江苏省泰州姜堰中学2018—2019学年第一学期高三数学期中试卷(word版,含答案)

2018—2019学年江苏省泰州姜堰中学期中试卷
高三数学
2018．11
一、填空题（本大题共14小题，每小题
5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案
填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．
）1．已知集合A ＝{﹣1，1，2，4}，B ＝{﹣1，0，2}，则A B ＝．2．已知复数2i
i
z （其中i 是虚数单位），则复数
z 的实部为
．
3．
24log 4log 2＝
．
4．命题“1x
，2
20x
”的否定是
．
5．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(m ﹣1，m)，且a ∥b ，则m ＝
．6．已知角的终边经过点(﹣2，1)，则
tan()的值为
．7．函数()ln f x x x 的图象在x ＝1处的切线方程为
．
8．奇函数
()f x 是R 上的增函数，(1)f ＝2，则不等式
2
(1)0f x 的解集为
．
9．在平面直角坐标系xOy 中，点P 是椭圆C ：
22
2
14
x y
a
(a ＞0)上一点，F 为椭圆C 的右
焦点，直线FP 与圆O ：2
2
1x y
相切于点Q ，若Q 恰为线段FP 的中点，则a ＝．
10．已知函数
()
2sin()f x x
(
＞0，[
2
，
])的部分图象如图所示，
其中
(0)
f ＝1，5MN
2
，则
(1)f ＝
．
11．已知a 为正常数，
23()
2x
x
ax
x a
f x x
a
，，，若
1x ，2
x R ，
1()f x ＝2()f x ，则
实数a 的取值范围是
．
12．已知a ＞0，函数3
1()
3
f x ax
x ，若()f x 存在极小值点m ，且()()f m f n ，m ≠n ，
则
n m
＝
．
13．已知圆O ：2
2
1x y
，定点A(3，0)，过A 点的直线l 与圆O 相交于B ，C 两点，B ，
C 两点均在x 轴上方，如图，若OC 平分∠AOB ，则直线l 的斜率为
．
14．如图，在△ABC 中，1AD
AB 2
，1AE
AC 3
，CD 与BE 交于点P ，AP ＝1，BC ＝
4，AP BC
2，则AB AC 的值为
．
第10题第13题第14题
二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字
说明，证明过程或演算步骤．）
15．（本题满分14分）
已知a ＝(cos ，1)，b ＝(1，sin )，
(
2
，
)，若a b ＝
15
．
（1）求sin 的值；
（2）求cos(2
)4
的值．
16．（本题满分14分）
已知函数1()f x a
x
，定义域为(0，
)上．
（1）证明：()(1)x
x
f e e f ；
（2）若
()y f x 在[m ，n]上的值域为[2m ，2n](m ＜n)，求实数a 的取值范围．
已知圆C ：2
2
()
()
7x
a y
b ，直线l 1：20x y 与l 2：2210
x y 交于点M ，直线l 1与圆C 交于A ，B 两点，直线l 2与圆C 交于D ，E 两点，若M 为弦AB 的中点，且
DM
ME(0)．
（1）当＝1时，求圆C 的方程；（2）当
＝
13
时，求圆C 的方程．
18．（本题满分16分）
某亲子公园拟建一广告牌，
将边长为
2米的正方形ABCD 和边长为1米正方形AEFG
在A 点处焊接，AM 、AN 、GM 、DN 均用加强钢管支撑，其中支撑钢管GM 、DN 垂直于地面于M 点和N 点，且GM 、DN 、MN 长度相等（不计焊接点大小）
．
（1）若AG ⊥AD 时，求焊接点A 离地面距离；
（2）若记∠GAD 为
，求加强钢管
AN 最长为多少？
已知椭圆C ：
222
2
1(0)x y a b
a
b
的左右顶点为A ，B ，右焦点为F ，一条准线方程
是x ＝﹣4，短轴一端点与两焦点构成等边三角形，点P ，Q 为椭圆C 上异于A ，B 的两点，
点R 为PQ 的中点．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）直线PB 交直线x ＝﹣2于点M ，记直线PA 的斜率为k PA ，直线FM 的斜率为k FM ，求证：k PA ・k FM 为定值；
（3）若
AP AQ 0，求直线AR 的斜率的取值范围．
20．（本题满分16分）
已知函数
2
()x
f x e
ax
bx (a ＞0，b R)．
（1）若a ＝1，b ＝0，试证明：当
x ＞0时，
()f x ＞0；
（2）若对任意a ＞0，()f x 均有两个极值点1x ，2x (1x ＜2x )，①试求b 应满足的条件；
②当12
a
时，证明：
12()()
2f x f x ．
参考答案
1．{﹣1，2} 2．1 3．5
2
4．1
x，220
x
5．2 6．1
2
7．21
y x8．[0，1]
9．3 10．﹣1 11．a＞2
log312．﹣2
13．
5
7
14．
1
3
15．16．。