⎝⎛+同理，每季度计息一次，则一年后本息总和为2.441406254100%14=⎪⎭⎫⎝⎛+ 不断缩短计息周期，最终得到2.71828100%1lim ≈=⎪⎭⎫⎝⎛++∞→e n nn 一般地，若名义利率为r ，则连续复利为e r -1。
1、计算公式e x 的麦克劳林展开式为∑+∞==+++++=0432!!4!3!21n nxn x x x x x e当x =1时，∑+∞==0!1n n e 这个级数有着极快的收敛速度。
2、对数函数与指数函数的导数 设对数函数y =ln x ，则根据导数定义()()xe x x x x x x x x x x x x x x x x x x y xxx xx x x xx x x 1ln 11ln 1lim1ln lim 1ln lim 1ln 1lim ln ln lim d ln d d d 0101000=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=⎪⎭⎫⎝⎛∆+=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=⎪⎭⎫⎝⎛∆+∆=∆-∆+==∆→∆⋅∆→∆∆→∆→∆→∆其反函数为指数函数x =e y ，则y e x xyy x ===d d 1d d 将x 与y 对易，得到指数函数的导数为()x xe xe =d d 这表明以自然常数为底数的指数函数的导数就是其本身。
3、指数函数与三角函数的关联由于正弦函数和余弦函数的导数分别为()x x x cos d sin d = ()x xx sin d cos d -= 当对正弦函数或余弦函数求4阶导数后回到其自身，这就暗示了指数函数与三角函数之间存在某种关联。
又由于i 4=1（i 为虚数单位），又暗示着要联立指数函数与三角函数之间的联系要用到虚数。
对指数函数、正弦函数和余弦函数分别作麦克劳林展开，得到∑∞==0!n nxn x e()()∑∞=-=02!21cos n n n n x x()()∑∞=++-=012!121sin n n nx n x将指数函数中的x 用ix 代替，则可得到x i x e ix sin cos ⋅+=这就是复变函数中的欧拉公式。
通过该式可以进一步得到()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==+=--ix i i e e x ix e e x ixix ixix sinh 12sin cosh 2cos cosh(x)和sinh(x)分别称为双曲余弦函数和双曲正弦函数。
四、圆周率——π0、定义圆周率π一般定义为一个圆形的周长C 与直径d 之比，即dC =π 或者以圆形半径为边长作一正方形，然後把圆形面积和此正方形面积的比例定为π，即圆形之面积与半径平方之比2r S =π定义圆周率不一定要用到几何概念，比如我们可以定义π为满足()0sin =x 的最小正实数x 。
1、一些基于数学分析的圆周率公式【推导过程略】 （1）韦达公式（1579年）：2222222222++⋅+⋅=π（2）华里斯公式（1650年）：()()21221!!12!!2121lim 1221221442⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅-∏=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∏=+∞→∞+=∞+=n n n n n n n n n n n n π（3）格雷果里-莱布尼茨公式：()∑∞+=+-=+-+-==012171513111arctan 4n nn π该方法收敛速度极慢。
（4）弗格森公式：19851arctan 201arctan 41arctan24++=π（5）梅钦公式：2391arctan 451arctan16-=π （6）拉玛努金公式：每迭代一次，精度增加8位()()∑∞+=+⋅=0444299263901103!4!42299n n n nn n π （7）楚诺维斯基公式：每计算一项，精度增加15位()()()()()∑∞+=-⋅⋅+⋅=33640320!3!13591409515140134!610005426880n n n n n n π （8）高斯-勒让德公式：一种二次收敛算则，即每经过一次计算，有效数字会倍增初值：1==x a ，21=b ，41=c重复计算：a y =，2b a a +=，by b =，()2y a x c c --=，x x 2= 最终计算：()cb a 42+=π（9）BBP （Bailey-Borwein-Plouffe ）公式：可计算任意的第n 位（在16进制下）而无需计算之前的(n -1)位，为圆周率的分布式计算提供了可行性。
∑+∞=⎪⎭⎫⎝⎛+-+-+-+=0681581482184161n nn n n n π （10）Bellard 公式：∑∞+=⎪⎭⎫⎝⎛+++-+-+-+++-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=091017104510431064110256341143210241641n nn n n n n n n π2、几何特性 平面图形 周长面积圆 r d C ⋅=⋅=ππ22r S ⋅=π圆环()22r R S -=π扇形 r r C 2180+⋅=πα2360r S ⋅=πα立体图形 表面积 体积圆柱 2r h r S ⋅+⋅⋅=ππ22 h r V ⋅⋅=2π圆锥222r r h r S ⋅++⋅⋅=ππh r V ⋅⋅=231π球24r S ⋅=π334r V ⋅=π3、代数特性：π是超越数【证明略】，即π不可能是任何整系数多项式的根。